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UNIVERSIDAD DISTRITAL FACULTAD PROBABILIDAD Y ESTADISTICA 2015-3. [email protected] Grupo: estadisticayprobabilidades2015-3 en yahoo.es

GERMÁN MONTEZUMA

GUIA 8 TEMA: Probabilidad Condicional e Independencia OBJETIVO: Identificar y aplicar una probabilidad condicional y eventos independientes en la resolución de problemas. Probabilidad Condicional. La probabilidad de que ocurra un evento A, cuando se sabe que a ocurrido el evento B se denomina Probabilidad Condicional, se denota como: P( A B) (probabilidad del evento A dado el evento B) y se define como: P( A  B) ; donde P(B) se le llama probabilidad del evento B P( A B) = P( B) condicional. (Ver figura 1). Si el espacio muestral S es finito equiprobable, entonces se cumple: A B B A B P( A  B)  ; P( B)  , entonces P( A B)  S S B donde : A  B  número de elementos de la int er sec ción entre A y B S  número de elementos de S y B  número de elementos de B

A1

S A

B

A2

....

S

B

An Figura 1 Figura 2 Regla del Producto. De la probabilidad condicional se pude despejar la probabilidad de la intersección entre A y B. obteniendo la llamada regla del producto: P( A  B)  P( B).P( A B) . La cual se puede extender par n eventos. Teorema de Bayes. Sea B un evento cualquiera de S y los eventos A1 , A2 ,.... An que forman una partición de un espacio muestral S, es decir:  Ai , con i= {1,2,…,n} son mutuamente excluyentes (la intersección es vacia).

 La unión de todos los Ai es igual al espacio muestral S. Entonces la probabilidad de ocurrencia del evento A, una vez ocurrido el evento B se denota y define como: P( Ai  B) P( Ai ) P( B  Ai ) P( Ai  B)   P( B) P( A1 ) P( B  A1 )  ...  P( An ) P( B  An ) (Ver figura 2) Eventos Independientes. Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de B no influye en forma alguna en la de A, es decir:  Si la probabilidad del evento A dado el evento B es igual a la probabilidad de A. P( A B) = P(A)  Si la probabilidad de la intersección entre A y B es igual a el producto de sus probabilidades. P( A  B)  P( B).P( A)  El muestreo se hace con sustitución. Eventos Dependientes. Los eventos A y B son dependientes si: P( A  B)  P( B).P( A B)   El muestreo de hace sin sustitución Ejercicios: 1. 2.

3.

Se lanzan 3 monedas corrientes. Si aparecen dos caras y un sello, determinar la probabilidad de que aparezca una cara exactamente. A una persona se le reparten 5 cartas rojas de una baraja corriente de 52 de cartas. ¿Cual es la probabilidad de que todas sean de la misma pinta, esto es, corazones o diamantes? Se escogen al azar dos dígitos diferentes entre los dígitos del 1 al 9. i. Si la suma es impar, ¿Cuál es la probabilidad de que dos sea uno de los números escogidos? ii. Si dos es uno de los dígitos seleccionados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea impar?

4.

Una clase tiene 10 niños y 5 niñas. Se escogen 3 estudiantes de la clase al azar, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que: i. Los dos primeros sean niños y la tercera sea niña. ii. El primero y el tercero sean niños y el segundo sea una niña. iii. El primero y el tercero sean del mismo sexo y el segundo del sexo opuesto.

5.

En cierta ciudad, 40% de la población tiene cabellos castaños, 25% tiene ojos castaños y 15% tiene ojos y cabellos castaños. Se escoge una persona al azar: i. Si tiene cabellos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que también tenga ojos castaños? ii. Si tiene ojos castaños, ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños? iii. ¿Cual es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

6.

Sea S = {a, b, c, d, e, f} con p(a) = 1/16, p(b) = 1/16, p(c) = 1/8, p(c) = 1/8, p(d) = 3/16, p(e) = 1/4, p(f) = 5/16. Sea A = {a, c, e}, B = {c, d, e, f}, C = {b, c, f,}. Hallar:

i. ii. iii. iv.

P(A|B) P(B|C) P(C|A’) P(A’|C)

7.

Se nos dan dos urnas como sigue: Una urna A contiene 5 bolas rojas, 3 blancas y 8 azules. La otra urna B contiene 3 bolas rojas y 5 blancas. Se lanza un dado corriente; si aparece el 3 o el 6, se escoge una bola de B; de lo contrario la bola se escoge de A. Hallar la probabilidad de que: i. Se escoja una bola roja. ii. Se escoja una bola blanca. iii. Se escoja una bola azul.

