• Author / Uploaded
• Carlos Fernández

Citation preview

GEOMETRÍA DIFERENCIAL

JUAN MIGUEL SUAY BELENGUER

Primera edición 2019 ISBN 978-0-244-20262-0

Juan Miguel Suay Belenguer c/ El de Pagan, 44 – 03550 – San Juan de Alicante (Alicante) – España. [email protected] Tel.: 630 977 841

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................1

ÍNDICE 1

REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE CURVAS ............................................................................ 3 CURVAS REGULARES ................................................................................................................ 5 DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO ......................................................................................... 7 LONGITUD DE ARCO COMO PARÁMETRO ................................................................................... 8

CURVAS .................................................................................................................. 3 2.1 2.2 2.3 2.4

VECTOR TANGENTE UNITARIO ............................................................................................... 10 RECTA TANGENTE Y PLANO NORMAL ....................................................................................... 11 CURVATURA .......................................................................................................................... 12 VECTOR UNITARIO NORMAL PRINCIPAL ................................................................................. 14 NORMAL PRINCIPAL Y PLANO OSCULADOR.............................................................................. 16 BINORMAL. TRIEDRO MÓVIL ...................................................................................................17 TORSIÓN ............................................................................................................................... 19 INDICATRICES ESFÉRICAS....................................................................................................... 21

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

FÓRMULA DE FRENET ............................................................................................................ 22 ECUACIONES INTRÍNSECAS ..................................................................................................... 23 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA Y UNICIDAD....................................................... 24 REPRESENTACIÓN CANÓNICA DE UNA CURVA ........................................................................... 25 INVOLUTAS ............................................................................................................................ 26 EVOLUTAS ............................................................................................................................. 29 TEORÍA DEL CONTACTO ...........................................................................................................31 CURVAS Y SUPERFICIES OSCULATRICES ................................................................................... 33

CONCEPTO DE SUPERFICIE ..................................................................................... 36

REPRESENTACIONES PARAMÉTRICAS REGULARES ................................................................... 36 CARTAS LOCALES ................................................................................................................... 38 DEFINICIÓN DE SUPERFICIE SIMPLE ....................................................................................... 42 PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL ...................................................................................... 45

TEORÍA DE LAS CURVAS ......................................................................................... 22

CURVATURA Y TORSIÓN ..........................................................................................10

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

2

3

4

5

5.1 5.2 5.3 5.4

6

7

8

5.5

PROPIEDADES TOPOLÓGICAS DE LAS SUPERFICIES SIMPLES ..................................................... 47

PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL ........................................................................................... 50 LONGITUD DE UNA ARCO Y ÁREA DE UNA SUPERFICIE ............................................................. 52 SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL .......................................................................................... 55 CURVATURA NORMAL ............................................................................................................ 61 CURVATURA Y DIRECCIONES PRINCIPALES .............................................................................. 65 CURVATURA GAUSSIANA Y CURVATURA MEDIA .......................................................................68 LÍNEAS DE CURVATURA .......................................................................................................... 69 FÓRMULA RODRÍGUEZ ............................................................................................................71 LÍNEAS ASINTÓTICAS. FAMILIAS CONJUGADAS DE CURVAS ...................................................... 72

PRIMERA Y SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL ........................................................... 50 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

ECUACIONES DE GAUSS-WEINGARTEN ................................................................................... 75 LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Y EL TEOREMA DE GAUSS ............................................. 77 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS SUPERFICIES .................................................................. 79 TEOREMAS RELATIVOS A SUPERFICIES EN GRANDE ................................................................. 81 NOTACIÓN ............................................................................................................................. 82 VARIEDADES ELEMENTALES ................................................................................................... 85 TENSORES .............................................................................................................................86 ÁLGEBRA TENSORIAL .............................................................................................................90 APLICACIÓN DE LOS TENSORES A LAS ECUACIONES DE LA TEORÍA DE SUPERFICIES ................... 91

TEORÍA DE SUPERFICIES .........................................................................................75 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

APLICACIONES SOBRE SUPERFICIES ........................................................................................ 95 APLICACIONES ISOMÉTRICAS. GEOMETRÍA INTRÍNSECA ........................................................... 97 CURVATURA GEODÉSICA ...................................................................................................... 100 GEODÉSICAS ........................................................................................................................ 103 COORDENADAS GEODÉSICAS ................................................................................................ 105 COORDENADAS GEODÉSICAS POLARES .................................................................................. 108 ARCOS DE LONGITUD MÍNIMA ...............................................................................................110 SUPERFICIES DE CURVATURA GAUSSIANA CONSTANTE ........................................................... 113 TEOREMA DE GAUSS-BONNET. .............................................................................................. 114

GEOMETRÍA INTRÍNSECA ....................................................................................... 95

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................... 121

1

INTRODUCCIÓN

Estos apuntes son la traducción de un resumen del texto base de los temas de la parte de Geometría Diferencial de la asignatura Métodos Matemáticos IV perteneciente a tercer año del grado de Físicas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED). En los mismos se exponen los conceptos fundamentales de la geometría diferencial de curvas y superficies en un espacio euclidiano tridimensional.

En el capítulo 2 se estudia el concepto de curva, mientras que los capítulos 3 y 4 se dedican a la teoría de curvas en E3, se han incluido temas escogidos de la teoría del contacto, ya que constituye una introducción muy natural a la teoría clásica de las curvas.

En el capítulo 5, se define la noción de superficie, Se ha puesto mucho cuidado en la definición de superficie, con el propósito de suministrar al lector base firmes que le permitan resolver problemas globales y, además, adelantar ulteriores estudios de geometría diferencial moderna.

Los capítulos 6 y 7 se dedican a la teoría de la geometría no intrínseca de superficies. En ellos se incluye una introducción a los métodos tensoriales y algunos temas escogidos de la geometría global de las superficies. El último capítulo se consagra a la teoría básica de la geometría intrínseca de superficies en E3.

Para la comprensión de algunos conceptos explicados en estos apuntes se suponen conocimientos unos conocimientos sobre la teoría fundamental de los vectores y del análisis vectorial, así como nociones de análisis y topología de conjuntos de puntos en espacios euclidianos, para ello se pueden consultar las referencias de la bibliografía.

Juan Miguel Suay Belenguer

Estos apuntes han representado un esfuerzo de traducción y de maquetación que espero que sean de utilidad a cuantos cursan esta asignatura en la UNED.

1

Función inyectiva

Función sobreyectiva

Función biyectiva

Función compuesta g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.

2

2.1

2 CURVAS

x(t) una aplicación continua e inyectiva. Al conjunto de puntos x(I) se denomina

REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE CURVAS

Sea x : I E 3 , t arco simple.

Fig. 1 Arco simple en ℝ3

x(t) [t, f (t), g(t)]

Por ejemplo, el conjunto de los puntos que cumplen simultáneamente las ecuaciones y = f(t), z = g(t), donde f y g son funciones continúas definidas en el intervalo I = [a, b] (Fig. 1) es un arco simple: t

3

I,

E 3 , donde I

0 /

to

, to

I y x to

,t o

E3 se dice que es localmente inyectiva, si y solo si:

Una circunferencia no es un arco simple, ya toda aplicación continua deba aplicar al menos dos puntos distintos del intervalo en un mismo punto, y por lo tanto no puede ser inyectiva. Una aplicación x : I

Es inyectiva.

E3) mediante una aplicación continua localmente in-

La aplicación x : I E 3 es localmente inyectiva a trozos si es posible dividir el intervalo I en un número finito de subintervalos en los que x sea locamente inyectiva. Se llama curva a la imagen de un intervalo (I yectiva x : I E 3

La aplicación x : I E 3 , t x(t) [x1 (t), x 2 (t), x3 (t)] que define una curva se denomina representación paramétrica de la curva.

Fig. 2 Representaciones paramétricas de tres aplicaciones localmente inyectivas (curvas)

4

CURVAS REGULARES

x x(t) es de clase C1 en I. x (t) 0 pata todo t de I.

Se denomina representación paramétrica regular de una aplicación x en el intervalo I: (i) (ii) 2.2

t( ) es de la clase C1 en I . (ii)

dt d

x(t) t

0 para todo

en I

I , si ésta cumple

Se dice que una función real t = t( ) en un intervalo I es un cambio admisible de parámetro, si cumple: (i)

It x* (t)

I t es equivalente a una representación

I , si existe un cambio admisible de parámetro t = t( ) en I , tal que:

x(t) t

t( ) es una aplicación inyectiva de I en un intervalo It = t(I ) La función inversa = (t) es, a su vez, un cambio admisible de parámetro en It.

Teorema 2.1: Si t= t( ) representa un cambio admisible de parámetro en I , entonces: (i) (ii)

x* (t) t

Se dice que una representación paramétrica regula x paramétrica regular x

(i) t(I

(ii) x(t( ))

Definimos una curva regular como una clase de equivalencia de las representaciones paramétricas regulares. Así una representación x x(t) determina unívocamente una curva C, que consta de todas las representaciones que se relacionan con ella mediante un cambio de variable admisible de parámetro (Fig. 3).

Por ejemplo, x(t) (cos t, sen t,0) t [0,2 ] y x* (t) (cos 2t,sen 2t,0) t [0, ] son equivalentes, ya que describen a una circunferencia 5

Una curva regular x x(t 1 ) x(t 2 ) .

x(t) t

Fig. 3 Representación paramétrica equivalente de

x

I , es simple si no tiene puntos múltiples, es decir, si t1 ≠ t2 implica que

Se dice que una curva regular x x(t) t I t , es un arco regular si I es un intervalo cerrado a ≤ t ≤ b, a los puntos x(a) y x(b) se denominan extremos del arco. Se llama segmento de arco de una curva x x(t) sobre I a un arco x x * (t) t I * , donde I* es cualquier intervalo cerrado contenido en I y x* (t) es la restricción de x(t) a I*. 6

Si x x(t) y x x* ( ) son dos representaciones de una curva regular. Si dt d 0 , entonces la función t( ) es creciente, luego x x(t) y x x* ( ) describen la curva en el mismo sentido. Si dt d 0 , entonces t( ) será decreciente, y x x(t) y x x* ( ) describirán la curva en sentidos opuestos.

DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO

Se llama curva regular orientada a una curva a lo largo de la cual se ha escogido un sentido específico. En otras palabras, una curva regular orientada es un conjunto de representaciones paramétricas regulares tales que dos cualesquiera de ellas se relacionan entre sí mediante un cambio admisible de parámetro con derivada positiva. 2.3

Fig. 4 Longitud de arco

Consideremos un arco C, no necesariamente regular, dado por x x(t) a ≤ t ≤ b, consideremos la subdivisión del intervalo [a, b] de la forma siguiente: a = t0 < t1 < · · · < tn = b.

Esto determina una sucesión de puntos: x 0 x(t 0 ) x 2 x(t 2 ) x n x(t n ) los cuales unimos mediante rectas formando una poligonal P tal como se puede ver en la Fig. 4. La longitud del segmento determinado por dos puntos consecutivos x i 1 y xi es igual a x i 1 xi . Luego la longitud de la poligonal P es igual a: 7

s(P)

n i 1

xi 1

xi

s(t)

t t0

n i 1

x(t i 1 ) x(t i )

dx dt dt

x(t) una curva regular en I, y consideremos la función:

LONGITUD DE ARCO COMO PARÁMETRO

Se denomina longitud de arco o longitud de la representación paramétrica x superiores de S(P) para todas las subdivisiones del intervalo [a, b]. 2.4 Sea x

s

d dt

t t0

dx dt dt

dx dt

x(t) al ínfimo de las cotas

Para t ≥ t0 s ≥ 0, que será igual a la longitud de arco de la curva comprendida entre x(t 0 ) y x(t) . Si t < t0 s < 0, es la longitud de arco entre x(t 0 ) y x(t) tomada con signo negativo. Si derivamos s:

ds dt

t t0

dx dt dt

t0 t

dx dt dt

Qué es distinto de cero, luego cumple las condiciones para que s = s(t) sea un cambio admisible de parámetro en I. Además, s(t) es de clase Cm en I si x(t) es de clase Cm. Luego la longitud de arco s se puede introducir como un parámetro a lo largo de la curva. Esta representación en función de la longitud de arco no es única, ya que depende del punto inicial to que se escoja y de la orientación.

s(t)

Por esta razón, para ser más precisos, decimos, por definición, que una representación x x(s) en I, es una representación en función de la longitud de arco o, también, una representación natural si |dx/ds| = 1. 8

Teorema 2.2: Si x

x(s) es una representación natural de una curva C, entonces:

|s2 — s1| es la longitud del segmento de arco de C entre x(s1 )

x(s 2 ) .

(i)

t t0

dx dt dt

(ii) (iii)

s(t)

Si x x* (s* ) es cualquier otro tipo de representación natural de C, entonces s= ±s* + constante. Si x x* (t) es cualquier representación de C de la misma orientación que la x x(s) , entonces, ds/dt = |dx/dt|. De lo contrario, ds/dt = -|dx/dt|

s

dx dt dt ds

dx dt

ds dt

dx dt

dx dt

1

x(t(s)) es una representación natural puesto que, en ese caso, se tiene:

Si s = s(t) está definida por:

Entonces x

dx ds

9

3.1

VECTOR TANGENTE UNITARIO

Fig. 5 Vector tangente

lim

0

x(s

Secante

x

1.

x(s) define la direc-

3 CURVATURA Y TORSIÓN

s) x(s) s

Sea Si x x(s) es una representación natural de una curva C. La derivada dx ds ción de la tangente a la curva en el punto x(s) , ya que (Fig. 5): x(s)

s

El vector x(s) es un vector unitario, porque en una representación natural dx ds

dx ds ds ds*

dx ds

Si x x(s*) es cualquier otra representación natural de C, entonces, de acuerdo con el teorema 2.2, se cumple que s = s* + constante y dx ds*

Es decir, dx/ds* tiene el mismo o sentido opuesto que dx/ds. Todo depende de la orientación de x x(s*) . Por lo tanto, x(s) es una cantidad orientada. En la Fig. 5 se muestra que esto ocurre en el

10

t(s)

x(s) .

sentido de los valores crecientes de s. El vector x(s) se denomina vector tangente unitario de la x(s) en x(s) y se designará por t

RECTA TANGENTE Y PLANO NORMAL

curva, orientada x 3.2

Fig. 6 Recta Tangente y Plano Normal

k t0

-

0 y dv > 0, el valor de esta área será:

s

W

Por lo tanto, definimos el área de la región R en x exista, A

en donde W es el conjunta de los puntos que pertenecen al plano de los parámetros y que se aplican sobre R.

Fig. 23 Región R de una carta

Se observa que, sobre una superficie orientada, la anterior definición de área es independiente del tipo de representación de R. En efecto, supongamos que x x* ( , ) sea otra carta que también contenga a (u, v) 0 para todo (u, v) perteneciente a W. Mediante un cálculo sencillo llegamos a: ( , ) R y tal que

54

Luego

E*

E= E* F E*

W

G

A

2 F* v

2 u u

2 F*

u

v

2 F* (

2 v

u

EG F 2 du dv

u v

2 u u

G* v 2 v

v

) G* u

v

W*

EG F 2

(u, v) du dv ( , )

Fig. 24 Normal unitaria

(E*G *

d

(u, v) ( , ) F*2 )

(E*G* F*2 ) d

; y este es el resultado que se quería obtener.

