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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

GUÍA DE EJERCICIOS MATEMÁTICA APLICADA– MTSL01 Material realizado por: David Contreras Cristina Fuenzalida Diego León

CIENCIAS BÁSICAS 1 ÁREAS TRANSVERSALES VICERRECTRÍA ACADÉMICA DE PREGRADO

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Contenido Unidad 1: Resolución de problemas ................................................................................................... 4 Conocimientos previos .................................................................................................................... 4 Ejercicios genéricos: .................................................................................................................... 4 Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ............................................................................................................................... 10 Ejercicio resuelto 1: ................................................................................................................... 11 Ejercicio resuelto 2: ................................................................................................................... 12 Ejercicio resuelto 3: ................................................................................................................... 14 Ejercicio resuelto 4: ................................................................................................................... 16 Ejercicio resuelto 5: ................................................................................................................... 18 Ejercicio resuelto 6: ................................................................................................................... 19 Ejercicio resuelto 7: ................................................................................................................... 21 Ejercicio resuelto 8: ................................................................................................................... 22 Ejercicio resuelto 9: ................................................................................................................... 23 Ejercicios propuestos: Genéricos. ............................................................................................. 24 Ejercicios propuestos para la unidad ............................................................................................ 41 Salud .......................................................................................................................................... 41 Unidad 2: Análisis de datos ............................................................................................................... 44 Aprendizaje 2.1 Analiza información proveniente de tablas de frecuencias y gráficas para describir un fenómeno, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. ..................................................................................................... 44 Ejercicio resuelto 1: ................................................................................................................... 45 Ejercicio resuelto 2: ................................................................................................................... 48 Ejercicio resuelto 3: ................................................................................................................... 51 Ejercicio resuelto 4: ................................................................................................................... 56 Ejercicios propuestos: Genéricos .............................................................................................. 59

2

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Aprendizaje 2.2 Sintetiza información de un conjunto de datos. ................................................. 64 Ejercicio resuelto 1: ................................................................................................................... 65 Ejercicio resuelto 2: ................................................................................................................... 67 Ejercicio resuelto 3: ................................................................................................................... 71 Ejercicios propuestos: Genéricos. ................................................................................................. 74 Ejercicios propuestos para la unidad ............................................................................................ 88 Salud .......................................................................................................................................... 88

3

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Unidad 1: Resolución de problemas Conocimientos previos Ejercicios genéricos: 1. Calcula el m.c.m. y el m.c.d. entre los siguientes números. a)

70 y 120

b)

d) 28, 35 y 56

168 y 504

c)

e) 16, 120 y 210

130 y 455

f) 252, 308 y 504

2. Completa la siguiente tabla.

Número decimal

Fracción irreductible

Número decimal

̅

̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅

3. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando propiedades de potencias. a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

4

Fracción irreductible

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 4. Realiza las siguientes operaciones sin calculadora, utilizando propiedades de raíces. a) √

√

√

d) (

√ )(

√ )

b)

√

e)

(

√ √ )

√

√

√ (√

c)

√ )

f)

√ (√ (

√ )

√ ) (√

√ √ )(√

√ )

5. Racionaliza los siguientes radicales. √

a) √

b)

c) √

√

√

d)

e)

√

f)

√

√

6. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando prioridad de las operaciones.

a)

b)

̅

√( )

(

( ) )

̅

c)

(

(

e)

((

(

d)

)

̅)

)

( )

(√

)

f)

)

√

)

̅

g)

√

h)

7. En la calculadora científica los órdenes de las operaciones se introducen con paréntesis. Así por ejemplo, (

(

Se ingresa como 5

)

)

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática (

( (

) )

(

)

)

En cada uno de los siguientes ejercicios, reescribe la expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis y anota el resultado.

Expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis

Operación planteada

√ a)

(

b)

c)

(

)

)

d)

e)

f)

6

Resultado

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

7

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

2.

Número decimal

Fracción irreductible

Fracción irreductible

Número decimal

̅

̅̅̅̅

̅

̅

̅̅̅̅

̅ 3.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) 4.

√

a) d)

5.

a) d)

6.

√

b)

√

e) √ √

b)

√

a)

b)

d)

e)

g)

h)

√

√

f)

f) c) f)

8

√

√

c)

c)

√

e)

√

√ √

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 7.

Operación planteada

expresión para ser ingresada a la calculadora usando el mínimo de paréntesis

√

(√

a)

(

b)

c)

(

)

(

)

)

((

)

(

(

d)

e)

)

(

)

)

(

f)

9

) ((

(

) (

(

Resultado

))

)

)

(

(

(

))

))

)

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Aprendizaje 1.1 Resuelve situaciones problemáticas mediante estrategias aritmético algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Criterios de evaluación: 1.1.1 Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de información. 1.1.2 Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez. 1.1.3 Aplica procedimientos matemáticos para la resolución del problema. 1.1.4 Comunica los resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores.

Para resolver un problema, recuerda: a) b) c) d)

Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. Resolver el problema. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores.

10

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: La fórmula de un jarabe es: Droga M

140 g

Sacarosa

450 g

Agua destilada, c.s.p

1000 ml

¿Qué cantidades se requieren para preparar 60 ml de jarabe? Solución: a) Identificar datos 

Preparar 60 ml de jarabe.



Fórmula del jarabe (especificada en la tabla).

b) Establecer estrategia de resolución Primero comparamos el volumen a preparar con el especificado en la fórmula mediante un cociente para calcular la fracción del total de jarabe que debemos utilizar. Luego, calculamos esa fracción de cada componente. c) Resolver problema Según la tabla, para 1000 ml de jarabe se necesita 140 g de Droga M y 450 g de Sacarosa. Sin embargo, sólo debemos preparar 60 ml, es decir que se requiere

de cada componente, pues

Utilizando la fracción anterior, calculamos las cantidades de cada componente para 60 ml de jarabe como se muestra a continuación:

d) Comunicar resultados Para preparar 60 ml de jarabe se necesita 8,4 g de Droga M, 27 g de Sacarosa y 60 ml de agua destilada.

11

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para adultos y para niños. Dos de las fórmulas que se han sugerido para obtener las dosis para niños a partir de las de adultos son las siguientes: ⏟ donde

⏟

denota la dosis para adultos y indica la edad del niño en años.

a. Suponiendo que para un determinado medicamento la dosis para adultos es 5 g, ¿Cuál sería la dosis para un niño de 3 años? b. Si la dosis recomendada para un niño de 15 meses es de 50 mg ¿Cuál es la dosis para un adulto? Solución: a) Identificar datos  

La Regla de Young es para niños de dos años en adelante.



La Regla de Fried es para niños hasta dos años.



(pregunta a.) edad niño: 3 años, dosis adulto: 5 g.



(pregunta b.) edad niño: 15 meses, dosis niño: 50 mg.

b) Establecer estrategia de resolución A partir de los datos del problema reconocemos los valores correspondientes a las variables y y la regla a utilizar según la edad del niño. Luego reemplazamos los datos en la fórmula y resolvemos la ecuación.

c) Resolver problema a. Suponiendo que para un determinado medicamento la dosis para adultos es 5 g, ¿Cuál sería la dosis para un niño de 3 años? Según los datos tenemos que

y

, luego como el niño es mayor de dos años

debemos utilizar la regla de Young como se muestra a continuación.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

b. Si la dosis recomendada para un niño de 15 meses es de 50 mg ¿Cuál es la dosis para un adulto? Como el niño tiene 15 meses debemos utilizar la regla de Fried. En esta fórmula, la variable edad debe estar en años, por lo tanto debemos transformar los 15 meses en años utilizando las propiedades de la proporcionalidad directa. Sea

la edad en años de un niño de 15 meses. Organizamos los datos en una tabla y

calculamos .

Edad en años

Edad en meses

1

12 15

Luego tenemos que

y

. Ahora reemplazamos estos datos en la

fórmula de Fried y resolvemos la ecuación.

d) Comunicar resultados a. La dosis para un niño de tres años es 1 g. b. La dosis para un adulto es 500 mg.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3: La Fluidasa es un medicamento que se utiliza para el tratamiento de la Bronquitis, ya que su principal componente, la mepifilina, dilata las vías respiratorias y facilita la respiración. Según la información de la imagen: a. ¿Cuántos mg de mepifilina hay en 10 ml? b. Si a un niño hay que administrarle 70 mg de mepifilina ¿Cuántos ml debe ingerir? Solución: a) Identificar datos 

5 mg/ml significa que un ml del medicamento contiene 5 mg de mepifilina.

b) Establecer estrategia de solución Reconocer el tipo de proporcionalidad entre las variables y aplicar sus propiedades.

c) Resolver problema La razón 5 mg/ml corresponde a una constante que se obtiene al dividir los mg de mepifilina con la cantidad de ml que los contiene, luego, corresponde a una proporcionalidad directa y podemos aplicar todas sus propiedades.

a. ¿Cuántos mg de mepifilina hay en 10 ml? Consideremos

la cantidad de mg contenidos en 10 ml de Fluidasa. Organizamos los

datos en una tabla como se muestra a continuación y resolvemos la ecuación.

mg

ml

5

1 10

14

Constante

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática b. Si a un niño hay que administrarle 70 mg de mepifilina ¿Cuántos ml debe ingerir? Sea

la cantidad de ml que contiene 70 mg de mepifilina. Organizamos los datos en

una tabla como se muestra a continuación y resolvemos la ecuación: mg

ml

5

1

Constante

70

d) Comunicar resultados a. 10 ml de Fluidasa contienen 50 mg de mepifilina. b. Para suministrar 70 mg de mepifilina a un niño, es necesario 14 ml de Fluidasa.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 4: El Glucantime es un medicamento indicado en el tratamiento de la leishmaniasis, enfermedad parasitaria transmitida por la picadura de una variedad de mosquito. Este debe ser formulado de acuerdo al peso del paciente. La dosis es de 20 mg/kg de peso/día, la cual debe ser aplicada en una sola dosis diaria. ¿Cuántos ml se debe administrar a un paciente que pesa 65 kg? Solución: a) Identificar datos 

1,5g/5ml significa que cinco ml de Glucantime contienen 1,5 g de antimoniato de meglumina.



20 mg/kg significa que por cada kg se debe suministrar 20 mg de antimoniato de meglumina.



El paciente pesa 65 kg.

b) Establecer estrategia de solución Reconocer el tipo de proporcionalidad entre las variables y aplicar sus propiedades.

c) Resolver problema La razón 20 mg/kg es una constante que se obtienen al dividir los mg de antimoniato de meglumina que se suministra a un paciente con su peso en kg, por lo tanto es una proporcionalidad directa. Consideremos

la cantidad de mg que se suministran a un paciente

de 65 kg. Organizamos los datos en una tabla como se muestra a continuación y resolvemos la ecuación.

mg

kg

20

1 65

16

Constante

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Por lo tanto, un paciente que pesa 65 kg necesita 1300 mg de antimoniato de meglumina. Ahora vamos a transformar los mg a g sabiendo que 1 g equivale a 1000 mg. Sea

los gramos

equivalentes a 1300 mg, organizamos los datos en una tabla y resolvemos la ecuación.

mg 1000 1300

g 1

Constante

Ahora consideremos la razón 1,5g/5ml equivalente a 0,3 g/ml. Como esta constante se obtiene al dividir los g de antimoniato de meglumina correspondiente a cierta cantidad de ml de Glucantime, estamos frente a una proporcionalidad directa. Sea

la cantidad de ml que contiene 1,3 g de antimoniato de meglumina, dosis recomendada

para un paciente de 65 kg. Organizamos los datos en una tabla como se muestra a continuación y resolvemos la ecuación.

g 0,3 1,3

ml 1

Constante

d) Comunicar resultados La dosis de Glucantime recomendada para un paciente que pesa 65 kg es de 4,3 ml.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 5: En cierta prueba médica, diseñada para medir la resistencia a los carbohidratos, un adulto bebe 7 ml de una solución de glucosa al 30%. Cuando se le administra la misma prueba a un niño debe disminuirse la concentración de glucosa. Si se desea preparar 7 ml de una solución al 20% de glucosa ¿Qué cantidad de una solución al 30% de glucosa y qué cantidad de agua deben usarse? Solución: a) Identificar datos 

Dosis para un adulto: 7 ml de una solución de glucosa al 30%



Dosis para un niño: 7 ml de una solución de glucosa al 20%

b) Establecer estrategia de resolución Aplicar propiedades de porcentaje y proporción directa. c) Resolver problema Un adulto que bebe 7 ml de una solución de glucosa al 30%, significa que el 30% de la solución es glucosa, lo que se calcula como se muestra a continuación: ⏟ Del mismo modo calculamos la cantidad de glucosa que debe contener 7 ml de una solución de glucosa al 20%. ⏟

Sea

la cantidad de ml de la solución de glucosa al 30% que contiene 1,4 ml de glucosa.

