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• Julieta Way

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ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALÍTICA I (1027)

TEJIENDO EL ALGEBRA LINEAL

Guía de ejercicios resueltos

Curso de Verano del 2018

Mariela Glassman

Primera parte 𝑥 = −2 + 3𝑘 1) Se tienen las rectas r: { 𝑦 = 1 − 𝑘 y r’: pasa por A= (5; 2; 4) y B= (6; 5; 4). 𝑧 = 2𝑘 a) Verificar que r y r’ son perpendiculares y secantes en Q; dar las coordenadas de Q b) ¿Cuáles son todos los puntos Pεr que se encuentran a distancia √14 de Q? c) Para algún P hallado en b), halle el área del triángulo AQP y explique, sin hacer cuentas, ⃗⃗⃗⃗⃗ cuánto debe valer 𝑝𝑟𝑜𝑦⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑄 𝑃𝑄 .

Resolución: a) Primero verifiquemos que las rectas son perpendiculares; para ello debe pasar que sus vectores directores lo sean. Alcanza con realizar el producto escalar entre esos vectores y ver que da 0. De las ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta r podemos obtener la ecuación vectorial, resultando: r: (x; y; z) = k. (3; −1; 2) + (−2; 1; 0). Una posible ecuación vectorial para r ´ es r ´ : (x; y; z) = α. (1; 3; 0) + (5; 2; 4), donde se tomó como vector director a ⃗⃗⃗⃗⃗ AB. Así, el producto escalar entre sus vectores directores resulta (3; −1; 2) • (1; 3; 0) = 3 − 3 + 0 = 0, por lo tanto las rectas son perpendiculares. Ahora veamos que son secantes y busquemos el punto de intersección. Trabajemos con las x = −2 + 3k x= 5+α ´ formas paramétricas cartesianas de las rectas. Como r: { y = 1 − k y r : {y = 2 + 3α , y el z=4 z = 2k 5 + α = −2 + 3k punto Q pertenece a ambas rectas, debe cumplir que { 2 + 3α = 1 − k . De la última ecuación 4 = 2k se obtiene que k=2 y reemplazando este valor en las dos primeras ecuaciones de ellas se desprende que 𝛼=-1. Reemplazando k=2 y 𝛼=-1 en r y r´ respectivamente se encuentra el punto Q de intersección: Q= (4;-1; 4). b) Si Pεr resulta que P= (-2+3k; 1-k; 2k). Si la distancia del punto P al punto Q debe ser √14 , entonces la longitud del vector ⃗⃗⃗⃗⃗ PQ es √14. Luego… ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √14 → ‖Q − P‖ = √14 → ‖(6 − 3k; −2 + k; 4 − 2k)‖ = √14 ‖PQ → √(6 − 3k)2 + (−2 + k)2 + (4 − 2k)2 = √14 Desarrollando los cuadrados de esos binomios y agrupando, esta última expresión queda… √56 − 56k + 14k 2 = √14 → 56 − 56k + 14k 2 = 14 → 42 − 56k + 14k 2 = 0 Resolviendo esta última ecuación cuadrática obtenemos que hay dos valores de k posible que satisfacen la ecuación (k=3 y k=1), de donde resultan dos puntos que cumplen lo pedido: Con k=3→ P1 = (7; −2; 6) y con k=1 → P2 = (1; 0; 2). c) En el siguiente esquema se puede ver las rectas, el punto de intersección Q; y los dos puntos sobre la recta r que distan de él √14. Como las rectas son perpendiculares, cualquier punto P del ítem b) que elijamos, va a hacer que el triángulo AQP sea rectángulo en Q, por ello ⃗⃗⃗⃗⃗ proyAQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ PQ= (0; 0; 0).

