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DuocUC

Mat200, C.E.R.B

1. Una empresa produce cintas magnetofónicas en tres tamaños y en dos calidades diferentes. La producción (en miles) de su planta de Valdivia está dada por la matriz V , mientras que la de Concepción (en miles) aparece en la matriz C 15 39 15 27 37 23 V = C= 21 21 36 18 27 22 a) Cual es la matriz que representa la producción total de cintas de la empresa? La producción total se representa como matriz con la suma de las matrices V + C: Recuerde que la suma de matrices se realiza sumando lugar a lugar : 15 39 15 27 37 23 + 21 21 36 18 27 22

=

42 76 38 39 48 58

b) El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en Rancagua, la que tendría 2; 5 veces la capacidad de producción de la planta de Valdivia. Cual es la matriz que representa la produccion en la planta de Rancagua? Como la capacidad de produccion aumenta 2; 5 veces la de la planta de Valdivia, lo que debemos hacer es multiplicar por 2; 5 la matriz correspondiente a la planta de Valdivia (multiplico cada lugar por 2; 5) 2;5

15 39 15 21 21 36

=

37: 5 97: 5 37: 5 52: 5 52: 5 90;0

2. Una compania vende en tres tiendas cuatro modelos de una marca de computadores. El inventario de la tienda i modelo j esta representado por sij en la matriz S: Los precios, en dolares, al por mayor y al detalle del modelo i estan representados mediante pi1 y pi2 respectivamente, en la matriz P 1 0 0 1 229 321 12 10 9 6 B 418 444 C C S = @14 6 3 8A P =B @ 427 441 A 9 2 1 7 185 564 a) Calcule la matriz S P

S P

0 1 1 0 229 321 12 10 9 6 B 418 444 C C = @14 6 3 8A B @ 427 441 A 9 2 1 7 185 564 0 229 B 418 B B 427 B B 185 B B 12 229+10 418+9 427+6 185 B z }| { = B 11 881 B 12 10 9 6 B 14 229+6 418+3 427+8 185 B z }| { B B 14 6 8475 3 8 B 9 229+2 418+1 427+7 185 @ z }| { 9 2 1 7 4619 0 1 11 881 15 645 @ 8475 12 993A = 4619 8166 1

1

321 444 441 564 12 321+10 444+9 441+6 564

z }| { 15 645

14 321+6 444+3 441+8 564

z }| { 12 993

9 321+2 444+1 441+7 564

z }| { 8166

C C C C C C C C C C C C C C C A

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b) Cual es el ingreso total obtenido al vender la totalidad de los computadores de la tienda 3 al por mayor? El inventario de los computadores de la tienda 3, corresponde a la tercera …la de la matriz S y los precios al por mayor estan dados en la primera columna de la matriz P: Por lo tanto el coe…ciente de la matriz S P buscado es sp31 = us$4619 3. Una compania produce tres articulos A; B y C; que requieren ser procesados en tres maquinas I; II; y III: El tiempo, en horas, requerido para el procesamiento de cada producto por las tres maquinas, esta dado en la siguiente tabla: I II III A 2 1 6 B 5 5 1 C 2 1 1 La máquina I esta disponible 700 horas, la II durante 930 horas y la III durante 720 horas. Si en la produccion de estos tres articulos, se utilizan todas las horas disponibles,.determine la cantidad de articulos del tipo B que se producen, utilizando la regla de cramer. Las incognitas son A; B; C y los totales entregados corresponden a las columnas (tres tipos de maquinas) A B C total

I 2 5 2 700

II 1 5 1 930

III 6 1 1 720

Siempre escribimos el sistema de ecuaciones en dirección hacia donde se encuentan los totales : 2A + 5B + 2C = 700 A + 5B + C = 930 6A + B + C = 720 Nuestra matriz (delta) se construye colocando en orden los coe…cientes de las incognitas A; B; C en el sistema de ecuaciones 0 1 2 5 2 =@ 1 5 1 A 6 1 1 y el determinante de

es:

2 5 2 5 1 1 5 1 =2 = 1 1 6 1 1 = 2(5 1) 5(1 6) + 2(1 Como se pide el artículo B; solo necesitamos la matriz

B

=

A B C 2 5 2 1 5 1 6 1 1

!