(E*G * F*2 )

G*

W

SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL

Donde W* es la imagen de W en el plano 6.3

Supongamos, ahora, que x

2

A*

x(u, v) es una carta en una superficie de clase ≥ 2. Entonces, en cada punto xu x v que es una función de u y v, de clase C1 y que tiene xu x v

N u du N v dv . Obsérvese que, en la Fig. 24, dN es ortogonal a N , pues es paralela

de la carta existe una normal unitaria, N la diferencial dN

55

L du 2

2M

2M du dv N dv 2

L

(xu du x v dv) (Nu du N v dv)= -xu Nu du 2 (xu N v

dx dN

N

x v Nu ) du dv x v Nv dv2

al plano tangente de la imagen esférica de N . Esto también se deduce del hecho de que dN d(1) d(N N) 2 d N N . De modo que dN es un vector paralelo al plano tangente en x , como se muestra en la Fig. 24.

dx dN

Consideremos la siguiente cantidad: II

II

Esta función recibe el nombre de segunda forma fundamental de x x(u, v) . En este caso, también II es una función homogénea de segundo grado en du y dv, de coeficientes L, M y N que son funciones continuas de u y v, y se llaman segundos coeficientes fundamentales.

M

L

L*

L*

L*

2 u u 2 v

2M* v

u

v

M* ( 2M*

u

u

v

N*

2 v

u

2 u

v

N*

v

) N*

u

v

Se demuestra fácilmente que II es invariante en el mismo sentido que lo es I en una trasformación de parámetros que conserve la dirección y el sentido de N ; de lo contrario, II cambiará de signo. Además, sus coeficientes se trasforman de la misma manera que los primeros coeficientes fundamentales. En otros términos, si x x* ( , ) es cualquier otra carta de la superficie, entonces en un punto de la inter(u, v) 0 , se tiene: ( , ) sección en el que

N

xuu N xu N u x vu N x v N u

0 (xu N) v 0 (x v N) v

xuv N xu N v x vv N x v N v

Como quiera que xu y x v , son perpendiculares a N para cualquier (u, v), se tiene:

0 (xu N)u 0 (x v N)u

56

Por lo tanto:

xuu N

xu N u

L

xuv N

xuu N

2M du dv N dv 2

xu N v

M

x v Nu

xuv N

xuu N du 2

N

y x vv N

x vv N

xv Nv

2xuv N du dv x vv N dv 2

d2 x N

Esto proporciona otras expresiones de L, M y.N que pueden alternar con las ya conocidas.

L du 2

Por otra parte, tenemos que:

II

x(u, v) dx

PQ N a la proyección de PQ so-

1 2 d x o(du 2 dv 2 ) 2

bre la normal unitaria N en P, como se muestra en la Fig. 25. La distancia d es positiva o negativa, según que Q esté de un lado o del otro del plano tangente en P; por otra parte, |d| es la distancia perpendicular de Q al plano tangente en P. Supongamos, ahora, que P y Q son los puntos x(u, v) y x(u du, v dv) respectivamente. El teorema de Taylor nos da:

Llamemos d

Supongamos que P es un punto de una superficie de clase ≥ 2, Q es un punto en la vecindad de P y x x(u, v) una carta que contiene a P y Q.

Donde d 2 x xuu du 2 2xuv du dv x vv dv 2 es la derivada de segundo orden de x en (u,v) y en la dirección y sentido de du, dv.

Fig. 25 Distancia d

x(u du, v dv)

57

d

PQ N

Pero, dx N

(x(u du, v dv) x(u, v)) N

dx

1 2 d x o(du 2 dv 2 ) N 2

1 2 d x N o(du 2 dv 2 ) 2

dx N

1 II o(du 2 dv 2 ) 2

0 , pues dx es paralela al plano tangente en P. Por consiguiente, d

1 2

L du 2

2M du dv N dv 2

1 2 d x N o(du 2 2

dv 2 )

De modo que II es la parte principal del duplo de la proyección de PQ sobre N y II es la parte principal del duplo de la distancia perpendicular de Q al plano tangente en P. La función 1 II 2

ii.

i.

Caso hiperbólico: Se dice que un punto -es hiperbólico si LN — M2 < 0. En este caso, será un paraboloide hiperbólico, como se ve en la Fig. 26(b), por ser función de (du, dv). En este caso, existen en el plano tangente en P, dos rectas distintas que dividen al plano tangente en cuatro regiones en las cuales es alternativamente positivo y negativo. Sobre las dos rectas es = 0. En las proximidades de un punto hiperbólico, la superficie se halla a ambos lados del plano tangente como se ve en la figura.

Caso elíptico: Se dice que un punto es elíptico si LN — M2 > 0. En este caso, será un paraboloide elíptico, como se aprecia en la Fig. 26(a), por ser función de du y dv. Obsérvese que a conserva el mismo signo para cualquier (du, dv). En las vecindades de un punto elíptico la superficie está en un solo lado del plano tangente en el punto y tiene la forma que se muestra en la figura.

se denomina paraboloide osculador en P. La naturaleza de tal paraboloide determina cualitativamente la naturaleza de la superficie en las vecindades de P. Distinguiremos cuatro casos que dependen del discriminante LN — M2.

iii.

58

Caso parabólico: Se dice que un punto es parabólico si LN — M2 = 0 y L2 + M2 + N2 ≠ 0, es decir, si LN — M2 = 0 y los coeficientes L, M y N no son todos iguales a cero. En este caso, a será un cilindro parabólico, como se observa en la Fig. 26(c), por ser función de (du, dv). En este

iv.

caso, sólo hay, en el plano tangente en P, una recta a lo largo de la cual es = 0, en cualquier otro caso, conserva el mismo signo. En las vecindades de un punto parabólico la superficie misma puede hallarse, a ambos lados del plano tangente.

Caso plano: Se dice que un punto es plano si L = M = N = 0. En este caso es = 0 para cualquier (du, dv). Y el orden del contacto de la superficie con el plano tangente es mayor que en los casos precedentes.

Fig. 26 Paraboloide osculador en función del discriminante LN — M2

De acuerdo con el anterior análisis geométrico, es de esperar que las propiedades de un punto de una superficie, bien sea elíptico, hiperbólico, parabólico o plano, no dependan del tipo de representación de la superficie. Esto ocurre, y puede verificarse analíticamente. En efecto, x x* ( , ) es cualquier otra carta de la superficie, con base en las ecuaciones:

59

N

M

L L*

L*

L*

2 u u 2 v

2M* v

u

v

M* (

2M*

M*2

u

u

N*

v

N* 2 v

u

2 u

v

(u, v) ( , )

2

v

) N*

(L N M 2 )

Se puede demostrar que en cada punto de la intersección es: L* N*

u

v

(u, v) Como 0 , se deduce que L*N* — M*2 es positivo, negativo o nulo cuando lo sea LN — M2. De ( , ) las ecuaciones anteriores y de sus correspondientes inversas, se deduce también que L = M = N = 0 si y sólo si L* = M* = N* = 0.

x(u du, v dv)

dv 2 )3 2

dx N

x(u, v) dx

1 3 d x N o (du 2 6

x(u du, v dv) x(u, v) N 1 II 2

1 2 dx 2

dv2 )3 2

1 3 d x N o (du 2 6

1 3 d x o (du 2 6

1 2 dx N 2

dv 2 )3 2

La naturaleza de la superficie en un punto plano se describe por medio de los términos de mayor orden que sigan en el desarrollo de x(u, v) . Es decir, supongamos que x x(u, v) es de clase C3 y P x(u, v) es un punto plano; entonces,

Y d =

1 1 d3x N [x N du 3 xuuv N du2 dv 3 xuvv N du dv2 6 6 uuu 1 [A du 3 B du 2 dv C du dv 2 D dv 3 ] 6

xvvv N dv3 ]

Como es L = M = N = 0 en P, tenemos II = O. Por consiguiente, la superficie se aproxima por medio de

=

60

CURVATURA NORMAL

Fig. 27 Silla de montar

Si la cúbica A·x3 + B·x2 + C·x + D tiene tres raíces distintas, entonces existirán por P tres rectas que pertenecen al plano tangente en P, y que dividen este plano en seis regiones en las cuales es alternativamente positiva y negativa. En ese caso, es una función de (du, dv) que describe una silla de montar como se muestra en la figura 9-8. Según la naturaleza de las raíces de A·x3 + B·x2 + C·x + D se presentarán algunas variaciones.

6.4

(k N) N

Sean P un punto de una superficie de clase ≥2, x x(u, v) una carta que contiene a P y, x x(u(t), v(t)) una curva regular C de clase C2 que pasa por P. Se llama vector curvatura normal de C en P y se designa por k n , al vector que es proyección del vector curvatura k de C en P sobre la normal N en P; es decir,

kn

Obsérvese que k n es independiente del sentido de N . También es independiente del sentido de C, pues n

O sea:

k N

k es independiente del sentido de C. La componente de k n en la dirección de N se denomina curvatura

normal de C en P y se simboliza con

n

61

En este caso, el signo de

dt ds

n

dx ds

dx dt

dx dt

y el vector curvatura es

depende del sentido de N , pero es independiente del sentido de C.

xv

dt N dt du dt

dx dt Nu

t

du dt

dN dt

dv dt

du dt

2

2

dt dN N t tendremos: dt dt

xu

L

dv dt

dx dt

dx dN dt dt

du dt

dx dt

dv dt

2

N

dv dt

xu

du dt

xv

dx dN dx dx dt dt dt dt

dv dt

G

dv dt

du dt

dv dt

xv

2M

du dt

dv dt

2F

Nv

xu

dv dt

dx . Utilizando el hecho de que t es perpendicular a N en toda de la curva, de tal modo dt

=

k N

d (t N) dt

dt dt

Recordemos que la tangente unitaria a C en P es el vector t

k que 0

n

Por lo tanto:

n

E

Observemos que n, por ser función de du/dt y de dv/dt, solo depende de la razón (du/dt)/(dv/dt), es decir, de la dirección de la tangente a C en P. En otras palabras n es una función de los primeros y segundos coeficientes fundamentales los cuales sólo dependen de P.

Teorema 6.2. Todas las curvas que pasan por un punto P de una carta y qué sean tangentes a una misma recta que pasa por P tienen la misma curvatura normal en P.

(n, N)

2

en P. De acuerdo con la ecuación

n

k N

Supongamos, ahora, que C es una curva que tiene normal principal n en. P, continua, y que el sentido de n a lo largo de C se escoge de modo que 0

62

n

k N

t N

(n N)

cos

en dónde (n, N) . Como n, sólo depende de la dirección de la tangente a C y cos viene determinado por la dirección de la normal principal a C, se deduce que si cos ≠ la curvatura de C en P está determinada inequívocamente por el plano osculador de C, como se muestra en la Fig. 28.

Fig. 28 Plano osculador

Observemos que cos = 0 si y sólo si n es paralela al plano tangente en P o, lo que es igual, si y sólo si coinciden el plano osculador y el plano tangente.

Teorema 6.3. Todas las curvas de una superficie que pasan por un punto P y tienen en ese punto el mismo plano osculador, tendrán la misma curvatura K en P, supuesto que el plano osculador no sea tangente a la superficie.

Del anterior teorema se deduce que, con excepción de las curvas cuyo plano osculador sea tangente a la superficie, todos los posibles valores de la curvatura de una curva que pasa Por P, se puedan obtener considerando las curvas que se obtienen al cortar con planos que pasen por P. En particular, supongamos que C es una curva que pasa por P, recortada por un plano que contiene a N ; es decir, supongamos 63

que C es una sección normal de la carta. Entonces, n N y, por tanto, tenemos que cuencia,

n

= . En conse-

Teorema 6.4. La curvatura de una sección normal de una carta en un punto P es igual a la curvatura normal de la sección en P.

n

L dv dt

du dt

2

2

2M

du dt

du dt

dv dt

dv dt

G

N

dv dt

dv dt

II I

2F

L du 2 2M du dv N dv 2 E du 2 2F du dv G dv 2

E

Puesto que la curvatura normal de C en P sólo depende de P y de la dirección de la tangente a C en ese punto, entonces podemos hablar de la curvatura normal en P en la dirección du:dv, siendo du2 + dv2 ≠ 0, y, luego de acuerdo con la relación:

Se puede escribir: n

Aquí, los du:dv reciben el nombre de números directores de la recta en el plano tangente paralelo al vector xu du x v dv . Los números directores du:dv y du’:dv’ determinan la misma recta si y sólo si son proporcionales, es decir, si y sólo si existe un ≠0 tal que du= ·du’ y dv= ·dv’.

II La ecuación n nos permite afirmar, por una parte, que n, es invariante (en el mismo sentido que I lo son I y II) en toda trasformación paramétrica que conserve el sentido de N ,y, por otra parte, que n cambia de signo en, toda, trasformación paramétrica que invierta el sentido de N . Además, como I es definida positiva, se deduce que n es positiva, negativa o nula siempre que lo sea II. Si P es un punto elíptico, entonces n ≠ 0 y conserva el mismo signo para todo du:dv. Si P es hiperbólico, n es positiva, negativa o nula según sea du:dv. Si P es parabólico, n, conserva su signo y es nula para la dirección en la que sea II = 0. En un punto plano, n = 0 en todas las direcciones.

64

6.5

CURVATURA Y DIRECCIONES PRINCIPALES

xu x v

0 G

xv xv

1

Necesitamos estudiar en detalle la curvatura normal en un punto P de una superficie. En virtud de las propiedades invariantes de n, podemos suponer que una vecindad de P se representa por una carta de Monge de la forma x u e1 v e2 f (u, v) e3 tal que xu e1 y x v e2 en P. Esto se logra colocando la superficie de modo que P quede en el origen y el plano tangente coincida con el x1x2, como se muestra en la Fig. 29.

1 F

2M du dv N dv 2 du2 dv 2

xu xu

L du2

E

Se deduce que:

L du 2 2M du dv N dv 2 E du 2 2F du dv G dv 2

Fig. 29 Plano tangente en P

n

Como n sólo depende de la razón du/dv, podemos suponer que du2 + dv2 = 1 y hacer du = cos y dv = sen . Luego: n L cos 2 2M cos sen N sen 2

2M x1 x 2

N x 22

Suponemos que | n|=1/r2 y hagamos x1 = r·cos , x2 = r·sen , para obtener: 1 L x12

La ecuación anterior determina una sección cónica en el plano x1x2, llamada indicatriz de Dupin y es tal que la distancia r de un punto (x1, x2) al origen es el reciproco de la raíz cuadrada de | n| en la dirección definida por cos :sen .

Si P es un punto elíptico, (LN — M2 > 0), la indicatriz será una elipse como se muestra en la Fig. 30(a). Si P es un punto hiperbólico, (LN — M2 < 0), la indicatriz está formada por un par de hipérbolas conjugadas (Fig. 30(b)). A todo lo largo de una de las hipérbolas, n es positiva y a lo largo de la otra n es 65

negativa. Las asíntotas comunes corresponden a las direcciones para las cuales es n = 0. En el caso parabólico (LN — M2 = 0, L2 + N2 + M2 ≠0), la expresión L x12 2M x1 x 2 N x 22 se descompone en factores y la indicatriz está formada por un par de rectas paralelas, como se ve en la Fig. 30(c) que están también en la dirección en que n = 0. En el caso plano (L = M = N = 0) no existe indicatriz.

