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• Francisco Mancilla

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PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS (para uso de docentes)

MÓDULO III “ALGEBRA”

Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

1

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

I.- INTRODUCCIÓN Como primer paso para el aprendizaje de las matemáticas, es importante darse cuenta de que las matemáticas es más fácil estudiarlas en pequeñas dosis. Si bien esta afirmación es válida en casi cualquier tema, lo es aún más para el caso de las matemáticas. Dos horas de estudio al día es mucho más productivo que 10 horas en un solo día de la semana. Aunque es posible leer dos novelas en un fin de semana para un curso de literatura, es casi imposible ponerse al día en los estudios de dos semanas de matemáticas en un solo fin de semana. El estudio de las matemáticas es acumulativo y la construcción de conceptos se apoya en aquellos previamente adquiridos. También se necesita "tiempo de decantación", es decir, la oportunidad de reflexionar sobre los conceptos y las ideas antes de que otros se presenten. En segundo lugar, se debe tener presente que las matemáticas no son una disciplina para observar, sino una del tipo “hágalo usted mismo” en la cual el estudiante debe asumir un rol activo. Por esta razón los alumnos deben resolver personalmente los problemas que se le presenten, reconociendo que no existe un camino corto hacia el éxito. Para ello, se le deben presentar frecuentemente ejercicios resueltos, por resolver y evaluaciones formativas con el mismo tipo de problemas, cuidando siempre que éstos problemas se ajusten a los aprendizajes y criterios establecidos en el programa de la asignatura. Es importante que, después de haber trabajado un problema, los alumnos lo analicen. Que se enfoquen en los procesos utilizados (no en la respuesta) y que se hagan las siguientes preguntas: ¿Qué conceptos, fórmulas, y reglas apliqué? ¿Qué métodos usé? ¿Qué aprendizajes esperados estoy logrando?. Es importante que en su estudio el alumno explique cada uno de los pasos usando sus propias palabras. De esta manera reforzará la comprensión del problema y le ayudará en el estudio posterior.

II.- PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS Este documento contiene preguntas elaboradas por la Dirección de Evaluación de INACAP, con el objetivo de apoyar a los docentes en la elaboración de las evaluaciones. Todas las preguntas están ajustadas a los criterios de evaluación y a través de ellos a los aprendizajes esperados del módulo III “Algebra” de los programas de matemáticas con código MATBxx de INACAP. En el documento aparecen planteadas las preguntas con 4 alternativas de solución, y de inmediato se muestra su resolución y la alternativa correcta. Si bien las preguntas están planteadas en formato de selección múltiple, la mayoría de ellas son preguntas de aplicación que pueden ser también planteadas como preguntas de desarrollo, en la medida que sigan estando ajustadas a criterio. Para los alumnos, se ha creado otro documento con preguntas de este mismo módulo, todas ellas similares a las aquí presentadas, y en todos los casos ajustadas a criterio. Dicho documento se encuentra publicado en el Centro de Documentación de la asignatura.

Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

2

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

1. El valor de la expresión 2x 2 − y + 3z, si : x = 2 ; y = 0,5; z =

2 es : 3

A) 55 B)

55 10

C)

10 55

D) – 5,5 Resolución 2x 2 − y + 3z = 2 2 − 0,5 + 3 ⋅

2 = 4 − 0,5 + 2 = 5,5 3

ALTERNATIVA B

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

4 3 π ⋅ r 3 el volumen de una esfera. Si el radio es r = u , entonces el 3 2 valor de V es:

2. Sea V =

A)

Dibujo

9 π ⋅ u3 2

B) 4,5 u3 C)

4 π ⋅ u3 3

D)

3 π ⋅ u3 4

r

Resolución 3

V=

4 ⎡3 ⎤ 9 π ⎢ u⎥ = π ⋅ u3 3 ⎣2 ⎦ 2

ALTERNATIVA A

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3

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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

2 3. Sean: a = −2, b = 3 y c = . Luego, el valor de la expresión: 5

A)

5 3ab − a2c 2 es : 5bc

2 5

B) −

11 3

C) −

8 3

D) −

4 5

Resolución

5 2 ⋅ ( −2)2 ⋅ 2 5 2 5⋅3⋅ 5 −18 − 4 = 6 22 11 =− =− 6 3 3 ⋅ ( −2) ⋅ 3 −

ALTERNATIVA B

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4

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Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

1 y c = − 1. 2 (3a2 − 4ab) − (2ac − bc 2 ) es :

4.