Organizamos los datos en una tabla y resolvemos la ecuación. ml de solución al 30% de glucosa

ml de glucosa en la solución

7

2,1 1,4

18

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Por lo tanto, si extraemos 4,6 ml de la solución de un adulto, tendremos 1,4 ml de glucosa aproximadamente. Sin embargo, la cantidad extraída también tiene un 30% de glucosa, por eso, para disminuir la concentración de glucosa al 20%, es necesario que el resto de la solución sea agua, lo que se calcula como se muestra a continuación:

d) Comunicar resultados Para preparar 7 ml de una solución al 20% de glucosa se necesita 4,6 ml de una solución de glucosa al 30% y 2,4 ml de agua.

Ejercicio resuelto 6: Un químico tiene 10 ml de una solución que contiene una concentración de ácido al 30% ¿Cuántos ml de ácido puro deben agregarse para aumentar la concentración al 50%? Solución: a) Identificar datos 

Mezcla original: 10 ml de solución al 30% de ácido.



Hay que agregar cierta cantidad de ácido a la mezcla original.



Mezcla resultante: solución al 50% de ácido.

b) Establecer estrategia de resolución Se define una incógnita para la cantidad de ácido puro a agregar. Luego ilustramos la situación para organizar los datos y plantear la ecuación. c) Resolver problema Sea

la cantidad de ácido puro que se va agregar. Para favorecer el plantear la ecuación,

vamos a ilustrar la situación.

19

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Mezcla original al 30%

Cantidad total de solución Cantidad de

ml ⏟

ácido puro

ácido puro

ml

ml

Nueva mezcla al 50%

ml ⏟

Por lo tanto, la cantidad de ácido puro en la solución final se puede escribir como

o

con lo que planteamos la siguiente ecuación:

Ahora resolvemos la ecuación

d) Comunicar resultados Si agregamos 4 ml de ácido puro a la solución original, la nueva mezcla será de 14 ml con 7 ml de ácido puro, es decir una concentración del 50%.

20

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 7: Una persona viaja de Santiago a la Serena en un automóvil a una rapidez constante de 110 km/h durante 4 horas y media sin detenerse. Si el rendimiento de este vehículo en carretera es 19 km/l ¿Cuántos litros de combustible ha consumido en el viaje? Solución: a) Identificar datos - rapidez del vehículo: 110 km/h - Tiempo de viaje: 4,5 horas - Rendimiento del vehículo : 19 km/l b) Establecer estrategia de resolución Interpretar las razones en juego y aplicar sus propiedades. c) Resolver problema La rapidez 110 km/h significa que en una hora el vehículo ha recorrido 110 kilómetros, por lo tanto, la distancia recorrida en 4,5 horas se calcula

El rendimiento 19 km/l significa que con un litro de combustible se puede recorrer una distancia de 19 km, luego los litros consumidos en 605 kilómetros se calcula

d) Comunicar resultados Se ha consumido aproximadamente 26 litros de combustible.

21

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 8: Una empresa constructora estima que se necesitan 8 obreros para construir una casa en un período de 35 días. Sin embargo, el cliente solicita que no tarden más de 21 días. ¿Cuántos obreros, como mínimo, se requieren? Solución: a) Identificar datos Cantidad de obreros

Tiempo en días

8

35

¿?

21

b) Establecer estrategia de resolución Reconocer el tipo de proporcionalidad entre las dos variables y aplicar sus propiedades. c) Resolver problema Si el tiempo de construcción de la casa disminuye, entonces será necesario más obreros para realizarla, por lo tanto, la cantidad de obreros es inversamente proporcionalida a los días. Luego, para calcular la constante de proporcionalidad se multiplican los valores correspondientes a cada variable. Cantidad de obreros 8

Tiempo en días 35 21

Constante

Sabemos que la cantidad de obreros debe ser un número natural, es decir, 13 o 14. Entonces, para determinar cuál es la cantidad adecuada se calcula el tiempo en días para cada caso. Cantidad de obreros

Tiempo en días

8

35

13 14

d) Comunicar resultados Se necesitan al menos 14 obreros para construir la casa en menos de 21 días. 22

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 9: En una encuesta, el 25% de las personas consultadas contestó que la mejor zona para tener residencia es en las periferias de Santiago mientras que el 55% dijo que era entorno al centro de la capital. Si 180 personas contestaron otros sectores de Santiago ¿Cuántas personas contestaron que la mejor zona para tener residencia en Santiago es entorno al centro? Solución: a) Identificar datos - 25% de los encuestados prefieren la perisferia de Santiago. - 55% de los encuestados prefieren entorno al centro de Santigo. - 180 personas contestaron otras zonas de Santiago. - Lo que se solicita es la cantidad de personas que contestó por tener residencia entorno al centro de Santiago. b) Establecer estrategia de resolución Según los datos identificados, la estrategia será mediante cálculo de porcentajes y el uso de proporcionalidad directa. c) Resolver problema El 25% y el 55% de los encuestados corresponden a un 80% del total. Esto implica que el 20% restante se relaciona con las 180 personas que prefieren otras zonas de Santiago. Por ende se establece la siguiente tabla de proporcionalidad, donde “ ” es la cantidad de encuestados que prefiere entorno al centro de Santiago. Encuestados

%

180

20

x

55

Como el porcentaje es una proporción directa, se plantea la siguiente ecuación:

d) Comunicar resultados 495 personas prefieren tener residencia entorno al centro de Santiago.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. Un huevero tiene ante si seis cestas de huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de gallina o de pata. El número de huevos de cada cesta es: 6, 12, 14, 15, 23 y 29. El huevero señala una cesta y dice: “Si vendo esta cesta me quedarán el doble de huevos de gallina que de pata” ¿De qué cesta habla? 2. En la biblioteca de un establecimiento de educación superior, los libros pueden ser colocados de 7 en 7, de 5 en 5, de 11 en 11 o de 21 en 21, sin que sobren ni falten libros. ¿Cuántos libros hay si en total son más de 3000 y menos de 4000? 3. En una librería se compraron 432 cuadernos, 288 gomas y 336 lápices para ofrecer una pack de útiles escolares. Si cada pack debe tener el mismo número de artículos de cada tipo y se utilizan todos los artículos ¿Cuál es el mayor número de pack que se pueden hacer? ¿Cuántos artículos de cada tipo tiene un pack? 4. Gastón tiene algunas tablas de 2 por 5 pulgadas y de diferentes largos. Algunas son de 60 pulgadas de largo y otras son de 72. Desea cortarlas a fin de obtener piezas de igual longitud ¿Cuál es la mayor longitud de cada pieza que puede cortar sin desperdiciar ningún pedazo? 5. Una sala de eventos mide 2310 cm de largo y 1176 cm de ancho. Se quiere cubrir todo el piso sólo con baldosas cuadradas ¿Cuál debe ser la medida del lado de cada baldosa si se desea utilizar el menor número posible de baldosas? ¿Cuántas baldosas se necesitan? 6. En una competencia de bicicletas dentro de una pista circular, los competidores comienzan en el mismo lugar y avanzan en la misma dirección. Uno de ellos completa una vuelta cada 40 segundos, mientras que otro lo hace cada 45 segundos. ¿Cuántos minutos pasarán hasta que ambas alcancen de nuevo el punto de salida simultáneamente? 7. En la industria vitivinícola Santa Rita hay dos toneles, uno de vino blanco y otro de vino tinto, cuyas capacidades son 154 y 210 litros de vino respectivamente. Si se quieren que las garrafas para envasar el vino tengan igual capacidad y utilizar el menor número posible de ellas ¿Cuál debe ser la capacidad de las garrafas para desocupar completamente los toneles? 8. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7 monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el mismo número de monedas ¿Cuántas monedas tenía al principio cada caja 9. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas? 10. Con pequeños cuadrados congruentes dispuestos como se muestra en la figura siguiente, se construye otro cuadrado.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática ¿Cuántos cuadrados tiene la figura 2013? 11. Se tienen tres bolsas cerradas que contienen dos frutas cada una. En una hay dos manzanas, en otra hay dos naranjas y en la tercera hay una naranja y una manzana. Las bolsas están marcadas como se indica, pero se sabe que los rótulos están equivocados.

¿Es posible saber el contenido de las tres bolsas, abriendo sólo una y extrayendo una fruta sin mirar la otra? Justifica tu respuesta. 12. El cajero de una compañía se da cuenta, al hacer el arqueo, que falta

del total del dinero

recaudado ¿Qué parte de lo que queda restituiría lo perdido? 13. Un pueblo decide pavimentar una calle principal. Con los aportes de los habitantes se pudo pagar la mitad de la obra. El Intendente pide ayuda a la nación y a la provincia. El aporte provincial será el triple del nacional, y la mitad del hecho por los vecinos pero aun así faltarán $ 1.650.000 ¿Cuánto cuesta la obra? 14. Un hombre reparte un campo entre sus hijos. Al primero le entrega un cuarto del terreno, al segundo le entrega la tercera parte del terreno y al tercero 20 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno? 15. En la preparación de una ensalada de frutas se ocupa kg de uva a $ 300 el kilogramo, kg de frutilla a $ 450 el kilogramo, kg de manzanas a $ 200 el kilogramo, medio kilo de plátanos a $280 el kilogramo y

kg de peras a $ 180 el kilogramo. ¿Cuál es el precio promedio de la

mezcla? ¿Cuál es el costo de una porción de 220 g? 16. A Claudia le inyectaron un antibiótico que mata, cada día,

de las bacterias que están en su

cuerpo, es decir, el segundo día le quedan de las bacterias que tenía inicialmente. Construye una tabla que indique el día y la fracción de bacterias que muere por día. ¿Qué fracción de ellas muere al tercer, al cuarto y al octavo día? ¿Es posible que el antibiótico logre en un determinado número de días matar todas las bacterias? Fundamenta tu respuesta. 17. Un biólogo toma una muestra de cierta colonia de bacterias para analizarlas. Después de una ardua investigación descubre que estas se duplican cada una hora. Si la muestra estaba conformada por bacterias al medido día, ¿Cuántas bacterias habrá a las 3 pm y a las 6 pm? ¿Cuántas bacterias habrá a las 12 pm del día siguiente? 18. El átomo de hidrógeno es el más ligero ya que tiene una masa de g ¿Cuántos de estos átomos hay en 1 kg de hidrógeno?

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 19. La magnitud de la Fuerza con la que se atraen dos objetos físicos cualesquiera, está dada por la fórmula , donde

es la fuerza de atracción entre los cuerpos,

y

son las masas de

los cuerpos en kilógramos, es la distancia en metros entre los centros de las masas y es una constante. Se ha determinado que la masa de la tierra es kg, la masa del Sol es kg y la distancia que los separa es m. Si , calcula la magnitud de la Fuerza con la que se atraen la tierra y el sol. 20. En el rectángulo ACEG, AB = 9 cm, BC = 21 cm, CD = 11 cm, DE = 9 cm, EF = 11 cm y GH = 7 cm. ¿Cuánto mide el área sombreada?

21. Las farolas de una ciudad tienen la forma de la imagen. Los cristales de la parte superior tienen 26,7 cm de arista superior, 30,7 cm de arista inferior y 15,4 cm de arista lateral. Los cristales de la parte inferior tienen 30,7 cm de arista superior, 21 cm de arista inferior y 37,2 cm de arista lateral. ¿Qué cantidad de cristal tiene cada farola?

22. En la imagen se muestra una pista de carrera para automóviles. a) ¿Cuántos metros se necesitan para delimitar con una banda roja los bordes de la pista? b) ¿Cuánta superficie ocupa el pasto que está al centro de la pista? c) ¿Cuánta superficie tiene la pista?

