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• ANA MARIA GUTIERREZ CASTRO

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UNIDAD IV RAZONES Y PROPORCIONES I. Encuentre el término faltante en cada proporción 10 x = 15 9

a.

10 x 9 =x 15 90 =x 15 4=x x=4 b.

c.

x 7 = 12 16 7 x 12 x= 16 84 x= 16 21 x= 4 x=5,25 14 81 = x 9 14 =9 x 14 =x 9 14 =x 9

I. Resuelva las siguientes situaciones problema relacionadas con regla de 3 simple 1. El precio de un paquete de 13 rotuladores es de 9.75€. ¿Cuántos rotuladores podemos comprar con un presupuesto de 15.75€?

Rotuladores 13 X

Es directamente

Precio 9,75 15,75

proporcional. Si se aumenta la cantidad de rotuladores, aumenta el valor a pagar.

x= x=

13 x 15,75 9,75

204,75 9,75

x=21 Es posible comprar 21 rotuladores con 15,15 € 2. José marca 5 goles cada 25 minutos de partido. Calcular mediante una regla de tres cuántos goles marcará en una hora. Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa.

Goles 5 X

Minutos 25 60

Es directamente

proporcional, si aumenta el tiempo aumentan los goles.

x= x=

60 x 5 25

300 25

x=12 Jose marcará 12 goles en una hora

3. El precio por kilo de queso azul es de 23.35€. ¿Cuánto nos costarán 125g de queso? Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa. 1 kilo = 1000g Precio 23,35 X

Es directamente se compre, mayor el x=

Gramos 1000 125

proporcional. Entre más queso precio a pagar.

23,35 x 125 1000

2918,75 1000 x=2,92 x=

125 g de queso costarán 2,92 €

II. Resuelve los siguientes problemas relacionados con regla de tres compuesta 1. En una fábrica de balones 5 empleados producen 120 unidades en 3 días, ¿cuántos empleados de igual rendimiento realizarán 560 balones en 2 días? No de empleados aumenta, si aumenta número de balones= directamente proporcional No. De empleados aumenta, disminuyen los días= inversamente proporcional Balones 120 560

x= x=

Empleados 5 X

Días 3 2

560 x 5 x 3 120 x 2

8400 240

x=35 35 empleados realizarán 560 balones en 2 días 2. 5 autobuses transportan 300 pasajeros en dos viajes, ¿cuántos viajes se deben hacer para transportar 450 personas en 3 autobuses? No de buses aumenta, disminuye número de viajes= inversamente proporcional No. de personas aumenta, aumenta el número de viajes= directamente proporcional Autobuses 5 3

x=

5 x 2 x 450 3 x 300

x=

4500 900

Viajes 2 X

Personas 300 450

x=5 Se deben hacer 5 viajes 3. Para copiar las memorias de un evento se contratan 5 secretarias que trabajan 8 horas diarias y copian 600 páginas ¿Cuántas horas diarias deben trabajar 8 secretarias para copiar un libro de 1200 páginas? No de secretarias aumenta, disminuye número de horas= inversamente proporcional No. de páginas aumenta, aumenta el número de horas= directamente proporcional Secretarias 5 8

Horas 8 X

Páginas 600 1200

x=

5 x 8 x 1200 8 x 600

x=

48000 4800

x=10 Deben trabajar 10 horas diarias 4. Un profesor gasta 4 marcadores de tablero para dictar 18 horas de clase. ¿Cuántos marcadores se deben comprar para 9 profesores si dictan en total 126 horas de clase? No de profes aumenta, aumenta cantidad de marcadores= directamente proporcional No. de horas aumenta, aumenta cantidad de marcadores = directamente proporcional Profes 1 9

