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GU´IAS DE EJERCICIOS PARA EL MODULO 1 ´ DE ALGEBRA Y TRIGONOMETR´IA: 220009 MATERIAL RECOPILADO DURANTE EL PRIMER SEMESTRE DE 2012 RPI ——, ISBN ————

Proyecto financiado por el Departamento de Matem´atica–UBB.

Profesores participantes: Gabriel Sanhueza, Carlos Picarte, Jos´ e Godoy, Sergio Caucao.

Concepci´on, 2012.

Departamento de Matem´ atica–Universidad del B´ıo-B´ıo

´Indice general 0.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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0.2. GUIA LOGICA Y PROPOSICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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0.3. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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0.4. Operaciones con Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.5. Geo-anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.6. Pr´ actico 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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0.1.

Introducci´ on

Estos apuntes tienen como objetivo presentar una serie de listados de ejercicios de tal manera que estos sean una herramienta importante para el estudio de los alumnos que cursan el Modulo 1 de la asignatura de Algebra Lineal (220011). Estos listados de ejercicios est´an asociados o cubren los siguientes t´ opicos de la asignatura:

1. Espacios vectoriales 2. Vectores 3.

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0.2.

GUIA LOGICA Y PROPOSICIONES

1. Escriba en forma simb´ olica y asigne valores de verdad a (a) 3 + 1 6= 4 y 24 es divisible por 8

(c) 3 + 1 = 4 pero 24 no es divisible por 8

(b) No es cierto que, 7 es impar o 3 + 1 = 4. 2. La Facultad de Ingenier´ıa de la UB´ IOB´ IO gan´ o un proyecto que consiste en construir mas salas de estudio pero la falta de espacio hace renunciarla la cual implica que se quedar´ a sin mas salas. Si consideramos (i) p: La Facultad de Ingenier´ıa de la UB´IOB´IO gan´o un proyecto. (ii) q: que consiste en construir mas salas de estudio. (iii) r: la falta de espacio hace renunciarla. (iv) s: se quedar´ a sin mas salas. (a) Escriba en forma simb´ olica utilizando conectivos l´ogicos la expresi´on anterior (b) Escriba en palabras lo siguiente (p∧ ∼ s) ∨ (r →∼ q) 3. Encuentre el valor de verdad de cada proposici´on compuesta. Suponga que p y r son falsas, y q es verdadera. (a) ∼ p −→ (q ∧ r)

(b) (p −→∼ q) ∧ (p −→ r)

4. Determine el valor de verdad de las expresiones proposicionales (a) ∼ (∼ p)

(b) p ∧ (q ∨ r)

(c) p ∨ (q ∧ r)

5. Sean p, q y r tres proposiciones tales que: (a) r: es falsa.

(b) p ←→∼ q: es verdadera.

Deduzca el valor de verdad de p. Justifique sus pasos.

4

(c) q → r: es verdadera

6. Traduzca el siguiente argumento al lenguaje simb´olico matem´atico y determine su validez: “Procedo en forma adecuada o admito mi fracaso, y; si juzgo mis acciones, no procedo en forma adecuada. En consecuencia, si no admito mi fracaso, entonces no juzgo mis acciones“ 7. Dadas las proposiciones (i) p: Elvis va a la fiesta.

(ii) q: Elsa es su polola.

Escriba con palabras los siguientes enunciados: (a) ∼ q

(b) q∨ ∼ p

(c) ∼ p ↔ q

(d) (p∧ ∼ q) → p

8. (a) Dada la proposici´ on l´ ogica ”Mart´ın es Psic´ ologo pero no es Ingeniero, entonces no es Veterinario; si y s´ olo si es un Juez“ escr´ıbala utilizando s´ımbolos y colectivos l´ ogicos, sabiendo que (i) p : Mart´ın es Psic´ ologo.

(iii) r : Mart´ın es Veterinario.

(ii) q : Mart´ın es Ingeniero.

(iv) s : Mart´ın es Juez.

