• Author / Uploaded
• Francisco Morales Hernandez

Citation preview

NOMBRE:

JOSE​ ​FRANCISCO​ ​MORALES​ ​HERNANDEZ

GRUPO:

8122

PROF.:

FIDEL​ ​RODRÍGUEZ​ ​DE​ ​LOS​ ​SANTOS

MATERIA:

CÁLCULO​ ​DIFERENCIAL​ ​E​ ​INTEGRAL

SEMESTRE:

SEGUNDO

ACTIVIDAD:

GUÍA​ ​DE​ ​EVALUACIÓN​ ​No.​ ​3 “DERIVADA​ ​DE​ ​UNA​ ​FUNCIÓN”

F.​ ​ENTREGA:

15​ ​DE​ ​OCTUBRE​ ​DE​ ​2017

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

Sección​ ​1.​ ​Utiliza​ ​la​ ​definición​ ​de​ ​la​ ​derivada​ ​para​ ​encontrarla​ ​en​ ​los​ ​siguientes​ ​ejercicios. Realiza​ ​su​ ​gráfica​ ​y​ ​explica​ ​los​ ​resultados.​ ​Resuelve​ ​únicamente​ ​los​ ​ejercicios​ ​PARES Definición​ ​de​ ​la​ ​derivada​ ​f(x): f ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x) h

2) f(x)​ ​=​ ​4x​ ​–​ ​1

f ′(x) = limh→0

(4(x+h)−1)−(4x−1) h

f ′(x) = limh→0

4x+4h−1−4x+1 h

f ′(x) = limh→0

4h h

f ′(x) = limh→0

h(4) h

f ′(x) = limh→0 4 = 4 f ′(x) = 4

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

4) f(x)​ ​=​ ​-5x

f ′(x) = limh→0

−5(x+h)−(−5x) h

f ′(x) = limh→0

−5x−5h+5x h

f ′(x) = limh→0

5h h

f ′(x) = limh→0

h(−5) h

f ′(x) = limh→0 − 5 =− 5 f ′(x) =− 5

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

6) f(x)​ ​=​ ​1​ ​-​ ​ 21 x f ′(x) = limh→0

1− 12(x+h)−(1− 12x) h

f ′(x) = limh→0

1− 12x− 12h−1+ 12x h

f ′(x) = limh→0

− 12h h

f ′(x) = limh→0

h(− 12) h

f ′(x) = limh→0 −

1 2

=−

1 2

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos f ′(x) =−

1 2

8) f(x)​ ​=​ ​7.01

f (x) = limh→0

f (x+h)−f (x) h

f ′(x) = limh→0

7.01−7.01 h

f ′(x) = limh→0

0 h

′

f ′(x) = limh→0 0 = 0 f ′(x) = 0

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

f(x)​ ​=​ ​x2​ ​​ ​+​ ​5x​ ​+​ ​1

f ′(x) = limh→0

f ′(x) = limh→0

x2 +2xh+h2 +5x+5h+1−x2 −5x−1 h

f ′(x) = limh→0

2xh+h2 +5h h

f ′(x) = limh→0

h(2x+h+5) h

f ′(x) = limh→0 2x + 0 + 5

[(x+h)2 +5(x+h)+1]−(x2 +5x+1) h

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos f ′(x) = limh→0 2x + 5 = 2x + 5 f ′(x) = 2x + 5

12) f(x)​ ​=​ ​x2​ ​​ ​–​ ​x​ ​–​ ​3 f ′(x) = limh→0

(x+h)2 −(x+h)−3−x2 +x+3 h

f ′(x) = limh→0

x2 +2xh+h −x−h−3−x2 +x+3 h

f ′(x) = limh→0

2xh+h2 −h h

f ′(x) = limh→0

h(2x+h−1) h

2

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos f ′(x) = limh→0 2x − 1 = 2x − 1 f ′(x) = 2x − 1

14) f(x)​ ​=​ ​ 7 + 2x – 3x2 f ′(x) = limh→0

7+2(x+h)−3(x+h)2 −7−2x+3x2 h

f ′(x) = limh→0

7+2x+2h−3x2 −6xh−3h2 −7−2x+3x2 h

f ′(x) = limh→0

2x−6xh−3h2 h

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos f ′(x) = limh→0 2 − 6x − 3h = 2 − 6x f ′(x) = 2 − 6x