x=

9 x 4 x 126 1 x 18

x=

4536 18

Marcadores 4 X

Horas 18 126

x=252 Se deben comprar 252 marcadores

5. Para alimentar un grupo de 50 reses durante 10 días, se necesitan 1500 kilos de alimento. ¿Qué cantidad de alimento se necesita para alimentar 60 reses durante 15 días? Reses aumenta, aumenta el alimento= directamente proporcional Aumentan los días, aumenta el alimento = directamente proporcional Reses 50 60

x=

60 x 1500 x 15 50 x 10

x=

1350000 500

x=2700

Alimento 1500 kg X

Días 10 15

Se necesita 2700 kilos de alimento para alimentar 60 reses en 15 días 6. En 18 días 20 máquinas aran un terreno de 60 hectáreas. ¿Cuántas máquinas iguales aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días? Si las hectáreas aumentan, aumenta el No. de máquinas = directamente proporcional Si aumentan los días, aumenta el No. de máquinas = directamente proporcional Hectáreas 60 36

x=

36 x 2 0 x 12 6 0 x 18

x=

864 0 108 0

Máquinas 20 X

Días 18 12

x=8 8 máquinas aran un terreno de 36 hectáreas en 12 días

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA I. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales 1. 259𝑥−4 = 125 (5.5)9 x−4 =¿) 52.(9 x−4 )=53 518 x−8=5 3 18 x−8=3 18 x=3+8 18 x=11 x=

11 18

2. 7293𝑥−1 = 81 (9.9 .9)3 x−1=( 9.9)

9

3.(3 x−1)

=9

2

3. ( 3 x −1 )=2 9 x−3=2 9 x=2+3 9 x=5 x=

5 9

3. 72𝑥−8 = 3 log 72 x−8 =log 3 ( 2 x−8 ) . log7=log 3 log 3 ( 2 x−8 )= log 7

( 2 x−8 )=

0,48 0,85

2 x−8=0,56 2 x=0,56+8 2 x=8,56 x=

8,56 2

x=4,28

4. 27𝑥+2 = 96𝑥+10 ¿

3

3.(x+2 )

=3

2.(6 x+10)

33 x+6=312 x+20 3 x+ 6=12 x+ 20 3 x−12 x =20−6 −9 x=14 14 x= −9 x=

−14 9

II. Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas 1. 𝐿𝑜𝑔 (𝑥 + 3) + 𝑙𝑜𝑔𝑥 = 1

log ( x +3 ) +logx=1 log( ( x +3 ) . ( X ) )=1 log ( x ¿¿ 2+3 x)=1¿ 101=x 2 +3 x 0=x 2+3 x−10

Propiedad: Logaritmo de un producto Se transforma en exponencial

−b ± √ b2−4 ac para hallar x donde a= 1, b= 3, c=-10 2a 2 −3 ± √3 −4. ( 1 ) .(−10) x= 2.(1) −3 ± √9+ 40 x= 2 −3 ± √ 49 x= 2 −3 ±7 x= 2 −3+7 −3−7 x 1= x 2= 2 2 4 −10 x 1= x 2= 2 2 x 1=2 x 2=−5

Se usa la fórmula x=

2. 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔32 = 2 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔32 = 2

Propiedad: Logaritmo de un producto

log 3 ( ( x−3 ) . ( 2 ) )=2 log 3 ( 2 x −6 )=2

Se transforma en exponencial

32= ( 2 x−6 ) 9=2 x −6 9+ 6=2 x 15=2 x 15 =x 2 7,5= x

3. 𝐿𝑜𝑔 8x2 - 𝑙𝑜𝑔4𝑥 = 0 𝐿𝑜𝑔 8x2 – 𝑙𝑜𝑔 4𝑥 = 0 log

Propiedad: Logaritmo de un cociente

8 x2 =0 4x

( )

log ( 2 x ) =0

Se transforma en exponencial

100 =2 x 1=2 x 1 =x 2

III. Resuelva las siguientes situaciones relacionadas con función exponencial y logarítmica 1. Un grupo de especialistas médicos ha determinado que si una persona se contagia por un virus H, la cantidad de personas que se pueden contagiar por el mismo virus al cabo de t días se puede determinar por medio de la siguiente expresión. h(t) = 9.000et / et + 9.000 A partir de lo anterior, podemos establecer a. ¿cuáles es el número de personas contagiadas por el virus H al cabo de 20 días? H (t )=

