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Aritmética

2

EDUCACIÓN SECUNDARIA

ARITMÉTICA

2

El libro de ARITMÉTICA 2, para el segundo año de educación secundaria, se complementa con el CUADERNO DE TRABAJO ARITMÉTICA 2 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra:

Aritmética 2

Título de la colección:

Geniomatic Educación Secundaria

Director Académico:

Hernán Hernández Bautista

Editores Responsables:

Hernán Hernández Bautista Angel Aponte Espinoza

Asesor Académico:

Angel Aponte Espinoza

Diseño y Diagramación: Marco Antonio Lizárraga Podestá Eduardo Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición:

Setiembre 2015

Tiraje:

5000 ejemplares Editado por: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail:[email protected]

Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43 Impreso en Octubre 2015 Teléfono: (01) 362-0606 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de GENIOMÁTIC Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-13913 ISBN: 978-612-4302-03-9

PRESENTACIÓN AL MAESTRO: El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia. El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor que desarrollamos con los textos escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos en cuenta las características, las necesidades y los derechos de los púberes y adolescentes“. La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que aligere el trabajo con sus estudiantes.

AL ESTUDIANTE: ¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil de comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en 50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario, debo bajar la velocidad. Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, como calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de producción de un artefacto, etc. Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas matemáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, imaginar, cuestionar, verificar, proponer, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquietudes y trabajar en equipo. En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Además, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán sobre el tema principal. Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, reforzar y profundizar tus conocimientos.

2

3

ESTRUCTURA DEL TEXTO Sección inicial de la unidad Imagen motivadora Fotografía ilustrada que conecta una situación real con el tema de aprendizaje.

Unidad

01 Número de la unidad Título de la unidad Torres del Paine National Park

Imagen secundaria Imagen que muestra un detalle relacionado con el tema de la lectura.

RELACIONES LÓGICAS Y NÚMEROS NATURALES CAMÉLIDOS SUDAMERICANOS Del universo de los animales denominados camélidos sudamericanos (llama, alpaca, vicuña, guanaco) el guanaco se encuentra en peligro de extinción, sobre todo en el Perú. Es el ancestro de la llama, alpaca y guanaco modernos. Es silvestre igual que la vicuña. - Busca características comunes entre el guanaco y la vicuña, entre el guanaco y la llama, entre la llama y la alpaca y las características comunes entre los cuatro camélidos. Chaccu de vicuñas

- Huancavelica

http://www.peruecologico.com.pe/fau_guanaco_1.htm

APRENDIZAJES ESPERADOS

Aprendizajes esperados y actividades Contienen el listado de las capacidades que desarrollarás en la unidad.

Matematiza situaciones • Reconoce el valor de verdad de proposiciones lógicas.

Elabora y usa estrategias

• Representa en forma simbólica un enunciado.

• Elabora estrategias para resolver problemas de relaciones de lógica.

• Escribe números naturales en distintas bases.

• Interpreta datos a partir de inferencias deductivas.

• Utiliza las operaciones en N para comunicar resultados.

• Convierte números de una base a otra. 6

Comunica y representa

Razona y argumenta • Justifica el uso de las proposiciones lógicas.

• Resuelve problemas de conteo de cifras.

• Argumenta la importancia del cambio de base y sus operaciones.

• Usa diversas estrategias para resolver problemas con números naturales.

• Establece reglas para operar en N.

Lectura motivadora Explica la relación entre la Matemática y una situación objetiva. Además, formula preguntas que propician el análisis y reflexión sobre el tema.

2

Sección central Número de capítulo CAPÍTULO

Título del capítulo

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I

04

CAPÍTULO 01

CONECTIVOS LÓGICOS

ADICIÓN

I BIMESTRE

Recuperación de saberes previos Plantea situaciones que te servirán de base para iniciar el tema nuevo. Es algo que conoces o has tratado en los capítulos anteriores.

Con el paso del tiempo la naturaleza construye maravillas, molécula por molécula.

¿La suma es siempre mayor que las partes?

Generación del conflicto cognitivo Es una pregunta que tendrás que responder con el desarrollo o al terminar el capítulo.

Pachapupo - Ayacucho

SuceSión aritmética

1

3

5

Estos son los números impares. Aumentando dos esferas, una en cada extremo de la escuadra, podemos seguir dibujando la secuencia infinitamente.

7

Datos

Las esferas forman una sucesión gráfica, y los números, una sucesión numérica. Las sucesiones numéricas son muy diversas, aquí trataremos la sucesión aritmética.

Dada la sucesión aritmética:

t1, t2, t3, ... tn r r

Una sucesión aritmética es un conjunto de números, llamados términos, en el que, dado el primero, cada término siguiente se obtiene sumando al anterior un mismo número llamado razón.

• Término anterior al primero t0 = t1 – r • Término general

Fórmula de recurrencia o término general 1° término

n

4

4

4

razón

tn = rn + t0

• Como va de 4 en 4 (razón), el término general contiene 4n.

número de términos

7; 11; 15; 19; ... ; 195

último término

• Número de términos:

• Para n = 1 debe producir 7, entonces es 4n + 3.

n=

El término general se denota por tn, en este caso tn = 4n + 3.

n=

Para n = 1 debe resultar 7. En efecto, t1 = 4(1) + 3 = 7

tn – t1 +1 r tn – t0 r

o

Información complementaria Lecturas, notas, observación, historias, recursos tecnológicos, que contribuyen a reforzar y recrear el tema.