Fig. 30 Indicatriz de Dupin

Recordemos que | n|=1/r2 para ver que, si la indicatriz existe y no es una circunferencia, entonces n, adopta distintos valores máximos y mínimos, por ejemplo, 1 y 2, en dos direcciones perpendiculares que son los ejes de la indicatriz. En un punto elíptico, supuesta n > 0, vemos que el máximo, 1, se alcanza en la dirección del eje menor de la indicatriz, es decir, la mínima distancia al origen, y el mínimo, 2, se alcanza en la dirección del eje mayor. En un punto hiperbólico, el máximo, 1, es positivo y se alcanza en la dirección del eje de la hipérbola a lo largo del cual es n > 0. El mínimo, 2 y, es negativo y se alcanza en la dirección del eje de la hipérbola a lo larga del cual es n < 0. En un punto parabólico, supuesto que n ≥ 0, el máximo, 1, se logra en la dirección perpendicular a las rectas paralelas, y el mínimo, 2 = 0, en la dirección de las paralelas a la indicatriz. Las dos direcciones perpendiculares para las cuales los valores de n llegan a ser máximos y mínimos, se denominan direcciones principales, y las correspondientes curvaturas normales, 1 y 2, se llaman curvaturas principales.

66

Falta considerar el punto elíptico en el caso de que la indicatriz Sea una circunferencia, y el punto plano cuando no exista la indicatriz. En todo punto elíptico es n = constante ≠ 0 y todas las direcciones se

x(u, v) es cualquier carta de la superficie que contiene a P.

llaman direcciones principales. Análogamente, en el caso de un punto plano es n = constante = 0 y, nuevamente, todas las direcciones son principales. Un punto de la superficie en el que n = constante, se denomina punto umbilical. El caso elíptico recibe el nombre de punto umbilical elíptico. El punto plano se llama también punto umbilical parabólico. Supongamos, ahora, que x

(M

(L

F) du (N

E) du (M

G) dv

F) dv

0

0

Teorema 6.5. Un número real es curvatura principal en P, en la dirección du:dv, si y sólo si , du y dv satisfacen las siguientes ecuaciones:

en donde du2 + dv2 ≠0.

L F N

E G

F

M

M

0

(E G F 2 )

2

(E N G L 2 F M)

(L N M 2 )

0

El anterior es un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene una solución no trivial du, dv si y solo si: det

2

(E N G L 2 F M)

es curvatura principal si y sólo si

(L N M 2 )

0

es solución de la ecuación:

Se puede demostrar que el discriminante de la ecuación precedente es mayor que o igual a cero. Luego la ecuación tiene dos raíces reales distintas, 1, y 2, que son las curvaturas principales en un punto umbilical, o una sola raíz real, , con orden de multiplicidad dos, que es la curvatura en un punto umbilical. Teorema 6.6. Un número

(E G F 2 )

(L

F) du (N

E) du (M

G) dv

F) dv

0

0

Por último, observemos que en un punto umbilical todas las direcciones son principales. Pero, este caso sólo ocurre si y sólo si todos los coeficientes de las ecuaciones siguientes se anulen:

(M

67

2

H

2

1 ( 2

1

2

1

L E

M F

K

N G

0

E N G L 2 F M 2 (E G F 2 )

2H

)

2

L N M2 E G F2

y se denomina curvatura media en P, y

2

(E N G L 2 F M)

CURVATURA GAUSSIANA Y CURVATURA MEDIA (E G F 2 )

y

(L N M 2 )

0

Teorema 6.7. Un punto es umbilical si y sólo si los coeficientes fundamentales son proporcionales, caso en el cual la curvatura normal es

6.6 Si la ecuación:

1

Se divide por EG – F2, podemos escribirla

Donde:

Es el promedio de las raíces

K

Es el producto de las raíces y recibe el nombre de curvatura gaussiana en P.

Debido a que la curvatura normal n de una curva a lo sumo cambia de signo al cambiar la orientación de la superficie, los valores extremos de n se conservan como tales y, a lo sumo, ambos cambian de signo cuando se opere un cambio de orientación (así, pues, el máximo se convierte en mínimo, etc.). De esto se deduce que la curvatura gaussiana K = 1 2 es una propiedad invariante de la superficie, independiente del tipo de representación. Obsérvese que EG - F2 > 0, y, de este modo, el signo de K concuerda con el de LN - M2. Por lo cual, podemos enunciar el

Teorema 6.8. Un punto de una superficie es elíptico si y sólo si K > 0; hiperbólico, si y sólo si K < 0; parabólico o plano si y sólo si K = 0. 68

6.7

LÍNEAS DE CURVATURA

Supongamos nuevamente que P es un punto que pertenece a una carta x clase ≥ 2.

(EN LG) du dv (FN MG) dv 2

x(u, v) de una superficie de

0

Teorema 6.9. Una dirección dada por du:dv es dirección principal en P si y sólo si du y dv satisfacen la ecuación (EM LF) du 2

En un punto que no sea umbilical, lo anterior se puede demostrar factorizando la expresión en dos factores que serán ecuaciones lineales de la forma A·du + B·dv = 0 para el caso en que las dos direcciones principales sean perpendiculares.

Obsérvese que, como la curvatura normal n. de una curva es invariante, salvo el signo, se deduce que las direcciones en las cuales n adopta sus valores extremos, es decir, las direcciones principales, son también invariantes. En particular, si x* ( , ) es cualquier otra carta que contiene a P, entonces d :d define una dirección principal si y sólo si d = u·du + v·dv y d = u·du + v·dv, en donde du:dv es una dirección principal en P respecto a x x(u, v) .

Ahora bien, toda curva de una superficie cuya tangente en cada punto se halla a lo largo de una dirección principal se denomina línea de curvatura. De esto se deduce que una curva es una línea de curvatura si y sólo si en cada punto la dirección de su tangente satisface la ecuación del teorema 6.9 para alguna carta x x(u, v) que contenga el punto. De aquí se colige que la esta ecuación se puede considerar como una ecuación diferencial para dos familias de líneas de curvatura. De acuerdo con el teorema de existencia y unicidad relativo a ecuaciones diferenciales, existe las soluciones si los coeficientes son de clase C1. En esta forma tenemos el siguiente

Teorema 6.10. En la vecindad de un punto que no sea umbilical, perteneciente a una superficie de clase ≥ 3, existen dos familias ortogonales de líneas de curvatura.

69

Como consecuencia del teorema 6.10, si una superficie es suficientemente suave, es posible introducir, en las proximidades de un punto P que no sea umbilical, una carta local de clase C2 tal que las curvas de parámetro u y las de parámetro v sean a la vez las líneas de curvatura. Sin embargo, en muchos problemas es suficiente tener una carta local de clase C2 que contenga a P y tal que las curvas de parámetro u y las de parámetro v estén sencillamente en la dirección principal.

Teorema 6.11. A todo punto P de una superficie de clase ≥ 2 corresponde una carta local que contenga a P y tal que las direcciones de las curvas de parámetro u y v en P sean direcciones principales.

(EN LG) du dv (FN MG) dv 2

0.

Supongamos, ahora, que en un punto P no umbilical de una carta, las direcciones de las curvas de parámetro u y las de parámetro v son direcciones principales. Puesto que xu 1 xu 0 x v , es tangente a las curvas de parámetro u y xu 0 xu 1 x v , es tangente a las curvas de parámetro v, se infiere que en P, du = 1, dv = 0 y dv = 1, du = 0 deben satisfacer la ecuación: (EM LF) du 2 Al sustituir, hallamos que FN-MG = 0 y EM - LF =0

Recordemos, además, que en un punto no umbilical las direcciones principales son ortogonales. Por tanto, según el teorema 6.1, F = 0 en P y en esta forma, MG = EM = 0. Por último, como I es definida positiva, es E > 0 y, por ello M = 0. De modo que F M = 0 en P. La recíproca es también verdadera. Por lo tanto, podemos enunciar el

Teorema 6.12. Las direcciones de las curvas de parámetro u y de parámetro v en un punto no umbilical de una carta son las mismas direcciones principales si y sólo si F=M= 0 en dicho punto. Como consecuencia de este teorema tenemos el siguiente:

Corolario: Las curvas de parámetro u y las de parámetro v de una carta que no posea puntos umbilicales son líneas de curvatura si y sólo si en todos los puntos de la carta F = M = 0.

Si en un punto de una carta las direcciones de las curvas de parámetro u y de parámetro v son principales, las curvaturas principales pueden expresarse en forma sencilla. Para ver que es al, supongamos en primer lugar que P no es un punto umbilical. En ese caso, según el teorema 6.12, es F = M = 0 en P y las ecuaciones del teorema 6.5 que proporcionan las curvaturas y direcciones principales en P se reducen a (L — E)·du = 0 y (N — G)·dv = 0. Como du = 1, dv = 0 son los números directores de la curva de parámetro u que pasa por P, se deduce que la curvatura principal en esta dirección es 1 = L/E. La curvatura principal en la dirección de la curva de parámetro v es 2 = N/G y se obtiene utilizando du = 0 y dv -= 1. En segundo lugar, si P es un punto umbilical, en cualquier caso, según el teorema 6.7, = L/E = M/F = N/G. En esta forma, hemos demostrado el 70

1

= L/E y 2

= N/G

Teorema 6.13. Si las direcciones de las curvas de parámetro u y de parámetro v en un punto P de una carta son principales, entonces las curvaturas principales en P vienen expresadas por

FÓRMULA RODRÍGUEZ

1

= L/E y 2

= N/G

Corolario: Si las curvas de parámetro u y de parámetro v de una carta son líneas de curvatura, entonces todos los puntos de las curvaturas principales se expresan por

6.8

xu xu

xu x v

xv xv

F) dv 0 G) dv 0 G

( Nu x v

( N u xu

xu x v ) du ( x v N v

xu xu ) du ( N v xu

x v x v ) dv

x v xu ) dv

0

0

(dN

dx) x v

dx) xu

0

0

xv N v 0

(dN

x v Nu ) N

(xu du x v dv) xu

0

1 (x N 2 u v (N u du N v dv)

(xu du x v dv) x v

M

F

E) du (M F) du (N

E -xu N u

(N u du N v dv)

dx es paralelo al plano tangente en P pues dN y dx lo son; y los vectores xu y x v son

L

(L (M

Supongamos que du:dv sea una dirección principal en un punto P de una carta y la curvatura principal correspondiente. Entonces, según las ecuaciones teorema 6.5 y las definiciones de L, F, G, L, M y N, tendremos

O sea

Pero, dN

independientes. Por tanto, dN dx 0 , o sea dN dx . De modo que si la dirección de un vector dN es la misma de la dirección principal, ese vector es paralelo a dx y viene dado por dN dx , siendo la curvatura principal en esa dirección. El recíproco es el: 71

dN dx será la curvatura principal en la dirección. du:dv

Teorema 6.14. La dirección du:dv es una dirección principal de un punto de una carta si y solo si paráalgún escalar , dN N u du N v dv , dv y dx xu du x v dv cumplen la igualdad: Cuando esto ocurra,

LÍNEAS ASINTÓTICAS. FAMILIAS CONJUGADAS DE CURVAS

La fórmula anterior, que caracteriza completamente las direcciones principales, se denomina fórmula de Rodríguez. 6.9

L du 2

2M du dv N dv 2

0

Cualquier dirección en un punto de una carta, recibe el nombre de dirección asintótica, si II

Como n = II/I y I es definida positiva, las direcciones asintóticas son también las direcciones en las cuales n = 0. En un punto elíptico no existen direcciones asintóticas; en un punto hiperbólico existen dos direcciones asintóticas diferentes; en un punto parabólico existe una dirección asintótica, y, en un punto plano, todas las direcciones son asintóticas.

Toda curva de una superficie qué sea tangente a una dirección asintótica en cualquier punto, se denomina línea asintótica. En esta forma, una curva de una superficie es una línea asintótica si y sólo si la dirección de la tangente a la curva en cada punto satisface la expresión anterior (II = 0) para alguna carta x x(u, v) que contenga el punto. En un punto hiperbólico, esta ecuación tiene dos factores, reales y diferentes, de la forma A·du + B·dv = 0 que pueden considerarse como las ecuaciones diferenciales de primer orden de las líneas asintóticas. Al igual que en el caso de las líneas de curvatura, tenemos el

Teorema 6.15. En un entorno de un punto hiperbólico de una superficie de clase ≥ 3 existen dos diferentes familias de líneas asintóticas.

Si las curvas de parámetro u y de parámetro v de un sector son, además líneas asintóticas, entonces, en cada punto la ecuación II = 0 deberá satisfacerse cuando du = 1, du = 0 y du = 0, dv = 1. Por tanto, L = N = 0. El recíproco es también verdadero. De ello sacamos el siguiente:

Teorema 6.16. Las curvas de parámetro u y las de parámetro v de una carta, son líneas asintóticas si y sólo si en cualquier punto suyo, es L = N = 0. 72

II I k N

Recordemos, ahora, que, en cualquier punto de una curva de una carta, la curvatura normal es

n

siendo k el vector curvatura de la curva. Concluimos, pues, que una curva es una línea asintótica si y sólo si en cualquier punto suyo es k N 0 ; es decir, si y sólo si es k 0 , o si k es perpendicular a N En esta forma, tenemos el

0 , tenemos el siguiente

Teorema 6.17. Una curva de una superficie es una línea asintótica si y sólo de la curva es de inflexión ( k 0 ), o si el plano osculador en el punto es tangente a la superficie. Puesto que a todo lo largo de una recta es k

Corolario: Toda recta de una superficie es una línea asintótica.

Para los casos de líneas asintóticas, diferentes de las rectas, se puede demostrar el siguiente

K

Teorema 6.18. (Beltrami-Enneper). En cualquier punto de una línea asintótica, que no sea una recta, la torsión cumple la condición: n

En donde K es la curvatura gaussiana en el punto considerado.

N

0

Se dice que una dirección u: v en un punto de una carta es conjugada, de la dirección du:dv si

dx

u M (du

v dv

u) N dv

v

0

En donde dx xu du x v dv y N Nu u N v v . Al desarrollar, utilizando los valores de los coeficientes L, M y N, encontramos que la expresión anterior es equivalente a la siguiente: L du

73

Debido a la simetría, se deduce que du:dv es también conjugada de u: v, de modo que podemos hablar de las direcciones conjugadas du:dv y u: v. Obsérvese, además, que una dirección asintótica es conjugada de si misma.

0

Si se da una dirección arbitraria, du:dv, entonces la expresión anterior es la ecuación lineal: (L du M dv) u (M du N dv) v

en u: v. Se puede demostrar que esta ecuación tiene la solución, única, u: v, si LN — M2 ≠ 0. Tenemos, pues, el siguiente:

Teorema 6.19. En un punto elíptico o hiperbólico de una superficie, cada dirección tiene una única dirección conjugada.

Se dice que dos familias de curvas de una superficie son familias conjugarlas de curvas, si en cada punto las direcciones de sus tangentes son conjugadas. Dada, en el plano de parámetros, una familia de curvas f (u, v) = C1 de un solo parámetro, la ecuación: L du u M (du v dv u) N dv v 0 sé puede considerar como una ecuación diferencial de primer orden de una familia conjugada g(u, v) = C2.