9000 e t e t +9000

9000.(2.71)20 H (t )= ( 2.71)20 +9000 H (t )=

9000 x 456442228.9 456442228.9+9000

H (t )=

4107980060000 456451228.9

H (t )=¿ 8999.82 Rta/= El número de personas contagiadas por el virus H al cabo de 20 días es de 8999.82

La respuesta debería ser que son 9000 personas aproximadamente b. ¿cuál es la cantidad de días que deben transcurrir para que resulten 40 personas contagiadas? H (t )= 40=

9000 e t e t +9000

9000 et e t +9000

40.(et +9000)=9000 e t

40 et +360000=9000 e t 360000=9000 et −40 et 360000=8960 et 360000 t =e 8960 40.178=e t ln 40.178=ln e t ln 40.178=t . lne ln 40.178 =t ln e ln 40.178 =t ln 2.71 3.69 =t 0.99 3.73=t 4 aprox .=t Rta/= Deben transcurrir 4 días aproximadamente para que resulten 40 personas contagiadas. 2. Un compuesto químico decrece de acuerdo con la expresión C = 28e-

0,4t

de tal

manera que C es un valor en miligramos y t en horas. ¿cuál es el tiempo necesario para que el compuesto se reduzca a 2 mg? C = 28e- 0,4t Donde C= 2 mg 2=28 e−0.4 t 2 =e−0.4 t 28 0,071=2,71−0.4 t ln 0,071=ln 2,71−0.4 t ln 0,071=(−0,4 t ) . ln 2.71 ln 0,071=(−0,4 t ) . ln 2.71 −2,65=−0,4 t −2,65 =t −0,4 6,6=t 7 aprox .=t

1

Rta/= El tiempo necesario para que el compuesto se reduzca a 2 mg es de 7 horas aproximadamente.

3. Se invirtieron 8.000 dólares al 6% anual y la inversión alcanza un valor de 10.100 dólares ¿por cuánto tiempo se hizo la inversión? A=p (1+r )t 10100=8000.(1+ 0,06)t 10100=8000.(1,06)t 10100 =1,06t 8000 1,2625=1,06 t ln 1,2625=ln 1,06t ln 1,2625=t . ln 1,06 ln 1,2625 =t ln 1,06 0,233 =t 0.058 t=4,02=4 aprox . Rta/= La inversión se realizó por 4 años aproximadamente.

4. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse una inversión de 5.000 euros, cuando el interés compuesto semestralmente es del 14%? Datos= se busca el tiempo para duplicar la inversión. (A = 2p) p = 5000 r nt A=p (1+ ) n 10000=5000.(1+

0,14 2 t ) 2

10000 0,14 2t =(1+ ) 5000 2 2=(1+0,07)2 t 2=1,07 2 t ln 2=ln 1,072 t ln 2=2t . ln 1,07 ln 2 =2 t ln 1,07

A=2.(5000) = 10000

0,69 =2 t 0,067 10,23=2t 10,23 =t 2 5,15=t 5 aprox .=t Rta/= La inversión tardará en duplicarse 5 años aproximadamente.

