TEORIA Y PROBLEMAS DE . . GEOMETRIA DIFERENCIAL SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM TEORIA Y PROBLEMAS DE GEOMETRIA DIFERE
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TEORIA Y PROBLEMAS DE
.
.
GEOMETRIA DIFERENCIAL
SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM
TEORIA Y PROBLEMAS DE
GEOMETRIA DIFERENCIAL POR
MARTIN M. LIPSCHUTZ, Ph.D. Profesor de Matemática Universidad de Bridgeport
TRADUCCION Y ADAPTACIO!\
DR. VICTOR ARIZA
PRADA
Profesor de Matemática, Universidad del Valle Cali, Colom búi
DGT McGraw-Hill MADRID BOGOTA GUATEMALA LISBOA MEXICO NUEVA YORK PAN~A SAN JUAN SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO . JOHANNESBURG LONORl):S MONTREAL NUEVA DELHI PARIS SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SYONEY TOKIO TOAONTO
GEOMETRIA DIFERENCIAL Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1971, respecto a la primera edición en espai\ol por LIBROS McGRAW· HILL DE MEXICO, S. A. DE C. V. Atlacomulco 499·501, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro .d e la Cámara Nacional de la Industria Editorial; Reg. Núm. 465
ISBN
968--45i-~9
ISBN 0-07-091827Traducido de la primera edición en inglés de
DIFFERENTIAL GEOMETRY
Copyright © 1970, by McGRAW-HILL BOOK Co., u. s. A .
ISBN 0-07-037966-8 ISBN: 84-7615-075-X l;)epósito legal: M. 35.221-1990
De esta edición se imprimieron 1.000 ejemplares, en octubre de 1990 Impreso en Lavel. los Llanos, nave 6. Humanes (Madrid)
PRINTED IN SPAIN - IMPRESO EN
ESJ>A~A
Prólogo Este libro se ha escrito para un curso semestral de geometría diferencial en el último año de.estudios no graduados,_ o en el primer año de posgrado. En él se exponen los conceptos fundamentales de la geometría diferencial de curvas y superficies en un espacio euclidiano tridimensional. para luego aplicarlos a muchos ejemplos y problemas tesueltos. En los capítulos 1 y 2 se presenta la teoi:ía fundamental de los vectores y del análisis vectorial de una sola var.íable. En el capítulo 3 se estudia el concepto de curva. mientras que los capítulos 4 y 5 se dedican a la teoría de curvas en E3, incluyendo temas escogidos de la teoría del contacto, la cual constituye una introdu.cción muy natural a la teoría clásica de Jas curvas. Se ha puesto ·mucho cuidado en la definición· de superficie, con el propósito de suministrar al lector bases firmes que le penr.itan .resolver problemas globales y. además, adelantar ulteriores estudios de geometría diferencial moderna. Para lograr estos objetivos, en los capítulos 6 y 7 se hace un repaso de asuntos relativos al análisis y a la topología de conjuntos de puntos en espacios euclidianos. Después, en el capítulo 8, se define la noción de superficie, y los capítulos 9 y 10 se dedican a la teoría de la geometría no intrínseca de superficies. En ellos se incluye una introducción a los métodos tensoriale!> y algunos temas escogidos de la geometría global de las superficies. El último capítulo se consagra a la teoría básica de la geometría intrínseca de superficies en Eª. A lo largo del libro se presentan muchas ilustraciones como ayuda visual para el lector, y al final de cada capítulo se proponen muchos y variados ejercicios, graduados en orden de dificultad, para que p~eda verificar su comprensión de los temas tratados. Con sincero placer presento a Martín Silverstein y a Jih-Shen Chiu el testimonio de mi· gratitud por la ayuda que me prestaron con sus múltiples y útiles insinuaciones y críticas. De igual modo, agradezco a Daniel Schaum y a Nicola Monti su espléndida colaboración edi· toríal, y a Henry Hayden el arreglo tipográfico y la· obra de arte de las figuras. Por último, quiero expresar mi reconocimiento a Sara, mi esposa, por la cuidadosa trascripción mecanográfica del manuscrito. MARTIN M. LIPSCHUTZ
TABLA DE MATERIAS Página Capítulo
1
VECTORES
1
Adición de vectores. Mult iplicación de un vector por un escalar. Dependenda e independencia lineales. Bases y componen tes. Producto escalar de vectores. Vectores ortogonales. Bases ortonormales. Bases orientadas. Producto vectorial. Productos triples e identidades vectoriales.
Capítulo
2
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL . . . .• . . . . ·
22
Rectas y planos. Entornos o vecindades. Funciones vectoriales. Funciones acotadas. Límites. Propiedades de los límites. Continuidad. Derivación. Fórmulas de derivación. Funciones de clase C"'. Fórmula ~e Taylor. Funciones a nalíticas.
Capítulo
3
CONCEPTO DE Cli dV A . . .
45
Representaciones regulares. C u rvas regulares. Proyecciones ortogonales. Representaciones implfcitas de curvas. Curvas regulares de clase C"'. Definición de longitud de arco. ·La Ion· gitud de arco como parámetro.
Capítulo
4
CURVATUR~
Y TORSION
64
Vecto r tangente unitario. Rect.a tangente y plano tangente. Curvat1,1ra. Vector unitario normal p rincipal. Normal principal y plano osculador. Binormal. T riedro móvil. T orsión. Indicatrices esféricas.
Capítulo
5
TEORIA DE LAS CURVAS . . .
85
Fórmulas de Frenet. Ecuaciones i ntrínsecas. El teorema fundamental de existencia y uni· cidad. Representación canónica de una curva. In volutas. Evolutas. Teoría del contacto. Curvas y superficies osculatrices.