Si elegimos P=(1; 0; 2), podemos calcular el área del triángulo de la siguiente manera: Área=

basexalt 2

=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖x‖AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖PQ 2

=

√14x√10 2

=

√140 2

2) Dadas las rectas r1: (x; y; z) = β.(1; –1; 2) + (k; 1; k+1)y r2: x=1;

𝑦 2

= 𝑧 − 𝛼 se pide:

a) Determinar k y 𝛼 para que ambas rectas sean secantes en el punto (1; –4; 7). b) Obtener una recta r3 perpendicular a las anteriores y que corte al eje z. c) Sean ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑣3 respectivos vectores directores de las rectas r1, r2 y r3. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo que determinan?

Resolución: a) Al ser secantes las rectas en el punto (1; –4; 7), este debe pertenecer a ambas rectas y por lo tanto verificar las ecuaciones de ellas. −4 Como (1; –4; 7)ϵ r2 resulta que: x=1; 2 = 7 − α , luego α=9. Como (1; –4; 7)ϵ r1 resulta que (1; -4; 7) = β.(1; –1; 2) + (k; 1; k+1). De esta igualdad, usando 1=β+k operaciones entre vectores, llegamos a que { −4 = −β + 1 . De la segunda ecuación obtenemos 7 = 2β + k + 1 que β=5 y reemplazando este valor en la primera ecuación llegamos a que k=-4. Estos valores obtenidos hacen que se verifique la última ecuación. Por lo tanto, para que ambas rectas sean secantes debe pasar que α=9 y k=-4. b) Con los valores de k y α obtenidos en el ítem anterior las rectas resultan: y r1: (x; y; z) = β.(1; –1; 2) + (-4; 1; -3) y r2: x=1; 2 = z − 9, y podemos obtener una posible ecuación vectorial para la segunda recta r2: (x; y; z) = ϴ.(0; 2; 1) + (1; 0; 9). Como la recta r3 que debemos obtener tiene que ser perpendicular a las dos anteriores su vector director debe ser perpendicular al de r1 y al de r2. Una posible manera de obtener un vector perpendicular a dos vectores dados es realizando el producto vectorial entre ellos. Tomo como vector director para r3 a (1; −1; 2) × (0; 2; 1) = (−5; −1; 2), con esto garantizamos la condición de perpendicularidad con las dos rectas dadas. Como además la recta debe cortar al eje z y no nos aclaran en qué punto específicamente, hay infinitas rectas que cumplen lo pedido. Por ejemplo tomemos el punto (0; 0; 0) que pertenece al eje z y hagamos que la recta r3 pase por ahí, luego r3: (x; y; z) = µ. (−5; −1; 2) + (0; 0; 0).

c) Siendo ⃗⃗⃗ v1 = (1; −1; 2), ⃗⃗⃗ v2 = (0; 2; 1) y ⃗⃗⃗ v3 = (-5;-1; 2), el volumen del paralelepípedo determinado por estos vectores se calcula tomando módulo del resultado del producto mixto entre ellos. Volumen= |(v ⃗⃗⃗1 × ⃗⃗⃗ v2 ) • ⃗⃗⃗ v3 | = |(−5; −1; 2) • (−5; −1; 2)| = |30| = 30 3) A los puntos A= (–2; 1), B= (–1; –1) y C= (2; 2) se le aplica la transformación geométrica f(x; y) = (2x + y; x – 2y). Demuestre que la amplitud del ángulo de los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 y el de sus imágenes ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴′𝐵′ 𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴′𝐶′ se conserva pero que la norma de los vectores se ha incrementado en un factor k que debe establecer. Graficar los cuatros vectores en un único sistema de referencia cartesiano.