3 16) f(x)​ ​=​ ​ x+2

f ′(x) = limh→0 f ′(x) = limh→0

3 3 x+h+2 − x+2

h 3(x+2)−3(x+2+h) (x+h+2)(x+2)

h

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos f ′(x) = limh→0

3(x+2)−3(x+2)−3h h(x+2+h)(x+2)

f ′(x) = limh→0

−3h (x+2)2 h(x+2)

f ′(x) =

=

−3h (x+2)2

−3h (x+2)2

Sección​ ​2.​ ​En​ ​los​ ​siguientes​ ​ejercicios​ ​encuentra,​ ​en​ ​caso​ ​de​ ​que​ ​exista,​ ​la​ ​pendiente​ ​de​ ​la​ ​recta tangente​ ​a​ ​las​ ​curvas​ ​indicadas​ ​en​ ​los​ ​puntos​ ​dados.​ ​Realiza​ ​su​ ​gráfica​ ​y​ ​explica​ ​los resultados​ ​Resuelve​ ​todos​ ​los​ ​ejercicios 1) y​ ​=​ ​x2​ ​​ ​+​ ​4

p(-2,​ ​8)

La​ ​derivada​ ​es:

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos y ′ = 2x

⇒

y ´ = (− 2) = 2(− 2) =− 4

⇒

y 1 − 8 =− 4(x + 2)

⇒

y 1 =− 4x

2) y​ ​=​ ​1​ ​–​ ​x2​

es la derivada en el punto p(− 2, 8)

p(1,​ ​0) Ejemplo

Derivada​ ​y´=​ ​-2​ ​ ​ ​que​ ​es​ ​la​ ​pendiente​ ​de​ ​la​ ​recta​ ​tangente​ ​en​ ​ese​ ​punto:

Cálculo​ ​de​ ​la​ ​tangente​ ​utilizando​ ​el​ ​punto​ ​(1,0):​ ​y​ ​–​ ​0​ ​=​ ​-2(x-1)​ ​->​ ​y=-2x​ ​+​ ​2​ ​Recta​ ​tangente

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

3) y​ ​=​ ​4x2​ ​​ ​–​ ​5

cuando​ ​x​ ​=​ ​0

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos La​ ​derivada​ ​es: y ′ = 8x

⇒

la derivada en x = 0 es :

y ′(0) = 0

⇒

la recta con x = 0 es :

y (x) = 4 * 0 − 5 =− 5

⇒

y r + 5 = 0(x − 0) = 0

⇒

y r =− 5

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

4) y​ ​=​ ​ √x

cuando​ ​x​ ​=​ ​1

La​ ​derivada​ ​es:

y ′ = ( 21 )( √1x )

⇒ y ′(1) =

la derivada en x = 1 es :

1 2

en x = 1 tenemos : y ′(1) = 1 la ecuación de la recta tangente en el punto p(1, 1) es : (y r − 1) = 21 (x − 1)

⇒

y r = 21 x +

1 2

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

Sección​ ​3.​ ​En​ ​los​ ​siguientes​ ​ejercicios​ ​encuentra​ ​la​ ​ecuación​ ​de​ ​la​ ​recta​ ​tangente​ ​a​ ​la​ ​curva​ ​en el​ ​punto​ ​señalado.​ ​Realiza​ ​su​ ​gráfica​ ​y​ ​explica​ ​los​ ​resultados​ R ​ esuelve​ ​únicamente​ ​los ejercicios​ ​PARES 2)​ ​y​ ​=​ ​3x2​ ​​ ​–​ ​4

p(1,​ ​-1)

La​ ​derivada​ ​es: y ′ = 6x ⇒ y ′(1) = 6

⇒

la ecuación de la recta tangente es :

y r + 1 = 6(x − 1)

⇒

y r = 6x − 7

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

​ ​ ​ ​ ​ ​ ​4)​ ​y​ ​=​ ​(x​ ​–​ ​7)2​

p(6,​ ​1)

La​ ​derivada​ ​es: y ′ = 2(x − 7) ⇒ y ′(6) = 2(6 − 7) =− 2

⇒

la ecuación de la recta tangente es :

y r − 1 =− 2(x − 6)

