• Author / Uploaded
• Felipe Matamala

Citation preview

Universidad de la Frontera

2

Departamento de Matemática y Estadística

Guia de Ejercicios - Algebra Elemental Profesor: José Labrin 1 A) Si a = 2, b = −3 y c = − , evalúe las siguientes expresiones: 3 a+b 1 1 2a − 3c − 2c 4 + a−b c 1 1 2 + +c a b a+b 5 −b 2 2 2 3 a +b +c c

6

a + b+c a b−c

7

a+5 − b 2 − c+b

1 c

ab 1 + b−a

B) Reduce las siguientes expresiones: 3 11 a2 b3 7

8 2a2 b(3ab2 − 5ab + 8a2 b) 9



10

 3 a + 2b (0, 5b − a) 4





14 7 −3 1 −2 ab − a b + a−2 b−3 3 3 9



12 (2a − 3)2 (a + 3b − 5)(a + 3)

 2  a2 a +4 −4 3 3

13

10 4 5 x y (0, 5x − 0, 3y + 0, 2xy + 0, 5x2 y 2 ) 3

C) Desarrolle los siguientes productos notables: 21 (−2x − 3y)2

14 (y − 3)2 15 (8n − 5p)2

22

16 (u − 4, 5)2



1 1 e+ f 2 3

2

23 (x + 3y)(x − 3y) 17 (4y − 7z)2 24 (4a − b)(4a + b)

  7 3 18 y − 2

25 (x2 − 6)(x2 + 6)

19 (−7a + 6b)3

26 (uv + 1)(uv − 1)

3 20 (2c − )3 4

27 (b − 8)(b − 9)

1

CAPÍTULO 2. GUIA DE EJERCICIOS - ALGEBRA ELEMENTAL

2 28 (c + 6)(c − 3)

31 (a2 x + 3)(a2 x − 2)

29 (2m + 5)(2m − 1)

32 (5 + x)(3 + x)

30 (pq + 3)(pq − 3)

33 (m2 − mn)(m2 + 7mn)

D) Resuelve las operaciones indicadas y reduce los términos semejantes 34 (x − 1)(x − 6) + (x + 7)(x − 3)

42 (0, 1x − 0, 2y)2 − (0, 2x + 0, 4y)2

35 2(a + 1)2 − 3(a + 1)(a − 1)

43 (a − 2)3 + (a − 2)2

36 2(x + 5)(x − 4) − 3(2x + 4)(2x − 3)

44 7(3m − n)2 − (m + n)2 − 8m2

37 3(x − y)2 − 2(2x + 3y)2

45 3xy(x2 − 2xy + y) − 2xy(2x − 3y)

38 (x + 2y)(x + 3y) − 3x(3x + 4y) 46 (3x − 5)(3x − 4) − (2x + 4)(2x − 6) 39



a2

40



1 1 a− b 2 3

41



1 − 3x 3

 2  a 2 a +3 −3 −3 −3 3 3 3 2

3

−

+





3 2 a− b 2 3

1 + 3x 3

2



1 − 3x 3

47 (3a − 4)2 − (3a − 4)(3a + 4)

48 



49 4

2    2 2 2 x−3 − x−3 x−2 3 3 3



 2  1 1 a−3 +4 a+3 2 2

E) Realiza los pasos necesarios para escribir las siguientes expresiones de tal manera que aparezca uno o dos cuadrados de binomio: 50 u2 − u

57 2y − 8x − x2

51 4a2 + b2

58 x2 − y 2 − 6x + 8y

52 a2 x2 + bx

59 4x2 + 4y 2 + 8x − 20

53 4p2 − 28pq

60 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37

54 9x2 + 72x + 24y + 16

61 −6x2 + 4y 2 − 36x + 16y + 46

55 3y 2 − 9y − 5x − 2

62 9x2 − 4y 2 − 36x + 32y + 8

56 x2 + y 2 − 3x + 6y − 5

63 4x2 − 9y 2 + 32x + 36y + 64

F) Agrupe según factor común:

3 64 u2 − u 65 3(x2 )3 − x5

70 7a2 xy 3 − 14a2 x2 y 2 71 (a + 2b)(c + 3d) − (2a − b)(c + 3d)

66 4(x2 )3 x4 − (2x)2 x3 72 (4a − 3b)a − (4a − 3b)a2 + (4a − 3b)a3 67 a2 x + a3 x2 − 4a2 x3 68 3ax2 − 9a2 x2 + 6a3 x3 69 4ab2 c − 8a2 b3 c

