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• Marco Andrée

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES INGENIERIA INDUSTRIAL ECONOMETRIA IND-521

GUIA 5 HETEROCEDASTICIDAD CONCEPTO La Heterocedasticidad es la existencia de una varianza no constante en las perturbaciones aleatorias de un modelo econométrico.

DETECCION DE LA HETEROCEDASTICIDAD 1. CONTRASTES GRAFICOS Los gráficos pueden ser: 𝑌̂𝑖 𝑣𝑠 𝑋𝑖 𝑒𝑖 𝑣𝑠 𝑌̂𝑖 2 𝑒𝑖 𝑣𝑠 𝑌̂𝑖 , 𝑒𝑖 2 𝑣𝑠 𝑋𝑖 De media y varianza Donde el termino de perturbación (u) puede aproximarse con el valor de los errores (e). Se observa la dispersión de los datos entre las variables con el fin de identificar un patrón sistematico . 2. CONTRASTE DE GOLFELD QUAND 1) Planteamiento de la hipótesis 2) Ordenar según la variable 𝑋𝑖 (sospechosa) de manera creciente (para una relación directa entre 𝑒𝑖2 y 𝑋𝑖 ) o de manera decreciente (para una relación indirecta entre 𝑒𝑖2 y 𝑋𝑖 ) 3) Dividir las observaciones en 3 grupos (idealmente los subgrupos deberían tener el mismo tamaño). 1 1 𝑛 (𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟) → 𝑐 = 𝑛 𝑛(𝑝𝑎𝑟) → 𝑐 = 𝑛 3 5 𝑛 − 𝑐 − 2𝑘 4) Realizar el ajuste de MCO a las submuestras primera y tercera. 𝐺𝐿𝑖 = 2 5) Obtener SCE para cada grupo (𝑆𝐶𝐸1 y 𝑆𝐶𝐸2 respectivamente) i. Planteamiento de la hipótesis ii. Estadístico de prueba 2 2 2 2 𝐻𝑜: 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 = ⋯ = 𝜎𝑛 Homocedasticidad 𝑆𝐶𝐸1 𝜆= 2 Heterocedasticidad 𝐻𝑎: 𝜎1 = 𝑓(𝑋𝑖 ) 𝑆𝐶𝐸2 iii.

Contraste 𝜆≈ 𝑅𝑅: 𝜆 >

𝐺𝐿 ,𝐺𝐿 𝐹𝛼 1 2 𝐺𝐿1 ,𝐺𝐿2

𝑅𝑅: 𝜆 < 𝐹𝛼

𝐺𝐿 ,𝐺𝐿 𝐹𝛼 1 2

𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

iv. Conclusión A un nivel de significancia del …. se rechaza/se acepta la hipótesis principal. Existe Heterocedasticidad / Homocedasticidad

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3. CONTRASTE DE WHITE 1) Planteamiento de la hipótesis 2) Estimar por MCO la ecuación de regresión de interés para obtener 𝑒𝑖2 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢 3) Estimar por MCO la ecuación de regresión auxiliar para determinar 𝑅 2 𝑎𝑢𝑥 ; 2 2 𝑒𝑖2 = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 + 𝛼3 𝑋3𝑖 + 𝛼4 𝑋2𝑖 + 𝛼5 𝑋3𝑖 + 𝛼6 𝑋2𝑖 𝑋3𝑖 + 𝜀𝑖 4) Calcular el 𝑈𝐶 , sigue una distribución Ji-cuadrada con k-1 grados de libertad i. Planteamiento de la hipótesis ii. Estadístico de prueba 2 2 𝐻𝑜: 𝐸[𝑢𝑖 ] = 𝜎𝑢 Homocedasticidad 𝑈𝐶 = 𝑛𝑅 2 𝑎𝑢𝑥 Heterocedasticidad 𝐻𝑎: 𝐸[𝑢𝑖2 ] = 𝜎𝑖2 iii.

Contraste 2 𝑈𝐶 ≈ 𝑋𝑘−1 ,𝛼 2 𝑅𝑅: 𝑈𝐶 > 𝑋𝑘−1 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜 ,𝛼 2 𝑅𝑅: 𝑈𝐶 < 𝑋𝑘−1 ,𝛼 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

4.

iv. Conclusión A un nivel de significancia del …. se rechaza/se acepta la hipótesis principal. Existe Heterocedasticidad / Homocedasticidad