26

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 23. Un perro está atado a una esquina de una caseta cuadrada de 4,2 cm de lado con una cuerda de 7,7 m de longitud. Calcular el área de la región en la que puede moverse. 24. ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 24 m2? 25. Una lata de conservas cilíndrica tiene 8,3 cm de altura y 6,5 cm de radio de la base. ¿Cuál es su capacidad? ¿Qué cantidad de material se necesita para su construcción? ¿Qué cantidad de papel se necesita para la etiqueta? 26. El cubo de arista 1,2 m ha sido perforado por un agujero hecho a partir de un cuadrado de lado 0,12 m. Calcula el volumen del cubo con el agujero. 27. Alex tiene un acuario con forma de prisma de base rectangular que contiene agua hasta una profundidad de 50 cm. Sus dimensiones basales son 60 cm de largo y 40 cm de ancho. a) ¿Cuántos litros de agua contiene el acuario? b) Alex notó que cuando hundió una piedra en el acuario el nivel del agua se elevó 4 cm ¿Cuál es el volumen de la piedra?

28. Se echan 7 cm3 de agua en un recipiente cilíndrico de 1,3 cm de radio. ¿Qué altura alcanzará el agua? 29. Una piscina tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo, como se muestra en el dibujo. Si su rango de profundidad va de 0,8 m a 2,2 m ¿Cuántos litros de agua, como máximo, puede contener?

30. Con cilíndricos de 47 cm de altura y 16 cm de radio se llena de agua una piscina con forma de paralelepípedo rectangular de 3 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de alto. ¿Cuántos cilindros es necesario vaciar en la piscina para llenarla? 31. ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm? 32. Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilíndrico de 3,1 cm de altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el recipiente.

27

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 33. Se desea construir un depósito como el de la figura de 10 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, con un grosor de las paredes de 25 cm, y estas se van a hacer de mortero. ¿Qué volumen de mortero se necesita para construirlo? ¿Cuál es la máxima capacidad en litros que puede contener el depósito?

34. Durante una tormenta se registraron unas precipitaciones de 80 litros por metro cuadrado. ¿Qué altura alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 15 cm de arista? 35. Interpreta cada razón según su contexto.

a)

b)

36. Las siguientes tablas proporcionan los valores aproximados de la energía de ciertos alimentos y el consumo de energía aproximado de algunas actividades, en kilojoules (kj). Calcula el tiempo que toma utilizar la energía de los siguientes alimentos: a) Una hamburguesa, si corriera. b) Una malteada de chocolate, si caminara. c) Un vaso de leche descremada, si practicara ciclismo. Valor energético Alimento Malteada de chocolate Huevo frito Hamburguesa Pastel de fresa Vaso de leche descremada

kj 2200 460 1550 1440 350

Consumo de energía Actividad Caminata Ciclismo Natación Carrera

28

Kj/min 25 35 50 80

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 37. El consumo de una estufa a mecha es 0,286 Litros/hora. Si el estanque tiene una capacidad de 6,3 litros pero solo tiene las tres cuartas partes con parafina ¿Cuántas horas, aproximadamente, está encendida? 38. Las cantidades de un licor A de 12° GL, de un licor B de 30° GL, de un licor C de 28,5° GL y de un licor D de 35° GL están dadas en la razón de 2:3:4:7 en una preparación de 9 litros. ¿Cuántos litros de cada licor se necesitan? 39. En una empresa la razón entre hombres y mujeres es 7:2. Si hay 140 hombres más que mujeres ¿Cuántas mujeres tiene la empresa? 40. Esteban, Jorge y Claudia compraron un número de rifa en $900. Jorge puso $300, Esteban $200 y Claudia el resto. Si obtuvieron un premio de $702.000 y se lo repartieron en la razón del dinero que aportó cada uno. ¿Cuánto dinero recibió Claudia? 41. Un granjero tiene cierta cantidad de animales entre vacas y chanchos. La razón entre las vacas y el total de animales es 4:13. Si hay 100 chanchos más que vacas ¿Cuántas vacas hay? 42. En cada una de las tablas que hay a continuación se presentan algunos datos correspondientes a distintas relaciones. Utilizando los valores dados en cada tabla, determina si podría, la relación en cuestión, ser de proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta. a)

b)

3

c)

2

4

9

21

16

12

3

9

6

14

8

24

4

16

3

7

43. Examina cada uno de los siguientes gráficos y luego, determina si describe una relación de proporcionalidad directa, de proporcionalidad inversa o de otro tipo. Justifica tu respuesta. a)

b)

29

c)

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

d)

e)

f)

44. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el consumo de energía y el tiempo de funcionamiento de dos máquinas industriales.

a) ¿Cuánto consume la Máquina 1 en una hora? ¿Y en 3 horas? ¿Y en 30 minutos? b) ¿Cuánto consume la Máquina 2 en una hora? ¿Y en 4 horas? c) ¿La relación entre las variables para cada máquina es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta.

30

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 45. Los siguientes gráficos muestran la relación entre el largo y el peso de dos alambres que los identificaremos como A y B. Utilizando la información que proveen estos gráficos, responde:

a) b) c) d)

¿Cuál de los dos tipos de alambre es el más pesado? Justifica Para cada tipo de alambre, determina el peso de 2,4 m. Para cada tipo de alambre, determina el largo de 48 gr. ¿A qué alambres corresponden los siguientes pares de valores? El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr El peso de 4,2 m de alambre es 168 gr El peso de 5,4 m de alambre es 108 gr

46. Una embotelladora de bebidas dispone de botellas con las siguientes capacidades: 0,25l, 0,5l, 0,75l, 1l, 1,25l, 1,5l, 2l, 2,5l y 3l. En la embotelladora necesitan embotellar 60 litros de bebida, y quieren repartirlos en botellas de un solo tipo. a) Define las variables de la situación y construye una tabla de valores, considerando en ella todos los tipos de botella de que dispone la embotelladora. b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. c) Si se requiere que sean menos de 45 botellas, ¿qué capacidad deben tener las botellas?

31

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 47. Don Armando ha heredado una parcela de su abuela. Quiere construir un corral de forma rectangular para sus ovejas. Él dispone de material suficiente para construir 240 metros de cerco y quiere utilizarlo todo, sin que le falte ni sobre material.

a) Completa la siguiente tabla con las posibles dimensiones del corral. Largo(m) Ancho(m)

110

105

93 20

70 30

35

60

40

b) Realiza un gráfico escribiendo en cada eje la variable que se está representando. Determina si describe una relación de proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa o no proporcional. Justifica tu respuesta. 48. Alberto quiere sembrar pasto y para ello ha escogido la variedad Chépica Alemana. La información que este pasto trae para su siembra es que se necesita ¼ kg de semillas por cada 10 m2. d) Completa la siguiente tabla de valores relativa a la relación entre las variables de la situación, escribiendo en la tabla dichas variables. 3 20

5

80

e) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta.

32

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 49. En La Serena se ofrece una casa en arriendo. La casa tiene una capacidad para 8 personas y tiene un costo de $33.600 por un fin de semana. Un grupo de amigos quiere ir este fin de semana distribuyéndose equitativamente los costos. f) Uno de los integrantes de este grupo quiere saber si dispone del dinero suficiente para ir. Para ello necesita saber cuánto debe pagar en cada uno de los casos posibles (de 1 a 8 personas). Haz una tabla que contenga esta información g) ¿La relación entre las variables es de proporcionalidad directa, inversa o no proporcional? Justifica tu respuesta. 50. Andrea tiene un plan telefónico de $9.000 mensuales. En este plan, cada minuto que habla tiene un valor de $180, que se van restando de los $9.000. Haz una tabla, con cinco casos, que muestre la relación entre los minutos que Andrea pudiese hablar durante el mes y la cantidad de dinero disponible que quedaría en su teléfono. ¿La relación que existe entre las variables de la situación es directamente proporcional, inversamente proporcional o no proporcional? Justifica tu respuesta. 51. Resuelve los siguientes problemas aplicando las propiedades de la proporcionalidad directa o inversa, según corresponda. a) El área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de la longitud de su diagonal. Si para un cuadrado cuya diagonal mide 6 cm, el área es 18 cm 2, escribe la fórmula que relaciona el área y la longitud de la diagonal del cuadrado. b) Sean , y tres variables tales que es directamente proporcional a e inversamente proporcional a . En una situación dada los valores de las variables son ¿Cuál sería el valor de si la situación cambia a ? c) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros etiquetarán la misma cantidad de tarros en 4 horas? d) Ocho obreros etiquetan en 3 horas 50 tarros. ¿Cuántos obreros como mínimo se necesitan para etiquetar al menos 40 tarros en el mismo tiempo? e) Se emplean 8 máquinas para realizar un trabajo en 15 días. Si se dispone de tres máquinas menos, ¿Cuántos días se emplearían en hacer el mismo trabajo? f) Veinte personas consumen aproximadamente 520 kg. de carne en 10 días. ¿Cuántos kg de carne consumen 16 personas en 8 días en las mismas condiciones? 52. Completa la siguiente tabla con la representación fraccionaria y decimal de los porcentajes dados.

Tanto por ciento 12 25 75 33

Fracción irreductible

33

Decimal

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 53. Si la tasa de desempleo en el Gran Santiago fue de 5,2% en diciembre de 2012, lo que equivale a 156.900 personas desocupadas ¿Cuántas personas de Santiago tenían empleo en ese período? 54. Según la información de la noticia que se muestra a continuación ¿Cuántas Pymes más fueron beneficiadas por la Corfo el año 2012 respecto del 2009?

34

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 55. Según la información de la imagen ¿Cuántos buses nuevos tiene el transantiago este año?

56. El precio de un artículo con IVA incluido es $56.990 ¿Cuánto dinero se paga por concepto de IVA (19%)? 57. El precio de un perfume es $21.990. Se puede comprar al contado o en 8 cuotas de $3.126 cada una ¿Cuál es, aproximadamente, el porcentaje de recargo sobre el precio contado al comprar el perfume en 8 cuotas? 58. Si se sabe que una boleta de honorarios retiene el 10% de impuestos ¿Por cuánto dinero se debe emitir una boleta para recibir líquido $480.000? Soluciones: 1.

De la cesta con 12 huevos.

2.

3465 libros.

3.

Se pueden hacer como máximo 48 pack de útiles escolares, donde cada uno contiene 9 cuadernos, 6 gomas y 7 lápices.

4.

Cada pieza es de 12 pulgadas.

5.

La baldosa cuadrada tiene 42 cm de ancho y se necesitan 1540 baldosas.

6.

6 minutos.

7.

Las garrafas deben ser de 14 litros cada una.

8.

Una caja tenía 14 monedas y la otra 28.

9.

10 puntos.

10. 8056 cuadrados

35

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 11. Si las bolsas están mal etiquetadas se tiene lo siguiente:

Posible contenido de la bolsa

Dos naranjas o una manzanas y una naranja

Dos manzanas o una manzana y una naranja

Dos manzanas o dos naranjas.

Si se debe abrir una bolsa esta es la marcada con MN, pues contiene dos frutas del mismo tipo, luego al extraer una fruta: 

Si es naranja la única posibilidad para la bolsa MM es tener una manzana y una naranja y en la bolsa NN dos manzanas  Si es manzana la única posibilidad para la bolsa NN es tener una manzana y una naranja y en la bolsa MM dos naranjas. Por lo tanto, es posible saber el contenido de cada bolsa solo si extraemos una fruta de la bolsa MN. 12. 13. $9.900.000 14. 48 hectáreas. 15. La mezcla cuesta $685 pesos y 220 g cuestan $67. 16.

Al tercer día muere ( ) de bacterias, al cuarto día ( ) y al octavo día ( ) . Sin embargo, no es posible matar todas las bacterias, pues por poco que quede, cada día mata , de las bacterias.

