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• Angel Guano Morales

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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO FACULTAD DE MECANICA INGENIERIA AUTOMOTRIZ

METODOS NUMERICOS

NOMBRE: ANGEL GUANO

CURSO: CUARTO “A”

DOCENTE: DR. MARIO AUDELO

TAREA NUMERO 5

FECHA: 7 DE FEBRERO DEL 2021

NOVIEMBRE 2020 – FEBRERO 2021

1.

Use las fórmulas de diferencia progresiva y de diferencia regresiva para determinar las aproximaciones con que se completarán las siguientes tablas:

𝒇(𝒙) 0.4794 0.5646 0.6442

𝒙 0.5 0.6 0.7

a)

𝒇′(𝒙) 0.88 0.824 0.768

h=0.1 •

Para el primer punto

𝑓′(𝑥0 ) ≈

𝑓 ′ (0.5) =

−3𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ

−3𝑓 (0.5) + 4𝑓(0.5 + 0.1) − 𝑓 [0.5 + 2(0.1)] 2(0.1)

𝑓 ′ (0.5) =

−3(0.4794) + 4(0.5646) − 0.6442 0.2

𝑓 ′ (0.5) = 0.88

•

Para el punto medio 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (0.6) =

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ

𝑓 (0.6 + 0.1) − 𝑓(0.6 − 0.1) 2(0.1)

𝑓 ′ (0.6) =

0.6442 − 0.4794 0.2

𝑓 ′ (0.6) = 0.824

•

Para el último punto 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (0.7) =

𝑓(𝑥0 − 2ℎ) − 4𝑓 (𝑥0 − ℎ) + 3𝑓(𝑥0 ) 2ℎ

𝑓[0.7 − 2(0.1)] − 4𝑓(0.7 − 0.1) + 3𝑓(0.7) 2(0.1)

𝑓 ′ (0.7) =

0.4794 − 4(0.5646) + 3(0.6442) 0.2

𝑓 ′ (0.7) = 0.768

b) h=0.2 •

Para el primer punto 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ≈ 𝑓 ′ (0) =

−3𝑓 (𝑥0 ) + 4𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ

−3𝑓 (0) + 4𝑓(0 + 0.2) − 𝑓 [0 + 2(0.2)] 2(0.2)

𝑓 ′ (0) =

0 + 4(0.7414) − 0.3718 0.4

𝑓 ′ (0) = 6.4845

•

Para el punto medio 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (0.2) =

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ

𝑓 (0.2 + 0.2) − 𝑓 (0.2 − 0.2) 2(0.2)

𝑓 ′ (0.2) =

0.3718 − 0 0.4

𝑓 ′ (0.2) = 0.9295

•

Para el último punto 𝑓′(𝑥0 ) ≈

𝑓(𝑥0 − 2ℎ) − 4𝑓 (𝑥0 − ℎ) + 3𝑓(𝑥0 ) 2ℎ

𝒙

𝒇(𝒙)

𝒇′(𝒙)

0 0.2 0.4

0 0.7414 0.3718

6.4845 0.9295 -4.6255

𝑓 ′ (0.4) =

𝑓 [0.4 − 2(0.2)] − 4𝑓 (0.4 − 0.2) + 3𝑓(0.4) 2(0.2)

𝑓 ′ (0.4) =

0 − 4(0.7414) + 3(0.3718) 0.4

𝑓 ′ (0.4) = −4.6255 2.

Use la fórmula de los tres puntos más conveniente para determinar las aproximaciones con que se completarán las siguientes tablas:

•

𝒙

𝒇(𝒙)

𝒇′(𝒙)

1.1 1.2

9.025013 11.02318

17.769705 22.19364

1.3

13.46374

27.10735

1.4

16.44465

32.51085

Para el primero punto −3𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ

𝑓 ′ (𝑥 0 ) ≈ 𝑓 ′ (1.1) =

−3𝑓 (1.1) + 4𝑓(1.1 + 0.1) − 𝑓 [1.1 + 2(0.1)] 2(0.1)

𝑓 ′ (1.1) =

𝑓 ′ (1.1) =

−3𝑓(1.1) + 4𝑓(1.2) − 𝑓(1.3) 0.2

−3(9.025013) + 4(11.02318) − 13.46374 0.2

𝑓 ′ (1.1) = 17.769705

•

Para los puntos medios 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (1.2) =

𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ

𝑓 (1.2 + 0.1) − 𝑓(1.2 − 0.1) 2(0.1)

𝑓 ′ (1.2) =

𝑓 ′ (1.2) =

𝑓 (1.3) − 𝑓(1.1) 0.2

13.46374 − 9.025013 0.2

𝑓 ′ (1.2) = 22.19364

𝑓 (1.3 + 0.1) − 𝑓 (1.3 − 0.1) 2(0.1)

