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11) El Midtown Bank siempre tiene 2 cajeros de guardia. Los clientes llegan a recibir atención de un cajero a una tasa media de 40 clientes por hora según una distribución Poisson. Un cajero requiere en promedio 2 minutos para atender un cliente y sigue una distribución exponencial. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona llegue y sea atendida inmediatamente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre 2 personas en la Cola esperando ser atendidas? c) Encuentre el total del tiempo que un cliente debe disponer para terminar una operación en este banco. d) Encuentre la probabilidad de que un cliente se gaste más de 5 minutos en la cola. SOLUCIÓN MODELO M/M/2 Lambda: 40 clientes/ hora 1/µ: 2minutos/ cliente 2--1 60- X µ: 30cliente/hora

A. Po: 0,2000: La probabilidad de estar vacío es de 20% B. La probabilidad de tener 4 clientes en el sistema: 0,0790- 7,90% C. Tiempo de un cliente en el sistema (W): 0.0600 hora- 3,60 minutos D. Probabilidad de pasar más de 5 minutos en la cola: 0,10073-10.073%

14) El Centerville Internacional Airport cuenta con 2 pistas, una se usa sólo para despegar y la otra sólo para aterrizajes. Los aviones llegan según una distribución Poisson al espacio aéreo de Centerville para solicitar instrucciones de aterrizaje a una tasa media de 10 aviones por hora. El tiempo requerido para que aterrice un avión después de haber recibido autorización para aterrizar tiene una distribución exponencial con una media de 3 minutos y este proceso se debe completar antes de dar autorización de aterrizaje a otro avión. Los aviones en espera de autorización tienen que volar en círculo. La Federal Aviation Administration tiene varios criterios acerca del nivel Seguro de congestión de aviones en espera para aterrizar. Estos criterios dependen de varios factores respecto al aeropuerto involucrado, como el número de pistas de aterrizaje disponibles. Para Centerville, los criterios son:

(1) El número promedio de aviones en espera de recibir autorización para aterrizar no debe exceder de uno. (2) Para el 99% de los aviones, la cantidad de tiempo que se gasta volando en círculo antes de recibir autorización para aterrizar no debe exceder 30 minutos (puesto que exceder este tiempo, con frecuencia requeriría reorientar el avión hacia otro aeropuerto para un aterrizaje de emergencia antes de que se quedara sin combustible). a) Evalúe si se satisfacen estos criterios en la actualidad. b) Una aerolínea importante piensa agregar este aeropuerto como uno de sus centros. Esto aumentaría la tasa media de llegada a 15 aviones por hora. Evalúe si se siguen cumpliendo los criterios. c) Para atraer negocios adicionales, la administración del aeropuerto está considerando agregar una segunda pista de aterrizaje. Se estima que con el tiempo esto aumentaría la tasa media de llegada a 25 aviones por hora. Evalúe si se satisfacen los criterios si esto ocurre. SOLUCIÓN MODELO M/M/1 Lambda: 10 aviones/ hora 1/µ: 3 minutos/ avión

3---1 60---X

Lq< 1

µ: 20 aviones/ hora

Wq< 30 minutos

A. Si se satisface en la actualidad porque el número de aviones en la cola (Lq) da 0,5 es menor a 1 y el tiempo de un avión en la cola (Wq) es de 3 minutos menor a 30 minutos. B. Lambda: 15 aviones/ hora. No se satisface en la actualidad porque el número de aviones en la cola (Lq) da 2,25 aviones excede a 1 mientras que Wq si cumple porque da 9 minutos. C. MODELO M/M/2 Lambda: 25 aviones/ hora. Si se satisface porque el número de aviones en la cola (Lq) da 0,8013 aviones no excede a 1 y el tiempo de un avión en la cola (Wq) es de 1,9 minutos, no excede 30 minutos. 18) Un trabajador debe mantener dos máquinas en condiciones de operación. El tiempo que trabaja una máquina antes de descomponerse tiene distribución exponencial con media de 10 horas. El tiempo que tarda el empleado para reparar la máquina tiene una distribución exponencial con media de 1 hora. a) Calcule las Pn