8.

Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una bola al azar, se descarta y se colocan dos bolas del otro color en la urna. Luego se sacan de la urna una segunda bola. Hallar la probabilidad de que: i. La segunda bola sea roja. ii. Ambas bolas sean del mismo color.

9.

Una caja contiene tres monedas, dos de ellas corrientes y una de dos caras. Se selecciona al azar una moneda y se lanza dos veces. Si aparece ambas veces cara, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda sea la de las dos caras?

10.

Una caja A contiene nueve cartas numeradas de 1 a 9, y otra caja B contiene 5 cartas numeradas de 1 a 5. Se escoge una caja al azar y se saca una carta; si la carta indica un número par, se saca otra carta de la misma caja; si la carta es de número impar, se saca una carta de la otra caja. i) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas muestren números pares? ii) Si ambas cartas muestran números pares. iii) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas tengan números impares?

11.

Una caja contiene tres monedas, dos corrientes y una de dos caras. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. Si sale cara se lanza la moneda de nuevo; si sale sello, entonces se escoge otra moneda entre las dos que quedan y se lanza. i) Hallar la probabilidad de que salga cara dos veces. ii) Si se lanza la misma moneda dos veces, hallar la probabilidad de que sea la moneda de dos caras. iii) Hallar la probabilidad de que salga sello dos veces.

12.

Una caja contiene 5 tubos de radio de los cuales 2 son defectuosos. Se prueban los tubos uno tras otro hasta que se descubren dos defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de que se suspenda el proceso en la: i) Segunda prueba? ii) Tercera prueba?

13. 14.

Probar: si A y B son independientes, entonces A y B’ son independientes. Una urna A contiene 5 bolas rojas y 3 blancas, y una urna B contiene 2 rojas y 6 blancas. i) Si se saca una bola de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color?

ii) Si se sacan dos bolas de cada urna, ¿cuál es la probabilidad de que todas las cuatro bolas sean del mismo color? 15

Suponga que A, B, C son eventos independientes. Comprobar que cualquiera de las combinaciones: A’, B, C; A, B’,C; …; A’, B’ ,C’ son también independientes. Además comprobar que A y B U C son independientes y así sucesivamente. 16. Un equipo gana (W), con probabilidad 0.5; pierde (L) con probabilidad 0.3; y empata (T), con probabilidad 0.2. El equipo juega dos veces. i) Determinar el espacio muestral S y las probabilidades de los eventos elementales. ii) Hallar la probabilidad de que el equipo gane una vez por lo menos. 17. En una universidad se realizo un estudio para determinar que relación existe entre la habilidad matemática y el interés por la misma. Se determina la habilidad y el interés de 150 estudiantes con los resultados de la tabla siguiente: INTERES HABILIDAD

ESCASA PROMEDIO MUCHA TOTAL

ESCASO 40 15 ? 60

PROMEDIO ? ? 10 ?

MUCHO 12 ? 25 55

TOTAL ? 50 ? 150

Si se escoge a azar un participante del estudio. Cuál es la probabilidad de: I. Elegir a una persona que tenga un escaso interés por la matemática? II. Seleccionar a una persona con habilidad promedio? III. Que la persona tenga mucha habilidad para las matemáticas dado que manifieste mucho interés por la disciplina? IV. Que la persona tenga mucho interés en las matemáticas dado que posea una habilidad promedio? V. Si A es el evento de tener escasa habilidad matemática y B el evento de tener mucho interés determinar si A y B son independientes o no. 18.

19.

20.

Tres máquinas A, B y C de una fábrica producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos. Los porcentajes de desperfectos de producción de éstas máquinas son 3%, 4% y 5%.Si se selecciona a azar un artículo, hallar: I. La probabilidad de que el artículo se defectuoso. II. Si el artículo resulta defectuoso, hallar la probabilidad de que el artículo fue producido por la máquina B. En la facultad , 4% de los hombres y el 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura. Además , 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si si se selecciona al azar un estudiante y es más alto que 6 pies .¿Cuál es la probabilidad que sea mujer? Sean las urnas A, B y C, donde A contiene 3 bolas rojas y 5 blancas, B contiene 2 bolas rojas y 1 blanca y C contiene 2 bolas rojas y 3 blancas. Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna. Si la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna A?