𝑓 ′ (1.3) =

𝑓 ′ (1.3) =

𝑓 ′ (1.3) =

𝑓 (1.4) − 𝑓(1.2) 0.2

16.44465 − 11.02318 0.2

𝑓 ′ (1.3) = 27.10735

•

𝒙

𝒇(𝒙)

𝒇′(𝒙)

8.1

16.94410

3.09205

8.3 8.5

17.56492 18.19056

3.11615 3.13998

8.7

18.82091

3.16353

Para el último punto 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (1.4) =

𝑓[1.4 − 2(0.1)] − 4𝑓(1.4 − 0.1) + 3𝑓(1.4) 2(0.1)

𝑓 ′ (1.4) =

𝑓 ′ (1.4) =

𝑓(𝑥0 − 2ℎ) − 4𝑓(𝑥0 − ℎ) + 3𝑓(𝑥0 ) 2ℎ

𝑓 (1.2) − 4𝑓 (1.3) + 3𝑓(1.4) 0.2

11.02318 − 4(13.46374) + 3(16.44465) 0.2

𝑓 ′ (1.4) = 32.51085

•

Para el primer punto 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ≈

−3𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ

𝑓 ′ (8.1) =

−3𝑓(8.1) + 4𝑓 (8.1 + 0.2) − 𝑓 [8.1 + 2(0.2)] −3𝑓 (8.1) + 4𝑓 (8.3) − 𝑓(8.5) = 2(0.2) 0.4

𝑓 ′ (8.1) = •

−3(16.94410) + 4(17.56492) − 18.19056 = 3.09205 0.4

Para los puntos medios

𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (8.3) =

𝑓(8.3 + 0.2) − 𝑓(8.3 − 0.2) 𝑓 (8.5) − 𝑓(8.1) = 2(0.2) 0.4

𝑓 ′ (8.3) =

𝑓 ′ (8.5) =

18.19056 − 16.94410 = 3.11615 0.4

𝑓(8.5 + 0.2) − 𝑓(8.5 − 0.2) 𝑓 (8.7) − 𝑓(8.3) = 2(0.2) 0.4

𝑓 ′ (8.5) = •

𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 − ℎ) 2ℎ

18.82091 − 17.56492 = 3.13998 0.4

Para el último punto 𝒙

𝒇(𝒙)

𝒇′(𝒙)

2.9

-4.827866

5.101375

3.0 3.1

-4.240058 -3.496909

6.654785 8.21633

3.2

-2.596792 9.78601 𝑓(𝑥0 − 2ℎ) − 4𝑓(𝑥0 − ℎ) + 3𝑓(𝑥0 ) 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 2ℎ 𝑓 ′ (8.7) =

𝑓 [8.7 − 2(0.2)] − 4𝑓 (8.7 − 0.2) + 3𝑓(8.7) 𝑓 (8.3) − 4𝑓 (8.5) + 3𝑓(8.7) = 2(0.2) 0.4

𝑓 ′ (8.7) =

•

17.56492 − 4(18.19056) + 3(18.82091) = 3.16353 0.4

Para el primer punto 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ≈

−3𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ

𝑓 ′ (2.9) =

−3𝑓(2.9) + 4𝑓 (2.9 + 0.1) − 𝑓 [2.9 + 2(0.1)] −3𝑓 (2.9) + 4𝑓 (3.0) − 𝑓(3.1) = 2(0.1) 0.2

𝑓 ′ (2.9) = •

−3(−4.827866) + 4(−4.240058) − (3.496909) = 5.101375 0.2

Para los puntos medios 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ≈ 𝑓 ′ (3.0) =

𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 − ℎ) 2ℎ

𝑓(3.0 + 0.1) − 𝑓(3.0 − 0.1) 𝑓 (3.1) − 𝑓(2.9) = 2(0.1) 0.2

𝑓 ′ (3.0) =

−3.496909 − (−4.827866) = 6.654785 0.2

𝑓(3.1 + 0.1) − 𝑓(3.1 − 0.1) 𝑓 (3.2) − 𝑓(3.0) = 2(0.1) 0.2 −2.596792 − (−4.240058) ′( 𝑓 3.1) = = 8.21633 0.2

𝑓 ′ (3.1) =

•

Para el último punto 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (3.2) =

𝑓 [3.2 − 2(0.1)] − 4𝑓 (3.2 − 0.1) + 3𝑓(3.2) 𝑓 (3.0) − 4𝑓 (3.1) + 3𝑓(3.2) = 2(0.1) 0.2