CONTRASTE DE BREUSCH – PAGAN

1) Planteamiento de la hipótesis 𝐻𝑜: 𝛼2 = 𝛼3 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 0 𝐻𝑜: 𝛼2 ≠ 𝛼3 ≠ ⋯ ≠ 𝛼𝑘 ≠ 0 2) Estimar por MCO el modelo original para obtener 𝑒𝑖 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋3𝑖 + 𝑢 3) Calcular el estimador de máxima verosimilitud MV de la varianza de perturbación. ∑𝑛𝑖=1 𝑒𝑖2 𝑒𝑖2 𝑒𝑖2 𝜎̂𝑢2 = → ( 2) = 𝑛 2 ∑𝑖=1 𝑒𝑖 𝑛 𝜎̂𝑢 𝑛 4) Obtener una serie de residuos estandarizados. 5) Estimar por MCO la ecuación de regresión auxiliar siguiente para determinar 𝑆𝐶𝐸𝑎𝑢𝑥 6) Calcular el estadístico de contraste. i. Planteamiento de la hipótesis ii. Estadístico de prueba 2 2 𝐻𝑜: 𝜎𝑖 = 𝜎𝑢 Homocedasticidad 𝑆𝐶𝐸𝑎𝑢𝑥 𝑈 = 𝐶 2 Heterocedasticidad 𝐻𝑎: 𝜎𝑖 ≠ 𝜎𝑢2 2 iii.

Contraste 𝑅𝑅: 𝑈𝐶 >

𝑈𝐶 ≈ 2 𝑋𝑘−1 ,𝛼

2 𝑋𝑘−1 ,𝛼

𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜

2 𝑅𝑅: 𝑈𝐶 < 𝑋𝑘−1 ,𝛼 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

iv. Conclusión A un nivel de significancia del …. se rechaza/se acepta la hipótesis principal. Existe Heterocedasticidad / Homocedasticidad

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5. CONTRASTE DE GLESJER 1) Planteamiento de la hipótesis 𝐻𝑜: 𝜎𝑖2 = 𝜎𝑢2 𝐻𝑎: 𝜎𝑖2 = 𝛿1 + 𝛿2 𝑋𝑗𝑖ℎ 2) Estimar por MCO la que resultaría como mejor de las relaciones para poder realizar la prueba de significación estadística. 3) Calcular el estadístico de contraste

i.

Planteamiento de la hipótesis 𝐻𝑜: 𝛿2 = 0 Homocedasticidad 𝐻𝑎: 𝛿2 ≠ 0

iii.

Donde 𝑒𝑖 se obtiene de la regresión original: ℎ 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1 1 −2, −1, − , , 1,2 2 2 |𝑒𝑖 | = 𝛿̂1 + 𝛿̂2 𝑋𝑖 |𝑒𝑖 | = 𝛿̂1 + 𝛿̂2 √𝑋𝑖 2 |𝑒𝑖 | = 𝛿̂1 + 𝛿̂2 𝑋𝑖 1 ̂1 + 𝛿̂2 |𝑒 | = 𝛿 𝑖 1 𝑋𝑖 |𝑒𝑖 | = 𝛿̂1 + 𝛿̂2 √𝑋𝑖 |𝑒 | = 𝛿̂ + 𝛿̂ 1 𝑖 1 2 2 𝑋𝑖 ii. Estadístico de prueba 𝑡𝐶 =

Heterocedasticidad

Contraste

iv. Conclusión A un nivel de significancia del …. se rechaza/se acepta la hipótesis principal. Existe Heterocedasticidad / Homocedasticidad

𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2

𝑅𝑅: 𝑡𝐶 >

𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2

𝛿̂2 − 0 𝜎𝛿̂2

𝑡𝐶 ≈ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜

𝑅𝑅: 𝑡𝐶 < 𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

6. CONTRASTE DE PARK Regresión logarítmica: 𝑙𝑛𝑒𝑖2 = 𝛼̂ + 𝛽̂ 𝑙𝑛𝑋2𝑖 i. Planteamiento de la hipótesis 𝐻𝑜: 𝜎𝑖2 = 𝜎𝑢2 Homocedasticidad 𝐻𝑎: 𝜎𝑖2 iii.

≠ 𝜎𝑢2

ii.

𝑡𝐶 =

Heterocedasticidad

Contraste 𝑡𝐶 ≈ 𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2 𝑛−𝑘 |𝑡 | 𝑅𝑅: 𝐶 > 𝑡 𝛼/2 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜 𝑅𝑅: |𝑡𝐶 | < 𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

Estadístico de prueba 𝛽̂ − 0 𝜎𝛽̂

iv. Conclusión A un nivel de significancia del …. se rechaza/se acepta la hipótesis principal. Existe Heterocedasticidad / Homocedasticidad

7. CONTRASTE DE RANGOS DE SPERMAN 1) Asignar un numero que identifique el orden ascendente (𝑅) de los valores de 𝑋𝑖 y |𝑒𝑖 | 2) Obtener la diferencia de orden entre ambos paara cada valor: 𝑅𝑋𝑖 − 𝑅|𝑒𝑖 | 3) Calcular los valores de 𝑑𝑖2 y su sumatoria. 4) Calcular el coeficiente de correlacion entre rangos de Sperman:𝑟𝑆 = 1 −

6∗∑ 𝑑𝑖2

𝑛(𝑛2 −1)

NOTA: Obtener 𝒆𝒊 de la regresión original

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i.

