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Contextualización temática. Tema o unidad temática: Sucesiones Objetivo o Evidencia de aprendizaje : Resuelve problemas de tipo matemático mediante la modelación de Sucesiones, Desarrollo Exploración (de pre saberes); ¿Las matemáticas son ordenadas? Conceptualización SUCESIONES: Definiciones 1) Es un conjunto de números: a 1 ,a 2 ……………… a n , dispuestos en un orden definido y que guardan una determinada ley de formación, que se expresa por una formula 2) Una sucesión genérica se simboliza por a1, a2, a3, ..., an , ... o más simplificadamente {an}. En la que el subíndice denota, con toda exactitud, el lugar que cada término ocupa en la misma. Los subíndices recorren los números naturales porque una sucesión tiene tantos elementos como números naturales hay; es decir, una sucesión tiene una cantidad infinita numerable de términos. 3) El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término enésimo. 4) Una sucesión de números reales es una función de N en R, en la cual se asigna a cada número natural n un número real 5) Una SUCESIÓN NUMÉRICA es un conjunto ordenado de números, que se llaman TÉRMINOS de la sucesión. Cada término se representa por una letra y un subíndice que indica el lugar que ocupa dentro de ella. Ejemplo { 40, 35, 30, 25, 20, 15, … } donde 𝑎1 = 40 𝑎2 = 35 𝑎3 = 30 𝑎4 = 25 𝑎5 = 20 𝑎6 = 15 TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN. El TÉRMINO GENERAL ( ó TÉRMINO n-ÉSIMO ) an , de una sucesión es una fórmula que nos permite calcular cualquier término de la sucesión en función del lugar que ocupa. Por ejemplo, en la sucesión de los cuadrados perfectos, cada término se obtiene elevando al cuadrado el lugar que ocupa en ella: a1 = 12 = 1 , a2 = 22 = 4 , a3 = 32 = 9 , a4 = 42= 16 , ..... En esta sucesión, el término general será: an = n2 CÁLCULO DEL TÉRMINO DE UNA SUCESIÓN: Ejemplos 1) Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones: 𝑎)𝑎𝑛 =2n + 3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Remplazamos a n por los valores 1,2.3,4 y 5 𝑎1 = 2(1) + 3 = 2 + 3 =5 𝑎2 = 2(2)+3 = 4+3 =7 𝑎3 = 2(3)+3 =6+3 = 9 𝑎5 = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13 𝑎𝑛 = { 8, 7, 9, 11, 13, …}

𝑎4 = 2(4)+3 = 8+3 =11

La sucesión es creciente 𝑛+2

b) 𝑎𝑛 = 2 𝑛 Solución 1+2 3 𝑎1 = 2 = = 3 1 1

𝑎2 =

2+2 4 = =1 22 4

𝑎3 =

3+2 5 = 2 3 9

𝑎4 =

4+2 6 = 2 4 16

𝑎𝑛 ={ 3, 1, 5/9, 6/16, 7/25, …} La sucesión es decreciente 2) Calcula el término tercero de la sucesión cuyo término general 𝑎𝑛 = n -3 Solución

𝑎5 =

5+2 7 = 2 5 25

𝑎3 = 3 − 3 = 0

CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES UNA SUCESIÓN ES MONÓTONA CRECIENTE si cada término de la sucesión es mayor o igual que el término anterior. sucesión creciente, si y sólo si: a n < an+1 ∀ n∈N Ejemplo: an = 2 n = {2,4,8,16,32,…} UNA SUCESIÓN ES MONÓTONA DECRECIENTE si cada término de la sucesión es menor o igual que el término anterior, si y sólo si: an ≥ an+1 ∀ n∈IN UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d .Así, si {a n} es una progresión aritmética, se verifica que: an = an - 1 + d Para halla un término de la sucesión aritmética se utiliza la fórmula: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + ( 𝑛 − 1)𝑑 La suma de los primeros términos de unas sucesión aritmética se usa la fórmula: Sn =

𝑛 ( 𝑎1 +𝑎𝑛 ) 2

Ejemplos 1) De las siguientes sucesiones indica las que son progresiones aritméticas y halla su diferencia a) 10, 9, 8, 7… b) 2, −3 , −6, −10… Solución Solución 7 – 8 = -1 -10 – (-6) = -10 +6 = -4 8 – 9 = -1 -6 – (-3) = -6 + 3 = -3 9 – 10 = -1 -3 – 2 = -5 Hay diferencia es -1, por lo tanto es sucesión aritmética No hay diferencia, no es sucesión aritmética

