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1er Semestre 2015

MATM 037 - Algebra

Gu´ıa de Ejercicios N 6 Funciones Logar´ıtmicas y Exponenciales 1. Encuentre el dominio, imagen, interceptos y las as´ıntotas de las funciones siguientes. Gr´afique. x+2

a) f (x) = log3 (2 + x)

e) k(x) = 5

b) g(x) = log2 (2x

f ) l(x) = 33x+1 + 4

c) h(x) = ln (2

3)

8x)

d ) i(x) = log4 (5x

9)

g) m(x) = 2

2x

h) n(x) = e

x+2

1

+1

2. Calcule el valor de x para las expresiones siguientes. a) log3 x = 243

d ) log 1 x = 81

b) 10x = 35 1 c) log2 =x 64

e) 2log2 x = 5

g) loga a = x p h) aloga x = 2 p i ) loga ax = 3

3

f ) log5 5x = 3

3. Resuelva las ecuaciones exponenciales siguientes. a) 22x

1

c) 22x+1

=4

b) 2x+1 + 2x + 2x

1

= 28

d) 2

3

x

3 · 2x + 1 = 0

e) 43x = 8x + 3

+ 3x+1 = 0

f)

ex e ex + e

x x

=

1 2

4. Resuelva las ecuaciones logar´ıtmicas siguientes. (Recordar que las soluciones de las ecuaciones logar´ıtmicas tienen que comprobarse en la ecuaci´ on original para verificar si el dominio es correcto). a) log3 (x

4) = 2

Resp. 13

b) log (2x + 50) = 2 Resp. 25 3 c) log9 x = Resp. 27 2 d ) log6 (2x

3) = log6 13

log6 3

e) 2 log3 x = 4 log3 8 f ) ln ( 4

Resp. 64

x) + ln 3 = ln (2

x)

g) ln x + ln (x + 4) = ln 15 + ln 3 7 Resp. h) log3 (4x 5) = log3 (2x + 1) 2

Resp. -7 Resp. 5 Resp. 3

i ) log5 (2x + 3) = log5 11 + log5 3

Resp. 15 n) log4 x

j ) log3 (2x

Resp. 6

3) + log3 (x + 3) = 4

k ) log x2 = log x

Resp. 1

l ) log2 (x + 1) = 3 m) log2 x + log2 (x

log2 (x 2) = 3

n ˜) log3 (7

3 log4 2 = log4 5 x)

log3 (1

Resp. 40

x) = 1

o) log5 (x + 14) = log5 x + 2 1)

Resp. 3 p) log3 (x + 4) log3 (x Resp. 4

q) log2 (x

2) = 3

Resp. -2 1 Resp. 2 Resp. 5

1) + log2 (x + 2) = 2

Resp. 2

PROBLEMAS 1. De acuerdo a datos de la ONU en 1970 hab´ıa 3760 millones de habitantes en todo el planeta y hab´ıa una tasa de crecimiento del 2, 3 %. Si el crecimiento de la poblaci´on se explica por la funci´ on P (t) = P (0)ekt , donde P (t) es la poblaci´on en el momento t y k es la tasa de crecimiento de la poblaci´on. a) ¿En cu´ antos a˜ nos se cuadruplicar´a la poblaci´on? b) ¿Cu´antos habitantes habr´ıan habido en 1750 y en 1920, si el modelo es correcto? c) ¿A qu´e tasa deber´ıa crecer la poblaci´on para que se duplicara en 150 a˜ nos? 2. Una poblaci´ on crece de acuerdo al modelo exponencial P (t) = P0 ekt , donde P0 es la poblaci´on inicial, k es la tasa de crecimiento y t es el tiempo medido en a˜ nos. Si en Noviembre de 1985 la poblaci´ on era de 2,4 mil millones y en 18 a˜ nos creci´o 9,3 mil millones. ¿Cu´al es la tasa de crecimiento? 3. El estroncio 90 se utiliza en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo a la ecuaci´on dada por C(t) = C0 e

