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• JAIME GONZALEZ RAENERGY

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GUIA DE TRABAJO 1 – PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL PROFESOR: MANUEL LETZKUS P. 1.-Una fábrica de carpintería fabrica escritorios, mesas y sillas. Cada producto requiere de la materia prima de madera y de los trabajos de carpintería y acabado de acuerdo a la siguiente tabla: Recurso Madera Hr acabado Hr carpintería

Escritorio 8 pies de tabla 4 horas 2

Mesa 6 2 1.5

Silla 1 1.5 0.5

La empresa dispone para la próxima semana de producción de 48 pies de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería. Los precios de venta son 60, 30 y 20 dólares para los escritorios, mesas y sillas respectivamente. Adicionalmente de acuerdo a los cálculos de la empresa se estima que a lo más se pueden vender 5 mesas, pero no hay límite para las ventas de sillas y escritorios. Formular el modelo matemático de Pl. 2.-Una compañía fabrica dos productos. El producto A necesita procesarse en tres diferentes máquinas, mientras que el segundo producto sólo necesita procesarse en dos de ellas. La siguiente tabla muestra las horas de proceso que requieren los productos en cada máquina, así como la cantidad de horas disponibles de las máquinas: MÁQUINAS 1 2 3

HORAS REQUERIDAS A B 2 6 8 ---7 14

HORAS DISPONIBLES 50 40 80

Cada unidad del producto A cuesta $ 12 y se vende a $ 17, mientras que cada unidad del producto B cuesta $ 11 y se vende a $ 15. El director general de la compañía desea determinar la cantidad a fabricar de cada producto, de tal manera que se obtenga el máximo de utilidades. Confeccione el modelo de PL correspondiente. 3.-Una empresa fabrica 2 clases de cinturones de pieles, un cinturón es de alta calidad y otro de baja calidad, los precio de ventas son $2600 y $1500 respectivamente. Cada cinturón de alta calidad requiere el doble tiempo que el de baja calidad y si todos los cinturones fueran de baja calidad la empresa podría fabricar 1000 al día. Para fabricar un cinturón de baja calidad se ocupan 4 pies2 de piel en cambio para uno de alta calidad se requiere un 25% más. La disponibilidad de piel es de 1500 pies 2 por día, el cinturón de alta calidad requiere de una hebilla elegante de las que se disponen 800 diarias y el cinturón de baja calidad requiere de otra hebilla de las cuales se disponen 550 al día. La política de la empresa es que el número de cinturones de baja calidad producidos debe ser como máximo 5 más que el 50% del número de cinturones de alta calidad fabricado en el mismo período.

Se sabe además, que los costos variables unitarios para el cinturón de alta calidad se estiman en $1600 y para los de baja calidad $1000. Formule un modelo de programación lineal que permita maximizar las utilidades. 4.-Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo, y dispone para ello de 70 hectáreas. Los precios de venta para maíz y trigo son 4,5 y 6,0 unidades monetarias por quintal métrico, respectivamente. Una hectárea rinde 30 qq de maíz o 25 qq de trigo. Cada hectárea requiere un capital de 30 unidades monetarias si se cultiva con maíz y de 40 unidades monetarias si se cultiva con trigo. El capital total disponible es de 2.500. Las necesidades de agua de riego son 900 metros cúbicos por hectárea de maíz y 650 metros cúbicos por hectárea de trigo en Octubre, y 1.200 m 3 por hectárea de maíz y 850 m3 por hectárea de trigo en Noviembre. En octubre se dispone de 57.900 m3 y en noviembre de 115.200 m3. Formule el modelo matemático, para determinar la cantidad de maíz y trigo que debe producirse a objeto de obtener un beneficio máximo. 5.-Un empresario desea instalar una pequeña fábrica para producir helados, aprovechando que tiene excedentes de materias primas en la empresa de productos lácteos que posee actualmente. Se desea producir dos tipos de helados, A y B, en cantidades tales que maximicen la contribución o utilidad del negocio, suponiendo que las materias primas a utilizar tienen costo cero, puesto que son excedentes de otros procesos. Se supone además que el empresario puede vender todos los helados que produzca, a un precio de 220 pesos el litro para el helado tipo A y 250 pesos el litro para el helado tipo B, Se cuenta con una cantidad total máxima de 3.000 litros de leche, 700 kg de azúcar y 50 horas de Refrigeración en las cámaras frigoríficas, para un mes de producción. Por otra parte, la tabla siguiente muestra los requerimientos de materia prima para cada tipo de helado. TIPO A B

LECHE (litros) 1.5 2.0

AZÚCAR (Kg)

REFRIGERACIÓN (Hrs)

0.4 0.2

0.01 0.05

Para la fabricación de estos helados, el empresario dispone de mano de obra especializada, a un costo de 130 pesos el litro para el helado tipo A y 190 pesos el litro para el helado tipo B. Formule el modelo matemático de P.L. que maximice las utilidades. 6.-Un individuo cuenta con tres fincas de una cierta extensión cada una y con ciertas características específicas de riego, de acuerdo con la región en cada una de ellas se encuentra. Un resumen de estas características aparece a continuación: FINCA 1 2 3 TOTAL

SUPERFICIE (ha) 350 700 300 1350

AGUA (litros/Ha) 1500 2000 900

Se tiene, además, tres diferentes clases de plantas que se pueden cultivar: trigo, papas y maíz; cada una de ellas tiene restricciones sobre el número de hectáreas que se pueden cultivar y sobre el consumo de agua por hectárea, y cada una tiene asociada una utilidad por hectárea cultivada. CULTIVO TRIGO PAPA MAÍZ

