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Guía Docente del

• Recursos didácticos para el docente. • Solucionario de todas las actividades del libro del alumno.

Matemática

6 Primaria

Organización de la Guía del Docente La Guía del Docente de Santillana Interactiva, en el área de Matemática, consta de las siguientes secciones: Más información Mi desempeño como docente

Recursos

Amplía la información del docente sobre algunos conceptos o procedimientos de la unidad.

Invita al docente a reflexionar sobre sus propios logros y desafíos profesionales.

Ofrece recursos de enseñanza adicionales: actividades, ejercicios, preguntas de pensamiento crítico e investigación, pautas para ayudar a pensar y material didáctico.

Sugerencia de temporalización

Sugiere un tiempo aproximado para el desarrollo de la unidad.

Posibles dificultades en la unidad Sugerencia de temporalización

9

Área de figuras planas

Septiembre

Valores

Proporciona pistas para que el docente oriente el trabajo de los estudiantes en las actividades de evaluación.

El decímetro cuadrado (dm2) es la superficie de un cuadrado de 1 dm de lado.

•

El metro cuadrado (m2) es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado.

a) 5 m2 =

c) 0, 08 m2 =

dm2

b) 3, 1 dm = 2

# 10 000 m2

# 100

# 100

dm2

' 100

' 100

cm2

' 10 000

cm

e) 7200 cm2 =

cm2

d) 56400 dm =

2

2

m

2

f) 37000 cm = 2

– El aprendizaje de las fórmulas exige un esfuerzo de atención y comprensión. Al principio puede ayudar a los estudiantes tener en un mural una tabla con las fórmulas, aunque posteriormente convenga que trabajen sin este apoyo gráfico. Al hacer las actividades, conviene que escriban siempre la fórmula que utilizan.

dm2 m

2

Clasificación de los triángulos Por sus lados

Cuando Wangari Maathai estableció una conexión entre la deforestación y las dificultades de las mujeres para satisfacer las necesidades básicas de sus familias, fundó el grupo ecologista Movimiento Cinturón Verde y alentó a las mujeres de su país a organizarse para sostener una acción dirigida a plantar millones de árboles.

Equilátero Tres lados iguales

Isósceles Dos lados iguales

Por sus ángulos

Escaleno Tres lados desiguales

2. Dibuja los siguientes triángulos. a) Rectángulo isósceles b) Acutángulo escaleno

Así llamaban a Wangari Muta Maathai (1940-2011). Ella creó un movimiento que alentó a las mujeres de su país, Kenia, a plantar millones de árboles para evitar la degradación ambiental y, de este modo, mejorar sus vidas. Ella decidió ayudar a las personas a vencer el miedo para defender sus derechos y enfrentarse a la opresión política. Wangari Maathai decía que plantar árboles es plantar las semillas de la paz y la esperanza. Recibió el premio Nobel de la Paz el año 2004.

164

Rectángulo Un ángulo recto

Acutángulo Tres ángulos agudos

Obtusángulo Un ángulo obtuso

c) Obtusángulo isósceles

e) Obtusángulo escaleno

d) Acutángulo equilátero

f) Rectángulo escaleno

• El movimiento creado por Wangari Maathai ha sembrado 50 millones de árboles en Kenia. ¿Qué área estimas que cubren 50 árboles? ¿Y 50 millones? • ¿Qué valor e importancia tienen los árboles para ti?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Cuatro lados iguales. Cuatro ángulos rectos.

Lados iguales dos a dos. Cuatro ángulos rectos.

Cuatro lados iguales. Ángulos iguales dos a dos.

Lados iguales dos a dos. Ángulos iguales dos a dos.

3. Explica. a) ¿Por qué los cuadrados no son rombos?

c) ¿Por qué los cuadrados no son rectángulos?

b) ¿Por qué los rombos no son romboides?

d) ¿Por qué los rectángulos no son romboides?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Vocabulario matemático

165

– Figuras: círculo, cuadrado, polígono regular (cuadrado, decágono, eneágono, heptágono, hexágono, octógono, pentágono, triángulo equilátero), rectángulo, rombo, romboide, trapecio, triángulo. – Elementos de las figuras: altura, ángulo interno, apotema, base, base mayor, base menor, centro, circunferencia, diagonal, diagonal mayor, diagonal menor, diámetro, lado, radio, vértice. – Número r (pi).

Sugerencias metodológicas En la sección Recuerda, repase las equivalencias entre las unidades de superficie (m2, dm2 y cm2). Asegúrese de que los estudiantes comprenden adecuadamente los conceptos de las figuras planas y pueden reconocer sus características y elementos (diagonales, base, altura).

164

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Señala algunas dificultades que pueden tener los estudiantes en el desarrollo de la unidad e indica qué puede hacer el docente para ayudarlos.

– Conceptos de medida: área, longitud, perímetro, unidad de superficie, unidades (centímetro cuadrado, decámetro cuadrado, decímetro cuadrado, hectárea, hectómetro cuadrado, kilómetro cuadrado, metro cuadrado, milímetro cuadrado), superficie.

Clasificación de los cuadriláteros y paralelogramos

La mujer árbol

Más tarde, la causa ambientalista la llevó a luchar contra la opresión política y a favor de los derechos democráticos. Wangari Muta Maathai recibió el premio Nobel de la Paz el año 2004. En su discurso de aceptación del premio dijo que los seres humanos “estamos llamados a ayudar a la Tierra a sanar sus heridas y en, el proceso, a sanar las nuestras, a abrazar la creación entera con su diversidad, belleza y maravilla. Esto sucederá si vemos la necesidad de revivir nuestro sentido de pertenencia a la gran familia de la vida, con la cual hemos compartido el proceso de evolución”. La lucha ecologista de Wangari Maathai está sustentada en la convicción de que solo evitando la degradación ambiental podremos evitar la degradación de la vida humana y conservar la paz.

El centímetro cuadrado (cm2) es la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado.

•

– Algunos estudiantes pueden confundir área y perímetro, tanto en el cálculo como en la unidad de medida utilizada, especialmente en el caso del círculo.

Para pasar de una unidad a otra, usamos el siguiente esquema:

1. Completa.

Wangari Muta Maathai nació en Kenia en 1940 y murió el año 2011. Estudió Biología en Estados Unidos y Alemania y fue profesora en la Universidad de Nairobi, en Kenia.

Sobre las actividades

Unidades de superficie •

Octubre

Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Valores

Explica la relación entre el contexto ético de la unidad y las actividades de la sección de Matemática y valores.

165

Valores

Explica los valores con los que se relacionan el texto inicial y los contenidos de la unidad y proporciona información adicional pertinente.

Vocabulario matemático Tic Área de figuras compuestas. Explicación de formas de calcular el área de una figura compuesta.

Recursos interactivos. Facilita un recurso digital que propone una actividad para consolidar conocimientos.

Proporciona una lista de los términos matemáticos que se utilizan en la unidad.

Sugerencias metodológicas

Proporciona orientaciones y sugerencias didácticas para que el docente explique los contenidos y oriente en las actividades del libro del estudiante.

II

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Las TIC en Santillana Interactiva El uso creciente de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) está modificando las formas de acceder, difundir y generar conocimiento y, por lo tanto, las maneras de enseñar y de aprender. Sin duda, las TIC tienen un gran potencial para apoyar los procesos de aprendizaje, promover la construcción social del conocimiento y desarrollar habilidades que permitan a los estudiantes aprender de forma autónoma y cooperativa a lo largo de toda su vida. La serie Santillana Interactiva es una propuesta innovadora que responde al desafío de incorporar las TIC en el aula de manera sencilla y dinámica, en el marco curricular de la nueva Ley de Educación.

Para el estudiante, Santillana Interactiva presenta un CD de recursos digitales en el que se incorporan actividades interactivas para apoyar, reforzar y ampliar los conocimientos construidos en cada una de las unidades del texto. Las actividades interactivas pueden ser trabajadas al final de la unidad como repaso y cierre de la misma. Para ello, el maestro deberá reservar un periodo mensual en la sala de computación. Asimismo, el estudiante que tenga acceso a una computadora podrá trabajar las actividades en su casa para reforzar las temáticas que se presentan en las situaciones didácticas de cada unidad.

Para el maestro, la serie presenta por primera vez el Libromedia. Este contiene la versión digital del libro del alumno con los vínculos a los recursos TIC que pueden ser usados en computadoras o pizarras digitales. Además, cuenta con diferentes herramientas para trabajar sobre el libro (se puede ir de una página a otra, escribir, subrayar, marcar, buscar palabras, etc.) e incluye recursos digitales con más información del área y de otras áreas, evaluaciones, tutoriales para el uso de diversos programas (Word, Excel, Power Point, etc.) y herramientas para el trabajo del maestro (horario, calendario, registro de control de asistencia, registro de evaluaciones, entre otras).

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

III

Enfoque del área Enfoque del área de Matemática La nueva Ley de Educación Avelino Siñani – Elizardo Pérez nos recuerda la importancia de desarrollar con los niños y niñas un aprendizaje matemático contextualizado, que no se limite a actividades que tengan valor y sentido únicamente dentro de la escuela, sino que puedan vincularse a la vida diaria y a la producción de bienes y servicios para mejorar la calidad de vida de las familias y comunidades bolivianas.

s

ro núme n con Divisió les a decim

7

nte cipalme ero sta prin ernad es solo compue cto inv bono ra está retener o de car de la Tier dióxid pero al ra ósfera oxígeno. El equilib ósfera, La atm y del Sol, esa atm ógeno ción de a recibe por nitr a frac planet el . ueñ en la la vida una peq térmica que bono e posible rgía o de car s, acentúa la ene ra y hac dióxid ana peratu ento de ades hum un cambio la tem e el aum ivid bargo, produc la vida las act y a em ido Sin ese gas cil que era, deb ro de muy difí ana, puedan atmósf invernade que es cto ción hum rápido el efe o tan civiliza climátic e incluso la l, natura él. rse a adapta

El efe

y re 1975 que ent dia estima peratura me • Se do tem 2010, la ha aumenta ºC. erra do te 0,53 de la Ti adamen aumenta aproxim ¿cuánto ha ada es, por déc Entonc ra media ratu la tempe y 2010? s ividade 975 entre 1 las act les son n la bes cuá recienta en • ¿Sa s que ac de carbono ana xido hum d de dió cantida sfera? la atmó da su

llana

©Santi

ia. Ley

1322.

fotocop

S.A. Prohibi

126

RECUERDA Términos y propied

ad fundamental

de

la división Los términos de la división son el dividendo o residuo. Cuan , el divisor, el co do el resto es c ciente y el resto ero, la división e es entera. s exacta; en cas o contrario, La propiedad fundam ental de la división dividendo y el div sostiene que al m isor por un mism ultiplicar o divid o número, el coc queda multiplica ir el iente no varía, p do o dividido po ero el resto r dicho número. dividendo resto

34 $ 3

102 18 (12) 5

34 6 (4) 5

En nuestro enfoque del área de Matemática, recuperamos competencias matemáticas referidas a la comprensión, el razonamiento, la argumentación, la comunicación mediante un lenguaje matemático, el planteo y la resolución de problemas, el uso de operaciones simbólicas, formales y técnicas y el apoyo de herramientas –incluidas las TIC – que permitan desarrollar en los niños y niñas las dimensiones de ser, saber, hacer y decidir, propuestas en el nuevo currículo base.

divisor cociente

6$3

34 ' 2

17 3 (2) 5

6'2

4$3

1. Observa la división 546 24 (18) 22

4'2

resuelta y complet

a la tabla.

Dividendo

Divisor

546

Cociente

La competencia matemática en nuestra serie Santillana Interactiva está referida tanto a la contextualización como a la aplicabilidad de los conceptos y procedimientos matemáticos, enfatizando la indagación y la actuación, condicionada además por elementos prácticos, morales y ciudadanos. Así buscamos consolidar un enfoque dialéctico de aprendizaje y práctica transformadora.

Resto

24

1 092

48

1 638

72

182

8

91

4

Multiplicación de un número

decimal por la unidad

seguida de

Para multiplicar ceros un número decim al por la unidad plaza la coma a seguida de cero la derecha tanto s, se dess lugares como es necesario, se ceros siguen a l añaden ceros a a unidad. Si la derecha. 5, 735 $ 10 = 57 , 35 31, 54 $ 100 = 3 154 0, 93 $ 1000 = 930 2. Calcula.

a) 1, 863 $ 10

e) 21, 84 $ 100

b) 44, 3 $ 10

©Santillana S.A.

Prohibida su

fotocopia. Ley

i) 8, 3 $ 1000

f) 0, 041 $ 100

c) 0, 52 $ 10

j) 2, 448 $ 1000

g) 0, 0076 $ 100

d) 0, 078 $ 10

k) 0, 007 $ 1000

h) 9, 231 $ 100

l) 0, 0425 $ 1000

1322.

127

En cada una de las unidades recuperamos contenidos que van más allá del área misma y nos ayudan a percibir cómo la matemática resulta útil para observar y comprender hechos que tienen que ver con el vivir cotidiano, desde los ámbitos más cercanos y locales hasta aquellos que incumben a espacios y situaciones globales.

tajes n porcen lculos co icipal de ecto mun un proy Otros cá icipan en

gio part es 12 eran de un cole los cual diantes les, de Los estu arces? n 60 árbo n eran ación. los o plantaro les que plantaro reforest 45 % de de sext son el los árbo diantes s, que Los estu é porcentaje de n 18 arce ¿Qu plantaro les plantaron? arces. quinto s: s árbo tes de mna ánto dian colu curso Los estu taron. ¿Cu Quinto ad de dos partes que plan orcionalid x son 100 árboles prop de s como as 45 parte imos tabl 18 son Constru x o curso Sext

s de 60

12 parte

s de 100

12 60

x

' 2, 5

18

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#5

# 2, 5

45

100

'5

100

nalidad:

orcio = 2, 5 e de prop 45 ' 18 curso: constant Quinto os una Calculam 12 = 5 40 o: 60 ' ' 2, 5 = ulada: x = 100 Sexto curs tante calc curso: En e la cons Quinto tados. 100 entr 20 les plan '5 = Dividimos los árbo o: x = 100 20 % de Sexto curs s son el en total. arce los les o curso, n 40 árbo 0 En el sext plantaro 18 $ 100 = 4 curso, = to x 45 el quin curso: Quinto exmos que: idad, se . 12 $ 100 = 20% Observe una cant 100 o: x = 60 esenta iplica por Sexto curs total repr l y se mult una je de un del tota nde a porcenta correspo entaje y respecto ular qué je que fracción porc calc o enta com Para ecto del el porc cantidad ciendo ción resp presa la total cono idad como frac un ular cant esa la Para calc , se expr cantidad a por 100. iplic de 12, 8 se mult g) 3, 2 ,5 . de 302 de 50 la cantidad h) 24, 2 e) 200 esenta que repr de 16 300 entaje f) 5, 4 c) 75 de a el porc % 1. Indic 50 es el 64 150 d) 80 de a) 30 de g) 36, 16 % 0 el 40, 5 16, 5 % es 120 el de es 477 b) 48 h) 9, e) 16, 5 % el 12, 5 l. es el 12% f) 24 es c) 4, 8 ula el tota 1322. 2. Calc a. Ley 64 % 25 % a su fotocopi 80 es el S.A. Prohibid 14 es el

a)

el b) 34 es

5%

d)

ana

©Santill

154

3. Resuelve los problem decimales.

as. Si es pertinen

te, redondea el

resultado a dos

cifras a) En una orquest a sinfónica compue violín. ¿Qué porcent sta por 110 músicos, 30 aje de los músico tocan el s toca

b) De 500 mujeres

el violín? encuestadas, 370 afirman que presa esa cantida les gusta el fútbol. d mediante un porcentaje. Exdinero de las drá que vender ventas que realiza. para ganar Bs ¿Cuánto ten4 800? d) Simón gana Bs 7 500 y paga Bs 1 200 de impues de su salario se va en impues tos. ¿Qué porcent tos? aje e) Orlando vendió su computadora en el 80 % del Si la vendió en precio que pagó Bs 1 250, ¿en por ella. cuánto la compró f) El año pasado ? , Elsa pagó Bs 380 de impues año pagó Bs tos por su vivienda 425,6. ¿En qué . Este porcentaje aument vivienda? ó el impuesto de su g) Este año Sara creció 5 cm, un aumento del 4 del año pasado % respecto de . ¿Cuál es la su estatura estatura de Sara h) Diego es futbolis actualmente? ta y está pesand que su peso ideal o 78 kg. Su entrenador le es de 70 kg. ¿Qué ha dicho Diego? porcentaje de su peso debe perder 4. Resuelve los problemas.

c) Silvia recibe el 12 % del

El aprendizaje matemático, lejos de ser difícil, aburrido o abstracto, puede convertirse en un acercamiento amigable al mundo de los números que derivará en alegría en el pensar y en la apropiación de herramientas para vivir bien en un mundo cada vez más complejo, que pone al alcance nuevas tecnologías pero que requiere mentes lógicas, que comprendan el sentido de las cosas, los algoritmos, las secuencias; que sean capaces de poner en orden los pensamientos y las percepciones del mundo. Este mundo requiere personas que se atrevan a probar estrategias propias y creativas para resolver problemas, que asuman desafíos y puedan argumentar sus razones, que lleguen a conclusiones propias y que estén abiertas a aprender de los errores.

Un libro cuyo precio está rebajado en un 20 % cuesta precio antes del descuento? Bs 105. ¿Cuál era su

Construimos una tabla de proporcionalidad disminuir de 100 . Hay la misma a 80 que en disminu proporción en a 105. ir de x (el precio antes del descuen to) 100 ' 1, 25 x # 1, 25 100 - 20 = 8 0 105 Por lo tanto: x = 100 $ 105 105 = 80 80 $ 100 = 131, 25 Antes del descuen to, el libro costaba Bs 131,25.

a) En una tienda, se

anuncia un descue nto del 28 %. ¿cuánto costaba Si un pantalón cuesta antes del descue nto? de vida, un bebé aumentó su peso mes pesaba 3 en un 32 %. Si 300 gramos, al ¿cuánto pesó al nacer? e problema? Francisca practica atletismo. Tuvo en un 20 %. Si una lesión y su rendimiento ahora corre 100 disminuyó metros en 13,5 corría la distanc segundos, ¿en ia antes de lesiona qué tiempo rse? ahora Bs 153,

b) En su primer mes cabo del primer

5. Investiga. ¿Cómo

©Santillana

S.A. Prohibida

su fotocopia.

resuelves el siguient

Ley 1322.

155

IV

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Taller de Matemática S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

El área de Matemática está compuesta por: Números y operaciones, Geometría, Medidas, Probabilidad y Estadística.

Verificar

Representar la situación Representamos gráficamente la información proporcionada por el enunciado de un problema. Con ayuda de esa representación planteamos los cálculos que necesitamos realizar para encontrar la solución. Laura y Félix han abierto una caja de bombones y se han comido dos quintas partes de todos los bombones que había. Si todavía quedan en la caja 12 bombones, ¿cuántos había al principio en la caja? Laura y Félix se han comido 2 partes de los bombones. Quedan, entonces, 5 3 partes y esas 3 partes equivalen a 12 bombones. Tenemos que averiguar 5 5 cuántos bombones tenía la caja inicialmente.

Números y operaciones

Representaremos la caja de bombones dividida en 5 partes iguales. Señalaremos las partes que Laura y Félix se han comido y las partes que quedan. 1.º Calculamos los bombones que hay en cada parte. En 3 partes hay 12 bombones. _ 12 ' 3 = 4 _ En cada parte hay 4 bombones. 2 5

2 5

3 5

3 (12 bombones) 5

Ampliamos el campo de los números naturales hasta los miles de millón, enfatizando su descomposición y el valor posicional de cada cifra, además de su correcta lectura y escritura numérica y literal. Profundizamos las fracciones y los números decimales, estableciendo relaciones entre ambos para realizar anotaciones y mediciones. En todos los casos, explicamos y ejercitamos los procedimientos y propiedades para las cuatro operaciones aritméticas.

2.º Calculamos los bombones que había en la caja. En 5 partes _ 5 $ 4 = 20 En la caja había inicialmente 20 bombones. Verificamos la respuesta viendo si 3 de 20 son realmente 12: 5 20 $ 3 = 20 $ 3 = 60 = 12 5 1 5 5

(correcto)

1. Dos tercios de los participantes en un concurso

3. Paula prestó cinco sextos de los ahorros que te-

de pintura son mujeres y el resto son hombres. Han participado 14 mujeres. ¿Cuántas personas han participado en el concurso?

4. Miguel quería comprar un juego. Vio que tenía

nía. Si prestó Bs 55. ¿cuánto dinero tenía Paula? tres octavos del precio, pero que le faltaban Bs 75. ¿Cuánto costaba el juego?

2. Pedro tenía inicialmente cierta cantidad de tarjetas. Regaló a su amigo 12 tarjetas y se quedó con cinco sextos de las que tenía. ¿Cuántas tarjetas tenía Pedro?

5. Inventa un problema que se resuelva representando la situación.

98

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Taller de Matemát ica

Patrones geométric os 1. Analiza el

siguiente

mosaico

extraido del

arte islám

ico.

Geometría a) ¿Cuáles son las figura saico? s geométrica s más simp les que forma b) Encuentra n el moun polígono regular de c) Encuentra 6 lados

Partiendo de la observación de objetos y lugares, abstraemos las figuras y cuerpos geométricos, enfatizando en el análisis de sus elementos y dimensiones. Ofrecemos actividades prácticas de trazado de figuras, dibujo de desarrollo de cuerpos y obtención de simetrías, traslaciones y rotaciones.

. un poligono regular de d) Encuentra 12 lados un rombo . formado por más de dos triáng instrument ulos. os geom geométrico étricos repro del mosa ico islám duce algun ico analizado a parte del patró en la activi n más patro dad anter nes geom te muestran ior. étricos y el potencial píntalos. darte ideas artístico y Las siguie para crear decorativo ntes fotog tus propios del arte geom rafías patrones. étrico y pued en

2. Utilizando 3. Crea uno o

Azulejería en la Alhamb España. ra. Granad a,

Estudio geomét rico de azulejo Alhambra s de la de Granad a, España .

©Santillan

a S.A. Prohibida

su fotocopia.

Mosaico del palacio Tash-Ha Arte Islámic o, Jivá, Uzbekis uli. tán.

Ley 1322.

181

logros Evalúa tus ncia 1. Con refere

F

W F

W E

pecto a la

W H

res-

B W B

W A

W C

Las unidades de medida aparecen constantemente en la vida diaria: al medir longitudes, capacidades, masas; al medir el paso del tiempo o el valor de los objetos con el uso de monedas. Utilizando medidas convencionales, los estudiantes aprenderán a dimensionar la realidad y a aplicar el lenguaje matemático para la realización de conversiones y la resolución de problemas prácticos.

r r W D

d)

b) E r

A

los externos. internos y internos, os alternos os y s de ángul b) Las pareja de ángulos alternos extern entes. las parejas os correspondi que las de ángul o sabiendo ángul a de cada que c) La medid paralelas y AB y CD son rectas las S D = 125c . y de longitud de 8,5 cm un segmento 2. Dibuja triz. traza su media y compás. solo regla a) Utilizando dra. regla y escua ndo b) Utiliza su bisectriz. de 54º y traza un ángulo 3. Dibuja y compás. solo regla a) Utilizando r. transportado b) Utilizando de 54º con un ángulo to mide el bisectriz forma ¿cuán una o, Si 4. lados del ángul uno de los ángulo? rica con resla figura simét traza caso 5. En cada O. pecto al punto

r

os a) Los ángul

figura 7. Traza la

simétrica si

la línea

roja es el eje

de simetría.

figura 8. Copia cada !h a) ^5 -, 10

y realiza la

da. traslación indica

.h b) ^12 ", 4

la rotación

figura y realiza

indicada. rario h

b) ^O, 45c antiho

9. Copia cada oh a) ^O, 90c horari

c)

a)

0

Probabilidad y estadística

0

0 0

d)

b)

0 0

©Santillana

56

S.A. Prohibida

su fotocopia.

Ley 1322.

Trata miento de

Histog ramas

En los histog ramas datos agrupa se util izan rec dos. tán

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Número

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30 10

de alum

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10

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0

De 0 o tien De 5 e 6 año a5 De 10 a 10 s y otro De 15 a 15 os alu De 20 tiene a 20 mnos Edad 10. ¿En a 25 tiene edades el gru qué gru po al pueden po est que per á cad tener tenece os alu a uno los alu n los niñ mnos ? mn de la os del os de ©Sant academ illana 12 año grupo S.A. Prohib ia tien menos s? ida su fotoco en pia. Ley num 15 o 1322. eroso? más año s?

b) ¿Cu ánt

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as Problem

lores ática y va de Matem

ees un impr El baobab la aridad. brotan en eto y solid no. Sus hojas no es denso árbol africa el follaje es sionante dimension lluvias, pero raíces. Las e vivir más época de s parecen nentes: pued y las rama a y deab son impo metros de altur 30 del baob etro. zar diám alcan , os de de mil años de 12 metr un tronco sarrollar

lar tronco circu

baobab

rficie es la superficie te esa supe el 30 % de , fundaactualmen rón Verde esde bosques; Movimiento Cintu se ha propu El las rior al 2 %. ari Maathai, por Wang 2 especialmente en do en 1977 km , que son star 50 000 rtas de bosques, to refore depencubie antes , y de las que montañas versidad s de biodi del país. reservorio agua sión de de la provi

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Bajo el título de Tratamiento de la Información, compartimos con los estudiantes varias formas de organizar datos y de mostrarlos de manera matemática utilizando gráficos de columnas, lineales o circulares, pictogramas y tablas de frecuencia. También invitamos a que interpreten este tipo de representaciones, que habitualmente aparecen en periódicos, revistas, enciclopedias y otros materiales de consulta en diferentes áreas del conocimiento.

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En nuestros libros, consideramos que la evaluación acompaña todo el aprendizaje, desde el diagnóstico, durante el proceso mismo y en su finalización. Las actividades del libro y de los recursos digitales permiten realizar una evaluación permanente, al inicio, durante y al cerrar cada unidad didáctica. Cada docente podrá buscar formas de recuperar los avances y dificultades de cada estudiante. Cada tres o cuatro unidades se proponen dos páginas de Repaso Acumulativo que permitirán conocer si algún tema requiere ser reforzado antes de seguir avanzando.

185

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

V

Valores para vivir bien Libertad La serie Santillana Interactiva se orienta a la formación integral de los estudiantes y se enmarca en una visión pluralista de la sociedad, desde la que se rescatan diversos valores universales. Asimismo, responde a las perspectivas de la nueva Ley de Educación Avelino Siñani-Elizardo Pérez, donde se afirma que la educación se sustenta en diferentes valores para vivir bien (Ley No 070, artículo 3, inciso 13). De acuerdo con ello, las propuestas didácticas presentes en los textos se estructuran en torno a las dimensiones del ser, saber, hacer y decidir, con el propósito de potenciar tanto la sensibilidad moral como el desarrollo intelectual y afectivo de los niños y niñas. Específicamente, la formación en valores se trabaja a partir de actividades de reflexión, contextualizadas con los contenidos de cada área y relacionadas con las situaciones de la vida cotidiana. Así, se favorece el desarrollo personal de los estudiantes y su capacidad para relacionarse de manera armónica con su entorno social y natural. A continuación definimos brevemente algunos de los valores que se trabajan en los textos de los diferentes cursos.

Aunque la libertad es una facultad de todas las personas, consistente en la capacidad de optar y decidir, como valor humano se refiere a la capacidad de pensar y actuar resistiendo, o sin tomar en consideración, las diversas presiones e influencias que tratan de dirigirnos en una dirección u otra. Una sociedad libre protege la posibilidad de elección de sus ciudadanos y les proporciona un conjunto de derechos y libertades que estén resguardados de la intervención social o estatal.

Justicia Una persona justa da a cada quien lo que le corresponde y no atenta contra los derechos de otros para obtener algún beneficio. Una sociedad justa protege a las personas para que no se violen sus derechos y garantiza las normas del “debido proceso” en el tratamiento de cuestiones de justicia.

Respeto

Dignidad Una persona digna es respetuosa de las otras personas y demanda de ellas el mismo respeto. Por lo tanto, no denigra a otras personas, no se denigra a sí misma en su relación con ellas y tampoco acepta ser denigrada. Una sociedad que reconoce la dignidad humana entiende que, por encima de cualquier diferencia, todas las personas son merecedoras de igual respeto y de ciertas condiciones de vida y de trato compatibles con la consideración hacia su naturaleza. Por ello, garantiza la vigencia de los Derechos Humanos y genera mecanismos para su protección sin ningún tipo de discriminación.

Igualdad Una sociedad igualitaria proporciona los mismos derechos, responsabilidades, oportunidades y bienes básicos a todos sus ciudadanos. La igualdad exige el acceso universal a la educación, la salud y los servicios básicos.

VI

Una persona respetuosa reconoce ciertos límites en su relación con la naturaleza, los seres vivos y otras personas. Esos límites le prohíben actuar de ciertas formas en consideración del bienestar y la dignidad de otros seres y personas. Una sociedad es respetuosa si el conjunto de sus normas e instituciones y su funcionamiento efectivo expresan el reconocimiento de la dignidad de todas las personas y protegen el entorno de las mismas.

Solidaridad Una persona solidaria tiene la disposición a ocuparse del bienestar de otras y a construir relaciones de cooperación y beneficio mutuo. Una sociedad solidaria busca que el funcionamiento de sus distintas instituciones haga posible el bienestar de todas las personas. Por ello, ofrece servicios de salud y educación a todos, si es necesario redistribuye recursos y utiliza recursos públicos para ayudar a las personas o grupos que requieren un apoyo especial.

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Honestidad

Paz

Una persona es honesta o transparente cuando no busca algún beneficio engañando a otra persona o abusando de ella.

Una sociedad busca la paz cuando respeta la dignidad y los derechos de todas las personas. La paz es la condición y el contexto para que los conflictos puedan ser solucionados de forma justa y no violenta, de manera que no se genere resentimiento en ninguna de las partes.

Una sociedad es honesta si sus instituciones funcionan de tal modo que satisfacen aceptablemente las finalidades para las que han sido creadas.

Tolerancia Una persona tolerante es capaz de admitir y respetar las ideas, las opiniones y las acciones de los demás, aunque no esté de acuerdo con ellas. Una sociedad tolerante protege ampliamente las expresiones de diversidad, libertad e individualidad que son compatibles con el respeto a los derechos de las personas.

Responsabilidad Una persona es responsable cuando cuida de los diversos aspectos que implica la realización de una tarea y tiene disposición a hacerse cargo de las consecuencias de sus acciones.

Autoestima Una persona tiene autoestima (aprecio por sí misma) si cuida de sí y asume constructivamente su vida.

Participación

Autonomía

Una sociedad que promueve la participación crea normas e instituciones que permiten que las personas puedan hacer escuchar su opinión y puedan ser parte de las decisiones que afectan a sus vidas.

Una persona es autónoma si tiene la capacidad de conducir su vida y de definir sus metas de acuerdo con su propio juicio.

Autocontrol Cooperación Una sociedad que promueve la cooperación reconoce el valor del aporte que puede realizar cada persona en la búsqueda de un fin común. Para que un acto sea cooperativo debe existir reciprocidad; sin esta no se puede hablar de cooperación, sino de ayuda.

Reciprocidad Una sociedad manifiesta el valor social de la reciprocidad cuando tiene instituciones de servicio mutuo por las cuales cada persona se compromete a colaborar a las otras cuando así lo requieran y, por tanto, puede también contar con la cooperación de ellas.

Una persona tiene autocontrol o templanza si es capaz de ordenar y controlar sus acciones para encaminarlas hacia una meta valiosa.

Amistad Una relación de amistad se basa en el afecto personal desinteresado y recíproco. Un amigo nunca busca dominar al otro, sino que se preocupa por su bienestar.

Valentía Una persona es valiente si persigue fines nobles a pesar de las amenazas, el temor o la posibilidad de alguna forma de sufrimiento.

Complementariedad Una sociedad manifiesta el valor de la complementariedad cuando considera que su vida y desarrollo requieren del aporte de visiones y formas de ser distintas que, por consiguiente, no deben ser consideradas antagónicas ni excluyentes.

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VII

Bibliografía Ley de Educación “Avelino Siñani - Elizardo Pérez”. Gaceta oficial del Estado Plurinacional de Bolivia. La Paz, 20 de diciembre de 2010. Organización para la cooperación y el desarrollo económico. PISA 2006. Marco de Evaluación. Conocimientos y habilidades en Ciencias, Matemáticas y Lectura. Santillana, Madrid, 2006. OREALC/UNESCO; Laboratorio Latinoamericano de Evaluación de la Calidad de la Educación (LLECE). Aportes para la enseñanza de la Matemática. Segundo estudio regional comparativo y explicativo. UNESCO-LLECE. Santiago de Chile, 2009. Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Martínez Roca, Barcelona, 1987. Santillana Ed. Guía Matemáticas 5 Primaria. Madrid, 2009 Santillana Ed. Guía Matemáticas 6 Primaria. Madrid, 2009 Santillana Ed. Lógico Matemática 6. Lima 2005 Santillana Ed. Matemática 6. Buenos Aires, 2002. Santillana Ed. Matemática 6. La Paz, 2000. Santillana Ed. Matemática 6. La Paz, 2003. Santillana Ed. Matemática 6. La Paz, 2006. Santillana Ed. Matemática 6. Lima, 2009. Santillana Ed. Matemática 6. Quito, 2004. Santillana Ed. Matemática 6. Santiago de Chile, 2007. Santillana Ed. Matemática 6. Guía metodológica. Lima, 2009. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Guía y recursos. Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 5. La Paz, 2008. Santillana Ed. Matemáticas 6. La Paz, 2008. Santillana Ed. Matemáticas 5 Primaria. Madrid, 2008 Santillana Ed. Matemáticas 6 Primaria. Madrid, 2008 www.minedu.gob.bo. Viceministerio de Educación Regular. Programas de Estudio. Campo: Ciencia Tecnología y Producción. Documento de trabajo 2011. Consultado en marzo de 2012.

VIII

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Tomo I

Matemática Nombre: _ ___________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________

Curso: ___________________________________________________________________________________________ Año: ____________________________ Colegio: _____________________________________________________________________________________________________________________________

6 Primaria

Organización del libro Este libro está organizado en diez unidades referidas a cuatro componentes del aprendizaje matemático: Números y operaciones, Geometría, Mediciones y Tratamiento de la Información. Cada unidad está estructurada en varias secciones. 7

Páginas iniciales

RECUER

DA

División con números decimales

Términos

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dad fun Los tér dament minos al de la de la o resid división uo. Cuand división son e l divide es entera o el resto ndo, el . es cero, divisor, e la divis l cocien La propie ión es ex te y el dad fun acta; e resto dament dividen n caso do y el div al de la contra división rio, isor po queda sostie r un multiplica ne que do o divid mismo número al multi , el coc ido por di plicar o iente n dividir el cho nú o varía, mero. pe dividendo ro el re sto 34 6 divisor resto 34 $ 3 (4) 5 102 18 cociente 6$3 (12) 5 34 ' 2

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• En la página de la derecha, en la sección RECUERDA, encontrarás información y ejercicios sobre temas que probablemente ya conoces y que, de todos modos, debes conocer para abordar la unidad con éxito.

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Multiplica ción de un

Sin embargo, el aumento de dióxido de carbono en la atmósfera, debido a las actividades humanas, acentúa el efecto invernadero de ese gas y produce un cambio climático tan rápido que es muy difícil que la vida natural, e incluso la civilización humana, puedan adaptarse a él.

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Cocient

48

182

La atmósfera de la Tierra está compuesta principalmente por nitrógeno y oxígeno. El dióxido de carbono es solo una pequeña fracción de esa atmósfera, pero al retener la energía térmica que el planeta recibe del Sol, equilibra la temperatura y hace posible la vida.

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4'2

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1 638

El efecto invernadero

• En la página de la izquierda encontrarás una lectura que te permitirá reflexionar tanto sobre conceptos matemáticos como sobre valores éticos.

número Para m decima ultiplicar u l por la plaza la c n n unidad oma a la úmero decim seguida es nec al por l derech de ceros esario, • Se estima que entre 1975 y se añade a tantos lugar a unidad seg uid es com n ceros a 2010, la temperatura media 5, 735 o ceros s a de ceros, s la derech $ 10 = e d iguen a 57, 35 de la Tierra ha aumentado a. la unidad es31, 54 . Si aproximadamente 0,53 ºC. $ 100 = 3 154 2. Cal cula. Entonces, ¿cuánto ha aumentado 0, 93 $ 100 0 = 930 a) 1, 863 la temperatura media por década $ 10 entre 1975 y 2010? b) 44, 3 e) 21, 84 $ 10 $ 100 • ¿Sabes cuáles son las actividades c) 0, 52 $ 10 f) 0, 041 humanas que acrecientan la i) 8, 3 $ 100 $ 1000 cantidad de dióxido de carbono en d) 0, 078 $ 10 g) 0, 007 j) 2, 448 6 $ 100 la atmósfera? $ 1000 h) 9, 231 k) 0, 007 $ 100 ©Sant illana S.A. Prohib $ 1000 ida su fotoco pia. Ley l) 0, 042 1322. 5 $ 100 0 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

127

3. Resuelve los proble

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Páginas de desarrollo de contenidos

decimales.

Sexto

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el violín? s encuestadas , 370 afirman presa esa cantid que les gusta ad mediante el fútbol. Exun porcentaje. c) Silvia recibe el 12 % del dinero de las ventas drá que vende que realiza. ¿Cuán r para ganar Bs 4 800? to tend) Simón gana Bs 7 500 y paga Bs 1 200 de impue de su salario se va en impue stos. ¿Qué porcen stos? taje e) Orlando vendió su computadora en el 80 % del Si la vendió en precio que pagó Bs 1 250, ¿en por ella. cuánto la compr f) El año pasad ó? o, Elsa pagó Bs 380 de impue año pagó Bs stos por su viviend 425,6. ¿En qué a. Este porcentaje aumen vivienda? tó el impuesto de su g) Este año Sara creció 5 cm, un aumento del 4 del año pasad % respecto de o. ¿Cuál es la su estatura estatura de Sara h) Diego es futboli actualmente? sta y está pesan do 78 kg. Su que su peso ideal entrenador le es de 70 kg. ¿Qué ha dicho Diego? porcentaje de su peso debe perder 4. Resuelve los problemas.

n gio 12 era de un cole cuales de los udiantes Los est n arces? árboles, ron era ron 60 tación. de los to planta oles que planta refores de sex el 45 % árb udiantes que son de los Los est centaje 18 arces, ron? ¿Qué por nta plantaron pla arces. nto s de qui árbole as: column udiantes ron. ¿Cuántos curso tes Quinto de dos Los est nta alidad 100 par que pla o x son proporcion árboles tes com las de 45 par imos tab 18 son Constru x curso

En estas páginas aprenderás nuevos conceptos y procedimientos matemáticos.

mas. Si es pertine

cifras a) En una orques ta sinfónica compu violín. ¿Qué porcen esta por 110 músicos, 30 taje de los músic tocan el os toca

b) De 500 mujere

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alidad: = 2, 5 proporcion 45 ' 18 nte de curso: consta Quinto mos una 40 12 = 5 Calcula da: ' 2, 5 = so: 60 ' calcula x = 100 Sexto cur stante curso: . En re la con Quinto ent plantados os 100 = 20 Un libro cuyo árboles precio está rebajad Dividim 100 ' 5 de los o en un 20 % so: x = precio antes del el 20 % cuesta Bs 105. descuento? Sexto cur es son total. ¿Cuál era su los arc oles en so, árb Construimos cur 40 to 0 una tabla de 18 $ 100 = 4 En el sex proporcionalid plantaron disminuir de 100 ad. Hay la misma curso, x = 45 a 80 que en dismin proporción en curso: el quinto a 105. uir de x (el precio Quinto que: antes del descue se ex% os d, 20 em = tida nto) 12 $ 100 Observ una can 100. so: x = 60 resenta 100 lica por cur rep ltip ' l 1, to 25 mu x Sex un tota l y se de a una taje de # 1, 25 100 - 20 = 8 to del tota porcen 0 105 correspon centaje y respec ular qué fracción taje que por Por lo tanto: to del porcen Para calc d como x = 100 $ 105 105 respec ndo el cantida = 80 l conocie presa la o fracción 80 $ 100 = 131, 25 Antes del descue r un tota cantidad com ula nto, el libro costab Para calc resa la a Bs 131,25. d, se exp 100. cantida a) En una tienda 8 lica por de 12, , se anuncia un se multip g) 3, 2 descuento del ahora Bs 153, ,5 28 %. Si un pantal ¿cuánto costab de 302 tidad. ón cuesta de 50 a antes del descu h) 24, 2 a la can b) En su primer e) 200 ento? mes de vida, represent un bebé aumen taje que 300 cabo del primer 4 de 16 cen de 5, tó su peso en por 75 f) mes pesaba 3 c) ica el un 32 %. Si al % 300 gramos, 1. Ind ¿cuánto pesó 50 es el 64 5. Invest 150 al nacer? iga. ¿Cómo d) 80 de g) 36, 16 a) 30 de resuelves el siguien , 5% % 0 es el 40 te problema? el 16, 5 120 es 477 de , Franci 5 9 , sca practica h) b) 48 e) 16 atletismo. Tuvo % en un 20 %. Si una lesión y el 12, 5 su rendimiento ahora corre 100 es el 12% total. f) 24 es disminuyó metros en 13,5 c) 4, 8 corría cula el la distancia antes 1322. segundos, ¿en pia. Ley 2. Cal fotoco de lesionarse? el 64 % 25 % qué tiempo ida su S.A. Prohib 14 es el illana d) 80 es

El libro te ofrece la información fundamental, claramente explicada y destacada, y muchas actividades para que apliques tus nuevos conocimientos en ejercicios, problemas y desafíos de investigación y pensamiento crítico.

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154

Taller de Matemática S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Representar la situación Representamos gráficamente la información proporcionada por el enunciado de un problema. Con ayuda de esa representación planteamos los cálculos que necesitamos realizar para encontrar la solución.

ática Matem Taller de

Laura y Félix han abierto una caja de bombones y se han comido dos quintas partes de todos los bombones que había. Si todavía quedan en la caja 12 bombones, ¿cuántos había al principio en la caja?

étricos mico. arte islá s geom aido del Patrone saico extr

• Solución de problemas

Laura y Félix se han comido 2 partes de los bombones. Quedan, entonces, 5 3 partes y esas 3 partes equivalen a 12 bombones. Tenemos que averiguar 5 5 cuántos bombones tenía la caja inicialmente.

te mo

el siguien



Representaremos la caja de bombones dividida en 5 partes iguales. Señalaremos las partes que Laura y Félix se han comido y las partes que quedan. 1.º Calculamos los bombones que hay en cada parte. En 3 partes hay 12 bombones. _ 12 ' 3 = 4 _ En cada parte hay 4 bombones. 2 5

2 5

3 5

3 (12 bombones) 5

2.º Calculamos los bombones que había en la caja. el moforman En 5 partes _ 5 $ 4 = 20 ples que más sim En la caja había inicialmente 20 bombones. métricas ras geo las figu Verificamos la respuesta viendo si 3 de 20 son realmente 12: áles son ¿Cu os. 5 a) lad r de 6 saico? o regula ígon os. 20 $ 3 = 20 $ 3 = 60 = 12 (correcto) 12 lad . tra un pol 5 1 5 5 ngulos ular de b) Encuen dos triá igono reg patrón más de tra un pol te del ado por c) Encuen una par bo form alg r. rom roduce tra un ad anterio 1. Dos tercios de los participantes en un concurso 3. Paula prestó cinco sextos de los ahorros que teHistogramas tricos rep en la activid d) Encuen geomé do grafías entos de pintura son mujeres y el resto son hombres. nía. Si prestó Bs 55. ¿cuánto dinero tenía Paula? o analiza tes foto instrum den siguien o islámic pue izando Las y saic s. o Util Han participado 14 mujeres. ¿Cuántas personas mo 2. y píntalo arte geométric trico del 4. Miguel quería comprar un juego. Vio que tenía En los histogramas se utilizan rectángulos unidos representar geomé métricos han participado en para el concurso? del rones geo o y decorativo tres octavos del precio, pero que le faltaban datos agrupados. más pat ial artístic s patrones. a uno o enc Cre Bs 75. ¿Cuánto costaba el juego? 2. Pedro tenía inicialmente cierta cantidad de tar3. ran el pot ar tus propio te muest jetas. Regaló a su amigo 12 tarjetas y se quedó a cre par as 5. Inventa un problema que se resuelva represen1. Observa el histograma, completa la tabla y contesta. dar te ide con cinco sextos de las que tenía. ¿Cuántas tartando la situación. jetas tenía de Pedro? El histograma muestra la clasificación las encomiendas por peso realizada en una oficina de correos.

Tratamiento de la información

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Clasificación

98

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0

De 0 a1

De 1 a2

De 2 a3

Cantidad

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

De 0 a 1 kg

6

De 1 a 2 kg De 2 a 3 kg

181 De 3 a4

De 3 a 4 kg

De 4 a5

De 4 a 5 kg

Peso (en Kg)

Un envío de 1 kg se clasifica en el grupo de 1 a 2 kg. pia.

fotoco

Ley 1322.

a) ¿Cuántos envíos pesan de 3 a 4 kg? b) ¿Cuánto pesan los envíos del grupo más numeroso? c) ¿Se puede saber cuántos envíos de 3,5 kg hay? ¿Por qué? d) ¿Por qué las columnas se dibujan unidas? 2. Observa la tabla, dibuja un histograma y contesta. En la tabla están representados los alumnos de una academia de natación agrupados por edades. Clasificación

Cantidad

De 0 a 5 años

15

De 5 a 10 años

20

De 10 a 15 años

40

De 15 a 20 años

30

De 20 a 25 años

10

Número de alumnos

Azulejería España.

Número de envíos

liza 1. Ana

Páginas con secciones especiales

40 30 20 10 0

De 0 a5

De 5 a 10

De 10 a 15

De 15 a 20

De 20 a 25

Edad

a) Un niño tiene 6 años y otro tiene 10. ¿En qué grupo está cada uno? b) ¿Cuántos alumnos tiene el grupo al que pertenecen los niños de 12 años? c) ¿Qué edades pueden tener los alumnos del grupo menos numeroso? d) ¿Cuántos alumnos de la academia tienen 15 o más años? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

121

Aplicando cuatro pasos sencillos y diversas estrategias podrás resolver diversos problemas.

• Tratamiento de la información

Aprenderás a elaborar e interpretar gráficos estadísticos.

• Taller de matemática

Explorarás conceptos matemáticos mediante material concreto, la calculadora o programas de computación.

Evalúa tus logros 1. Con referencia al siguiente dibujo, indica: F W E

a)

W H

W A

C

6. En cada caso, traza la figura simétrica con res-

10. Completa la tabla e indica

pecto a la recta r.

D

W F W G

12. Matemática y Lenguaje. ¿Por qué una línea

en cada caso el ángulo que gira la rueda.

c)

no puede tener mediatriz?

Páginas de cierre y evaluación

13. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un círculo?

B

14. En cada caso traza la figura simétrica con res-

W B

pecto a la recta r.

W D

W C

r E

r

b)

A

a) Los ángulos internos y los externos.

r

b) Las parejas de ángulos alternos internos,

1y2

las parejas de ángulos alternos externos y las de ángulos correspondientes.

c) La medida de cada ángulo sabiendo que las rectas AB y CD son paralelas y que S = 125c . D

La rueda ha girado en el sentido ...

Si la flecha coincide con la línea de separación entre:

d)

a)

... horario:

... antihorario:

330º

30º

r

3y4

r

7. Traza la figura simétrica si la línea roja es el eje

• Evalúa tus logros

b)

5y6 7y8

de simetría.

11 y 12

2. Dibuja un segmento de 8,5 cm de longitud y

r

traza su mediatriz.

11. Traza todos los ejes de simetría. a) d)

a) Utilizando solo regla y compás. b) Utilizando regla y escuadra. 3. Dibuja un ángulo de 54º y traza su bisectriz. a) Utilizando solo regla y compás.

15. Investiga. Coloca un espejo arriba, debajo, al lado izquierdo y al lado derecho de todas las letras mayúsculas del alfabeto.

8. Copia cada figura y realiza la traslación indicada. a) ^5 -, 10 !h b) ^12 ", 4 .h

A

b) Utilizando transportador.

b)

4. Si una bisectriz forma un ángulo de 54º con

e)

pecto al punto O.

a)

c)

F

G

H

I

M

N

Ñ

O

P

Q

T

U

V

E

W

X

Y

Z

c) ¿Cuántos ejes de simetría tienen las letras c)

que no cambian solo cuando se colocan al lado de un espejo? ¿Y las que no cambian solo cuando se colocan arriba o debajo de un espejo?

f)

16. Investiga. Dibuja dos figuras, un punto y una

0

d) 0

D

L

que no cambian en ningún caso?

0

b)

C

K S

b) ¿Cuántos ejes de simetría tienen las letras

9. Copia cada figura y realiza la rotación indicada. a) ^O, 90c horarioh b) ^O, 45c antihorarioh

0

0

B

J R

a) ¿Cuáles se transforman en todos los casos?

uno de los lados del ángulo, ¿cuánto mide el ángulo?

5. En cada caso traza la figura simétrica con res-

En tres páginas encontrarás actividades que te permitirán verificar si has desarrollado los aprendizajes fundamentales de la unidad y los aprendizajes avanzados relacionados con la solución de problemas, el pensamiento crítico y la investigación.

9 y 10

recta, de tal modo que las dos figuras sean simétricas respecto al punto y también simétricas respecto a la recta.

0

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Problemas de Matemática y valores 23. Respeto y solidaridad. El baobab es un impre-

25. Respeto y solidaridad. A principios del siglo XX,

sionante árbol africano. Sus hojas brotan en la época de lluvias, pero el follaje no es denso y las ramas parecen raíces. Las dimensiones del baobab son imponentes: puede vivir más de mil años, alcanzar 30 metros de altura y desarrollar un tronco de 12 metros de diámetro.

el 30 % de la superficie de Kenia estaba cubierta de bosques; actualmente esa superficie es inferior al 2 %. El Movimiento Cinturón Verde, fundado en 1977 por Wangari Maathai, se ha propuesto reforestar 50 000 km2, especialmente en las montañas, antes cubiertas de bosques, que son reservorios de biodiversidad y de las que depende la provisión de agua del país.

• Problemas de Matemática y valores

de ingresos Desigualdad

surge nuestro

baobab de 12 m de diámetro?

b) Si una persona puede abarcar 1,6 m con sus brazos extendidos, ¿cuántas personas serían necesarias para abrazar un baobab cuyo tronco circular tiene 12 m de diámetro?

24. Respeto y solidaridad. Entre 1975 y 2005, en Bolivia se deforestaron aproximadamente 4 millones de hectáreas de bosques.

a) Si suponemos que la copa de un árbol cubre un círculo de 8 m de diámetro, ¿cuántos árboles aproximadamente necesita plantar en Kenia el Movimiento Cinturón Verde para lograr su meta de reforestar 50 000 km2? (Usa calculadora).

b) Si el Movimiento Cinturón Verde logra su meta de reforestar 50 000 km2, ¿qué porcentaje de la superficie de Kenia (582 650 km2) habrá reforestado?

26. Respeto y solidaridad. La organización mundial de la salud (OMS) utiliza dos criterios para calcular la cantidad mínima de áreas verdes que debería tener una ciudad: a) Superficie: al menos el 20 % del espacio urbano; b) Población: 10 m2 por habitante.

a) Si la superficie del departamento de Pando es de 63 827 km2, ¿a qué porcentaje de la superficie de Pando equivale la deforestación realizada entre los años 1975 y 2005?

b) ¿A un cuadrado de cuántos kilómetros de lado equivale esa superficie deforestada?

a) ¿Qué superficie aproximada tiene la ciudad donde vives? ¿Cuántas hectáreas de áreas verdes debería tener?

b) ¿Cuántos habitantes tiene tu ciudad? ¿Cuántas hectáreas de áreas verdes debería tener?

185

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

proyecto

aria, la cual tamente igualit ad sea perfec to que una socied n botar el alimen posible ni bueno ¿puede alguie edad Quizá no sea no es aceptable: por una enferm aldad extrema alguien morir as más pero la desigu guir?, ¿puede os que mientr pueden conse veces? Sabem si que otros no n pagar 1 000 tiene, incluso podría social y otros ual bienestar individ cuyo tratamiento desigualdad. sociedad, menos r atención a la una presta es al ario desigu es neces creemos que es rica. Por eso

La situación de a) ¿Qué área cubre el tronco circular de un

Los problemas de esta sección, además de desarrollar tus capacidades matemáticas, te harán reflexionar sobre la relación entre la matemática y los valores éticos.

ioproductivo Proyecto soc

cto

mayor nuestro proye idad tengan nuestra comun nuestro país. personas de económica en ad es que las la Nuestra finalid de la desigualdad ometidas con n más compr y comprensión conocimiento ellas se sienta de este modo, Esperamos que, justicia. la y ad la iguald búsqueda de

El propósito de

• Proyectos socioproductivos

dades desigualdad. aspectos de la sobre distintos disal informativo Podemos definir Elaborar materi tos ganan poco? la población mucho? ¿Cuán porcentaje de – ¿Cuántos ganan averiguar qué de ingreso y tintos niveles nivel. ar el nivel dentro de cada averigu está os na bolivia y pobres? Podem cia entre ricos entar esos niveles repres diferen y la as es – ¿Cuál de person distintos grupos entar Bs 1 000. de ingreso de puede repres ejemplo, 1 cm ricas? Podelas personas “a escala”. Por pobres? ¿Cómo taje de sus las personas ndo el porcen – ¿Cómo viven sectores mostra o, educación, un gráfico de tación, vestid mos elaborar a salud, alimen ellas dedican iales, etc. esenc no ingresos que bieición de bienes tienen ciertos recreación, adquis población que de propia? tajes r los porcen tiene una casa – Podemos mostra de la población acce¿Qué porcentaje porcentaje tiene nes y servicios. en su casa? ¿Qué tiene Internet ¿Qué porcentaje d? de salud de calida nuestras invesso a servicios resultados de los n con tambié y interesante as con ideas una exposición ver a las person • Organizar que pueda conmo tigaciones, una con imágenes. o proyecto. ción de nuestr realiza la r • Evalua

Utilizarás la matemática para, junto con tus compañeros, hacer algo en beneficio de tu comunidad.

Nuestras activi •

El proyecto productivo se desarrolla en un marco de responsabilidad social, trabajo cooperativo y participación de la comunidad educativa. 163

a. Ley 1322.

a su fotocopi

S.A. Prohibid

©Santillana

Repaso acumulativo 3 11. Calcula el área de las figuras.

0

20

40

senta 1 cm en cada mapa?

b) ¿Qué distancia real representan 5 cm en cada mapa?

a) 5 % de 90

c) 3, 5 % de 120

b) 16 % de 250

d) 40, 5 % de 360

3. Calcula mentalmente. a) 1 % de 2 500

d) 25 % de 6 000 e) 50 % de 8 500

d) 3 200 cm2

c) 20 % de 4 600

f) 100 % de 2 000

En metros cuadrados (m2):

f) 5 000 cm2

dada respecto del total indicado.

En hectáreas (ha):

a) 54 de 150

c) 8, 5 de 20

i) 9 500 m2

b) 120 de 30

d) 16 de 12, 8

d) 8, 4 es el 12, 8 %

k) 1, 7 km2

2 cm

m) 800 ha

10. Calcula el área de las figuras.

a) Longitud real: 50 m. Escala: 1 : 80.

9 cm

24 cm

Longitud real: 48 m

parten todos los prismas y cuáles son las que comparten todas las pirámides.

d)

plano y la longitud real.

a) Longitud en el plano: 8 cm.

2 cm

14. Indica cuáles son las características que com-

45 cm

b)

206

cm 3

cm 3

d) 520 cm 3 =

dm 3

e) 3250 dm3 =

m3

f) 1000 cm3 =

m3

2 cm

5 cm

mensiones indicadas, ¿puede contener 1 920 centímetros cúbicos de agua?, ¿por qué?

Prisma

15. ¿Puede un poliedro regular ser una pirámide? ¿Y un prisma? ¿Por qué?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

3 cm 10 cm

5 cm

21. Pensamiento crítico. Una botella con las di-

8 cm Pirámide

18 cm

b)

30 cm

15 cm

b) Longitud en el plano: 12,5 cm. Longitud real: 300 m

dm 3

b) 4, 5 dm3 =

a)

22 m

b) Longitud real: 120 m. Escala: 1 : 30.

a) 2, 6 m3 =

20. Calcula el volumen de cada ortoedro.

22 m

longitud real y la escala.

a) Cilindro: altura 8 cm y radio de la base 4 cm. 18. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo del cual

c) 2 m3 =

c)

a)

17. Bosqueja el desarrollo de un:

Después de algunas unidades encontrarás actividades con las que podrás evaluar tus aprendizajes fundamentales de las unidades anteriores.

19. Completa.

5 cm

En kilómetros cuadrados (km ):

l) 20 000 m2

d)

• Repaso acumulativo

se engendra un cilindro de 10 cm de altura y 10 cm de diámetro de la base?

h) 2, 5 ha

2

6. Calcula la longitud en el plano conociendo la

7. Calcula la escala conociendo la longitud en el

8 cm

13. Calcula el área de la figura.

j) 8, 5 hm2

b)

b) Cono: altura 8 cm y radio de la base 4 cm.

5m

35 cm

c) 45 es el 12, 5 %

b) 3, 5 es el 10 %

b)

a)

el porcentaje indicado.

a) 42 es el 7 %

12. Calcula el perímetro y el área de las figuras

e) 3, 1 m2 g) 2, 3 dam2

c)

8 cm

c) 3, 5 m2

En decímetros cuadrados (dm2):

b) 10 % de 5 680

5. Calcula el total si la cantidad dada representa

d)

En centímetros cuadrados (cm2):

b) 8 dm2

a)

12 cm

b)

9. Expresa en la unidad indicada. a) 500 mm2

4. Indica el porcentaje que representa la cantidad

los siguientes poliedros.

14 cm

8,7 cm

16,8

2. Calcula las cantidades.

16. Indica el número de caras, vértices y aristas de

c)

7 cm

60

Kilómetros

5 cm

15

10 cm

a)

Mapa B

10

a) ¿Cuántos kilómetros en la realidad repre-

10 14

5

Kilómetros

6 cm

Mapa A 0

2 cm

8 8,4

8. Observa cada escala y contesta.

10

4 2,8

24 72

10 cm

b)

20 48

4 cm

12 24

6 cm

a) 4

cm

1. Llena las tablas de proporcionalidad directa.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

22. Un bidón tiene 15 dm3 (15 litros) de agua. Se llenan 40 vasos iguales y aún quedan en el bidón 7 litros. ¿Cuántos dm3 de agua tiene cada vaso?

207

• Recursos TIC Estos recursos te permitirán hacer matemática de una forma novedosa y divertida, contribuirán a aumentar tus competencias tecnológicas y fomentarán el trabajo cooperativo en la clase. Algunos recursos digitales amplían los conocimientos y procedimientos desarrollados en el libro y otros te permiten ejercitar y aplicar tus nuevos conocimientos.

Índice Unidad

1

2

3

4

Páginas de desarrollo

Páginas especiales

Sistema de numeración. Operaciones con naturales Sistema de numeración

8

Solución de problemas

18 19

Adición y sustracción con números naturales

10

Taller de Matemática

Multiplicación y división con números naturales

12

Evalúa tus logros

20

Propiedades especiales de la división

14

Problemas de Matemática y valores

23

Operaciones combinadas

16

Taller de Matemática

38

Tratamiento de la información

39

Potenciación y radicación Cuadrados, cubos y otras potencias

26

Propiedades de la potenciación con base y exponente naturales

28

Evalúa tus logros

40

Potencias de base 10

30

Problemas de Matemática y valores

43

Descomposición polinómica de un número

31

Raíz cuadrada exacta

32

Raíz cuadrada entera

33

Raíz cúbica exacta

34

Raíz cúbica entera

35

Operaciones combinadas

36

Solución de problemas

54

Ángulos, simetría y movimientos Ángulos internos y ángulos externos

46

Bisección de un segmento y mediatriz

48

Tratamiento de la información

55

Bisección de un ángulo y bisectriz

49

Evalúa tus logros

56

Simetría respecto a un punto

50

Proyecto socioproductivo

59

Simetría respecto a un eje

51

Traslación

52

Rotación

53

Propiedades de los números Divisibilidad, múltiplos y divisores

62

Solución de problemas

74

Criterios de divisibilidad

64

Taller de Matemática

75

Números primos y números compuestos

66

Evalúa tus logros

76

Descomposición en factores primos

68

Problemas de Matemática y valores

79

Mínimo común múltiplo

70

Máximo común divisor

72

Repaso acumulativo 1

5

80

Fracciones Fracciones equivalentes

84

Solución de problemas

98

Reducción a común denominador

86

Taller de Matemática

99

Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador

88

Adición y sustracción de números naturales, números mixtos y fracciones

90

Multiplicación de fracciones

92

División de fracciones

94

Operaciones combinadas

96

Evalúa tus logros

100

Problemas de Matemática y valores 103

Unidad

6

Páginas de desarrollo Operaciones con números decimales 106

Solución de problemas

120

108

Tratamiento de la información

121

De número decimal a fracción irreducible

110

Evalúa tus logros

122

Adición y sustracción de números decimales

112

Problemas de Matemática y valores 125

Multiplicación de números decimales

114

Redondeo de números decimales

116

Estimaciones de sumas, restas y productos por redondeo

118

Los números decimales en la recta numérica Fracciones y tipos de números decimales

7

Páginas especiales

División con números decimales División de un decimal entre un natural

128

Solución de problemas

138

División de un natural entre un decimal

130

Taller de Matemática

139

División de un decimal entre un decimal

132

Evalúa tus logros

140

Cálculo mental para hallar cocientes

134

Problemas de Matemática y valores 143

Estimación de cocientes

136

Repaso acumulativo 2

8

9

Proporcionalidad, porcentaje y escala Cantidades directamente proporcionales

148

Taller de Matemática

158

Significado del porcentaje

150

Tratamiento de la información

159

Porcentaje de una cantidad

152

Evalúa tus logros

160

Otros cálculos con porcentajes

154

Proyecto socioproductivo

163

Escala

156

166

Solución de problemas

180

168

Taller de Matemática

181

Área del rombo, del romboide y del trapecio

170

Evalúa tus logros

182

Área del triángulo

172

Problemas de Matemática y valores 185

Polígonos regulares

174

Área de figuras planas Relación entre unidades de superficie Área del rectángulo y del cuadrado

10

144

Longitud de la circunferencia y área del círculo

176

Área de figuras compuestas

178

Cuerpos y volumen Poliedros y prismas

188

Solución de problemas

200

Pirámides

190

Taller de Matemática

201

192

Evalúa tus logros

202

Problemas de Matemática y valores 205

Cuerpos de revolución Poliedros regulares

194

Área superficial y volumen con cubo unidad

196

Unidades de volumen

198

Repaso acumulativo 3

206

Bibliografía

208

Sugerencia de temporalización

1

Febrero

Sistema de numeración. Operaciones con naturales

Marzo

Valores El texto destaca algunos valores que son esenciales en cualquier comunidad humana: la honestidad, el respeto, la solidaridad y la responsabilidad. –– La honestidad se expresa como respeto por la propiedad y como respeto por las normas socialmente aceptadas para obtener ciertos bienes (se hace cola, no se saquea ni se roba). –– La solidaridad se expresa como renuncia a sacar provecho de la necesidad de otra persona.

El terremoto de Japón del año 2011

–– La solidaridad se expresa también como lealtad hacia las normas compartidas de convivencia y como disposición a ayudar y sacrificarse por otro.

En marzo de 2011 un fuerte terremoto y un gran maremoto afectaron la costa oriental de Japón. Miles de personas murieron o desaparecieron, miles de construcciones fueron destruidas, el mar inundó varias ciudades y pueblos y la central nuclear de Fukushima fue gravemente dañada.

–– La responsabilidad se expresa en la entrega abnegada a las tareas propias de cada trabajo y, en un sentido más profundo, en la renuncia a quebrar la convivencia humana por la búsqueda egoísta del propio bien. ¿Podemos convivir de manera civilizada y humana incluso en las circunstancias más difíciles? La experiencia del terremoto en Japón nos muestra que sí.

En una situación extrema de dolor, destrucción y carestía, las personas dieron un ejemplo de respeto, responsabilidad y solidaridad. Nadie saqueó una tienda, nadie robó al vecino, ningún comerciante subió sus precios, todos respetaban las filas, los rescatistas buscaban con abnegación a las personas desaparecidas y los técnicos arriesgaban sus vidas para evitar una catástrofe nuclear.

6

• Se estima que en el terremoto de Japón el costo de los daños fue superior a los 10 000 millones de dólares. ¿Puedes escribir este número solo con cifras? • ¿Cómo crees que podemos cultivar el respeto y la solidaridad en nuestro país?

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas La unidad se focaliza en las propiedades de las operaciones con números naturales. Analice y discuta estas propiedades con detenemiento y muestre cómo se aplican en estrategias de cálculo. No considere que la unidad es un simple repaso de ejercicios y problemas con las operaciones básicas.

6

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA

–– La lectura, escritura y comparación de números con ceros intermedios, especialmente a partir de seis cifras. Trabaje con los alumnos las actividades necesarias, tanto escritas como orales, para asegurar su comprensión.

Sistema de numeración. Millones. Millones

Miles

Unidades

CMi

DMi

UMi

CM

DM

UM

C

D

U

4

1

5

5

7

2

8

2

6

U: unidades D: decenas C: centenas UM: unidades de mil DMi: decenas de millón El número 415 572 826 se lee: 415 millones 572 mil 826. La descomposición aditiva de 135 824 es:

–– La aplicación de la jerarquía de las operaciones para resolver operaciones combinadas con y sin paréntesis. Insista en la necesidad de realizar las operaciones en el orden correcto, trabajando de forma razonada para evitar errores.

135 824 = 100 000 + 30 000 + 5 000 + 800 + 20 + 4 La descomposición multiplicativa es: 135 824 = 1 $ 100 000 + 3 $ 10 000 + 5 $ 1 000 + 8 $ 100 + 2 $ 10 + 4 $ 1

1. Escribe cómo se leen. a) 253 253 246

c) 703 005 203

e) 520 000 216

b) 552 230 002

d) 900 500 005

f) 350 243 001

253 millones, 253 mil, 246 552 millones, 230 mil, 2

703 millones, 5 mil, 203 900 millones, 500 mil, 5

520 millones, 216 350 millones, 243 mil, 1

2. Realiza la descomposición aditiva y multiplicativa. a) 356 429

b) 543 206

300 000 + 50 000 + 6 000 + 400 + 20 + 9

c) 680 203

3 $ 100 000 + 5 $ 10 000 + 6 $ 1 000 + 4 $ 100 + 2 $ 10 + 9 $ 1

3. Indica cuántas unidades vale la cifra pintada de rojo. a) 256 680 003 b) 565 004 040 c) 934 506 210 3 unidades

–– La resolución de problemas con varias operaciones. Resalte la importancia de seguir los pasos que ya conocen.

d) 400 005

4 000 unidades

500 000 unidades

d) 602 034 547

600 000 000 unidades

Operaciones y relaciones entre ellas Adición 45 ! sumando + 26 ! sumando 71 ! suma

Sustracción 83 ! minuendo - 35 ! sustraendo 48 ! diferencia

Multiplicación 84 ! factor # 5 ! factor 420 ! producto

71 - 26 = 45 71 - 45 = 26

Multiplicación: 84 $ 5 = 420 ( '

Adición: 45 + 26 = 71 ( '



48 + 35 = 83 Sustracción: 83 - 35 = 48 ( ' 83 - 48 = 35

División " 84 residuo " (0)

dividendo

Vocabulario matemático

6 ! divisor 14 ! cociente

División exacta

420 ' 5 = 84 420 ' 84 = 5

División entera o inexacta

14 $ 6 = 84 División (con residuo = 0): 84 ' 6 = 14 ( ' 84 ' 14 = 6

Elemento absorbente Elemento neutro Número natural

4. Escribe el término que falta en cada operación. a) 468 + b)

= 624 156 c) 374 -

+ 610 = 920 310 d)

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

= 152 222 e) 24 $

- 541 = 243 784 f)

= 408 17

$ 11 = 352 32

g) 312 ' h)

Millón

= 24 13

' 22 = 33

Operación combinada

726

Operación inversa

7

Propiedad asociativa Propiedad conmutativa Propiedad distributiva Sistema de numeración

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7

Más información

Sistema de numeración

Los billones estadounidenses Para decidir qué jugada realizar, un programa de ajedrez analiza todas las posiciones que pueden surgir a partir de otra. En solo las primeras cuatro jugadas el programa analiza la increíble cantidad de 152 587 890 625 posiciones.

Las cifras del orden de los miles de millón se leen en los Estados Unidos como billones. Así, por ejemplo, el número 4 000 000 000 que nosotros leemos como cuatro mil millones, en los Estados Unidos se lee como cuatro billones; el número 4 500 000 000 que leemos como cuatro mil quinientos millones, en Estados Unidos se lee como cuatro billones quinientos millones. Conocer esta diferencia en la lectura de los números es muchas veces importante para comprender información, por ejemplo financiera, procedende de fuentes de aquel país.

Podemos escribir este número en un cuadro que indica el valor de posición de cada cifra. Miles de millones

Millones

Miles

Unidades

CMMi

DMMi

UMMi

CMi

DMi

UMi

CM

DM

UM

C

D

U

1

5

2

5

8

7

8

9

0

6

2

5

Se lee: 152 mil 587 millones 890 mil 625. Cada cifra tiene un valor según el lugar que ocupa: •

El 6 del orden de las unidades vale 600 unidades.

•

El 9 del orden de los miles vale 90 000 unidades.

•

El 7 del orden de los millones vale 7 000 000 unidades.

•

El 1 del orden de los miles de millón vale 100 000 000 000 unidades. En el sistema de numeración decimal, 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. 10 U = 1 D; 10 D = 1 C; 10 C = 1 UM; 10 UM = 1 DM; f f10 CMi = 1 UMMi; 10 UMMi = 1 DMMi; 10 DMMi = 1 CMMi El valor de cada cifra depende del lugar que ocupa.

1. Escribe cómo se leen estos números. a) 3 478 900 240

3 mil, 478 millones, 900 mil, 240

b) 50 230 156 100

50 mil, 230 millones, 156 mil, 100

c) 200 450 100 009

200 mil, 450 millones, 100 mil, 9

d) 500 003 032 120

500 mil, 3 millones, 32 mil, 120

2. Escribe estos números utilizando cifras. 6 034 520 007 a) 6 mil 34 millones 520 mil 7 _________________________ 47 200 700 452 b) 47 mil 200 millones 700 mil 452 ____________________ 134 000 040 008 c) 134 mil millones 40 mil 8 ___________________________ 100 008 070 004 d) 100 mil 8 millones 70 mil 4 _________________________

8

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Converse con los estudiantes acerca de situaciones y objetos reales en los que se utilizan números del orden de los millones o miles de millón. Por ejemplo, tiempos y distancias en el Universo; información financiera sobre la economía mundial; información numérica sobre Internet y sobre la capacidad de los discos duros: megas y gigas. –– Es frecuente decir que, por ejemplo, el número 240 tiene 2 centenas, 4 decenas y que no tiene unidades. Esta forma de hablar suele inducir a errores en el análisis de los números, ya que 240 son precisamente 240 unidades. Aproveche las actividades 4 y 5 para mostrar la forma correcta de analizar un número.

8

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

3. Realiza la descomposición multiplicativa e indica el valor de la cifra en rojo. 5 431 = 5 $ 1 000 + 4 $ 100 + 3 $ 10 + 1 \

Actividades

El 4 vale 400 unidades

Escribe seis números de 10, 11 o 12 cifras que estén compuestos por cuatro cifras distintas de cero y por ceros, que las cifras distintas de cero aparezcan en el mismo orden, aunque no en la misma posición (exceptuando la primera cifra que será siempre la misma). Escribe cómo se lee cada número.

a) 46 506 4 $ 10 000 + 6 $ 1 000 + 5 $ 100 + 0 $ 10 + 6 $ 1 ; 0 unidades b) 1 269 452 1 $ 1 000 000 + 2 $ 100 000 + 6 $ 10 000 + 9 $ 1 000 + 4 $ 100 + 5 $ 10 + 2 $ 1 ; 60 000 unidades ... 5 000 000 unidades c) 905 562 002 ... 90 000 000 unidades d) 492 065 459 4. Analiza el ejemplo y completa. Miles

Unidades

C

D

U

C

D

U

6

0

0

0

0

0

5 a) 5000 U = _____ UM

600000 U = 60 DM 600000 U = 6 000 C

80 UMi b) 80000000 U = _____

Por ejemplo:

c) 1000000000 U = _____ UM 1 000 000

8 000 DM 80000000 U = _____

50 C 5000 U = _____

1000000000 U = _____ D

300 700 900 400

100 000 000

370 000 000 094

5. Analiza el ejemplo y completa.

300 000 000 794 Miles

Unidades

C

D

U

C

D

U

5

9

0

2

0

4

8 UMi + ____ 24 UM + ____ 56 U a) 8024056 = ____

300 007 009 004

590204 = 59 DM + 2 C + 4 U 590204 = 5 CM + 902 C + 4 U 590204 = 5 CM + 9 DM + 204 U

300 070 090 040 300 079 400 000

248 C + ____ 56 CM + ____ 52 U b) 5624 852 = ____

5 D + ____ 6 U 024 UM + ____ 8024056 = 8____ 40 C + ____ 56 U 802 DM + ____ 8024056 = ____

Pensamiento crítico e investigación

624 UM + ____ 2 U 85 D + ____ 5624 852 = 5____ 852 U 4 UM + ____ 562 DM + ____ 5624 852 = ____

–– ¿Cuántos números distintos puedes escribir con un 7, un 8 y tres ceros?

6. Indica si el número del medio está verdaderamente entre los otros dos. a) 600 902 600 590 602 000 c) 1 000 000 890 000 100 090 Falso

b) 999 000 999 050 909 090 Falso

Verdadero

–– ¿Cuántos números hay de 1 cifra? ¿Cuántos de 2 cifras? ¿Cuántos de 3 cifras? ¿Cuántos de 4 cifras? ¿Cuántos de 5 cifras? ¿Puedes encontrar un patrón?

d) 245 720 235 720 225 720 Verdadero

7. Investiga. Descubre una regla para responder a la pregunta. ¿Cuántos números hay entre otros dos? Entre el 10 y el 6 hay tres números (7, 8 y 9) 10 - 6 = 4

Resto 1

3

Regla: Para saber cuántos números hay entre otros dos, resto los números y al resultado le vuelvo a restar 1.

Individual

a) ¿Cuántos números pares hay entre otros dos números pares? b) ¿Cuántos números pares hay entre dos números impares? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

9

Tic Descomposición multiplicativa. Ejercicios para la descomposición multiplicativa de varios números.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

9

Más información

Adición y sustracción con números naturales

Tipos de problemas con la adición y la sustracción

Propiedad

Los problemas usuales de adición y sustracción consisten en encontrar la suma dados los sumandos o la diferencia dados el minuendo y el sustraendo. En otros tipos de problemas se trata de encontrar:

Ejemplo

La adición es conmutativa: el orden de los sumandos no cambia la suma.

•

La sustracción no es conmutativa.

•

La adición es asociativa: la forma de agrupar los sumandos no cambia la suma.

•

La sustracción no es asociativa.

•

36 + 21 = 57 21 + 36 = 57 56 - 22 = 34 22 - 56 = ? (no se puede realizar)

^12 + 35 h + 5 = 52 12 + ^ 35 + 5 h = 52 ^25 - 20 h - 2 = 3 25 - ^ 20 - 2 h = 7

–– Uno de los sumandos dados la suma y el otro sumando. a+x = b ( x = b-a x+a = b ( x = b-a

Elemento neutro: la suma (o la resta) de un número y cero es el mismo número.

• •

49 + 0 = 49 49 - 0 = 49

–– El minuendo dados la diferencia y el sustraendo.

La adición y la sustracción son operaciones inversas.

•

Dada una adición, si a la suma se le resta uno de los sumandos, se obtiene el otro sumando.

46 + 35 = 81 ( (

•

74 - 43 = 31 ( 31 + 43 = 74

x-a = b ( x = b+a

46 = 81 - 35 35 = 81 - 46

Dada una sustracción, si a la resta se le suma el sustraendo, se obtiene el minuendo.

–– El sustraendo dados la diferencia y el minuendo. a-x = b ( x = a-b Estas cuatro clases de problemas están ejemplificadas en los problemas de la actividad 7.

1. Completa e indica la propiedad de la adición que se usa. a) 49 + 53 = 53 + 49

c) 51 +

Conmutativa

b) ^23 + 56h + 32 = 23 + ^56 + 32h

Asociativa

= 51 Elemento neutro

0

d) 82 + 92 = 92 + 82

Conmutativa

2. Conmuta y asocia de tal modo que puedas realizar mentalmente las operaciones. Conmutamos los sumandos buscando asociar números que sean fáciles de sumar. Conmutamos 22 y 15

35 + 22 + 15 =

Asociamos 35 y 15

= 35 + 15 + 22 = = ^35 + 15h + 22 =

a) 75 + 56 + 15 b) 12 + 49 + 128 c) 25 + 76 + 75

Sumamos 35 y 15

146 189 176

10

Tic Propiedades de la suma y la resta. Afirmaciones verdaderas o falsas referidas a las propiedades de la adición y la sustracción.

10

= 35 + 15 + 22 = = ^35 + 15h + 22 = = 50 + 22 = 72

d) 56 + 36 + 54

146

e) 35 + 22 + 65 + 18 f) 26 + 37 + 11 + 4

140

78

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Analice las estrategias de cálculo mental utilizando las propiedades de la adición. En las actividades 2 y 4 las propiedades conmutativa y asociativa tienen un rol central. Las actividades 3 y 5 se basan en otras características de la suma y de la adición que no son propiedades fundamentales; sin embargo, llame la atención de los estudiantes sobre esas propiedades y reflexione acerca de ellas. La actividad 3 se basa en la igualdad a + b + c = ^ a + 1h + ^b + 1h + ^c + 1h - 3 . La actividad 5 se basa en la igualdad a - b = a - ^b + 1h + 1 .

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

3. Aplica la estrategia del ejemplo y suma mentalmente. Sumamos 1 a cada sumando y restamos 3 a la nueva suma

399 + 699 + 199 =

= ^400 + 700 + 200h - 3 =

Actividades

2 097 c) 399 + 799 + 899 ______

4 297 e) 3199 + 699 + 399 ______

Encuentra los números que faltan en las casillas. Explica tu razonamiento.

1 397 897 b) 399 + 199 + 299 ______ d) 299 + 699 + 399 ______

2 597 f) 499 + 499 + 1599 ______

a)

= ^400 + 700 + 200h - 3 = 1300 - 3 = 1297 1 498 a) 699 + 799 ______

- 4

4. Aplica las propiedades para sumar mentalmente.

4 7

Descomponemos uno o más números de tal manera que los nuevos sumandos sean fáciles de sumar. 26 + 57 =

Descomponemos

b)

= 20 + 6 + 50 + 7 =

= 20 + 6 + 50 + 7 =

Conmutamos 6 y 50

= 20 + 50 + 6 + 7 =

Asociamos 20 y 50 Asociamos 6 y 7

1 3 6 5

= 20 + 50 + 6 + 7 =

9

5 6 8 -

2 5

1

6

8

= ^20 + 50h + ^6 + 7h = 70 + 13 = 83

211 a) 87 + 124 ______

176 c) 65 + 27 + 84 ______

208 e) 34 + 59 + 54 + 61 ______

152 b) 94 + 58 ______

186 d) 54 + 38 + 94 ______

256 f) 46 + 53 + 45 + 112 ______

5. Aplica la estrategia del ejemplo y resta mentalmente. 5564 - 999 =

Sumamos 1 a 999 y sumamos 1 a la nueva resta

= ^5564 - 1 000h + 1 = 4564 + 1 = 4565

= ^5564 - 1 000h + 1 =

6 244 a) 6 343 - 99 ______

7 048 c) 8 047 - 999 ______

5 632 e) 15 631 - 9 999 ______

7 225 b) 7 324 - 99 ______

11 633 d) 12 632 - 999 ______

63 464 f) 73 463 - 9 999 ______

6. Completa con el número que falta. a) 3 456 + b)

9 150

2 604

= 6 060

- 7 896 = 1 254

c)

3 236

d) 2 896 -

+ 2 506 = 5 742 1 642

= 1 254

7. Resuelve los problemas. a) Un automóvil ha cargado 23 litros de gasolina. Si el tanque tiene una capacidad de 70 litros, ¿cúantos litros faltan para que esté lleno? 47 litros

b) Roberto pesa 42 kilogramos (kg). Si se pesa con su perrito, la balanza marca 57 kg. ¿Cuánto pesa el perrito? 15 kg

c) Marcela tiene Bs 875. Cuando pague una deuda, le quedarán Bs 350. ¿Cuál es el monto de su deuda? Bs 525

d) Después de comprar un pantalón de Bs 220, Romina se ha quedado con Bs 454. ¿Cuánto tenía antes de comprar el pantalón? Bs 674 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

11

11

Más información

Multiplicación y división con números naturales

Tipos de problemas con la multiplicación y la división exacta

Propiedad

Ejemplo

La multiplicación es conmutativa: el orden de los factores no cambia el producto.

Los problemas usuales de multiplicación y división consisten en encontrar el producto dados los factores o el cociente (de una división exacta) dados el dividendo y el divisor.

La división no es conmutativa.

La multiplicación es asociativa: la forma de agrupar los factores no cambia el producto.

•

26 $ 14 = 364 14 $ 26 = 364

•

48 ' 6 = 8 6 ' 48 = 0, 125

•

La división no es asociativa.

En otros tipos de problemas se trata de encontrar:

•

–– Uno de los factores dados el producto y el otro factor. a$x = b ( x = b'a x$a = b ( x = b'a

La multiplicación es distributiva respecto de la adición y la sustracción: en el caso de la suma, el producto de un número y una suma es igual a la suma de los productos del número por cada sumando.

•

•

La división no es distributiva.

–– El dividendo dados el cociente y el divisor de una división exacta.

Elemento neutro: el producto de un número por 1 es igual al número.

x'a = b ( x = b$a

El cociente de un número por 1 es también igual al número.

–– El divisor dados el dividendo y el cociente de una división exacta.

Elemento absorbente: el producto de un número por cero es igual a cero.

a'x = b ( x = a'b

Si dividimos cero entre cualquier número (distinto de cero), el resultado es cero. Pero la división entre cero no está definida.

Estas cuatro clases de problemas están ejemplificadas en los problemas de la actividad 5.

La multiplicación y la división son operaciones inversas. Dada una multiplicación, si dividimos el producto entre uno de los factores, obtenemos el otro factor. Dada una división exacta (Residuo = 0 ), si multiplicamos el divisor y el cociente, obtenemos el dividendo.

^7 $ 8 h $ 6 = 336 7 $ ^ 8 $ 6 h = 336

^64 ' 4 h ' 2 = 8 64 ' ^ 4 ' 2 h = 32 5 $ ^ 6 + 3 h = 5 $ 9 = 45 5 $ ^ 6 + 3 h = 5 $ 6 + 5 $ 3 = 30 + 15 = 45

72 ' ^ 6 - 3 h = 72 ' 3 = 24 72 ' ^ 6 - 3 h = ^ 72 ' 6 h - ^ 72 ' 3 h = 12 - 24 = ?

•

18 $ 1 = 18

•

18 ' 1 = 18

•

35 $ 0 = 0

•

0 ' 24 = 0 24 ' 0 = ?

120 ' 12 = 10 120 ' 10 = 12

•

10 $ 12 = 120 ( (

•

99 ' 11 = 9 ( 11 $ 9 = 99

1. Completa e indica la propiedad que se usa. d)

1

$ 37 = 37

b) ^95 $ 24h $ 13 = 95 $ ^24 $ 13h Asociativa e)

g) 3 $ ^ 43 + 9h = 3 $ 43 + 3 $ 9

0

'1 = 0

h) 1 $

a) 34 $ 76 = 76 $ 34

Conmutativa

c) 36 $ ^12 - 9h = 36 $ 12 - 36 $ 9

Distributiva

12

Elemento neutro

f) 26 $

0 =0 i) 36 Elemento absorbente

0

Distributiva

= 76 $ 0 Elemento absorbente

' 1 = 36

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Analice las estrategias de cálculo mental utilizando las propiedades de la multiplicación. En la actividad 2 se usan las propiedades conmutativa y asociativa. En la actividad 4 se utiliza la propiedad distributiva; en este caso muestre, utilizando los ejemplos del libro u otros, que uno de los factores se puede expresar como suma o como diferencia.

12

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

2. Conmuta y asocia de tal modo que puedas realizar mentalmente el cálculo. Conmutamos los factores buscando asociar números que sean fáciles de multiplicar. 4 $ 73 $ 25 =

Conmutamos 73 y 25

= 4 $ 25 $ 73 =

Encuentra los números que faltan en las casillas. Explica tu razonamiento.

= 4 $ 25 $ 73 = = ^ 4 $ 25 h $ 73 =

Asociamos 4 y 25

= ^ 4 $ 25 h $ 73 =

Actividades

Multiplicamos 4 y 25

= 100 $ 73 = 7300

a)

16 100 a) 5 $ 161 $ 20 ______

132 000 c) 4 $ 132 $ 250 ______

5 600 e) 4 $ 56 $ 5 $ 5 ______

1 800 b) 20 $ 18 $ 5 ______

3 400 d) 34 $ 5 $ 10 $ 2 ______

3 600 f) 12 $ 10 $ 5 $ 6 ______

4 6 b)

3. Aplica la propiedad distributiva para hallar el resultado. 5 $ 38 =

38 = 30 + 8

= 5 $ ^ 30 + 8 h =

= 5 $ ^ 30 + 8 h =

Propiedad distributiva

= ^ 5 $ 30 h + ^ 5 $ 8 h = 150 + 40 = 190

a) 4 $ 62 + 248

c) 49 $ 5

245

b) 6 $ 53

d) 82 $ 6

492

318

38 = 40 - 2

5 $ 38 =

= ^ 5 $ 30 h + ^ 5 $ 8 h =

= 5 $ ^ 40 - 2 h =

= ^ 5 $ 40 h - ^ 5 $ 2 h = 200 - 10 = 190

e) 7 $ 134 = 7 $ ^100 + 30 + 4h

f) 4 $ 259 = 4 $ ^200 + 60 - 1h

b)

= 4 320 240 $ 43 = 9 890 230

c)

' 47 = 369 17 343

d) 57 583 '

= 647 89

e)

3

7

3

3

8

Pensamiento crítico e investigación

938

¿Puedes calcular el resultado de esta adición sin realizar la suma en forma consecutiva?

1 036

11 + 12 + 13 + 14 + +15 + f + 50

' 120 = 78 9 360

f) 10 488 '

5 2

= ^ 5 $ 40 h - ^ 5 $ 2 h =

Propiedad distributiva

1

5 8 5

#

= 5 $ ^ 40 - 2 h =

4. Completa las multiplicaciones y las divisiones (que son exactas). a) 18 $

3 #

= 456 23

5. Resuelve los problemas. a) Gabriela ahorró Bs 1 080 en un año. Si cada mes ahorró la misma cantidad de dinero, ¿cuánto ahorró cada mes? Bs 90

b) Ernesto quiere comprar una cierta cantidad de cuerda para cortarla en 18 pedazos de 45 cm de longitud. ¿Cuál es la mínima cantidad de cuerda que tiene que comprar? 810 cm

c) Si los libros de una biblioteca se distribuyeran entre los 28 chicos del curso, a cada uno le tocarían 12 libros. ¿Cuántos libros tiene la biblioteca? 336 libros

d) Cuando terminemos de embalar 780 libros, habremos utilizado 65 cajas. Si en cada caja entra la misma cantidad de libros, ¿cuántos libros entran en cada una? 12 libros

6. Inventa un problema en el que haya que encontrar el divisor conocidos el dividendo y el cociente. Individual

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13

13

Más información

Propiedades especiales de la división

Algunas ideas sobre la relación entre los términos de la división entera

Propiedad División exacta

–– Si conocemos el dividendo y el divisor, obtenemos el cociente y el residuo efectuando el algoritmo tradicional de la división.

D = d$c

División entera o inexacta Una división es entera si el resto es distinto de cero. En una división entera, el resto (r ) es menor que el divisor (d), y el dividendo (D) es igual al producto del divisor y el cociente (c ) más el resto:

^D - r h ' c

r1d

89 30 (29) 2

214 30 = 7 $ 4 + 2

Si multiplicamos el dividendo y el divisor por 2: 60 ' 8 = 7 y R = 2 $ 2 = 4 Si dividimos el dividendo y el divisor por 2: 15 ' 2 = 7 y R = 2 ' 2 = 1

1. Completa el cuadro de divisiones exactas.

(correcto)

Pero en otros casos, hacer esto conduce a una división errónea:

D = d$c+r

30 ' 4 = 7 y R = 2 ( (

En una división entera, si el dividendo y el divisor se multiplican o dividen por un mismo número, el cociente y el resto no varían, pero el resto queda multiplicado o dividido por el número.