Sean:

A) −

a = 3, b = −

Luego,

el

valor

de

la

expresión:

3 2

B)

55 2

C)

77 2

D)

29 2

Resolución 1 ⎡ 1⎤ (3 ⋅ 32 − 4 ⋅ 3 ⋅ − ) − (2 ⋅ 3 ⋅ −1 − ⎢ − ⎥ ⋅ ( −1)2 ) 2 ⎣ 2⎦ 1 ⎡ 11⎤ = (27 + 6) − ( −6 + ) = 33 − ⎢ − ⎥ 2 ⎣ 2⎦ 11 77 = 33 + = 2 2

ALTERNATIVA C

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5

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

⎛3 ⎞ 5. Al reducir la expresión 6xy 4 − (0,5x 2 y + 0,5xy 4 ) + ⎜ x 2 y + xy 4 ⎟ , resulta: ⎝4 ⎠ A) 6,5xy 4 + 0,25x 2 y B) 0,25xy 4 + 6,5x 2 y C) 6,75x 3 y 5 D) 1,625x 2 y 4 Resolución 3 6xy 4 − (0,5x 2 y + 0,5xy 4 ) + ( x 2 y + xy 4 ) 4 4 2 4 = 6xy − 0,5x y − 0,5xy + 0,75x 2 y + xy 4 = 6,5xy 4 + 0,25x 2 y

ALTERNATIVA A

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

6. Al eliminar paréntesis y − {− [ −(p + q) − (p − q)]} − {2p − [(p + q) − (p − q)]} ,

reducir

la

expresión:

se obtiene: A) 4p − 2q B) −4p + 2q C) 2p − 4q D) 2p + 4q Resolución − {− [ −(p + q) − (p − q)]} − {2p − [(p + q) − (p − q)]} = − {− [ −p − q − p + q]} − {2p − [p + q − p + q)]} = − {2p} − {2p − 2q} = −2p − 2p + 2q = −4p + 2q

ALTERNATIVA B Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

6

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Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

7. Al reducir la expresión − [(3x − 4xy + 2y) − (2x − y)] , se obtiene:

A) −5x + 4xy − y B) − x + 4xy − 3y C) x − 4xy + y D) 5x + 4xy − y Resolución

− [(3x − 4xy + 2y) − (2x − y)] = − [3x − 4xy + 2y − 2x + y ] = − [ x − 4xy + 3y ] = − x + 4xy − 3y

ALTERNATIVA B Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

8. Al eliminar paréntesis y reducir la − ⎡⎣( − x 2 + xy − xy 2 ) − (2xy 2 − 3x 2 + 4xy)⎤⎦ , tenemos como resultado:

expresión:

A) 4x 2 − 5xy + 3xy 2 B) 2x 2 − 3xy − 3xy 2 C) −2x 2 + 3xy + 3xy 2 D) −4x 2 + 5xy − 3xy 2 Resolución − ⎡⎣ − x 2 + xy − xy 2 − 2xy 2 + 3x 2 − 4xy ⎤⎦ = − ⎡⎣ 2x 2 − 3xy − 3xy 2 ⎤⎦ = −2x 2 + 3xy + 3xy 2

ALTERNATIVA C

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7

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

9. Sean los polinomios p(x) = x 3 − 4x − 7 y q(x) = x 2 − 2x − 1 , al dividir p(x) ÷ q(x) se obtiene como cuociente: A) –x – 2 B) – x + 2 C) x – 2 D) x + 2 Resolución

(x 3 − 4x − 7 ) ÷ (x 2 − 2x − 1) = x + 2 − x 3 + 2x 2 + x 2x 2 − 3x − 7 −2x 2 + 4x + 2 x−5

ALTERNATIVA D

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

10. Al dividir (9x 2 − 30x + 25) ÷ (3x − 5) resulta como cuociente: A) 5 – 3x B) 5 + 3x C) 3x – 5 D) – 3x – 5 Resolución (9x 2 − 30x + 25) ÷ (3x − 5) = 3x − 5 −9x 2 + 15x − 15x + 25 15x − 25 0

ALTERNATIVA C

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8

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

11. El cuociente que se obtiene al dividir x 2 + x − 2 por x + 2 es : A) x 2 B) x 2 − 1

C) 2x – 1 D) x – 1 Resolución (x 2 + x − 2) ÷ (x + 2) = x − 1 −(x 2 + 2x) −x−2 −( − x − 2) 0