(b) De la parte (a) , si el: (i) valor de p es verdadero. (iii) valor de r es verdadero. (ii) valor de q es falso.

(iv) valor de s es falso.

diga cual es valor de la proposici´on [(p ∧ q) ∨ r] → (s ∧ q) 9. (a) Si el valor de verdad de p es verdadero, de q es falso y de r verdadero, diga el valor de verdad de (p ∨ q) ←→ r (b) Si ∼ p →∼ q es una proposici´on falsa, determine el valor de verdad de [(∼ q →∼ p) → q] ∨ (∼ q ∨ p) 10. Determine si la siguiente proposici´on es Tautolog´ıa, Contradicci´on o Contingencia. (a) (p → q) → (q → p)

(c) (p∨ ∼ q) → (q∨ ∼ p)

(b) (p ∧ q)∨ ∼ (q∧ ∼ p)

(d) (p∨ ∼ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)

(e) [∼ p −→ (q ∧ r)] ←→∼ q

´ 11. Usando tablas o las leyes del Algebra Proposicional diga si (∼ q →∼ p) → (p → q) es tautolog´ıa. 5

12. Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones y diga si es tautolog´ıa , contradicci´ on o contingencia (a) (p∨ ∼ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)

(b) [∼ p → (q ∧ r)] ↔∼ q

13. Simplifique las siguientes expresiones (a) (∼ p∧ ∼ q) →∼ q

(c) p ∨ (q∧ ∼ p)

(e) (p → q) ∨ (∼ p →∼ q)

(b) ∼ q → (r →∼ q)

(d) (p ∨ q) → (∼ p ∧ q)

(f) p ∧ (q∧ ∼ p)

14. Compruebe si las expresiones proposicionales siguientes son equivalentes (a) p −→ (q ∧ r) ≡ (p∧ ∼

(b) ∼ (p ∧ q) ≡ (∼ p∨ ∼ q)

(c) ∼ (p −→ q) ≡ p∧ ∼ q

q) −→ r 15. Dado los enunciados abiertos siguientes (i) p(x) : x es par

(iii) r(x) : x < 6

(ii) q(x) : x es divisible por tres.

(iv) s(x) : x > 8

(a) Escriba en lenguaje formal los enunciados siguientes y establezca su valor de verdad • ∀x ∈ N : p(x) ∨ q(x)

• ∃x ∈ Z : r(x) → s(x)

(b) Niegue las proposiciones anteriores. 16. Dadas las las funciones proposicionales p(x) : ∃x ∈ R : x2 − 16 = 0

q(x) : ∀x ∈ R : x − 16 < 0

(a) Obtenga el conjunto soluci´on o dominio de verdad de p(x) y q(x) (b) Determine las negaciones de p(x) y q(x). (c) Determine el conjunto soluci´on de la funci´on proposicional [p(x) ∧ (∼ q(x) ∨ p(x))]

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0.3.

Conjuntos

1. Sea A = {a, b, φ} Un conjunto. Diga cu´ales de las afirmaciones son correctas y cu´ ales son incorrectas. Si alguna es incorrecta, diga porqu´e. a) a ∈ A b) a ⊂ A c) φ ⊆ A d ) A ∈ P (A) e) {φ} ∈ A 2. Escribir por extensi´ on los siguientes conjuntos. a) El conjunto de los d´ıgitos. b) {x ∈ N : −1 ≤ x < 5}. c) {x ∈ Z : x es divisor de 20} 3. Escribir por comprensi´ on los siguientes conjuntos. a) X = {2, 4, 6, 8, · · · } b) Y = {3, 6, 9, 12, · · · } c) Z = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} 4. Obtenga el diagrama de Venn, para la figura en cada caso. a) (A − B) ∪ C b) [(A ∪ B) ∩ (B ∪ C)] 5. Sea A = {φ, 0, {0}, {}}. Determine si las siguientes proposiciones son V o F. a) {0} ∈ P(A)