Capítulo
6
TOPOLOGIA ELEMENTAL EN ESPACIOS EUCLIDEOS . . . . . 109 Conjuntos abiertos. Conjuntos cerrados. Puntos de a cumulación o puntos límites. Conjuntos conexos. Conjuntos compactos. Aplicaciones continuas. Homeomorfismos.
Capítulo
7
FUNCIONES VECTORIALE S DE VARIABLE VECTORIAL
130
Funciones. lineales. Continuidad y límites. Derivadas direccionales. F unciones derivables. Funciones compuestas. Funciones de clase O". Fórmula de Taylor. El teorema de la función inversa.
Capítulo
8
CONCEPTO DE SUPERFICIE . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 159 Representaciones paramétricas regulares. Cartas locales. Definición de super ficie simple. Plano tangente y recta normal. Propiedades topol ógicas de las super ficies simples .
Capítulo
Capítulo
9
10
PRIMERA Y SEGUNDA FORMAS FUNDAMENTALES . .
182
Primera forma fundamental. Longitud Q.e un arco y área de una supe.rficie. Se~nda forma fundamental. Curvatura normal. Curvaturas y direcciones principales. Curvatura gausiana y curvatura media. Líneas de curvatura. Fórmula de Rodríguez. Lineas asintóticas. Familias c.onjugadas de curvas.
TEORIA DE SUPERFICIES. ANALISIS TENSORIAL . . . . . .. 2Í4 Ecuaciones de Gauss-Weingarten. Las ecuaciones de compatibilidad y el teorema de Gauss. EJ teorema fundamentál de las superficies. Algunos te9~einas relativos a superficies en grande. Variedades elementales. Tensores. Algebra tensorial. Aplicaciones de los tensores a las e o y lal = o si y sólo si. a ;,,,· o. .
ADICION DE VECTORES Dados dos vectores a = (a¡, a 2 , a 3 ) y b = (bi, b2 , b3 ) de E 3 , su suma a+ bes el vector definido por La diferenc~ de dos vectores a y bes el vector a - b = a + (. . . b}. En el problema 1.1 se demuestra qu~ la adicíóri vectorial cumple las siguientes leyes:
=
a +b b +a (ley conmutativa) (a+ b) +e = a + (b +e) (ley asociativa) O + a = a para todo a a+ (-a) ::::: O para todo a
[A1] [A2] [.N:1J {~ ]
Ejemplo 1.3. Sean a = (1, -2, O) y b = (0, l, 1). Entonces
a+ b
= (1,-1,1),
-a
= (-1,2,0),
·b -
a= {-1,3,1), !al=
\15.
Ejemplo 1.4. AÍ aplicar las leyes des de (Ai] hasta [A4 1 se ve que, para vectores cualesquiera a y b,
=
a+(b-a)
a+(b+(- a)) = a +(-a)+. b
De esta suerte, la ecuación vectorial a porque sí a + y = b, . entonces
+
= O+b = b
x = b tiene una soluci~n, x = b - a. Esa solución es única.; ·
.)
=
O
Asi, pue8, e .J. b.
BASES ORTONORMALES Sean e 1 , e 2, e 3 tres vectores unitarios tales que cadá uno es normal a los otros dos, como lo indica la figura 1-8. Estos vectores son independientes, pues si k1e1 + k2e2 + k3e3 = O, entonces O = e,·O ~ edk1e1 + kze2 + k3e3) = ei•k¡e¡ = ki o k, = O para todo i. En consecuencia, esos vectores forman una base qué se · denomina base ortonormal. · Se observa que e,, i = 1, 2, 3, es una base ortonormal si y ·sólo si · el· ea = "2 • ~ ea • ea = 1 (vectores unitarios) e1 • ez = ·e2 • ea = ei • ea - O (ortogonales entre ~í)
=
Fig.l-8
o, dicho brevemente, si j = i si i+i
(1.7)
(i,j= 1,2,3)
La expresión o¡¡ 8e denomina símbolo de Kronecker y se utilizará con frecuencia. En el problema 1.23 se demostrará el Sean: e 1 , e 2 , e 3 una base ortonormal Y~ adem.ás a = b = bie1 + bzez + b3e3. Entonces,
Teorema 1.4.
(i)
a· b = a1b1
(ii}
la!
(iii) a{ Ejemplo 1.t7. Sean: a - e1
+ 2e3,
=
+ a2b2 +
3
aaba -
v.:a = va:. + a; +a! =
= a· e1,
(i
= l, 2, 3).
(e) (d)
ua
(b) ·
(e)
a· b
íF
b = 2e1 +ea - 2e3, y e = -2e2 +el. Entonces
+ {0)(1) + (2}(-2} = -2 (a · ~)b = [(1)(0) + (0}(-2) + (2)(1)] (2e1+ e2 lal = v12 + 22 = V5
(a)
l: (l.fbt f=l
=
=
(1)(2)
l:I
':= (l/VG)e1
a•b
coa~ (a, b } = lal lbl
+ (2/VS )e3
=
- 2
3VS
·
-
2e¡)
a1e1
+
aze2
+ a 3ea
Y
VECTORES
8
(CAP. 1
Se da un vector, diferente de cero, a = a 1e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 y 6¡ == ~ (a, e¡), i = 1, 2; 3, tal como se muestra en la figura l-9. Los escalares cos th, cos 82, cos 63 se llaman cosenos directores de a. Puesto que a•e¡ = lal cos = a;, tiene cos Oi = a.Jlal, i = 1, 2, 3
ª•
Obsérv~e
se
que a
u. = !al
=
a1
as
a3
lal e1 + lal e2 + lale3 = (cos 01)e1 + (cos 02)e:.1 + (cos Os)e:i
Fig. l -9
Es decir, los cosenos directores de a son las componentes del vector unitario en la dirección de a.