Si las curvas de parámetro u y las de parámetro v de una carta son a la vez familias de curvas conjugadas, entonces, en cada punto, los valores du = 1, dv = 0 y u = 0, v = 1, deben satisfacer la ecuación anterior Sustituidos tales valores en se tiene que M = 0. La recíproca es también verdadera. Es decir, llegamos al siguiente:

Teorema 6.20. Las curvas de parámetro u y las de parámetro v de una carta son familias conjugadas de curvas si y sólo si en cada punto es M = 0.

Como consecuencia de este teorema y del corolario del teorema 6.12, se tiene el siguiente:

Corolario: Las curvas de parámetro u y las de parámetro v, pertenecientes a una carta que carezca de puntos umbilicales, son familias conjugadas y ortogonales de curvas si y sólo si son líneas de curvatura.

74

7.1

ECUACIONES DE GAUSS-WEINGARTEN

7

TEORÍA DE SUPERFICIES

Las ecuaciones de Gauss-Weingarten para las superficies son análogas a las de Frenet para las

y . Análogamente, en las fórmulas de

curvas. Recordemos que en las fórmulas de Frenet se expresan los vectores t ,n,b como combinaciones lineales de t ,n,b con coeficientes que dependen de

x(u, v) es una carta de una superficie de clase ≥ 2. Entonces, xu , x v y N son fun-

Gauss-Weingarten se expresan las derivadas de los vectores xu , x v y N como combinaciones lineales de los mismos, con coeficientes que son funciones de los primeros y de los segundos coeficientes fundamentales. Supongamos que x

xuu

1 12

1 11

xu

xu

xu

2 1

xv

2 22

2 12

2 11

xv

xv

xv

1

22

12

11

N i

N

N

N

ciones de clase C1 y poseen las derivadas continuas xuu , xuv , x vv y N u , N v Puesto que los vectores xu , x v y

xuv

1 22

xu

N son linealmente independientes, se puede escribir

x vv

1 1

2

N

Nu

xv

, ij ,

2 2

ij

xu

,

1 2

k ij

Nv

en donde es necesario determinar los coeficientes

0

Nv N

Nu N

1 2

1 1

xu N

xu N

2 2

2 1

xv N

xv N

2

1

N N

N N

Como N es de longitud igual a la unidad, entonces N u , N v son ortogonales a N . Por tanto,

0

75

Pero, xu N que

xv N

0 y N N 1 . En esta forma, 1

= 2

2 1

F

G

12 22

1 2

2 2

, se tiene:

MF NE EG F 2

y

= 0. Por otra parte, de lo anterior se desprende

F

2 2

F

1 1

E

2 1

xv xv

1 2

E

2 1

xu xv

1 1

xv xu 2 2

G

xv xu

x u Nu 1 1

xu xu

2 2

2 1

L x v Nu 1 2

F

xu xu

M xu N v

1 2

1 1

M x v xv

NF MG EG F 2

N N N N

11

las otras dos para

2 2

1 2

12

LF ME EG F 2

2 1

x v xu y

1 2 1 1

xv Nv

2 1

xv N

N N

N

2 2

N

MF LG EG F 2

Si se resuelven las dos primeras ecuaciones para 1 1

2 12

22

22

11

1 11

xu N

xv N M

xv N

xuu N

1 12

2 22

2 11

L

xuv N

xu N

xu N

M

1 22

12

x vv N

L

N

Prosiguiendo en esta forma obtenemos

Luego 11

1 12

EG u FEv 2 (EG F 2 )

GEv FG u 2 (EG F 2 )

2 22

1 22

EG v 2FFv FGu 2 (EG F2 )

2GFv GG u FG v 2 (EG F2 )

. Se puede demostrar que se expresan por medio de las siguientes

GEu 2FFu FE v 2 (EG F 2 )

2 12

k ij

1 11

2EFu EE v FEu 2 (EG F 2 )

Sólo faltan por determinar los fórmulas:

2 11

76

Luego podemos enunciar el siguiente teorema:

Nu

x vv

xuv

xuu

1 2

1 1

1 22

1 12

1 11

xu

xu

xu

xu

xu

2 2

2 1

xv

xv

2 22

2 12

2 11

xv

xv

xv

2

1

N N

M N

L N

NF MG 1 2 EG F 2 GEv FG u 1 22 2 (EG F 2 ) EG u FEv 2 22 2 (EG F 2 )

N

N

Nv MF LG LF ME 2 1 EG F 2 EG F 2 GEu 2FFu FE v 1 12 2 (EG F 2 ) 2EFu EE v FEu 2 12 2 (EG F 2 )

MF NE 2 2 EG F2 2GFv GG u FG v 2 (EG F2 ) EG v 2FFv FGu 2 (EG F 2 )

Teorema 7.1. En una carta x x(u, v) de una superficie de clase ≥ 2, los vectores xu , x v y N y sus derivadas cumplen las siguientes condiciones

1 1 1 11

2 11

k ij

j i

k ij

k ji

para cualesquiera i, j, k = 1, 2.

1 21

1 12

y

que dependen tanto de los

dependen solamente de los primeros

Las tres primeras de las ecuaciones precedentes reciben el nombre de ecuaciones de Gauss y las dos últimas el de ecuaciones de Weingarten. Las magnitudes kij se denominan símbolos de Christoffel de segunda especie. Se puede observar que los

coeficientes fundamentales y de sus derivadas, en contraposición a los . En general

LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD Y EL TEOREMA DE GAUSS

2 12

primeros coeficientes fundamentales como de los segundos. Además, por definición, 2 21

7.2

Dadas las funciones E, F, G, L, M y N de u y v, de clase suficientemente alta, es necesario averiguar si existe o no una superficie x x(u, v) cuyos primeros y segundos coeficientes fundamentales sean E, F, 77

(xu )uv

(xu ) vu

(x v )uv

(x v )vu

G, L, M y N. En general, la respuesta es negativa, a no ser que se cumplan ciertas condiciones de “compatibilidad”. Tales condiciones resultan del hecho de que si x(u, v) es una función de clase C3, entonces las derivadas parciales mixtas de tercer orden, de x , son independientes del orden en que se realice la derivación; es decir:

Se puede demostrar en siguiente

F (

)

2 22 u

(

)

2 12 v

L

1 12

M (

2 12

1 11

2 11

Mu

) N

Lv

1 12

2 12

2 22

) N

M (

1 22

1 12 v

)

(

)

1 22 u

1 22

2 12

L

1 12

Nu

2 11

Mv

1 22

E (

1 11

2 22

1 12

1 12

1 12

2 12

1 22

Teorema 7.2. Sea x x(u, v) una carta de una superficie de clase ≥ 2 y tal que los coeficientes de las ecuaciones de Gauss-Weingarten sean de clase C1. Entonces, las derivadas mixtas xuuv , xuvu , x vuv , x vvu , existen y cumplen las igualdades (xu )uv (xu )vu y (x v )uv (x v ) vu si y sólo si los primeros y los segundos coeficientes fundaméntales cumplen las llamadas ecuaciones de compatibilidad, que son:

Y LN M 2

Las ecuaciones de compatibilidad se pueden escribir bajo varias formas analíticas. En la forma anterior, las dos primeras ecuaciones se denominan ecuaciones de Mainardi-Codazzi.

La última ecuación tiene particular interés. Recordemos que los kij sólo dependen de los primeros coeficientes fundamentales y de sus derivadas. Por ello, LN – M2 sólo depende de E, F. G y de sus derivadas. Pero, en ese caso, la curvatura gaussiana, K = (LN - M2)/(EG -F2), que originalmente se definió en función de la segunda forma fundamental, sólo depende de los coeficientes de la primera forma fundamental. Este es uno de los resultados más importantes de la teoría de las superficies y, según veremos, de él se desprenden muchas consecuencias importantes. En esta forma, tenemos el siguiente

Teorema 7.3. Teorema egregio de Gauss. La curvatura gaussiana de una superficie de clase ≥ 3 es sólo función de los coeficientes de la primera forma fundamental (y de sus derivadas).

78

7.3

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS SUPERFICIES

Teorema 7.4. Teorema fundamental de las superficies. Supongamos que E, F y G son funciones de u y u de clase C2, y L, M y N, funciones de u. y u de clase C1, todas ellas definidas en un conjunto abierto que contiene a (uo, uo) y tales que, para todo (u,v), se cumpla que

(i) EG - F2 > 0, E > 0, G > 0 (ii) E, F, G, L, M, N satisfacen las ecuaciones de compatibilidad (teorema 7.2).

Entonces, existe una carta x x(u, v) de clase C3, definida en un entorno de (u0, v0), para la cual las funciones E, F, G, L, M, N sean los primeros y segundos coeficientes fundamentales. La superficie que representa la x x(u, v) es única, salvo su posición en el espacio.

Se puede demostrar la existencia de la superficie que tiene las funciones dadas E, F, G, L, M, N como primeros y segundos coeficientes fundamentales. Aquí y ahora vamos a demostrar su unicidad. Supongamos que existen dos cartas, x x(u, v) y x x* (u, v) , definidas en un conjunto U abierto y conexo que contiene a (uo, v0), y tales que, para cualquier (u, v), ocurra que los coeficientes sean: E = E*, F = F*, G = G*, L = L*, M = M* y N = N*. Supongamos que a la superficie que representamos por x x* (u, v) se le aplica primero una traslación y luego un giro, de modo que el punto que corresponde a x* (u 0 , v 0 )

llegue a coincidir con el x(u 0 , v 0 ) y los vectores tangentes x*u (u 0 , v 0 ) y x*v (u 0 , v 0 ) , coincidan con

xu

du dt

xv

dv dt

dxu dt

xuu

du dt

xuv

dv dt

dx v dt

x vu

du dt

x vv

dv dt

xu (u 0 , v 0 ) y x v (u 0 , v 0 ) , respectivamente. Ello es posible, pues las longitudes de los vectores x*u y x*v , y el ángulo que forman, están determinados por E*, F* y G* que concuerdan con E, F y G, en (uo, v0). Supongamos, ahora, que u = u(t), v = v(t) es un arco que une a (uo, v0) con cualquier otro punto (u, v) de U, y consideremos las funciones x(t) x(u(t), v(t)) , xu (t) xu (u(t), v(t)) y x v (t) x v (u(t), v(t)) . Por derivación se tiene: dx dt

xu x v xu x v

Utilizando las tres primeras ecuaciones del teorema 6.1 y el hecho de que: N

79

Tenemos:

du dt

du , b(t) dt

1 12

dv dt

xu

2 11

du dt

du dt 2 22

2 12

dv dt

dv dt xv

xv M

L

du dt

du dt

N

M

dv dt

dv dt

(xu x v )

(xu x v )

EG F 2

EG F2

du dt

1 12

dv , etc. dt

h(t) xu x v

e(t) xu x v

2 12

1 11

dx a(t) xu b(t) x v dt dxu c(t) xu d(t) x v dt dx v f (t) xu g(t) x v dt

xu

dv , c(t) dt

1 22

dx du dv xu xv dt dt dt dx du dv 1 1 u 11 12 dt dt dt dx v dt

O tambien:

Donde a(t)

xu* (u(t), v(t)) y x v* (t)

0

0

0

x (u , v )

* u

0

v

0

x (t ) y x (t )

* u

0

0

x (u , v ) v

0

0

x (u , v )

* v

x(u 0 , v 0 ) 0

x* (u 0 , v 0 )

x* (t 0 ) ,

x* (t) en cualquier punto

x (t ) . Del teorema de la unici-

* v

x* (u, v) . Además, inicialmente, x(t 0 )

x v* (u(t), v(t)) satisfacen el mismo sistema de ecuaciones anterior, en toda

Consideremos, ahora, las anteriores ecuaciones como un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para las funciones x(t) , xu (t) y x v (t) . Observemos, además, que los coeficientes a(t), b(t), etc., sólo dependen de la curva u(t), v(t), de los primeros y segundos coeficientes fundamentales E, F, G, L, M, N y de las derivadas de E, F y G a lo largo de u= u(t), v= v(t). Como E= E*, F= F*, G= G*, L= L*, M= M* y N= N* para todo (u,v), las correspondientes funciones x* (t) x* (u(t), v(t)) , xu* (t)

0

x (u , v ) u

la extensión de la carta x 0

x (t ) u

dad, relativo a las ecuaciones diferenciales ordinarias, se desprende que x(t) 80

x(u, v) y x

TEOREMAS RELATIVOS A SUPERFICIES EN GRANDE

de la curva u = u(t), v = v(t). Por tanto, las cartas x demostrado el teorema. 7.4

x* (u, v) coinciden, con lo cual queda

Necesitamos demostrar que la esfera es la única superficie de clase ≥ 3, cerrada y conexa, en la que todos los puntos son puntos umbilicales esféricos. Para ello, supongamos dada una superficie S de clase ≥ 3 conexa y cerrada, y que cada uno de sus puntos es un punto umbilical esférico. Supongamos, además que P es cualquier punto de S y x x(u, v) una carta conexa de S que contiene a P. Recordemos que, en un punto umbilical esférico, la curvatura normal es = constante ≠ 0 en cualquier dirección, y, por ello, en la carta, cualquier dirección es dirección principal. Por lo tanto, todas las curvas de la carta y, en particular las curvas de parámetros, son líneas de curvatura. De la fórmula de Rodríguez se desprende que N u xu y N v x v Obsérvese que, en un punto fijo, es constante en todas las direcciones; sin embargos a priori no se sabe si es constante entre dos puntos de la carta. Para demostrar que es así, utilizamos el hecho de que x(u, v) es de clase C2 y calculamos N uv xuv v xu y

N vu x vu u x v .Sustrayendo la una de la otra, se tiene v xu u x v . Pero, en cada punto, x u y x v , son linealmente independientes. De modo que u = 0 y v = 0. Y, en consecuencia, = constante en

x C

1

C= constante 1

y centro en

= constante en una carta que contenga el punto. Integrando se tiene que: x C

de radio

C

. Como Q es

la carta. Así, pues, todo punto de S pertenece a una carta en la que = constante ≠ 0. Consideremos, ahora, que P sea un punto fijo y Q cualquier otro punto de S. Puesto que esta es conexa, existirá en ella un arco regular : x x(t) que una a P y Q. Como cualquier punto de S es umbilical esférico, entonces cada una de las curvas de S es una línea de curvatura. De modo que, nuevamente, según la fórmula de Rodríguez, a lo largo de , es dN dt dx dt , donde se observa que = constante, pues en cada punto de ,

N

De esta suerte, x y, en especial, Q pertenecen a la esfera

arbitrario, se concluye que S toda pertenece a . Y como es conexa y S es cerrada, de acuerdo con el teorema 5.5, se comcluye que S = . Con esto queda demostrado el siguiente

81

Teorema 7.5. Las esferas son las únicas superficies de clase ≥ 3, conexas y cerradas, en las que todos los puntos son puntos umbilicales esféricos. En forma análoga podemos demostrar los siguientes:

Teorema 7.6. Los planos son las únicas superficies de clase ≥ 2, conexas y cerradas, en las que todos los puntos son puntos planos.

Teorema 7.7. (Liebmann). Las esferas son las únicas superficies conexas y compactas, de clase suficientemente alta, que tienen curvatura gaussiana constante.