ALTERNATIVA D

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

12. Al dividir el polinomio P(x) = x 3 − 3x 2 + 3x − 1 por el polinomio Q(x) = x − 1, se obtiene como cuociente: A) x 2 − x − 1 B) x 2 − 2x + 1 C) x 2 + 2x − 1 D) x 2 + x + 1 Resolución (x 3 − 3x 2 + 3x − 1) ÷ (x − 1) = x 2 − 2x + 1 − (x 3 − x 2 ) − 2x 2 + 3x −( −2x 2 + 2x) x −1 − (x − 1) 0

ALTERNATIVA B Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

9

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Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

13. Al factorizar la expresión 20a2 + 35ab − 45ac resulta: A) 5(4a + 7b − 9c) B) 5b(4a + 7b − 9c) C) 5c(4a + 7b − 9c) D) 5a(4a + 7b − 9c) Resolución

20a2 + 35ab − 45ac = 5a(4a + 7b − 9c)

ALTERNATIVA D Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

14. Al factorizar la expresión x 4 − 5x 2 − 50 resulta: A) (x 2 + 10)(x 2 − 5) B) (x 2 + 10)(x 2 + 5) C) (x 2 − 10)(x 2 + 5) D) (x 2 − 10)(x 2 − 5) Resolución x 4 − 5x 2 − 50 = (x 2 − 10)(x 2 + 5)

ALTERNATIVA C

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10

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

15. Al factorizar la expresión 2x 2 + 4x − 6 se obtiene: A) 2(x + 3)(x − 1) B) 2(x 2 + 2x + 3) C) 2x(x 2 + 2x − 3) D) 2x(x + 2) + 6 Resolución 2x 2 + 4x − 6 = 2(x 2 + 2x − 3) = 2(x + 3)(x − 1)

ALTERNATIVA A

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

16. Aplicando reglas de factorización a la expresión 4x 2 − 4xy + y 2 el producto que se obtiene es: A) 2x + y 2 B) (2x + y)2 C) (2x − y)2 D) 2x − y 2 Resolución 4x 2 − 4xy + y 2 = (2x)2 − 2 ⋅ (2x)(y) + (y)2 → (2x − y)2

ALTERNATIVA C

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11

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

17. Al factorizar y simplificar la expresión:

m−2 + m−1 ; se obtiene: m−1 + 1

A) 1 B) m C)

1 m

D) m−2 Resolución m−2 + m−1 m−1(m−1 + 1) 1 = = m −1 = m −1 + 1 m −1 + 1 m

ALTERNATIVA C

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12

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

18. Al reducir la expresión:

A)

18 + b 6(3 + b)

B)

18 − b 6(3 − b)

C)

b − 18 6(b − 3)

D)

18 − b 6(b − 3)

b b 9 ; resulta: − + 2 3b − 9 2b + 6 b − 9

Resolución b b 9 b b 9 2b(b + 3) − 3b(b − 3) + 54 − + 2 = − + = 3b − 9 2b + 6 b − 9 3(b − 3) 2(b + 3) (b + 3)(b − 3) 6(b + 3)(b − 3) =

18 − 2b2 + 6b − 3b2 + 9b + 54 −b2 + 15b + 54 −(b2 − 15b − 54) −(b − 18) (b + 3) = = = = 6(b + 3)(b − 3) 6(b + 3)(b − 3) 6(b + 3)(b − 3) 6 (b + 3) (b − 3) 6(b −

ALTERNATIVA D

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13

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

19. Al factorizar y simplificar la expresión

A)

y+3 2y + 4

B)

y −3 2y − 4

C)

y+3 y+2

D)

2y + 6 y+2

3y 2 + 6y − 9 , se obtiene: 6y 2 + 6y − 12

Resolución 3y 2 + 6y − 9 3(y 2 + 2y − 3) (y + 3)(y − 1) y+3 = = = 2 2 6y + 6y − 12 6(y + y − 2) 2(y + 2)(y − 1) 2y + 4

ALTERNATIVA A

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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

20. El resultado de factorizar y simplificar la siguiente expresión algebraica −1

⎡ a2 + 2a + 1⎤ a2 + 4a + 3 fraccionaria: ⎢ 2 ; es: ⎥ ⋅ a2 − 4 ⎣ a −a−2 ⎦ A)

a+2 a+3

B)

a+3 a−2

C)

a+3 a+2

D)

a−2 a+3

Resolución a2 − a − 2 a2 + 4a + 3 (a − 2) (a + 1) (a + 3) (a + 1) (a + 3) ⋅ = ⋅ = a2 + 2a + 1 a2 − 4 (a + 1) (a + 1) (a − 2) (a + 2) (a + 2)