17. A las 3 pm habrá bacterias, a las 6 pm habrá habrá bacterias. 18. 19.

átomos ̅

N

20. 310 cm2

36

bacterias y a las 12 pm del día siguiente

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 21. 5566,6 cm2 22.

a)

409,87 m

b) 1144,63 m

2

c)

2

1024,67 m

23. 158,94 cm2 24. 2 cm

3

2

25. La lata cilíndrica tiene una capacidad de 101,68 cm y para construirla se necesitan 604,44 cm de 2 material y 338,98 cm de papel. 26. 1,7 m2 27.

a)

120 litros

3

b) 9.600 cm

28. 1,32 cm 29. 1.530.000 litros 30. 238 cilindros 31. 68 copas 32. 17,72 cm3 33. Se necesitan 3200 m3 de mortero y la piscina tiene una capacidad de 2.798.437,5 litros 34. 8 cm 35.

a)

Un vehículo, que viaja a rapidez constante, en una hora debe recorrer 50 km.

36.

a)

19,38 minutos

b) 88 minutos

b) En 5 ml de jarabe hay 15 mg de fármaco. c)

10 minutos

37. 16 horas y media, aprox. 38. 1,125 l de un licor A de 12° GL, 1,688 l de un licor B de 30° GL, 2,25 l de un licor C de 28,5° GL y 3,938 l de un licor D de 35° GL 39. 56 mujeres. 40. $ 312.000 recibe Claudia. 41. 80 vacas.

37

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 42.

a)

Las variables son inversamente proporcionales, pues al multiplicar los valores de correspondientes en siempre se obtiene 192.

con su

b) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en . c)

Las variables son inversamente proporcionales, pues al dividir los valores de correspondientes en

43.

a)

con su

siempre se obtiene .

La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

b) La relación entre las variable es de proporcional inversa, pues si multiplicamos los valores los valores de con su correspondientes en , siempre se obtiene 20. c)

La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

d) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

44.

e)

La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

f)

La relación entre las variable es de proporcional directa, pues al dividir los valores de su correspondientes en siempre se obtiene 3.

a)

En una hora consume 30 Kwh, en 3 horas 90 Kwh y en 30 minutos 15 Kwh.

con

b) En una hora consume 30 Kwh y en 4 horas 60 Kwh. c)

En la máquina 1, el tiempo es directamente proporcional a la energía consumida, pues al dividir los valores de

con su correspondientes en , siempre se obtiene

En la máquina 2, el tiempo y la energía consumida no se relacionan proporcionalmente, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en

45.

a)

El alambre más pesado es A, pues cada metro pesa 40 g, mientras que en el alambre B cada metro pesa 30 g.

b) 96 g de alambre A y 72 g de alambre B tienen cada uno una longitud de 2,4 m. c)

1,2 m de alambre B y 1,6 m de alambre A pesan 48 g cada uno. El peso de 3,8 m de alambre es 114 gr

B

El peso de 4,2 m de alambre es 168 gr

A

El peso de 5,4 m de alambre es 108 gr

a ninguno

38

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 46.

a) 0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

2

2,5

3

240

120

80

60

48

40

30

24

20

300 200 100 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

Cantidad de botellas

Capacidad botella (litros) Cantidad de botellas

capacidad botella (litros) b) c) 2; 2,5 o 3 litros. 47.

a) Largo(m) Ancho(m)

110 10

105 15

100 20

93 27

90 30

85 35

80 40

70 50

60 60

b)

ancho (m)

150 100 50 0 20

40

60

80

100

120

largo (m) La relación entre las variable no es proporcional, pues no se obtiene una constante al dividir o multiplicar los valores de con su correspondientes en .

48.

a) Kilógramos de semilla 2

Superficie a sembrar (m )

10

20

30

2

3

5

80

120

200

b) La relación entre las variable es directamente proporcional, pues al dividir los valores de 2 con su correspondientes en siempre se obtiene 0,25 kg/m

39

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 49.

a) Número de personas Costo por persona (pesos)

33.600

16800

11200

4

5

6

7

8

8400

6720

5600

4800

4200

b) La relación entre las variable es inversamente proporcional, pues al multiplicar los valores de con su correspondientes en siempre se obtiene $ 33.600 50.

Tiempo utilizado (minutos) Saldo disponible (pesos)

9000

8820

8640

3

4

8460

8280

La relación entre el tiempo utilizado y el saldo disponible no es proporcional, pues al dividir o multiplicar los valores de con sus correspondientes en no se obtiene una constante. 51.

a)

, con : área del cuadrado en cm y :longitud de la diagonal en cm

b) 34,43 aprox. c)

6 obreros.

d) 7 obreros. e)

24 días.

f)

332,8 kg.

52.

Tanto por ciento

Fracción irreductible

Decimal

12

0,12

25

0,25

75

0,75

33

0,33

53.

2.860.408 personas

54.

54.080 Pymes más fueron beneficiadas el año 2012 respecto del 2009

55.

5920 buses nuevos.

56.

$ 9.099

57.

13,7 %

58.

$ 533.333

40

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Ejercicios propuestos para la unidad Salud 1. ¿Cuántas cápsulas de 65 mg se pueden preparar con 50 g de una droga? 2. Una preparación debe contener 0,0325 g de una sustancia química por cada ml de solución ¿Cuántos gramos se necesitan para 5 L de solución? 3. ¿Cuál será el peso total de una receta de 25 unidades, si cada unidad contiene 0,4 g de sólido F, 0,01 g de sólido G y 5 mg de sólido H? 4. Un antibiótico se presenta en inyecciones con 10 mg de antibiótico/ml ¿Cuántos ml se requieren para un lactante de 8 kg si la dosis es de 1,4 kg/ml de peso corporal? 5. Para el tratamiento de trombosis venosa profunda con o sin tromboembolismo pulmonar debe administrarse subcutáneamente enoxaparina sódica como una dosis única de 1.5 mg/kg o como 2 inyecciones diarias de 1 mg/kg. Según la información anterior y la de la imagen ¿Cuántos ml debe administrarse a un paciente que pesa 73 kg? (para dosis única y doble diaria) 6. Para preparar la Teofilina, que es un medicamento contra el asma, se usa un exhílir con una concentración de fármaco de 5 mg/ml, y un jarabe con sabor a cereza que se agrega para disimular el sabor de la medicina. ¿Qué cantidad de ambos debe usarse para preparar 100 ml de solución con una concentración del medicamento de 2 mg/ml? 7. Calcular las cantidades necesarias para 100 g del siguiente polvo antiséptico: Sólido A Sólido B Sólido C

2g 1g 7g

Sólido D

25 g

Sólido E

115 g

Total

150 g

41

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 8. La fórmula de un preparado líquido es: 35 ml

Líquido C

9g

Sólido B

2,5 ml

Líquido R

20 ml

Líquido P

100 ml

Agua destilada c.s.p

Calcular la cantidad de los componentes para 2,5 l de agua destilada. 9. ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en una mezcla de 5 L de alcohol al 25%, 1 L al 50% y 1L al 95%? 10. ¿Qué porcentaje de droga contiene una mezcla de polvo formada por 0,5 kg con 0,038% de fármaco 10 kg con 0,043% de fármaco? 11. ¿Cuánto alcohol al 90% se requiere para preparar 500 ml de una mezcla de alcohol al 10%? 12. Una mezcla contiene 8 ml de agua y anticoagulante. Si 49% de la mezcla es anticoagulante ¿Qué cantidad de mezcla debe eliminarse y reemplazarse por anticoagulante para que la mezcla resultante contenga un 60% de anticoagulante? 13. Para transformar grados Fahrenheit ( ) a Celsius ( ) se utiliza la siguiente fórmula:

a. ¿Cuántos grados Celsius son 68 grados Fahrenheit? b. ¿Cuántos grados Fahrenheit son 38 grados Celsius? c. ¿A qué temperatura los grados Fahrenheit son iguales a los grados Celsius? 14. 9 ml de un medicamento tienen una concentración de fármaco al 20% ¿Cuántos ml de fármaco puro deben agregarse para aumentar la concentración al 35%? 15. Una enfermera debe elaborar 15 ml de gotas especiales para los ojos para un paciente con glaucoma. La solución de gotas para los ojos debe tener un ingrediente activo al 2%, pero la enfermera tiene sólo solución al 10 % y al 1% ¿Cuánto de cada tipo de solución debe usarse para llenar la receta?

42

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. 769 cápsulas 2.

162,5 g

3.

10,375 g

4.

1,12 ml

5.

Una dosis única de 1,1 ml o dos inyecciones diarias con 0,7 ml cada una.

6.

40 ml de exhílir con una concentración de fármaco de 5mg/ml y 60 ml de jarabe con sabor a cereza.

7. Sólido A Sólido B Sólido C Sólido D

8. Sólido E Líquido C Sólido B Líquido R

9.

38,6% Líquido P

1,33 g 0,667 g 4,67 g 16,7 g 76,7 g 875 ml 225 g 62,5 ml 500 ml

10. 0,043% 11. 55,5 ml 12. 3,4 ml 13. 20° F; 100,4°C; – 40° 14. 2,1 ml de fármaco 15. 13,3 ml de solución al 1% y 1,7 ml de solución al 10%

43

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Unidad 2: Análisis de datos Aprendizaje 2.1 Analiza información proveniente de tablas de frecuencias y gráficas para describir un fenómeno, comunicando sus resultados de manera acorde a la situación comunicativa e interlocutores. Criterios de evaluación: 2.1.1 Clasifica diferentes tipos de variables. 2.1.2 Construye tablas de frecuencias y gráficas para determinar el comportamiento de un conjunto de observaciones. 2.1.3 Analiza tablas de frecuencias y gráficas para determinar el comportamiento de un conjunto de observaciones.

Para resolver un problema, recuerda: a) b) c) d)

Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. Resolver el problema. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores.

44

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: En una encuesta hecha a la población del gran Santiago se registró las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo. (Fuente: INE, Instituto Nacional de Estadísticas de Chile)

Promedio de horas diarias

3 2,5 2 1,5 Hombres 1

Mujeres

0,5 0 Leer

Escuchar música o radio

Ver TV

Navegar por Internet

Actividades principales

a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? c. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer?

45

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Solución: a) Identificar datos -

El gráfico muestra las horas en promedio diarias en usos de tecnologías de la información y medios de comunicación de masas como actividad principal por sexo.

b) Establecer estrategia de resolución La información del gráfico se organiza en una tabla y con esos datos contestamos las preguntas.

c) Resolver problema

Promedio de horas diarias

Primero construimos la tabla con los datos del gráfico, como se muestra a continuación 3

2,5 2

1,5 1 Hombres

0,5

Mujeres

0 Leer

Escuchar música o radio

Ver TV

Navegar por Internet

Hombres

1,5

1,6

2,8

2,3

Mujeres

1,5

1,5

2,6

2

Actividades principales

Ahora contestamos las preguntas. a. ¿Cuántas personas fueron entrevistadas? Esta información no la entrega el gráfico. b. ¿Cuántos minutos más dedican los hombres que las mujeres en Navegar por Internet? ⏟

⏟

46

⏟

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Como el tiempo está en horas, es necesario transformar la diferencia a minutos. Para ello debemos recordar que una hora equivale a 60 minutos, por lo tanto, hay que multiplicar el tiempo en horas por 60 para obtener los minutos, como se muestra a continuación ⏟

⏟

c. ¿Qué fracción del día ocupan las mujeres en Leer? Para determinar la fracción del día debemos comparar mediante una división las horas que en promedio una mujer dedica en un día a leer y el total de horas que tiene un día.

Para transformar el decimal a fracción utilizamos la calculadora científica. Según la calculadora se utiliza distintas teclas, a continuación vamos a mostrar dos calculadoras diferentes. Caso 1: Se digita 0,0625, se apreta la tecla

𝑎𝑏 𝑐

y aparece la fracción

Caso 2: Se digita 0,0625, se apreta la tecla

𝑆⟺𝐷

y aparece la fracción

d) Comunicar resultados a. El gráfico no entrega información respecto a la cantidad de encuestados. b. Los hombres dedican, en promedio, 18 minutos más que las mujeres en navegar por internet. c. Las mujeres ocupan

parte del día en leer.