0,0248t ,

donde C0 es la cantidad inicial (cuando t = 0) y C(t) es la cantidad de estroncio

que quedan despues de t a˜ nos. Si se colocan 400 mg de estroncio 90 en un reactor nuclear. a) ¿Cu´anto de ´este quedar´ a despu´es de 8 a˜ nos?) b) Encontrar la vida media del estrocio 90, es decir, encontrar el tiempo que demora el estroncio en reducir suma masa a la mitad. c) Cu´anto tiempo se necesita para que una cierta cantidad de estrocio 90 no quede sino el 1 % de ´esta. 4. Una cierta cantidad de dinero P (llamada capital) se invierte al r por ciento de inter´es compuesto anualmente, la cantidad de dinero A(t) despu´es de t a˜ nos es dada por A(t) = P (1 + r)t . Si se invierten U S$2,500 al 6 % de inter´es compuesto anual, ¿Qu´e cantidad se obtiene en 5 a˜ nos? 5. ¿Cu´anto tiempo se requiere para que una cierta suma de dinero se duplique si se invierte al 6 % de inter´es compuesto anualmente? 6. El n´ umero de bacterias en un cultivo para un tiempo t est´a dado por N (t) = N0 e2t .

a) ¿Cu´al era el n´ umero de bacterias en el tiempo t = 0. b) ¿Cu´anto tiempo deber´ a transcurrir para que la cantidad de bacterias se duplique? 7. Una ley de curaciones de heridas en vacunos est´a dada por C(t) = C0 e

t/10

siendo C(t) (en cm2 )

el ´area da˜ nada despu´es de n d´ıas y C0 (en cm2 ) el ´area primitiva da˜ nada. Hallar el n´ umero de d´ıas necesarios para reducir la herida a la cuarta parte del ´area da˜ nada. 8. Si un adulto ingiere una pastilla de 100 mil´ıgramos de determinado medicamento, la rapidez R con que el f´ armaco entra al torrente sangu´ıneo t minutos despu´es, se pronostica con R(t) = 5(0,95)t mg/min. El c´ alculo permite demostrar que es posible aproximar la cantidad A del medicamento en la sangre en el tiempo t mediante A(t) = 97,4786[1

R(t)] mg.

a) Estime cu´ anto tardar´ an 50 mg del medicamento en entrar en la circulaci´on. b) Estime los mil´ıgramos del f´ armaco en la corriente sangu´ınea cuando est´a entrando a raz´ on de 3 mg/min. 9. La cantidad de bacterias en cierto cultivo aumenta de 600 a 1800 entre las 7:00 A.M. y las 9:00 A.M. Suponiendo un crecimiento exponencial, la cantidad Q(t) de bacterias t horas despu´es de las 7:00 A.M. est´ a dada por Q(t) = 600(3)t/2 . a) Calcula la cantidad de bacterias en el cultivo a las 8:00, 10:00 y 11:00 A.M. b) Trace la gr´ afica de Q para 0  t  4. 10. Supongamos que un fabricante calcula que un nuevo trabajador puede producir cinco piezas el primer d´ıa de trabajo. A medida que el obrero adquiere m´as experiencia, la producci´on diaria aumenta hasta alcanzar una m´ axima. Supongamos que el n ´esimo d´ıa de trabajo, el n´ umero f (n) de piezas producidas se calcula mediante la f´ormula f (n) = 3 + 20(1

e

0,1n

).

a) Calcular el n´ umero de art´ıculos producidos los d´ıas quinto, noveno, vig´esimo cuarto y trig´esimo. b) Trazar la gr´ afica de f de n = 0 a n = 30 (las gr´aficas de este tipo se llaman curvas de aprendizaje y se usan con frecuencia en educaci´on y psicolog´ıa.) c) ¿Qu´e ocurre cuando n aumenta en forma ilimitada? 11. Algunas instituciones de pr´estamo calculan el pago mensual M , sobre un pr´estamo de L d´ olares, a una tasa de inter´es i mediante la f´ ormula M=

Lk 12(k 1)

donde k = [1 + (i/12)]12t y t es el n´ umero de a˜ nos que el pr´etamo est´a vigente.

a) Encuentre el pago mensual de una hipoteca sobre una vivienda de US$ 90.000 a 30 a˜ nos, si la tasa de inter´es es del 12 %. b) Calcule el total de intereses pagados sobre el pr´estamo del inciso a). 12. En la tabla que sigue se muestra la recaudaci´on del gobierno federal (en miles de millones de d´ olares) para los a˜ nos seleccionados. A˜ no Recaudaci´ on