NOTACIÓN

Obsérvese que uno de los resultados de este teorema es una propiedad de las esferas, de especial importancia. Supongamos que existe una aplicación continua inyectiva f de una superficie sobre una superficie S y que la aplicación es localmente inyectiva y conserva la primera forma fundamental, es decir, que para cada punto P de existe una carta x x(u, v) que contenga a P y tal que f es una aplicación inyectiva de x x(u, v) sobre una carta x x* (u, v) de S, y que los primeros coeficientes fundamentales concuerden en los puntos correspondientes. Se puede ver que no es necesario que las dos superficies sean la misma, pues una superficie está determinada en forma única por sus primeros y por sus segundos coeficientes fundamentales. Sin embargo, si es una esfera, entonces S debe ser una esfera de igual radio. En efecto, una esfera tiene curvatura gaussiana constante e igual a K = 1/R2, en donde R es el radio de , y, por ser la curvatura gaussiana función únicamente de los primeros coeficientes fundamentales, se deduce que S también posee curvatura gaussiana constante e igual a K = 1/R2. Por otra parte, como la esfera es conexa y compacta y la aplicación f de sobre S es continua, se deduce que S es conexa y compacta. Pero, entonces, el teorema anterior permite concluir que S es también una esfera, y, que, además, su radio es 1/K1/2 = R. 7.5

Es posible simplificar muchísimo el formalismo de la teoría de superficies utilizando los tensores y la notación tensorial. Por lo que es necesario un cambio de notación.

x(u1 ,u 2 ) .

Las componentes de un vector se designarán con superíndices en vez de subíndices. Por ejemplo, un vector de E3 se escribirá: x x1 e1 x 2 e2 x 3 e3 ; un punto perteneciente al plano de los parámetros se representará por (u1, u2), y una carta, se simbolizará por x 82

x1

x u1 x2

x u2 x12

2 x u1 u 2

Por otro lado, las derivadas parciales de x se denotarán así:

dx dx

x1 x1 du1 du1

E

g 22 g

g12

g12 g 22

x1 x2

j i

g12 g

g11 g 21

x22

j

2 x u2 u2

G

g ik dui duk

x2 du 2 y la primera

etc.

x1 du1

x2 x2

g11 g

EG F 2

g 22

ik

x 2 x 2 du 2 du 2

i

j

g 22

g 22 du 2 du 2 F

1

i

g12 g 22

1 0 0 1

0

g 21 g

g11 g 22 g 21 g12

g 21

g 21

g ik g kj

g12

g 21 du 2 du1

2 x1 x 2 du1 du 2

De lo anterior, se desprende que un vector tangente viene a ser dx forma fundamental se convertirá en: I

x1 x1

det

g11 g 21

g11 du1 du1 g12 du1 du 2 g11 Utilizaremos g para designar a:

g

g11

Si introducimos las siguientes magnitudes:

Podemos demostrar que: k

g12 g 22

Es decir, la matriz (gij) es la inversa de (gij), y el producto:

g11 g 21

83

dx dN

x1 N1 du1 du1

N1 du1

x21 N

ik

M

x2 N2 du2 du2 bik dui duk

x2 N1 du2 du1

N 2 du 2 y la segunda forma fundamental será:

x1 N 2 du1 du 2

La diferencial de la normal será el vector dN II

x12 N

b 21 du 2 du1 b22 du2 du2 L N

x1 N 2

x11 N x 22 N

x 2 N1

x2 N2

b 21

x1 N1

b11 du1 du1 b12 du1 du 2 b11 b12 b 22

det(b ij ) (b11 b 22 b12 b 21 )

LN M 2

Representan ahora los segundos coeficientes fundamentales. Además, por definición, será:

b

ai b

ai1 b1 a i 2 b 2

ai 3 b 3

Utilizaremos el llamado convenio de sumación de índices repetidos, que consiste en lo siguiente: Consideremos la suma 3 1

3 1

ai b

a i1 b 1 a i 2 b 2 a i 3 b 3

Obsérvese que, en el primer miembro de la igualdad, aparece en el producto ai ·b solamente una vez como subíndice y solamente una vez como superíndice. Cuando esto ocurra, omitiremos el signo y escribiremos sencillamente: ai ·b . Así, pues, ai b

ai ·b

ai ·b

El índice se denomina índice de sumación o índice mudo. Al hacer un cálculo, será siempre posible cambiar un índice mudo. En otras palabras, ai ·b

El índice i se denomina índice libre. Este no se puede cambiar. 84

VARIEDADES ELEMENTALES

i

En el caso de una derivada, por ejemplo, la o la x j uj alto o superíndice y el j como un subíndice o índice bajo. 7.6

x , el índice i se considera como un índice uj

En este apartado vamos a introducir una generalización del concepto de superficie elemental, para ello suponemos una colección abstracta, M, de objetos P que llamaremos “puntos” los cuales pueden ponerse en correspondencia biunívoca con un conjunto S de las n-uplas de números reales (u1, u2, …, un), que denominaremos coordenadas de P. Esta correspondencia, P(u1, u2, …, un), entre los puntos que pertenecen a M y el conjunto S de n-uplas, recibirá el nombre de sistema de coordenadas (o referencia) de M, P(u1, u2, …, un), de M es análogo a una carta x x(u1 ,u 2 ) de una superficie que determine una correspondencia biunívoca entre los puntos de la carta y un conjunto de puntos del plano u1u2. Cualquier otro sistema de coordenadas P(u1 , u 2 , , un ) de M, definido en un conjunto de nuplas, determinará una correspondencia biyectiva (u1 , u 2 , , un ) (u1 , u 2 , , un ) entre los dos con-

juntos de n-uplas, S y S que se llamará trasformación de coordenadas. Esta correspondencia puede expresarse como u i u i (u1 ,u 2 , ...,un ) i=1,...,n tiene las ecuaciones inversas u i u i (u1 ,u 2 , ..., un ) i=1,...,n . Aquí, las u i son funciones numéricas reales de S y las u i son funciones

numéricas reales de S . Estas ecuaciones corresponden a la trasformación de parámetro u1 u1 (u1 ,u 2 ) , u 2 u 2 (u1 ,u 2 ) cuya inversa, que es u1 u1 (u1 ,u 2 ) , u 2 u 2 (u1 ,u 2 ) existe en la intersección de dos cartas de una superficie.

n i 1

(u i

u i0 )2

pertenezcan a S.

Supongamos que los conjuntos S de n-uplas de números reales, en los que se definen los istemas de coordenadas, son abiertos. Un conjunto S de n-uplas de números reales (u1 , u 2 , ...,un ) es abierto si para cualquier (u10 ,u 20 , ..., un0 ) perteneciente a S, existe un real > 0 tal que todos los (u1 ,u 2 , ...,un ) que cumplan la condición de que

85

Supongamos, por otra parte, que las trasformaciones ui

(u1 ,u 2 , ...,u n ) (u1 ,u 2 , ...,u n )

det

ui uj

0y

ui

u i (u1 ,u 2 , ...,un )

y sus inversas

ui ui u i (u1 ,u 2 , ...,un ) , tienen derivadas parciales continuas y i,j=1,...,n , y los jacobianos, no nuuj uj (u1 ,u 2 , ...,u n ) ui det 0. (u1 ,u 2 , ...,u n ) uj

los, dados por

uj u = i u u

. La función u i

n i 1

2

para

u i (u1 ,u 2 , ...,un ) es continua en S si lo es para todo (u10 ,u 20 , ..., un0 ) per-

u i (u1 ,u 2 , ...,u n ) u i (u10 ,u 02 , ...,u n0 )

u i (u1 ,u 2 , ...,un ) definida en S, es continua en

j i

Se puede demostrar que por ser funciones mutuamente inversas ui y u i funciones mutuamente inversas, se cumple que:

u i0 )2

> 0 tal que

Se dice que una función numérica en los reales u i

(u i

(u10 ,u 20 , ..., un0 ) , si dado un > 0, existe un n i 1

ui teneciente a S. La derivada parcial en (u10 ,u 20 , ..., un0 ) esta definida por el límite: uj u i (u10 , ...,u 0j k, ...,un0 ) u i (u10 ,u 20 , ...,un0 ) ui (u1 ,u 2 , ...,u n0 ) lim k 0 uj 0 0 k

TENSORES

La colección fundamental de puntos M juntamente con la totalidad de los sistemas coordenados admisibles, definidos como queda dicho, recibe el nombre de variedad coordenada elemental de n. dimensiones. 7.7

Dada una variedad coordenada, se puede considerar que un tensor T en un punto P de la variedad, es cierto “ente” geométrico que se asocia al punto y que tiene las siguientes propiedades:

86

(i) Dado el sistema de coordenadas P(u1 ,u 2 , ...,un ) en la variedad, T se representa por medio de un conjunto C de escalares que recibe el nombre de componentes de T respecto del sistema de coordenadas P(u1 ,u 2 , ...,un ) .

(ii) Si P(u1 , u 2 , ..., u n ) es cualquier otro sistema de referencia de la variedad, las componentes C de T respecto de P(u1 , u 2 , ...,u n ) se relacionan con las componentes C según ciertas leyes de trasformación que dependen de la trasformación de coordenadas u i u i (u1 ,u 2 , ..., un ) i=1,...,n y de su inversa, u i u i (u1 ,u 2 , ...,un )

Un ejemplo importante de tensor en un punto de una superficie, es aquel cuyas componentes respecto de una carta x x(u1 ,u 2 ) que contenga a P, los primeros coeficientes fundamentales g ij i,j = 1,2. Si

x x* (u1 ,u 2 ) es otra carta cualquiera, que contenga a P, y cuyos primeros coeficientes fundamentales sean gij , entonces, de las ecuaciones que definen los coeficientes (ver apartado 6.1) se desprende que

g

u ui

u uj

, =1,2

los g ij y los gij , se vinculan mutuamente mediante la ley de trasformación siguiente: gij

Este tensor recibe el nombre de tensor métrico covariante de la superficie en P. Al igual que el tensor métrico que se acaba de definir, ordinariamente un tensor T dependerá del punto P de la variedad; en ese caso las componentes de T(P) se expresan por medio de funciones de las coordenadas (u1 ,u 2 , ...,un ) de P. La función que a cada punto P de la variedad le hace corresponder el tensor T(P) se denomina campo de tensores.

De acuerdo con sus correspondientes leyes de trasformación, los tensores se clasifican del siguiente modo:

A

ui u

,i=1,

,n

(i) Un tensor se denomina tensor contravariante de orden 1 o vector contravariante, si tiene n componentes A1 , A 2 , ..., An que se trasforman de acuerdo con la siguiente ley: Ai

87

(ii) Un tensor se llama tensor covariante de orden 1 o vector covariante si tiene n componentes A1 , A 2 , ..., An que se trasforman de acuerdo con la siguiente ley:

,n que

u Ai A ,i=1, ,n ui (iii) Un tensor recibe el nombre de tensor contravariante de orden 2, si tiene n2 componentes, A ij i,j=1, ,n , que se trasforman siguiendo la ley:

A

ui u j A ij A , ,i,j=1, ,n u u (iv) Un tensor se llama tensor covariante de orden 2, si tiene n2 componentes, A ij i,j=1, se trasforman de acuerdo con la siguiente ley: u u , ,i,j=1, ,n ui u j A ij

Los cuatro tensores mencionados son casos particulares del siguiente:

ir js

= det

ui uj

ui uj

N

1

1

s

r

u i1 u 1

u ir u r

u1 u j1

us u js

es igual a cero, el tensor se denomina tensor absoluto. Si

A

(v) Un tensor se denomina tensor mixto, contravariante de orden r y covariante de orden s, de peso N, si tiene nr+s componentes del tipo, que se trasforman de acuerdo con la ley: A ij11

Si el exponente N del jacobiano det

s = 0, se dice que el tensor es contravariante puro. Si r = 0, se dice que es covariante puro. A la suma r+s se le llama orden del tensor. Obsérvese que los tensores (i), (ii), (iii) y (iv) son absolutos. Por otra parte, por definición: (vi) Un escalar es un tensor de orden cero.

88

A

A

u u

ui u A

ui u

u u

A

ui u

ui , por sustitución y aplicando la regla de la cadena, se puede calcular: u

Obsérvese que la ley de trasformación de un tensor general es transitiva. Por ejemplo, consideremos la ui ley de trasformación A i A que expresa la relación que existe entre las componentes de un vecu tor contravariante en los sistemas de coordenadas, P(u1 , u 2 , ...,u n ) y P(u1 , u 2 , ..., u n ) . De la ecuación de transformación A i

Ai

que es precisamente la ley de trasformación que relaciona las componentes del vector, referido a los sistemas coordenadas P(u1 , u 2 , ...,u n ) y P(u1 ,u 2 , ...,un ) .

kji A pq para cualesquiera i y k.

Se dice que un conjunto de componentes de un tensor es simétrico respecto de Do0s índices contravariantes (superíndices), o respecto de dos índices covariantes (subíndices), si las componentes no ijk varían al permutar los índices. Por ejemplo, Apq es simétrica respecto del primer y del tercer índice ijk contravariantes si Apq

A kji pq para cualesquiera i y k.

Se dice que las componentes de un tensor son hemisimétricas (o antisimétricas) respecto de dos índices contravariantes, o respecto de dos índices covariantes, si al permutar los índices cambia el signo ijk algebraico de la componente. Por ejemplo, Apq es hemisimétrica respecto del primer y del tercer índice ijk contravariantes si Apq

Si un tensor es simétrico tanto respecto de todos los pares de índices contravariantes como respecto de todos los covariantes, entonces se dice simplemente que es simétrico. Si un tensor es hemisimétrico respecto de todos los pares de índices contravariantes y respecto de todos los covariantes, entonces se dice simplemente que es hemisimétrico.