𝑓 ′ (3.2) =

•

𝑓(𝑥0 − 2ℎ) − 4𝑓(𝑥0 − ℎ) + 3𝑓(𝑥0 ) 2ℎ

−4.240058 − 4(−3.496909) + 3(−2.596792) = 9.78601 0.2

𝒙

𝒇(𝒙)

𝒇′(𝒙)

2.0 2.1

3.6887983 3.6905701

0.1353315 -0.0998955

2.2

3.6688192

-0.329896

2.3

3.6245909

-0.55467

Para el primer punto 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ≈ 𝑓 ′ (2.0) =

−3𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 + 2ℎ) 2ℎ

−3𝑓(2.0) + 4𝑓 (2.0 + 0.1) − 𝑓 [2.0 + 2(0.1)] −3𝑓 (2.0) + 4𝑓 (2.1) − 𝑓(2.2) = 2(0.1) 0.2

𝑓 ′ (2.0) =

−3(3.6887983) + 4(3.6905701) − 3.6688192 = 0.1353315 0.2

•

Para los puntos medios 𝑓 ′ (𝑥 0 ) ≈ 𝑓 ′ (2.1) =

𝑓 (𝑥0 + ℎ) − 𝑓 (𝑥0 − ℎ) 2ℎ

𝑓(2.1 + 0.1) − 𝑓(2.1 − 0.1) 𝑓 (2.2) − 𝑓(2.0) = 2(0.1) 0.2

𝑓 ′ (2.1) =

3.690570 − 3.6887983 = −0.0998955 0.2

𝑓(2.2 + 0.1) − 𝑓(2.2 − 0.1) 𝑓 (2.3) − 𝑓(2.1) = 2(0.1) 0.2 3.6245909 − 3.6905701 ′( 𝑓 2.2) = = −0.329896 0.2

𝑓 ′ (2.2) =

•

Para el último punto

𝑓′(𝑥0 ) ≈ 𝑓 ′ (2.3) =

𝑓 [2.3 − 2(0.1)] − 4𝑓 (2.3 − 0.1) + 3𝑓(2.3) 𝑓 (2.1) − 4𝑓 (2.2) + 3𝑓(2.3) = 2(0.1) 0.2

𝑓 ′ (3.2) =

3.

𝑓(𝑥0 − 2ℎ) − 4𝑓(𝑥0 − ℎ) + 3𝑓(𝑥0 ) 2ℎ

3.690570 − 4(3.690570) + 3(3.6245909) = −0.55467 0.2

Use los siguientes tiempos y posiciones para predecir la velocidad de un automóvil en cada momento incluido la tabla.

Tiempo

0

3

5

8

10

13

Distancia

0

225

383

623

742

993

𝑓 ′ (𝑡0 ) =

𝑓 (𝑡0 + ℎ) − 𝑓 (𝑡0 ) 225 − 0 = = 75 ℎ 3

𝑓 ′ (𝑡1 ) =

𝑓(𝑡1 + ℎ) − 𝑓(𝑡1 ) 383 − 225 = = 79 ℎ 2

𝑓 ′ (𝑡2 ) =

𝑓 (𝑡2 + ℎ) − 𝑓(𝑡2 ) 623 − 383 = = 80 ℎ 3

𝑓 ′ (𝑡3 ) =

𝑓(𝑡3 + ℎ) − 𝑓(𝑡3 ) 742 − 623 = = 59.5 ℎ 2

𝑓 ′ (𝑡4 ) =

𝑓(𝑡4 + ℎ) − 𝑓 (𝑡4 ) 993 − 742 = = 83.667 ℎ 3

𝑓 ′ (𝑡5 ) =

𝑓(𝑡5 + ℎ) − 𝑓(𝑡5 ) 993 − 742 = = 83.667 ℎ 3

Datos 𝒕𝟎 𝒕𝟏

T 0 3

d 0 225

v 75 79

𝒕𝟐 𝒕𝟑 𝒕𝟒 𝒕𝟔

4.

5 8 10 13

383 623 742 993

80 59.5 83.667 83.667

Aproxime las siguientes integrales aplicando la regla del Trapecio 𝒃

𝑭𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑻𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐 ⟶ ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ≈ 𝒂

a.

𝒉 [𝒇(𝒙𝟎 ) + 𝒇(𝒙𝟏 )] 𝟐

𝟏 ∫𝟎,𝟓 𝒙𝟒 𝒅𝒙

𝑥0 = 𝑎 = 0.5

𝑥1 = 𝑏 = 1

ℎ = 𝑏 − 𝑎 = 1 − 0.5 = 0.5

1

∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 ≈ 0,5

0.5 [0.54 + 14 ] = 0.2656 2

𝟎.𝟓 𝟐

b. ∫𝟎

𝒅𝒙 𝒙−𝟒

𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑥1 = 𝑏 = 0.5

ℎ = 𝑏 − 𝑎 = 0.5 − 0 = 0.5

0.5

∫ 0

c.