5 (correcto) 85 85 5

Si dividimos el dividendo y el divisor por 2: 10 ' 2 = 5 y R = 0

En una división exacta, si el dividendo y el divisor se multiplican o dividen por un mismo número, el cociente y el resto no varían.

–– Si conocemos el dividendo, el cociente y el residuo, obtenemos el divisor realizando la siguiente operación:

426 (1)

Si multiplicamos el dividendo y el divisor por 2: 40 ' 8 = 5 y R = 0

En una división exacta, el dividendo (D ) es igual al producto del divisor (d ) y el cociente (c):

^d $ c h + r

426 (1)

20 ' 4 = 5 ( 5 $ 4 = 20

Una división es exacta si el resto o residuo es cero.

–– Si conocemos el divisor, el cociente y el residuo, obtenemos el dividendo realizando la siguiente operación:

–– En ciertos casos, a partir de una división dada, podemos intercambiar de lugar el cociente y el divisor y, manteniendo el residuo, obtener una división válida:

Ejemplo

Dividendo

Divisor

Cociente

Residuo

1 224

51

24

0

2 176

34

64

0

1 274

26

49

0

Cociente

Residuo

2. Completa el cuadro de divisiones enteras. Dividendo

(correcto)

89 2 (erróneo) (29) 30

Divisor

2 345

15

156

477

15

31

12

1 221

23

53

2

14

5

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– La teoría y las actividades de estas dos páginas están focalizadas en las relaciones entre los términos de la división, exacta o entera. Por tanto, este debe ser también el tema central de su trabajo y sus explicaciones. –– En la actividad 2, en la tercera fila, ayude a razonar a los estudiantes del siguiente modo: Si el residuo es 2, entonces quitándole 2 al dividendo obtendríamos una división exacta. Por tanto, la división ^1 221 - 2h ' d = 53 es exacta y, si esta división es exacta, el divisor buscado debe resultar de la división ^1 221 - 2h ' 53 .

14

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Recursos

3. Escribe el cociente y el residuo de la división dada. A partir de esa división escribe otras cuatro que tengan el mismo cociente y escribe el residuo de cada una. 26 a) 1 664 ' 64 Cociente: _____________

Juego

0 Residuo: _________________

Material: tablero de juego, tarjetas con los números del 1 al 9, fichas, papel y lápiz.

Respuesta libre Otras divisiones: _______________________________________________





_______________________________________________

24 b) 1 584 ' 66 Cociente: _____________

0 Residuo: _________________





_______________________________________________

178 c) 8 574 ' 48 Cociente: _____________

30 Residuo: _________________



_______________________________________________

23

4. Investiga. Ya sabes que si tienes el dividendo y el divisor, puedes obtener el cociente y el residuo. Explica con ejemplos si es posible:

a) Teniendo el cociente y el residuo, obtener el dividendo y el divisor.

No es posible

b) Teniendo el dividendo y el cociente, obtener el divisor y el residuo.

Sí es posible

c) Teniendo el divisor y el cociente, obtener el dividendo y el residuo.

Sí es posible

d) Teniendo el divisor y el residuo, obtener el dividendo y el cociente.

No es posible

3

4

10

9

8

7

6

12

13 14

22

21

20 19

18

24

25

26

27

28

33

32

31

30

META

17

–– Pueden jugar varias personas (tres es un número recomendable).

a) Enrique distribuyó 2 575 litros de gasolina en bidones de 42 litros. ¿Cuántos bidones utilizó? ¿Cuántos litros de gasolina le sobraron? 61 bidones ; 13 litros

–– Se mezclan las tarjetas y se las coloca una sobre otra, con el número hacia abajo. El primer jugador toma las 3 primeras tarjetas. Cada jugador usa las cifras para formar su propio dividendo de tres dígitos.

b) En una fábrica de alimentos embalaron cajas de cereal en empaques de 24. Utilizaron 64 empaques y sobraron 16 cajas. ¿Cuántas cajas de cereal tenían? 1 552 cajas

c) Un padre tenía 1 564 monedas para repartir entre sus hijos. Cada uno recibió la misma cantidad de monedas y sobraron 4. ¿Cuántos eran los hijos si eran menos de 6? 5 hijos

d) Varios chicos formaron equipos de 6, pero sobraron tres

–– El primer jugador vuelve a mezclar las tarjetas y toma una; el número que saca es el divisor de la ronda. Cada jugador halla su cociente y su residuo.

chicos. El doble de chicos formaron equipos de 12; en este caso, ¿cuántos chicos sobraron? 6 chicos

6. Pensamiento crítico. Explica si estás de acuerdo con lo que dice Ernesto. Ernesto: “Si en una división entera intercambio de lugar el divisor y el cociente, el residuo no cambia”. Verdad

–– Todos los jugadores revisan todas las divisiones.

7. Investiga. Si en una división entera conservas el dividendo y multiplicas o divides el divisor por un cierto número, ¿qué pasa con el cociente y con el residuo? Individual

15

–– Los jugadores mueven su ficha en el tablero el número de espacios indicado en su residuo. –– Por turnos, los jugadores mezclan las tarjetas, sacan tres para formar el dividendo y una para definir el divisor. El jugador que llega primero a la meta es el ganador.

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5

15 16

Reglas:

5. Resuelve los problemas.

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2

11

Respuesta libre Otras divisiones: _______________________________________________



1

PARTIDA

Respuesta libre Otras divisiones: _______________________________________________

15

29

Más información

Operaciones combinadas

Diagrama de árbol Al resolver operaciones combinadas, es necesario realizar las operaciones en el siguiente orden:

Para resolver las operaciones combinadas se puede utilizar un diagrama de árbol. Este tipo de diagrama permite pensar primero en el orden en que deben realizarse las operaciones y, solo después, resolver las mismas.

1.º Las operaciones que están dentro de los paréntesis (en el orden que se indica en los siguientes pasos). 2.º Multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. 3.º Adiciones y sustracciones en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha. Por ejemplo:

Por ejemplo, dada la operación 25 + 4 $ 3 - 7 + 4 , primero elaboramos un diagrama de árbol: 25 + 4 $ 3 - 7 + 4 25 +

Sin paréntesis

Con paréntesis

5 + 6 $ 12 - 6 ' 3

^5 + 6 h $ ^ 12 - 6 h ' 3

5 + 72 - 2

-7+4

77

b) 12 ' 4 $ 3

9

f) 25 - 8 $ 3 + 1

c) 65 - 8 $ 5

25

g) 10 $ 5 - 18 ' 6

d) 17 + 10 ' 5

h) 7 $ 11 + 64 ' 8

19

95

c) ^1025 - 8 $ 125h ' 5

16

i) 37 - 3 $ 2 + 5 $ 3

5

l) 24 + 18 - 6 ' 3 ' 2

85

e) 2 $ ^45 + 102h - 47 $ 2 f) ^12 - 5h $ ^12 + 5h ' 7

16

d) ^3 + 4h$ ^7 - 2h= 35

34

k) 35 ' 5 $ 2 + 7 - 20

47

3. Coloca paréntesis para que la igualdad sea verdadera. a) ^3 + 4h$ 7 - 2 = 47 c) 8 $^6 - 2h+ 3 = 35 b) ^9 - 2h$^7 - 3h= 28

46

j) 25 + 4 $ 3 - 7 + 4

2

2. Resuelve horizontalmente las operaciones con paréntesis. a) 3 + 4 $ ^8 - 6h 11 d) ^4 + 75h $ 3 - 105 ' 15 b) 15 + ^14 + 6h $ 4

Orden en las operaciones. Juego para ejercitar operaciones combinadas con y sin paréntesis, operando contra reloj.

3

22

1. Resuelve horizontalmente las operaciones sin paréntesis. a) 9 - 6 + 3 6 e) 4 + 5 $ 9 - 9 40

30 + 4

Operaciones combinadas. Combinación de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones con sus resultados.

'

Al efectuar operaciones combinadas, primero se realizan las operaciones entre paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones y, por último, las adiciones y sustracciones.

37 - 7 + 4

Tic

66

^ 5 + 6 h $ ^ 12 - 6 h ' 3 = 11 $ 6 ' 3 = 66 ' 3 = 22

Y después llenamos el diagrama de árbol realizando las operaciones pertinentes:

34

6 ' 3

5 + 6 $ 12 - 6 ' 3 = 5 + 72 - 2 = 77 - 2 = 75

+4

25 + 12 - 7 + 4

2

$

75

-7+4

25 + 4 $ 3 - 7 + 4

-

11

230

200 17

1 41

g) ^4 $ 8 - 6h $ 4 - 96 ' 24 100 h) ^2 $ 12 ' 6 - 4h + ^16 - 8h

8

i) ^11 + 9h $ ^2 + 7h - 1 + 6 $ 4

203

e) ^25 - 5h' 4 + 3 = 8 f) 8 $ 6 -^2 + 3h = 43

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Sugerencias metodológicas Es esencial ayudar a los estudiantes a pensar primero en el orden en que deben resolver las operaciones. Un recurso que usted puede enseñarles a utilizar es el diagrama de árbol explicado en la sección de Más información.

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Recursos

4. Escribe la expresión numérica que corresponde a cada frase y calcula el resultado. Resto 7 a 12 y al resultado le sumo 4. 12 - 7 + 4 = 5 + 4 = 9

Pensamiento crítico e investigación

Divido por 3 la suma de 7 y 8. ^ 7 + 8 h ' 3 = 15 ' 3 = 5

Piensa e indica si obtienes o no el mismo resultado en los siguientes dos casos.

Multiplico por 3 la suma de 7 y 10. 3 $ ^ 7 + 10 h = 3 $ 17 = 51 Resto a 12 la suma de 7 y 4. 12 - ^ 7 + 4 h = 12 - 11 = 1

–– Calculas el doble de un número y después le sumas otro número.

15 - 7 + 3 = 11 a) Resto 7 a 15 y al resultado le sumo 3. ____________________________ 14 - ^8 + 4h = 2 b) A 14 le resto la suma de 8 y 4. __________________________________

12 $ 2 - 5 = 19 c) Multiplico 12 por 2 y al resultado le resto 5. _______________________

–– Calculas el doble de la suma de esos dos números.

7 + ^14 ' 2h = 14 d) A 7 le sumo la mitad de 14. _____________________________________

^4 $ 3h - ^2 $ 5h = 2 e) Al producto de 4 y 3 le resto el producto de 2 y 5. __________________

Actividades

7 $ 5 + 2 $ 9 = 53 f) A 5 veces 7 le sumo el doble de 9. _______________________________

Observa las siguientes operaciones combinadas en las que aparecen los mismos números. Calcula y compara los resultados. ¿Por qué en algunos casos se obtiene el mismo resultado?

5. Describe con una frase la operación numérica. Resto 6 a 14 y al resultado le resto 5. a) 14 - 6 - 5 ______________________________________ Resto 3 a 8 veces 5 y al resultado le sumo 6. b) 8 $ 5 - 3 + 6 _____________________________________ A 8 veces 5 le resto la suma de 3 y 6. c) 8 $ 5 - ^3 + 6h ____________________________________ Al doble de 7 le sumo la resta de 4 y 2. d) 2 $ 7 + ^4 - 2h ____________________________________

a) 25 - 9 - 5

25 - ^9 - 5h

6. Resuelve estos problemas. Después, escribe en una sola expresión todas las

^25 - 9h - 5

operaciones que hayas realizado.

a) Un camión llevaba 168 kg de fruta. En un mercado descargó 24 ca-

b) 12 ' 2 + 1

jas de 3 kg de fruta cada una. ¿Cuántos kilos de fruta lleva ahora el camión? 96 kilos

12 ' ^2 + 1h

^12 ' 2h + 1

b) Andrés compró un pantalón por Bs 280 y una sudadera por Bs 140. Pagó con dos billetes de Bs 200 y uno de Bs 100. ¿Cuánto dinero le devolvieron? Bs 80

c) 6 $ 4 - 1

6 $ ^4 - 1 h

c) Rocío tiene una bandeja con 35 pasteles de crema y 61 de chocolate.

^6 $ 4 h - 1

Quiere repartirlos en partes iguales en 8 platos. ¿Cuántos pasteles pondrá en cada plato? 12 pasteles

7. Inventa un problema que se resuelva mediante la siguiente operación combinada: ^20 ' 2 h + ^30 ' 3 h + 10 . Individual

8. Investiga. Utilizando los dígitos del 1 al 9 (sin omitir ni repetir ninguno) y alguna de las cuatro operaciones básicas, completa la expresión para que el resultado sea 100. : números; 5: operación. + 8 + 9 - 7 = 100 ^1 + 2 + 3 + 4 + 5 h $ 6 5

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17

Tic Operaciones matemáticas combinadas. Crucigrama con operaciones combinadas.

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17

Recursos Resuelve el siguiente problema que requiere aplicar más de una operación. Laura salió de compras y gastó Bs 370 en un pantalón vaquero, Bs 150 en una polera y Bs 220 en un bolso. Al pagar le hicieron un descuento de Bs 120 en total. Si pagó con cuatro billetes de Bs 200, ¿cuánto dinero le devolvieron?

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Aplicar más de una operación Identificamos las varias operaciones que tenemos que realizar para resolver un problema. Patricia va con su familia a un concierto de guitarra. Compra 3 entradas para niño, que cuestan Bs 15 cada una, y 4 entradas para adulto. Paga con un billete de Bs 200 y le dan Bs 55 de cambio. ¿Cuánto cuesta una entrada de adulto? Sabemos que Patricia compró 3 entradas para niño y 4 entradas para adulto. Cuando pagó las 7 entradas, entregó Bs 200 y le devolvieron Bs 55. Sabemos que las entradas para niño cuestan Bs 15 y que las entradas para adulto tienen un precio distinto que tenemos que averiguar. Realizaremos varias operaciones: 1.º Averiguaremos el precio total de las entradas para los niños haciendo una multiplicación: 3 $ 15 = 45 2.º Averiguaremos el precio total de las siete entradas haciendo una resta: 200 - 55 = 145 3.º Averiguaremos el precio total de las cuatro entradas de adulto restando al precio total de las siete entradas el precio de las entradas de niño: 145 - 45 = 100 4.º Finalmente, averiguaremos el precio de las entradas de adulto dividiendo la cantidad obtenida en el tercer paso entre el número de adultos: 100 ' 4 = 25 Cada entrada para adulto vale Bs 25. Verificamos resolviendo una operación combinada:

200 - ^3 $ 15 h - ^4 $ 25 h = 200 - 45 - 100 = 55

1. Una exposición de arte abre al público 290 días

3. En una granja tienen que envasar 5 934 huevos.

al año. Cada día, la visitan 15 grupos de 27 personas cada uno. ¿Cuántas personas visitan al año la exposición? 117 450 personas

Utilizan 280 cajas de 12 huevos cada una y el resto lo envasan en cajas de 24 huevos. ¿Cuántas cajas de 24 huevos llenan y cuántos huevos les sobran? 107 cajas ; 6 huevos

2. En una carrera se reparte un total de Bs 2 130 en premios. El ganador del primer premio recibe la mitad de dicha cantidad, el del segundo obtiene un tercio del total y el del tercero se lleva el resto. ¿Cuánto dinero recibe el ganador del tercer premio? Bs 355

18

4. Nicolás trabaja en una obra colocando azulejos. Para las paredes de una cocina, tenía 21 cajas con 24 azulejos blancos cada una y 9 cajas con 6 azulejos de flores y 8 de hojas. Al final, le han sobrado 34. ¿Cuántos azulejos ha utilizado? 596 azulejos

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Sugerencias metodológicas –– Resuelva el problema del ejemplo junto con los estudiantes. Destaque la importancia de seguir un proceso ordenado. Comente la necesidad de indicar por escrito la solución de los problemas, y no limitarse a dar un número por respuesta. –– Indique que en los problemas de varias operaciones es necesario determinar los problemas intermedios que debemos resolver antes de poder contestar a la pregunta del problema.

18

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Taller de Matemática La división y las operaciones combinadas 1. Aprende a obtener el residuo de una división entera a partir del resultado que ofrece la calculadora. Cuando una división es inexacta o entera, la calculadora presenta el resultado con un número decimal. La parte entera es el cociente y la parte decimal corresponde al residuo. Realicemos, por ejemplo, la siguiente división: 3 614 ' 17 . 212.5882353

3 614 ÷ 17 = El cociente es 212.

Para obtener el residuo, hacemos lo siguiente: •

•

Restamos 212 del número en la pantalla; así obtenemos solo la parte decimal.

– 212 =

Ahora multiplicamos la parte decimal por 17, que es el divisor; así obtenemos el residuo.

× 17 =

0.5882353 10

Entonces, el residuo es 10. Individual

2. Con calculadora, obtén el cociente y el residuo de las siguientes divisiones. Cociente

Residuo

Cociente

5 431 ' 18

301

13

105 478 ' 27

11 400 ' 26

438

12

152 334 ' 603

3 906

Residuo 16

252

378

373

20

743 276 ' 809

918

614

79 918 ' 79

1 011

49

876 543 ' 876

1 000

543

4 651 ' 36

129

7

396

115

7 853 ' 21

97 531 ' 246

3. Realiza operaciones combinadas con calculadora. Las calculadoras científicas realizan las operaciones combinadas respetando el orden en que deben realizarse las operaciones. Para efectuar la operación 5 + 7 $ 4 ' 2 - 5 , simplemente introduces las operaciones en el orden que ya tienen: 5 + 7 × 4 ÷ 2 – 5 =

14

Realiza las siguientes operaciones (introduce los paréntesis tal como se ven en la operación):

a) 25 - 16 ' 4 + 12 - 6 b) 19 + 18 - 12 $ 4 ' 6

27 29

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c) ^21 - 3 $ 5h $ ^10 + 12 ' 2h

d) 152 - ^24 ' 4 + 24h $ 4 - 1

96 31

19

Sugerencias metodológicas Es importante que, en la actividad 2, los estudiantes realicen todo el proceso en la calculadora, es decir, no es conveniente que anoten el número decimal en un papel y reescriban la parte decimal en la calculadora. Para comprender la importancia de esta advertencia, debemos pensar que si el cociente es un decimal periódico, el estudiante no lo podrá reescribir como tal y, en su lugar, colocará un decimal exacto (con un número finito de cifras decimales); de este modo, el calculo del cociente se alterará y se obtendrán números decimales en lugar de números naturales.

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 20. Las frases correspondientes son las siguientes: a) Multiplico por 7 la suma de 2 y 6. b) Multiplico la suma de 2 y 6 con la diferencia de 6 y 2. c) Divido por 5 la suma de 12 y 3. d) Al producto de 4 y 5 le resto el cociente de 21 entre 3. –– Actividad 23.

1. Escribe cómo se leen estos números.

a) 761 455 376 486 761 mil, 455 millones, 376 mil, 486 b) 64 564 264 006 64 mil, 564 millones, 264 mil, 6 c) 3 450 300 120 3 mil, 450 millones, 300 mil, 120 d) 154 050 064 005 154 mil, 50 millones, 64 mil, 5 e) 10 006 000 030 10 mil, 6 millones, 30 7. f) 5 200 020 000 5 mil, 200 millones, 20 mil 2. Escribe estos números con cifras.

Segunda fila: el residuo tiene que ser menor que el divisor.

3. Indica cuántas unidades vale la cifra en rojo. a) 135 023 453 624 20 millones de unidades 5 mil millones de unidades b) 645 498 003 540 c) 300 003 000 000 3 millones de unidades d) 135 023 453 624 100 mil millones de unidades

Cuarta fila: si el cociente es 40, el divisor natural puede ser solo 4 y, en ese caso, el residuo es 0.

4. Completa las equivalencias. a) 60000000000 U = ____ UMi 60 000 b) 6 000 000 000 U = ____ DM 600 000 c) 30000000 U = ____ C 300 000 d) 70 000 000 000 U = ____ D 7 000 000 000 e) 100 000 000 U = ____ UM 100 000 f) 800 000 000 000 U = ____ UMMi 800 5. Completa las equivalencias. a) 340 064 245 = ___ UMi + ___ UM + ___ U 64 245 340 b) 400 375 245 = ___ DMi + ___ CM + ___ U 3 75 245 40 c) 803 642 000 = ___ CMi + ___ D + ___ U 364 200 0 8 d) 562 106 050 = ___ CM + ___ UM + ___ U 5 621 50 6 e) 650 861 673 = ___ DM + ___ C + ___ U 16 73 65 086 f) 568 245 337 = ___ UMi + ___ DM + ___ U 568

20

20

24

aplican en estas igualdades y completa.

a) ^5 + 6h + 7 =

5

+ ^6 + 7h Asociativa

b)

8

+ 3 = 3 + 8 Conmutativa

c)

0

+ 1 = 1 Elemento neutro

Conmuta y asocia para sumar mentalmente.

a) 15 + 14 + 85 114 c) 15 + 32 + 15 + 18

80

b) 65 + 12 + 8 + 590 d) 2 + 25 + 8 + 5 + 10 50

a) 132 mil millones 90 mil 102 132 000 090 102 b) 90 mil 500 millones 850 mil 90 500 850 000 c) Mil 50 millones 400 mil 50 1 050 400 050 d) 8 mil millones 230 mil 80 8 000 230 080 e) 54 mil 54 millones 145 mil 54 054 145 000 f) 999 mil 999 millones 99 999 999 000 099

Primera fila: la división 336 ' 24 es exacta, no puede tener un residuo.

Tercera fila: el residuo no puede ser mayor que el dividendo.

6. Identifica las propiedades de la adición que se

8. Descompón, conmuta y asocia para sumar mentalmente.

a) 28 + 52

c) 58 + 54 + 66

80

178

b) 37 + 25 + 15 77 d) 32 + 44 + 54 + 61 191 9. Completa las adiciones y las sustracciones. a) 256 +

619

= 875

b) 865 -

823

= 42

c)

619

- 374 = 245

d)

221

+ 604 = 825

10. Calcula mentalmente. a) 599 + 799 + 99 1 497

b) 399 + 499 + 4999 5 897

c) 22 530 - 999 21 531

d) 32 000 - 9 999 22 001

11. Identifica las propiedades de la multiplicación que se aplican en estas igualdades y completa.

a) 8 $ ^3 + 7h =

8

$ 3 + 8 $ 7 Distributiva

b) 12 $ 13 = 13 $ 12 c) 15 $ d)

0

1

Conmutativa

= 15 Elemento neutro

$ 34 = 0 Elemento absorbente

e) ^6 $ 11h $ 10 = 6 $ ^11 $ 10h

Asociativa

12. Conmuta y asocia para sumar mentalmente. a) 8 $ 165 $ 25 c) 50 $ 14 $ 2 $ 8 33 000

b) 5 $ 11 $ 20 $ 4 4 400

11 200

d) 5 $ 12 $ 4 $ 10 $ 5

12 000

5 337

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Mi desempeño como docente 13. Aplica la propiedad distributiva para sumar mentalmente.

a) 8 $ 43

a cada frase y calcula el resultado.

c) 4 $ 525

344

b) 7 $ 211

2 100

d) 3 $ 5 581

1 477

16 743

14. Completa las multiplicaciones y las divisiones. a) 16 $

24

b) 675 ' c)

884

d)

52

19. Escribe la expresión numérica que corresponde

= 384 45

diferencia de 18 y 12.

^12 + 18h ' ^18 - 12h = 5

= 15

20. Describe con una frase la operación numérica. ah La suma de 2 y 6 la multiplico por 7. a) ^2 + 6h $ 7 c) ^12 + 3h ' 5

' 26 = 34

b) ^2 + 6h $ ^6 - 2h

$ 19 = 988

15. Completa el cuadro. Dividendo

Divisor

Cociente

Residuo

546

21

26

0

231

35

6

21

16. Escribe el cociente y el residuo comparando las divisiones inconclusas con la que está realizada.

a) 135 ' 15 = 9 y R = 0

1 400 R 177

Pocas veces. Las veces suficientes.

1 776 R 277

d) 352 751 ' 957

368 R 575

22. Matemática y Lenguaje. Explica por qué las

–– Aliento a los estudiantes a buscar sus propios caminos para resolver problemas.

siguientes frases son erróneas. Individual

Pocas veces.

a) El producto de dos números se encuentra

Muchas veces.

sumándolos.

ciente está mal calculado.

d) El resultado de una resta se llama residuo.

17. Resuelve las operaciones combinadas.

23. Pensamiento crítico. Explica por qué es imposible llenar el cuadro. Los datos no son coherentes. Individual

159 73 123

d) 76 - 5 $ 8 + 54 $ 2 - 30 $ 3

Dividendo

Divisor

336

24 9

54

Cociente

160

Residuo 3

23

240

18. Resuelve las operaciones combinadas. a) ^4 + 5h $ 5 - ^18 - 12h

1 074 R 499

b) 344 577 ' 246

–– Me preocupo por entender los errores que cometen los estudiantes.

c) En una división inexacta o entera, el co-

112 ' 9 = 12 y R = 4 672 ' 54 = 12 y R = 24

c) 4 + 12 $ 9 - 8 $ 7 + 67

21. Calculadora. Obtén el cociente y el residuo. a) 562 201 ' 523 c) 628 981 ' 354

Las veces suficientes.

cero es cero, el cero es el elemento neutro de la multiplicación.

b) 224 ' 18 = 12 y R = 8

b) 6 $ 12 + 10 - 45 ' 5

d) ^4 $ 5h - ^21 ' 3h

Pocas veces.

b) Como cualquier número multiplicado por

45 ' 5 = 9 y R = 0 270 ' 30 = 9 y R = 0

a) 4 + 144 $ 9 ' 8 - 7

a) La suma de 45 y 15 la multiplico por 3. ^45 + 15h $ 3 = 180 b) Al producto de 4 y 25 le resto la mitad de 12. ^4 $ 25h - ^12 ' 2h = 94 c) Al doble de 12 le sumo el producto de 4 y 5. ^2 $ 12h + ^4 $ 5h = 44 d) El cociente de la suma de 12 y 18 entre la

–– Creo oportunidades para que los estudiantes expliquen sus estrategias de calculo mental y sus razonamientos.

11 242

40

10

39

b) 6 $ ^7 + 5h + 2 - ^19 - 6h

24. Sin realizar la división, halla el residuo de

61

c) 12 $ ^28 - 23h - 3 $ ^9 ' 3h

453 ' 23 , si el cociente es 19. 16

51

d) ^37 - 5 $ 7h + ^27 ' 9 + 5h ' 2 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

6

21

21

Sobre las actividades –– Actividad 26. Observe que:

25. Roberto tuvo que prestarse Bs 34 para com-

29. Un camión puede cargar un peso máximo de

prarse el juego que quería. Si el juego le costó Bs 250, ¿cuánto dinero tenía Roberto? Bs 216

19 000 kg. Se han colocado en él 98 cajas de 70 kg y 25 cajas de 105 kg. ¿Cuántos kilos más es posible cargar en el camión? 9 515 kg

280 ' 92 = 3 y r = 4 Es decir, con la pintura que nos sobró después de llenar 92 baldes, podríamos haber llenado un balde más. La situación tiene sentido si, por ejemplo, tenemos que llenar solo 92 baldes. Sin embargo, si el problema fuera otro, por ejemplo, calcular cuántos baldes de tres litros necesitamos para envasar 280 litros de pintura, la operación a resolver sería distinta, a saber:

26. Después de envasar 280 litros de pintura, hemos utilizado 92 baldes y nos sobran 4 litros. ¿Cuántos litros entran en cada balde? 3 litros

27. Si un cargamento de naranjas se repartiera equitativamente entre varias personas, sobrarían 52 naranjas. Si el doble de esa cantidad de naranjas se repartiera entre el doble de personas, ¿cuántas naranjas sobrarían? 104 naranjas

13 062 fotografías. Hoy ha borrado 297 y ha subido 451 nuevas. Después, ha copiado las fotos en varios CD, grabando 275 en cada uno. ¿Cuántos CD ha necesitado? ¿Cuántas fotos ha copiado en el CD incompleto? 48 cd’s ; 16 fotos

28. Resuelve los problemas y escribe las operaciones en una sola operación combinada.

a) Una camioneta transporta 25 cajas de plátanos. En 12 de las cajas lleva 50 plátanos en cada caja y en las restantes lleva 60 plátanos en cada caja. ¿Cuántos plátanos lleva en total la camioneta? 1 380 plátanos

280 ' 3 = 93 y r = 1

31. Un comerciante compró 11 teléfonos celulares en Bs 3 300. Vendió 5 a Bs 240 cada uno. ¿A qué precio tiene que vender los restantes para ganar Bs 900? Bs 500 cada uno

32. Investiga. Creamos un número escribiendo

Este razonamiento muestra la importancia de determinar con precisión la situación y el problema que estamos analizando. Muestra también la importancia del contexto real para dar una respuesta pertinente. –– Actividad 32. Ayude a razonar a sus estudiantes: al escribir los números del 1 al 9, escribimos 9 cifras; entre el 10 y el 99 hay 90 números de dos cifras y, al escribirlos todos escribimos 180 cifras; después tenemos que escribir cierta cantidad de números de tres cifras hasta escribir la cifra número 2006; ...

30. Lorena tenía guardadas en su computadora

en fila todos los números desde el 1 hasta el 2 006. ¿Qué cifra ocupará la posición 2 006? 0

b) El papá de Lucía tenía Bs 1 500 en su caja de ahorros. El lunes retiró Bs 125 y el martes retiró Bs 150. El miércoles depositó el doble de lo que había retirado el lunes. ¿Cuánto dinero tiene ahora en su cuenta? Bs 1 475

c) Cada fin de semana, Luis recibe Bs 15 y gasta Bs 8. ¿Cuántas semanas han de pasar hasta que ahorre Bs 140? 20 semanas

d) Un automóvil consume 9 litros de gasolina en 1 hora y un avión consume 7 veces más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos al cabo de 4 horas? 288 litros

22

33. Investiga. Escribe una división en la que el dividendo, el divisor y el residuo puedan dividirse por 3. Por ejemplo: 9 ' 3; residuo: 0

34. Investiga. Escribiendo un 3 al comienzo y un 2 al final de cierto número, este aumenta en 37 328. ¿De qué número estamos hablando? 814

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–– Actividad 34. Hay que completar la siguiente operación: 3

2

3

7

3

2

8

teniendo en cuenta que las tres casillas de arriba son iguales a las tres casillas de abajo.

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Valores

Problemas de Matemática y valores 35. Honestidad. Carlos compró 5 entradas para un

38. Solidaridad. Los estudiantes de un colegio han

partido de fútbol. Le entregó Bs 200 al cajero y recibió Bs 125 de vuelto. Más tarde, Carlos se dio cuenta de que el cajero tendría que haberle dado solo Bs 95 de cambio.

participado en una campaña de solidaridad. Han reunido 115 cajas de cereales que deben colocar en cajones grandes donde caben 16 cajas.

a) Carlos quiere

b) ¿Cuántas cajas de cereales necesitan para

a) ¿Cuántos cajones necesitan?

7 cajones y sobran 3 cajas.

ser honesto, ¿cuánto dinero debe devolver? Bs 30

llenar un cajón más? 13 cajas de cereales

b) ¿Cuál es el costo real de una entrada? Bs 21

36. Honestidad. En una oficina se compran 4 periódicos 20 días de cada mes. En promedio, cada periódico vale Bs 5. El encargado de la compra dice que en medio año se gasta más de Bs 3 000 en la adquisición de periódicos. ¿Dice la verdad? No dice la verdad. Se gasta Bs 2 400.

37. Honestidad. Los 42 estudiantes de un curso decidieron visitar un museo. Para ello, contrataron un bus que les cobró Bs 340. Si normalmente el pasaje cuesta Bs 8 por persona, ¿fue honesto el conductor al cobrarles ese monto? Si no lo fue, ¿cuánto dinero debería devolver? No fue honesto.

39. Solidaridad. Mateo tiene 87 tarjetas de animales mitológicos. Su hermano Esteban tiene 55 tarjetas. Mateo quiere que ambos tengan la misma cantidad.

a) ¿Cuántas tarjetas debe tener cada uno para que se cumpla el deseo de Mateo? 71 tarjetas

b) ¿Cuántas de sus tarjetas debería dar Mateo a su hermano Esteban? 16 tarjetas

Debe devolver Bs 4.

En las situaciones descritas en los problemas se manifiestan distintas facetas de los valores de honestidad y solidaridad. En el problema 35, la honestidad significa no apoderarse del dinero que pertenece a otro; aunque Carlos no ha quitado dinero al cajero, el azar ha puesto en sus manos un dinero que no le pertenece; él puede optar entre quedarse con ese dinero o devolverlo a su propietario. En el problema 36, la honestidad significa decir la verdad, evitar mentir con el propósito de obtener un beneficio. En el problema 37, la honestidad significa no obtener un beneficio sacando provecho de la falta de información de otro, incluso si ese beneficio resulta de un acuerdo voluntario. En el problema 38, la solidaridad significa dar y ayudar a dar al que necesita. En el problema 39, la solidaridad se expresa como preocupación por los sentimientos de otra persona. Mateo no quiere que su hermano se sienta triste porque tiene menos tarjetas.

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23

23

Sugerencia de temporalización

2

Marzo

Potenciación y radicación

Valores El texto relaciona los valores de solidaridad, responsabilidad y respeto con la protección de la vida humana. Más allá de la solidaridad familiar, y más allá de la abstención individual de matar o dañar físicamente, la organización humana puede construir una red de protección más amplia. Los seres humanos tenemos la capacidad de proteger no solo la vida propia y la de nuestros seres cercanos, sino también la de cualquier otra persona. En la organización social, esa protección es más que una acción voluntaria, es también una responsabilidad de todos y, en especial, de las personas cuyo trabajo consiste precisamente en cuidar la vida.

Epidemias Una enfermedad puede propagarse en una población y afectar a un gran número de individuos. En el siglo XIV, en Europa, la peste negra mató a casi la tercera parte de la población. Se estima que en 1918 y 1919 la gripe española mató entre 50 y 100 millones de personas. Desde el año 2009, el mundo ha estado atento a la expansión de la gripe H1N1 por casi todos los países. Las epidemias nos recuerdan la vulnerabilidad de la vida y la importancia de la solidaridad.

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• ¿Has escuchado hablar de la propagación exponencial de una enfermedad? ¿Qué significa esa frase? • ¿Cómo puedes respetar y cuidar la vida de las personas y de otros seres vivos?

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Sugerencias metodológicas –– Anime a sus estudiantes a que piensen en situaciones en las que sea necesaria la multiplicación de un factor por sí mismo varias veces. –– Compruebe que sus estudiantes conocen los términos de una multiplicación. Señale que sería muy interesante tener una forma de expresar los productos de factores iguales de manera abreviada.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA

–– Al trabajar con potencias, los estudiantes a veces cometen errores como multiplicar la base por el exponente o confundir el cuadrado y el cubo de un número con su doble o su triple. Para evitarlos insista en la relación entre productos de factores iguales y sus correspondientes potencias.

La multiplicación La multiplicación es una manera abreviada de expresar una suma con sumandos iguales. 4+4+4+4+4 = 5$4 1 4444 2 4444 3

a+a+f+a+a = n$a 1 4444 2 4444 3

5 sumandos

n sumandos

Los términos de una multiplicación son los factores y el producto. 5 $ 4 = 20 2 factores

2 $ 8 $ 7 $ 5 = 560

Producto

4 factores

Producto

Los factores de una multiplicación pueden ser todos iguales. 3 $ 3 $ 3 = 27 3 factores

–– Puede resultar complejo el trabajo con la expresión polinómica de un número, sobre todo si no se han entendido bien las potencias de base 10 y su cálculo. Fundamente bien ese cálculo y recuerde la descomposición de un número.

2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 64

Producto

6 factores

Producto

1. Expresa la suma mediante una multiplicación y calcula el producto de la multiplicación.

a) 5 + 5 + 5

c) 3 + 3 + 3 + 3 + 3

e) 10 + 10 + 10 + 10 + 10

b) 6 + 6 + 6 + 6

d) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2

f) 12 + 12 + 12 + 12

5 $ 10 = 50

5 $ 3 = 15

3 $ 5 = 15

7 $ 2 = 14

4 $ 6 = 24

4 $ 12 = 48

–– La comprensión del concepto de raíz cuadrada puede plantear dificultades. Insista en la relación entre el cuadrado de un número y la raíz cuadrada.

2. Indica cuántos factores tiene cada multiplicación y calcula el producto. a) 5 $ 5 $ 5 e) 10 $ 10 $ 10 $ 10 $ 10 c) 3 $ 3 $ 3 $ 3 $ 3 3 factores; 125

5 factores; 100 000

5 factores; 243

b) 6 $ 6 $ 6 $ 6

f) 12 $ 12 $ 12 $ 12

d) 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2

4 factores; 1 296

4 factores; 20 736

7 factores; 128

Área del cuadrado y área del rectángulo

–– La aplicación correcta de las propiedades de la potenciación. Explique los ejemplos con detenimiento y ayude a los estudiantes a realizar las actividades justificando los pasos mediante la aplicación reflexiva de las propiedades de la potenciación.

El cuadrado y el rectángulo son superficies. La medida de una superficie se denomina área. Las fórmulas para calcular el área de un cuadrado y un rectángulo son las siguientes:

  A4 =  $ 

h b

: lado

A4 = b $ h

b: base; h: altura

Una unidad de superficie es el centímetro cuadrado, cm2 , que es un cuadrado de 1 cm de lado.

Vocabulario matemático

3. Calcula el área de las siguientes figuras.

8 cm 2 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

400 cm 2

28 cm 28 cm

d)

3 cm 4 cm

c)

20 cm 20 cm

b)

4 cm 2 cm

a)

12 cm 2

Base Cuadrado perfecto

784 cm 2

25

Cubo perfecto Descomposición polinómica Exponente Factor Potencia Potencia de base 10 Producto Raíz cuadrada entera Raíz cuadrada exacta Raíz cúbica entera Raíz cúbica exacta Resto (de una raíz entera)

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Más información

Cuadrados, cubos y otras potencias

Números que son cuadrados y cubos perfectos a la vez

Andrés está envasando chocolates. En cada bandeja pone 3 filas de 3 chocolates cada una. En cada caja pone 3 bandejas y después hace paquetes de 3 cajas. ¿Cuántos chocolates hay en cada paquete?

El número 1 es un cuadrado y un cubo perfecto a la vez: 12 = 1

Número de chocolates en cada bandeja: 3 $ 3 = 9

13 = 1

Número de chocolates en cada caja:

Lo mismo ocurre con el número 64: 82 = 64

Número de chocolates en cada paquete: 3 $ 3 $ 3 $ 3 = 81 En cada paquete hay 81 chocolates.

4 3 = 64

Observa que los productos anteriores tienen todos los factores iguales. Estos productos se pueden escribir en forma de potencia.

En general, el número que resulta de elevar un número natural a la sexta potencia es tanto un cuadrado como un cubo perfecto. Por ejemplo:

3 $ 3 = 32

3 $ 3 $ 3 = 33

Exponente: número de veces que se repite el factor. 4

3 $ 3 $ 3 $ 3 = 3 = 81 Base: factor que se repite.

Llamamos potencia a la expresión 3 4 y también al resultado 81. Las potencias anteriores se leen así: 3 2 _ 3 al cuadrado.

Predecesores de cuadrados y cubos perfectos

3 3 _ 3 al cubo.

3 elevado a 2.

–– La diferencia entre dos cuadrados perfectos consecutivos está dada por la siguiente fórmula: Ejemplos: : 52 - 42 = 2 $ 5 - 1 = 9 : 6 2 - 5 2 = 2 $ 6 - 1 = 11 : 7 2 - 6 2 = 2 $ 7 - 1 = 13

3 $ 3 $ 3 $ 3 = 34

Las potencias están formadas por una base y un exponente.

36 = 729 = 272 = 9 3 46 = 4096 = 642 = 16 3 56 = 15625 = 1252 = 25 3

: n 2 - ^n - 1h2 = 2n - 1

3 $ 3 $ 3 = 27

3 elevado a 3.

El factor que se repite se llama base y el número de veces que se repite se llama exponente.

1. Primero, escribe las multiplicaciones como potencias; después, indica la base, el exponente y cómo se lee la potencia. 11 Once al cuadrado a) 11 $ 11 = ____________

21 4 Veintiuno a la cuarta d) 21 $ 21 $ 21 $ 21 = ____________

9 Nueve al cubo b) 9 $ 9 $ 9 = ____________

1 7 Uno a la séptima e) 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 = ____________

5 Cinco a la quinta c) 5 $ 5 $ 5 $ 5 $ 5 = ____________

10 6 Diez a la sexta f) 10 $ 10 $ 10 $ 10 $ 10 $ 10 = ____________

2

3

2. Escribe la potencia como multiplicación y calcula su valor. 64 6$6$6$6 1 296 8$8 d) 6 4 = _____________________ = ____________ a) 8 2 = ________________ = ____________

: n 3 - ^n - 1h3 =

= n $ ^ 3n - 3 h + 1 Ejemplos: : 53 - 43 = = 5 $ ^3 $ 5 - 3 h + 1 = 61 : 63 - 53 = = 6 $ ^3 $ 6 - 3 h + 1 = 91 : 73 - 63 = = 7 $ ^ 3 $ 7 - 3h + 1 = 127

3 elevado a 4.

Una potencia es un producto de factores iguales.

5

–– La diferencia entre dos cubos perfectos consecutivos está dada por la siguiente fórmula:

3 4 _ 3 a la cuarta.

64 4$4$4 b) 4 3 = ________________ = ____________

1 1$1$1$1$1 e) 1 5 = _____________________ = ____________

15 $ 15 225 c) 15 2 = ________________ = ____________

10 $ 10 $ 10 $ 10 $ 10 $ 10 = ____________ 1 000 000 f) 10 6 = ____________________

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Sugerencias metodológicas –– Caracterice las potencias como una forma de expresar productos de factores iguales. Muestre la importancia de no confundir la base y el exponente (a la hora de expresar los productos como potencias) y de calcular correctamente el valor de la potencia (no multiplicar base por exponente). –– Trabaje la lectura y escritura de potencias haciendo hincapié en el caso especial de cuadrados y cubos. Muestre su relación con los términos geométricos del mismo nombre.

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Recursos

3. Calculadora. Encuentra las potencias con calculadora. Para calcular el cuadrado de un número, se utiliza la tecla cubo, la tecla

a) 242

; y para calcular cualquier potencia, la tecla

b) 153

576

c) 1242

3 375

d) 184

15 376

Juego

; para calcular el o la tecla

e) 85

f) 126

32 768

104 976

–– Juegan 2 o 3 estudiantes. Se elaboran 12 tarjetas de color azul:

.

2 985 984

4. Encuentra los primeros 12 cuadrados perfectos y los primeros 12 cubos perfectos. Un número que resulta de elevar un número natural al cuadrado se llama cuadrado perfecto. Si a 2 = b , b es un cuadrado perfecto y b es el área de un cuadrado cuyo lado mide a. Un número que resulta de elevar un número natural al cubo se llama cubo perfecto. Si a 3 = b , b es un cubo perfecto y b es el volumen de un cubo cuya arista mide a.

Lado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Área

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

144

El 25 es un cuadrado perfecto.

32

42

72

92

23

53

63

83

44

64

35

26

y 12 tarjetas de color verde: 9 8 256

16 125 1296

49 216

81 512

243

64

El 27 es un cubo perfecto.

Arista

1

2

3

4

5

6

7

8

Volumen

1

8

27

64

125

216

343

512

9

10

11

12

–– Se reparten las tarjetas verdes en partes iguales entre los jugadores y se colocan las tarjetas azules en un montón con los números boca abajo.

729 1 000 1 331 1 728

5. Calculadora. Determina por ensayo y error si los siguientes números son cuadrados y/o cubos perfectos. a) 2 304 Cuadrado perfecto c) 140 608 Cubo perfecto 48 2 b) 13 828 Ninguno

53 3 perfecto d) 15 625 Cuadrado 125 2

e) 262 142 Ninguno f) 531 441

–– Un jugador coge una tarjeta azul y la muestra. Todos buscan en sus tarjetas si tienen la expresión de la potenciación que indica la tarjeta. El jugador que tenga la expresión correcta la empareja y se la lleva.

Cuadrado perfecto 729 2

6. Resuelve los problemas. a) En una juguetería hay 6 bolsas. En cada bolsa hay 6 cajas, con 6 marionetas en cada caja. ¿Cuántas marionetas hay en total en la juguetería? 216 marionetas

b) En una pastelería hay 2 mostradores con 2 bandejas en cada mostrador. En cada bandeja hay 2 bizcochos, partidos en 2 trozos cada uno. Cada trozo de bizcocho tiene 2 fresas. ¿Cuántas fresas hay en total? 32 fresas

–– Otro jugador coge otra tarjeta azul y se procede de la manera ya explicada.

c) En un condominio hay 3 bloques de 3 pisos, cada piso tiene 3 departamentos, y cada departamento tiene 3 dormitorios. ¿Cuántos dormitorios hay en el condominio? 81 dormitorios

–– Gana el jugador que se queda primero sin tarjetas.

7. Investiga. En cada caso busca dos números naturales, a y b, que ejemplifiquen las siguientes relaciones.

a) a 1 b; a b 2 b a a = 3 ; b = 4

b) a 1 b; a b = b a a = 2 ; b = 4

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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c) a 1 b; a b 1 b a a = 2 ; b = 3

27

27

Propiedades de la potenciación con base y exponente naturales

Más información Algunas aplicaciones de las propiedades –– ¿Cómo se expresa una potencia como producto de potencias de igual base?

Potencia de una multiplicación y potencia de una división

9

Para escribir 7 como producto de dos potencias de igual base, primero se descompone el exponente como una suma de dos números: 9 = 8 +1

9 = 7 +2

Después se expresa la potencia como un producto de potencias con la misma base, y exponentes, los sumandos que se han calculado. 79 = 78 $ 71

Con una estrategia similar a la anterior, pero expresando el exponente como una diferencia de dos números: 9 = 15 - 6

^12 ' 3h2 = ^12 ' 3h $ ^12 ' 3h = 4 $ 4 = 16

9

15

7 = 7 '7

•

^3 $ 4h2 = 32 $ 42 = 9 $ 16 = 144

^12 ' 3h2 = 122 ' 32 = 144 ' 9 = 16

•

El producto de potencias de igual base es una potencia con la misma base elevada a la suma de los exponentes: am : an = am + n

•

El cociente de potencias de igual base es una potencia con la misma base elevada a la diferencia de los exponentes: am ' an = am - n

Con solo la definición de potencia:

Con la propiedad:

•

•

2 3 $ 22 = 2 3 + 2 = 25 = 32

•

2 4 ' 22 = 2 4 - 2 = 22 = 4

2 3 $ 22 = ^2 $ 2 $ 2h $ ^2 $ 2h = 8 $ 4 = 32

2 4 ' 22 = ^2 $ 2 $ 2 $ 2h ' ^2 $ 2h = 16 ' 4 = 4

Con solo la definición de potencia: 3

^22h3 = 22 $ 22 $ 22 = ^2 $ 2h $ ^2 $ 2h $ ^2 $ 2h = = 4 $ 4 $ 4 = 64

6

–– ¿Cómo se expresa una potencia como potencia de otra potencia?

Con la propiedad:

^22h3 = 22 : 3 = 26 = 64

Exponente 0 y exponente 1

Con una estrategia similar a las anteriores, pero expresando el exponente como un producto de dos números:

•

Cualquier potencia con exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1: a0 = 1

•

Cualquier potencia con exponente 1 es igual a la base: a1 = a 0 5 = 1

Sea la potencia 212 .

51 = 5

12 = 4 $ 3

6 Entonces: ^22h

^2 3h4

Tic Propiedades de potencias. Definiciones sobre las propiedades de las potencias para completar con palabras claves.

28

Con la propiedad: •

^3 $ 4h2 = ^3 $ 4h $ ^3 $ 4h = 12 $ 12 = 144

La potencia de una potencia es igual a la base de esta última potencia elevada al producto de los exponentes: ^a mh n = a m : n

Entonces:

12 = 2 $ 6

Con solo la definición de potencia: •

Potencia de una potencia

Sea la potencia 7 .

7 = 7 '7

La potencia de una división es igual al cociente de la potencia del dividendo entre la potencia del divisor: ^a ' bh n = a n ' b n

•

9

12

•

^a : bh n = a n : b n

Multiplicación y división de potencias de la misma base

–– ¿Cómo se expresa una potencia como cociente de potencias de igual base?

9

La potencia de una multiplicación es igual al producto de las potencias de los factores:

•

79 = 77 $ 72

9 = 12 - 3

•

28

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Sugerencias metodológicas Es importante que los estudiantes tengan la oportunidad de reflexionar sobre la veracidad de las propiedades expuestas. No haga que solo memoricen las reglas. Tal como se hace en el cuadro de la página 28, permita que ellos calculen el valor de ciertas expresiones utilizando solo la definición de potencia y que calculen el valor de esas mismas expresiones utilizando una o más propiedades. Al encontrar el mismo valor en ambos casos, ellos obtienen un argumento (inductivo) a favor de las propiedades expuestas.

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Recursos

1. Aplica las propiedades para expresar el resultado como una sola potencia. 1. 8 3 $ 2 3 = ^8 $ 2 h3 = 16 3 3

11 a) 1110 ' 117 = ______________ 3

3 b) 213 ' 73 = ________________ 56 c) 54 $ 52 = __________________ 15 2 d) 52 $ 32 = __________________

44 e) ^42h 2 = ___________________

f) 6 $ 6 $ 6 3

2

4

3. ^5 2h4 = 5 2 $ 4 = 5 8

2. 9 6 ' 9 2 = 9 6 - 2 = 9 4

69 = _______________

Ejercicios –– Escribe cada potencia como producto de dos potencias de igual base.

10 12 g) _^102h 3 i = ________________ 2

4 h) 46 ' 45 = __________________

a) 75

3

30 i) 23 $ 53 $ 33 = _______________

14 j) ^140h5 = __________________

b) 9

0

4

2 k) 504 ' 254 = _______________

l) 7 $ 7 $ 7 $ 7 0

1

2

3

3

a) 83 $ 8

g) 289 '

= 86

b) ^152h 8 = 1516 c) 25

0

d)

5

42

e) 3

3

f) 94 $

h) 218 ' 21

'7 = 6 3

'3 = 3 3

4

7

i) ^5 $ 10h = 4

=1 5

4

j) 106 ' 10

5

k) 2 $ 2 5

0

3

6

= 79 = 21 50

$2 = 2

9

l) `^152h j = 1 0

= 27 4

d) 127

a) 3 8

c) 116

b) 87

d) 155

–– Escribe cada potencia como potencia de una potencia.

4

=1

1

c) 105

–– Escribe cada potencia como cociente de dos potencias de igual base.

76 = ____________

2. Completa con el valor que falta. 9

10

a) 9 8

c) 36

b) 210

d) 1418

3

3. Calcula el resultado aplicando las propiedades convenientes. 64 a) 2 000 6 ' 1 000 6 = __________

1 b) ^320h 5 = __________________ 1 000 000 c) 53 $ 23 $ 103 = ______________

125 d) 3253 ' 653 = ______________ 46 e) 4624 ' 4623 = ______________ 1 f) 110 $ 111 $ 112 = _____________

4. Opera de forma independiente en ambos miembros de la igualdad para demostrar la siguiente afirmación. La potenciación no es distributiva respecto de los términos de una adición o una sustracción.

^ a + b hm ! a m + b m

a) ^5 + 4h2 ! 52 + 42

81 ! 41

^ a - b hm ! a m - b m

b) ^5 - 2h3 ! 53 - 23

27 ! 117

5. Pensamiento crítico. Explica la siguiente justificación de la propiedad del exponente 0. am ' am = 1 0 2(a =1 am ' am = am - m = a0

Individual

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Dependiendo del nivel de los estudiantes, puede también intentar desarrollar un argumento más abstracto utilizando la definición de potencia y otras propiedades de las operaciones, por ejemplo: ^a $ bh3 = ^a $ bh $ ^a $ bh $ ^a $ bh = = a$b$a$b$a$b = = a$a$a$b$b$b = = a3 $ b3

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Tic Operaciones con potencias. Ejercicios para relacionar operaciones dadas con sus resultados.

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Recursos

Potencias de base 10

Actividades Camila ha calculado varias potencias de base 10.

–– Expresa las siguientes cantidades con todas sus cifras.

10 1 = 10 10 2 = 10 $ 10 = 100 10 3 = 10 $ 10 $ 10 = 1 000 10 4 = 10 $ 10 $ 10 $ 10 = 10 000

a) La masa de la Luna: 7 $ 1022 kg. b) El número de estrellas de la Vía Láctea: 2 $ 1011 . c) La edad del Sol: 5 $ 109 años.

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.

1. Calcula el valor de cada potencia.

d) La superficie aproximada de los océanos: 4 $ 1014 m2 . e) Los glóbulos rojos en 1 litro de sangre: 5 $ 1012 . Pensamiento crítico e investigación Siguiendo el modelo de la actividad anterior busca cantidades del mundo natural o de la sociedad y la cultura que sea conveniente expresar utilizando potencias de 10.

El exponente coincide con el número de ceros.

10 2 = 10 0

100 000 a) 105 = __________________

100 000 000 c) 108 = __________________

1 000 000 000 000 e) 1012 = _________________

10 000 000 b) 107 = __________________

10 000 000 000 d) 1010 = _________________

1 000 000 000 000 000 f) 1015 = _________________

2. Escribe como una sola potencia de base 10. 10 11 10 4 a) 10000 = ___________________ d) 100000000000 = _______________________ 10 6 b) 1000000 = ________________

10 14 e) 100000000000000 = ___________________

10 9 c) 1000000000 = _____________

10 22 f) 10 000000000000000000000 = _________

3. Escribe cada número utilizando una potencia de base 10. 1. 8000 = 8 $ 1000 = 8 $ 10 3

2. 7200 = 72 $ 100 = 72 $ 10 2

6 $ 10 2 a) 600 = ______

82 $ 10 d) 820 = ______

2005 $ 10 3 g) 2 005 000 = ______

2 $ 10 4 b) 20000 = ______

12 $ 10 3 e) 12 000 = ______

224 $ 10 6 h) 224000000 = ______

9 $ 10 6 c) 9000000 = ______

f) 3 510 000 = ______ 351 $ 10 4

5 538 $ 10 6 i) 5 538 000 000 = ______

4. Observa el ejemplo y completa la tabla. Planeta

Distancia media al Sol en kilómetros

Distancia utilizando potencias de 10

Mercurio

57 900 000

579 $ 10 5

Venus

108 200 000

1 082 $ 10 5

Tierra

149 600 000

1 496 $ 10 5

Marte

227 940 000

22 794 $ 10 4

Júpiter

778 330 000

77 833 $ 10 4

Saturno

1 429 400 000

14 294 $ 10 5

Urano

2 871 000 000

2 871 $ 10 6

Neptuno

4 500 000 000

45 $ 10 8

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Sugerencias metodológicas Deje clara en las potencias de base 10 la relación entre exponente y número de ceros que siguen a la unidad. Señale sus aplicaciones para expresar grandes cantidades y para obtener la expresión polinómica de un número. Muestre la relación entre la descomposición como suma, que los estudiantes ya conocen, y la expresión polinómica.

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Descomposición polinómica de un número

Recursos Material didáctico

Miguel ha descompuesto el número 284 675 de distintas formas. Una de ellas utiliza potencias de base 10 y se llama descomposición polinómica. 284675 = 200000

+ 80000 + 4000 + 600 + 70

Prepare tarjetas numeradas del 0 al 9, y otras de distinto color en las que aparezcan las potencias 101, 102, 103, ... hasta 109.

5

+

284675 = 2 $ 100000 + 8 $ 10000 + 4 $ 1000 + 6 $ 100 + 7 $ 10 + 5 284675 =

2 $ 10

5

+ 8 $ 10

4

3

2

1

+ 4 $ 10 + 6 $ 10 + 7 $ 10 + 5 $ 10

Extraiga varias tarjetas numeradas y anote en la pizarra los números en el orden en que han salido. Saque después la misma cantidad de tarjetas con las potencias de base 10 y pida a los estudiantes que escriban la expresión polinómica correspondiente. Después indíqueles que escriban el número asociado.

0

En la descomposición polinómica de un número se expresa el valor de cada uno de los dígitos del número utilizando potencias de base 10.

1. Escribe la descomposición polinómica de cada número. 2 $ 10 4 + 0 $ 10 3 + 6 $ 10 2 + 8 $ 10 1 + 5 $ 10 0 a) 20 685 = _____________________________________________________ 5 $ 10 5 + 3 $ 10 4 + 5 $ 10 3 + 8 $ 10 2 + 4 $ 10 1 + 0 $ 10 0 b) 535 840 = ___________________________________________________ 1 $ 10 + 5 $ 10 + 0 $ 10 + 3 $ 10 + 9 $ 10 + 9 $ 10 + 2 $ 10 c) 1 503 992 = __________________________________________________ 6

5

4

3

2

1

0

d) 64 512 807 = _________________________________________________ 6 $ 10 7 + 4 $ 10 6 + 5 $ 10 5 + 1 $ 10 4 + 2 $ 10 3 + 8 $ 10 2 + 0 $ 10 1 + 7 $ 10 0 2 $ 10 7 + 0 $ 10 6 + 5 $ 10 5 + 0 $ 10 4 + 4 $ 10 3 + 6 $ 10 2 + 5 $ 10 1 + 0 $ 10 0 e) 20 504 650 = _________________________________________________

2. Escribe el número que corresponde a cada descomposición polinómica. 37 420 a) 3 $ 104 + 7 $ 103 + 4 $ 102 + 2 $ 101 + 0 $ 100 = _______________ 106 052 b) 1 $ 105 + 0 $ 104 + 6 $ 103 + 0 $ 102 + 5 $ 101 + 2 $ 100 = ______________

c) 9 $ 106 + 7 $ 105 + 2 $ 104 + 2 $ 103 + 0 $ 102 + 4 $ 101 + 1 $ 100 =

9 722 041

d) 1 $ 10 + 0 $ 10 + 4 $ 10 + 2 $ 10 + 9 $ 10 + 2 $ 10 + 0 $ 10 + 7 $ 100 = 7

6

5

4

3

2

1

e) 6 $ 10 + 3 $ 10 + 0 $ 10 + 1 $ 10 + 0 $ 10 + 7 $ 10 + 2 $ 10 + 2 $ 10 = 7

6

5

4

3

2

1

0

10 429 207 63 010 722

3. Resuelve los problemas. a) En una tienda hay 10 cajas que contienen pañuelos. Cada caja de pañuelos tiene 10 paquetes y cada paquete tiene 10 bolsitas con 10 pañuelos en cada una. ¿Cuántos pañuelos de papel hay en la tienda? 10 000 pañuelos

b) ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que uno puede recibir en billetes de Bs 100, billetes de Bs 10 y monedas de Bs 1 si la máxima cantidad de billetes de cada corte y monedas de Bs 1 es 9? Bs 999

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Sugerencias metodológicas Muestre la relación entre los tres tipos de descomposición: la descomposición aditiva y la multiplicativa, que los estudiantes ya conocen, y la descomposición polinómica que están estudiando ahora.

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Tic Descomposición polinómica. Escritura de números a partir de su descomposición polinómica.

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Más información

Raíz cuadrada exacta

Números con raíz cuadrada exacta

Sara tenía 25 cuadraditos iguales; con ellos formó un cuadrado y no le sobraron piezas. ¿Cuántos cuadraditos de lado tiene el cuadrado de Sara?

–– Los números naturales iguales o menores a 400 que tiene raíz cuadrada exacta son los siguientes:

Como el cuadrado de Sara tiene el mismo número de cuadraditos en cada lado, buscamos un número cuyo cuadrado sea 25. Este número se llama raíz cuadrada de 25 y se escribe 25 .

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 –– Para que un número tenga raíz cuadrada exacta, debe terminar necesariamente en las cifras 00, 1, 4, 6, 9 o 25. Obviamente, no cualquier número que acaba en esas cifras tiene raíz cuadrada exacta.

Encontramos que 25 = 5 porque 52 = 25. El número 25 tiene raíz cuadrada exacta. Entonces, el cuadrado de Sara tiene 5 cuadraditos de lado. La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que, al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a. a = b cuando b 2 = a Calcular la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado. Un número cuya raíz cuadrada es exacta es un cuadrado perfecto.

1. Encuentra las raíces y justifica tus respuestas.

–– Si un número tiene raíz cuadrada exacta y es par, entonces la raíz cuadrada es necesariamente par. –– Si un número tiene raíz cuadrada exacta y es impar, entonces la raíz cuadrada es necesariamente impar.

a) 1 = b) 4 =

1

d) 49 =

7

g) 100 =

2

e) 16 =

4

h) 81 =

c) 36 =

6

f)

9= 3

10

9

i)

121 = 11

j)

256 = 16

k) 64 = l)

8

144 = 12

2. Escribe el radicando. a)

169

= 13

c)

1 156

= 34

b)

625

= 25

d)

2 209

= 47

En a = b, llamamos radicando al número a, es el símbolo de la raíz y decimos que b es la raíz cuadrada de a.

3. Calcula el lado de un cuadrado cuya área es la indicada. a) 196 cm2 14 cm

b) 441 m2 21 m

c) 625 km2 25 km

d) 576 dm2 24 dm

4. Investiga. ¿Es posible que existan cuadrados perfectos cuya última cifra sea 7? ¿Y 2? ¿Por qué? No

5. Resuelve los problemas. a) Roberto tiene una caja con 49 bombones colocados formando un cuadrado. ¿Cuántas filas de bombones hay? ¿Y cuántos bombones tiene cada fila? 7 filas; 7 bombones

b) Los tableros de ajedrez son cuadrados y tienen 64 casillas iguales. ¿Cuántas casillas hay en cada fila? ¿Y en cada columna? 8 casillas; 8 casillas

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Sugerencias metodológicas

Tic

Comente con sus alumnos el ejemplo propuesto. Caracterice la raíz cuadrada como la operación inversa a hallar el cuadrado y muestre que la raíz es siempre menor que el número, mientras que el cuadrado no lo es. Señale que no todos los números tienen raíz cuadrada exacta, solo aquellos que se obtienen al calcular el cuadrado de los números naturales.

Raíces cuadradas. Ejercicios para calcular raíces cuadradas.

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Raíz cuadrada entera

Más información El resto de la raíz cuadrada entera

Simón tenía 21 cuadraditos; con ellos formó el cuadrado más grande que podía formar, pero le sobraron piezas. ¿Cuántos cuadraditos de lado tiene el cuadrado que formó Simón?

El número decimal, N, que es la raíz cuadrada de un número, M, que no tiene raíz exacta puede ser expresado como la suma de una parte entera, e, y una parte decimal, d:

Buscamos un número que multiplicado por sí mismo dé el número más cercano a 21, pero menor que 21. Este número es 4 porque 42 = 16 y 16 1 21 , pero 52 = 25 y 25 2 21 . El número 21 tiene raíz cuadrada entera. El cuadrado de Simón tiene 4 cuadraditos de lado y le sobran 5 (= 21 - 16) cuadraditos.

M = N = e+d

Si el radicando no es un cuadrado perfecto, la raíz cuadrada no es exacta. En este caso hablamos de raíz cuadrada entera.

Por consiguiente, el resto de una raíz cuadrada entera puede calcularse del siguiente modo:

La raíz cuadrada entera de un número a es el mayor número b cuyo cuadrado es menor que a. a . b cuando b 2 1 a y ^b + 1 h2 2 a El símbolo . significa “aproximadamente igual a”.

N2 = ^e + dh2 = = e2 + 2ed + d2

El resto de la raíz cuadrada entera es la diferencia entre el radicando a y el cuadrado de la raíz entera b. Resto = a - b 2

1. Calcula la raíz cuadrada entera y el resto. 3 6 a) 15 . _____ R = _______

13 7 c) 62 . _____ R = _______

6 10 e) 106 . ____ R = _______

2 5 b) 27 . _____ R = _______

13 9 d) 94 . _____ R = _______

11 4 f) 125 . ____ R = _______

2. Calculadora. Calcula la raíz cuadrada exacta o entera. Para calcular la raíz cuadrada de un número se utiliza la tecla

.

En la calculadora, la raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto es un número decimal. El número que aparece a la izquierda del punto decimal es la raíz cuadrada entera.

El resto o residuo corresponde a la expresión 2ed + d2 . Esta fórmula puede aplicarse para obtener el residuo utilizando el resultado exacto que ofrece la calculadora. En ese caso será necesario almacenar la parte decimal en la memoria de la máquina para llamarla cuando sea necesario.

131 11.44552314

59 a) 3 481 ________

62 c) 3 844 ________

82 e) 6 817 ________

104 g) 10 816 _______

44 b) 2 000 ________

50 d) 2 540 ________

f)

107 h) 11 546 _______

94 8 836 ________

3. Investiga. Escribe todos los números cuya raíz cuadrada entera es 5. ¿Cuántos números son? ¿Cuántos números tendrán como raíz cuadrada entera 6? ¿Y 7? Números con raíz cuadrada entera 5: 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35.

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Sugerencias metodológicas Compare la noción de raíz cuadrada entera con la noción de división entera. –– En la división entera, el producto del cociente por el divisor no es igual al dividendo y, entonces, hay un resto o residuo que es la diferencia entre el dividendo y el producto del cociente por el divisor. –– En la raíz entera, el número no tiene una raíz exacta y, entonces, hay un resto o residuo que es la diferencia entre el número y el cuadrado de la raíz entera. Comente que la idea de raíz entera se refiere simplemente a la parte entera del número decimal que constituye la raíz de un número que no tiene raíz exacta.

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Más información

Raíz cúbica exacta

Números con raíz cúbica exacta

Mauro formó un cubo con 27 cubitos iguales y no le sobraron piezas. ¿Cuántos cubitos de arista tiene el cubo de Mauro?

–– Los números naturales iguales o menores a 1 000 que tiene raíz cúbica exacta son los siguientes: 1 64 343 1000

8 125 512

En un cubo, todas las aristas miden lo mismo. Entonces, el cubo de Mauro tiene el mismo número de cubitos en cada arista. Buscamos un número cuyo cubo sea 27. Este número se llama raíz cúbica de 27 y se escribe 3 27 .

27 216 725

Encontramos que 3 27 = 3 porque 3 3 = 27. El número 27 tiene raíz cúbica exacta. Por tanto, el cubo de Mauro tiene 3 cubitos de arista. La raíz cúbica exacta de un número a es otro número b tal que, al elevarlo al cubo, obtenemos el número a.

–– Las dos últimas cifras de un número que tiene raíz cúbica exacta admiten varias posibilidades. · Los cubos perfectos que son divisibles por 5 acaban siempre en 25, 75 o 00. · En general, un cubo perfecto puede terminar en cualquier par de cifras con la última cifra impar.

3

a = b cuando b 3 = a

Calcular la raíz cúbica es la operación inversa de elevar al cubo. Un número cuya raíz cúbica es exacta es un cubo perfecto.

1. Encuentra las raíces cúbicas y justifica tus respuestas. 1 a) 3 1 = _______

8 d) 3 512 = _______

12 g) 3 1 728 = _______

b) 125

e) 1 331

11 = _______

h) 3 375

f)

13 = _______

i)

3

c) 8 3

5 = _______

2 = _______

3 3

2 197

3

15 = _______

3

20 8 000 = _______

El índice de la raíz cuadrada es 2 y no se escribe.

2. Escribe el radicando.

· Los cubos perfectos que son pares acaban siempre en 00, impar2, par4, impar6 y par8.

a) 3 b) 3

4 913 17 576

La raíz cúbica de un número a se indica con el símbolo 3 a . El número 3 se llama índice.

= 17

c) 3

= 26

d) 3

59 319 373 248

= 39 = 72

3. Calcula el número de cubitos que forman cada cubo y escribe la raíz cúbica de ese número.

a)

b)

64 cubitos ; 4

1 000 cubitos ; 10

4. Investiga. El número 1 es un cuadrado y un cubo perfecto al mismo tiempo. ¿Hay otros numeros que son cuadrados y cubos perfectos? Si crees que sí, ¿puedes dar ejemplos? 64 ; 729

5. Pensamiento crítico. ¿Es posible encontrar un cubo perfecto cuya última cifra sea 7 y cuya raíz cúbica acabe en 9? ¿Por qué? Sí

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Sugerencias metodológicas Comente con sus alumnos el ejemplo propuesto. Caracterice la raíz cúbica como la operación inversa a hallar el cubo y muestre que la raíz cúbica es siempre menor que el número, mientras que el cubo no lo es. Señale que no todos los números tienen raíz cúbica exacta, solo aquellos que se obtienen al calcular el cubo de los números naturales.

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Raíz cúbica entera

Más información El resto de la raíz cúbica entera

Lucero tenía 35 cubitos para armar un cubo. Armó el cubo más grande que pudo, pero le sobraron piezas. ¿Cuántos cubitos de arista tiene el cubo que armó Lucero?

Calcular el residuo de una raíz cúbica entera a partir de la parte entera y la parte decimal del número decimal correspondiente resulta algo complejo. Apliquemos un poco de álgebra.

Buscamos un número que elevado al cubo dé el número más cercano a 35, pero menor que 35. Este número es 3 porque 3 3 = 27 y 27 1 35 , pero 4 3 = 64 y 64 2 35 . El número 35 tiene raíz cúbica entera. El cubo de Lucero tiene 3 cubitos de arista y le sobran 8 (= 35 - 27) cubitos.

El número decimal, N, que es la raíz cúbica de un número, M, que no tiene raíz exacta puede ser expresado como la suma de una parte entera, e, y una parte decimal, d:

Si el radicando no es un cubo perfecto, la raíz cúbica no es exacta. En este caso hablamos de raíz cúbica entera. La raíz cúbica entera de un número a es el mayor número b cuyo cubo es menor que a. 3 a . b cuando b 3 1 a y ^b + 1 h3 2 a

El resto de la raíz cúbica entera es la diferencia entre el radicando a y el cubo de la raíz entera b. Resto = a - b 3

3

Por consiguiente, el resto resultará de:

1. Calcula la raíz cúbica entera y el resto. 6 2 a) 3 14 . ______ R = ______

5 75 d) 3 200 . ______ R = ______

3

b) 22

2 . ______ R

14 = ______

152 7 e) 495 . ______ R = ______

c) 51

3 . ______ R

24 = ______

f)

3

N 3 = ^e + dh3 = = e 3 + 3e2 d + 3ed2 + d 3

3 3

10 221 1221 . ______ R = _____

El resto o residuo corresponde a la expresión 2e2 d + 2ed2 + d 3 . Podemos probar la corrección de esta fórmula almacenando en la memoria de la calculadora la parte decimal correspondiente y realizando los cálculos indicados.



2. Calculadora. Calcula la raíz cúbica exacta o entera. 3

Para calcular la raíz cúbica de un número, se utiliza la tecla o la tecla . La raíz cúbica de un número que no es cubo perfecto es un número decimal. El número que aparece a la izquierda del punto decimal es la raíz cúbica entera. 3

5417 17.56249763

14 a) 3 3212 ________

27 c) 3 19683 ________

100 18 e) 3 5942 _________ g) 3 1000000 _______

16 b) 4100 ________

31 d) 29791 ________

f)

3

3

M = N = e+d

3

38 21 h) 3 54 872 __________ 10000 ________

3. Investiga. Escribe todos los números cuya raíz cúbica entera es 2. ¿Cuántos números son? ¿Cuántos números tendrán como raíz cúbica entera 3? ¿Y cuántos raíz cúbica entera 4? 18 ; 36 ; 60

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35

35

Operaciones combinadas

Más información Diagrama de árbol Un diagrama de árbol ayuda a pensar en el orden en que deben realizarse las operaciones, permite visualizar el proceso y puede disminuir el riesgo de cometer errores.

Observa cómo Andrés resuelve una operación en la que se combinan varias operaciones.

Por ejemplo, dada la operación 3 2 $ 3 - 25 $ 2 + 5 $ 1 6, primero elaboramos un diagrama de árbol:

Sigue con las multiplicaciones y con las adiciones y sustracciones en orden, de izquierda a derecha:

22 $ 32 + ^ 3 3 + 25 - 10 h $ ^42 + 5h 2

Primero realiza las operaciones que están entre paréntesis y bajo un signo radical. Empieza resolviendo las potencias: 4 $ 9 + ^ 27 + 32 - 10 h $ ^16 + 5h 2

36 + ^ 59 - 10 h $ 21 = 2 = 36 + ^ 49 h $ 21 2

32 $ 3 - 25 $ 2 + 5 $ 16 $3 -

Resuelve las raíces y las potencias: 6 + 72 $ 21 = 6 + 49 $ 21

$2+5$

-

Resuelve la multiplicación y, después, la adición:

+

6 + 1029 = 1035

+ Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden en que se realizan las operaciones es el siguiente: 1.º Las operaciones que están entre paréntesis o debajo de un signo radical respetando la siguiente jerarquía.

Y después llenamos el diagrama de árbol realizando las operaciones pertinentes:

2.º Las potencias y las raíces. 3.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha. 4.º Las adiciones y las sustracciones, de izquierda a derecha.

32 $ 3 - 25 $ 2 + 5 $ 16 9 $3 - 5 $2+5$ 1 27 17

10

+

+

5

1. Realiza las siguientes operaciones combinadas sin paréntesis. a) 24 ' 42 + 4

5

b) 43 ' 23 + 36 c) 4 $ 2 - 121 3

22

d) 34 ' 9 - 22

23

g) 32 $ 9 + 1000

14

e) 33 $ 4 - 42

38

h) 36 + 360 + 361

21

f) 3 $ 9 + 100

3

4

2

6 571

i) 2 $ 64 ' 16 3

28 43

16

2. Realiza las siguientes operaciones combinadas sin paréntesis. a) 24 - 2 3 + 22 - 2

10

f) 3 $ 102 + 2 $ 32 - 53 ' 5

293

b) 7 + 9 - 18 ' 3

4

g) 32 $ 3 - 25 $ 2 + 5 $ 16

22

c) 100 ' 5 + 33 ' 3

11

h) 25 + 3 8 $ 22 + 9 ' 3 - 23

d) 42 ' 23 + 64 ' 2

6

i)

16 + 52 $ 100 ' 25 $ 21 + 2 3 112

j)

36 + 4 2 ' 3 8 $ 4 - 1 10 - 3 2 12

e) 12 - 18 ' 2 + 4 $ 121

47

36

6

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Sugerencias metodológicas A la hora de realizar operaciones combinadas es siempre esencial comprender el orden en que deben resolverse las operaciones. El recurso del diagrama de árbol explicado en la guía de las páginas 16 y 17 puede aplicarse también aquí.

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Recursos

3. Realiza las siguientes operaciones combinadas con paréntesis. a) 49 + 3 $ ^12 - 7h

22

b) 8 - ^12 - 5h + 25 c) 3 + 4 $ ^ 36 - 4h d) 52 $ ^3 + 28 ' 4h

e) 2 $ ^5 + 36 ' 3h

g) 7 ' ^ 36 + 1h - 2 2

h) 7 $ ^5 + 3h - 52 $ 4

6

3

j) ^ 81 ' 3h $ 23 - ^42 + 3h

250

k) 5 $ 4 - ^10 ' 5 h + 100 3

112

f) ^32 - 25 h ' ^42 - 12h

2

Ejercicios

6

i) ^82 - 62h $ 662 - ^23 + 32h@

11

4

2

5

2

a) 2 4 $ 3 + 49 ' ^2 4 ' 16 h -^23 + 5 2h

326

l) 7^2 $ 9 + 2 $ 16 h ' 4 A - 36

1

Resuelve las siguientes operaciones combinadas:

532

1

b) 36 + ^3 4 + 5 $ 7 h + 4 $ 9 -^2 3 - 7 h

4. Realiza las siguientes operaciones combinadas con paréntesis. a) 7^ 92 + 19 - 22h + 42 A ' 2

d) ^ 4 + 9 h - 8 ' 2 - ^23h2 3

11

b) 3 32 - 1 + 52 - 16 - 100

4

c) ^ 32 + 42 + 3 $ 5h $ ^24 - 3 $ 21h - 52

175

57

e) 12 + 4 $ 3 + ^12 - 8h3 + 3 512 ' 8

c) 13 2 $ 25 -7^4 3 + 144 h + ^3 5 - 2 7 hA

92

f) 30 ' _6 + ^23 - 22h3 $ 3 i + ^43 - 16 h

d) ^8 3 $ 36 - 2 5 + 2 3 + + 16 + 2 h ' 3

61

5. Pinta del mismo color la operación combinada y su resultado. 15 2 - ^2 $ 3 2 ' 6h 3 10 $ 2 3 + 2 $ 3 3 - 4 3 ' 4

^9 2 - 7 2h $ 744 - ^3 2 + 5 2hA 320

^10 2 - 3 $ 5 1h $ ^2 5 - 2 $ 3 0h - 50 2 15

118

2 2 $ 3 - 36 $ 2 + 3 $ 1 5

50

222

5 3 - 5 2 + 4 + 12 $ 5 0 + ^8 5 + 5 8h0

6. Expresa con una sola operación combinada la cantidad de cubitos de cada agrupación.

a)

Por ejemplo:

c)

43 + 62 + 72

b)

Por ejemplo:

83 - 8 $ 23

d)

Por ejemplo:

1 + ^3 2 - 1h + ^5 2 - 1h + ^7 2 - 1h

Por ejemplo: ^7 3 - 5 2 - 3 2 h + ^5 2 + 3 2 h ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

37

Tic Operaciones combinadas. Juego para ejercitar operaciones combinadas con potencias y raíces cuadradas, operando contra reloj.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

37

Taller de Matemática

Más información Base 1 y exponente 2 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321

Patrones en las potencias 1. Utiliza la calculadora de la computadora para construir los patrones correspondientes a distintas potencias. Para la presente actividad, la calculadora del sistema operativo Windows es muy útil porque puede mostrar números de muchas cifras (hasta 32 cifras) sin recurrir a la notación que utiliza potencias de 10. Puedes encontrar la calculadora haciendo clic en el botón Iniciar, llevando el cursor a Todos los programas y abriendo la carpeta de Accesorios. Abre la Calculadora, selecciona la pestaña Ver y elige Científica.

Base 6 y exponente 2 62 = 36 662 = 4356 6662 = 443556 66662 = 44435556 666662 = 4444355556 2 e) 666666 = 444443555556

Con ayuda de la calculadora construye tablas como las siguientes. Tú eliges el dígito que forma las bases, el exponente (entre 2 y 9), y el número de filas de la tabla. Individual Para calcular potencias, se usan las teclas x2 , x 3 y x y . 222 5 _ 222 x y 5 =

539218609632

Exponente: 2

Exponente: 3

Base

Potencia

Base

Potencia

3

9

9

729

33

1089

99

970299

333

110889

999

997002999

3333

11108889

9999

999700029999

33333

1111088889

99999

999970000299999

333333

111110888889

999999

999997000002999999

3333333

11111108888889

9999999

999999700000029999999

2. Analiza las tablas que has construido, busca patrones y utilízalos para predecir resultados. Un patrón es una regularidad en la construcción de un objeto. Analizando la primera tabla podemos descubrir la regularidad que nos permite construir las potencias. Una vez que hemos descubierto el patrón podemos predecir que: 333333332 = 1111111088888889 Podemos confirmar esta predicción usando la calculadora. En las tablas que has construido busca patrones (a veces es muy difícil encontrarlos) y utilízalos para aumentar filas con bases de más dígitos y las potencias respectivas. Confirma tus predicciones con la calculadora. Individual

38

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Una vez que los estudiantes sepan cómo utilizar la calculadora de Windows, podrán construir tablas con la base y el exponente que ellos elijan; sin embargo, es recomendable que analicen si la calculadora puede calcular los resultados buscados o mostrarlos con todas sus cifras. La parte más interesante y difícil consiste en encontrar el patrón que siguen las potencias. Si a los estudiantes les resulta difícil encontrar el patrón en la tabla que han elaborado, sugiérales que hagan otra tabla cambiando la base y/o el exponente; que hagan este trabajo hasta que las potencias encontradas exhiban un patrón más claramente reconocible para ellos.

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Más información

Tratamiento de la información

Gráficos lineales de dos o tres características

Gráficos lineales de dos o tres características

Este tipo de gráficos tiene especial utilidad para representar datos que varían con el tiempo y para estudiar sus tendencias (en qué período bajan, en qué periodo suben, cuándo se mantienen constantes los valores…). Cada punto indica un valor de alguna de las características y al unirlos se forma el gráfico.

Los gráficos lineales se utilizan para mostrar cambios en el transcurso del tiempo o en diversas etapas.

1. Observa el gráfico, completa la tabla y contesta. El gráfico muestra la audiencia de tres canales de televisión a lo largo de una semana. 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

L

M

Mi

J

V

S

D

a) ¿Qué día cada canal alcanzó su mayor audiencia? KLT: Sábado

ENT: Viernes

CTV: Domingo

b) ¿Qué canal fue el más visto el día martes? ¿Y el sábado? CTV; KLT

c) ¿Qué días subió la audiencia del canal CTV

CTV

KLT

ENT

Lunes

3 000

1 000

1 500

Martes

3 000

1 500

2 250

Miércoles

2 000

2 000

3 000

Jueves

1 000

2 000

2 000

Viernes

2 000

3 000

4 000

Sábado

2 500

3 500

2 000

Domingo

3 500

3 000

2 500

d) ¿Qué días se mantuvo la audiencia del canal ENT respecto al día anterior? Ninguno

e) ¿Qué canal consiguió la máxima audiencia en un día cualquiera de la semana? ENT

respecto al día anterior? Viernes, sábado, domingo.

2. Observa la tabla, completa el gráfico y contesta. La tabla muestra los puntajes obtenidos por tres equipos de fútbol, los tres mejores a lo largo de seis temporadas.

2007

BFC

MFD

FCK

52

50

48

2008

50

52

48

2009

50

52

54

2010

46

48

50

2011

52

46

48

2012

54

52

50

a) Indica el campeón y el subcampeón de cada año. 2007: Campeón BFC, subcampeón MFD...

b) ¿Qué equipo tiene más títulos de campeón? ¿Y de subcampeón? BFC; MFD.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

56 54 52 50 48 46 44 0

07 08 09 10 11 12

c) ¿Qué equipo acumuló más puntos en las seis temporadas juntas? ¿Cuál menos? BFC; FCK.

d) ¿Algún equipo fue tercero más de dos temporadas? FCK

39

Sugerencias metodológicas Comente acerca de la presencia de la información gráfica en nuestra sociedad. Señale algunas de las formas que puede adoptar (gráficos de barras, gráficos lineales, gráficos de sectores o tortas, pictogramas…).

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

39

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 21a. Tenemos que calcular la raíz cuadrada de 36. –– Actividad 21b. Debemos calcular 72, 7 3, 7 4 y 75. –– Actividad 21c. Debemos calcular 45. –– Actividad 21d. Tenemos que calcular la raíz cúbica de 64. –– Actividad 21b. Debemos calcular la raíz entera de 325 y el resto es la mínima cantidad de soldados que debe dejar la compañía. Calculamos el cuadrado del número que sigue a la raíz entera de 325 y la diferencia entre ese cuadrado y 325 es la mínima cantidad que hay que añadir a la compañía.

1. Escribe como potencia y calcula el resultado. a) 2 $ 2 $ 2 $ 2 2 4 = 16 c) 0 $ 0 $ 0 $ 0 $ 0 0 5 = 0 b) 7 $ 7 $ 7

d) 100 $ 100

7 3 = 343

2

100 = 10 000

2. Expresa en forma de potencia. b) Quince al cubo

15

d) Ocho a la quinta

8

63

5

c) 153

b) 27

d) 84

5 $ 5 $ 5 = 125

2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 128

c) 421 000 0006

f) 3 421 100 000 0008

2 $ 10

140 608

f) 45

1 024

1 040 400

número. ah 5 $ 10 3 + 2 $ 10 2 + 1 $ 10 1 + 3 $ 10 0

ros utilizando la calculadora.

b) 961

e) 1 236

Cubo perfecto 22 3 Ninguno

perfecto f) 2 809 Cuadrado 2 53

6. Expresa como una sola potencia.

d) 218 ' 213

e) _^723h 0 i

48 5

g) 18 ' 18

7

7. Completa. a) 53 $ 7 3 = 353

e) 115 $ 11 3 = 118

b) 1005 ' 10 5 = 105

f) 4 10' 47 = 43

c) ^123h 4 = 1212

g) 32 1 = 32

d) 36 0 = 1 40

40

h) 15 6 ' 155 = 15

d) 2 000 002

b) 25 008

e) 21 054 884

c) 582 544

f) 543 652 842 640

12. Escribe el número al que corresponde cada descomposición polinómica.

a) 9 $ 103 + 2 $ 102 + 3 $ 101 + 4 $ 100

9 234

b) 2 $ 10 + 6 $ 10 + 1 $ 10 + 1 $ 10

26 110

4

3

2

1

c) 3 $ 105 + 5 $ 104 + 5 $ 103 + 8 $ 100

355 008

d) 5 $ 10 + 2 $ 10 + 1 $ 10 + 7 $ 10

5 002 170

3

2

1

13. Calcula la raíz cuadrada exacta.

18 0

h) 100 $ 101 $ 102 $ 103

a) 5 213

6

72 0

f) 45 $ 125 7

21 5

2

34 211 $ 10

11. Escribe la descomposición polinómica de cada

perfectos, en cubos perfectos o en ninguna de ambas clases. Pista: prueba con distintos núme-

d) 10 648

2 525 $ 10

421 $ 10

5. Clasifica los siguientes números en cuadrados

a) 2 744

1 003 $ 10

32 $ 10

c) 523

c) ^23 h

10 14

e) 2 525 000 0006

6 561

23 8

10

d) 100 000 000 000 000

b) 3 2002

e) 38

2 4

9. Escribe como una sola potencia de base 10. c) 10 000 0007 a) 1 10 0

d) 1 003 0003

35 937

99

100 000 000 000

a) 200 0005

b) 333

b) 95 $ 94

1 000 000

8 $ 8 $ 8 $ 8 = 4 096

d) 10202

44

d) 1011 10 elevado a once

de base 10.

130 321

a) 564 ' 144

b) 103 10 al cubo

10. Expresa cada número utilizando una potencia

a) 194

c) 589

c) 106 10 a la sexta

15 $ 15 $ 15 = 3 375

4. Calculadora. Encuentra las potencias.

Cubo perfecto 14 3 Cuadrado perfecto 31 2 Ninguno

al cuadrado a) 102 10 100

b) 10 000 10 4

3. Escribe como multiplicación y calcula el resultado. a) 53

se lee.

1 000

a) Diez al cuadrado 10 2 c) Seis elevado a tres 3

8. Escribe el valor de cada potencia e indica cómo

10 6

a) 289

17

d) 1225

35

b) 529

23

e) 1681

41

c) 961

31

f)

2704 52

14. Calcula la raíz cuadrada entera y el resto sin usar calculadora.

a) 35

5; 10

c) 103

10; 3

b) 72

8; 8

d) 140

11; 19

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Mi desempeño como docente 21. Resuelve los problemas aplicando cálculo de

15. Calculadora. Calcula la raíz cuadrada exacta o

potencias o cálculo de raíces.

la raíz cuadrada entera.

a) 60 025

a) Elsa ha armado un rompecabezas de 36

245

d) 91 204

b) 62 249

249

e) 260 100

510

c) 92 429

304

f)

529

302

280 524

b) En un pueblo hay siete casas, cada casa

16. Calcula la raíz cúbica exacta. a) 3 4 096

16

b) 3 9 261

21

c) 3 35 937

33

d) 3 64 000

40

tiene siete gatos, cada gato persigue a siete ratones, cada ratón lleva siete espigas y en cada espiga hay siete granos de trigo. ¿Cuántos gatos, ratones, espigas y granos de trigo hay? 7 gatos; 49 ratones; 343 espigas;

17. Calcula la raíz cúbica entera y el resto sin usar

2 401 granos de trigo

calculadora.

a) 3 43 b) 68 3

piezas, formando un cuadrado. ¿Cuántas piezas ha colocado Elsa en cada lado del cuadrado? 6 piezas

3; 16

c) 3 85

4; 4

d) 136

raíz cúbica entera.

a) 3 2 782

14

c) 3 48 428

36

b) 3 2 744

14

d) 3 46 656

36

c) Un edificio tiene 4 pisos. En cada piso hay 4 departamentos, con 4 ventanas a la calle en cada uno. Cada ventana tiene 4 macetas con 4 flores cada una. ¿Cuántas flores hay en total en las ventanas del edificio?