47

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 2: En un estudio de la Seguridad e Higiene en el Trabajo se contrastó la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. Considerando una gradación de Muy fumador hasta No fumador como media del tabaquismo, y una gradación de Muy grave a Leve en el tipo de accidente. Se extrajo una muestra de individuos que habían sufrido un accidente laboral. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de doble entrada: Muy Grave

Grave

Lesiones medias

Leve

Muy fumador

20

10

10

30

Fumador

30

40

20

50

Fumador Esporádico

10

60

80

60

No fumador

5

20

30

50

a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? c. ¿Qué fracción de los fumadores tienen accidentes graves? d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores? e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves? Solución: a) Identificar datos La información de la tabla contrasta la incidencia del tabaquismo en la gravedad de los accidentes laborales. b) Establecer estrategia de resolución Se calculan los totales por columnas y filas y con estos datos contestamos las preguntas.

48

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática c) Resolver problema Primero calculamos los totales por fila y columna, como se muestra a continuación:

Muy Grave

Grave

Muy fumador

20

10

Fumador

30

Lesiones

Leve

Total

10

30

70

40

20

50

140

10

60

80

60

210

No fumador

5

20

30

50

105

Total

65

130

140

190

525

Fumador Esporádico

medias

Ahora contestamos las preguntas a. ¿Cuántos individuos han sufrido un accidente laboral? 525 individuos b. ¿Qué fracción de los individuos son no fumadores? ⏞ ⏟ Para simplificar una fracción con calculadora se utilizan distintos procedimientos según el modelo de la calculadora. Por ejemplo, utilizando la calculadora Casio fx-82xx se realiza lo siguiente: 105

𝑎𝑏 𝑐

525

49

1/5

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática c. ¿Qué fracción de los fumadores tiene accidentes graves?

⏞ ⏟

d. ¿Qué fracción de los individuos que sufren accidentes graves son muy fumadores?

⏞ ⏟

e. ¿Qué fracción de los individuos muy fumadores sufre accidentes graves?

⏞ ⏟

d) Comunicar resultados En total hay 525 individuos que han sufrido accidentes laborales de los cuales un quinto no fuma. De los fumadores, dos séptimos han tenido accidentes graves mientras que de los muy fumadores sólo un séptimo. Respecto de los individuos que sufren accidentes graves, un treceavo son muy fumadores.

50

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3: Un Servicio de medicina interna, con objeto de planificar debidamente sus recursos, estudia mediante muestreo aleatorio el número de urgencias atendidas por día. Para ello se extrae una muestra de 30 días al azar, obteniéndose los siguientes resultados: 25

41

38

29

26

43

30

36

37

30

15

27

15

28

42

23

29

31

17

27

21

11

32

35

12

16

24

19

31

36

Organiza los datos en una tabla de distribución de frecuencia. Solución: a) Identificar datos  Tamaño de la muestra = 30  Variable: Número de urgencias atendidas por día. b) Establecer estrategia de resolución Para construir una tabla de distribución de frecuencia puedes realizar los siguientes pasos: Paso 1: Contar el número n de datos Paso 2: Calcular el rango Paso 3: Calcular el número de clases Paso 4: Calcular los intervalos Paso 5: Calcular las frecuencias ( c) Resolver problema Paso 1: contar el número

de datos

Paso 2: Calcular el rango Identificamos los valores máximo y mínimo y calculamos la diferencia entre los dos

51

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Paso 3: Calcular el número de clases Para calcular el número de clases, se sugiere el entero más próximo a la regla de Sturges, dada por

donde

es el tamaño de la muestra, luego para

Otra regla razonable para el número de clases es:

, tenemos

√ Por lo tanto, el número de clases es 6, pues es el entero más cercano a Paso 4: Calcular la amplitud Para calcular la amplitud , utilizamos la siguiente fórmula

Donde

es el rango y

el número de clases. Para

y

, tenemos

̅ Como la variable número de urgencia es discreta, aproximamos al entero siguiente, es decir 6. Paso 5: Calcular los intervalos Vamos a calcular el primer intervalo. Como los datos son números enteros, la mínima diferencia posible es 1 y la mitad 0,5, luego el límite inferior de la primera clase se obtiene restando 0,5 al valor mínimo y el límite superior es el valor mínimo más la amplitud, es decir

La regla general para determinar los límites de un intervalo es restar al valor mínimo la mitad de la mínima diferencia posible entre dos números.



 Si los datos son números enteros, la mínima diferencia posible es 1 y la mitad 0,5. Si los datos están expresados con una cifra decimal, la mínima diferencia posible entre dos datos es 0,1 y la mitad 0,05 y así sucesivamente.

52

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Para obtener las restantes clases, se suma sucesivamente al límite inferior. Éste límite corresponderá a límite superior de la clase anterior, como se muestra a continuación. Número de urgencias atendidas por día. ⏟ ⏟

⏟

⏟

⏟

Una vez definidos los límites de las clases se determinan las frecuencias absolutas y el resto de los parámetros. Para ello debes tener en cuenta que: La marca de clase o valor que representa a la clase se calcula mediante la semisuma de los límites de la clase. La frecuencia absoluta es el número de observaciones comprendidas en la clase. La frecuencia absoluta relativa es el número de observaciones de cada clase dividido por el total de observaciones. La frecuencia absoluta acumulada es la suma del número de observaciones de las clases anteriores y las comprendidas en la clase. La frecuencia absoluta acumulada relativa es la frecuencia absoluta acumulada de la clase dividdio por el total de observaciones. Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta relativa

Frecuencia acumulada

Frecuencia acumulada relativa

…

…

…

…

[10,5 – 16,5)

…

…

53

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

54

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática En este ejercicio propuesto se podría haber elegido otros límites de clase e incluso un número distinto de clases, ya que en la tabulación de datos hay reglas pero pocas leyes. El objetivo es resumir la información que aportan los datos y en general, la mejor manera de hacerlo es la descrita anteriormente. d) Comunicar resultados número de urgencias atendidas por día

Frecuencia acumulada relativa

Frecuencia absoluta relativa

Frecuencia acumulada

5

0,17

5

0,17

19,5

3

0,10

8

0,27

[22,5 – 28,5)

25,5

7

0,23

15

0,5

[28,5 – 34,5)

31,5

7

0,23

22

0,73

[34,5 – 40,5)

37,5

5

0,9

27

0,9

[40,5 – 46,5)

43,5

3

0,1

30

1

Marca de clase

Frecuencia absoluta

[10,5 – 16,5)

13,5

[16,5 – 22,5)

55

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 4: El histograma de frecuencia relativa que aparece a continuación se construyó a partir de los datos obtenidos por una muestra aleatoria de 25 familias. A cada una se le preguntó los litros de leche que habían comprado la semana anterior.

Frecuencia relativa

De acuerdo al gráfico:

0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

1

2

3

4

5

Litros de leche

a. b. c. d. e.

¿Qué porcentaje de familias compró 5 litros de leche? ¿Qué porcentaje de familias compró más de 2 litros de leche? ¿Qué porcentaje de familias compró a lo más 3 litros de leche? ¿Cuántas familias no compraron leche? ¿Cuántas familias compraron a lo más 4 litros de leche?

Solución: a) Identificar datos  Variable: litros de leche comprados por familia.  Tamaño de la muestra: 25 familias.  Histograma de frecuencias relativas. 0,4

0,36

Frecuencia relativa

0,35 0,3 0,25

0,2

0,2

0,2 0,12

0,15 0,1

0,08 0,04

0,05 0 0

1

2

3

Litros de leche

56

4

5

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática b) Establecer estrategia de resolución La frecuencia relativa corresponde a un porcentaje expresado en forma decimal, por lo tanto para realizar los cálculos hay que aplicar las definiciones y propiedades de porcentaje. c) Resolver problema a. ¿Qué porcentaje de familias compró 5 litros de leche? Si observamos el gráfico, la frecuencia relativa de 5 litros de leche es 0,04. Este número se obtiene dividiendo el número de observaciones de la clase por el total de observaciones, por lo tanto, el resultado es la representación decimal de un porcentaje. Luego, si multiplicamos la frecuencia relativa por 100 obtenemos el porcentaje.

b. ¿Qué porcentaje de familias compró más de 2 litros de leche? Primero identificamos las frecuencias relativas para 3, 4 y 5 litros de leche. Luego, calculamos los porcentajes multiplicando cada una de ellas por 100 y finalmente los sumamos. Litros de leche %

3

4

5

⏟

⏟

⏟

Total

c. ¿Qué porcentaje de familias compró a lo más 3 litros de leche? La expresión “a lo más” significa “como máximo”, por lo tanto debemos considerar las frecuencias relativas de 0, 1, 2 y 3 litros de leche. Aplicando el mismo procedimiento anterior se tiene que: Litros de leche

0

1

2

3

%

⏟

⏟

⏟

⏟

57

Total

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática d. ¿Cuántas familias no compraron leche? Sabemos que la frecuencia relativa es un porcentaje expresado en forma decimal, luego para calcular el número de familias que no compraron leche, basta con multiplicar la frecuencia relativa de 0 litros de leche por el total de familias.

e. ¿Cuántas familias compraron a lo más 4 litros de leche? Primero calculamos la frecuencia acumulada de familias que compraron como máximo 4 litros de leche. Litros de leche Frecuencia acumulada

0

1

2

3

4 0,96

0,08

Esta frecuencia también se puede calcular restando a 1 la frecuencia relativa de las familias que compraron más de 4 litros de leche, es decir: ⏟

Ahora calculamos la cantidad de familias efectuando el mismo procedimiento que en la pregunta d. d) Comunicar resultados a. El 4% de familias compró 5 litros de leche. b. 36% de familias compró más de 2 litros de leche. c. 84% de familias compró a lo más 3 litros de leche. d. 2 familias no compraron leche. e. 24 familias compraron a lo más 4 litros de leche.

58

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicios propuestos: Genéricos 1. La Aerolínea Chile registra sus vuelos, desde el aeropuerto Arturo Merino Benítez ubicado en la Región Metropolitana, durante un día lunes de temporada alta. A continuación hay un gráfico que muestra la capacidad de cada avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo. Arica Antofagasta Temuco Punta Arenas La Serena

En base a los datos entregados en el gráfico: a) ¿Cuántos vuelos se realizaron el día lunes? b) ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas? c) ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica? d) ¿Cuántos pasajeros volaron el día lunes? e) ¿Cuáles son las dos ciudades más visitadas? 2. La siguiente gráfica representa una excursión en autobús de un grupo de estudiantes, reflejando el tiempo (en horas) y la distancia recorrida (en kilómetros).

a) ¿A cuántos kilómetros estaba el lugar que visitaron? b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el autobús durante la excursión? 59

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática c) ¿Durante cuánto tiempo el autobús no se desplazó? d) Después de cuatro horas de iniciada la excursión ¿Cuántos km recorrió el autobús hasta la próxima detención? e) Luego de transcurrido siete horas de iniciada la excursión ¿A qué distancia se encuentra el autobús de su punto de partida? 3. Se sabe que la concentración en sangre de un cierto tipo de anestesia viene dada por la gráfica siguiente:

a) ¿Cuál es la dosis inicial? b) ¿Qué concentración hay, aproximadamente, al cabo de los 10 minutos? c) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando hay 30 mg menos de la dosis inicial? d) ¿Cuánto tiempo, aproximadamente, ha transcurrido cuando quedan sólo 10 mg de concentración en sangre de anestesia? e) ¿Cuánto tiempo dura, aproximadamente, la concentración en sangre de la anestesia?

60

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 4. Dos atletas participan en una carrera de 1000 metros. El gráfico describe en forma aproximada el comportamiento de los atletas en dicha prueba.

a) ¿Cuál atleta empezó la carrera más rápido? Justifica tu respuesta b) ¿En qué momento un atleta alcanzó al otro? ¿A qué distancia? ¿Quién fue el atleta alcanzado? c) ¿Quién ganó la carrera? 5. En la asignatura Física I, están realizando el siguiente experimento en grupos de 5 estudiantes. Cada grupo dispone de una regla, monedas de $10 y un resorte del que cuelga un vaso plástico,. El experimento consiste en determinar cómo se va alargando el resorte al ir agregando monedas de $10 en el vaso. Para ello, los estudiantes realizan el experimento con una cantidad suficiente de monedas como para poder establecer alguna conclusión. Van registrando sus resultados en una tabla y luego los grafican. El experimento concluye con la presentación de los gráficos obtenidos por tres grupos del

curso. Los gráficos fueron los siguientes: ¿Son iguales los resortes de estos tres grupos o son distintos? Justifica tu respuesta (Sugerencia: Construye una tabla de valores correspondientes a cada gráfico del experimento realizado por estos estudiantes y compáralas)

61

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 6. Se realiza un estudio muestral acerca de si las personas están o no de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas a quienes permanecen en estado vegetal. Según segmento socioeconómico, los resultados se muestran en la siguiente tabla, en número de casos:

Alto Si

¿Está de acuerdo?