Resolución: Aplicando la transformación f a los puntos A, B y C se obtienen respectivamente A´= (-3;-4), B´= (-3; 1) y C´= (6;-2). ⃗⃗⃗⃗⃗ Así resulta que AB = (1; −2); ⃗⃗⃗⃗⃗ AC = (4; 1); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A′B′ = (0; 5) y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A′C′ = (9; 2). Sus respectivas ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 5 y ‖A′C′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √85. ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √5; ‖AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖=√17; ‖A′B′ normas son ‖AB Para ver en qué factor se incremento la norma de los vectores imágenes realizamos los siguientes cocientes: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖A′B′ ‖A′C′ 5 √85 = = √5 = k y = = √5 = k ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖AB ‖AC √5 √17 Para calcular el ángulo entre ⃗⃗⃗⃗⃗ AB y ⃗⃗⃗⃗⃗ AC usamos que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ), de donde, despejando, podemos obtener AB • AC= ‖AB‖. ‖AC‖. cos(A) → 2 = √5. √17 . cos(A ̂) = 2 → A ̂ = 77º28´16.29´´. que cos(A √5.√17

De manera análoga, podemos calcular el ángulo entre ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A′B′ y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A′C′ y se obtiene que 10 ̂) = ̂ = 77º28´16.29´´. Conservando así la transformación el ángulo cos(A´ , resultando A´ 5.√85 ⃗⃗⃗⃗⃗ y sus respectivos vectores imagen. entre los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗ AB y AC

4) A los puntos A= (2; 1), B= (1; –3) y P= (x; y) se les aplica sucesivamente una traslación de vector 𝑣 = (–4; 2) y una rotación de 90º horaria. a) Encontrar la imagen final de los puntos A, B y P. b) ¿Qué punto S de la recta que determinan A y B tiene por imagen final un punto S’ ubicado en el eje x? Señalar S’. Graficar A, B, A’, B’, S y S’ en un único sistema de referencia cartesiano.

Resolución: a) Apliquemos a los puntos A, B y P la traslación T((x; y)) = (x − 4; y + 2) y luego la rotación horaria de 90º cuya expresión es R −90º ((x; y)) = (y; −x): T

R

A = (2; 1) → (−2; 3) → (3; 2) B = (1; −3) → (−3; −1) → (−1; 3) P = (x; y) → (x − 4; y + 2) → (y + 2; −x + 4) b) Una ecuación vectorial posible para recta r que determinan A y B resulta ser r:(x; y) = α. (−1; −4) + (2; 1), tomando como vector director a ⃗⃗⃗⃗⃗ AB. Luego, cualquier punto S de r será de la forma S=(−α + 2; −4α + 1). Como necesito trabajar sobre la imagen final de este punto, aplico los dos movimientos en forma consecutiva a la expresión de S: T

R

S=(−α + 2; −4α + 1) → (−α − 2; −4α + 3) → S´ = (−4α + 3; α + 2) Como S´ debe estar ubicado en el eje x necesariamente α + 2 = 0 → α = −2, valor con el cual, reemplazando, tenemos que S= (4; 9) y S´= (11; 0).

5) Justificar adecuadamente cada ítem. a) Para dos matrices cuadradas A y B de orden 2 e inversibles siempre ocurre que A+B es inversible. b) Dados dos vectores 𝑢 ⃗ y 𝑣 no nulos de R3, ¿qué condición debe cumplirse para que 𝑝𝑟𝑜𝑦. 𝑒𝑠𝑐𝑢⃗ 𝑣 < 0? c) Explique qué obtenemos (si fuera posible) luego de las siguientes operaciones entre vectores: 𝒊) (𝑢 ⃗ ⦁ • 𝑣) ∧ 𝑤 ⃗⃗ 𝒊𝒊) (𝑢 ⃗ ∧ 𝑣)⦁ • 𝑤 ⃗⃗ 𝒊𝒊𝒊) (𝑣⦁ • 𝑤 ⃗⃗ ). 𝑤 ⃗⃗

Resolución: a) Falso.