73 a2 + ab + ac + bc 74 a2 + 3b − ab − 3a

G) Factorize las siguientes expresiones algebraicas: 75 a2 b2 − 4

80 x3 + x2 − x − 1

76 a4 + 2a2 b2 + b4

81 x3 − 5x2 − x + 5

77 9 − x2 + 2xy − y 2

82 x4 − 3x3 + 4x2 − 6x + 4

78 p3 + 8 + 6p2 + 12p

83 (3x − 6)(x2 − 1) − (5x − 10)(x − 1)2

79 16m2 − 8mn + n2 − 49

84 27x3 − 1

H) Exprese en la forma más simple: 85

86

22m+3 − 3 (2m )2 3 (2m+1 )2 − 22m+1 y −2 + 2x−1 y −1 + x−2 x−1 y −2 + x−2 y −1

87

88

xy −2 − x−1 y −2 + x−1 y −1

y −3 − x−3 − x−3 y −2

x−2 y −3

I) Compruebe en cada caso si las fracciones dadas son equivalentes: 89

90

1 x+2 y 3x + 5 3 x2 + x x + 1 y x2 x

91

3 3x y −x x−2

x2

92

3x − 3 1 y 9x2 − 9 3x + 3

J) Descomponga en factores y simplifique: 93

x2 − 3x 2x − 6

96

x2 − 16 x2 + 8x + 16

94

x2 − 1 (x − 1)2

97

x2 − 9 x4 − 81

95

x2 + 4x + 4 x2 − 4

98

x2 + 3x x2 + x − 6

CAPÍTULO 2. GUIA DE EJERCICIOS - ALGEBRA ELEMENTAL

4 99

x2 + 2x − 3 x3 − x2

100

x3 + 4x2 + 3x x2 + x − 6

K) Realice las operaciones indicadas y simplifique: 101

3 1 1 + − 3x 2x x

115

102

2 1 3 − + 3x x2 2x2

116

x 3 x+2 − − 2 2 x x+1 x +x−2

103

3 x − x x−1

117

a2 + 6a + 9 a2 + 9 ÷ a2 − 9 a4 − 81

1 1 − x−1 x+1

118

16 − x4 ÷ (32 − 8x2 ) 4x + 8

104

   1 1 4 −x ÷ + x x 2

105



106

x+2 x2 − 4 · (x + 2)2 x

x2 · 107 2



3 x−1 x − − 2 − x − 2 x + 1 x − 3x + 2

36 3x x+y x+y 119 ÷ 6 1 2 x−y x − y2 120

2y y−1 3−y − − y−1 3y y

121

y y y − 2 − y − 2 y − 3y + 2 y − 1

122

3+x 1 x2 − − 3 − x −x − 3 9 − x2

123

1 2y + 2 y − 2 + −1 y2 − y y −1 y+1

2xy x+y

124

x4 − 3x3 x4 − 6x3 + 9x2

   1 · x− x

125

2x + 6 x+5 x−1 − 2 + 2 x − 3x x − 4x + 3 2x − 6

2 1 ÷ x x+2



108



109



3 x+2 x+1 + − 2 x x x−2

110



x+y x−y − x−y x+y

111



1 1 x+y − + x y xy

112



x+1 x − x−1 x+1

113

1 x−1 1 + − x − 1 x − 3 x2 − 4x + 3

126

x 1 x−1 + + x2 − x x − 1 x2 − 1

114

3 x+1 1 + − 2 x+2 x−1 x +x−2

127

3(x − 1) 2x x−1 − + 2 x +x x x+1

2 1 + x x+1

L) Simplifique:



x2

 ÷ x− 

1 x+1 ·

2x2

   x y − · y x 

·



·x

5 128

x2 + 2x + 1 4x2 − 4x · 2−1 x x+1 132 x−5 2x2 + 14x + 20 ÷ 3 3 2 x − 50 + 2x − 25x 2x − 20x3 + 50x

    2 x − y2 x 1+ ÷ y xy − y 2

x2 − 4 x2 − 3x − 10 · 3 2 129 x − 2x − 4x + 8 2x − 5 x + 2 6x − 2x · 3 − x 2x2 − 4x

x2 − 1 2x2 − 8x − 10 · x2 + 2x + 1 x−1 133 2x + 2 x+1 ÷ x2 + x − 2 x3 − 4x2 − 7x + 10