Para n = 3 debe resultar 15. En efecto, t3 = 4(3) + 3 = 15 Para calcular el número de términos de la sucesión nos preguntamos, para qué valor de n resulta 195:

Formalización Continúa las definiciones y conceptos de los términos matemáticos.

4n + 3 = 195 ⇒ n = 48 (tiene 48 términos) Problema 1 ¿Cuántos términos de la sucesión 3; 12; 21; 30; ..., tienen 3 cifras?

• Tienen n 3 cifras: 100 ≤ 9n – 6 < 1000

Solución:

∴ Hay 111 – 11 = 100 términos

mín = 12

16

Rpta.: 100

2

CAPÍTULO 02 01

CONECTIVOS NUMERACIÓN LÓGICOS

Problema 5 1 Si ab = (1ab), calcula a × b. 3

Problema 6 Calcula "x" en abcd(x) si el máximo valor de a + b + c + d es 88.

Solución:

Solución:

3ab = 100 + ab

a=b=c=d=x–1

2ab = 100 ⇒ ab = 50

I BIMESTRE

Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.

máx = 111

• Término general: tn = 9n – 6

⇒ 4(x – 1) = 88

a=5∧b=0

x – 1 = 22 ⇒ x = 23

∴a×b=0 Rpta.: 0

∴ x = 23

Rpta.: 23

Problema 7

Problema 8

Si a2b(9) = a72(n) , halla el valor de a×b×n.

Si 123 = aaabc3, halla a + b + c.

Solución:

Solución:

De la expresión: a72(n) ⇒ 7 < n < 9 ⇒ n = 8 ⇒ a2b(9) = a72(8) 81a + 18 + b = 64a + 56 + 2 17a + b = 40 ⇒ a = 2; b = 6 ∴ a×b×n = 96 Rpta.: 96

123 en base 3 123 3 0 41 3 2 13 3 1 4 3 1 1

⇒ 123 = 111203 = aaabc3 ∴a+b+c=3 Rpta.: 3

Actividad 02

Actividad Es un conjunto de preguntas sobre análisis, reflexión, de valoración, demostración, cálculo, búsqueda de relaciones, para que desarrolles, individual o colectivamente, con apoyo de tu profesor o tus compañeros.

4

2

1

Si un número de dos cifras es igual a 5 veces su cifra de unidades, calcula la suma de sus cifras.

2

Calcula a + b si 5ab = 1ab

3

Indica el o los numerales mal escritos.

4

1. 28(3)

3. 2222(9)

2. 126(5)

4. 761(8)

6

Halla los valores de a, b, c y d si los siguientes números están bien escritos. Da como respuesta la suma de ellos.

7

Halla el valor de "x" en:

a1(b) ; b1(d) ; 2d3(c) ; c1(5)

421(x) = 133(9) 8

1. 34(8)

2. 45(6)

3. 1101(2)

Si 203(m) = 120(m + 1) calcula "m"

Ordena de mayor a menor los siguientes números: 9

Calcula el valor de c + b + n en: 346(n) = 2bc(8)

5

Indica si es verdadero (V) o falso (F). 1. 32(6)




44(6) ( )

3. 71(8)

>

72(9) ( )

12

2

10 Halla "a" si: 43 = 1aa(6)

Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.

ÍNDICE SECCIÓN INICIAL

SECCIÓN CENTRAL Capítulo 01: Conectivos lógicos Análisis de las proposiciones compuestas básicas

01

RELACIONES LÓGICAS Y NÚMEROS NATURALES

ACTIVIDAD 7

Actividad 01

9

Capítulo 02: Numeración Sistema de numeración, cambio de base

10

Actividad 02

12

Capítulo 03: Conteo de números y cifras Método combinatorio, cifras condicionales

13

Actividad 03

15

Capítulo 04: Operaciones con números enteros I Adición Sucesión aritmética Serie aritmética

16

Actividad 04

18

Capítulo 05: Operaciones con números enteros II Sustracción, complemento aritmético

19

Actividad 05

20

Capítulo 06: Operaciones con números enteros III Multiplicación, división

21

Actividad 06

23

Capítulo 07: Principios de divisibilidad Criterios de divisibilidad Capítulo 08: Números primos Estudio de los divisores de un número Capítulo 09: MCM Y MCD Métodos de obtención del MCM y MCD Propiedades del MCM y MCD Capítulo 10: Números racionales I Fracciones Capítulo 11: Números racionales II Homogenización de fracciones, comparación de fracciones Capítulo 12: Operaciones con fracciones Problemas de adición, sustracción, multiplicación y división

25

Actividad 07

28

29

Actividad 08

30

31

Actividad 09

32

33

Actividad 10

35

36

Actividad 11

37

38

Actividad 12

39

Capítulo 13: Números decimales I Clasificación de los números decimales, fracción generatriz

41

Actividad 13

43

Capítulo 14: Números decimales II Operaciones con decimales

44

Actividad 14

46

Capítulo 15: Razones y proporciones Razones Serie de razones geométricas equivalentes