1 0 −1 0 Contraejemplo: Si tomamos como A=( ) y B=( ) matrices de orden 2 e inversibles 0 1 0 1 1 0 −1 0 0 0 (puedes comprobar que A−1 = ( ) y B−1 = ( )), resulta que A + B = ( ) que no 0 1 0 1 0 2 x y x y 0 0 1 0 tiene inversa; pues al buscar la matriz ( ) tal que ( ).( )=( ), resulta que z w z w 0 2 0 1 debería pasar que existan valores reales de x, y, z y w que verifiquen la siguiente igualdad 0 0 1 0 matricial: ( )=( ) y no existen tales valores. 0 1 2z 2w b) Se tiene que: proy. escu⃗ v ⃗ =v ⃗ • ǔ = ‖v ⃗ ‖. ‖ǔ‖. cos(α), siendo α el ángulo entre v ⃗ yu ⃗ Luego: proy. escu⃗ v ⃗ = ‖v ⏟ ‖ . 1. cos(α) >0

Para que este producto sea negativo, necesariamente debe pasar que co s(α) < 0 → 90º < α ≤ 180º c) 𝐢) (u ⃗⦁•v ⃗ ) ∧ ⃗w ⃗⃗ Este primer producto no es posible de realizar, ya que u ⃗⦁•v ⃗ da por resultado un número y el producto vectorial ∧ solo es posible entre vectores. ii) (u ⃗ ∧v ⃗ )⦁ • ⃗w ⃗⃗ Este producto si puede realizarse. El resultado del paréntesis es un vector; y al realizar el producto escalar entre este y ⃗w ⃗ se obtiene un número. iii) (v ⃗ ⦁ • ⃗w ⃗⃗ ). ⃗w ⃗⃗ Este producto si puede realizarse. El resultado del paréntesis es un número y la operación final a realizar es el producto de un número por un vector (producto de escalar por vector), que da como resultado un vector.  x2 6) Dadas A=  2 x  z

y  1 z3  z  1 0   , B=  y C =    se pide: 2   2  1  x  4 y  4 z  3 2 

a) A través del método de Gauss obtenga la solución de A.B = C b) ¿Existe alguna solución para la cual la suma de sus coordenadas valga 6? Si la respuesta es afirmativa indique el valor de dichas coordenadas.

Resolución: a) Como pide resolver a través del método de Gauss, deberíamos tener un sistema de ecuaciones lineales que resolver. Planteamos lo pedido, que A.B = C z3  z  x  2 y  1   1 0   2 x  z  2  .  2  1 =  x  4 y  4 z  3 2        z3  z  ( x  2)  2( y  1)  ( y  1)  =   (2 x  z )  4  2   x  4 y  4 z  3 2  ; 

acomodamos…

aplicamos

propiedad

distributiva

y

z3  z  y  1    x  2y =  2 x  z  4  2   x  4 y  4 z  3 2  ; luego resulta que…  −x + 2y = z + 3 −y − 1 = −z { , acomodando, nos queda el siguiente sistema (notar que la −2x + z − 4 = −x − 4y + 4z − 3 2=2 −x + 2y − z = 3 última ecuación se verifica para todo valor de x, y, z): { −y + z = 1 −x + 4y − 3z = 1 Este sistema lo resolvemos con el método de Gauss, planteamos la matriz ampliada: −1 2 −1 3 −1 2 −1 3 −1 2 −1 3 ( 0 −1 1 |1) → ( 0 −1 1 | 1 ) → ( 0 −1 1 |1) f −f →f f +2f →f −1 4 −3 1 3 1 3 0 2 −2 −2 3 2 3 0 0 0 0 −x + 2y − z = 3 El sistema queda { . Despejando de la última ecuación tenemos que z= 1+y; y −y + z = 1 reemplazando esto en la primera ecuación tenemos que x=y-4; luego la solución sería el conjunto {(y − 4; y; 1 + y), yϵR}. b) Veamos si alguna de esas infinitas soluciones cumple con que la suma de sus coordenadas valga 6: (y − 4) + y + (1 + y) = 6 → 3y − 3 = 6 → y = 3 Luego la solución que cumple con esta condición es (−1; 3; 4).