2 0.5 2 2 𝑑𝑥 ≈ ( + ) = −0.2679 𝑥−4 2 0 − 4 0.5 − 4

𝟏.𝟓

∫𝟏 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝑥0 = 𝑎 = 1

𝑥1 = 𝑏 = 1.5

ℎ = 𝑏 − 𝑎 = 1.5 − 1 = 0.5

1.5

∫ 𝑥 2 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 1

0.5 2 [1 ln(1) + 1.52 ln(1.5)] = 0.2012 2

𝟏

d. ∫𝟎 𝒙𝟐 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑥1 = 𝑏 = 1

ℎ =𝑏−𝑎 =1−0 =1

1

∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ≈ 0

e.

𝝅/𝟒

∫𝟎

𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑥1 = 𝑏 =

𝜋 𝜋 ℎ =𝑏−𝑎 = −0= 4 4 𝜋/4

∫ 0

5.

1 2 0 (0 𝑒 + 12 𝑒 −1 ) = 0.1839 2

𝜋 4

𝜋 𝜋 𝜋 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ≈ 4 [(0)𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑠𝑒𝑛 ( )] = 0.2181 2 4 4

Repita el ejercicio 4 usando la regla de Simpson 𝑏

𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒔𝒐𝒏 ⟶ ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ≈ 𝑎

a.

𝟏

∫𝟎,𝟓 𝒙𝟒 𝒅𝒙 ≈ (1 − 0.5) [𝑓 ( 𝟎.𝟓 𝟐

b. ∫𝟎

c.

0.5+1 2

𝑏−𝑎 𝑎+𝑏 [𝑓(𝑎) + 4𝑓 ( ) + 𝑓(𝑏)] 6 2

)] = 0.5[𝑓(0.75)] = 0.5(0.754 ) = 0.1940

0.5

𝒙−𝟒

2

𝒅𝒙 ≈ (0.5) [𝑓 ( 2 )] = 0.5[𝑓(0.25)] = 0.5 (0.25−4) = −0.2667

𝟏.𝟓

∫𝟏 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ≈ (1.5 − 2) [𝑓 ( 𝟏

1+1.5 2

)] = 0.5[𝑓(1.25)] = 0.5(1.252 ) ln(1.25) = 0.192

1

d. ∫𝟎 𝒙𝟐 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 ≈ (1) [𝑓 ( )] = [𝑓(0.5)] = (0.52 )(𝑒 −0.5 ) = 0.162 2

e.

6.

𝝅/𝟒

∫𝟎

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ≈ ( 4 ) [𝑓 ( 24 )] = [𝑓 ( 4 + 8 )] = 4 [( 8 ) 𝑠𝑒𝑛 ( 8 )] = 0.1513

Repita el ejercicio 4 usando la regla del punto medio 𝑏

𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 ⟶ ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ≈ (𝑏 − 𝑎) [𝑓 ( 𝑎

a.

𝟏

∫𝟎,𝟓 𝒙𝟒 𝒅𝒙 ≈ (1 − 0.5) [𝑓 ( 𝟎.𝟓 𝟐

b. ∫𝟎

c.

𝒙−𝟒

0.5+1 2

)] = 0.5[𝑓(0.75)] = 0.5(0.754 ) = 0.1682

0.5

2

𝒅𝒙 ≈ (0.5) [𝑓 ( 2 )] = 0.5[𝑓(0.25)] = 0.5 (0.25−4) = −0.2667

𝟏.𝟓

∫𝟏 𝒙𝟐 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ≈ (1.5 − 2) [𝑓 ( 𝟏

𝑎+𝑏 )] 2

1

1+1.5 2

)] = 0.5[𝑓(1.25)] = 0.5(1.252 ) ln(1.25) = 0.174

d. ∫𝟎 𝒙𝟐 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 ≈ (1) [𝑓 (2)] = [𝑓(0.5)] = (0.52 )(𝑒 −0.5 ) = 0.1516

e. 7.

𝝅/𝟒

∫𝟎

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝜋

𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 ≈ ( 4 ) [𝑓 ( 24 )] = [𝑓 ( 4 + 8 )] = 4 [( 8 ) 𝑠𝑒𝑛 ( 8 )] = 0.1370

Aplique la regla compuesta del trapecio con los valores indicados de n para proximar las siguientes integrales. 𝟐

∫𝟏 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙

a.