19. Escribe el radicando en las siguientes raíces cuadradas o cúbicas exactas. 676

b) 3

5 832=

1 024 flores

d) Una caja de chocolates está ordenada en

c)

= 26

d) 3

18

2 025=

45

2

35 937=

33

2

3

d) 10 3 ' 25 + 3 3 $ 16 ' 2 - 5 f) ^ 16 + 9 h - 18 ' 2 - ^2 h

249

Siempre.

2 2

e) Un coronel quiere ordenar su compañía for5

24

g) 7^2 $ 9 + 2 $ 16 h ' 49 A - 36 + ^3 3h2 h) ^ 25 + 5h ' 4 + 3 $ ^9 - 5h + 2 $ 3 2

Pocas veces.

104

e) ^5 $ 81 - 3 $ 3 64 + 12h ' ^7 2 - 40h 2

–– Me esfuerzo por hacer comprender conceptos y no solo por realizar ejercicios y practicar algoritmos.

32

c) 4 + 100 $ 2 + 3 $ 8 + 2 3

–– Busco que los estudiantes comprendan las propiedades de las operaciones y no solo que las memoricen y las usen.

44

b) 9 + 2 ' 4 - 2 $ 4 - 9 8

Siempre.

cierta cantidad, N, de niveles. Cada nivel tiene N filas y N columnas de chocolates. Si la caja trae 64 chocolates, ¿cuántos niveles tiene? 4 niveles

20. Resuelve las operaciones combinadas. a) 4 $ 64 ' 2 2 + 3 2 $ 4



Siempre.

5; 11

18. Calculadora. Calcula la raíz cúbica exacta o la

a)

Pocas veces.

Pocas veces.

4; 21

3

–– Ayudo a razonar a los estudiantes a la hora de resolver problemas y realizar actividades de investigación y pensamiento crítico.

2

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2

91

725

mando un cuadrado. Si hay 325 soldados, ¿cuál es la mínima cantidad de soldados que tendría que dejar la compañía para que el resto pueda formar un cuadrado? ¿Y cuál sería la mínima cantidad de soldados que habría que añadirle a la compañía con el mismo propósito? 1 soldado menos; cuadrado de 18. 36 soldados más; cuadrado de 19.

41

41



Sobre las actividades –– Actividad 28a. Pienso:n 27 = 3 3 ; entonces, 30 27 30 = ^3 3h . Por lo tanto, 3 30 90 ^3 h = 3 ! 3100 .

–– Actividad 28b. Pienso: 8 = 2 3; entonces, 30 8 30 = ^2 3h . Por consiguien30 te, ^2 3h = 290 . Los otros incisos de esta actividad se resuelven con un razonamiento similar.

22. Matemática y Lenguaje. Explica por qué las si-

42

c) 3 x . 15 R = 16

b) Busca un número decimal que sea un cua-

b) x . 22 R = 3

d) 3 x . 23 R = 23

cúbica exacta.

Individual

12 190

50

F

V V

d) 925 = 350

V

e) 2525 = 555

F

f) 2 = 32

V

55

11

29. Investiga. Mira estas potencias. ¿En qué cifra

b) 3 cubitos de espesor. 1 512 cubitos

acaba 7 1 963 ? 3

c) 5 cubitos de espesor. 3 880 cubitos

24. Expresa de dos formas como una sola potencia. c) 42 $ 42 $ 42 $ 42 39

b) 830 = 290 c) 16 = 4

296 cubitos

b) 33 $ 33 $ 33

3 391

guientes igualdades son verdaderas y cuáles no lo son. Explica por qué y no uses calculadora.

25

a) 1 cubito de espesor.

2 10

487

a) 2730 = 3100

cubo con una capa del espesor indicado?

a) 25 $ 25

115

28. Pensamiento crítico. Indica cuáles de las si-

23. ¿Cuántos cubitos se necesitan para envolver el

48

d) 102 $ 102 $ 102 $ 102 $ 102 10 10

71 = 7 7 2 = 49 7 3 = 343 7 4 = 2 401

7 5 = 16 807 7 6 = 117 649 7 7 = 823 543 7 8 = 5 764 801

30. Investiga. Observa la suma:

25. Aplica la regla y escribe el resultado.

1 + 10 + 10 2 + 10 3 + 10 4 + f + 10 11 + 10 12 En los cuadrados de los números terminados en 5: 2

15 = 225

2

25 = 625

35 = 1 225

•

El 12 (de 1 225) es igual al producto de 3 (de 35) por 4 (el número que sigue a 3).

b) 55

2

c) 652

3 025

d) 95

2

31. Investiga. Expresa los cuadrados perfectos como una suma de otros dos cuadrados perfectos.

Todos los resultados terminan en 25.

2 025

¿Puedes escribir su resultado? 1 111 111 111 111

2

•

a) 452

4 225

e) 1052

11 025

Algunos cuadrados perfectos (no todos) pueden expresarse como la suma de otros dos. En términos geométricos, eso significa que un cuadrado se puede descomponer en otros dos.

9 025

f) 125

15 625

Por ejemplo:

2

26. Escribe 4 términos más de cada serie. Después, escribe cada término en forma de potencia. 16, f 32, f 64, 128 f a) 2, 4, 8, f

25 = 16 + 9

U U U U U U U 2 4, f 2 5, f 2 3, f 26, f 27 2 1, 2 2, f

–– Actividad 30. La suma es simplemente el resultado de: 1 10 100 1000 10000 f

a) x . 10 R = 15

d) Busca un cubo perfecto que no tenga raíz

Por ejemplo: 12 ' 8 = 1 y r = 4. Entonces, la última cifra de 712 coincide con la última cifra de 7 4 . · Para el exponente 1 963: 1963 ' 8 = 245 y r = 3. Entonces, la última cifra de 7 1963 coincide con la última cifra de 7 3 .

a) Indica el exponente de la raíz cúbica.

c) Escribe una potencia de índice igual a 4.

· Si el residuo es 0, la potencia acaba en la cifra que acaba 7 8 . · Si el residuo es distinto de cero, vemos con qué exponente (de los que aparecen en la tabla del libro) coincide ese residuo. La potencia buscada tendrá como última cifra la misma cifra de la potencia con ese exponente.

enteras.

drado perfecto.

–– Actividad 29. Dividimos el exponente entre 8.

27. Calcula el radicando x en las siguientes raíces

guientes instrucciones son imposibles de cumplir.

16384 1024 256, f, 4f 096 b) 4, 16, 64 f , f

U U U U U U U 4 4, f 4 5, f 4 3, f 4 6, f 47 4 1, 4 2, f

42

a) 100 2

6 + 82

b) 169 2

5 + 12 2

c) 625 2

15 + 20 2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Valores

Problemas de Matemática y valores

Los problemas tocan dos situacionces en las que tenemos la responsabilidad de cuidar la salud y la vida: de las personas en el primer problema, y de los animales en el segundo.

32. Responsabilidad. Si las personas que tienen una enfermedad contagiosa no actúan de manera responsable, la enfermedad puede propagarse rápidamente en una gran población. Supón que el proceso de propagación de una enfermedad comienza con una persona que contagia a tres, y que cada persona enferma contagia a otras tres distintas.

Se trata precisamente de dos situaciones en las que no es frecuente que reconozcamos nuestra responsabilidad. Solo si creemos que una enfermedad es grave, nos cuidamos de no contagiar a otros (y no siempre ni en todos los casos). Desconocemos la obligación moral que tenemos de asegurar que los animales tengan condiciones dignas de existencia.

a) Completa la tabla para mostrar la cantidad de personas que adquieren la enfermedad en siete etapas de un proceso de propagación. El primer enfermo 30 = 1

1.a etapa

2.a etapa

31 = 3

32 = 9

3.a etapa

4.a etapa

5.a etapa

6.a etapa

7.a etapa

3 3 = 27

3 4 = 81

3 5 = 243

3 6 = 729

3 7 = 2 187

b) ¿Cuántas personas han contraído la enfermedad al cabo de la 7.ª etapa? 3 280 personas

c) Se estima que la gripe española mató a casi 100 millones de personas entre 1918 y 1919. ¿En qué etapa del proceso que analizamos el número total de contagiados se acercaría a los 100 millones? 16. a etapa

33. Responsabilidad. Cada año, en todo el mundo, millones de crías de gatos y perros nacen con pocas perspectivas de sobrevivir. Millones son abandonadas o “sacrificadas”. Las personas debemos aceptar nuestra responsabilidad en la reproducción de los animales domésticos pues la vida de estos seres merece también respeto. Una gata de un año puede ya reproducirse y en un año puede tener hasta 3 camadas. Supongamos que en cada camada tiene 4 gatitos, de los cuales 2 son hembras que podrán reproducirse al cabo de un año.

a) Completa la tabla para mostrar la cantidad de hembras, descendientes de una sola, que podrían nacer cada año. La primera hembra 0

6 =1

Año 1 1

6 = 6

Año 2 2

6 = 36

Año 3

Año 4

3

4

6 = 216

6 = 1 296

Año 5 6 5 = 7 776

b) ¿Cuántos gatitos, incluyendo a los machos, nacerían cada año? 12 n; n = años c) Si el proceso se inicia con 100 hembras, ¿cuántos gatitos, hembras o machos, podrían nacer en total en cinco años? (Si de hecho no hay tantos animales vivos es porque sus condiciones de reproducción y superviviencia no son fáciles). 24 883 200 gatos ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

43

43

Sugerencia de temporalización

3

Abril

Ángulos, simetría y movimientos

Valores El conocimiento de la naturaleza puede ser una expresión del egocentrismo humano: conocemos la naturaleza para dominarla, para ponerla al servicio de nuestras metas, cualesquiera que sean estas. El texto nos invita a pensar en el conocimiento de la naturaleza como una manifestación de admiración y respeto. Leonardo da Vinci pensaba que “El placer más noble es el júbilo de comprender”. Leonardo da Vinci es destacable no solo por su trabajo como artista, ingeniero y científico, sino también por su actitud ética hacia los animales. Leonardo escribió: “El hombre es en verdad el rey de todas las bestias, pues su crueldad sobrepasa a la de estas. Vivimos de la muerte de otros. Somos como tumbas andantes. Llegará el día en que los hombres serán juzgados por la muerte de un animal como hoy se juzga el asesinato de un hombre. Llegará el tiempo en que comer carne será condenado como hoy se condena el comerse a nuestros semejantes”.

Leonardo da Vinci y la naturaleza Leonardo da Vinci (1452-1519) era un gran observador de la naturaleza; estudiaba y dibujaba el cuerpo y el movimiento de los caballos, describía cómo se propagan las ondas en el agua, descubría las reglas que siguen las ramas de los árboles cuando crecen y se ramifican. Sus lúcidas observaciones de la naturaleza ocupan cientos de páginas de sus escritos.

• ¿Qué conceptos matemáticos puedes utilizar para describir las formas y los movimientos de los seres de la naturaleza? • ¿Qué significa para ti apreciar y respetar la naturaleza?

Pero Leonardo no solo estudiaba la naturaleza, también pensaba que los seres humanos no tenían derecho a matar a los animales ni a privarles de su libertad. Estaba convencido de que algún día veríamos el asesinato de los animales como ahora vemos el asesinato de las personas.

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Sugerencias metodológicas En la sección Recuerda compruebe el nivel de conocimientos de los estudiantes sobre los conceptos de recta, semirrecta y segmento, y sobre los conceptos de perpendicularidad y paralelismo. Asegúrese también de que reconocen los tipos de ángulos más comunes y sus elementos. Puede complementar esta sección exponiendo el concepto de ángulos adyacentes, concepto que se utilizará en las páginas de desarrollo de contenidos.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA

–– Las construcciones geométricas con regla y compás plantean en ocasiones dificultades a los estudiantes. Es importante que tengan claros los pasos que deben seguir en cada construcción antes de realizarla, para poder concentrarse en el proceso de trazado. Pida a los estudiantes que las verbalicen y proponga actividades de práctica suficientes hasta que alcancen soltura en el manejo de los instrumentos de dibujo.

Rectas, semirrectas y segmentos •

Una línea recta, o recta, se extiende indefinidamente hacia ambos lados.

•

Una semirrecta está limitada por un punto en uno de sus lados y en el otro lado se prolonga indefinidamente.

•

Un segmento de recta está limitado por puntos en ambos lados. A

B

A

La recta AB.

B

La semirrecta AB.

A

B

El segmento AB. C

1. Dibuja tres puntos (A, B y C) que no puedan quedar sobre una misma recta. a) Traza la recta AB , la semirrecta BC y el segmento AC . b) ¿En qué se diferencian la semirrecta BC y la semirrecta CB ?

A

B

Individual

Rectas paralelas y rectas perpendiculares •

Dos rectas paralelas nunca se cruzan.

•

Dos rectas perpendiculares se cruzan formando ángulos de 90º. Rectas perpendiculares

Rectas paralelas

2. Dibuja tres puntos (A, B y C) que no puedan quedar sobre una misma recta. a) Traza la recta AB y una recta paralela a AB que pase por C.

A

B B

C C

b) Traza una recta que pase por C y sea perpendicular a la recta AB .

Vocabulario matemático Ángulo externo

A

Ángulo interno Ángulos alternos externos

Ángulos

Ángulos alternos internos

Un ángulo es la abertura que forman dos semirrectas que parten de un mismo punto. Cada semirrecta es un lado del ángulo y el punto común del que parten se llama vértice. Un ángulo se mide en grados.

Ángulos correspondientes Bisectriz Mediatriz

do

la

vértice

Recta

40º

Rotación

lado

Segmento de recta

3. Traza dos semirrectas que formen un ángulo de 60º. 4. Traza dos semirrectas que formen un ángulo de 90º.

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Semirrecta

60°

Simetría respecto a un eje

90°

45

Simetría respecto a un punto Traslación

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45

Más información

Ángulos internos y ángulos externos

Ángulos opuestos por el vértice

Simón trazó dos rectas paralelas y una tercera, llamada recta secante, que corta a ambas.

Se dice que dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos están formados por las prolongaciones de los lados del otro ángulo. Dos ángulos opuestos por el vértice tiene el vértice común.

Sara trazó dos rectas no paralelas y una secante que corta a ambas. Dibujo de Simón

Dibujo de Sara F

W E

W H

W A A

F

W F

W G

C

D

W D

W E

C

W A

W B

W C

Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado común ...

B

E

A

W C

W F

W G W B

W H

W D

D

B

E

En los dos trazados se forman ocho ángulos. Los cuatro ángulos situaS , G S y H S ) se llaman internos; los otros dos entre las dos rectas ( S A , B S , D S , E S y F S ) se llaman externos. cuatro (C

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. Es fácil convencerse de esta afirmación considerando que los ángulos opuestos por el vértice tiene el mismo ángulo suplementario (recordemos que dos ángulos son suplementarios cuando su suma es igual a 180º).

•

Ángulos alternos internos son una pareja de ángulos internos no adyacentes situados a uno y otro lado de la secante. En las figuras S , B S y G S. de Simón y Sara son alternos internos S A y H

•

Ángulos alternos externos son una pareja de ángulos externos no adyacentes situados a uno y otro lado de la secante. En las figuras S y F S , D S y E S. de Simón y Sara son alternos externos C

•

Ángulos correspondientes son una pareja de ángulos no adyacentes, uno interno y otro externo, situados a un mismo lado de la secante. En las figuras de Simón y Sara son correspondientes S A y S , B S y F S , C S y G S , D S y H S. E

... y si forman un ángulo llano o de 180°.

Simón y Sara miden los ochos ángulos y comprueban que en el dibujo de Simón se cumple que: W W A=W D=W E=W H C=W B=W F=W G En cambio, en el dibujo de Sara solamente se cumple que: W W W W A=W D E=W H C=W B F=W G Si dos rectas son cortadas por una secante, se forman ocho ángulos, llamados ángulos externos y ángulos internos. Solo si las dos rectas cortadas por la secante son paralelas, las parejas de ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes son iguales.

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Sugerencias metodológicas Tic Ángulos en paralelas y secantes. Afirmaciones referidas a los ángulos alternos y a los ángulos correspondientes.

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Recuerde el concepto de ángulos opuestos por el vértice y utilice el teorema sobre la igualdad de estos ángulos y la definición de ángulos adyacentes para justificar el teorema expuesto en el recuadro: “Si dos rectas cortadas por una secante son paralelas, las parejas de ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes son iguales”.

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Recursos

1. Observa el dibujo e indica.

W A; W B; W H; W G a) Los cuatro ángulos internos: ________________

D

W C; W D; W E; W F b) Los cuatro ángulos externos: ________________

E

W F

c) Las dos parejas de ángulos alternos internos:

W E

W AyW H; W ByW G ____________________

W G

d) Las dos parejas de ángulos alternos externos: W CyW F; W DyW E ____________________

W H

B

W B

W AyW E; W CyW G; W ByW F; W HyW D ______________________________________________________________

Es muy importante desarrollar en los estudiantes el razonamiento geométrico. Este tipo de razonamiento es deductivo, en cada una de sus etapas hacemos una afirmación que debe justificarse en hechos y teoremas geométricos comprobados. Cada etapa del razonamiento ofrece un fundamento para las siguientes.

W D

W A

C

e) Las cuatro parejas de ángulos correspondientes:

Para ayudar a pensar

W C

F

A

2. Indica la medida de los ángulos sabiendo que las rectas AB y CD son paralelas C = 70c. y que W

F

W 110c A = ___ W 70c C = ___ W E = 110c ___ W 70c G = ___

W E

W 70c B = ___ W 110c D = ___ W 70c F = ___ 110c W H = ___

C

W C

A

W A

W G

W F

W B

W H

En la actividad 3, el razonamiento geométrico se desarrolla del siguiente modo. –– El ángulo FS mide 130º porque

D

W D

B

FS y el ángulo de 130º son correspondientes y las rectas

E

3. Observa el dibujo e indica la medida de los ángulos sabiendo que las rectas

PQ y RS son paralelas. S mide 50º porque –– El ángulo H

PQ y RS son paralelas. W 80c A = ___ 100c W C = ___ W 50c E = ___ W 130c G = ___

W E

P

W 100c B = ___ W 80c D = ___ W 130c F = ___ W 50c H = ___

W G

W A R

S son adyacentes y el FS y H ángulo FS mide 130º. S mide 100º por–– El ángulo B

W F

W H

Q

W B

S, B S y el que los ángulos H ángulo de 30º son los ángulos internos de un triángulo y los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180º. –– El ángulo S A mide 80º porque

30o

W D C W

130o S

4. Pensamiento crítico. Utiliza las ideas desarrolladas en estas dos páginas

S son adlos ángulos S A yB S mide yacentes y el ángulo B 100º.

para demostrar, con referencia al dibujo, que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180º. A m

–– Las siguientes parejas son parejas de ángulos iguales porque todas ellas son parejas de ángulos opuestos por el vértice: S S, C S yB S, E S yH S , FS y G S A yD

n

a

a + b + c = 180c b

c

B

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C

Individual

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47

Más información

Bisección de un segmento y mediatriz

Mediatriz de un segmento y mediatrices de un triángulo

Marcelo utiliza regla y compás para dividir el segmento AB por la mitad y, de este modo, obtiene dos segmentos de la misma longitud.

El concepto de mediatriz de un segmento es la base para definir el concepto de mediatrices de un triángulo.

P

Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de los tres segmentos que forman los lados del triángulo. Por consiguiente, las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares en el punto medio de cada uno de sus lados.

A

A

B

1.º Abre el compás una distancia mayor que la mitad del segmento AB .

•

M

A

B

Q

Recursos

Q

2.º Haciendo centro en los puntos A y B, traza dos arcos que se cruzan en los puntos P y Q.

3.º Con una regla, traza una línea que une los puntos P y Q y obtiene así el punto M sobre el segmento AB .

La línea PQ corta al segmento AB en el punto M.

•

El punto M es el punto medio del segmento AB .

•

Los segmentos AM y MB tienen la misma longitud.

•

La línea PQ es perpendicular al segmento AB : PQ = AB . La línea PQ se llama mediatriz del segmento AB .

Pensamiento crítico e investigación ¿Cualquier línea que pasa por el punto medio de un segmento sirve para dividir al segmento en dos segmentos iguales? ¿Y cualquier línea que pasa por el punto medio de un segmento es su mediatriz?

B

P

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular a este.

1. Dibuja el segmento indicado y traza su mediatriz utilizando regla y compás. a) Un segmento horizontal AB de 4 cm de longitud. b) Un segmento inclinado PQ de 5,3 cm de longitud. c) Un segmento vertical RS de 6,4 cm de longitud.

R

Q A

B

P

S

2. Investiga. Inventa y describe un método para bisectar un segmento y trazar su mediatriz utilizando solo regla y escuadra. Individual

3. Pensamiento crítico. Si la línea PQ es la mediatriz del segmento AB, ¿puede decirse también que el segmento AB es la mediatriz de la línea PQ?, ¿por qué? Si

P

4. Investiga. Si tomas un punto P de la mediatriz del segmento AB (menos el punto medio del segmento) y trazas los segmentos PA y PB, ¿puedes formar un triángulo equilátero?, ¿y uno isósceles?, ¿y uno escaleno?, ¿por qué? Individual

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A

B ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas Tic Dibujando mediatrices. Actividad para determinar si las mediatrices de varios triángulos fueron bien trazadas.

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–– Deje clara la definición de mediatriz y explique que debe cumplir ambas condiciones: ser perpendicular al segmento y pasar por su punto medio. –– Realice el trazado de la mediatriz de un segmento en la pizarra con el material de aula y pida a los estudiantes que, al mismo tiempo, lo vayan haciendo en sus cuadernos. Señale que la abertura del compás debe ser mayor que la mitad del segmento.

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Bisección de un ángulo y bisectriz

Más información Bisectriz de un segmento y bisectrices de un triángulo

S por la mitad y, Roxana utiliza regla y compás para dividir el ángulo AVB de este modo, obtiene dos ángulos de la misma medida.

A P

Q

V

B

V

1.º Haciendo centro en el punto V (el vértice del ángulo) traza un arco y obtiene los puntos P y Q.

• • • •

A

A

P

P

K Q

El concepto de bisectriz de un ángulo es la base para definir el concepto de bisectrices de un triángulo, pero se presenta una diferencia sobre la que es importante llamar la atención

B

Q

V

2.º Haciendo centro en los puntos P y Q y con la misma abertura de compás traza dos arcos que se cruzan en el punto K.

K

B

La bisectriz de un ángulo se define como la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. En cambio, las bisectrices de un triángulo se definen como las rectas que dividen a cada uno de los ángulos internos del triángulo en dos ángulos iguales.

3.º Con una regla, traza una línea que une los puntos V y K y obtiene así la semirrecta VK .

La semirrecta VK divide al ángulo S AVB en dos ángulos iguales. El punto V es el origen de la semirrecta VK . S tienen la misma medida. Los ángulos S AVK y KVB

La semirrecta VK se llama bisectriz del ángulo S AVB .

¿Por qué esta diferencia entre semirrecta y recta? Básicamente porque es importante definir todas las líneas notables del triángulo de una misma manera, es decir, es más conveniente definirlas a todas como rectas y no algunas como rectas, otras como segmentos y otras como semirrectas.

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que se origina en el vértice del ángulo y divide a este en dos ángulos iguales.

1. Dibuja el ángulo indicado y traza su bisectriz utilizando regla y compás. a) Un ángulo agudo de 50º. b) Un ángulo recto de 90º. c) Un ángulo obtuso de 145º. 2. Investiga. Inventa y describe un método para bisectar un ángulo y trazar su bisectriz utilizando solo transportador. Individual

3. Investiga. En cada caso indica si siempre, a veces o nunca las diagonales

Recursos

son bisectrices de los ángulos del cuadrilátero. Apoya tu conclusión con ejemplos.

a) Cuadrado

b) Rectángulo

Siempre

Nunca

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c) Rombo

Siempre

Pensamiento crítico e investigación

d) Romboide

A veces

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Mónica ha trazado la bisectriz de un ángulo agudo y el ángulo ha quedado dividido en dos ángulos de 45º cada uno. ¿Es esto posible? ¿Por qué?

Sugerencias metodológicas Deje clara la definición de bisectriz. Realice el trazado de la bisectriz de un ángulo en la pizarra con el material de aula y pida a los alumnos que lo vayan haciendo en sus cuadernos simultáneamente.

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Tic Mediatriz y bisectriz. Elección de la definición correcta para mediatriz y bisectriz entre una serie de opciones.

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Más información

Simetría respecto a un punto

Simetría central Catalina ha dibujado un triángulo ABC y, después, el triángulo Al Bl C l que es la figura simétrica del primer triángulo respecto al punto O.

La simetría con respecto a un punto recibe también el nombre de simetría central.

C B

Simetría respecto a un punto y rotación A'

Si F l es la figura simétrica de F con respecto al punto O, entonces F l es también la figura que resulta de aplicar a F una rotación de 180º con respecto al punto O.

B' C'

Dos puntos P y P l son simétricos respecto a un punto o centro O cuando:

Recursos

a) El cuadrado b) El rectángulo

•

Los puntos P y P l están sobre una misma recta.

•

El punto O es el punto medio del segmento PPl .

Dos figuras son simétricas respecto a un punto o centro O cuando todos los puntos de una de las figuras tienen un punto simétrico (respecto al punto O) en la otra figura y viceversa.

Pensamiento crítico e investigación ¿Cuáles de los siguientes paralelogramos son simétricos con respecto al punto en que se cruzan sus dos diagonales?

A

O

1. Copia la figura y obtén la figura simétrica respecto al centro O, el punto rojo. b) a) c)

2. En cada caso indica si el punto rojo es un punto de simetría. b) a) c)

Respuesta gráfica.

e)

d)

c) El rombo d) El romboide

Si No

Si

Si

No

3. En cada caso indica si la figura simétrica respecto al punto rojo resulta ser exactamente la misma figura del dibujo.

b)

a)

Si

Si

e)

d)

c)

No

Si

No

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Sugerencias metodológicas –– Haga notar que para obtener la figura simétrica con respecto a un punto es suficiente obtener los puntos simétricos de los vértices. Sin embargo, este método no puede aplicarse de manera mecánica e irreflexiva cuando la figura tiene curvas, como es el caso de las figuras b) y d) de la actividad 3. –– Es conveniente que los estudiantes trabajen en papel cuadriculado.

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Simetría respecto a un eje

Más información Simetría axial

Antonio ha dibujado un triángulo ABC y, después, el triángulo Al Bl C l que es la figura simétrica del primer triángulo respecto a la recta r.

C

La simetría con respecto a un eje recibe también los nombres de simetría axial y simetría del espejo. En el contexto de la biología, se habla de los cuerpos que tienen simetría bilateral

C'

B

B'

Simetría respecto a un eje y rotación

A'

A r

En la mayoría de los casos es cierto que si Fl es la figura simétrica de F con respecto a la recta r, entonces Fl no puede obtenerse de F aplicando a esta figura una rotación en el mismo plano en que se encuentran las figuras.

Dos puntos P y P l son simétricos respecto a una recta, llamada eje de simetría, cuando la recta es la mediatriz del segmento PPl Dos figuras son simétricas cuando los puntos de ambas son simétricos de dos en dos respecto a una misma recta o eje de simetría. Cuando una recta divide una figura en dos figuras simétricas, se dice que la recta es un eje de simetría de la figura, y de la figura misma se dice que tiene simetría.

Sin embargo, si la transformación simétrica no cambia la forma ni la orientación de F (como ocurre, por ejemplo, en el caso del círculo), entonces sí es posible que Fl resulte de F por medio de una rotación.

1. Copia la figura y obtén la figura simétrica respecto al eje de simetría. c) b) a) e e

e

2. En cada caso indica si la recta roja es un eje de simetría. c) b) a)

d)

e)

Si No

Recursos

Si

3. Traza todos los ejes de simetría que tienen las figuras. c) a) b)

No

d)

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No

Pensamiento crítico e investigación

e)

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¿Puedes indicar ejemplos de figuras que tiene simetría respecto de un punto y que también tiene simetría respecto de un eje?

Sugerencias metodológicas –– Muestre a los estudiantes diversas imágenes de objetos de la naturaleza que tiene simetría respecto a un recta. Pida a los estudiantes que consigan otras imágenes de objetos que tienen el mismo tipo de simetría. Haga notar que un mismo objeto puede tener más de un eje de simetría. –– Es conveniente que los estudiantes trabajen en papel cuadriculado.

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Tic ¿Qué sabes de la simetría? Afirmaciones verdaderas o falsas referidas a la simetría.

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Más información

Traslación

Algunas características de la traslación

Sandra ha dibujado el triángulo ABC y trasladando ese triángulo 9 cuadraditos hacia la derecha y 6 hacia arriba, es decir, realizando la traslación ^9 ", 6 -h , ha obtenido el triángulo Al Bl C l.

Si la figura Fl resulta de la figura F en virtud de una traslación, entonces:

B'

–– La figura Fl es idéntica a la figura F, pero está situada en otro lugar del plano. Por lo tanto, una traslación no modifica la forma ni el tamaño de la figura inicial. –– La figura Fl conserva la misma orientación que la figura F. Por tanto, solo aquellas figuras cuya orientación no se altera cuando son sometidas a una rotación o a una transformación simétrica (con respecto a un punto o con respecto a una recta) pueden resultar también de una traslación. Por ejemplo, si Cl es la figura simétrica del cuadrado C con respecto a una recta (paralela a una diagonal del cuadrado), entonces Cl puede obtenerse de C por medio de una traslación. En la mayoría de los casos, si la figura Ml resulta de aplicar a la figura M una rotación, una simetría con respecto a un punto o una simetría con respecto a un eje, entonces la figura Ml no podrá resultar de aplicar a M una traslación.

Los movimientos en diagonal son una combinación de movimientos verticales y horizontales.

A'

C'

B A

C

La traslación de un punto en el plano se describe mediante segmentos orientados. Cada segmento corresponde a un movimiento en línea recta que tiene una distancia y una dirección –izquierda ^!h, derecha ^"h, arriba ^ - h, abajo ^ . h. Para trasladar una figura, se aplica el mismo movimiento, o la misma combinación de movimientos, a todos sus puntos.

1. Copia la figura en papel cuadriculado y realiza la traslación indicada. Respuesta gráfica. a) ^8 ", 6 .h b) ^4 -, 11 !h c) ^3 ", 10 .h d) ^9 ., 9 !h

2. Indica si la figura Fl resulta de la figura F mediante una traslación. Explica por qué.

a) F'

F

d)

c)

b) F

F'

F

F'

F

F' No

No

Si

No

3. Primero, encuentra la figura simétrica respecto del punto o la recta y, después, aplica la traslación indicada. Respuesta gráfica.

a) ^3 ", 5 -h

b) ^5 ., 6 !h

Recursos Pensamiento crítico e investigación Dibuja un cuadrado y una recta en el plano. Obtén la figura simétrica del cuadrado con respecto a la recta. ¿Puede obtenerse la figura simétrica a partir de la figura inicial mediante una traslación? ¿Cómo tendría que estar situada la recta para que aquello sea posible?

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Sugerencias metodológicas –– Haga notar que para realizar la traslación de una figura es suficiente realizar la traslación de sus vértices. –– Es conveniente que los estudiantes trabajen en papel cuadriculado.

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Más información

Rotación

Algunas características de la rotación

Rafael utiliza un compás y un transportador para rotar 90º en sentido antihorario y alrededor del centro de rotación O el triángulo ABC. A

B

A

B

C

C

C

0

0

0 A'

A' P

B'

traza la semirrecta OP.

2.º Coloca la aguja del compás en el punto O y el lápiz en el punto A y traza un arco hasta

C'

3.º Realiza la misma operación con los puntos B y C y obtiene los puntos Bl y Cl . Une los puntos Al, Bl y Cl y obtiene la rotación ^O, 90ch del triángulo ABC.

cortar la semirrecta OP en el punto Al .

Horario

–– Una rotación no cambia la forma y el tamaño de la figura, pero en la mayoría de los casos, cambia su orientación (la excepción corresponde a la rotación de 360º o de cualquier ángulo que sea un múltiplo de 360º).

P

P

1.º Traza la semirrecta OA, mide un ángulo de 90º en sentido antihorario y

–– Una rotación siempre se realiza alrededor de un punto fijo. En este aspecto se diferencia claramente de una traslación, la cual no tiene un punto fijo.

A

B

Una rotación es el movimiento que realiza una figura alrededor de un punto fijo, llamado centro de rotación, que puede estar dentro o fuera de la figura.

–– Si la figura F l resulta de la figura F por una rotación de 180º con respecto al punto O, entonces F l es la figura simétrica de la figura F con respecto al punto O.

Antihorario

Para indicar una rotación, se anota el punto fijo y el ángulo de giro. Debe indicarse si el giro se realiza en sentido horario o antihorario.

1. Copia la figura en papel cuadriculado y realiza la rotación en sentido horario y en sentido antihorario alrededor del punto O, el punto rojo. Respuesta gráfica.

a) ^O, 60ch

b) ^O, 180ch

c) ^O, 120ch

Recursos Pensamiento crítico e investigación

2. Primero, encuentra la figura simétrica respecto del punto o la recta y, después, realiza la traslación y la rotación indicadas. Respuesta gráfica.

a) ^3 ", 4 -h ( ^O, 45c antihorarioh

b) ^5 ., 5 !h ( ^O, 150c horarioh

O

O

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Dibuja una figura plana y una recta. Encuentra la figura simétrica con respecto a la recta. Analiza si puedes ubicar un punto tal que la figura simétrica pueda obtenerse de la figura original por medio de una rotación con respecto a ese punto. ¿Y puedes conseguir algo así cambiando la forma de la figura?

Sugerencias metodológicas –– Haga notar que para realizar la rotación de una figura es suficiente determinar la nueva ubicación de los vértices. –– Es conveniente que los estudiantes trabajen en papel cuadriculado. Si tienen compás, muéstreles cómo efectuar la rotación utilizando regla y transportador.

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Tic Movimiento en un plano. Relación entre dos conjuntos de símbolos y su significado matemático.

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Recursos Actividades Resuelve los siguientes problemas. a) Ana corrió el martes la mitad que el lunes, y el miércoles corrió 1,8 km menos que el martes. El miércoles corrió 5 km. ¿Cuántos kilómetros corrió el lunes? b) Marcelo escribió un número. Le restó 90 y luego la diferencia la dividió entre 7. El resultado final fue 20. ¿Qué número escribió Marcelo?

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Empezar por el final Partiendo de los datos que describen la situación final de una secuencia de hechos deducimos la situación inicial con que se inicia dicha secuencia. Un conjunto de música vende cierta cantidad de discos durante la primera semana del lanzamiento de su nuevo álbum. La segunda semana vende 5 000 discos más que la primera. La tercera semana vende 24 600 discos, el doble de lo que vendió la segunda semana. ¿Cuántos discos vendió el conjunto en la primera semana? Los datos del problema se recogen en el siguiente esquema: + 5 000 Primera semana

#2 Segunda semana

24 600 Tercera semana

Tenemos que encontrar la cantidad de discos vendidos la primera semana. Podemos partir de la cantidad de discos vendidos la tercera semana y, aplicando las operaciones inversas de la multiplicación y la adición, encontrar la cantidad de discos vendidos durante la primera semana. 24 600

'2

Tercera semana

- 5 000 Segunda semana

Primera semana

Realizando las operaciones tenemos: 24 600 Tercera semana

'2

12 300

- 5 000

Segunda semana

7300 Primera semana

La primera semana vendió 7 300 discos. Verificamos la respuesta viendo si a partir de 7 300 discos llegamos a la si+ 5000 #2 12 300 24 600 tuación final que conocemos: 7 300

1. Un bus comienza su recorrido con cierta canti-

3. Durante cuatro meses, una empresa duplicó el

dad de pasajeros. En la primera parada bajan 9 personas, en la segunda suben 15, en la tercera bajan 8, en la cuarta bajan 3 y llegan a la parada final 12 pasajeros. ¿Con cuántos pasajeros el bus comenzó su recorrido? 17 pasajeros

monto de su cuenta bancaria en las dos primeras semanas de cada mes y retiró Bs 40 000 en las dos últimas semanas (de cada mes). Si al cabo de los cuatro meses tiene Bs 500 000 en su cuenta, ¿qué monto tenía al empezar el primer mes? Bs 68 750

2. José tenía inicialmente en su tienda un lote de camisas. Después, compró 500 camisas. Posteriormente, luego de vender 138 camisas, le quedaban todavía 430. ¿Cuántas camisas tenía el lote inicial? 68 camisas

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4. Inventa un problema que se resuelva empezando por el final. Individual

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Sugerencias metodológicas Señale que con esta estrategia resolvemos el problema de "forma inversa" al proceso habitual. Muestre la importancia de realizar un esquema gráfico en el que primero anotaremos los datos numéricos y las operaciones realizadas en los pasos sucesivos, y después (partiendo del dato final) realizaremos las operaciones inversas a las llevadas a cabo en el otro sentido para resolver así el problema.

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Tratamiento de la información

Más información Puntualizaciones sobre los pictogramas

Pictogramas

–– En un pictograma se usan dibujos para representar cantidades, pero también es posible utilizar símbolos abstractos no relacionados directamente con la temática.

Los pictogramas (del griego picto = dibujo y grama = escritura) se utilizan para representar y comparar cantidades mediante dibujos.

1. Observa el pictograma, completa la tabla y contesta. El pictograma muestra la cantidad de juguetes que se recolectaron para Navidad en los tres paralelos de un quinto y un sexto de primaria. Juguetes recolectados para Navidad Curso

5.º A

5.º B

5.º C

6.º A

6.º B

: 50

6.º C

: 30

Cantidad

: 10

–– En algunos casos se utilizan figuras mutiladas para representar valores más pequeños. Una pelota cortada verticalmente por la mitad podría servir para representar 5 juguetes.

Juguetes recolectados para Navidad Curso

5.º A

5.º B

5.º C

6.º A

6.º B

Cantidad

160

70

130

140

120

6.º C 90

Primero se utili zan los dibujos de may hast a q or valo r, ue ya n o es po sible.

a) ¿En qué curso se recolectaron más juguetes? ¿En cuál menos? o o Más juguetes: 5. A.

Menos juguetes: 5. B.

b) ¿Se recolectaron más juguetes en los quintos que en los sextos? c) ¿Cuántos juguetes más recolectó 6.º A que 6.º B?

En los quintos

–– La cantidad y longitud de los dibujos no es proporcional a las cantidades representadas. En el ejemplo del libro, 2 ositos (2 dibujos) representan 100 juguetes, pero 2 autitos y 2 pelotas (4 dibujos) representan menos juguetes que 100, solo 80. Por esto, los pictogramas, a diferencia de los diagramas de barrras, no facilitan la realización de comparaciones.

20 juguetes.

2. Observa la tabla, elabora un pictograma y contesta. La tabla muestra la cantidad de estudiantes de cierto colegio que cumplen años en los primeros cuatro meses. Estudiantes que cumplen años entre enero y abril Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Cantidad

37

25

22

18

Estudiantes que cumplen años entre enero y abril Mes

Enero

Febrero

Marzo

Cantidad

Abril

–– También es posible utilizar un solo dibujo con distintos tamaños. Así, una casa grande puede representar 1 000 viviendas, una casa mediana 500 y una casa chica 100.

: 10 : 5 : 1

a) ¿En qué mes cumplen años más estudiantes? ¿En cuál menos? Más cumpleaños: enero.

Menos cumpleaños: abril.

b) ¿Cuántos más estudiantes cumplen años en enero que en abril? ¿Cómo se representa esa cantidad con los dibujos del pictograma? 19 estudiantes más.

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Sugerencias metodológicas Es importante llamar la atención de los estudiantes sobre el contenido de la nota escrita en la hojita con espiral. Explíqueles que si bien podríamos representar 60 regalos con 6 pelotas o con 1 autito y 3 pelotas, es más correcto empezar con los dibujos que representan cantidades mayores hasta agotar las posibilidades de usar cada dibujo.

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 11. Los estudiantes tienen que reconocer los ejes de simetría que tienen los objetos reales mostrados en las fotografías, aunque la imagen misma no exhiba esa simetría de manera perfecta. Esta aclaración es importante. La estrella de mar, por ejemplo, tiene 5 ejes de simetría, pero en la imagen misma ninguno de esos ejes determinaría una simetría perfecta. La casa real tiene un eje de simetría, pero la foto misma, debido a la perspectiva, no tiene su mitad izquierda perfectamente simétrica a su mitad derecha. –– Actividad 12. Una línea no puede tener mediatriz porque, a diferencia de un segmento, se extiende indefinidamente en ambas direcciones; no puede tener, por tanto, un punto medio.

1. Con referencia al siguiente dibujo, indica: F W E

W G

pecto a la recta r.

D

a)

W H

W A

C

c)

B W B

W D

W C

r E

r

b)

A

d)

a) Los ángulos internos y los externos. Internos: W A; W B; W H; W G

Externos: W C; W D; W E; W F

r

b) Las parejas de ángulos alternos internos, las parejas de ángulos alternos externos y las de ángulos correspondientes.

c) La medida de cada ángulo sabiendo que las rectas AB y CD son paralelas y que S = 125c . WA; W W D D; W E; W H = 125 o B; W C; W F; W G = 55 o

r

7. Traza la figura simétrica si la línea roja es el eje de simetría.

2. Dibuja un segmento de 8,5 cm de longitud y traza su mediatriz. Respuesta gráfica.

a) Utilizando solo regla y compás. b) Utilizando regla y escuadra. 3. Dibuja un ángulo de 54º y traza su bisectriz. Respuesta gráfica.

a) Utilizando solo regla y compás.

8. Copia cada figura y realiza la traslación indicada. Respuesta gráfica. a) ^5 -, 10 !h b) ^12 ", 4 .h

b) Utilizando transportador. 4. Si una bisectriz forma un ángulo de 54º con uno de los lados del ángulo, ¿cuánto mide el ángulo? 108c

5. En cada caso traza la figura simétrica con respecto al punto O. Respuesta gráfica.

–– Actividad 13. Un círculo tiene infinitos ejes de simetría si atendemos únicamente a su forma. Sin embargo, un círculo concreto pintado de manera particular podría no tener ningún eje de simetría si también tomamos en consideración sus colores.

a)

c)

9. Copia cada figura y realiza la rotación indicada. Respuesta gráfica. a) ^O, 90c horarioh b) ^O, 45c antihorarioh

0

0

0

0

b)

d) 0

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56

W F

6. En cada caso, traza la figura simétrica con res-

0

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Mi desempeño como docente 10. Completa la tabla e indica

12. Matemática y Lenguaje. ¿Por qué una línea

en cada caso el ángulo que gira la rueda.

no puede tener mediatriz?

Porque se extiende indefinidamente y no se puede ubicar el punto medio.

13. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un círculo? Infinitos

14. En cada caso traza la figura simétrica con respecto a la recta r. Respuesta gráfica. Si la flecha coincide con la línea de separación entre:

La rueda ha girado en el sentido ... ... horario:

... antihorario:

1 y 2

330º

30º

3 y 4

270c

90c

5 y 6

210c

150c

7 y 8

150c

210c

9 y 10

90c

270c

11 y 12

30c

330c

Pocas veces. Siempre.

a) –– Me preocupo por desarrollar el razonamiento deductivo en geometría.

r

Pocas veces. Siempre.

b)

–– Enseño con dedicación e interés (no con negligencia) los conceptos geométricos. Pocas veces.

r

11. Traza todos los ejes de simetría. a) d)

–– Concedo importancia al trabajo con instrumentos geométricos.

15. Investiga. Coloca un espejo arriba, debajo, al

Siempre.

lado izquierdo y al lado derecho de todas las letras mayúsculas del alfabeto. A

b)

e)

B

C

D

J

K

L

M

R

S

T

U

E

F

G

H

I

N

Ñ

V

W

O

P

Q

X

Y

Z

a) ¿Cuáles se transforman en todos los casos? F, G, J, K, L, N, Ñ, P, Q, R, S, Z

b) ¿Cuántos ejes de simetría tienen las letras que no cambian en ningún caso? 2 ejes

c) ¿Cuántos ejes de simetría tienen las letras c)

f)

que no cambian solo cuando se colocan al lado de un espejo? ¿Y las que no cambian solo cuando se colocan arriba o debajo de un espejo? 1 eje vertical; 1 eje horizontal

16. Investiga. Dibuja dos figuras, un punto y una recta, de tal modo que las dos figuras sean simétricas respecto al punto y también simétricas respecto a la recta. Individual

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57

Sobre las actividades –– Actividad 22. Un pentágono regular tiene 5 ejes de simetría. Por tanto, la forma del pentágono regular ofrece una base para construir diversas figuras con 5 ejes de simetría.

17. La siguiente figura, conocida como La semilla de la vida, es un diseño que se encuentra en el simbolismo de distintas religiones. ¿Cuántos ejes de simetría tiene? 6 ejes.

20. En cada caso encuentra la figura Fl que resulta de la figura F luego de aplicar las siguientes simetrías en el orden indicado: primero, simetría respecto a la recta vertical; después, simetría respecto al punto; finalmente, simetría respecto a la recta horizontal. Respuesta gráfica.

a) F

b) 18. Determina el centro y el ángulo del giro que

F

transforma F en Fl. 120 o Horario

F'

F

21. Indica mediante qué simetrías y/o movimientos puede obtenerse la figura Fl a partir de la figura F. Señala dos posibilidades en cada caso.

19. Copia la figura y en una misma hoja cuadricu-

a)

Individual F

lada aplica sucesivamente las siguientes tranformaciones y movimientos. Respuesta gráfica.

F'

C D B

b) 0

A



r

F' F

a) La traslación ^2 ", 2 .h, la rotación

^O, 180c antihorarioh y la simetría con respecto al punto O.

b) La simetría de centro O, la rotación

^O, 90c horarioh y la traslación ^8 !, 3 .h.

c) La simetría respecto a la recta r, la traslación ^4 !, 3 -h y la rotación ^O, 45c antihorarioh.

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22. Investiga. ¿Puede existir una figura con 5 ejes de simetría? Si crees que no, explica por qué. Si crees que sí, dibuja un ejemplo. Sí puede existir

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Valores

Proyecto socioproductivo

El proyecto socioproductivo se fundamenta en la idea de que la naturaleza tiene valor como objeto de conocimiento y contemplación (sensible e intelectual), como un elemento cuya única presencia puede enriquecer nuestra vida y evitar la degradación de nuestro entorno.

Naturaleza y geometría La situación de la cual surge nuestro proyecto Nos gusta ir de compras, ver una película, pasear en auto, conversar con amigos a través de Internet, escuchar música o jugar en nuestro iPod. Todo eso está bien, pero mucho tiempo pasamos como si la naturaleza no pudiera enriquecer nuestra vida. Quizá por eso no nos pesa mucho la destrucción de sitios naturales, la tala y mutilación de árboles, o la indiferencia con la vida y el bienestar de los animales. Creemos que esto debe cambiar.

El acercamiento puramente utilitario a la naturaleza es parte del empobrecimiento de la vida humana y la manifestación de una profunda inversión de valores de la cual ni siquiera somos concientes. El escritor norteamericano Henry David Thoreau (1817-1862) se refiere irónicamente a este trastrocamiento de valores cuando nos dice que si un hombre se pasa el día cortando un árbol, lo elogiamos diciendo que es una persona trabajadora, pero que si ese mismo hombre se pasara el día contemplando el mismo árbol, lo criticaríamos por ocioso.

El propósito de nuestro proyecto Nuestra finalidad es fomentar en las personas de nuestra comunidad el aprecio y respeto por la naturaleza y, particularmente, por aquellos lugares, objetos y seres vivos que están cerca de nosotros.

Hojas secas.

Deseamos alcanzar esa finalidad mostrando la sorprendente posibilidad de describir las formas y movimientos de la naturaleza mediante conceptos geométricos. Creemos que si las personas pueden admirar la naturaleza con sus ojos y con su inteligencia, estarán más dispuestas a respetarla, cuidarla y apreciar su presencia.

Nuestras actividades •

Elaborar material informativo describiendo distintos objetos o hechos de la naturaleza en términos geométricos. Algunas posibilidades son: −

Describir la simetría con respecto a un punto o la simetría con respecto a una recta en objetos naturales, plantas o animales.

−

Describir movimientos de objetos y seres de la naturaleza en términos de traslación y rotación.

−

Describir procesos de ramificación (por ejemplo, en las ramas de los árboles) indicando los ángulos de bifurcación y buscando patrones en esos ángulos.

•

Definir cómo daremos a conocer a la comunidad los resultados de nuestras indagaciones: ¿con fotografías, dibujos o videos?, ¿mediante una exposición única de material gráfico o mediante una publicación periódica?

•

Elaborar material informativo con los resultados de nuestras investigaciones de acuerdo con las decisiones tomadas en el punto anterior.

•

Evaluar la realización de nuestro proyecto.

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Ramas de árboles.

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59

Sugerencia de temporalización

4

Propiedades de los números

Abril Mayo

Valores El texto nos permite reflexionar sobre la amistad, que es una manifestación de la solidaridad que es posible entre las personas. Los números amigos poseen una especie de reciprocidad y simpatía: son distintos, pero en cada uno de ellos está encerrado el otro. La amistad nos une de manera especial a una persona y hace que nos preocupemos por su bienestar. Sin embargo, ¿es esa misma amistad, o su ausencia, la que nos hace indiferentes con el bienestar de todos aquellos a los que no consideramos nuestros amigos? Los niños necesitan aprender tanto a ser amigos de sus amigos como a ser justos, respetuosos y solidarios con aquellos que no son sus amigos. En la Biblia, Jesús dice que no hay amor más grande que dar la vida por los amigos, pero también dice que no hay ningún mérito especial en amar a los que nos aman y que tenemos que amar a todos, incluso a aquellos que son nuestros enemigos.

Números amigos ¿Pueden ser amigos dos números? Los antiguos matemáticos griegos pensaban que sí. Ellos decían que los números N y M son amigos si la suma de los divisores propios de N es igual a M, y la suma de los divisores propios de M es igual a N. Los números 220 y 284 son amigos porque los divisores propios de 220 –que son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110– suman 284; y porque los divisores propios de 284 –que son 1, 2, 4, 71 y 142– suman 220.

• ¿Qué son los divisores propios de un número? Comprueba que los números 220 y 284 son amigos sumando sus divisores propios. • ¿Qué es la amistad? ¿De qué manera puedes ser “amigo” de todas las personas y no solo de tus amigos?

En el siglo IX, el matemático Tabit ibn Qurra (826-901) descubrió la esencia de la amistad entre los números: encontró fórmulas de las que surgen solo números amigos.

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Sugerencias metodológicas En la sección Recuerda, repase con los estudiantes los dos tipos de divisiones (exacta y entera) y las relaciones que se cumplen entre sus términos. Llame en especial la atención sobre la relación entre la multiplicación y la división exacta.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA

–– El confundir los conceptos de múltiplo y divisor. Trabaje muchos ejemplos de la relación entre ellos.

División exacta y división entera Los términos de la división son: Dividendo (D) divisor (d) resto (r) cociente (c) Una división es exacta si su resto es 0. En una división exacta se cumple que: D = d $ c . Una división es entera o inexacta si su resto es distinto de 0. En una división entera se cumple que: r 1 d y D = d $ c + r .

294 6 0 49

294 = 6 $ 49

375 7 4 53

417 375 = 7 $ 53 + 4

–– Al hallar todos los divisores de un número, olvidar alguno. Insista en el orden al realizar las divisiones y en el reconocimiento de los divisores en los términos de las divisiones exactas.

1. Haz la división, determina si es exacta o inexacta y realiza la prueba. c) 514 ' 7 73 ; 3 ; inexacta e) 3 412 ' 24 142 ; 4 ; inexacta a) 128 ' 8 16 ; exacta b) 147 ' 5 29 ; 2 ; inexacta d) 4 608 ' 9

512 ; exacta

f) 4 326 ' 42

103 ; exacta

–– El cálculo del m.c.m. y del m.c.d. Pida a los estudiantes que expliquen los pasos seguidos, para favorecer la sistematización del proceso.

Familia de hechos con los términos de una división exacta Con tres números relacionados mediante una división exacta:

D d 0 c

35 7 0 5

d$c = D

c$d = D

D'd = c

–– La elección del cálculo del m.c.m. o del m.c.d. al resolver un problema. El explicar el enunciado con sus propias palabras puede ayudarles a comprender qué buscan.

7 $ 5 = 35 5 $ 7 = 35

se puede formar la siguiente familia de hechos:

35 ' 7 = 5 35 ' 5 = 7

D'c = d

2. Con los tres números escribe dos multiplicaciones y dos divisiones. a) 8, 9, 72 b) 55, 5, 11 c) 6, 96, 16 ah 8 $ 9 = 72; 9 $ 8 = 72

72 ' 8 = 9; 72 ' 9 = 8

3. Escribe el número que falta. a) 12 $ b) 36 '

3 4

c)

= 36

5

$ 14 = 70

d) 84 ' 7 = 12

=9

e) 15 $ 9 =

135

f) 162 ' 9 =

Vocabulario matemático

18

Potencias Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales: an = a $ a $ f $ a 1 44 2 44 3 n veces

Criterio de divisibilidad 4

3 $ 3 $ 3 $ 3 = 3 = 81

Descomposición en factores primos Diagrama de árbol

4. Escribe la multiplicación en forma de potencia y calcula su valor. 4 3 = 64 2 5 = 32 a) 4 $ 4 $ 4 = ___________ c) 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = ___________ 9 = 81 b) 9 $ 9 = ___________ 2

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Divisibilidad Divisible

10 4 = 10 000 d) 10 $ 10 $ 10 $ 10 = ___________

Divisor

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Factor Factorización prima Múltiplo Número compuesto Número primo Máximo común divisor Mínimo común múltiplo

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Más información

Divisibilidad, múltiplos y divisores

Las relaciones de divisibilidad, múltiplo y divisor

La banda de un colegio tiene 60 músicos. Si esa banda tiene que marchar en filas que tengan el mismo número de personas, ¿puede desfilar en filas de 8?, ¿y de 7?, ¿y de 6?, ¿y de 5?

–– Las relaciones de divisibilidad, múltiplo y divisor no son reversibles cuando se trata de dos números distintos.

Dividimos 60 entre cada número y vemos si la división es exacta. 60 9 6 6

En cambio, 60 no es divisible por 7 ni por 9; 60 no es múltiplo de 7 ni de 9; 7 y 9 no son divisores o factores de 60.

–– Las relaciones de múltiplo y divisor son recíprocas.

Si la división a ' b es exacta, entonces:

· Si M es múltiplo de N, N es divisor de M. · Si M es divisor de N, N es múltiplo de M.

•

El número a es divisible por el número b.

•

El número a es múltiplo del número b.

•

El número b es divisor o factor del número a.

1. Indica si la afirmación es verdadera o falsa.

· El número M es divisible por M.

· El número M es divisor de M.

60 5 0 12

Como las divisiones 60 ' 5 y 60 ' 6 son exactas, se dice que 60 es divisible por 5 y por 6. También se dice que 60 es múltiplo de 5 y de 6, o que 5 y 6 son divisores o factores de 60.

· Si M es múltiplo de N, N es múltiplo de M. · Si M es divisor de N, N no es divisor de M.

· El número M es múltiplo de M.

60 6 0 10

La banda puede desfilar en filas de 5 o de 6, pero no en filas de 7 o de 9.

· Si M es divisible por N, N no es divisible por M.

–– Las relaciones de divisibilidad, múltiplo y divisor las tiene cualquier número consigo mismo.

60 7 4 8

a) 65 es divisible por 5.

V

e) 25 es múltiplo de 9.

b) 8 es divisible por 64.

F

f) 12 es múltiplo de 12.

c) 30 es divisible por 30.

V

g) 32 es múltiplo de 8.

d) 48 es divisible por 22.

F

h) 5 es múltiplo de 25.

i) 24 es divisor de 6.

F

j) 3 es divisor de 18.

V

V

k) 6 es divisor de 16.

F

F

l) 7 es divisor de 7.

V

V

2. Escribe los primeros 7 múltiplos de cada número. Los múltiplos de un número N se obtienen multiplicando N por los números naturales (además del cero).

–– Además: · El 1 es divisor de todos los números.

Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número son infinitos.

· El 0 es múltiplo de todos los números.

Halla los 5 primeros múltiplos de 3. 3$0 = 0 3$1 = 3 3$2 = 6 3$3 = 9 Múltiplos de 3 = 3o = " 0, 3, 6, 9, 12, ... ,

· El 0 no es divisor de ningún número.

a) 6o = "

· El 1 es el único número que tiene un solo divisor. · Un número menor puede tener más divisores que un número mayor.

F

b) 9o = "

0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54

,

62

3 $ 4 = 12

c) 15 = " :

,

d) 20 = " :

f

0, 15, 30, 45, 60, 75, 90 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120

, ,

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Sugerencias metodológicas –– Muestre que, en una división exacta, tanto el divisor como el cociente son divisores del dividendo y este es múltiplo de ambos. Verbalice siempre las dos relaciones: … es múltiplo de … y … es divisor de … –– Muestre que, en una división entera, el divisor no es divisor del dividendo y este no es múltiplo del divisor, pero que el cociente puede ser (en ciertos casos) y no ser (en otros casos) divisor del dividendo.

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Recursos

3. Encuentra todos los divisores de cada número. Los divisores de un número N se obtienen dividiendo N entre los números naturales 1, 2, 3, ... hasta que el cociente sea menor que el divisor. De cada división exacta se extraen dos divisores: el dividendo y el cociente de la división.

Pensamiento crítico e investigación

Un número tiene una cantidad finita de divisores y todos (con excepción del 1) tienen al menos dos divisores: 1 y él mismo.

–– Si C es múltiplo de B y B es múltiplo de A, ¿es C múltiplo de A?, ¿por qué?

Encuentra todos los divisores de 16. 16 1 0 16

16 2

16 3

16 4

16 5

0 8

1 5

4 4

1 3

–– ¿Cuál es el primer múltiplo de todos los números?

315

–– ¿Cuál es el único número que tiene por múltiplos a todos los números naturales?

Div (16) = " 1, 2, 4, 8, 16 ,

a) Div (8) = "

b) Div (23) = "

c) Div (45) = "

1, 2, 4, 8

,

d) Div (60) = "

,

f) Div (112) = "

,

1, 23 1, 3, 5, 9, 15, 45

e) Div (96) = "

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 1, 2, 4, 8, 14, 28, 56, 112

,

,

–– Encuentra un número que tenga solamente 2 divisores, uno que tenga solo 3 y uno que tenga solo 4 divisores.

,

4. Escribe 2 múltiplos (distintos de 0 y del mismo número) y 2 divisores (distintos de 1 y del mismo número). Puede haber otras respuestas. 24, 36 a) 12 Múltiplos: ________

2, 3 Divisores: ________

72, 108 c) 36 Múltiplos: ________

2, 3 Divisores: ________

42, 63 b) 21 Múltiplos: ________

3, 7 Divisores: ________

182, 273 d) 91 Múltiplos: ________

7, 13 Divisores: ________

5. Pensamiento crítico. Indica si la afirmación es verdadera o falsa. Explica tu respuesta.

a) Todo número es múltiplo de sí mismo. b) Todo número es divisor de sí mismo. c) Todo número es múltiplo del 1.

V V

d) El 1 es múltiplo de todos los números. e) El 1 es divisor de todos los números. f) El 0 es múltiplo de todos los números.

V

–– Si el número N es divisible por el número M, ¿se sigue que el número N es divisor del número M?, ¿por qué? –– Los matemáticos de la antigua Grecia sumaban todos los divisores de un número menos él mismo. Si sumaban más que el número, decían que ese número era "abundante"; si sumaban menos, decían que era "deficiente"; y si sumaban igual, decían que era "perfecto". Busca tres números: uno abundante, uno deficiente y uno perfecto.

F V V

6. Resuelve. a) Mateo compra cromos en sobres de 3. ¿Puede comprar 27 cromos?, ¿y 52?, ¿y 78? Sí, 27 y 78 cromos; no, 52 cromos.

b) Sara tiene 40 galletas y quiere repartirlas equitativamente en cierta cantidad de platos sin que le sobre ninguna. ¿Puede utilizar 5 platos?, ¿y 6?, ¿y 10?, ¿y 12? Puede repartirlas de forma exacta en 5 y 10 platos.

c) Ruth quiere comprar más de 80 cajitas de jugo, pero menos de 100. Si quiere comprar paquetes de 6 cajas, ¿cuántas opciones tiene?, ¿cuánto gastará en cada una de ellas si un paquete vale Bs 10,8? Puede comprar 14, 15 o 16 paquetes; gastará Bs 151,20; Bs 162 o Bs 174,80.

d) Pedro tiene 48 chocolates y quiere repartirlos en bolsitas que tengan el mismo número, pero no quiere hacer 48 bolsitas con 1 chocolate ni 1 bolsita con 48 chocolates. ¿Cuántas opciontes tiene? ¿Cuáles son? 8 opciones ; 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16 o 24 bolsitas

7. Investiga. Encuentra dos números sucesivos tales que el impar tenga más divisores que el par. 74 y 75 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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–– Llame la atención sobre los dos usos de la palabra divisor: uno, para referirse a uno de los términos de la división y, el otro, para indicar que un número divide exactamente a otro (es un factor de este). –– El método para calcular los n primeros múltiplos de un número es sencillo y fácil de entender. El método para calcular todos los divisores de un número requiere una explicación más cuidadosa y detenida.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Más información

Criterios de divisibilidad

Algunas puntualizaciones sobre las relaciones de divisibilidad

¿El número 463 752 es divisible por 3? Para averiguarlo, podemos realizar la división 463 752 ' 3 y ver si la división es exacta o no. Si la división es exacta, entonces 463 752 es divisible por 3.

–– Los criterios de divisibilidad sirven para identificar la relación de divisibilidad y, por tanto, las relaciones de “múltiplo de” y “divisor de”.

Pero también podemos averiguarlo sin realizar la división y, en vez de ello, aplicando una regla llamada criterio de divisibilidad por 3. Esta regla dice: “Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3”.

–– Los números divisibles por 4 son divisibles por 2, porque 2 es factor de 4.

Apliquemos la regla al número 463 752: 4 + 6 + 3 + 7 + 5 + 2 = 27 Como 27 es múltiplo de 3, entonces 463 752 es divisible por 3.

–– Los números divisible por 6 son divisibles por 2 y 3 porque 2 y 3 son factores de 6.

Un número es divisible por:

–– Los números divisibles por 9 son divisibles por 3 porque 3 es factor de 9. –– Los números divisibles por 10 son divisibles por 2 y 5 porque 2 y 5 son factores de 10.

9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.

3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.

10 si la última cifra es 0.

4 si el número formado por las 2 últimas cifras es múltiplo de 4.

11 si sumando las cifras de lugar par y las de lugar impar y restando la suma menor de la mayor, se obtiene 0 o múltiplo de 11.

5 si su última cifra es 0 o 5. 6 si es divisible por 2 y por 3.

1. Observa los números del recuadro y contesta. Explica por qué.

Divisibilidad por 11 Cuando un número es divisible por 11, las cifras de lugar par (o las de lugar impar) se pueden cambiar de posición e igual resulta un número divisible por 11. Por ejemplo:

2 si la última cifra es 0 o par.

•

¿Qué números son múltiplos de 2?

•

¿Qué números son divisibles por 3?

•

¿De qué números es 5 un divisor?

45 94

52

70

125

Múltiplos de 2: 52, 70, 94

81

Divisibles por 3: 45, 81, 231

231

5 es un divisor: 45, 70, 125

2. En las celdas correspondientes escribe Sí si existe relación de divisibilidad y escribe No si esa relación no existe. Número Divisible por

817 597 y 819 775 778 195 y 779 581

250

324

987

1 254

18 444

Sí

Sí

68 740

251 532

3 528 351

28 006 005

Sí

Sí

No

No

Sí

No

Sí

Sí

Sí No

2

Sí

Sí

No

3

No

Sí

Sí

Sí

4

No

Sí

No

No

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

No

Sí

958 177 y 957 781

5

Sí

No

Sí

No

879 175 y 917 587

6

No

Sí

No

Sí

Sí

No

Sí

No

No

9

No

Sí

No

No

No

No

Sí

Sí

No

10

Sí

No

No

No

No

Sí

No

No

No

64

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Comente que los criterios de divisibilidad solo son reglas que facilitan el cálculo. Explique los criterios expuestos en el libro y ponga varios ejemplos para resolver colectivamente. –– En la actividad 3 es importante que los estudiantes determinen si existe más de una posibilidad y reflexionen acerca de su estrategia para encontrar el número mayor de todos los posibles. –– Reflexione con los estudiantes acerca de cuándo, a la hora de establecer una relación de divisibilidad, es preferible usar un criterior y cuándo es preferible realizar la división usual. Compare, por ejemplo, el criterio de divisibilidad por 2 con el criterio de divisibilidad por 7.

64

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Recursos

3. Llena los espacios vacíos para formar números divisibles por el número indicado. Forma el número más grande que sea posible.

a) Por 3

3 8 1

b) Por 4

26 8

c) Por 6 d) Por 9

2 8 41

9 7 929

52 8 4

12 8 8

2557 6

478 9 2

66 6

340 8

8 9 70

173 7 6

5281 8

68 4

37 6 2

60 6 6

168 4 8

32 8 77

9

72

7

e) Por 2 y 9

73 8

14 0 4

271 8

4 30 2

f) Por 3 y 5

2 8 5

124 5

235 5

48 34 5

g) Por 5 y 6

237 0

3 8 10

8

Pensamiento crítico e investigación

5306

5620

57 9 9 0

–– ¿En cuáles de los números para completar, de la actividad 3, habían menos opciones? ¿En cuáles habían más opciones? ¿Cómo se explica esa diferencia? –– Si N es múltiplo de M y P es múltiplo de M, ¿es cierto que necesariamente N es divisible por P o P es divisible por N?

4. Indica si el número es divisible por 11. •

1 254 es divisible por 11 porque: ( 2 + 4) - ( 1 + 5 ) = 0

a) 594

Si

d) 4 526

No

g) 94 039

•

19 283 es divisible por 11 porque:

b) 924

Si

e) 7 051

Si

h) 164 823

No

c) 989

No

f) 15 533

i) 817 597

Si

(9 + 8) - (1 + 2 + 3) = 11

No

Si

–– Si N es divisible por M y M es divisible por P, ¿es cierto que necesariamente N es divisible por P?

5. Indica si el número es divisible por 7

–– Busca un número que sea divisible por 6 y no sea divisible por 4.

¿Es 3 976 divisible por 7? Multiplicamos el último dígito por 2: 6 $ 2 = 12 . Restamos el resultado de la parte del número que no hemos usado: 397 - 12 = 385

a) 246

No

Del último resultado, multiplicamos el último dígito por 2: 5 $ 2 = 10 .

b) 315

Si

Restamos el resultado de la parte del número que no hemos usado: 38 - 10 = 28 Si el resultado es 0 o múltiplo de 7, el número es divisible por 7. Como 28 es divisible por 7, entonces 3 976 es divisible por 7.

–– Busca cuatro números que sean divisibles por 3 y no sean divisibles por 9.

c) 1 064

Si

d) 2 549

No

e) 54 482

No

f) 38 360

Si

6. Resuelve aplicando solo los criterios de divisibilidad. a) Una editorial publicó 3 465 ejemplares de una novela. ¿Pueden ser empacadas, sin que sobre ninguna, en paquetes de 4 novelas?, ¿y de 5?, ¿y de 7?, ¿y de 9?, ¿y de 11? Sí en paquetes de 5, 7, 9 y 11; no en paquetes de 4.

b) Si un álbum tiene un cromo para cada uno de los 22 jugadores (entre titulares y suplentes) de los equipos que participan en un campeonato de fútbol, y no hay cromos con figuras adicionales, ¿puede el álbum tener 561 figuras?, ¿y puede tener 528?, ¿por qué? Sí puede tener 528 figuras; no 561.

7. Pensamiento crítico. Si un número es divisible por 3 y por 4, lo es también por 3 $ 4 = 12 . Pero si es divisible por 6 y por 4, ¿es necesariamente divisible por 6 $ 4 = 24 ? ¿Por qué? No ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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65

Más información

Números primos y números compuestos

Los números primos menores de 300 2 11 23 41 59 73 97 109 137 157 179 197 227 241 269 283

3 13 29 43 61 79 101 113 139 163 181 199 229 251 271 293

5 17 31 47 67 83 103 127 149 167 191 211 233 257 277

Marcos tiene 13 cartas y Rocío, 14. Cada uno quiere repartir sus cartas en montones, de forma que cada montón tenga el mismo número de cartas y no sobre ninguna. ¿Cuántas cartas puede poner Marcos en cada montón? ¿Y cuántas Rocío?

7 19 37 53 71 89 107 131 151 173 193 223 239 263 281

Marcos calcula los divisores de 13.

Rocío calcula los divisores de 14.

Divisores de 13

Divisores de 14

1 y 13

1, 2, 7 y 14

Marcos solo puede hacer los montones de dos formas: poniendo 1 o 13 cartas en cada montón.

Rocío puede hacer los montones de cuatro formas: poniendo 1, 2, 7 o 14 cartas en cada montón.

El número 13 solo tiene dos divisores; por eso se llama número primo.

El número 14 tiene más de dos divisores; por eso se llama número compuesto.

•

Un número es primo si solo tiene dos divisores: 1 y él mismo.

•

Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.

•

El número 1 tiene solo un divisor; entonces, no es primo ni compuesto.

1. Escribe todos los divisores e indica si el número es primo o compuesto. a) Div (7) = "

¿Cuántos números primos hay? Hay una infinidad de números primos, es decir, dado un número primo cualquiera siempre hay otro número primo mayor que él. Este teorema fue demostrado por el matemático griego Euclides (325 a.C. - 265 a.C.).

b) Div (9) = "

c) Div (18) = "

Propiedades de números. Clasificación de varios números según propiedades dadas.

1, 2, 3, 6, 9, 18

Compuesto , ________

Compuesto , _______

d) Div (29) = "

1, 29

Primo , ________

f) Div (53) = "

1, 53

Primo , ________

Compuesto e) Div (42) = " 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 , ________

menores que 100. Sigue las reglas. 1.º Identifica el último número de la tabla: 100. 2.º Determina el primer número cuyo cuadrado es mayor que 100: 11 2 = 121. 3.º Identifica todos los primos iguales o menores que 11: 2, 3, 5, 7, 11.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

4.º Tacha el número 1, que no es primo. 5.º Tacha los múltiplos de los primos identificados en el tercer paso. Los números que quedan sin tachar son primos.

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

a) Escribe los primos menores que 100.

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

b) Si el último número de la tabla fuera 500, ¿cuáles serían

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

los primos cuyos múltiplos deberías tachar? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

c) Con los primos encontrados en la tabla, ¿puedes encontrar los primos menores a qué número?, ¿por qué? 9409

66

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 88 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Comente que todo número natural, con excepción del número 1, es primo o compuesto porque todo número tiene como mínimo los divisores 1 y él mismo. –– Reflexione con los estudiantes: ¿por qué en el procedimiento expuesto en la actividad 3 dividimos solo por números primos? Porque si un número es divisible por un número compuesto, lo será también por un número primo; por lo tanto, es necesario y suficiente probar solo con los números primos. El procedimiento de la actividad 3 requiere tener una lista de números primos; pida a los estudiantes que elaboren una tabla con al menos los números primos menores que 100. –– Haga notar que los números primos entre sí no son necesariamente primos en sí mismos.

66

10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

La conjetura de Goldbach

Tic

1, 3, 9

Primo , ________

2. Utiliza la Criba de Eratóstenes para encontrar todos los números primos

No se conocen todos los números primos, el número primo más grande conocido hasta el momento es el número 2 43 112 609 - 1 que tiene 12 978 189 cifras.

La actividad 6 se basa en un famoso problema matemático conocido como la conjetura de Goldbach. Christian Goldbach (1690-1764) fue un destacado matemático alemán; él postuló que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos.

1, 7

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Recursos

3. Calculadora. Determina si el número es primo. ¿Cómo averiguamos si un número es primo o compuesto?

Pensamiento crítico e investigación

Lo dividimos entre los números primos, empezando por el primero, hasta que el cociente sea menor que el divisor. Si en el proceso encontramos una división exacta, el número no es primo; si todas las divisiones son enteras, el número es primo.

–– ¿Hay números pares que son primos? ¿O todos los números pares son compuestos?

¿Es primo el número 191? 191 ' 2 = 96, 5 191 ' 3 = 63, 6 191 ' 5 = 38, 2 191 ' 7 = 27, 28 191 ' 11 = 17, 3 191 ' 13 = 14, 69 191 ' 17 = 11, 23

–– ¿Es verdad o no que dos números compuestos no pueden ser primos entre sí?

En la última división el cociente es menor que el divisor. Hasta aquí todas las divisiones son enteras; entonces, 191 es un número primo.

a) 139

b) 391

Primo

c) 811

d) 1 547

Primo

Compuesto

e) 3 463

–– ¿Es verdad o no que dos números primos entre sí son necesariamente primos considerados individualmente?

Primo

Compuesto

4. Indica si los números de la pareja son primos entre sí. Dos números son primos entre sí cuando su único divisor común es el 1. ¿Son 8 y 15 primos entre sí? Encontramos los divisores de 8 y de 15: Div (8) = " 1, 2, 4, 8 ,

Div (15) = " 1, 3, 5, 15 ,

Comparamos los divisores de 8 y 15: el único común es el 1. Por tanto, 8 y 15 son primos entre sí.

a) 24 y 26

No

c) 13 y 39

No

e) 18 y 65

b) 25 y 27

Si

d) 41 y 43

Si

f) 77 y 105

Si No

5. Resuelve. a) Aldo tiene una cuerda de 149 centímetros y Silvia tiene otra de 129 cm. ¿Puede, cada uno, cortar su cuerda en varios pedazos iguales que midan un número exacto (no decimal) de centímetros, excluyendo los cortes de 1 cm? Si pueden cortarla, ¿de cuántas formas distintas cada uno?

La cuerda de 149 cm, no puede cortarse. La cuerda de 129 cm, puede cortarse de dos formas distintas.

b) Francisca planea comprar entre 70 y 80 chocolates. Si quiere comprar la cantidad que pueda ser distribuida equitativamente de más formas distintas, ¿qué cantidad debe comprar? 80 chocolates

6. Investiga. Escribe el número par como suma de dos números primos. a) 36 =

13

+ 23

c) 72 =

67

+ 5

b) 54 =

7

+ 47

d) 98 =

37

+ 61

7. Pensamiento crítico. ¿La afirmación es verdadera? ¿Por qué? a) Un múltiplo de un número primo es otro número primo.

Falso

b) Los números primos son necesariamente impares.

Falso

c) Los números impares son necesariamente primos.

Falso

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Más información

Descomposición en factores primos

El teorema fundamental de la aritmética

Un número primo se puede expresar como el producto de dos factores, 1 y el mismo número:

El teorema fundamental de la aritmética sostiene que cualquier número natural que no sea primo puede expresarse como un producto único, sin tomar en consideración el orden, de factores primos.

13 = 13 $ 1

17 = 17 $ 1

Observa qué pasa con un número compuesto como 24. Se puede expresar como el producto de dos números, al menos uno de los cuales es compuesto (primo en rojo, compuesto en azul): 24 2

24 12

4

24 6

3

8

Podemos proseguir así hasta que cada número compuesto que hayamos obtenido resulte del producto de dos primos: 24 24 24

También podemos enunciar el teorema fundamental de la aritmética diciendo que todo número compuesto tiene una y solo una factorización prima.

2

12

2

2

6

12 3

2

3

4 4

2

2

6 2

2

24 3

3

2

8 2

4 2

2

En cualquiera de los diagramas de árbol, la descomposición en factores primos de 24 es la misma:

En virtud de este teorema se dice que los números primos son como los ladrillos fundamentales de todos los números: cualquier número está construido con números primos.

24 = 2 $ 2 $ 2 $ 3

Utilizando potencias

24 = 2 3 $ 3

Un número compuesto se puede expresar como un producto de números primos; este producto se llama factorización prima del número. Cada número compuesto tiene una única factorización prima.

1. Construye un árbol de factores y escribe la factorización prima. a) c) e) 16 44 24

b)

d)

2 $3

2

68

64 2

6

g)

3 $ 52

2 2 $ 11

36 2

75

f)

105 3$5$7

126 2 $ 32 $ 7

h)

152 2 3 $ 19

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Sugerencias metodológicas –– Muestre que algunos números se pueden descomponer utilizando dos o más diagramas de árbol distintos, pero que, en cualquier caso, la factorización prima resultante es la misma. –– Es usual realizar el procedimiento de divisiones sucesivas de manera ordenada dividiendo por 2, por 3, por 5, ...; sin embargo, puede mostrar a los estudiantes que se obtiene la misma factorización prima si se modifica el orden de esas divisiones. –– Las actividades 4, 5 y 6 requieren que usted ayude a razonar a los estudiantes. En la sección de Recursos puede encontrar las pistas suficientes para proporcionar esa ayuda.

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Recursos

2. Escribe el número al que corresponde la factorización prima. 1 800 a) 2 $ 3 $ 5 = _________

4 851 c) 3 $ 7 $ 11 = _________

2 600 b) 2 $ 5 $ 13 = _________

1 680 d) 2 4 $ 3 $ 5 $ 7 = _________

3 3

2

2

2

2

2

Para ayudar a pensar –– En la actividad 4d, pienso:

3. Encuentra la descomposición en factores primos utilizando el procedimien-

¿Por qué número debo multiplicar 40^= 2 3 $ 5h para obtener 360? Por 9.

to de divisiones sucesivas. Procedimiento de divisiones sucesivas

Halla la factorización prima de 60.

Para factorizar un número, se lo divide entre la serie de números primos (2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente la unidad. Se empieza dividiendo entre 2; si la división no es exacta, entre 3; si tampoco es exacta, entre 5; si no, entre 7, entre 11 …

a) 30

b) 84

60 ' 2

60 2 30 2

30 ' 2

15 3

15 ' 3

5 5

5'5

Entonces, n $ n = 9. ¿Qué número multiplicado por sí mismo da 9? El 3. Entonces, n = 3.

1

–– En la actividad 4f, pienso:

60 = 2 $ 3 $ 5

¿Por qué número debo multiplicar 55 (= 5 $ 11) para obtener 440? Como 440 ' 55 = 8 , debo multiplicar 55 por 8.

2

c) 90

d) 125

e) 144

f) 225

Entonces, 2n = 8 .

22 $ 3 $ 7

2$3$5

53

2 $ 32 $ 5

24 $ 32

¿A qué exponente debo elevar 2 para obtener 8? Al exponente 3.

32 $ 52

Entonces, n = 3.

4. Encuentra el valor de n en la factorización prima.

–– En la actividad 5d, pienso:

a) 220 = 2 $ 5 $ n

11

d) 360 = 2 $ 5 $ n $ n

3

b) 168 = 2 3 $ 7 $ n

3

e) 532 = 19 $ 7 $ n $ n

2

c) 385 = 5 $ 11 $ n

7

f) 440 = 2 n $ 5 $ 11

3

2

3

¿Cuál es la factorización prima de 15? 15 = 3 $ 5 . Entonces, como la factorización de n es n = 2 $ 3 $ 5 , la factorización de n $ 15 es:

5. La descomposición en factores primos de un número n es 2 $ 3 $ 5 . Indica cuál es la factorización prima del número que resulta de multiplicar n:

a) Por 6

22 $ 32 $ 5 n $ 6 = ______________

c) Por 10

b) Por 8

2 $3$5 n $ 8 = ______________

d) Por 15

4

2

n $ 15 = (2 $ 3 $ 5) $ (3 $ 5) = = 2$3$3$5$5 = = 2 $ 32 $ 52

2

2 $3$5 n $ 10 = ________________ 2

2

2$3 $5 n $ 15 = ______________

6. La factorización prima de un número es 2 7 $ 5 . Indica si ese número es divi-

–– En la actividad 6f, pienso:

sible por el número indicado.

a) Por 2

Sí ______________

d) Por 25

No ______________

b) Por 5

Sí ______________

e) Por 35

No ______________

c) Por 7

No _______________

f) Por 80

Sí ______________

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

La factorización prima del número es: n = 27 $ 5 = = 2$2$2$2$2$2$2$5

69

¿Puedo obtener 80 multiplicando algunos factores primos? Sí, veamos. El número 80 es 16 $ 5; ya tengo el factor 5 y puedo obtener el factor 16 con la multiplicación de cuatro factores primos: 2 $ 2 $ 2 $ 2. Entonces, el número n es divisible por 80.

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69

Más información

Mínimo común múltiplo

Algunas propiedades del m.c.m.

Esteban tiene cerámicas rectangulares que miden 10 cm # 15 cm y con ellas quiere formar superficies cuadradas. ¿Cuál es la longitud de los lados del cuadrado más pequeño que Esteban puede formar?

–– Si N 2 M y N es múltiplo de M, entonces el mínimo común múltiplo de N y M es N.

Para resolver el problema, necesitamos calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 10 y 15. Primero escribimos algunos múltiplos: 10 = " 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, f , :

–– El mínimo común múltiplo de dos o más números primos es igual al producto de esos números primos.

15 = " 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, f , :

Los múltiplos comunes de 10 y 15, sin tomar en consideración el 0, son 30, 60, 90, ... De ellos, el mínimo común múltiplo es 30. Se escribe así: m.c.m. ^10, 15h = 30

–– El mínimo común múltiplo de dos números primos entre sí es igual al producto de esos números. –– El mínimo común múltiplo de dos números compuestos es igual al resultado de dividir su producto entre su máximo común divisor.

El cuadrado más pequeño que puede formar Esteban tiene 30 cm de lado. En un lado del cuadrado se ven los lados de 30 ' 15 = 2 cerámicas y, en el otro, de 30 ' 10 = 3 cerámicas.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

1. Escribe múltiplos, señala los comunes y encuentra el m.c.m. , , ,

a) 2o = "

3o = " 5o = " 30 m.c.m. (2, 3, 5) = ____

b) 8o = "

9o = " : 12 = " 72 m.c.m. (8, 9, 12) = ____

, ,

,

2. Calcula el m.c.m. utilizando el procedimiento descrito. Procedimiento de factorización prima

Calcula el m.c.m. de 18 y 60.

1.º Descomponemos los números en sus factores primos.

18 2 9 3 3 3 1

2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. 3.º El producto de esos factores es el m.c.m. de los números

a) 8 y 6

d) 48 y 56

24

60 30 15 5 1

2 2 3 5

18 = 2 $ 3 2 60 = 2 2 $ 3 $ 5 m.c.m. (18, 60) = 2 2 $ 3 2 $ 5 = 180

g) 25, 30 y 50

336

150

b) 12 y 18

36

e) 10, 16 y 40

80

h) 60, 100 y 150

c) 22 y 28

308

f) 18, 36 y 42

252

i) 20, 30, 50 y 70

70

300 2 100

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Sugerencias metodológicas –– Trabaje con los alumnos el problema frase a frase, razonando sobre su significado y sobre el cálculo matemático que deben realizar. Escriba en la pizarra los múltiplos de ambos números, rodee los comunes y pida a los alumnos que busquen el menor múltiplo distinto de cero. Explique que este es el mínimo común múltiplo de 10 y 15 y escríbalo de forma abreviada. –– Compare los procedimientos explicados en las actividades 2 y 3 y analice con los estudiantes por qué ambos procedimientos conducen al mismo resultado. –– En la actividad 5a aclare que se trata de determinar cuántas personas recibieron gratis tanto la gaseosa como la entrada.

70

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Recursos

3. Calcula el m.c.m. utilizando el procedimiento abreviado. Procedimiento de factorización simultánea

Calcula el m.c.m. de 10, 12 y 15.

1.º Descomponemos los números al mismo tiempo. Si un número o alguno de los cocientes no es divisible por el número primo, el número o el cociente se repite.

10

12

15

2

5 5

6 3

15 15

2 3

5 1

1 1

5 1

5

2.º El producto de todos los factores primos encontrados es el m.c.m.

a) 12 y 15

d) 24 y 63

60

–– Indica si estás de acuerdo o no con la siguiente afirmación y explica por qué: “Las parejas de números que tienen un mismo m.c.m. son infinitas (ilimitadas en cantidad)”.

m.c.m. (10, 12, 15) = 2 2 $ 3 $ 5 = 60

504

g) 32, 36 y 38

5 472

b) 15 y 45 45

e) 14, 15 y 16

1 680

h) 42, 54 y 63

378

c) 35 y 40

f) 22, 33 y 44

132

i) 15, 25 y 45

225

280

Pensamiento crítico e investigación

Para ayudar a pensar En la actividad 7 pienso: La factorización prima de 60 y la de 540 son:

4. ¿Cuál es el m.c.m. de dos o más números primos? ¿Y de dos números primos entre sí? Indica el m.c.m. de los números. Es el producto de su multiplicacíon. 77 a) m.c.m. (7, 11) = ____________

210 c) m.c.m. (14, 15) = ____________

b) m.c.m. (5, 17, 23) =

2 310 d) m.c.m. (42, 55) = ____________

1 955 ____________

60 = 22 $ 3 $ 5 540 = 22 $ 3 3 $ 5 El número 540 resulta de multiplicar los factores primos comunes y no comunes de 60 y del otro número elevados al mayor exponente.

5. Resuelve. a) En un cine regalan un vaso de gaseosa cada 27 personas, y una entrada cada 42 personas. Si la sala de 1 000 espectadores está llena, ¿cuántos recibieron gratis su entrada y su vaso de gaseosa? 2 personas

Entonces, la factorización prima del otro número debe cumplir las siguientes condiciones:

b) Un paralelepípedo mide 5 cm # 8 cm # 10 cm. ¿Cuántos de estos paralelepípedos se necesitan para construir el cubo más pequeño que se puede construir con ellos? 160 paralelepípedos

c) En un árbol de Navidad hay foquitos rojos, verdes y azules. Los primeros

–– Sus factores primos pueden ser solo 2, 3 y/o 5.

se encienden cada 15 segundos, los segundos cada 18 y los terceros cada 10. ¿Cada cuántos segundos las tres clases de foquitos se encienden al mismo tiempo? En una hora, ¿cuántas veces se encienden a la vez? 90 segundos ; 40 veces

6. Inventa un problema que se resuelva calculando el m.c.m.

–– El factor 3 debe estar presente necesariamente y elevado al exponente 3. –– Los factores 2 y 5 pueden estar o no presentes, pero el máximo exponente de 2 puede ser 2 y el máximo exponente de 5 puede ser 1.

Individual

7. Investiga. Encuentra tres pares diferentes de números cuyo mínimo común múltiplo sea 540. Explica la estrategia que usaste. 54 = 540 a) m.c.m. (60, ___)

___) = 540 b) m.c.m. (60, 135

27 = 540 c) m.c.m. (60, ___)

Varias factorizaciones primas cumplen estas condiciones:

8. Pensamiento crítico. Explica con ejemplos si puede ser verdad lo que dice

3 3 = 27 3 3 $ 2 = 54

Juan: “Tenía dos números y hallé su m.c.m. Después, añadí un número más y el m.c.m de los tres números era el mismo que el de los dos primeros”. Verdad

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71

3 3 $ 5 = 135 3 3 $ 22 = 108

Entonces, algunas de las parejas buscadas son: (60, 27)

(60, 135)

(60, 54)

(60, 108)

Tic Mínimo común múltiplo de tres números. Ejercicio con pasos para calcular el mínimo común múltiplo de tres números.

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71

Más información

Máximo común divisor

Algunas propiedades del m.c.d.

Enrique tiene una cartulina de 24 cm # 60 cm y quiere, sin desperdiciar nada, cortarla en cuadrados de la mayor superficie posible. ¿Cuánto medirá el lado de esos cuadrados?

–– Si N 2 M y N es múltiplo de M, entonces el máximo común divisor de N y M es M.

Para resolver este problema, necesitamos calcular el máximo común divisor (m.c.d.) de 24 y 60. Primero, escribimos los divisores de 24 y 60: Div (24) = " 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 , Div (60) = " 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ,

–– El máximo común divisor de dos o más números primos es 1.

Los divisores comunes de 24 y 60 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. De ellos, el máximo común divisor es 12. Se escribe así:

–– El máximo común divisor de dos números primos entre sí es 1.

m.c.d. (24, 60) = 12 Los cuadrados más grandes que puede cortar Enrique tendrán 12 cm de lado. Un lado de la cartulina se corta en 24 ' 12 = 2 partes y, el otro, en 60 ' 12 = 5 partes.

–– El máximo común divisor de dos números compuestos es igual al resultado de dividir su producto entre su mínimo común múltiplo. –– Si P es un número primo, entonces el máximo común divisor de P y de cualquier otro número N es P (si N es múltiplo de P) o es 1 (si N no es múltiplo de P).

El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es su mayor divisor común.

