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Guía de Ondas Rectangular. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS GUÍADAS.

Elias Luna Ruiz INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL | ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Índice Introducción

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1

Principios de Operación

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2

1.1

Campos electromagnéticos en la guía de onda rectangular

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2

1.2

Estudio de los Modos 𝑇𝑀 ℋ𝑧 = 0 ℇ𝑧 ≠ 0

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3

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5 6

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6

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7 8

1.2.1 1.2.2 1.3

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Frecuencia de corte del modo 𝑇𝑀 . . . Constante de fase de la Guía e Impedancia intrínseca 𝜂𝑇𝑀

Estudio de Modos 𝑇𝐸 ℋ𝑧 ≠ 0 ℇ𝑧 = 0 . 1.3.1 1.3.2

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Frecuencia de corte del modo 𝑇𝐸 . . . Constante de fase de la Guía e Impedancia intrínseca 𝜂𝑇𝐸

1.4

Longitud de onda 𝜆, de la guía 𝜆𝑔 y de la de corte 𝜆𝑐 .

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8

1.5

Transmisión y atenuación de una Guía de Ondas Rectangular .

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9

Conclusiones .

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11

Bibliografía

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1 Guía de Ondas Rectangular. Introducción. En electromagnetismo y en telecomunicación, una guía de onda es cualquier estructura física que guía ondas electromagnéticas. Algunos sistemas de telecomunicaciones utilizan la propagación de ondas en el espacio libre, sin embargo también se puede transmitir información mediante el confinamiento de las ondas en cables o guías. En altas frecuencias las líneas de transmisión y los cables coaxiales presentan atenuaciones muy elevadas por lo que impiden que la transmisión de la información sea la adecuada, son imprácticos para aplicaciones en HF (alta frecuencia) o de bajo consumo de potencia, especialmente en el caso de las señales cuyas longitudes de onda son del orden de centímetros, esto es, microondas. La transmisión de señales por guías de onda reduce la disipación de energía, es por ello que se utilizan en las frecuencias denominadas de microondas con el mismo propósito que las líneas de transmisión en frecuencias más bajas, ya que se presentan poca atenuación para el manejo de señales de alta frecuencia. Este nombre, se utiliza para designar los tubos de un material de sección rectangular, circular o elíptica, en los cuales la energía electromagnética ha de ser conducida principalmente a lo largo de la guía y limitada en sus fronteras. Las paredes conductoras del tubo confinan la onda al interior por reflexión, debido a la ley de Snell en la superficie, donde el tubo puede estar vacío o relleno con un dieléctrico. El dieléctrico le da soporte mecánico al tubo (las paredes pueden ser delgadas), pero reduce la velocidad de propagación. En las guías, los campos eléctricos y los campos magnéticos están confinados en el espacio que se encuentra en su interior, de este modo no hay pérdidas de potencia por radiación y las pérdidas en el dieléctrico son muy bajas debido a que suele ser aire. Este sistema evita que existan interferencias en el campo por otros objetos, al contrario de lo que ocurría en los sistemas de transmisión abiertos.

