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• Medardo Domínguez

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Hagamos

u a d r a d o s .. m á g i c o s Las actividades que se presentarán más adelante están pensadas para

estudiantes a partir de tercero de primaria, de acuerdo a la respuesta que se vaya obteniendo se puede ir avanzando en los distintos grados de dificultad propuestos.

El jugar con cuadrados mágicos es muy divertido, pero además permite desarrollar en los habilidades:

niños los siguientes conceptos y

- El concepto de orden en los números naturales - Practicar las operaciones aritméticas básicas - Establecer relaciones numéricas - Determinar y crear patrones - Desarrollar estrategias para la resolución de problemas - Generalizar - Entender, desarrollar y aplicar distintos procesos de razonamiento ¿ Q u é .. e s .. u n .. c u a d r a d o .. m á g ico?

Un cuadrado mágico es una cuadrícula de 3 x 3, o de 4 x 4, o de 5 x 5 o, en general, de n x n, en la que se acomodan ciertos números que cumplen que la suma de cualquier renglón, la suma de cualquier

columna y la suma de cualquiera de cualquiera de las dos diagonales es siempre la misma. ¿ C u á l e s .. s o n .. l o s .. n ú m e r o s .. q u e .. s e .. d e b en a c o m o d a r .. e n .. u n .. c u a d r a d o .. m á g i c o ?

Si el cuadrado es de 3 x 3, entonces tendrá 9 casillas y los números que se acomodan en él son todos los números del 1 al 9 Si el cuadrado es de 4 x 4, entonces tendrá 16 casillas y los números que se acomodan en él son del 1 al 16 En general, si el cuadrado es de n x n, entonces tendrá n cuadrada casillas y los números que acomodaremos en él serán del 1 a n².

P r o p i e d a d e s .. d e .. l o s .. c u a d r a d o s .. mágicos

El orden de un cuadrado mágico es el número de renglones o el número de columnas que tiene. Así un cuadrado de 3 x 3 se dice que es de orden 3.

Al sumar los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquiera de las dos diagonales el resultado es el mismo, a este número se le llama constante mágica. Hay muchas maneras de encontrar la constante mágica: a.

Si se conoce el cuadrado mágico basta sumar cualquier renglón o columna o diagonal.

. Si el cuadrado no se conoce, una manera es sumar todos los números que se colocarán en el cuadrado y dividir el resultado entre el orden de éste. Por ejemplo: en un cuadrado mágico de orden 3 los números que se colocarán son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b

. Otra manera de calcular la constante mágica de un cuadrado mágico es acomodar en la cuadrícula los números que se van a utilizar en su orden natural (no en forma de cuadrado mágico) y sumar los números de cualquiera de las diagonales; el resultado

c

será la constante mágica de ese cuadrado.

d

. En general la fórmula para encontrar la constante mágica de un cuadrado mágico de orden n es: n ( n² + 1 ) ___________ 2

n³ + n ___________ 2

Esto quiere decir que:

En un cuadrado mágico de 3 x 3 debemos acomodar todos los números del 1 al 9 de manera que la constante mágica sea 15.

En un cuadrado mágico de 4 x 4 debemos acomodar todos los números del 1 al 16 de manera que la constante mágica sea 34.

En un cuadrado mágico de 5 x 5 debemos acomodar todos los números del 1 al 25 de manera que la constante mágica sea 65.

Y así sucesivamente.

Actividades

Para que a los

niños les sea más fácil trabajar se pueden imprimir las siguientes figuras, pedirles que las recorten y que vayan colocando los números sobre la cuadrícula. También pueden resolverse las actividades dibujando los cuadrados mágicos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 En todas las actividades que se proponen a continuación es importante pedir a los estudiantes que comparen sus soluciones: ¿Todas son iguales?

Si no son iguales: ¿En qué se parecen? ¿En qué son distintas? ¿Hay alguna manera especial de acomodar los números para que el cuadrado sea mágico?

Hay varias maneras de transformar un cuadrado mágico en otro. Aquí te mostramos dos de ellas... Primera forma: 1. Toma el cuadrado mágico chino "lo-shu". 2. Piensa en el número que tú quieras. 3. El número que pensaste súmalo, réstalo o multiplícalo con cada uno de los números del cuadrado original, acomodando los resultados en los mismos lugares.