𝒏=𝟒

𝒙𝟎 = 1

𝒙𝟑 = 1.75

𝒙𝟏 = 1.25

𝒙𝟒 = 2

𝒙𝟐 = 1.5

𝒉 = 0.25

2

0.25 {𝑓 (1) + 2[𝑓(1.25) + 𝑓 (1.5) + 𝑓(1.75)] + 𝑓(2)} 2

∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 ≈ 1

0.125[0 + 2(1.866) + 1.386] = 0.63975

𝟐

b. ∫−𝟐 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒏=𝟒

𝒙𝟎 = −2

𝒙𝟑 = 1

𝒙𝟏 = −1

𝒙𝟒 = 2

𝒙𝟐 = 0

𝒉=1

2

∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ≈ −2

1 {𝑓(−2) + 2[𝑓(−1) + 𝑓 (0) + 𝑓(1)] + 𝑓(2)} 2

0.5[−1.083 + 2(2.35) + 50.112] = 31.3645

𝟐

𝟐

∫−𝟐 𝒙𝟐 +𝟒 𝒅𝒙

c.

𝒏=𝟔

𝒙𝟎 = −2

𝒙𝟑 = 0

𝒙𝟏 = − 3

4

𝒙𝟒 = 3

2

𝒙𝟓 = 3

2

𝒙𝟔 = 2 2

𝒉=3

4

𝒙𝟐 = − 3

𝟐

𝟐 1 4 2 2 4 𝒅𝒙 ≈ {𝑓(−2) + 2 [𝑓 (− ) + 𝑓 (− ) + 𝑓(0) + 𝑓 ( ) + 𝑓 ( )] + 𝑓(2)} 𝟐+𝟒 𝒙 3 3 3 3 3 −𝟐

∫

1 9 9 1 9 9 [0.25 + 2 ( + + + + ) + 0.25] = 1.5615 3 26 20 2 20 26

𝟓

d. ∫𝟑

𝟏 √𝒙𝟐 +𝟒

𝒅𝒙

𝒏=𝟖

𝒙𝟎 = 3 𝒙𝟏 = 𝟑. 𝟐𝟓

𝒙𝟑 = 3.75 𝒙𝟒 = 4

𝒙𝟔 = 4.5 𝒙𝟕 = 4.75

𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟓

𝒙𝟓 = 4.25

𝒙𝟖 = 5

≈

𝒉 = 0.25

0.25 {𝑓 (3) + 2[𝑓(3.25) + 𝑓 (3.5) + 𝑓 (3.75) + 𝑓 (4) + 𝑓 (4.25) + 𝑓(4.5) + 𝑓 (4.75) + 𝑓(5)]} 2 0.13[0.447 + 2(0.39 + 0.348 + 0.315 + 0.289 + 0.267 + 0.248 + 0.232) + 0.218] = 0.6

𝟑𝝅

e.

∫𝟎𝟖 𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

𝒏=𝟖

𝒙𝟎 = 0 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟕

𝒙𝟑 = 0.441 𝒙𝟒 = 0.588

𝒙𝟔 = 0.882 𝒙𝟕 = 1.029

𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟗𝟒

𝒙𝟓 = 0.735

𝒙𝟖 = 1.176

≈

𝒉 = 0.147

0.147 {𝑓(0) + 2[𝑓(0.147) + 𝑓 (0.294) + 𝑓(0.441) + 𝑓 (0.588) + 𝑓 (0.735) + 𝑓(0.882) + 𝑓(1.029) 2 3𝜋 + 𝑓(1.176)] + 𝑓 ( )} 8

= 0.0735[0 + 2(5.37) + 2.414] = 0.967

8.

Aplique la regla compuesta de Simpson para aproximar las integrales del ejercicio 7

a.

𝟐

∫𝟏 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝒏=𝟒

𝒙𝟎 = 1

𝒙𝟑 = 1.75

𝒙𝟏 = 1.25

𝒙𝟒 = 2

𝒙𝟐 = 1.5

𝒉 = 0.25

≈

0.25 {𝑓(1) + 4[𝑓(1.25) + 𝑓 (1.75)] + 2[𝑓 (1.5)] + 𝑓(2)} 3 =

𝟐

b. ∫−𝟐 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙

0.25 (0 + 5.033 + 1.2164 + 1.3863) = 0.6363 3

𝒏=𝟒

𝒙𝟎 = −2

𝒙𝟑 = 1

𝒙𝟏 = −1

𝒙𝟒 = 2

𝒙𝟐 = 0

𝒉=1

1 ≈ {𝑓 (−2) + 4[𝑓(−1) + 𝑓 (1)] + 2[𝑓(0)] + 𝑓 (2)} 3 =

𝟐

1 [−1.0827 + 4(−0.3679 + 2.7183) + 2(0) + 59.1124] = 22.4771 3

𝟐

∫−𝟐 𝒙𝟐 +𝟒 𝒅𝒙

c.