2 Principios de operación. Las ondas se propagan en el espacio abierto en todas las direcciones, en forma de ondas esféricas. De este modo pierden su poder proporcionalmente al cuadrado de la distancia, es decir, a una distancia R de la fuente, la potencia es la fuente de energía dividida por R2. Los límites de guía de ondas a la propagación de la onda en una dimensión, de manera que la onda no pierde ninguna energía mientras que la propagación. Las ondas están confinados dentro de la guía de onda debido a la reflexión total de la pared de guía de ondas, de modo que la propagación dentro de la guía de ondas se puede describir aproximadamente como un "zig-zag" entre las paredes. Esta descripción es exacta para las ondas electromagnéticas en un tubo de metal hueco con una sección transversal rectangular o circular. 1.1 Campos electromagnéticos en la guía de onda rectangular. La guía de ondas rectangular es una de las líneas de transmisión más ampliamente utilizadas, está constituido por un conductor huevo (o relleno de un dieléctrico) de sección transversal rectangular de lados 𝑎 × 𝑏, es decir, el ancho es 𝑎 y la altura 𝑏. Los campos electromagnéticos en la onda de frecuencia angular 𝜔 que se propaga dentro de la guía de ondas rectangular puede expresarse como: ⃑𝔼(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑥̂ + 𝐸𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑦̂ + 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑧̂ ⋯ (1.1) Y ⃑ℍ ⃑⃑ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐻𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑥̂ + 𝐻𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑦̂ + 𝐻𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑧̂ ⋯ (1.2) Si se considera una propagación neta en la dirección del eje 𝑍, tenemos que cada componente de los campos puede expresarse como: 𝐸𝑥 = ℇ𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑥 , 𝐸𝑦 = ℇ𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑥 , 𝐸𝑧 = ℇ𝑧 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑥 ⋯ (1.3) Aquí 𝛽 es la constante de fase neta o constante de fase de la guía. También: 𝐻𝑥 = ℋ𝑥 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑥 , 𝐻𝑦 = ℋ𝑦 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑥 , 𝐸𝑧 = ℋ𝑧 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑥 ⋯ (1.4) Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) en las coordenadas rectangulares tenemos de ∇ ∙ ⃑𝔼(𝑟) = 0: 𝜕ℇ𝑥 𝜕ℇ𝑦 + − 𝑗𝛽ℇ𝑧 = 0 ⋯ (1.5) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ⃑⃑ (𝑟) = 0: Y de la ley de Gauss magnético ∇ ∙ ⃑ℍ 𝜕ℋ𝑥 𝜕ℋ𝑦 + − 𝑗𝛽ℋ𝑧 = 0 ⋯ (1.6) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y de Ampere-Maxwell: ∇ × 𝐸(𝑟) = −𝑗𝜔𝜇𝐻(𝑟)

∇ × 𝐻(𝑟) = −𝑗𝜔𝜀𝐸(𝑟) ⋯ (1.7)

3 De la primera ecuación de (1.7) obtenemos: 𝜕ℇ𝑧 − 𝑗𝛽ℇ𝑦 = −𝑗𝜔𝜇ℋ𝑥 ⋯ (1.8) 𝜕𝑦 𝜕ℇ𝑧 − 𝑗𝛽ℇ𝑥 = −𝑗𝜔𝜇ℋ𝑦 ⋯ (1.9) 𝜕𝑥 𝜕ℇ𝑦 𝜕ℇ𝑥 − == −𝑗𝜔𝜇ℋ𝑧 ⋯ (1.10) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Y de la segunda ecuación de (1.7): 𝜕ℋ𝑧 − 𝑗𝛽ℋ𝑦 = −𝑗𝜔𝜀ℇ𝑥 ⋯ (1.11) 𝜕𝑦 𝜕ℋ𝑧 − 𝑗𝛽ℋ𝑥 = −𝑗𝜔𝜀ℇ𝑦 ⋯ (1.12) 𝜕𝑥 𝜕ℋ𝑦 𝜕ℋ𝑥 − == −𝑗𝜔𝜀ℇ𝑧 ⋯ (1.13) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Combinando las seis últimas ecuaciones llegamos a: 𝑘𝑐2 ℇ𝑥 = 𝑗𝛽

𝜕ℇ𝑧 𝜕ℋ𝑧 − 𝑗𝜔𝜇 ⋯ (1.14) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑘𝑐2 ℇ𝑦 = 𝑗𝛽

𝜕ℇ𝑧 𝜕ℋ𝑧 + 𝑗𝜔𝜇 ⋯ (1.15) 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝑘𝑐2 ℋ𝑥 = 𝑗𝛽

𝜕ℋ𝑧 𝜕ℇ𝑧 − 𝑗𝜔𝜀 ⋯ (1.16) 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝑘𝑐2 ℋ𝑦 = 𝑗𝛽