eliminamos la columna de B

5

30) = B

A B C 2 2 1 1 6 1 2

1 1 6 1

+2

1 5 6 1

25

que se construye de la siguiente forma

!

colocamos los totales en su lugar

A B C 2 700 2 1 930 1 6 720 1

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Luego

B

=

2 700 2 1 930 1 6 720 1

930 1 720 1

= 2

= 2 (930 =

1 1 6 1

700

720)

700 (1

+2

1 930 6 720

6) + 2 (720

5580)

5800

Asi, …nalmente el valor buscado es B=

B

5800 = 232 25

=

4. Un negocio al vender x articulos, obtiene una utilidad U (en dolares) dada por la ecuación: U = 120x + 2x2

340

a) Cual es la utilidad obtenida al vender 120 articulos? Como la cantidad de articulos esta representada por x; solo debemos reemplazar x por 120 en la ecuación correspondiente a la utilidad U = 120(120) + 2(120)2

340 = 42 860

Por lo tanto la utilidad obtenida es us$42860 b) Cuantos articulos deben venderse para obtener una utilidad de us$26660? En esta pregunta no conocemos el valor de x, pero nos entregan el valor de U = 26660: Lo reemplazamos en la ecuación de segundo grado: 26660 = 120x + 2x2

340

0 = 120x + 2x2

340

2

0 = 2x + 120x

26660

27000

Para resolver esta ecuación utilizamos la fórmula ax2 + bx + c = 0 x =

b

p

b2 2a

4ac

que en nuestra ecuación es x = = = = =

p

120 120 120 120 4 90 150

1202 4 2 p 2 2 1202 4 2 4 p 230 400 4 480

27000 27000

Como el valor pedido corresponde a la cantidad de unidades, este debe ser positivo. Por lo tanto la cantidad buscada es 90: 3

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5. Una piscina rectangular de largo L = 24m y ancho A = 8m tiene a su alrededor una super…cie rectangular con ancho uniforme x como muestra la …gura :

Si el area de esta super…cie (super…cie entre los rectangulos) es 144m2 , cuanto mide x? Con la informacion entregada, podemos concluir que el largo del rectángulo grande es L mas 2 veces x, ya que debemos agregar a L el valor x tanto a la izquierda como a la derecha y el ancho del rectángulo grande es A mas 2 veces x (misma justi…cacion). Tenemos entonces (acerca del rectángulo grande) : Largo

=

24 + 2x

Ancho

=

8 + 2x

=

(24 + 2x)(8 + 2x)

Area rectángulo grande

Finalmente, sabemos que para calcular el área entre los rectángulo, debemos restar el area del rectángulo grande con la del rectángulo pequeno, es decir: 144 |{z}

Area entre rectangulos

= (24 + 2x)(8 + 2x) | {z } Area Rect.Grande 2

144 = 4x + 64x + 192

24 | {z 8}

Area Rect.Pequeno

192

2

144 = 4x + 64x 0 = 4x2 + 64x 144 p 642 4 4 64 x = 2 4

144

=2

6. Un alumno esta cursando la asignatura de física. Su nota …nal se obtiene con el promedio de las 5 pruebas del semestre. Si las notas de las cuatro primeras pruebas son 5; 9; 5; 6; 3; 8 y 2; 4. Que nota debe obtener en la quinta prueba(N5) para que su promedio sea al menos 4; 3: El promedio de notas se calcula sumando las notas y dividiendo por el total de estas, lo que se busca es Promedio 5; 9 + 5; 6 + 3; 8 + 2; 4 + N 5 5 17; 7 + N 5 5 17; 7 + N 5 17; 7 + N 5

4; 3 4; 3 4; 3 4; 3 5

N5

21; 5

N5

3; 8

Por lo tanto la nota número 5 debe ser al menos un 3; 8: 4

4; 3

17; 7

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7. Rodrigo invirtio$2;000;000 a un interés mensual del 1 %. Si al término de un periodo, el capital …nal fue $2;209;244; 251: Cuanto tiempo estuvo invertido el dinero? La fórmula de interes nos dice que periodo } interes | {z n Cap.Final = C.Inicial 1 + 100 1 n 2209244; 251 = 2000000 1 + 100 de esta fórmula debemos despejar n: Para esto utilizamos logaritmos:

log

2209244; 251 2000000 2209244; 251 2000000 2209244;251 2000000 1 log 1 + 100 log 2209244;251 2000000 1 log 1 + 100