Segmento socioeconómico Medio Bajo

158

51

No Total

Total

48 73

109

91

Completa la tabla y luego el siguiente párrafo: De un total de . . . . . . . . . . personas encuestadas, el . . . . . . . . . . % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el . . . . . . . . % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el . . . . . . . . % en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el . . . . . . . . . % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el . . . . . . . .% lo está.

Soluciones: 1.

2.

3.

4.

a) 46 vuelos

b) 1.320 pasajeros

d) 6.690 pasajeros

e) Temuco y Punta Arenas

a) 140 km

b) 280 km

d) 60 km

e) 80 km

a) 100 mg

b) 45 mg

d) 40 minutos

e) 70 minutos

c) 1.250 pasajeros c) 5 horas c) 2,5 minutos

a) El atleta A, pues en el mismo tiempo recorrió mayor distancia que el atleta B. b) A los 120 segundos el atleta B alcanza al atleta A. c) El atleta B, porque recorrió los 1000 metros en 160 segundos, mientras que A lo hizo en 180.

5.

Al comparar los datos mediante una tabla, se observa que con una misma cantidad de monedas se obtiene el mismo alargamiento, por lo tanto, los resortes son iguales, pero las gráficas difieren en forma, porque están diseñadas a distinta escala. 62

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 6.

¿Está de acuerdo?

Segmento socioeconómico Alto Medio Bajo 46 51 61

Si No

Total

22

48

73

109

Total 158

45

115

91

273

De un total de 273 personas encuestadas, el 57,9 % se manifestó de acuerdo con la medida de desconectar de las máquinas que mantienen con vida a los pacientes en estado vegetal. De estos, el 38,6 % se ubica en un segmento socioeconómico medio, mientras que el 32,3 % en el segmento alto. Es destacable que de los encuestados de este último segmento, el 69,9 % esté de acuerdo con dicha medida, mientras que en el segmento bajo, solo el 50,5 % lo está.

63

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Aprendizaje 2.2 Sintetiza información de un conjunto de datos. Criterios de evaluación: 2.2.1 Calcula medidas de tendencia central y las relaciona para definir el centro de un conjunto de datos. 2.2.2 Calcula medidas de dispersión, para describir la variabilidad de un conjunto de datos. 2.2.3 Compara un conjunto de datos mediante el uso de las medidas de resumen.

Para resolver un problema, recuerda: a) b) c) d)

Leer detenidamente el enunciado e identificar: datos, incógnitas y relaciones. Trazar una estrategia de resolución. Establecer hipótesis. Resolver el problema. Comunicar los resultados de manera efectiva y acorde a la situación e interlocutores.

64

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 1: En una comunidad el número de hijos por pareja viene dado por la siguiente tabla: Número de hijos 0

37

1

76

2

68

3

53

4

42

5

15

6

6

Calcular las medidas de tendencia central e interpretarlas. Solución: a) Identificar datos  variable: número de hijos por pareja.  Datos tabulados sin agrupar. b) Establecer estrategia de resolución Utilizar las fórmulas de media, moda y mediana para datos sin agrupar. c) Resolver problema Calcular la media La media aritmética en este caso no es la suma de , pues eso indicaría que hay una pareja para cada número de hijos. Primero debemos calcular la suma total de hijos. Para ello es necesario ponderar cada número de hijos por la cantidad de parejas que lo tienen. Como se muestra a continuación.

65

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Número de hijos 0

37

1

76

2

68

3

53

4

42

5

15

6

6 ∑

∑

Ahora la suma total de hijos se divide por el total de parejas. ̅ Calcular la moda La moda de un conjunto de datos es aquel que tiene la mayor frecuencia. Si observamos la tabla la mayor frecuencia es 76, correspondiente a las parejas con un hijo. Calcular la mediana La mediana de un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente, es el dato que se encuentra en el centro de dicha ordenación o la media aritmética de los datos centrales. Para encontrar la posición de la mediana, primero calculamos las frecuencias acumuladas. Dado un conjunto de datos numéricos ordenados en forma creciente o decreciente:

Número de hijos 0

37

37

1

76

113

2

68

181

3

53

234

4

42

276

5

15

291

6

6

297



Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición



Si n es par, la mediana es la media aritmética entre los valores que ocupan los valores centrales, es decir, las posiciones sucesor.

66

.

y su

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Luego calculamos la posición de la mediana teniendo en cuenta que la cantidad de datos es impar.

Por lo tanto, la mediana es 2, ya que la posición 149 está contenida en la frecuencia acumulada 181. d) Comunicar resultados El número medio de hijos por pareja es 2,19. La mayoría de las parejas tiene un hijo. El 50% de las parejas tiene a lo más 2 hijos. Ejercicio resuelto 2: La Glucemia basal en mg/100ml de una muestra de personas de un barrio de Santiago está expresada en la siguiente tabla: Glucemia basal en mg/100ml [0,65 – 0,75)

0,7

3

3

[0,75 – 0,85)

0,8

5

8

[0,85 – 0,95)

0,9

9

17

[0,95 – 1,05)

1

7

24

[1,05 – 1,15)

1,1

4

28

[1,15 – 1,25)

1,2

2

30

Calcular las medidas de tendencia central e interpretarlas. Solución: a) Identificar datos  variable: glucemia basal en mg/100ml.  La información está organizada en una tabla de frecuencias para datos agrupados. b) Establecer estrategia de resolución Utilizar las fórmulas de media, moda y mediana para datos agrupados.

67

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática c) Resolver problema Calcular la media La media aritmética para datos agrupados se calcula según la expresión ̅

∑ ∑

donde es la marca de clase y la frecuencia absoluta. Para facilitar el cálculo vamos a agregar una columna para calcular

.

glucemia basal en mg/100ml [0,65 – 0,75)

0,7

3

2,1

[0,75 – 0,85)

0,8

5

4

[0,85 – 0,95)

0,9

9

8,1

[0,95 – 1,05)

1

7

7

[1,05 – 1,15)

1,1

4

4,4

[1,15 – 1,25)

1,2

2

2,4

∑

∑

Ahora calculamos el promedio reemplazando los datos en la fórmula ̅

∑ ∑

Calcular la moda La moda para datos agrupados con intervalos de igual amplitud se calcula según la siguiente fórmula

donde es el límite inferior de la clase modal, es la diferencia entre la frecuencia modal y premodal, es la diferencia entre frecuencia modal y posmodal y es la amplitud del intervalo. 68

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Lo primero es determinar el intervalo modal. La moda de un conjunto de datos es aquel que tiene mayor frecuencia, por lo tanto el intervalo modal es 0,85 – 0,95 glucemia basal en mg/100ml …

→ Frecuencia premodal

…

Intervalo modal → 0,75 – 0,85

→ Frecuencia modal

⏟

→ Frecuencia posmodal 9

0,95 – 1,05 …

…

Recuerda que la amplitud se calcula restando el límite superior con el límite inferior del intervalo, por lo tanto la amplitud es 0,1. Reemplazamos los datos en la fórmula y calculamos la moda.

Calcular la mediana La mediana para datos agrupados se calcula con la siguiente fórmula

donde es el límite inferior de la clase mediana, es la frecuencia acumulada de la clase inmediatamente anterior a la mediana, es la frecuencia de la clase mediana y es la amplitud del intervalo. Lo primero es determinar el intervalo de la mediana. Para ello debemos dividir el total de observaciones en dos y obtenemos la posición de la mediana.

Para determinar el intervalo de la mediana buscamos en la frecuencia acumulada la posición 15. La segunda clase tiene frecuencia acumula 8 y la tercera 17, por lo tanto la clase que contiene a la mediana es la tercera. 69

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Recuerda que la amplitud se calcula restando el límite superior con el límite inferior del intervalo, por lo tanto la amplitud es 0,1. Reemplazamos los datos en la fórmula y calculamos la mediana. glucemia basal en mg/100ml

Frecuencia absoluta

Frecuencia absoluta acumulada

…

…

…

0,75 – 0,85

5

⏟

⏟

– 0,95 …

…

⏟

17 …

d) Comunicar resultados La glucemia media de los integrantes de la muestra es 0,93 mg/100ml. La mayoría de las personas entrevistadas tiene 0,92 mg/100ml de glucemia. El 50% de los entrevistados tiene al menos 0,93 mg/100 ml de glucemia.

70

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Ejercicio resuelto 3: El número de urgencias atendidas por día en un servicio de medicina interna viene dado por la siguiente tabla: número de urgencias atendidas por día

Calcula

Frecuencia acumulada Frecuencia absoluta

[10,5 – 16,5)

5

5

[16,5 – 22,5)

3

8

[22,5 – 28,5)

7

15

[28,5 – 34,5)

7

22

[34,5 – 40,5)

5

27

[40,5 – 46,5)

3

30

y los cuartiles e interpretarlos.

Solución: a) Identificar datos  variable: número de urgencias por día.  Información organizada en tabla de frecuencias para datos agrupados. b) Establecer estrategia de resolución Utilizar la fórmula de percentil para datos agrupados. c) Resolver problema Para calcular percentiles en datos agrupados debemos utilizar la siguiente fórmula

Donde es el percentil, es el límite inferior del intervalo al que pertenece el percentil, n es el tamaño de la muestra, es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al del percentil, es la frecuencia absoluta del intervalo al que pertenece el percentil y es la amplitud del intervalo.

71

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Para determinar el intervalo del percentil 38, hacemos el siguiente cálculo

Ahora buscamos en la frecuencia acumulada la posición 11,4. La segunda clase tiene frecuencia acumula 8 y la tercera 15, por lo tanto la clase que contiene a es la tercera. Para calcular la amplitud restamos el límite superior con el límite inferior del intervalo, por lo tanto la amplitud es 6. Reemplazamos los datos en la fórmula y calculamos . Frecuencia acumulada

número de urgencias atendidas por día

Frecuencia absoluta

…

…

16,5 – 22,5

3

⏟

⏟

… ⏟

– 28,5

15

Para calcular los cuartiles utilizamos la misma fórmula de los percentiles teniendo en cuenta que: 𝑃

𝑃

𝑃

𝑃

𝑄

𝑄

𝑄

Por lo tanto, para calcular el primer cuartil procedimiento anterior:

𝑃

calculamos el percentil 25 y aplicamos el mismo

1° Calculamos la posición

72

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 2° Identificamos el intervalo del percentil número de urgencias atendidas por día

Frecuencia acumulada Frecuencia absoluta ⏟

10,5 – 16,5

5

⏟

⏟

8

…

…

– 22,5 …

3° Extraemos los datos y hacemos el cálculo

Del mismo modo calculamos los otros dos cuartiles, obteniendo los siguientes resultados:

d) Comunicar resultados El 38% de los días el número de urgencias atendidas por día fue igual o inferior a 25; El 25% de los días el número de urgencias atendidas por día fue igual o inferior a 21; El 50% de los días el número de urgencias atendidas por día fue igual o inferior a 28; El 75% de los días el número de urgencias atendidas por día fue igual o inferior a 35.

73

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Ejercicios propuestos: Genéricos. 1. En un canal de televisión desea conocer las edades de los televidentes que ven una telenovela. Para esto se lleva a cabo un estudio y se seleccionan al azar 350 adultos de familia de cinco municipios. ¿Cuál sería la población? ¿Cuál sería la muestra? ¿Cuál sería un dato de estudio? 2.

Decir de las variables siguientes cuáles representan datos discretos y cuáles datos continuos.

a. b. c. d. e.

Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa de Comercio. Temperaturas registradas cada media hora en un centro de estudios del clima. Periodo de duración de los tubos fluorescentes. Televisores en los hogares. Longitud de 1.000 escaleras producidas en una fábrica.