BASES ORIENTADAS Sean (ei, e 2 , es) y (gi. g 2 , g 3 ) dos bases ortononnales.ordenadas e imaginemos que la terna (gi. g 2 , gs) se gira en forma que g1 y g2 coincidan con e 1 y e2 respectivamente. ~ntonces, o g 3 coincidirá con e 3 , en cuyo caso di.remos que (g 1> g z, g 3 ) tiene la misma orientación que (e1, e 2, e 3), o . g 3 tiene igual dirección y sentido opuesto que e3; en cuyo caso se dice que las dos bases tienen orientación opuesta. A fin de formular en forma precisa el concepto de orientación, no s6lo para bases ortonormales sino para bases cualesquiera, se procede del modo siguiente: .
a
Sean (u1, u 2, u 3) y (vi, v 2, v 3) dos bases ordenadas y sea v¡ = ~ a.;u¡. Entonces, (v1. 1=1
v 2 , v3 ) tiene la misma orientación que (ui. u 2 , u 3 ) si el det (a;¡) > O. En el problema 1.27 se demostrará que este hecho define una relaci6n de equivalencia sobre el conjunto de todas las bases ordenadas de E 3 • Esta re1aci6n determina en las bases una partición con sólo dos clases de equivalencia, en forma que las bases ordenadas pertenecientes a la misma clase tienen la misma orientaci6n y las bases ordenadas pertenecientes a clases distintas, tienen orientación opuesta. Para distinguir gráficamente la orientaci6n de Wla base ordenada, decimos que (ui. U2, u 3) es una base de mano derecha o dextrógira si los vectores adoptan en el espacio las mismas direcciones y los mismos sentidos que los dedos pulgar, índice y medio de la mano derecha; si no, se dice que la base es un sistema de mano izquierda ~ levógira. Ejemplo 1.18. Las ternas (u1 , u 2 , u 3 ) de laa figuras 1-lO(a) y (e) son bases de niano derecha o dextrógira. Las delas figuras 1-10(6) y (d) son bases de mano i:cquierda o lev6gira. · '·1 ·.· ~
. ... . · ..-:::
"':'·
~
,_ ~
_: ~~-:.}
.......
...·
·:
· } ··-
---~ua
(a)
(o)
(d)
Fig.1-10
Obseroaci6n. A menos que digamos lo contrario, siempre utilizaremos bases ortonormales dextrógiras.
VECTO.RES
CAP. l]
9
. PRODUCTO .VECTORIAL Sea (ei. e.ú e 3 ) una base ortonomial dextrógira y los vectores a
= a1e1 + a2e2 + ases y b = b1 e 1 + b 2e·2 + bse3 • Se llama producfx> cruz o prodU.Cw vectorial de a y b y se representa por a X b, al vector
= (~bs....:. asb2)e1 + (a3b1 -
a X b
·
a.1ba)e2
+ (a1b2 -
a2b1)es
. . Co:qio ·recurso nemotécnico, obsérvese que el ·vector anterior se puede obtener al desarrollar el determinante ai e a x b = · det ~ a2 + ea det(ªaz1 = e1 det 2 ba (
. (ª
ea
-
ªª
as
(a2ba - a.ab2)e1
+
=
e2
+
b
·(e
= det e 2 -11 e3
(a1b2 - a2b1)ea
2e3, e = . -2e·1 -
1
X
+
(asb1 - a1bs)e2
Ejemplo 1.19. 'Sean los vectores a = e1 - e,a, b a
bt)
O
º)
1 2
-=
-2e1
e3. Entonces,
-
2e2
+
e3
En el desarrollo del problema 1.32 se demostrará que el. producto vectorial es independiente de la base ortonormal dextrógira que se escoja. Además, en el curso del problema 1.31 se demostrará el Téorema 1.5.
(i) . la X
bl = tal Jbl sen O, donde e =
~(a.
b)
(íi) (a) . (a X b) J. a y (a X b) J. b (b) Si a X b r6 O, entonces (a, b, a X b) es una terna lineahnente independiente y dextrógira. Como quiera que
la! lb! sen O = O si y sólo si lal =
O,
lbl
= O,
e=
O, o, O =
(i) anterior y de la forma estricta de ia desigualdad de Schwarz (es decir, de que
lal lbl, si y sólo si a y b son linealmente independientes), se deduce el a X b = O si y sólo si a y b son lineahnente independientes. Teorema 1.6. Si a y b no son linealmente dependient.es, es decir, sí a X b r& O, el teorema 1.5 (ii) establece que a X b es ortogonal a a y a b y es, además, tal que (a, b, a X b) es una te11la dextrógira, tal como se ve en la figura l·ll(a). Obsérvese que, en generai., el producto vectorial no es conmutativo. Aunque el b X a tiene la misma magnitud que el a X b (teorema l.5(i)) y .es paralelo al a X b {teorema 1.5 (ii)a) tiene sentido opuesto (teorema 1.5 (ii)b). De esta manera, b X a = - (a X b), tal como lo muestra la figura 1-ll(b).
(o)
(l>)
Fig. 1-11
Ejemplo 1.20. Dada una base ortononnal Úfi. g 2 , g 3 ) como la ·que se muestra en la figura 1·12, del teorema 1.5 se concluye que Ct X (¡
=O
K2 X C1
= -g3
lr3 X g¡
= (2
C1 x r2
= fa
lr2 X g2
= 0 .
lfa X g2
=
lt1 X lr3
= -r2
r2 x es
= &'1
g3 X
-11·
Is= O
Fig.1~12
'IC,
!a·bl
deY =
VECTORES
10
[CAP.