𝜕ℋ𝑧 𝜕ℇ𝑧 − 𝑗𝜔𝜀 ⋯ (1.17) 𝜕𝑦 𝜕𝑥

Donde: 𝑘𝑐2 = 𝜔2 𝜇𝜀 − 𝛽 2 ⋯ (1.18) Es la relación de dispersión. A 𝑘𝑐 se le conoce como la constante de fase de corte. Se observa que las componentes transversales ℇ𝑥 , ℇ𝑦 , ℋ𝑥 y ℋ𝑦 , dependen de las componentes longitudinales ℇ𝑧 y ℋ𝑧 , por lo tanto, es posible dividir la solución en dos grupos: modos 𝑇𝑀 cuando ℋ𝑧 = 0 y ℇ𝑧 ≠ 0 y los modos 𝑇𝐸 cuando ℇ𝑧 = 0 y ℋ𝑧 ≠ 0. 1.2 Estudio de los Modos 𝑇𝑀 ℋ𝑧 = 0 ℇ𝑧 ≠ 0 Considerando ℋ𝑧 = 0 en (1.14) y (1.15) y remplazando en (1.5), se llega a la ecuación diferencial: 𝜕 2 ℇ𝑧 𝜕 2 ℇ𝑧 + + 𝑘𝑐2 ℇ𝑧 = 0 ⋯ (1.19) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 ℇ𝑧 es un campo tangencial a las paredes metálicas de la Guía de Onda, en este estudio se consideran las paredes como conductores perfectos, entonces los campos ℇ y ℋ dentro de éstas

4 son cero, Aplicando las condiciones de frontera 𝐸1 tan 𝑔 = 𝐸2 tan 𝑔 se llega a la condición de frontera de Dirichlet: ℇ𝑧 |𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠 = 0 ⋯ (1.20) En forma más explícita ℇ𝑧 (𝑥 = 0) ℇ𝑧 (𝑥 = 𝑎)

ℇ𝑧 (𝑦 = 0) ℇ𝑧 (𝑦 = 𝑏) ⋯ (1.21)

Para resolver (1.19) se utiliza la técnica de separación de variables, es decir ℇ𝑧 (𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦) ⋯ (1.22) Reemplazando en (1.19) y dividiendo entre 𝑋𝑌 se llega a 1 𝑑2 𝑋 1 𝑑2 𝑌 + + 𝑘𝑐2 = 0 ⋯ (1.23) 𝑋 𝑑𝑥 2 𝑌 𝑑𝑦 2 −𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2 La solución de esta ecuación diferencial es conocida, el primer y segundo término deben ser igual a una constante como se indica en la ecuación anterior, es decir: 1 𝑑2 𝑋 = −𝑘𝑥2 𝑋 𝑑𝑥 2

1 𝑑2 𝑌 = −𝑘𝑦2 ⋯ (1.24) 𝑌 𝑑𝑦 2

Además 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 = 𝑘𝑐2 ⋯ (1.25) Resolviendo (1.24) se llega: 𝑋(𝑥) = 𝑎1 cos(𝑘𝑥 𝑥) + 𝑎2 sin(𝑘𝑥 𝑥) ⋯ (1.26) 𝑌(𝑦) = 𝑏1 cos(𝑘𝑦 𝑦) + 𝑏2 sin(𝑘𝑦 𝑦) ⋯ (1.27) Aplicando las condiciones de frontera ℇ𝑧 (𝑥 = 0) = 0 en (1.26) y ℇ𝑧 (𝑦 = 0) = 0 en (1.27) se deduce que 𝑎1 = 𝑏1 = 0. Luego 𝑋(𝑥) = 𝑎2 sin(𝑘𝑥 𝑥) 𝑌(𝑦) = 𝑏2 sin(𝑘𝑦 𝑦) ⋯ (1.28) En esta última ecuación aplicamos las condiciones de frontera ℇ𝑧 (𝑥 = 𝑎) = 0 y ℇ𝑧 (𝑦 = 𝑏) = 0, llegamos a sin(𝑘𝑥 𝑎) = 0 sin(𝑘𝑦 𝑏) = 0 ⋯ (1.29) Entonces 𝑘𝑥 𝑎 y 𝑘𝑦 𝑏 tienen que ser múltiplos de 𝜋. Así: 𝑘𝑥 =