APLICACIÓN DE LA SUCESIÓN ARITMÉTICA a) El sueldo de un trabajador es de $950.000 mensuales y cada año se incrementa en $50.000. Calcular cuánto dinero ganará en los 10 años siguientes. Solución: a1 = 950.000 ( primer sueldo) d = 50.000 ( incremento de cada año) n = 10 an = a10 Entonces a10 = a1 + (n – 1) d a10 = 950.000 + ( 10 – 1) 50.000 a10 = 950.000 + 9x50.000 a10 = 950.000 + 450.000 a10 = 1,400.000 Hallamos en total, en el año n-ésimo el sueldo es 10 años, utilizamos la formula Sn = 10( 950.000 + 1,400.00) 𝑆𝑛 = 2 10 ( 2,350.000) 𝑆𝑛 = 2 23,500.000 𝑆𝑛 = 2

𝑛 ( 𝑎1 +𝑎10 ) 2

𝑆𝑛 = 11,750.000 R/ En 10 años, la cifra asciende a $11,750.000

b) La dosis de un medicamento es 100mg el primer día y 5mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos tiene que tomar durante todo el tratamiento? Solución

Tenemos a1 = 100mg

a12 = a1 + (n – 1) d a12 = 100 + ( 12 – 1 )(-5) a12 = 100 + (11)(- 5 ) a12 = 100 + ( - 55) a12 = 100 - 55 a12 = 45

d= -5

n = 12 días

an = a12

Calculamos la suma de los 12 días Sn =

𝑛 ( 𝑎1 +𝑎10 )

12 ( 100 +45) 2 12 ( 145) S12 = 2 1740 Sn = 2

2

S12 =

Sn = 870 mg

R/ Durante el tratamiento tiene que tomar 870mg

UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA es una sucesión en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r . Así, si {a n} es una progresión geométrica, se verifica que: an = an - 1 · r Término general de una progresión geométrica está dado por : an = a1 · rn – 1 Ejemplos 1) De las siguientes sucesiones indica las que son progresiones geométricas y halla su razón: a) 2, 4, 8, 16, … b) 1, 3, 9, 36… Solución: Solución 16 ÷ 8 = 2 36 ÷ 9 = 4 8 ÷4=2 9 ÷ 3=3 4 ÷2=2 3 ÷1=3 La razón es 2, entonces es sucesión geométrica No hay razón porque hay numero diferente, entonces la Sucesión no es geométrica

APLICACIÓN DE LA SUCESION GEOMETRICA 1) En cierto cultivo, inicialmente, había 1 000 amebas que se reproducen por bipartición (duplica) cada día. ¿Cuántas amebas habrá al cabo de 30 días desde que se inició el cultivo? Solución: Sea a1= 1 000 el número de amebas inicialmente a2 = 1000 ⋅ 2 = 2 000 el número de amebas al cabo de un día. a3 = 2 000 ⋅ 2 = 4 000 el número de amebas al cabo de dos días. Entonces a1, a2 ,a3 , ..., es una progresión geométrica de razón 2. Al cabo de 30 días ⇒ n = 30, el número de amebas será: an = a1 · rn – 1 ⇒ a30 = 1000 ⋅ 2 30 -1 ⇒ a30 = 1000 ⋅ 2 29 ⇒ a30 = 1000 x 536870912 = 536 870 912 000, es decir, aproximadamente tendremos 537 mil millones de amebas 2) Se toma un folio de papel que tenga un espesor de 0,2 mm; se dobla el folio por la mitad, con lo que se obtienen dos cuartillas de grosor doble al folio; se dobla nuevamente, y se obtienen cuatro octavillas con un grosor cuádruple al folio. Suponiendo que la hoja inicial fuese tan grande que se pudiese repetir la operación 30 veces, ¿qué grosor tendría el fajo resultante? Solución: La sucesión de grosores es: 0,2; 0,4; 0,8; ... Por tanto, es una progresión geométrica de razón 2 Calculemos el término trigésimo: a30 = a1 ⋅r30-1 = 0,2⋅ 229 = 107 374 182 mm, es decir, aproximadamente 107 km.