ALTERNATIVA C

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

ab2

21. Al racionalizar la expresión

A)

3ab2

B)

3 2 ab 3

se obtiene:

3

C) 3ab2 D)

ab2 3

Resolución ab2 3

⋅

3 3

=

ab2 3 ( 3)2

=

ab2 3 3

ALTERNATIVA B Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

15

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

22. Al racionalizar la expresión

A)

B)

x−y x+ y

resulta

1 x+y 1 x−y

C)

x− y

D)

x+ y

Resolución

x−y x+ y

⋅

x− y x− y

=

(x − y)( x − y ) 2

x − y

2

=

(x − y) ( x − y ) (x − y)

= x− y

ALTERNATIVA C

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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

23. El resultado de racionalizar

A)

a b− b ab

B)

a b− b a2b

C)

a b −1 ab

D)

a b −1 a2b

a −1 a b

es:

Resolución a −1 a b

⋅

b b

=

a b− b ab

ALTERNATIVA A

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17

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

24. Al racionalizar la expresión

A)

2a a − 2a b a −b

B)

2a a + 2a b a−b

C)

2a a − 2a b a+b

D)

2a a + 2a b a+b

2a

se obtiene:

a− b

Resolución 2a a− b

⋅

a+ b a+ b

=

2a a + 2a b 2

a − b

2

=

2a a + 2a b a−b

ALTERNATIVA B

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18

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

25. Al resolver la ecuación lineal 6x − [5 − (1 − 4x)] = 5x , entonces el valor de x es:

A)

4 3

B)

3 4

C) −

3 4

D) −

4 3

Resolución

6x − [5 − (1 − 4x)] = 5x 6x − [5 − 1 + 4x ] = 5x 6x − 4 − 4x = 5x −4 = 5x x=−

4 3

ALTERNATIVA D

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19

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

26. El valor de x en la ecuación

2x − 3a 11a −2 = 2 es: x + 4a x − 16a2

A) 4a − 1 B) 1 − 4a C) 1 + 4a D) −4a − 1 Resolución

2x − 3a 11a −2 = 2 x + 4a x − 16a2 2x − 3a 11a −2 = x + 4a (x + 4a)(x − 4a) (2x − 3a)(x − 4a) − 2(x + 4a)(x − 4a) = 11a 2x 2 − 11ax + 12a2 −2x 2 + 32a2 = 11a 44a2 − 11a = 11ax 11a (4a − 1) = 11a x x = 4a − 1

ALTERNATIVA A

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20

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

27. Al resolver la ecuación 3(x − 1)2 − (x 2 + 2) = 2(x 2 − 1) − (4x + 3) se obtiene: A) 0 B)

1 3

C) 2 D) 3 Resolución 3(x − 1)2 − (x 2 + 2) = 2(x 2 − 1) − (4x + 3) 3(x 2 − 2x + 1) − x 2 − 2 = 2x 2 − 2 − 4x − 3 3x 2 − 6x + 3 − x 2 − 2 = 2x 2 − 4x − 5 −6x + 1 = −4x − 5 6 = 2x x=3

ALTERNATIVA D

Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

21

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

28. La solución de la ecuación

3 2 4 − = 2 es: x −1 x + 2 x + x − 2

A) – 4 B) 3 C)

1 4

D) 0 Resolución 3 2 4 − = x − 1 x + 2 x2 + x − 2 3 2 4 − = x − 1 x + 2 (x − 1)(x + 2) 3(x + 2) − 2(x − 1) = 4 3x + 6 − 2x + 2 = 4 x+8 = 4 x = −4

ALTERNATIVA A

Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

22

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

29. Los valores de x e y al resolver el sistema de ecuaciones:

3x + 2y = 3m2 − 4n2 2x − y = 2(m2 + n2 )

; son: A) x = m2 ; y = 2n2 B) x = m2 ; y = −2n2 C) x = −m2 ; y = 2n2 D) x = −m2 ; y = −2n2 Resolución 3x + 2y = 3m2 − 4n2 2x − y = 2(m2 + n2 ) 3x + 2y = 3m2 − 4n2 4x − 2y = 4m + 4n ) 2