En el problema 1.29 demostra.rernos que el producto vectorial cumple las siguientE leyes; · [Ei]
a X b = -(b X a) ax (b+c) = a x b +ax e
(ley anticonmutativa) (ley distributiva) (k = escalar)
[E2] [Esl (ka) X b = k (a X b) (E.J ax a = O
Obsérvese que el producto vectorial no s6lo no es conmutativo sino que tampoco es asociat: vo; es decir, en general, a X (b X e ) ~ (a X b ) X c. Porque, tal como se muestra en E ejemplo 1.20, g¡ X (g1 X gz) ·= gl X g3 = -g2, mientras que (g1 X g ¡) X. g2 = O X g 2 = ( Ejemplo 1.21. Conside1·emos el triángulo ABC que ·se muestra en la figura 1-13. Supongamos que a .... BC, b • AC, e = AB = b - a, oc ... ~ (b, e), ~ = ~ (e, a), y y = ~ (a, b). Ahora, bjen: O= c: X c = . c x(b-a) o sea, Análogamente; cXb
c:Xb
=
(b - a) X b =
=
c:Xb-cxa
= c Xa b X b - a X b = bXa
= bXa Pero, entonces, je X bJ = je X al = lb X al o sea, !el jb J sen oc = lcl !al sen/J = lbl l•I sen y Por tanto,
cXb
A
= c:Xa
lo cual nos proporciona el teorema de los senos: sen a
lal
= sen fJ = sen y lbl Tcl
Fig.1-13
PRODUCTOS. TRIPLES E IDENTIDADES VECTORIALES El producto a·b X e se denomina producto mixto o triple producto escalar. Obsérve84 .
que no es necesario poner paréntesis, pues ese algoritmo sólo puede significar a -(b X e ), < sea, .el producto escalar del vector a por el vector b X c. Este producto también puede expre ~. de modo conveniente, bajo la forma de un determinante. Porque, supongamos que a = a1e1
+ a2e2 +
a:ies,. b = bie1 + b2~
.
Entonces a·b
X
e
=
=
+ b:ie3,
= c1e1 + C:iez. +caes
(º' º') b1
(a1e1 +.aiez + ~3e3} • det
a1(b2C3 - b3c2) -
e
e 2 b2 ea · bs
a2(cab1 - c1b3)
C2
Ca
+
as(b1c2 - b2c1)
(1.B:
(ª' :) b1
:::::::
det
~
b2
as
bs
C:¡
De las propiedades de .los determinantes se obtiene que a·. b .
X
e
= ·e· a x b
= b •e X a
= - (b ·ax e)
= -(e: b .x a) =
- (a• e
X b)
(1.9)
.
En particular, se deduce que a·b X e
= a X b · c. De esta suerte, podemós abandonar el
punto y la cruz en la notación del triple producto escalar y en su lugar utilizar la siguiente
notación: [abe] = a•bxc = aXb•c .
VECTORES
CAP. lj
11
Como consecuencia inmediata del teorema 1.3 y de la eeuación (l.$) se· tiene el
T eorema 1.7. [abe] = O si y sólo si a, b, e son linealmente dependientes. Existe un gran número de identidades útiles que relacior.an entre sí el producto· escalar y el producto vectorial. Del problema 1.35 se obtiene una identidad fundamental que es el siguiente Teorema 1.8. a X .(b X e) = (a• c)b - (a• b)c Del anterior, se pueden obtener con facilidad otras identidades tales oomo [F1] (a X b) • (e X d) = (a• c}(b • d) - (a• d)(b •e) [F2] {ax b) x (ex d) = [abdJc - [abcJ d Ejemplo l .22. Sea u = e
x· d.
Entonces
=
a X b ·u
a·b X
1•
=
a• [b X (e X d)J =
a• ((b • d)c - (b • c)d]
utilizando (1.9) y el teorema 1.8. De aquí se sigue que
=
(ax b)- (ex d)
(a• c)(b • d) -
(a · d)(b · e)
con lo cual queda demostrado el [Fi) anterior.
PrQblemas resueltos ADICION DE VECTORES 1.1.
Demostrar las propiedades de la suma vectorial, desde la [Ai) hasta la [A"J. Es decir, demostrar que [A1] a+ b = b +a, [A2] (a+ b) +e = a+ (b +e), ¡A;j. a+ O= a, [~] a+ (-a) = O. · (Ai]:
a + b
=
(a1 + b 1 , a 2 + b2 , a 3 + b3 ) =
=
["2]: (a+ b) + e
=
1.2.
(~]:
a+ O
(A4 ] :
a
+ (-
[a.1 + (b1 + c1), a 2 + (62 + c 2), a 3
+O, a 2 +0, t1:,~+0}
=
=
(a.1 - a.1, a.2 - a21 a3
-
a)
= ·b +
a
[(a1 + b 1) + c 1 , (~ + b~ + Cz, (a3 + b3) + csi
= (a.
1
(b1 + a 1 , b2 + ~' b 3 + a 3)
(a1, a.2 , a 3) a3 )
=
+ (b3 +ca)] =
a + (b +e)
= a
(O, O, O)
=O
En el paralelepípedo que se muestra en la figura 1-14 supóngase que a = OP, b = OR, e = OS. Hallar OV, VQ y RT en función de a, b, c. OV
= OR + RV = OR + OS
VQ
= VR+RQ
RT
~;
=
RS+ ST
:::: b
= -RV+ RQ
=
-os+ oP
=
RO+os+ST
= - b +e + a
=
+e -e+ a Fig. 1-14
VECTORES
12 1.3.
(CAP. :
Utilizando las propiedades desde la (Ai] hasta la {A,), se ha demostrado (ejemplo 1.4) que la ecuación vectori.al a + X = b tiene la Única soluci6n X = b + ( - a) = b - a . Utilizando este resultado, demuéstrese ·que~ · (a) el vector O es único, es decir, si O' ·+ a = a, entonces, O' = O; (b) el vector ..:.. a es único, es decn·, si a .' + a = O, entonces, a' = - a; (e) - (-a) = a pa,ra todo a. (a )
se deduce de la unicidad de la soluci6n de la ecuación x
(b)
se deduce de la unicidad de la soluci6n de la ecuación x
+a +a
=
a.