Planteamiento de la hipótesis

𝐻𝑜: 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝐻𝑎: 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 iii.

Contraste 𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2

𝑅𝑅: |𝑡𝐶 | >

𝑡𝐶 ≈ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜

𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2

𝑅𝑅: |𝑡𝐶 | < 𝑡 𝑛−𝑘 𝛼/2 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

ii.

Estadístico de prueba 𝑡𝐶 =

𝑟𝑠 ∗ √𝑛 − 2 √1 − 𝑟𝑠 2

iv. Conclusión A un nivel de significancia del …. se rechaza/se acepta la hipótesis principal. Existe Heterocedasticidad / Homocedasticidad

8. PRUEBA DE PICOS Supone un crecimiento del error a medida que crece 𝑋𝑖 sospechosa 1) Ordenar los datos en forma creciente según la variable sospechosa 2) Obtener |𝑒𝑖 | 3) Identificar el nuemro de picos (p) mediante: |𝑒𝑖 | > |𝑒𝑖−1 |, donde |𝑒𝑖−1 | representa todos los valores anteriores. i. Planteamiento de la hipótesis ii. Estadístico de prueba 𝐻𝑜: 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐻𝑎: 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 iii.

Contraste 1−𝑝 ≈𝛼 𝑅𝑅: 1 − 𝑝 > 𝛼 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝐻𝑜 𝑅𝑅: 1 − 𝑝 < 𝛼 𝑆𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑝𝑡𝑎 𝐻𝑜

1−𝑝 iv. Conclusión A un nivel de significancia del …. se rechaza/se acepta la hipótesis principal. Existe Heterocedasticidad / Homocedasticidad

METODOS DE SOLUCION DE LA HETEROCEDASTICIDAD 1. Estructura Heterocedastica conocida METODO DE MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS (MCG): Transformar la regresión dividiendo cada miembro con la desviación estándar del termino de perturbación. Transformación del modelo: 1 0 𝑌𝑖 𝛽1 𝛽2 𝑋2𝑖 𝛽3 𝑋3𝑖 𝛽𝑘 𝑋𝑘𝑖 𝑢𝑖 2 0 𝜎 = + + +⋯+ + 1 𝜎12 0 0 1 𝜎𝑖 𝜎𝑖 𝜎𝑖 𝜎𝑖 𝜎𝑖 𝜎𝑖 ᾨ−1 = 0 2 0 ᾨ = [ 0 𝜎22 0 ] 𝜎2 2 𝑌𝑖 ∗ = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 ∗ + 𝛼3 𝑋3𝑖 ∗ + ⋯ + +𝛼𝑘 𝑋𝑘𝑖 ∗ + 𝑢𝑖 ∗ 1 0 0 𝜎3 0 0 𝜎32 ] [

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Calculo de los estimadores con la matriz ᾨ conocida. Métodos de los minimos Cuadrados Ponderados (MCP):

2 𝜎̂𝑀𝐶𝐺 =

𝛽̂𝑀𝐶𝐺 = (𝑋 𝑇 ᾨ−1 𝑋)−1 (𝑋 𝑇 ᾨ−1 𝑌)

𝑒 𝑇 ᾨ−1 𝑒 𝑛−𝑘

2 𝑉[𝛽𝑀𝐶𝐺 ] = 𝜎̂𝑀𝐶𝐺 ∗ (𝑋 𝑇 ᾨ−1 𝑋)−1

𝑇

Donde: ᾨ = 𝑃 𝑃 2. Estructura Heterocedastica NO conocida Se establece una forma funcional de 𝜎𝑢 con respecto a la variable explicativa responsable de heterocedasticidad, y se divide cada miembro del modelo estimado por MCO entre la raíz de dicha variable. Forma funcional de 𝜎𝑢 :

Matriz de transformación de Aitken: ᾨ = 𝑃𝑇 𝑃

𝑉[𝑢] = 𝐸[𝑢𝑖2 ] = 𝜎𝑢2 ∗ 𝑋𝑖ℎ Donde h denota la forma funcional de 𝑋𝑖 .