Actividad de construcción conceptual:

TALLER 1 1 Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones: a) an = 5n + 7 b) an = n – 3 𝑛2 +2

c) 𝑎𝑛 = 2 d) 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 1 𝑛 2 e) 𝑎𝑛 + 2

𝑛

2 De las anteriores sucesiones indica cuales son crecientes o decrecientes 3 De las siguientes sucesiones indica las que son progresiones aritméticas y halla su diferencia: a) 4, 6, 8, 15… b) 1, 7, 13, 19… c) 3, 3.1, 3.01, 3.001… d) −3, 1, 5, 9… e) 3.6, 4.2, 4.8, 5.4… f) 2, −2, −6, −10… 4 De las siguientes sucesiones indica las que son progresiones geométricas y halla su razón: a) 3, 6, 12, 24… b) 1, 3, 3, 27… c) 1, 7, 13, 19… d) 2, 6, 18, 54… e) 1, 4, 9, 16… f) 10, 5, 2.5, 1.25… TALLER 2 1) Un estudiante del Comunal se propone el día 1 de julio repasar matemáticas durante una quincena, haciendo cada día 2 ejercicios más que el día anterior. Si el primer día empezó haciendo un ejercicio: a ¿Cuántos ejercicios le tocará hacer el día 15 de septiembre? b ¿Cuántos ejercicios hará en total? 2) En un edificio, el primer piso se encuentra a 7,40 metros de altura, y la distancia entre dos pisos consecutivos, es de 3,80 metros. ¿A qué altura está el 9 piso? 3) En una urbanización realizaron la instalación del gas natural en el año 1999. Consideramos que en ese momento se hizo la primera revisión. Sabiendo que las revisiones sucesivas se realizan cada 3 años. ¿En qué año se realizará la décima revisión? 4) 5) 4) Un joven ahorra cada mes $500 más que el mes anterior. Comienza con $5.000 en un año cuántos es sus ahorros 6) 7) 5) Un padre proyecta colocar en un baúl $ 100 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en todos los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego? 6) El número de bacterias de un cultivo se duplica cada hora. Si al principio había 300000 ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 5 horas? 7) Se toma un folio de papel que tenga un espesor de 0,05 mm; se dobla el folio por la mitad, con lo que se obtienen dos cuartillas de grosor doble al folio; se dobla nuevamente, y se obtienen cuatro octavillas con un grosor cuádruple al folio. Suponiendo que la hoja inicial fuese tan grande que se pudiese repetir la operación 40 veces, ¿qué grosor tendría el fajo resultante?

8) En un cultivo de bacterias, que se reproducen por bipartición cada 30 minutos, había inicialmente 10 bacterias. Averigua cuántas bacterias habrá al cabo de 12 horas.

EVALUACIÓN PARCIAL 1) Una sucesión es: a) Un conjunto infinito de números. b) Cualquier conjunto de números ordenados de menor a mayor. c) Todo conjunto de números ordenados.

6-En una progresión aritmética cada termino se obtiene: a) Sumando un valor constante al término anterior b) Multiplicando cada término por un valor constante. c) Sumando los dos términos anteriores.

2) Para tener una sucesión es imprescindible que los números que la forman: a) Sean infinitos. b) Tengan una ley de formación. c) Estén ordenados.

7) En una progresión aritmética el valor constante que se suma al término anterior para hallar el siguiente recibe el nombre de: a) Constante. b) Suma. c) Diferencia.

3) En la sucesión 1, 2, 2, 4, 8, 32,…. a) Cada término es un número par. b) Cada término se obtiene multiplicando los dos anteriores. c) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2.

8) La sucesión de término general an = 7 – 5(n2 ): a) No es una progresión. b) Es una progresión aritmética. c) Es una progresión geométrica

4) El siguiente término de la sucesión 2, 3, 5, 7, 11, 13,… es: a) 15. b) 17. c) 19. 5) El término quinto de la sucesión con el termino general an = n2 – 2·n vale: a) 25. b) 15. c) 5 11) El valor por el que se multiplica cada término de una progresión geométrica para obtener el siguiente se llama: a) Razón. b) Factor. c) Constante. 12) En una progresión geométrica cada termino se obtiene: a) Sumando un valor constante al término anterior. b) Multiplicando cada término por un valor constante. c) Sumando los dos términos anteriores.

9.La diferencia de la progresión aritmética 2, -4, 6, -8, 10,… vale: a) 2. b) -2. c) No es una progresión aritmética. 16. 10-Un hortelano tiene un manzano. El primer año le dio sólo 5 manzanas, pero después cada año le ha dado siempre 60 manzanas más que en el año anterior. Si esto le ocurrió durante 10 años, ¿cuántas manzanas recogió el 10º año? a) 545 b) 2750 c) No es posible calcular el valor porque cada año se recogen las manzanas. 13) La razón de la progresión 64, 32, 16, 8, 4,… vale: a) 2. b) 0,5. c) No es una progresión geométrica. 14) La sucesión 1, 5, 25, 125, 625,... es una sucesión... a) geométrica bI decreciente c ) aritmética