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• Pedro Perez

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Dpto. Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería Universidad de Concepción

Electromagnetismo 543201 Guía de Problemas #5 Campo Magnético 𝐦

1) Un protón que se mueve a 𝟒. 𝟎𝟎 · 𝟏𝟎𝟔 [ 𝐬 ] a través de un campo magnético de 𝟏. 𝟕𝟎 [𝐓] experimenta una fuerza magnética de magnitud 𝟖. 𝟐𝟎 · 𝟏𝟎−𝟏𝟑 [𝐍]. ¿Cuál es el ángulo que forma la velocidad del protón y el campo magnético?

2) Un protón se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme ⃑𝐁 a una rapidez de 𝐦 𝐦 𝟏. 𝟎𝟎 · 𝟏𝟎𝟕 [ 𝐬 ] y experimenta una aceleración de 𝟐. 𝟎𝟎 · 𝟏𝟎𝟏𝟑 [𝐬𝟐 ] en la dirección positiva de x cuando su velocidad está en la dirección positiva de z. Determine la magnitud y la dirección del campo magnético. 3) Demuestre que el trabajo realizado por la fuerza magnética sobre una partícula cargada moviéndose en un campo magnético es cero para cualquier desplazamiento de la partícula. 4) Calcule la magnitud de la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre un conductor que lleva una corriente de 𝟐𝟐. 𝟎 [𝐀] en una región donde un campo magnético uniforme tiene una magnitud de 𝟎. 𝟕𝟕𝟎 [𝐓] y está dirigido perpendicularmente al conductor. 5) Un alambre transporta una corriente estable de 𝟐. 𝟒𝟎 [𝐀]. Si un tramo recto de este alambre tiene 𝟎. 𝟕𝟓𝟎 [𝐦] de largo y yace a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme, ̂ [𝐓], y si la corriente está orientada en la dirección positiva de x, ¿cuál es la fuerza ⃑𝐁 ⃑ = 𝟏. 𝟔𝟎 𝒌 magnética que se ejerce sobre la sección del alambre? 6) Una espira rectangular cuyas dimensiones son 𝟏𝟎. 𝟎 𝐜𝐦 × 𝟐𝟎. 𝟎 𝐜𝐦 está suspendida por una cuerda, y la parte horizontal inferior de la espira está inmersa en un campo magnético confinado a una región circular (figura 1). Si una corriente de 𝟑. 𝟎𝟎 [𝐀] se hace circular por la espira en la dirección mostrada, ¿cuál será la dirección y la magnitud del campo magnético requerido para producir una tensión de 𝟒. 𝟎𝟎 · 𝟏𝟎−𝟐 [𝐍] en la cuerda que lo soporta? (desprecie la masa de la espira).

10.0 cm

Figura 1

7) El segmento del conductor mostrado en la figura 2 lleva una corriente 𝑰 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟎 [𝐀]. La sección corta del segmento tiene 𝟎. 𝟖𝟎𝟎 [𝐦] de longitud, y la sección larga tiene 𝟏. 𝟔𝟎 [𝐦] de longitud. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre el conductor si existe un campo magnético ⃑ = 𝟏. 𝟗𝟎 𝒊̂ [𝐓] en esa región. uniforme dado por ⃑𝐁

y

 B

I 45.0º

30.0º

Figura 2

x

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8) La tierra tiene un campo magnético de magnitud 𝟎. 𝟔𝟎𝟎 · 𝟏𝟎−𝟒 [𝐓], apuntando a 𝟕𝟓. 𝟎º hacia abajo del plano horizontal norte-sur. Si un alambre recto de 𝟏𝟎. 𝟎 [𝒎] de longitud lleva una corriente de 𝟏𝟓. 𝟎 [𝐀]: a. Si la corriente está dirigida horizontalmente hacia el este, ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre el alambre? b. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante si la corriente está dirigida verticalmente hacia arriba?