c) φ ⊆ P(A)

e) 0 ∈ A

b) {φ} ∈ P(A)

d ) {0} ⊆ P(A)

f ) #(A) = 3

6. Sea A = {φ, 0}. Determine si las siguientes proposiciones son V o F

7

a) {0} ⊆ P(A)

c) φ ⊆ P(A)

b) {φ} ∈ P(A)

d ) {φ} ∈ P(A)

e) 0 ∈ A

7. Sean U = {x ∈ N/x ≤ 20}, A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, C = {2, 4, 6, 9, 11}. Determinar cardinalidad de: a) A ∪ B

d ) P(B c )

g) A − B

b) A ∩ B

e) P(A ∪ B)

h) P((A ∩ B)c )

c) P(A)

f ) P((A ∩ B) ∪ C)

i ) P(A − B)

8. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5}, E = {3, 5}. Indicar, en cada caso, cu´ ales de estos conjuntos puede ser X, si X satisface una de las siguientes condiciones: a) X y B disjuntos.

b) X ⊂ A y X * C

c) X ⊂ D y X * B

d) X ⊂ C y X * A

9. Reduzca al m´ aximo utilizando identidades: a) [A ∩ (Ac ∪ B)] ∩ [(B ∪ C) ∪ B] b) [(A ∩ B c ) ∪ B] ∩ [A ∪ (Ac ∪ B)] 10. Consultadas 60 personas se encontr´o que: 25 leen revistas pol´ıticas, 26 leen cient´ıficas y 26 de entretenimiento. Se determin´o adem´as que 9 leen revistas pol´ıticas y de entretenimiento, 11 pol´ıticas y cient´ıficas, 8 cient´ıficas y de entretenimiento y 8 no leen revistas. Determinar: a) N´ umero de personas que leen las tres revistas. b) N´ umero de personas que leen exactamente una revista. 11. En una poblaci´ on estudiantil de 10.000 personas el 40 % pertenece a la clase (B)aja. El 50 % a la clase (M)edia y el resto a la clase (A)lta. de los que pertenecen a la clase baja el 5 % son (E)mpresarios, en la clase Media lo son el 40 % mientras que en la clase alta lo es el 95 %. Describa en t´erminos de los conjunto A, B, C, E y M las siguientes situaciones, determinando la cardinalidad en cada caso. a) Empresarios de clase Alta. b) No es empresario. c) Es Empresario o es de clase Media. 8

12. Se realizo una encuesta a 200 alumnos de Ingenier´ıa en diversas diciplinas acerca de la forma en que ocupaban su tiempo libre. 30 dicen que s´olo leen, 60 dicen que s´olamente escuchan m´ usica, 20 dicen que s´ olo estudian, 16 dicen que leen y escuchan m´ usica, 50 dicen que estudian, 16 dicen que escuchan m´ usica y estudian y 8 hacen las tres cosas. De acuerdo a la encuesta, responda las preguntas: a) Grafique la informaci´ on b) ¿Cu´ antos s´ olo leen o estudi´an? c) ¿De los que opinan, cu´ antos dicen que no leen? d ) ¿Cu´ antas personas no contestan alguna de estas tres alternativas? e) ¿Cu´ antas personas escuchan m´ usica, pero no leen? f ) ¿Cu´ antas personas estudian y escuchan m´ usica, pero no leen? 13. En una elecci´ on de directorio de una empresa asistieron 595 de un universo de 703 accionistas. Seg´ un los estatutos de la empresa cada accionista recibe una papeleta con los nombres de todos los candidatos y en donde el accionista marcar´a, si lo desea, hasta dos preferencias. De los resultados de la elecci´ on se determin´o la siguiente informaci´on referente a las tres primeras mayor´ıas. El candidato A obtuvo 324 preferencias, 47 de los accionistas s´olo votaron por A, 203 votaron por A y no por B, 164 votaron por C y B, 358 votaron por C y 42 votaron s´olo por B. Determinar: a) ¿Qui´en obtuvo la primera mayor´ıa? b) ¿Qui´en obtuvo la segunda mayor´ıa? c) ¿Cu´ antos votaron por dos candidatos? d ) De todos los asistentes,¿cu´antos no votaron por C? e) ¿Cu´ antos s´ olo votaron por C? f ) ¿Cu´ antos de los asistentes no votaron por ninguno de los tres? g) ¿Cu´ antos accionistas no se hicieron presente? h) ¿Cu´ antos accionistas votaron por los tres candidatos? 14. Se investig´ o un grupo de 5500 personas en relaci´on con la estrategia a seguir con objeto de conservar el combustible. De ´estas, 200 opinaron que lo aceptable era el racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado ser´ıa fijar un impuesto adicional por litro, y 750 personas indicaron 9