5. La población de una ciudad está dada por la función p (t)= 250.000℮ 0,08t y el valor de p para t=0, corresponde a la población al inicio del estudio en 2000. a. Halle la población de la ciudad para el año 2020 P(t )= 250.000℮0,08t P(20) = 250.000℮0,08(20) P(20)= 250.000℮1,6 P(20)= 250.000 x (2,71)1,6 P(20)= 250.000 x 4,929 P(20)=1´232.250 Rta/= La población para el año 2020 será de 1´232.250

b. ¿Cuánto tiempo pasará para que la población inicial se duplique? Población inicial donde t=0 P(t )= 250.000℮0,08t P(t )= 250.000℮0,08.(0) P(t )= 250.000℮0 P(t )= 250.000 x 1 P(t )= 250.000 Población duplicada. Por tanto P(t )= 250.000 x 2 = 500.000 0,08 t

P(t )=250.000 e 500.000=250.000 e0,08 t 500.000 0,08 t =e 250.000 500.000 0,08 t =e 250.000 2=e0,08 t ln 2=ln e 0,08t ln 2=0,08 t . ln e

ln 2 =0,08 t ln e 0,693 =0,08 t 0,996 0,695=0,08 t 0,695 =t 0,08 8,69=t Rta/= Pasarán 8,69 años para que la población se duplique

FUNCIÓN CUADRÁTICA Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización

a. −x 2−2 x+3=0 (−1 ) .−x 2−2 x+ 3=0 x 2+ 2 x−3=0 Caso 6 de factorización: x 2+ bx+ c

( x +3 ) .( x−1)=0 x +3=0 x−1=0 x =−3

x=1

Vértice: −b −b −b V ,f ¿ donde a = -1, b= -2, c= 3 V ¿ , f 2a 2a 2a f ( x )=−(−1¿¿ 2)−2(−1)+3=0¿ −b ¿ V¿,f −1+2+3=4 2a −b ¿ V¿, f 2a V ¿, 4 ¿

(

( ))

b. 2 x2 −x−6=0 2 x2 −x−6=0 2. ( 2 x 2−x−6 ) =0 2 4 x 2−1.(2 x)−12 =0 2 ¿¿ ( 2 x−4 ) .(2 x+ 3) =0 2

Trinomio de la forma a x 2+ bx+ c=0

( x−2 ) .(2 x+3)=0 x−2=0 2 x+3=0 x=2 2 x=−3 −3 x= x=2 2 Vértice: −b −b V ,f 2a 2a

(

( ))

V¿,f

−b ¿ 2a

V¿,f

−b ¿ 2a

V

( 14 , −498 )

donde a = 2, b= -1, c= -61 2

f(x)= 2.( 14 ) −( 14 )−6 1

= 2. 16 − =

( 14 )−6

2 1 − −6 16 4 1 1 = 8 − 4 −6 1−2−48 −49 = 8 = 8

c. −x 2+ 6 x=0 por factor común x 2+ 6 x=0 x .(−x+ 6)=0 x=0 −x +6=¿0

x=6 Vértice: −b −b V ,f 2a 2a V V

( ( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))

donde a = -1, b= 6, c= 0

−6 −b ,f 2a 2 −1

−6 −b ,f −2 2a

V 3, f

fx= −( 3) +6 (3) 2

=

−9+18 = 9

−b 2a

V (3 , 9)

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general

a. 6 x 2+ 3 x −3=0 −b ± √ b2−4 ac 2a −(3) ± √ 32 −4. ( 6 ) .(−3) x= 2.(6) x=

−3 ± √ 9+72 12 −3 ± √ 81 x= 12 −3 ± 9 x= 12 x=

−3+9 12 6 x 1= 12 1 x 1= 2

−3−9 12 −12 x 2= 12

x 1=

x 2=

x 2=−1

Vértice: −b −b V ,f 2a 2a

( ( ( (

( )) −3 −b V ,f 2.6 ( 2 a )) −3 −b V ,f ( 12 2 a )) −1 −b V ,f( 4 2 a )) −1 27 V( ,− ) 4 8

donde a = 6, b= 3, c= -3

b. (3 /2)x 2−4 x−1=0 x=

−b ± √ b2−4 ac 2a

3 −(−4)± (−4)2 −4.( ) .(−1) 2 x= 3 2.( ) 2

√

fx=

−1 2 −1 6.( ) +3. −3 4 4

( ) 1 = 6. ( 16 )−( 34 )−3 = ( 166 )−( 34 )−3

=

6−12−48 16 −54 = 16

=

27

-8

4 ± √ 16+6 3 4 ± √ 22 x= 3 4+ 22 x 1= √ 12 4+ 4,69 x 1= 12 x 1=2,896 x=

Vértice: −b −b V ,f 2a 2a

(

( ))