9) Una bobina rectangular está constituida por 𝟏𝟎𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 muy de alambre firmemente apretadas, y tiene como dimensiones 𝒂 = 𝟎. 𝟒𝟎𝟎 [𝐦] y 𝒃 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟎 [𝐦]. La bobina se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo 𝜽 = 𝟑𝟎. 𝟎° con el eje x (ver figura 3). ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la bobina por un campo magnético uniforme de magnitud 𝐁 = 𝟎. 𝟖𝟎𝟎 [𝐓] dirigido a lo largo del eje x, cuando por la bobina circula una corriente de magnitud 𝑰 = 𝟏. 𝟐𝟎 [𝐀] en la dirección que se muestra en la figura? ¿Cuál es la dirección de rotación esperada de la bobina?

Figura 3

10) Una espira circular está hecha con 𝟏. 𝟎𝟎 [𝐦] de alambre y lleva una corriente de 𝟕𝟎. 𝟎 [𝒎𝐀]. a. Calcular el momento magnético de este alambre. b. Si con el mismo alambre se forma una bobina de 𝟓𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 y calcule el momento magnético resultante. 11) Considere una partícula de masa m y carga q moviéndose con una velocidad v. Si la partícula ⃑ . Demuestre que mientras se encuentra entra a una región perpendicular a un campo magnético 𝐁 en la región del campo magnético la energía cinética de la partícula es proporcional al cuadrado del radio de su órbita 12) Se tiene que una corriente de 𝟏𝟕. 𝟎 [𝒎𝐀] circula en una espira circular de 𝟐. 𝟎𝟎 [𝐦] de circunferencia. Si un campo magnético de 𝟎. 𝟖𝟎𝟎 [𝐓] se dirige en paralelo al plano de la espira: a. Calcule el momento magnético de la espira. b. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido por el campo magnético sobre la espira? 13) Una varilla de metal de 𝟎. 𝟐𝟎𝟎 [𝐤𝐠] que conduce una corriente de 𝟏𝟎. 𝟎 [𝐀] se desliza sobre dos rieles horizontales que están separados 𝟎. 𝟓𝟎𝟎 [𝐦]. ¿Qué campo magnético vertical se requiere para mantener en movimiento la varilla con una velocidad constante si el coeficiente de fricción cinético entre la varilla y los rieles es de 𝟎. 𝟏𝟎𝟎?

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̂ )[𝐦] ⃑ = (𝟐𝒊̂ + 𝟑𝒋̂ − 𝒌 14) Una carga positiva 𝒒 = 𝟑. 𝟐𝟎 · 𝟏𝟎−𝟏𝟗 [𝐂] se mueve con una velocidad 𝒗 𝐬 a través de una región donde existen a la vez un campo magnético uniforme y un campo eléctrico uniforme. a. Calcule la fuerza total sobre la carga en movimiento (en notación del vector unitario), ̂ ) [𝐓] y E ⃑ = (𝟐𝒊̂ + 𝟒𝒋̂ + 𝒌 ⃑ = (4𝑖̂ − 𝑗̂ − 2𝑘̂) [ V ]. tomando 𝐁 m b. ¿Cuál es el ángulo que el vector de la fuerza formará con el eje positivo de las x? 15) Una varilla metálica con una masa por unidad de longitud 𝝀 transporta una corriente I. Si la varilla cuelga de dos alambres verticales en un campo magnético vertical uniforme, como se muestra en la figura 4, y los alambres forman un ángulo 𝜽 con respecto a la vertical cuando están en equilibrio. Determine la magnitud del campo magnético.

Figura 4 16) Un conductor con forma de una espira cuadrada de lado 𝒍 = 𝟎. 𝟒𝟎𝟎 [𝒎] lleva una corriente 𝑰 = 𝟏𝟎. 𝟎 [𝐀], como en la figura 5. Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el centro de la espira.

Figura 5 17)

Si la longitud total del conductor del anterior se conforma en una sola espira circular con la misma corriente, ¿cuál es valor del campo magnético en el centro de la espira?

18)

Un segmento de alambre de longitud total 𝟒𝒓 se modela con la forma que se presenta en la figura 6 y lleva una corriente 𝑰 = 𝟔. 𝟎𝟎 [𝐀]. Encuentre la magnitud y la dirección del campo magnético en el punto 𝑃 cuando 𝑟 = 2𝜋 cm.