3. La unión de empleados de una compañía solicita una guardería para los niños de los trabajadores como parte de sus beneficios. El número de niños menores de seis años que cada empleado tiene se resume en el siguiente cuadro: 2 0 0 0 1

1 2 1 0 1

0 1 1 2 0

0 0 2 4 3

3 3 4 1 5

0 2 2 1 1

0 0 0 0 2

1 1 1 1 1

2 1 1 2 3

1 0 0 0 2

Organizar los datos en una tabla de frecuencia y confeccione un histograma de frecuencias.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 4. Según la Asociación de Lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social. Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal” motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial. Durante el mes de marzo del año 2010, en el colegio “San Tomás” de la ciudad de Talca, después de las vacaciones de verano, se observó con precaución a 27 alumnos de un curso con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles: Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes Miedo a Engordar Uso de Laxantes Dieta Severa

Hiperactividad Dieta Severa Uso de Laxantes Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada Uso de Ropa Holgada Miedo a Engordar

Dieta Severa Dieta Severa Hiperactividad Hiperactividad Dieta Severa Uso de Ropa Holgada Dieta Severa

Miedo a Engordar Uso de Ropa Holgada Uso de Laxantes Dieta Severa Dieta Severa Hiperactividad

a. Complete la siguiente tabla resumiendo la información: Signo Visible

Número de Alumnos

Dieta Severa Miedo a Engordar Hiperactividad Uso de Laxantes Uso de Ropa Holgada Total

b. En el colegio, el departamento de orientación quiere disminuir la cantidad de alumnos con signos visibles de anorexia o bulimia; para ello, considerando la tabla anterior i. ¿Cuáles serían los tres signos visibles más frecuentes entre los estudiantes? ii. ¿Por cuál de los signos visibles se debe empezar a solucionar el problema? c. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de estudiantes que tienen hiperactividad y los que usan laxantes? d. El colegio tiene un total 810 alumnos, repartidos en 30 cursos con la misma cantidad de estudiantes cada uno. Si la misma tendencia que ocurre en dicho curso se presenta a nivel de colegio, calcule que cantidad de estudiantes hay: i. Con miedo a engordar: ii. Que usan laxantes: 75

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática iii. Con dieta severa: 5. Se proporciona el resultado de una encuesta aplicada a 600 alumnos de una universidad sobre el interés de estos en participar de una fiesta “Wachiturra”. A continuación se presentan los resultados:

¿Qué tan interesado estas de participar en una fiesta "Wachiturra"? Muy interesado 9% Algo interesado 23% No muy interesado 20% Nada interesado 46% No está seguro 2% a) Cambie los porcentajes a Frecuencias b) Use los porcentajes y elabore un diagrama de sectores (pastel) para la encuesta anterior c) Use las frecuencias y elabore un histograma de frecuencias para la encuesta anterior.

6. La siguiente tabla corresponde a resultados de la Prueba de Selección Universitaria de los alumnos de un colegio municipal de la sexta región: Puntaje 350 - 400 400 - 450 450 - 500 500 - 550 550 - 600 600 - 650 650 - 700 700 - 750 750 - 800 800 - 850

f fr% F FR% 4 6 9 20 31 80 42 10 8 2

Completa la tabla, y responda lo siguiente: a. Con más de 600 puntos un alumno puede estudiar gratis la carrera de pedagogía ¿Cuántos alumnos obtuvieron a lo menos 600 puntos? b. ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 500 puntos? c. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo entre 500 y menos de 800 puntos?

76

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 7. Una encuesta realizada este verano 5000 alumnos de una Sede de INACAP sobre el consumo de tabaco, arrojó los siguientes resultados:

Determine el número de alumnos que consume tabaco.

8. El número de goles marcados por dos jugadores de fútbol en los primeros seis partidos del campeonato es el siguiente: Carlos Sánchez

2

3

1

4

2

5

Leonel Caszely

3

3

2

4

1

1

¿Cuál de los dos tiene mejor media de goles marcados?

9. Las calificaciones de un estudiante en seis pruebas fueron 6,4; 5,9; 7,0; 6,8; 5,8 y 5,7. Hallar el promedio de las calificaciones.

10. En un país centroamericano se entrevistaron a 120 estudiantes para averiguar el tipo de baile que preferían. El 35% de los jóvenes eligió el merengue, 30 estudiantes eligieron baile moderno, la octava parte dijo preferir salsa y el resto se inclinó por la cumbia. ¿Cuál es la moda de la encuesta? 11. Las notas finales de un estudiante en física, matemáticas, inglés e historia son, respectivamente, 6,4; 5,3; 6,6 y 4,8. Si la importancia que se asigna a estas asignaturas son de 20%, 50%, 20% y 10%, respectivamente, determinar el promedio ponderado de notas adecuado.

77

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 12. Utilizar la siguiente tabla para hallar el promedio del peso de 100 estudiantes.

Peso (kg) Frecuencia (f) 60 - 62 5 63 - 65 18 66 - 68 42 69 - 71 27 72 - 74 8

13. Las calificaciones de un estudiante en seis exámenes fueron 6,7; 5,8; 4,5; 6,3; 5,5 y 7,0. Hallar la mediana de las calificaciones. 14. Para elegir el representante del curso al Centro de Alumnos se presentan 4 candidatos:

Candidatos Javiera Hans Diego Gertie

Frecuencia de votos 17 13 6 4

a. ¿Cuántos estudiantes votaron? b. ¿Cuál de las medidas de tendencia central (media o moda) representa al estudiante ganador? c. ¿Cuál es la media entre los estudiantes con mayor y menor cantidad de votos? 15. Hallar la mediana de las estaturas de 40 personas utilizando la siguiente tabla. Estatura (cm) Frecuencias 118 - 126 3 127 - 135 5 136 - 144 9 145 - 153 12 152 - 162 5 163 - 171 4 172 - 180 2

78

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 16. Hallar el promedio, mediana y moda de los números: a. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 b. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9

17. Hallar la desviación estándar de la muestra siguiente: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.

18. Dados los datos de diez pacientes de edades 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80 años. Calcular: Media, mediana, moda, rango medio, rango, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación. 19. El peso de 5 trabajadores (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación Estándar (S) = 11,67 y las estaturas en de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 cms. ) cuya media es de 166 cms y S= 23,82. La pregunta sería: ¿qué distribución es más dispersa, el peso o la Estatura? 20. El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la próxima competencia de estilo libre. Según los tiempos en segundos que obtuvieron los postulantes de las cinco últimas carreras de 100 m de estilo libre, ¿qué nadador le conviene elegir? Diego Tomás Sergio

61,7 61,5 60,7

61,7 62,9 62,4

62,3 62,9 62,7

62,9 63,7 62,7

63,1 63,7 63,2

21. Dados los siguientes datos 2, 5, 3, 6, 7, 4, 9 encontrar los cinco números. 22. Dada la siguiente serie 2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9, encontrar el resumen de los cinco números. 23. Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla: Intervalos

fi

[50, 60)

8

[60, 70)

10

[70, 80)

16 79

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática [80, 90)

14

[90, 100)

10

[100, 110)

5

[110, 120)

2

24. El histograma siguiente corresponde al peso de 100 alumnos del Área Social:

a. Construir tabla con frecuencias b. Si Andrés pesa 72 kg, ¿Cuántos alumnos hay menos pesados que él? c. Calcular la moda. d. Hallar la mediana. e. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

80

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática Soluciones: 1. Población: televidentes. Muestra: el conjunto de las edades de los 350 adultos encuestados. Dato: la edad de un televidente. 2. a. b. c. d. e.

Discreta. Continua. Continua. Discreta. Continua.

3. Xi Frecuencia relativa % Frec acumulada % acumulado 0 1 2 3 4 5

16 17 10 4 2 1

32% 34% 20% 8% 4% 2%

16 33 43 47 49 50

32,00% 66,00% 86,00% 94,00% 98,00% 100,00%

Frecuencia

Niños menores de seis años por empleado 20 10 0

Frecuencia 0

1

2

3 Niños

81

4

5

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 4. a.

Signo Visible

Número de Alumnos

Dieta Severa

9

Miedo a Engordar

3

Hiperactividad

4

Uso de Laxantes

5

Uso de Ropa Holgada

6

Total

27

b. i) Dieta Severa, Uso de laxantes, Uso de ropa holgada ii) Dieta Severa c. 1 estudiante d. i) 89 estudiantes ii) 154 estudiantes iii) 267 estudiantes

5. a. ¿Qué tan interesado estas de participar en una fiesta "Wachiturra"? Muy interesado 54 Algo interesado 138 No muy interesado 120 Nada interesado 276 No está seguro 12

82

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática b.

c.

83

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 6. Puntaje

f

fr% F

FR%

350 - 400

4

2%

4

2%

400 - 450

6

3%

10

5%

450 - 500

9

4%

19

9%

500 - 550

20 9%

39

18%

550 - 600

31 15% 70

33%

600 - 650

80 38% 150 71%

650 - 700

42 20% 192 91%

700 - 750

10 5%

202 95%

750 - 800

8

4%

210 99%

800 - 850

2

1%

212 100%

a. 142 alumnos b. 19 alumnos c. 91% 7. 2.800 alumnos consumen tabaco 8. Mejor promedio de goles: Leonel Caszely

9.

̅

10. Merengue, con 42 preferencias 11. ̅̅̅

84

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 12. Peso (kg) Frecuencia (f) Marca de Clase (X) 60 - 62 5 61 63 - 65 18 64 66 - 68 42 67 69 - 71 27 70 72 - 74 8 73 Suma

̅

X*f 305 1152 2814 1890 584 6745

∑

13. Puestas en orden, las calificaciones son 4,5; 5,5; 5,8; 6,3; 6,7; 7,0. Al haber un número par de términos hay dos valores centrales 58 y 63, cuyo promedio es la mediana pedida. 14. a. Votaron 40 estudiantes b. Moda, ya que es por mayoría de votos quien es el ganador c. 10,5 votos. Aprox. 11 votos 15. → Por lo tanto el valor mínimo que cumple es 29, lo que nos conlleva a que la mediana se encuentra en el cuarto intervalo. Estatura (cm) Frecuencias F 118 - 126 3 3 127 - 135 5 8 136 - 144 9 17 145 - 153 152 - 162 163 - 171 172 - 180

12 5 4 2

85

29 34 38 40

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 16. a. Promedio =5,1 Mediana = Puestos en orden de magnitud, los números son 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 9.

Moda = número que se presenta con mayor frecuencia = 5 b. Promedio =49, 8 Mediana: 48,7; 48,9; 49,5; 50,3; 51,6. Corresponde en este caso al valor central = 49, 5 Moda = aquí no existe

17. ̅)

( 3 8 9 18

1 3 3 1 Suma Prom

3 24 27 18 72 9

̅

-6 -1 0 9 suma Varianza

36 3 0 81 120 15

Desv Estand

3,87

18. a. Media

52,3

b. Mediana

60

c. Moda

60

d. Rango Medio

47,5

e. Rango

65

f.

427,61

Varianza de la muestra

g. Desviación estándar

20,68

h. Coeficiente de variación

40%

86

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 19. Si comparamos las desviaciones Estándar observamos que la desviación Estándar de la estatura es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación: CV(peso)= 16,77%

CV(estatura)= 14,35%

Por lo tanto, a la vista de los resultados, observamos que la variable peso tiene mayor dispersión. 20. Diego y Sergio obtuvieron los mismos promedios (62,34 segundos), pero analizan las desviaciones estándar de cada uno, Diego presenta una menor dispersión respecto a Sergio, así que la mejor elección es elegir a Diego. 21. Mín=2 C1=3

C2=5

C3=7

Máx=9

22. Mín=1 C1=2,5 C2=4,5 C3=6,5 Máx=9 23. Cuartil 1= 68,25

Cuartil 2= 79,06

Cuartil 3= 90,75

24. a. Tabla de frecuencias Intervalos

Marca de clase (x)

fi

[60,63 ) [63, 66) [66, 69) [69, 72) [72, 75)

61.5 64.5 67.5 70.5 73.5

5 18 42 27 8 100

b. 5 + 18 + 42 + 27 = 92 alumnos más ligeros que Andrés. c. Moda: 67,85 kilos d. Mediana: 67,93 kilos e. El valor a partir del cual se encuentra el 25% de los alumnos más pesados es el cuartil tercero. Por lo tanto, a partir de los 70,11 kilos se encuentra el 25% de los más pesados

87

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Ejercicios propuestos para la unidad Salud 1. Para describir y caracterizar el crecimiento y desarrollo en el primer año de vida de los niños atendidos por el sistema público de salud en Chile, se efectuó un estudio con 723 recién nacidos seleccionados al azar en hospitales públicos de la región metropolitana y se siguió su evolución clínica durante el primer año de vida. Se analizaron datos de nacimiento: sexo (masculino, femenino), peso (en gramos), talla (en cm), circunferencia cefálica (en cm), valoración del peso (sobrepeso, peso normal, bajo peso), número de hermanos y edad de la madre (años). Los datos fueron recogidos de las historias clínicas individuales de los niños. A partir de esta información identifica: a. Objetivo general del estudio. b. Población objetivo de estudio. c. Muestra estudiada y tamaño. d. Variables consideradas en el estudio y clasifícalas según tipo. 2. La siguiente es la pregunta 40 del cuestionario de una encuesta nacional de salud. En ésta, se le pregunta al padre o madre del niño(a) acerca de la hospitalización de este(a).

a. ¿Cuál es la variable de estudio? b. Identifique el tipo de variable. c. ¿Qué tipo de gráfico recomendaría usted para presentar los resultados de esta pregunta?

