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Guía II –Aplicaciones de la Trigonometría

José E. Mundarain UCAB Guayana Ing. Informática

Topografía 1. Para medir la distancia entre dos puntos A y B, un topógrafo selecciona un punto C que está a 50 m de A y 62 m de B. Si el ángulo ACB es 70,25º, determina la distancia entre A y B. Ciencia natural. Los árboles más altos del mundo crecen en el Parque Nacional Redwood en California; la altura de éstos es mayor que el largo de un campo de fútbol. Encuentre la altura de uno de estos árboles, dada la información de la figura.

Determinación de un paralelogramo. Un paralelogramo tiene lados de 15 y 24 pies, y un ángulo de 40°. Determine las diagonales.

Topografía 2. Para encontrar la longitud AB de un lago pequeño, un topógrafo midió el ángulo ACB de 96°, con AC de 91 yardas, y BC de 71 yardas. ¿Cuál es la longitud aproximada del lago?

Ingeniería. Tres círculos de radio 2.03, 5 y 8.2 centímetros son tangentes uno al otro (véase figura). Encuentre los tres ángulos formados por las líneas que unen sus centros.

Altitud. Un globo aerostático, sobre Tucson, Arizona, es observado de manera simultánea por dos observadores que están a nivel del suelo y en línea con el globo, en los puntos A y B que se encuentran separados 1.75 millas. Los ángulos de elevación se muestran en la figura. ¿A qué altura se encuentra el globo del suelo?

Determinación de distancia. Para determinar la distancia entre dos puntos, A y B, en lados opuestos de un lago, un agrimensor selecciona un punto C que está a 990 pies del A y 225 pies de B, como se muestra en la figura. Si la medida del ángulo en C es 70°, determine la distancia entre A y B.

Triángulos. Resuelva el ∆ABC si:

Topografía 3. Un topógrafo usa un geodímetro para medir la distancia, en línea recta, desde un punto en el suelo hasta la cumbre de una montaña. Con la información de la imagen, calcule la altura de la montaña.

i) A=79º, B=33º, a=7; ii) a=5, b=8, B=110º; iii) a=8, b=3, B=30º; iv) a=14.7, A=29.3º, C=33º; v) A=34º, B=74º, c=5; vi) c=41, A=22.9º, C=55.1º; vii) a=5, b=7, c=6; viii) A=85º, a=6, b=4 Determine el área del ∆ABC si: ix) a=3, b=5, c=6 x) a=10, b=6, C=50º

Agrimensura de un cañón. Dos marcas, A y B, están separadas 80 pies del mismo lado del borde de un cañón, como se muestra en la figura. Un excursionista está ubicado del otro lado del cañón en el punto C. Un agrimensor determina que el ángulo BAC= 70º y el ángulo ABC=65º. a) ¿Cuál es la distancia del excursionista al punto A? b) ¿Cuál es la distancia entre los dos bordes del cañón? (Suponga que son paralelos).

Sombra. Un edificio proyecta una sombra de 20 m de longitud. Si el ángulo de la punta de la sombra a un punto en la parte alta del edificio es de 69° ¿qué altura tiene el edificio? Patriotismo. Una bandera está en la orilla de un acantilado de 50 pies de altura, en la orilla de un río de 40 pies de ancho. Un observador en la orilla opuesta del río mide un ángulo de 9° entre su visual a la punta del asta y su visual a la base del asta. Calcule la altura del asta.

Torre y río. Una torre de 50 pies está a la orilla de un río. El ángulo de elevación entre la orilla opuesta y la punta de la torre es de 37°. ¿Qué anchura tiene el río? Aviones. La longitud de un avión Boeing 747 es de 231 pies. ¿Cuál es la altura del avión, si abarca un ángulo de 2° cuando está directamente arriba de un observador en el suelo?

Carreras. Un coche en una carrera rueda cuesta abajo. Geometría 1. Obtenga la altura y el área del trapecio Con la información de la figura, calcule la distancia total isósceles. d1 + d2 que recorre.