−2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 4 4𝑥 + 𝑦 = 3 7) Dados los sistemas S:{ 6𝑥 + 𝑧 = −1 y S’:{ 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7 3𝑦 − 2𝑧 = 11 a) Demuestre que S y S’ son sistemas equivalentes. b) ¿Existe alguna solución de S y S’ para la cual la suma de sus dos primeras coordenadas valga 0? Si la respuesta es afirmativa indique cual es esa solución.

Resolución: a) Primero, analizamos los rangos de cada sistema: −2x + y − z = 4 −2 1 −1 4 −2 1 −1 4 −2 1 −1 4 S:{ 6x + z = −1 → ( 6 0 1 |−1) → ( 0 3 −2 |11) → ( 0 3 −2 |11) → f +3f →f f −f →f 3y − 2z = 11 0 3 −2 11 2 1 2 0 3 −2 11 3 2 3 0 0 0 0 rango(S) = 2 4x + y = 3 2 2 −1 7 2 2 −1 7 4 1 0 3 S’:{ →( | )→ ( | )→ ( | )→ 2x + 2y − z = 7 2 2 −1 7 f1 ↔f2 4 1 0 3 f2 −2f1 →f2 0 −3 2 −11 rango(S´) = 2 Como tienen el mismo rango, ahora verificamos si son equivalentes (usando las matrices ampliadas que nos quedaron, primero ubico las ecuaciones de S y luego las de S´): −2 1 −1 4 −2 1 −1 4 −2 1 −1 4 ( 0 3 −2 | 11 ) → ( 0 3 −2 | 11 ) → ( 0 3 −2 |11) 0 2 2 −1 7 3 −2 11 f3 −f2 →f3 0 0 0 f3 +f1 →f3 0 0 0 −3 2 −11 0 −3 2 −11 f4 +f2 →f4 0 0 0 Como en la triangulación se eliminan todas las ecuaciones de S´, los sistemas resultan equivalentes.

b) Encontremos primero la solución del sistema (ambos tiene la misma, al ser equivalentes). La 2x + 2y − z = 7 2 2 −1 7 matriz ampliada nos quedo ( | ), que corresponde al sistema { . −3y + 2z = −11 0 −3 2 −11 11 3 De la última ecuación obtenemos que z = − 2 + 2 y. Reemplazando esto en la primera ecuación, 1

3

1

3

llegamos a que x = − 4 y + 4. Luego la solución es {(− 4 y + 4 ; y; −

11 2

3

+ 2 y) , yϵR}.

Veamos si alguna de esas infinitas soluciones cumple con que la suma de sus dos primeras 1

3

coordenadas vale 0: (− 4 y + 4) + y = 0 → y = −1. Por lo tanto la solución que cumple lo pedido es (1; −1; −7). 𝐚x − 4y + z = −2 8) Se tiene el sistema S:{x − y + (𝐛 + 𝟐𝐚). z = −3 y se sabe que el punto P= (–2; 1; 0) pertenece al 2x + 9y − 3z = 5 conjunto solución. a) Hallar todos los valores posibles de a y b para que el sistema sea compatible indeterminado usando el método de triangulación de Gauss y el teorema de Rouché-Frobenius. b) Indique todas las soluciones para el caso anterior y encuentre, si existe, aquella en la que el valor de la segunda coordenada sea el doble de la tercera coordenada.