b) Calcule L, Lq, W y Wq c) Determine el porcentaje de tiempo que el trabajador de mantenimiento está ocupado. d) Si la compañía desea asignarle más máquinas con la condición de que el tiempo que la máquina espere ser reparada sea por lo menos 30 minutos. ¿Cuál sería el número máximo que se le puede asignar? SOLUCIÓN MODELO POBLACION FINITA 1/Lambda: 10 horas/ maquina 1/µ: 1 hora/ maquina A. Po: 0,8197- 81,97% P1: probabilidad de tener un maquina en el sistema: 0,1639- 16.39% P2: probabilidad de tener 2 maquina en el sistema: 0,0164- 1,64% B. L: número de clientes en el sistema: 0,1967 clientes Lq: número de clientes en la cola: 0,0164 clientes W: Tiempo de un cliente en el sistema: 1,0909 hora Wq: tiempo de clientes en la cola: 0,0909 horas C. Pk: 0,1639- 16,39% D. El máximo de máquinas que se le puede asignar es de 5 (3+2) máquinas con un tiempo en la cola de 28 minutos 19) La compañía 4M tiene un torno como pieza central del trabajo de la planta. Los trabajos llegan según una distribución Poisson con tasa media de 2 por día. El tiempo procesado de cada trabajo tiene distribución exponencial con media de ¼ día. Como los trabajos son grandes, si no están en proceso se guardan en un almacén a cierta distancia de la máquina. Sin embargo, para ahorrar tiempo al traerlos, el gerente propone agregar espacio para 3 trabajos en proceso además del que está en el torno (el resto seguirá almacenándose). Con esta propuesta. Determine: a) La probabilidad de que el torno este desocupado b) La probabilidad de que el espacio asignado por la empresa para los trabajos se llene c) ¿Cuál es tiempo esperado para que un trabajo comience en el torno? d) ¿Cuál es el número esperado de trabajos que están haciendo fila alrededor del torno? SOLUCIÓN MODELO COLA FINITA Lambda: 2 trabajador/ día

µ: ¼ día trabajador

µ: 4 trabajador/ día

A. Po: 0,5161- 51.61% B. La probabilidad de tener 4 trabajadores en el sistema: 0,0323- 3,23% C. Wq: tiempo de un trabajador en la cola: 0,1833 horas- 11 minutos D. Lq: Número de trabajadores en la cola: 0,3548 clientes

21) En la compañía de Seguros Blue Chip Life. Las funciones de depósito de cierto producto de inversión se asignan a un empleado y el retiro a otro. Los formularios de depósito llegan al escritorio de Clara a una tasa media de 16 por hora (proceso Poisson). Las formas de retiro llegan al escritorio de Carmen a una tasa media de 14 por hora (proceso Poisson). El tiempo que se requiere para procesar cualquier transacción tiene distribución exponencial con tasa media de 3 minutos. Para reducir el tiempo esperado de espera en el sistema de ambas formas los actuarios recomiendan 1) Capacitar a las 2 empleadas para manejar depósitos y retiros y 2) poner los 2 tipos de transacciones en una sola cola con acceso a ambas empleadas. a) Determine el tiempo esperado de espera en el sistema de cada tipo de llegada con el proceso actual. b) Determine el tiempo esperado de espera en el sistema con la propuesta de los actuarios. c) Con cual propuesta se debe quedar la compañía de Seguros. d) ¿Qué son los Actuarios? ¿Cuentan con buen nivel salarial?

SOLUCIÓN A) Clara MODELO M/M/1 Lambda: 16 cliente/hora 1/µ: 3 minuto/cliente

3-----1 60---- X

µ: 20 cliente/hora

Tiempo del cliente en el sistema (W): 0,25 horas- 15 minutos Carmen MODELO M/M/1 Lambda: 14 cliente/hora µ: 2º cliente/ hora Tiempo del cliente en el sistema (W): 0.166- 10 minutos B. MODELO M/M/2

Lambda: 30 cliente/ hora µ: 20 cliente/hora Tiempo de un cliente en el sistema (W): 0,1143- 6,85 minutos C. La compañía de seguros debería elegir la propuesta de capacitar a las 2 empleadas para manejar depósitos y retiros, además poner los 2 tipos de transacciones en una sola cola con acceso a ambas empleadas puesto que esto reduce el tiempo de espera en el sistema. D. Son las personas que trabajan en el área de la salud, pasiones, son excelentemente remuneradas debido a que son escasas en Colombia.