Se demuestra:

Transformación del modelo:

Donde:

𝑌𝑖 √𝑋𝑖ℎ

=

𝛽1

+

√𝑋𝑖ℎ

𝛽2 𝑋2𝑖

+

√𝑋𝑖ℎ

𝛽3 𝑋3𝑖

+ ⋯+

√𝑋𝑖ℎ

𝛽𝑘 𝑋𝑘𝑖 √𝑋𝑖ℎ

𝑃𝑇 ᾨ−1 𝑃 = 1 𝑢𝑖

1

√𝑋𝑖ℎ

√𝑋𝑖ℎ

+

ᾨ−1 =

0

𝑌𝑖 ∗ = 𝛼1 + 𝛼2 𝑋2𝑖 ∗ + 𝛼3 𝑋3𝑖 ∗ + ⋯ + +𝛼𝑘 𝑋𝑘𝑖 ∗ + 𝑢𝑖 ∗

Nota: se puede observar la forma funcional de la variable X que genera heterocedasticidad de la prueba de Glejser. 3. Transformación logarítmica Reduce la incidencia de la heterocedasticidad en el modelo.

0

0

0

1 0 √𝑋𝑖ℎ 0

[

1 √𝑋𝑖ℎ

]

𝑙𝑛𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑙𝑛𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑙𝑛𝑋3𝑖 + ⋯ + +𝛽𝑘 𝑙𝑛𝑋𝑘𝑖 + 𝑢𝑖

EJERCICIOS DE CLASE 1. Con los datos de la siguiente tabla verifique la existencia de heterocedasticidad. Y

21

1

25

18

14

47

38

3

13

X

600

100

800

500

400

900

700

200

300

a) b) c) d) e) f)

Mediante.: Método grafico Contraste de Golfeld-Quandt Contraste de White Contraste de Breush Pagan Contraste de Glesjer Contraste de Park

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g) Prueba de picos h) ¿Cuál sería el procedimeinto mas adecuado para evitar posible problema de heterocedasticidad? 2. Dado el modelo 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + 𝑢𝑖 𝑌𝑡 𝑋2𝑡

10 1

35 3

45 5

Se sabe que la matriz de varianzas – covarianzas de las perturbaciones es 𝜎 2 ᾨ donde: 1 0,6 0,2 ᾨ = [0,6 0,8 0,6] 0,2 0,6 0,9 a) Son estocásticamente independientes 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 b) Estimese 𝛽1, 𝛽2 y 𝜎 2 por MCO . asi como la matriz de varianzas – covarianzas del estimador MCO

PRACTICA N° 5 1. Dado el modelo 𝑪𝑶𝒕=𝜷𝟏+𝜷𝟐𝑪𝑬𝒕+𝒖𝒊 donde CO es la calificación obtenida y CE la calificación esperada, y teniendo en cuenta los siguientes datos:

Contraste la posible presencia de problemas econométricos en el modelo, por: a) b) c) d) e) f) g) h)

Método grafico Contraste de Golfeld-Quandt Contraste de White Contraste de Breush Pagan Contraste de Glesjer Contraste de Park Prueba de picos ¿Cuál sería el procedimeinto más adecuado para evitar posible problema de heterocedasticidad?

2. La venta de periódicos que circula en una determinada ciudad depende de los puntos de venta que tiene cada empresa y del nivel de ingresos de los habitantes de la zona de influencia de los mismos. Se ha tomado una muestra de 20 observaciones para la estimación del modelo y cuyos resultados son:

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a) Verifique la existencia de Heterocedasticidad b) Indique que regresión auxiliar es mas significativa (Justifique su respuesta). c) A la luz de los anteriores resultados, establezca una posible estructura de la heterocedasticidad. d) ¿Cuál sería el procedimiento más adecuado para evitar la heterocedasticidad? 3. Dado el modelo 𝑌𝑡 = 𝛽1 + 𝛽2 𝑋2𝑡 + 𝑢𝑖 𝑌𝑡 𝑋2𝑡

5 2

-1 -4

8 7

Se sabe que la matriz de varianzas – covarianzas de las perturbaciones es 𝜎 2 ᾨ donde: 3 −1 1 ᾨ = [−1 5 −1] 1 −1 3 a) Son estocásticamente independientes 𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 b) Estimese 𝛽1, 𝛽2 y 𝜎 2 por MCO . asi como la matriz de varianzas – covarianzas del estimador MCO c) Estimese 𝛽1, 𝛽2 y 𝜎 2 por MCG . asi como la matriz de varianzas – covarianzas del estimador MCG.

FECHA DE PRESENTACION 04/11/20 HASTA LAS 23:59 PM.

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