88

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática

Frecuencia

3. En un sector suburbano se ha hecho una encuesta a una muestra de familias para conocer el número de integrantes de cada una de ellas. Los resultados se muestran en el gráfico de la figura adjunta: 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 2

3

4

5

6

Integrantes por familia

De acuerdo al gráfico: a. ¿Cuántas familias fueron encuestadas? b. ¿Qué porcentaje de las familias encuestadas se componen de 3 integrantes? c. ¿Qué porcentaje de las familias encuestadas tienen más de 3 integrantes? d. ¿Qué porcentaje de las familias encuestadas tienen 2 o 3 integrantes? e. ¿Qué porcentaje de las familias encuestadas tienen a lo más 4 integrantes? f. ¿Qué porcentaje de las familias encuestadas tienen al menos 5 integrantes? g. Construya una tabla de frecuencias para la distribución de familias según número de integrantes. 4. La siguiente tabla de frecuencias relativas acumuladas se ha obtenido a partir de los datos registrados sobre el número mensual de operaciones de emergencia de apendicitis que se han llevado a cabo en un determinado hospital: número mensual de operaciones de emergencia de apendicitis

0

1

2

3

4

5

6

7

0,05

0,13

0,25

0,39

0,55

0,75

0,9

1

De acuerdo a la tabla: a. ¿Qué porcentaje de los meses no hubo operaciones de emergencia de apendicitis? 89

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática b. ¿Qué porcentaje de los meses hubo 2 operaciones de emergencia de apendicitis? c. ¿Qué porcentaje de los meses hubo al menos 5 operaciones de emergencia de apendicitis? d. ¿Qué porcentaje de los meses hubo a lo más 3 operaciones de emergencia de apendicitis? e. ¿Qué porcentaje de los meses hubo 4 o 5 operaciones de emergencia de apendicitis? f. En la mayoría de los casos ¿Cuántas operaciones de apendicitis mensuales se realizaron? 5. En la medida de la presión arterial sistólica en milímetros de mercurio en un grupo de pacientes se obtienen los siguientes resultados: 120, 135, 160, 100, 155, 115, 165, 125, 130. Calcular e interpretar: a. rango, media y mediana. b. desviación estándar. c. Cuartiles (y graficarlos) 6. Para los datos del ejercicio 3, calcular e interpretar: a. media, moda, mediana b. desviación estándar. c. Cuartiles (y graficarlos). 7. En una comunidad el número de hijos por pareja viene dado por la siguiente tabla: Número de hijos 0

37

1

76

2

68

3

53

4

42

5

15

6

6

Calcular los cuartiles, graficarlos e interpretarlos. 90

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 8. Con objeto de conocer los valores sanguíneos del calcio en una determinada población, se realiza un estudio en un grupo de 25 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados: 8,7

10,2

9,1

9,6

9,5

9,2

9,8

9,6

9,4

8,8

9,3

9,2

9,2

9,2

8,9

8,3

9,5

9,3

8,4

8,7

10,1

9,1

9,7

8,7

9,5

a. Tabular los datos b. Calcular la media aritmética y la mediana de los datos tabulados. c. Calcular la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de los datos tabulados. 9. La hemoglobina en gramos por 100 ml de un grupo de pacientes se recoge en la siguiente tabla: hemoglobina en gramos por 100 ml

Frecuencia absoluta

[8 – 10)

4

[10 – 12)

10

[12 – 14)

25

[14 – 16)

12

[16 – 18)

8

a. En un mismo gráfico, dibuja el histograma y polígono de frecuencias. b. Calcula la media aritmética y la desviación típica e interprétala. c. Calcula y los cuartiles e interprétalos. 10. En un estudio sobre el peso de niños de dos años en dos países distintos A y B, se obtuvieron los siguientes resultados: en el país A el peso medio es 13 kg y la desviación típica 1,6 kg; en el país B el peso medio es 30 libras y la desviación típica 2 libras ¿En qué país hay mayor dispersión en cuanto al peso de los niños de dos años?

91

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 11. A continuación se muestran cuatro histogramas elaborados a partir de distribuciones de frecuencias relativas.

En cada caso: a. Indica si el sesgo es positivo, negativo o cero. Justifica tu respuesta. b. Compara la media y la mediana ¿Son iguales? Si no es así ¿Cuál es mayor? Justifica tu respuesta. 12. Los ritmos de respiración en reposo para estudiantes en edad universitaria están normalmente distribuidos, en forma aproximada, con una media de 12 y desviación estándar de 2,3 respiraciones por minuto. ¿Qué porcentaje de estudiantes en edad universitaria tienen ritmos de respiración en los intervalos siguientes? a. 9,7 a 14,3 respiraciones por minuto. b. 7,4 a 16,6 respiraciones por minuto. c. 9,7 a 16,6 respiraciones por minuto. d. Menos de 5,1 o más de 18,9 respiraciones por minuto. 13. Una compañía farmacéutica desea saber si un medicamento experimental tiene efecto sobre la presión sistólica de la sangre. A 15 pacientes seleccionados al azar se les aplicó el medicamento y después de un tiempo suficiente para que el medicamento tuviera efecto, se registraron sus presiones sistólicas. Los datos aparecen a continuación: 172

140

123

130

115

148

108

129

137

161

123

152

133

128

142

92

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática a. Calcular la media y la desviación estándar. b. Calcular, con el Teorema de Chebyshev, el intervalo de presión sistólica en el que debe estar al menos el 75% de los pacientes. c. Calcular el porcentaje real de lecturas de presión sanguínea que están en el intervalo anterior ¿Funcionó el teorema de Chebyshev? 14. En una encuesta nacional se encontró que los adultos duermen en promedio 6,9 horas por noche. Suponga que la desviación estándar es 1,2 horas. a. Calcular, con el teorema de Chebyshev, el porcentaje de individuos que duermen entre 4,5 y 9,3 horas. b. Calcular, con el teorema de Chebyshev, el porcentaje de individuos que duermen entre 3,9 y 9,9 horas. c. Calcular el porcentaje de individuos que duermen entre 4,5 y 9,3 horas suponiendo que el número de horas de sueño tiene una distribución en forma de campana. Soluciones: 1. a. objetivo: describir y caracterizar el crecimiento y desarrollo en el primer año de vida de los niños atendidos por el sistema público de salud en Chile. b. Población: niños atendidos por el sistema público de salud. c. Muestra: 723 recién nacidos seleccionados al azar en hospitales públicos de la región metropolitana. d. Variables: Sexo: variable dicotómica. Peso: variable continua. Talla: variable continua. Circunferencia cefálica: variable continua. Valoración de peso: variable ordinal. Número de hermanos: variable discreta. Edad de la madre: variable continua. 2. a. Variable: Motivo del último ingreso hospitalario del niño(a). b. La variable es nominal. Más específicamente, es multinomial. c. Los resultados pueden presentarse mediante un gráfico de barras (horizontales o verticales) o un gráfico circular. 3. a. 51 familias b. 13,7% c. 72,5% d. 27,5% 93

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática e. 54,9% f. 45,15% g. número de integrantes por familia 2

5

0,1

5

0,1

3

9

0,18

14

0,27

4

14

0,27

28

0,55

5

16

0,31

44

0,86

6

7

0,14

51

1

4. a. b. c. d. e. f.

5% 12% 25% 39% 36% En la mayoría de los meses se realizaron 4 operaciones mensuales de apendicitis.

5. a. Los valores observados están en un intervalo de 65 mm de mercurio; La presión arterial sistólica media del grupo de pacientes es 133,9 mm de mercurio; La mitad de los pacientes del grupo tienen al menos 130 mm de presión arterial. b. La presión arterial de los pacientes de la muestra se desvían, en promedio, 22 mm de mercurio respecto de la media. c. 25% de los pacientes tiene una presión arterial menor o igual a 117,5 mm de mercurio; 50% de los pacientes tiene una presión arterial menor o igual a 130 mm de mercurio; 75 % de los pacientes tiene una presión arterial menor o igual a 157,5 mm de mercurio.

94

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90

6. a. El número medio de integrantes por familia es 4,2 personas; La mitad de las familias entrevistadas está compuesta por al menos 4 personas; La mayoría de las familias tiene 5 integrantes. b. La cantidad de integrantes por familia se desvían, en promedio, 1,2 personas respecto de la media. c. 25% de las familias tiene 3 integrantes o menos; 50% de las familias tiene 4 integrantes o menos; 75% de las familias tiene 5 integrantes o menos.

95

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 7 6 5 4 3 2 1 0

7. 25% de las parejas tiene un hijo o menos; 50% de las parejas tiene 2 hijos o menos; 75% de las parejas tiene 3 hijos o menos. 7 6 5 4 3 2 1 0

96

Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática 8.

̅ IC

MC ( )

[8,25 – 8,65)

8,45

2

0,08

2

16,9

71,4

142,8

[8,65 – 9,05)

8,85

5

0,2

7

44,25

78,32

391,6

[9,05 – 9,45)

9,25

10

0,4

17

92,5

85,56

855,6

[9,45 – 9,85)

9,65

6

0,24

23

57,9

93,12

558,7

[9,85 – 10,25)

10,0,5

2

0,08

25

20,1

110,25

202,0

231,65

438,65

2150,7

Sumas

9. a. La hemoglobina media en gramos por 100 ml es de 13,34 g; La hemoglobina por 100ml de los pacientes de la muestra se desvían, en promedio, 2,15 g respecto de la media. b. 60% de los pacientes tiene una cantidad igual o inferior a 13,7 g de hemoglobina por 100 ml; 25% de los pacientes tiene una cantidad igual o inferior a 12,06 g de hemoglobina por 100 ml; 50% de los pacientes tiene una cantidad igual o inferior a 13,24 g de hemoglobina por 100 ml; 75% de los pacientes tiene una cantidad igual o inferior a 14,88 g de hemoglobina por 100 ml.

c. 10. La dispersión es mayor en el país A. 11. a. El histograma A es sesgado a la izquierda, su sesgo es negativo. Los histogramas B y D son sesgados a la derecha, sus sesgos son positivos. El histograma C es simétrico, su sesgo es cero.

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Guía de Ejercicios MTSL01 – Matemática Aplicada Disciplinas Básicas: Matemática b. En el histograma C la media y la mediana son iguales, pues es una distribución simétrica. En los histogramas B y D, la media es mayor que la mediana, pues los datos están sesgados a la derecha. En el histograma A, la mediana es mayor que la media, pues los datos están sesgados a la izquierda. 12. a. b. c. d.

68% 95% 81,5% 0,3%

13. a. ̅ b. Al menos 75% de los pacientes debe tener una presión sistólica entre 110 y 170. c. 86,6% de los pacientes tiene una presión sanguínea entre 110 y 170, por lo tanto, como se cumple el teorema de Chebyshev podemos confirmar la validez de los datos. 14. a. Al menos el 75%. b. Al menos el 84%. c. Cercar del 95%.

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