El cuadrado que queda también es mágico. Ejemplos

a 4 3 8

9 5 1

2 7 6

cuadrado "lo-shu"

b 4 3 8

9 5 1

2 7 6

cuadrado "lo-shu"

c 4 3 8

9 5 1

2 7 6

cuadrado "lo-shu"

12 27 9 15 24 3

6 21 18

Se multiplica cada número del original por 3

-1 -2 3

4 0 -4

-3 2 1

A cada número del cuadro original se le resta 5

10 15 9 11 14 7

8 13 12

A cada número del cuadro original se le suma 6

Actividades a partir de cuarto de primaria: - Transforma el cuadrado mágico "lo-shu" en los cuadrados mágicos que tú quieras. - ¿Cuál es la constante mágica en cada uno de los cuadrados nuevos? - ¿Funciona este método con fracciones o con decimales?

Segunda forma: 1. Piensa en un número cualquiera. 2. Escríbelo en la parte superior izquierda de una hoja. 3. Ahora piensa en dos números más que sean distintos. Estos números se irán sumando al número que tenías escrito en la hoja, uno de manera horizontal y el otro de manera vertical hasta obtener nueve números distintos. 4. Haz una lista con estos números ordenándolos de menor a mayor. 5. Escribe el cuadrado mágico "lo-shu" y sustituye sus números con los nuevos de la siguiente forma: el primero de la lista en el lugar del 1, el segundo en el lugar del 2, el tercero en el lugar del 3 y así sucesivamente hasta que completes el nuevo cuadrado.

El cuadrado que queda también es mágico. Ejemplo

1. y 2. 7 3. +2

7

9

+2

11

+5

12

14

16

19

21

+5

17

4. 7, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21 5. 4 3 8

9 5 1

2 7 6

12 21 11 14 19 7

9 17 16

Este cuadrado mágico fue inventado por Benjamín Franklin y tiene muchísimas propiedades:

- Cada renglón suma 260

- Cada columna suma 260 - La primera mitad de cualquier renglón suma 130 - La segunda mitad de cualquier renglón suma 130 - La primera mitad de cada columna suma 130 - La segunda mitad de cada columna suma 130 - Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260 - La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130 - Los cuatro números de una diagonal que sube más los cuatro número de la diagonal respectiva que baja suman 260 ¿Podrías encontrar más propiedades de este cuadrado mágico?

Este es un cuadrado mágico chino de 6 x 6 que fue inventado hace 400 años.

Intenta construir otro cuadrado mágico de 6 x 6 27

29

2

4

13

36

9

11

20

22

31

18

32

25

7

3

21

23

14

16

34

30

12

5

28

6

15

17

26

19

1

24

33

35

8

10

¡¡¡ h o r a .. s í , a .. j u g a r ! ! ! I A partir de tercero de primaria

En esta cuadrícula acomoda todos los números del 1 al 9 de manera que si sumas los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquier diagonal el resultado sea 15. Para que te sea más fácil resolverlo ya escribimos algunos números.

.

.

.

3

5

.

.

.

.

II A partir de cuarto de primaria

En esta cuadrícula acomoda todos los números del 1 al 9 de manera que si sumas los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquier diagonal el resultado sea 15.

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.

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.

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.

.

III A partir de cuarto de primaria

Aquí tienes un dibujo del primer cuadrado mágico que se conoció. Su origen es chino y se conoce como el Lo-shu. ¿Podrías averiguar que número representa cada uno de estos dibujos?

IV A partir de quinto de primaria

En esta cuadrícula acomoda todos los números del 1 al 9 de manera que si sumas los números de cualquier renglón, cualquier columna o cualquier diagonal el resultado sea el mismo.

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.

V A partir de primero de secundaria

Aquí están todas las soluciones posibles para el cuadrado mágico de orden 3. ¿Podrías averiguar cómo se llega de una a otra? 4 3 8

9 5 1

2 7 6

2 7 6

9 5 1

4 3 8

Solución

8 1 6

3 5 7

4 9 2

4 9 2

3 5 7

8 1 6

6 7 2

1 5 9

8 3 4

8 3 4

1 5 9

6 7 2

2 9 4

7 5 3

6 1 8

¡¡¡

h o r a .. s í , .. a .. j u g a r ! ! ! soluciones

I. Hay muchas maneras de hacerlo, aquí te ponemos una.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

II. Hay muchas maneras de llenar este cuadrado mágico, aquí te mostramos una.

III.

2

7

6

9

5

1

4

3

8