que lo apropiado ser´ıa la aplicaci´on de ambos procedimientos. El resto de las personas no aceptan ninguno de los dos sistemas. determinar: a) Un diagrama de venn, que resuma lo anterior. b) ¿Cu´ antas personas aceptar´ıan en forma voluntaria el racionamiento pero no el impuesto? c) ¿Cu´ antas personas no aceptar´ıan en forma voluntaria ninguno de los dos cursos de acci´ on? 15. Determinar P(E) y P(P(E)) para un conjunto de dos elementos. 16. Se entrevistan 100 estudiantes para un cierto trabajo, 33 conocen el lenguaje Fortran, 29 conocen el Lenguaje Pascal, 22 conocen el Lenguaje C, 13 Fortran y Pascal, 6 Pascal y C, 14 Fortran y C, y 6 conocen los tres. a) ¿Cu´ antos estudiantes no conocen estos lenguajes? b) ¿Cu´ antos conocen Fortran y Pascal, pero no C? c) ¿Cu´ antos conocen Fortran o Pascal, pero no C? 17. De 100 alumnos de Ingenier´ıa 60 son de Concepci´on, 50 tienen una edad mayor o igual a 19 a˜ nos. Si 20 no son de Concepci´ on y son menores de 19 a˜ nos. ¿Cu´antos alumnos de Concepci´ on tienen una edad mayor o igual a 19 a˜ nos? 18. Se sabe que de un grupo de 20 personas, 10 estudian m´ usica, 7 estudian fotograf´ıa, 4 estudian pintura, 4 estudian m´ usica y fotograf´ıa 3 estudian m´ usica y pintura, 2 estudian fotograf´ıa y pintura y 1 estudia las 3 artes. ¿cu´antos estudian s´olo fotograf´ıa? ¿Cu´antos estudian s´ olo pintura?

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0.4.

Operaciones con Polinomios

1. Calcular P + Q + R, P − Q + R y Q + R − P en los siguientes casos: a)

P (x) = 2x3 − 3x2 + 4x − 7

b)

P (x) = 4x3 + 2x2 − 5x4 + 6x + 1

Q(x) = −x3 − 2x2 − 2x + 3

Q(x) = 3x4 − 3x − 2 − 12x2 + x3

R(x) = x3 + x2 − 6x + 2

R(x) = −10x4 + 5x3 − x2 + 14

2. Realizar las siguientes multiplicaciones: a) (x2 − 3x + 1) · (x + 4)

c) (5x4 + 3x3 − 2x2 − 3x) · (2x2 + 2x + 1)

b) (x4 − 7x2 − 3) · (x2 − 3)

d ) (7x3 − 3x2 − x + 1) · (2x2 + 2)

3. Efect´ ua las siguientes operaciones con polinomios: a) 3(3x4 − 3x2 ) − 4(5x3 − 4x2 + 2)

c) 3/2(2x3 − 5x2 + 1)

b) 2x3 (3x2 + 4x + 5)

d ) (x3 + 1)(3x2 − 2)