Se puede demostrar que, si las componentes de un tensor respecto de un sistema de coordenadas son simétricas con relación a un par de índices, entonces también lo serán respecto de los mismos índices en cualquier otro sistema de referencia. De modo que la simetría respecto de un par de índices es una propiedad intrínseca del tensor. Otro tanto puede decirse de la hemisimetría. 89

7.8 ir js

y B ij11

ÁLGEBRA TENSORIAL

(a) Adición. Sean A ij11

ir js

ir js

A ij11

ir js

Bij11

ir js

las componentes de dos tensores, A y B, contravariante y covariante

de órdenes y pesos iguales, la suma: Cij11

1

1

q

p

A ij11

ir js

B

1

1

q

p

1

q

p

de un tensor B de orden p + q se

de un tensor A de orden r + s, el resultado será un con-

1

que se obtiene adicionando las componentes de A y B, representa las componentes de un tensor C contravariante y covariante de órdenes y pesos iguales a los de A y B, que se llama suma de A y B.

ir , js ,

ir js

(b) Producto externo de tensores. Si las componentes B

i

C j11

multiplican por las componentes A ij11 junto de nr+s+p+q números

ir js

las componentes de un tensor A contravariante de orden r, covariante

que, como se comprueba fácilmente, son las componentes de un tensor C contravariante de orden r + p, covariante de orden s + q y de peso N1 + N2, siendo N1 el peso de A y N2 el peso de B. El tensor C recibe el nombre de producto externo de A por B. Como caso particular, A puede ser un tensor de orden cero, es decir, puede ser A = escalar. (c) Contracción. Sean A ij11

ir js

A

i1 j1

ir js

de orden s y de peso N. Se puede demostrar que, el conjunto de los nr+s-2 escalares B ij22

que se obtienen igualando el primer índice contravariante con el primer índice covariante y sumando luego, de acuerdo con el convenio de sumación, son las componentes de un tensor B, contravariante de orden r - 1, covariante de orden s - 1 y de peso N. Se dice que el tensor B es una contracción del tensor A. Una contracción vectorial se logra escogiendo un índice covariante y otro contravariante. 90

7.9

ij

x

bij N

,i,j=1,2

APLICACIÓN DE LOS TENSORES A LAS ECUACIONES DE LA TEORÍA DE SUPERFICIES

xij

Consideremos las ecuaciones de Gauss, a saber:

ijk i

j i

g

k

, se deduce que: ij

ij

ij

(x

g

xk )

g

k ij

ij

g

k

k

k ij

x ij xk se denominan símbolos de Christoffel de primera especie. Al utili-

xij xk

Si se realiza el producto escalar de las ecuaciones de Gauss por xk , se tendrá

Las magnitudes zar la igualdad g i g

ijk

ijk

ijk

gk

1 2

ij

ui

gj

ui

g jk

, tienen la expresión:

vienen dados por:

1 k g 2

ij

g ki uj

gk

gi uj

u

ij

g ij

uk

g ij

De modo que los símbolos de Christoffel de primera especie se relacionan con los símbolos de Christoffel de segunda especie por medio de las siguientes ecuaciones

k ij

Se puede demostrar que los

y, por tanto, los

k ij

Lo símbolos de Christoffel no son componentes de un tensor, en la forma en que se han definido anteriormente. En las leyes de trasformación de estos símbolos intervienen las segundas derivadas de la trasformación de parámetros. 91

u ui u ui

i

u uj u uj

x

2 u ui u j

g

uk u 2 u ui u j

,i=1.2

u uk

Teorema 7.8. Los símbolos de Christoffel se trasforman de acuerdo con las siguientes leyes k ij

ijk

Ni

Consideremos las ecuaciones de Weingarten:

bi

g j , luego:

b ij

Ni x j

bi g j

i

g

i

j

x

gj

xj

i

bi x

bi

b ij

j

i

,i=1.2

g

g

j

j

j i

Si multiplicamos escalarmente por x j , se verá que los segundos coeficientes fundamentales bij satisfacen la igualdad:

Si definimos b ij

b ij

j

bi

Por lo que las ecuaciones de Weingarten se pueden escribir así

Ni

g

en donde b ij y b ij , se relacionan por medio de las igualdades

b ij

Aquí, los b ij son las componentes de un tensor covariante absoluto de segundo orden y los b ij las componentes de un tensor absoluto de segundo orden, contravariante de primer orden y covariante de primer orden.

92

b ik b jm b ij b km

Ahora definimos los símbolos de Riemann de segunda clase: R mijk

R pijk g

p

R

ijk

y sus asociados, los símbolos de Riemann de primera clase:

g

p

(b ik b j

b ij bk ) b ik b pj b ij bpk

Los R mijk son las componentes de un tensor covariante absoluto de cuarto orden, y los R pijk , las componentes de un tensor absoluto de cuarto orden, covariante de tercer orden y contravariante de primer orden, que reciben, en su orden, los nombres de tensor covariante de curvatura de Riemann y tensor mixto de curvatura de Riemann. Se demuestra que:

R pijk

R mijk

R mikj

R 2121

b12 b 21 b 22 b11

b 22 b11 b12 b 21

R mijk

LN M 2

b (LN M 2 )

b

0 siempre que sean iguales los dos primeros o los dos últimos índices. Por ello,

R imjk

Los R mijk son hemisimétricas respecto de los dos primeros y de los dos últimos índices, es decir,

De modo que si R imjk

R1212

R 2112

sólo cuatro de las componentes son diferentes de cero:

R1221

Si bien los tensores de curvatura se definieron en función de los coeficientes de la segunda forma fundamental, realmente, también se pueden expresar sólo en función de los coeficientes de la primera forma fundamental, en decir, de tensores métricos y de sus derivadas. Tenemos el siguiente:

93

Teorema 7.9. R imjk uj

ikm

uk

ijm

LG M 2 EG F 2 b g

ij

mk

g

R1212

ik

mj

Como los símbolos de Christoffel sólo dependen de tensores métricos y de sus derivadas, entonces lo mismo debe ocurrir con los tensores de curvatura. Obsérvese que lo dicho es equivalente al teorema de Gauss, pues, la curvatura de Gauss es:

K

94

8.1

APLICACIONES SOBRE SUPERFICIES

x* (u, v)

8 GEOMETRÍA INTRÍNSECA

f [x(u, v)] de U en S* es una representación paramétrica regular, de clase

Sean: S una superficie de clase Cm, S* una superficie de clase Cn y f una función de S en S*, como se muestra en la Fig. 31. Si para cada carta local x x(u, v) en S, cuyo dominio es U, ocurre que la aplicación compuesta x*

Cr (r ≤ Min (m, n)), entonces f recibe el nombre de aplicación regular derivable de S en S*, de clase Cr. Recordemos que x* x* (u, v) es una representación paramétrica regular de clase Cr si (i) x* pertenece a Cr de U, (ii) x*u x*v 0 para todo (u, v) en U.

Fig. 31 Aplicación regular derivable

Se puede demostrar que si una función f de en S* goza de la propiedad de que x* f [x(u, v)] es una representación paramétrica regular de clase Cr para toda carta x* x* (u, v) de una base de S, entonces 95

f goza de la propiedad de que x*

f [x(u, v)] es una representación paramétrica regular de clase Cr para

todas las posibles cartas de S. En esta forma, al aplicar la definición anterior basta verificar a f con un número conveniente de cartas para estar seguros de que se cubren a S.

f [x(u, v)] es inyectiva y

Una representación paramétrica regular es localmente inyectiva y bicontinua. Si f es una aplicación regular derivable de S en S*, P un punto de S y x x(u, v) una carta local de S que contiene a P, siendo P la imagen de (u, v), entonces existe un entorno S(u, v) de (u, v) en el que x*

bicontinua y, por consiguiente, es una carta de S* que contiene a f (P) , como se ve en la Fig. 32. Como la restricción de x x(u, v) a S(u, v) una carta local en S, tendremos el siguiente

f [x(u, v)] es una carta local en S*.

x(u, v) de S, la aplicación f viene a ser la función compuesta x* o

Fig. 32 Cartas locales en S y S*

Teorema 8.1. Si f es una aplicación regular derivable de una superficie S en una superficie S*, entonces a cada punto P de S le corresponde una carta local x x(u, v) de S que contiene a P y tal que x*

Observemos que para cada carta x

x 1 donde x* f [x(u, v)] . Y como la aplicación compuesta de dos aplicaciones inyectivas y bicontinuas es inyectiva y bicontinua, tenemos el siguiente: 96

f (x(t)) , es una curva regular de clase Cr de S*.

x(t) es una curva

Corolario: Una aplicación regular derivable es localmente inyectiva y bicontinua. Es decir, si f es una aplicación regular derivable de una superficie S es una superficie S*, entonces, a cada punto P de S se le puede hacer corresponder una carta local, x x(u, v) de S, que contenga a P y dentro de la cual f sea una aplicación inyectiva y bicontinua en S.

x* (t)

Teorema 8.2. Si f es una aplicación regular derivable de clase Cr de S en S* y x regular C de clase Cr en S, entonces, x*

APLICACIONES ISOMÉTRICAS. GEOMETRÍA INTRÍNSECA

Si no se dice lo contrario, cuando se hable de “aplicación de clase Cm” de una superficie S en otra T, se quiere significar: “aplicación regular derivable de clase Cm” de S en T. 8.2

x* (t)

f (x(t)) en S*. Se puede demostrar que, si f es una isometría de S

Se dice que una aplicación inyectiva f de una superficie S sobre una superficie S* es una aplicación isométrica o una isometría, si la longitud de un arco regular x x(t) , arbitrario, de S, es igual a la longitud de su imagen x*

sobre S*, entonces f 1 es también, una isometría de S* sobre S.

Si existe una isometría de S sobre S*, entonces se dice que S y S* son isométricas. Intuitivamente es evidente que, si curvamos con cuidado una hoja de papel haciendo que adopte distintas formas, sin estirarla ni rasgarla, las superficies que resultan son todas isométricas entre sí, como se muestra en la Fig. 33.

Fig. 33 Superficies isométricas

97

Supongamos, ahora, que f es una aplicación inyectiva de S sobre S* tal que los coeficientes fundamentales E, F y G de toda carta x x(u, v) de S sean iguales a los coeficientes fundamentales E*, F* y G* en

toda la extensión de la imagen x* x* (u, v) f [x(u, v)] de la carta. Entonces, f es una isometría. En efecto, supongamos que x x(t) , a ≤ t ≤ b, es un arco cualquiera C en S. En general, puede ocurrir que C no se halle totalmente en ninguna carta de S. Sin embargo, como C es compacto (por ser la imagen continua del intervalo compacto a ≤ t ≤ b), estará formado de un número finito de arcos Ci, ti ≤ t ≤ ti+ 1, i = 0, … , n-1, consecutivos y tales que cada C, esté en alguna carta xi xi (u, v) .

i

L(Ci ) i

ti 1 ti

Ei

du dt

2

2 Fi

du dt

dv dt

Gi

dv dt

2

dt

Recordemos, ahora, que la longitud de mi arco en una carta es la integral de la raíz cuadrada de la primera forma fundamental. De modo que la longitud L(C) de C está dada por L(C)

i

ti 1 ti

Ei*

du dt

2

2 Fi*

du dt

dv dt

G i*

dv dt

2

dt i

L(Ci* )

L(C* )

Pero, por hipótesis, para todo i es Ei = Ei*, Fi = Fi* y Gi = Gi*, siendo Ei*, Fi* y Gi* los coeficientes fundamentales en x* f [x(u, v)] . Por tanto,

L(C)

De este modo, la longitud de un arco cualquiera. C de S es igual a la longitud de su imagen C* de S*. Por tanto, f es una isometría. El recíproco de esta afirmación es el siguiente

Teorema 8.3. Una función o aplicación inyectiva y sobreyectiva de S sobre S* es una isometría si y sólo si en toda carta x x(u, v) de S los primeros coeficientes fundamentales son respectivamente iguales, es decir, si E = E*, F = F* y G = G* siendo E*, F* y G* los primeros coeficientes fundamentales en la imagen x* f [x(u, v)] de la carta.

Decimos por definición, que una aplicación de S en S* es localmente isométrica, si tal aplicación conserva la longitud de los arcos, pero no es, necesariamente, biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). 98

Uno de los aspectos importantes de la geometría es el estudio de aquellas propiedades de las superficies que se conservan invariantes en una aplicación inyectiva de clase dada. Por ejemplo, una determinada propiedad topológica de una superficie se conserva invariante en una aplicación inyectiva bicontinua (topológica). La compacidad es un ejemplo de una propiedad topológica de algunas superficies. Las propiedades de las superficies que se mantienen invariantes en una isometría, se denominan propiedades intrínsecas de la superficie. Al conjunto de todas éstas se le da el nombre de geometría intrínseca de la superficie.

Del teorema 8.3 se desprende que una cierta propiedad de una superficie es intrínseca si y sólo si únicamente depende de la primera forma fundamental. Por ejemplo, se ve fácilmente que la curvatura gaussiana es una propiedad intrínseca de las superficies.

Sean P y Q dos puntos de una superficie. Por definición, se llama distancia intrínseca entre P y Q, y se representa por D (P, Q), al ínfimo (es decir, la mayor cota inferior), de las longitudes L(C) de todos los posibles arcos regulares C de S, que unan a P y Q. Es evidente que la distancia intrínseca entre dos puntos de una superficie existe siempre, pues el conjunto de números reales L(C) no es vacío (por ser S conexa y, por tanto, arco conexa) y es acotado inferiormente por la distancia euclidiana entre P y Q, que es |P – Q|. Es evidente que la distancia intrínseca entre dos puntos de una superficie es una propiedad intrínseca de ésta. Teorema 8.4. 1. D(P,Q) = D(Q,P) 2. D(P,R) ≤ D(P,Q) + D(Q,R) 3. D (P,Q) ≥ 0, D(P,Q) = 0 P=Q

Ahora bien: dados P y Q, si existe un arco regular que una a P y Q y cuya longitud sea igual a la distancia intrínseca entre P y Q, entonces C recibe el nombre de arco de longitud mínima entre P y Q.

De acuerdo con la definición del ínfimo se tiene que, si C es un arco de longitud mínima entre P y Q, entonces su longitud L(C) cumple las siguientes condiciones:

1. L(C) ≤ L(C’), siendo C’ cualquier otro arco que une a P y Q. (L(C) = D(P, Q) es una cota inferior.) 2. Para un > O, arbitrario, existe un arco regular C’ que une a P y Q y tal que L(C) + > L(C'). (L(C) = D(P, Q) es la mayor cota inferior.) 99

De nuevo, es evidente que los arcos de longitud mínima entre puntos, pertenecen a la geometría intrínseca de la superficie.

CURVATURA GEODÉSICA

En el plano, D (P, Q) es la distancia euclidiana y existe siempre un arco de longitud mínima, único, y es el segmento de recta entre P y Q. Sin embargo, en general, entre dos puntos de una superficie no existe, necesariamente, un arco de longitud mínima, o, de existir, no es necesariamente único. 8.3

Supongamos que C es un arco de longitud mínima entre dos puntos de una superficie S. Si P es cualquier punto de C y Q otro punto de C, vecino del primero, entonces intuitivamente se ve que la parte del arco entre P y Q es también un arco de longitud mínima entre esos puntos. Por otra parte, parece que la proyección C* del segmento de C, entre P y Q, sobre el plano tangente a S en P, como se ve en la Fig. 34(a), es un arco de longitud mínima en el plano tangente, entre P y la proyección Q* de Q sobre dicho plano. Pero, en ese caso, C* debe ser un segmento de recta o, lo que es igual, una curva de curvatura cero. De esta suerte, al escoger entre posibles arcos de longitud mínima, nos vemos precisados a considerar los que pertenezcan a curvas en las que el vector de curvatura de la proyección ortogonal de la curva sobre el plano tangente sea cero.