47

Actividad 15

49

Capítulo 16: Magnitudes proporcionales Reparto proporcional

50

Actividad 16

52

Capítulo 17: Regla de tres Directa, inversa y compuesta

53

Actividad 17

54

Capítulo 18: Tanto por ciento Aplicaciones del tanto por ciento, descuento y aumento sucesivos

55

Actividad 18

59

Capítulo 19: Estadística Tabla de distribución de frecuencias

61

Actividad 19

63

Capítulo 20: Gráficos estadísticos I Gráfico de barras, diagramas circulares, pictogramas

65

Actividad 20

67

Capítulo 21: Gráficos estadísticos II Histogramas

69

Actividad 21

70

Capítulo 22: Medidas de tendencia central Media, moda, mediana, promedio ponderado

72

Actividad 22

74

Capítulo 23: Combinaciones y permutaciones Variaciones

75

Actividad 23

76

Capítulo 24: Probabilidad Experimento aleatorio, probabilidad de un evento

77

Actividad 24

80

6

02

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS 24

03

NÚMEROS RACIONALES Y PROPORCIONALIDAD 40

04

ESTADÍSTICAS Y PROBABILIDADES 60

2

5

Unidad

01

Torres del Paine National Park

RELACIONES LÓGICAS Y NÚMEROS NATURALES CAMÉLIDOS SUDAMERICANOS Del universo de los animales denominados camélidos sudamericanos (llama, alpaca, vicuña, guanaco) el guanaco se encuentra en peligro de extinción, sobre todo en el Perú. Es el ancestro de la llama, alpaca y guanaco modernos. Es silvestre igual que la vicuña. - Busca características comunes entre el guanaco y la vicuña, entre el guanaco y la llama, entre la llama y la alpaca y las características comunes entre los cuatro camélidos. ancavelica

- Hu Chaccu de vicuñas

http://www.peruecologico.com.pe/fau_guanaco_1.htm

APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones • Reconoce el valor de verdad de proposiciones lógicas.

Elabora y usa estrategias

• Representa en forma simbólica un enunciado.

• Elabora estrategias para resolver problemas de relaciones de lógica.

• Escribe números naturales en distintas bases.

• Interpreta datos a partir de inferencias deductivas. • Convierte números de una base a otra. 6

Comunica y representa

2

• Utiliza las operaciones en N para comunicar resultados.

Razona y argumenta • Justifica el uso de las proposiciones lógicas.

• Resuelve problemas de conteo de cifras.

• Argumenta la importancia del cambio de base y sus operaciones.

• Usa diversas estrategias para resolver problemas con números naturales.

• Establece reglas para operar en N.

CAPÍTULO

CONECTIVOS LÓGICOS

01

¿?

Es imposible que tú no seas Marco.

¿Qué es una proposición?

I BIMESTRE

Una proposición es un enunciado que puede ser calificado como verdadero o falso, y se puede representar por las letras p, q, r ...... llamadas variables.

2

Ten Presente 1. ENUNCIADO.

Ejemplo: p: 2 + 7 > 5

p: (V)

q: 13 es un número primo

q: (V)

r: 2 + 7 > 5

r: (F)

Es toda expresión que tiene sentido en un determinado contexto.

Ejemplo: • ¡Socorro!

Conectivos Lógicos

• ¿Cómo te llamas?

Nombre del Conectivo

Términos usados

Símbolo

No es cierto que.....

∼

Negación

..... y .....

∧

Conjunción

..... o .....

∨

Disyunción Inclusiva

o bien ..... o bien .....

∆

Disyunción Exclusiva

Si ..... entonces

⇒

Condicional

..... si y solo si .....

⇔

Bicondicional

"Andy es policía y estudia derecho" ∧ p q

DISYUNCIÓN DÉBIL (∨) "Andy es policía o estudia derecho" ∨ p q

• Estudia para tu examen •x+5=8

2. VALOR DE VERDAD.

p q

p∧q

V V

V

V F

F

F V

F

F F

F

p q

p∨q

V V

V

V F

V

F V

V

F F

F

Una proposición sólo puede ser falsa (F) o verdadera (V). El calificativo falso o verdadero es el valor de verdad o valor veritativo de una proposición.

análiSiS de laS propoSicioneS compueStaS báSicaS CONJUNCIÓN (∧)

• Te extraño mucho

Tabla de verdad de la conjunción

V(p) = V

← Valor de p es verdadero.

V(q) = F

← Valor de q es falso.

Tabla de verdad de la disyunción débil.

2

7

CAPÍTULO 01

CONECTIVOS LÓGICOS

Problema 1

Solución:

Sean: p : 12 > 19

• V(p) = F y V(q) = V

q: 5 ≤ 5

I BIMESTRE

F F V F VF F

CONDICIONAL (→) Si Andy es estudia policía entonces derecho →

p

q

BICONDICIONAL (↔) estudia si, y sólo si, derecho ↔

p

Ten Presente

• (p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ≡ F

Halla el valor de (p ∧ q) ∨ (q ∧ p)

Andy es policía

2

q

Rpta: F

p q

p→q

V V

V

V F

F

F V

V

F F

V

p q

p↔q

V V

V

V F

F

F V

F

F F

V

Una proposición es simple si no tiene conectivos, en caso contrario es compuesta.