4−√ 22 12 4−4,69 x 2= 12 x 2=−0,230 x 2=

donde a = 3/2, b= -4, c= -1

fx=

V¿ V V V

3 4 2 4 .( ) −4. −1 2 3 3

()

4 −b ,f 3 2a

=

3 16 16 . − −1 2 9 3

4 −b ,f 3 2a

=

8 16 − −1 3 3

( ( )) ( ( )) ( 43 ,− 113 )

c. 3 x 2−2 x −1=0 −b ± √ b2−4 ac 2a −(−2) ± √(−2)2 −4. ( 3 ) . (−1) x= 2.(3) 2± √ 4 +12 x= 6 2± 16 x= √ 6 x=

=

( )

8−16−3 3 −11 = 3

2± 4 6 2+ 4 x 1= 6 x=

x 1=

6 6

x 1=1

V V V

2−4 6

x 2=

−2 6

x 2=

Vértice: −b −b V ,f 2a 2a V

x 2=

( ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))

−1 3

donde a = 3, b= -2, c= -1

− −2 −b ,f 2a 23

fx=

1 2 1 3.( ) −2. −1 3 3

()

2 −b ,f 6 2a

= 3. 19 − 23 −1

1 −b ,f 3 2a

=

( 13 ,− 43 )

=

1 2 − −1 3 3

1−2−3 3 −4 = 3

Resuelva las siguientes situaciones problema relacionadas con ecuación y función cuadrática a. Un cohete es lanzado desde una montaña a 120 metros sobre el nivel del mar. La distancia U (t) del cohete sobre el nivel del mar en cualquier tiempo t (en segundos) está dada por la ecuación U (t) = - 12t + 36t + 120. ¿El tiempo en caer al océano es? 2

t=

−b ± √b 2−4 ac 2a

−36 ± √ (36)2−4. (−12 ) .(120) 2.(−12) −36 ± √1296+5760 t= −24 −−36 ± √ 7056 t= 24 −−36 ± 84 t= 24 −−36+84 −−36−84 t 1= t 2= 24 24 −48 −−120 t 1= t 2= 24 24 t 1=−2 t 2=5 t=

Rta/: El tiempo en caer al océano es 5 segundos b. Para cercar un terreno rectangular de 525 m se utilizan 50 m de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? 2

Perímetro (P)= 50 metros Área (A): 525 metros cuadrados P=2 x +2 y

A=x . y

50=2(x+ y)

525= x .(25−x)

50/2=( x + y)

525=25 x− x2

25=x+ y

525−25 x + x 2=0

25−x= y

x 2−25 x+ 525=0

(Me salió raíz negativa luego de esta parte)

Efectivamente b 2−4 ac=(−25 )2−4 ( 1 ) (525 )=−1475 por tanto no es posible encontrar un terreno con esas dimensiones. c. Un organizador de eventos fijó el precio p de la entrada general para un concierto, teniendo en cuenta que el dinero recaudado i dependerá de la cantidad de entradas que se vendan, determinó la siguiente función: i (p) = - 40 p + 40.000p. ¿Cuál debe ser el precio de la entrada general de modo que permita obtener el máximo ingreso? 2

Se utiliza la fórmula para hallar el vértice y así se encuentra el precio de la entrada general para obtener el máximo ingreso

−b 2a −(40.000) p= 2.(−40) p=

−40.000 −80 p=¿500 p=

NO sé si me quedó bien Perfecto d. Un

grupo de docentes de la universidad de Oxford ha encontrado que la calificación promedio L de una persona depende del número h de horas semanales que dedica a estudiar y a resolver sus tareas. Dicho promedio de calificación puede conocerse por medio de la ecuación: L (h) = - 0,032h + 0,3h + 1 con 0 ≤ h ≤ 12. ¿Cuál es la calificación promedio del estudiante que estudia 3 horas por semana y 6 horas por semana? 2