Colina y túnel. Una colina tiene un ángulo de inclinación de 16.2° con la horizontal, y un túnel que atraviesa la colina se inclina un ángulo de 11.3° con la horizontal. Desde un punto a 256 pie hacia abajo del túnel, ¿cuál es la distancia vertical hasta la superficie de la colina?

Edificio. Para determinar la distancia entre dos puntos P y Q en lados opuestos de un edificio, se elige un tercer punto R tal que la distancia de P a R es 120 m y la distancia de Q a R es 140 m. Si el ángulo formado por los segmentos de recta PR y QR es 72.3°, ¿cuál es la distancia de P a Q?

Colina abajo. Un árbol está en una colina y un punto P, a 23 m ladera abajo desde el árbol, el ángulo subtendido por el árbol es de 18.5°. Si la altura del árbol es de 36,5 m. ¿qué ángulo de inclinación forma la colina con la horizontal?

Cometas en vuelo. Un niño está haciendo volar dos cometas al mismo tiempo; tiene 380 pies de cuerda a una de las cometas y 420 pies para la otra. El estima que el ángulo entre las dos cuerdas es de 30º. Aproxime la distancia entre las cometas.

Ancho de un río. Dos puntos, A y B, están en las orillas opuestas de un río. Otro punto, C, está en la misma orilla del río que B, a una distancia de 230 pies de él. Si el ángulo ABC es de 105° y el ángulo ACB es de 20°, calcule la distancia de A a B a través del río. Embarcación. Un barco está de viaje por el océano frente a una playa recta. Los puntos A y B están a 120 millas uno del otro en la orilla, como se ve en la figura. Se encuentra que ∠A =42.3º y ∠B =68.9º. Encuentre la distancia más corta del barco a la orilla.

Avión con altitud. Los ángulos de elevación hacia un avión se miden desde la parte superior y la base de un edificio que tiene 20 m de altura. El ángulo desde la azotea es de 38°, y desde la base es de 40°. Calcule la altitud del avión. Varios Triángulos. Determine el valor de h.

60º

8

35º

40º h 50º

Faro. Un faro está a media milla frente a la costa, e Cometa. Para el cometa que se muestra en la, use la ley de ilumina un punto P de la costa. Exprese la distancia d los cosenos para calcular las longitudes de las dos cañas del faro hasta el punto iluminado P en función del que se requieren para los soportes diagonales. ángulo u.

Colirio. Determine el largo de las piernas y la altura de Triángulos. Determine AB la mujer de la figura, si el ángulo de visión del pervertido es de 22°, la distancia entre el pervertido y la mujer son 3,5 m y el ángulo de depresión hacia los tacones es de 64°. (La Seducción de las Matemáticas Christop Drösser)

B

30 cm C A

E

Farol de alumbrado. Determine el ángulo en el diseño del farol de alumbrado que se ve en la figura.

26º

Área 1. Determie el área del trapezoide.

D

Instalación de Antena. Una antena de 6 pies de alto es instalada en el tope de un edificio, como en la figura. Un cable de retención se va a unir a la punta de la antena en un punto de 10 pies debajo del techo, si el ángulo de elevación del techo es de 28º, entonces, ¿qué longitud de cable se necesita?

Panel solar. Un panel solar tiene un largo de 1,2 m y está posicionado en el techo de un edificio, como en la figura. ¿Cuál es el ángulo de elevación del panel solar?

Planificación de un túnel. Un túnel está previsto para atravesar una montaña, para conectar dos puntos A y B en dos caminos existentes, como se muestra en la figura. Si el ángulo que forman las carreteras en el punto C es de 28º. ¿Cuál es la distancia desde el punto A a B? Encontrar el ángulo CBA y el ángulo CAB.