𝑚𝜋 𝑛𝜋 y 𝑘𝑦 = para 𝑚 = 1, 2, … 𝑛 = 1, 2, … ⋯ (1.30) 𝑎 𝑏

Una primera conclusión es que tenemos muchas soluciones y a cada solución se le llama modo. Reemplazando (1.30) en (1.28) y ésta en (1.22) y asumiendo que 𝑎2 𝑏2 = 𝐸0 llegamos

5 𝑚𝜋 𝑛𝜋 ℇ𝑧 = 𝐸0 sin ( 𝑥) sin ( 𝑦) ⋯ (1.31) 𝑎 𝑎 Para 𝑚 = 1, 2, … y 𝑛 = 1, 2, …, reemplazando (1.31) en (1.3) obtenemos la componente longitudinal del campo eléctrico: 𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℇ𝑧 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑥 = 𝐸0 sin (

𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑥) sin ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑥 ⋯ (1.32) 𝑎 𝑎

Con condición de frontera de Dirichlet 𝐸𝑧 (𝑥 = 0) = 𝐸𝑧 (𝑥 = 𝑎) = 𝐸𝑧 (𝑦 = 0) = 𝐸𝑧 (𝑦 = 𝑏) = 0 ⋯ (1.33) Reemplazando (1.31) en (1.14) hasta (1.17) y luego en (1.3) obtenemos las otras componentes de campos electromagnéticos: 𝑗𝛽 𝑚𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 ( ) 𝐸 cos ( 𝑥) sin ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑥 0 𝑎 𝑏 𝑘𝑐2 𝑎 𝑗𝛽 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝐸𝑦 = − 2 ( ) 𝐸0 sin ( 𝑥) cos ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑥 𝑎 𝑏 𝑘𝑐 𝑏 𝑚𝜋 𝑛𝜋 −𝑗𝛽𝑥 𝐸𝑧 = 𝐸0 sin ( 𝑥) sin ( 𝑦) 𝑒 𝑎 𝑏 𝑗𝜔𝜀 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝐻𝑥 = 2 ( ) 𝐸0 sin ( 𝑥) cos ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑥 𝑎 𝑏 𝑘𝑐 𝑏 𝑗𝜔𝜀 𝑚𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝐻𝑦 = − 2 ( ) 𝐸0 cos ( 𝑥) sin ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑥 𝑎 𝑏 𝑘𝑐 𝑎 𝐸𝑥 = −

⋯ (1.34)

Para el modo 𝑇𝑀 𝐻𝑧 = 0. Ahora definimos la frecuencia de corte e impedancia intrínseca del modo 𝑇𝑀. 1.2.1

Frecuencia de corte del modo 𝑇𝑀

Si reemplazamos (1.30) en (1.25) obtenemos 𝑘𝑐 𝑚𝜋 2 𝑛𝜋 2 2 𝑘𝑐𝑚𝑛 = ( ) + ( ) ⋯ (1.35) 𝑎 𝑏 Reemplazando (1.35) en la relación de dispersión (1.18) obtenemos 𝑚𝜋 2 𝑛𝜋 2 2 𝛽 2 = 𝜔2 𝜇𝜀 − 𝑘𝑐𝑚𝑛 = 𝜔2 𝜇𝜀 − ( ) − ( ) ⋯ (1.36) 𝑎 𝑏 Puesto que la propagación neta de la onda es en la dirección del eje z, entonces según (1.3) 𝛽 debe ser positivo, sin embargo, según (1.35), 𝑘𝑐𝑚𝑛 es variable y puede tomar valores altos, por 2 lo tanto, 𝑘𝑐𝑚𝑛 podría sobrepasar el valor de 𝜔2 𝜇𝜀 y según (1.36) 𝛽 ya no sería positivo y la onda se atenuaría hasta desaparecer, por lo tanto no se propagaría este modo. Entonces, llegamos a la siguiente conclusión: 2 Si 𝜔2 𝜇𝜀 > 𝑘𝑐𝑚𝑛 → se propaga hasta el modo 𝑇𝑀𝑚𝑛 ⋯ (1.37)