Tabla de verdad de la condicional

• p → q : compuesta • p ∨ q : compuesta

2. ESQUEMA MOLECULAR

Tabla de verdad de la bicondicional

Problema 2

Solución:

Sean p: 5 < 8; q: 7 es par y r: 9 es primo. Determina el valor de verdad de:

• V(p) = V, V(q) = F y V(r) = F

[(p → q) ∧ r] ∨ (p ↔ r)

1. PROPOSICIÓN SIMPLE Y COMPUESTA

La representación simbólica de una proposición compuesta se llama esquema molecular.

[(p → q) ∧ r] ∨ (p ↔ r) V F F FF F V F F

Problema 3 Determina el valor de: (p → q) ∧ (∼ q ∨ p) para todas las combinaciones de valores de p y q. Solución:

Datos

Rpta.: F NEGACIÓN (∼)

p V V F F

q (p → q) V V F F V V F V

Elaboramos la tabla de verdad del esquema.

∧ V F F V

(∼ q ∨ F V V V F F V V

p) V V F F

Rpta.: VFFV

La negación es un conectivo que cambia el valor de verdad de una proposición. No p ∼ p: Es falso p No es cierto que p Disyunción fuerte:

p ∆ q ≡ ∼ (p ↔ q) Problema 4 Si el esquema (p ∧ q) → ∼ r es falso, determina el valor de (∼p ∆ r) ∨ [∼ (p ∧ q) → r] • (p ∧ q) → ∼ r V

F

V F

8

V

V

V(p) = V V(q) = V V(r) = V

2

Condicional:

p→q≡∼p∨q

V

F V

Solución: V

• (∼ p ∆ r) ∨ [∼ (p ∧ q) → r]

Leyes de Morgan:

V

La disyunción es verdadera si uno de los términos es verdadero. Rpta: V

∼(p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q ∼(p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q

CONECTIVOS LÓGICOS

CAPÍTULO 01

Problema 5

Solución:

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. (2 + 7 = 9) ∨ (6 – 2 = 5) ≡ V

I. (2 + 7 = 9) ∨ (6 – 2 = 5)

V

F

II. (4 – 3 = 2) ⇒ (5 – 3 = 1) ≡ V

II. (4 – 3 = 2) ∨ (5 – 3 = 1)

F

F

III. (4 + 4 = 8) ∧ (5 – 3 = 1) ≡ V

IV. (2 × 6 = 12) ∨ (3 × 2 = 3)

V

V

IV. (2 × 6 = 12) ⇔ (3 × 2 = 3) ≡ F V

F

Rpta.: VVVF

Actividad 01 1

Son proposiciones lógicas.

6

Si ∼p → q es falso determina el valor de p ∨ q.

7

Clasifica los siguientes esquemas moleculares como tautológico (T), contingente (C) o contradictorio (F).

1) 5 > 8 2) ¡Socorro! 3) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 2

p:

3

1. (∼p → q) ∨ (p ∨ q)

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 3

2. (p ∨ q) ∨ ∼q 3. (p ∨ ∼q) ∧ ∼p

2×4×8 = 4

q:

1+ 3 + 5 + 7 + 9 = 5

r:

La suma de dos números siempre es impar.

Determina cuál o cuáles son proposiciones simples. a) Ángel es abogado. b) El cuadrado y el rombo son cuadriláteros.

8

Si la proposición compuesta: ∼[(q ↔ r) ∧ ∼(r ∨ t)] es falsa, halla el valor de verdad de las proposiciones: q, r, t, respectivamente.

9

Si la proposición p ∨ q es falsa, determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. a) p ∧ q

c) p ∧ ∼q

b) ∼p ∨ q

d) ∼(p → q)

c) No es cierto que cero sea un número par. 4

10 Si @ es un operador lógico definido mediante la tabla:

Representa simbólicamente: a) 15 es impar y múltiplo de 5.

pq

p@q

b) 18 es número par y primo.

VV VF FV FF

V V F V

c) 35 no es par o es primo. 5

Si los valores de verdad de p, q y r son F, V y F, respectivamente. Halla el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: (1) p → q

(2) ∼q ↔ r

(3) (p ∨ ∼r)

Determina el resultado de evaluar la proposición: ∼(p @ q) @ (p @ ~q)

2

9

I BIMESTRE

III. (4 + 4 = 8) ∨ (5 – 3 > 1)

CAPÍTULO

02

CAPÍTULO 01

CONECTIVOS LÓGICOS

NUMERACIÓN

Para Dila, Solú, ... creo que no va alcanzar

I BIMESTRE

¿Cuál es la diferencia entre número y numeral?

Datos 1. NUMERAL Representación simbólica de un número.

CUATRO

4

Para contar objetos los hacemos corresponder con elementos conocidos, (dedos de la mano), a los que damos nombres (cero, uno, dos, ...) y símbolos (0; 1; 2; ...) los cuales forman el conjunto de los números naturales, representado por N: N = {0; 1; 2; 3; ... ; +∞}

SISTEMA DE NUMERACIÓN No podemos utilizar un símbolo diferente para cada número, porque necesitaríamos infinitos símbolos, por lo que utilizamos combinaciones de símbolos.

PRINCIPIOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN 1. De la base Cuando la base es 10, con 10 unidades se forma una decena, unidad de 2° orden. Si la base es 5, con cinco unidades se forma una unidad de 2° orden.