4. Efectuar las siguientes divisiones: a) P (x) = 6x6 + 4x5 + 3x3 − 2 entre Q(x) = x3 + 6 b) P (x) = 4x3 − 23x − 5 entre Q(x) = 2x − 5 c) P (x) = 2x3 − x + 8 entre Q(x) = 3x + 1 d ) P (x) = x6 − 2x5 + 2x + 5 entre Q(x) = x − 2 5. Halla el cociente y el resto de cada una de las divisiones siguientes: a) 7x4 − 2x2 − 24 : x + 4

d ) x6 + y 6 : x − m

b) x5 + 1 : x − 1

e) x7 − m7 : x + m

c) x3 + y 3 : x − y

f ) x7 + y 7 : x + y

6. En una divisi´ on de polinomios se conoce el dividendo P , el cociente C y el resto R. Calcular el divisor Q. P (x) = 6x5 + 4x4 − 13x3 + 8x2 + 11x − 14;

11

C(x) = 3x2 + 2x − 5;

R(x) = x2 + 1

7. Al dividir el poliomio 3x4 + 5x2 − k entre x + 3, queremos que se obtenga un resto igual al coeficiente del segundo t´ermino. ¿Qu´e valor deberemos dar a k? 8. Calcula cuanto ha de valer m en los polinomios siguientes para que sean exactas las divisiones: a) 5x3 + 9x − m : x + 2

d ) 9x3 − 4x + p : x − 7

b) 12x5 − m : x + 13

e) 8x4 + mx2 − 5x : x + 1

c) x4 − 5x2 − m : 2x + 2

f ) x5 + 4mx2 − 2 : x − 3

9. sin efectuar la divisi´ on, averigua cuales de los polinomios siguientes son divisibles por x + 2. a) x3 + 8

b) x5 − 32

c) x6 − 64

10. Haciendo uso de la regla de RUFFINI, halla el cociente y el resto en las siguientes divisiones. a) 3x5 + 6x3 − 7x2 + 2x − 7 entre x − 3

c) x5 entre x − 4

b) x4 − 7x2 + 9x − 1/2 entre x + 1/3

d ) 3x2 − 6x + 5 entre 6x + 5

11. Siendo P (x) = 3x3 − 2x + 1, indicar si los siguientes n´ umeros son ra´ıces de P (x). a = 2; b = −1; c = 3; d = 0. 12. Hallar el valor de k para que los polinomios P (x) sean divisibles por los binomios Q(x) en los siguientes casos: a) P (x) = x2 − 6x + k;

d ) P (x) = 3x5 − 8x3 + kx − 20;

Q(x) = x + 3

b) P (x) = x3 − 3x2 + 2x + k;

Q(x) = x + 2

c) P (x) = x3 −9x2 +kx−32;

Q(x) = x−4

Q(x) =

x−2

13. Para que el polinomio x3 − mx2 + x + 6 sea divisible por x + 2, ¿C´omo hallar´ıas el valor de m? 14. Halla el valor de k para que el polinomio x3 + 2x2 − 3x + k sea divisible por x − 3 15. Calcula cu´ anto ha de valer k en los polinomios siguientes para que el resto de las divisiones sea −8:

12

a) 9x4 + 2x3 + k : x − 5

b) 13x5 − k : x − 5

c) 2x5 − 4x + k : x − 2

16. Halla el valor que hay que dar a m en la expresi´on 2x3 − 5x2 + x + m, para que al dividirla por x − 2, se obtenga de resto 6. 17. ¿Qu´e relaci´ on debe haber entre m y n para que x2 + 2mx − 4n − 4 sea divisible por x − 2? 18. Calcula los valores de m y p de manera que el polinomio mx3 + px2 − 9x + 18 se anule cuando se remplaza x por 2 y cuando se sustituye x por -3. 19. Calcula los valores de m y n para que sea exacta la divisi´on siguiente: x4 − 5x3 + 4x2 + nx − m : x2 − 2x + 3 20. Hallar un polinomio de quinto grado cuyas ra´ıces sean 1, -1, 1, -2, 1/4 y tal que su valor num´erico en 0 sea 16. 21. Escribir un polinomio cuyas ra´ıces sean: a) 3, 2, -1