= O.
se puede obtener, al considerar la ecúaci6n -a + s. "" O. Esta tiene la soluci6n x = O- (-a) - -(..-a). Pero, además, - a + a = O; de modo que - (-a) = a, de acuerdo COll la unicidad de la.solución de' la ecuación. . (e)
MU:J,TIPLICACION POR .U N ESCALAR 1.4. Demostrar las propiedades de la multiplicaci6n de un vector por un escalar, desde la [B1 J hasta la [Ba]. Es decir, demuéstrese que: ·
= (k1fc.i)a;
[B1J ki(k2a) [B1]:
(k1 +~)a
k(a + b)
((k1 k 2)a1, (k1 k 2)a.z, (k1k:z)°'3)
1.5.
Si a
= u1 -
[Ba] la = a.
= (k1k 2)a
= (k(a
+ bi). k(°'!¿ + b2). k(a-;¡ + bs)) (ka1 + kb 1, ka2 + kb 2~ ka.3 + kl>3) = 1
= (la1, lciz, la~ = (a1, ª2• a 3) =
la
k(a + b)° = ka + kb;
= ((k1 + k2)a,, (k1 + k2)dtrar que a, b , e son vectores, no todos iguales a cero, ort-0gonales entre sí. a• b
= a• (uz -
P. (u 2 ))
=
(a• u,i)(a • a)/Jalz = a• u 2
a · u2
-
= • • [uz -
(a • u 2)a / lal2J a .• u 2
-
=O
y, de esta suerte, a .l b . Además,
a• e
= a• [u 3
= a• u
3 -
Puesto que a• b == O,
·b • e
a• e
= b • [u3
=
Pa (u3 )
-
a• u3 -
-
(b •
= a• u 3 -
(a• U3)a / lal2
-
= a• [u 3
Pb(u 3 ))
(a • u 3 )a/ laJ2 - (b • Us)b/jbj 2)
u3){a • b)/lbl2
a• u 3 -
-
=O
y, de este modo, a J. c. Finalmente,
(b • u 3)b/ lb l2J (b . U3)(b . b )/lbl 2
(b . U3) - (a . U3)(a. b)/1• 12 -
=
(b. U3) - (b . U3)
= o
A sf, pues, a, b ; e son ortogonales entre si (cada uno a los otrs dos). Por otra parte, son vtctores diferen~s de cero; porque a = ul .;.t. O; si b O,
=
O
=
b
=
U2 -
Pa (Ua.(b) = Pa (b)ua · _(/)
cos 4(a, b)
(g) a• ei
+ Se3 )
=
l,
(h.l cos 4(a, e 1)
=
=
-(S/14)(e1 - 2e2 + Se3)
(a• b)/lal lbl
a · e2
= (-5/VU \!2) =
= -2, · a ··e
= a¡/la! =
3
=
-5/(2,/7)
3
l/Vi4; cos 4Ca, e 2) =
"2/lal
= -2/v'l4,
cos 4(a,e8)
= aaflal = ·3¡y'l4
17
VECTORES
CAP. 11
1.25. Sean u1. u 2 , u 3 una base arbitraria. Demostrar que existe una base única tal que V¡'U1 = 1 V2' Ut = o vs· U1 = o
=o = o
V¡• U2
V1 ' U3
V2' U2
V 2' U s
=1 = o-
Vi,
v2, v3
o
V s' U 2
=
V 3 • Us
=1
o sea, V¡•Ui = ºii• i,j = . 1, 2, S. · La base Vi, v 2 , v 3 se denomina la base dual o base reciproca de la U1, U2, U3. _ De acuerdo con ~to. si a = a1U1 + 42U2 + a3U3 y b = b1v1 + b 2v2 + b3v3, entonces
a · b = .(
~ O. De acuerdo co n el teorema l.5(i), le' ( = lcl = y (c'J. Asi, pues, y 1 y e = e '.
PRODUCTOS TRIPLES 1.33. Sean: a = e 1
+ 2e:
e 3, b
=
-e1 :
a•b X c =
+ ez,
e = -e2
... ( ~
- 1 1 -1 - 1 o 2
º)
+ 2e3. =
Hallar a·b X c.
5
1.34. Demostrar que a• b X e = . ~ X b·c~ Sean: a = a 1e 1 + a.2e2 + a:¡e3 , · b == b 1e 1 + b2e2 + b 3e 3, e = ~1e 1 + C2e2 + c 3e3. a•b Xc
= det
(~
= -det (~
:: ::)
a 3 63 c3
1.35.
Demostrar e1 teorema 1.8, a saber: a Sean: a
= a 1e 1 + ~e2 + a 3e 3,
a X (b ~e)
::
. a 3 c'3
X
!:)
Enton~es
c•aXb
=
b3
(b X e) = (a• c)b - (a· b)c.
=
= b1e 1 + bze2 + b3e 3, e_= c 1e 1 + c2e 2 + c3e 3• Entonces, (a1e 1 + a 2e 2 + a 3e3 ) X [(b2 c3 - b 3c2 )e1 + '( b3 c 1 - c3 b 1)e2 + (b 1c2 - b2c 1)e3J
=
(42b 1 c2
b
a2 b2c1 - a 3 b3 c 1 + a3b1 c 3)e1
-
+ (43b 2c3 - a.;sl>sc2 - a¡b 1c 2 + a 1 b 2 c1)e2 + (a.1 b3 c 1 - a 1b 1c 3 - a 2b2c 3 + a 2 b3c 2)e8 D e esta manera, comparando co~ lo anterior, (a• c}b - (a• b)c
=
(a1c1 + 4:¡Cz + a.3c3)( b1e1 + b2e2 + b3e3) - (a.1b1
+ 42b2 + a 3 b3)(c1e 1 + cze2 + c 3e3)
+ a 3 b1c3 - a 2c 1b2 ~ a 3 c 1b3)e1 + (b:ia1C1 + bza3c3 - º2ª1b1 - c2a.aó3)e2 + (b3CZ.1Ct + b3et:iCz - C3«¡Ó¡ - C342bz)e3
=
(a2ó 1c 2
=
ax {b·x e)
Problemas propuestos 1.36.