0

1

2

3

4

10(5)

5

"La base siempre es un número natural mayor que 1"

6

7

8

9

10

Al último conjunto se le asigna, en lugar de un símbolo nuevo, la combinación de 1 y 0 (Base 10). Así, para representar los números, se ha creado un sistema de símbolos bajo tres principios (ver a la derecha), el cual se denomina Sistema de numeración.

10

2

2. De la cifra Para escribir en base n se usan n cifras, todas menores que la base: 0; 1; 2; 3; ... ; n – 1 cero

cifras significativas

3. Del valor relativo En 4272

Representa 2 Representa 200

Aparte de su figura (valor absoluto) la cifra tiene un valor (valor relativo) por su ubicación en el numeral.

• Sean: a = 5; b = 2

ab = 5⋅2 = 10 ab = 52 bb = 22

2. ORDEN

475

1° orden 2° orden 3° orden

El orden es el lugar que ocupa una cifra. Según el orden (según su posición en el numeral) la cifra tiene un valor relativo. En 456 En 456(9)

Representa 5⋅10 = 50 Representa 5⋅9 = 45

3. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Todo numeral se puede expresar como la suma de sus valores relativos. • 472 = 4⋅102 + 7⋅10 + 2 • 536(7) = 5⋅72 + 3⋅7 + 6 ⇒ 536(7) = 272 Obsérvese que en base 7, el numeral 536 representa el número doscientos setenta y dos en base 10. 536(7) se lee "cinco tres seis en base siete".

NUMERACIÓN

CAPÍTULO 02

Problema 1 Escriba los 15 primeros números naturales distintos de cero en base 3. Solución: 1 ; 2 ; 10(3) ; 11(3) ; 12(3) ; 20(3) ; 21(3 ); 22(3) ; 100(3) ; 101(3 ); 102(3) ; 110(3) ; 111(3 ); 112(3) ; 120(3).

De base 10 a base n (n ≠ 10)

De base n a base 10 (n ≠ 10)

• Escribamos 30 en base 4

• Escribamos 132(4) en base 10. Representa 2 Representa 3⋅4 Representa 3⋅42

1 30 = 132(4)

3 2

⇒ 132(4) = 1⋅42 + 3⋅4 + 2 = 30 • Escribamos 2504(6) en base 10.

En forma práctica: 30 4 2 7 4 3 1

2504(6) = 2⋅63 + 5⋅62 + 4

30 = 132(4)

Observación • La cifra es siempre menor que la base. A lo más es menor en 1 a la base. • La enumeración de las cifras es de izquierda a derecha, lo contrario del orden, que es de derecha a izquierda. 1° cifra 2° cifra 3° cifra 4° cifra

2504(6) = 432 + 180 + 4 = 616 ∴ 2504(6) = 616

Problema 2 Si a50(b), x6y(a) y b36(9) están correctamente escritos, calcula a + b. Solución:

Solución:

a 0) puede ser: b

Problema 1 Califica las proposiciones.

2

13 3 3 =2+ =2 5 5 5

3. Comparación de dos fracciones. Comparemos 4 y 5 , es 7 9 decir, averigüemos cuál es menor y cuál el mayor. • Ponemos frente a frente y multiplicamos en aspa:

Rpta.: FVV

4 7

5 9

36 > 35 ⇒

propiedadeS de FraccioneS 12 12 √ 3 4 = = 18 18 √ 3 6 12 12 ⋅ 4 48 = = • 18 18 ⋅ 4 72 •

4 5 > 7 9

Si multiplicamos o dividimos ambos términos de una fracción por un entero distinto de cero, el valor de la fracción no cambia.

2

33

II BIMESTRE

15 = 3 es entero, mientras que 8 no. 5 12

II. NÚMERO FRACCIONARIO 8 no resulta entero. El número 12 Es un número racional fraccionario.

CAPÍTULO 10

NÚMEROS RACIONALES I

SimpliFicación de FraccioneS En virtud de la propiedad anterior, cualquier fracción reductible se puede convertir en irreductible dividiendo ambos términos entre su MCD.

• MCD(48; 36) = 12 •

48 48 ÷ 12 4 = = 36 36 ÷ 12 3

expanSión de FraccioneS Una fracción se puede expandir multiplicando ambos términos por un mismo entero distinto de cero.

×2

×3

×2

3 6 18 36 = = = 5 10 30 60 ×2

×3

II BIMESTRE

expreSión general de laS FraccioneS equivalenteS a una Fracción dada

2 3

4 6

Estas fracciones son equivalentes porque representan el mismo número. Una fracción tiene muchas fracciones equivalentes, aunque todas ellas tienen una forma general.

Busquemos la expresión general de todas las fracciones equivalentes a 9 . 12 1. Simplificamos hasta volverla irreductible: 9 = 4 12 3 9 2. Expresamos la forma general de las fracciones equivalentes a : 12 9 3k = 12 4 k Problema 2 ¿Cuál es la fracción equivalente a 15 , cuya suma de términos es 132? 18 Solución: 15 5k = ⇒ 18 6k ∴

Problema 3 ¿Cuántas fracciones equivalentes a 20 tienen el numerador com35 prendido entre 10 y 65?