Fig. 34 (a) C* proyección de C. (b) Triedro (T, U, N)

El vector de curvatura en P de la proyección de una curva C, sobre el plano, tangente en dicho punto, se denomina vector de curvatura geodésica de C en P y se representa por k g . Para calcular k g , supongamos que, S es una superficie de clase ≤ 2, x x(u, v) , una carta que contiene a P, y 100

x

x(s)

x(u(s), v(s)) , una representación natural de C de clase C2. Llamemos, por el momento, T al

dx* ds

dx* ds

dt * ds

dt * ds

dx* ds

d 2 x* ds 2

d 2 x* ds 2 dx* ds

4

(k T) T (k U) U

dx* dx* ds ds

dx* (x T) T (x U) U (t T) T (t U) U ds d 2 x* (t T) T (t U) U (k T) T (k U) U ds 2

k*

1

dx* d 2 x* ds ds 2

(k U) U

dx* ds

vector unitario tangente a C en P y U al vector del plano tangente en ese punto y tal que (T, U, N) formen una terna ortonormal dextrógira, como se muestra en la Fig. 34(b). Sin riesgo de perder generalidad, podemos suponer que P se halle en el origen. Entonces, la proyección de C sobre el plano tangente en P vendrá dada por la expresión: x* (x T) T (x U) U . Haciendo la derivación se tiene:

t*

dx* ds

(k U) U

(k U) U (k U) (U T) T pero, U es ortogonal a T por lo que la expresión

T

T por lo tanto en dicho punto:

kg

(T T) T (T U) U

En P se cumple que t

dx* ds Y en consecuencia k * queda:

kg

Una consecuencia de esta ecuación es el hecho de que, según vemos, k g es realmente la proyección

ortogonal del vector de curvatura k de C en P sobre el plano tangente. Y como k es ortogonal a T , su proyección ortogonal sobre el plano tangente es, sencillamente, su proyección (k U) U sobre U . De este modo, tenemos el siguiente: 101

Teorema 8.5. La curvatura geodésica k g de una curva C en P es la proyección vectorial del vector de

k

kn

0 , podemos escribir:

(k U) U (k N) N

(k N) N es el vector de curvatura normal de C en P. Por lo tanto,

kg

(k U) U y por ser k T

curvatura k de C en P, sabre el plano tangente en este punto. De acuerdo con la ecuación k g

en donde hemos recordado que k n

g,

kg

g

k n se desprende que

definida por la igualdad k g

g

k U

k (N t ) . De este modo, tenemos la fórmula: [t k N] [x x N]

N t.

k U . Además, puesto que U se escogió de

U , recibe el nombre de curvatura geodésica

k g , es independiente de la orientación de la superficie S y de la curva C, pues k y k n lo son. La función escalar de C en P. De la relación k

g

modo que (T, U, N) , es decir, (t , U, N) fuera una terna ortonormal dextrógira, tenemos que U Y, en consecuencia,

g

Luego g depende tanto de la orientación de S (o sea, del sentido de N ), como de la orientación de C (o sea, del sentido de t ).

2 11

du ds

3

(2

2 12

1 11

)

du ds

2

dv ds

(2

2 22

1 12

)

du ds

dv ds

2 1 22

dv ds

3

du d 2 v ds ds 2

d 2u dv ds 2 ds

EG F 2

Al contrario de n, que depende de los primeros y de los segundos coeficientes fundamentales, la curvatura geodésica, g, sólo depende de los primeros coeficientes fundamentales (y de sus derivadas); por ello, es una propiedad intrínseca de la superficie. Esto se puede demostrar hallando g en forma explícita en función de E, F y G. Se puede demostrar que esto se consigue mediante la expresión:

g

y de aquí, resulta el siguiente 102

F

0

2 11

dv ds

du ds

2 11

Ev 2 E

3

3

EG F 2 EG F 2

1 Ev 2 G

G

(

)

2 22

2 11

EG F 2 E E

E

G

EG F 2 G

2 G

Gu

1 Gu 2 E

1 22

g u constante

E y a todo lo largo de

Teorema 8.6. La curvatura geodésica a lo largo de una curva, perteneciente a una superficie, es una propiedad intrínseca de ésta.

)

g v constante

G . De esta suerte, para el caso de la

A lo largo de las curvas v = constante, de parámetro u, dv/ds = 0 y , du ds 1

)

g v constante

)

g u constante

1 22

las curvas u = constante, de parámetro y, du/ds = 0 y dv ds 1 curvatura geodésica de las curvas de parámetros, es: ( (

(

Si, además, las curvas de parámetros son ortogonales, entonces,

GEODÉSICAS

De modo que:

8.4

(k U) U

0 . Si C no es

0 si y sólo si

0 , o sea, si y sólo si el plano osculador (que, según recordamos, es el plano paralelo

k n se desprende que le, k g

0 y, en consecuencia, k g

Los arcos de longitud mínima so aquellas curvas a lo largo de las cuales se anula el vector de curvatura geodésica. Las curvas C a lo largo de las cuales k g 0 reciben el nombre de líneas geodésicas o sim-

(k N) N

kg

plemente geodésicas. A lo largo de una recta, k g

kn

una recta, entonces de la igualdad k

k

a k y t ), contiene la normal a S. Tenemos así el siguiente

103

Teorema 8.7. Todas las rectas de una superficie son geodésicas. Una curva, que no sea una recta, es una geodésica si y sólo si el plano osculador de la curva es perpendicular al plano tangente a la superficie en cada punto.

0.

Una curva asintótica es una recta o una curva a lo largo de la cual el plano osculador y el plano tangente a la superficie coinciden, en tanto que una geodésica es una recta o una curva a lo largo de la cual el plano osculador es perpendicular al plano tangente. Por otra parte, una curva es asintótica si k n 0 ; una curva es geodésica sí k g

2 11

1 11

dv ds

du ds

2

2

2 2

2 12

1 12

du dv ds ds

du dv ds ds

2 22

1 22

dv ds

du ds

2

2

0

0

Teorema 8.8. Una representación natural de una curva, x x(s) x(u(s), v(s)) de clase C2 en una carta x x(u, v) de clase C2, es una geodésica si y sólo si u(s) y v(s) satisfacen las ecuaciones: d 2u ds 2 d2 v ds 2

v(0)

v0

De esta suerte, nos vemos precisados a considerar como candidata a geodésica por un punto arbitrario x(u o , v o ) en una dirección arbitraria (du/ds)0:(dv/ds)0, a la curva x(u(s), v(s)) , en donde u(s), u(s) son las soluciones de la ecuación anteriores deben satisfacen las condiciones iniciales siguientes: du du dv dv (0) (0) ds ds 0 ds ds 0 u(0) u 0

2

E

du ds

2

0

2 F

du ds

0

dv ds

0

G

dv ds

0

2

1

Si en las ecuaciones de las geodésicas) los kij son de clase Cl, entonces de acuerdo con la teoría de las ecuaciones diferenciales, ciertamente existirá una solución única, u(s), u(s) en un entorno de s = 0 que satisfaga las condiciones iniciales dadas. Sin embargo, en general, s no representará la longitud a lo largo de x x(u(s), v(s)) y, en consecuencia, del anterior teorema no se deduce directamente que x x(u(s), v(s)) sea una geodésica. Se demuestra que si (du/ds)0:(dv/ds)0 se escoge de modo que inicialmente:

dx ds

104

2

dx entonces 1 para todo valor de s; es decir, s será igual a una longitud de arco, y, por tanto, según ds el teorema anterior, x x(u(s), v(s)) es la única geodésica que pasa por el punto x(u o , v o ) en la dirección dada (du/ds)0:(dv/ds)0.

Es evidente que como los números directores (du/ds)0:(dv/ds)0 satisfacen la ecuación anterior, se les puede hallar para una dirección cualquiera, duo:dvo, con sólo hacer (du/ds)0 = duo/ y (dv/ds)0 = dvo/ , siendo E0 du 02 2 F0 du 0 dv 0 G 0 dv 02 . Por último, los kij serán de clase C1 si x x(u, v) es de clase C3. Así, tenemos el siguiente:

Teorema 8.9. En las vecindades de un punto P de una superficie de clase ≥ 3 existe una y sólo una geodésica que pasa por el punto en una dirección dada. La geodésica es de clase C3.

x(u, v) es una carta en una superficie de clase ≥ 2 y tal que E = E(u), F= 0 y G =

Supongamos que x x(u, v) es una carta en una superficie y tal que las curvas de parámetro u y las de parámetro v son ortogonales, y los primeros coeficientes fundamentales dependan solamente de uno de los parámetros. Entonces, siempre será posible hallar las geodésicas por medio de cuadraturas. Por ello, tenemos el siguiente: Teorema 8.10. Si x G(u), entonces:

COORDENADAS GEODÉSICAS

v

G

C

G C2

E

du

(C= constante)

(i) Las curvas u = constante, de parámetro v, son geodésicas. (ii) La curva u = vo, de parámetro u, es una geodésica si y sólo si G0(uo) = 0. (iii) Una curva de la forma x x(u, v(u)) es una geodésica si y sólo si

8.5

Una carta local en que las curvas de parámetros sean ortogonales y una de las familias de tales curvas esté formada por geodésicas, recibe el nombre de conjunto de coordenadas geodésicas. Las coordenadas geodésicas pueden introducirse en una superficie de múltiples maneras. En efecto, supongamos que x x(v) , a ≤ v ≤ b es un arco arbitrario Co de clase C2 en una superficie de clase ≥ 3. 105

x(u, v) , - < u < , a < v
0 tal que para 0 < r < , x x(r, ) sea una representación paramétrica regular de clase C2 y, por consiguiente, un conjunto de coordenadas geodésicas, al que se le da el

COORDENADAS GEODÉSICAS POLARES

K

Teorema 8.12. Si x x(u, v) es un conjunto de coordenadas geodésicas en una superficie de clase ≥ 3, tal que las curvas de parámetro u sean geodésicas y u sea un parámetro natural, entonces

8.6

Fig. 36 circunferencias y radios geodésicos

108

nombre de coordenadas geodésicas polares en P. Demostraremos, además, que para un 0 < r < , 0 ≤ ≤ 2 , x x(r, ) es una aplicación biyectiva sobre un entorno reducido de P. En esta forma, la geodésica que una a P con cada punto de su entorno es única. Las curvas r = constante, de parámetro , se denominan circunferencias geodésicas y los correspondientes valores de r reciben el nombre de radios de las circunferencias geodésicas.

I

dr 2

G(r, ) d

2

Al igual que en el caso de las coordenadas geodésicas en general, la primera forma fundamental en el caso de las coordenadas geodésicas polares, x x(r, ) , r > 0, es de la forma:

xr xr

1, F

r

xr x

0 yG

x x

r 2 y, por tanto, I

dr 2

r2 d

2

Un ejemplo sencillo de coordenadas geodésicas polares lo constituye un sistema de coordenadas polares colocado en el origen del plano x1x2. Este viene dado por la expresión x r cos e1 r sen e2 r > 0 - ≤ ≤ . Es evidente que E . Luego se tiene el siguiente:

0

R(r, ) r3

0 , y K(P) es la curvatura gaussiana en P.

G(r, )

Teorema 8.13. x x(r, ) es un conjunto de coordenadas geodésicas polares en un punto P de una superficie de clase suficientemente alta, entonces: 1 K(P) r 3 R(r, ) 6 r

en donde lim

2 0

G(r, ) d

2

r

1 K(P) 3

K(P) 3

r 3 o(r 3 )

0

2 r

lim

r C(r) r3

3

2

r C(r) r3

o(1)

Como consecuencia de este teorema existe una interpretación, de gran interés e importancia, de la curvatura gaussiana. En efecto, sobre la circunferencia geodésica r = constante, tenemos dr = 0. Y la longitud de esa circunferencia viene dada parla integral

C(r)

También, por ser K(P) independiente de r K(P)

109

R

r 0

2

0

G d

r

lim

dr

12

r2

r2 r4

12 A(r)

K(P) r 4 o(r 4 )

EG F 2 du dv del área de una superficie, hallamos que la ence-

Vemos así, de nuevo, expresada la curvatura gaussiana en función de algunas propiedades intrínsecas de la superficie. Por último, recordando la fórmula

0

rrada dentro de una circunferencia geodésica es A(r)

En consecuencia, tal como antes, K(P) Tenemos así el siguiente

r

0

lim

3

2

r C(r) r3

o K(P)

r

0

lim

12

r2 r4

A(r)

Teorema 8.14. La curvatura gaussiana en un punto P, de una superficie de clase ≥ 3 viene dada por

K(P)

ARCOS DE LONGITUD MÍNIMA

Fig. 37 Curva que une PQ

siendo, r, C(r) y A(r), en su orden, el radio, la longitud de la circunferencia y el área encerrada por la circunferencia geodésica (área del circulo), con centro en P 8.7

Si P y Q son puntos de una superficie bastante cerrada tal que en P exista un conjunto de coordenadas geodésicas polares x x(r, ) que contenga a Q, como aparece en la Fig. 37, entonces demostraremos que la geodésica = constante que contenga a Q es el único arco de longitud mínima entre P y Q. Supongamos que Q pertenece a la circunferencia geodésica r = ro y a la geodésica = o y que x x(t) , a ≤ t ≤ b, es un arco C de S que une a P con Q. Por el momento, consideremos que C está contenido en x x(r, ) . Entonces, la longitud L(C) del arco C viene dada por la integral: 110

Como G > o entonces: a

b

L(C)

L(C)

b a

dr dt

dr dt 2

dt

2

dr dt

G(r, )

b a

d dt

dt

2

r0 0

dt

dr

r0

Pero, ro es la longitud de la geodésica = o entre P y Q, y la anterior igualdad de signos tiene lugar si y sólo si d /dt = 0, o sea, = constante. De esta suerte, la geodésica = o es, entre todos los arcos contenidos en x x(r, ) , el único de longitud mínima que une a P con Q. Pero, ahora podemos demostrar que éste es en realidad el menor de todos los arcos regulares de S que unen a P con Q. En efecto, supongamos que x x(t) , a ≤ t ≤ b, sea un arco C que une a P con Q y parte de x x(r, ) , como se ve en la Fig. 38. Entonces, es posible demostrar que en algún punto x x(t* ) , donde t* < t, C corta la circunferencia geodésica r = ro, por ejemplo, en * y está contenido en x x(r, ) si a ≤ t ≤ t*. Ahora, bien: si designamos con C* la parte de C que está en el intervalo a ≤ t ≤ t*, entonces C* es un arco regular en x x(r, ) que Fig. 38 Arco PQ une a P con P*, que es el punto correspondiente a (r0, *). La argumentación anterior, aplicada a los puntos P y P*, nos proporciona la expresión: L(C*) ≥ ro. Pero, L(C) > L(C*). Y, en consecuencia, L (C) > ro, que es la longitud de la geodésica = o que une a P y Q. Tenemos así el siguiente:

Teorema 8.15. Si P y Q son puntos de una superficie tales que exista en P un conjunto de coordenadas geodésicas polares que contenga a Q, entonces existe entre P y Q un arco único de longitud mínima representado por la geodésica que une dichos puntos.