En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura 1-18, sean a = OP, b -= OQ, e = OR y sea M el punto medio de RQ. Hallar PM en fun-
ción de a, b, c. 1.37.
1.38. 1.39.
Resp. PM .. tb
= 2u
+ ic - a
=
Sean: a u 1 - 2u 2 + u:i. e 1 + u 2 - 8u 3 , b Hallar 3a - 2b + e en función de ui. Uz, u 3 • Resp. 8u1 + 9u2 - 12u3 Demostrar que
la ± b ± el
~
l•I ""!- lbl + lc:I.
= - u 1 + 2u2 - u 3 •
o Q Fig.1-18
Demostrar que los puntos medios de los segmentos que unen los puntos medios de Jos Jados opuestos
de un cuadrilátero coinciden.
21
VECTORES
.... .... a.a.
..... ..... ••••
..... ···'· '·"·
..... ..... .....
1.11 .
1.11.
Demostrar que las bisectrices de loe ángulos de un triángulo se c~rtan en un punto.
.
.
Demostrar q_u e las medianas de un triángulo se cortan en un punto. Demostrar que un subconjunto 'de un conjunto de vectores linealmente independientes es linealmente ind~pendiente. · Demostrar que dos vectores de E 2 linealmente independientes forman una base de E2 . Demostrar que tres o más vectores de E2 .son linealmente dependientes. Demostrar que si a¡, b¡, e¡ son las compone ntes de a, b, e respecto de una base, entonces (i) a = b sii a¡ ... bí, (ii) e = a + b sH Ci = a¡ + b¡, (iii) b = ka sii b ¡ = ka¡. Supongamos que u 1 , u 2 , u 3 forman una base. Determinar si a = e .,. 2u 1 - u 2 + 5u3 son linealmente independientes. Resp. Sí
U¡
-;2u 2 ·
+ u3,
b
=
u2 - u,,
Supongamos que u 11 u 2 , u 3 .fonnan una base y que v1 = - u1 + u 2 - U3, V2 = u 1 + 2u2 - u3, V3 "" 2u 1 + u 3 • Demostrar que v¡, v 2 , v 3 forman una base y hallar las componentes de a = 2u1 - u3 en lunción de v¡, V2,'v5. · · Resp. U1 = -2vl + Vz - V3, U1 = av, - Vz + 2v3, U3 ::.:: 4 V¡ - 2v2 + 8v3, a .- 8v1 + 4v2 - 5V3 Sean: a = -ei + e 2 - .2e8 y b e 1 - e 2 + e:). Hallar (a.) a.' b , (b} !al, (e) cos 4(a, b), (d) P 11 (a), (e) P11 (a). Resp. (a.) -4, (b) .../6, (e) -4/(3Vz), (d) - 4/.../3, (e) -(4/3)(e1 - ~+ea)
=
=
+ e2
Hallar los cosenos directores del vec.tor a ~ 2e1 Determínar x de modo que a
= ze1 + e 2 -
e3
y.
b
-
Resp. 21../li. l/Vf4, -3/..¡r¡
3e3 .
= 2e1 -
a:e1
+ e3
sean ortogonales.
Resp. x = 1 Fa.ctorizar aylal2 - (a8
+ {Jy)(a • b) +
Resp.
/J8 lblll.
Sean a = e 1 + e 2 - e 3 y b = - e 1 los lados de un triángulo rectángulo.
(aa - {Jb) ·(ya - ób)
+
2e2 - 2e3 • Hallar un vector e , tal que a, b, e formen Reip. e= :!:(2e1 - e 2 + e3 ) Demostrar que gl = (l / 3)(2e1 - ~e2 + e3), gz = (1 /3)(e1 + 2e2 + 2e3) Y lh = (1 /3) (2~1 + ez 2e3) forman una base ortonormal y hallar (e1, ez, ea) en íunci6n ~e (gj, g 2; '.a). Resp. · e 1 = (1/8)(2th + g 2 + 2g3 ), e 2 (l/3)(- 2g1 + 2g3 + g 3). e 3 = (1/3)(g1 + 2g2' - 2g3) Demos trar que la suma de los cuadrados de todos los lados de un paralelogramo es jgual a la suma de los cuadrados de sus diagonales. Si a .= e 1 - 2e2 + 3e3 , b ·2e1 - e 2 - e 3 y e e 2. + e 3 , hallar (a) a X.b, (b) b X a , (e) a• b X e = [abe], (d) a X (b x e). R esp. (a) 5e1 + 7e2 + 3e3 , (b) -5e1 - 7e2 - 3e3 , (e) 10, (d) 2e1 - 2e2 - 2ea
=
'·"· .....
=
=
+ e2
1.11.
Hallar un vector unitario ortogonal a a = e 1
1.11.
Resp. :!:(l/V'2}(e1 + e 3) H allar la distancia d del punto P al plano S, siend o a = OP = e 1 punto O pel'teneciente a Sal punto P y b "" - e1 + e 3 y e • e¡ Resp. d - lPbxo(a)I
-
ea y b
+ e2 e2
- ea el vector que va dél están en S.
1.11.