10 < 4k < 65 20 4k = ⇒ 3; 4; ... ; 16 35 7k

5 k 5(12) 60 = = 6 k 6(12) 72

∴ Hay 16 – 2 = 14 fracciones Rpta.: 60 72

Rpta.: 14

Problema 4 ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 20 existen? Solución: Las fracciones son de la forma a , 20 tal que 1 ≤ a < 20 y a con 20 PESI:

⇒ a = 1; 3; 7; 9; 11; 13; 17 y 19 8 valores

Rpta: 8

34

2

MCD Y SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Supongamos que queremos simplificar la fracción:

221 289 A simple vista no se sabe si los términos tienen algún divisor común. Entonces calculemos el MCD por el algoritmo de Euclides:

k ∈ ∧ k ↑ 0

Solución:

5k + 6k = 132 11k = 132 k = 12

Datos

×2

1

3

4

289

221

68

17

68

17

0

MCD

MCD(289; 221) = 17 Dividimos ambos términos entre 17:

221 221 √ 17 13 = = 289 289 √ 17 17

NÚMEROS RACIONALES I

CAPÍTULO 10

Problema 5

Problema 6

Halla una fracción impropia tal que aumentado en 12 2 de su inversa. sus , resulta los 5 3 Solución: a b f = ; inversa de f = b a

Halla el mayor de los números que suman 357, de 2 modo que el segundo sea los del primero y este, 3 1 del tercero. 4 Solución:

a 2  a  12  b  + = b 3 b 5 a

A + B + C = 357 B = 2 A; A = 1 C ⇒ C = 4A 3

5  a  12  b  = 3 b 5 a ⇒ ∴

a2 2

b

=

4

⇒ A + 2 A + 4A = 357 3

2

36  6  = 25  52 

Luego: A = 63; B = 42; C = 252

a 6 = b 5

∴ Mayor es "C" = 252 6 Rpta.: 5

Rpta.: 252

1

¿Cuántos números fraccionarios hay en el siguiente grupo?

5

Halla una fracción equivalente a 174 , tal que la 261 suma de sus términos sea 40.

6

Halla un sexto de la mitad de la cuarta parte de

4 8 12 60 80 15 50 ; ; ; ; ; ; 5 18 −5 12 4 45 60

3 3 de A, si A aumentado en sus equivale a 5 2 3 los de 220. 5

2 Relaciona correctamente :

3

4

los

1. Fracciones homogéneas

A. 1 ; 1 ; 15 8 8 8

2. Fracciones propias

B. 45 ; 43 ; 11 8 4 2

3. Fracciones impropias

C. 1 ; 1 ; 1 60 8 20

7

¿Cuántas fracciones propias con denominador 1 15 existen tales que sean mayores que ? 2

8

Halla la cantidad de fracciones equivalentes a 2 , tal que la suma de sus términos sea menor 7 que 100.

Relaciona correctamente. 7 1. 1 ; 2 ; 5 5 51

A. Números con fracciones

60 2. 20 ; 50 ; 5 10 12

B. Fracciones irreductibles

3. 1 ; 2 ; 3 3 6 9

C. Fracciones equivalentes

¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 5 existen?

9

¿Cuántas fracciones irreductibles con denomi1 nador 12 existen entre y 2? 2

10 ¿Cuánto se debe aumentar al numerador de 3 8 1 para que resulte ? 2

2

35

II BIMESTRE

Actividad 10

CAPÍTULO

11

NÚMEROS RACIONALES II ¿Siempre se puede transformar las fracciones heterogéneas en homogéneas?

¿Qué significa homologación de sueldos?

FRACCIONES HOMOGÉNEAS

FRACCIONES HETEROGÉNEAS

Varias fracciones son homogéneas si tienen el mismo denominador.

Varias fracciones son heterogéneas si tienen denominadores diferentes.

II BIMESTRE

•

3 2 13 8 ; ; ; 5 5 5 5

•

2

Ten Presente

4 9 10 1 ; ; ; 7 5 13 2

FRACCIÓN DE UNA CANTIDAD

Homogenización de FraccioneS

1

Cualquier grupo de fracciones heterogéneas se puede transformar en otro de fracciones homogéneas. 3 10 6 Homogenicemos las fracciones: 5 12 8 1. Simplificamos al máximo. 2. Calculamos el MCM de los denominadores. 3. El MCM es el denominador común. El numerador se obtiene dividiendo el MCM entre el denominador y multiplicando por el respectivo numerador.

3 5 3 5 6 4 MCM(5; 6; 4) = 60 (60÷5)3 (60÷6)5 (60÷4)3

36 60

50 60

45 60

Problema 1 Ordena ascendentemente las fracciones: 3 ; 12 ; 10 y 10. 4 9 25 12

Problema 2 4 12 ¿Cuántas de las fracciones , , 8 15 15 y 5 son mayores que 8 ? 20 6 12

Solución:

Solución:

Simplificando: 3 ; 4 ; 2 ; 5 5 3 4 6

8 4 12 15 5 ; ; ; ; 8 15 20 6 12 Simplificando:

MCM(4; 3; 5; 6) = 60 45 80 24 50 ; ; ; 60 60 60 60 Ordenando: 24 45 80 50 < < < 60 60 60 60 3 10 80 < ⇒ 10 < < 25 4 12 60

2

Aquí tenemos la unidad dividida en 6 partes iguales. Cada parte es 1 : 6 Entonces la parte coloreada es 2 . 6 Ahora tenemos 900 dividido, igualmente, en 6 partes, 2 de las cuales están coloreadas: 900