6 2 Si 𝜔2 𝜇𝜀 < 𝑘𝑐𝑚𝑛 → 𝑛𝑜 se propaga el modo 𝑇𝑀𝑚𝑛 ⋯ (1.38)

Definimos la frecuencia de corte angular 𝜔𝑐𝑚𝑛 de la siguiente manera: 2 2 𝑘𝑐𝑚𝑛 = 𝜔𝑐𝑚𝑛 𝜇𝜀 donde 𝜔𝑐𝑚𝑛 = 2𝜋𝑓𝑐𝑚𝑛 ⋯ (1.39)

Aquí 𝑓𝑐𝑚𝑛 es la frecuencia de corte en 𝐻𝑧 y es más fácil de calcular: 𝑓𝑐𝑚𝑛 =

𝑘𝑐𝑚𝑛 1 𝑚 2 𝑛 2 √( ) + ( ) en 𝐻𝑧 ⋯ (1.40) = 𝑎 𝑏 2𝜋√𝜇𝜀 2√𝜇𝜀

La misma fórmula se puede expresar en forma más simple: 𝑓𝑐𝑚𝑛 = 1.2.2

15 𝑚 2 𝑛 2 √( ) + ( ) 𝐺𝐻𝑧 𝑎 y 𝑏 en 𝑐𝑚 ⋯ (1.41) 𝑎 𝑏 √𝜇𝑟 𝜀𝑟

Constante de fase de la Guía e Impedancia intrínseca 𝜂𝑇𝑀

De (1.36) despejamos el valor de 𝛽 y luego reemplazamos (1.39), obtenemos la constante de fase de la guía. 𝛽 = 𝜔√𝜇𝜀 √1 −

2 𝑘𝑐𝑚𝑛 𝑓𝑐𝑚𝑛 2 √ = 𝜔 𝜇𝜀 1 − ( ) rad/m ⋯ (1.42) √ 𝜔 2 𝜇𝜀 𝑓

Se define la impedancia intrínseca del modo 𝑇𝑀 𝜂𝑇𝑀 en forma parecía a a onda plana: 𝜂𝑇𝑀 =

𝐸𝑦 𝐸𝑥 =− 𝐻𝑦 𝐻𝑥

Tomando 𝐸𝑥 y 𝐻𝑦 de (1.34), reemplazando en la ecuación anterior, simplificando y reemplazando (1.42), llegamos a: 𝜂𝑇𝑀 =

𝛽 𝜇 𝑓𝑐𝑚𝑛 2 = √ √1 − ( ) Ω ⋯ (1.43) 𝜔𝜀 𝜀 𝑓

1.3 Estudio de Modos 𝑇𝐸 ℋ𝑧 ≠ 0 ℇ𝑧 = 0 Cuando ℇ𝑧 = 0 en (1.16) y (1.17) y reemplazando en (1.6), se llega a la ecuación diferencial: 𝜕 2 ℋ𝑧 𝜕 2 ℋ𝑧 + + 𝑘𝑐2 ℋ𝑧 = 0 ⋯ (1.44) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 ℋ𝑧 es un campo tangencial a las paredes metálicas de la guía de onda, en este estudio se consideran las paredes como conductores perfectos, entonces los campos ℇ y ℋ dentro de estas son cero. Aplicando las condiciones de frontera 𝐻1 tan 𝑔 − 𝐻2 tan 𝑔 = 𝐾𝑛 se llega a la condición de frontera de Neumman: 𝜕ℋ𝑧 = 0 ⋯ (1.45) | 𝜕𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒𝑠

7 Donde 𝑛̂ es un vector unitario normal a las parees de la guía. La condición de frontera en forma explícita es: 𝜕ℋ𝑧 𝜕ℋ𝑧 𝜕ℋ𝑧 𝜕ℋ𝑧 = = = ⋯ (1.46) | | | | 𝜕𝑥 𝑥=0 𝜕𝑦 𝑦=0 𝜕𝑥 𝑥=𝑎 𝜕𝑦 𝑦=𝑏 Procediendo en forma similar al caso 𝑇𝑀, se llega a: 𝑚𝜋 𝑛𝜋 ℋ𝑧 = 𝐻0 cos ( 𝑥) cos ( 𝑦) ⋯ (1.47) 𝑎 𝑎 Para 𝑚 = 1, 2, … y 𝑛 = 1, 2, …. 𝑚 y 𝑛 a la vez no pueden ser cero. Reemplazando (1.50) en (1.4) obtenemos la componente longitudinal del campo magnético: 𝐻𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℋ𝑧 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = 𝐻0 cos (

𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑥) cos ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 ⋯ (1.48) 𝑎 𝑎

Con condición de frontera de Neumman descrito en (1.49). Reemplazando (1.50) en (1.14) hasta (1.17) en forma similar al caso 𝑇𝑀 llegamos a: 𝑗𝜇𝜀 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 ( ) 𝐻 cos ( 𝑥) sin ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 0 𝑎 𝑏 𝑘𝑐2 𝑏 𝑗𝜇𝜀 𝑚𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝐸𝑦 = − 2 ( ) 𝐻0 sin ( 𝑥) cos ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑎 𝑎 𝑏 𝑘𝑐 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝐻𝑧 = 𝐻0 cos ( 𝑥) cos ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑥 𝑎 𝑏 𝑗𝛽 𝑚𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝐻𝑥 = 2 ( ) 𝐻0 sin ( 𝑥) cos ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑎 𝑏 𝑘𝑐 𝑎 𝑗𝛽 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝐻𝑦 = − 2 ( ) 𝐻0 cos ( 𝑥) sin ( 𝑦) 𝑒 −𝑗𝛽𝑧 𝑎 𝑏 𝑘𝑐 𝑏 𝐸𝑥 = −

⋯ (1.49)

Para el modo 𝑇𝐸 𝐸𝑧 = 0. Ahora definimos la frecuencia de corte e impedancia intrínseca del modo 𝑇𝐸. 1.3.1

Frecuencia de corte del modo 𝑇𝐸

Puesto que se ha procedido de forma similar que el caso 𝑇𝑀, llegamos a: 𝑚𝜋 2 𝑛𝜋 2 2 𝑘𝑐𝑚𝑛 = ( ) + ( ) ⋯ (1.50) 𝑎 𝑏 Reemplazando (1.53) en la relación de dispersión (1.18) obtenemos: 𝑚𝜋 2 𝑛𝜋 2 2 𝛽 2 = 𝜔2 𝜇𝜀 − 𝑘𝑐𝑚𝑛 = 𝜔2 𝜇𝜀 − ( ) − ( ) ⋯ (1.51) 𝑎 𝑏 El análisis es similar al caso 𝑇. 𝑀 Definimos la frecuencia de corte angular 𝜔𝑐𝑚𝑛 de la siguiente manera: 2 2 𝑘𝑐𝑚𝑛 = 𝜔𝑐𝑚𝑛 𝜇𝜀 donde 𝜔𝑐𝑚𝑛 = 2𝜋𝑓𝑐𝑚𝑛 ⋯ (1.52)

Aquí 𝑓𝑐𝑚𝑛 es la frecuencia de corte en 𝐻𝑧 y es fácil de calcular:

8

𝑓𝑐𝑚𝑛 =

𝑘𝑐𝑚𝑛 1 𝑚 2 𝑛 2 √( ) + ( ) en 𝐻𝑧 ⋯ (1.53) = 𝑎 𝑏 2𝜋√𝜇𝜀 2√𝜇𝜀

La misma fórmula se puede expresar en forma más simple: 𝑓𝑐𝑚𝑛 =

1.3.2

15 𝑚 2 𝑛 2 √( ) + ( ) 𝐺𝐻𝑧 𝑎 y 𝑏 en 𝑐𝑚 ⋯ (1.54) 𝑎 𝑏 √𝜇𝑟 𝜀𝑟

Constante de fase de la Guía e Impedancia intrínseca 𝜂𝑇𝐸

De (1.51) despejamos el valor de 𝛽 y luego reemplazamos (1.52), obtenemos la cosntante de fase de la guía. 𝛽 = 𝜔√𝜇𝜀 √1 −