MÁXIMO NÚMERO DE CONSUMO DE há (litros/há) 600 5 900 4 300 3

AGUA UTILIDAD ($/há) 400 300 100

Por disposiciones gubernamentales no es posible tener porcentajes diferentes de áreas cultivadas en las tres fincas. Nuestro individuo se pregunta cuál ha de ser la distribución de cultivos en cada una de las fincas, de manera que maximice la utilidad generada por la venta del producto de las cosechas. 7.-Una oficina de correos necesita un número diferente de empleados de tiempo completo, para diferentes días de la semana. El número de empleados de tiempo completo requeridos para cada día, se da en la siguiente tabla. Las reglas sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo, tiene que trabajar durante cinco días consecutivos y, después, descansar dos días. Por ejemplo un empleado que trabaja de lunes a viernes, tiene que descansar el sábado y el domingo. La oficina de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utiliza solamente empleados de tiempo completo. Formule un PL que pueda utilizar la oficina de correos para minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar. DIA LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES VIERNES SABADO DOMINGO

N° DE EMPLEADOS DE TIEMPO COMPLETO REQUERIDOS 17 13 15 19 14 16 11

8.-Pensando en el satisfacer una necesidad de que los niños tomen vitamina C en forma regular pero de una forma entretenida, una empresa ha decidido producir jugo de naranja con vitamina C para lo cual se utilizarán dos tipos de mezclas. Cada onza de la primera mezcla contiene 0.5 oz de azúcar y 1 mg de vitamina C: Cada onza de la segunda mezcla contiene 0.25oz de azúcar y 3 mg de vitamina C El costo de producción de las mezclas es de 2 centavos por onza la primera de ellas y de 3 centavos por onza la segunda. De acuerdo a las especificaciones del Departamento de Marketing la producción de cada botella de 10 onzas de jugo debe contener al menos 20 mg de vitamina C y a lo más 4 onzas de azúcar. Determinar la forma como debe prepararse este refresco.

9.-Todo el acero producido por CA tiene que cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5% de carbono; 1.8 a 2.5% de silicio; 0.9 a 1.2% de níquel; resistencia a la tracción de por lo menos 45 000 lb/pulg2. CA produce el acero mezclando dos aleaciones. El costo y las propiedades de cada aleación se dan en la Tabla siguiente Supóngase que se puede determinar la resistencia a la tracción de una mezcla promediando las resistencias de las aleaciones que se mezclan. Por ejemplo, una mezcla de una tonelada que se compone de 40% de la aleación 1 y de 60% de la aleación 2, tiene una resistencia a la tracción de 0.4 (42 000) más 0.6 (50 000). Utilice la programación lineal para determinar cómo minimizar los costos de producción de una tonelada de acero. Costo por tonelada ( US$ ) Porcentaje de silicio Porcentaje de níquel Porcentaje de carbono Resistencia a la tensión lb/pulg2

Aleación 1 190 2 1 3 42000

Aleación 2 200 2.5 1.5 4 50000

10. CA produce dos tipos de acero en tres diferentes acerías. Durante un mes dado, cada acería dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de producción de una tonelada (ton) de acero, difiere de una fábrica a otra, debido a las diferencias en los hornos de cada fábrica. En la Tabla siguiente, se muestran el tiempo y el costo de producción para cada fábrica. Cada mes, CA tiene que producir por lo menos 500 ton de acero 1 y 600 ton de acero 2. Formule un PL para minimizar los costos para producir el acero deseado. Costo Acería 1 Acería 2 Acería 3

10 12 14

Tiempo Costo Tiempo 20 11 22 24 9 18 28 10 30

11.-Una cervecería produce cerveza común y la de tipo popular. La cerveza se vende a 5 dólares el barril, y el de popular a 2 dólares el barril. La producción de un barril de cerveza requiere 5 lb de cebada y 2 lb de lúpulo. La producción de un barril de popular requiere 2 lb de cebada y 1 lb de lúpulo. Se dispone de 60 lb de cebada y de 25 lb de lúpulo. Formule un PL que se pueda utilizar para maximizar los ingresos. 12.- Un granjero produce dos tipos de pastel (de chocolate y de vainilla) para aumentar sus ingresos. Se puede vender cada pastel de chocolate a 1 dólar, y cada pastel de vainilla a 50 centavos. Cada pastel de chocolate tarda 20 minutos en cocerse y requiere 4 huevos. Cada pastel de vainilla tarda 40 minutos en cocerse y requiere 1 huevo. Se dispone de 8 horas de tiempo de horneado y de 30 huevos. Formule un PL para maximizar el ingreso del granjero. Después resuelva el PL gráficamente. (Se permiten números fraccionarios para el número de pasteles.)

13.-QM produce dos productos químicos: A y B. Se producen mediante dos procesos manufactureros. El proceso 1 requiere 2 horas de trabajo y 1 Ib de materia prima para producir 2 oz de A y 1 oz de B. El proceso 2 requiere 3 horas de trabajo y 2 lb de materia prima para producir 3 oz de A y 2 oz de B. Se dispone de 60 horas de trabajo y de 40 lb de materia prima. La demanda de A es ilimitada, pero se pueden vender solamente 20 oz de B. Se vende A a 16 dólares/oz y B a 14 dólares/oz. Se tiene que desechar todo B no vendido a un costo de 2 dólares/oz. Formule un PL para maximizar los ingresos de QM, menos los costos de desecho.

14.-Carpenter fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de roble o de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla (p.t.) de roble y de 210 p.t. de pino. Una mesa requiere 17 p.t. de roble, o bien 30 p.t. de pino, y una silla necesita 5 p.t. de roble, o bien, 13 p.t. de pino. Se puede vender cada mesa a 40 dólares, y cada silla a 15 dólares. Formule un PL que se puede usar para maximizar los ingresos.