2 de 900 6 Entonces la parte coloreada es: 150 2 de 900 = 2 ×900 = 300 6 6

1 ; 4 ; 3 ; 5 ; 2 2 3 5 4 6

1

4 4 • de 80 = ⋅80 = 64 5 5

MCM(2; 5; 4; 6) = 60 30 ; 48 ; 45 ; 50 ; 40 60 60 60 60 60

•

Ordenando: 30 < 40 < 45 < 48 < 50 60 60 60 60 60 Mayores

Rpta.: 3

36

2 6

4 3 3 4 de los de 490 = ⋅ ⋅ 490 5 7 7 5 = 168

NÚMEROS RACIONALES II

CAPÍTULO 11

comparación de FraccioneS De los ejercicios anteriores se puede concluir: 1. De varias fracciones homogéneas, es mayor el de mayor numerador y menor el de menor numerador. 2. De varias fracciones con numeradores iguales, es mayor el de menor denominador y menor el de mayor denominador. Problema 3

Problema 4 Si al numerador de 7 le sumo 21, 9 ¿cuánto debo sumar al denominador para que la fracción no se altere?

Si a los términos de 5 se suma 4, 8 entonces: I. La fracción no varía. II. La fracción aumenta. III. La fracción disminuye.

Solución:

Solución:

7 7 + 21 = 9 9+x

5 3 5 8 4 8 20 < 24 5+4 9 3 = = 3 8 + 4 12 4 ⇒ 5 < 8 4 ∴ La fracción aumenta.

7(9 + x) = 9(28)

II BIMESTRE

63 + 7x = 252 x = 27 Rpta.: 27

Rpta.: Sólo II

Actividad 11 1

2

3

Dadas las fracciones homogéneas: a b c , halla abc. ; ; a6 12 a bc

6

1.

17 6

18 10

3.

24 30

16 20

2.

14 10

23 26

4.

63 90

70 100

Ordena descendentemente las fracciones:

¿Cuántas de las fracciones

12 53 3 38 ; ; ; son 20 60 5 45

13 mayores que ? 15 5

C=

11 24

Coloca > ; < o = en el círculo. 7

Encuentre un número racional comprendido entre 1 5 y , cuya distancia al primero sea el doble de 3 6 su distancia al segundo.

8

De las fracciones: 105 215 93 88 130 ; ; ; ; 104 214 92 87 129

4 3 21 9 ; ; y 5 4 20 15 4

Dadas las fracciones: 13 15 B= A= 36 18 Ordena de mayor a menor.

La suma de dos fracciones homogéneas e impropias de denominador 21 es 15 . Indica la 7 mayor de las fracciones.

Elija el numerador de la menor. 9

¿Cuál de las fracciones es la mayor? 1)

2 5

2)

21 28

3)

20 29

10 La suma de dos fracciones irreductibles es 5. Si la suma de sus denominadores es 20, halla la suma de los numeradores.

2

37

CAPÍTULO

12

OPERACIONES CON FRACCIONES

Si gasté los 3/5 de mi saldo, ¿qué parte de mi saldo me queda?

¿La suma de dos fracciones siempre es una fracción?

Recuerda 1. Adición y sustracción de fracciones a) Homogéneas 2 7

II BIMESTRE

Problema 1 Una obra ha sido ejecutada en 5 días. El 1° día avanzaron 1/10; el 2° día 1/8; el 3° día las 2/5 y el 4° día 1/6. ¿Qué parte hicieron el 5° día?

2+5−3 7

=

4 7

a c e ace ⋅ ⋅ = b d f bdf

Rpta.: 5/24

3 4 2 3⋅4⋅2 8 ⋅ ⋅ = = 5 5 3 5 ⋅ 5 ⋅ 3 25

problemaS de multiplicación Problema 2 Germán depositó su ahorro en el banco, luego de algún tiempo su ahorro se incrementó en sus 3/5 con los intereses, entonces Germán retiró 1/4 de esta suma quedándole S/. 480. ¿Cuánto depositó al principio?

3. División de fracciones •

Solución:

Si 6 → S/. 480 5 1 → x

7

=

No interesa si son homogéneas o heterogéneas.

19 24 − 19 5 de la obra = = 24 24 24

•

Resultó 1+ 3 = 8 5 5

3

2. Multiplicación de fracciones

1 1 2 1 12 + 15 + 48 + 20 95 19 + + + = = = 10 8 5 6 120 120 24

Al principio : 1 Aumentó en : 3 5

7

−

15 + 8 + 6 29 9 = = 1 20 20 20

Solución: Día : 1° 2° 3° 4°

⇒ El 5° día avanzaron: 1 −

5

b) Heterogéneas 3 2 3 + + 4 5 10 Homogenizamos y sumamos:

problemaS de adición y SuStracción

Obra:

+

Retiró 1 de 8 5 4

Quedó 2 3 de 8 = 3 ⋅ 8 = 6 ⇒ 5 4 5 5 4

a b

√

c d

a d ad =× = b c bc

a

a 1 a √c =× = b b c bc

• a√

b c ac = a× = c b b

1

4. Potenciación

80 6 5 x = 1 ⋅480÷ = 480⋅ = 400 5 6

n

1

n a = a   bn b

Rpta.: S/. 400

Fracciones complementarias Dos fracciones son complementarias si suman la unidad.

problemaS de diviSión Problema 3 Tengo un rollo de alambre de 50 m y voy a cortarlo en trozos de 5/2 m. ¿Cuántos trozos obtendré?