2

→ 7x = 7m2 → x = m2

Por otra parte : 2m2 − y = 2m2 + 2n2 y = −2n2

ALTERNATIVA B

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23

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

y + z = x + 20

30. El valor de (x + y + z) al resolver el sistema de ecuaciones

2x = 3y − 20 z = 35 − 4x

es: A) 5 B) 10 C) 15 D) 30 Resolución

y + z = x + 20 2x = 3y − 20 →

y + 35 − 4x = x + 20

z = 35 − 4x →

−5x + y = −15 2x − 3y = −20

→

2x = 3y − 20 −15x + 3y = −45 2x − 3y = −20 −13x = −65 x=5

Con lo cual : z = 35 − 4 ⋅ 5 z = 15

−25 + y = −15 y = 10

ALTERNATIVA D

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24

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

(x − 1)(y − 2) = x(y + 3) 31. El resultado del sistema de ecuaciones es: x−y =3 2

A) x = −

14 4 ; y= 3 3

B) x = −

4 14 ; y= 3 3

C) x =

4 14 ; y=− 3 3

D) x =

14 4 ; y=− 3 3

Resolución (x − 1)(y − 2) = x(y + 3) 5x + y = 2 xy − 2x − y + 2 = xy + 3x 4 → → → 6x = 8 x = x−y x y 6 3 − = =3 x−y=6 2 Con lo cual : x−y =6 4 −y =6 3 4 − 3y = 18 −14 = 3y → y = −

14 3

ALTERNATIVA C

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25

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

3(x − y) = z ; se obtiene: 32. Al resolver el sistema de ecuaciones: 4x − 7 = z + 4 2z + 3 = 3y − 6

A) x = −

1 8 25 ; y= ;z= 3 3 9

B) x =

25 1 8 ; y=− ;z= 9 3 3

C) x =

8 25 1 ; y = ; z =− 3 9 3

D) x =

1 25 8 ; y=− ;z= 3 9 3

Resolución 3(x − y) = z

3x − 3y = z

(1)

4x − 7 = z + 4

(2)

2z + 3 = 3y − 6

(3)

→ 4x − z = 11 3y − 2z = 9

z + 11 4 2z + 9 De (3) : 3y = 2z + 9 → y = 3

De (2) : 4x = z + 11 → x =

Re emplazando ambas expresiones en (1) : z + 11 2z + 9 ) − 3 ⋅( )−z = 0 4 3 9z + 99 − 24z − 108 − 12z = 0 3 ⋅(

−27z = 9 1 3 Con esto : 1 − + 11 3 x= 4 z=−

x=

8 3

y= y=

2⋅−

1 +9 3 3

25 9

ALTERNATIVA C

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26

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

33. La expresión literal que interpreta la oración “la tercera parte de un número, disminuido en dos unidades es 20”; se escribe:

A)

x − 2 = 20 3

B)

x−2 = 20 3

C) 3(x − 2) = 20 D) 3(2 − x) = 20 Resolución x − 2 = 20 3

ALTERNATIVA A

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

34. Miguel necesita envasar aceite para motores; para ello dispone de botellas y latas. Cuando empleó 12 botellas y 5 latas logró envasar un total de 45 litros y cuando utilizó 8 botellas y 9 latas, envasó un total de 47 litros. ¿De cuántos litros es la capacidad de cada botella y de cada lata, respectivamente? A) 2 y 3 B) 2,5 y 3 C) 3 y 2,5 D) 2 y 3,5 Resolución x : botellas y : latas 12x + 5y = 45 8x + 9y = 47 −108x − 45y = −405 40x + 45y = 235 → −68x = −170

Con esto : 8 ⋅ 2,5 + 9y = 47 20 + 9y = 47 9y = 27

x = 2,5 litros

y = 3 litros

ALTERNATIVA B Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Módulo 3. Álgebra.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

35. Las edades de dos personas están en razón de 4 : 3. Si la mayor de ellas tiene 9 años más, la edad de la menor es de: A) 45 años B) 36 años C) 27 años D) 18 años Resolución Sean : x = mayor ; y = menor x 4 = → 3x − 4y = 0 y 3 Luego, el sistema de ecuaciones es : Como :

x−y =9 3x − 4y = 0

→

−3x + 3y = −27 3x − 4y = 0

→ − y = −27 → y = 27

ALTERNATIVA C

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

36. Las tres cuartas partes de un número equivalen a la tercera parte del triple del mismo número disminuido en 6. Entonces el número es: A) 33 B) 24 C) 16 D) 8 Resolución