𝒙𝟎 = −2 𝒙𝟏 = −

𝒏=𝟔

𝒙𝟑 = 0

4

𝒙𝟒 =

3 2

𝒙𝟔 = 2

2

𝒉=

3

2 3

4

𝒙𝟐 = − 3

𝒙𝟓 = 3

2 3 {𝑓(−2) + 4 [𝑓 (− 4) + 𝑓(0) + 𝑓 (4)] + 2 [𝑓 (− 2) + 𝑓 (2)] + 𝑓 (2)} 3 3 3 3 3

=

𝟓

d. ∫𝟑

𝟏 √𝒙𝟐 +𝟒

2 9 1 9 9 9 [0.25 + 4 ( + + ) + 2 ( + ) + 0.25] = 1.5709 9 26 2 26 20 20

𝒅𝒙

𝒏=𝟖

𝒙𝟎 = 3 𝒙𝟏 = 𝟑. 𝟐𝟓

𝒙𝟑 = 3.75 𝒙𝟒 = 4

𝒙𝟔 = 4.5 𝒙𝟕 = 4.75

𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟓

𝒙𝟓 = 4.25

𝒙𝟖 = 5

𝒉 = 0.25

0.25 {𝑓 (3) + 4[𝑓(3.25) + 𝑓 (3.5) + 𝑓(3.75) + 𝑓 (4)] + 2[𝑓 (4.25) + 𝑓 (4.5) + 𝑓 (4.75)] + 𝑓(5)} 3

=

0.25 (7.252728915) = 0.60439 3

𝟑𝝅

e.

∫𝟎𝟖 𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙

𝒏=𝟖

𝒙𝟎 = 0 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟒𝟕

𝒙𝟑 = 0.441 𝒙𝟒 = 0.588

𝒙𝟔 = 0.882 𝒙𝟕 = 1.029

𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟗𝟒

𝒙𝟓 = 0.735

𝒙𝟖 = 1.176

𝒉 = 0.147

𝝅 {𝑓(0) + 4[𝑓(0.147) + 𝑓 (0.294) + 𝑓(0.441) + 𝑓(0.588)] + 2[𝑓(0.735) + 𝑓(0.882) + 𝑓 (1.029)] 64 + 𝑓(1.176)}

𝝅 (19.57845981) = 0.96105 64

9.

Aplique la regla compuesta del punto medio con n+2 subintervalos para aproximar las integrales del ejercicio 1

a.

𝟐

∫𝟏 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒙

𝒏=𝟒

ℎ=

𝑏−𝑎

ℎ=

𝑛

𝒙𝟎 = 1

𝒙𝟑 = 1.75

𝒙𝟏 = 1.25

𝒙𝟒 = 2

2−1 4

ℎ = 0.25

𝒙𝟐 = 1.5

2

∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1

0.25 {1[ln(1)] + 4[1.25 ∗ ln(1.25) + 1.75 ∗ ln(1.75) + 2[1.5 ∗ ln (1.5)]] + 2 ∗ ln (2)} 3

2

∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0.63630 1

𝟐

b. ∫−𝟐 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙

𝒏=𝟒

ℎ=

𝑏−𝑎 𝑛

𝒙𝟎 = −2

𝒙𝟑 = 1

𝒙𝟏 = −1

𝒙𝟒 = 2

𝒙𝟐 = 0

ℎ=

2+2 4

ℎ =1

𝟐

𝟏 [−(−𝟐)𝟑 𝒆−𝟐 + 𝟒(−(−𝟏)𝟑 𝒆−𝟏 ) + (𝟏)𝟑 𝒆𝟏 ) + 𝟐((𝟎)𝟑 𝒆𝟎 + (𝟐)𝟑 𝒆𝟐 ) ] 𝟑

∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = −𝟐

𝟐

∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 22.47712 −𝟐

𝟐

𝟐

∫−𝟐 𝒙𝟐 +𝟒 𝒅𝒙

c.