b) 0, 3, -1, 1

c) 2 (doble), 3

d ) 1, 4/3, -2

22. Escribir un polinomio de grado 3 cuyos ceros sean: a) -1, 2

b) 0

c) 2, 3, -1

23. Factorizar los siguientes polinomios: a) x5 + 3x4 − 5x3 − 19x2 + 20

d ) x4 − 3x3 − 8x2 + 12x + 16

b) x4 − 7x3 + 7x2 + 6x

e) 8x3 − 4x2 − 10x − 3

c) 4x5 + 7x4 − 7x3 − 10x2

f ) x4 + x3 + 5x2 − x − 6

24. Factorizar los siguientes polinomios: a) 5x5 + 3x3 − 15x

e) x4 − 5x2 + 4

b) x4 + 8x3 + 13x2 − 30x − 72

f ) x4 + x3 − 5x2 + 4x − 1

c) 15x3 + 23x2 − 16x − 4

g) x6 − 64

d ) x3 − 3x2 + 3x + 1

h) x3 − 7x − 6 13

i ) x3 − 6x2 + 11x − 6

q) x5 − 2x4 − x + 2

j ) x3 − x2 − 10x − 8

r ) 2x4 + 7x3 + 4x2 − 7x − 6

k ) 9x2 − 6x − 15

s) x4 + 4x3 − 4x2 − 16x

l ) x2 + 6x + 8

t) x3 + 12x2 + 47x + 60

m) x3 − 3x2 − 7x + 9

u) x5 − 13x3 + 36x

n) x3 − 4x2 + x + 6

v ) 2x2 + x + 2ax + a

n ˜) x3 − 6x2 − x + 30

w ) ax3 y − axy 3

o) x3 + 2x2 − 9x − 18

x ) x2 − 4x + 5

p) x5 + 5x4 + 5x3 − 5x2 − 6x

y) 4x2 + 4x − 8

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0.5.

Geo-anal´ıtica

1. Determine las coordenadas de los puntos A; B ; C ; D ; E y F y el ´area del tri´angulo AB C en el siguiente diagrama coordenado. (Sugerencia: Calcule el ´area del rect´angulo C D E F y r´estele el ´ area de los tri´ angulos ABE; BC F y ACD ).

2. Determine el per´ımetro del tri´angulo ABC del ejercicio anterior. (Sugerencia: Aplique el teorema de Pit´ agoras a los tri´ angulos ABE; BCF y ACD). 3. Determine el ´ area y las coordenadas de los v´ertices A; B; C; D; E y F del hex´agono regular ABCDEF cuyo lado mide a en el siguiente diagrama coordenado.(Sugerencia; Use el hecho de que la distancia del centro a cualquier v´ertice de un hex´agono es igual a la longitud de su lado).

4. Sean A (2, 3); B (1, 1) y C (4, 2) tres puntos en el plano cartesiano. Encuentre los puntos D; E y F; tales que ABCD; AEBC y ABFC son paralelogramos. 5. Calcular el per´ımetro y el ´ area del pol´ıgono cuyos v´ertices son los puntos A (-4, 1), B(3, -3), C(0, 0) y D(3, 4). 6. Determine un punto que equidiste de los puntos A (-1, 3), B(2, 0) y C(4, 2). 7. Encontrar un punto C tal que AC=2/3 AB; en donde A=(-3, 2) y B=(3, -4). 15

8. En un tri´ angulo, un segmento que une a un v´ertice con el punto medio del lado opuesto, se llama mediana del tri´ angulo. Calcule la longitud de las medianas del tri´angulo con v´ertices A(2,-1), B(3, 2) y C (-1, -1). 9. Demuestre que (4, 1) ; (-3, 2); (5, 4) y ( - 4, -1) son los v´ertices de un paralelogramo. 10. Muestre que (5, 5); (6, 13); (9, 7) y (2, 11) son los v´ertices de un rect´angulo. 11. Obtenga la ecuaci´ on de la mediatriz del segmento de recta cuyos extremos son (2, 6) y (-4, -2). 12. Obtenga la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto (1, -3) y es paralela al eje de las X. 13. Una recta es perpendicular al segmento con extremos A (-3, 2) y B (3, -4) por el punto P que divide al segmento de A hacia B en la raz´on 1/2. Encuentre su ecuaci´on.