⇒

y r =− 2x + 13

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

5 ​ ​ ​ ​ ​ ​6)​ ​y​ ​=​ ​ 1−3x

p(2,​ ​-1)

La​ ​derivada​ ​es:

y′ =

5 (− (1−3x)2

3) =

⇒

15 (1−3x)2

⇒ y ′(2) =

15 (1−3(2))2

15 (−5)2

=

15 25

la ecuación de la recta tangente es :

y r + 1 = 53 (x − 2)

⇒

=

y r = 53 x − 56 − 1 = 53 x −

11 5

=

3 5

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

Sección​ ​4.​ ​En​ ​los​ ​siguientes​ ​problemas​ ​se​ ​presentan​ ​funciones​ ​de​ ​costos,​ ​donde​ ​c​ ​representa​ ​el​ ​costo​ ​de producir​ ​q​ ​unidades​ ​de​ ​un​ ​producto.​ ​Para​ ​cada​ ​uno​ ​de​ ​los​ ​casos​ ​encuentra​ ​la​ ​función​ ​de​ ​costo​ ​marginal. Además,​ ​calcula​ ​el​ ​valor​ ​del​ ​costo​ ​marginal​ ​para​ ​los​ ​valores​ ​dados​ ​de​ ​q.​ ​Resuelve​ ​únicamente​ ​los​ ​ejercicios PARES

2)​ ​c​ ​=​ ​5000​ ​+​ ​6q

q​ ​=​ ​36

E l costo marginal es la derivada CM =

dc dq

=6

⇒

C M (36) = 6

4)​ ​c​ ​=​ ​0.1q2​ ​​ ​+​ ​3q​ ​+​ ​2

q​ ​=​ ​3

E l costo marginal es la derivada CM =

dc dq

= 2(0.1)q + 3 = 0.2q + 3

⇒

C M (3) = 0.2(3) + 3 = 3.6

6)​ ​0.04q3​ ​​ ​–​ ​0.5q2​ ​​ ​+​ ​4.4q​ ​+​ ​7500

q​ ​=​ ​5;​ ​q​ ​=​ ​25​ ​y​ ​q​ ​=​ ​1000

E l costo marginal es la derivada C M = 3(0.04)q 2 − 2(0.5)q + 4.4 = 0.12q 2 − q + 4.4

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos C M (5) = 0.12(25) − 5 + 4.4 = 2.4

⇒

C M (25) = 0.12(25)2 − 25 + 4.4 = 54.4 C M (1000) = 0.12(1000)2 − 1000 + 4.4 = 119004.4

Sección​ ​5.​ ​Los​ ​siguientes​ ​problemas​ ​presentan​ ​funciones​ ​de​ ​costo​ ​promedio​ ​ (c) ​ ​por​ ​unidad, las​ ​cuales​ ​son​ ​función​ ​del​ ​número​ ​de​ ​q​ ​unidades​ ​producidas.​ ​En​ ​estos​ ​ejercicios,​ ​primero encuentra​ ​la​ ​función​ ​de​ ​costos​ ​marginales​ ​y​ ​después​ ​calcula​ ​el​ ​costo​ ​marginal​ ​para​ ​los valores​ ​indicados​ ​de​ ​q.​ ​Resuelve​ ​únicamente​ ​los​ ​ejercicios​ ​PARES 2)​ ​ c = 2 +

1000 q

q​ ​=​ ​25​ ​y​ ​q​ ​=​ ​235

E l costo total es q c = c

⇒

c = q c = 2q + 1000

E l costo marginal es : CM =

dc dq

=2

⇒

C M (25) = 2 C M (235) = 2

4)​ ​ c = 0.002q 2 − 0.5q + 60 + E l costo total es :

7000 q

q​ ​=​ ​15​ ​y​ ​q​ ​=​ ​25

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos c = q c = 0.002q 3 − 0.5q 2 + 60q + 7000