19)

Utilice la ley de Biot-Savart para calcular la magnitud y la dirección del campo magnético en un punto 𝑷 localizado en el centro de círculos concéntricos de radios 𝒂 = 𝟓. 𝟎𝟎 [𝐜𝐦] y 𝒃 = 𝟖. 𝟎𝟎 [𝐜𝐦] (ver figura 7) cuando una corriente 𝑰 = 𝟐. 𝟎𝟎 [𝐀] se mantiene en el circuito formado por la espira.

b

r

.

P Figura 6

a

.

P Figura 7

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20)

En la figura 8, la corriente que circula en el alambre largo y recto es igual a 𝑰𝟏 = 𝟓. 𝟎𝟎 [𝐀]. Si el alambre yace en el plano de una espira rectangular, la cual lleva una corriente 𝑰𝟐 = 𝟏𝟎. 𝟎 [𝐀], y las dimensiones de la espira son 𝒄 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟎 [𝐦], 𝒂 = 𝟎. 𝟏𝟓𝟎 [𝐦] y 𝒍 = 𝟎. 𝟒𝟓𝟎 [𝐦]; determinar la magnitud y la dirección de la fuerza neta ejercida sobre la espira por acción el campo magnético producido por el alambre.

Figura 8

Figura 9

21)

Cuatro conductores largos y paralelos transportan corrientes iguales de 𝑰 = 𝟓. 𝟎𝟎 [𝐀] como se muestra en la figura 9. Si la dirección de la corriente es hacia adentro de la página en los puntos 𝑨 y 𝐁 (indicado por las cruces) y hacia afuera de la página en 𝑪 y 𝑫 (indicado por los puntos). Calcular la magnitud y dirección del campo magnético en el punto 𝑷, localizado en el centro del cuadrado considerando que este tiene 𝟎. 𝟐𝟎𝟎 [𝐦] de lado.

22)

Considere un arreglo coaxial con un alambre de radio 𝒂 a lo largo del eje de un cascarón cilíndrico de radio 𝒃, como se muestra en la figura 10. Si la corriente está dirigida hacia adentro de la página a lo largo del centro del alambre y regresa hacia afuera de la página a lo largo del cascaron cilíndrico, y considerando que 𝑰 = 𝟓. 𝟎𝟎 [𝐀], 𝒂 = 𝟎. 𝟔𝟎𝟎 [𝐜𝐦] y 𝒃 = 𝟏. 𝟐𝟎 [𝐜𝐦], calcule el campo magnético: a. En el punto 𝑷𝟏 a una distancia 𝒓𝟏 = 𝟏. 𝟎𝟎 [𝐜𝐦] del centro del alambre. b. En el punto 𝑷𝟐 a una distancia 𝒓𝟐 = 𝟐. 𝟒𝟎 [𝐜𝐦] del centro del alambre.

a

.

.

b

r2

r1

P2

P1

Figura 10 23)

.

Figura 11

Un toroide está construido de 𝑵 vueltas rectangulares de alambre, de tal forma que cada vuelta tiene una altura h. Si el toroide tiene un radio interno a y un radio externo b: a. Considerando que el toroide lleva una corriente I, demuestre que el flujo magnético a través de las vueltas del toroide es proporcional a 𝐥𝐧(𝒃/𝒂). b. Evalúe este flujo si 𝑵 = 𝟐𝟎𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔, 𝒉 = 𝟏. 𝟓𝟎 [𝐜𝐦], 𝒂 = 𝟐. 𝟎𝟎 [𝐜𝐦], 𝒃 = 𝟓. 𝟎𝟎 [𝐜𝐦] e 𝑰 = 𝟐. 𝟎𝟎 [𝐀].