Demostl'arque (a.X b)•(c X d) +(b > O, 0-S t ,::;; 2'11' es u"na r ep resentación paramétrlca de la circunferencia de radio a y centro en el origen . Cuando t crece dentro del i n ter valo o· ~ t :S 21f, el punto :11: d escribe la circunfe renc ia en el sentido c ontrario al m ovimien to d e las manecillas de~ 'reloj, com o se puede ver e n la. figun 2-5.
FUNCIONES VECTORIALES
t 0
=
/
L
o f (t) ~ L cuando t ~ t 0 , si para todo E > O, se puede hallar un a > O, dependiente de €, tal que los vectores f (t ) estén en S.(L) siempre qu~ t pertenezca a S~(t0). Obsérvese en la figura 2-8 que x = f (t) ~ L cuando · t ~ t 0 , si y s6Jo si para ·toda esfera
----. .........
'
/
I I
\
t 0 - ll
t.,
t
1
\- ~
t 0 + 11
\
Fig. 2-8
' ,,.
\
\ 1
1
/ ........
__
/
.,,,...
/
I
1
·
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
26
(CAP. 2
abierta s~ (L) .c.on .centro en el· punto L, es posible hallar W1 entorno reducido S~ (to) tal que los puntos :x;.estén en S ,(L) siempre que t sea ·interior a S~ (to). Obsérvese que·1a existencia del límite en t 0 es una propiedad local de una función y depende sólo de·la naturaleza de la función en un entorno reducido de t 0 • Además, no es necesario que f (t) est.é definida en t 0 • Por ejemplo, su dominio podría ser el intervalo abierto a < t < to. Eje~plo .2.10.
Sea f (t) = a = constante. Entonces, para cualquie:r t 0 , lim f (t )
'-'º da StCa) para todo t y, por esta':raz6n, para todo S~(t0) para todo to. Ejemplo 2.11. · { te 1 La función x = f (t) =
·
+ e2,
t-:1
~
e 2,
t
l!::
O
t O existe un a > O tal que jg(t) I < < - siempre que t sea interior a S' (t 0 ). Si hacemos qué g (t ) = lf (t) - LI, entonces lg (t ) L = lf (t ) - LI < < si y s6lo si f(t) pertenece a S € (L). De este modo, llegamos al importante · f(t) ·-+ L cuando t -+.
Teorema 2.1.
t0 sü
lf(t) -
LI -+ O cuando t -+ t 0 •
EjeµipJo .2 .12. lim' (t!e1
-
t-1
=
(t + l)e2 )
lim 1f (t) - LI t -1
e1
2e2 ,
-
puesto que
J= .lim !(t2- l )e1 t -1
(t .-
l)~I =
lim [(t2-1)2 + (t -1)2p12
, .... 1
.
= O .
Supongamos, final.fuente, que f (t) -+ L cuando t -+ t0 • Entonces, para un < > O, arbitrario, existe Wl ~ > O tal que lf(t) - L I < < siempre que t pertenezca a S6(to)- Por esta raz6n, siempre que t pertenezca a SIS(t0 ), '
.
L + LI ~ jf(t) - LI + IL! ~ M L!) + ILI. De este m odo, tenemos el
lf (t)I = lf (t) -
en donde M Teorema 2.2.
=
ma/c (f, lf(t0 )
-
Si if(t) t iene límite cu.a ndo t ~ to, entonces f(t) es acotada· en t 0 •
PRQPIEDADES DE LOS LlMIT~S Supo~gamos que lim f1 (t) = L ,, i = l, 2, 8; entonces r-i..
'
27
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
CAP. 2)
Pues) sea f(t)
= f l (t)e1 + '2 (t)ez + fa(t)es t ... t 0
L,,ez
+ Lse3;
entonces
_
lim [(/1(t) -
-
+
+ /2(t)e2 + fs(t)ea) - (L1e1 + L2e2 + Lses)I L1)2 + (/2(t) - L2) 2 + (/s(t) - L 3) 2]112
lim lf(t) - LI = lim l(ft (t)e1 t - t0
L = Lie1
y
t ... tG
o El recíproco del teorema anterior también es verdadero. O sea, que tenemos el
La función-. f(t) = / 1 (t)e 1 + {2 (t)e2 + f 3 (t)e3 tiene limite cuando t ~ to, si y sólo si Íi(t), i = 1, 2, 3, tienen límites cuando t ~ to, y en tal caso,
Teorema 2.3.
lim f(t) = (lím fi(t))e1+ (lim Ejemplo 2.13. lim ((sent)e1
t .... o
+
(cos t)e2
t ..... to
t-t0
•~to
+
te3 )
/2(t))~+ (lim fs(t))es t ... t 0
=
.(lim sent) e + (lim cos t) e + (lim t) e
=
i~o
1
t ... o
2
t-o
3
t-o
=
e 2
Ejemplo 2.14. Sea f(t) = t2e1
+ tez. • 1
11~
f(2
Entonces,
+ h) -'- f(2) h
.
((2
+ h)2e1 + 2
. [((2 + k) = ,,hm h ... o
(2 + h)e2 }
(4e1 + 2e2')
-
h . 4)e1 he2 ]
-
=
+ -¡-...
4e1
+
e2
Supongamos, ahora, que f(t) -" L cuando t ~ t 0 ; entonces, if(t)! -7 !LI cuando t~to. 'Pues, haciendo que f(t) = fi (t)e1 + /2 (t)e2 + /3 (t)e3 y L = L 1e1 + L2ez + Lsea,
=
lim lf(t)I t -.t0
lim [fi(t)
t - t0
+
[( !~~ f1(t))2 [L:
+ t:(t)] 112
t:(t)
+ ( !~~ /2(t))2 + (
+ L~ + L~]1' 2
2
?~~ /3(t)JJ' -
ILI
Obsérvese, sin embargo, que el recíproco del teorema precedente no es verdadero. Es decir, lf(t)! puede tener límite armque f(t) no lo tenga. Esto acontece en el ejemplo 2.11 para to = O. El resultado anterior se enwicia formalmente bajo la forma del
Teorema 2.4.