. ¿Cuál es la calificación promedio del estudiante que estudia 3 horas por semana 2 L ( 3 )=−0,032. ( 3 ) +0,3 ( 3 ) +1 L ( 3 )=−0,288+ 0,9+1 L ( 3 )=1,612 Rta/: La calificación promedio del estudiante que estudia 3 horas por semana es de 1,612 ¿Cuál es la calificación promedio del estudiante que estudia 6 horas por semana 2 L ( 6 )=−0,032. ( 6 ) +0,3 ( 6 )+1 L ( 6 )=−1,152+1,8+1 L ( 6 )=1,648 Rta/: La calificación promedio del estudiante que estudia 6 horas por semana es de 1,648 e. El área de un rectángulo es 138 cm2. El largo es 5 cm mayor que tres veces el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Área (A): 138 cm2 Largo= y Ancho= x Largo (y)= 5 + 3x A=x . y 138= x .(5+3 x ) 138=5 x +3 x 2 0=3 x2 +5 x−138 −b ± √ b2−4 ac 2a −5 ± √52−4.(3) .(−138) x= 2.(3) −5 ± √ 25+1656 x= 6 −5 ± √ 1681 x= 6 −5 ± 41 x= 6 x=

−5+41 −5−41 x 2= 6 6 36 −46 x 1= x 2= 6 6 x 1=6 x 1=

x 2=−7,667

NO HAY DISTANCIAS NEGATIVAS

y=5+ 3 x y=5+ 3(6) y=5+ 18 y=23 Rta: Las dimensiones del rectángulo son 6 cm de ancho y 23 cm de largo

FUNCIÓN LINEAL VIII SEMESTRE_I_2020 1. Hallar la ecuación de la recta para las siguientes condiciones a. Pasa por los puntos P (-3,4) y Q (-1,1) Primero se halla la pendiente con la fórmula m=

y 2− y 1 en este caso P (−3,4 ) =( x 1 , y 1 ) y x 2−x 1

1−4 −3 m= 2 −1−(−3) Ahora utilizando la ecuación de la recta punto pendiente y− y1 =m ( x−x 1 )se obtiene la ecuación canónica de la forma y=mx+b: −3 −3 −3 9 −3 9 −3 1 y− y1 =m ( x−x 1 ) y−4= x− ( x−(−3 ) ) y−4= ( x +3 ) y−4= x− y= x− + 4 y= 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Significa que la recta debe cortar al eje y en el punto 0 ,− 2 Esta ecuación se puede expresar de la forma general multiplicando por 2 para eliminar denominadores: −3 1 2× y= x− ×22 y=−3 x−13 x+ 2 y =−1 2 2 La gráfica es: Q= (−1,1 )=( x 2 , y 2 ) por tanto m=

(

[

)

]

b. Pasa por los puntos R (6,2) y S (-7,5) Primero se halla la pendiente con la fórmula m=

y 2− y 1 en este caso R ( 6,2 )=( x 1 , y 1 ) y x 2−x 1

5−2 −3 m= −7−6 13 Ahora utilizando la ecuación de la recta punto pendiente y− y1 =m ( x−x 1 )se obtiene la ecuación canónica de la forma y=mx+b: S= (−7,5 )=( x 2 , y 2 ) por tanto m=

−3 −3 18 −3 18 −3 44 ( x−6 ) y−2= x + y= x+ + 2 y= x+ 13 13 13 13 13 13 13 44 Significa que la recta debe cortar al eje y en el punto 0 , 13 Esta ecuación se puede expresar de la forma general multiplicando por 13 para eliminar denominadores: −3 44 13 × y = x+ ×1313 y=−3 x +443 x+ 13 y =44 13 13 La gráfica es: y− y1 =m ( x−x 1 ) y−2=