1. Escribe los divisores, señala los comunes y encuentra el m.c.d. a) Div (15) = " Div (24) = "

Div (12) = " Div (16) = "

,

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

m.c.d. (15, 24) =

c) Div (8) = "

,

1, 3, 5, 15

3 ____

,

1, 2, 4, 8 1, 2, 3, 4, 6, 12

, ,

1, 2, 4, 8, 16

4 m.c.d. (8, 12, 16) = ____

b) Div (50) = " Div (70) = "

1, 2, 5, 10, 25, 50 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

10 m.c.d. (50, 70) = ____

d) Div (20) = " Div (30) = " Div (45) = "

1, 2, 4, 5, 10, 20 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 1, 3, 5, 9, 15, 45

5 m.c.d. (20, 30, 45) = ____

, , , , ,

2. Escribe los divisores y encuentra el m.c.d. ¿Cuál es el m.c.d. de dos o más números primos? ¿Y de dos números primos entre sí? Es 1

a) Div (9) = "

Div (10) = "

m.c.d. (9, 10) =

b) Div (20) = " Div (27) = "

1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1 ____ 1, 2, 4, 5, 10, 20 1, 3, 9, 27

1 m.c.d. (20, 27) = ____

72

,

, , ,

c) Div (17) = " Div (19) = "

Div (18) = "

,

1, 19

m.c.d. (17, 19) =

d) Div (13) = "

,

1, 17

1 ____ 1, 13

1, 2, 3, 6, 9, 18

1 m.c.d. (13, 18) = ____

, ,

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Sugerencias metodológicas Tic m.c.m. y m.c.d. Ejercicios para calcular el m.c.m. y el m.c.d. de varios números.

72

–– Para empezar, escriba en la pizarra “mínimo común múltiplo de dos números” y recuerde que es el menor de los múltiplos comunes de ambos números, sin contar el cero. A continuación, escriba debajo “máximo común divisor de dos números” y anime a los estudiantes a definirlo de manera similar: es el mayor de los divisores comunes de ambos números. –– Explique y trabaje el máximo común divisor de forma similar a como se hizo con el mínimo común múltiplo. Comente colectivamente el enunciado, frase a frase, y escriba en la pizarra los divisores de ambos números, rodee aquellos divisores que son comunes y pida a los estudiantes que busquen el divisor mayor.

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3. Calcula el m.c.d. utilizando el procedimiento descrito.

Recursos

Procedimiento de factorización prima

Calcula el m.c.d. de 24 y 30.

Para ayudar a pensar

1.º Descomponemos los números en sus factores primos.

24 2

30 2

12 2 6 2

15 3 5 5

En la actividad 6 pienso:

2.º Escogemos los factores primos comunes elevados al menor exponente.

3 3 1

3.º El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.

1

La factorización prima de 28 y la de 14 son:

24 = 2 3 $ 3 30 = 2 $ 3 $ 5

28 = 22 $ 7 14 = 2 $ 7

m.c.d. (24, 30) = 2 $ 3 = 6

4.º Si no hay factores primos comunes, el m.c.d. es 1.

a) 16 y 30

2

d) 11 y 21

1

b) 28 y 42

14

e) 72 y 84

12

c) 52 y 56

4

f) 15, 18 y 30

g) 14, 20 y 32 h) 8, 15 y 17 3

i) 34, 50 y 62

El número 14 resulta de multiplicar los factores primos comunes de 28 y del otro número elevados al menor exponente.

2 1

Entonces, la factorización prima del otro número debe cumplir las siguientes condiciones:

2

4. Resuelve. a) Diego tiene 48 rosas y 64 claveles y quiere armar la mayor cantidad

–– Entre sus factores primos deben estar necesariamente 2 y 7; ambos factores pueden estar elevados a un exponente igual o mayor a 1.

de ramos iguales de tal manera que todos tengan los dos tipos de flores. ¿Cuántos ramos puede armar? ¿Cuántos claveles tendrá cada uno? ¿Y cuántas rosas? 16 ramos : 4 claveles ; 3 rosas .

b) Mercedes tiene 8 bolitas amarillas, 16 blancas, 16 rojas y 10 azules. Con todas las bolitas desea fabricar el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna bolita. ¿Cuántos collares iguales puede hacer? ¿Qué número de bolitas de cada color tendrán los collares?

–– Puede tener otros factores primos además de 2 y 7.

2 collares : 4 amarillas ; 8 blancas ; 8 rojas ; 5 azules .

Varias factorizaciones primas cumplen estas condiciones, por ejemplo: 2 3 $ 7 = 56 2 $ 72 = 98 2 $ 7 $ 5 = 70 2 $ 7 $ 11 = 154

c) Sonia tiene tres cuerdas: una roja de 45 m, una azul de 54 m y una blanca de 81 m. Quiere cortar las tres cuerdas en trozos de la misma longitud y del mayor largo posible, pero sin que sobre cuerda de ningún color. ¿Cuál es la longitud de cada trozo? ¿Cuántos trozos hay de cada color? 9 m ; 5 trozos de cuerda roja ; 6 trozos de cuerda azul ; 9 trozos de cuerda blanca .

5. Inventa un problema que se resuelva calculando el m.c.d.

Individual

6. Investiga. Encuentra tres pares diferentes de números cuyo máximo común

Entonces, algunas de las parejas buscadas son:

divisor sea 14. Explica la estrategia que usaste. 70 ) b) m.c.d. (28, ___

42 ) = 14 a) m.c.d. (28, ___

c) m.c.d. (28, 154 ___)

= 14

= 14

7. Pensamiento crítico. Explica con ejemplos si puede ser verdad lo que dicen

(28, 56)

(28, 98)

(28, 70)

(28, 154)

Marlene y Rebeca.

a) Marlene: “Tengo tres números y uno de ellos es el m.c.d. de todos”. Sí b) Rebeca: “Tengo dos números, uno par y el otro impar, y su m.c.d. es divisible por 6”. No

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73

Tic Múltiplos y divisores. Crucigrama con definiciones referidas a múltiplos y divisores. ¿Qué sabes sobre m.c.m. y m.c.d.? Enunciados para completar referidos al mínimo común múltiplo y al máximo común divisor.

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Recursos Actividades Resuelve el siguiente problema construyendo una tabla: En la clase de Álvaro hay menos de 35 estudiantes. Si se organizan en grupos de 3 o en grupos 4, no sobra ninguno, pero si se agrupan de 5 en 5, el último grupo solo tiene 4. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase de Álvaro?

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Hacer una tabla En una tabla recogemos los números que cumplen ciertas condiciones. Lourdes colecciona muñecas. Tiene menos de 40. Al agruparlas de 6 en 6 sobra 1 muñeca, y al agruparlas de 7 en 7 sobran 2 muñecas. ¿Cuántas muñecas tiene Lourdes? El enunciado nos dice que cuando una colección de menos de 40 muñecas se distribuye en grupos de 6, sobra 1; y que cuando se distribuye en grupos de 7, sobran 2. Tenemos que averiguar la cantidad de muñecas que tiene la colección. Haremos una tabla con dos filas. En la fila de arriba pondremos los números que cumplen la primera condición del problema; estos números se forman al multiplicar 6 por 1, 2, 3, … y sumar 1 al resultado. En la fila de abajo pondremos los números que cumplen la segunda condición; estos números se forman al multiplicar 7 por 1, 2, 3, … y sumar 2 al producto. De 6 en 6 sobra 1

6$1+1 7

6$2+1 13

6$3+1 19

6$4+1 25

6$5+1 31

6$6+1 37

De 7 en 7 sobran 2

7$1+2 9

7$2+2 16

7$3+2 23

7$4+2 30

7$5+2 37

7$6+2 44

El número de muñecas que tiene Lourdes es el número que está en ambas filas, ya que ese número cumple las dos condiciones del enunciado. Es el número 37. Por lo tanto, Lourdes tiene 37 muñecas. Comprobamos la solución. Vemos que el residuo de 37 ' 6 es 1, y que el de 37 ' 7 es 2: 37 ' 6 = 6 y R = 1 37 ' 7 = 5 y R = 2

1. Pedro tiene menos de 60 canciones en su MP3.

3. Un cuento tiene menos de 35 páginas. Al agru-

Si las agrupa de 7 en 7, le sobran 3; y si las agrupa de 8 en 8, le quedan 4. ¿Cuántas canciones tiene Pedro en su MP3? 52 canciones

parlas de 2 en 2 no sobra ninguna, al agruparlas de 3 en 3 tampoco sobra ninguna y al agruparlas de 4 en 4 sobran 2. ¿Cuántas páginas tiene el cuento? ¿Hay más de una solución?

2. En una cesta hay huevos. Son menos de 60. Al agruparlos en docenas sobran 7, mientras que al agruparlos de 5 en 5 no sobra ninguno. ¿Cuántos huevos hay en la cesta? 55 huevos

74

6 ; 18 ; 30 ; 3 soluciones

4. Inventa un problema que pueda resolverse haciendo una tabla.

Individual

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Sugerencias metodológicas Lea el problema del ejemplo y plantee posibles soluciones para que los alumnos razonen si son válidas o no. Aproveche para comentar las condiciones del problema, plantearlas matemáticamente y construir la tabla en la pizarra. Junto con los estudiantes razone la solución, a partir de los números de la tabla. Corrija en común las actividades propuestas.

74

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Taller de Matemática

Más información Factorización prima en Excel

Números primos

Para obtener la factorización prima de un número utilizando la hoja de Excel que hemos construido:

1. Construye una hoja de Excel que puede calcular números primos. •

Escribe los rótulos en las celdas C2, B4 y C4. La celda C3 está reservada para escribir los números que la hoja de Excel analizará.

•

En las celdas B5 hasta la B29 escribe los 25 números primos menores que 100. Puedes obtenerlos de la Criba de Eratóstenes.

•

En la celda C5 escribe la fórmula =$C$3/B5. Esta fórmula se refiere al resultado de dividir el número de la celda C3 entre el número de la celda B5.

•

Los signos $ que rodean a C sirven para que la referencia a la celda C3 no se modifique cuando la fórmula de C5 se copie a otras celdas.

•

Copia la fórmula de C5 desde C6 hasta C29. Observa, por ejemplo, que en B6 está la fórmula =$C$3/B6: la referencia a C3 no ha cambiado, Individual pero sí la referencia a B5, ahora es B6.

–– Escribimos el número en la celda C3. –– En las columna B y C buscamos dos factores que sean números naturales. Uno de ellos, en la columna B, será un factor primo. Es suficiente buscar hasta que los números de la columna C se hacen menores que los de la columna B.

2. Escribe un número en C3 y averigua si es primo. •

Puedes escribir cualquier número entre 1 y 9 409 (= 972).

•

Observa los cocientes en la columna C. Examina si hay algún cociente entero hasta que el cociente (en la columna C) se vuelve menor que el Individual divisor primo (en la columna B).

–– Escribimos el factor primo encontrado en la columna B y escribimos el otro factor en la celda C3. Así se reinicia el proceso. –– Continuamos hasta que el número escrito en la celda C3 sea primo. Este caso se manifiesta porque en la columna C aparece el cociente 1.

3. Halla los números primos comprendidos entre 100 y 300. •

Escribe en C3 los impares entre 100 y 300 (los pares, con excepción del 2, no son primos).

•

Cuando encuentres un número primo nuevo, añádelo a la columna B, desde B30 en adelante.

•

El último primo menor que 300 es 293. Ahora puedes investigar cualquier número comprendido entre 1 y 85 849 (= 2932) y determinar si es Individual primo.

•

C3: 25347 B: 3

C3: 8 449

Elige cuatro números entre 300 y 85 849 y averigua si son primos.

B: 7

4. Halla la factorización prima de los siguientes núme-

2 $ 3 $ 5 $ 7 2 $ 79

b) 492 525

3 2 $ 5 2 $ 11 $ 199

B: 17

c) 536 328

C: 71

2 3 $ 3 3 $ 13 $ 191

Observa cómo hallamos la factorización prima de 25 347.

C3: 71 B: 71

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C: 1207

C3: 1207

ros compuestos.

a) 116 130

C: 8 449

75

C: 1

La factorización prima de 25 347 es: 3 $ 7 $ 17 $ 71.

Sugerencias metodológicas Los estudiantes necesitarán su orientación para entender cómo encontrar la factorización prima de un número utilizando la hoja de Excel. En la sección de Más información usted tiene las pautas suficientes para orientar a los estudiantes.

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75

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 9. Hay varias estrategias posibles; la más simple consiste en multiplicar los números dados y encontrar un múltiplo, distinto de 0, de ese producto. El producto y ese múltiplo son los dos números buscados. –– Actividad 25. Se calcula el m.c.m. de 85 y 75, que es 1 275, y se lo suma a 1 990. El resultado es 3 265. –– Actividad 26. Se resta 2 cm a las dos dimensiones de la cartulina y obtenemos las dimensiones de la cartulina efectivamente utilizada: 84 cm # 90 cm. Como los cuadrados tienen los lados iguales, calculamos el m.c.d. de 84 y 90; este m.c.d. es 6, entonces los lados de los cuadrados tienen una longitud máxima de 6 cm. Para saber cuántos cuadrados corresponden a cada lado de la cartulina, dividimos 84 ' 6 = 14 y 90 ' 6 = 15. Por consiguiente, el total de cuadrados es 14 $ 15 = 210.

1. Indica si la afirmación es verdadera. a) 2 es divisible por 8.

b) 81 es divisible por 9. c) 81 es divisor de 9.

76

F F

e) 12 es múltiplo de 6.

V

f) 6 es divisor de 12.

V

g) 3 es múltiplo de 3.

V

h) 40 es divisor de 8.

F F

d) 32

d) 4 721

d) 38

f) 5 215

ah Divisible por: 2, 3 y 5

5. Determina si son divisibles por 4, 6, 9 o 10. a) 1 044 c) 7 387 e) 3 810 d) 1 356

f) 2 151

ah Divisible por: 4, 6 y 9

6. Determina si son divisibles por 7. a) 6 216 Sí c) 7 105 d) 3 983

76

Por 5 y 6:

g) 2 n10

h) 3 1n0

9

9

8

Por 2, 4 y 9: i) 5 90n

j) 11 2n2

Por 5, 6 y 9: k) 2 16n

l) 2n 380

3

5

Por ejemplo: 55 y 165

Por ejemplo: 540 y 780

ro es primo o compuesto.

a) 67

b) 68

ah Div ^67h = " 1, 67 ,; primo

c) 98

d) 97

11. Calculadora. Determina si el número es primo o compuesto.

a) 5 429

Compuesto

c) 8 123

Primo

b) 7 429

Compuesto

d) 5 431

Primo

12. Determina en cada inciso si los números son primos entre sí.

c) 77 y 121

f) 15, 22 y 53

Sí

f) 6 78n

Por 5:

g) 8 45n

h) 2 n90

i) 8 6n5

Por 6:

j) 2 71n

k) 5 18n

l) 5 73n

Por 11: m) 5 4n9

n) 3 5n9

ñ) n 328

0

Por ejemplo: 360 y 180

No

e) 9 8n6

4

d) Por 2, 3, 4 y 5

e) 12, 30 y 56

d) 6 n24

9

b) Por 5 y 11

Sí

Por 4:

9

c) Por 2, 5 y 9

Por ejemplo: 42 y 126

b) 35 y 36

c) 2 0n6

8

a) Por 6 y 7

Sí

b) 8 n26

8

f) n 375

5

d) 9, 18 y 24

a) 5 84n

8

e) 1 27n

Sí

Por 3:

5

Por 3 y 5:

2

5

a) 10 y 21

mero sea divisible por el número indicado? Si hay más de una opción, elige la que forma el número mayor. 7

d) 6 5n2

6

No

7. ¿Cuánto debe valer la cifra n para que el nú-

9

c) 1 0n8

10. Escribe todos los divisores e indica si el núme-

4. Determina si son divisibles por 2, 3, 5 o 11. a) 2 070 c) 1 295 e) 2 673

No

Por 3 y 4:

los números indicados.

ah 1, 2, 7, 14

b) 5 721

b) 2 23n

0

0

ah 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66

b) 6 030

a) 1 71n

9. Escribe dos números que sean divisibles por

3. Determina todos los divisores de: a) 14 b) 20 c) 30

b) 3 256

Por 2 y 9:

4

2. Escribe los 7 primeros múltiplos de: a) 11 b) 18 c) 25

–– Actividad 27. Como Luis quiere hacer el mínimo número de lotes iguales sin mezclar los sellos, se calcula el m.c.d. de 40 y 56: 8. Cada lote tendrá 8 sellos. Para determinar el número de lotes, dividimos 40 ' 8 = 5 y 56 ' 8 = 7. Entonces, Luis hará 5 lotes con sellos de Europa y 7 lotes con sellos de Asia: 12 lotes en total.

números indicados? Si hay más de una opción, elige la que forma el número mayor.

V

d) 54 es divisible por 4.

i) 8 es múltiplo de 64.

8. ¿Cuánto vale n si el número es divisible por los

F

7

8

9

6

No

No

13. Halla la factorización prima construyendo un árbol de factores.

a) 420

22 $ 3 $ 5 $ 7

c) 1 225

52 $ 72

b) 594

2 $ 3 3 $ 11

d) 3 675

3 $ 52 $ 72

14. Halla la factorización prima mediante el procedimiento de divisiones sucesivas.

a) 560 b) 1 125

24 $ 5 $ 7

c) 3 025

5 2 $ 11 2

32 $ 53

d) 8 820

22 $ 32 $ 5 $ 72

9

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Mi desempeño como docente 15. La factorización prima de un número es

23. Si Ana quiere tener más opciones de repartir

2 4 $ 3 3 $ 5 . Indica si ese número es divisible por el número indicado.

a) Por 8

Sí

c) Por 11

No

e) Por 81

b) Por 9

Sí

d) Por 25

No

f) Por 100 No

No

equitativamente cierta cantidad de chocolates, ¿cuál de las siguientes cantidades es preferible que compre? 42, 44, 46, 48.

Pocas veces.

48 chocolates

16. Calcula el mínimo común múltiplo mediante el

Siempre.

procedimiento de factorización prima.

a) 54 y 36

108

b) 48 y 72

144

c) 7, 8 y 60

840

d) 4, 44 y 400

4 400

17. Calcula el mínimo común múltiplo mediante el procedimiento de factorización simultánea.

a) 90 y 300

900

b) 168 y 280

840

a) Equipos de exposición de 3 integrantes.

d) 112, 175 y 189

75 600

b) Equipos de básquetbol de 5 integrantes.

procedimiento de factorización prima. 10

c) 12, 40 y 36

b) 36 y 20

4

d) 16, 24 y 144

8

tes grupos de números.

a) 29 y 37

1073; 1

c) 5, 11 y 31 1705; 1

b) 59 y 79

4661; 1

d) 7, 17, 37

4 403; 1

20. Encuentra el m.c.m. y el m.c.d. de los siguientes grupos de números.

b) 12 y 144

144; 12

c) 3, 27, 81

81; 3

d) 6, 36, 48

144; 6

21. Antonio tiene 24 autitos de juguete y quiere ordenarlos en filas, de modo que en cada fila haya la misma cantidad de autitos. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? 8 maneras.

–– Aliento a los estudiantes a buscar sus propios caminos para resolver problemas. Pocas veces. Muchas veces.

2 estudiantes sin equipo.

2 estudiantes sin equipo.

c) Equipos de voleibol de 6 integrantes.

2 estudiantes sin equipo.

25. Dos cometas se aproximan al Sol periódica4

19. Encuentra el m.c.m. y el m.c.d. de los siguien-

77; 7

para participar en exposiciones y competencias deportivas. Indica en qué casos quedan estudiantes sin equipo y cuántos.

6 930

18. Calcula el máximo común divisor mediante el

a) 7 y 77

24. En un colegio, 212 estudiantes se organizan

c) 126, 315 y 693

a) 70 y 100

–– Me esfuerzo por hacer comprender conceptos y no solo por realizar ejercicios y practicar algoritmos.

mente, uno cada 85 años y el otro cada 75. Si en 1990 coincidieron en su “visita” al Sol, ¿cuál es el próximo año en que volverán a coincidir? El año 3 265.

26. Humberto cortó en cuadrados una cartulina de

–– Ayudo a razonar a los estudiantes a la hora de resolver problemas y realizar actividades de investigación y pensamiento crítico. Pocas veces. Siempre.

86 cm # 92 cm. En los dos lados le sobraron 2 cm. ¿Cuál es la máxima longitud que pueden tener los lados de los cuadrados que cortó Humberto? ¿Cuántos cuadrados de ese tamaño obtuvo? Cuadrados de 6 cm de lado ; 210 cuadrados.

27. Luis tiene 40 sellos de Europa y 56 de Asia. Quiere hacer el mínimo número posible de lotes iguales, sin mezclar sellos de Europa y Asia y sin que le sobre ninguno.

22. José tiene un álbum de 180 cromos. Los cromos se venden en sobres que contienen 5 cromos. Suponiendo que no se repita ningún cromo, ¿cuántos sobres tiene que comprar como mínimo para completar su álbum? 36 sobres.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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a) ¿Cuántos lotes hará?

12 lotes

b) ¿Cuántos sellos tendrá cada lote?

8 sellos

77

77

Sobre las actividades –– Actividad 28. Se calcula el m.c.m. de 80 y 95: 1520. Se divide 1520 entre el tiempo de cada vuelta:

28. Antonio y Silvia corren en la pista de atletis-

32. Pensamiento crítico. Explica si estás o no de

mo del estadio. Parten al mismo tiempo del mismo punto. Antonio da una vuelta cada 80 segundos, y Silvia cada 95 segundos. Corren hasta que se encuentran de nuevo en el punto de partida.

acuerdo con la siguiente afirmación: “Si abc es divisible por 11, también lo es cba” (a, b y c son tres cifras cualesquiera). Verdad

1 520 ' 80 = 19 1 520 ' 95 = 16 Cuando Antonio ha dado 19 vueltas y Silvia 16, ambos se encuentran de nuevo en el punto de partida. Como hay 3 vueltas de diferencia, es necesario que antes hayan coincidido en otros lugares de la pista. –– Actividad 29. a) Es imposible escribir todos los múltiplos de un número. b) No existe el múltiplo más grande de un número: dado un múltiplo cualquiera, siempre hay otro mayor. c) Un número no tiene números primos sino divisores primos. d) La expresión “es un divisible de” no tiene sentido; aunque falsa, la oración correcta es “El número 25 es un divisor de 5”. e) Ningún número aislado es primo entre sí; la descripción “primos entre sí” se aplica a dos números.

de cociente y r de resto, ¿cuál es el menor número natural que hay que sumar al número D para que sea múltiplo del número d? Examina los ejemplos y da una respuesta general. D d c r

a) ¿Después de cuántas vueltas de Silvia ocurre eso?

16 vueltas de Silvia

b) ¿Se han encontrado antes en algún otro lugar de la pista? Sí

29. Matemática y Lenguaje. ¿Cuál es el defecto de las siguientes consignas y afirmaciones? Individual

a) Escribe todos los múltiplos de 8.

b) Escribe el múltiplo más grande de 10. c) Los números primos de 11 son 1 y 11. d) El número 25 es un divisible de 5. e) Busca un número que sea primo entre sí. 30. ¿Existe un número que sea múltiplo de 12 y 6 y que sea menor que 12 $ 6 ? Encuentra tres parejas de números que no tengan un múltiplo común que sea menor que su producto. 36; individual.

31. Observa las siguientes multiplicaciones por múltiplos de 9: 123 456 789 $ 9 = 1 111 111 101 123 456 789 $ 27 = 3 333 333 303 123 456 789 $ 81 = 9 999 999 909

–– Actividad 33. El menor número natural es la diferencia entre el dividendo y el cociente. –– Actividad 37. No hay más números primos sucesivos porque los números pares e impares se intercalan y los números pares (con excepción del 2) no son primos.

33. Investiga. Si al dividir D entre d, obtenemos c

Ahora, sin utilizar la calculadora y sin hacer cuentas escribe el resultado de:

a) 123 456 789 $ 54 6 666 666 606

78

b) 123 456 789 $ 72

86 11 9 7

156 11 2 14

34. Busca tres números

D + ^d - ch

distintos que puedan analizarse mediante un árbol de factores primos que tenga la siguiente forma.

Por ejemplo: 36, 225, 1 225

35. Expresa los números 16, 60, 135, 140 y 200 como un producto de factores no necesariamente primos. Excluye el 1 como factor. 90 = 18 $ 5 90 = 2 $ 5 $ 9 90 = 2 $ 3 $ 3 $ 5

a) 2 factores 16 = 2 $ 8

b) 3 factores c) 4 factores 16 = 2 $ 2 $ 4

16 = 2 $ 2 $ 2 $ 2

36. La descomposición en factores primos de 10 es 2 $ 5 , la de 100 es 2 2 $ 5 2 . ¿Cuál será la descomposición de 100 000? 2 5 $ 5 5

37. Pensamiento crítico. 2 y 3 son números primos y son sucesivos, es decir, 2 + 1 = 3 . ¿Es posible que existan otros números primos sucesivos? ¿Por qué?

No es posible; después del 2 ningún par es primo.

38. Investiga. Los llamados “números primos de Mersenne” tienen la forma 2 n - 1 . Determina si hay este tipo de números entre los primos comprendidos entre 1 y 100. Si los hay, ¿cuáles son? 3; 7; 31

8 888 888 808

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–– Actividad 38. Son números primos de Mersenne: 3, 7, 31.

78

46 7 4 6

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Valores

Problemas de Matemática y valores

Una persona es autónoma si:

39. Autonomía. Quieres leer dos novelas: una de

41. Solidaridad. En tu clase hay 48 estudiantes,

220 páginas y otra de 260. Quieres terminarlas lo más rápido posible, empezando a leerlas el mismo día y terminando de leerlas el mismo día, leyendo todos los días la misma cantidad de páginas de cada novela.

30 chicos y 18 chicas. La profesora quiere formar grupos mixtos iguales (la misma cantidad de chicos y la misma cantidad de chicas en cada grupo) y te pide determinar el tamaño máximo que pueden tener los grupos y la cantidad de esos grupos. ¿Puedes ayudarla?

a) ¿Cuántos días necesitas para leer ambas novelas?

8 estudiantes ; 6 grupos de 5 chicos y 3 chicas cada uno.

20 días

–– Puede planificar sus acciones para cuidar de sí misma (actividad 40). Una persona es responsable si: –– Puede determinar lo que debe hacer para cuidar de sí misma (actividad 40).

b) ¿Cuántas páginas de cada novela debes leer cada día?

–– Puede planificar sus acciones para alcanzar sus metas (actividades 39 y 42).

11 páginas; 13 páginas

Una persona es solidaria si:

42. Autonomía. Tienes que resolver 24 problemas

40. Autonomía y responsabilidad. Te dolía una muela y fuiste al dentista. El médico te recetó 9 analgésicos para calmar el dolor y 24 antibióticos para combatir una infección. La receta indica que el analgésico debe tomarse cada 12 horas y el antibiótico cada 8 horas.

a) Hoy es martes 10 de abril de 2012 y has iniciado el tratamiento. Tomaste juntos el antibiótico y el analgésico a las 8:00 a.m. Elabora un horario con los días y horas en que debes tomar tus medicinas. Individual

b) ¿Cuántas veces después de iniciado el tratamiento volverás a tomar un antibiótico y un analgésico juntos? 4 veces

de Matemática y 16 de Ciencias. Cada día debes dedicarte a las dos materias y cada día tienes que resolver la misma cantidad de problemas de Matemática y la misma cantidad de problemas de Ciencias. Si no puedes resolverlos todos en un día, ¿cuál es la mínima y la máxima cantidad de días que puedes utilizar?

–– Puede utilizar sus conocimientos y capacidades para ayudar a las personas con las que se relaciona.

Mínimo 2 días ; máximo 8 días.

43. Solidaridad. En el supermercado tienes que comprar galletas con dulce de higo. Tu mamá tiene que repartir esas galletas en 12 platos y quiere colocar al menos 4 de esas galletas en cada plato. Si los paquetes traen 9 galletas, ¿cuál es la mínima cantidad de paquetes que debes comprar para que la repartición sea posible sin que sobre ninguna galleta? 8 paquetes

c) Cuando compraste las medicinas, en la farmacia no tenían la cantidad total indicada en la receta. Ahora, no tienes medicinas, pero recuerdas que hasta el momento has tomado las medicinas juntas cinco veces. ¿Cuántos antibióticos tienes que comprar? ¿Cuántos analgésicos? 11 antibióticos; ningún analgésico. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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79

79

Repaso acumulativo 1 1. Escribe cómo se leen estos números.

8. Escribe como multiplicación y calcula el resultado.

a) 402 000 004 821

402 mil millones, 4 mil, 821

a) 122

b) 500 700 300 100 c) 715 002 541 884

715 mil, 2 millones, 541 mil, 884

b) 8

a) 452 mil 100 millones 124 mil 452 100 124 000

b) 900 mil millones 2 mil 4 c) 120 mil 954 millones 950 120 954 000 950

3. Completa aplicando propiedades. a) 10 + ^8 + 3h = ^10 + 8h + 3 b) 24 + 14 = 14 + 24

6

= 50

d)

0

= 32

b) 603 ' 12 3 = 5 3

f) 910 ' 96 = 9 4

c) ^152h 4 = 158

g) 100 1 = 100 h) 11 8 ' 115 = 113

c) 10 200 000

6 $ 10 3 85 $ 10

102 $ 10 5

d) 432 000 000

4

432 $ 10 6

12. Escribe la descomposición polinómica.

$ 54 = 0

b) 420 - x = 102

e) 352 ' x = 22

318

f) x ' 20 = 31

209

a) 24 090

c) 2 045 910

b) 650 814

d) 84 127 058

a h 2 $ 10 4 + 4 $ 10 3 + 0 $ 10 2 + 9 $ 10 1 + 0 $ 10 0

d) 15 $ x = 315

c) x - 89 = 120

6. Completa el cuadro de divisiones enteras.

21 16 620

13. Calcula la raíz cuadrada exacta o la raíz cuadrada entera y el resto.

a) 100

10

c) 169

13

e) 225

b) 106

10; 6

d) 200

14; 4

f)

15

220 14; 24

14. Calcula la raíz cúbica exacta o la raíz cúbica entera y el resto.

Dividendo

Divisor

Cociente

Residuo

420

25

16

20

a) 3 64

c) 3 100

e) 3 1000

123

5

24

3

b) 3 80

d) 3 125

f)

134

12

11

2

7. Resuelve las operaciones combinadas. a) 3 $ 9 - 12 ' 2 + 5

26

b) 24 ' ^7 - 3h $ ^12 ' 3h

4; 36

4

4; 16

5

a) 22 + 3 27 ' 3 $ 16 - 1 b) 25 + 2 ' 8 $ 3 - 5 5

2

10

1125

10; 125

7

36

c) ^2 + 16 h ' 5 $ ^2 - 2 $ 3 8 h

24

3

15. Resuelve las operaciones combinadas.

4

c) ^20 - 2 $ 8h + ^36 ' 6 - 5h $ 3

80

e) 87 $ 85 = 8 12

b) 850 000

5. Encuentra el valor de x. a) 200 + x = 541 341

80

h) 100

a) 62 $ 52 = 30 2

a) 6 000

e) 5 $ ^18 $ 10h = ^5 $ 18h $ 10

0 6 + 1 $ 10 5 + 2 $ 10 4 + 7 $ 10 3 + 0 $ 102 + 5 $ 101 + 8 $ 100

f) 36

de base 10.

b) 10 $ 15 = 15 $ 10 1

32

11. Expresa cada número utilizando una potencia

$ 5 + 6 $ 2 = 6 $ ^5 + 2h

c) 32 $

d) 25

d) 100 0 = 1

4. Completa aplicando propiedades. a)

d) 25

256

10. Completa.

900 000 002 004

0

c) 44

1 331

9. Identifica los cuadrados y los cubos perfectos. a) 1 c) 16 e) 27 g) 64

2. Escribe estos números con cifras.

c) 50 +

b) 113

144

500 mil, 700 millones, 300 mil, 100

3

16

7

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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16. Observa el dibujo e indica:

Respuesta gráfica.

a) Los ángulos internos y los ángulos externos. Las parejas de ángulos alternos internos, las de ángulos alternos externos y las B, W G, W H de ángulos correspondientes. A I: WA, W A E: W C, W D, W E, W F

b) La medida de cada ángulo sabiendo que las rectas AB y CD son paralelas y que W A = 140c. W G

C

A

W C E

W A

W D

W B

W E

W H B

W F

F

D

W A, W D, W E, W H = 140 O W B, W C, W F, W G = 40 O

17. Dibuja un segmento de 10,3 cm y traza su mediatriz utilizando regla y compás. Respuesta gráfica.

18. Dibuja un ángulo de 100º y traza su bisectriz utilizando regla y compás. Respuesta gráfica.

19. En cada caso traza la figura simétrica con respecto al punto rojo. Respuesta gráfica.

b)

a)

22. Escribe sus 7 primeros múltiplos. a) 7 b) 10 c) 12

d) 15

a h 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42

23. Escribe todos sus divisores. a) 12

b) 30

c) 45

d) 64

ah Div ^12h = " 1, 2, 3, 4, 6, 12 ,

24. Determina si son divisibles por 2, 3, 5 o 11. a) 258 2; 3 c) 2 420 2; 5; 11 e) 5 523 b) 1 275 3; 5

d) 4 906

2; 11

3

f) 6 075

3; 5

25. Determina si son divisibles por 4, 6, 9 o 10. a) 876 c) 1 140 e) 9 810 4; 6; 10

4; 6

b) 2 344

6; 9; 10

d) 6 984

f) 47 160

4; 6; 9

4

4; 6; 9; 10

26. Determina si son divisibles por 7. a) 2 975 Sí c) 5 927 b) 3 195

No

d) 41 076

No

Sí

27. Escribe dos números que sean divisibles por los números indicados. Ejemplos:

a) Por 2, 5 y 9

720

c) Por 2, 7 y 9

b) Por 3, 4 y 5

540

d) Por 3, 7 y 11

126 231

28. Determina si es primo o compuesto. a) 114 c) 147 e) 177 Compuesto

Compuesto

b) 131 20. En cada caso traza la figura simétrica con respecto a la recta roja. Respuesta gráfica.

a)

b)

rotación indicada. Respuesta gráfica.

a)

Primo

d) 115 y 69

b) 693

3 2 $ 7 $ 11

d) 1 050

No No

2 $ 33 $ 7 2 $ 3 $ 52 $ 7

168

d) 6, 15 y 20

180 60

O

^O, 90c horarioh

32. Calcula el máximo común divisor de: a) 48 y 54 6 c) 50, 60 y 70 b) 84 y 98

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Si

30. Halla la factorización prima. a) 240 2 4 $ 3 $ 5 c) 378

b) 14 y 24

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Primo

31. Calcula el mínimo común múltiplo de: a) 12 y 21 84 c) 4, 15 y 18

b)

^5 -, 10 !h

Compuesto

f) 193

29. Determina si son primos entre sí. a) 15 y 21 No c) 51 y 57 b) 27 y 50

21. Copia cada figura y realiza la traslación o la

d) 163

Primo

14

d) 30, 36 y 48

10 6

81

81

Sugerencia de temporalización

5

Fracciones

Mayo Junio

Valores El texto nos permite reflexionar sobre el valor y la importancia del agua y sobre su utilización racional y responsable. Se estima que en la Tierra hay 1 400 000 000 de km3 de agua. De esa cantidad, entre el 2 y el 3% es agua dulce, pero alrededor del 99,6% del agua dulce está en glaciares, en los casquetes polares y en la atmósfera. Por lo tanto, solo podemos disponer del 0,4% del agua dulce de la Tierra. Podemos ser cuidadosos al utilizar el agua en nuestras casas, evitando el derroche o el desperdicio. Pero el problema es en realidad más difícil porque nuestra forma de vida se basa en la utilización de grandes volúmenes de agua. Aunque una persona necesita ingerir tan solo 2 litros de agua al día, puede utilizar más de 70 litros en la taza del baño. Además, los productos que usamos requieren una gran cantidad de agua en su proceso de elaboración; por ejemplo, 9 litros de agua para producir 1 litro de Coca Cola y 7 000 litros de agua para refinar 4 litros de petróleo.

El hombre y el agua De toda la superficie de la Tierra, 7 décimas partes están cubiertas de agua. De toda el agua de la Tierra, 3 partes de cada 100 son agua dulce como la que necesitamos para vivir. Del agua que utilizamos, 7 décimas partes son desperdiciadas. En su canción El hombre y el agua, el cantautor español Joan Manuel Serrat dice: “Si el hombre es un sueño, el agua es el rumbo. Si el hombre es un pueblo, el agua es el mundo. Si el hombre es recuerdo, el agua es memoria. Si el hombre está vivo, el agua es la vida”.

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• Si en tu familia usan 25 000 litros de agua al mes, ¿cuántos litros es posible que estén desperdiciando? • ¿Qué podemos hacer para usar el agua responsablemente?

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Sugerencias metodológicas –– Repase con actividades colectivas en la pizarra contenidos básicos sobre fracciones: · Escriba varias fracciones para que los alumnos indiquen cómo se llama cada término y qué indica, digan cómo se leen, expliquen si son mayores, iguales o menores que la unidad y las representen. · Dibuje varias representaciones de fracciones para que los alumnos escriban y lean las fracciones correspondientes. · Anímelos a determinar de manera reflexiva si una fracción es menor o mayor que otra.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA Significado de las fracciones Las fracciones se utilizan para representar partes de la unidad. Se escriben con un numerador y un denominador distinto de 0.

–– Al expresar una fracción en forma de número mixto o viceversa, los estudiantes pueden confundir el orden de los términos al operar o escribir el resultado. Anímelos siempre a hacer un dibujo esquemático para comprobar sus cálculos.

2 $ numerador 3 $ denominador

•

Una fracción propia tiene el numerador menor que el denominador; es siempre menor que 1.

4 7

Fracción propia

•

Una fracción impropia tiene el numerador mayor que el denominador; es siempre mayor que 1.

5 3

Fracción impropia

•

Un número mixto se representa mediante un número natural y una fracción; es equivalente a una fracción impropia.

12 3

•

Si el numerador y el denominador son iguales, la fracción es igual a 1.

Número mixto

–– Los estudiantes deben dominar el cálculo del m.c.d. de dos números para hallar la fracción irreducible a una fracción dada y el cálculo del m.c.m. para reducir dos fracciones a común denominador. Además, pueden confundir el cálculo del m.c.d. y del m.c.m. al realizar las dos actividades anteriores. Razone con ellos el sentido de cada una para que la elección del cálculo sea lógica y no solo memorística.

1. Indica si cada expresión es mayor, igual o menor que la unidad. a) 12

Igual

c) 1 1

Mayor

e) 2 3

Mayor

g) 5

b) 14

Menor

d) 19

Mayor

f) 15

Menor

h) 3

12 17

8

7

7

21

5

Igual

11 Menor

Comparación de fracciones •

Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

•

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tiene menor denominador. 5 2 3 porque 5 2 3 8 8

7 2 7 porque 9 1 11 9 11

2. Escribe 1 o 2 entre las fracciones. a) 6

16

1

6 15

b) 2

9

1

4 9

c) 10 13

2

3 13

d) 10 14

2

10 18

Vocabulario matemático

Adición y sustracción de fracciones con el mismo denominador

Amplificación

Para sumar (o restar) fracciones de igual denominador, se suman (o se restan) los numeradores y se deja el mismo denominador. 1 + 2 = 1+2 = 3 4 4 4 4

Denominador

3 - 2 = 3 - 2 = 1 4 4 4 4

Fracción Fracción impropia

3. Suma o resta las fracciones. a) 5 + 2 77 7 7

3 b) 8 - 5 11 c) 15 + 21 36 d) 15 - 8 76 11 11 12 12 12 6 6

Fracción irreducible

e) 2 + 18 20 f) 18 - 7 11 14 14 14 16 16 16

Fracción propia Fracciones equivalentes

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Numerador Número mixto Reducción a común denominador

–– Plantee en común situaciones cotidianas en las que utilizamos fracciones. Por ejemplo: partes de una unidad (porciones de pizza, de torta…), capacidades o pesos (botellas de medio litro…), fracción de un número como parte de un grupo (un cuarto de los chicos…).

Simplificación

Tic Representación de fracciones. Cálculo de fracciones con referencia al plano de una casa.

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Más información

Fracciones equivalentes

Características de las fracciones equivalentes

Manuel tiene cuatro helados iguales de fresa y vainilla. Corta cada helado en varias porciones iguales. ¿Qué fracción de cada helado es de fresa?

–– La llamada propiedad fundamental de las fracciones afirma que si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por un mismo número natural o se dividen por un divisor común, se obtiene una fracción equivalente. Esta propiedad es, naturalmente, verdadera; sin embargo, no debemos inferir de ella que si dos fracciones son equivalentes necesariamente una se puede obtener de la otra por amplificación o por simplificación. Es decir, puede ocurrir que dos fracciones sean equivalentes y ninguna de ellas pueda obtenerse de la otra por amplificación o por simplificación; por ejemplo, las fracciones equivalentes 4 y 18 . 10 45 –– Si dos fracciones son equivalentes, entonces ambas son equivalentes a la misma fracción irreducible. Por ejemplo, las fracciones equivalentes 4 y 18 son equivalentes a 10 45 la fracción irreducible 2 . 5

Es de fresa _

'2

18 45

'9

'2

'9

2 4

3 6

4 8

La cantidad de fresa es igual en los cuatro helados. Por eso, las fracciones 1 , 2 , 3 y 4 son fracciones equivalentes, es 8 2 4 6 decir, representan la misma cantidad: 1 = 2 = 3 = 4 . 4 6 8 2 Para comprobar si dos fracciones son equivalentes, se multiplican sus términos en cruz. Si los productos obtenidos son iguales, las fracciones son equivalentes. Las fracciones 3 y 4 son equivalentes porque 3 $ 8 = 6 $ 4 = 24 : 8 6 3 = 4 porque 3 $ 8 = 6 $ 4 6 8 Las fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad. Si dos fracciones son equivalentes, los productos en cruz (o productos cruzados) de sus términos son iguales.

1. Escribe

si las fracciones son equivalentes y si no lo son.

a) 6 y 5

d) 10 y 1

g) 8 y 9

b) 9 y 3

e) 6 y 4

h) 1 y 2

c) 3 y 12

f) 3 y 15

9 y 1 i) 18 9

5

6

4

6

2

2

8

16

4

5

8

10

9

10

20

20

2. ¿Cuánto debe valer x para que las fracciones sean equivalentes?

–– Dada una fracción no irreducible, de ella siempre es posible obtener su equivalente fracción irreducible por simplificación. 4 10

1 2

a) x = 8 5 10

4

d) 4 = 8 9 x

b) 5 = x 6 12

10

e) x = 18 4 12

6

h) 154 = 11 14 x

1

c) 2 = 14 x 28

4

f) 15 = x 3 5

25

x = 5 i) 100 20

25

18

g) 64 = 8 x 3

24

2 5 2 5

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Sugerencias metodológicas Tic ¿Fracciones equivalentes? Amplificación y simplificación de fracciones para hallar equivalencias.

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–– Plantee la situación del ejemplo inicial y explique que los cuatro helados tienen la misma parte de fresa, aunque estén partidos en distinto número de porciones. Desarrolle a partir del dibujo el concepto de fracciones equivalentes. Después, explique cómo podemos saber si dos fracciones son equivalentes y compruébelo en común con otras fracciones del ejemplo. –– Explique en la pizarra las dos formas de obtener fracciones equivalentes (por amplificación y por simplificación) y haga otros ejemplos en común. Muestre que para simplificar una fracción dividimos los dos términos por un divisor común.

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Recursos

3. Escribe dos fracciones equivalentes a cada fracción dada. Los procedimientos de amplificación y simplificación permiten obtener fracciones equivalentes a una fracción dada.

Pensamiento crítico e investigación

Estos procedimientos se basan en la llamada propiedad fundamental de las fracciones: “Si el numerador y el denominador se multiplican por un mismo número natural o se dividen por un divisor común (distinto de 1), se obtiene una fracción equivalente”. Amplificación: 3 = 3 $ 2 = 6 Simplificación: 21 = 21 ' 3 = 7 5 5$2 10 24 24 ' 3 8

1 Por amplificación: a) 3 = Por ejemplo

= 26

d) 7 = 8

= 21 24

b) 5 = 6

= 15 18

e) 2 = 5

4 = 10

c) 3 = 4

= 68

f) 4 = 9

= 12 27

Por simplificación: g) 12 = 18 Por ejemplo

= 46

j) 30 = 36

= 10 12

h) 20 = 50

4 = 10

k) 18 = 24

= 68

i) 14 = 28

= 24

l) 15 = 45

= 39

–– Busca dos parejas de fracciones equivalentes tales que ninguna de ellas pueda obtenerse de la otra por amplificación o por simplificación. Explica cómo has hecho para encontrar esas parejas de fracciones equivalentes. –– ¿Es posible simplificar una fracción de la forma a ? ¿Sí? ¿No? ¿Por a+1 qué? –– En general es incorrecto simplificar una fracción eliminando simplemente las cifras iguales que aparecen en el numerado y el denominador. Por ejemplo, la siguiente simplificación es incorrecta:

4. Encuentra la fracción equivalente irreducible. Una fracción es irreducible cuando no puede simplificarse más. Para encontrar la fracción irreducible equivalente a una dada, se dividen el numerador y el denominador de la fracción entre el máximo común divisor de ambos números. 20 _ m.c.d. ^ 20, 28 h = 4 _ 20 = 20 ' 4 = 5 28 28 28 ' 4 7

a) 9

3

15 5

b) 8

2

12 3

c) 24

3

32 4

d) 25

5

20 4

e) 12

2

30 5

f) 35

245 345

24 34

2 3

¿?

Sin embargo, ese procedimiento erróneo puede producir en algunos casos resultados correctos, por ejemplo:

7

40 8

5. Investiga. Las siguientes afirmaciones son verdaderas. Muestra al menos dos ejemplos de cada una de ellas.

266 665

a) Si dos fracciones son equivalentes a la misma fracción irreducible, entonces esas fracciones son equivalentes. Verdadero

¿?

26 65

2 5

¿?

Sin embargo: 266 = 2 665 5

b) Si dos fracciones son equivalentes a una tercera, entonces las dos primeras son equivalentes entre sí. Verdadero

c) Si una fracción puede obtenerse de otra por simplificación, esta última puede obtenerse de la primera por amplificación. Verdadero

d) Hay fracciones equivalentes tales que ninguna de ellas puede obtenerse de la otra ni por amplificación ni por simplificación. Falso

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¿?

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–– Al explicar los fundamentos de la actividad 4, razone con sus estudiantes: ¿por qué al dividir el numerador y el denominador de una fracción por su m.c.d. obtenemos una fracción que ya no puede simplificarse más?

Busca una fracción que pueda simplificarse de esta manera errónea hasta obtener 1 y que, sin 2 embargo, sea realmente equivalente a 1 . 2

Tic Fracciones equivalentes. Identificación de varias fracciones equivalentes entre una serie de opciones.

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Más información

Reducción a común denominador

Una comparación de ambos métodos

Pablo y Beatriz quieren encontrar fracciones que sean equivalentes a las fracciones 7 y 3 y que tengan el mismo denominador. 8 10

El método de los productos cruzados y el método del mínimo común múltiplo no generan necesariamente las mismas fracciones equivalentes a las iniciales, aunque sí, naturalmente, las fracciones generadas por un método son equivalentes a las fracciones generadas por el otro.

Pablo utiliza el método de productos cruzados. 1.º Halla una fracción equivalente a 7 . 10 Multiplica el numerador y el denominador de 7 por el denominador de 3 : 10 8 7 = 7 $ 8 = 56 10 $ 8 80 10

3 = 3 $ 10 = 30 8 8 $ 10 80

Beatriz utiliza el método del mínimo común múltiplo. 1.º Calcula el denominador común.

En general, si los dos denominadores tienen un divisor común distinto de 1, los resultados de ambos métodos no serán iguales; y si no tienen un divisor común, los resultados serán iguales.

Calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores de las dos fracciones. Este m.c.m. es el denominador común.

2.º Halla el numerador de cada fracción. Para cada fracción, divide el denominador común entre el denominador de la fracción inicial y multiplica por el numerador.

7 y 3 _ m.c.m. 10, 8 = 40 ^ h 10 8

7 = y 3 = 10 40 8 40

Por ejemplo, sean las fracciones 5 y 7 (12 y 12 8 8 tienen un divisor común, que es 4) y las fracciones 11 y 3 (12 y 5 no tienen 12 5 un divisor común).

7 10 3 8

40 ' 10 $ 7 = 28 40 ' 8 $ 3 = 15

7 = 28 10 40 3 = 15 8 40

Las fracciones equivalentes encontradas son: 7 = 56 = 28 10 80 40

Método de productos cruzados: Z 5 40 ] 12 = 96 5 y 7 [ 12 8 ] 7 = 84 96 \8 Z 11 55 ] 12 = 60 11 y 3 [ 5 12 ] 3 = 36 60 \5 Método del mínimo común múltiplo: Z 5 10 ] 12 = 24 5 y 7 [ 12 8 ] 7 = 21 8 24 \ Z 11 55 ] 12 = 60 11 y 3 [ 5 12 ] 3 = 36 5 60 \

2.º Halla una fracción equivalente a 3 . 8 Multiplica el numerador y el denominador de 3 por el denominador de 7 : 8 10

Pablo Beatriz

3 = 30 = 15 8 80 40 Pablo Beatriz

Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener otras fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. •

En el método de los productos cruzados, se multiplican los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra fracción.

•

En el método del mínimo común múltiplo: –

Se escribe como denominador de cada fracción el m.c.m. de los denominadores.

–

Se escribe como numerador de cada fracción el resultado de dividir el denominador común entre cada denominador y multiplicar por el numerador correspondiente.

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Sugerencias metodológicas –– Explique en la pizarra cómo se reducen dos fracciones a común denominador por el método de los productos cruzados y cómo por el método del m.c.m. (explique los dos pasos de ambos métodos). Razone con los estudiantes por qué, en el segundo método, se elige el m.c.m. como denominador común: es el múltiplo común a ambos denominadores más pequeño. –– En el momento de resolver los problemas, explique algunas de las utilidades de la reducción a común denominador: comparar fracciones que se expresan con distinto denominador, determinar en cuántas partes debe partirse una unidad que debe distriburise en partes que se expresan con fracciones de distinto denominador.

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Recursos

1. Reduce a común denominador por el método de productos cruzados. a) 5 = 8

30 48

8 y 1 = 48 6

c) 5 = 7

b) 3 = 9

30 90

y 4 = 36 90 10

d) 8 = 12

y 7 = 49 56 8

40 56 40 60

e) 9 = 20

y 7 = 84 60 5

y 8 = 160 60 3

27 60

f) 8 = 3

16 6

y 9 = 27 6 2

e) 5 = 6

15 18

y 16 = 32 18 9

Actividades –– Pida a los estudiantes que reduzcan a común denominador varias parejas de fracciones usando los dos métodos, el de los productos cruzados y el del m.c.m. Por ejemplo:

2. Reduce a común denominador por el método del m.c.m. a) 5 = 6

10 12

b) 5 = 12

20 48

7 y 7 = 12 12 9 y 3 = 48 16

c) 3 = 7

6 14

d) 5 = 16

15 48

5 y 5 = 14 14

y 7 = 14 48 24

f) 10 = 9

y 16 = 48 45 15

50 45

3 y 2 5 7

Para reducir a común denominador tres o más fracciones por el método del mínimo común múltiplo, se siguen los mismos pasos que para reducir a común denominador solo dos fracciones.

g) 3 = 5

36 ; 60

7 = 35 y 4 = 16 60 60 12 15

h) 1 = 4

3 ; 12

4 y 3 15 25

mún denominador. 2 2 5 3 8

c) 4 ; 9 y 7

b) 7 y 10

7 2 10 6 9

d) 7 ; 3 ; 11 y 5

6

8 9

9 15

12

18 10 24

9 2 7 2 4 15 12 9

12

11 2 5 2 7 2 3 24 12 18 10

Comente y pídales que comprueben que, aunque los resultados a veces varían con el método usado, ambos son válidos pues las fracciones encontradas son equivalentes.

4. Resuelve los problemas. a) En un hotel hay dos piscinas de las mismas dimensiones. Una está llena hasta los 13 18 de su capacidad y la otra hasta los 15 21. ¿Qué piscina tiene más agua? La que está 13 llena. 18

b) Tres amigos están leyendo el mismo libro. Laura ha leído 5 8 del libro; Manuel, 9 15 y Luis, 14 25. ¿Quién ha leído más páginas? ¿Quién menos? Más páginas: Laura ; menos páginas: Luis.

–– Resuelve los siguientes problemas de reparto indicando en cuántas partes debe cortarse la unidad para que el reparto pueda realizarse bien.

c) Santiago quiere comer la mitad de un pastel y Nancy quiere un tercio del mismo pastel. Para poder repartirlo bien, ¿en cuántas partes deben partir el pastel?, ¿cuántas le tocarán a cada uno? 3 2 Deben partirlo en 6 partes ; a Santiago

6

; a Nancy

6

.

5. Pensamiento crítico. ¿Se puede adaptar el método de los productos cruzados para reducir tres fracciones a común denominador? ¿No?, ¿por qué? ¿Sí?, ¿cómo? Se puede.

a) Pablo quiere dos quintos de una tarta y Sara quiere un cuarto de la misma tarta.

6. Investiga. En los ejemplos iniciales, Pablo y Beatriz obtienen fracciones equivalentes diferentes. ¿En qué casos los dos métodos producen resultados diferentes? ¿En qué casos producen resultados iguales? Individual

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Plantee un debate sobre la mayor o menor facilidad de uno u otro método en función de los denominadores de las fracciones que haya que reducir (si son números bajos o no…).

3. Ordena las fracciones con el simbolo 2 reduciéndolas previamente a co3

7 y 5 24 8

7 y 5 12 18

5 = 10 y 5 = 5 12 12 6 12

a) 2 y 5

2 y 7 3 8

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b) Amanda quiere dos tercios de una pizza y Juan quiere un quinto de la misma pizza. c) Elena quiere dos tercios de un bizcocho y Eva quiere un cuarto. d) Álvaro quiere dos tercios de un pastel y Ramón quiere tres cuartos.

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Más información La representación egipcia de las fracciones

Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador

En la antigua cultura egipcia, aquella que construyó las famosas pirámides, todas las fracciones se escribían como fracciones unitarias o como una suma de dos o más fracciones unitarias distintas. Recordemos que una fracción unitaria es una fracción cuyo numerador es 1.

Un grupo de amigos compra una pizza gigante y deciden que las chicas comerán una mitad y los chicos la otra mitad.

Si Lucas comió 3 de la pizza entera y Ana 5 , 24 16 ¿qué parte de la pizza comieron entre ambos?

¿Qué parte de la pizza dejó Lucas para sus amigos varones? Tenemos que realizar la sustracción 1 - 3 . 2 16

Tenemos que realizar la adición 3 + 5 . 16 24

Para expresar una fracción unitaria como una suma de dos fracciones unitarias, podemos utilizar la siguiente fórmula:

Reducimos las fracciones a común denominador y restamos las fracciones de igual denominador.

Las fracciones tienen distinto denominador. Las reducimos a común denominador y sumamos las fracciones de igual denominador.

1 - 3 = 8 - 3 = 8-3 = 5 16 16 16 16 2 16

3 + 5 = 9 + 10 = 9 + 10 = 19 16 24 48 48 48 48

1 = 1 + 1 n n + 1 n ^n + 1 h

Lucas dejó 5 de la pizza para sus amigos. 16

Entre Lucas y Marcela comieron 19 de la pizza. 48

Por ejemplo: Para sumar (o restar) dos fracciones de distinto denominador, primero se reducen las fracciones a común denominador y, después, se suman (o restan) los numeradores y se deja el denominador común.

1 = 1 + 1 = 5 5 + 1 5 ^5 + 1h =1+ 1 6 30 Un método para expresar una fracción no unitaria como una suma de fracciones unitarias está dado por el algoritmo de Sylvester que exponemos mediante un ejemplo:

:

: :

: :

13 _ 18 ' 13 = 1 y r = 5 _ 18 _ 1 =1 1 +1 2 13 - 1 = 2 18 2 9 2 _ 9' 2 =4 y r =1 _ 9 _ 1 =1 1 +4 5 2 -1 = 1 45 9 5 Por lo tanto: 13 = 1 + 1 + 1 18 2 5 45

Si es posible, es conveniente expresar el resultado mediante una fracción irreducible o mediante un número mixto.

1. Calcula la suma o la resta. Expresa el resultado mediante una fracción irreducible o mediante un número mixto. Recuerda cómo se convierte una fracción impropia a número mixto: 8 _ 8 5 (3)

5 1

_ 8 =13 5 5

1 8 a) 2 + 5 21 3 7 _________________________

13 e) 3 + 5 8 4 8 _________________________

16 b) 6 - 2 35 7 5 _________________________

1 f) 3 - 1 2 5 10 ________________________

1 c) 5 + 4 18 6 9 _________________________

5

11 g) 9 + 4 6 10 15 _______________________

9 d) 7 - 4 70 10 7 ________________________

5 h) 7 - 3 24 12 8 ________________________

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Sugerencias metodológicas Tic Suma y resta de fracciones. Construcción de dos series de operaciones con fracciones.

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–– Lea la situación planteada en el ejemplo inicial y comente la suma o la resta de fracciones que hay que realizar para resolver cada pregunta. –– Recuerde cómo se suman dos fracciones con igual denominador y explique cómo, cuando los denominadores son distintos, es necesario primero reducir las fracciones a común denominador y aplicar después el procedimiento anterior. –– Antes de realizar la actividad 2, comente que la jerarquía de las operaciones con fracciones es la misma que con números naturales, y recuerde dicha jerarquía calculando en común algunas operaciones combinadas con números naturales.

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Recursos

2. Calcula el resultado. Para sumar tres o más fracciones o para realizar sumas y restas combinadas:

Actividades

1.º Se reducen las fracciones a común denominador.

–– Calcula mentalmente y contesta razonando tu respuesta.

2.º Se conserva el denominador común y se suman o restan los numeradores en el orden en que aparecen. 1 + 5 - 1 = 3 + 20 - 2 = 3 + 20 - 2 = 21 = 1 3 4 3 6 12 12 12 12 12 4

a) 1 + 2 + 4 2 3 5

1 29 30

c) 8 - 5 + 7 3 6 9

b) 4 + 9 + 5 5 8 6

2 91 120

d) 7 + 13 - 1 15 5 6

e) 7 + 4 - 1 15 5 3

2 11 18 2 27 30

f) 5 - 1 - 1 6 2 5

14 15 2 15

3. Calculadora. Comprueba los resultados de las dos actividades anteriores. Modo MthIO: 2 + 9 5 7 Modo LineIO: 2 + 9 2 5 7

2

+

5

5 + 9

9

7 =

Antonio ha sumado a la fracción 2 una fracción 7 cuyo denominador es 7. Ha obtenido como resultado una fracción:

59 35 SHIFT

7 =

59 35 SHIFT

· Igual a la unidad. ¿Qué dos fracciones ha sumado Antonio?

Individual

1 24 35



· Menor que la unidad. ¿Qué fracciones ha podido sumar Antonio? (busca todas las soluciones posibles).

1 24 35

4. Determina la fracción que falta. a) 7 + 9 b) 8 10

43 72 1 5

= 11 8 =3 5

c) 5 7 d)

13 12

1 3

= 8 21

-5 =1 6 4

e) f)

1 12 8 9

· Mayor que la unidad. ¿Qué fracciones ha podido sumar Antonio? (indica varios casos).

+ 7 =2 12 3 -5 =1 9 3

· Igual a un número natural. ¿Qué fracciones ha podido sumar Antonio? (indica varios casos).

5. Resuelve los problemas. a) Marcelo y Raquel trabajaron elaborando carteles. En media hora planifi-

–– Entregue a cada estudiante una tarjeta de papel para que escriba una fracción y junte todas las tarjetas formando un montón.

caron su trabajo, en dos tercios de hora consiguieron los materiales y en 11 tres cuartos de hora pintaron los carteles. ¿Cuánto tiempo trabajaron? 1 12 hora.

b) Carlos leyó ayer dos novenos de un libro y hoy dos tercios del mismo libro. ¿Qué fracción del libro ha leído hoy más que ayer? 49

6. Pensamiento crítico. Escribe un ejemplo para cada una de tus respuestas.

Saque dos tarjetas al azar, lea las fracciones en voz alta e indique a los estudiantes que calculen su suma y su diferencia. Hágales ver que antes de escribir la resta, deben averiguar cuál de las dos fracciones es mayor, para escribirla como minuendo.

Ignacio ha sumado dos fracciones menores que la unidad. ¿Puede ser la suma una fracción menor que la unidad? ¿Y mayor? ¿E igual a la unidad? Individual

7. Investiga. Expresa las siguientes fracciones mediante el sistema egipcio. En la antigua civilización egipcia se expresaban todas las fracciones mediante fracciones unitarias (fracciones de numerador 1). Entonces, expresaban las fracciones no unitarias como una suma de dos o más fracciones unitarias diferentes.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

3 = 1+1 4 2 4

ah 1 + 1 5 5

a) 2

c) 7

b) 3 8

d) 15

5

12 26

89

–– En la actividad 7, los estudiantes pueden aplicar inicialmente una estrategia de ensayo y error. Esta estrategia inicial puede darles pistas para una estrategia más sistemática.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

A continuación, saque tres tarjetas del montón, léalas y pida que calculen la suma de las tres y una operación combinada formada por una suma y una resta sin paréntesis. Comente que si, al calcular una de las expresiones, resulta una resta que no pueden resolver, deben cambiar de lugar las fracciones o cambiar las operaciones.

89

Más información Ideas útiles para sumar y restar números naturales, números mixtos y fracciones

Adición y sustracción de números naturales, números mixtos y fracciones

–– Sumar un número natural y una fracción es muy sencillo: simplemente se “juntan” el número y la fracción. 3+ 5 = 35 6 6

Para escribir un ensayo, Leonardo investigó 3 horas y media en la biblioteca, escribió su primera versión en 2 horas y corrigió esa versión en tres cuartos de hora. ¿Cuánto tiempo le llevó a Leonardo escribir su ensayo?

–– Sumar un número natural y un número mixto también es muy sencillo: simplemente se suman las partes enteras y esa suma se “junta” a la parte fraccionaria: 3+45 = 75 6 6

Ahora, reducimos todas las fracciones a común denominador y las sumamos.

–– Los números mixtos cuyas partes fraccionarias no tienen el mismo denominador pueden escribirse como números mixtos cuyas partes fraccionarias estén reducidas a común denominador: 32 +13 = 3 8 +1 9 3 4 12 12 –– Los números mixtos pueden reescribirse de varias formas distintas modificando su parte entera: : 5 23 = 4 + 1 + 23 = 4 53 : 5 23 = 2 + 3 + 23 = 2 11 3

Primero, expresamos todas las cantidades como fracciones. 31 _ 3$2+1 = 7 _ 31 = 7 2 2 2

:

5 = 1- 6-5 = 1- 1 6 6 6 3 = 1- 8-3 = 1- 5 8 8 8

3 4

7 + 2 + 3 = 14 + 8 + 3 = 14 + 8 + 3 = 25 = 6 1 2 1 4 4 4 4 4 4 4 A Leonardo le llevó seis horas y un cuarto de hora escribir su ensayo. Para sumar (o restar) números naturales, números mixtos y fracciones, podemos, primero, expresar todos los números como fracciones y, después, sumar (o restar) fracciones con diferente denominador.

1. Calcula la suma o la resta transformando todos los números en fracciones. Expresa el resultado mediante una fracción irreducible o un número mixto.

a) 8 + 5

6

b) 15 - 3 2

c) 2 3 + 5 4

85 6

73 4

d) 10 - 3 3

41 2

65 8

8

e) 7 + 4 1 9 2

5 5 18

g) 17 +31 9 3

52 9

f) 6 2 - 5 5 7

5 24 35

h) 18 - 4 1 3 4

1 6

i) 7 - 1 2 + 2 3 5

5 11 15

k) 8 + 2 + 2 1 3 2

71 6

m) 5 + 5 - 2 1 3 8

j) 3 + 1 3 - 1 7 6

4 11 42

l) 6 - 2 1 - 3 2 4

23 4

n) 11 - 3 + 1 2 2 3

3 7 24 41 6

2. Calcula aplicando el procedimiento de los ejemplos. Expresa el resultado como fracción (no como número mixto). 1. 5 + 2 _ 5 $ 3 + 2 = 17 _ 17 = 5 2 3 3 3

2. 5 - 2 _ 5 $ 3 - 2 = 13 _ 13 = 4 1 3 3 3

a) 6 - 4 = 3

14

d) 1 - 3 = 7

b) 2 + 3 = 4

11

e) 8 + 7 = 23

c) 1 - 7 = 8

1

f) 7 + 5 = 3

3 ____________

–– Es simple reescribir una fracción propia como la diferencia entre un número natural y una fracción:

:

2= 2 1

4 ____________

8 ____________

g) 1 - 12 = 17

5

191

h) 1 + 3 = 2

7

22

i) 5 + 8 = 4

37

4

7 ____________ 23 __________

90

3 ____________

17 ___________

2 ____________ 4 ____________ ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Comente con sus estudiantes que la estrategia fundamental consiste en reducir cualquier operación a una adición o una sustracción con fracciones. Se trata de aplicar la estrategia de reducir un problema nuevo a un problema cuyo modo de solución conocemos. –– Repase con sus estudiantes las técnicas para expresar un número mixto como fracción y una fracción impropia como número mixto. Recuérdeles que todo número natural se puede expresar como fracción.

90

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

3. Suma o resta los números mixtos. Podemos sumar (o restar) números mixtos sumando (o restando) de manera independiente las partes enteras y las partes fraccionarias.

Pensamento crítico e investigación

Si es posible, es mejor expresar el resultado con un número mixto cuya parte fraccionaria sea una fracción propia. 3+6 = 9

5 = 9 + 1 + 5 = 10 + 5 = 10 5 1. 3 2 + 6 3 _ 2 3 8 + 9 17 5 _ 9+1 + = = =1 3 4 12 12 12 12 3 4 12 12 12 En la sustracción, si la parte fraccionaria del minuendo es menor que la del sustraendo, es necesario reescribir el minuendo.

2. 7 1 - 5 3 _ Como 1 1 3 , reescribimos el minuendo: 7 1 = 6 + 1 + 1 = 6 + 2 + 1 = 6 + 3 = 6 3 _ 6 3 - 5 3 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 6-5 = 1

3 =13 63 -53 _ 3 3 6-3 3 _ 1+ = = 2 4 4 4 2

a) 2 3 + 6 5 6 6

91 3

4

4

1 2

4

d) 6 1 - 2 5 5 6

1 4 5 8

3 11 30

b) 9 6 - 6 1 3 12 8 4

e) 2 3 + 6 5 9 38 4 8

c) 1 1 + 5 2 4 3

f) 8 2 - 7 2 5 3

6 11 12

Completa los siguientes cuadrados mágicos, de modo que la suma de las fracciones de cada fila, columna y diagonal sea siempre la misma.

11 15

g) 4 1 + 8 6 3 7

13 4 21

j) 2 1 + 3 5 + 4 2 6 8 3

10 11 24

2 h) 9 6 - 8 4 1 35 7 5

7 k) 5 1 + 3 1 + 2 2 11 30 2 3 5

i) 7 3 - 7 3 5 8

l) 3 1 + 4 2 + 7 3 2 3 4

9 40

4. Calculadora. Comprueba los resultados de las actividades 1 y 3. Modo MthIO. El número mixto 4 1 se escribe así: SHIFT 2 Modo LineIO. El número mixto 4 1 se escribe así: 4 2

1

4

3 4

15 11 12

1

Individual

1

10 3

5 3

8 3

2

3

2

5. Resuelve los problemas. a) Sebastián corrió 5 3 km en la mañana y 4 1 km en la tarde. ¿Cuántos 4 5

km ; 9 950 metros. kilómetros corrió en el día? ¿Cuántos metros? 9 19 20 b) Luisa y Javier están comiendo de una torta. Luisa ha comido 1 parte y 6 7 partes. Javier 1 parte. ¿Qué parte de la torta les sobra todavía? 12 4

6. Investiga. Resuelve el problema. En un programa deportivo de TV por cable dicen que la marca de un saltador de altura es de 7 ft 8 1 in (7 pies y 8 1 pulgadas) y que la marca de 4 4 1 una saltadora es de 6 ft 9 in. ¿Cuál es la diferencia, en pies y pulgadas, 2 entre la marca del saltador y la de la saltadora? Recuerda que 1 ft = 12 in. 10 3 in. 4

91

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

–– Puede mostrar a los estudiantes esta otra forma de transformar un número mixto en una fracción impropia: 5 3 = 5 + 3 = 10 + 3 = 13 2 2 2 2 2 Este procedimiento permite comprender porque funciona la técnica más breve: 5 3 _ 5 $ 2 + 3 = 13 _ 5 3 = 13 2 2 2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Más información

Multiplicación de fracciones

Puntualizaciones sobre la multiplicación de fracciones

En un periódico, las 3 partes de una página tienen publicidad y el 5 anuncio de un perfume ocupa la mitad de esa sección de publicidad. ¿Qué fracción de la página ocupa la publicidad del perfume?

–– La fracción inversa de la fracción a es la fracción b b . El resultado de multia plicar una fracción por su inversa es siempre igual a la unidad. Por ejemplo: 5 $ 8 = 5 $ 8 = 40 = 1 8 5 8$5 40

3 La publicidad 5 de la página

–– Al multiplicar una fracción propia por un número natural distinto de 1, el producto puede ser menor que la unidad, igual a la unidad o mayor que la unidad. Por ejemplo:

Debemos calcular 1 de 3 , es decir, multiplicar 1 por 3 . 2 5 2 5 Gráficamente, el resultado de 1 $ 3 es la zona donde se sobreponen 2 5 1 3 las representaciones de y , es decir, 3 de la página. 10 2 5 También podemos multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí:

3$ 2 = 6 ; 6 1 1 15 15 15 5 15 3$ ; 15 = 1 = 15 15 15 3 $ 8 = 24 ; 24 2 1 15 15 15

: : :

Como una fracción impropia es mayor que la unidad, el producto de dos fracciones propias nunca puede ser igual a una fracción impropia (ver la actividad 8b).

Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Si es posible, se simplifica el resultado.

1. Expresa verbalmente el significado de cada multiplicación, construye un modelo gráfico y halla el producto (si es posible, simplifícalo). Z _ 4 ] La tercera parte de 5 . b [4 ` ] partes de la tercera parte. b \5 a

1$4 3 5

a) 2 $ 3

3

5 4 10

b) 3 $ 1

1

5 6 10

Operaciones con fracciones. Ejercicios para relacionar operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación de fracciones con sus resultados.

92

1 $ 4 = 1$4 = 4 3 5 3$5 15

c) 1 $ 3

3

4 4 16

d) 3 $ 5

e) 1 $ 2

15

4 7 28

1

6 3 9

f) 2 $ 2

4

5 5 25

2. Calcula el producto. Expresa el resultado mediante una fracción irreducible o mediante un número mixto.

a) 4 $ 7

14

b) 1 $ 9

3

5 10 25

6 5 10

c) 6 $ 2

1

8 9 6

d) 4 $ 8

7 3

1 11 21

e) 9 $ 21 10

5

3 39 g) 50

6 $ 7 $ 3 1 19 4 11 2 44

f) 5 $ 3 $ 2

92

Tic

1 $ 3 = 1$3 = 3 2 5 2$5 10

La publicidad del perfume ocupa las 3 partes de la página. 10

(Ver la actividad 8a). –– El producto de dos fracciones propias es siempre menor que la unidad. En efecto, una fracción propia es menor que la unidad y si tomamos una parte de una parte menor a la unidad, tenemos necesariamente que obtener una parte menor a la unidad.

3 _ 10 de la página.

La publicidad 1 de los 3 de la publicidad 2 5 del perfume

3 h) 2 $ 5 $ 9 58 4 5 7 14 3 6 8

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Presente la situación del ejemplo inicial y muestre cómo se obtiene la solución de forma gráfica. Después, comente que 1 de 3 equivale a multiplicar ambas fracciones y explique el algoritmo 2 5 de la multiplicación. –– Es muy importante que los estudiantes expresen verbalmente el significado de una multiplicación de fracciones, esto les ayudará a entender el significado de la multiplicación de fracciones y a relacionarlo con la multiplicación de números naturales.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

3. Resuelve simplificando previamente. Es posible simplificar las fracciones antes de multiplicarlas:

Y es posible simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:

1

4 2 $ = 1$2 = 2 3 3 9 12 3

1

16 6 8

b) 15 $ 8

40 24

1

2

2

Escriba en la pizarra la expresión a $ b = c . Comente que, al multiplicar dos números naturales (exceptuando al 1 como factor), el producto es mayor que los factores, pero que con las fracciones no siempre ocurre así.

3 5 $ = 1$1 = 1 2 2 4 10 6

3

a) 4 $ 3

1

Actividades

c) 15 $ 9

1 8

3

18 20 8

d) 6 $ 4 $ 5

1 1 e) 4 $ 3 $ 5 30 12 15 8 12 15 10 12

4. Resuelve.

Escriba varios ejemplos y compruebe con sus estudiantes que:

Si aparecen números naturales o números mixtos, los expresamos como fracciones.

1. 4 $ 3 = 4 $ 3 = 12 = 2 2 5 1 5 5 5

a) 6 $ 8

d) 1 3 $ 2

51 3

9

2. 1 3 $ 2 4 = 7 $ 14 = 98 = 49 = 4 9 4 5 4 5 20 10 10

18

21 3

g) 2 3 $ 4 $ 3 6 5

b) 4 $ 35 28 5

e) 1 3 $ 2 5 4 23 4 6 24

27 h) 1 3 $ 2 5 $ 3 1 160 8 6 10

c) 7 $ 2 5

f) 3 1 $ 2 1

i) 1 3 $ 2 5 $ 3 6

7

19

6

5

6 29 30

4

6

–– Si b es un número natural, c siempre es mayor que a. Ejemplo: 3 $ 2 = 6 ; 6 2 3 5 5 5 5

6

7

–– Si b es una fracción mayor que 1, c siempre es mayor que a. Ejemplo: 4 $ 7 = 28 ; 28 2 4 3 3 3

19 1 8

5. Calculadora. Comprueba tus resultados de las actividades 2, 3 y 4. Nota: utiliza los conocimientos que has adquirido sobre la escritura de fracciones. Individual

6. Escribe 1, 2 o = sin realizar las operaciones. Utiliza únicamente tu sentido

–– Si b es una fracción menor que 1, c siempre es menor que a.

numérico.

a) 3 $ 1

8 2

1

3 8

b) 1 $ 9

2 16

2

1$ 7 2 16

c) 3 $ 1

4 2

=

6$2 8 4

d) 2 $ 5 3 7

1

2$7 3 8

Ejemplo:

7. Resuelve los problemas.

5 $ 3 = 15 ; 15 1 5 2 4 8 8 2

a) Diego tiene grabadas en su cámara fotográfica digital 162 fotos. Cuatro novenos de esas fotos son del viaje que hizo en verano. ¿Cuántas fotos del viaje tiene en su cámara? 72 fotos

Para ayudar a pensar –– En la actividad 6a pienso: la mitad de 3 es necesaria8 mente menor que 3 . 8

b) La mitad de una población tiene menos de 15 años y la quinta parte de los menores de 15 años tiene menos de 2 años. ¿Qué parte de la 1 parte población tiene menos de 2 años? 10

8. Pensamiento crítico. Piensa y responde apoyando tu idea con ejemplos.

–– En la actividad 6b pienso: 9 2 7 ; entonces, la mi16 16 tad de 9 también debe ser 16 mayor que la mitad de 7 . 16

a) ¿Es posible que el producto de una fracción propia y un número natural distinto de 1 sea una fracción propia? ¿Por qué? Sí es posible.

b) ¿Es posible que el producto de fracciones propias sea una fracción impropia? ¿Por qué? No es posible.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

93

Al multiplicar números naturales, los estudiantes han aprendido que, por ejemplo, 2 $ 3 es la cantidad que resulta de formar 3 grupos compuestos de 2 unidades; el producto resulta siempre mayor que los factores. Al multiplicar fracciones propias, el significado fundamental de la multiplicación no varía, pero ahora se trata de tomar una fracción de otra fracción, el producto resulta necesariamente menor que cualquiera de los factores. Los modelos gráficos ayudan a entender este hecho.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

–– En la actividad 6c pienso: 3 4 es equivalente a 6 y 1 es 8 2 equivalente a 2 ; entonces, 4 ambos productos tienen que ser iguales. –– En la actividad 6d pienso: 7 8 tiene que ser mayor que 5 ; 7 entonces, 2 de 7 tiene que 3 8 2 ser mayor que de 5 . 3 7

93

Más información

División de fracciones

La división de una fracción por su inversa

David tiene 3 litros y medio de limonada y quiere repartir esa limonada en vasos de 1 cuarto de litro de capacidad. ¿Cuántos vasos puede llenar?

–– La fracción inversa de la fracción a es la fracción b . El a b resultado de dividir una fracción por su inversa es siempre igual a la fracción elevada al cuadrado. Por ejemplo:

Limonada

Vasos de 1 , 4

2 ' 3 = 2$2 = 2 2 = 4 3 2 3$3 b3l 9

14 vasos de 1 ,. 4

1 , = 4 vasos

Gráficamente, el resultado de 7 ' 1 es la cantidad de cuartas partes 2 4 que están contenidas en la representación de 7 . 2

Entonces, 2 son 4 de 3 . 3 9 2

También podemos multiplicar en cruz los numeradores y denominadores de ambas fracciones:

7 ' 1 = 7 $ 4 = 28 = 14 2 4 2$1 2

O multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda:

7 ' 1 = 7 $ 4 = 7 $ 4 = 28 = 14 2 4 2 1 2$1 2

David puede llenar 14 vasos de 1 , . 4 Para dividir dos fracciones, sus términos se multiplican en cruz. O también, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de la fracción divisor.

1. Calcula el resultado; si es posible, exprésalo mediante una fracción irreducible o un número mixto. Si aparecen números naturales o números mixtos, previamente los expresamos como fracciones.

–– Al dividir un número natural por una fracción propia, el resultado es siempre un número natural mayor que el dividendo. Por ejemplo: : 3 ' 12 = 6; 6 2 3 : 4 ' 15 = 20; 20 2 4 –– Al dividir dos fracciones propias, el resultado puede ser un número menor, igual o mayor que la unidad. Por ejemplo: : 14 ' 13 = 43 ; 43 1 1 : 12 ' 24 = 44 = 1 : 13 ' 14 = 43 ; 43 2 1

7, 2

Debemos calcular cuántos 1 hay en 7 , es decir, dividir 7 entre 1 . 4 2 2 4

La división que hemos resuelto equivale a determinar qué parte de 3 son 2 . 3 2 Gráficamente la solución es la siguiente:

–– Al dividir una fracción propia por un número natural, el cociente es siempre menor que la unidad. Por ejemplo: : 53 ' 1 = 53 ; 53 1 1 3 ; 1 11 : 53 ' 3 = 15 5

3 1 , 2

1. 5 ' 2 = 5 ' 2 = 5 $ 3 = 15 = 7 1 3 1 3 1$2 2 2

2. 1 2 ' 2 1 = 5 ' 5 = 5 $ 2 = 10 = 2 3 2 3 2 3$5 15 3

a) 4 ' 5

44 5

e) 2 ' 3

10

i) 2 5 ' 4 2

17

m) 3 2 ' 2

12 3

b) 6 ' 3

2 7

f) 7 ' 1

91 3

j) 3 2 ' 3 1

4

1 5 39

n) 4 ' 6 2

5 8

c) 5 ' 4

61 4

g) 2 ' 5

14

k) 5 3 ' 3 1

1 21 25

ñ) 6 ' 2 2

1

8

l) 1 7 ' 2 5

45 58

o) 6 3 ' 2

20 1 4

6

7

5

d) 5 ' 10 3

9 6

1 6

3

5 27 8

7 15

h) 4 ' 3 5

10

94

22 3

6

3

4

8

3 28

12

6

5

5 2

5

4

6

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Presente la situación del ejemplo inicial y trabájela de forma similar a la multiplicación de la doble página anterior. Al presentar la solución gráfica, explique la representación del número mixto y su expresión en forma de fracción, y por qué se divide cada unidad (1 litro) en 4 partes iguales. A continuación, explique cómo resolvemos este reparto con una división y explique cómo se calcula. Insista en la diferencia con la multiplicación, pues algunos estudiantes tienden a dividir los numeradores y los denominadores.

94

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

2. Expresa el significado de cada división mediante una pregunta y obtén la

Recursos

respuesta construyendo un modelo gráfico. 3' 1 2

¿Cuántas mitades hay en 3?

1 '2 3

¿Qué parte de 2 son un tercio?

1'3 2 4

¿Qué parte de

En

a) 2 ' 1

4

8

c) 1 ' 5

2 5

e) 2 ' 2 1

4 5

b) 1 ' 2

1 8

d) 5 ' 1

21 2

f) 2 1 ' 2

11 4

4

6

Escribe varias parejas de fracciones (y de un número natural y una fracción). Divide la primera fracción entre la segunda. A continuación, divide la segunda fracción entre la primera. ¿Qué relación hay entre ambos resultados?

1 es la sexta parte de 2 unidades. 3

3 1 está contenida en ? 4 2

3

Pensamiento crítico e investigación

Hay seis mitades en 3 unidades.

6

3

2

2

1 2 3 hay de . 2 3 4

3. Expresa la división como multiplicación, simplifica y halla el resultado. 3

1

2

1

Para ayudar a pensar –– En la actividad 4a pienso: 5 tiene que representar 11 una mayor parte de una mitad que de la unidad. O también: en una mitad hay una mayor parte de 5 11 que en 1 unidad.

9 ' 3 = 9 $ 5 = 3$1 = 3 = 11 10 5 2$1 2 2 10 3

a) 6 ' 3 16

b) 12 ' 15

1

8

18

20

8 9

c) 12 ' 14 30

2 7

10

d) 7 ' 28 12

1

24 2

e) 1 3 ' 1 1 15

17

1 2 15

4. Escribe 1, 2 o = sin realizar las operaciones. Utiliza únicamente tu sentido numérico.

a) 5 ' 1 11

2

b) 3 ' 1 4

3

5 11

c) 4 ' 1

3'1 4 6

d) 1 ' 1

2 1

3

2

=

10

–– En la actividad 4b pienso: en 3 partes hay más 4 sextas partes que terceras partes.

2' 1 6 2

5' 3 2

5. Calculadora. Comprueba tus resultados de la actividad 1. Nota: utiliza los

–– En la actividad 4c pienso: como 1 es la mitad de 6 1 , pero 2 es la mitad de 3 cuatro, en 4 debe haber tantas terceras partes como sextas partes hay en 2.

conocimientos que has adquirido sobre la escritura de fracciones. Individual

6. Resuelve los problemas. a) Ricardo ha hecho las tres cuartas partes de un trabajo en 3 días. Si todos los días ha hecho la misma cantidad de trabajo, ¿qué fracción de trabajo ha hecho cada día? 14 parte.

b) Tomás reparte 3 queques iguales entre varios amigos. Da a cada uno un quinto de queque y no sobra nada. ¿Entre cuántas personas ha repartido los queques? 15 personas.

–– En la actividad 4d pienso: en una mitad tiene que haber 5 décimas partes y eso tiene que ser más que la cantidad de 1 y media partes contenidas en 5 unidades.

7. Investiga. ¿Mediante qué modelo gráfico determinas el resultado de la división 2 ' 3 ? 5 4

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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–– Es muy importante que los estudiantes expresen verbalmente el significado de una división de fracciones, esto les ayudará a entender el significado de la división de fracciones y a relacionarlo con la división de números naturales. Comente que el significado fundamental de la división es el mismo, ya se trate de números naturales o fracciones. La división 8 ' 4 = 2 significa que hay dos conjuntos de 4 unidades en un conjunto de 8 unidades. La división 1 ' 1 = 2 significa que hay dos cuartas partes en una 2 4 mitad.

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Más información

Operaciones combinadas

Diagrama de árbol A Gabriela le dieron la siguiente operación para que la resuelva:

Los diagramas de árbol ayudan a pensar en el orden en que deben realizarse las operaciones. Una vez que la secuencia de operaciones está clara, el cálculo de una operación combinada se hace más sencillo.

1+4$3' 9 6 5 4 10 ¿Qué debe hacer primero? ¿Sumar 1 + 4 ? ¿O multiplicar 4 $ 3 ? 6 5 5 4 Gabriela no está confundida porque conoce la regla para resolver una operación combinada. Primero, multiplica 4 $ 3 y simplifica 5 4

Por ejemplo, dada la operación 12 - 10 $ 3 ' 1 + 3 , 5 12 5 4 10 primero elaboramos un diagrama de árbol:

= 1+3' 9 = 6 5 10 Luego, divide 3 ' 9 y simplifica 5 10

Las operaciones combinadas se resuelven del siguiente modo:

+ 3 10

Se debe respetar la siguiente jerarquía:

•

1.º Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.

+ 3 10

Y después llenamos el diagrama de árbol realizando las operaciones pertinentes:

= 1 + 2 = 1+4 = 5 6 3 6 6

Finalmente, suma 1 + 2 6 3

'1+ 3 4 10

12 5

= 1 + 3 $ 10 = 1 + 30 = 5$9 6 6 45 = 1+2 = 6 3

12 - 10 $ 3 ' 1 + 3 5 12 5 4 10 12 5

1 + 4 $ 3 ' 9 = 1 + 12 ' 9 = 6 5 $ 4 10 6 20 10

2.º Se resuelven las adiciones y sustracciones. •

Si hay dos o más operaciones de la misma jerarquía, se resuelven en orden, de izquierda a derecha.

•

Si hay operaciones entre paréntesis, se resuelven primero respetando la jerarquía indicada.

1. Calcula el resultado; si es posible, exprésalo mediante una fracción irreducible o un número mixto.

12 - 10 $ 3 ' 1 + 3 5 12 5 4 10

a) 1 + 2 $ 3 2 3 4

f) 2 + 1 $ 5 - 1 3 4 6 3

1

13 24

12 - 1 ' 1 + 3 5 2 4 10

b) 8 - 5 ' 3 9 8 4

1 18

g) 5 ' 5 - 3 $ 2 8 4 4 3

12 - 2 + 3 10 5

c) 3 ' 2 $ 5

5 8

h) 7 - 1 + 5 ' 5 9 6 12 2

10

5 6

d) 3 $ 7 - 5 6 4 8

2 + 3 5 10

e) 5 ' 5 + 4 9 6 5

7 10

1 4 1 7 15

j) 4 $ 15 ' 8 $ 6 5 16

96

6 5

l) 4 ' 5 $ 7 + 9 $ 5 5 6 8 10 12

0

i) 9 $ 5 + 9 ' 3 10 8 15 5

k) 7 $ 5 + 6 ' 9 - 1 10 14 15 10 9

7 9 1 9 16 27 40

7 12

1 43 200

m) 12 - 10 $ 3 ' 1 + 3 5 12 5 4 10

7 10

n) 1 ' 2 ' 3 $ 4 $ 5

3

10

12

15 16 20 16

ñ) 7 + 19 - 5 ' 3 - 5 3 9 12 10 12

2 23 36

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Sugerencias metodológicas Si los estudiantes saben realizar operaciones con fracciones, la dificultad principal de las operaciones combinadas radica en saber determinar el orden correcto en que deben realizarse las operaciones. Este es el punto en el que usted debe dar mayor apoyo y orientación a los estudiantes. Los diagramas de árbol expuestos en las guías de las unidades 1 y 2 son también muy útiles en esta unidad.

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Recursos

2. Realiza las operaciones combinadas con paréntesis. Si es posible, expresa el resultado mediante una fracción irreducible o un número mixto.

a) 3 $ b 5 ' 7 l 4

6

2

g) 20 $ b 7 + 7 $ 2 l 21 6 8 3

5 28

b) b 6 + 1 l ' 8 7 2 21

h) b 6 ' 5 - 3 l $ 5 15 12 5 9

3 9 16

Actividades

12 3

c) 3 $ b 5 + 5 l ' 5 4 12 6 12

21 4

i) 1 $ b 9 - 5 l + 7 ' 24 3 16 12 15 20

d) b 2 - 3 l ' 5 $ 10 3 8 12 7

1

j) b 1 + 2 l $ b 2 - 5 l ' 1 12 5 5 15 12

e) b 3 + 1 l $ b 4 - 1 l 4 2 5 4

11 16

f) b 7 - 7 l ' b 7 $ 2 l 8 10 10 3

3 8

Analiza si es necesario colocar paréntesis para que el resultado sea el indicado. Si es necesario, indica dónde.

