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• CLARA INÉS LONDOÑO HENAO

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Ecuaciones de primer grado con una incógnita Ejemplo 1

Recordemos para solucionar una ecuación, para este caso lineal se debe dejar la X sin ningún número acompañante. Podemos usar la propiedad de la igualdad para tal fin y consiste en realizar las mismas operaciones con las mismas cantidades en ambos lados o miembros de la ecuación. ;

Ejemplo 2

Ejemplo 3 Hallar un número tal que su triple menos cinco sea igual a su doble mas dos. Solución Sea X el número dado luego:

Ejemplo 4 Se reparten 170 pesos entre 3 personas de forma que la segunda recibe 25 pesos más que la primera y la tercera tanto como las otras dos juntas. ¿Cuánto recibe cada uno? Solución: Sea: X la cantidad que recibe la primera X + 25 la cantidad que recibe la segunda X + X + 25 la cantidad que recibe la tercera La ecuación queda

La cantidad que recibe la primera es 30 La cantidad que recibe la segunda 30 + 25 = 55 La cantidad que recibe la tercera 30 + 30 + 25 = 85

Sistemas de ecuaciones de primer grado de 2 x 2

Ejemplo 1 ecuación 1 ecuación 2 Sumando la ecuación 1 y 2 miembro a miembro y cada término semejante de donde

. Reemplazo este valor en la ecuación 1 se tiene

(

)

Ejemplo 2 ecuación 1 ecuación 2 Despejo y en la ecuación 1 luego la reemplazo en la ecuación 2

Reemplazo este valor en la ecuación 1

Ejemplo 3 Problemas que se pueden resolver mediante un sistema de ecuaciones de 2 x 2 La suma de dos números es 20 y su diferencia es 10. ¿Cuáles son los números? Solución Sean x e y los números luego

Se suman las dos ecuaciones se reemplaza este valor en la ecuación 1

Ejemplo 4 Encontremos la velocidad de un bote, en aguas en reposo, y la velocidad de la corriente de un rio, sabiendo que tarda 3 horas en recorrer una distancia de 45 km aguas arriba y 2 horas en recorrer 50 km aguas abajo. Solución: Sean x

velocidad del bote en agua en reposo

y

velocidad de la corriente

x-y

velocidad en contra de la corriente

x + y velocidad a favor de la corriente

Si se suma las ecuaciones se tiene

Si se reemplaza en la ecuación 1

Ecuaciones de segundo grado Ejemplo 1

Se determinan los valores de a, b y c

Se aplica la fórmula general √

√

Se tienen dos soluciones

Ejemplo 2

Se determinan los valores de a, b y c

Se aplica la fórmula general √

√

No se tiene ninguna solución en los reales, ya que la raíz de una cantidad negativa no pertenece a los reales.

Ejemplo 3 ¿Cuáles son las medidas de un rectángulo si su área es 40 cm 2 y su perímetro es 26 cm? Solución: Sea b la base, h la altura, se tiene:

Despejamos a b de la primera ecuación la reemplazo en la ecuación dos

Se determinan los valores de a, b y c

Se aplica la fórmula general √

√

Las soluciones son:

Reemplazando en la ecuación 2

Los lados del rectángulo son 5cm y 8 cm

Ejemplo 4 Un hombre es cinco veces tan viejo como su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es 2106. Encuentre sus edades. Solución: Sea X la edad del hijo 5x la edad del padre

√ Las edades son 9 años y 45 años. El valor negativo no se toma porque se trata de edades.

Funciones trigonométricas Ejemplo 1 Para el siguiente triángulo rectángulo halle las razones trigonométricas

Determinamos el valor de la hipotenusa √

√

se definen op = 5 ady = 3

Las razones son √

√ √

√

Ejemplo 2 Para el siguiente triángulo rectángulo halle las razones trigonométricas

Determinamos el valor del otro cateto √

se definen op = 6 ady = 8

Las funciones son

Aplicaciones Ejemplo 3 Desde un punto de observación los ángulos de depresión de dos botes alineados son 30° y 45°. Encuentra la distancia entre los dos botes si el punto de observación está a una altura de 400 m.

La distancia AB es el cateto opuesto y 400m es el cateto adyacente. Se busca una función que los contenga a ambos, es la tangente. ̅̅̅̅

̅̅̅̅

La distancia BC es el cateto opuesto y 400m es el cateto adyacente. Se busca una función que los contenga a ambos, es la tangente. ̅̅̅̅

̅̅̅̅

Sumamos las distancias 400m + 230.94m= 630.94m Ejemplo 4 El punto de anclaje de un cable que sujeta un poste se encuentra a 12m de éste y lo une con su parte más alta. Si el ángulo que forma el cable con el suelo es de 30º, determine el largo del cable.

Observando el triángulo que se forma se tiene que 12m es el cateto adyacente y el cable es la hipotenusa.

H= 10.392m que es la medida del cable Funciones trigonométricas de ángulos generales Ejemplo Un ángulo está en posición normal y su lado terminal está en (3, –4). Determine el valor de las funciones trigonométricas. Por definición el valor de X representa el cateto adyacente y el valor de Y representa el cateto opuesto. Se necesita determinar el valor de la hipotenusa. Este ángulo tiene su lado terminal en cuadrante IV. √ Las funciones son

Identidades trigonométricas

Demostrar la siguiente identidad

Reemplazamos en función de seno y coseno

Demostrar la siguiente identidad

Reemplazamos en función de seno y coseno

que es la identidad fundamental Ley de los senos Ejemplo 1 Utiliza la ley de los senos para resolver los siguientes triángulos

Se nombran los lados y los ángulos

Aplicamos la ley de senos

Reemplazamos los valores que se tienen

Se observa que se debe tomar los dos primeros términos y despejamos Sen A y luego el ángulo

De lo anterior se puede concluir que el triángulo no se puede construir realmente ya que el valor del seno es mayor que 1.

Ejemplo 2

Se nombran los lados y los ángulos

Aplicamos la ley de senos

Reemplazamos los valores que se tienen

Se observa que no es posible resolver este triángulo ya que ningún par de términos queda con una incógnita, quedan con dos. Supongamos que el valor del lado c corresponde a b con lo que queda

Despejamos a Sen A de los dos primeros términos y luego el ángulo

Con el valor de los ángulos A y B se puede determinar el ángulo C

Ahora se determina el valor de c

Realizamos una tabla para comprobar que a mayor ángulo se opone mayor lado Angulo A = 23.58° Angulo B = 30° Angulo C = 23.58°

Lado a = 12 Lado b = 15 Lado c = 24.14

Comprobamos que es cierto Ley de cosenos Ejemplo Resuelve el siguiente triángulo. Utiliza la ley de cosenos √

Nombramos los lados

Reemplazamos los valores para determinar el valor de b √

√

Hallemos el valor del ángulo A

Ahora hallamos el valor de C

Realizamos una tabla para comprobar que a mayor ángulo se opone mayor lado Angulo B = 30° Angulo A = 52.48° Angulo C = 97.52°

Lado b = 7.57 Lado a = 12 Lado c = 15

Aplicaciones Se desea determinar la distancia entre el punto A y el punto B y entre el punto A y el punto C observe el gráfico.

Determinamos si es posible usar la ley de senos, pero primero se determina el valor del ángulo A

Se usa la primera pareja, primero y segundo término, y se determina b

Se usa la segunda pareja, tercer y segundo término, y se determina c