Resolución: a) Primero, antes de usar el método de Gauss, usemos el dato de que el punto P= (–2; 1; 0) pertenece al conjunto solución. Así P debe verificar las 3 ecuaciones; reemplazamos y nos queda −𝟐𝐚 − 4 + 0 = −2 −𝟐𝐚 − 𝟒 = −2 que: {−2 − 1 + (𝐛 + 𝟐𝐚). 0 = −3 → { −3 = −3 → a = −1 −4 + 9 − 0 = 5 5=5 Ahora ya sabemos que si el punto P pertenece a la solución, necesariamente a=-1; quedándonos −x − 4y + z = −2 el siguiente sistema {x − y + (𝐛 − 2). z = −3 , del cual sabemos que tiene que tener infinitas 2x + 9y − 3z = 5 soluciones. Trabajemos con la matriz ampliada: −1 −4 1 −2 −1 −4 1 −2 −1 −4 1 −2 ( 1 −1 b − 2 |−3) → (2 (0 9 −3 | 5 ) → 1 −1 | 1 ) f2 +2f1 →f2 f ↔f 2 9 −3 5 2 3 1 −1 b − 2 −3 f3 +f1 →f3 0 −5 b − 1 −5 −1 −4 1 −2 → (0 1 −1 | 1 ) f3 +5f2 →f3 0 0 b−6 0 Según el teorema de Rouché-Frobenius, para que el sistema resulte SCI necesariamente el rango de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada deben coincidir, pero debe ser menor al número de incógnitas. El rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada depende de si b − 6 = 0 ó si b − 6 ≠ 0. Solo si b − 6 = 0 → b = 6, resulta que rg(A)=rg (M)=2< 𝑛 = 3 y el sistema es SCI (siendo A la matriz de coeficientes, M la matriz ampliada y n el número de incógnitas del sistema). −1 −4 1 −2 −x − 4y + z = −2 b) Con a=-1 y b=6, la matriz ampliada final nos queda( 0 1 −1 | 1 ) → { y−z=1 0 0 0 0

De la última ecuaciones obtenemos que y = 1 + z y reemplazando esto en la primer ecuación nos queda que x = −2 − 3z. Luego la solución del sistema es {(−2 − 3z; 1 + z; z), zϵR}. Veamos si algunas de estas infinitas soluciones cumplen con que el valor de la segunda coordenada sea el doble de la tercera: 1 + z = 2z → z = 1. Luego hay uno sola solución de esas infinitas que cumple con esta condición y es (−5; 2; 1). 9) Los habitantes de la ciudad Z disponen de dos proveedores de cable: “MilTV” y “CanalZ”. Estadísticamente se sabe que trimestralmente se cambian de proveedor el 20% de los suscriptores a MilTV y el 40% de los adherentes a CanalZ. Para una situación de 3000 abonados se pide: a) Modelizar a través de una cadena de Markov para una situación inicial de reparto del 50% de clientes para cada compañía. b) ¿Cuántos abonados tendrá cada empresa al final del noveno mes? c) Hallar la cantidad inicial de clientes de cada cable para que el número de suscriptores sea constante.

Resolución: a) En el siguiente esquema podemos observar la información suministrada por el problema, los porcentajes del total que mantiene proveedor y el que cambia, trimestralmente.

Si definimos: • m0 : cantidad de gente inicial suscripta a la empresa MilTv • c0 : cantidad de gente inicial suscripta a CanalZ • mk : cantidad de gente suscripta a la empresa MilTv en el trimestre k-ésimo • ck : cantidad de gente suscripta a CanalZ en el trimestre k-ésimo m = 0.8mo + 0.4c0 Tenemos que en el primer trimestre: { 1 c1 = 0.2m0 + 0.6c0 Como estos porcentajes son contantes trimestre a trimestre podemos decir que en el trimestre m = 0.8mk + 0.4ck k+1: { k+1 , que matricialmente se puede modelizar de la siguiente manera: ck+1 = 0.2mk + 0.6ck

0.8 0.4 k ) . (m ), con k≥ 0. ck 0.2 0.6 b) Para saber la cantidad de abonados al final del noveno mes debieron pasar 3 trimestres. Luego sabiendo que inicialmente eran 3000 abonados y el reparto inicial era del 50% para cada k+1 (m )=( c k+1