1 5 7 16

a) 5 - 7 - 2 = 1 9 6 3 18

29 75

k) 7 - 3 $ b 5 + 1 ' 2 l 8 4 6 6 3

1 16

b) 8 ' 6 ' 3 = 14 3 7 2 3

l) 1 $ b 1 + 1 $ 1 + 1 l 6 3 4 6 8

1 12

c) 7 ' 5 ' 3 = 7 8 2 2 30 d) 6 ' 4 $ 7 = 15 7 5 2 49

3. Relaciona las operaciones con su resultado. 1'1$1+1 3 5 6 2

1'1$ 1+1 3 5 b6 2l

1' 1$1 +1 3 b5 6l 2

1' 1$1+1 3 b5 6 2l

10 9

5 8

7 9

21 2

e) 5 + 3 - 2 = 1 12 8 3 8 f) 3 + 1 ' 3 = 7 5 10 2 15

4. Investiga. ¿Cómo debes colocar un par de paréntesis (uno de apertura y uno de cierre) en las siguientes operaciones de tal modo que el resultado sea el máximo posible? $ 1 + 4n' 1 a) d 1 3 2 2

+d 1 $ 1 n$ 1 b) 1 2 5 6 3

5. Resuelve los problemas planteando una operación combinada de fracciones.

a) Un sastre compró 9 1 m de tela. En un vestido de señora utilizó 2 3 m

2 4 y destinó el resto de la tela para confeccionar vestidos para niña. ¿Cuántos vestidos para niña hizo si en cada uno utilizó 1 11 m de tela? 4 vestidos. 16 1 b) Con 2 kg de dulces, Silvia hizo bolsitas de cuarto kilo. Y con 3 1 kg 2 4 de dulces, Inés hizo bolsitas de medio kilo. ¿Cuántas bolsitas de dulces hicieron entre ambas? 16 bolsitas.

c) En la tarde, entre las 14:30 y las 18:30, José jugó y miró TV durante 2 1 horas. En el resto del tiempo resolvió problemas de Matemática. 2 Si resolvió cada problema en la mitad de un cuarto de hora, ¿cuántos problemas resolvió? 12 problemas.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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97

97

S

Recursos Actividades Resuelve los siguientes problemas utilizando la estrategia de representar la situación.

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Representar la situación Representamos gráficamente la información proporcionada por el enunciado de un problema. Con ayuda de esa representación planteamos los cálculos que necesitamos realizar para encontrar la solución.

a) Raquel tenía varios muñecas. Regaló 5 de sus muñecas, que son un sexto de las que tenía. ¿Cuántas muñecas tenía Raquel? ¿Cuántos le quedan?

Laura y Félix han abierto una caja de bombones y se han comido dos quintas partes de todos los bombones que había. Si todavía quedan en la caja 12 bombones, ¿cuántos había al principio en la caja? Laura y Félix se han comido 2 partes de los bombones. Quedan, entonces, 5 3 partes y esas 3 partes equivalen a 12 bombones. Tenemos que averiguar 5 5 cuántos bombones tenía la caja inicialmente.

b) En un viaje, Andrés hace una parada después de recorrer las cinco octavas partes del trayecto. Desde ese punto, le faltan por recorrer 84 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido ya? ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al finalizar el viaje?

Representaremos la caja de bombones dividida en 5 partes iguales. Señalaremos las partes que Laura y Félix se han comido y las partes que quedan. 1.º Calculamos los bombones que hay en cada parte. En 3 partes hay 12 bombones. _ 12 ' 3 = 4 _ En cada parte hay 4 bombones. 2 5

2 5

3 5

3 (12 bombones) 5

2.º Calculamos los bombones que había en la caja. En 5 partes _ 5 $ 4 = 20 En la caja había inicialmente 20 bombones. Verificamos la respuesta viendo si 3 de 20 son realmente 12: 5 20 $ 3 = 20 $ 3 = 60 = 12 5 1 5 5

(correcto)

1. Dos tercios de los participantes en un concurso

3. Paula prestó cinco sextos de los ahorros que te-

de pintura son mujeres y el resto son hombres. Han participado 14 mujeres. ¿Cuántas personas han participado en el concurso? 21 personas.

nía. Si prestó Bs 55. ¿cuánto dinero tenía Paula?

2. Pedro tenía inicialmente cierta cantidad de tarjetas. Regaló a su amigo 12 tarjetas y se quedó con cinco sextos de las que tenía. ¿Cuántas tarjetas tenía Pedro? 72 tarjetas.

98

Bs 66

4. Miguel quería comprar un juego. Vio que tenía tres octavos del precio, pero que le faltaban Bs 75. ¿Cuánto costaba el juego? Bs 120

5. Inventa un problema que se resuelva representando la situación. Individual

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Sugerencias metodológicas Resuelva colectivamente el problema del ejemplo. Con preguntas ayude a los estudiantes a indicar aquello que saben y aquello que quieren saber. En la etapa de resolver el problema, en cada paso haga un dibujo para organizar la información y utilícelo para inferir información nueva, hasta encontrar la solución al problema. Comente el apoyo que proporcionan los dibujos.

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Taller de Matemática El juego de "El más grande o el más pequeño" 1. Construye el juego trabajando con un grupo de tres o cuatro compañeros. •

Individual

Hagan nueve tarjetas con los números del 1 al 9. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

•

Consigan un dado y una calculadora.

•

En hojas de papel, elaboren varias hojas de juego como la siguiente: Nombre: __________________________ Adición:

+

Multiplicación:

$

Sustracción:

-

División:

'

2. Juegen el juego siguiendo las siguientes reglas: •

Las tarjetas con los números se mezclan y se colocan boca abajo. Se elige al azar seis de esas tarjetas y se les da vuelta de tal modo que todos los jugadores puedan ver los números que han salido.

•

Se lanza el dado. Si sale 1, 2 o 3, el desafío para los jugadores es obtener el resultado más grande; si 4, 5 o 6, el resultado más pequeño.

•

En su hoja de juego, cada jugador escribe cuatro operaciones con los números que han salido. En cada operación debe utilizar cuatro de los seis números, pero sin repetir ninguno. En cada operación puede utilizar un conjunto diferente de cuatro de los seis números.

•

Se define un tiempo (por ejemplo, 30 segundos) para llenar las hojas.

•

Con una calculadora se comprueban los resultados. En cada operación se determina un ganador, y este recibe un punto. Por tanto, en cada ronda un jugador puede obtener hasta cuatro puntos.

•

Si dos o más jugadores obtienen el resultado ganador, cada uno recibe un punto.

•

Se juegan varias rondas hasta que alguien obtiene una cantidad de puntos determinada previamente (por ejemplo, 12 o más). Individual

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Sugerencias metodológicas Antes de jugar o después del juego, ayude a los niños a pensar en las estrategias que pueden utilizar para determinar qué fracciones formar. –– ¿Cómo formamos las fracciones de mayor valor? ¿Cómo formamos las fracciones de menor valor? –– ¿Cómo deben ser las fracciones para que su suma sea la máxima o la mínima posible? –– ¿Cómo deben ser las fracciones para que su diferencia sea la máxima o la mínima posible? –– ¿Cómo deben ser las fracciones para que su producto sea el máximo o el mínimo posible? –– ¿Cómo deben ser las fracciones para que su cociente sea el máximo o el mínimo posible? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 2. Podemos pensar en términos de amplificación o simplificación: 10 4

amplificando por 7

70 28

O en términos de productos cruzados: x = 7 12 42 ¿Por qué número hay que multiplicar 42 para obtener 12 $ 7 = 84 ? –– Actividad 14. a) Tres veces un medio o la mitad de tres. b) La cuarta parte de cinco sextos o cinco sextos de la cuarta parte. c) Un tercio de cuatro quintos o cuatro quintos de un tercio. d) La mitad de dos enteros y una mitad o dos veces y media una mitad. –– Actividad 16. a) La cantidad de quintas partes que hay en tres unidades. b) La parte de cuatro que son un tercio. c) La parte de cinco sextos que está contenida en un tercio. d) La cantidad de un tercio que hay en cinco sextos o qué parte de un tercio hay en cinco sextos. e) La cantidad cuartas partes que hay en tres unidades y la mitad de una unidad. f) La parte de dos enteros y un quinto que hay en una quinta parte.

a) 5 y 15 8

32

b) 24 y 8 9 3

No

c) 7 y 21

No

Si

d) 9 y 27 15 45

Si

13

52

fracción irreducible o un número mixto.

a) 5 + 11 7 9

a) 10 = x 70 4 28

= 9 35 c) 21 x 15

b) x = 7 2 12 42

d) 45 = 18 22 55 x

tes por amplificación y otras dos por simplificación. Ejemplos:

a) 14 42 b) 24 6 42 126 36 9

b) 81

9

18 2

c) 52

36

13 9

d) 42

b) 45

33

Irreducible

32

Irreducible

c) 35 49

9

63 y 64 72 72

7

b) 11 y 5 15

66 75 6 90 y 90

14

63

c) 5 , 5 y 5

b) 2 y 5

d) 22 , 8 y 43

15

12 y 25 18 90 90

24 8 21 7

a) 3 , 5 y 6 8 12

15

3 1 6 1 5 8 15 12

b) 4 10 , 3 y 10 . 9 36 8

24

g) 10 - 2 + 1 5 3 6

31 6

h) 6 + 1 9 - 2 14 7

1 2

i) 3 + 2 + 1 7 5 10

5 1 10

e) 5 + 2 1 9 6

2 13 18

j) 15 - 2 - 2 1 3 8

7 8

c) 7 + 3 10

62 9

d) 5 - 3

37

7

37 10 32 7

13. Suma y resta operando de forma independien-

44 ; 48 y 43 42 42 42 42

ciéndolas previamente a común denominador.

53 72

2 9 10

15 15

5 ; 15 y 10 12 24 24 24

8. Ordena las fracciones de menor a mayor redu-

71 5

f) 2 1 - 11 9 8

9 -3 d) 5 10

b) 3 - 8

del mínimo común múltiplo. 22 y 15 9 27 27

5 7 10 52 7

9

12 y 15 12 180 180

7. Reduce a común denominador por el método 27

1 9

a) 6 + 8

119 y 126 98 98

a) 22 y 5

d) 4 - 1 - 1 9 4 12

12. Expresa el resultado con una fracción.

d) 1 y 1 15

1 1 24

5

Reducible

7

b) 7 - 3 + 5 12 8 6

c) 3 + 4 1

d) 48

c) 17 y 9

3 10

7

de los productos cruzados. 8

c) 2 + 7 - 1 5 30 3

b) 6 - 5

6. Reduce a común denominador por el método a) 7 y 8

11 12

a) 7 + 5 10

90 15

Reducible

a) 3 + 5 - 2 4 6 3

fracción irreducible o un número mixto.

c) 50 100 d) 70 14 75 150 105 21

5. ¿Cuáles de las fracciones son irreducibles? a) 70

11 14

11. Suma y resta. Expresa el resultado con una

4. Encuentra la fracción equivalente irreducible. 3

d) 10 - 1 12 21

1 16

fracción irreducible o un número mixto.

3. En cada caso obtén dos fracciones equivalen-

36 4

11 24

10. Suma y resta. Expresa el resultado con una

sean equivalentes.

a) 27

c) 5 + 1 15 8

1 59 63

b) 21 - 13 24 16

2. Indica el valor de x para que las fracciones

100

100

9. Suma y resta. Expresa el resultado con una

1. Determina si las fracciones son equivalentes.

te las partes enteras y las partes fraccionarias. Expresa el resultado con una fracción irreducible o un número mixto.

a) 3 3 + 4 1 8 4

75 8

d) 3 3 - 2 9 5 10

7 10

b) 1 4 + 3 8 5 9

5 31 45

e) 5 5 - 1 11 9 12

3 23 36

c) 5 4 - 2 1 7 2

3 1 14

f) 4 1 + 3 2 + 2 3 2 3 10 10 7 15

10 1 3 1 10 1 4 36 8 24 9

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Mi desempeño como docente 14. Expresa verbalmente el significado de cada

18. Resuelve las operaciones combinadas y expre-

multiplicación y halla el producto mediante un modelo gráfico.

sa el resultado con una fracción irreducible o un número mixto.

a) 1 $ 3

11 2

a) 2 - 4 $ 1 3 5 6

b) 1 $ 5

5 24

2

4 6

c) 4 $ 1

4

5 3 15

d) 2 1 $ 1

b) 2 + 1 - 1 6 2 3

11 4

2 2

ción irreducible o un número mixto. Si es posible, simplifica antes de multiplicar. 1

25 12

b) 10 $ 3

a) 2 $ ` 1 ' 3 j 5 7 7

b) ` 4 - 1 j $ 4 3 8 7

d) 15 $ 19

11 2

j) 14 $ 7 $ 9 $ 12

e) 4 3 $ 3

12 3 5

k) 3 3 $ 8 4 $ 2 5

f) 5 $ 7

35 143

l) 1 1 $24 $21 6 7 5

5

16

8

7 1 67 80

12 3 20

5

9

73 7 15

12

63 5

16. Expresa verbalmente el significado de cada división y halla gráficamente el cociente.

a) 3 ' 1 15 5

c) 1 ' 5 25 3 6

e) 3 1 ' 1 14 2 4

b) 1 ' 4

d) 5 ' 1

f) 1 ' 2 1

6

3

3 f) 6 + 2 $ 6 - 1 3 10 2 3 5 2

43 5

7

14 15

3

1 2

h) 1 4 $ 3 2 10

1 12

e) 6 ' 2 - 1 14 3 7

25

i) 2 4 $ 4 $ 10

11 13

2

7 15

g) 3 $ 5 $ 10

16 35

15

5 7

sa el resultado con una fracción irreducible o un número mixto.

c) 8 $ 12 19 10

d) 2 $ 1 ' 3

19. Resuelve las operaciones combinadas y expre-

4 8 18 96

71 2

4

1 2

c) 1 + 2 ' 3 1 56 2 5 10

15. Calcula el producto y exprésalo con una frac-

a) 20 $ 15

8 15

21 2

c) `3 + 7 j $ 1 5

5

2 15 29 42 22 25

d) ` 2 + 7 j $ ` 5 - 2 j 6 3 4 3

15 9

e) ` 5 + 3 j + ` 4 ' 12 j2 17 8 4 9 36 24 f) ` 4 $ 2 j ' ` 5 $ 1 j 9 3 7 3

1 11 45

20. Calculadora. Elige y resuelve algunas operaciones de las actividades 14, 16, 17 y 18. Individual

21. Pepe y Susi tienen una tarta. Él quiere comer un sexto de la tarta y ella, tres cuartos. ¿En cuántos trozos iguales deben cortar la tarta para poder repartirla? ¿Cuántos pedazos tomará cada uno? 12 trozos ; Pepe; 2 ; Susi: 9 12

–– Busco que los estudiantes comprendan el significado de las operaciones y no solo que sepan aplicar los algoritmos respectivos. Pocas veces. Siempre. –– Utilizo modelos geométricos para ayudar a comprender el significado de las operaciones con fracciones. Pocas veces. Muchas veces. –– Proporciono el apoyo suficiente en las activades para resolver problemas y en las de pensamiento crítico e investigación. Pocas veces. Siempre.

12

1

5 11

5

17. Calcula el cociente y exprésalo con una fracción irreducible o un número mixto. Si es posible, simplifica en el proceso.

a) 8 ' 4 9

b) 8 ' 12 9

c) 14 ' 7 15

f) 4 ' 2 5

18

12

1 13 23

9

2 27 13 5

g) 4 ' 1 8

10

9

h) 2 1 ' 15 12

24

d) 7 ' 3

7 12

i) 3 2 ' 4 2

e) 6 7 ' 5

13 8

j) 4 1 ' 3 2

16

8

4

9

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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5

9

11

20 81 31 3 29 38 1 8 25

22. Iván ha leído cinco octavos de un libro y Javier, cuatro novenos del mismo libro. ¿Quién ha leído más? Si el libro tiene 144 páginas, ¿cuántas páginas ha leído cada uno? Iván: 90 páginas ; Javier: 64 páginas

101

101

Sobre las actividades –– Actividad 28. a) Si tres fracciones son equivalentes, las tres parejas que podemos formar con ellas son de fracciones equivalentes. Si tres fracciones no son equivalentes, al menos una de las parejas que podemos formar con ellas no tiene fracciones equivalentes. b) Significa: “¿Qué parte de 2 está contenida en un tercio?”. Equivale a la operación 1 ' 2. 3 c) Significaría buscar dos fracciones, equivalentes a las dadas, que tengan el mismo numerador. –– Actividad 30. Dividir dos fracciones propias equivale a multiplicar la fracción dividendo por la inversa de la fracción divisor. Como la fracción divisor es propia, su inversa es mayor que 1. Por tanto, el cociente, resulta mayor que el dividendo. –– Actividad 31. El producto dado equivale al siguiente: 3 4 5 $ $ $f 2 3 4 99 100 f$ $ = 100 = 50 2 98 99 –– Actividad 32. No, porque entonces una de ellas no sería realmente irreducible.

102

23. En una excursión, Amanda ha traído las 2 par9

28. Matemática y Lenguaje. Piensa y explica.

tes de la comida y Alberto las 2 partes. ¿Cuán3 ta comida han traído entre los dos? ¿Cuánta comida han traído los demás? 89 entre los dos; 19 los demás.

24. Dos grandes maestros de ajedrez jugaron una partida que duró 4 5 horas. Uno de ellos uti12 lizó 1 13 horas en decidir sus jugadas. ¿Cuán15 tas horas utilizó el otro en decidir las suyas? ¿Cuántos minutos de la partida son atribuibles a cada jugador? 2 11 horas; 112 minutos; 153 minutos. 20

Individual

a) ¿Cuál es el significado de decir que tres fracciones son equivalentes? ¿Y cuál el de decir que tres fracciones no son equivalentes?

b) Indica cómo entiendes la pregunta “¿Cuántos 2 hay en un tercio?”. ¿A qué operación equivale?

c) Si tienes dos fracciones con numeradores distintos y denominadores distintos, ¿qué significaría reducirlas a común numerador?, ¿imaginas un método para hacerlo?

29. Investiga. Con los números 1, 2, 3 y 4 en las posiciones de numerador y denominador (sin repetirlos en una misma fracción) forma todas las fracciones posibles que no sean equivalentes. 1 ; 1 ; 1 ; ... 2 3 4

30. Pensamiento crítico. Cuando dividimos un nú-

25. Un ciclista planea recorrer 105 km. El primer día recorrerá 1 del camino y 2 el segundo día, 5 3 dejando el resto para el tercer día. ¿Qué fracción del camino transitará el tercer día? ¿Cuántos ki4 del camino. lómetros debe recorrer cada día? 15 35 km; 42 km y 28 km.

26. En un parque, cinco octavos de los árboles son arces. Y de los arces, cuatro novenos son arces rojos. ¿Qué parte de los árboles son arces rojos? ¿Cuántos arces rojos hay en el parque si este tiene 72 árboles?

mero natural entre otro, el cociente es siempre menor o igual que el dividendo. ¿Ocurre lo mismo cuando dividimos una fracción propia entre otra? ¿Por qué? No ocurre lo mismo.

31. Investiga. Calcula el siguiente producto. 1 1 1 1 1 b1 + 2 l $ b1 + 3 l $ b1 + 4 l $ f $ b1 + 98 l $ b1 + 99 l 50

32. Pensamiento crítico. ¿Una fracción irreducible puede ser equivalente a otra fracción irreducible distinta? ¿Por qué? No

33. Pitágoras repartió su colección de triángulos entre sus amigos. A Arquímedes le dio la mitad de los triángulos. A Tales, la cuarta parte. A Euclides, la quinta parte. Y a ti te han tocado los siete restantes. ¿Cuántos triángulos tenía Pitágoras? 140 triángulos.

5 partes; 20 arces rojos. 18

27. Esteban ha desarrollado tres quintas partes de su trabajo en 2 días y medio. ¿Qué parte de su trabajo ha hecho cada día? Si continúa trabajando al mismo ritmo, ¿en cuántos días concluirá su trabajo? 6 partes cada día; terminará en 4 1 días. 25 6

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Valores

Problemas de Matemática y valores

Los problemas de esta página colocan el valor de la responsabilidad en dos contextos relacionados con la vida de los niños: la planificación del tiempo diario y la utilización del agua.

34. Responsabilidad. Supón que en tus actividades diarias utilizas los tiempos indicados en la tabla. Dormir

Colegio

Tareas y estudio

Comer

Transporte

Aseo

Recreación y tiempo libre

81 h 2

5h

21 h 2

12 h 3

1h

5h 6

41 h 2

17 48

5 48

5 24

5 72

1 24

5 144

a) Indica la fracción de 1 día que utilizas en cada tipo de actividad. b) ¿Cuántas horas utilizas en comer, asearte e ir de un lugar a otro? c) ¿Cuánto tiempo más utilizas en comer que en asearte?

5 horas. 6

3 16 3 1 horas. 2

d) ¿A cuántas veces tu tiempo de recreación y tiempo libre equivale tu 5

tiempo de colegio, tareas y estudio? 3

e) Si en vacaciones tu tiempo de colegio, tareas y estudio se convierte en tiempo de recreación y tiempo libre; en vacaciones, ¿qué parte del día del día. es de recreación y tiempo libre? 15 48

35. Responsabilidad. Supón que en tu familia el agua se utiliza diariamente de la manera que se indica en la siguiente tabla. Aseo personal

Limpieza del inodoro

Lavado de la vajilla

Lavado de la ropa

Cocinar y beber

Regar el jardín

3 10

7 20

1 20

1 8

1 40

3 20

240 ,

280 ,

40 ,

100 ,

20 ,

120 ,

a) Ordena los usos de mayor a menor de acuerdo con la cantidad de agua

7 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 utilizada en cada uno de ellos. 20 10 20 8 20 40 b) Supón que en tu familia se utilizan 800 litros de agua diariamente; en ese caso, ¿cuántos litros de agua se utilizan diariamente en cada uno de los rubros indicados en la tabla?

c) Una investigación afirma que en los lugares donde no hay problemas con la provisión de agua potable, 70 100 partes del agua se usan ineficientemente. Si es así también en tu familia, ¿cuántos litros de agua serían suficientes para alcanzar los mismos resultados? 560 ,

d) Supón que encuentras formas más eficientes de utilizar el agua. Explica en qué consistirían y cómo se modificarían las fracciones indicadas en la tabla. Individual

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103

103

Sugerencia de temporalización

6

Julio

Operaciones con números decimales

Agosto

Valores La práctica deportiva, en general, y el deporte de alto rendimiento, en particular, ofrecen contextos muy apropiados para la reflexión sobre los valores éticos. Bajar una marca atlética supone no solo un gran talento natural, sino también un trabajo constante y disciplinado. El código de ética de la IAAF indica que el juego limpio es el principio básico del atletismo. Este principio prohíbe estrictamente que un atleta intente obtener alguna ventaja utilizando métodos deshonestos; prohíbe explícitamente el dopaje como medio para mejorar el rendimiento deportivo. Desde su temprana muerte en 1998, los extraordinarios logros atléticos de Florence Griffith Joyner han sido ensombrecidos por la sospecha, no probada, de que ella hubiera utilizado algún medio ilícito para mejorar su desempeño. Desde hace 24 años, sus plusmarcas de 10,49 s en los 100 metros y 21,34 en los 200 metros parecen inalcanzables para las mejores corredoras del mundo.

La carrera de los 100 metros planos Desde 1912, la IAAF* registra oficialmente las marcas mundiales de la carrera de 100 metros planos. En 1968, Jim Hines (de EE.UU.) fue el primer atleta en correr la distancia en menos de 10 segundos (9,95 s). En 1973, Renate Stecher (de Alemania) fue la primera mujer en bajar la marca femenina a menos de 11 segundos (10,9 s). La actual plusmarca masculina son los 9,58 s (en 2009) del extraordinario corredor jamaiquino Usain Bolt y la plusmarca femenina son los 10,49 s (en 1988) de la legendaria estadounidense Florence Griffith Joyner.

• ¿Cuál es la diferencia en segundos entre la marca de Bolt y la de Hines? ¿Y entre la de Griffith Joyner y la de Stecher? • ¿Por qué los grandes logros deportivos requieren esfuerzo y constancia?

*IAAF: Asociación Internacional de Federaciones de Atletismo

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Sugerencias metodológicas –– Pida a los estudiantes que mencionen lugares en los que se puedan ver números decimales o situaciones en las que solemos utilizarlos, por ejemplo al expresar medidas. Ponga varios ejemplos concretos y escriba los números decimales en la pizarra. Repase de manera colectiva la lectura, descomposición y comparación de números decimales. –– Dicte varios números decimales y después pida a los estudiantes que lean los números escritos. Hágales preguntas sobre los números escritos para repasar la descomposición y la comparación. Por ejemplo: ¿Qué números tienen 4 décimas? ¿Qué números son mayores que 3 y menores que 3,8?

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA Lectura y descomposición de números decimales Parte entera

El número 17, 425 es un número decimal. Su parte entera es 17 y su parte decimal es 425.

C

D

U

1

7

•

17, 425 se lee: 17 unidades y 425 milésimas o 17 coma 425.

•

17, 425 = 1 decena + 7 unidades + 4 décimas + 2 centésimas + 5 milésimas 17, 425 = 10 + 7 0, 4 + 0, 02 + + 0, 005

1. Escribe cómo se lee y descompón cada número. a) 5,7 b) 3,98 c) 20,612 d) 463,02

e) 8,045

–– Colocar correctamente los términos de la suma o la resta, sobre todo en la resta cuando el sustraendo tiene más cifras decimales que el minuendo. Recuerde a los estudiantes que siempre deben coincidir en columna las cifras del mismo orden. Si lo considera necesario, pueden escribir la abreviatura del orden en la cabecera de cada columna.

Parte decimal

,

d

c

m

4

2

5

f) 0,555

a) 5 unidades y 7 décimas; 5 + 0, 7

2. Escribe estos números decimales. a) 7 unidades y 8 décimas c) 15 unidades y 1 centésima

e) 49 coma 03

15, 01

7, 8

b) 2 unidades y 26 milésimas

d) 124 unidades y 124 milésimas

124, 124

2, 026

–– El redondeo de números decimales a un determinado orden, especialmente si la cifra que deben comparar con 5 no es la última cifra decimal del número. Realice muchos ejercicios con sus estudiantes para que ellos reconozcan sin dificultad las cifras en que deben fijarse.

49, 03

f) 9 coma 245

9, 245

Comparación de números decimales Es mayor el número que tiene la mayor parte entera. Si las partes enteras son iguales, se comparan las décimas, las centésimas, las milésimas, …, siendo mayor el número con mayor parte decimal comparada cifra a cifra. 6, 319 6=6 y 3=3 _ _ 6, 319 1 6, 325 6, 325 112

12, 04 _ 12 2 9 _ 12, 04 2 9, 87 9, 87

Vocabulario matemático

3. Compara y escribe el signo adecuado. a) 8, 99

1

9, 001

b) 7, 085

1

c) 12, 006

7, 12

2

5, 074

d) 11, 2

2

11, 09

Centésima, décima, milésima Estimación

Fracciones decimales y números decimales •

En una fracción decimal, el denominador es 10, 100, 1 000, ...

Fracción decimal

•

Las fracciones decimales son equivalentes a números decimales.

Fracción generatriz

8, 5 = 85 10

24, 05 = 2405 100

Fracción irreducible

0, 678 = 678 1 000

Número decimal Número decimal exacto o finito

4. Expresa como número decimal. a) 267 10

26, 7

b) 35

100

0, 35

c) 4645 4, 645 d) 1000

3 0, 003 e) 85 0, 85 1000 100

f)

222 0, 0222 10000

Número decimal periódico

5. Expresa como fracción decimal. a) 9,234 9 234 1 000

b) 4,78 478 100

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Número decimal no exacto y no periódico

c) 278,2 2 782 10

d) 95,06 9 506 100

e) 24,003 24 003 1 000

Número decimal periódico mixto

f) 0,03 3 100

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Número decimal periódico puro Parte decimal Parte entera Periodo y anteperiodo Redondeo

Tic Números decimales. Actividad para anotar decimales y ordenarlos según su valor.

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Más información Densidad en los números decimales El conjunto de los números decimales es denso; esto significa que entre dos números decimales cualesquiera existe un conjunto infinito de otros números decimales. Por tanto, dados dos números decimales distintos, siempre es posible encontrar otro número decimal que esté situado entre aquellos. Unidades, décimas, centésimas y milésimas

Los números decimales en la recta numérica En un control médico, se midió hasta el milímetro la estatura de tres niños. Estos son los resultados que se obtuvieron: 1, 3 m = 1, 300 m

1, 38 m = 1, 380 m

1, 386 m

¿Cómo podemos representar estos números en la recta numérica? El número 1,3 está comprendido entre 1 y 2.

•

1,3

Dividimos la unidad en 10 partes y tomamos 3.

1

2

El número 1,38 está comprendido entre 1,3 y 1,4.

•

1,38

Dividimos la décima en 10 partes y tomamos 8.

1,3

1,4

El número 1,386 está comprendido entre 1,38 y 1,39.

•

1,386

Dividimos la centésima en 10 partes y tomamos 6.

–– 1 unidad se divide en 10 décimas, 100 centésimas y 1 000 milésimas.

1,38

1,39

–– 1 décima se divide en 10 centésimas y 100 milésimas.

Para representar números decimales en la recta numérica, se divide el espacio entre dos unidades consecutivas en 10 partes y se obtiene así la ubicación de las décimas.

–– 1 centésima se divide en 10 milésimas.

El espacio entre dos décimas consecutivas se divide en 10 y se obtienen las centésimas. El espacio entre dos centésimas consecutivas se divide en 10 y se obtienen las milésimas ...

1. Escribe los números de las marcas extremas y ubica el decimal. 25,8

a) 25,8

25

26

e) 57,01

57,01 57,0

14,7

b) 14,7

14

57,1 19,274

15

f) 19,274

19,27

19,28

31,25

c) 31,25

31,2

12,059 31,3

g) 12,059

12,05

15,03

d) 15,03

15,0

106

12,06 47,004

15,1

h) 47,004

47,00

47,01

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Sugerencias metodológicas Tic Ordenando decimales. Actividad para elegir series de decimales correctamente ordenados.

106

–– Analice colectivamente los ejemplos iniciales y, en cada caso, indique qué número corresponde a cada una de las marcas situadas entre los números de los extremos. Haga notar que si los números de las marcas extremas son naturales, cada una de las 10 divisiones intermedias corresponde a una décima; si los números de las marcas extremas están escritos hasta la décima, las marcas corresponde a las centésimas... –– La actividad 1 es muy apropiada para reflexionar de manera crítica sobre los números que van en las marcas extremas; en los incisos d), e) y h) los estudiantes pueden confundirse. Hágales ver que si quieren representar décimas, en las marcas extremas los números tienen 0 en la posición

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Recursos

2. Escribe los números decimales representados en las rectas numéricas. 9, 3

a) b)

9

10

74, 25

74,2

74,3

9 unidades y 3 décimas. __________

Para ayudar a pensar En la actividad 1, los estudiantes tienen que determinar las marcas extremas y ubicar el número decimal. ¿Cómo podemos ayudarlos a razonar?

74 unidades y 25 centésimas. __________

4, 909

c) d) e)

4,90

32, 06

32,0

4,91

32,1

12, 652

12,6

12,7

4 unidades y 909 milésimas. __________

32 unidades y 6 centésimas. __________

Para determinar los números de las marcas extremas:

12 unidades y 652 milésimas. __________

–– Primero eliminamos la última cifra decimal del número dado y así obtenemos el número de la marca de la izquierda (MI).

99, 936

f)

99,9

100

99 unidades y 936 milésimas. __________

3. Ordena los números de mayor a menor.

–– Después, sumamos 1 a la última cifra del número de la marca izquierda y obtenemos así el número de la marca derecha (MD).

Para comparar dos números decimales. 1.º Se los expresa con la misma cantidad de cifras decimales (se añaden ceros a la derecha si es necesario). 2.º Se suprimen las comas decimales y se los compara como si fueran números naturales.

a) 25, 8 MI: 25, 8 _ 25 MD: 25 + 1 _ 26

7, 42 7, 420 7420 _ _ _ 7420 1 7421 _ 7, 42 1 7, 421 7, 421 7, 421 7421

a) 8,5; 8,67; 8,07; 8,45; 8,451 8, 67 2 8, 5 2 8, 451 2 8, 45 2 8, 07 __________________________

b) 9,09; 8,999; 9,1; 9,19; 9,21 9, 21 2 9, 19 2 9, 1 2 9, 09 2 8, 999 __________________________

c) 31, 25 MI: 31, 2 5 _ 31, 2 MD: 31, 2 + 0, 1 _ 31, 3

c) 5,1086; 5,71; 5,718; 5,024; 5,006 5, 718 2 5, 71 2 5, 1086 2 5, 024 2 5, 006 ________________________________

d) 0,5; 0,487; 0,478; 0,501; 0,059 0, 501 2 0, 5 2 0, 487 2 0, 478 2 0, 059 ________________________________

d) 15, 03 MI: 15, 0 3 _ 15, 0 = 15 MD: 15, 0 + 0, 1 _ 15, 1

4. Sustituye las letras a, b y c por números de tal modo que se cumplan las siguientes relaciones. Por ejemplo:

a) 8, 9 1 a 1 b 1 c 1 9, 4

9, 1 ; b = ______ 9, 3 9, 2 ; c = ______ a = ______

b) 10, 91 1 a 1 b 1 c 1 10, 92

, 913 ; c = ______ 10, 915 , 912 ; b = 10 a = 10 ______ ______

g) 12, 059 MI: 12, 05 9 _ 12, 05 MD: 12, 05 + 0, 01 _ 12, 06

5. Pensamiento crítico. Dados dos números decimales, ¿es siempre posible escribir un número decimal que esté situado entre ellos?, ¿por qué? Es posible

h) ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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47, 004 MI: 47, 00 4 _ 47, 00 = 47 MD: 47, 00 + 0, 01 _ 47, 01

de las décimas (entre 25,0 y 26,0 está 25,8); si quieren representar centésimas, en las marcas extremas los números tienen 0 en la posición de las centésimas; si quieren representar milésimas, en las marcas extremas los números tienen 0 en la posición de las milésimas.

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Más información Fracciones y números decimales Para deteminar a qué tipo de número decimal es equivalente una fracción irreducible, se examina la factorizacion prima del denominador de la fracción: –– Si los únicos factores primos que aparecen en esa factorización prima son 2 y/o 5, la fracción corresponde a un número decimal exacto. (Vea la actividad 6a). –– Si aparecen factores primos distintos de 2 o 5, la fracción corresponde a un número decimal periódico.

Fracciones y tipos de números decimales Jesús investiga varias fracciones dividiendo el numerador entre el denominador y obtiene interesantes resultados en el cociente.

•

A veces, el cociente tiene una cantidad limitada de cifras decimales.

•

Otras veces, inmediatamente después de la coma aparecen uno, dos o más dígitos que se repiten sin fin.

•

Otras veces, después de la coma, pero no inmediatamente después, aparecen uno, dos o más dígitos que se repiten sin fin.

•

Para deteminar a qué tipo de número decimal es equivalente una fracción cualquiera, se encuentra la fracción irreducible equivalente de la fracción y se aplican los criterios mencionados.

Y también hay decimales que tienen infinidad de cifras, pero ningún conjunto de ellas se repite sin fin. ¡Estos decimales no pueden obtenerse dividiendo un número natural entre otro!

25 8

25 8 10 3, 125 20 40 (0)

24 11

24 11 20 2, 1818 90 20 90 2

5 12

5 12 50 0, 4166 20 80 80 80

25 = 3, 125 8

24 = 2, 1818f 11 $ Se escribe: 2, 18

5 = 0, 4166f 12 ! Se escribe: 0, 416

0, 1221331441551661f 3, 1415926535897932f 2, 0123456789101112f

•

Para expresar una fracción en forma de número decimal, se divide el numerador entre el denominador. El cociente es el decimal buscado.

•

Un número decimal puede ser: - Exacto, si tiene una cantidad limitada de cifras decimales. - Periódico, si tiene infinitas cifras decimales y, además, una o varias de ellas se repiten periódicamente. La cifra o grupo de cifras que se repiten se llama periodo. - No exacto y no periódico, si tiene infinitas cifras decimales y ninguna o ningún grupo de ellas se repite periódicamente.

•

Un decimal periódico puede ser: - Puro, si el periodo empieza inmediatamente después de la coma. - Mixto, si el periodo no empieza inmediatamente después de la coma. A las cifras decimales no periódicas se les llama anteperiodo.

Los números decimales periódicos se escriben de forma abreviada colocando un arco sobre las cifras que componen el periodo.

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Sugerencias metodológicas Indique a los estudiantes que es muy importante que, para determinar el número decimal equivalente a una fracción, realicen las divisiones con mucho cuidado. Ayúdelos a determinar el periodo que surge en el cociente de la división.

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Recursos

1. Divide y determina el número decimal equivalente a cada fracción. !

1, 5625 a) 25 = ___________ 16

0, 48 f) 22 = ___________ 45

0, 86 b) 26 = ___________ 30

g) 239 = __________ 990

$ 0, 241

!

Para ayudar a pensar –– En la actividad 3, hay que determinar cómo se forma la serie de las cifras decimales. Sabiendo cómo se forma la serie es fácil entender por qué no se forma un periodo.

$

! 0, 138 c) 25 = __________ 180

1, 36 h) 15 = ___________ 11

d) 36 = ___________ 25

0, 996 i) 249 = __________ 250

0, 123 e) 41 = __________ 333

0, 9594 j) 142 = __________ 148

1, 44

'

'

Inciso a): la serie de los números naturales con un cero que se va intercalando entre los números de esa serie

2. Clasifica los siguientes números decimales. En el caso de los decimales periódicos, identifica el periodo y, utilizando el arco, expresa el decimal de manera abreviada. Periódico puro a) 2, 555555f ____________________

Periódico mixto g) 3, 948585 f ____________________

Exacto b) 6, 921 __________________________

Periódico mixto h) 1, 1234234f ___________________

Periódico mixto c) 0, 0717171f ___________________

Exacto i) 4, 333 __________________________

Exacto d) 3, 232425 ______________________

Periódico puro j) 9, 256256f ____________________

Periódico puro e) 0, 4141414f ___________________

Periódico mixto k) 7, 1273535f ___________________

Periódico mixto f) 0, 83161161161f ______________

Periódico puro l) 1, 35423542f __________________

Inciso b): la serie de los números naturales a partir del 11. Inciso c): la serie que se forma al colocar un número 1, dos números 2, tres números 3, etc.

3. Las cifras decimales de los siguientes números tienen una regularidad pero

Inciso d): la serie de los números pares.

no un periodo. Escribe las siguientes siete cifras de estos números decimales. ¿Qué tipo de número decimal son? ¿Por qué? Son de tipo no exacto y no periódico. 0506070 a) 5, 01020304___________

4444555 c) 3, 122333 _____________

1516171 b) 1, 11121314 ___________

1416182 d) 0, 24681012 ___________

4. Investiga. Busca en cada caso tres fracciones que sean equivalentes a: 1 1 1 a) Un decimal exacto. 2 ; 5 ; 8 b) Un decimal periódico puro. 13 ; 46 ; 19 1 ; 1 c) Un decimal periódico mixto. 16 ; 18 15

Por ejemplo:

5. Investiga. Escribe todas las fracciones propias de denominador 7 y encuen-

1 ; 2 ; 3 ...

tra los números decimales equivalentes. ¿Qué tipo de decimal periódico 7 7 7 son? ¿Cuántas cifras decimales tiene el periodo de esos números? Periódicos puros ; 6 cifras

6. Pensamiento crítico. Piensa y responde. a) ¿Puede ser equivalente a un decimal periódico una fracción de denominador 2? ¿Por qué? No

b) ¿Puede ser equivalente a un decimal periódico una fracción cuyo denominador es un 1 seguido de ceros (10, 100, 1 000, ...)? ¿Por qué? No

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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109

–– En la actividad 5, los estudiantes pueden encontrar los números decimales utilizando calculadora. Todos los decimales que se encuentran son periódicos puros y en los periodos se ve una característica interesante: todos están formados por las mismas seis cifras > ;;;; ? : 71 = 0, 142857 > ;;;; ? : 27 = 0, 285714 > ;;;; ? : 37 = 0, 428571 > ;;;; ? : 47 = 0, 571428 > ;;;; ? : 57 = 0, 714285 > ;;;; ? : 67 = 0, 857142

109

Más información La cantidad de cifras del periodo El periodo de un número decimal periódico puede tener cualquier número de cifras: una, dos, tres, ... , quince, ...; sin embargo, hay una relación interesante entre la fracción generatriz de un número decimal y la cantidad de cifras del periodo. Si la fracción generatriz de un número decimal periódico es a , el periodo no b puede tener más de b - 1 cifras.

De número decimal a fracción irreducible Esteban ya sabe encontrar el número decimal equivalente a una fracción: divide el numerador entre el denominador. Pero Esteban se pregunta: “¿Si tengo un número decimal, cómo encuentro la fracción equivalente?”. ¿Cómo hallo la fracción equivalente a un decimal exacto? 3, 125 _ 3, 125 = 3 125 = 25 _ 3, 125 = 25 8 8 1 000 3 cifras decimales

3 ceros

•

En el numerador se escribe el número sin la coma decimal.

•

En el denominador se escribe el 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

•

La fracción resultante se simplifca si es posible.

¿Cómo hallo la fracción equivalente a un decimal periódico puro?

$ $ $ 4, 36 _ 4, 36 = 436 - 4 = 432 = 48 _ 4, 36 = 48 99 99 11 11

Los decimales y la representación única

•

En el numerador se escribe la diferencia entre el número sin la coma y la parte no periódica.

Sabemos que dos fracciones distintas, es decir, con numeradores y denominadores distintos, pueden ser equivalentes. De hecho, dada una fracción, podemos encontrar por amplificación una cantidad ilimitada de fracciones equivalentes.

•

En el denominador se escriben tantos nueves como cifras decimales tenga el periodo.

•

La fracción resultante se simplifca si es posible.

No ocurre lo mismo con los números decimales. En general, si prescindimos de la posibilidad trivial de aumentar ceros a la derecha, no hay una cantidad ilimitada de números decimales que sean equivalentes a una determinada representación. Sin embargo, en virtud de la ! igualdad 0, 9 = 1 , cualquier decimal exacto puede ser representado mediante un decimal periódico; por ejemplo: ! 2, 3 = 2, 2 9 ! 4, 1 = 4, 0 9 ! 2, 36 = 2, 35 9 ! 5, 734 = 5, 733 9

110

¿Cómo hallo la fracción equivalente a un decimal periódico mixto? ! ! ! 2, 41 6 _ 2, 41 6 = 2 416 - 241 = 2 175 = 29 _ 2, 41 6 = 29 900 900 12 12 •

En el numerador se escribe la diferencia entre el número sin la coma y la parte no periódica de todo el número.

•

En el denominador se escriben tantos nueves como cifras decimales tenga el periodo seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.

•

La fracción resultante se simplifca si es posible. Todo número decimal, exacto o periódico, es equivalente a un conjunto de fracciones equivalentes. La fracción irreducible de ese conjunto se llama fracción generatriz del número decimal respectivo. Los decimales no exactos y no periódicos no tienen fracción generatriz.

110

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Sugerencias metodológicas Asegúrese de que los estudiantes comprenden las reglas para construir una fracción equivalente a un decimal dado. Ayúdeles a aplicar esas reglas con atención y cuidado y a simplificar la fracción resultante aplicando los criterios de divisibilidad.

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Recursos

1. Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales. 321 a) 3, 6 18 d) 0, 48 12 g) 1, 321 11 000 5 25 81 10 c) 12, 5 25 2

b) 8, 1

e) 14, 24 f) 2, 57

356 25 257 100

h) 56, 128 i) 0, 192

Para simplificar las fracciones, recuerda las reglas de divisibilidad.

7 016 125 24 125

Para ayudar a pensar –– La realización de la actividad 5 descansa en la habilidad para encontrar un patrón o regularidad. Podemos observar que los números decimales se forman moviendo la coma decimal una posición hacia la derecha y que las fracciones se forman multiplicando el numerador por 2 y dividiendo el denominador entre 5. Por consiguiente, podemos predecir la siguiente igualdad: 102, 4 = 256 $ 2 = 512 25 ' 5 5

2. Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales. ! 38

a) 4, 2 !

b) 0, 6

!

c) 12, 3

9 2 3 37 3

$

d) 1, 35

$

e) 10, 63 $

f) 1, 72

134 99 117 11 19 11

' 211

g) 0, 633

333

h) 1, 747

111

' 194

' 1 048

i) 3, 147

333

3. Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales. ! 1 a) 0, 06 15 ! 37 b) 1, 23 30 ! 021 c) 2, 245 2900

$ 74 d) 0, 149 495 $ 3 994 e) 8, 068 495 $ f) 0, 2442 1403 650

' g) 1, 2450 ' h) 0, 0648 ' i) 0, 1146

2 3

691 555 12 185 229 1 998

4. Halla los números naturales o los decimales exactos equivalentes. Los decimales periódicos cuyo periodo está formado por una serie infinita de nueves son equivalentes a números naturales o a decimales exactos.

! ! ! 2, 9 _ 2, 9 = 29 - 2 = 27 = 3 _ 2, 9 = 3 9 9

–– Podemos razonar la actividad 6a de distintas maneras. Podemos construir todas las fracciones propias de denominador 6 y ver si alguna de ellas es equivalente a un decimal $ de la forma 0, ab : 1 = 0, 1 ! 2 = 0, ! 6 3 6 6 3 = 0, 5 4 = 0, ! 6 6 6 ! 5 = 0, 83 6

! ! ! 1, 59 _ 1, 59 = 159 - 15 = 144 = 8 = 1, 6 _ 1, 59 = 1, 6 90 90 5

!

a) 0, 9

1

! b) 0, 39 0, 4

!

c) 10, 9

!

e) 0, 459

11

! d) 3, 79 3, 8

! f) 5, 289

0, 46 5, 29

5. Investiga. Observa las siguientes igualdades, busca una regularidad, predice cuál es la fracción equivalente a 102,4 y comprueba tu predicción. 512 5

0, 1024 = 1 024 = 64 1, 024 = 1 024 = 128 10 000 625 125 1 000 1 024 256 10, 24 = = 100 25

6. Pensamiento crítico. Piensa y responde.

También podemos pensar así: si el decimal es $ 0, ab , el numerador es menor que el denominador; si el periodo tiene dos cifras decimales, el denominador (antes de cualquier simplificación) debe ser 99, es decir:

$

a) Un decimal periódico de la forma 0, ab (donde a y b son dos dígitos cualesquiera), ¿puede ser equivalente a una fracción cuyo denominador sea 6?, ¿por qué? No ! b) ¿Es verdadera la siguiente igualdad: 0, 99 = 1 ? ¿Por qué? Verdad

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111

N = N ' 16, 5 = M 99 99 ' 16, 5 6 Por tanto: N ' 16, 5 = M . El número M es un natural que solo podría ser igual a 2 y 4, pero las fracciones 2 6 y 4 6 no son equivalentes a un decimal $ de la forma 0, ab.

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Más información Propiedades de la adición con números decimales. La adición con números decimales tiene las mismas propiedades que la adición con números naturales.

Adición y sustracción de números decimales Nadia fue al supermercado y compró una mermelada en Bs 14,65; un cereal en Bs 20,43 y un jugo en Bs 8,5. Para pagar, entregó un billete de Bs 50. ¿Cuánto dinero gastó? ¿Cuánto dinero tendrían que devolverle según la factura?

–– La adición es conmutativa: a+b = b+a

Para calcular el gasto total, sumamos los precios de los tres artículos.

Para saber cuánto deberían devolverle, restamos el gasto total al dinero entregado.

Sumamos 14,65; 20,43 y 8,5.

Restamos 43,58 a 50.

DUdc

–– La adición es asociativa: ^ a + b h + c = a + ^b + c h

DUd c 5 0, 0 0 - 4 3, 5 8 6, 4 2

1 4, 6 5 2 0, 4 3 + 8, 5 0 4 3, 5 8

–– El cero es el elemento neutro de la adición:

Nadia gastó Bs 43,58.

a+0 = a Además:

Le tendrían que devolver Bs 6,42.

Para sumar o restar números decimales:

–– La adición y la sustracción con números decimales son operaciones inversas:

1.º Se colocan de forma que coincidan en la misma columna las cifras del mismo orden. 2.º Si es necesario, se aumentan ceros para que todos los números tengan la misma cantidad de cifras decimales.

a + b = c ( (a = c - b b = c-a

3.º Se suman o se restan como si fueran números naturales y se pone la coma en el resultado debajo de la columna de las comas.

1. Calcula la suma o la resta. Si aparecen números naturales, los expresamos como números decimales. 9 + 3, 84 _ 9, 00 + 3, 84

6 - 0, 575 _ 6, 000 - 0, 575

a) 76, 42 + 8, 95

e) 9, 26 + 54, 3 + 0, 178

i) 12 - 5, 1202

b) 3, 218 + 14, 39

f) 17, 04 + 0, 703 + 14

j) 14, 352 - 6

c) 6, 9512 + 9

g) 52, 17 - 9, 63

k) 80, 6 - 24, 59

d) 0, 5 + 7, 84 + 21, 9

h) 264, 035 - 7, 8

85, 37

63, 738

17, 608

15, 9512

30, 24

31, 743

42, 54

256, 235

6, 8798

8, 352

56, 01

Solo podemos sumar o restar unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas ...

l) 73, 2 - 0, 0816 73, 1184

2. Calcula el término que falta en cada operación. Explica cómo lo haces. a) 38, 47 + b)

396, 54

c) 5, 461 +

13, 48

= 51, 95

+ 9, 8 = 406, 34 4, 809

= 10, 27

112

d)

20, 074

e) 193, 7 f)

107, 92

- 6, 284 = 13, 79 118, 06

= 75, 64

- 80, 42 = 27, 5

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Sugerencias metodológicas –– Lea el problema inicial y plantee en común los pasos para resolverlo. Escriba las operaciones en la pizarra recordando cómo se colocan los términos; después realice las operaciones. Al efectuar la resta, comente que añadimos ceros en la parte decimal del minuendo para facilitar el cálculo. –– Antes de hacer la actividad 3, comente que la jerarquía de las operaciones es la misma al operar con números decimales que con naturales o fracciones.

112

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Recursos

3. Resuelve las adiciones y sustracciones combinadas. Las operaciones se realizan en orden, de izquierda a derecha.

Las operaciones entre paréntesis se realizan primero.

= 22, 33 + 7, 619 = 29, 949

a) 4, 26 + 9, 513 - 12, 8

0, 973

b) 21, 7 - 6, 34 + 3, 591

18, 951

d) 43, 5 - ^16, 83 + 0, 094h

–– Entregue a cada alumno una tarjeta de papel para que escriba un número decimal de una, dos o tres cifras decimales.

26, 83 - ^4, 5 + 7, 619h =

26, 83 - 4, 5 + 7, 619 =

c) 36, 28 - 5, 7 - 14, 629

Actividades

= 26, 83 - 12, 119 = 14, 711

e) 27, 316 + ^5, 2 + 19, 87h f) 19, 258 - ^21, 7 - 8, 36h g) 25, 4 - ^31, 398 - 7, 6h

15, 951

–– Recoja las tarjetas y forme con ellas un montón. Saque dos tarjetas al azar y lea los números para que los estudiantes calculen su suma y su diferencia (hágales ver que deben averiguar cuál de los dos números es mayor, para escribirlo como minuendo).

5, 918

1, 602

h) 30, 282 - 6, 57 + 14, 9

26, 576

52, 386

38, 612

4. Calculadora. Determina si las igualdades son correctas o no. a) 3, 5 - 2, 9 + 1, 8 = 2, 4

V

b) 16, 05 + 9, 075 - 4, 7 = 204, 25

F

c) 27, 1 - 12, 96 - 7, 453 = 66, 87

F

d) 9, 6 - ^2, 83 + 3, 756h = 3, 014

V

f) 8, 05 - ^2, 03 - 1, 53h = 7, 055

F

e) 12, 902 - ^9, 3 - 7, 86h = 11, 462

V

A continuación, saque tres tarjetas del montón, diga los números y pida a los estudiantes que calculen la suma de los tres y una operación combinada formada por una suma y una resta, con o sin paréntesis. Comente que si, al calcular una de las expresiones, resulta una resta que no pueden resolver, deben cambiar de lugar los números, las operaciones o los paréntesis.

5. Resuelve los problemas. a) Marcos quiere comprar un buzo y unos zapatos deportivos que cuestan Bs 274,9 y Bs 235,45, respectivamente. ¿Tiene suficiente dinero con Bs 500? ¿Cuánto dinero le falta o le sobra? Le faltan Bs 10, 35.

b) Un equipo de atletismo de posta 4 # 100 corrió la prueba en 40,39 segundos. Si los tres primeros relevos corrieron en 10,14 s, 10,08 s y 9,98 s, ¿cuál fue el tiempo del cuarto relevo? 10, 19 segundos.

c) Ana quiere comprar un pedazo de tela para hacer un disfraz. Necesita 1,08 m de tela para el pantalón; 0,86 m para el chaleco y 1,5 m para la capa. En la tienda hay pedazos de 3 m y de 4 m. ¿Cuántos metros de tela necesita? ¿Qué tipo de pedazo comprará? ¿Qué cantidad de tela le sobrará? Necesita 3, 44 m; comprará 4 m; sobrará 0, 56 m.

–– Observa los tres números decimales y el resultado de sumarlos y restarlos por parejas:

6. Investiga. Examina con ejemplos si con los números decimales se cumplen las siguientes propiedades de la adición. Se cumplen todas. Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

a+b=b+ a

^a + bh + c = a + ^b + ch

a+0= a

Números 6, 8 4, 37 5, 094

7. Investiga. Inventa sumas con dos números decimales que tengan x cifras decimales cada uno y cuyo resultado tenga y cifras decimales. Por ejemplo:

a) 2

b) 3

1

2, 72 + 3, 48 = 6, 2

2

2, 725 + 3, 445 = 6, 17

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c) 3

1

4, 564 + 2, 236 = 6, 8

d) 2

Sumas y diferencias 9, 464 1, 706 11, 894 0, 724 11, 17 2, 43

Escribe con los números decimales dados las tres sumas de dos números y las tres restas con sus resultados.

0

2, 56 + 4, 44 = 7

113

113

Más información Propiedades de la multiplicación con números decimales. La multiplicación con números decimales tiene las mismas propiedades que la multiplicación con números naturales.

Multiplicación de números decimales Natalia compró dos tipos de quesos para su tienda: 14 kilogramos de queso madurado a Bs 74,32 por kilogramo; y 8,7 kilogramos de queso fresco a Bs 35,25 por kilogramo. ¿Cuánto gastó en cada tipo de queso? Queso madurado

Queso fresco

Multiplicamos 14 por 74,32.

Multiplicamos 8,7 por 35,25.

1.º Multiplicamos los factores como si fueran números naturales.

1.º Multiplicamos los factores como si fueran números naturales.

–– La multiplicación es conmutativa: a$b = b$a

2.º En el producto, separamos con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tenga el número decimal.

2.º En el producto, separamos con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tengan en total los dos factores.

–– La multiplicación es asociativa: ^ a $ b h $ c = a $ ^b $ c h

7 4, 3 2 14 # 29728 7432 1 0 4 0,4 8

3 5, 2 5 8,7 # 24675 28200 3 0 6,6 7 5

–– La multiplicación es distributiva respecto de la adición y la sustracción:

En el queso madurado gastó Bs 1 040,48.

a $ ^b + c h = a $ b + a $ c a $ ^b - c h = a $ b - a $ c

Para multiplicar números decimales, se multiplican como si fueran números naturales y, en el producto, se separan con una coma, a partir de la derecha, tantas cifras decimales como tengan en total los dos factores.

–– El 1 es el elemento neutro de la multiplicación: a$1 = a –– El 0 es el elemento absorbente de la multiplicación: a$0 = 0 Además: –– La multiplicación y la división con números decimales son operaciones inversas:

1. Calcula el producto. a) 6, 92 $ 34 235, 28 b) 47 $ 1, 058

Multiplicación de decimales. Ejercicios de multiplicación de decimales por la unidad seguida de ceros. Operaciones con números decimales. Multiplicaciones, adiciones y sustracciones combinadas en ejercicios.

114

49, 726

c) 5, 39 $ 20, 7

111, 573

d) 71, 3 $ 8, 9

g) 208 $ 4, 76

634, 57

990, 08

e) 82, 5 $ 4, 035

332, 8875

h) 0, 762 $ 3, 92

f) 39, 76 $ 9, 61

382, 0936

i) 7, 452 $ 63

2, 98704

469, 476

j) 47, 03 $ 7, 8

366, 834

k) 1348 $ 0, 59

795, 32

l) 32, 4 $ 0, 023

0, 7452

2. Calcula el producto. Para multiplicar un decimal por el 1 seguido de ceros, se recorre la coma a la derecha tantas cifras como ceros siguen al 1. Si faltan cifras se completa con ceros.

a $ b = c ( (a = c ' b b = c'a

Tic

En el queso fresco gastó Bs 306,675.

5, 623 $ 100 = 562, 3 3, 81 $ 1 000 = 3 810

72, 4 a) 7, 24 $ 10 = ________________________

2 772, 2 e) 2, 7722 $ 1000 = ____________________

64, 2 b) 0, 642 $ 100 = ______________________

430 f) 0, 43 $ 1000 = _______________________

1 070 c) 10, 7 $ 100 = _______________________

514 993, 21 g) 51, 499321 $ 10000 = _______________

d) 9, 9986 $ 10

3 h) 0, 0003 $ 10 000 _____________________

99, 986 = ______________________

114

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Sugerencias metodológicas –– Lea el ejemplo inicial y plantee en la pizarra las dos multiplicaciones. Pregunte si los factores son números naturales o decimales y explique en cada caso cómo se calculan. Explique que en algunos casos, como en la multiplicación 4, 95 $ 1, 4 , es pertinente quitar el cero final (o los ceros finales) del producto. Escriba varios números decimales y examine colectivamente si es posible o no quitar la cifra cero en cada uno. –– Comente que, al contar las cifras decimales para escribir la coma en el producto (siempre desde la derecha), en algunos casos es necesario añadir ceros a la izquierda. Ponga algunos ejemplos.

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Recursos

3. Calcula el producto. Al multiplicar un número por 0,1; 0,01; 0,001; ..., se recorre la coma a la izquierda tantas cifras como cifras tenga la parte decimal de 0,1; 0,01; 0,001; .... Si faltan cifras se completa con ceros.

Actividades

532, 7 $ 0, 01 = 5, 327 7, 52 $ 0, 001 = 0, 00752

6, 141 a) 61, 41 $ 0, 1 = ___________________

0, 07942 e) 79, 42 $ 0, 001 = _____________________

854, 2 b) 8542 $ 0, 1 = ____________________

54, 423 f) 54423 $ 0, 001 = _____________________

2, 7472 c) 274, 72 $ 0, 01 = _________________

1, 00001 g) 1000, 01 $ 0, 001 = ___________________

0, 0037 d) 0, 37 $ 0, 01 = ___________________

0, 0899651 h) 899, 651 $ 0, 0001 ____________________

Observa cada producto resuelto y escribe, sin hacer la operación, el resultado de las demás multiplicaciones. a) 2, 7 $ 3, 46 = 9, 342 • 27 $ 3, 46 = • 2, 7 $ 346 = • 0, 27 $ 3, 46 =

4. Resuelve las operaciones combinadas. •

Las operaciones entre paréntesis se realizan primero.

•

Las multiplicaciones se realizan antes que las adiciones y sustracciones.

•

Las adiciones y sustracciones se realizan en orden, de izquierda a derecha.

34, 7 + ^ 5, 2 - 1, 48 h $ 6, 9 =

e) 10, 52 - 3, 2 $ 2, 3 + 6, 5

5, 487

• 5, 29 $ 800 = • 5, 29 $ 0, 8 =

= 60, 368

b) 19, 7 - 6, 3 $ 2, 75 2, 375

• 5, 29 $ 80 =

= 34, 7 + 25, 668 =

d) 2, 8 $ 3, 6 - 4,3 $ 1,79

c) ^8, 15 - 5, 2h $ 1, 86

b) 5, 29 $ 8 = 42, 32

= 34, 7 + 3, 72 $ 6, 9 =

a) 3, 5 $ 2, 7 - 1, 86 7, 59

• 0, 027 $ 34, 6 =

• 5, 29 $ 0, 08 =

g) (27 - 2, 7) $ 3, 94 - 2, 5

2, 383

93, 242

h) 4, 3 $ ^5, 62 + 0, 65h - 8, 7

18, 261

9, 66

i) (8, 01 + 3, 29) $ ^9, 21 - 7, 41h

f) 3, 915 + 5 $ (4, 9 - 1, 678)

20, 34

20, 025

5. Calculadora. Comprueba tus resultados de la actividad anterior.

Individual

6. Resuelve los problemas. a) Durante su entrenamiento, un atleta tiene el objetivo de recorrer en promedio 295,25 metros en un minuto. Entonces, ¿cuántos metros debe recorrer en 22,5 minutos? 6 643, 125 metros.

b) Un automóvil recorre una carretera en 3,75 horas a una velocidad promedio de 85,2 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros mide la carretera? 319,5 km

c) El tanque de gasolina del automóvil de Ernesto tiene una capacidad de 76 litros. Hace un año, el costo del litro de gasolina era de Bs 3,74 y, actualmente, es de Bs 3,94. ¿Cuánto más debe pagar Ernesto actualmente que hace un año para llenar su tanque de gasolina? Bs 15, 2

7. Investiga. Examina con ejemplos si con los números decimales se cumplen las siguientes propiedades de la multiplicación. Se cumplen todas. Conmutativa

Asociativa

Distributiva

Elemento neutro

Elemento absorbente

a : b=b : a

^ a : b h : c = a : ^b : c h

a : ^b + c h = a : b + a : c

a:1 = a

a:0 = 0

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115

–– Anime a sus estudiantes a resolver las actividades 2 y 3 utilizando el cálculo mental. –– Antes de hacer la actividad 3, comente que la jerarquía de las operaciones es la misma al operar con números decimales que con naturales o fracciones.

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115

Más información

Redondeo de números decimales

Redondeo en física Las reglas de redondeo en la física no son exactamente iguales a las reglas de redondeo en la matemática. En la física: –– Si la cifra que sigue a la última que se debe conservar es menor que 5, la cifra conservada no varía. –– Si la cifra que sigue a la última que se debe conservar es mayor que 5, la cifra conservada aumenta en 1. –– Si la cifra que sigue a la última que se debe conservar es 5 seguida únicamente de ceros entonces si la cifra conservada es par, no se modifica; si es impar, se aumenta en 1. –– Si la cifra que sigue a la última que se debe conservar es 5 seguida de otras distintas de cero, entonces la cifra conservada aumenta en 1.

Observa cómo redondeamos el número 2,635 a las unidades, a las décimas y a las centésimas. Redondeo a las unidades 2,635 2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3

Para aproximar a las unidades, miramos la cifra de las décimas.

2,635

– Si es mayor o igual que 5, aumentamos en 1 la cifra de las unidades. – Si es menor que 5, dejamos igual la cifra de las unidades.

3

6 2 5, 2 + 1 = 3

Redondeo a las décimas 2,635 2,6

2,61

2,62

2,63

2,64

2,65

2,66

2,67

2,68

2,69

2,7

Para aproximar a las décimas, miramos la cifra de las centésimas.

2,635

– Si es mayor o igual que 5, aumentamos en 1 la cifra de las décimas. – Si es menor que 5, dejamos igual la cifra de las décimas.

2,6 3 1 5, 6 = 6

Redondeo a las centésimas 2,635 2,63

2,631 2,632 2,633 2,634 2,635 2,636 2,637 2,638 2,639

Para aproximar a las centésimas, miramos la cifra de las milésimas. – Si es mayor o igual que 5, aumentamos en 1 la cifra de las centésimas. – Si es menor que 5, dejamos igual la cifra de las centésimas.

2,64

2,635

2,64

5 = 5, 3 + 1 = 4

Para redondear un número decimal a un cierto orden (unidades, décimas, centésimas, milésimas, ...), nos fijamos solamente en la cifra del orden inmediatamente inferior. •

Si es mayor o igual que 5, aumentamos en 1 la cifra del orden al que estamos redondeando.

•

Si es menor que 5, dejamos igual la cifra del orden al que estamos redondeando.

116

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Sugerencias metodológicas Tic ¡Utilizamos los decimales! Descripción y ejercicios sobre el valor posicional, la comparación y el redondeo de números decimales.

116

–– Escriba en la pizarra tres números de una, dos y tres cifras decimales, respectivamente, y pregunte entre qué dos números de una cifra decimal menos que cada uno de ellos se encuentran. Por ejemplo: 4,7 está comprendido entre 4 y 5; 3,25 está entre 3,2 y 3,3; y 9,176 está entre 9,17 y 9,18. Amplíe después el ejercicio a números con más cifras decimales, para que busquen los números correspondientes.

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1. Redondea cada número al orden indicado.

Recursos

A las unidades

a) 3, 85 _

b) 11, 562 _

4

c) 8, 4 _

12

d) 0, 199 _

8

Actividades

0

–– En ocasiones, al multiplicar dos números decimales, el resultado tiene más cifras decimales de las que son necesarias en la situación, por lo que es necesario aproximar el resultado.

A las décimas

e) 0, 54 _

0, 5

f) 9, 551 _

9, 6

g) 10, 192 _

j) 5, 873 _

5, 87

h) 12, 63 _

10, 2

12, 6

A las centésimas

i) 7, 019 _

7, 02

k) 5, 435 _

l) 0, 621 _

5, 44

0, 62

2. Redondea y explica cómo aplicas la regla en cada caso. A las unidades _

a) 19, 91 _

20

b) 0, 099 _

0

A las décimas _

c) 5, 02 _

5

d) 3, 95 _

4

A las centésimas _

e) 9, 995 _

10

f) 1, 701 _

Busca y comenta ejemplos en los que el producto de dos números decimales tenga que ser redondeado a las unidades o a las décimas.

1, 7

3. Escribe en cada caso dos números que se redondeen al número indicado,

–– Piensa y escribe qué valores puede tener la cifra sustituida por un cuadradito en cada número.

uno mayor y uno menor que este número. Por ejemplo:

a)

9, 6

b)

1 10 1 10, 2

c) 7, 506 1 7, 51 1

5, 76

1 5, 8 1 5, 81

7, 512

4. Calculadora. Redondea con calculadora los decimales de la actividad 1.

a) Este número aproximado a las unidades es 4:

Individual

4,

Determinamos el orden al que deseamos que la calculadora redondee cualquier número decimal. A las unidades. SHIFT SETUP 6 [Fix] 0

A las décimas. SHIFT SETUP 6 [Fix] 1

A las centésimas. SHIFT SETUP 6 [Fix] 2

A las milésimas. SHIFT SETUP 6 [Fix] 3

Con la selección a las décimas: 58,57 58,57 =



b) Este número aproximado a las décimas es 5,9: 5, 8 1

58.6

c) Este número aproximado a las centésimas es 0,73: 0, 72

5. Redondea al orden indicado las siguientes marcas mundiales de atletismo. Prueba

Marca

A la unidad

A la décima

100 metros (hombres)

9,54 segundos

10 s

9, 5 s

400 metros (mujeres)

47,60 segundos

48 s

47, 6 s

1 500 metros (hombres)

206,57 segundos

207 s

206, 6 s

Salto alto (mujeres)

2,09 metros

2m

2, 1 m

Salto largo (hombres)

8,95 metros

9m

9m

Javalina (hombres)

104,65 metros

105 m

104, 7 m

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75

d) Este número aproximado a las décimas es 3: 2, 9

9

117

–– Explique con el ejemplo propuesto la aproximación a cada orden de unidad. Después, aproxime en común otros números, de manera que se trabajen todos los casos: que la cifra siguiente sea mayor, igual o menor que 5.

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Más información Métodos de estimación Como el propósito de una estimación es encontrar un resultado aproximado, los métodos de estimación son necesariamente diversos. Veamos algunas variantes. a) Redondear los términos de la operación (los sumandos en el caso de la suma, el minuendo y el sustraendo en el caso de la resta, o los factores en el caso de la multiplicación) a un cierto orden (el mismo para cada término). 184, 8 $ 5, 4 _ 185 $ 5

Estimaciones de sumas, restas y productos por redondeo Fabiola realizó dos llamadas de larga distancia para hablar con su hermano que vive en otro país. En la primera llamada, conversó 3,55 minutos y, en la segunda, 8,25 minutos. Las llamadas tienen un costo de Bs 5,65 el minuto. ¿Cuál es la duración total de las dos llamadas de Fabiola?

•

Para realizar un cálculo exacto, sumamos 3,55 y 8,25: 3, 55 + 8, 25 = 11, 8 Para realizar un cálculo aproximado, podemos redondear 3,55 y 8,25 a las unidades y sumar los números así obtenidos: 3, 55 + 8, 25

4 + 8 = 12

Las dos llamadas duraron aproximadamente 12 minutos. ¿Cuál es el costo de las dos llamadas de Fabiola?

•

Para realizar un cálculo exacto, multiplicamos 11,8 por 5,65: 11, 8 $ 5, 65 = 66, 67

b) Redondear los términos de la operación al orden de su cifra frontal. 184, 8 $ 5, 4 _ 200 $ 5

Para realizar un cálculo aproximado, podemos redondear 11,8 y 5,65 a las unidades y multiplicar los números así obtenidos: 11, 8 $ 5, 65

redondeando a las unidades

12 $ 6 = 72

El costo aproximado de las dos llamadas es de Bs 72.

c) Redondear los términos de la operación por exceso. 184, 8 $ 5, 4 _ 185 $ 6

Estimar el resultado de una adición, una sustracción o una multiplicación significa calcular un resultado más o menos aproximado al resultado exacto de esas operaciones.

d) Redondedar los términos de la operación por defecto. 184, 8 $ 5, 4 _ 184 $ 5 La pertinencia y utilidad de cada método depende de la situación real en la que se realiza la estimación

redondeando a las unidades

Un procedimiento para estimar el resultado de una operación consiste en redondear los números con los que se realiza la operación.

1. Estima el resultado de las operaciones redondeando a las unidades. Realiza la operación mentalmente siempre que te sea posible. 13 a) 3, 73 + 9, 38 _________________

84 g) 15, 4 + 51, 25 + 17, 7 ________________

b) 24, 6 - 6, 843

18 ________________

670 h) 722, 9 - 53, 21 _____________________

138 c) 45, 924 $ 3, 32 ________________

530 i) 9, 599 $ 53, 291 _____________________

37 d) 25 + 12, 29 __________________

352 j) 8, 54 + 99, 8 + 239, 5 + 3, 2 ________________

50 e) 83, 61 - 34 __________________

109 k) 135, 56 - 26, 51 ____________________

275 f) 24, 9 $ 11 ____________________

360 l) 15, 44 $ 23, 671 ______________________

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Sugerencias metodológicas –– Aproveche el problema inicial para que los estudiantes comenten situaciones en las que es necesario un cálculo exacto y otras en las que es más práctico uno aproximado. –– Haga ver a los estudiantes que al estimar aproximamos los términos de la operación al orden más adecuado (o al indicado), por lo que el resultado que obtenemos es también un resultado aproximado, no exacto. –– Razone con sus estudiantes sobre la utilidad de la estimación para anticipar y comprobar de manera rápida y cualitativa el resultado de operaciones con decimales.

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Recursos

2. Estima un resultado redondeando a las décimas y a las centésimas los números con los que se realiza la operación. Si es necesario, redondea también el resultado a las décimas o a las centésimas.

Actividades Escriba en la pizarra una suma de dos números con tres cifras decimales y pida a los alumnos que la calculen. A continuación, estime la suma aproximando los dos sumandos a las unidades, después a las décimas y, por último, a las centésimas, y comente en común los resultados:

A las décimas

a) 3, 73 + 9, 38

13, 1

b) 24, 6 - 6, 843

17, 8

c) 45, 954 $ 3, 36

156, 4

d) 9, 712 + 10, 93

20, 6

e) 84, 372 - 42, 153 f) 39, 963 $ 14, 116

42, 2 564, 4

A las centésimas

g) 9, 635 + 8, 726

i) 5, 184 $ 8, 612

k) 184, 892 - 37, 467

h) 20, 483 - 4, 027

j) 89, 513 + 11, 687

l) 42, 572 $ 18, 924

18, 37

16, 45

44, 6

101, 2

147, 42

805, 42

3. Resuelve las operaciones combinadas de la actividad 4 de la página 115 redondeando los números a las unidades. Si es necesario, redondea también el resultado a las décimas o a las centésimas.

4. Escribe el número más cercano al resultado exacto del cual estás completa-

–– A qué orden de unidad está aproximada cada suma.

mente seguro que satisface la desigualdad. Explica tu razonamiento.

a) 4, 75 $ 5, 36 1

25, 92

c) 14, 12 $ 10, 25 1

145, 23

b) 8, 25 $ 9, 96 2

81, 18

d) 14, 99 $ 20, 99 2

311, 41

–– Cuál de las aproximaciones da como resultado el número decimal más próximo a la suma exacta.

5. Resuelve los problemas estimando un resultado. a) Nuria está pagando tres facturas de servicios: una de Bs 184,75; otra

Después, puede realizar una actividad similar a partir de una resta y de una multiplicación de un número decimal por un natural, observando que las conclusiones son similares en las tres operaciones.

de Bs 457,5 y la tercera de Bs 291,25. ¿Cuál es aproximadamente su deuda (redondeando a las unidades)? ¿Puede pagarla con 5 billetes de Bs 200? ¿Cuál será aproximadamente su vuelto? Deuda: Bs 934. Sí, puede.

Vuelto: Bs 66.

b) ¿Cuánto debo pagar aproximadamente por unos zapatos de Bs 249,99; cinco pares de medias de Bs 12,74 cada uno y ocho cordones para zapatos de Bs 4,20 cada uno? Redondea a las unidades. Bs 347

c) En una carrera de 800 metros, un atleta corrió los primeros 400 metros en 51,28 segundos, y los segundos 400 metros en 54,51 segundos. ¿Cuál fue su tiempo exacto en la prueba? ¿Cuál fue su tiempo aproximado redondeando los tiempos parciales a las unidades? ¿Y cuál redondeándolos a las décimas de segundo? 105,79 segundos; 106 segundos; 105,8 segundos.

d) Una hoja tamaño carta mide 21, 59 cm # 27, 94 cm. ¿Aproximadamente cuántos centímetros cuadrados de papel hay en un paquete que contiene 500 hojas? Redondea a las unidades. 308 000 cm 2

6. Investiga. Inventa una multiplicación de dos factores cuyo resultado aproximado a las unidades sea mayor que el resultado exacto y cuyo resultado aproximado a las décimas sea menor que el resultado exacto. Por ejemplo: 3, 61 $ 4, 51

7. Investiga. ¿Es posible que el resultado de un proceso de estimación sea igual al resultado exacto? Da una respuesta separada para las adiciones y las multiplicaciones y apoya tu respuesta con ejemplos. Es posible para la adición.

No es posible para la multiplicación.

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Recursos Actividades Comente que calcular una solución aproximada también puede ser muy útil para detectar de forma fácil y rápida que la solución exacta que se ha hallado es errónea (si ambas soluciones son muy diferentes). Señale, no obstante, que la similitud de ambas soluciones no asegura que el resultado sea correcto. Plantee un problema sencillo y escriba en la pizarra tres posibles soluciones (una de ellas correcta), para que los estudiantes realicen mentalmente un cálculo aproximado y digan cuáles son claramente erróneas. Por ejemplo: Ignacio ha comprado 2 poleras a Bs 97,5 cada una y 5 gorras a Bs 31,5 cada una. ¿Cuánto ha pagado en total? Soluciones: Bs 253,5; Bs 352,5; Bs 329,5.

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Anticipar una solución aproximada Antes de encontrar la solución exacta de un problema, hallamos una solución aproximada. La solución aproximada nos da una guía bastante fiable de cuál debe ser la solución exacta. Claudia ha comprado en el supermercado 4 kilos de papas a Bs 4,75 el kilo; 3 kilos de arroz a 7,59 el kilo y 2 kg de pan especial a Bs 12,29 el kilo. ¿Cuánto ha pagado Claudia por su compra? Claudia ha comprado cierta cantidad de kilogramos de tres productos de los cuales conocemos su precio por kilogramo. Tenemos que calcular cuánto ha pagado Claudia por los tres productos. Primero, operando con números naturales, realizaremos un cálculo aproximado del monto que Claudia debe pagar. Después, operando con números decimales, realizaremos un cálculo exacto. Como las operaciones con números naturales son más sencillas, su resultado nos dará una guía para saber si el resultado exacto es razonable. Solución aproximada Redondeamos los precios a las unidades y hallamos el costo aproximado. Papa: Bs 4, 75 _ Bs 5 Arroz: Bs 7, 59 _ Bs 8 Pan: Bs 12, 29 _ Bs 12

^4 $ 5h + ^3 $ 8h + ^2 $ 12h = 20 + 24 + 24 = 68

Claudia ha pagado aproximadamente Bs 68. Solución exacta

^4 $ 4, 75h + ^3 $ 7, 59h + ^2 $ 12, 29h = 19 + 22, 77 + 24, 58 = 66, 35

Claudia ha pagado exactamente Bs 66,35.

La solución exacta es razonable porque es similar a la solución aproximada.

1. Mónica ha comprado un traje por Bs 286,35; unos

3. Para comprar una cámara fotográfica, Juan dio

zapatos por Bs 229,15 y un sombrero por Bs 151,82. ¿Cuánto en total ha pagado Mónica? Bs 667, 32

Bs 475,60 en el primer pago y realizó 3 pagos más de Bs 424,8 cada uno. ¿Cuánto pagó Juan por la cámara? Bs 1 750

2. En una carrera femenina de postas 4 # 400 , la primera corredora marcó un tiempo de 50,35 segundos; la segunda, 51,87 s; la tercera 49,92 s. ¿Cuál es el tiempo máximo que puede utilizar el cuarto relevo si el equipo aspira a romper su marca de 3 minutos y 23 segundos? 50, 86 s

4. Pedro ha comprado 9 cajas de tornillos, cada una a Bs 56,86; 2 cajas de tuercas, a Bs 81,75 cada una y un destornillador eléctrico cuyo precio es de Bs 182,29. ¿Cuánto le ha costado su compra? Bs 857, 53

5. Inventa un problema que se resuelva anticipando una solución aproximada. Individual

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Sugerencias metodológicas Comente con los estudiantes las ventajas del cálculo aproximado y cuándo podemos llevarlo a cabo. Señale que es una aplicación real y práctica del contenido sobre estimaciones con números decimales trabajado en las dos páginas anteriores.

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Tratamiento de la información

Recursos Actividades

Histogramas

Realiza un histograma con los datos del texto. Después, contesta.

En los histogramas se utilizan rectángulos unidos para representar datos agrupados.

En unas pruebas físicas para bombero han clasificado a los aspirantes según su estatura en metros.

1. Observa el histograma, completa la tabla y contesta.

Número de envíos

El histograma muestra la clasificación de las encomiendas por peso realizada en una oficina de correos. 8 6 4 2 0

De 0 a 1

De 1 a 2

De 2 a 3

De 3 a 4

De 4 a 5

Peso (en kg)

Clasificación

Cantidad

De 0 a 1 kg

7

De 1 a 2 kg

6

De 2 a 3 kg

8

De 3 a 4 kg

7

De 4 a 5 kg

5

–– Grupo 1. De 1,60 m a 1,67 m: 6 aspirantes. –– Grupo 2. De 1,67 m a 1,74 m: 27 aspirantes. –– Grupo 3. De 1,74 m a 1,81 m: 30 aspirantes. –– Grupo 4. De 1,81 m a 1,88 m: 21 aspirantes –– Grupo 5. De 1,88 m a 1,95 m: 18 aspirantes

Un envío de 1 kg se clasifica en el grupo de 1 a 2 kg.

a) ¿Cuántos envíos pesan de 3 a 4 kg?

7 envíos.

a) Marta mide 1,69 m y Luis mide 1,74 m. ¿En qué grupo está cada uno de ellos?

b) ¿Cuánto pesan los envíos del grupo más numeroso? De 2 a 3 kg. c) ¿Se puede saber cuántos envíos de 3,5 kg hay? ¿Por qué? d) ¿Por qué las columnas se dibujan unidas?

No.

Porque son rangos.

b) ¿Cuál es el grupo más numeroso? ¿Qué estaturas pueden tener?

2. Observa la tabla, dibuja un histograma y contesta.

Clasificación

Cantidad

De 0 a 5 años

15

De 5 a 10 años

20

De 10 a 15 años

40

De 15 a 20 años

30

De 20 a 25 años

10

Número de alumnos

En la tabla están representados los alumnos de una academia de natación agrupados por edades.

c) Miguel mide 1,90 m. ¿Cuántos aspirantes hay en total en su grupo?

40 30 20

d) ¿Cuántos aspirantes miden 1,74 m de altura o más?

10 0

De 0 a 5

De 5 a 10

De 10 a 15

De 15 a 20

De 20 a 25

Edad

a) Un niño tiene 6 años y otro tiene 10. ¿En qué grupo está cada uno?

De 5 a 10 años ; de 10 a 15 años .

b) ¿Cuántos alumnos tiene el grupo al que pertenecen los niños de 12 años? c) ¿Qué edades pueden tener los alumnos del grupo menos numeroso? d) ¿Cuántos alumnos de la academia tienen 15 o más años? ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

40 alumnos.

20, 21, 22, 23, 24 años.

40 alumnos.

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Sugerencias metodológicas Señale que los histogramas se utilizan cuando los datos están agrupados. Deje claro que no conocemos los datos concretos sino el número de datos que tiene cada grupo. Haga hincapié también en que cada grupo contiene los datos mayores o iguales que el valor inferior que define al grupo y menores que el valor superior (por ejemplo, el valor 3 no está en el grupo de 2 a 3 sino en el grupo de 3 a 4). Muestre las similitudes con los diagramas de barras a la hora de interpretar y representar. Trabaje en común las actividades 1 y 2, despejando las posibles dudas que existan. Proponga (o pida a los estudiantes que lo hagan) otras preguntas de trabajo con la interpretación.

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 1. Hay que aplicar las pautas proporcionadas en la sección Recursos de la página 107. Con esas pautas, los puntos extremos son: a) 57 y 58. b) 44,3 y 44,4 c) 0,85 y 0,86 d) 5 y 5,01

1. Coloca dos números convenientes en las mar-

5. En los siguientes decimales periódicos, identi-

cas de los extremos y ubica el número decimal en la recta.

fica el periodo o el anteperiodo y expresa el número decimal utilizando el arco.

57,6

a) 57,6

57

58 44,35

b) 44,35

44,3

44,4 0,854

c) 0,854

0,86 5,003

5,00

5,01

2. Escribe el número decimal representado en la recta numérica.

c)

33

12,3

12,4

121,655

121,65

121,66

tes números decimales. $ a) 5, 25 21 d) 5, 45 60 4 11 $ 266 e) 2 , 128 b) 2, 24 74 33 125 ! 7 $ c) 0, 15 45 f) 0, 112 37

16

' 14

g) 0, 126 $

35, 857

10,91

i) 5, 375 43 8

!

8, 902

c) 2, 083 + 41, 33

g) 10, 52 - 8, 573

d) 2, 254 + 21, 671

h) 48, 68 - 34, 121

23, 925

75, 66

1, 947

14, 559

nadas.

2, 345 1 2, 354 1 2, 435 1 2, 453

a) 25, 8 - 12, 59 + 36, 04

3, 0079 1 3, 009 1 3, 08 1 3, 082

b) 56, 8 - 21, 34 - 26, 232

10, 004 1 10, 3 1 10, 36 1 10, 364

c) 12, 67 + ^34, 72 - 15, 803h

c) 3,009; 3,08; 3,082; 3,0079

d) 10,364; 10,36; 10,3; 10,004 4. Determina el número decimal equivalente a cada fracción y clasifícalo como exacto, periódico puro o periódico mixto. 1, 0625

b) 21 PM 55 $ 0, 381

0, 96

d) 16 PP 9! 1, 7

e) 14 PM 30 ! 0, 46

g) 7 PP 11$

0, 92

3, 375

f) 23 E 25

18

f) 82, 11 - 6, 45

0, 3 1 0, 30008 1 0, 3007 1 0, 306

c) 32 PP 33$

d) 17, 9

7, 1

9. Resuelve las adiciones y sustracciones combi-

b) 2,453; 2,435; 2,345; 2,354

a) 17 E 16

!

c) 7, 09

b) 15, 35 + 3, 27 43, 413

0, 63

h) 27 E 8

49, 25 9, 228 31, 587

d) 3, 82 + ^6, 47 - 3, 985h + 12, 52

18, 825

10. Calcula el producto. a) 12 $ 2, 845

d) 52, 62 $ 100, 1

b) 3, 44 $ 2, 55

e) 45, 2 $ 0, 525

c) 8, 521 $ 9, 7

f) 451, 02 $ 2, 002

34, 14

8, 772

82, 6537

111

7 h) 0, 035 198

8. Calcula la suma o la resta. e) 44 - 35, 098 a) 14 + 21, 857 18, 62

10,90

a) 0,3; 0,306; 0,3007; 0,30008

122

> ;; ;?

6. Encuentra la fracción generatriz de los siguien-

7, 2

3. Ordena los números de menor a mayor.

122

$

exacto equivalente. ! ! a) 7, 19 b) 15, 9

10,903

d)

'

$

9, 25251 c) 6, 434343f6, 43 g) 9, 25251251f

7. Escribe el número natural o el número decimal 32 12,38

b)

> ;; ;?

330

32,3

a)

!

0, 8928 b) 2, 055555f2, 05 f) 0, 892889288928f

9, 2311 9, 021 h) 9, 231123112311f d) 9, 0212121f

0,85

d) 5,003

'

!

1, 622612 a) 7, 888888f7, 8 e) 1, 62261261f

5 267, 262 23, 73

902, 94204

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Mi desempeño como docente 16. Calcula un resultado aproximado redondeando

11. Calcula el producto. a) 5, 67 $ 10

e) 452, 8242 $ 1 000

b) 5, 67 $ 0, 1

f) 452, 8242 $ 0, 001

c) 0, 772 $ 100

g) 0, 8921 $ 100

d) 0, 772 $ 0, 01

h) 0, 8921 $ 0, 01

56, 7

0, 567

452 824, 2

los números (y si es necesario también el resultado estimado) al orden indicado.

0, 4528242

A las unidades:

b) 16, 09 - 8, 764

89, 21

77, 2

c) 6, 4 $ 3, 54

0, 008921

0, 00772

12. Realiza las operaciones combinadas.

A las décimas:

60, 5116 a) 7, 43 + 5, 8 $ 9, 152 15, 67 b) 65, 2 - 4, 953 $ 10 89, 748 d) ^24, 7 - 16, 39h $ 10, 8

A las centésimas:

13 7

24

Pocas veces.

d) 6, 91 + 13, 897

20, 8

e) 5, 431 - 0, 928

4, 5

f) 4, 28 $ 7, 93

32, 361 c) 3, 5 $ ^6, 43 + 2, 816h

34

g) 3, 075 + 8, 347

11, 43

h) 15, 962 - 11, 653 4, 31

4, 83 e) 5, 63 + 0, 084 $ 100 - 9, 2

f) 8, 5 $ 4, 96 - ^32, 87 + 1, 054h

a) 3, 756 + 9, 28

i) 8, 567 $ 23, 145

8, 236

13. Calculadora. Halla el resultado.

198, 4

17. Cierto día, la temperatura a las 8 de la mañana era de 12,5°C, y a las 12 del mediodía era de 21,3°C. ¿Cuántos grados de diferencia hubo ese día entre el mediodía y la mañana? 8, 8 cC

a) 19, 241 - 6, 993 $ 2, 582 1, 185074 463, 0590333 b) 7, 42 + 8, 55 $ 5, 721 $ 9, 315

c) 145, 21 $ ^67, 123 - 52, 002h 2, 19572041 d) 57, 23 $ 11, 76 - ^6, 002 + 5, 674h

–– Busco que los estudiantes comprendan el significado de las operaciones y no solo que sepan aplicar los algoritmos respectivos.

Siempre. –– Promuevo que los estudiantes expresen sus opiniones, sus razones y sus dudas. Pocas veces. Muchas veces. –– Favorezco la aplicación de las operaciones matemáticas en contextos reales. Pocas veces. Siempre.