E l costo marginal es : CM =

dc dq

= 3(0.002)q 2 − 2(0.5)q + 60 = 0.006q 2 − q + 60 C M (15) = 46.35

⇒

C M (25) = 38.75

Sección​ ​6.​ ​En​ ​los​ ​siguientes​ ​problemas​ ​r​ ​representa​ ​el​ ​ingreso​ ​total​ ​y​ ​es​ ​una​ ​función​ ​del

número​ ​q​ ​de​ ​unidades​ ​vendidas.​ ​Encuentra​ ​la​ ​función​ ​de​ ​ingreso​ ​marginal​ ​y​ ​el​ ​valor​ ​del

ingreso​ ​marginal​ ​para​ ​los​ ​valores​ ​dados​ ​de​ ​q.​ ​Resuelve​ ​únicamente​ ​los​ ​ejercicios​ ​PARES

2) r​ ​=​ ​ q (15 −

1 30 q)

q​ ​=​ ​5;​ ​q​ ​=​ ​15​ ​y​ ​q​ ​=​ ​150

E l ingreso marginal es : mr =

dr dq

= 15 −

⇒

q 30

+ q (−

1 30 )

2 =− q 30 + 15

2 mr (5) = 15 − 5( 30 ) = 14.66 2 mr (15) = 15 − 15( 30 ) = 14 2 mr (150) = 15 − 150( 30 )=5

4)​ ​r​ ​=​ ​2q(30​ ​–​ ​0.1q) r = 2q(30 − 0.1q) = 60q − 0.2q

E l ingreso marginal es :

q​ ​=​ ​10​ ​y​ ​q​ ​=​ ​20

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos mr =

dr dq

=− 2(0.2)q + 60 =− 0.4q + 60

⇒

mr (10) =− 0.4(10) + 60 = 56 mr (20) =− 0.4(20) + 60 = 52

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos Sección​ ​7.​ ​Resuelve​ ​los​ ​siguientes​ ​ejercicios:​ ​Resuelve​ ​únicamente​ ​los​ ​ejercicios​ ​PARES

2.- La siguiente gráfica muestra la función de posición de un automóvil. Usa la forma de​ ​la​ ​gráfica​ ​para​ ​explicar​ ​las​ ​respuestas​ ​que​ ​das​ ​a​ ​las​ ​siguientes​ ​preguntas: a)

¿Cuál​ ​fue​ ​la​ ​velocidad​ ​inicial​ ​del​ ​automóvil?

La​ ​velocidad​ ​está​ ​dada​ ​por​ ​ v = b)

ds dt

​ ​en​ ​t=0​ ​la​ ​curva​ ​es​ ​plana​ ​por​ ​ ds dt = 0 ​ ​por​ ​lo​ ​tanto​ ​v=0

¿El​ ​automóvil​ ​viajaba​ ​más​ ​rápido​ ​en​ ​B​ ​o​ ​en​ ​C?

En​ ​B​ ​porque​ ​tiene​ ​una​ ​pendiente​ ​más​ ​grande c)

¿El​ ​automóvil​ ​desaceleraba​ ​o​ ​aceleraba​ ​en​ ​A,​ ​B​ ​y​ ​C?

A:​ ​Aceleraba​ ​porque​ ​la​ ​pendiente​ ​aumentaba B:​ ​Desaceleraba​ ​porque​ ​la​ ​pendiente​ ​disminuye C:​ ​Desaceleraba​ ​ligeramente d)

¿Qué​ ​sucedió​ ​entre​ ​D​ ​y​ ​E?

El​ ​automóvil​ ​estuvo​ ​detenido​ ​porque​ ​la​ ​pendiente​ ​es​ ​0.

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos 4- En la gráfica dada de f, marca tramos que representen f(2), f(2+h), f(2+h)-f(2) y f (2+h)−f (2) h.​ ​(tome​ ​h>0).​ ​¿Cuál​ ​recta​ ​tiene​ ​la​ ​pendiente​ ​ ? h

6.- Encuentra la derivada de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada. a) f (x) = 5x + 3 f ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x) h

= limh→0

5(x+h)+3−5x−3 h

= limh→0

5x+5h+3−5x−3 h

= limh→0

5h h

limh→0 5 = 5

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos b) f (x) = x3 − x2 + 2x f ′(x) = limh→0

f (x+h)−f (x) h

= limh→0

(x+h)3 −(x+h)2 +2(x+h)−x3 +x2 −2x h

= limh→0

x3 +3x2 h+3xh2 +h3 −x2 −2xh−h2 +2x+2h−x3 +x2 −2x h

= lim

h→0

3x2 h+3xh2 +h3 −2xh−h2 +2h h

= limh→0 3x2 + 3xh + h2 − 2x − h + 2 = 3x2 − 2x + 2

c) g (x) = √1 + 2x g ′(x) = limh→0

g(x+h)−g(x) h

1+2(x+h)−√1+2x = limh→0 √ h 1+2(x+h)−√1+2x √1+2(x+h)+√1+2x = limh→0 √ * √1+2(x+h)+√1+2x h