(

[

)

]

c. Tiene como pendiente m= 3/4 y pasa por le punto C (3,4) En este caso como ya nos da la pendiente entonces se utiliza la ecuación de la recta punto pendiente y− y1 =m ( x−x 1 )se obtiene la ecuación canónica de la forma y=mx+b: 3 3 9 3 9 3 7 y− y1 =m ( x−x 1 ) y−4= ( x−3 ) y−4= x− y= x− + 4 y= x + 4 4 4 4 4 4 4 7 Significa que la recta debe cortar al eje y en el punto 0 , 4 Esta ecuación se puede expresar de la forma general multiplicando por 4 para eliminar denominadores: 3 7 4 × y = x+ × 4 4 y=3 x+ 7−3 x+ 4 y =7 4 4

( )

[

]

d. Tiene como pendiente m= -2 y pasa por le punto A (-4,6) En este caso como ya nos da la pendiente entonces se utiliza la ecuación de la recta punto pendiente y− y1 =m ( x−x 1 )se obtiene la ecuación canónica de la forma y=mx+b: y− y1 =m ( x−x 1 ) y−6=−2 ( x−(−4 ) ) y−6=−2 ( x +4 ) y−6=−2 x−8 y=−2 x−8+6 y=−2 x−2 Significa que la recta debe cortar al eje y en el punto ( 0 ,−2 ) Esta ecuación se puede expresar de la forma general así: y=−2 x−22 x+ y =−2

2. Determine la ecuación explicita de la recta que cumple las condiciones dadas en cada caso. a. Es de la forma 4x + 2y + c = 0 y pasa por el punto p (-1,3) Como la recta pasa por el punto p(−1,3) se reemplazan las variables x y y para hallar el valor de c, así las cosas 4 x+2 y +c=04 (−1 )+ 2 ( 3 )+ c=0−4+6+ c=02+c=0c=−2 Por tanto, la ecuación general queda 4 x+2 y−2=0 y para hallar la ecuación explícita se debe despejar y, es decir

4 x+2 y−2=02 y=−4 x+ 2 y=

−4 2 x + y=−2 x +1 2 2

b. Pasa por el punto Q (2,2) y tiene la misma pendiente - 3x – 6y + c = 0 Para este ejercicio de −3 x−6 y +c=0 se despeja y para poder hallar la pendiente así: 3 c −1 c x− y= x+ −3 x−6 y +c=0−6 y=3 x−c y= −6 −6 2 6 −1 Por tanto la pendiente m= y como pasa por el punto Q(2,2) la ecuación será 2 −1 −1 −1 −1 y− y1 =m ( x−x 1 ) y−2= ( x−2 ) y−2= x+1 y= x +1+2 y= x +3 2 2 2 2

3. Resuelva las siguientes situaciones problemas relacionadas con función lineal a. Milena es artesana y está produciendo bisutería que combina tejidos y semillas de diferentes colores. La primera inversión de milena será $ 150.000. Si cada paquete de semillas cuesta $5.000 y cada madeja de lana $15.000, determine la ecuación general, la ecuación explicita y la gráfica que modela la situación. SOLUCIÓN: Se determina que x=semillas y que y=Madela de lana por tanto la ecuación general será: 5000 x+15000 y −150000=0 Y la ecuación explícita será: −5000 150000 1 y+ y= x +10 5000 x+15000 y −150000=015000 y=−5000 x +150000=0 y= 15000 15000 3

b. El valor a pagar por consumo de electricidad en pesos, para cierto inmueble, está dada por la expresión T(x) = 300x + 4.000, donde x es la cantidad de kilovatios utilizada. Calcule el cargo básico y el valor a pagar por 2, 4 y 5 kilovatios. Modele la situación planteada. SOLUCIÓN: x T (x) 2 4.600 4 5.200 5 5.500