Sea x = número 3 3x − 6 x= 4 3 9x = 4(3x − 6) 9x = 12x − 24 3x = 24 x=8

ALTERNATIVA D Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

28

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

37. Al resolver la inecuación (x + 2)(x + 3) < x 2 − 4x + 5 ; se obtiene: 1⎤ ⎤ A) ⎥ −∞ , − ⎥ 9⎦ ⎦ 1⎡ ⎤ B) ⎥ −∞ , − ⎢ 9⎣ ⎦ ⎡ 1 ⎡ C) ⎢ − , + ∞ ⎢ ⎣ 9 ⎣ ⎤ 1 ⎡ D) ⎥ − , + ∞ ⎢ 9 ⎦ ⎣ Resolución (x + 2)(x + 3) < x 2 − 4x + 5 x 2 + 5x + 6 < x 2 − 4x + 5 1 9x < − 9

1 ]−∞ , − ] 9

ALTERNATIVA A

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29

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

38. El intervalo solución de la inecuación:

2x + 1 x + 2 x − 5 − ≥ + 2 ; es: 2 4 3

4⎤ ⎤ A) ⎥ −∞ , ⎥ 5 ⎦ ⎦ 4⎡ ⎤ B) ⎥ −∞ , ⎢ 5⎣ ⎦ ⎡4 ⎡ C) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣5 ⎣ ⎤4 ⎡ D) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦5 ⎣ Resolución 2x + 1 x + 2 x − 5 − ≥ +2 2 4 3 6(2x + 1) − 3(x + 2) ≥ 4(x − 5) + 24 12x + 6 − 3x − 6 ≥ 4x − 20 + 24 5x ≥ 4 x≥

4 5

4 [ ,+ ∞[ 5

ALTERNATIVA C

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30

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

39. El intervalo solución de la inecuación: 9(x 2 − 1) + (2x − 1) ≤ (3x − 1)2 ; es: 11⎡ ⎤ A) ⎥ −∞ , ⎢ 8⎣ ⎦ 11⎤ ⎤ B) ⎥ −∞ , ⎥ 8⎦ ⎦ ⎤ 11 ⎡ C) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦8 ⎣ ⎡ 11 ⎡ D) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣8 ⎣ Resolución

9(x 2 − 1) + (2x − 1) ≤ (3x − 1)2 9x 2 − 9 + 2x − 1 ≤ 9x 2 − 6x + 1 2x − 10 ≤ −6x + 1 8x ≤ 11 x≤

]−∞ ,

11 8

11 ] 8

ALTERNATIVA B

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31

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

40. El intervalo solución de la inecuación:

x − 1 3 − 2x 1 + < ; es: 3 2 4

11⎡ ⎤ A) ⎥ −∞ , ⎢ 8⎣ ⎦ 11⎤ ⎤ B) ⎥ −∞ , ⎥ 8⎦ ⎦ ⎤ 11 ⎡ C) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦8 ⎣ ⎡ 11 ⎡ D) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣8 ⎣ Resolución

x − 1 3 − 2x 1 + < 3 2 4 4(x − 1) + 6(3 − 2x) < 3 4x − 4 + 18 − 12x < 3 −8x + 14 < 3 11 < 8x 11 1 x ≤1

B)

x+ y ≥1 x −1

Resolución Como el área solución se encuentra entre las rectas (incluyéndolas): a) x = −1 (para cualquier valor de y, x siempre será -1). Entonces la inecuación es x ≥ −1, ya que el área solución se encuentra desde la misma recta y el lado derecho de ella. b) x + y = 1 (los puntos señalados en el grafico se producen en (1,0) (esto es si x = 1, y = 0) y en (0,1) (esto es si x = 0, y = 1). Entonces la inecuación es x + y ≤ 1 ya que el área solución se encuentra desde la misma recta y el lado izquierdo de ella. Finalmente como la solución se produce por la intersección de ambas rectas, el x+ y ≤1 sistema de inecuaciones es x ≥ −1

ALTERNATIVA C

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36

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.

45. Matemáticamente la oración “un número que es mayor que 20 y menor que 130 con éste incluido”, se escribe como: A) 20 ≤ x < 130 B) 20 < x ≤ 130 C) 20 ≤ x ≤ 130 D) 20 < x < 130 Resolución

ALTERNATIVA B

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37

Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.

46. Miguel tiene dinero para comprar a lo más 8 bombones, o bien, 12 caramelos. Como desea comprar a lo menos 6 dulces en total, entonces el sistema de inecuaciones que representa el problema es: x≥8 y ≥ 12 A) x+y≤6

x>8

B)

y > 12 x+y 10 x−y≤7

B)

x + y ≥ 10 x−y 10 x−y