Drogas. Un barco de traficantes incursiona a 20 kilómetros por hora en un curso que hace un ángulo de 40º con la orilla, como se muestra en la figura. Una hora más tarde, un barco de la marina establece también el curso a 20 kilómetros por hora desde un muelle a 80 millas de la costa para interceptar el barco de contrabandistas. Encontrar el ángulo para el cuál el barco de la marina va a interceptar el barco de traficantes. ¿A qué hora se producirá la intercepción?

Geometría 1. Una zanja para alimentar ganado mide 4 metros de largo y sus secciones transversales son triángulos isósceles, siendo de metro los dos lados iguales (vea figura). (a) Escriba el volumen de la zanja.

Lancha. Una lancha navega 60 millas hacia el Este, luego ajusta su curso hacia el noreste, como se ve en la figura. Después de navegar 80 millas en esa dirección, la lancha se halla a 139 millas de su punto de salida. Describa el rumbo del punto B al punto C.

Navegación. Una carrera de botes corre a lo largo de un curso triangular marcado por las boyas A, B y C. La carrera se inicia con los botes dirigidos al Oeste por 3700 metros. Los otros dos lados del curso están al Norte del primer lado, y sus longitudes son 1700 metros y 3000 metros. Trace una figura que dé una representación visual de la situación y encuentre los rumbos para los dos últimos tramos de la carrera. Geometría 2. Una persona desea comprar un lote triangular con medidas de 510 yardas por 840 yardas por 1120 yardas. El precio del terreno es de $2000 por acre. ¿Cuánto cuesta el terreno? (Sugerencia: yardas cuadradas.)

Distancia. Dos barcos salen de puerto a las 9:00 A.M. Uno de ellos navega con rumbo N 53º O a 12 millas por hora y el otro navega con rumbo S 67º O a 16 millas por hora. Aproxime a qué distancia estarán entre sí al mediodía de ese día.

Geometría 3. Una persona desea comprar un lote triangular con medidas de 1350 pies por 1860 pies por 2490 pies. El precio del terreno es de $2200 por acre. ¿Cuánto cuesta el terreno? (Sugerencia: pies cuadrados.)

Altura de un edificio. Un edificio está al lado de una colina que baja formando un ángulo de 15°. El Sol está sobre la colina, y desde el edificio tiene un ángulo de elevación de 42°. Calcular la altura del edificio, si su sombra mide 36 pies de longitud.

Longitud de una alberca. Una cuerda de 10 pies que hay para medir la longitud entre dos puntos, A y B, en los extremos opuestos de una alberca en forma de riñón, no es lo bastante larga. Se encuentra un tercer punto C tal que la distancia de A a C es de 10 pies. Se determina que el ángulo ACB es de 115°, y que el ángulo ABC es de 35°. Calcule la distancia de A a B.

Brazo robótico. Un brazo robótico bidimensional “sabe” dónde está, porque mantiene registro del ángulo a de su “hombro” y del ángulo b de su “codo”. Como se ve en la figura este brazo tiene un punto fijo de rotación en el origen. El ángulo del hombro se mide en sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje x, y el ángulo del codo se mide en sentido contrario al de las manecillas del reloj, desde el brazo hasta el antebrazo. Suponga que el brazo y el antebrazo tienen 2 de longitud, y que el ángulo b del codo no puede “dislocarse” más allá de 180°. Calcule los ángulos a y b que pongan la mano del robot en el punto (1,2).

Barcos. Dos barcos salen de un puerto a las 7:00 a.m. Uno viaja a 12 nudos (millas náuticas por hora) y el otro a 10 nudos. Si el barco más rápido mantiene un rumbo de N47°O y el rumbo del otro es S20°O, ¿cuál es su separación a las 11:00 a.m. de ese día?

¿Cuánto tardan? Dos barcos salen del puerto al mismo tiempo; uno va a 15 nudos y el otro a 12 nudos. Mantienen rumbos de S42°O y S10°E, respectivamente. Después de tres horas, el primer barco queda varado y de inmediato el segundo barco va en su ayuda. a) ¿Cuánto tardará el segundo barco en llegar al primero, si viaja a 14 nudos? b) ¿Qué rumbo tomará?