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24) Un solenoide de 𝟐. 𝟓𝟎 [𝐜𝐦] de diámetro y 𝟑𝟎. 𝟎 [𝐜𝐦] de largo tiene 𝟑𝟎𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 y lleva una corriente de 𝟏𝟐. 𝟎 [𝐀]. Calcule el flujo a través de la superficie de un disco de radio de 𝟓. 𝟎𝟎 [𝐜𝐦] colocado perpendicularmente a, y centrado en el eje del solenoide, como se muestra en la figura 11. 25) El núcleo de hierro de un toroide está devanado con 𝟐𝟓𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 de alambre por metro de longitud. La corriente en el devanado es de 𝟖. 𝟎𝟎 [𝐀]. Tomando la permeabilidad magnética del hierro como 𝒌𝒎 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝝁𝟎 , calcular: ⃑⃑⃑ a. La intensidad del campo magnético, 𝑯 ⃑. b. La densidad de flujo magnético, 𝐁 26) Se requiere tener un campo magnético de densidad de flujo 𝟏. 𝟑𝟎 [𝐓] en el interior del núcleo de hierro de un toroide. Si el toroide tiene un radio promedio de 𝟏𝟎. 𝟎 [𝐜𝐦] y una permeabilidad magnética de 𝟓𝟎𝟎𝟎𝝁𝟎 . ¿Qué corriente se deberá hacerse circular si sobre el toroide se enrolla un devanado de 𝟒𝟕𝟎 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 de alambre? 27) Un cilindro de hierro magnetizado tiene una densidad de campo magnético 𝑩 = 𝟎. 𝟎𝟒 [𝐓] en su interior. El magneto tiene 𝟑. 𝟎𝟎 [𝐜𝐦] de diámetro y 𝟐𝟎. 𝟎 [𝐜𝐦] de longitud. Si el mismo campo magnético debe ser producido por un solenoide equivalente con núcleo de aire que tiene las mismas dimensiones que el magneto cilíndrico y por cuya bobina circula una corriente de 5 [A], ¿Cuántas vueltas de alambre debe tener el solenoide? 28) Dos alambres largos y paralelos se atraen entre sí con una fuerza por unidad de longitud igual a 𝝁𝐍 𝟑𝟐𝟎 [ ] cuando están separados una distancia vertical de 𝟎. 𝟓𝟎𝟎 [𝐦]. Si la corriente en el 𝐦 alambre superior es de 𝟐𝟎. 𝟎 [𝐀] hacia la derecha. Determine la ubicación de la línea en el plano de los dos alambres a lo largo de la cual el campo magnético total es igual a cero. 29) Tres alambres largos (alambre 1, alambre 2 y alambre 3) cuelgan en forma vertical. La distancia entre el alambre 1 y el 2 es de 𝟐𝟎. 𝟎 [𝐜𝐦]. A la izquierda, el alambre 1 lleva una corriente hacia arriba de 𝟏. 𝟓𝟎 [𝐀]. A la derecha, el alambre 2 lleva una corriente hacia abajo de 𝟒. 𝟎𝟎 [𝐀]. Si el alambre 3 está localizado de forma que cuando lleva cierta corriente, ninguno de los alambres experimenta una fuerza neta. a. ¿Son posibles otras maneras? b. Describa la posición del alambre 3 c. Describa la magnitud y dirección de la corriente en el alambre 3.

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Solución Problema #1

Solución Problema #2

La regla de la mano derecha indica que B debe estar en la dirección de “-y” para producir una fuerza en dirección de “+x” cuando la velocidad v está en sentido del eje “z”. Solución Problema #5

Solución Problema #9

Notar que el ángulo  es el que existen entre el momento magnético u la densidad de flujo magnético B. La espira rotará de forma de alinear el momento magnético con B. Mirando hacia abajo del eje “y” la espira rotará en el sentido horario.

Solución Problema #15 Si la longitud de la barra es L y la tensión en cada uno de los alambres es T/2, entonces en equilibrio se tendrá;

Solución Problema #16

donde a=l/2 es la distancia desde cualquier lado al centro de la figura

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Solución Problema #17 Para una sola espira circular de 4l=2R, se tiene

Solución Problema #20 La separación entre los alambres es

(a) Debido a que los alambres se repelen, las corrientes deben ser en sentidos opuestos (b) Debido a que la fuerza magnética actúa en forma horizontal

Solución Problema #21 Por simetría, podemos notar que las fuerzas magnéticas en los segmentos de arriba y abajo del rectángulo se cancelan. La fuerza vertical neta en los segmentos del rectángulo será;

Solución Problema #24 (a)

(b)

donde A es la sección transversal del solenoide