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UNIDAD 1: PASO 2 - RECONOCER LOS ELEMENTOS MATEMÁTICOS QUE IMPLICA EL SISTEMA DE CONVERSIÓN ANALÓGICA DIGITAL Jonathan Stiven Sanchez Juan Fernando Alvarez Facultad de ingeniería Universidad Nacional Abierta y Distancia Tunja, Colombia

2019 Resumen Este documento contiene la solución del paso 2 del curso Procesamiento Digital de Señales, en el que se plasma la actividad teórica respondiendo una serie de preguntas y seguido de la realización de una serie de ejercicios que aplican dichos conceptos estudiado en la unidad 1 del curso en los que se estudió el procesamiento Digital de Señales, en el que se mostraran conceptos y ejercicios sobre las temáticas de señal analógica, digital, continua, discreta y muestreo. Abstract This document contains the solution of step 2 of the Digital Signal Processing course, which reflects the theoretical activity by answering a series of questions and followed by the completion of a series of exercises that apply these concepts studied in unit 1 of the course in those who studied the Digital Signal Processing, in which concepts and exercises on the topics of analog, digital, continuous, discrete and sampling signal will be shown

Keywords: señal, muestreo, análoga, digital, cuantización, ancho de banda.

I. INTRODUCCIÓN

L

As señales permiten la comunicación entre dos entidades o sistemas estructurada por unas características que la compones dando así elemento para dale características nuevas sin perder la esencia o mensaje original y por lo consiguiente permite una conversión de la señal en la electrónica la conversión de señales es muy común ya que permite su procesamiento con mayor facilidad y precisión y con ayuda de filtros esta se limpia de manera que el ruido o frecuencias parasitas sean eliminadas un factor, muy importante es la cantidad de muestras que tiene la señal ya que entre mayor cantidad la señal mejora su calidad . .

II. OBJETIVOS 

El estudiante comprende los procedimientos que integran la conversión analógica digital, y su implicación en el dominio de la frecuencia y del tiempo, mediante análisis matemático

III. CONTENIDO 1) ¿Qué es una señal muestreada? Según el teorema de Nyquist-Shannon la cantidad de veces que debemos medir una señal para no perder información debe de ser al menos el doble de la frecuencia máxima que alcanza dicha señal.

En otras palabras, si deseamos grabar una conversación telefónica, como el ancho de banda de la red telefónica es de 3khz, para no perder información deberemos tomar del orden de 6.000 muestras/segundo. 2) ¿Qué es una señal cuantizada? Es el proceso de asignación de un amplio conjunto de valores de entrada a un (contable) más pequeño conjunto – tales como redondeo valores de alguna unidad de precisión. Un dispositivo o función algorítmica que realiza la cuantización es llamado un cuantificador. El error de redondeo introducido por cuantización se denomina error de cuantización. 3) ¿Cuál es el fenómeno llamado Alias o Aliasing? El aliasing se produce por un muestreo erróneo de señales digitalizadas, generando imperfecciones en dichas señales. Según el Teorema de Nyquist-Shannon, utilizado en el muestreo de señales, si deseamos replicar precisamente la forma de una señal determinada, la frecuencia del muestreo debe ser superior al doble de la máxima frecuencia a muestrear (es decir, que si deseamos replicar una señal cuya frecuencia es de 100 Hz la tasa o rango de muestreo con la que trabajemos debe ser superior a 200 Hz). Si dicha condición no se cumple, se generan replicaciones de la señal original (alias) que difieren de ésta en su composición, y que además se superponen, generando el efecto de aliasing (también llamado efecto Nyquist, submuestreo o distorsión por solapamiento) imposibilitando recuperar la señal original. 4) ¿Qué indica el teorema de muestreo de Nyquist? El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, también conocido como teorema de muestreo de Whittaker-NyquistKotelnikov-Shannon o bien teorema de Nyquist, es un teorema

2 fundamental de la teoría de la información, de especial interés en las telecomunicaciones. Este teorema fue formulado en forma de conjetura por primera vez por Harry Nyquist en 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), y fue demostrado formalmente por Claude E. Shannon en 1949 (Communication in the presence of noise). El teorema trata del muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, es decir, aún no han sido cuantificadas. 5) ¿Qué realiza la transformada de Fourier? Es una transformación de una función del tiempo en otra función de la frecuencia. También se dice que la función original está en el ‘dominio del tiempo’ y la transformada la pasa al ‘dominio de la frecuencia’. Recordemos que el “dominio” de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable en el conjunto origen. Cuando es el ‘dominio del tiempo’ los valores serán valores de tiempo (ej: 2 segundos, 7 segundos, etc)… Cuando se habla de ‘dominio de la frecuencia’ los valores son valores de frecuencia (ej: 7 radianes por segundo, 100*PI radianes por segundo, etc). 6) ¿Qué es la transformada rápida de Fourier? La Transformada Rápida de Fourier(Fast Fourier Transform) es una herramienta fundamental en el procesado digital de señales. Su origen es relativamente reciente puesto que fueron J.W.Cooley y J.W Tukey, quienes hacia 1965 abordaron por primera vez el problema de la programación de un algoritmo para el cálculo de series complejas.