0.6.

Pr´ actico 5

I.- En cada caso aplique los conceptos de Progresi´on Aritm´etica y Geom´etrica 1. Encontrar el t´ermino general de una P.A., en la que a7 = 11 y d = 3. 2. Interpolar cinco medios geom´etricos entre −4 y 8 3. C´alcular la suma de los 20 primeros t´erminos de una P.A., en que el primer t´ermino es 3 y la diferencia entre dos t´erminos consecutivos es 4. 4. Un oficial al mando de 5.050 soldados, les ordena formarse en una disposici´on triangular para una exhibici´ on, de manera que la primera fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres y as´ı sucesivamente. ¿Cu´ antas filas tendr´a la formaci´on? 5. Encontrar el quinto t´ermino de una P.G., si el primero es 3 y la raz´on es 4. 6. Interpolar seis medios geom´etricos entre

1 3

y 729.

7. Encontrar el n´ umero de t´erminos de una P.G. en que el primero es 1, la suma es 9.331 y la raz´on es 6.

16

II.- Aplica las propiedades que corresponda y calcula las siguientes sumatorias y productorias: 12 21 15 40 X X X X 2 2 k (2k) (6k + 4k) (2k − 1) k=1

Π94

i2 (i + 1)2

k=1

k=1

Π61 3−i

Π1−2

k=1

i i+3

Π41

1+j j+2

III.- Desarrolla las siguientes potencias de binomios y escribe el resultado en forma ordenada. (1 − a2 )3

(3x2 − 2y 3 )5

IV.- Encuentra el t´ermino que se indica, del desarrollo ordenado del binomio.   1 6 2 o 7 a) 5 t´ermino de (3a + 2b) b) T´ermino central de a + 2 a

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´ ´ PRACTICO AUTONOMO

I.- Progresiones Aritm´eticas y Geom´etricas

1. Calcular el t´ermino que ocupa el lugar 20 en la P.A. 3, 7, 11, 15, · · · 2. ¿Cu´ antos t´erminos tiene una P.A. finita, si los dos primeros son 4 y 9, y el u ´ltimo es 44? 3. En una progresi´ on aritm´etica el quinto t´ermino es 22 y el octavo 34. Calcula la suma de los 60 primeros t´erminos. 4. Encontrar el n´ umero de t´erminos de una P.A. que debe considerarse para que su suma sea 304, si el primer t´ermino es 4 y la diferencia aritm´etica es 2. 5. Calcular la suma de los 5 primeros t´erminos de la P.G. 4, 16, 64, 256, 1.024, 4.096, · · · 6. El medio geom´etrico de dos n´ umeros positivos es 4. ¿Cu´ales son los n´ umeros, si uno de ellos es el cu´ adruplo del otro?

II.- Aplica las propiedades que corresponda y calcula las siguientes sumatorias y productorias:

17 X

(k 2 + k + 3)

10 X

(k + 2)3

50 X

(2k − 1)2

k=6

k=3

k=20

Π20 1 (5 + j)

Π61 2i

Π41 (8xk )

III.- Encuentra el t´ermino que se indica, del desarrollo ordenado del binomio. 10  3 3 o −x ii) 3er t´ermino de (1 + sen2 (x))9 i) 4 t´ermino de x2 IV.- Desarrolla las siguientes potencias de binomios y escribe el resultado en forma ordenada. (m + n)4

(2x + 1)7

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