0 compañía se tiene que (m ) = (1500 ). c 1500 0

1 Luego del primer trimestre: (m )=( c 1

0.8 0.4 1500 ) . (1500) = (1800 ) 1200 0.2 0.6 0.8 0.4 1800 1920 ) . (1200) = (1080 ) 0.2 0.6

Luego del segundo trimestre: (mc 2 ) = ( 2

0.8 0.4 1920 1968 ) . (1080) = (1032 ) 0.2 0.6 Entonces, después del noveno mes la empresa MilTV tendrá 1968 abonados y la empresa CanalZ 1080. m = 0.8mo + 0.4c0 c) Para que la cantidad de suscriptores sea constante debe pasar que { 0 , de c0 = 0.2m0 + 0.6c0 donde de cualquiera de las ecuaciones podemos despejar y obtener que m0 = 2c0 y como m0 + c0 = 3000 → 2c0 + c0 = 3000 → 3c0 = 3000 → c0 = 1000 ⇒ m0 = 2000. 3 Luego del tercer trimestre: (m )=( c 3

10) Una empresa de celulares fabrica tres modelos: Go1, Go2 y Go+, en dos tamaños: 4,5” y 5,5”. En un día de trabajo produce del modelo Go1: 500 unidades de 4,5” y 150 unidades de 5,5”; del modelo Go2: 300 unidades 4,5” y 100 unidades de 5,5” y del modelo Go+: 50 unidades de 4,5” y 100 unidades de 5,5”. Los celulares de 5,5” necesitan 20 horas de taller y 2 horas de embalado y los de 4,5” llevan 15 horas de taller y 1,5 horas de embalado. a) Representar la información en dos matrices: A, que relaciona a cada modelo con el tamaño y B, que relaciona a cada tamaño con el tiempo en cada sector, tal que el producto B.A permita obtener una matriz C que exprese las horas de taller y de embalado para cada uno de los modelos. Indique C. b) ¿Por cuál matriz y en cuál orden hay que multiplicar a B para obtener B’ si los celulares de 5,5” precisaran un 20% más de horas de taller y de embalaje y los de 4,5” no sufrieran cambio alguno?

Resolución: a) La matriz A debe relacionar a cada modelo con el tamaño, pudiéndose armar matrices de 3x2 ó de 2x3 para llevar esa información. La matriz B relaciona el tamaño con el tiempo en cada sector, luego será de 2x2. Como el producto que debe realizarse es B.A, para que los tamaños de las matrices permitan dicho producto A debe ser de 2x3. 15 20 Definimos B = ( ) que tiene en la primer fila las horas taller y en la segunda las de 1.5 2 embalaje, según cada columna, que representa a los dos tamaños: 4,5´´ y 5,5´´. Y para que B.A 500 300 50 nos dé la información pedida, definimos A = ( ), que tiene por columna la 150 100 100 información por modelo (Go1, Go2 y Go+), según sea de 4,5´´ (1º fila) ó 5,5´´ (2º fila).

15 20 500 300 50 10500 6500 2750 ).( )=( ), donde cada 1.5 2 150 100 100 1050 650 275 columna corresponde a un modelo y la primer fila a las hs dedicadas de taller, y la segunda a las de embalaje según el modelo. b) Por como definimos B es la segunda columna la que debería verse modificada por la 1 0 multiplicación. Luego multiplicamos a B por derecha por la matriz ( ). El coeficiente de la 0 1.2 posición 11 es un 1 para no modificar la primera columna, el coeficiente 22 es 1,2 para que los valores de la segunda columna se vean incrementados en un 20%. 15 20 1 0 15 24 Luego B´ = ( ).( )=( ) 0 1.2 1.5 2 1.5 2.4 Notar que si efectuábamos el producto al revés, o sea si multiplicamos por izquierda a B por la matriz dada los datos que cambian en la matriz resultante son los de la segunda fila. Así resulta que C = B. A = (