661, 3488

14. Redondea cada número al orden indicado. A las unidades:

a) 19, 816 20

b) 25, 057

25

c) 46, 501

47

e) 99, 956

100

f) 74, 093

74, 1

A las décimas:

d) 16, 425

16, 4

A las centésimas:

g) 88, 222

88, 22 h) 72, 808 72, 81 i)

31, 675 31, 68

15. Calculadora. Redondea al orden indicado. 96

b) 65, 273

65

c) 82, 624

83

e) 91, 953

92

f) 57, 678

57, 7

A las décimas:

d) 37, 648

37, 6

A las centésimas:

g) 99, 995 100 h) 32, 471

32, 47i)

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

tomates; 1,56 kg de camotes; 0,758 kg de vainitas; 0,545 kg de arvejas y 0,255 g de uvas. ¿Cuál es el peso total de sus compras? 5, 518 kg

19. Elena ha echado 45 litros de gasolina y Juan

A las unidades:

a) 95, 511

18. En el mercado, Ruth ha comprado 2,4 kg de

34, 815 34, 82

ha echado 9,8 litros menos que Elena. Si cada litro de gasolina cuesta Bs 3,78, ¿cuánto tiene que pagar Juan? Bs 133,06

20. Humberto fue al banco a cambiar $us 235,5 (235,5 dólares americanos) en bolivianos (Bs). Por cada dólar americano le dieron Bs 6,87. ¿Cuántos bolivianos le dieron en total?Bs 1 617, 89

123

123

Sobre las actividades –– Actividad 25. a) Los decimales periódicos y los decimales no exactos y no periódicos tienen infinitas cifras decimales. En los primeros, esas cifras tienen un periodo y, en los segundos, no lo tienen. b) Puro es algo que no tiene mezcla y mixto es algo compuesto por elementos diversos. En los decimales puros, todas las cifras decimales son parte del periodo; en los decimales mixtos, algunas cifras decimales son parte del periodo y otras no. –– Actividad 26. Todas las fracciones equivalentes corresponden a un único número decimal; por tanto, dos fracciones distintas sí pueden ser equivalentes al mismo número decimal. Por otro lado, en ! virtud de la igualdad 0, 9 = 1, también es posible que dos representaciones decimales distintas sean equivalentes a la misma fracción. –– Actividad 27. El producto de dos números decimales puede ser menor que uno de los factores o menor que ambos factores. –– Actividad 29. a) La igualdad es verdadera en virtud de la ! igualdad 0, 9 = 1, b) La igualdad es falsa porque uno de los decimales es periódico y el otro es exacto. c) La igualdad es verdadera, esto puede mostrarse aplicando las reglas para transformar un número decimal en fracción. d) La igualdad es verdadera, esto puede mostrarse aplicando las reglas para transformar un número decimal en fracción.

21. Ayer, Inés dio 3 vueltas en bicicleta a un circui-

26. Pensamiento crítico. ¿Dos fracciones distin-

to de 2,385 km y hoy ha dado 2 vueltas a otro de 4,6 km. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido hoy más que ayer? 2, 045 km

tas pueden ser equivalentes al mismo número decimal? ¿Y dos números decimales distintos pueden ser equivalentes a la misma fracción? ¿Por qué? No

27. Pensamiento crítico. Si multiplicamos dos números naturales distintos de 1, el producto es siempre mayor que los factores. Ahora, cuando multiplicamos dos números decimales, ¿puede ser el producto menor que uno de los factores?, ¿y menor que los dos factores?, ¿por qué? Sí

22. En un ascensor se cargan 5 bolsas de 12,745 kilogramos (kg) cada una. Suben dos personas que pesan 65 kg y 85,7 kg. El ascensor admite 350 kg de carga máxima. ¿Puede subir una persona más que pesa 86,7 kg? Puede subir.

23. Compras 27,5 kg de cemento; 3,4 kg de clavos y 13,7 kg de alambre. ¿Cuánto aproximadamente debes pagar si el kilogramo de cemento cuesta Bs 3,5; el de clavos, Bs 12,4; y el de alambre, Bs 47,8? Haz tu estimación redondeando los pesos y el precio por kilogramo a las unidades. Bs 820

24. En una tienda de juguetes utilizan 0,75 metros de papel para envolver paquetes pequeños; 1,28 m para paquetes medianos y 1,82 m para paquetes grandes. Aproximadamente, ¿cuántos metros de papel utilizarán para envolver 35 paquetes pequeños, 24 medianos y 12 grandes? Haz dos estimaciones, una redondeando los metros de papel a las unidades y, la otra, redondeándolos a las décimas. 83 metros; 80, 8 metros.

25. Matemática y Lenguaje. Piensa y explica. a) ¿Qué característica común tienen los decimales periódicos y los decimales no exactos y no periódicos? ¿En qué se diferencian?

b) ¿Qué significa puro? ¿Qué significa mixto? ¿Por qué se les llama así a ciertos números decimales periódicos? Individual

124

28. Sustituye las letras a, b y c por números de tal modo que se cumplan las relaciones de orden. Que el número a sea un decimal exacto, b un periódico puro y c un periódico mixto.

a) 7,359 1 a 1 b 1 c' 1 7,36$ 1 !

7, 360; 7, 360! ; 7, 3 60

c 2 5, 8 b) 5, 9 2 a 2 b 2 $ ! !

5, 89; 5, 89; 5, 8 9

!

c 1 7,46 c) 7,45 1 a 1 b 1' $

$ 7, 457; 7, 457; 7, 4 57$

d) 82, 54 2 a 2 b 2' c 2 82, 53 ! 82, 536; 82, 532; 82, 53 1

29. Pensamiento crítico. ¿Cuáles de estas igualdades son verdaderas? ¿Cuáles no? ¿Por qué? ! a) 10, 9 = 11 V ! b) 4, 5 = 4, 5555 F ! $ c) 2, 3 = 2, 33 V $ $ d) 3, 17 = 3, 171 V

30. Investiga. Busca un patrón y escribe los decimales equivalentes a las fracciones. 1 = 0, $ 01 99

a) 7

99

$ 0, 07

100 = 1, $ 01 99

d) 104 99

$ 1, 05

5 = 0, $ 05 99

b) 37 99

$ 0, 37

106 = 1, $ 07 99

e) 156 99

$ 1, 57

25 = 0, $ 25 99

c) 92 99

114 = 1, $ 15 99

f) 174 1, $ 75 99

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

–– El producto de dos números decimales puede ser menor que uno de los factores o menor que ambos factores.

124

$ 0, 92

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Valores

Problemas de Matemática y valores

En la actividad se plantea una carrera imaginaria entre ocho plusmarquistas mundiales. Cuando podemos visualizar no solo sus diferencias de tiempo, sino también sus diferencias de distancia, podemos apreciar tanto los enormes progresos que el atletismo ha tenido en 100 años, como también el enorme trabajo que supone establecer una nueva marca mundial.

31. Disciplina. Hasta 1976, las plusmarcas mundiales de la carrera de 100 metros planos incluían una sola cifra decimal, que corresponde a las décimas de segundo. Desde ese año, la IAAF estableció el cronometraje automático hasta las centésimas de segundo. Por entonces, el tiempo más rápido medido de forma completamente electrónica correspondía a los 9,95 s de la carrera de Jim Hines en los juegos olímpicos de México 1968. La siguiente tabla muestra algunas de las plusmarcas mundiales (medidas en segundos) desde 1912 hasta ahora. La velocidad promedio indica cuántos metros recorre el atleta en cada segundo. Año

Atleta y nacionalidad

Plusmarca

Velocidad promedio

1912

Don Lippincott (EE.UU.)

10,6 s

9, 43 m/s

1921

Charlie Paddock (EE.UU.)

10,4 s

9, 62 m/s

1936

Jesse Owens (EE.UU.)

10,2 s

9, 80 m/s

1960

Armin Hary (Alemania)

10,0 s

10, 00 m/s

1968

Jim Hines (EE.UU.)

9,95 s

10, 05 m/s

1991

Carl Lewis (EE.UU.)

9,86 s

10, 14 m/s

1999

Maurice Greene (EE.UU.)

9,79 s

10, 21 m/s

2009

Usain Bolt (Jamaica)

9,58 s

10, 44 m/s

En el deporte y en otros campos de la actividad humana, los logros sobresalientes requieren de talento natural y de constancia y disciplina en el trabajo.

Imagina que los 8 atletas mencionados en la tabla participan en una misma carrera cubriendo los 100 metros en su tiempo de plusmarca.

a) Indica las diferencias de tiempo y distancia de cada uno con respecto a Usain Bolt. Piensa: ¿cuántos segundos después de Bolt llega Greene?, ¿cuántos metros recorre Greene en ese tiempo? Individual

b) Indica las diferencias de tiempo y distancia de cada uno con respecto al atleta que llega inmediatamente antes; por ejemplo, de Lewis con respecto a Greene, de Hines con respecto a Lewis, de Paddock con respecto a Owens, etc. Individual Diferencia en segundos con respecto a Bolt

Diferencia en metros con respecto a Bolt

Diferencia en segundos con respecto al anterior

Greene

0, 21 s

2, 14 m

0, 21 s

2, 14 m

Lewis

0, 28 s

2, 84 m

0, 07 s

0, 7 m

Hines

0, 37 s

3, 72 m

0, 09 s

0, 88 m

Atleta

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Diferencia en metros con respecto al anterior

125

125

Sugerencia de temporalización

7

Agosto

División con números decimales

Valores El efecto invernadero nos permite reflexionar sobre distintos aspectos de la responsabilidad individual y colectiva con el futuro de la vida sobre la Tierra. –– Nos hace ver, en primer lugar, que hemos llegado a un punto en el que la civilización humana puede afectar el destino de todas las especies sobre el planeta. –– Nos muestra que las actividades humanas, aparentemente inofensivas consideradas individualmente, pueden tener consecuencias de gran alcance consideradas en conjunto, es decir, en sus efectos globales. –– Evidencia el grado en el que nuestra ignorancia de los procesos naturales puede ser peligrosa no solo para nosotros mismos, sino para toda la vida sobre la Tierra.

El efecto invernadero

–– Pone en un nuevo contexto el imperativo ético tradicional que nos manda abstenernos de hacer aquello que no podemos querer que todos hagan.

Sin embargo, el aumento de dióxido de carbono en la atmósfera, debido a las actividades humanas, acentúa el efecto invernadero de ese gas y produce un cambio climático tan rápido que es muy difícil que la vida natural, e incluso la civilización humana, puedan adaptarse a él.

La atmósfera de la Tierra está compuesta principalmente por nitrógeno y oxígeno. El dióxido de carbono es solo una pequeña fracción de esa atmósfera, pero al retener la energía térmica que el planeta recibe del Sol, equilibra la temperatura y hace posible la vida.

126

• Se estima que entre 1975 y 2010, la temperatura media de la Tierra ha aumentado aproximadamente 0,53 ºC. Entonces, ¿cuánto ha aumentado la temperatura media por década entre 1975 y 2010? • ¿Sabes cuáles son las actividades humanas que acrecientan la cantidad de dióxido de carbono en la atmósfera?

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Sugerencias metodológicas En Recuerda repase con los estudiantes dos contenidos necesarios para transformar el divisor decimal de algunas divisiones en un número natural: cómo se multiplica un número por la unidad seguida de ceros y los cambios en los términos de una división al multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número.

126

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA Términos y propiedad fundamental de la división

–– Al dividir un número decimal entre un natural, los estudiantes pueden tener dificultad en colocar correctamente la coma en el cociente, especialmente cuando la parte entera del cociente es cero. Plantee varias divisiones en la pizarra (de un decimal entre un natural cuyo cociente tenga una sola cifra entera, siendo cero en algunos casos) para que los estudiantes digan en qué número deben comenzar a dividir.

Los términos de la división son el dividendo, el divisor, el cociente y el resto o residuo. Cuando el resto es cero, la división es exacta; en caso contrario, es entera. La propiedad fundamental de la división sostiene que al multiplicar o dividir el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número. dividendo resto

34 $ 3

102 18 (12) 5

34 6 (4) 5

6$3

divisor cociente

17 3 (2) 5

34 ' 2

4$3

6'2

4'2

–– Al dividir un número entre un decimal, multiplicar correctamente el dividendo (natural o decimal) por el mismo número que el divisor. Repase la multiplicación de números naturales y decimales por 10, 100 y 1 000.

1. Observa la división resuelta y completa la tabla. 546 24 (18) 22

Dividendo

Divisor

Cociente

Resto

546

24

22

18

1 092

48

22

36

1 638

72

22

54

182

8

22

6

91

4

22

3

–– Interpretar correctamente las cifras del residuo. Muestre a los estudiantes cómo analizar las cifras del residuo aplicando la propiedad fundamental de la división.

Multiplicación de un número decimal por la unidad seguida de ceros Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma a la derecha tantos lugares como ceros siguen a la unidad. Si es necesario, se añaden ceros a la derecha. 5, 735 $ 10 = 57, 35

2. Calcula. a) 1, 863 $ 10

31, 54 $ 100 = 3 154

18, 63

2 184

i) 8, 3 $ 1000

4, 1

j) 2, 448 $ 1000

2 448

k) 0, 007 $ 1000

7

443

f) 0, 041 $ 100

c) 0, 52 $ 10

5, 2

g) 0, 0076 $ 100

0, 78

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Vocabulario matemático

e) 21, 84 $ 100

b) 44, 3 $ 10 d) 0, 078 $ 10

0, 93 $ 1000 = 930

h) 9, 231 $ 100

0, 76 923, 1

Cociente

8 300

l) 0, 0425 $ 1000

Dividendo Divisor Estimación

42, 5

Número decimal

127

Número natural Propiedad fundamental de la división Resto o residuo Términos de la división

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127

Más información Puntualizaciones sobre la división de un decimal entre un natural y un natural entre un natural –– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de un número decimal entre un número natural es siempre un número decimal, que puede ser mayor o menor que la unidad.

División de un decimal entre un natural Pedro y Miriam trabajan en un supermercado. Pedro tiene que cortar un queso que pesa 3,456 kg en 3 pedazos del mismo peso. Y Miriam tiene que hacer lo mismo con un queso de 1,263 kg. ¿Cuál será el peso de los pedazos que obtendrán Pedro y Miriam? Pedro

–– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de un número decimal entre un número natural puede ser un decimal exacto o un decimal periódico.

Miriam

Dividimos 3,456 entre 3.

Dividimos 1,263 entre 3.

Dividimos como si fueran números naturales y, al bajar la primera cifra decimal del dividendo, escribimos una coma en el cociente.

Como la parte entera del dividendo es menor que el divisor (1 1 3 ) escribimos 0 y coma en el cociente y seguimos dividiendo 12 entre 3 ...

3,456 3 04 1,152 15 06 (0)

3,456 ' 3

1,263 ' 3

Los pedazos de Pedro tendrán 1,152 kg.

–– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de dos números naturales puede ser un número decimal (mayor o menor que la unidad) o un número natural.

1,263 3 06 0,421 03 (0)

Los pedazos de Miriam tendrán 0,421 kg.

Para dividir un número decimal entre un número natural, se hace la división como si fueran números naturales y, al bajar la primera cifra decimal del dividendo, se pone una coma en el cociente.

–– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de dos números naturales puede ser un decimal exacto o un decimal periódico.

1. Calcula el cociente. Divide hasta que el residuo sea cero. a) 53, 22 ' 3 d) 0, 834 ' 5 g) 8, 891 ' 17

–– Cuando el cociente es un decimal periódico y realizamos la división hasta determinar el periodo, el residuo es igual a cero, aunque de hecho nunca aparecerá un cero en la posición del residuo.

2. Calcula el cociente. Divide hasta que el residuo sea cero.

–– Cuando el cociente es un decimal exacto o un decimal periódico que lo calculamos solo con algunas de todas sus cifras decimales, el residuo debe interpretarse según la cantidad de cifras decimales que hayamos bajado.

Tic División de un decimal entre un natural. Definición de pasos para resolver la división de un decimal entre un natural.

128

17, 74

0, 1668

0, 523

b) 72, 56 ' 8

e) 0, 0798 ' 4

h) 125, 58 ' 23

c) 5, 496 ' 6

f) 62, 808 ' 12

i) 0, 13696 ' 32

0, 01995

9, 07

0, 916

5, 234

5, 46

0, 00428

En el dividendo, después de la coma, podemos colocar la cantidad de ceros que sea necesaria.

Para hallar el cociente decimal de la división entre dos números naturales, escribimos el dividendo natural como un número decimal y aplicamos la misma regla de la división de un decimal entre un natural. 45,00 12 30,000 48 9 0 3,75 1 20 0,625 60 240 (0) (0)

a) 63 ' 14 b) 108 ' 45

4, 5 2, 4

c) 3 010 ' 56

53, 75

d) 5 ' 16

0, 3125

e) 42 ' 48 f) 40 ' 128

128

0, 875 0, 3125

g) 315 ' 112 h) 51 ' 75 i) 21 ' 320

2, 8125

0, 68 0, 065625 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Plantee varias divisiones con números naturales, tanto exactas como enteras, para comprobar que los estudiantes manejan bien el algoritmo de la división, antes de operar con números decimales. –– Plantee el problema inicial y escriba las dos divisiones en la pizarra. Explique cómo se calcula la primera, llamando la atención de los estudiantes al bajar el 4 del dividendo y escribir la coma en el cociente. Realice a continuación la segunda división explicando por qué escribimos cero y coma en el cociente.

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Recursos

3. Calcula el cociente con el número de cifras decimales indicado y determina el resto que corresponde a ese cociente.

Actividades

El cociente puede tener muchas cifras decimales: una cantidad finita, si es un decimal exacto; una cantidad infinita, si es un decimal periódico. En estos casos, podemos calcular el cociente con un cierto número de cifras decimales. •

Escribimos el dividendo con el número de cifras decimales que queremos obtener en el cociente.

•

Interpretamos el resto según la cantidad de cifras decimales escritas en el dividendo. Con 3 cifras decimales

Comente con los estudiantes que a veces, al realizar compras, para comparar el precio de un artículo con otro, tenemos que averiguar el precio de la unidad. Pídales que resuelvan problemas similares a estos:

Con 4 cifras decimales

74,000 35 12,3400 14 40 2,114 1 14 0,8814 50 20 150 60 (10) r = 0, 01 (4) r = 0, 0004

a) 43, 5 ' 8

d) 26, 42 ' 6

(2 c.d.)

5, 43 ; 0, 06

b) 41 ' 74

0, 55 ; 0, 3

(2 c.d.)

c) 8, 15 ' 16

(3 c.d.)

4, 403 ; 0, 002

(3 c.d.)

(4 c.d.)

2, 5308 ; 0, 0016

e) 32 ' 57

(3 c.d.)

h) 81 ' 14

f) 84 ' 26

(3 c.d.)

i) 4, 571 ' 54

0, 561 ; 0, 023

0, 509 ; 0, 006

g) 58, 21 ' 23

–– Un paquete de 6 flanes cuesta Bs 21,62 y otro paquete de 8 flanes cuesta Bs 28,08. ¿En cuál de los dos paquetes sale más barato cada flan? –– Una marca vende los paquetes de 4 yogures a Bs 7,6 y los de 12 yogures a Bs 20,4. ¿Cuánto ahorras por cada yogur si decides comprar paquetes de 12 yogures?

(4 c.d.)

5, 7857 ; 0, 0002

3, 230 ; 0, 02

(4 c.d.)

0, 0846 ; 0, 0026

4. Calcula el cociente (un decimal periódico). Si en el cociente una cifra o un grupo de cifras se repite, el cociente es un decimal periódico cuyo periodo está formado por las cifras que se repiten. Si determinamos el decimal periódico del cociente, el residuo es cero.

a) 21 ' 27 b) 5, 2 ' 3

! 0, 7

! 1, 73

c) 8 ' 15 d) 4, 7 ' 6

! 0, 53

! 0, 783

21,50000 11 10 5 1,95454 60 50 60 50 6

e) 98 ' 55 f)

$ 1, 781

$ 29, 3 ' 33 0, 887

$ 21, 5 ' 11 = 1, 954 y r = 0

g) 62 ' 37

Para ayudar a pensar –– Actividad 6. ¿Por qué el cociente (con residuo igual a 0) de la división entre un decimal y un natural no puede ser un número natural (ver la actividad 6)? La razón es simple: si el residuo es 0, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, y el producto de dos números naturales no podría ser igual a un número decimal.

' 1, 675

h) 12, 29 ' 99

$ 0, 1241

5. Resuelve los problemas. a) Antonio compró 25 mandarinas en Bs 18. ¿Cuánto pagó por cada mandarina? Bs 0, 72.

b) Un atleta dio 12 vueltas a la pista del estadio en 14,3 minutos. En promedio, ¿en cuántos minutos dio una vuelta? Expresa el resultado con 2 cifras decimales. 1, 19 minutos.

c) En un banco, Laura compró 120 dólares en Bs 829,2. ¿Cuál era la cotización del dólar cuando Laura realizó su compra? Bs 6, 91.

6. Pensamiento crítico. ¿El cociente de la división entre un dividendo decimal y un divisor natural puede ser un natural? ¿Por qué? No

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–– Comente con los estudiantes la importancia de comprender y aprender bien cada procedimiento trabajado, porque es necesario para abordar sin dificultades los siguientes.

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129

Más información Puntualizaciones sobre la división de un natural entre un decimal –– La estrategia para dividir un número natural entre un número decimal es una expresión de la estrategia que consiste en reducir un problema a otro problema cuyo método de solución conocemos. En este caso, la división de un natural entre un decimal se reduce a la división de un natural entre un natural. –– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de un número natural entre un número decimal puede ser un número natural o un número decimal mayor o menor que la unidad.

División de un natural entre un decimal Un automóvil viaja de una ciudad a otra recorriendo 396 kilómetros en 4,8 horas (4 horas y 48 minutos). ¿Con qué velocidad hizo el viaje? Si en promedio ese automóvil consume 16,5 litros de gasolina por kilómetro, ¿cuántos litros de gasolina utilizó? Para calcular la velocidad, dividimos 396 entre 4,8. Convertimos el divisor en un número natural. Para ello, multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

El automóvil viajó con una velocidad de 82,5 kilómetros por hora Para calcular los litros utilizados, dividimos 396 entre 16,5.

–– Cuando el cociente es un decimal exacto o un decimal periódico que lo calculamos solo con algunas de todas sus cifras decimales, el residuo debe interpretarse según la cantidad de cifras decimales que hayamos bajado y aplicando la propiedad fundamental de la división.

Tic División de un natural entre un decimal. Ejercicios con divisiones exactas y enteras.

130

3960 165 660 24 (0)

396 ' 16, 5 _ 3960 ' 165

El automóvil consumió 24 litros de gasolina en su viaje.

–– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de un número natural entre un número decimal puede ser un decimal exacto o un decimal periódico. –– Cuando el cociente es un decimal periódico y realizamos la división hasta determinar el periodo, el residuo es igual a cero, aunque de hecho nunca aparecerá un cero en la posición del residuo.

3960,0 48 120 82, 5 24 0 (0)

396 ' 4, 8 _ 3 960 ' 48

Para dividir un número natural entre un número decimal, se multiplican ambos números por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor; después, dividimos los números naturales que hemos obtenido. El cociente puede ser un número decimal o un número natural.

1. Calcula el cociente natural. d) 450 ' 2, 25 200 a) 30 ' 1, 2 25 b) 44 ' 2, 75

16

e) 2 015 ' 0, 62

c) 910 ' 2, 8

325

f) 91 ' 0, 104

2. Calcula el cociente decimal. a) 207 ' 9, 2 22, 5 d) 3 ' 4, 8 b) 7 ' 17, 5

0, 4

c) 168 ' 6, 4

26, 25

130

875

0, 625

e) 45 ' 2, 4 f) 5 ' 6, 4

3 250

18, 75

0, 78125

g) 2 015 ' 0, 65

3 100

h) 61 ' 0, 008

7 625

i) 42 ' 0, 025

1 680

g) 35 ' 1, 6

21, 875

h) 1 ' 1, 28

0, 78125

i) 68 ' 2, 56

26, 5625

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Sugerencias metodológicas Lea el problema y escriba las divisiones. Comente que no podemos calcularlas así porque el divisor es un número decimal y explique cómo se transforma en otra división con divisor natural. Recuerde que, al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho número.

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Recursos

3. Calcula el cociente con el número de cifras decimales indicado. 1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

45 ' 2, 3 _ 450 ' 23 _ 450, 000 ' 23

3.º Dividimos como dos números naturales.

d) 8 ' 17, 2

(2 c.d.)

b) 12 ' 18, 9 c) 23 ' 1, 24

14, 02 (2 c.d.)

e) 73 ' 5, 3

(3 c.d.)

f) 7 ' 5, 23

0, 63

18, 548

(3 c.d.)

g) 74 ' 3, 25

(4 c.d.)

(3 c.d.)

h) 3 ' 6, 487

(4 c.d.)

(3 c.d.)

i) 3 ' 5, 612

(4 c.d.)

0, 465

13, 773 1, 338

–– En la actividad 6a pienso: si el dividendo es menor que el divisor, el cociente es un número menor que la unidad. Un número natural es igual o mayor que la unidad. Entonces, si el cociente es un número natural no es posible que el dividendo sea menor que el divisor.

450,000 23 220 19,565 13 0 1 50 120 (5)

2.º Escribimos el nuevo dividendo con la cantidad de cifras decimales que deseamos obtener en el cociente.

a) 94 ' 6, 7

Para ayudar a pensar

Con 3 cifras decimales

22, 7692 0, 4624

0, 5345

–– En la actividad 6b pienso: el residuo de la división 450 ' 23 es 0,005; pero la división original es 45 ' 2, 3. Entonces, como hemos multiplicado el dividendo y el divisor por 10, el residuo también se ha multiplicado por 10. Por lo tanto, en virtud de la propiedad fundamental de la división, el residuo que corresponde a la división 45 ' 2, 3 es 0, 005 ' 10 = 0, 0005. Podemos comprobarlo así:

4. Calcula el cociente (un decimal periódico).

9 ' 5, 5 _ 90 ' 55

a) 14 ' 4, 2 b) 76 ' 4, 5

90,0000 55 35 0 1,6363 2 00 350 200 35

! 3, 3 ! 16, 8

$ c) 15 ' 1, 1 13, 63

$ 9 ' 5, 5 = 1, 63

' 6, 216 $ 0, 7954 ' 0, 740

d) 46 ' 7, 4

g) 53 ' 2, 7

e) 7 ' 8, 8

h) 19 ' 4, 8

f) 4 ' 5, 4

i) 6 ' 14, 8

' 19, 629

! 3, 9583 ' 0, 405

5. Resuelve los problemas. a) ¿Cuántas botellas de 2,5 litros de capacidad necesitamos para embo-

45 - ^2, 3 $ 19, 565h = 0, 0005

tellar 6 843 litros de agua? 2 737 botellas; sobra 0, 2 litros de agua.

b) ¿Qué automóvil es más rápido? Uno que recorre 350 kilómetros en 4,75 horas o uno que recorre 245 kilómetros en 3,25 horas. El que recorre 245 km en 3, 25 h.

c) ¿Cuántas libras hay en 1 kilogramo (1 000 gramos) si una libra es igual a 453,59 gramos? 2, 2 libras.

6. Pensamiento crítico. Piensa y responde. a) Si dividimos un natural entre un decimal y el cociente es un número natural, ¿es posible que el dividendo sea menor que el divisor?, ¿por qué? No

b) ¿Cuál es el residuo de la división desarrollada en el ejemplo de la actividad 3? Pista: aplica la propiedad fundamental de la división que hemos recordado en la página 127. 0, 005

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

131

131

Más información Puntualizaciones sobre la división de un decimal entre un decimal –– Aplicamos la estrategia de reducir un problema cuyo método de solución desconocemos a un problema cuyo método de solución conocemos. En este caso, la división de un decimal entre un decimal se reduce a la división de un natural entre un natural o un decimal entre un natural –– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de un número decimal entre un número decimal puede ser un número natural o un número decimal mayor o menor que la unidad. –– El cociente (con residuo igual a 0) de la división de un número decimal entre un número decimal puede ser un decimal exacto o un decimal periódico. –– Cuando el cociente es un decimal periódico y realizamos la división hasta determinar el periodo, el residuo es igual a cero, aunque de hecho nunca aparecerá un cero en la posición del residuo. –– Cuando el cociente es un decimal exacto o un decimal periódico que lo calculamos solo con algunas de todas sus cifras decimales, el residuo debe interpretarse según la cantidad de cifras decimales que hayamos bajado y aplicando la propiedad fundamental de la división.

Tic División de un decimal entre un decimal. Ejercicios para establecer la relación entre divisiones y sus cocientes sin realizar operaciones.

132

División de un decimal entre un decimal En una carrera de 5 000 metros, los atletas dan 12,5 vueltas a la pista de 400 metros. En una competencia, el ganador hizo un tiempo de 12 minutos y 59,25 segundos (779,25 segundos) y el segundo empleó un tiempo de 13 minutos y 7,5 segundos (787,5 segundos). En promedio, ¿cuántos segundos empleó cada corredor en una vuelta? El tiempo por vuelta del ganador: dividimos 779,25 entre 12,5. Convertimos el divisor en un número natural. Para ello, multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. 7792,50 125 292 62, 34 779, 25 ' 12, 5 _ 7 792, 5 ' 125 42 5 5 00 (0)

El dividendo de la división obtenida puede ser un número natural o uno decimal ... ... el divisor siempre será un número natural.

El ganador empleó, en promedio, 62,34 segundos en 1 vuelta. El tiempo por vuelta del otro corredor: dividimos 787,5 entre 12,5. 787, 5 ' 12, 5 _ 7 875 ' 125

7875 125 375 63 (0)

El otro atleta empleó, en promedio, 63 segundos en 1 vuelta. Para dividir un número decimal entre un número decimal, se multiplican ambos números por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor; después, realizamos la división entre los números obtenidos. El cociente puede ser un número decimal o un número natural.

1. Calcula el cociente natural. a) 44, 2 ' 2, 6 17 d) 100, 2 ' 8, 35 b) 111, 75 ' 7, 45 c) 341, 6 ' 42, 7

15 8

e) 110, 5 ' 4, 25 f) 54, 6 ' 0, 65

2. Calcula el cociente decimal. a) 42, 2 ' 0.5 84, 4 d) 27, 51 ' 3, 5

12

g) 4, 608 ' 0, 072

26

h) 2, 87 ' 0, 035

64 82

84

i) 700, 53 ' 12, 29

7, 86

g) 24, 64 ' 35, 2

0, 7

b) 135, 51 ' 5, 7

23, 77

e) 6, 944 ' 5, 6

1, 24

h) 0, 5502 ' 6, 55

c) 95, 85 ' 21, 3

4, 5

f) 51, 03 ' 8, 4

6, 075

i) 20, 5408 ' 3, 92

132

57

0, 084 5, 24

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Sugerencias metodológicas Lea el problema propuesto y escriba las divisiones en la pizarra. Pida a los estudiantes que observen los divisores, haga notar que son números decimales y pregunte qué debemos hacer y cómo. Muestre la aplicación de la estrategia ya usada anteriormente y comente los dos tipos de divisiones que resultan. Pregunte cómo son el dividendo y el divisor de las nuevas divisiones, comente que ya saben realizarlas y resuélvalas de forma colectiva, pidiendo a los estudiantes que expliquen cada paso realizado. Destaque el hecho de que el cociente de una división entre números decimales puede ser tanto un número decimal como un número natural.

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Recursos

3. Calcula el cociente con el número de cifras decimales indicado. 1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor.

Con 3 cifras decimales

3.º Dividimos los números obtenidos.

b) 89, 2 ' 1, 7

(2 c.d.) 1, 45

(2 c.d.) 52, 47

c) 56, 21 ' 5, 8 d) 2, 9 ' 10, 5

En la actividad 7 pienso: el residuo de la división 720 ' 138 es 0,054; pero la división original es 7, 2 ' 1, 38. Entonces, como hemos multiplicado el dividendo y el divisor por 100, el residuo también se ha multiplicado por 100. Por lo tanto, en virtud de la propiedad fundamental de la división, el residuo que corresponde a la división 7, 2 ' 1, 38 es 0, 054 ' 100 = 0, 00054. Podemos comprobarlo así:

720, 000 138 30 0 5,217 2 40 1 020 (54)

2.º Escribimos el nuevo dividendo con la cantidad de cifras decimales que deseamos obtener en el cociente.

a) 24, 4 ' 16, 8

Para ayudar a pensar

7, 2 ' 1, 38 _ 720 ' 138 _ 720, 000 ' 138

(3 c.d.) 9, 691 e) 24, 9 ' 8, 4 (4 c.d.) 2, 9642

(3 c.d.) 0, 276

f) 2, 6 ' 1, 92

(4 c.d.) 1, 3541

4. Calcula el cociente (un decimal periódico).

14, 2 ' 6, 6 _ 142 ' 66

a) 2, 5 ' 3, 3

142,0000 66 10 0 2,1515 3 40 100 340 10

$ 0, 75

d) 56, 8 ' 7, 4

b) 9, 8 ' 1, 8 5, !4

$ c) 94, 2 ' 2, 2 42, 81

e) 2, 8 ' 2, 7

$ 14, 2 ' 6, 6 = 2, 15

' 7, 675 ' 1, 037

f) 4, 28 ' 6, 6

g) 82, 6 ' 3, 3

$ 25, 03

7, 2 - ^1, 38 $ 5, 217h = 0, 00054

h) 3, 4 ' 7, 5 0, 453!

$ 0, 648

i) 0, 9 ' 8, 8

Actividades

$ 0, 10227

Resuelve los siguientes problemas.

5. Une las casillas (una verde y otra azul) que tienen el mismo cociente. 8, 75 ' 0, 03

0, 875 ' 0, 03

87, 5 ' 0, 003

87, 5 ' 0, 03

0, 875 ' 0, 3

8, 75 ' 3

87, 5 ' 3

875 ' 3

8 750 ' 3

87 500 ' 3

a) La velocidad del sonido en el aire es de 343 metros por segundo. Nicolás y Sandra se encuentran separados a 200 metros de distancia. Si Sandra llama a Nicolás, ¿cuánto tiempo transcurre desde que Sandra habla hasta que Nicolás la escucha?

6. Resuelve los problemas. a) Enrique ha comprado 3,2 kg de carne de pollo y ha pagado Bs 47,2. ¿Cuánto le ha costado el kilo de pollo? Bs 14, 75

b) En una carrera de 1 000 metros, hay que dar 2,5 vueltas a la pista de 400 metros. Si un atleta corrió 1 000 metros en 135,72 segundos, ¿en cuántos segundos, en promedio, dio cada vuelta? 54, 288 segundos.

b) Un taxista cobró Bs 19,5 por llevar a un grupo de amigos. Si cada uno pagó Bs 6,5, ¿cuántos amigos tomaron la carrera?

c) Para viajar a España, Catalina compró 350,8 euros con 442,7096 dólares americanos. ¿Cuál es el precio en dólares de 1 euro? ¿Cuál es el precio en euros de 1 dólar? Euro = 1, 262 dólares ; dólar = 0, 7923 euros.

7. Pensamiento crítico. ¿Cuáles son los residuos de las divisiones de la actividad 3? 0, 04; 0, 001; 0, 0022; 0, 002 ; 0, 00072; 0, 000128.

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133

c) En un rifa se sortea un televisor que ha costado Bs 1 687,5. El precio de cada boleto es de Bs 2,5. ¿Cuántos boletos se deberá vender para obtener Bs 980 de ganancia?

Tic Cocientes decimales. Ejercicios para relacionar divisiones con sus cocientes.

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Cálculo mental para hallar cocientes

Más información Conversión de unidades Para cambiar las unidades con las que expresamos una medida de longitud, masa o capacidad, podemos utilizar el siguiente esquema que hace uso de la multiplicación por, y la división entre, la unidad seguida de ceros. Longitud (kilómetro, metro, centímetro, milímetro) # 1 000

# 100

m

km ' 1 000

Gabriel, Carolina, Rolando y Humberto saben que algunas divisiones con decimales son muy fáciles de realizar mentalmente. •

Para hallar el cociente, simplemente mueve la coma decimal hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tenga el divisor.

71 ' 10 = 71, 0 ' 10 = 7, 1 71, 3 ' 10 = 7, 13 •

cm

# 1 000

mm ' 10

# 1 000

kg

2, 86 ' 0, 1 = 2, 86 $ 10 = 28, 6

' 1 000

# 1 000

g ' 1 000

mg

# 1000 ' 1000



•

' 1000

Rolando divide entre el número decimal 0,5. 21 ' 0, 5 = 21 $ 2 = 42

4, 7 ' 0, 5 = 4, 7 $ 2 = 9, 4

5, 28 ' 0, 5 = 5, 28 $ 2 = 10, 56

ml

En la aplicación de estos esquemas son muy útiles las estrategias de cálculo mental.

2, 86 ' 0, 01 = 2, 86 $ 100 = 286

Para hallar el cociente, simplemente multiplica el número por 2.

' 1 000

# 1000

71, 3 ' 1 000 = 0, 0713

2, 86 ' 0, 001 = 2, 86 $ 1 000 = 2 860

Capacidad (kilolitro, litro, mililitro)

kl

71, 3 ' 100 = 0, 713

Carolina divide entre números decimales que acaban en 1 y cuyas otras cifras son todas 0.

Masa (tonelada, kilogramo, gramo, miligramo)

t

71 ' 100 = 71, 0 ' 100 = 0, 71

Para hallar el cociente, simplemente multiplica el número por la unidad seguida de tantos ceros como ceros haya en el divisor decimal.

# 10

' 100

Gabriel divide entre la unidad seguida de ceros.

•

Humberto divide entre el número decimal 0,25. Para hallar el cociente, simplemente multiplica el número por 4.

39 ' 0, 25 = 39 $ 4 = 156

2, 3 ' 0, 25 = 2, 3 $ 4 = 9, 2

5, 12 ' 0, 25 = 5, 12 $ 4 = 20, 48 •

Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma a la izquierda tantos lugares como ceros siguen a la unidad. Si es necesario, se añaden ceros a la izquierda.

•

Para dividir un número entre un número decimal que acaba en 1 y cuyas otras cifras son todas 0, se multiplica el número por la unidad seguida de tantos ceros como ceros tenga el divisor decimal.

•

Para hallar el cociente de un número dividido entre 0,5; se multiplica el número por 2.

•

Para hallar el cociente de un número dividido entre 0,25; se multiplica el número por 4.

134

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Sugerencias metodológicas Justifique las reglas de cálculo mental mediante operaciones con fracciones. Exprese 0,1; 0,01; 0,001; 0,5 y 0,25 como fracciones y aplique la regla para multiplicar un número por una fracción.

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Recursos

1. Calcula mentalmente. 45, 62 a) 456, 2 ' 10 _________

0, 402 e) 40, 2 ' 100 __________

0, 8045 i) 804, 5 ' 1000 ________

0, 71 b) 7, 1 ' 10 ____________

7, 525 f) 752, 5 ' 100 _________

0, 0369 j) 36, 9 ' 1 000 _________

Para ayudar a pensar

29, 2 c) 292 ' 10 ___________

0, 0147 g) 1, 47 ' 100 __________

0, 042 k) 42 ' 1000 ___________

0, 085 d) 0, 85 ' 10 __________

0, 94 h) 94 ' 100 ____________

5, 3782 l) 5378, 2 ' 1 000 _______

2. Calcula mentalmente. 2 267 a) 226, 7 ' 0, 1 _________

700, 4 e) 7, 004 ' 0, 01 _________

932 900 i) 932, 9 ' 0, 001 ________

En la actividad 7 pienso: ¿qué ocurre cuando el dividendo y el divisor son menores que la unidad? Veamos algunos casos:

0, 56 b) 0, 056 ' 0, 1 _________

5 f) 0, 05 ' 0, 01 __________

71 800 j) 71, 8 ' 0, 001 _________

672 c) 67, 2 ' 0, 1 __________

378, 3 g) 3, 783 ' 0, 01 _________

341 k) 0, 341 ' 0, 001 ________

9, 5 d) 0, 95 ' 0, 1 __________

4 477 h) 44, 77 ' 0, 01 _________

2 376, 4 l) 2, 3764 ' 0, 001 _______

3. Calcula mentalmente. 9, 8 a) 4, 9 ' 0, 5 ___________

3, 66 c) 1, 83 ' 0, 5 ___________

145 e) 72, 5 ' 0, 5 ___________

0, 74 b) 0, 37 ' 0, 5 __________

24, 8 d) 12, 4 ' 0, 5 ___________

64, 14 f) 32, 07 ' 0, 5 __________

4. Calcula mentalmente. 20, 8 a) 5, 2 ' 0, 25 ___________ 1, 32 b) 0, 33 ' 0, 25 _________

20, 6 c) 5, 15 ' 0, 25 _________

282, 8 e) 70, 7 ' 0, 25 __________

124, 4 d) 31, 1 ' 0, 25 _________

56, 48 f) 14, 12 ' 0, 25 _________

0, 2 1 0, 4 0, 2 ' 0, 4 = 0, 5 0, 5 2 0, 2 En uno de los casos, el dividendo es mayor que el divisor; en el otro caso, es menor; pero en ambos casos el cociente es mayor que el dividendo.

5. Resuelve los problemas. a) Si un quintal tiene exactamente 45,359237 kg, ¿cuántos kilogramos

¿Qué ocurre cuando el dividendo y el divisor son mayores que la unidad? Veamos algunos casos:

exactamente hay en 1 000 quintales? 45 359,24 kg.

b) En 0,5 segundos, ¿cuántas décimas de segundo hay?, ¿cuántas centésimas?, ¿cuántas milésimas?

5 décimas; 50 centésimas; 500 milésimas.

c) Una máquina produce una galleta cada décima de segundo. ¿Cuántas

1, 6 2 1, 5

galletas produce en 67,5 segundos? 675 galletas.

! 1, 6 ' 1, 5 = 1, 0 6 ! 1, 0 6 1 1, 6

d) Si compro un paquete de té en Bs 24,5; ¿con cuántas monedas de 50 centavos tendría que pagar el precio?, ¿y con cuántas monedas de 10 centavos? 49 monedas de 50 ctvs; 245 monedas de 10 ctvs.

1, 6 1 1, 8

! 1, 6 ' 1, 8 = 0, 8 ! 0, 8 1 1, 6

e) Si una computadora necesita la cuarta parte de un minuto para descargar un archivo de música, ¿cuántos archivos puede descargar en 56 minutos? 224 archivos.

6. Pensamiento crítico. A Patricia le enseñaron que “6 ' 3 = 2 ” significa que

En uno de los casos, el dividendo es mayor que el divisor; en el otro caso, es menor; pero en ambos casos el cociente es menor que el dividendo.

si repartimos 6 entre 3, a cada uno le toca 2. Ella está extrañada por la división 3, 5 ' 0, 5 = 7 ; se pregunta: “¿Cómo puedo repartir 3,5 y dar 7?”. ¿Puedes explicarle el significado de 3, 5 ' 0, 5 = 7 ? Individual

7. Pensamiento crítico. Si un dividendo decimal es mayor que 1 y el divisor decimal es también mayor que 1, ¿es necesariamente el cociente menor que el dividendo?, ¿por qué? Sí

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

0, 6 2 0, 2 0, 6 ' 0, 2 = 3 3 2 0, 6

135

Podemos conjeturar que si el dividendo y el divisor son decimales mayores que 1, el cociente será siempre menor que el dividendo.

Tic Cálculo mental. Ejercicios de división, suma y resta combinadas.

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135

Más información Puntualizaciones sobre los métodos de estimación de cocientes –– El propósito de la estimación es encontrar una solución aproximada simplificando el cálculo que debemos realizar. Como un cálculo puede simplificarse de distintas maneras, los métodos de estimación son diversos, también lo son las aplicaciones de un mismo método y los resultados aproximados que obtenemos.

Estimación de cocientes Ruth y David recibieron su factura de teléfono por llamadas nacionales de larga distancia. La factura indica que deben Bs 120,85 por 67,52 minutos. ¿Cuál es el precio aproximado de un minuto? Ruth y David tienen que estimar el cociente de la división 120, 85 ' 67, 52. •

–– El método de números compatibles es más apropiado para realizar un cálculo mental. El divisor se aproxima a un número natural, puede ser por el método del redondeo, pero no necesariamente; por ejemplo, podemos aproximar el divisor 9,2 simplemente a 10. Cuando aproximamos el divisor a un número natural, podemos aproximarlo al orden que nos parezca más conveniente; por ejemplo, podemos aproximar el divisor 28,7 a la unidad (y tenemos 29) o podemos aproximarlo a la decena (y tenemos 30).

La división usual es: 120, 85 ' 67, 52 = 1, 7898...

Redondea los números decimales a números naturales: 120, 85 _ 121

67, 52 _ 68

Divide los números naturales: 121, 00 68 53 0 1, 77 5 40 64

Ruth calcula que el precio es de Bs 1,77 aproximadamente. •

–– En las estimaciones basadas en el método del redondeo podemos redondear el dividendo y el divisor al orden que consideremos más conveniente. Cuando los redondeamos a números naturales, podemos redondearlos al mismo orden o a ordenes diferentes. Por ejemplo: 146 ' 9 145, 7 ' 9, 2 _ *150 ' 9 100 ' 9

Ruth busca un resultado aproximado simplificando, por redondeo, la operación que tiene que realizar.

David busca un resultado aproximado utilizando el método de números compatibles. 1.º Sustituye el divisor por la decena más cercana: La decena más cercana a 67,52 es 70: 67, 52 _ 70 2.º Busca múltiplos de 7 y sustituye el dividendo por el valor más próximo relacionado con uno de sus múltiplos: x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x$7

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

120, 85 _ 140 3.º Realiza la división entre los números encontrados: 140 ' 70 = 2

David calcula que el precio es de Bs 2 aproximadamente. Podemos comparar ambos resultados con el de la división usual: 120, 85 ' 67, 52 = 1, 7898... •

Estimar un cociente significa hallar un cociente aproximado.

•

Podemos estimar un cociente redondeando el dividendo y el divisor a números naturales.

•

También podemos estimar un cociente sustituyendo el dividendo y el divisor por números compatibles. Dos números son compatibles cuando resulta fácil dividirlos mentalmente.

•

El primer método es más preciso y el segundo es más rápido.

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Sugerencias metodológicas –– Explique los dos métodos con detenimiento y muestre que ambos métodos pueden aplicarse de más de una manera a la misma operación, arrojando resultados distintos en cada aplicación. Indique que esta posibilidad no constituye un defecto del proceso de estimación, y que es el contexto real en el que estimamos el que nos dice cuál es el método mejor y la mejor manera de aplicarlo. –– Haga notar que el método de estimación por redondeo no siempre consigue simplificar la operación hasta el punto en que sea fácil realizarla mentalmente. Por esta razón, el método de números compatibles responde más fielmente al propósito de la estimación.

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1. Estima el cociente redondeando a números naturales. a) 84, 2 ' 5, 4 16, 8 d) 135, 5 ' 11, 9311, 33 g) 423, 31 ' 32, 72 b) 4, 71 ' 24, 5

0, 2

c) 94, 52 ' 16, 5

5, 58

Recursos 12, 81

e) 23, 6 ' 70, 19 0, 34 h) 521, 09 ' 124, 5

4, 16

f) 47, 4 ' 172, 39 0, 27 i) 103, 9 ' 833, 57

0, 12

Para ayudar a pensar Actividad 7 Si realizamos las divisiones exactas: ! 24, 8 ' 3, 7 = 6, 702 31, 5 ' 4, 8 = 6, 5625 concluimos que es más conveniente comprar 24,8 kg en Bs 3,7.

2. Estima el cociente utilizando el método de números compatibles (redondea el divisor a la unidad).

a) 28, 5 ' 3, 2

c) 95, 6 ' 5, 88

9

b) 76, 34 ' 5, 3

16

d) 174, 2 ' 13, 8

15

12

e) 344, 1 ' 24, 6

14

f) 423, 34 ' 32, 71

13

3. Pensamiento crítico. ¿Se puede utilizar el método de números compatibles para estimar el cociente de una divisón en la que el dividendo es menor que el divisor? ¿Por qué? No

Si estimamos por redondeo:

4. El cociente exacto de las siguientes divisiones es un número decimal. Calcu-

24, 8 ' 3, 7 _ 25 ' 4 = 6, 25 31, 5 ' 4, 8 _ 32 ' 5 = 6, 4

la un cociente natural aproximado con el método de números compatibles. 4 172 ' 68 _ *

68

a la decena más próxima

4 172

70

a un número compatible con 70

4 200

concluimos que es más conveniente comprar 31,5 kg en Bs 4,8.

4 _ 4 200 ' 70 = 60

a) 721 ' 81

9

c) 6 440 ' 53

130

e) 82445 ' 732

110

b) 358 ' 45

8

d) 4 271 ' 28

140

f) 44 229 ' 137

320

Si estimamos por números compatibles: 24, 8 ' 3, 7 _ 24 ' 4 = 6 31, 5 ' 4, 8 _ 30 ' 5 = 6

5. Encuentra una respuesta aproximada utilizando ambos métodos. a) En atletismo, la marca mundial de la milla es de 3 minutos y 43,13

concluimos que da lo mismo cualquier oferta.

segundos. En promedio, ¿cuál es la velocidad (en metros por segundo) ; 7 m que corresponde a esta marca? ^1 milla = 1 609, 344 metrosh . 7, 21 m s s

Vemos que los métodos de estimación pueden conducir a conclusiones distintas entre sí y distintas de la conclusión que resulta de realizar un cálculo exacto.

b) Cierto día de abril de 2012, el boliviano y el peso chileno se cotizaban de la siguiente manera respecto del dólar estadounidense: 1 $us = 6, 91 bolivianos 1 $us = 491,44 pesos chilenos

70, 14 pesos chilenos;

¿Cuántos pesos chilenos son iguales a un boliviano? 70 pesos chilenos.

c) Un auto utilizó 18,57 litros de gasolina en un viaje de 286,4 kilómetros.

km ; 15 km En promedio, ¿cuántos kilómetros recorrió con cada litro? 15, 05 litro litro

Actividad 8

6. Pensamiento crítico. ¿Qué es más conveniente?, ¿comprar 24,8 kg en Bs 3,7 o comprar 31,5 kg en Bs 4,8? ¿Qué conclusión obtienes haciendo la división exacta? ¿Y estimando con ambos métodos? ¿Qué conclusión general sacas? Por la división exacta conviene más comprar 31, 5 kg en Bs 4, 8. Por estimación ambos son iguales.

7. Investiga. Plantea un método para estimar el cociente cuando el divisor es menor que 1. Con ese método estima el cociente de: Individual

a) 37, 3 ' 0, 04

b) 694, 2 ' 0, 12

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

c) 12, 671 ' 0, 004

Un método simple consiste en multiplicar el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Con la nueva división obtenida aplicamos el método de números compatibles.

137

137

Más información Ecuaciones y las relaciones entre las operaciones La estrategia que se presenta en esta página equivale al planteamiento y solución de una ecuación. Para resolver ecuaciones, se aplica la llamada regla de transposición de términos; esta regla está lógicamente relacionada con las propiedades de las operaciones. Por tanto, aunque los estudiantes de 6.º curso no conozcan la regla de transposición, pueden razonar sobre expresiones similares a ecuaciones aplicando las relaciones entre las operaciones: a + b = c ( (a = c - b b = c-a a - b = c ( (a = c + b b = a-c a $ b = c ( (a = c ' b b = c'a

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Representar datos desconocidos con símbolos Representamos con un símbolo el dato desconocido de un problema. Utilizamos el símbolo para plantear operaciones y para resolverlas. De este modo, encontramos una solución y la comprobamos. En las dos clases de 6.º recogieron alimentos para una campaña solidaria. En 6.º B recogieron 9 kg más que en 6.ºA y entre las dos clases recogieron 71 kg de alimentos. ¿Cuántos kilos recogieron en cada clase? Las dos clases recogieron 71 kg en total: una cierta cantidad en 6.ºA y 9 kg más que esa cantidad en 6.ºB. Tenemos que averiguar cuántos kilogramos recogieron en cada clase. Simbolizaremos con Z la cantidad de kilogramos recogida en 6.º A y utilizaremos ese símbolo para plantear y resolver operaciones. Escribimos los datos del problema: Kilos que recogieron en 6.º A = Z









Kilos que recogieron en 6.º B = Z + 9

Expresamos la condición del problema y calculamos razonando mediante el significado de las operaciones:

Z +Z+ 9 = 71 2 $ Z+ 9 = 71 2 $ Z = 71 - 9 = 62 Z = 62 ' 2 = 31 Encontramos la solución: Kilos que recogieron en 6.º A = Z = 31 Kilos que recogieron en 6.º B = Z + 9 = 31 + 9 = 40 La condición del problema:

Calculamos:

Comprobamos la solución: 31 + 40 = 71 kg

1. Clara contesta a las 10 preguntas de un examen. Responde bien 8 pre-

Recursos Actividades Después de trabajar los problemas de esta página, proponga a los estudiantes que los resuelvan representando con un símbolo el otro dato desconocido y que comprueben que obtienen el mismo resultado.

guntas más de las que responde mal. ¿Cuántas preguntas responde bien y cuántas mal? Mal = Z . Bien = 9 ; mal = 1.

2. María ha comprado un disco y un libro. El disco le ha costado Bs 30,5 menos que el libro y por los dos ha pagado Bs 154,5. ¿Cuánto ha pagado por cada artículo? Libro = Z . Libro = Bs 92, 5 ; disco = Bs 62.

3. Juan ha construido la maqueta de un dragón. La cola mide 10 cm más que el cuerpo y la longitud total es 40 cm. ¿Cuánto mide la cola? ¿Y el cuerpo? Cuerpo = Z . Cuerpo = 15 cm ; cola = 25 cm.

4. Inventa un problema que se pueda resolver representando los datos desconocidos con símbolos. Individual

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Sugerencias metodológicas –– Lea el problema del ejemplo y comente que no sabemos el número de kilos que recogieron en 6.º A, pero podemos representarlo con un símbolo y expresar también con ese símbolo los kilos que recogieron en 6.º B, y la relación entre ellos. Explique el proceso seguido para resolver el problema comentando que operamos con el símbolo como si fuera un número. –– La resolución de estos problemas ayuda al estudiante a expresar de forma simbólica datos reales y relacionarlos mediante operaciones matemáticas, base para el estudio posterior del álgebra.

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Taller de Matemática

Más información Algunos cocientes interesantes

El cociente de una división y la calculadora de Windows

1 ' 19 = > ;;;;;;;;;;;;;; ? = 0, 052631578947368421

1. Comprende los fundamentos de este taller. •

El cociente de una división puede ser un número natural, un decimal exacto o un decimal periódico. $ 3, 4 ' 1 , 7 = 2 4 ' 1, 6 = 2, 5 5 ' 2, 2 = 2, 27

•

Un cociente igual a un decimal exacto puede tener muchas cifras decimales, tantas que es posible que una calculadora científica corriente no pueda mostrarlas todas.

5 ' 23 = > ;;;;;;;;;;;;;;;;; ? = 0, 2173913043478260869565

Recursos

2, 4177 ' 32, 768 = 0, 0737823486328125 •

•

Un cociente igual a un decimal periódico tiene infinitas cifras decimales y, dependiendo del divisor, el periodo puede tener muchas cifras, tantas que es posible que una calculadora científica corriente no nos permita identificar el periodo. > ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;; ? 3 ' 1, 7 = 1, 7647058823529411

Juego Puede proponer a los estudiantes que, utilizando la calculadora de Windows, juegen a:

La calculadora científica del sistema operativo Windows puede mostrar 32 cifras decimales, lo que permite identificar más facilmente los decimales exactos de muchas cifras, los periodos de muchas cifras de algunos decimales periódicos puros y/o los anteperiodos de muchas cifras de algunos decimales periódicos mixtos.

–– Quién encuentra el cociente que sea un decimal exacto con la mayor cantidad de cifras decimales. –– Quién encuentra el cociente que sea un decimal periódico puro con el periodo que tenga más cifras.

2. Utiliza la calculadora científica de Windows para identificar el cociente. Divisiones cuyo cociente es un decimal exacto de muchas cifras.

a) 12, 2 ' 16, 384

b) 4 316, 2 ' 3 276, 8

0, 74462890625

1, 31719970703125

c) 1, 4 ' 229, 376 0, 006103515625

–– Quién encuentra el cociente que sea un decimal periódico mixto con el anteperiodo que tenga más cifras.

Divisiones cuyo cociente es un decimal periódico con un periodo de muchas cifras y/o un anteperiodo de muchas cifras

d) 2 ' 21, 504

e) 5, 6 ' 2, 3

> ;;;; ? dh 0, 0930059523809

f) 3 ' 430, 08

g) 21, 49 ' 4, 3

3. Investiga. En las siguientes divisiones entre números naturales, a ' b , el

Es posible que al principio los estudiantes utilicen una estrategia errática de ensayo y error, pero con el tiempo algunos pueden descubrir una pauta que conduzca al tipo de resultado buscado.

cociente es un decimal periódico puro. Con la calculadora de Windows, halla el cociente, indica la cantidad de cifras del periodo y verifica que el periodo no puede tener más de b - 1 cifras.

a) 5 ' 7

c) 8 ' 17

e) 5 ' 23

b) 6 >';;;; 13 ?

d) 20 ' 21

f) 12 ' 14

ah 0, 714285; 6 cifras.

4. Investiga. Busca una división tal que la calculadora de Windows no permita identificar si el cociente es un decimal exacto o un decimal periódico. Individual

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Sugerencias metodológicas Recuerde a los estudiantes que un periodo es una cifra o un conjunto de cifras que se repiten sin fin. Por lo general, es suficiente identificar las primeras cifras del periodo para darse cuenta de que un cierto conjunto de cifras empezará a repetirse.

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Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 13. En la multiplicación con números decimales se cumple la misma relación que en la multiplicación con números naturales: a $ b = c ( (a = c ' b b = c'a –– Actividad 21. La operación es: 68 ' 8 = 8, 5. –– Actividad 22. La operación es: 10, 2 ' 12 = 0, 85. –– Actividad 23. La operación es: 2, 8 ' 0, 35 = 8. –– Actividad 24. La operación es: 0, 369 ' 41 = 0, 009. –– Actividad 25. La operación es:

^0, 86 + 0, 45 + 0, 3 h ' 7 = = 0, 23

–– Actividad 26. Luis ha comprado el kilogramo en: 115, 2 ' 3, 2 = Bs 36 Su hermana ha comprado el kilogramo en: 87, 6 ' 2, 4 = Bs 36, 5 –– Actividad 27. La operación es:

^18, 2 - 2, 7h ' 25 = 0, 62

–– Actividad 28. La operación es:

^100 - 17, 72h ' 3, 74 = 22

1. Calcula el cociente en las siguientes divisiones de residuo cero.

a) 8, 68 ' 7

1, 24

b) 34, 2 ' 24

1, 425

c) 46, 41 ' 35

1, 326

d) 433, 2 ' 48

9, 025

2. Calcula el cociente en las siguientes divisiones de residuo cero.

a) 119 ' 28

4, 25

c) 165 ' 176

b) 49 ' 112

0, 4375

d) 1485 ' 192

0, 9375 7, 734375

3. Calcula el cociente con 3 cifras decimales e indica el residuo.

a) 89 ' 34

c) 78, 9 ' 23

b) 56 ' 245

d) 56.8 ' 87

2, 617; 0, 022

3, 430; 0, 01

b) 51, 36 ' 11

! 13, 64 $ 4, 6690

c) 25, 6 ' 36 d) 62, 7 ' 72

! 0, 71

! 0, 87083

5. Calcula el cociente (un número natural). a) 910 ' 3, 25

280

b) 189 ' 0, 504

375

12, 52

c) 5 642 ' 1, 24

4 550

d) 33 300 ' 0, 37

90 000

a) 87 ' 1, 16

75

c) 153 ' 27, 2

5, 625

b) 31 ' 77, 5

0, 4

d) 29 ' 185, 6

0, 15625

7. Calcula el cociente con 3 cifras decimales e in-

a) 37, 2 ' 5, 9

c) 5, 4 ' 56, 4

b) 56, 12 ' 7, 1

d) 12, 252 ' 14, 3

6, 305; 0, 0005

0, 095; 0, 042

7, 904; 0, 0016

0, 856; 0, 0112

12. Calcula el cociente (un decimal periódico). !

c) 0, 76 ' 2, 25 0, 337

b) 56, 4 ' 14, 8

d) 3 ' 1, 65

' 3, 810

c) 45 ' 9, 7

b) 2, 6 ' 9, 7

d) 9, 01 ' 21, 7

b)

= 181, 024 45, 256 $ 4, 8 = 1329, 6 277

c) 2, 09 $ d)

= 21, 527 10, 3

$ 7, 53 = 421, 68 56

14. Calcula mentalmente. a) 77, 2 ' 10 7, 72

c) 0, 734 ' 0, 1

i) 9 939, 3 ' 1000

d) 46, 1 ' 0, 1

j) 0, 867 ' 1000

e) 32, 55 ' 100

k) 19, 41 ' 0, 001

f) 0, 221 ' 100

l) 0, 0027 ' 0, 001

100, 4

9, 9393

7, 34

0, 000867

461

19, 410

0, 3255

a) 27, 6 ' 0, 5

b) 0, 099 ' 0, 5

8. Calcula el cociente (un decimal periódico). b) 84 ' 7, 7

d) 19 ' 26, 4

$ 10, 90

$ 0, 896 $ 0, 7196

a) 129, 6 ' 5, 4 24

c) 252, 9 ' 5, 62

45

b) 110, 2 ' 3, 8

d) 366, 7 ' 3, 86

95

140

2, 7

c) 3, 07 ' 0, 5

55, 2 0, 198 6, 14

d) 0, 025 ' 0, 25 e) 4, 03 ' 0, 25

16, 12

f) 32, 5 ' 0, 25

130

16. Estima el cociente redondeando a números na-

a) 98, 7 ' 6, 3

c) 214, 5 ' 14, 5

b) 3, 5 ' 28, 1

d) 7, 3 ' 122, 4

16, 5

0, 14

14, 33

0, 05

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Aproveche el problema inicial para que los alumnos comenten situaciones en las que es necesario un cálculo exacto y otras en las que es más práctico uno aproximado. –– Haga ver a los alumnos que al estimar aproximamos los términos de la operación al orden más adecuado (o al indicado), por lo que el resultado que obtenemos es también un resultado aproximado, no exacto. –– Razone con sus estudiantes sobre la utilidad de la estimación para anticipar y comprobar de manera rápida y cualitativa el resultado de operaciones con decimales.

140

0, 1

turales (expresa el cociente hasta con 2 cifras decimales).

9. Calcula el cociente (un número natural). 29

7, 3

h) 1, 004 ' 0, 01

0, 415; 0, 0045

c) 74 ' 82, 5

g) 0, 073 ' 0, 01

b) 0, 089 ' 10

4, 639; 0, 0017

a) 36 ' 2, 75 13, $ 09

$ 1, 81

15. Calcula mentalmente.

a) 42 ' 1, 9

!

a) 15, 2 ' 3, 6 4, 2

0, 00221

dica el residuo.

0, 268; 0, 0004

0, 625

dica el residuo.

0, 0089

6. Calcula el cociente (un decimal exacto).

22, 105; 0, 0005

d) 17 ' 27, 2

11. Calcula el cociente con 3 cifras decimales e in-

a) 4 $

4. Calcula el cociente (un decimal periódico). a) 245, 6 ' 18

b) 45, 072 ' 3, 6

0, 28

13. Halla el factor que falta en cada caso.

0, 652; 0, 076

0, 228; 0, 14

10. Calcula el cociente (un decimal exacto). a) 72, 9 ' 6, 48 11, 25 c) 2, 17 ' 7, 75

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Mi desempeño como docente 17. Estima el cociente utilizando el método de números compatibles.

es el precio de un solo huevo?

a) 72, 62 ' 5, 91

12

d) 841, 5 ' 22, 6

b) 162, 1 ' 10, 3

16

e) 733, 1 ' 21

36

f) 5 622 ' 34

150

c) 1 874 ' 14

22. Una docena de huevos cuesta Bs 10,2. ¿Cuál

130

Bs 0, 85.

40

Pocas veces.

18. Calculadora. Realiza las divisiones de las dos actividades anteriores. Indica el cociente hasta la tercera cifra decimal. Individual

19. Calculadora. Realiza las divisiones y encuentra el decimal periódico que constituye el cociente. ' 7, 6621 $ b) 752, 2 ' 8, 8 85, 47727 ! c) 38, 6 ' 4, 8 8, 0416

a) 28, 35 ' 3, 7

> ;;; ? 0, 52032 > ;;;; ? 0, 307692

d) 12, 8 ' 24, 6 e) 1, 2 ' 3, 9

f) 10, 2 ' 14, 8

' 0, 6891

20. Realiza las operaciones combinadas respetando la jerarquía de operaciones.

Primero se opera dentro de los paréntesis en el orden indicado. Las operaciones de la misma jerarquía se realizan en orden, de izquierda a derecha.

b) 15, 2 $ 9, 45 ' 10

ta un tablón de 2,8 m en repisas de 0,35 m. ¿Cuántas repisas obtiene? 8 repisas.

24. En un laboratorio obtuvieron 0,369 kilogramos de un compuesto y lo tienen que repartir en partes iguales en 41 probetas. ¿Cuántos kilogramos de compuesto pondrán en cada probeta?

7, 58

Siempre. –– Favorezco la aplicación de las operaciones matemáticas en contextos reales. Pocas veces. Muchas veces.

0, 009 kg

25. Pedro preparó un zumo con 0,86 litros de zumo de manzana, 0,45 litros de fresa y 0,3 litros de uva. Luego lo repartió en 7 vasos iguales. ¿Cuántos litros de zumo hay en cada vaso?

26. Luis ha comprado 3,2 kg de pasas en Bs 115,2;

2.º Adiciones y sustracciones.

a) 6, 38 + 4, 56 ' 3, 8

23. José está construyendo una estantería. Cor-

0, 23 litros.

1.º Multiplicaciones y divisiones.

–– Busco que los estudiantes comprendan el significado de las operaciones y no solo que sepan aplicar los algoritmos respectivos.

su hermana, 2,4 kg en Bs 87,6. ¿Quién ha comprado a mejor precio? Luis.

–– Ayudo a razonar a los estudiantes en las actividades de pensamiento crítico e investigación. Pocas veces. Muchas veces.

27. Una caja que contiene 25 bolsas de café pesa 18,2 kilogramos. Si todas las bolsas pesan lo mismo y la caja vacía pesa 2,7 kilogramos, ¿cuál es el peso de cada bolsa? 0, 62 kg

14, 364

c) 40, 48 ' ^12, 4 - 9, 87h

d) 5, 03 $ 6, 5 - 0, 6 ' 0, 03

16 12, 695

e) ^21 - 16, 3h ' ^74, 82 + 25, 18h f) 60, 188 ' ^5, 9 + 1, 44h $ 3, 07

g) 9, 657 + 7, 614 ' ^3, 1 - 2, 92h

0, 047

25, 174 51, 957

h) ^0, 82 + 0, 76h ' ^13, 2 - 12, 805h

4

21. En una huerta han recogido 68 kg de limones y los han repartido en 8 cestas de manera que todas pesan lo mismo y no sobra ningún limón. ¿Cuánto pesa cada cesta? 8, 5 kg

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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28. Javier cargó gasolina en su automóvil. La factura electrónica indica que pagó con un billete de Bs 100 y que su cambio es de Bs 17,72. El litro de gasolina cuesta Bs 3,74. ¿Cuántos litros cargó Javier? 22 litros.

141

141

Sobre las actividades –– Actividad 29. La operación es:

^5 $ 4, 26 + 2 $ 7, 8h ' 7 . 5, 3

–– Actividad 30. La operación es: 105 $ 35, 5 + ^240 - 105 h $ $ 18, 2 = 6 184, 5

–– Actividad 31. En la primera oferta, el precio de 1 g es:

9, 84 ' ^12 $ 62, 3h = 0, 01316

En la segunda oferta, el precio de 1 g es:

21, 2 ' ^24 $ 71, 5h = 0, 01235

29. Sebastián corre 4,26 km cada día de lunes a

33. Investiga. En cada caso, a partir de la división

viernes y 7,8 km cada día del fin de semana. En promedio, ¿cuántos kilómetros corre cada día de la semana? (Redondea la respuesta a una sola cifra decimal). 5, 3 km

dada calcula mentalmente el cociente de las otras divisiones.

30. A una función de circo asistieron 240 personas: 105 eran adultos y el resto eran niños. La entrada de los adultos costaba Bs 35,5 y la de los niños, Bs 18,2. Expresa la recaudación con una operación combinada e indica cuánto se recaudó en la función. Bs 6 184, 5

En la segunda oferta 1 g de huevo es más barato.

–– Actividad 34. El cociente de la división de un decimal entre un decimal puede ser un número natural, pero no puede ocurrir eso si el dividendo es menor que el divisor. Es así porque el producto de un natural por un número decimal siempre será mayor que el número decimal.

División dada: 32, 96 ' 8 = 4, 12

a) 3, 296 ' 8

0, 412

c) 3 296 ' 8

b) 329, 6 ' 8

41, 2

d) 0, 3296 ' 8

412

$ División dada: 45, 34 ' 1, 1 = 41, 218

e) 4, 534 ' 1,$1

0, 0412

g) 4 534 ' 1, 1 4 121, 8

4, 1218

f) 453, 4 ' 1,$1

h) 0, 4534 ' 1,$ 1

i) 460 ' ' 2, 7

k) 4 600 ' 2, 7 '

' División dada: 0, 46 ' 2, 7 = 0, 1703 412, 18

j)

0, 41218

1 703, 703

170, 3703 0, 46 '' 27 0, 01703

l) 4, 6 ' 0,' 27

$ División dada: 2, 52 ' 8, 8 = 0, 2863

17, 03703

m) 25, 2 ' 0, 88 $ 31. En un supermercado, 1 docena de huevos medianos con un peso promedio de 62,3 gramos cuesta Bs 9,84. Dos docenas de huevos grandes con un peso promedio de 71,5 gramos cuestan Bs 21,2. ¿En qué oferta el mismo peso de huevos es más barato? Huevos grandes.

32. Matemática y Lenguaje. Piensa y responde sin necesidad de resolver las divisiones.

a) Un atleta da 3,75 vueltas a la pista del estadio en 3,6 minutos. ¿Qué indica el resultado de la división 3, 75 ' 3, 6 ? ¿Y qué indica el resultado de la división 3, 6 ' 3, 75 ? Las vueltas por cada minuto.

Minutos por cada vuelta.

b) Una persona compró 3,5 libras de tomates en Bs 12,3. ¿Qué indica el resultado de la división 3, 5 ' 12, 3 ? ¿Y qué indica el resultado de la división 12, 3 ' 3, 5 ? Las libras por cada Bs.

Los Bs por cada libra.

c) En Bolivia compro 1 dólar estadounidense con Bs 6,94 y en Chile compro el mismo dólar con 492 pesos chilenos. ¿Qué indica el resultado de la división 6, 94 ' 492 ? ¿Y qué indica el resultado de la división 492 ' 6, 94 ? Los Bs por cada peso chileno.

ñ) 25, 2 ' 8,$ 8 2, 863

28, 63 n) 2, 52 ' 88 $ 0, 02863

o) 0, 252 ' 0, 88 $ 0, 2863

34. Pensamiento crítico. El cociente de una división de dos números decimales, con el dividendo menor que el divisor, ¿puede ser un número natural?, ¿por qué? No

35. Investiga. Busca un ejemplo de cada una de las siguientes divisiones con residuo igual a cero. No repitas ninguno de los ejemplos o ejercicios dados en esta unidad. Individual Dividendo

Divisor

Cociente

a) Decimal exacto

Natural

Decimal exacto

b) Natural

Natural

Decimal exacto

c) Natural

Natural

Decimal periódico

d) Decimal exacto

Natural

Decimal periódico

e) Natural

Decimal exacto

Natural

f) Natural

Decimal exacto

Decimal exacto

g) Natural

Decimal exacto

Decimal periódico

h) Decimal exacto

Decimal exacto

Natural

i) Decimal exacto

Decimal exacto

Decimal exacto

j) Decimal exacto

Decimal exacto

Decimal periódico

Los pesos chilenos por cada Bs.

142

142

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Valores

Problemas de Matemática y valores

El problema del calentamiento global nos obliga a pensar en la responsabilidad y la solidaridad desde una nueva perspectiva. ¿Qué podemos hacer individual y colectivamente para evitar que ese problema se agrave?, ¿en qué grado es cada persona responsable de aquel?, ¿qué podemos hacer pensando en el futuro de la vida sobre la Tierra?

36. Responsabilidad y solidaridad. En las ciudades grandes, miles de personas necesitan moverse diariamente largas distancias para ir a sus trabajos, regresar a sus casas y realizar sus actividades cotidianas. Al utilizar un automóvil contribuimos, en mayor o menor grado, al problema del calentamiento global porque, al quemar combustible para generar energía, los automóviles producen dióxido de carbono (CO 2) , uno de los principales gases de efecto invernadero responsables de aquel problema. Un transporte público eficiente y la disposición de las personas a utilizarlo contribuirían a disminuir las emisiones de CO 2 .

a) Los motores a gasolina producen alrededor de 2,3 kg de CO2 por litro y los motores a diésel 2,6 kg. Si en promedio un automóvil utiliza 1 litro de combustible por cada 16 kilómetros, ¿cuántos kilogramos de CO2 por kilómetro emite un automóvil a gasolina?, ¿cuántos uno a diésel?

Las actividades de esta página se pueden relacionar con el concepto de huella de carbono, concepto referido a la cantidad de gases de efecto invernadero (GEI), particularmente dióxido de carbono, que produce una organización, un evento, un producto o una persona.

Gasolina:0, 14375 kg de CO 2 Diésel: 0, 1625 kg de CO 2

b) [Con los resultados de la actividad anterior] Si una persona recorre diariamente 16 kilómetros en su automóvil particular para ir a su trabajo y regresar de él, ¿cuántos kilogramos de CO2 emite a la atmósfera en 1 año (supón que cada mes tiene 21 días laborables)? Gasolina:579,6 kg de CO 2

Algunas de nuestras actividades, como ir de un lugar a otro en automóvil, son una fuente directa de GEI, pero otras actividades son una fuente indirecta, pues aunque ellas en sí mismas no implican la producción de GEI, suponen alguna otra actividad, como el desmonte de tierras, en las que esos gases se producen.

Diésel: 655,2 kg de CO 2

c) Supongamos que, por las especiales condiciones del tráfico en una ciudad, los automóviles a gasolina utilizan 1 litro por cada 13 kilómetros y los a diésel, 1 litro por cada 11,5 km. ¿Cuántos kilogramos de CO2 por kilómetro emiten los dos tipos de automóvil? Redondea los resultados a las milésimas de kilogramo. Gasolina:0, 177 kg de CO 2 Diésel: 0, 226 kg de CO 2

d) [Con los resultados de la actividad anterior] Supón que 25 personas necesitan recorrer diariamente 12 kilómetros (cada una) para ir a su trabajo y regresar a su casa. Si utilizaran un bus de transporte público a diésel, ¿cuántos kilogramos de CO2 emitirían conjuntamente en 1 mes (1 mes = 21 días laborables)?, ¿y cuántos kilogramos de CO2 emitirían conjuntamente si utilizaran sus automóviles particulares? Transporte público: 56, 952 kg de CO 2

Auto particular: 1 115, 1 kg de CO 2

e) [Con los resultados de la actividad anterior] ¿Cuántos kilogramos de CO2 emite mensualmente en promedio cada persona cuando utiliza el bus de transporte público? ¿Cuántos cuando utiliza su auto particular? Transporte público: 2, 278 kg de CO 2 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Auto particular: 44, 604 kg de CO 2

143

Los automóviles que utilizan combustibles fósiles son una de las mayores fuentes de emisión de dióxido de carbono. Por esta razón, en la Declaración de las Ciudades Verdes, firmada el año 2005 por los alcaldes de varias ciudades del mundo, se acuerda ampliar y mejorar los servicios de transporte público y disminuir la utilización de automóviles de uso individual.

143

Repaso acumulativo 2 1. ¿Cuál debe ser el valor de x para que las frac-

7. Calcula el cociente y exprésalo con una frac-

ciones sean equivalentes? 10

ción irreducible o un número mixto.

3

a) 12 = x 18 15

b) x = 21 4 28

c) 7 = 56 x 64

a) 7 ' 1 12

8

2. Encuentra la fracción equivalente irreducible. a) 54

b) 22

27

2

55 5

74 37

c) 27

d) 84

3

7

b) 34 49

Reducible

Irreducible

c) 26 91

Reducible

Irreducible

a) 5 y 9

b) 4 y 7

c) 3 y 3

25 ; 27 30 30

48 ; 49 84 84

42 ; 15 70 70

10

7

12

5

fracción irreducible o un número mixto. 23 28

b) 9 - 5 10 12

29 60

32 3

g) 6 + 4 1 7 2

5 5 14

i) 6 + 3 - 1 10 5 4

19 20

j) 7 + 1 5 + 7 6 8

9 17 24

11 1 4

4

85 9

31 9

f) 12 ' 2 1

4

3

5

2 15

18

8 15

l) 6 1 - 5 4 3 5

a) 3 + 4 $ 5 5 7 8

c) 6 $ ` 2 + 4 j 10 5 15

67 70

2 5

d) 7 ' ` 3 + 5 j $ 1 8 4 8 7

1 1 60

9. Escribe los números de las marcas extremas y ubica el decimal en la recta.

17,8

17

18

10,10

10,20 21,234

Opera de forma independiente las partes enteras y las partes fraccionarias:

k) 5 8 + 2 2 9 3

c) 9 1 ' 3

b) 10,15

d) 7 - 8

e) 8 + 3 1

1 8 11

5

10,15

h) 3 1 - 3 2 34 2 4

61 9

e) 7 3 ' 4 2

a) 17,8

f) 5 2 - 2 3

c) 6 + 3 3 25 15 9

33 4

b) 3 - 2 + 1 ' 3 4 5 2 4

14

5. Suma y resta. Expresa el resultado con una a) 2 + 4 8 7

5 32 35

9

sa el resultado con una fracción irreducible o un número mixto.

d) 15 94

4. Reduce a común denominador. 6

5

8. Resuelve las operaciones combinadas y expre-

3. ¿Qué fracciones son irreducibles? a) 27 57

d) 4 3 ' 7

11 6

b) 3 ' 12

15

108 9

45 5

2

c) 21,234

21,240

21,230

10. Escribe el número decimal representado. 15,7

a)

15

16 14,06

b)

14

14,1 23,458

6. Calcula el producto y exprésalo con una fracción irreducible o un número mixto.

a) 6 $ 7

3

14 8 8

b) 5 $ 3 $ 9 24

d) 2 5 $ 3 6

7 81 2

1 5 18

f) 2 1 $ 3 3

83 4

10 9

3

6 10 15 20

c) 8 $ 21

e) 2 3 $ 5 3

4

g) 4 $ 2 5 $ 9

6 10

h) 1 7 $ 3 $ 2 5 8

6

c)

23,45

11. Determina el número decimal equivalente a cada fracción y clasifícalo como exacto, periódico puro o periódico mixto.

10 1 5 15 15 16

a) 11

16 E

0, 6875

b) 14

33$PP 0, 42

144

144

23,46

c) 24

PM 0, 436

55 $

d) 18

30

E

e) 5

PM 0, 083

60 $

f) 14

0, 6

21!

PP

0, 6

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

1 11

12. Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales. $ a) 2, 24 56 c) 1, 15 38 25 33 $ ! b) 0, 12 4 d) 0, 13 2 33

15

19. Calcula el cociente con tres cifras decimales e

$ 701

e) 2, 124 f) 1, 324

330 331 250

13. Calcula la suma o la resta.

2 451, 2

4, 2528

60, 354 b) 4, 2 $ ^9, 3 + 5, 07h

! 2, 816 ! 0, 383 $ 2, 18 $ 0, 90

21. Calcula mentalmente. a) 45.21 ' 10 4, 521

e) 42 ' 2, 16 ! 19, 4

f) 24, 2 '>54 , 2? ;;; 0, 44649

g) 6, 7 ' 1, 5! 4, 46

h) 8, 5 ' 8,$ 8

los números (y si es necesario también el resultado estimado) al orden indicado. A las unidades: a) 12, 2 + 1, 8 + 2, 52 17

A las décimas: b) 7, 83 - 1, 29 $ 1, 25

6, 11

A las centésimas: c) 2, 962 $ 3, 655 - 2, 182 8, 6536

17. Calcula el decimal exacto que es el cociente de las siguientes divisiones.

e) 81, 5 ' 1000

0, 0815

b) 7, 25 ' 0, 1

f) 1, 9999 ' 0, 001

c) 1, 673 ' 100

g) 14, 9 ' 0, 5

d) 5, 9 ' 0, 01

h) 17, 6 ' 0, 25

1 999, 9

29, 8

590

16. Calcula un resultado aproximado redondeando

70, 4

22. Estima el cociente utilizando el método de números compatibles (redondea el divisor a la unidad).

a) 94, 3 ' 8, 67

10

c) 245, 8 ' 9, 5

b) 142, 9 ' 5, 2

28

d) 165, 99 ' 6, 99

25 24

23. Esteban pintó, primero, dos quintas partes de una pared y, después, pintó dos octavos. ¿Qué fracción de la pared ha pintado en total? 13 20

24. Un automóvil recorre 243,7 km el primer día,

a) 5, 8 ' 8

0, 725

e) 57 ' 1, 6

b) 16, 7 $ 4

66, 8

f) 2 ' 6, 4

35, 625 0, 3125

g) 1, 2 ' 1, 28 h) 8, 5 ' 1, 6

0, 9375

5, 3125

18. Calcula el número natural que es el cociente de las siguientes divisiones. 16

0, 624; 0, 0032

0, 01673

7, 333 a) 2, 15 + 3, 65 $ 1, 42

b) 12 ' 0, 75

1, 194; 0, 0124

72, 5

15. Realiza las operaciones combinadas.

36

0, 987; 0, 0106

0, 96590

4, 51

h) 4 252, 8 $ 0, 001

a) 9 ' 0, 25

h) 9, 8 ' 15, 7

d) 30 ' 33

47, 8

d) 2, 34 $ 3, 12

1, 40625

d) 12 ' 19

c) 24 ' 11

g) 2, 4512 $ 1000

d) 45 ' 32

g) 18, 4 ' 15, 4

4, 736; 0, 0016

0, 342; 0, 012

b) 4, 6 ' 12

c) 6, 25 $ 14

0, 4375

c) 24 ' 13

a) 16, 9 ' 6

f) 45, 1 $ 0, 1

c) 7 ' 16

f) 16 ' 16, 2

de las siguientes divisiones.

b) 1, 25 $ 3, 02

7, 3008

b) 4, 8 ' 14

20. Calcula el decimal periódico que es el cociente

e) 4, 78 $ 10

87, 5

e) 9 ' 1, 9

1, 771; 0, 003

0, 631; 0, 011

14. Calcula el producto. a) 9 $ 8, 21 3, 775

a) 12, 4 ' 7

1, 846; 0, 002

a) 15, 88 + 45, 02 60, 9 b) 56, 47 - 6, 08 50, 39 c) 7, 4 - 2, 79 + 8, 03 12, 64 d) 10, 2 - 1, 08 - 3, 009 6, 111

73, 89

indica el residuo.

c) 8, 4 ' 2, 1

4

247,9 km el segundo día y 220,5 km el tercer día. ¿Cuánto le falta recorrer para completar una distancia de 800 km? 87, 9 km

25. Sonia retira la cuarta parte de los litros de agua que hay en un recipiente; luego, Susana retira la cuarta parte de lo que queda. Si en el recipiente quedan 24 litros, ¿cuántos litros de agua había inicialmente? 42 2 litros. 3

d) 9, 415 ' 1, 345 7

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145

Sugerencia de temporalización

8

Septiembre

Proporcionalidad, porcentaje y escala

Valores El tema de la desigualdad económica se relaciona con el valor de la justicia. Aunque los estudiosos debaten si la desigualdad económica es necesariamente injusta, podemos argumentar que sí lo es porque la pobreza no es en general una condición voluntaria, porque no podemos pensar la sociedad como un juego en el que es inevitable que algunos ganen y muchos otros pierdan y porque la pobreza no es algo que las personas pobres se merezcan. Según el estudio mencionado en el texto del estudiante, Dinamarca, Suecia, Noruega y Finlandia son países ricos e igualitarios. Afganistán es el país pobre con mayor igualdad. Estados Unidos es uno de los países ricos con menor igualdad. Los países menos igualitarios del mundo son los países africanos con un pasado de segregación racial: Sudáfrica y Namibia. Los países latinoamericanos son poco igualitarios; de ellos, Argentina y Cuba lo son menos, y Colombia, Bolivia, Honduras y Haití están entre los 10 países con mayor desigualdad en el mundo.

La desigualdad económica En una sociedad con perfecta igualdad todas las personas tendrían los mismos ingresos, y en una sociedad con perfecta desigualdad una sola persona tendría todo y las demás no tendrían nada. Todas las sociedades están entre esos dos extremos, pero algunas están más cerca de uno o de otro. Un estudio reciente de la ONU* dice que Dinamarca y Suecia son países no solo ricos, sino muy igualitarios, y que Bolivia no es solo pobre, sino también uno de los 10 países con mayor desigualdad en el mundo.

• ¿Cuántas veces más ingresos crees que tienen las personas más ricas que las personas más pobres en nuestro país? • ¿Por qué la igualdad económica debe ser una meta importante en una sociedad?

*ONU: Organización de las Naciones Unidas

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Sugerencias metodológicas Aproveche la sección Recuerda para establecer un análisis sobre el nivel de conocimientos previos de los estudiantes acerca de los porcentajes y su significado, y los cálculos con ellos. Refuerce los aspectos con más dificultades.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA Porcentajes, fracciones y números decimales

–– Elegir la operación adecuada al resolver problemas de proporcionalidad. Trabaje los problemas de manera razonada y pida a los estudiantes que piensen siempre si la solución tiene sentido.

Una expresión como 35 % es un porcentaje. Un porcentaje es otra manera de expresar una fracción decimal de denominador 100 y el número decimal equivalente a esa fracción. 35% = 35 = 0, 35 100 35% se lee 35 por ciento y significa 35 de cada 100.

1. Expresa las fracciones como porcentajes. 23 % a) 23 = ______ 100

50 % b) 50 = ______ 100

78 % c) 78 = ______ 100

99 % d) 99 = ______ 100

62 % c) 0, 62 = ______

87 % d) 0, 87 = ______

2. Expresa los números decimales como porcentajes. 8% a) 0, 08 = ______

15 % b) 0, 15 = ______

3. Expresa los porcentajes como fracciones decimales y como números decimales.

a) 1 %

1 = 0, 01 100 = __________________ 34

= 0, 34 100 b) 34 % = _________________

c) 57 %

–– Aplicar correctamente una escala, averiguando la medida real a partir de un plano, sobre todo cuando existe un cambio de unidad. Recuerde las equivalencias entre unidades de longitud.

57 = 0, 57 100 = _________________ 85

= 0, 85 d) 85 % = _________________ 100

Porcentaje de una cantidad Una expresión como 65 % de 74 se refiere al porcentaje de una cantidad, en este caso, de 74. Es igual a la cantidad que resulta de considerar que 74 está dividido en 100 partes y tomar 65 de esas partes. 65 % de 74

–– Calcular el tanto por ciento de un número cuando el resultado es un número decimal. Muestre que el proceso que se debe seguir es el mismo que ya conocen para otros números.

65 _ 65 % de 74 = 65 $ 74 = 65 $ 74 = 4 810 = 48, 1 : 65 % = 100 100 100 100

Vocabulario matemático

: 65 % = 0, 65 _ 65 % de 74 = 0, 65 $ 74 = 48, 1 El 65 % de 74 es 48, 1.

Constante de proporcionalidad directa

4. Calcula el porcentaje indicado de la cantidad dada.

Escala

10, 35 a) 23 % de 45 ______________________________________________

Fracción decimal

5, 18 b) 37% de 14 ______________________________________________

Número decimal Porcentaje

61 c) 61 % de 100 _____________________________________________

Proporcionalidad

106, 64 d) 86 % de 124 _____________________________________________

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Proporcionalidad directa

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Más información La relación de proporcionalidad directa

Cantidades directamente proporcionales •

La relación de proporcionalidad directa tiene varias propiedades. En la ficha La proporcionalidad directa (en los recursos digitales para el docente contenidos en Más información del área) se describen las siguientes propiedades: escalar, de la constante de proporcionalidad, de la monotonía creciente, de la suma. Otra propiedad que es pertinente mostrar a los estudiantes es la propiedad de las fracciones equivalentes. Esta propiedad no es más que una consecuencia de la propiedad de la constante de proporcionalidad: todas las fracciones que podemos formar con cada pareja de números (de una tabla de proporcionalidad) son equivalentes.

En un supermercado las bolsas de leche de 1 litro cuestan Bs 5. ¿Podemos saber cuál es el precio de 3 litros? ¿Podemos saber cuántos litros ha comprado una persona que ha pagado Bs 25? Podemos responder a las preguntas tomando en cuenta que las cantidades Precio y Volumen son directamente proporcionales. #5

Precio (en Bs)

5

10

15

20

25

30

...

Volumen (en litros)

1

2

3

4

5

6

...