Si f(t) ~ L cuando
t~to,
entonces lf(t)I ~ ILI cuando
Finalmente, tenemos: Si lirn f(t) = L, lim g(t) = M y lim h(t) ' -
[H1]
Jim {f(t) + g(t)) t ... t
(Ha]
t ...... i 0
[IL]
.r O,
lim (f(t) • g(t))
lim (f(t) X g(t))
t - t0
f-..t0
=
.
=
t -
=
lim f(t) X lim g(t} 1 ... 10
=
N, entonces
NM
lim f(t)/ lim h(t) = L/N.
t - t0
t - t0
'o
+ M
L
=
t .... to
i ... t 0
lim f(t) • lim g(t)
Si Jim f(t) = f(to) y t-10
1 ... t 0
t - t0
entonces lim (f(t)/h(t)) =
t-+to
'o
0
lim h(t) lim g(t)
Jim (h(t)g(t))
t ... t 0 .
Si N
' -
lim f(t) + t-tlimt g(t)
=
0
(H2]
1 il
t~to.
=
L·M
-
LX M.
t - t0
lim h(O) = to, entonces lím f(h(B)) = f ( Jim h(8)) = f(to).
B-110
9-60
9 ... 90
[CAP. 2
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
28 Ejemplo 2.15. Sea
lim f(t)
t .... t 0
=
L,
=
lim [f(t) g(t) h(t}]
t ... t 0
=
lim g(t) , .... , 0
.
M,
=
lim h(t}
i .... t 0
N.
Entonces,
=
lim (f(t) • g(t) X h(t))
O existe un 8 > O, dependiente de (t -
tc>)m + R.n(t, to)
Rm(t, t o) (t - to)"'
Ejemplo 2.26. Si flt) = (cost)e¡ +(sen t)ez, entonces f (O) ,.. e 1, f' (O) - e 2 ,
l
-+
0
O cuando
.~}---
+ ··•
t
-+
to
...:.e1, f "'(O) = - e 2 ,
fC4) (0 )
= et ·
Y, en consecuencia, alrededor de to = O se tiene (sent)e1 + (cos t)e2 e 1 + e2t -
=
en donde R 4 (t) /t4
(CAP. 2
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL
32
~
O
cuando~~
(e1/2 !)t2
-
(e2 /3 !)t3
+
(e1/4 !)t•
+
R 4(t)
O.
Con frecuencia conviene utilizar los símbolos o y O, de Landau, para analizar el comportamiento de una función en la vecindad de un punto. m caso es este: Supongamos una fWlci6n escalar g(t), diferente de cero en algún entorno reducido de t0 • Se dice que una función f(t), escalar o vectorial, es ... minúscula" de g(t) en to, y se designa por f (t) = o (g(t)), si f(t) / g(t) ~ O cuando t ~ t 0 • Se dice que una función f (t), escalar o vector.i al, es "o TnflYÚscula" de g(t) en t 0 , y se designa por f (t) O (g(t)), si f(t) / g(t) es acotada en to.
º
Ejemplo 2.27. Si f (t) -= a t4'
+
bts
+
~.
a, b, e = constantes, entonces f(t) ... o(t3) en t "" O. Porque
=
=
Obsérve.se, además, que f (t) ...
lim f(t)/ttl lim (at +b t2 + ct3) O e-o t -o o (t2). Sin embargo, f(t) ~ o (t"), para enteros n > 3.
Ejemplo 2.28. Si· f (t) (sen2 t)e 1
+ t3)ez + Ne3,
+
(t2
=
lim f(tl/t2 t~o
entonce~
limfsent: t e e-o l
1
f(t) = O (t2) . Porque
+ (1 + t)e2 +
t2e3 ]
= ei. +
e2
Puesto que el límite existe, f (t) / t2 es acotada; así, pues, f (t) ~ O (t2). Obsérvese que f (t) /t,~ O cuando de esta suerte, también f ( t) = O (t). Pero, 0 (t2) es la mejor aproximaci6n, pues, lf(t) / tª l ~ oo cuando t~O para rx > 2.
· e- O;
Ejemplo 2.29. Supongamos que f (t) sea de clase cm en I. De la fórmula de Taylor se deduce que, en to, f{t)
=
f'(f)
f(t0)
0 + -1(t -
t0)
+ · ·· +
f(to}
m.1
(t- t 0 )"'
+
. o [{t- t 0 )'"]
FUNC:CONES ANALITICAS Sapongamosquef(t) sea de clase C 00 en J. Entonces, para todo m y todo t y to en J.' tenemos f(t)
f(to)
+ f'~o) + : · · .+
Ahora bien, si, además, lim R m(t, t 0 ) de potencias '" - '° f(t)
=
f(•:(fo) (t - tor·
+. R,,.(t~ to)
O, entonces f (t) pued~ expresarse en 1 como una serie
f f(:o) (t = n=O n.
to)"
Cuando esto ocurra, se dice que la función f(t) es analítica en J. En forma más generál, se dice ·. que f(t) es analítica en 1 si, para todo t0 en I, existe un entorno 8 0 (t0 ) tal que f (t) admita un desarrollo en serie de potencias, tal com~ f(t) = Í a ,.(t - to)" n=O-
que converge a f (t) para ·todo t de S~ (t0 ). La clase de las funciones analíticas en I se designará por CA. · Una func16n de la .clase. C":' no ~ ..Qecesaríamerite analítica, como lo muestra el ejemplo que aparece más a