c. En cierta aerolínea la ruta R está modelada por la ecuación 3x – 2y + 8 = 0. Si se requiere diseñar una nueva ruta que no se cruce en ningún punto con la ruta R y que pase por la ciudad B, que está representada en el plano por el punto (-3,5). ¿cuál es la ecuación que modela la nueva ruta? SOLUCIÓN: Como no se deben cruzar las rutas las rectas deben ser paralelas, es decir deben tener la misma pendiente. La pendiente de la ruta R se calcula despejando y así: −3 −8 3 x+ y= x + 4 3 x−2 y+ 8=0−2 y=−3 x−8 y= −2 −2 2

3 y como la nueva ruta debe pasar por el punto (−3,5 ) entonces 2 3 3 3 9 3 9 3 19 y−5= ( x−(−3 ) ) y−5= ( x +3 ) y−5= x + y= x + +5 y= x + 2 2 2 2 2 2 2 2 Multiplicando por 2 para eliminar denominadores y hallar la ecuación general se obtiene: 3 19 2 y= x+ ×22 y=3 x+ 19−3 x+ 2 y −19=03 x−2 y+ 19=0 2 2 Por tanto m=

(

d.

)

Si la curva de demanda está dada por la ecuación q (d) = 500-10p y la curva de oferta está dada por q(s) = 10p-100. Halle la cantidad y precio de equilibrio. Construya las gráficas en un mismo plano que muestran el precio de equilibrio SOLUCIÓN Se reescriben las ecuaciones para formar un sistema de ecuaciones lineales 2 ×2 Así: La de demanda y=500−10 p y La de oferta y=10 p−100 El punto de corte de las dos rectas es el punto de equilibrio, en donde la demanda y la oferta son iguales, por tanto y +10 p=500 y−10 p=−100 Al utilizar el método de reducción para la solución del sistema se obtiene: y +10 p=500 y−10 p=−100¿¿ 400 2 y=400 y= y=200 2 Si y=200 al reemplazar en la primera ecuación se obtiene:

300 p=30 10 Por tanto, la cantidad es 30 y el precio de equilibrio es 200 A=( 30,200 ) 200+10 p=50010 p=500−20010 p=300 p=

ECUACIÓN Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 1. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por factorización a. – x2 – 2x + 3 =0 b. 2x2 – x – 6 = 0 c. – x2 + 6x = 0 2. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por fórmula general. a. 6x2 + 3x – 3 = 0 b. 3/2 x2 – 4x – 1= 0 c. 3x2 - 2x – 1 = 0 3. Resuelva las siguientes situaciones problema relacionadas con ecuación y función cuadrática. a. Un cohete es lanzado desde una montaña a 120 metros sobre el nivel del mar. La distancia U (t) del cohete sobre el nivel del mar en cualquier tiempo t (en segundos) está dada por la ecuación U (t) = - 12t2 + 36t + 120. ¿El tiempo en caer al océano es? b. Para cercar un terreno rectangular de 525 m2 se utilizan 50 m de alambre. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? c. Un organizador de eventos fijó el precio p de la entrada general para un concierto, teniendo en cuenta que el dinero recaudado i dependerá de la cantidad de entradas que se vendan, determinó la siguiente función: i (p) = - 40 p2 + 40.000p. ¿Cuál debe ser el precio de la entrada general de modo que permita obtener el máximo ingreso? d. Un grupo de docentes de la universidad de Oxford ha encontrado que la calificación promedio L de una persona depende del número h de horas semanales que dedica a estudiar y a resolver sus tareas. Dicho promedio de calificación puede conocerse por medio de la ecuación: L (h) = - 0,032h 2 + 0,3h + 1 con 0 ≤ h ≤ 12. ¿Cuál es la calificación promedio del estudiante que estudia 3 horas por semana y 6 horas por semana? e. El área de un rectángulo es 138 cm2. El largo es 5 cm mayor que tres veces el ancho. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?