'5

Las cantidades Precio y Volumen aumentan o disminuyen en la misma proporción: cuando el volumen de leche aumenta al doble, el precio también aumenta al doble; cuando el volumen se reduce a la tercera parte, el precio se reduce a la tercera parte. Volumen: Precio:

Volumen: 6 ' 3 = 2 2#2 = 4 Precio: 30 ' 3 = 10 10 # 2 = 20

Observemos la tabla: podemos obtener los números de una fila a partir de los números de la otra, multiplicando o dividiendo por 5. Por tanto, dividiendo las cantidades de una misma columna obtenemos en todos los casos el mismo número, es decir: 5 = 10 = 15 = 20 = 25 = 30 = 5 1 2 3 4 5 6 •

La siguiente tabla muestra las edades de cinco compradores y la cantidad de litros de leche que compraron. Con los datos de la tabla, ¿podemos saber cuántos litros compró una persona de 42 años? Edad (en años)

15

24

34

N.º de litros comprados

2

3

4

42

54

60

2

1

No podemos, porque si dividimos la edad entre la cantidad de litros comprados, no obtenemos el mismo cociente en todos los casos. 15 ! 24 ! 34 ! 54 ! 60 2 3 4 2 1 Las cantidades Edad y Número de litros comprados no son directamente proporcionales. Dos cantidades son directamente proporcionales si aumentan o disminuyen en la misma proporción. Cuando dos cantidades son directamente proporcionales, los cocientes entre las cantidades que se corresponden son iguales, ese cociente se llama constante de proporcionalidad directa.

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Sugerencias metodológicas –– Partiendo de la situación propuesta, caracterice las series de números proporcionales. Deje claro el proceso para pasar de una a otra, mostrando que en un sentido se multiplica por un mismo número, y en el otro se divide por ese mismo número. Haga hincapié en la importancia de analizar con cuidado qué operación se debe realizar y si el resultado tiene sentido. –– Comente con sus alumnos situaciones de la vida real en las que se den relaciones de proporcionalidad y de no proporcionalidad. Proponga algún ejemplo e indique que ellos digan otros.

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Recursos

1. Pensamiento crítico. Explica tu respuesta. a) En un partido de fútbol en el que todas las entradas valen lo mismo, ¿son directamente proporcionales el Monto recaudado y el Número de entradas vendidas? Sí

Actividades Resuelve los siguientes problemas:

b) María tiene 14 años y mide 1,60 m. ¿Cuánto medía cuando tenía 7 años? ¿Son directamente proporcionales la Estatura y la Edad de una persona? No

a) Un pastelero utiliza 3 litros de leche para hacer 18 tartas iguales. ¿Cuántas tartas puede hacer con 2 litros de leche? ¿Y con 4 litros?

c) Una novela de 450 páginas cuesta Bs 145. ¿Puedes saber cuánto cuesta otra novela de 320 páginas? ¿Son directamente proporcionales el Número de páginas y el Precio de un libro? No

d) Un móvil se mueve con la misma velocidad todo el tiempo. ¿Son directamente proporcionales el Tiempo transcurrido y la Distancia recorrida? Sí

b) Renata utiliza 25 bolsas iguales para envasar 75 kg de limones. ¿Cuántos kilos de limones envasará en 30 bolsas? ¿Cuántas bolsas necesita para envasar 120 kg de limones?

2. Completa las tablas de proporcionalidad directa. a)

b)

c)

d)

1

2

5

6

9

10

4

8

20

24

36

40

1

2

3

6

9

11

10

20

30

60

90

110

2

4

7

8

10

20

10

20

35

40

50

100

1

5

7

8

10

15

6

30

42

48

60

90

c) Diego compra 7 sobres de cromos de fútbol. En total ha comprado 28 cromos. ¿Cuántos cromos conseguirá comprando 4 sobres? ¿Y 10 sobres? ¿Cuántos sobres necesita comprar para conseguir 24 cromos? ¿Y para conseguir 72 cromos?

3. Realiza una tabla de proporcionalidad y resuelve los problemas. a) Elsa ha pagado Bs 105 por 3 entradas de cine. ¿Cuánto cuestan 5 entradas? ¿Y 8 entradas? ¿Cuántas entradas podría comprar con Bs 245?

Bs 175 ; Bs 280 ; 7 entradas .

b) Luis ha utilizado 20 huevos para hacer 4 tortillas iguales. ¿Cuántos huevos necesita para hacer 5 tortillas? ¿Y 7 tortillas? ¿Cuántas tortillas puede hacer con 40 huevos? ¿Y con 45 huevos? 25 huevos ; 35 huevos ; 8 tortillas ; 9 tortillas .

c) Marisa corre 6 km en 30 minutos. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 50 minutos si va siempre al mismo ritmo? ¿Cuántos recorrerá en 1 hora? ¿En qué tiempo recorre 4 kilómetros? ¿Y 3,5 km? 10 km ; 12 km ; 20 minutos ; 17, 5 minutos .

d) Una persona gana Bs 350 por 8 horas de trabajo. ¿Cuánto gana por hora? ¿Cuánto gana por trabajar 24 horas? ¿Cuántas horas necesita trabajar para ganar Bs 4 200? ¿Y para ganar Bs 5 000? Bs 43, 75 ; Bs 1 050 ; 96 horas ; 114,29 horas .

4. Da dos ejemplos de cantidades directamente proporcionales y otros dos ejemplos de cantidades que no son directamente proporcionales. Individual

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Más información Una definición más precisa de porcentaje Una definición más precisa del concepto de porcentaje hace uso del concepto de razón en lugar del concepto de fracción. Según esta definición más precisa, un tanto por ciento o porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100. Recordemos que en una fracción, a , el numerador, a, y el b denominador, b, tienen que ser números naturales. En cambio, en una razón, a , el anteceb dente, a, y el consecuente, b,

Significado del porcentaje Nuria y Andrés compraron en una tienda que anunciaba ofertas. Nuria compró con un descuento del 30 por ciento (30 %) un pantalón cuyo precio sin rebaja era de Bs 250. Andrés compró con un descuento del 18 por ciento (18 %) un saco cuyo precio sin rebaja era de Bs 480. ¿Qué significan estos descuentos? Dividimos los precios sin descuento en 100 partes. Pantalón: 250 = 2, 5 Bs Saco: 480 = 4, 8 Bs 100 100 El descuento del pantalón es de 30 %, es decir, es igual a 30 de las partes que resultan de dividir el precio del pantalón en 100 partes.

En el recuadro informativo de la actividad 4 se presenta la ! 66, 6 expresión como fracción 100 decimal; sin embargo, esa terminología no es precisa y se justifica solo por el curso en el que se la utiliza.

El descuento

30 % = 30 = 0, 3 100

30 $ 2, 5 = 30 $ 250 = 0, 3 $ 250 = Bs 75 100

El descuento del saco es de 18 %, es decir, es igual a 18 de las partes que resultan de dividir el precio del saco en 100 partes.

pueden ser también números decimales. El concepto de razón nos permite decir que todos los porcentajes son equivalentes a razones de consecuente 100; en cambio, no podemos decir que todos los porcentajes son equivalentes a fracciones de denominador 100. El porcentaje 66,7%, por ejemplo, es equivalente a la razón 66, 7 , pero no 100 hay una fracción de denominador 100 que sea equivalente a 66,7%.

El porcentaje

El porcentaje

El descuento

18 % = 18 = 0, 18 100

18 $ 4, 8 = 18 $ 480 = 0, 18 $ 480 = Bs 86, 4 100

Un porcentaje, o tanto por ciento, es una forma de expresar una cantidad con respecto a una totalidad que se considera formada por 100 partes. Puede expresarse como un decimal y como una fracción de denominador 100.

1. Completa la tabla. Expresión

%

Significado

Fracción

Decimal

El 52 % de la población son mujeres.

52 %

De cada 100 habitantes, 52 son mujeres.

52 100

0, 52

El 30 % de los electores votó en blanco.

30 %

De cada 100 electores 30 votaron en blanco.

30 100

0,3

Los productos tienen una rebaja del 25 %.

25 %

De cada Bs 100 se descuenta Bs 25.

25 100

0, 25

El precio incluye el 13 % del IVA.

13 %

A cada Bs 100 se aumentan Bs 13.

13 100

0, 13

Una efectividad del 90 % en tiros penales.

90 %

De cada 100 penales se aciertan 90.

90 100

0, 9

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Sugerencias metodológicas Tic Expresiones de un porcentaje. Relación entre porcentajes y diferentes formas de expresarlos.

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–– Haga hincapié en la equivalencia entre porcentajes, fracciones decimales de denominador 100 y números decimales. Comente que el porcentaje es una forma de destacar la relación con una totalidad compuesta de 100 partes. –– Al realizar la actividad 5, explique las situaciones en las que los porcentajes mayores al 100% tienen sentido. Anime a los estudiantes a proponer otros ejemplos en los que podemos hablar de porcentajes mayores al 100%

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Recursos

2. Completa la tabla. Porcentaje

3%

24 %

72 %

9%

57 %

81 %

5%

39 %

65 %

Fracción decimal

3 100

24 100

72 100

9 100

57 100

81 100

5 100

39 100

65 100

Número decimal

0, 03

0, 24

0, 72

0, 09

0, 57

0, 81

0,05

0,39

0,65

Para ayudar a pensar En la actividad 1, las filas 1, 2 y 5 tienen un significado bastante claro, el significado de las líneas 3 y 4 puede ser más difícil de expresar con precisión.

3. Calcula un porcentaje equivalente a cada una de las fracciones. Calculando el cociente decimal:

Obteniendo una fracción decimal equivalente:

9 _ 9 ' 20 = 0, 45 _ 9 = 45% 20 20

9 _ 9 $ 5 = 45 _ 9 = 45% 20 20 $ 5 100 20

60 % a) 3 = __________ 5

50 % c) 1 = __________ 2

90 % e) 18 = _________ 20

36 % b) 9 = _________ 25

= _________ d) 16 40 % 40

f) 5 = _________ 25 % 20

El significado de la línea 3 puede expresarse con precisión del siguiente modo: el precio con rebaja de los productos resulta de disminuir 25 partes de cada 100 al precio sin rebaja. También podemos decir que no nos cobran 25 partes de cada 100 del precio.

4. Calcula un porcentaje aproximadamente equivalente a las fracciones. Las fracciones que no son equivalentes a fracciones decimales pueden también expresarse mediante un porcentaje. Calculando el cociente decimal: 2 _ 2 ' 3 = 0, ! 6 _ 2 . 66, 7% 3 3

a) 5

6

b) 9

24

c) 15

83, 3 %

23 5 d) 16

37, 5 %

El significado de la línea 5 es el siguiente: el precio con IVA resulta de aumentar 13 partes de cada 100 al precio sin IVA. También podemos decir que aumentamos 13 partes de cada 100 para pagar el IVA.

Obteniendo una fracción decimal equivalente: ! ! 2 _ 2 $ 33, 3 = 66, 6 _ 2 . 66, 7% ! 3 100 3 3 $ 33, 3

65, 2 %

e) 1

31, 2 %

f) 8

7 33

14, 3 % 24, 2 %

g) 15

41, 7 %

h) 5

5, 1 %

36

99

5. Pensamiento crítico. Indica cuáles de las siguientes expresiones no tienen sentido y explica por qué. Explica el significado de las que tienen sentido y expresa el porcentaje con una fracción decimal y un decimal. Los porcentajes pueden ser menores que 1, mayores que 100 y pueden ser números decimales: 0,4 % 103 % 4,5 % 110,5 %

a) Nuestra deuda creció en 110 %.

Tiene sentido.

b) He leído el 0,04 % de los libros de la biblioteca. c) El 3,5 % de la población aprueba esa ley. d) Ha perdido el 150 % de sus partidos.

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Tiene sentido.

Tiene sentido.

No tiene sentido.

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Tic ¿Es lo mismo? Actividad para encontrar equivalencias entre fracciones y porcentajes.

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Más información

Porcentaje de una cantidad

Cálculos equivalentes En virtud de las igualdades: a$b = a $b = a$ b 100 100 100 la expresión que nos indica cómo calcular el porcentaje de una cantidad puede expresarse de tres maneras distintas. –– Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, dividimos el tanto por ciento entre 100 y multiplicamos por la cantidad.

En un museo hay expuestos 80 cuadros. El 45 % de los cuadros son paisajes, el 35 % son retratos y el resto, 20 %, son de arte abstracto. ¿Cuántos cuadros de cada tipo hay expuestos? Para calcular la cantidad de cuadros que corresponde a cada porcentaje, multiplicamos la expresión fraccionaria o decimal del porcentaje por la cantidad total de cuadros. •

Paisajes 45 % de 80 = 45 $ 80 = 0, 45 $ 80 = 36 100

•

Retratos 35 % de 80 = 35 $ 80 = 0, 35 $ 80 = 28 100

•

Arte abstracto 20 % de 80 = 20 $ 80 = 0, 20 $ 80 = 16 100

Hay expuestos 36 paisajes, 28 retratos y 16 obras de arte abstracto.

x % de M = ^ x ' 100 h $ M = = x $M 100

–– Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esa cantidad por el tanto por ciento y dividimos entre 100. x % de M = ^ x $ Mh ' 100

–– Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos el tanto por ciento por la cantidad dividida entre 100. x % de M = x $ ^M ' 100h

Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la cantidad por la fracción decimal o por el número decimal que corresponde al porcentaje.

1. Calcula las cantidades. 30 a) 12 % de 250 ________________________

60 d) 75 % de 80 _______________________

480 b) 40 % de 1200 ______________________

119 e) 85 % de 140 ______________________

136 c) 34 % de 400 _______________________

57 f) 6 % de 950 _______________________

2. Determina las cantidades. Usa la calculadora si es necesario. 0, 12 4, 86 a) 0, 8 % de 15 ________________________ d) 81 % de 6 __________________________ 21, 75 b) 14, 5 % de 150 ______________________

0, 4068 e) 45, 2 % de 0, 9 ______________________

680, 52 c) 106 % de 642 _______________________

26, 355 f) 125, 5 % de 21 ______________________

3. Calculadora. Expresa los siguientes porcentajes mediante una fracción y mediante un número decimal. %

42 % de 25 _ 42 SHIFT ( × 25 =

21 2

123



10.5 3

= 12, 3 a) 15 % de 82 ________________________ 10

= 0, 75 4 d) 75 % de 1 __________________________

= 22, 23 100 b) 34, 2 % de 65 ______________________

= 20, 35 20 e) 81, 4 % de 25 _______________________

c) 240 % de

f) 142, 1 %

2 223

528 = 105, 6 5 44 _______________________

407

152

12 789 = 25, 578 de 18 ______________________ 500

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Sugerencias metodológicas

Tic Porcentaje de una cantidad. Problemas con porcentajes.

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–– Al explicar las operaciones para resolver el problema del ejemplo inicial, muestre que ellas son equivalentes al cálculo en el que, utilizando el significado del porcentaje, dividimos la cantidad de cuadros en 100 partes y multiplicamos 1 parte por cada porcentaje. En el caso de los paisajes: Cada parte vale: 80 = 0, 8 . 100 Entonces el 45% de 80 es igual a 45 partes: 45 $ 0, 8 = 36 . Concluya que: 45 $ 80 = 0, 45 $ 80 = 45 $ 0, 8 . 100

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Recursos

4. Calcula mentalmente. El 50 % de una cantidad es la mitad de dicha cantidad. _ 50 % de 37 = 37 ' 2 = 18, 5

Para ayudar a pensar

El 25 % de una cantidad es la cuarta parte de dicha cantidad. _ 25 % de 84 = 84 ' 4 = 21

–– En la actividad 5f pienso: ¿Qué significa que puedo mejorar mi tiempo en un 7%? Significa que puedo correr la distancia en un 7% menos que mi tiempo. Por tanto, el cálculo que debo realizar es:

El 20 % de una cantidad es la quinta parte de dicha cantidad. _ 20 % de 35 = 35 ' 5 = 7 El 10 % de una cantidad es la décima parte de dicha cantidad. _ 10 % de 56 = 56 ' 10 = 5, 6 El 1 % de una cantidad es la centésima parte de dicha cantidad. _ 1 % de 92 = 92 ' 100 = 0, 92 19 a) 10 % de 190 = _______

15 d) 20 % de 75 = _______

76, 5 g) 50 % de 153 = _______

74 b) 50 % de 148 = _______

3 e) 1% de 300 = _______

57, 25 h) 25 % de 229 = _______

175 c) 25 % de 700 = _______

9, 8 f) 10 % de 98 = _______

5, 63 i) 1% de 563 = ________

58 - ^7 % de 58 h = 53, 94

5. Resuelve los problemas.

–– En la actividad 5g tenemos que realizar dos cálculos:

a) El 60 % del cuerpo humano es agua. ¿Qué cantidad de agua hay en una persona de 75 kg? 45 kg

2 + ^15 % de 2 h = 2, 3 2, 3 + ^10 % de 2, 3 h = 2, 53

b) En su máquina fotográfica digital, Mario tiene 350 fotos de paisajes. El 24 % son de lagunas, el 36 % de montañas y el resto de bosques. ¿Cuántas fotos tiene de cada tipo? 84 de lagunas ; 126 de montañas ; 140 de bosques .

–– En la actividad 6, los estudiantes pueden realizar un cálculo suponiendo que la persona que habla pesaba 100 kg cuando entró a la clínica. Pueden concluir que, en general, no se obtiene la misma cantidad cuando a un número se le quita un cierto porcentaje y al resultado se le aumenta el mismo porcentaje.

c) Una empresa calcula el salario de sus empleados sobre la base de tres aspectos: jornada de trabajo (50 %), resultados (35 %) y experiencia (15 %). Si José gana Bs 8 000, ¿cuánto recibe por cada uno de los tres aspectos? Bs 4 000 por jornada de trabajo ; Bs 2 800 por resultados ; Bs 1 200 por experiencia .

d) En una tienda, un pantalón vaquero que cuesta normalmente Bs 248 se vende con una rebaja del 15 %. ¿Cuál es su precio rebajado? Bs 210,8

e) Si mi salario es de Bs 6 500 y este año tienen que aumentarme el 15 %, ¿cuánto ganaré este año? Bs 7 475

f) Puedo correr 400 metros en 58 segundos. Si puedo mejorar ese tiempo en un 7 %, ¿en qué tiempo puedo correr 400 metros? 53, 94 segundos.

g) Ayer practiqué guitarra 2 horas. Hoy debo practicar 15 % más que ayer; mañana, 10 % más que hoy. ¿Cuántas horas practicaré guitarra mañana? 2, 8 horas

Pensamiento crítico e investigación

6. Investiga. Cuando salí de la clínica pesaba 5 % menos que cuando entré. Ahora peso 5 % más que cuando salí de la clínica. ¿Mi peso actual es igual, menor o mayor que cuando entré a la clínica? Menor que cuando entré.

–– En una tienda, durante un día, rebajaron todos sus precios en un 50% y, al día siguiente, los precios rebajados se incrementaron en un 100%. ¿Los precios después del incremento son mayores, iguales o menores que antes de la rebaja?

7. Pensamiento crítico. Indica si estás de acuerdo con las afirmaciones y explica por qué.

a) El 10 % de una cantidad es igual al 20 % de la mitad de esa cantidad.

Verdadero

b) El 50 % de una cantidad es lo mismo que el 200 % de la mitad de esa cantidad. Falso

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

153

–– Evite la confusión entre “porcentaje” y “porcentaje de una cantidad”. Comente que el 12% es menos que el 18%, pero que el 18% de 100 es menos que el 12% de 200. Explique que podemos decir que el 50% de la población N tiene cierta opinión y que el 50% de la población M tiene la misma opinión, pero que no podemos decir que en ambas poblaciones la misma cantidad de personas tiene esa opinión si las poblaciones N y M son distintas.

Tic Porcentajes. Operaciones con porcentajes.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

153

Más información Proporcionalidad y cálculos de porcentajes Para obtener las fórmulas que nos permiten resolver los problemas con porcentajes, partimos de una misma relación de proporcionalidad que se expresa como una relación de equivalencia entre fracciones, CT = P PP 100 % CT: cantidad total P: parte PP: porcentaje de la parte –– Para calcular la parte correspondiente a un determinado porcentaje: CT = x ( x = CT $ PP PP 100 100 –– Para calcular el porcentaje correspondiente a una parte: CT = P ( x = P $ 100 x CT 100

Otros cálculos con porcentajes Los estudiantes de un colegio participan en un proyecto municipal de reforestación. Los estudiantes de sexto plantaron 60 árboles, de los cuales 12 eran arces. ¿Qué porcentaje de los árboles que plantaron eran arces? Los estudiantes de quinto plantaron 18 arces, que son el 45 % de los árboles que plantaron. ¿Cuántos árboles plantaron? Construimos tablas de proporcionalidad de dos columnas: Sexto curso

Quinto curso

12 partes de 60 son como x partes de 100

18 son 45 partes como x son 100 partes

#5

12 60

x 100

# 2, 5

'5

18

x

45

100

' 2, 5

Calculamos una constante de proporcionalidad: Sexto curso: 60 ' 12 = 5

Quinto curso: 45 ' 18 = 2, 5

Dividimos 100 entre la constante calculada: Sexto curso: x = 100 ' 5 = 20

Quinto curso: x = 100 ' 2, 5 = 40

En el sexto curso, los arces son el 20 % de los árboles plantados. En el quinto curso, plantaron 40 árboles en total. Observemos que: Sexto curso: x = 12 $ 100 = 20 % 60

Quinto curso: x = 18 $ 100 = 40 45

Para calcular qué porcentaje de un total representa una cantidad, se expresa la cantidad como fracción respecto del total y se multiplica por 100.

–– Para calcular el total conociendo el porcentaje correspondiente a una parte: x = P ( x = P $ 100 PP PP 100

Para calcular un total conociendo el porcentaje que corresponde a una cantidad, se expresa la cantidad como fracción respecto del porcentaje y se multiplica por 100.

1. Indica el porcentaje que representa la cantidad. a) 30 de 150 20 % c) 75 de 300 25 % b) 48 de 1200 2. Calcula el total. a) 14 es el 25 % b) 34 es el 5%

4%

d) 80 de 50

160 %

56

c) 4, 8 es el 12%

40

680

d) 80 es el 64 %

125

154

e) 200 de 50

400 %

g) 3, 2 de 12, 8

f) 5, 4 de 16

33, 75 %

h) 24, 2 de 302, 5

e) 16, 5 es el 16, 5 % f) 24 es el 12, 5 %

100

192

25 % 8%

g) 36, 16 es el 64 %

56, 5

h) 9, 477 es el 40, 5 %

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Sugerencias metodológicas –– Explique el ejemplo inicial destacando la relación entre los cálculos con porcentajes y el concepto de proporcionalidad. Haga hincapié en la diferencia entre los dos tipos de problemas: calcular el porcentaje que corresponde a una cierta cantidad conociendo la cantidad total y calcular la cantidad total sabiendo el porcentaje que corresponde a una cierta cantidad. –– Ayude a razonar a los estudiantes a la hora de resolver los problemas de las actividades 3, 4 y 5.

154

23, 4

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Recursos

3. Resuelve los problemas. Si es pertinente, redondea el resultado a dos cifras decimales.

a) En una orquesta sinfónica compuesta por 110 músicos, 30 tocan el

Para ayudar a pensar

violín. ¿Qué porcentaje de los músicos toca el violín? 27, 27 %

–– Actividad 3a: ¿Qué porcentaje de 110 es 30?

b) De 500 mujeres encuestadas, 370 afirman que les gusta el fútbol. Expresa esa cantidad mediante un porcentaje. 74 %

–– Actividad 3b: ¿Qué porcentaje de 500 es 370?

c) Silvia recibe el 12 % del dinero de las ventas que realiza. ¿Cuánto tendrá que vender para ganar Bs 4 800? Bs 40 000

–– Actividad 3c: ¿Cuál es el total si 4 800 es el 12%?

d) Simón gana Bs 7 500 y paga Bs 1 200 de impuestos. ¿Qué porcentaje de su salario se va en impuestos? 16 %

–– Actividad 3d: ¿Qué porcentaje de 7 500 es 1 200?

e) Orlando vendió su computadora en el 80 % del precio que pagó por ella. Si la vendió en Bs 1 250, ¿en cuánto la compró? Bs 1 562, 5

–– Actividad 3e: ¿Cuál es el total si 1 250 es el 80%?

f) El año pasado, Elsa pagó Bs 380 de impuestos por su vivienda. Este año pagó Bs 425,6. ¿En qué porcentaje aumentó el impuesto de su vivienda? 12 %

–– Actividad 3f: ¿Qué porcentaje de 380 es la diferencia entre 425,6 y 380?

g) Este año Sara creció 5 cm, un aumento del 4 % respecto de su estatura 130 cm del año pasado. ¿Cuál es la estatura de Sara actualmente?

–– Actividad 3g: ¿Cuál es el total si 5 es el 4%? ¿Y a qué es igual ese total más 5?

h) Diego es futbolista y está pesando 78 kg. Su entrenador le ha dicho que su peso ideal es de 70 kg. ¿Qué porcentaje de su peso debe perder Diego? 10, 26 %

–– Actividad 3h: ¿Qué porcentaje de 78 es la diferencia entre 78 y 70?

4. Resuelve los problemas. Un libro cuyo precio está rebajado en un 20 % cuesta Bs 105. ¿Cuál era su precio antes del descuento?

–– Actividad 4a: ¿Cuál es el total si 153 es el 100 - 28 = 72% ?

Construimos una tabla de proporcionalidad. Hay la misma proporción en disminuir de 100 a 80 que en disminuir de x (el precio antes del descuento) a 105. ' 1, 25

100

x

100 - 20 = 80

105

–– Actividad 4b: ¿Cuál es el total si 3 300 es el 132%?

# 1, 25

–– Actividad 5. En este caso, la disminución del 20% no significa que 13,5 s son el 80% del tiempo que hacía Francisca antes de lesionarse, sino que 13,5 s son el 120% de ese tiempo. Entonces, el problema es: ¿cuál es el total si 13,5 es el 120%

Por lo tanto: x = 100 $ 105 = 105 $ 100 = 131, 25 80 80 Antes del descuento, el libro costaba Bs 131,25.

a) En una tienda, se anuncia un descuento del 28 %. Si un pantalón cuesta ahora Bs 153, ¿cuánto costaba antes del descuento? Bs 212,5

b) En su primer mes de vida, un bebé aumentó su peso en un 32 %. Si al cabo del primer mes pesaba 3 300 gramos, ¿cuánto pesó al nacer? 2 500 gramos.

5. Investiga. ¿Cómo resuelves el siguiente problema?

Individual

Francisca practica atletismo. Tuvo una lesión y su rendimiento disminuyó en un 20 %. Si ahora corre 100 metros en 13,5 segundos, ¿en qué tiempo corría la distancia antes de lesionarse? 11, 25 segundos. ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

155

155

Más información

Escala

Tipos de escalas

–– En la escala de reducción el tamaño que un objeto tiene en un plano o en un dibujo es menor al tamaño que tiene en la realidad. En este caso la escala tiene el número 1 a la izquierda y un número mayor que 1 a la derecha; por ejemplo: 1: 5 (en el dibujo de una pieza de automóvil)

El plano del departamento de Teresa está dibujado a escala 1:175. ¿Cuáles son las medidas reales del dormitorio? La escala del plano es 1:175. Esto significa que 1 cm del plano representa 175 cm en la realidad. Para calcular las medidas reales del dormitorio: 1.º Medimos en el plano el largo y el ancho del dormitorio. 2.º Calculamos las medidas reales sabiendo que el plano está dibujado a escala 1:175.

5: 1

1 0: 1

Este tipo de escala se utiliza, por ejemplo, en el dibujo técnico para dibujar objetos muy pequeños. En los monumentos y en las esculturas es también usual que la representación sea mayor que el objeto representado. Por ejemplo, la cabeza de la famosa Estatua de la Libertad tiene 5,26 metros.

Sala-comedor Dormitorio

Largo real: 2, 2 cm $ 175 = 385 cm = 3, 85 m Ancho real: 1, 8 cm $ 175 = 315 cm = 3, 15 m La escala de un objeto que representa a otro real indica la relación que hay entre las medidas del primer objeto y las medidas del objeto real.

1. Mide con una regla en el plano y calcula las medidas reales. Largo en el plano

1: 200 000 (en el mapa de un territorio)

2: 1

Terraza

Cocina

Largo en el plano: 2,2 cm Ancho en el plano: 1,8 cm

1: 60 (en el plano de una casa)

–– En la escala de ampliación el tamaño que un objeto tiene en un plano o en un dibujo es mayor al tamaño que tiene en la realidad. En este caso la escala tiene el número 1 a la derecha y un número mayor que 1 a la izquierda; por ejemplo:

Baño

–– En la escala natural el tamaño que un objeto tiene en un plano o en un dibujo es igual al tamaño que tiene en la realidad. En este caso la escala es 1: 1.

Ancho en el plano

Largo real

Ancho real

Sala-comedor

2, 8 cm

2, 8 cm

4, 9 m

4, 9 m

Cocina

1, 5 cm

1, 5 cm

2, 63 m

2, 63 m

Baño

0, 7 cm

1, 5 cm

1, 23 m

2, 63 m

Departamento

5 cm

3, 8 cm

8, 75 m

6, 65 m

2. Explica qué significan las siguientes escalas. a) Escala 1 : 50 1 cm = 50 cm reales.

b) Escala 1 : 180 1 cm = 180 cm reales.

c) Escala 5 : 1

d) Escala 10 : 1 10 cm = 1 cm real.

5 cm = 1 cm real.

3. Escribe a qué escala está dibujado cada plano. a) Plano A: 1 cm del plano representa 3 cm en la realidad.

1: 3

b) Plano B: 1 cm del plano representa 30 cm en la realidad. c) Plano C: 1 cm del plano representa 3 m en la realidad.

1: 30

1: 300

4. Da dos ejemplos de casos en los que la representación es más grande que el objeto real. Individual

5. En una hoja dibuja la figura del margen con las escalas indicadas. a) Escala 1:2 b) Escala 2:1 Representación gráfica.

156

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Caracterice la escala como la relación numérica entre lo representado gráficamente y la medida real, y que esa relación se establece entre unidades de medida iguales. Deje claro el proceso de cálculo de longitudes reales a partir de longitudes en el plano o mapa. –– Muestre la utilidad de la escala gráfica a la hora de obtener longitudes reales en planos o mapas. Indique que para obtener la escala numérica asociada hay que realizar un cálculo.

156

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Recursos

6. Calcula las dimensiones que debe tener un modelo construido a escala 1:90 del avión militar europeo Panavia Tornado.

Actividades

La representación es más pequeña que el objeto real envergadura

Escala _ 1 : A Si:

representación # escala (A) = realidad

Entonces: representación = realidad ' escala (A)

Avión real

Modelo a escala

Longitud

16,72 m

18, 61 cm

Envergadura

13,91 m

15, 46 cm

Altura

5,95 m

6, 61 cm

altura

longitud

· Las distancias entre varias parejas de localidades.

7. Calcula la escala. La representación es más pequeña que el objeto real

· La longitud de un itinerario.

Escala = realidad ' representación = A _ Escala: 1 : A

· Las localidades que están a menos de una distancia en kilómetros de una cierta localidad.

a) Un automóvil tiene una longitud de 4,5 metros y un modelo a escala del mismo automóvil tiene una longitud de 15 centímetros. 1: 30

b) Un avión comercial tiene una longitud de 59,4 metros y un modelo a escala del mismo avión tiene una longitud de 33 centímetros. 1: 180

–– Proponga a los estudiantes que hagan un plano de su dormitorio a escala 1:50, incluyendo la cama, el hueco de la puerta, algún otro mueble y la ventana. Para ello, pídales que tomen las medidas necesarias y elaboren una tabla en la que se indiquen el largo y el ancho de la habitación y los muebles.

8. Observa la escala gráfica que se utiliza en los mapas y contesta. Mapa A 0

1

2

Mapa B 3

0

Kilómetros

4

8

Mapa C 12

0

Kilómetros

30

60

90

Kilómetros

a) ¿Cuántos kilómetros en la realidad representa 1 cm en cada mapa?

Mapa A: 1 km ; mapa B: 4 km ; mapa C: 30 km.

b) ¿Qué distancia real representan 5 cm en cada mapa? Mapa A: 5 km ; mapa B: 20 km ; mapa C: 150 km.

9. Observa el mapa de Bolivia y calcula la distancia aproximada en línea recta entre las ciudades indicadas.

a) La Paz y Santa Cruz b) Cobija y Tarija.

0

250

500

750

Cobija

Kilómetros

575 km Trinidad

1 300 km

c) Potosí y Trinidad.

–– Divida a la clase en grupos y entregue a cada uno una fotocopia de una parte de un mapa de carreteras (o un atlas) en la que aparezca la escala gráfica y distintas localidades. Pídales que calculen la escala numérica asociada y también que hallen:

La Paz

550 km

d) Cochabamba y Sucre

225 km

Cochabamba Santa Cruz de la Sierra

Oruro Sucre Potosí

Tarija

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Tic Escala gráfica. Cálculo de escalas numéricas correspondientes a varias escalas gráficas.

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157

Taller de Matemática

Más información ¿Cuántos tipos de problemas son posibles? La tabla Total–Parte–Porcentaje nos muestra que los tres tipos de problemas que estudiamos en esta unidad y, específicamente, en este taller son todos los problemas básicos posibles. El método de solución de otros problemas se construye mediante cálculos adicionales y alguna o algunas de estas fórmulas.

Problemas con porcentajes en Excel 1. Comprende los tipos de problemas que vamos a analizar. Si elaboramos una tabla Total – Parte – Porcentaje en la que indicamos dos datos conocidos y uno desconocido, obtenemos tres tipos de problemas. Total

Parte

Porcentaje

Conocido

Conocido

Desconocido

Problema tipo A

Conocido

Desconocido

Conocido

Problema tipo B

Desconocido

Conocido

Conocido

Problema tipo C

Problema tipo A Si el total es 90, ¿qué tanto por ciento es 45? Problema tipo B Si el total es 90, ¿qué cantidad corresponde al 50 %? Problema tipo C Si 45 es el 50 %, ¿cuál es el total?

2. Programa una hoja de Excel para que solucione los tres tipos de problemas.

Recursos

•

Individual

Escribe los rótulos en las celdas B2, C2, D2 y E2. Escribe también la descripción de los tipos de problemas en las celdas B3, B4 y B5.

Pensamiento crítico e investigación Inventa un problema de aplicación de porcentajes que se resuelva utilizando al menos dos de las fórmulas analizadas en este taller.

En las celdas grises se escriben los datos conocidos. En las celdas marrones aparecen los resultados. •

En las celdas E3, D4 y C5 escribe las siguientes fórmulas: Individual En E3: =(D3/C3)*100

corresponde a la fórmula

porcentaje =

En D4: =(E4/100)*C4

corresponde a la fórmula

parte =

En C5: =(D5/E5)*100

corresponde a la fórmula

total =

3. Realiza en Excel las siguientes actividades.

parte $ 100 total

valor del porcentaje $ total 100 parte $ 100 valor del porcentaje

Individual

a) Actividades 1 y 2 de la página 152. b) Actividades 1 y 2 de la página 154. 158

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Sugerencias metodológicas –– Comente que los tipos de problemas y las fórmulas para resolverlos que se analizan en esta taller son los mismos y las mismas que se trabajaron en las páginas 152 a la 155. –– Enseñe a los estudiantes la sintaxis de las fórmulas en Excel. Relacione esa sintaxis con la representación matemática usual de esas fórmulas.

158

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Tratamiento de la información

Más información Información cualitativa e información cuantitativa

Gráficos de sectores

Los gráficos de sectores nos ofrecen información cualitativa (comparando la amplitud de los sectores) y cuantitativa (midiendo cada sector y calculando el número de datos que representa).

En los gráficos de sectores se utilizan sectores circulares para mostrar la contribución de cada aspecto al total.

1. Observa el gráfico de sectores y realiza las actividades. Se preguntó a 540 niños (mujeres y varones) acerca de su deporte de equipo favorito. Los resultados se recogen en el gráfico de sectores. Voleibol

Fútbol

Recursos Baloncesto

Actividades En una fiesta de disfraces se tomó nota de los disfraces de los 60 asistentes. Representa en un gráfico de sectores la información de la tabla.

a) En orden de preferencia, ¿cuál es el deporte de equipo que más gusta? b) ¿Qué porcentaje corresponde a cada deporte? % del sector =

Fútbol ; baloncesto ; voleibol.

medida en grados del sector $ 100 360c

Fútbol: 50 % ; baloncesto: 27, 8 % ; voleibol: 22, 2 %

c) ¿Cuántos niños eligieron cada uno de los deportes?

Fútbol: 270 ; baloncesto: 150 ; voleibol: 120.

Disfraz

2. Analiza los datos y represéntalos. En un hotel están registrados turistas procedentes de cuatro continentes. Continente

África

América

Asia

Europa

Cantidad de turistas

8

80

32

40

Cantidad

Animal

30

Superhéroe

12

Robot

10

Extraterrestre

8

a) ¿Qué porcentaje de turistas corresponde a cada continente? % del sector = turistas del continente $ 100 total de turistas

África: 5 % ; América: 50 % ; Asia: 20 % ; Europa: 25 % 180c América

b) Representa los datos en un gráfico de sectores. medida en grados del sector = turistas del continente $ 360c total de turistas 72c Asia

18c África 90c Europa

c) En orden según la procedencia, ¿de qué continente procede la mayor cantidad de turistas registrados en el hotel? América ; Europa ; Asia África . ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Sugerencias metodológicas –– Muestre a los estudiantes que en los gráficos de sectores dividimos el círculo en sectores circulares cuyas amplitudes son proporcionales al número de datos de cada grupo. La interpretación cualitativa es sencilla, por mera comparación de amplitudes, siendo más compleja la interpretación cuantitativa. Para la interpretacion cualitativa pida a los estudiante que midan el ángulo correspondiente a cada sector y oriéntelos para utilizar la fórmula –– La representación de los gráficos de sectores tiene cierta complejidad. Lleve a cabo en común la actividad 2, mostrando los pasos que se deben seguir. Señale que la suma de todos los sectores circulares debe ser el círculo completo.

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159

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 17a. Es conveniente realizar dos tablas de proporcionalidad, una expresando el tiempo en minutos y la distancia en kilómetros; la otra, expresando el tiempo en segundos y la distancia en metros. 2

60

48000

mal y como número decimal, según sea el caso.

a) Un equipo de fútbol hizo 2 goles en los pri-

a) 9 % 0, 09

d) 94 %

0, 94

g) 120 % 1, 2

b) 2

0, 02

e) 32

0, 32

h) 280

2, 8

c) 0, 01

1%

f) 0, 71 71 %

i) 4, 5

450 %

meros 30 minutos de juego. ¿Son proporcionales el número de goles que mete un equipo de fútbol en un partido y los minutos jugados? No

b) He comprado 15 panes en Bs 7,5. ¿Son proporcionales el número de panes que compro y el precio que debo pagar? Sí

c) Un programa de televisión que dura 1 hora tiene una audiencia de 100 000 personas. ¿Son proporcionales el tiempo que dura un programa y su cantidad de audiencia? No

1

d) Una barra de chocolate tiene un contenido energético de 250 kilocalorías. ¿Son proporcionales el número de barras iguales y el contenido energético total de las barras? Sí

2. Llena las tablas de proporcionalidad directa. a) 2

4

6

8

20

40

60

80

3

6

9

12

21

42

63

84

c) 5

10

15

20

25

30

7

14

21

28

35

42

b)

10

12

100 120 15

18

105 126

3. ¿Cuál es el significado de las siguientes expresiones?

a) El 60% de los niños que fueron vacunados tenía más de 8 años.

b) Menos del 1% de los productos presentaba defectos.

c) El 85% de las computadoras de uso público tiene virus.

d) Solo el 3,5% de los asistentes al partido alentaba al equipo visitante. De cada 200 asistentes 7 eran hinchas del equipo visitante.

160

160

4. Expresa como porcentaje, como fracción deci-

mente proporcionales y explica por qué.

90

48 120

1. Indica si las dos cantidades son o no directa-

100

100

100

5. Calcula un porcentaje equivalente a cada una de las fracciones.

a) 15

60

b) 6

c) 90

20

25 %

d) 300

200

30 %

500

45 %

60 %

6. Calcula un porcentaje aproximadamente equivalente a cada una de las fracciones.

a) 5

9

b) 25

55, 56 %

c) 25

30

d) 72

80

83, 33 %

110

31, 25 %

65, 45 %

7. Expresa utilizando porcentajes. a) La décima parte de los productos tenía defectos. 10 %

b) La cuarta parte de las chicas usaba lentes. 25 %

c) La mitad de los niños ya sabe leer. 50 %

d) Tres cuartas partes de los asistentes bostezaban. 75 %

8. Calcula las cantidades. a) 4 % de 500

e) 1, 2 % de 35 0, 42

20

b) 12 % de 350

42

f) 9 % de 134

c) 45 % de 160

72

g) 74 % de 7

d) 105 % de 500

525

12, 06

5, 18

h) 112 % de 46 51, 52

9. Calcula mentalmente. a) 1 % de 130

1, 3

d) 25 % de 80

b) 10 % de 58

5, 8

e) 50 % de 180

c) 20 % de 15

3

f) 100 % de 3

20 90

3

10. Indica el porcentaje que representa la cantidad dada respecto del total indicado.

a) 44 de 200 b) 28 de 16

22 %

175 %

c) 4, 8 de 80 d) 6, 4 de 50

6% 12, 8 %

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Mi desempeño como docente 11. Calcula el total si la cantidad dada representa el porcentaje indicado.

a) 9 es el 3 %

c) 5, 5 es el 55 %

b) 16 es el 80 %

d) 8, 2 es el 3, 2 %

10

300

20

16. Jorge va por la mañana de A a B. Por la tarde vuelve de B a A pasando por C. ¿Cuántos kilómetros recorre por la tarde más que por la mañana? 33, 6 km 0

12. Calcula el largo y el ancho reales de la habitación y de los muebles (mesa, cama y ropero), sabiendo que el plano está a escala 1:70. 1, 05 m 2, 45 m

1, 33 m

Escala

A

256, 25

8

16

24

Pocas veces.

Kilómetros

C

Siempre.

B

17. Construye una tabla de proporcionalidad y contesta.

2, 10 m 1, 12 m

a) Un avión supersónico recorre 48 kilómetros

0, 56 m

en 2 minutos. Si mantiene su velocidad constante, ¿cuántos kilómetros recorrerá en 1 hora?, ¿cuántos en 1 hora y media?, ¿cuántos metros recorre en 1 segundo?

0, 70 m 3, 85 m

13. Indica la escala de cada plano. a) 1 cm del plano representa 80 cm. b) 1 cm del plano representa 15 m.

1: 80

1 440 km ; 2 160 km ; 400 m

1: 50 000

d) 10 cm del plano representan 2 km.

1: 20 000

b) Cinco buses escolares de la misma capa-

a) Longitud real: 30 m. Escala: 1:160.

18, 75 cm

b) Longitud real: 20 m. Escala: 1:125.

16 cm

c) Longitud real: 25 m. Escala: 1:100.

25 cm

d) Longitud real: 14 m. Escala: 1:80.

17, 5 cm

15. Calcula la escala conociendo la longitud en el plano y la longitud real.

a) Longitud en el plano: 5 cm. Longitud real: 40 m 1: 800

b) Longitud en el plano: 8 cm.

Pocas veces. Muchas veces.

Pocas veces.

14. Calcula la longitud en el plano conociendo la longitud real y la escala.

–– Me preocupo por que los estudiantes comprendan las relaciones entre los conceptos matemáticos en lugar de estudiarlos aisladamente.

–– Facilito que los estudiantes expongan, argumenten y discutan sus ideas a la hora de realizar actividades.

1: 1 500

c) 1 cm del plano representa 0,5 km.

–– Busco que los estudiantes comprendan el significado de las operaciones y no solo que sepan aplicar los algoritmos respectivos.

Muchas veces.



cidad pueden transportar 165 niños sentados. ¿Cuántos niños pueden transportar 7 buses de la misma capacidad que los anteriores? ¿Y cuántos 4 buses? ¿Y cuántos solo 1 bus? 231 niños ; 132 niños ; 33 niños.

c) En una fábrica de conservas, una máquina puede envasar 300 latas cada 20 minutos. ¿Cuántas latas envasará en 30 minutos? ¿Y en una hora? ¿Cuánto tiempo tardará la máquina en envasar 135 latas? ¿Y en envasar 705 latas?

Longitud real: 160 m 1: 2 000

c) Longitud en el plano: 10 cm. Longitud real: 6 km 1: 60 000

d) Longitud en el plano: 15 cm. Longitud real: 4,5 km 1: 30 000 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

450 latas ; 900 latas; 9 minutos ; 47 minutos.

161

161

Sobre las actividades –– Actividad 27. a) ¿En qué porcentaje se han incrementado mis ahorros durante esta semana? b) ¿Qué porcentaje de mi ahorro actual corresponde a mi ahorro de la semana pasada? c) ¿Qué porcentaje de mi ahorro actual corresponde a lo que ahorré durante esta semana? d) ¿Qué porcentaje de lo que tenía la semana pasada tengo ahora? –– Actividad 28. El 3,5% de 100 personas son 3,5 personas. Es imposible que a una conferencia asistan tres ancianos y la mitad de un anciano; por tanto, no podrían haber asistido 100 personas. Para menos de 100 personas, el 3,5% serán menos de 3,5 ancianos. Solo podrían ser 3, 2 o 1 anciano. Pero si 3 ancianos fueran el 3,5%, el 100% serían x = 3 $ 100 = 85, 7 3, 5 personas; esto no es posible. También resulta un número decimal de personas si suponemos que asistieron 2 ancianos o 1. El 3,5% de 200 son 7, pero si son menos de 200 personas y más de 100, los ancianos solo podrían ser 4, 5 y 6. En cualquier caso, el número total de asistentes tendría que ser un número decimal. Por consiguiente, a las tres preguntas del problema la respuesta es “No”.

162

18. En un parque, el 35 %

26. Fernando ha hecho 3 fotocopias de un dibujo,

de los árboles son arces, el 45 % son álamos y el resto son sauces. Si el parque tiene 240 árboles, ¿cuántos son arces?, ¿cuántos son álamos?, ¿y cuántos son sauces?

cada una a un tamaño distinto. Fotocopia A: al 60 % del original. 14, 4 cm; 1:1, 67 Fotocopia B: al 100 % del original. 24 cm; 1:1 Fotocopia C: al 150 % del original. 36 cm; 1: 0, 67

a) Si el dibujo original medía 24 cm, ¿cuál es su medida en cada una de las fotocopias?

84 arces ; 108 álamos ; 48 sauces.

b) En cada una de las fotocopias, ¿a qué es-

19. Hace un año yo medía 140 cm, crecí y ahora mido 4 % más. ¿Cuál es mi actual estatura? 145,6 cm

20. En un colegio se enfermaron 18 niños, el 3 %

cala aproximada está representado el dibujo original?

27. Matemática y Lenguaje. En cada caso, escribe

de todos los alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio? 600 alumnos.

la pregunta del problema, si conoces los datos y la operación que se realiza para resolverlo.

21. Si compro un televisor al contado, me rebajan

Datos: La semana pasada mis ahorros eran de Bs 20. Esta semana subieron a Bs 25. Individual

el 12 %. Si el televisor cuesta Bs 3 150 sin descuento, ¿cuánto tendría que pagar comprándolo al contado? Bs 2 772

22. Javier tiene un puesto de hamburguesas. Hoy ha preparado 60 hamburguesas y hasta el momento ha vendido 21. ¿Qué porcentaje de las hamburguesas preparadas ha vendido ya? 35 %

23. En una oferta he pagado Bs 250 por unos zapatos que antes de la oferta costaban Bs 320. ¿En qué porcentaje estaba rebajado el precio de los zapatos? 21, 88 %

24. En una tienda han vendido 80 yogures de distintos sabores. El 20 % de los yogures era de fresa. ¿Cuántos yogures de fresa han vendido? De los 80 yogures, 20 eran de durazno. ¿Qué porcentaje de los yogures vendidos era de durazno? 16 de frutilla ; 25 % de durazno.

25. En un supermercado me rebajaron el 4% en el total de mis compras. Si he pagado Bs 240, ¿cuánto habría pagado sin el descuento? Bs 250

162

Operación:

a) 25 - 20 $ 100

c) 25 - 20 $ 100

b) 20 $ 100 25

d) 25 $ 100 20

20

25

28. Investiga. Si el 3,5 % de los asistentes a una conferencia tenía más de 70 años, ¿podrían haber asistido 100 personas?, ¿y menos de 100?, ¿y más de 100 pero menos de 200? No ; no ; no.

29. Investiga. Completa el siguiente esquema que muestra el peso de un objeto luego de perder y ganar el mismo porcentaje de peso. 100 kg

pierde 10 %

100 kg

pierde 25 %

100 kg

pierde 50 %

100 kg

pierde 75 %

90 kg 75 kg 50 kg 25 kg

gana 10%

gana 25% gana 50% gana 75%

99 kg 93, 75 kg 75 kg 43, 75 kg

¿Puedes obtener una conclusión general? Individual

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Valores

Proyecto socioproductivo

El proyecto socioproductivo vuelve al tema de la desigualdad económica, o desigualdad de ingresos, ya mencionado en la página inicial de la unidad. Como ya se ha indicado en la guía de esa primera página, si esa desigualdad es injusta o no constituye un tema de debate entre los estudiosos del problema. De hecho, una persona de buena situación económica puede sostener que su riqueza ha sido generada honestamente y que, por tanto, no es injusto que ella la posea.

Desigualdad de ingresos La situación de la cual surge nuestro proyecto Quizá no sea posible ni bueno que una sociedad sea perfectamente igualitaria, pero la desigualdad extrema no es aceptable: ¿puede alguien botar el alimento que otros no pueden conseguir?, ¿puede alguien morir por una enfermedad cuyo tratamiento otros podrían pagar 1 000 veces? Sabemos que mientras más desigual es una sociedad, menos bienestar individual y social tiene, incluso si es rica. Por eso creemos que es necesario prestar atención a la desigualdad.

El propósito de nuestro proyecto Nuestra finalidad es que las personas de nuestra comunidad tengan mayor conocimiento y comprensión de la desigualdad económica en nuestro país. Esperamos que, de este modo, ellas se sientan más comprometidas con la búsqueda de la igualdad y la justicia.

Nuestras actividades •

Elaborar material informativo sobre distintos aspectos de la desigualdad.

Sea injusta o no la desigualdad económica, sus consecuencias nos pueden conmover profundamente, pues ellas están inevitablemente asociadas a la pena y al sufrimiento de muchas personas. Las imágenes de la pobreza, la alimentación deficiente, la salud precaria o el entorno degradado solo nos pueden convencer de que, sea o no injusta, la desigualdad extrema no es algo que podamos tolerar.

– ¿Cuántos ganan mucho? ¿Cuántos ganan poco? Podemos definir distintos niveles de ingreso y averiguar qué porcentaje de la población boliviana está dentro de cada nivel. – ¿Cuál es la diferencia entre ricos y pobres? Podemos averiguar el nivel de ingreso de distintos grupos de personas y representar esos niveles “a escala”. Por ejemplo, 1 cm puede representar Bs 1 000. – ¿Cómo viven las personas pobres? ¿Cómo las personas ricas? Podemos elaborar un gráfico de sectores mostrando el porcentaje de sus ingresos que ellas dedican a salud, alimentación, vestido, educación, recreación, adquisición de bienes no esenciales, etc. – Podemos mostrar los porcentajes de población que tienen ciertos bienes y servicios. ¿Qué porcentaje de la población tiene una casa propia? ¿Qué porcentaje tiene Internet en su casa? ¿Qué porcentaje tiene acceso a servicios de salud de calidad? •

•

Organizar una exposición interesante con los resultados de nuestras investigaciones, una que pueda conmover a las personas con ideas y también con imágenes. Evaluar la realización de nuestro proyecto.

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163

Por otro lado, una investigación indica que en las sociedades con marcada desigualdad económica todas las personas, también las ricas, alcanzan menores niveles de bienestar individual y social.

163

Sugerencia de temporalización

9

Área de figuras planas

Septiembre Octubre

Valores Wangari Muta Maathai nació en Kenia en 1940 y murió el año 2011. Estudió Biología en Estados Unidos y Alemania y fue profesora en la Universidad de Nairobi, en Kenia. Cuando Wangari Maathai estableció una conexión entre la deforestación y las dificultades de las mujeres para satisfacer las necesidades básicas de sus familias, fundó el grupo ecologista Movimiento Cinturón Verde y alentó a las mujeres de su país a organizarse para sostener una acción dirigida a plantar millones de árboles.

La mujer árbol

Más tarde, la causa ambientalista la llevó a luchar contra la opresión política y a favor de los derechos democráticos. Wangari Muta Maathai recibió el premio Nobel de la Paz el año 2004. En su discurso de aceptación del premio dijo que los seres humanos “estamos llamados a ayudar a la Tierra a sanar sus heridas y en, el proceso, a sanar las nuestras, a abrazar la creación entera con su diversidad, belleza y maravilla. Esto sucederá si vemos la necesidad de revivir nuestro sentido de pertenencia a la gran familia de la vida, con la cual hemos compartido el proceso de evolución”. La lucha ecologista de Wangari Maathai está sustentada en la convicción de que solo evitando la degradación ambiental podremos evitar la degradación de la vida humana y conservar la paz.

164

Así llamaban a Wangari Muta Maathai (1940-2011). Ella creó un movimiento que alentó a las mujeres de su país, Kenia, a plantar millones de árboles para evitar la degradación ambiental y, de este modo, mejorar sus vidas.

• El movimiento creado por Wangari Maathai ha sembrado 50 millones de árboles en Kenia. ¿Qué área estimas que cubren 50 árboles? ¿Y 50 millones?

Ella decidió ayudar a las personas a vencer el miedo para defender sus derechos y enfrentarse a la opresión política. Wangari Maathai decía que plantar árboles es plantar las semillas de la paz y la esperanza. Recibió el premio Nobel de la Paz el año 2004.

• ¿Qué valor e importancia tienen los árboles para ti?

164

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Sugerencias metodológicas En la sección Recuerda, repase las equivalencias entre las unidades de superficie (m2, dm2 y cm2). Asegúrese de que los estudiantes comprenden adecuadamente los conceptos de las figuras planas y pueden reconocer sus características y elementos (diagonales, base, altura).

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA Unidades de superficie •

El centímetro cuadrado (cm2) es la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado.

•

El decímetro cuadrado (dm ) es la superficie de un cuadrado de 1 dm de lado.

•

–– Algunos estudiantes pueden confundir área y perímetro, tanto en el cálculo como en la unidad de medida utilizada, especialmente en el caso del círculo.

Para pasar de una unidad a otra, usamos el siguiente esquema: # 10 000

2

m2

# 100

dm2

' 100

# 100 ' 100

cm2

' 10 000

El metro cuadrado (m2) es la superficie de un cuadrado de 1 m de lado.

–– El aprendizaje de las fórmulas exige un esfuerzo de atención y comprensión. Al principio puede ayudar a los estudiantes tener en un mural una tabla con las fórmulas, aunque posteriormente convenga que trabajen sin este apoyo gráfico. Al hacer las actividades, conviene que escriban siempre la fórmula que utilizan.

1. Completa. a) 5 m2 =

500

c) 0, 08 m2 =

dm2

b) 3, 1 dm2 =

310

800

d) 56400 dm2 =

cm2

e) 7200 cm2 =

cm2

564

m2

72

f) 37000 cm2 =

dm2

3, 7

m2

Clasificación de los triángulos Por sus lados

Equilátero Tres lados iguales

Isósceles Dos lados iguales

Por sus ángulos

Escaleno Tres lados desiguales

2. Dibuja los siguientes triángulos. a) Rectángulo isósceles b) Acutángulo escaleno

Rectángulo Un ángulo recto

Acutángulo Tres ángulos agudos

Obtusángulo Un ángulo obtuso

–– Conceptos de medida: área, longitud, perímetro, unidad de superficie, unidades (centímetro cuadrado, decámetro cuadrado, decímetro cuadrado, hectárea, hectómetro cuadrado, kilómetro cuadrado, metro cuadrado, milímetro cuadrado), superficie.

Representación gráfica.

c) Obtusángulo isósceles

e) Obtusángulo escaleno

d) Acutángulo equilátero

f) Rectángulo escaleno

Clasificación de los cuadriláteros y paralelogramos Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Cuadrado

Cuatro lados iguales. Cuatro ángulos rectos.

Rectángulo

Lados iguales dos a dos. Cuatro ángulos rectos.

Rombo

Cuatro lados iguales. Ángulos iguales dos a dos.

Romboide

Lados iguales dos a dos. Ángulos iguales dos a dos.

3. Explica. a) ¿Por qué los cuadrados no son rombos?

c) ¿Por qué los cuadrados no son rectángulos?

b) ¿Por qué los rombos no son romboides?

d) ¿Por qué los rectángulos no son romboides?

Sus cuatro ángulos son iguales. Sus cuatro lados son iguales.

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Vocabulario matemático

Sus cuatro lados son iguales.

Sus cuatro ángulos son iguales.

165

–– Figuras: círculo, cuadrado, polígono regular (cuadrado, decágono, eneágono, heptágono, hexágono, octógono, pentágono, triángulo equilátero), rectángulo, rombo, romboide, trapecio, triángulo. –– Elementos de las figuras: altura, ángulo interno, apotema, base, base mayor, base menor, centro, circunferencia, diagonal, diagonal mayor, diagonal menor, diámetro, lado, radio, vértice. –– Número r (pi).

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165

Relación entre unidades de superficie

Más información El acre El acre es una unidad de superficie que se usa mucho en Estados Unidos y el Reino Unido. La relación entre el acre y el metro cuadrado es la siguiente: 1 acre = 4 046, 8564224 m

Las unidades de superficie se construyen a partir de las unidades de longitud. Cada unidad de superficie es un cuadrado cuyo lado mide la unidad de longitud respectiva; así el centímetro cuadrado (cm2) es el área de un cuadrado cuyo lado mide 1 centímetro. Unidad de longitud

2

Unidad de superficie

Definición

Kilómetro (1 000 m)

Kilómetro cuadrado (km2)

Hectómetro (100 m)

Hectómetro cuadrado (hm )

Un cuadrado de 1 hm de lado

Decámetro (10 m)

Decámetro cuadrado (dam )

Un cuadrado de 1 dam de lado

Metro

Metro cuadrado (m2)

Un cuadrado de 1 m de lado

Decímetro (0,1 m)

Decímetro cuadrado (dm2)

Un cuadrado de 1 dm de lado

Densidad de población

Centímetro (0,01 m)

Centímetro cuadrado (cm2)

Un cuadrado de 1 cm de lado

Un concepto valioso que depende del concepto de área es el concepto de densidad de población. La densidad de población se define como el cociente entre el número de habitantes y el área de una determinada superficie (por ejemplo una ciudad o un país); se expresa como habitantes por kilómetro cuadrado (hab./km2). Así, por ejemplo, si una ciudad tiene una superficie de 124 km2 y una población de 54000 habitantes, su densidad es:

Milímetro (0,001 m)

Milímetro cuadrado (mm )

Un cuadrado de 1 mm de lado

Por consiguiente, un acre equivale aproximadamente a un cuadrado de 64 metros de lado y es aproximadamente el 40% de un kilómetro cuadrado.

2

2

Para pasar de una unidad a otra, se utiliza el siguiente esquema: # 100 km2

# 100

# 100 hm2

' 100

dam2 ' 100

# 100 m2

' 100

# 100 dm2

' 100

# 100 cm2

' 100

mm2 ' 100

En cada unidad de superficie están contenidas 100 unidades de la unidad inmediatamente inferior. En 1 cm2 hay 100 mm2; en 1 dm2 hay 100 cm2; en 1 m2 hay 100 dm2; ... ; en 1 km2 hay 100 hm2.

1. Completa. 5 dam 2 =

= densidad = 54000 hab. 125 km 2 = 432 hab./km 2 El concepto de densidad puede utilizarse para cuantificar la concentración de seres u objetos de cualquier tipo. Así, por ejemplo, podemos hablar de la densidad de árboles en un bosque.

Un cuadrado de 1 km de lado 2

dm 2 : 100

dam 2

m2

: 100

: (100 : 100) : 10 000

dm 2 _ dam 2

dm 2

5 dam 2 = ^ 5 $ 10000 h dm 2 = 50000 dm 2

a) 2 m2 =

cm2

20 000

b) 3, 1 hm2 = c) 2, 5 km2 =

d) 8 cm2 =

800

mm2

g) 0, 25 m2 =

cm2

2 500

dam2

e) 14, 5 dm2 =

cm2

h) 0, 08 km2 =

m2

m2

f) 0, 5 dam2 =

dm2

i) 217 hm2 =

cm2

310

2 500 000

166

1 450

5 000

80 000

21 700 000 000

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Sugerencias metodológicas Tic Relaciones entre unidades de superficie. Afirmaciones verdaderas o falsas sobre las unidades de superficie.

166

–– Para empezar, con la ayuda del material de aula, dibuje en la pizarra cuadrados de lado 1 m, 1 dm y 1 cm. Escriba junto a cada uno de ellos su unidad respectiva y pida a los estudiantes que señalen superficies que expresarían con cada unidad. –– Señale que el área de una figura es la medida de su superficie, y que la unidad principal de superficie es el metro cuadrado. Haga hincapié en la diferencia entre área y superficie: el área es una medida (un concepto que une un número y una unidad de medida) y la superficie es algo espacial. Aunque solemos decir que la superficie de Bolivia es de 1 098 581 km2, sería matemáticamente más adecuado decir que Bolivia es una superficie y que su área es de 1 098 581 km2.

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Recursos

2. Completa. 1200 mm 2 = mm 2

Actividades

m 2:

' 100

' 100

cm 2

' 100

dm 2

' (100 $ 100 $ 100) ' 1 000 000

m 2 _ mm 2

–– Resuelve los problemas.

m2

a) Un municipio tiene una parcela de 0,5 hm2 para instalar un campo ferial. Van a ocupar 3 700 m2 y el resto lo dejarán libre por el momento. ¿Cuántos metros cuadrados quedarán libres?

1200 mm 2 = ^ 1200 ' 1000000 h m 2 = 0, 0012 m 2

a) 25 300 cm2 = b) 450 dam2 =

d) 8 200 mm 2 =

m2

2, 53

4, 5

e) 785 cm2 =

hm2

c) 8 000 000 m 2 =

8

82

g) 2 450 000 m 2 =

cm 2

dm2

h) 62 cm2 =

dam2

i) 75 600 hm 2 =

7, 85

f) 840 dm2 =

km 2

m2

0, 0062

0, 084

km 2

2, 45

756

km 2

b) María ha puesto una alfombra de 375 dm2 en una habitación de 6 m2. ¿Cuántos metros cuadrados quedan sin alfombra?

3. Expresa la suma de unidades en la unidad indicada. Pista: antes de realizar la suma, expresa todos los sumandos en la unidad indicada.

En m 2 a) 2 km 2 + 500 dm 2 + 50000 cm 22 2 000 010 m

En cm 2

b) 1 m2 + 0, 02 dam2 + 14000 mm22 30 140 cm

c) 2800 cm 2 + 12, 5 m 2 + 254 dm22 15, 32 m

d) 0, 05 km2 + 0, 075 m2 + 0, 25 dm22 500 000 775 cm

c) Un bosque europeo de 2 km2 está formado por hayas y pinos. Las hayas ocupan 380 000 m2. ¿Cuántos metros cuadrados ocupan los pinos?

4. Completa La extensión de terrenos naturales, bosques y superficies dedicadas a la agricultura suele expresarse en hectáreas; 1 hectárea (ha) es equivalente a 1 hm2, es decir, a 10 000 m2: 1 ha = 1 hm 2 = 10 000 m 2

a) 8 ha =

c) 0, 4 ha =

m2

80 000 m 2

b) 1 500 ha =

km

15 km

2

2

d) 12, 5 hm = 2

e) 16 500 m 2 =

m2

4 000 m 2

ha

12, 5 ha

f) 8, 5 km = 2

–– Piensa y contesta. Da tres respuestas posibles.

ha

Tres hermanos han recibido una herencia. A Luis le ha correspondido una parcela de 0,04 km2 y a Miguel, una parcela de 4,2 hm2. La parcela de Pedro tiene más superficie que la de Luis y menos que la de Miguel. ¿Qué superficie puede tener la parcela de Pedro?

1, 65 ha

ha

850 ha

5. Resuelve los problemas. a) Un campo de fútbol de 100 m # 75 m tiene una superficie de 7 500 m 2 . Expresa esa superficie en km2 y en ha. 0, 0075 km 2 ; 0, 75 ha

b) Los niños de 12 años tienen aproximadamente 1,33 m2 de superficie corporal. ¿A cuántos cm2 equivale esa superficie? 13 300 cm 2

c) Según una estimación reciente, en Bolivia se deforestan anualmente más de 400 000 hectáreas de bosques. ¿A cuántos km2 equivale esa superficie? ¿A cuántos campos de fútbol de 100 m # 75 m ? 2 4 000 km ; 533 333, 3 campos de fútbol.

d) Un tablero de ajedrez está compuesto por 64 casillas del mismo tamaño. ¿Cuál es la superficie, en cm2, de cada casilla en un tablero que tiene una superficie de 0,1024 m2? 16 cm 2

e) Rusia es el país que tiene más bosques, aproximadamente 809 millones de hectáreas. Si esa superficie equivale al 20 % de los bosques del planeta, ¿cuántos km2 de bosques tiene la Tierra? 40 450 000 km 2

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–– Deje clara la definición de cada unidad y sus relaciones con el metro cuadrado. Comente los ejemplos resueltos, señalando la potencia de 10 que utilizamos en cada caso y si multiplicamos o dividimos.

–– Si lo cree conveniente, proponga a los estudiantes recoger información sobre el área y la población de algunos países. Calcule de forma colectiva la densidad de población de esos países. Por último, plantee preguntas sobre esos datos. Por ejemplo: ¿Cuál de los países está más poblado? ¿Y menos poblado? (para responder a estas preguntas ayúdeles a distinguir entre la comparación directa de la población y la comparación de la densidad de población).

Tic Unidades de superficie. Diferentes formas de expresar la medida de una misma superficie.

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Más información Puntualizaciones sobre el área del rectángulo y el área del cuadrado

Área del rectángulo y del cuadrado ¿Cuál es el área del rectángulo?

•

Área del rectángulo = largo $ ancho = base $ altura A = = b $ h = 4 cm $ 2 cm = 8 cm 2

–– Todos los cuadrados tienen la misma forma, pero no ocurre lo mismo con todos los rectángulos. ¿Cuándo dos rectángulos tienen la misma forma? cuando el cociente entre su base y su altura es la misma. Entonces, el rectángulo de base 4 cm y altura 2 cm tiene la misma forma que el rectángulo de base 8 cm y altura 4 cm (este mismo rectángulo se puede rotar y obtener el rectángulo de base 4 cm y altura 8 cm). Se entiende que dos rectángulos de la misma forma no tienen necesariamente el mismo tamaño. –– Dada una cierta área hay un solo cuadrado que tiene esa área; en cambio, hay una infinidad de rectángulos (distintos por su forma) que tienen la misma área. –– La fórmula del área del rectángulo es fundamental para deducir las fórmulas de área de todas las demás figuras planas.

4 cm

El largo del rectángulo es su base, b, y el ancho es su altura, h.

La base y la altura deben estar expresadas en la misma unidad de longitud.

b

¿Cuál es el área del cuadrado?

•

3 cm

El cuadrado es como un rectángulo cuya base y altura son iguales. Podemos decir que la base y la altura del cuadrado son iguales a su lado, l. Area del cuadrado = lado $ lado = lado A 4 = l $ l = l 2 = ^3 cm h 2 = 9 cm 2 •

h

2 cm

l

3 cm

2

l

El área del rectángulo es el producto de su base por su altura. A= = b $ h

•

El área del cuadrado es su lado elevado al cuadrado. A4 = l2

1. Mide cada figura y calcula su área en centímetros cuadrados. a)

c)

b)

9, 24 cm 2 12 cm 2 12, 25 cm 2

2. Calcula el área de cada figura. a) Un rectángulo de 43 cm de base y 12 cm de altura. 516 cm 2 _____________________________________________________________

b) Un cuadrado de 64,5 cm de lado. 4 160, 25 cm 2 _____________________________________________________________

c) Un rectángulo de 15 cm de base y 64 mm de altura. 96 cm 2 _____________________________________________________________

d) Un rectángulo de 18 m de base y 1,23 dam de altura. 221,4 m 2 _____________________________________________________________

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Sugerencias metodológicas –– Dibuje en la pizarra un rectángulo y recuerde cómo se calcula su área multiplicando sus dimensiones. Comente entonces la relación del largo y el ancho con la base y la altura. Explique el caso especial del cuadrado, en el que la base y la altura coinciden con el lado. –– Escriba las fórmulas en la pizarra explicando qué significa cada letra, y pida a los estudiantes que las memoricen.

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Recursos

3. Calcula el lado del cuadrado conociendo su área. Usa calculadora si es necesario.

Actividades

De un cuadrado de área 529 cm2, calculamos el lado así: A4 = l2

a) 100 m2 b) 1 dm

2

entonces

entonces

529 cm2 = l2

10 m

1 dm

c) 16 cm2

4 cm

e) 1, 96 ha

d) 5, 76 km

2

f) 30, 25 mm2

2, 4 km

En cada fila se indican los datos de un rectángulo o un cuadrado. Calcula en cada caso el dato que falta e indica la forma de la figura.

l = 529 cm = 23 cm 1, 4 hm 5, 5 mm

4. Calcula la base o la altura del rectángulo conociendo su área y su altura o su base. De un rectángulo de área 72 cm2 y altura 12 cm, calculamos su base así: A> = b $ h

entonces

b = A> ' h

entonces

Base

Altura

8 cm

8 cm

b = 72 ' 12 = 6 cm

Para calcular la altura, h: A> = b $ h

entonces

8 cm

h = A> ' b

a) A = 100 m 2; b = 25 m

c) A = 20 m 2; h = 2, 5 m

b) A = 14 cm 2; h = 6 cm

d) A = 6, 45 km 2; b = 4, 3 km

h = 4m

Área

5 cm

25 cm2

2,5 cm

10 cm2 360 cm2

b = 8m

h = 1, 5 km

b = 2, 3 cm

5. Completa las afirmaciones. a) Una superficie de 2 km2 equivale a un cuadrado de

m de lado.

b) Una superficie de 9 m equivale a un cuadrado de

cm de lado.

1 414, 2

2

300

c) Una superficie de 0, 25 km equivale a un cuadrado de 2

500

m de lado.

6. Resuelve los problemas. a) ¿Cuántos metros cuadrados de papel se utilizan en un cuaderno de 100 hojas, si cada hoja mide 16, 5 cm # 21, 5 cm ? 3, 5475 m 2

b) Un terreno agrícola rectangular de 350 m # 450 m necesita ser fertilizado. Si cada bolsa de fertilizante alcanza para 3 hectáreas, ¿cuál es la cantidad mínima de bolsas que hay que comprar? 6 bolsas.

c) ¿Cuál es el área de un patio cuadrado de 6 m de lado? ¿Cuántas piezas cuadradas de cerámica, de 40 cm de lado, son necesarias para enlosarlo? 36 m 2 ; 225 piezas .

d) ¿Cuántas personas asistieron a un concierto de rock si llenaban un rectángulo de 180 m # 80 m y, en promedio, cada persona ocupaba un cuadrado de 80 cm de lado? 22 500 personas.

7. Investiga. Para el perímetro dado, encuentra la figura, rectángulo o cuadrado, que tiene el área mayor (considera que el lado, la base y la altura son números naturales, no decimales). ¿Puedes sacar una conclusión general?

a) 12 cm Cuadrado

b) 18 cm Rectángulo

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c) 24 cm

Cuadrado

d) 36 cm

Cuadrado

169

169

Más información Deducción de la fórmula del rombo a partir de la fórmula del romboide

Área del rombo, del romboide y del trapecio •

d = 2 cm

En un rombo trazamos sus diagonales. Cortamos el rombo por la diagonal mayor y obtenemos dos triángulos. Uniendo esos triángulos formamos un romboide. Podemos ver que la base del romboide es la diagonal mayor del rombo, y que la altura del romboide es la mitad de la diagonal menor.

¿Cuál es el área del rombo? d

D = 5 cm

h = d = 2 cm

D b = D = 5 cm

El área del rombo es igual a la mitad del área del rectángulo de base igual a la diagonal mayor del rombo, D, y altura igual a la diagonal menor del rombo, d. •

A ? = 5 cm $ 2 cm = 5 cm 2 2

h = 2 cm

h

b = 3 cm

b = 3 cm

El área del romboide es igual al área del rectángulo de base igual a la base del romboide, b, y altura igual a la altura del romboide, h.

Entonces, podemos deducir la fórmula del área del rombo a partir de la del romboide.

Área del romboide = área del rectángulo = b $ h A 6 = 3 cm $ 2 cm = 6 cm 2

¿Cuál es el área del trapecio? b + B = 2 cm + 4 cm

b = 2 cm h = 3 cm

B = 4 cm

Área = b $ h = D $ d = D $ d 2 2

área del rectángulo = D$d 2 2

¿Cuál es el área del romboide?

h = 2 cm

•

Área del rombo =

h = 3 cm

B + b = 4 cm + 2 cm

El área del trapecio es igual a la mitad del área del romboide de base igual a la suma, B + b , de las bases mayor, B, y menor, b, del trapecio y altura igual a la altura del trapecio, h.

^B + bh $ h Área del trapecio = área del romboide = 2 2 ^4 cm + 2 cmh $ 3 cm A: = = 9 cm 2 2

El área del rombo es la mitad del producto de sus diagonales.

A? = D $ d 2

El área del romboide es el producto de su base por su altura.

A 6 == b $ h

El área del trapecio es la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura.

A: =

170

^B + bh $ h 2

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Sugerencias metodológicas –– Dibuje un rombo en la pizarra y pida a los estudiantes que calquen en una hoja el rombo de la ilustración. Dibuje las paralelas para formar el rectángulo, a la vez que los estudiantes las trazan en su hoja. Hágales observar que la diagonal mayor del rombo es igual que la base del rectángulo y la diagonal menor es su altura. Pida que recorten el rectángulo y después el rombo, y que comprueben que los cuatro triángulos que completan el rectángulo forman el rombo. Razone en común que el área del rombo es la mitad del área del rectángulo. –– Dibuje en la pizarra un romboide y muestre cómo se puede formar a partir de él un rectángulo de igual base y altura. Pida a los estudiantes que calquen el romboide de la ilustración, lo recorten

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Recursos

1. Mide cada figura y calcula su área en centímetros cuadrados. b)

a)

c)

Actividades Dibuje en la pizarra los romboides ABCD y ABEF y señale que los puntos D, C, F y E están en la misma recta.

5, 625 cm 2 8, 25 cm 2

12 cm 2

2. Calcula el área de cada figura.

D

C

F

E

a) Un rombo de 14 cm de diagonal mayor y 8 cm de diagonal menor. 56 cm 2 b) Un romboide de 9 cm de base y 5 cm de altura. 45 cm 2 c) Un trapecio de 10 cm de base mayor, 4 cm de base menor y 5 cm de

A

altura. 35 cm 2

Pida a dos estudiantes que repasen la base AB y tracen la altura de cada romboide correspondiente a dicha base. Hágales ver que las dos alturas son iguales. Después, pregunte: ¿Tienen los dos romboides la misma área? ¿Por qué?

3. Copia los trapecios y realiza los dibujos que muestran gráficamente que todos tienen la misma área. Representación gráfica.

4. Resuelve los problemas. a) ¿Cuántos metros cuadrados de papel seda son necesarios para fabri-

Para ayudar a pensar

car 14 cometas con forma de rombo de diagonal mayor 90 cm y diagonal menor 60 cm? 3, 78 m 2

–– En la actividad 5a, equiparo el cuadrado a un rombo y calculo su área utilizando la fórmula del rombo: A = D $ d = 8 $ 8 = 32 cm2 2 2

b) ¿A cuántos cuadrados de 5 dm de lado equivale la superficie de un romboide de 9,2 m de base y 625 cm de altura? 230 cuadrados.

c) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la zona restringida de la cancha de baloncesto? ¿Qué porcentaje de la cancha corresponde a las dos zonas restringidas?

5,8 m

Ahora calculo el lado del cuadrado extrayendo la raíz cuadrada del área:

1,8 m 15 m 3 m

27, 84 m 2 ; 13, 26 %

 2 = 32 cm 2 (  = 32 cm =

28 m

= 5, 66 cm

5. Pensamiento crítico. Piensa y resuelve, a) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyas diagonales miden 8 cm? Usa la calculadora si es necesario. Pista: un cuadrado es como un rombo

–– En la actividad 5b, primero calculo el área del rombo: A = D $ d = 8 $ 6 = 24 cm2 2 2

5 cm

b) Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm y sus lados miden 5 cm. Si apoyamos el rombo sobre uno de sus lados, ¿qué altura, h, alcanza? 4, 8 cm

cm

6

de diagonales iguales. 5, 66 cm

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B

h cm 8

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Después equiparo el rombo a un romboide y calculo el valor de h utilizando la fórmula del romboide: A = b $ h ( 24 = 5 $ h ( ( h = 4, 8 cm

y trasladen el triángulo para construir el rectángulo. Razone entonces con ellos que el área del romboide es igual que el área del rectángulo. –– Dibuje en la pizarra un trapecio y muestre cómo, con dos de esos trapecios, se puede formar un romboide. Pida a los estudiantes que calquen dos veces el trapecio de la ilustración, que recorten sus dibujos y los unan adecuadamente para construir un romboide. Razone entonces con ellos que el área del trapecio es la mitad del área del romboide.

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Más información

Área del triángulo

El área del triángulo –– Dada una cierta área hay una infinidad de triángulos (distintos por su forma) que tienen la misma área. Además: · Hay una infinidad de triángulos con distintas bases y alturas. · Y hay una infinidad de triángulos con la misma base y la misma altura, pero distintos por su forma. –– El área de un triángulo se puede calcular a partir de la longitud de sus lados utilizando la llamada fórmula de Herón. –– Si a, b y c son los lados del triángulo, el semiperímetro es: s = 1 ^a + b + ch 2 La fórmula de Herón es la siguiente: A=

s $ ^ s - ah $ ^ s - bh $ ^ s - ch

–– Otra fórmula para calcular el área de un triángulo a partir de las longitudes de los lados es la siguiente:

¿Cuál es el área de los triángulos?

h = 2 cm

h = 2 cm

b = 3 cm

h = 2 cm

b = 3 cm

b = 3 cm

En los tres casos, el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo o el romboide cuya base es la base del triángulo y cuya altura es la altura del triángulo. Área del triángulo =

área del rectángulo (o el romboide) = b$h 2 2

A 9 = 3 cm $ 2 cm = 3 cm 2 2 En un triángulo, una altura (h) es un segmento perpendicular a un lado o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto; este lado es la base (b) del vértice correspondiente.

h b

El área del triángulo es el producto de su base por su altura dividido entre 2. A9 = b $ h 2

1. Traza la altura correspondiente a cada vértice. Para cada vértice, obtén una medida (en milímetros) de la base y la altura. Con las tres parejas de medidas, calcula el área del triángulo y comprueba que en los tres casos obtienes resultados (aproximadamente) iguales.

a)

b)

c)

A

A = 1 2 $ P -Q 4 P = a2 b2 + a2 c2 + b2 c2 Q = a4 + b4 + c4

B

A

A

^mmh

C

B

C

^mmh

B

^mmh

C

34 25 A Base: ____ Altura: ____

39 21 A Base: ____ Altura: ____

35 29 A Base: ____ Altura: ____

42 20 B Base: ____ Altura: ____

34 24 B Base: ____ Altura: ____

30 24 B Base: ____ Altura: ____

34 C Base: ____ Altura: ____ 25

35 28 C Base: ____ Altura: ____

51 20 C Base: ____ Altura: ____

Área entre 420 y 425 mm.

172

Área entre 402 y 409 mm.

Área entre 507 y 510 mm.

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Sugerencias metodológicas

Tic

Trabaje de forma similar a las páginas anteriores, explicando en la pizarra la obtención de la fórmula del área del triángulo a partir del área del romboide.

Bases y alturas. Relación entre base y altura en tres polígonos.

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Recursos

2. Calcula el área de cada triángulo. a) b)

d)

c)

3,5 cm

Actividades 8 cm

9 cm

14 cm 2

8 cm

4 cm

18 cm

–– Pida a los estudiantes que dibujen y recorten un rectángulo; que después tracen una de sus diagonales y recorten los dos triángulos formados. Indíqueles que comprueben que los dos triángulos son iguales y, por tanto, el área de cada triángulo es la mitad que la del rectángulo, siendo una base del triángulo y su correspondiente altura iguales que las del rectángulo.

16 cm

8 cm

32 cm 2

2

4,5 cm

36 cm 2

3. Mide los ángulos internos de los triángulos de la actividad 1 y comprueba que la suma de las medidas es 180º. Se comprueba. En un triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a 180º. 80° 80°

60°

40°

40°

–– Calcula el área de esta figura de las tres formas indicadas.

4. Resuelve los problemas.

7 cm

6 cm

a) Calcula el área de una pieza de madera triangular cuya base mide 30 cm y cuya altura mide 15 cm. 225 cm 2

b) En el papiro Rhind (Egipto, siglo XVI a.C.) se encuentra el siguiente problema: “¿Cuál es el área de un triángulo de 10 khet sobre su mryt (altura) y de 4 khet de base?” Resuelve este problema (¿qué es khet?).

4 khet

6 cm

10 khet

6 cm

a) Utilizando solo la fórmula del triángulo.

2

20 khet ; khet es la unidad de medida de longitud.

c) La pirámide de Keops tiene una base

b) Utilizando la fórmula del romboide y la del triángulo.

cuadrada de 230 m de lado y sus cuatro lados son triángulos isósceles de 187 m de altura. Sobre el dibujo, señala las alturas de los dos lados que se ven y calcula el área de cada uno de los cuatro lados.

c) Utilizando la fórmula del trapecio

21 505 m 2

Pirámide de Keops.

5. Pensamiento crítico. Piensa y responde, a) ¿Cuántos rectángulos distintos de 8 cm de base y 24 cm2 de área existen? ¿Y cuántos triángulos de esas mismas características?

1 rectángulo; infinitos triángulos.

b) ¿Tienen los dos triángulos del dibujo la misma base? ¿E igual altura? ¿Tienen los dos triángulos la misma área? ¿Por qué? Tienen la misma base, altura y área.

2 cm

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2 cm

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Tic Área de figuras planas. Cálculo del área de cuatro figuras.

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Polígonos regulares

El lado, el radio y el apotema de un polígono Las longitudes del lado, el radio y el apotema de un polígono regular están relacionadas. Es muy importante tener en cuenta las siguientes fórmulas, porque un polígono que no las cumple es en realidad imposible, no puede existir. Polígono

Lado

Apotema

Triángulo

1, 732 $ r

0, 289 $ 

Cuadrado

1, 414 $ r

0, 500 $ 

Pentágono

1, 176 $ r

0, 688 $ 

Hexágono

1, 000 $ r

0, 866 $ 

Heptágono

0, 868 $ r

1, 038 $ 

Octógono

0, 765 $ r

1, 207 $ 

Eneágono

0, 684 $ r

1, 374 $ 

Decágono

0, 618 $ r

1, 539 $ 

Observa los elementos de un polígono regular representados en un polígono de seis lados. Lado

•

Lados: segmentos de recta que limitan al polígono.

A

•

Ángulos internos: ángulos formados por dos lados consecutivos.

Dia

•

Vértices: puntos donde se unen dos lados consecutivos.

•

Centro: punto que equidista de todos los vértices.

•

Radio: segmento que une el centro con cualquiera de los vértices.

•

Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

•

Apotema: segmento que une el centro con el punto medio de cualquier lado; es perpendicular al lado.

B

l na

go

Ángulo

Centro

F

Ra dio

Más información

C

Apotema

Vértice E

D

Los polígonos regulares se nombran por su número de lados. Triángulo

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Tres lados

Cuatro lados

Cinco lados

Seis lados

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

Siete lados

Ocho lados

Nueve lados

Diez lados

¿Cuál es el área del pentágono?

l

Cualquier polígono regular se puede descomponer en triángulos iguales, uniendo su centro con sus vértices.

a

La base de cada triángulo es un lado del polígono, l, y la altura es el apotema del polígono, a. El área del polígono es el producto del número n de triángulos (igual al número de lados) por el área de un triángulo.

1,4 cm 2 cm

Área del polígono = número de triángulos $ área de un triángulo = n $ l $ a 2 perímetro = n $ l $ $ a P a l A7 = n $ A7 = 2 2 2 cm $ 1, 4 cm 2 = 7 cm A7 = 5 $ 2 Un polígono regular es una figura plana cuyos lados son iguales y cuyos ángulos internos son también todos iguales. El área de un polígono regular es el producto de su perímetro por su apotema dividido entre 2: A 7 = P $ a . 2

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Sugerencias metodológicas –– Dibuje un pentágono regular y pida a los estudiantes que calquen el de la ilustración. Marque el centro, explique que este punto está a la misma distancia de todos los vértices del polígono y descompóngalo en cinco triángulos iguales. –– Comente que el área del polígono es cinco veces el área de un triángulo y señale uno. Muestre que el lado del pentágono es la base del triángulo y que el apotema del polígono es la altura del triángulo. Explique detenidamente y de manera general el razonamiento que nos conduce a la fórmula final: perímetro por apotema sobre 2.

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Recursos

1. Calcula el área de los siguientes polígonos regulares. b)

a)

d)

c)

Para ayudar a pensar 5,2 cm

5,5 cm 8 cm

110 cm

2

6 cm

4,2 cm

93, 6 cm

2

4 cm

6 cm

58, 8 cm

2

5 cm

120 cm 2

2. Dibuja un polígono regular de tres lados (un triángulo equilátero), lee la definición de apotema y ubica el centro del triángulo dibujado. Respuesta gráfica.

3. Calcula el área de un cuadrado de 12 cm de lado utilizando la fórmula para calcular el área de un polígono. 144 cm 2

4. Resuelve los problemas. a) ¿Qué superficie ocupa una casa que tiene forma de hexágono, si su lado mide 28 m y su apotema 24,4 m? ¿Cuánto costará aproximadamente colocar piso de parqué en las dos plantas de la casa, si el precio del metro cuadrado de parqué es de Bs 150? 2 049, 6 m 2 ; Bs 614 880

–– Actividad 7. Si los estudiantes dibujan dos o tres polígonos regulares con el mismo radio y distinto número de lados, no es difícil que se den cuenta de que el área aumenta conforme aumenta el número de lados. Por consiguiente, dados un cuadrado y un decágono regular con el mismo radio, el decágono tendrá mayor área. El docente puede realizar un trabajo más analítico sustituyendo en la fórmula del área del polígono las expresiones dadas en la tabla de la página anterior (en el apartado de Más información).

b) El Pentágono (la sede del Departamento de Defensa de Estados Unidos) fue diseñado por el arquitecto George Bergstrom (1876–1955). Calcula el área aproximada que ocupa todo el edificio y el área aproximada de la plaza central. Las medidas del dibujo son aproximadas. 136 285 m 2 ; 20 250 m 2

108 m 19

75

m

4 m

Pensamiento crítico e investigación

281 m

5. Investiga. Observa el siguiente dibujo y explica cómo puedes deducir la

Determina el área de la parte coloreada, sabiendo que el área del hexágono regular es de 258 cm2.

1,7 cm

1,7 cm

fórmula para el área de un polígono mediante la fórmula para el área de un romboide. Individual

2 cm

2 cm

a)

Apotema 2 cm

2 cm

2 cm

2 cm

b)

2 cm

Perímetro

c)

6. Investiga. Indica cuántas diagonales tienen los siguientes polígonos. a) De tres lados 0 c) De cinco lados 5 b) De cuatro lados

2

d) De seis lados

9

7. Pensamiento crítico. Un cuadrado y un decágono regular tienen el mismo radio, ¿cuál tiene mayor área?, ¿por qué? El decágono regular.

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175

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Más información

Longitud de la circunferencia y área del círculo

El número r (pi) El número r es el cociente entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Es un número decimal que tiene infinitas cifras decimales no periódicas; es, por tanto, un número irracional. Un gran desafío matemático consiste en calcular el número r con la mayor cantidad de cifras decimales posibles. Hasta el momento, utilizando computadoras, se han obtenido 10 billones de cifras, pero el número r ¡tiene infinitas cifras decimales! Otras fórmulas para el área de un círculo –– Para calcular el área a partir del diámetro, D. Como r = D , entonces: 2 A = r $ r2 2 A = r $bD l 2 2 A = r$D 4

Laura traza dos circunferencias, una de diámetro 8 cm y otra de diámetro 12 cm. Con una cinta métrica mide las circunferencias y encuentra que el cociente entre la longitud de cada circunferencia y su diámetro es siempre aproximadamente el mismo. 12 cm 8 cm

25,1 cm

C = 25, 1 . 3, 14 D 8

Circunferencia Circunferencia = =r 2 $ radio Diámetro

C = D$r o C = 2$r$r

r = 3, 141592654f En la práctica se usa: r . 3, 14 ¿Y cómo calculamos el área del círculo, es decir, de la superficie delimitada por una circunferencia? Podemos asemejar un círculo a un polígono regular con muchísimos lados:

En este caso, la longitud de la circunferencia es similar al perímetro del polígono, y el radio de la circunferencia es similar al apotema del polígono. Por consiguiente: Área del polígono =

perímetro $ apotema 2

Área del círculo = circunferencia $ radio = 2 $ r $ r $ r = r $ r 2 2 2 La longitud de una circunferencia es igual al producto de r por su diámetro.