𝒏=𝟔

ℎ=

𝑏−𝑎

𝒙𝟎 = −2

𝒙𝟑 = 0

𝒙𝟏 = − 3

4

𝒙𝟒 = 3

2

𝒙𝟓 = 3

2+2

ℎ=

𝑛

6

2

ℎ =3

𝒙𝟔 = 2

2

2

𝒉=3

4

𝒙𝟐 = − 3

𝟐

∫ −𝟐

𝒙𝟐

𝟐 2 2 9 1 9 9 9 2 𝒅𝒙 = [ + 4 ( + + ) + 2 ( + ) + ] +𝟒 9 8 26 2 26 20 20 8

𝟐

∫ −𝟐 𝟓

d. ∫𝟑

𝟏 √𝒙𝟐 +𝟒

𝒅𝒙

𝒙𝟐

𝟐 𝒅𝒙 = 1.57094 +𝟒

𝒏=𝟖

ℎ=

𝑏−𝑎

ℎ=

𝑛

5−3

ℎ = 0.25

8

𝒙𝟎 = 3 𝒙𝟏 = 𝟑. 𝟐𝟓

𝒙𝟑 = 3.75 𝒙𝟒 = 4

𝒙𝟔 = 4.5 𝒙𝟕 = 4.75

𝒙𝟐 = 𝟑. 𝟓

𝒙𝟓 = 4.25

𝒙𝟖 = 5

𝟓

∫ 𝟑

𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟒

𝒉 = 0.25

0.25 1 [ 3 √(3)2 − 4 1 1 1 1 + 4( + + + ) 2 2 2 √(3.25) − 4 √(3.75) − 4 √(4.25) − 4 √(4.75)2 − 4 1 1 1 1 ] + 2( + + )+ √(3.5)2 − 4 √(4)2 − 4 √(4.5)2 − 4 √(5)2 − 4

𝒅𝒙 =

𝟓

∫ 𝟑

𝟏 √𝒙𝟐

+𝟒

𝒅𝒙 =

0.25 (7.252728915) 3

𝟓

∫ 𝟑

𝟐

𝟏 √𝒙𝟐

+𝟒

𝒅𝒙 = 0.60439

𝟐

10. Aproxime ∫𝟎 𝒙𝟐 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 por medio de h= 0.25 a.

Aplique la regla compuesta del trapecio 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖 ∗ ℎ, 𝑖 = 0.1, … , 𝑛

𝒙𝟎 = 0 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓

𝒙𝟑 = 0.75 𝒙𝟒 = 1

𝒙𝟔 = 1.5 𝒙𝟕 = 1.75

𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟓

𝒙𝟓 = 1.25

𝒙𝟖 = 2

≈

0.25 {𝑓 (0) + 2[𝑓(0.25) + 𝑓 (0.5) + 𝑓 (0.75) + 𝑓 (1) + 𝑓 (1.25) + 𝑓(1.5) + 𝑓 (1.75)] + 𝑓(2)} 4

= 0.4216

b. Aplique la regla compuesta de Simpson ≈

0.25 {𝑓 (0) + 4[𝑓(0.25) + 𝑓(0.75) + 𝑓(1.25) + 𝑓 (1.75)] + 2[𝑓(0.5) + 𝑓(1) + 𝑓 (1.5)] 3 + 𝑓(2)} =

c.

0.25 (0 + 3.4311 + 1.5995 + 0.0733) = 0.4253 3

Aplique la regla compuesta del punto medio

ℎ=

𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 2−0 →𝑛= −2= −2 =6 𝑛+2 ℎ 0.25

𝑥𝑖 = 𝑎 + (𝑖 + 1)ℎ, 𝑖 = −1,0,1, … , 𝑛 + 1

𝒙𝟎 = 0 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟐𝟓

𝒙𝟑 = 0.75 𝒙𝟒 = 1

𝒙𝟔 = 1.5 𝒙𝟕 = 1.75

𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟓

𝒙𝟓 = 1.25

𝒙𝟖 = 2

≈ 2(0.25)[𝑓(0.25) + 𝑓(0.75) + 𝑓 (1.25) + 𝑓 (1.75)] = 0.425

11. Un automóvil recorre una pista de carreras en 84s. Su velocidad en cada intervalo de 6s se determina mediante una pistola de radar y esta dad en 𝒇𝒕 𝒔−𝟏 , desde el principio del recorrido por los datos de la siguiente tabla. Tiempo

0

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

Velocidad

124

134

148

156

147

133

121

109

99

85

78

89

104

116

123

𝒏 = 𝟏𝟒 𝑛−1

𝒃

ℎ ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ≈ ∗ [𝑓(𝑎) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) + 𝑓 (𝑏)] 2 𝒂 𝑖=1

Datos 𝑛 = 14

ℎ=6

𝒃

∫ 𝒗(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝒙(𝒕) ≈ 𝒂

𝑎=0

𝑏 = 84

6 ∗ [124 + 2(134 + 148 + 156 + 147 + ⋯ + 116) + 123] 2

𝟖𝟒

∫ 𝒗(𝒕) 𝒅𝒕 = 𝒙(𝒕) = 9885 𝑓𝑡 𝟎

12. Un estudio de ingeniería del transporte requiere que se calcule el número total de autos que cruzan por una interacción en un periodo de 24 horas. Un individuo la vista en diferentes momentos durante el curso de un día y cuenta durante un minuto los autos que pasan por la interacción. Utilice los datos que se resumen en la tabla para estimar el numero total de autos que cruzan por día (Tenga cuidado con las unidades.) Tiempo(h)