= limh→0

1+2(x+h)−1+2x h√1+2(x+h)+√1+2x

= limh→0

2h h√1+2(x+h)+√1+2x

= limh→0 = limh→0

2

√1+2(x+h)+√1+2x 2 √1+2x+√1+2x

=

1 √1+2x

Sección​ ​8.​ ​Resuelve​ ​los​ ​siguientes​ ​ejercicios:​Resuelve​ ​todos​ ​los​ ​ejercicios DERIVADAS​ ​TRIGONOMÉTRICAS 1

Encuentre​ ​la​ ​derivada​ ​de​ ​cada​ ​una​ ​de​ ​las​ ​siguientes​ ​funciones,​ ​realiza​ ​las​ ​gráficas​ ​de​ ​la​ ​primitiva​ ​y​ ​su derivada:

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

11)​ ​ ​ f ′(θ) =

sec θ 1+sec θ

sabemos que

d dx sec

θ = sec θ tan θ ​ ​ ​ ​entonces​ ​tenemos

1 −1 f ′(θ) = sec θ tan θ ( 1+sec θ ) + sec θ ( (1+sec θ )2 sec θ tan θ ) ​ ​ ​;​ ​ ​utilizando​ ​la​ ​regla​ ​de​ ​la​ ​cadena

= sec θ tan θ

1 1+sec θ

= sec θ tan θ

1+sec θ (1+sec θ )2

=

−

sec θ (1+sec θ )2

−

sec θ (1+sec θ )2

sec θ tan θ (1+sec θ )2

12)​ ​ y =

cos x 1−sin x

;

d dx cos

x =− sin x ;

d dx sin

1 −1 y ′ =− sin x ( 1−sin x ) + cos x ( (1−sin x )2 )(− cos x )

x = cos x

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos (cos x )2 (1−sin x )2

=

−sin x 1−sin x

=

1 (− (1−sin x )2

sin x + (sin x )2 + (cos x )2 )

=

1 (− (1−sin x )2

sin x + 1)

=

1 1−sin x

2.

+

Encuentre​ ​la​ ​ecuación​ ​de​ ​la​ ​recta​ ​tangente​ ​a​ ​cada​ ​una​ ​de​ ​las​ ​siguientes​ ​curvas,​ ​en​ ​el​ ​punto​ ​especificado, realiza​ ​las​ ​gráficas​ ​de​ ​la​ ​primitiva​ ​y​ ​tangente:

21)​ ​ ​ ​ y = sec x

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos y ′ = sec x tan x ; y ′( 3π ) = sec ( 3π ) tan ( 3π ) = 3.46 La​ ​ecuación​ ​de​ ​la​ ​recta​ ​quedaría​ ​como​ ​sigue y r − 2 = 3.46(x −

π 3

;

y r = 3.46x − 1.62

22)​ ​ ​ ​ y = ex cos x y ′ = ex cos x − ex sin x

; y ′(0) = e0 cos 0 − e0 sin 0 = e0 = 1

La​ ​ecuación​ ​de​ ​la​ ​recta​ ​tangente​ ​es y r − 1 = 1(x − 0) ; y r = x + 1

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

REGLA​ ​DE​ ​LA​ ​CADENA 3.