Con base en este teorema, demostraremos que, si C es un arco de longitud mínima entre cualquier par de puntos P, y P2 de una superficie de clase C3, entonces C es una geodésica. Para ello, supongamos que C está dado por x x(t) , a ≤ t ≤ b, y que P es un punto arbitrario de C, diferente de P1 y P2. Como S es 111

de clase C3, existe en P un conjunto de coordenadas geodésicas polares, x x(r, ) . Tomemos, ahora, un > 0, suficientemente pequeño, de modo que los puntos P y P , que corresponden a t + y t - . estén en x x(r, ) , como se ve en la Fig. 39. Llamemos C la parte de C que se halla entre P y P . Necesitamos demostrar que C es un arco de longitud mínima entre P y P . Para Fig. 39 Teorema 8.15 ello, supongamos lo contrario, es decir, que existe un arco regular entre P y P tal que su longitud L( ) sea estrictamente menor que L(C ). En particular, sea L( ) + = L(C ). Consideremos, ahora, el arco que se obtiene al remplazar en C a C , por . Obsérvese que es posible que este arco no sea regular en P y P . Sin embargo, es posible demostrar que un arco como ese se puede aproximar en P y en P , dando así un arco C* cuya longitud difiera de la de a lo sumo en /2. Como L( ) + = L(C ), se deduce que C* es un arco regular entre P1 y P2 tal que: L(C*) + /2 ≤ L(C ) L(C*) + /2 ≤ L(C )

Fig. 40 Consecuencia teorema 8.15

lo cual es imposible, pues C es un arco regular entre P1 y P2 de longitud mínima. Por lo tanto, C, es un arco de longitud mínima entre P y P . Por la misma razón, C- , que es la parte de C comprendida entre P y P, es también un arco de longitud mínima entre P y P. Pero, entonces, como consecuencia del teorema precedente, C- , y C son curvas geodésicas, por ejemplo, = y = de P a P y a P- respectivamente, como se muestra en la Fig. 40. Pero, C es regular en P; de donde, = + . En otras palabras, cerca de P, C es la única geodésica por ese punto, en la dirección definida por . Y como P es un punto arbitrario de C, el teorema queda demostrado. Tenemos así el siguiente: Teorema 8.16. Si C es un arco de longitud mínima entre dos puntos de una superficie de clase ≥ 3, entonces C es una geodésica.

112

8.8

SUPERFICIES DE CURVATURA GAUSSIANA CONSTANTE

0

0

2

r2

G

0

lim r

K

G

r

G

1

0

Recordemos que la curvatura gaussiana K es invariante en una aplicación isométrica. Por este motivo, en puntos correspondientes de dos superficies isométricas, las curvaturas gaussianas son iguales. La recíproca de esta aserción no es verdadera, en general. Sin embargo, si dos superficies tienen la misma curvatura gaussiana constante, entonces, demostraremos que dos entornos cualesquiera suficientemente pequeños de esas superficies, son isométricos. En efecto, supongamos que x x(r, ) es un conjunto de coordenadas polares geodésicas en un punto de una superficie de curvatura gaussiana constante K. De las ecuaciones del teorema 8.12 y 8.13, se desprende que G x 0 x0 satisface la siguiente ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes

r

con las condiciones iniciales lim G

Si K = 0, entonces la solución general de la ecuación es G r C1 ( ) C2 ( ) .Al aplicar las condiciones iniciales se tiene C1 = 1 y C2 = 0, Por lo tanto, G = r2. Por lo que los primeros coeficientes fundamentales de x x(r, ) deben ser E = 1, F =0 y G = r2. Si K > 0, entonces la solución general de la ecuación

x(r, ) deben ser: E

K . En este caso, las condiciones iniciales implican que

C1 ( ) sen r

C2 ( ) cos r

G

K

es

K y C2 = 0. En este caso, los primeros coeficientes fundamentales de x

K .

C1 ( ) senh r

1

K

K y C2 = 0.

C2 ( ) cosh r

Así pues, E = 1, F = 0,

K

K . Por último, si es K < 0, entonces la solución general es:

1

G

1 K sen 2 r

C1

= 1, F = 0, G

1 K senh r

Aplicando la condición inicial se tiene: C1 G

113

Vemos, pues, que los primeros coeficientes fundamentales de un conjunto de coordenadas polares geodésicas, en cualquier punto P de una superficie S de constante K, están unívocamente determinados y dependen únicamente de K. Pero, es evidente que, si P* es cualquier otro punto de cualquier otra superficie que tenga igual curvatura gaussiana K, constante, y x x(r, ) es un conjunto de coordenadas

polares geodésicas en P*, entonces la aplicación f , definida por f (x(r, )) x* (r, ) es una aplicación isométrica de un entorno de P sobre un entono de P*. En esta forma se tiene el siguiente:

Teorema 8.17. (Minding). Dos entornos cualesquiera, suficientemente pequeños, de superficies de clase ≥ 3 que tengan igual curvatura gaussiana constante, son isométricos.

Una superficie esférica es un ejemplo de superficies que poseen curvatura gaussiana constante.

TEOREMA DE GAUSS-BONNET.

La dirección que se escoge para que corresponda a = 0 en un conjunto de coordenadas geodésicas, es completamente arbitraria. Según el teorema 8.17, los entornos de dos puntos distintos en una superficie de curvatura gaussiana constante se pueden aplicar isométricamente uno sobre el otro de tal manera que una dirección cualquiera que se dé en uno de los puntos, se puede hacer corresponder a otra dirección cualquiera que se escoja en el otro. Intuitivamente, esto significa que cualquier figura geométrica situada en una superficie de curvatura gaussiana constante se puede trasladar y girar libremente sin que varíen las longitudes de las curvas. De esto se concluye que las superficies de curvatura constante positiva y negativa conducen a los modelos de geometrías no euclidianas elíptica e hiperbólica. En estos modelos, las geodésicas de las superficies se identifican con las “líneas rectas” de la geometría ordinaria. La diferencia principal entre las geometrías del plano (K = 0), elíptica, (K > 0) e hiperbólica (K < 0), descansa en el axioma de “paralelismo” En la geometría euclidiana este axioma afirma que por un punto exterior a una recta dada existe una única paralela (es decir, que no la corta) a la recta. En la geometría elíptica (sobre la superficie esférica) no se pueden trazar rectas paralelas, pues dos “rectas” cualesquiera (meridianos) se cortan siempre (en los polos). Y en la geometría hiperbólica existen infinitas paralelas a una “recta” dada. 8.9

Se denomina arco de Jordan, C, de clase Cm, a una sucesión finita de arcos regulares Ci, i = 1, …, n, de clase Cm, contiguos, es decir, puesto uno a continuación del otro en forma que el extremo del anterior sea el origen del siguiente, como se muestra en la Fig. 41(a). Es visiblemente evidente que un arco de Jordan C tiene una representación continua única, x x(t) t0 ≤ t ≤ tn, tal que sus componentes C, se representan por , x x(t) en subintervalos, ti-1 ≤ t ≤ ti. Es también evidente que un arco de Jordan es rectificable y que su longitud es igual a la suma de las longitudes de sus componentes. 114

Fig. 41 (a) Arco de Jordan. (b) Arco de Jordan cerrado

Si los extremos de un arco de Jordan coinciden, se dice que el arco de Jordan es cerrado. Se llama arco de Jordan cerrado y simple o polígono curvilíneo a un arco de Jordan cerrado que no tiene más puntos múltiples que sus extremos, como se muestra en la Fig. 41(b). Las componentes regulares de un polígono curvilíneo se llaman bordes o lados del polígono y a cada punto común a dos lados se le denomina vértice del polígono.

C.

du dv P q dt dt

dt R

Q u

P v

du dv

Si C: u = u(t), v = v(t) es un polígono curvilíneo en el plano, se puede demostrar (teorema de la curva de Jordan) que C es el contorno de un dominio D simplemente conexo y acotado que se llama su interior. (Un conjunto de puntos D de un espacio euclídeo E es simplemente conexo si cualquier polígono curvilíneo cerrado, contenido en D, puede deformarse o “contraerse” continuamente alrededor de un punto sin salirse de D.) Si, además, P(u, v) y Q(u, v) son funciones derivables en un conjunto abierto U del plano que contenga un polígono curvilíneo C y su interior D, y si C está orientada positivamente alrededor de D, es decir, si una pequeña rotación positiva de un vector tangente a C lo deja señalando hacia el interior de D, entonces se puede demostrar (teorema de Green) que

C

siendo R el conjunto cerrado D

Supongamos, ahora, que x x(u, v) es una carta de una superficie S definida en un conjunto abierto U. Es evidente que una curva C: x x(t) x(u(t), v(t)) es un polígono curvilíneo de la carta si y sólo si u = 115

Fig. 42 Interior W de C

u(t), v = v(t) es un polígono curvilíneo en U. Si C es un polígono curvilíneo perteneciente a la carta, diremos, por definición, que el interior W de C en x x(u, v) es la imagen del interior de u = u(t), v = v(t) en U; por otra parte, diremos que C está orientado positivamente en la carta si u = u(t), v = v(t) tiene orientación positiva en el plano de parámetros. Por último, observemos que es posible demostrar que el interior W de C en la carta es un subconjunto simplemente conexo de ésta si y sólo si el interior de u = u(t), v = v(t) está contenido en U como se muestra en la Fig. 42.

xu xu

x

u

E

g2

xv xv

xv G

Fig. 43 Ángulos externos de C

Supongamos, ahora, que x x(u, v) es una carta de una superficie de clase ≥ 3 tal que las curvas de parámetros sean ortogonales; supongamos, además que x x(s) x(u(s), v(s)) es una representación natural de un polígono curvilíneo C de clase C2 en x x(u, v) , orientado positivamente, y cuyo interior es simplemente conexo. Convengamos que: g1

son los vectores unitarios a lo largo de C en la dirección y sentido de las curvas de parámetros u y de parámetro u, respectivamente, y 0(s) la función, derivable a trozos, descrita por t (cos ) g1 (sen ) g 2 siendo t la tangente unidad a todo lo largo de C, como se muestra en la Fig. 43. Obsérvese que (s) presenta un salto en cada vértice Pi de C igual a un ángulo i, donde - < i < . El ángulo i, se llama ángulo externo de C en Pi. Ahora, bien: por la fórmula de Liouville se demuestra que lo largo de cada lado de C la curvatura geodésica viene dada por 116

ds

C

d

cos

t

t

C

sen

C

1

C

C

P

E

g

g

x u

ds

E

x v

G

ds

du ds du dv q dt dt dt

g

d ds 1

cos

dv ds

(

xv

dv ds

C

du ds

xv

d ds ds

xu

du ds

C

xu

C

2

d

Q u

G

C

dv ds P du dv v

1

1

E

ds

E

cos

x

u

E

x

v

2

G

d

du ds

C

sen

2

u

v

dv ds

du ds

G

E

dv ds

du ds

sen ) ds

E

x x u

v

G

x x

2

R'

G

u

dv ds

2

ds

G

v

1

E

du dv

0 . De

siendo 1 y 2 las curvaturas geodésicas de las curvas de parámetros, v = constante y u = constante, respectivamente. De modo que:

Ahora, bien,

Y

g

G

R

Se ha utilizado el hecho de que las curvas de parámetros son ortogonales y, por lo que, xu x v esta suerte, al sustituir en la integral anterior, se tiene:

C

2 E

v

Aplicando la fórmula de Green:

)

g v constante

y(

)

g u constante

2 G

u

Siendo R’ el interior y el contorno de u = u(s), v = v(s) en el plano. Recordando que: E G resulta: (

117

C

g

ds =

C

C

d d

K

R'

R'

2

u 1

2

E G

1

g

2

ds

E G

C

G u

2

E G u

u

g

d

ds

C

1 E

C

v Gu E G

G u

K

d

R'

1

R'

2 v

1

E G

Ev

K ds

1 G

C

d i

i

Ev

du dv

E v

C

E G du dv

2 . Se llega al siguiente:

C

d mide

d . C es una curva simple, se

E G

E G du dv

v

La curvatura gaussiana se demuestra que es igual a (apartado 8.5):

Luego: Así se llega a la fórmula: C

En donde R es la unión de C en su interior en S. Solo falta calcular la

a lo largo de los lados tenemos que:

puede demostrar que el cambio total de al recorrerse C completamente es igual a 2 . Como el cambio de

g

ds R'

K dS

2 i

i

Teorema 11.18. Fórmula de Gauss-Bonnet. Sea C un polígono curvilíneo de clase C2 en una carta de una superficie de clase ≥ 3. Supongamos, que C está orientado positivamente y que su interior, en la carta, es simplemente conexo. Entonces C

siendo g la curvatura geodésica a lo largo de C, R la unión de C y de su interior, K la curvatura gaussiana y i los ángulos externos de C. 118

Fig. 44 (a) Polígono curvilíneo. (b) Descomposición poligonal

Supongamos, ahora, que S es una superficie compacta (cerrada y acotada) y orientable. Es posible demostrar que una superficie como esta se puede cubrir con un número finito de regiones Ri, i = 1, …, n se supone que cada Ri consta de un polígono curvilíneo Ci y de su interior Wi, en tal, forma que si dos cualesquiera de los Ri se traslapan ello ocurre sobre un único lado o borde común, o en un vértice común, como se muestra en la Fig. 44(a). El recubrimiento Ri, i = 1, …, n recibe el nombre de descomposición poligonal de S. En particular, si se escoge una orientación, entonces, existe una descomposición poligonal formada por polígonos orientados, por ejemplo, positivamente, en forma tal que, sobre un lado común a dos polígonos contiguos, hay dos orientaciones opuestas, como se muestra en la Fig. 44(b).

g

ds Ri

K dS

2

ki j

ij

Supongamos, ahora, que la fórmula de Gauss-Bonnet se aplica a cada uno de los polígonos Ci de tal recubrimiento. Esto nos da Ci

siendo ki el número de lados o bordes de Ci y ij = - ij el ángulo interno en un vértice. Supongamos, por otra parte, que la ecuación precedente se suma sobre todos los polígonos Ci. Como cada lado se toma en la suma dos veces con orientaciones opuestas, entonces se tiene: 119

i

Ci

g

ds

0 S

2

2

n i 1

1

n i 1

(a 2 a1 a0 )

ki

n i 1

j

ij

k i , y cada vértice contribuye con 2 a la suma

K dA n i 1

K dA

Como cada lado figura dos veces en la suma tenemos finalmente la fórmula S

S

n

i 1

j

ij

en donde a2 = n es el número total de polígonos, a1 el número total de lados o bordes y ao el número total de vértices de la descomposición. La integral K dA se denomina curvatura total de S.

Una primera consecuencia de la ecuación precedente es que, según vemos, el entero = a2 + a1 + ao sólo depende de la superficie y, en ningún caso, de la descomposición poligonal de ella. Este entero recibe el nombre de característica de Euler de la superficie. La característica de Euler también es invariante en toda aplicación (trasformación) biyectiva y bicontinua de superficies. En efecto, es visiblemente evidente que cualquier descomposición poligonal de una superficie S se trasformará en la correspondiente descomposición poligonal, de su imagen con el mismo número de polígonos, lados y vértices. Y de esto se concluye que en las superficies compactas orientables, como la que nos ocupa, la curvatura total K dA es realmente un invariante topológico. S

K dA

2

(s)

Teorema 8.19. Teorema de Gauss-Bonnet. Si S es una superficie de clase C3, compacta y orientable, entonces, S

siendo K la curvatura gaussiana de S y (s) es la característica de Euler de S.

120

BIBLIOGRAFÍA

Lipschutz, M. (1971). Teoría y Problemas de Geometría Diferencial. Calí (Colombia): McGraw-Hill. Rodríguez-Sanjurjo, J. M., & Ruiz, J. M. (2012). Introducción a la Geometría Diferencial I: Curvas. Madrid: Rditorial Sanz y Torres. Rodríguez-Sanjurjo, J., & Ruiz, J. (2019). Introducción a la Geometría Diferencia II: Superficies. Madrid: Editorial Sanz y Torres. Suay Belenguer, J. (2018). Funciones de varias variables. Morrisville,: Lulu Press, Inc. Obtenido de http://www.lulu.com/shop/juan-miguel-suay-belenguer/funciones-de-variasvariables/paperback/product-23506912.html

121

122