7:30

7.45

8:00

8:15

8:45

9:15

Tasa (autos por 4 min)

18

24

14

24

21

9

Tasa (Autos por 4 min)

Tiempo (min) [𝒕(𝒊 + 𝟏)]𝒕𝒊

18

0

24

15

14

30

19

45

21

75

9

105

𝒃

∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ≈ 𝒂

ℎ=

𝑛 2

𝑛 −1 2

𝑘=1

𝑘=1

ℎ ∗ [𝑓(𝑎) + 4 ∑ 𝑓 (𝑥2 𝑘 − 1) + 2 ∑ 𝑓(𝑥2 𝑘) + 𝑓 (𝑏)] 3

𝑏−𝑎

ℎ=

𝑛

Total, de autos por día =

105−0 5

ℎ = 21

21 [18 + 4 ∗ (24 + 24) + 2 ∗ (14 + 21) + 9] 3

Total, de autos por día =

21 3

[289]

Total, de autos por día = 2023

13. Una barra sujeta a una carga axial (véase en la figura a) se deformará como se ilustra en la curva esfuerzo-tensión que aparece en la figura b). El área bajo la curva desde el esfuerzo cero hasta el punto de ruptura se denomina modulo de rigidez del material. Proporciona una medida de la energía por unidad de volumen que se requiere para hacer que el material se rompa. Para ello, es representativo de la capacidad del material para superar una carga de impacto. Use integración numérica para calcular el modulo de rigidez para la curva esfuerzo-tensión que se aprecia en la figura b).

𝑀. 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 1 ≈

1 (0.02)[40 + 4(40) + 37.5] 3

𝑀. 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 1 = 1.583333

ℎ = 0.05 𝑀. 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 2 ≈

1 (0.05){𝑓(0.05) + 4[𝑓(0.10) + 𝑓 (0.20)] + 2𝑓(0.15) + 𝑓 (0.25)} 3

𝑀. 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 2 ≈

1 (0.05)[37.5 + 4(43 + 60) + 2(52) + 55] 3

𝑀. 𝑅𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 2 ≈ 11.724933

14. Durante un levantamiento se le pide que calcule el área del terreno que se muestra en la figura. Emplee reglas de Simpson para determinar el área.

Considerando los límites del terreno

𝒙𝒊

Distancia f(ft)

Distancia (ft)

𝒙𝟎

200

4300

𝒙𝟏

400

4100

𝒙𝟐

600

4000

𝒙𝟑

800

3900

𝒙𝟒

900

3800

𝒙𝟓

1000

3500

𝒙𝟔

1100

3400

𝒙𝟕

1200

3350

𝒙𝟖

1400

3250

𝒙𝟗

1600

3200

𝒙𝟏𝟎

1800

3000

𝒙𝟏𝟏

2000

2850

𝒙𝟏𝟐

2200

2700

𝒙𝟏𝟑

2300

2600

𝒙𝟏𝟒

2400

2500

𝒙𝟏𝟓

2600

2400

𝒙𝟏𝟔

2800

2300

𝒙𝟏𝟕

3000

2150

𝒙𝟏𝟖

3150

2000

𝒙𝟏𝟗

3200

1800

𝒙𝟐𝟎

3150

1600

𝒙𝟐𝟏

3150

1400

𝒙𝟐𝟐

3000

1200

𝒙𝟐𝟑

2800

1000

𝒙𝟐𝟒

2700

800

𝒙𝟐𝟓

2400

600

𝒙𝟐𝟔

2300

400

𝒙𝟐𝟕

2300

200

𝒃

𝑛 2

𝑛 −1 2

𝑘=1

𝑘=1

ℎ ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ≈ ∗ [𝑓(𝑎) + 4 ∑ 𝑓 (𝑥2 𝑘 − 1) + 2 ∑ 𝑓(𝑥2 𝑘) + 𝑓(𝑏)] 3 𝒂

𝑎𝑟𝑒𝑎 =

200 {4300 3 + 4[4100 + 3900 + 3500 + 3350 + 3200 + 2850 + 2600 + 2400 + 2150 + 1800 + 1400 + 1000 + 600 + 200] + 2[4300 + 4000 + 3900 + 3350 + 3200 + 2850 + 2600 + 2400 + 2150 + 1800 + 1400 + 100 + 600 + 200] + 200}

𝑎𝑟𝑒𝑎 =

200 [4300 + 4(32850) + 2(30950) + 200] 3

𝑎𝑟𝑒𝑎 = 13186666.67 𝑓𝑡 2