1.2 ¿Se presenta fenómeno alias o aliasing si 𝑥(𝑡) es muestreada a 𝑆 = 3500 𝐻𝑧? Explique paso a paso y si presenta alias, encuentre la frecuencia 𝑓𝑎 Solución: Tenemos la señal:

Siguiendo con el teorema de Nyquist Shannon o fenómeno de alias:

1.1 Tenemos que:

Por lo tanto, no se produce el fenómeno de aliasing y se está cumpliendo el criterio de Nyquist Shannon porque la frecuencia de muestro es dos veces mayor que la frecuencia máxima. No es necesario hallar la frecuencia máxima. 1.2 Calculamos:

De manera que se produce el fenómeno de aliasing porque no se está cumpliendo el criterio de Nyquist Shannon, dice que la frecuencia de muestro debe ser dos veces mayor que la frecuencia máxima. Como se presente el fenómeno de aliasing se debe hallar la frecuencia máxima: Es decir, para poder muestrear la señal a 3500 hz debo tener una frecuencia máxima de -1500 hz. Ejercicio 5 juan Fernando Ejercicio 5: Siendo 𝑥(𝑡) = 3 𝑐𝑜𝑠(12𝑘𝜋 𝑡) + 5 𝑠𝑒𝑛(16𝑘𝜋 𝑡) + 8 𝑐𝑜𝑠(32𝑘 𝜋 𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(48𝑘 𝜋 𝑡) Resuelva: 1.1.

Encuentre las frecuencias

de cada una de las

componentes de la señal Ante todo debe quedar claro que la FFT no es una nueva transformada sino que se trata de un algoritmo para el cálculo de la Transformada Discreta de Fourier (DFT). Su importancia radica en el hecho que elimina una gran parte de los cálculos repetitivos a que está sometida la DFT, por lo tanto se logra un cálculo más rápido. Además, la FFT generalmente permite una mayor precisión en el cálculo de la DFT disminuyendo los errores de redondeo

Frecuencia de muestreo. S = 16k Hz Primer componente 2cos (12kπ t) donde

IV. EJERCICIOS MUESTREO ejercicio 1 jonathan Siendo 𝑥(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(2𝜋 𝑓0𝑡) donde la frecuencia 𝑓0 = 2000𝐻𝑧. Resuelva: 1.1 ¿Se presenta fenómeno alias o aliasing si 𝑥(𝑡) es muestreada a 𝑆 = 4500 𝐻𝑧? ? Explique paso a paso y si presenta alias, encuentre la frecuencia 𝑓𝑎

S>

= 6 kHz 16 > 6

No hay variación ya que se funda teorema de Nyquist Shannon Segundo componente

3 5 sen (16kπ t) donde S>

= 8 kHz

16 > 8

No hay variación ya que se funda teorema de Nyquist Shannon

Tercer componente 8 cos (32k π t) donde S>

= 16 kHz

Ejercicio 5: Jonathan stiven sanchez Siendo

16 > 16

Sufre hay variación de aliasing ya que no cumple con el teorema de Nyquist Shannon donde S >

Resuelva:

Cuarto componente Sen (48k π t) donde S>

= 24 kHz

16 > 24

Sufre hay variación de aliasing ya que no cumple con el teorema de Nyquist Shannon donde S >

Se va a muestrear una senoidal con niveles de amplitud de -2V y 2V, y se va a cuan tizar por redondeo con un error rms 𝜎 = 10𝑚𝑉. ¿Cuántos bits 𝐵 se requieren? Se cuenta con el intervalo de escala completa el cual es:

Multiplicación de símbolos V. EJERCICIOS CUANTIZACIÓN ejercicio 1: juan fernando alvarez Halle el número de bits

, para cuantizar una señal

Para encontrar el valor de B, se cuenta con:

muestreada que cambia Entre -5V y 5V, y tiene un error rms de

Aplicando logaritmo en ambos extremos de la ecuación: Hallamos el delta

Hallamos el número de bits B

Entonces

4

Reemplazo

=

=7.17

VI. EJERCICIOS TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

Transformada Discreta de Fourier Cada estudiante realizará el algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier, en el cual debe estar planteada la sumatoria de transformada. Dicho algoritmo se realizará para una señal de longitud de tres (3) muestras. Los tres valores de las muestras corresponden a los tres últimos números del documento de identificación, por ejemplo, si mi cédula es 1056030372, entonces el algoritmo se hará para la señal x[n] = [372]. Para desarrollar esta parte el estudiante podrá utilizar Matlab, Octave Online, o Scilab.

Se calcula la magnitud y ángulos de la fase. Magnitud: se eleva la parte real y la imaginaria al cuadrado y se calcula la raíz cuadrada.

Ángulos: inversa de la tangente de la parte imaginaria sobre la real.