Reloj analógico. Las manecillas de un reloj tienen 4 y 5 cm de largo respectivamente. A cierta hora, las puntas de las manecillas se encuentran separadas 8 cm. Si se conoce que la hora es después de la 1:45 pm y antes de las 2:00 pm ¿Qué hora es?

¿Hacia dónde? Dos torres vigía están situadas en las cumbres de las montañas A y B, a 4 millas de distancia. Un equipo de bomberos en helicóptero está en un valle en el punto C, a 3 millas de A y a 2 millas de B. Usando la línea entre A y B como referencia, un vigía ve un incendio en un ángulo de 40° de la torre A, y a 82° de la torre B. ¿A qué ángulo, medido a partir de CB, debe volar el helicóptero para dirigirse hacia el incendio?

Ancho de un cañón. Desde el suelo de un cañón se necesitan 62 pies de soga para alcanzar la cima de la pared del cañón y 86 pies para alcanzar la cima de la pared opuesta. Si las dos sogas forman un ángulo de 123°, ¿cuál es la distancia d desde la cima de una pared del cañón a la otra?

Demostración. En el triángulo ABC el segmento de recta s biseca el ángulo C. Demuestre que la longitud de s está dada por:

Cálculo de un ángulo. Una torre de agua de 30 m de alto se localiza en la cima de una colina. Desde una distancia de 120 m colina abajo, se observa que el ángulo entre la parte superior y la base de la torre es de 8º. Encuentre el ángulo de inclinación de la colina.

𝒔=

𝟐𝒂𝒃 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒂+𝒃

Topografía. Se construirá un túnel por una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones mostradas en la figura 3. Use los datos del topógrafo para aproximar la longitud del túnel.

Área 2. Encuentre el área de:

a)

b)

Tangencia. Tres círculos de radios 4, 5 y 6 cm son Campo triangular. Un campo triangular tiene lados de mutuamente tangentes. Encuentre el área sombreada longitudes 22, 36 y 44 yardas. Encuentre el ángulo más encerrada entre los tres círculos. grande.

Área 3. Determine el área del cuadrilátero

A

30 cm

75º

Medidas. Determine DC B 20º

40º

C

10 cm

D Problema matemático. Dados los puntos en el plano Avioneta. Una avioneta despega de un aeropuerto P1=(0,0); P2=(1,3); P3=(4,-2). Determine todos los elevándose con un ángulo de inclinación de 7,5º. A 2 km ángulos del triángulo, su área y perímetro. del aeropuerto, en línea recta con la pista, hay una torre de 215 m de alto. Determine si la avioneta se estrella con la torre. ¿Ceviana? En un triángulo ABC se tiene que BAP=80º. Colirio 2. Determine la distancia entre el pervertido y la Se traza la ceviana BP (P en AC), tal que PBC=10º, señorita si el ángulo de depresión hacia los tacones es de además AB=PC. Calcule el ángulo BCP. 50º y el de depresión hacia la parte baja de la falda es de 32º. La altura de la señorita es de 1,50 m. (der mathematikverführer - Christop Drösser)

Italia. La famosa Torre Inclinada de Pisa tenía originalmente 110√3 pies de altura. Desde un punto situado a 80+30√19 pies de la base de la torre, se encuentra que el ángulo de elevación de la parte más alta de la torre es de 60º. Encuentre la altura de dicha torre.

¿Acimut? A las 9 a.m. un barco abandona el muelle con un curso de 63.2° a una velocidad de 8 nudos. A las 10 a.m. otro barco deja el mismo muelle con un curso de 108.4° a una velocidad de 10 nudos. A las 12 del mediodía (a) ¿cuál es la distancia entre los barcos? y (b) ¿cuál es el acimut del primer barco con respecto al segundo?