9 + 6x + x2 3x2 − x3 · 2 9 − x2 3x + x3 130 2 2x − 4 2x − 8x + 8 ÷ 3 2 x−2 + 4 8

131

x−3 2 x−3 −1 x+3 − x+3 x + 3 + 3x x+3 x+3 3 − 3−x x 3 x−3

1+ 134

x2 + 6x + 5 x − 2 x3 − 2x · + x2 − 5x + 4 x2 − 4 x2 − 4x

135



x3 + x2 − 6x x2 − 9 − x2 + x x3 + 6x2 + 9x 2 x − 5x + 6 x2 + x



Soluciones, Guia de Ejercicios N◦ 2 - Algebra Elemental A) 1

17 3

4 − 16 5

2 − 61 3

6 − 18

118 9

2

9 − 3a4 − a4 9

395 88

5 6

B) 8 −10a3 b2 + 16a4 b2 + 6a3 b3

10

7

13ab 8

+ b2

− 16

C) 14 y 2 − 6y + 9

11

2 3

+ a3 −

b4 7

12 −135 + 162a − 27a2 − 20a3 + 4a4 + 81b − 81ab + 12a3 b − 147a2 13

5 5 5 3x y

− x4 y 6 + 23 x5 y 6 + 53 x6 y 7

17 16y 2 − 56yz + 49z 2

15 64n2 − 80np + 25p2

18 y 3 −

16 u2 − 9u + 20,25

19 216b3 − 756ab2 + 882a2 b − 343a3

21 2 2 y

+

147 4 y

−

343 8

CAPÍTULO 2. GUIA DE EJERCICIOS - ALGEBRA ELEMENTAL

6 20 8c3 − 9c2 +

27 27 8 c − 64

27 b2 − 17b + 72

21 4x2 + 12xy + 9y 2 22

1 2 4e

28 c2 + 3c − 18

+ 31 ef + 19 f 2

29 4m2 + 8m − 5

23 x2 − 9y 2

30 p2 q 2 − 9

24 16a2 − b2

31 a4 x2 + a2 x − 6

25 x4 − 36

32 x2 + 8x + 15

26 u2 v 2 − 1

33 m4 + 6m3 n − 7m2 n2

D) 34 2x2 − 3x − 15

40 −2a2 + 35 ab −

b2 3

4 27

35 −a2 + 4a + 5

41 −27x3 − x +

36 −10x2 − 4x − 4

3 2 42 − 100 x −

37 −5x2 − 30xy − 15y 2

43 a3 − 5a2 + 8a − 4

38 −8x2 − 7xy + 6y 2

44 54m2 − 44mn + 6n2

39

a4 9

−

a2 3

+ 6a − 36

E) 50 (u − 12 )2 −

1 4

51 (2a + b)2 − 4ab 52 (ax +

b 2 2a )

− b2

xy 5

46 5x2 − 23x + 44

47 −9a2 + 6a + 8

3 2 25 y

−

48 − 23 x + 3

45 3x3 y − 6x2 y 2 − 4x2 y + 9xy 2 55 3(y − 23 )2 −

17 4

60 4(4 + x)2 + 9(−1 + y)2 − 36

− 5x

56 (x − 32 )2 + (y + 3)2 −

49 a2 − 10a + 48

65 4

61 6(x + 3)2 + 4(y + 2)2 + 84

57 2(y + 8) − (x + 4)2 62 9(x − 2)2 − 4(y − 4)2 + 36

53 (2p − 7q)2 − 49q 2

58 (x − 3)2 − (y + 4)2 + 7

54 9(x + 4)2 + 8(3y − 16)

59 (2x + 2)2

63 4(x + 4)2 − 9(y − 2)2 + 36

68 3ax2 (2a2 x − 3a + 1)

72 a(1 − a + a2 )(4a − 3b)

F) 64 u(u − 1) 65 x5 (3x − 1)

69 4ab2 c(1 − 2ab)

66 4x5 (x5 − 1)

70 −7a2 xy 2 (2x − y)

67 a2 x(1 + ax − 4x2 )

71 −(a − 3b)(c + 3d)

74 (a − 3)(a − b)

79 (4m − n − 7)(4m − n + 7)

83 −2(x − 4)(x − 2)(x − 1)

73 (a + b)(a + c)

G) 75 (ab − 2)(ab + 2) 76 (a2 + b2 )2

80 (x − 1)(x + 1)2

77 −(x − y − 3)(x − y + 3)

81 (x − 5)(x − 1)(x + 1)

78 (p + 2)3

82 (x − 2)(x − 1)(x2 + 2)

84 (3x − 1)(9x2 + 3x + 1)

7 H) 85

1 2

88 x2 + xy + y 2

86 x + y 87 x − y

I) 89 no equivalentes J) 93

94

K) 101

102

103

90 equivalentes

99

95

x+2 x−2

97

x+1 x−1

96

x−4 x+4

98

5 6x

109

4x + 3 6x2

110 4

−x2

4y 111 x+y

+ 3x − 3) x(x − 1)

112

105 4 − 2x

113

x−2 x

107 x(x + 2) 108

92 equivalentes

x 2

2 104 2 x −1

106

91 no equivalentes

3x + 2 x2 + x − 1

−2x2 − 2x − 12 x−2

3x2 − 2x + 1 x − x3

x(x + 1) x−2

123

3y 2 − 1 y − y3

124

x x−3

3x + 1 x

125

x3 − x − 12 2x(x − 3)(x − 1)

1 x−1

126

3x + 1 x2 − 1

5 − 3x (x − 2)(x + 1)

x2

118

+4 32(x + 2)

119

2 x(x + y)

120

2(4y 2 − 5y + 3) 3y(y − 1)

121 0 122

5x + 12 9 − x2

L) 128 1

131

x4 + x3 − 3x2 + 4x + 9 (x − 4)(x − 1)(x + 2)

129 1

132

(x − 5)2 25 − 9x2

130 1

100

117

3x + 4 114 2 x +x−2 115

116

1 x2 + 9

x(x + 3) x2

133 1

2−x x −18x 134 (x − 3)(x + 3)2 ) 127

135

x4 + 4x3 − 4x2 − 16x + 3 (x − 3)(x − 2)(x + 3)