Enlace video https://youtu.be/3wWw8AbyYrY

VII. SONIDOS

Matriz 3*3 por matriz x(n)

Cada estudiante investigará sobre el rango de frecuencias que el oído humano es capaz de escuchar, además investigará cual es el rango de frecuencias que emiten cinco (5) instrumentos musicales, y a partir de este dato, argumentará a que frecuencia de muestreo mínima se debe muestrear cada uno de los cinco (5) instrumentos musicales para ser digitalizados de manera correcta. Aporte juan Fernando alvarez El oído humano puede responder a diminutas variaciones de presión en el aire, si están en el rango de frecuencia audible, aproximadamente entre 20 Hz – 20 kHz.

Multiplicación de 2 matrices

Una exponencial compleja puede descomponerse en: El oído humano, además de su notable sensibilidad, es capaz de responder a un rango más amplio de estimulación que cualquiera de los sentidos. Se puede decir que el rango

5 dinámico práctico va desde el umbral de audición hasta el umbral de dolor Por lo general, el “sonido” se utiliza para indicar el sonido que puede ser percibido por el oído humano, es decir, el “sonido” se refiere al sonido audible, a menos que se clasifique de otra forma. Una definición razonablemente estándar de sonido audible es, la de una onda de presión con frecuencia entre 20 Hz y 20.000 Hz, y con una intensidad por encima del umbral de audición estándar. Dado que el oído está rodeado por el aire, o tal vez bajo el agua, las ondas de sonido están limitadas a ser ondas longitudinales. También se pueden especificar los rangos normales de presión sonora y la intensidad del sonido. 

EL CLARINETE: está en el rango de frecuencia de 63Hz.





TOMADO DE: https://www.bunkeraudio.com/bunker-audio-portal-sonidodocumentos.php?id=6

aporte Jonathan El oído humano percibe frecuencias entre 20 Hz (tono más bajo) a 20 kHz (tono más alto). Todos los sonidos por debajo de 20 Hz se califican como infrasonidos, aunque algunos animales los escuchan (como por ejemplo la rata topo o el elefante). Del mismo modo, todos los sonidos por encima de 20 kHz se califican como ultrasonidos, pero son sonidos para un gato o un perro (hasta 40 kHz) o para un delfín o un murciélago (hasta 160 kHz). El siguiente diagrama instrumentos:

muestra la frecuencia de los

LA FLAUTA: está en el rango de frecuencia de 125Hz.



LA GUITARRA: está en el rango de frecuencia de 1kHz.



LA TROMPETA: está en el rango de frecuencia de 2kHz.



EL PIANO: está en el rango de frecuencia de 8kHz.

Figure 1 tomada https://www.bunker-audio.com/bunkeraudio-portal-sonido-documentos.php?id=4 Piano 7 kHz Platillos 200 Hz Bajo eléctrico 800 Hz Guitarra 5 kHz Guitarra eléctrica 3 kHz La tabla nos presenta las frecuencias de digitalización: 

6 [8]

Aliasing http://musiki.org.ar/Aliasing [9] LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (F.F.T). recuperado de: http://www.ehu.eus/Procesadodesenales/tema7/ty3.html [10] Rango de frecuencia de algunos instrumentos de la orquesta. Recuperado de: [11] https://www.bunker-audio.com/bunker-audio-portal-sonidodocumentos.php?id=6 [12] ¿Qué rango de sonidos son aceptables para el oído humano? Recuperado de: http://www.audix.cl/hrf_faq/que-rango-de-sonidos-son-aceptablespara-el-oido-humano

Figure 2 tabla tomada https://www.bunker-audio.com/bunkeraudio-portal-sonido-documentos.php?id=4

VIII. CONCLUSIONES Las frecuencias deben sus características a su forma amplitud periodo calidad ruido dando la estructura de una señal y debido a un proceso esta se transforma en una ecuación y esta permite la trasformación de señale de analógica a digitan sin dañar el mensaje original.

REFERENCIAS [1] G. Eason, B. Noble, and I. N. Sneddon, “On certain integrals of Lipschitz-Hankel type involving products of Bessel functions,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, vol. A247, pp. 529-551, Apr. 1955. [2] J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp. 68-73. [3] I. S. Jacobs and C. P. Bean, “Fine particles, thin films and exchange anisotropy,” in Magnetism, vol. III, G. T. Rado and H. Suhl, Eds. New York: Academic, 1963, pp. 271-350. [4]

[5]

[6] [7]

T. L. Gilbert, Formulation, Foundations and Applications of the Phenomenological Theory of Ferromagnetism, Ph.D. dissertation, Illinois Inst. Tech., Chicago, IL, 1956, unpublished. Muestreo digital. Recuperado de: http://serbal.pntic.mec.es/srug0007/archivos/radiocomunicaciones/3%20 SE%D1ALES%20DIGITALES/Muestreo%20digital.pdf Cuantización (procesamiento de señal) https://copro.com.ar/Cuantizacion_(procesamiento_de_senal).html Proceso de Conversión Analógica - Digital http://www.sceu.frba.utn.edu.ar/dav/archivo/homovidens/farrell/ProyFinal-SFARRELL/Proy-Final/Simulador/conversion.html