2 𝑘𝑐𝑚𝑛 𝑓𝑐𝑚𝑛 2 √ = 𝜔√𝜇𝜀 1 − ( ) rad/m ⋯ (1.55) 𝜔 2 𝜇𝜀 𝑓

Se define la impedancia intrínseca del modo 𝑇𝑀 𝜂𝑇𝑀 en forma parecida a la onda plana: 𝜂𝑇𝐸 =

𝐸𝑦 𝐸𝑥 =− 𝐻𝑦 𝐻𝑥

Tomando 𝐸𝑥 y 𝐻𝑦 de (1.52), reemplazando en la ecuación anterior, simplificando y reemplazando (1.55), llegamos a: 𝜔𝜀 𝜂𝑇𝐸 = = 𝛽

𝜇 𝜀

√

Ω ⋯ (1.56) 2

√1 − (𝑓𝑐𝑚𝑛 ) 𝑓

1.4 Longitud de onda 𝜆, de la guía 𝜆𝑔 y de la de corte 𝜆𝑐 La longitud de onda se conoce como: 𝜆=

2𝜋 2𝜋 = ⋯ (1.57) 𝐾 𝜔√𝜇𝜀

De manera similar, la longitud de la onda de la guía se define como: 𝜆𝑔 =

2𝜋 = 𝛽

2𝜋

⋯ (1.58) 2

√1 − (𝑓𝑐𝑚𝑛 ) 𝑓

9

Y la longitud de onda de corte como: 𝜆𝑐 =

2𝜋 = 𝑘𝑐𝑚𝑛

2𝜋 2 2 √(𝑚) + (𝑛) 𝑎 𝑏

⋯ (1.59)

1.5 Transmisión y atenuación de una Guía de Ondas Rectangular Para determinar el flujo de potencia dentro de la guía, primero determinamos la densidad de flujo de potencia promedio: 1 〈𝑆〉 = 𝑅𝑒{𝐸 × 𝐻 . } 2

Reemplazando los campos electromagnéticos dados anteriormente obtenemos: 〈𝑆〉 =

|𝐸𝑥 |2 + |𝐸𝑦 |2 𝑧̂ ⋯ (1.60) 2𝜂 .

Donde: 𝜂𝑇𝑀 para el modo 𝑇𝑀 𝜂. = { 𝜂𝑇𝐸 para el modo 𝑇𝐸 La potencia promedio transmitida por la sección transversal de la guía de onda sin perdidas (o en el inicio de la guía 𝑧 = 0): 𝑎

𝑏 |𝐸 |2 𝑥

𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 0 = ∫ ∫ 0

0

+ |𝐸𝑦 |2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ⋯ (1.61) 2𝜂 .

No es difícil demostrar que para el caso 𝑇𝑀 y para la guía de ondas de sección transversal arbitraría: 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 0 =

1 𝛽 2 ( ) ∫ |𝐸𝑥 |2 𝑑𝑆 caso 𝑇𝑀 ⋯ (1.62) 2𝜂𝑇𝑀 𝑘𝑐𝑚𝑛 𝑆

Y para el caso 𝑇𝐸 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 0 =

𝜂𝑇𝐸 𝛽 2 ( ) ∫ |𝐻𝑧 |2 𝑑𝑆 caso 𝑇𝐸 ⋯ (1.63) 2 𝑘𝑐𝑚𝑛 𝑆

Hasta aquí hemos supuesto que las guías de ondas no tienen perdidas, pero en realidad, el dieléctrico dentro de la guía tiene ligeras pérdidas, las paredes de la guía no son conductores perfectos, tienen conductividad alta y no infinita. Estas consideraciones hacen que el flujo de potencia dentro de la guía (en 𝑧 > 0) tenga un decaimiento: 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 0 𝑒 −2𝛼𝑧 ⋯ (1.64)