Encuentre​ ​la​ ​primera​ ​y​ ​segunda​ ​derivadas​ ​de​ ​cada​ ​una​ ​de​ ​las​ ​siguientes​ ​funciones.​ ​Realiza​ ​las​ ​gráficas​ ​de la​ ​primitiva​ ​y​ ​sus​ ​derivadas:

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

27)​ ​ ​ y =

r

√r2 +1

y′ =

dr 1 dr ( √r2 +1 )

=(

1

= = =

√r2 +1 1

r2

2

(r2 +1) 3 1

2

(r2 +1) 3 d dr y ′

=

d dr (

=

d dr (

=

−3 2

1

)

1

)

3 (r2 +1) 2

3 (r2 +1) 2

2r

5 (r2 +1) 2

−3r

5

(r2 +1) 2

2

(r2 +1) 3

r2 +1−r2

y ′′ =

=

) + r(−

−

√r2 +1

+ r drd ( 1 2

1

√r2 +1

1

2

(r2 +1) 3

)

2r)

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

28)​ ​ ​ y =

eu −e−u eu +e−u

1 u −u ) du ( 1 ) y ′ = ( ddu (eu − e−u )) eu +e −u + (e − e d eu +e−u

=

eu +e−u eu +e−u

+ u

(eu −e−u )(−1) 2

(eu +e−u ) −u

(eu − e−u )

2

−e = 1 − ( eeu +e −u )

= 1 − y2 y ′′ = =

d du y ′

d du (1

− y2 )

=− 2yy ′ =− 2y(1 − y 2 ) = 2y 3 − 2y

⇒

u

−u

2

−e y ′ = 1 − ( eeu +e −u )

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos u

−u

u

−u

e −e y ′′ = 2( eeu−e +e−u ) − 2( eu +e−u )

DERIVACIÓN​ ​IMPLÍCITA 4.

Encuentre​ ​dy/dx​ ​por​ ​derivación​ ​implícita.​ ​Realiza​ ​las​ ​gráficas​ ​de​ ​la​ ​primitiva​ ​y​ ​su​ ​derivada

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos 10) y cos x = x2 + y 2 S e deriva toda la ecuación respecto de x

⇒

y ′ = cos x + y (− sen x) = 2x + 2yy ′

⇒

y ′cos x − 2yy ′ = 2x + y sen x

⇒

y ′(cos x − 2y) = 2x + y sen x

⇒

y′ = ●

2x+y sen x cos x−2y …(1)

S e puede obtener el valor de y en terminos de x :

y 2 − y cos x + x2 = 0

⇒

y=

cos x±√(cos x)2 −4x2 2

P ara graf icar se pone (2)en (1) Solucion​ ​1:

…(2)

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos Solucion​ ​2:

11) cos (xy) = 1 + sen y S e deriva toda la ecuación − sen (xy)(y + xy ′) = y ′cos y ⇒ y ′cos y + y ′(senx)x =− sen(xy)y ⇒ y′ =

−sen(xy)y cos y+x sen x

P ara graf icar y se tiene que resolver numericamente la ecuación y(x), esta solución se usa para y

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos

DERIVACIÓN​ ​LOGARÍTMICA 5.

Encuentre​ ​la​ ​segunda​ ​derivada​ ​de​ ​cada​ ​una​ ​de​ ​las​ ​siguientes​ ​funciones.​ ​Realiza​ ​las​ ​gráficas​ ​de​ ​la​ ​primitiva y​ ​su​ ​derivada

25)​ ​ ​ y = ln⁡(x + √1 + x2 y′ =

= =

1 (1 x+√1+x2

+

1 2x 2 (1+x2 ) 12 )

x+√1+x2 1 ( ) x+√1+x2 √1+x2 1

√1+x2

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos y ′′ =

d dx y ′

=

d 1 dx ( √1+x2 )

=−

1 2x 2 (1+x2 ) 32

=−

x

3

(1+x2 ) 2

26)​ ​ y = ln(sen x + tan x) y′ = =

1 sec x+tan x

1 sec x+tan x

(sec x * tan x + 1 + tan2 x)

(sec x * tan x + 1 + sec2 x)

tan x+sec x = sec x tan x+sec x

= sec x

Licenciatura​ ​en​ ​Economía Cálculo​ ​Diferencial​ ​e​ ​Integral Unidad​ ​2.​ ​Derivada​ ​de​ ​una​ ​función GUÍA​ ​DE​ ​APRENDIZAJE​ ​No.​ ​3 Prof.​ ​Fidel​ ​Rodríguez​ ​de​ ​los​ ​Santos d dx sec

y a que :

d dx tan

= sec x * tan x = 1 + tan2 x

1 + tan2 = sec2 x

⇒

y ′′ =

d ′ dx y

=

d dx sec

x = sec x * tan x