=

1+

1 100

= n log 1 +

n

1 100

log

= n

= n

10 = n Por lo tanto el dinero estuvo invertido 10 meses. 8. Una persona pide un préstamo de $2;727;000 a una entidad …nanciera. El pago se hará en 36 cuotas, las que forman una progresión aritmetica …nita. Sabiendo que la catorceava cuota es de $63;150. Calcule el valor de la última cuota y la suma de las 30 primeras. Formulas P.Aritmetica de primer término a y diferencia d término de lugar n: Suma de n terminos.

an = a + (n 1)d Sn = n2 f2a + (n 1)dg

Como el pago se hará en 36 cuotas (no menciona intereses) tenemos que total del prestamo

suma de 36 cuotas

z}|{ S36

=

z }| { 2727000

36 f2a + 35dg = 2727000 2 36a + 630d = 2727000 Por otro lado, como la catorceava cuota es 63150 a14 = 63150 a + 13d = 63150 Juntamos estas dos ecuaciones

36a + 630d = 2727000 a + 13d = 63150 5

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Multiplicamos la segunda ecuación por 36 (para eliminar a) 36a + 630d = 2727000 36a + 468d = 2273400 Restamos ambas ecuaciones 36a

36a + 630d

468d = 2727000

2273400

162d = 453600 453600 d = = 2800 162 Ahora reemplazamos el valor de d en la ecuación a + 13d = 63150 a + 13 2800 = 63150 a + 36400 = 63150 a = 26750 Hasta aca, hemos obtenido Primer término Diferencia

a = 26750 d = 2800

Finalmente debemos calcular el término 36 (ultima cuota) a36 = a + 35d a36 = 26750 + 35 2800 a36 = 124750 y la suma de las 30 primeras cuotas 30 f2 26750 + 29 2800g 2 = 2020500

S30 =

9. El primer día de funcionamiento, una bomba de extraccion de agua saca un cuarto del líquido de un depósito. Si el depósito tiene inicialmente 8000 litros y en los dias siguientes la bomba extrae siempre un cuarto del líquido que quedo el día anterior : a) Cuanto líquido se extrae el tercer día? La tabla muestra como se va extrayendo el líquido 1 4

El primer día se extrae de la cantidad inicial El segundo día se extrae 14 de lo que quedo El tercer día se extrae 14 de lo que quedo .. . Por lo tanto el tercer día se extraen 1125lt: 6

Se extraen 1 4 8000 = 2000lt 1 4 6000 = 1500lt 1 4 4500 = 1125lt .. .

Quedan 8000 2000 = 6000lt 6000 1500 = 4500lt 4500 1125 = 3375lt .. .

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b) Cuanto es el total extraido hasta el tercer día? A diferencia de la pregunta anterior, esta nos pide el total de líquido extraido el primer día, el segundo y el tercero. Es decir 2000 + 1500 + 1125 = 4625lt 10. Se hace una encuesta a 130 personas acerca siguiente informacion 53 50 16 17 18 81 21

del consumo de tres productos A; B; C de la cual se obtuvo la consumen A consumen C consumen A y B consumen A y C consumen B y C consumen A o B no consumen A,B y C

a) Cuantas personas consumen A y B pero no C? En este tipo de ejercicios, siempre debemos obtener los siguientes datos: A

B

C

AyB

AyC

ByC

Por lo tanto lo unico faltante en este ejercicio es el valor de B: Para ello usamos el dato de que 81 personas consumen A o B de la siguiente forma: A o B = A+B 81 = 53 + B 81

(A y B) 16

53 + 16 = B 44 = B

Por ultimo debemos obtener el valor de aquellos que consumen A; B y C de la siguiente forma A

(A y B) + B 53

(B y C) + C 16 + 44

(A y C) = T otal

18 + 50

17 = 130

21

96 = 109

(A y B y C)

(A y B y C) = 109

Asi aquellos que consumen A y B pero no C son 3 7

(A y B y C) (A y B y C)

96 = 13

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b) Cuantas personas consumen al menos dos de estos productos? Corresponde a aquellas que consumen 2 o 3 de los productos, es decir 3 + 5 + 4 + 13 = 25 c) Cuantas personas no consumen B? 130

B =

130

44 = 86

8