10 Donde 𝛼 es el coeficiente de atenuación y 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 0 es el flujo de potencia en el inicio de la guía (𝑧 = 0). El decremento de 𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 debe ser igual a la pérdida de potencia promedio temporal 𝑃𝐿 por unidad de longitud: 𝑃𝐿 = −

𝑑𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 = 2𝛼𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑧

Despejando 𝛼, considerando el flujo de potencia promedio en el inicio de la guía (𝑧 = 0) 𝛼=

𝑃𝐿 2𝑃𝑝𝑟𝑜𝑚 0

⋯ (1.65)

Las pérdidas por unidad de longitud debido a las paredes metálicas ya se han estudiado anteriormente. 1 𝑃𝐿 = 𝑅𝑠 ∮ |𝐻tan 𝑔 |2 𝑑𝑟 ⋯ (1.66) 2

Donde 𝑅𝑠 es la resistencia superficial y está dado por: 𝑅𝑠 = √

𝜋𝑓𝜇𝑐 𝑔𝑐

Donde 𝑓 -es la frecuencia de operación de la onda 𝜇𝑐 es la permeabilidad y 𝑔𝑐 es la conductividad de las paredes metálicas de la guía de ondas. El coeficiente de atenuación se debe a dos pérdidas: en el dieléctrico (𝛼𝑑 ) y en las paredes metálicas (𝛼𝑐 ). 𝛼𝑑 es mucho menor que 𝛼𝑐 . Por esta razón se estudia solo 𝛼𝑐 . La atenuación para el modo 𝑇𝐸10 está dado por: 1 𝑏 𝑓𝑐𝑚𝑛 2 𝛼𝑐 = ) } ⋯ (1.67) { + ( 𝑎 𝑓 2 2 𝑓 𝜇 𝑏√ 𝜀 √1 − ( 𝑐𝑚𝑛 ) 𝑓 2𝑅𝑠

La siguiente expresión es para el caso 𝑇𝐸𝑚𝑛 cuando 𝑛 ≠ 0 𝑏 𝑏 2 2 𝑏 𝑓𝑐𝑚𝑛 2 𝑎 (𝑎 𝑚 + 𝑛 ) 𝑓𝑐𝑚𝑛 2 𝛼𝑐 = ) + 2 {(1 + ) ( (1 − { } )} ⋯ (1.68) 𝑏 𝑎 𝑓 𝑓 2 + 𝑛2 2 𝑚 𝑓 𝜇 𝑎2 𝑏√ 𝜀 √1 − ( 𝑐𝑚𝑛 ) 𝑓 2𝑅𝑠

La siguiente expresión es para el modo 𝑇𝑀𝑚𝑛 𝛼𝑐 =

𝑏 3 (𝑎 ) 𝑚 2 + 𝑛 2

2𝑅𝑠

𝑏 2 𝑓𝑐𝑚𝑛 (𝑎) 𝑚2 + 𝑛2 𝜇√ 𝑏√ 𝜀 1 − ( ) 𝑓 2

⋯ (1.69)

11 Conclusiones Las guías de onda rectangulares son las formas más comunes de guías de onda. La energía electromagnética se propaga a través del espacio libre como ondas electromagnéticas transversales (TEM) con un campo magnético, un campo eléctrico, y una dirección de propagación que son mutuamente perpendiculares. Una onda no puede viajar directamente hacia abajo de una guía de onda sin reflejarse a los lados, porque el campo eléctrico tendría que existir junto a una pared conductiva. Si eso sucediera, el campo eléctrico haría un corto circuito por las paredes en sí. Para propagar una onda TEM exitosamente a través de una guía de onda, la onda debe propagarse a lo largo de la guía en forma de zig-zag, con el campo eléctrico máximo en el centro de la guía y cero en la superficie de las paredes.

12 Bibliografía 1.

http://es.scribd.com/

2. http://centrodeartigos.com/ 3. John D. Kraus Electromagnetismo McGraw-Hill. 4. Simon Ramo. Jhon R. Whinnery & Theodore Van Duzer .Electric Transmission Lines, Field And Waves In Communication Electronics. Simon Ramo. Jhon Wiley & Sons.