2

2 A = r $b C l 2$r 2 A = r$ C 2 4$r 2 A= C 4$r

C = 37, 7 . 3, 14 D 12

El cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es siempre el mismo. Este cociente es el número r (pi), un número decimal que tiene infinitas cifras decimales. Por lo tanto:

–– Para calcular el área a partir de la circunferencia, C. Como C = 2 $ r $ r, entonces r = C . Por lo 2$r tanto: A = r$r

37,7 cm

C = r $ D, o también: C = r $ 2 $ r = 2 $ r $ r El área de un círculo es igual al producto de r por su radio al cuadrado. A5 = r $ r2

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Sugerencias metodológicas –– Haga observar a los estudiantes en la ilustración que, cuando los polígonos tienen muchos lados, se asemejan a un círculo. Escriba en la pizarra y deduzca el área del círculo a partir del área del polígono regular, razonando en común que el perímetro es similar a la longitud de la circunferencia y el apotema es similar al radio. –– Dibuje un círculo en la pizarra, indique la medida del radio y calcule su área de forma colectiva. Después, dibuje otro indicando la medida del diámetro y razone en común que primero debemos hallar el radio y después el área.

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1. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo. a)

b) 25 cm

Recursos

c) Para ayudar a pensar

40 m

7,5 cm

78, 5 cm

47, 1 cm

125,6 cm

490,625 cm 2

176,625 cm 2

1 256 cm 2

–– Actividad 2. Un sector circular es la parte del círculo limitada por dos radios y una parte de la circunferencia. Podemos dividir un círculo en distintas cantidades de sectores circulares iguales.

2. Investiga. Observa el siguiente dibujo y explica cómo puedes deducir la fórmula para el área del círculo mediante la fórmula para el área de un romboide. No va la respuesta.

A medida que la cantidad de sectores circulares crece, cada sector se parece más a un triángulo cuya altura es igual al radio del círculo. Las bases de todos esos triángulos, consideradas en conjunto, tienen una longitud igual a la circunferencia del círculo.

r r 1 $C 2

1 $C 2

3. Resuelve los problemas. a) Una pizza circular de 30 cm de diámetro se divide en ocho partes iguales. Calcula el área de cada porción de la pizza. 88, 31 cm 2

b) Un rosetón es un vitral de forma circular muy utilizado en las iglesias góticas europeas. Calcula la circunferencia y la superficie del rosetón mayor de la Catedral de Santa María de Palma de Mallorca (España) el cual tiene aproximadamente 12,5 m de diámetro. 39, 25 m ; 122, 66 m 2

c) La típica bicicleta de montaña para adulto tiene ruedas de 26

Rosetón mayor de la Catedral de Santa María de Palma de Mallorca (España).

pulgadas de diámetro (aro 26). 1 pulgada = 2,54 cm. • • •

¿Cuál es la circunferencia de estas ruedas? 207,37 cm ¿Qué área “encierra” una de estas ruedas? 3 423, 61 cm 2 ¿Qué distancia recorre esta bicicleta cuando una rueda da 10 vueltas? 20, 74 m

4. Investiga. ¿Qué sucede con la longitud de la circunferencia y con el área del círculo cuando el diámetro o el radio se doblan? Llena la siguiente tabla e intenta obtener una conclusión general. Individual Diámetro

Longitud de la circunferencia

Área del círculo

2 cm

6, 28 cm

3, 14 cm 2

4 cm

12, 56 cm

12, 56 cm 2

8 cm

25, 12 cm

50, 24 cm 2

16 cm

50, 24 cm

200,96 cm 2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

177

También podemos ver que a medida que la cantidad de sectores circulares crece, la figura que formamos uniéndolos (tal como muestra la ilustración del libro) se va tornando más parecida a un rectángulo. Este detalle no afecta a la validez del razonamiento puesto que el área del rectángulo es, como la del romboide, igual al producto de la base por la altura. –– Actividad 3c. Cuando una rueda gira y se desplaza, en cada instante un determinado punto de su circunferencia está en contacto con el suelo. Cuando ese punto vuelve a estar en contacto con el suelo, la rueda ha completado una vuelta y ese punto se ha desplazado sobre el piso una distancia igual a la circunferencia de la rueda.

177

Más información El área de un polígono irregular convexo Recordemos que un polígono es convexo si todos sus ángulos internos miden menos de 180º. Para calcular el área de un polígono irregular convexo, podemos utilizar el siguiente procedimiento. 1.° Trazamos todas las diagonales correspondientes a un vértice cualquiera del polígono. De este modo, el polígono queda dividido en varios triángulos (al menos dos).

Área de figuras compuestas En el plano del dibujo, la piscina de forma circular está rodeada de un sector con césped. ¿Qué área tiene ese sector? Para hallar el área verde, dividimos la figura completa en otras figuras más simples cuya área sepamos calcular. En este caso podemos dividirla en un rectángulo, un triángulo y un círculo.

30 m 2 m

24 m 2 m

El área del sector verde resulta de restar el área del círculo a la suma de las áreas del rectángulo y el triángulo.

36 m

Área del rectángulo. base = 30 m; altura = 24 m

•

A = = b $ h ( A > = 30 m $ 24 m = 720 m2 Área del triángulo. base = 36 m - 30 m = 6 m; altura = 24 m

•

A9 = b $ h ( A9 = 6 m $ 24 m = 72 m 2 2 2 Área del círculo. diámetro = 24 m - 4 m = 20 m; radio = 10 m

•

A5 = r $ r2 ( A5 = 3, 14 $ ^10 mh2 = 3, 14 $ 100 m2 = 314 m2

Área del sector verde

•

A verde = A = + A9 - A5 = 720 m 2 + 72 m 2 - 314 m 2 = 478 m 2

4.° Sumamos todas las áreas calculadas en el paso anterior y obtenemos el área total del polígono.

1. Calcula el área de las siguientes figuras.

1 m

2 m

185 cm 2

14 m

79, 12 cm 2

2

2 m

18, 53 m 2

2 cm 5 cm

4 cm

21, 5 cm 2

178

6 cm

f)

d)

4 cm

b)

4 m

4 m 29 cm

2 cm

30 m

5 cm

10 cm

3 m 8 m

6 m 2 m

10 cm

2 m

6 m

e)

10 cm

c)

5 cm

3 m

4 cm

a)

3 cm

3.° Con la fórmula de área del triángulo y con los datos obtenidos en el paso anterior, calculamos el área de cada uno de los triángulos que componen el polígono irregular convexo.

Para calcular el área de una figura compuesta, hay que descomponerla en otras figuras más simples cuyas áreas sepamos calcular.

3 m

2.° En cada uno de los triángulos definimos la base (cualquiera de los lados del triángulo) y medimos su longitud. A continuación dibujamos la altura correspondiente a esa base y medimos su longitud. De esta manera, obtenemos las medidas de base y altura de cada triángulo.

6 cm

24 cm 2

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Sugerencias metodológicas Tic Área de figuras compuestas. Explicación de formas de calcular el área de una figura compuesta.

178

–– Para empezar, puede utilizar las piezas de un tangrama para armar distintas figuras y enseñar a los estudiantes el concepto de figura compuesta. Haga notar que si en las figuras ha utilizado todas las piezas, todas esas figuras deben tener la misma área. –– Copie en la pizarra la figura del ejemplo y razone con los estudiantes para calcular su área. Primero, ayúdeles a determinar mediante qué suma y/o sustracción de figuras se forma la figura total que están analizando. Después, calcule de forma colectiva el área de cada figura parcial. Finalmente, razone con los estudiantes sobre las operaciones que deben realizar con las áreas de las figuras parciales para obtener el área de la figura inicial.

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Recursos

2. Calcula el área de la región coloreada.

30 m

756 m

2 cm

8,7 cm

30 m 4 m

4 m2

174 cm 2

37, 68 cm 2

2

f)

7 m 7 m

d)

b)

h)

cm

18 m

13 ,6 cm

16

30 m

774 m

28 m

2

252 m

Para ayudar a pensar

4 cm

10

2 m

12 m

g)

cm

e)

c)

12 m

7 cm 11 cm

a)

16 cm

73, 54 cm 2

140, 77 cm 2

2

b)

c) 4,84 cm

d) 10 cm

cm 2

cm

6,3

44, 6 cm 2

6 cm

10 cm

13, 08 cm 2

5,2 cm

12 cm

71, 5 cm 2

46, 8 cm 2

4. Resuelve los siguientes problemas. a) Calcula el área del tangrama y de cada una de las figuras que lo componen. (Figura 1) 100 cm 2 (total) ; 6, 25 cm 2 (2 piezas) ; 12, 5 cm 2 (3 piezas) ; 25 cm 2 (2 piezas) .

b) En esta plaza, ¿cuántos metros cuadrados están cubiertos por baldosas de cerámica y cuántos por césped? (Figura 2) Baldosas: 364, 24 m 2; césped: 35, 76 m 2

c) ¿Cuántos centímetros cuadrados tiene la flor? (Figura 3) Figura 1

Figura 2

4 m

10 cm

10 cm

Figura 3

2 dam

5 cm

–– Actividad 4b. Baldosas: el área de 1 círculo de 10 m de radio más el área de 1 círculo de 4 m de radio. Césped: el área de un cuadrado de 20 m de lado menos el área de la superficie con baldosas.

5 cm

5. Investiga. Indica el área y el lado de cada uno de los

16 cm 2 ; 4 cm

cinco cuadrados que se ven en el dibujo. Los vértices están en los puntos medios de los lados. Usa calculadora si es necesario. Pista: puedes usar la fórmula de

8 cm 2 ; 2, 83 cm 4 cm

4 cm 2 ; 2 cm 2 cm 2 ; 1, 41 cm

área del rombo.

1 cm 2 ; 1 cm 4 cm

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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–– Actividad 3c. Al área del cuadrado de 10 cm de lado le restamos el área del círculo de 5 cm de radio. Al resultado le sumanos el área del cuadrado que, asimilado a un rombo, tiene 10 cm de diagonal mayor y 10 cm de diagonal menor. –– Actividad 3d. El hexágono está compuesto por 6 triángulos iguales a los triángulos coloreados. Entonces, calculamos el área del hexágono, la dividimos entre 6 y el cociente lo multiplicamos por 3.

14, 25 cm 2

2 dam

–– Actividad 3a. Al área del círculo le restamos el área de la cruz. La cruz esta compuesta por cinco cuadrados de lado 4 cm. –– Actividad 3b. Al área del octógono le restamos el área de dos círculos de radio 1 cm. El octógono tiene 2,42 cm de apotema y 2 cm de lado.

3. Pensamiento crítico. Calcula el área de la región coloreada. a)

–– Actividad 2e. Si dividimos el hexágono en 6 triángulos, la región coloreada está formada por 4 de esos triángulos.

179

–– Actividad 4c. El área de cada pétalo es igual al área de un cuadrado de 2,5 cm de lado menos 2 veces la diferencia entre el área del cuadrado de 2,5 cm de lado y la cuarta parte del área de un círculo de 2,5 cm de radio.

179

Recursos Pensamiento crítico e investigación Pida a los estudiantes que dibujen sobre una cuadrícula (por ejemplo, una hoja de cuaderno cuyos cuadraditos miden 4 mm de lado) una franja o un mosaico formado por la repetición de dos o tres figuras iguales: triángulos, cuadrados, rectángulos o romboides. Reproduzca en la pizarra algunos de los dibujos y calcule de forma colectiva el área total, multiplicando el área de cada figura por el número de figuras que hay y sumando los productos.

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Reducir el problema a otro problema conocido Resolvemos un problema reduciéndolo primero a un problema que sepamos resolver. Juan está diseñando en corcho un salvamanteles de 42 cm # 24 cm que tiene 28 huecos circulares de 2 cm de radio tal como muestra el dibujo. ¿Qué área de corcho, en cm2, tiene el salvamanteles? El salvamanteles mide 42 cm # 24 cm y tiene 28 huecos circulares de 2 cm de radio. Los huecos están dispuestos en 4 filas y 7 columnas. Tenemos que averiguar la cantidad de corcho, en cm2, que tiene el salvamanteles. Dividiremos el mantel en 28 piezas iguales, cada una formada por una superficie de corcho y un agujero circular. Calcularemos el área de corcho de una pieza y multiplicaremos ese resultado por 28. Determinamos las dimensiones de cada pieza:

4 cm

42 cm ' 7 = 6 cm ( Cada pieza es un cuadrado de 6 cm 6 cm # 2 24 cm ' 4 = 6 cm

6 cm

El área de cada pieza es igual al área del cuadrado menos el área del hueco circular; el área del salvamanteles es el área de 28 piezas. Por tanto: Área Área Área Área

6 cm

del cuadrado _ A4 = l 2 ( A4 = 6 2 cm 2 = 36 cm 2 del agujero circular _ A5 = r $ r 2 ( A5 = 3, 14 $ 2 2 cm 2 = 12, 56 cm 2 de una pieza _ Apieza = A4 - A5 ( Apieza = 36 cm 2 - 12, 56 cm 2 = 23, 44 cm 2 del salvamanteles = 28 $ Apieza = 28 $ 23, 44 cm 2 = 656, 32 cm 2

El salvamanteles que diseña Juan tiene 656,32 cm2 de corcho. Podemos comprobar la solución revisando el razonamiento y los cálculos.

1. Manuel ha hecho una alfombra cosiendo trián-

2. Patricia ha hecho un diseño uniendo romboides

gulos de tela iguales. ¿Cuál es el área de la parte verde?

iguales. ¿Cuál es el área de la zona morada?

16 cm

9 cm 4 cm

540 cm 2

240 cm 2 6 cm

3. Inventa un problema que se pueda resolver utilizando la estrategia de reducir el problema a otro conocido. Individual

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Sugerencias metodológicas –– Plantee el problema del ejemplo, dibujando el salvamanteles en la pizarra. Comente con los estudiantes que calcular el área de la superficie de corcho es muy difícil y anímelos a plantear formas de hacer el cálculo más sencillo. Hágales ver que hay una figura más sencilla repetida y resuelva el problema de forma colectiva en la pizarra, siguiendo los pasos indicados en el libro del estudiante. –– Es posible que los estudiantes planteen otra forma de solucionar el problema: calcular el área total del rectángulo (de lados 4 # 6 cm y 7 # 6 cm ) y restarle el área de los círculos (28 $ r $ 2 2 cm 2) . Pídales que comprueben que obtienen el mismo resultado.

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Taller de Matemática

Más información Teselados

Patrones geométricos

Teselar una superficie plana significa recubrirla con un patrón de una o más figuras planas de tal manera que las figuras no se superpongan ni dejen espacíos vacíos (huecos) entre ellas.

1. Analiza el siguiente mosaico extraido del arte islámico.

Se dice que un teselado es regular cuando está formada por solamente un polígono regular. Los únicos polígonos regulares que pueden teselar el plano son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

a) ¿Cuáles son las figuras geométricas más simples que forman el mosaico? Triángulos y cuadrados.

b) Encuentra un polígono regular de 6 lados. c) Encuentra un poligono regular de 12 lados. d) Encuentra un rombo formado por más de dos triángulos. 2. Utilizando instrumentos geométricos reproduce alguna parte del patrón geométrico del mosaico islámico analizado en la actividad anterior. Representación gráfica.

3. Crea uno o más patrones geométricos y píntalos. Las siguientes fotografías te muestran el potencial artístico y decorativo del arte geométrico y pueden darte ideas para crear tus propios patrones. Representación gráfica.

Azulejería en la Alhambra. Granada, España.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Estudio geométrico de azulejos de la Alhambra de Granada, España.

Se dice que un teselado es semiregular cuando está formada por dos o más polígonos regulares. El mosaico islámico que se ve en el libro del estudiante es una combinación de teselados semiregulares; dos de esos teselados son los siguientes:

Mosaico del palacio Tash-Hauli. Arte Islámico, Jivá, Uzbekistán.

181

181

Evalúa tus logros 4. Calcula el área de las figuras.

a) 4, 5 m = 2

cm

b) 2500 m = 2

m 3 000 000

d) 12 cm2 =

mm2 1 200

c)

10 cm

km 0, 0025

c) 3 km = 2

a)

45 000 2

10 cm

2

e) 92000 cm2 =

cm2 5

g) 0, 5 dm2 =

cm2 50

h) 45000 dm2 =

–– Actividad 9c. Al área de un cuadrado de 7 cm de lado le restamos la mitad del área de un círculo de 3,5 cm de radio.

l) 100 km2 =

i) 25000 m = km

k) 6 ha =

25, 5 cm 2

d)

6 cm

20 cm

38 m

45 m

ha 2, 5 2

8,5 cm

160 cm 2

b)

dam2 4, 5

2

j) 3, 5 ha =

22 cm

m2 9, 2

f) 500 mm2 =

–– Actividad 9b. Al área de un círculo de 4 m de radio le restamos el área de un triángulo de 7 m de base y 6 m de altura.

14 cm

855 m 2

200 cm 2

5. Calcula el área de los polígonos regulares.

0, 035

c)

a)

m2 60 000

2,9

ha 10 000

cm

13 cm

2. Expresa la suma de unidades en la unidad in-

585 cm 2

15 cm

10 cm

43, 5 cm 2

dicada.

a) En km 2 _ 12 km 2 + 8000 hm 2 + 50000 m 22

d)

b)

92, 05 km

b) En m 2 _ 0, 2 dam 2 + 30 dm 2 + 500000 cm 22 70, 3 m

5,2 m

c) En dm 2 _ 180 cm 2 + 0, 06 m 2 + 40000 mm 22 11, 8 dm

5 m

3. Calcula el área de las figuras.

2 14 m 1 209, 6 m

91 m 2

6. En los siguientes triángulos, indica la medida del

c)

a)

ángulo nombrado con la letra griega a (alfa).

18 cm

–– Actividad 9d. Al área de una cuadrado de 16 m de lado le restamos el área de un círculo de 8 m de radio y al resultado le sumanos el área de dos círculos de 4 m de radio.

2

19,2 m

–– Actividad 7d. Las porciones de círculo de la mitad superior completan las porciones de la mitad inferior de tal modo que las porciones de círculo equivalen en conjunto a la mitad del cuadrado.

1. Completa.

22 cm

–– Actividad 7c. La superficie coloreada equivale a la mitad de un círculo de 4 cm de radio.

6 cm

Sobre las actividades

a)

c)

25°



50°

18 cm

324 cm 2

14 cm

308 cm 2

90°

d)

b)

a

45°

40c

b) 10 cm

12 cm

a 110c

d) 60°

50° 100°

6 cm 6 cm

36 cm

182

182

70°

60 cm 2

a 50c

30c

a

2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Mi desempeño como docente 7. Calcula el área y la circunferencia o el períme-

10. Traza las líneas que consideres oportunas, ob-

tro de las siguientes figuras planas (las figuras coloreadas).

tén su medida en mm (redondea si es necesario) y halla el área aproximada de cada figura.

c)

a)

a)

9 m

b)

4 cm

63, 59 m 2 ; 28, 26 m

Pocas veces. Siempre.

25, 12 cm 2 ; 25, 12 cm

d)

703 mm 2 9 cm

b) 2,75 m

23, 75 m 2 ; 17, 27 m

1 077, 66 mm 2

c)

Muchas veces.

9 cm

8. Calcula el área de las siguientes figuras. c)

11. Calcula el área de las figuras indicadas sabien-

20 m

do que AB = BD = DE = 2 m; AF = FJ = 1 m.

b)

A

6 850 m 2

F

2

95 m

d)

9,7 m

10 m

4 m

15 m 90 m

2

E

H

G

I

Muchas veces.

K

L

M

N

c) ABJK 2

e) FCIL2

g) JBK2

b) BCG

d) BEJM 2

f) GCHL 2

h) FCI2

0, 5 m 2

4m

8m

6m

2m

2m

3m

12. El Estado de la Ciudad del Vaticano (donde re-

9. Calcula el área de la región coloreada. c) 7 cm

8 cm

D

a) AEJN2 12 m

4 m

a)

C

–– Ayudo a razonar a los estudiantes en las actividades de pensamiento crítico e investigación. Pocas veces.

J

3,6 m

66, 38 m 2

B

5 m 6 m

1,5 m

1,2 m

60 m

23 m

387 m

7,4 m

734 mm 2

80 m

20 m

–– Favorezco la aplicación de los conceptos geométricos en contextos reales. Pocas veces.

40, 5 cm 2 ; 28, 26 m

a)

–– Busco que los estudiantes comprendan de dónde resultan las fórmulas de área de las figuras planas.

14 cm

side la Santa Sede de la Iglesia Católica) es el país más pequeño del mundo; tiene una extensión de 0,439 km2. ¿Cuántas hectáreas tiene este país? ¿Cuántos metros cuadrados?2 43, 9 ha ; 439 000 m

61, 76 cm 2 7 cm

29, 77 cm 2

b)

16 m

6 m

d) 4 m

7 m

29, 24 m 2

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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16 m

155,52 m 2

183

183

Sobre las actividades

–– Actividad 18. a) Las unidades de superficie se forman elevando al cuadrado las unidades de longitud. La hectárea es una unidad de superficie; por tanto, no tiene sentido elevarla al cuadrado para intentar crear otra unidad de superficie. b) Se mide la superficie y la medición es el área; las áreas son medidas; las superficies son partes o porciones del plano. c) El círculo es una superficie; la circunferencia es la línea que delimita al círculo. –– Actividad 19. José tiene razón porque la medida de un terreno no nos informa sobre su forma. Una superficie de 1 hectárea tiene un área mayor que un campo de fútbol, pero el que en ella sea posible o no construir un campo de fútbol es un hecho que depende de la forma de esa superficie. –– Actividad 19. Marcos tiene razón porque en todos los triángulos el producto de la base por la altura es el mismo.

184

13. El tamaño máximo recomendado de una cancha de fútbol para partidos internacionales es de 75 m # 110 m; una cancha de baloncesto mide 15 m # 28 m. ¿Cuál es el área de cada cancha? ¿Cuántas veces mayor es el área de la cancha de fútbol? 8250 m 2; 420 m 2; . 20 veces mayor.

14. Un niño dio 12 vueltas en una calesita de 7 m de diámetro. ¿Qué distancia recorrió en total?

263,76 m

18. Matemática y Lenguaje. Piensa y responde. a) ¿Podría existir una unidad de superficie que sea la hectárea cuadrada? ¿Por qué?

b) ¿Cuál es la diferencia entre área y superficie? ¿Se mide la superficie o el área?

c) ¿Cuál es la diferencia entre círculo y circunferencia? Individual

19. Pensamiento crítico. A Daniel, Renata y José les preguntaron si se podía hacer una cancha de fútbol de 70 m # 100 m en un terreno de una hectárea. Daniel dijo que “Sí”, María dijo que “No” y José dijo que “Depende”. ¿Con quién estás de acuerdo? ¿Por qué? José.

20. Pensamiento crítico. Marcos dice que los 15. Las áreas de los territorios de Bolivia, España y Estados Unidos son las siguientes: Bolivia: 1 098 581 km2 1 048, 13 km España: 504 645 km2 710,38 km Estados Unidos: 9 826 675 km2 3 134, 75 km

triángulos ACF, BFG, CDF y CEF tienen la misma área. Waldo dice que no hay la suficiente información en el dibujo para afirmar eso. ¿Con quién estás de acuerdo? ¿Por qué? Marcos. A B

C

D

Si estas áreas fueran las de un cuadrado, ¿cuántos kilómetros de lado tendría el cuadrado correspondiente a cada país?

16. En un terreno rectangular de 48 metros de base y 1 728 m2 de área se construirá una plaza con forma de rombo y áreas verdes en las esquinas, tal como muestra el dibujo. ¿Cuánto mide la superficie total de las áreas verdes? 864 m 2 48 m

17. Una piscina rectangular de 15 m de largo y 10 m de ancho está rodeada por una franja de césped de 2 m de a ancho. ¿Cuál es el a área de la piscina? ¿Cuál la de la franja de césped? 150 m 2 ; 112,56 m 2

184

15 m

E G

F

21. Investiga. El hexágono ABCDEF es regular; su lado mide 8 cm y su apotema 6,9 cm.

a) ¿Cuál es el área del hexágono ABCDEF?2 165,6 cm

b) ¿Y el área de la figura coloreada? 331, 2 cm

L G

c) ¿Cuál es el área del

A

H

K

F E

B

2

C

hexágono GHIJKL?

D

J

I

496, 8 cm 2

22. Investiga. Muestra con ejemplos que la siguiente afirmación es verdadera. Individual 10 m

–– Actividad 17. El área de la piscina es el área de un rectángulo de 15 m de base y 10 m de altura. El área de la zona cubierta de césped resulta de sumar el área de 2 rectángulos de 15 m de base y 2 m de altura, el área de 2 rectángulos de 2 m de base y 10 m de altura, y el área de 4 porciones de círculo que equivalen a un círculo de 2 m de radio.

“Cuando la base y la altura de un rectángulo, o el lado de un cuadrado, crecen al doble, entonces el área del cuadrado o del rectángulo crecen cuatro veces”.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Valores

Problemas de Matemática y valores 23. Respeto y solidaridad. El baobab es un impre-

25. Respeto y solidaridad. A principios del siglo XX,

sionante árbol africano. Sus hojas brotan en la época de lluvias, pero el follaje no es denso y las ramas parecen raíces. Las dimensiones del baobab son imponentes: puede vivir más de mil años, alcanzar 30 metros de altura y desarrollar un tronco de 12 metros de diámetro.

el 30 % de la superficie de Kenia estaba cubierta de bosques; actualmente esa superficie es inferior al 2 %. El Movimiento Cinturón Verde, fundado en 1977 por Wangari Maathai, se ha propuesto reforestar 50 000 km2, especialmente en las montañas, antes cubiertas de bosques, que son reservorios de biodiversidad y de las que depende la provisión de agua del país.

Las actividades de esta página permiten que los estudiantes tengan una idea de la magnitud en que los seres humanos han destruido los ecosistemas naturales y también los acercan a las distintas razones por las cuales debemos cuidar, proteger y respetar a los seres de la naturaleza. Mediante las actividades los estudiantes pueden ver que:

a) ¿Qué área cubre el tronco circular de un baobab de 12 m de diámetro? 113, 04 m 2

b) Si una persona puede abarcar 1,6 m con sus brazos extendidos, ¿cuántas personas serían necesarias para abrazar un baobab cuyo tronco circular tiene 12 m de diámetro? Aproximadamente 24 personas.

24. Respeto y solidaridad. Entre 1975 y 2005, en Bolivia se deforestaron aproximadamente 4 millones de hectáreas de bosques.

a) Si suponemos que la copa de un árbol cubre un círculo de 8 m de diámetro, ¿cuántos árboles aproximadamente necesita plantar en Kenia el Movimiento Cinturón Verde para lograr su meta de reforestar 50 000 km2? (Usa calculadora). 995 222 930 árboles.

b) Si el Movimiento Cinturón Verde logra su meta de reforestar 50 000 km2, ¿qué porcentaje de la superficie de Kenia (582 650 km2) habrá reforestado? 8, 58 %

26. Respeto y solidaridad. La organización mundial de la salud (OMS) utiliza dos criterios para calcular la cantidad mínima de áreas verdes que debería tener una ciudad: a) Superficie: al menos el 20 % del espacio urbano; b) Población: 10 m2 por habitante.

a) Si la superficie del departamento de Pando

a) ¿Qué superficie aproximada tiene la ciudad

es de 63 827 km2, ¿a qué porcentaje de la superficie de Pando equivale la deforestación realizada entre los años 1975 y 2005?

donde vives? ¿Cuántas hectáreas de áreas verdes debería tener? Individual

63, 67 %

b) ¿A un cuadrado de cuántos kilómetros de lado equivale esa superficie deforestada? 200 km

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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b) ¿Cuántos habitantes tiene tu ciudad? ¿Cuántas hectáreas de áreas verdes debería tener? Individual

185

–– Los seres vivos y los espacios naturales tienen su propia belleza y dignidad, que en muchos sentidos ellos pueden ser tan interesantes o más que los propios seres humanos. –– Los seres humanos hemos destruido y destruimos los espacios naturales en una magnitud colosal. –– Los espacios naturales sustentan la vida de milones de seres vivos y que también nosotros dependemos de los recursos que esos espacios nos proporcionan. –– También la calidad de vida en las ciudades depende de la creación, mantenimiento y cuidado de áreas verdes. –– Los seres humanos tenemos el enorme desafío de revertir el daño que hemos hecho a la naturaleza. Y que hay personas que todavía nos permiten tener esperanza y fe en nuestra propia especie.

185

Sugerencia de temporalización

10

Cuerpos y volumen

Octubre Noviembre

Valores El título de Patrimonio de la Humanidad lo confiere la UNESCO a sitios naturales o creaciones culturales que tienen un valor excepcional para todos los seres humanos. La UNESCO es una organización internacional que es parte de las Naciones Unidas. Algunos de los criterios que utiliza para decidir si un sitio debe ser declarado Patrimonio de la Humanidad son los siguientes: –– Representar una obra maestra del genio creativo humano.

Patrimonio de la Humanidad

–– Aportar un testimonio único o al menos excepcional de una tradición cultural o de una civilización existente o ya desaparecida.

Las pirámides de Egipto, la Gran Muralla China, el centro ceremonial de Tiwanaku, las Misiones Jesuíticas de Chiquitos y el Parque Nacional Noel Kempff Mercado son algunos ejemplos de obras culturales o sitios naturales que han recibido de la UNESCO* el título de Patrimonio de la Humanidad.

–– Contener fenómenos naturales superlativos o áreas de excepcional belleza natural e importancia estética. –– Contener los hábitats naturales más representativos y más importantes para la conservación de la biodiversidad, incluyendo aquellos que contienen especies amenazadas de destacado valor universal desde el punto de vista de la ciencia y el conservacionismo.

Las obras que merecen ese título son testimonios excepcionales de la creatividad y el desarrollo cultural de los seres humanos. Aunque han sido realizadas por una determinada cultura, constituyen la herencia común de la humanidad y deben conservarse para el futuro.

• ¿Cómo puede la Matemática ayudarte a valorar las construcciones realizadas en otros tiempos y por otras culturas? • ¿Qué puedes aprender de las creaciones de otras épocas y sociedades?

*UNESCO: Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura

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Sugerencias metodológicas En la sección Recuerda, repase con los estudiantes los conceptos referidos a las distintas clases de polígonos y sus elementos. Verifique que tienen claros los conceptos antes de pasar a trabajar con el resto de la unidad.

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Posibles dificultades en la unidad

RECUERDA Polígono y sus elementos

–– Diferenciar los cuerpos geométricos, nombrar sus elementos y relacionarlos con sus desarrollos. Construya o consiga material de aula, utilícelo al comienzo como apoyo para toda la clase y manténgalo para aquellos estudiantes con mayores dificultades.

Un polígono es una figura plana limitada por varios segmentos que se unen por sus puntos extremos formando una línea cerrada. Los elementos de un polígono son: •

Lados. Son los segmentos que forman la línea poligonal.

•

Vértices. Son los puntos donde se unen los lados.

•

Ángulos. Son los ángulos que forman los lados.

lad

o

ángulo

vértice

Clasificación de polígonos •

Polígono convexo

•

–– Reconocer y aplicar las unidades de volumen. Muestre gráficamente, de la manera más ilustrativa posible, las distintas unidades de volumen y las relaciones entre ellas; explique cuidadosamente los procedimientos para realizar conversiones y calcular el volumen de un cuerpo.

En un polígono convexo todos los ángulos tienen menos de 180°. En un polígono cóncavo al menos uno de los ángulos tiene más de 180°.

Polígono cóncavo

Un polígono regular tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. En un polígono irregular algún lado o algún ángulo es distinto.

Polígono regular

Vocabulario matemático

Polígono irregular

–– Cuerpos y figuras: cuadrado, cilindro, cono, cubo, cuerpo de revolución, cuerpo geométrico, desarrollo (de un cuerpo), dodecaedro, esfera, hexaedro, icosaedro, octaedro, ortoedro, paralelogramo, pentágono, pirámide, pirámide regular, pirámide recta, polígono, polígono cóncavo, polígono convexo, polígono regular, poliedro, poliedro regular, prisma, prisma regular, prisma recto, tetraedro, triángulo equilátero.

1. Indica el número de lados, vértices y ángulos de cada polígono y clasifícalo como cóncavo o convexo.

A

B

5; convexo.

9; cóncavo

C

D

E

6; convexo.

10; cóncavo

6; cóncavo

F 4; convexo.

2. Clasifica cada polígono convexo en regular o irregular.

A

Irregular

B

Regular

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C

Regular

D

Regular

E

Irregular

F

Irregular

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–– Conceptos de medida: área superficial, cubo unidad, centímetro cúbico, decímetro cúbico, metro cúbico, unidad de volumen, volumen. –– Elementos de los cuerpos y las figuras: ángulo, altura, arista, arista básica, arista lateral, base, cara, cara lateral, centro, cúspide, eje de giro, lado, radio, superficie lateral, vértice.

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Más información

Poliedros y prismas

Otros elementos de un poliedro –– Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos del poliedro. Puede trazarse en una misma cara o entre distintas caras. –– Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras. –– Ángulo poliedro: es el ángulo formado por tres o más caras, con un punto en común, un vértice. El paralelepípedo Un paralelepípedo es un prisma cuyas caras son todas paralelogramos. En un paralelepípedo las caras son paralelas e iguales dos a dos; este cuerpo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas. La base de un paralelepípedo puede ser un cuadrado, un rectángulo, un rombo o un romboide. Un paralelepípedo puede ser recto o no. Un paralelepípedo recto cuyas bases son rectángulos o cuadrados (es decir, figuras rectangulares) se denomina ortoedro. En un ortoedro todas las caras son rectangulares y forman ángulos diedros rectos. Los ortoedros se llaman también paralelepípedos rectangulares. Un paralelepípedo cuyas sus bases son rombos es un romboedro. En un romboedro las caras laterales no forman ángulos diedros rectos. El ortoedro cuyas bases y caras son cuadrados se llama también cubo o hexaedro regular. Por tanto, un cubo es un paralelepípedo recto cuyas caras son todas cuadrados.

Estos cuerpos geométricos son poliedros porque están limitados por caras que tienen forma de polígono.

Vértice Arista

Los elementos de un poliedro son los siguientes: •

Caras. Los polígonos que limitan el poliedro.

•

Aristas. Los lados comunes a dos caras.

•

Vértices. Los puntos comunes de las aristas.

Cara

Estos poliedros son prismas porque dos de sus caras son polígonos iguales y paralelos entre sí y las otras caras (las laterales) son paralelogramos. Ortoedro

Cubo

Cuando las caras laterales son rectángulos o cuadrados, el prisma es recto. Y si es recto y las bases son polígonos regulares, es regular.

Base

Los elementos particulares de un prisma son los siguientes: •

Bases. Las caras que son dos polígonos iguales y paralelos.

•

Caras laterales. Los paralelogramos que son las caras laterales.

•

Aristas básicas. Los lados de los polígonos de las bases.

•

Aristas laterales. Los lados comunes a dos caras laterales.

Cara lateral Arista lateral Arista básica

Al prisma recto cuyas caras son todas rectangulares se le llama ortoedro. Un ortoedro con seis caras cuadradas es un cubo. •

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.

•

Un prisma es un poliedro con dos bases iguales y paralelas entre sí y cuyas caras restantes son paralelogramos.

•

Un prisma es recto si sus caras laterales son rectangulares. Y es regular si es recto y sus bases son polígonos regulares.

•

Se llama ortoedro al prisma recto que tiene seis caras rectangulares. Se llama cubo al ortoedro cuyas seis caras son cuadrados.

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Sugerencias metodológicas –– Deje claras las definiciones de poliedro y prisma y sus elementos y muestre que todos los prismas son poliedros, pero que no todos los poliedros son prismas. Deje también muy claras las definiciones de prisma recto y prisma regular. –– Todas las actividades de estas dos páginas deben servir para que los estudiantes comprendan claramente los conceptos de poliedro y prisma. Ayude a los estudiantes a distinguir en un prisma las bases y las caras laterales, cualquiera que sea la posición en la que se presente o se vea el prisma.

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1. ¿Cuáles de los siguientes cuerpos son poliedros? ¿Cuáles son prismas? ¿Por qué? A

B

F

C

G

D

H

I

Pensamiento crítico e investigación –– Fabiola dice que un cubo es un prisma especial porque tiene seis bases y ninguna cara lateral. José piensa también que el cubo es muy especial porque tiene seis caras laterales, pero ninguna base. ¿Qué piensas tú?

J

caras, aristas y vértices.

3. ¿Qué prismas son rectos? ¿Cuáles son regulares? ¿Por qué? B

Recursos

E

2. En los poliedros identificados en la actividad anterior indica el número de

A

Poliedros: C, E, I, J Prismas: F, G

C: 4 caras; 6 aristas; 4 vértices. E: 8 caras; 18 aristas; 12 vértices. I: 11 caras; 22 aristas; 13 vértices. J: 6 caras; 12 aristas; 8 vértices.

–– ¿Por qué todos los cubos son ortoedros? ¿Por qué no todos los ortoedros son cubos?

C

–– Observa la figura E de la actividad 3. ¿Te animas a bosquejar su desarrollo?

Prismas rectos: A; C; E; F Prismas rectos regulares: A; F

D

–– ¿Hay cubos que no son rectos, es decir, cubos oblicuos o inclinados? ¿Por qué?

E F

4. Indica el número de bases, caras laterales, aristas básicas y aristas laterales de cada uno de los prismas de la actividad anterior.

A: 2; 4; 8; 4. C: 2; 5; 10; 5. E: 2; 5; 10; 5. F: 2; 3; 6; 3.

5. Bosqueja el desarrollo de los siguientes prismas rectos y regulares. El desarrollo del prisma se obtiene extendiendo sus bases y sus caras laterales sobre un plano.

a) Prisma regular de base triangular b) Ortoedro c) Cubo d) Prisma regular de base pentagonal

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Más información

Pirámides

La cúspide de la pirámide La cúspide de una pirámide recibe también el nombre de ápice o de vértice de la pirámide. El primer nombre (ápice) no suele utilizarse comúnmente y el segundo (vértice de la pirámide) se presta a confusión porque una pirámide tiene más vértices, aquellos situados en su base. Pirámides con caras laterales que son triángulos equiláteros ¿En qué pirámides regulares las caras laterales pueden ser triángulos equiláteros? Solo en las pirámides cuya base es un triángulo equilátero, un cuadrado o un pentágono regular. Para comprender este hecho, podemos analizar la tabla mostrada en la guía de la página 174; ahí vemos que en los polígonos regulares que tienen más de 5 lados, el radio es igual o mayor que el lado; entonces, en las pirámides respectivas, la arista lateral tiene que ser necesariamente mayor que la arista básica. Pirámide convexa y pirámide cóncava Una pirámide convexa es aquella cuya base es un polígono convexo. Una pirámide cóncava es aquella cuya base es un polígono cóncavo.

Estos poliedros son pirámides porque una de sus caras (aquella sobre la que descansan) es un polígono y las otras caras (las laterales) son triángulos que concurren en un punto.

Cúspide

Los elementos de una pirámide son los siguientes: •

Base. Un polígono cualquiera.

•

Caras laterales. Los triángulos que concurren en un punto.

•

Cúspide. Vértice donde concurren todas las caras laterales.

•

Aristas básicas. Las aristas de la base.

•

Aristas laterales. Los lados comunes a dos caras laterales.

Arista lateral Cara lateral Base Arista básica

Para nombrar una pirámide, se hace referencia al polígono de la base. Una pirámide es recta si todas sus caras laterales son triángulos isósceles o equiláteros. Si no es así, decimos que es oblicua. Una pirámide es regular si es recta y tiene por base un polígono regular. Si no cumple estas condiciones, se dice que es irregular.

Pirámide rectangular recta e irregular.

Pirámide rectangular oblicua e irregular.

Pirámide cuadrada regular

Pirámide octogonal regular

Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto. Una pirámide es recta si sus caras laterales son triángulos isósceles o equiláteros. Y es regular si es recta y la base es un polígono regular.

1. ¿Cuáles de los siguientes cuerpos son pirámides? ¿Cuáles no? ¿Por qué? A

B

190

C

D

Pirámides: B; C; E. No pirámides: A; D.

E

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Sugerencias metodológicas –– Explique el concepto de pirámide y sus elementos. Muestre que todas las pirámides son poliedros, pero que no todos los poliedros son pirámides. Pida a los estudiantes que desarrollen las similitudes y diferencias conceptuales entre las pirámices y los prismas. –– Explique la diferencia entre pirámide recta y pirámide oblicua y entre pirámide regular y pirámide irregular comentando los dibujos del recuadro situados inmediatamente antes de la generalización. Haga notar que una pirámide regular es siempre recta, pero que no toda pirámide recta es regular (comente el caso de la primera pirámide que es recta, porque todas sus caras son triángulos

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Recursos

2. ¿Qué pirámides son rectas? ¿Cuáles son regulares? ¿Por qué? Pirámides rectas: C. Pirámides rectas regulares: C.

A

B

C

D

Pensamiento crítico e investigación –– Imagina una pirámide cuya base es un rectángulo y cuya cúspide está exactamente sobre el punto en el que se cruzan las diagonales de la base. ¿Cómo son las caras laterales? ¿Es recta esta pirámide? ¿Por qué?

3. Investiga. Llena la ficha e indica la forma que tiene la base de las pirámides indicadas. Individual La base de una pirámide tiene n lados, entonces: • El número de caras es _____. • El número de bases es _____. • El número de caras laterales es _____.

–– Imagina una pirámide cuya base es un cuadrado y cuya cúspide está exactamente sobre el punto en el que se cruzan las diagonales de la base. ¿Cómo son las caras laterales? ¿Es recta esta pirámide? ¿Por qué?

• El número de aristas es _____. • El número de aristas básicas es _____. • El número de aristas laterales es _____. • El número de vértices es _____. • El número de cúspides es _____. Pirámide de cristal construida en el • El número de vértices de la base es _____. Museo del Louvre (París, Francia).

a) Una pirámide que tiene 8 caras en total.

–– Imagina una pirámide cuya base es un rombo y cuya cúspide está exactamente sobre el punto en el que se cruzan las diagonales de la base. ¿Cómo son las caras laterales? ¿Es recta esta pirámide? ¿Por qué?

Polígono de 7 lados.

b) Una pirámide que tiene 6 vértices en total.

Polígono de 5 lados.

c) Una pirámide que tiene 10 aristas en total.

Polígono de 5 lados.

4. Pensamiento crítico. Piensa y responde. a) ¿Puede existir una pirámide con 14 aristas y 7 vértices? ¿Por qué? b) ¿Puede existir una pirámide de 15 aristas? ¿Por qué?

No

Para ayudar a pensar

No

c) ¿Cuál es el mínimo número de aristas de una pirámide? d) ¿Cuál es el mínimo número de vértices de una pirámide?

–– Observe que la pirámide A de la actividad 2 tiene los lados de distintas longitudes. Pida a los estudiantes que reflexionen acerca de si las caras laterales de esta pirámide puden ser todas triángulos isósceles.

6 4

5. Bosqueja el desarrollo de las siguientes pirámides. a) Una pirámide regular de base triangular cuya arista lateral es el doble que la arista básica.

Desarrollo de una pirámide hexagonal regular

b) Una pirámide regular de base hexagonal cuya arista lateral es el triple que la arista básica.

–– En las actividades 3 y 4 pida a los estudiantes que reflexionen acerca de si una pirámide puede tener un número impar de aristas (considerando el total de aristas, tanto básicas como laterales).

c) Una pirámide recta cuya base es un rectángulo de base el doble que su altura. La arista lateral es el doble que la base del rectángulo mencionado.

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isósceles, pero no es regular porque su base, un rectángulo, no es un polígono regular); comente que las pirámides cuya base es un polígono regular pueden ser regulares o no, dependiendo de si son o no rectas.

Tic Prismas y pirámides. Identificación de polígonos que forman la base y las caras de prismas y pirámides.

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Más información

Cuerpos de revolución

Elementos del cilindro –– Eje del cilindro: es el lado sobre el que gira el rectángulo que genera el cilindro.

El cilindro, el cono y la esfera se llaman cuerpos de revolución porque se obtienen cuando una figura plana gira alrededor de un eje. •

Un cilindro es engendrado por el giro de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

–– Altura: es la longitud del eje.

•

Un cono es engendrado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los lados que forman el ángulo de 90º.

–– Generatriz: es la longitud del lado opuesto al eje, o el lado que genera la superficie lateral del cilindro.

•

Una esfera es engendrada por un semicírculo que gira sobre su diámetro. Cilindro Eje de giro

Cono

–– Bases: son dos círculos iguales y paralelos que se generan al girar los lados perpendiculares al eje. –– Radio: es el radio de la base, o la longitud de los lados perpendiculares al eje. Elementos del cono

Eje de giro Radio

Superficie lateral

Centro Superficie lateral

Base

Base

•

Un cilindro tiene 2 bases circulares y 1 superficie lateral curva.

•

Un cono tiene 1 base circular y 1 superficie lateral curva.

•

Una esfera tiene 1 superficie curva.

–– Eje del cono: es el cateto sobre el que gira el triángulo.

Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje. El cilindro, el cono y la esfera son cuerpos de revolución.

–– Altura: es la longitud del eje. –– Generatriz: es la longitud de la hipotenusa del triángulo.

Esfera

Eje de giro

Base

1. Utiliza regla y compás para dibujar, con la escala que quieras, el desarrollo del cilindro engendrado por el rectángulo que gira alrededor del eje indicado. Representación gráfica.

a)

–– Base: es el círculo que se genera al girar el cateto perpendicular al eje.

2 cm

r r

4 cm h

–– Radio: es el radio de la base, o la longitud del cateto perpendicular al eje.

h

c)

r h: altura del cilindro r: radio de la base

Elementos de la esfera

2r r

b)

2 cm

3 cm 2 cm

6 cm

–– Eje de la esfera: es el diámetro sobre el que gira el semicírculo. –– Centro: es el centro del semicírculo. –– Radio: es el radio del semicírculo.

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Sugerencias metodológicas –– Trabaje con material concreto para mostrar a los estudiantes cómo un rectángulo, un triángulo rectángulo y una semiesfera engendran un cilindro, un cono y una esfera, respectivamente. Es muy importante que los estudiantes puedan visualizar el proceso. Comente que no se obtiene un cono cuando el eje de giro está sobre el lado opuesto al ángulo recto (sobre la hipotenusa), pida a los estudiantes que intenten visualizar el cuerpo que se engendra en ese caso. –– En el desarrollo de las actividades es muy importante ayudar a los estudiantes a imaginar o visualizar los cuerpos que se engendran. Puede ayudar mucho trabajar con material concreto.

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Recursos

2. Investiga. Utiliza regla y compás para dibujar, con la escala que quieras y de la forma más aproximada que puedas, el desarrollo del cono engendrado por el triángulo que gira alrededor del eje indicado. Representación gráfica.

a)

Para ayudar a pensar

c)

–– En la actividad 3a. ¿En el desarrollo de un cilindro pueden las bases estar en uno solo de los lados? ¿Por qué? ¿Tienen que estar necesariamente en lados opuestos? ¿Por qué?

3 cm 2r r 4 cm h

b)

r r

8 cm

3 cm

2r r

h: altura del cono r: radio de la base

4 cm

4 cm

En la actividad 3b. ¿Qué relación hay en el desarrollo de un cono entre la circunferencia de la base y la porción de semicircunferencia de la superficie lateral? ¿Pueden tener distinta longitud? ¿Por qué?

3. Pensamiento crítico. ¿Cuál es el defecto de los siguientes desarrollos? ¿Por qué no son el desarrollo de un cilindro ni de un cono? Individual

a)

c)

b)

En la actividad 3c. ¿Qué relación hay en el desarrollo de un cilindro entre la circunferencia de la base y la longitud del lado del rectangulo donde está la base? ¿Pueden tener distinta longitud? ¿Por qué?

d)

En la actividad 3d. La misma reflexión del inciso b.

4. Bosqueja el cuerpo de revolución que genera la figura al girar alrededor del eje indicado.

b)

a)

Pensamiento crítico e investigación

c)

¿Por qué la esfera no tiene un desarrollo plano? ¿Por qué, entonces, representamos la superficie de la Tierra en mapas planos? ¿Cómo pueden estos mapas distorsionar la superficie de los territorios?

5. Investiga. Bosqueja el cuerpo de revolución que genera un rectángulo que gira alrededor de una de sus diagonales. Representación gráfica.

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Más información

Poliedros regulares

El cubo truncado Si cortamos, en todas las esquinas de un cubo, una pequeña porción, de forma que la sección resultante en cada una sea un triángulo equilátero, entonces el poliedro resultante es un poliedro irregular: el cubo truncado. Este cuerpo tiene 14 caras: 8 son los triángulos equiláteros que se han originado de los vértices, y las otras 6 son octógonos que provienen de las caras del cubo, a las que se han quitado los triángulos de las esquinas.

Para delimitar una región del espacio utilizando figuras planas, se necesitan al menos cuatro figuras. Cuando estas figuras son polígonos regulares, iguales en forma y tamaño, se forman los poliedros regulares. Solo existen cinco poliedros regulares. Tetraedro Tiene 4 caras, que son triángulos equiláteros.

Hexaedro o cubo Tiene 6 caras, que son cuadrados.

Octaedro Tiene 8 caras, que son triángulos equiláteros.

Dodecaedro Tiene 12 caras, que son pentágonos regulares.

Cuando los cortes llegan hasta el centro de cada arista, el poliedro que obtendremos es distinto a los demás: sigue teniendo triángulos, pero los octógonos se convierten en cuadrados.

Icosaedro Tiene 20 caras, que son triángulos equiláteros.

Observemos que en cada vértice de cada poliedro regular concurren el mismo número de aristas: tres aristas en el tetraedro, el cubo y el dodecaedro; 4 aristas en el octaedro y 5 aristas en el icosaedro. Un poliedro regular es un cuerpo que cumple las siguientes condiciones:

Los cortes podrían llegar hasta el centro de las caras. En ese momento obtenemos otro poliedro regular: el octaedro.

•

Todas sus caras son polígonos regulares, iguales en forma y tamaño.

•

En cada vértice concurre el mismo número de aristas.

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Sugerencias metodológicas Al trabajar los poliedros regulares señale que solo existen los cinco que se indican. Haga hincapié en que deben cumplirse simultáneamente dos condiciones: que todas las caras sean polígonos regulares iguales y que se unan el mismo número de caras en cada uno de los vértices.

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Recursos

1. Indica con qué tipo de polígonos se forman los siguientes poliedros y explica por qué estos poliedros no son regulares.

a)

Icosaedro truncado

Octaedro truncado

Hexágonos; cuadrados.

Pensamiento crítico e investigación

c)

b)

–– Imagina que sobre una de las caras de un icosaedro pegas la cara de un tetraedro. Si esas caras coinciden perfectamente, ¿cuántas caras. aristas y vértices tiene el cuerpo resultante?

Cuboctaedro

Triángulos; cuadrados.

Hexágonos; pentágonos.

2. ¿Cuál de los poliedros regulares es un prisma? ¿Cuál es una pirámide? Cubo; tetraedro.

3. Llena la tabla. Tetraedro Número de caras que concurren en cada vértice

Cubo

3

Octaedro

3

Dodecaedro

5

3

4

–– Imagina que sobre una de las caras de un octaedro pegas la cara de un tetraedro. Si esas caras coinciden perfectamente, ¿cuántas caras. aristas y vértices tiene el cuerpo resultante?

Icosaedro

4. Calcula el número de aristas y el número de vértices de cada poliedro regular y completa la tabla. Tiene 4 caras con 3 lados en cada una. Cada arista pertenece a 2 caras.

Número de aristas = 4 $ 3 = 6 2

Tiene 4 caras con 3 lados en cada una. Cada vértice pertenece a 3 caras.

Número de vértices = 4 $ 3 = 4 3

Poliedro

Número de caras

Número de aristas

Tetraedro

4

6

4

Hexaedro o cubo

6

12

8

Octaedro

8

12

6

Dodecaedro

12

30

20

Icosaedro

20

30

12

–– Imagina que sobre cada una de las caras de un cubo construyes una pirámide recta de base cuadrada. ¿Cuántas caras. aristas y vértices tiene el cuerpo resultante?

Número de vértices

5. Investiga. Imagina los cuerpos geométricos que se forman cuando unes dos poliedros regulares iguales por una de sus caras y completa una tabla similar a la de la actividad anterior. Unión de 2 poliedros

Unión de 2 cubos

Ortoedro

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Unión de 2 tetraedros

Octaedro

Número Número Número de caras de aristas de vértices

Tetraedro

6

9

5

Hexaedro o cubo

6

12

8

Octaedro

14

21

9

Dodecaedro

22

55

35

Icosaedro

38

57

21

195

195

Más información Relación entre el área superficial y el volumen Así como no hay una relación directa entre el perímetro de una figura plana y su área, tampoco hay una relación directa entre el área superficial de un cuerpo y su volumen. Dos cuerpos distintos pueden tener: –– Igual área superficial e igual volumen.

Área superficial y volumen con cubo unidad ¿Cuál de los cuerpos tiene mayor superficie? ¿Cuál ocupa más espacio? ¿El ortoedro verde o el cubo?

El área superficial de un cuerpo limitado por caras se obtiene sumando las áreas de las caras. En el ortoedro • •

–– Igual área superficial y distinto volumen.

•

–– Distinta área superficial e igual volumen.

•

–– Distinta área superficial y distinto volumen. Y en este caso, el de mayor área puede tener mayor volumen o el de mayor área puede tener menor volumen. (Vea la actividad 4 del libro del estudiante).

La superficie total de las caras anterior y posterior es: 2 $ ^4 $ 3h = 24 cuadraditos La superficie total de las caras laterales es: 2 $ ^2 $ 3h = 12 cuadraditos

La superficie total de las caras superior e inferior es: 2 $ ^4 $ 2h = 16 cuadraditos La superficie total del ortoedro es: 24 + 12 + 16 = 52 cuadraditos

En el cubo •

La superficie total es la superficie de seis caras iguales; 6 $ ^2 $ 2h = 24 cuadraditos

La cantidad de espacio que ocupa un cuerpo se denomina volumen. Para determinar el volumen del ortoedro y el cubo, tomamos como unidad de medida un cubito pequeño y contamos el número de estos cubitos que forman cada cuerpo. •

•



Cada capa del ortoedro tiene 4 $ 2 cubitos. El ortoedro tiene 3 capas de alto.

El ortoedro tiene 4 $ 2 $ 3 cubitos. Volumen del ortoedro = 4 $ 2 $ 3 = 24 cubitos

Cada capa del cubo tiene 2 $ 2 cubitos. El cubo tiene 2 capas de alto.

El cubo tiene 2 $ 2 $ 2 cubitos. Volumen del cubo = 2 $ 2 $ 2 = 2 3 = 8 cubitos

El área superficial de un cuerpo es el área conjunta de las superficies que limitan al cuerpo. El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. El volumen se mide utilizando un cuerpo como unidad; este cuerpo se denomina unidad de volumen. •

Podemos elegir como unidad de volumen cualquier cuerpo.

•

Con esa unidad, el volumen de un cuerpo indica la cantidad de unidades de volumen que se necesitan para formar el cuerpo.

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Sugerencias metodológicas Tic Volumen con unidad dada. Relación entre cuerpos y la expresión de sus volúmenes en cubitos.

196

–– Deje clara la definición de volumen y cómo se puede calcular el volumen de un cuerpo contando cubos unidad. Comente que en los ejemplos y en las actividades los cuerpos están formados por varios cubos unidad, pero que esto se hace solo para facilitar el trabajo inicial con unidades de volumen; indique que un cuerpo puede tener cualquier forma y que la medición de su volumen utilizando cubos unidad sigue siendo posible. –– Muestre la similitud con el cálculo de áreas con un cuadrado unidad. Haga hincapié en que el valor numérico del volumen depende de la unidad de medida considerada (aunque el volumen del cuerpo es siempre igual). Señale que al expresar el volumen de un cuerpo con un cubo unidad

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Recursos

1. Calcula el volumen del ortoedro usando cada cubo unidad.

Unidad

24 Volumen = ...

Unidad

3 Volumen = ...

Actividades Dibuje en la pizarra dos cuerpos formados por 3 # 2 # 4 cubitos y por 2 # 6 # 2 cubitos, por ejemplo. Solicite a los estudiantes que realicen el cálculo del área superficial y el cálculo del volumen de ambos cuerpos.

¿Por qué los valores numéricos que obtienes son distintos? Porque las unidades de volumen son distintas.

2. Calcula el área superficial y el volumen de cada cuerpo (mide el área superficial con el cuadradito que forma el lado del cubo unidad).

c)

a)

e)

Muestre que los cuerpos tienen dimensiones diferentes, que sus áreas superficiales son distintas, pero que sus volúmenes son iguales. Después, pídales que encuentren y, a ser posible también dibujen en sus cuadernos, otros cuerpos formados por cubitos cuyo volumen sea 24; pídales también que comparen las áreas superficiales de todos los cuerpos que hayan encontrado.

52 ; 24 72 ; 36

64 ; 32

d)

b)

f)

54 ; 27

108 ; 72

96 ; 64

3. Calcula el área superficial y el volumen de cada cuerpo (mide el área superficial con el cuadradito que forma el lado del cubo unidad).

a)

b)

c)

48 ; 17

86 ; 42

64 ; 25

4. Investiga. En cada caso construye dos cuerpos distintos que cumplan las condiciones indicadas. Representación gráfica. El cuerpo P tiene menor área pero mayor volumen que el cuerpo Q.

P

AP = 24 cuadraditos VP = 8 cubitos

Q

AP = 26 cuadraditos VP = 7 cubitos

a) Igual área y diferente volumen. b) Distinta área e igual volumen. c) Igual área e igual volumen. d) El de mayor área tiene mayor volumen. e) El de menor área tiene mayor volumen.

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estamos usando dos informaciones: la numérica, dada por el número de cubos, y la gráfica, dada por el cubo unidad considerado. –– La actividad 4 es muy importante porque sirve para evitar que los estudiantes desarrollen la falsa concepción según la cual el área superficial y el volumen de un cuerpo están en relación directa (a mayor área, mayor volumen).

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Tic Volumen con cubo unidad. Cálculo del volumen de varios cuerpos con un cubo como unidad.

197

Más información

Unidades de volumen

Volumen y capacidad El volumen y la capacidad son como dos aspectos de una misma realidad: –– Un recipiente cúbico que tiene 1 centímetro de arista tiene 1 mililitro (1 ml) de capacidad; si fuera un cuerpo sólido tendría 1 cm3 de volumen. –– Un recipiente cúbico que tiene 1 decímetro (10 cm) de arista tiene 1 litro (1 , ) de capacidad; si fuera un cuerpo sólido tendría 1 dm3 de volumen.

Para medir volúmenes de cuerpos, usamos las unidades de volumen: centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico. •

Un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 centímetro cúbico (1 cm3).

•

Un cubo de 1 dm de arista tiene un volumen de 1 decímetro cúbico (1 dm3).

•

Un cubo de 1 m de arista tiene un volumen de 1 metro cúbico (1 m3).

1 m3

1 dm3

1 dm

1 m

3 cm

Para calcular el volumen de un ortoedro, multiplicamos sus tres dimensiones. Volumen = 4 cm $ 2 cm $ 3 cm = 24 cm 3

4 cm

También podemos describir la cantidad de un líquido según la capacidad del recipiente que llenaría; así, por ejemplo, 1 , de agua es la cantidad de agua que llenaría un recipiente de 1 dm3.

cm

2

Las unidades de volumen son el metro cúbico (m3), el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3).

•

1 m 3 = 1000 dm 3

1 dm 3 = 1000 cm 3

El volumen de un ortoedro es igual al producto de su largo por su ancho por su alto.

•

Podemos decir, entonces, que:

–– Podemos describir una cantidad de líquido utilizando medidas de capacidad; esto equivale a indicar la capacidad del recipiente que esa cantidad de líquido llenaría exactamente.

1 cm

Las equivalencias entre las unidades de volumen son: 1 m 3 = 1000 dm 3 1 dm 3 = 1000 cm 3

–– Un recipiente cúbico que tiene 1 metro de arista tiene 1 kilolitro (1 kl) de capacidad; si fuera un cuerpo sólido tendría 1 m3 de volumen.

–– La capacidad de un recipiente equivale al volumen que este tendría si fuera un cuerpo sólido, pero se expresa en otras unidades.

1 cm3

1. Completa. : 5 dm 3 =

cm 3 _ 5 dm 3 = 5 $ 1 000 = 5 000 cm 3 3

dm 3 _ 6 000 cm 3 = 6 000 ' 1 000 = 6 dm 3

: 6 000 cm =

a) 5 m3 =

dm 3

5 000

b) 14 m3 =

dm 3

14 000

c) 2, 4 m3 =

dm 3

2 400

d) 0, 39 m3 =

dm 3

390

e) 3 dm3 =

i) 3000 dm3 =

cm 3

3 000

f) 6, 1 dm3 =

cm 3

6 100

g) 2, 58 dm3 =

cm 3

2 580

h) 0.175 dm3 =

198

175

cm 3

3

j) 70000 dm3 = k) 640 dm3 =

70

m3

0, 64

l) 73 dm3 =

m3

m3

0, 073

m3

m) 8000 cm3 =

8

dm 3

n) 42500 cm 3 =

dm 3

42, 5

ñ) 642 cm3 =

dm 3

0, 642

o) 18 cm3 =

dm 3

0, 018

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Sugerencias metodológicas Tic Unidades de volumen. Cálculo de equivalencias entre unidades de volumen.

198

–– Comente el dibujo de la página y deje claras las definiciones de las unidades. Señale que al tratarse de tres dimensiones, cada unidad es 1 000 veces mayor que la inmediatamente inferior. Muestre las similitudes y diferencias existentes con las unidades de medida de longitud y con las de superficie. –– Muestre la utilidad de la fórmula para calcular el volumen de cualquier ortoedro o cubo a partir de sus dimensiones. Señale su parecido con el cálculo realizado contando los cubitos unidad y deje claro que todas las longitudes deben estar expresadas en la misma unidad para poder aplicar la fórmula.

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2. Completa.

Recursos

: 5 m3 =

cm 3 _ 5 m 3 = 5 $ 1 000 $ 1 000 = 5 000 000 cm 3

a) 1 m3 =

d) 7 850 000 cm3 =

cm 3

1 000 000

Actividades

m 3 _ 6 250 000 cm 3 = ^6 250 000 ' 1 000 h ' 1 000 = 6, 25 m 3

: 6 250 000 cm 3 =

m3

7, 85

b) 12, 5 m3 =

cm 3

e) 100000 cm3 =

c) 0, 02 m3 =

cm 3

f) 32 400 000 cm3 =

12 500 000 20 000

–– Pida a sus estudiantes que calculen (tomando las medidas pertinentes) el volumen de los ortoedros y cubos del material de aula, de distintos envases de cartón (Tetra Brik o Tetra Pak), de una goma, de un libro de texto, etc.

0, 1

m3 m3

32, 4

3. Ordena de menor a mayor las medidas de cada grupo. No olvides expresar todas las medidas en una misma unidad antes de compararlas.

a) 5 m

3

3

8 250 dm

b) 3 500 cm 3

2 900 cm 3

3, 01 dm 3

0, 0037 m 3 2 900 cm 3 1 3, 01 dm 3 1 3 500 cm 3 1 0, 0037 m 3

c) 7, 06 m 3

7 050 dm 3

7, 009 m 3

7 100 500 cm 3 7, 009 m 3 1 7 050 dm 3 1 7, 06 m 3 1 7 100 500 cm 3

7 000 dm

3

6 520 000 cm

3

5 m 1 6 520 000 cm 1 7 000 dm 1 8 250 dm 3

3

3

4. Halla el volumen de cada cuerpo. c)

3 dm 6 cm

3 dm

2 cm

48 cm 3

4 m

d) 3,5 m

4 cm

3 dm

b)

a)

4 m

27 dm 3 4 m 3 m

42 m

4 m

64 m 3

3

a) ¿Cuál es el volumen, en metros cúbicos, de una caja de 80 cm de alto cuya base es un cuadrado de 60 cm de lado? 0, 288 m 3

b) ¿Cuántos metros cúbicos de tierra hay que extraer de un terreno para construir una piscina de 25 m de largo, 12 m de ancho y 4 m de profundidad? ¿Qué superficie hay que impermeabilizar? 1 200 m 3 ; 796 m 2

· Al ducharse una persona consume 60 decímetros cúbicos de agua. ¿Cuánto cuesta el agua de una ducha?

c) El Templo IV de Tikal, o Templo de la

195 112 m

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3

–– Entregue a cada estudiante dos tarjetas iguales y pídales que escriban un mismo volumen expresado en dos unidades diferentes (una en cada tarjeta). Después, junte a los estudiantes en grupos y pídales que mezclen las tarjetas de todos y las coloquen extendidas boca abajo. Por turno, deberán levantar dos tarjetas y determinar si expresan el mismo volumen. Si no es así, se volverán a colocar donde estaban. –– Muestre a los alumnos una factura de agua, y anote en la pizarra el precio del metro cúbico de agua consumido. Plantee problemas y situaciones similares a los siguientes:

5. Resuelve los problemas.

Serpiente Bicéfala (en Guatemala), fue construido en el siglo VIII d.C. por la cultura Maya. Tiene aproximadamente 65 m de alto y, según una estimación, en su construcción se utilizó una cantidad de metros cúbicos de piedra aproximadamente igual al volumen de un cubo de 58 metros de arista. ¿Qué volumen tiene aproximadamente el Templo IV de Tikal?

3

Templo II, o templo de la Luna, de Tikal (Petén, Guatemala).

199

· Si para lavar la vajilla se utilizan 30 decímetros cúbicos de agua diarios. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se gastan al año? ¿Cuántos bolivianos cuesta toda esa agua?

Tic Conversión y orden. Conversión de medidas a metros cúbicos y alineación en orden creciente.

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199

Recursos Actividades ¿Cuántos cubos tendrá una torre como estas que tenga 7 capas? ¿Y si tiene 9 capas?

S

Solución de problemas

Comprender

Planear

Resolver

Verificar

Empezar con problemas más sencillos Resolvemos un problema resolviendo primero otros similares, pero más sencillos, que nos proporcionan pistas. Magdalena ha hecho con cubos una torre de 5 capas. ¿Cuántos cubos se ven? ¿Cuántos están ocultos? La torre de cubos que ha hecho Magdalena tiene 5 niveles. No podemos ver todos los cubos, pero sabemos que todos están apoyados sobre otros que tienen debajo. Tenemos que averiguar cuántos cubos se ven y cuántos no. Para resolver el problema, vamos a considerar primero torres de 1, 2, 3 y 4 capas. Cubos visibles: 1 Cubos ocultos: 0

1 capa

Cubos visibles: 1 + 3 = 4

2 capas

Cubos ocultos: 1 = 12

Cubos visibles: 1 + 3 + 5 = 9

3 capas

Cubos ocultos: 1 + 4 = 12 + 22 = 5

Cubos visibles: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Cubos ocultos: 1 + 4 + 9 = 12 + 22 + 32 = 14

4 capas

Para 5 capas seguimos la misma pauta.

Cubos visibles: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Cubos ocultos: 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 30

Podemos verificar el resultado contando los cubos visibles y visualizando mentalmente la torre para contar los cubos ocultos.

1. ¿Cuántos cubos visibles y cuántos ocultos tendrá una torre como la de Magdalena que tenga 7 capas? ¿Y si tiene 10 capas?

7 capas _ 49 cubos visibles y 91 cubos ocultos. 10 capas _ 100 cubos visibles y 285 cubos ocultos.

2. Javier ha hecho una torre de 5 capas como la de la figura de la derecha. ¿Cuántos cubos visibles tiene? ¿Y cuántos ocultos? ¿Cuántos cubos de cada tipo habrá en una torre de 8 capas? ¿Y en una de 10 capas? 5 capas _ 15 cubos visibles y 30 cubos ocultos. 8 capas _ 24 cubos visibles y 84 cubos ocultos. 10 capas _ 30 cubos visibles y 135 cubos ocultos.

200

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Sugerencias metodológicas –– Para empezar, dialogue con sus estudiantes sobre las estrategias que han aprendido en el libro. Señale que además de esas estrategias podemos también resolver problemas más sencillos que nos den una pista para afrontar el que tenemos planteado. –– Intente que todos los alumnos sean capaces de “ver” los cubos de la torre que están ocultos y que descubran por sí mismos la regla que sigue el número de cubos de cada tipo (muestre la relación entre el número de cubos de cada paso y del paso anterior).

200

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Taller de Matemática

Más información Trazado del pentágono

Poliedros regulares 1. Aprende a trazar un triángulo equilátero con regla y compás.

Individual

C

A

B

Traza un segmento AB.

Es muy sencillo trazar un pentágono del siguiente modo. C

A

B

Con el compás toma la medida del segmento AB y, haciendo centro en los puntos A y B, traza dos arcos que se crucen en el punto C.

A

1.° Con un compás se traza una circunferencia y se dibuja un punto en su centro. 2.° Se traza un radio cualquiera de la circunferencia y se marca el punto respectivo sobre la circunferencia.

B

Une el punto C con los puntos A y B y forma el triángulo equilátero.

2. Ahora que sabes trazar un triángulo equilátero, puedes construir en cartulina los siguientes desarrollos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Individual

Tetraedro

Octaedro

Icosaedro

3. Con los desarrollos construidos arma los poliedros respectivos.

3.° Se toma el radio anterior como el lado inicial de un ángulo y con el transportador se mide un ángulo de 72º. Se traza el radio correspondiente al lado final del ángulo. Así se consigue otro punto sobre la circunferencia. 4.° Se procede como en el paso anterior hasta obtener tres puntos más sobre la circunferencia.

Individual

4. Es fácil dibujar cuadrados. Traza el desarrollo del hexaedro o cubo y arma este poliedro. Individual

5.° Se unen con segmentos los cinco puntos que hemos dibujado sobre la circunferencia y obtenemos un pentágono.

Hexaedro o cubo

5. Investiga. ¿Cómo puedes trazar un pentágono regular? ¿Puedes construir el desarrollo del dodecaedro y armar este poliedro? Individual

Dodecaedro

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201

Sugerencias metodológicas Preste a los estudiantes el apoyo que requieran para dibujar sus desarrollos de poliedros regulares. Según sus capacidades, cada uno puede elegir uno o más desarrollos; no es necesario que cada uno arme los cinco poliedros regulares.

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201

Evalúa tus logros

Sobre las actividades –– Actividad 4. Hay que tener en cuenta que un prisma es regular si es recto y su base es un polígono regular; y que no es regular si una o las dos condiciones anteriores no se cumplen.

1. Clasifica estos cuerpos en poliedros y cuerpos Cuerpos de revolución: A; E; F de revolución. Poliedros: B; C; D; G; H; I A

–– Actividad 5. Hay que tener en cuenta que una pirámide es regular si es recta y su base es un polígono regular; y que no es regular si una o las dos condiciones anteriores no se cumplen. –– Actividad 13. En ambos casos, pero especialmente en el caso del foco, es necesario que los estudiantes piensen en un esquema simplificado; no deberían tomar en cuenta, por ejemplo, el hecho de que el foco tiene una rosca en espiral.

D

Después clasifícalas en regulares y no regulares.

E

H

C

F

I

No recta; no regular.

A

G

B

6. Clasifica las pirámides en rectas y no rectas.

Recta; regular.

B

C

No recta; no regular.

D

Recta; regular.

E

Recta; no regular.

F

No recta; no regular.

2. ¿Qué poliedros de la actividad anterior son prismas? ¿Cuáles son pirámides? ¿Cuáles son poliedros regulares? Prismas: G; H Pirámides: C; I Poliedros regulares: B; C; D

3. En los poliedros de la actividad 1, indica el número de caras, aristas y vértices. B: 12; 30; 20. C: 4; 6; 4. D: 8; 12; 6.

4. Clasifica los prismas en rectos y no rectos. Después clasifícalos en regulares y no regulares. A

D

Recto; regular.

7. Indica el número de caras (base y caras laterales), el número de aristas (básicas y laterales) y el número de vértices (cúspide y vértices de la base) de las pirámides de la actividad anterior. Individual

8. Dibuja con la escala que quieras el desarrollo del cilindro que engendra el siguiente rectángulo cuando gira alrededor del eje indicado. Representación gráfica.

Recto; regular.

6 cm 20 cm

E

B

Recto; regular.

9. Dibuja con la escala que quieras el desarrollo No recto; no regular.

del cono que engendra el siguiente triángulo cuando gira alrededor del eje indicado. Representación gráfica.

C

F

No recto; no regular.

5 cm

Recto; no regular.

5. Indica el número de bases, caras laterales, aristas básicas y aristas laterales de los prismas de la actividad anterior. Individual

10 cm

10. Dibuja a escala el desarrollo de un cilindro cuya altura mide 12 cm y cuyo radio de la base mide 6 cm. Representación gráfica.

11. Dibuja a escala el desarrollo aproximado de un cono con radio de la base 4 cm y altura 8 cm.

202

202

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Mi desempeño como docente 12. Bosqueja el cuerpo de revolución que se forma

16. Calcula el área superficial (en cuadraditos) y

cuando la figura plana gira alrededor del eje indicado. Representación gráfica.

el volumen (en cubos unidad) de cada cuerpo.

b)

a)

c)

a)

44 ; 16

34; 10

–– Doy importancia al trabajo dirigido a que los estudiantes comprendan los conceptos geométricos. Pocas veces.

d)

b)

13. En cada caso dibuja la figura plana y el eje de giro de los que se genera el cuerpo.

sarrollo.

d) c) Pirámide recta regular

c) 5 000 dm3 =

m3 5

d) 6 500 cm3 =

dm 3 6, 5

e) 2 m3 =

–– Trabajo con material concreto para facilitar el proceso de aprendizaje en geometría.

cm 3 2 000 000

f) 3000000 cm3 = g) 0, 25 m3 =

dm 3 250

h) 350 cm3 =

dm 3 0, 35

i) 6250 dm3 =

Pocas veces.

m3 3

Muchas veces.

m 3 6, 25

18. Calcula el volumen de estos cuerpos. d)

a) Cono

cm 2

4 cm

b)

a) Tienen el mismo número de caras.

3 dm

m

Hexaedro y octaedro.

3 m

c) Tienen el mismo número de vértices. Ninguno.

Octaedro e icosaedro.

e) Tienen menos caras que vértices. Hexaedro y dodecaedro.

f) La suma de caras, vértices y aristas es la misma. Hexaedro y octaedro ; dodecaedro e icosaedro.

27 m 3

20 cm

c)

20 cm

8 000 cm 3

20 cm

d) Tienen más caras que vértices.

e)

3 m

Ninguno.

b) Tienen el mismo número de aristas.

30 dm 3

m

cumplen las siguientes condiciones.

16 cm 3

3

15. Indica los conjuntos de poliedros regulares que

5 dm

dm

e)

Cilindro

Muchas veces.

cm 3 4 000

2

Prisma recto regular

Pocas veces.

dm 3 7 000

20 c

a)

b)

17. Completa. b) 4 dm3 =

14. Describe el cuerpo que corresponde a cada de-

Pirámide recta regular

96 ; 64

a) 7 m3 =

b)

–– Favorezco la aplicación de los conceptos geométricos en contextos reales.

78 ; 34

2 cm

a)

Siempre.

30 cm

cm

10

6 000 cm 3 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

203

203

Sobre las actividades –– Actividad 24. a) Ningún cuerpo de revolución es un poliedro porque los cuerpos de revolución están limitados por superficies curvas y los poliedros no. b) Algunos ortoedros son prismas regulares. Un ortoedro cuyas seis caras son rectángulos no es un prisma regular; un ortoedro cuyas bases son cuadrados es un prisma regular. c) Algunas pirámides de base cuadrada son regulares porque una pirámide de base cuadrada puede ser recta u oblicua. –– Actividad 25. a) Sí, por ejemplo, una pirámide de base triangular. b) No, es imposible. El número de vértices es siempre el doble que el de caras laterales. c) No, en las pirámides regulares cuya base tiene más de cinco lados las caras laterales son necesariamente triángulos isósceles. d) Sí, porque hay la misma cantidad de aristas básicas que de aristas laterales. e) Sí; si la pirámide tiene 10 aristas, su base tiene 5 lados y, entonces, el prisma respectivo tiene 5 caras laterales y 2 bases, 7 caras en total. –– Actividad 26. Una cosa es la cantidad de líquido que contiene un recipiente y otra cosa es la capacidad o el volumen del recipiente. Dos recipientes que contienen la misma cantidad de líquido pueden tener igual o distinto volumen y, por tanto, pueden tener igual o distinta capacidad.

19. De una jarra que tenía

24. Matemática y Lenguaje. Piensa y responde.

1 000 cm3 (1 litro) de leche se ha vertido una cierta cantidad hasta llenar, hasta una altura de 5 cm, un recipiente cuya base es un cuadrado de 8 cm de lado. ¿Qué cantidad de leche se ha vertido al recipiente? ¿Qué cantidad queda en él? 3

320 cm ; 680 cm

3

20. Para trasplantar un árbol, Mario ha hecho un agujero de 2 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad. El volumen que ocupan las raíces del árbol es 1 m3. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra debe añadir para rellenar el agujero? 5 m3

21. El tanque de gasolina de un automóvil tiene forma de ortoedro de 50 cm # 40 cm # 30 cm. ¿Cuánto cuesta llenar el tanque si el litro de gasolina cuesta Bs 3,74? 1 litro = 1 dm 3 . Bs 224,4

22. En una cubitera hay 20 cubitos de hielo. Cada uno de ellos tiene 2 cm de arista.

a) ¿Todos los cuerpos de revolución son poliedros? ¿Solo algunos? ¿Ninguno? Ninguno

b) ¿Todos los ortoedros son prismas regulares? ¿Solo algunos? ¿Ninguno? Algunos

c) ¿Todas las pirámides de base cuadrada son regulares? ¿Solo algunas? ¿Ninguna? Algunas

25. Pensamiento crítico. Indica si es verdadero o falso. Explica tu respuesta.

a) Un poliedro puede tener el mismo número de caras y de vértices. V

b) Un prisma regular puede tener el mismo número de vértices y de caras laterales. F

c) En todas las pirámides rectas las caras laterales son triángulos equiláteros. F

d) El número de aristas de una pirámides es siempre par. V

e) Si una pirámide tiene 10 aristas, entonces un prisma con la misma base tiene 7 caras. V

a) ¿Cuál es el volumen de un cubito? ¿Y de todos los cubitos de la cubitera? 3 3 8 cm ; 160 cm

b) Si llenamos la cubitera vertiendo agua de una jarra que contiene 1,5 dm3, ¿cuántos centímetros cúbicos quedan en la jarra? 1 340 cm 3

23. En la factura de agua de una casa se dice que el consumo mensual fue de 32 m3.

26. Pensamiento crítico. Dos recipientes con una misma cantidad de líquido, ¿pueden tener el mismo volumen?, ¿y distinto?, ¿pueden tener la misma capacidad?, ¿y distinta?, ¿por qué?

Pueden tener igual o distinto volumen, igual o distinta capacidad.

27. Pensamiento crítico. ¿Son correctos los datos que aparecen en la siguiente figura? ¿Por qué? Incorrectos

6

90˚

m

2 m

28. Investiga. ¿Qué polígonos forman las bases de estos prismas regulares?

a) Número de caras: 18. a) ¿A cuántos dm3 equivale ese consumo?3 32 000 dm

b) ¿Podríamos colocar toda esa agua en un depósito cúbico de 3 m de arista? No

204

Octágono

b) Número de vértices: 20.

Decágono

c) Número de aristas: 18.

Hexágono

d) Número de aristas: 21.

Heptágono

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–– Actividad 27. El arco del sector circular es la cuarta parte de una circunferencia de 2 $ r $ 6 = 37, 7 m; tiene, por tanto, 9,4 m. La circunferencia de la base mide 2 $ r $ 2 = 12, 6 m. Por consiguiente, los datos del dibujo no pueden ser correctos.

204

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Valores

Problemas de Matemática y valores 29. Solidaridad y tolerancia. La Kaaba (del árabe al-ka’ba, «el dado» o «el cubo») es una construcción casi cúbica que constituye el lugar sagrado más importante del islam. La «casa de Dios» está situada en Arabia Saudita; es un ortoedro que mide 10,67 m de largo, 12,19 m de ancho y 15,24 m de alto. ¿Cuál es su volumen? 1 982, 23 m 3

31. Solidaridad y tolerancia. El Monolito Bennett de la cultura de Tiwanaku fue esculpido en una sola piedra de andesita. Debe su nombre al arqueólogo estadounidense Wendell Bennett, quien lo descubrió en las excavaciones del año 1932. Puede considerarse que es aproximadamente un ortoedro de 7,3 m de alto y base cuadrada de 1,2 m de lado.

a) ¿Cuál es el volumen aproximado del Monolito Bennett? 10 512 m 3

Las actividades de esta página permiten que los estudiantes aprecien algunas obras de distintas culturas; algunas de ellas, como el centro ceremonial de Tiwanaku, la Gran Muralla China y las pirámides de Egipto, han recibido de la UNESCO el título de Patrimonio de la Humanidad. Entender que todos los seres humanos tienen un patrimonio común y multicultural es un paso hacia la tolerencia y, más allá de la tolerancia, es un paso hacia la solidaridad.

b) Si un metro cúbico de la piedra en la que fue 30. Solidaridad y tolerancia. La Gran Muralla China fue construida y reconstruida en un periodo de varios siglos. Sin embargo, hace 2 000 años estaba ya esencialmente edificada. Es difícil calcular su longitud exacta, pero una estimación reciente indica que tiene 8 852 km. Su altura promedio es de 6 m a 7 m, y su ancho promedio es de 4 m a 5 m. Supongamos ahora que la Gran Muralla es como un giganteso ortoedro extendido por un enorme territorio. Según las estimaciones indicadas, ¿cuál sería su volumen mínimo en metros cúbicos?, ¿y cuál su volumen máximo?

esculpido pesa cerca de 1 900 kg, ¿cuánto pesa aproximadamente el monolito? 19 972,8 kg

32. Solidaridad y tolerancia. La pirámide de Keops (o Gran Pirámide de Giza) es la mayor de las pirámides de Egipto. Fue concluida hacia el año 2500 a.C. Simplificando los hechos, podemos decir que es una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 230 m de largo y cuya arista lateral mide 218 m.

Dibuja el desarrollo de la pirámide de Keops utilizando la escala que quieras y arma tu modelo de la pirámide. Individual 212 448 m 3 ; 309 820 m 3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Repaso acumulativo 3 1. Llena las tablas de proporcionalidad directa. a) 4

b)

8

12

16

20

24

12

24

36

48

60

72

2

4

6

8

10

12

2,8

5, 6

14

16,8

8,4 11, 2

Mapa A 0

Mapa B

10

15

0

cada mapa? 25 km; 100 km

d) 40, 5 % de 360

4, 2

145, 8

9. Expresa en la unidad indicada. En centímetros cuadrados (cm2):

a) 500 mm22

b) 8 dm2 2

3. Calcula mentalmente. a) 1 % de 2 500

d) 25 % de 6 000

b) 10 % de 5 680

e) 50 % de 8 500

d) 3 200 cm2

c) 20 % de 4 600

f) 100 % de 2 000

En metros cuadrados (m2):

1 500

4 250

2 000

4. Indica el porcentaje que representa la cantidad dada respecto del total indicado.

a) 54 de 150 36 % b) 120 de 30

400 %

42, 5 %

d) 16 de 12, 8

125 %

el porcentaje indicado.

c) 45 es el 12, 5 %

600

b) 3, 5 es el 10 %

35

360

d) 8, 4 es el 12, 8 %

En decímetros cuadrados (dm ):

e) 3, 1 m2 310 dm 2

32 dm 2

f) 5 000 cm22

h) 2, 5 ha

g) 2, 3 dam2

0, 5 m

25 000 m 2

230 m 2

65, 625

i) 9 500 m2

j) 8, 5 hm2

0, 95 ha

m) 800 ha

l) 20 000 m22 0, 02 km

8 km 2

10. Calcula el área de las figuras. c)

a) 22 m

45 cm

62, 5 cm 22 m

400 cm

484 m 2

1 575 cm 2

d)

b)

9 cm

7. Calcula la escala conociendo la longitud en el

170 ha

En kilómetros cuadrados (km2):

longitud real y la escala.

b) Longitud real: 120 m. Escala: 1 : 30.

k) 1, 7 km2

8, 5 ha

6. Calcula la longitud en el plano conociendo la a) Longitud real: 50 m. Escala: 1 : 80.

35 000 cm 2

2

En hectáreas (ha):

c) 8, 5 de 20

5. Calcula el total si la cantidad dada representa a) 42 es el 7 %

c) 3, 5 m2

800 cm

5 cm

35 cm

920

60

b) ¿Qué distancia real representan 5 cm en

b) 16 % de 250

568

40

Kilómetros

senta 1 cm en cada mapa? 5 km; 20 km

c) 3, 5 % de 120

25

20

a) ¿Cuántos kilómetros en la realidad repre-

a) 5 % de 90

40

5

Kilómetros

2. Calcula las cantidades. 4, 5

8. Observa cada escala y contesta.

a) Longitud en el plano: 8 cm. Longitud real: 48 m 1: 600

24 cm

plano y la longitud real. 15 cm

135 m 2

b) Longitud en el plano: 12,5 cm. Longitud real: 300 m 1: 2 400

18 cm

216 cm 2

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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Sobre las actividades 11. Calcula el área de las figuras.

los siguientes poliedros.

c) 6 cm

7 cm

10 cm

a)

16. Indica el número de caras, vértices y aristas de

14 cm

63 cm 2

b)

8 cm

261 cm 2

40 cm 2

12. Calcula el perímetro y el área de las figuras b)

a)

d)

5; 6; 9.

8 c

m

53, 68 cm; 150, 72 cm 2

15, 7 m; 19, 625 m 2

6; 6; 10.

a) Cilindro: altura 8 cm y radio de la base 4 cm. 18. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo del cual se engendra un cilindro de 10 cm de altura y 10 cm de diámetro de la base? Rectángulo de altura 10 cm y ancho 5 cm.

13. Calcula el área de la figura.

19. Completa.

2

2 cm

41 cm

7; 10; 15.

17. Bosqueja el desarrollo de los cuerpos. b) Cono: altura 8 cm y radio de la base 4 cm.

5 m

5 cm

4 cm

2 cm 6 cm

9; 9; 16.

8,7 cm

10 cm

10

d)

60 cm 2

cm

b)

12 cm

c)

a)

–– Actividad 21. Si la botella estuviera dentro de una caja con forma de ortoedro, ese ortoedro tendría una base cuadrada de 8 cm de lado y una altura de 30 cm. Ese ortoedro tendría 1 920 cm3 de volumen (o capacidad); por consiguiente, la botella no puede contener ese volumen de agua.

a) 2, 6 m3 =

dm 3

b) 4, 5 dm3 = c) 2 m3 =

2 600

cm 3

4 500

cm 3

2 000 000

d) 520 cm3 =

dm 3

0, 52

e) 3250 dm3 = f) 1000 cm3 =

m3

3, 25

m3

0, 001

20. Calcula el volumen de cada ortoedro. 5 cm

a) 2 cm

14. Indica cuáles son las características que comparten todos los prismas y cuáles son las que comparten todas las pirámides. Individual

5 cm

b)

3 cm 10 cm

m 5 c

m

2 c

60 cm 3

125 cm 3

21. Pensamiento crítico. Una botella con las dimensiones indicadas, ¿puede contener 1 920 centímetros cúbicos de agua?, ¿por qué? No 30 cm 8 cm

Pirámide

Prisma

15. ¿Puede un poliedro regular ser una pirámide? ¿Y un prisma? ¿Por qué? Sí ; sí.

22. Un bidón tiene 15 dm3 (15 litros) de agua. Se llenan 40 vasos iguales y aún quedan en el bidón 7 litros. ¿Cuántos dm3 de agua tiene cada vaso? 200 cm 3

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

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Bibliografía Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Martínez Roca, Barcelona, 1987. Santillana Ed. Lógico Matemática 6. Lima 2005. Santillana Ed. Matemática 6. Buenos Aires, 2002. Santillana Ed. Matemática 6. La Paz, 2000. Santillana Ed. Matemática 6. La Paz, 2003. Santillana Ed. Matemática 6. La Paz, 2006. Santillana Ed. Matemática 6. Lima, 2009. Santillana Ed. Matemática 6. Quito, 2004. Santillana Ed. Matemática 6. Santiago de Chile, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Madrid, 2003. Santillana Ed. Matemáticas 1 ESO. Madrid, 2007. Santillana Ed. Matemáticas 5. La Paz, 2008. Santillana Ed. Matemáticas 6. La Paz, 2008. Santillana Ed. Matemáticas 5 Primaria. Madrid, 2008. Santillana Ed. Matemáticas 6 Primaria. Madrid, 2008.

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