1910

1930

1950

1970

1980

1990

1995

0.7

4.6

39.4

192.8

517.1

1031.3

1346.4

a) Sea x = 0 correspondiente a 1910. Grafica los datos junto con las funciones f y g; 1) f (x) = 0,809(1,094)x 2) g(x) = 0,375x2

18,4x + 88,1

b) Determine con cu´ al funci´ on, exponencial o cuadr´atica, se obtiene un mejor modelo de la informaci´ on. c) Con la opci´ on del inciso 2) estime gr´aficamente el a˜ no en que el gobierno federal recolect´ o $1 bill´on por primera vez. 13. En 1840, en la Gran Breta˜ na se present´o una epidemia de bovinos llamada epizootia. En la tabla aparece la cantidad estimada de nuevos casos encontrados cada 28 d´ıas. En aquel tiempo, el London Daily hizo la terrible predicci´ on de que los nuevos casos continuar´ıan aumentando indefinidamente; pero William Farr predijo en forma correcta cu´ando llegar´ıan a su m´aximo. De las dos funciones f (t) = 653(1,028)t y g(t) = 54700e

(t 200)2 /7500

una de ellas fue el modelo matem´atico de la predic-

ci´on del diario y la otra fue del modelo de Farr, donde t son los d´ıas, haciendo t = 0 correspondiente al 12 de agosto de 1840 Fecha

Nuevos casos

Ago. 12

506

Sep. 9

1289

Oct. 7

3487

Nov. 4

9597

Dic. 2

18817

Dic. 30

33835

Ene. 27

47191

a) Detemine cu´ al funci´ on es mejor modelo para la predicci´on de Farr. b) Establecer la fecha en que los nuevos casos llegaron al punto m´aximo.

14. La Curva Log´ıstica es la gr´ afica de una ecuaci´on cuya forma es P (t) =

K 1 + Aert

donde K, A y r son constantes positivas. Estas curvas son importantes para describir el crecimiento de una poblaci´ on. En un famoso estudio del crecimiento de protozoarios hecho por Gause, encontr´o que una poblaci´ on de Paramecium Caudata se pod´ıa describir mediante una ecuaci´ on log´ıstica con K = 105 y r = 1, 1244 y donde t se mide en d´ıas. a) Encuentre A si la poblaci´ on inicial era de 3 protozoairos. b) En el estudio, la tasa m´ axima de crecimiento tuvo lugar P (t) = 52. ¿Para qu´e tiempo t ocurri´ o esto? c) Demuestra que, para un largo periodo de tiempo, la poblaci´on descrita por P (t) se aproxima al valor de K. 15. La ley de Beer-Lambert expresa que la cantidad de luz I que penetra a una profundidad de x metros en el mar est´ a dada por I(x) = I0 cx , donde 0 < x < 1 e I0 es la cantidad de luz en la superficie. a) Despeje x de la ecuaci´ on antes dada. b) Si c = 1/4, calcule la profundidad a la que I = 0,01I0 (esto determina la zona donde puede tener lugar la fotos´ıntesis). 16. La f´ormula de inter´es compuesto continuamente est´a dado por A = Ceit donde C es el capital inicial, i es el inter´es anual, t son los a˜ nos en que se invierte C y A es la cantidad de dinero acumulada despu´es de t a˜ nos. Supongamos que se depositan $20.000 en una cuenta del mercado del dinero que paga inter´es a raz´ on de 8 % por a˜ no compuesto continuamente. a) Determine el saldo de la cuenta despu´es de 5 a˜ nos. b) ¿Cu´anto tiempo debe transcurrir para que la cuenta tenga $50.000? 17. La funci´on W (t) = W0 ekt con k > 0 describe el primer mes de crecimiento de cosechas como el ma´ız, algod´ on y frijol de soya. El valor de la funci´on W (t) es el peso total en mil´ıgramos, W0 es el peso en el d´ıa de su aparici´ on y t es el tiempo medido en d´ıas. a) Si para una especie de frijol de soya, k = 0,2 y W0 = 68 mg, haz una predicci´on del peso al t´ermino de 30 d´ıas. b) Si para una especie de algod´ on, k = 0,21 y el peso despu´es de 10 d´ıas es de 575 mg, calcular W0 .