38

2

Solución: 50 ÷

3 4 y son complementarias 7 7 porque 3 + 4 = 1 7 7

•

10

5 = 50 × 2 = 20 2 5 1

Rpta.: 20

OPERACIONES CON FRACCIONES

CAPÍTULO 12

problemaS de potenciación Problema 4 ¿Cuántos litros de agua caben en un recipiente cúbico de 3/4 m de artista interior? Solución:

3

3 3 27 3 1000L 3 m × Volumen =  = = 4 3 64 1m3 4

3 4

3 4

Volumen =

3 4

2

Ten Presente FRACCIÓN DE FRACCIÓN

27000L = 421, 9L 64

2 3

Rpta.: 421,9 litros

3 2 de 4 3

3

2 3 2 6 1 de = ×= = 4 3 4 3 12 2

Actividad 12

2

3

4

1 Marco gasta $ 8 en comprar unos anteojos, 3 1 2 en comprar unas sandalias y $ 9 en $7 24 12 comprar un short. ¿Cuánto gasta en total? 1 cm a comienzos del año 3 2015. En el primer cuatrimestre del año au1 mentó 3 cm; en el segundo, 8 cm, en el terce2 3 ro 1 cm. ¿Cuánto mide actualmente? 6 Martín medía 168

3 1 de su sueldo en ropa, los del 7 5 resto en alimentos y los 3 del resto en un regalo 8 para su enamorada. ¿Qué fracción de su dinero le queda aún?

5

Manuela compra 6

7

Si un caño «A» llena un tanque en 6 h y un desagüe «D» vacía el tanque en 12h, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque si se abren ambas llaves a la vez?

8

Se tiene un barril que contiene una mezcla de dos tipos de vino, donde los 2 del contenido son 5 de un tipo y el resto de otro tipo. Si se extrae 20 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de cada tipo contiene?

9

Karina lee 2 del número de páginas de una 4 novela el primer día y el segundo día, 3 del resto. 5 ¿Que tanto de la novela queda por leer?

4 ¿Cuánto le falta a la mitad del triple de los de 7 la octava parte de 14 para ser igual a 2 veces las 3 2 partes de la mitad de 70? 5 Víctor gasta

Simplifica: E=

2 87 −1 49 √ 36 49 5 11 25 − 49 196

1 litros de yogurt. ¿Cuántos 4 vasos llenos de yogurt obtendrá si la capacidad de cada vaso es de 1 litro? 12

6

10 Los 4 de los alumnos de un aula son mujeres. 7 Si salen al recreo la mitad de las mujeres y la tercera parte de los hombres, ¿qué parte de los alumnos queda en el aula?

2

39

II BIMESTRE

1

Unidad

03

NÚMEROS RACIONALES Y PROPORCIONALIDAD FABRICAN LA TELA DE SPIDERMAN El Hombre Araña tiene entre sus poderes el de lanzar redes adherentes que imitan las telas de araña. El Dr. Vierra ha estado estudiando los mecanismos moleculares de la seda de la araña viuda negra, la cual tiene una alta resistencia a la tracción, cinco veces más fuerte que el acero, una extraordinaria elasticidad que puede estirarse hasta 135% de su longitud original sin romperse. Se podría usar en suturas médicas, ligamentos y tendones artificiales, chalecos antibalas, hilo de pescar, cinturones de seguridad. Este material no es tóxico y es biodegradable ya que está prácticamente constituido por proteínas. - Un hilo de 60 cm de este material, ¿hasta que longitud se puede estirar sin romperse? http://www.20minutos.es/noticia/1850014/0/vestido/secreto/spider-man/

APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones

Comunica y representa

Elabora y usa estrategias

Razona y argumenta • Explica el uso de los números decimales en la resolución de problemas.

• Ordena y compara números decimales

• Clasifica los números decimales.

• Realiza operaciones con números decimales.

• Usa la fracción generatriz.

• Clasifica las razones y las proporciones.

• Halla la razón y la proporción de magnitudes.

• Interpreta la razón y la proporción de magnitudes.

• Representa en forma gráfica las magnitudes proporcionales.

• Resuelve problemas de números decimales.

• Reconoce cuándo utilizar la regla de tres y el tanto por ciento.

• Utiliza diagramas para resolver problemas.

40

2

• Elabora diversas estrategias para resolver problemas.

• Estable relaciones entre las magnitudes proporcionales. • Argumenta el uso de la regla de tres y el porcentaje.

CAPÍTULO

NÚMEROS DECIMALES I

13

¿Una fracción decimal siempre origina un número decimal exacto?

Un gramo de aire contiene 0,78 g de nitrógeno, 0,21 g de oxígeno y 0,01 g de otras sustancias.

2

Ten Presente NOTACIÓN CIENTÍFICA

número decimal 23 = 0,92 • 25

5 = 0,41666 • 12

7 • = 0,6363... 11

Para escribir números muy grandes como el diámetro del sistema solar: 4 500 000 000 000 km

Dividiendo el numerador de una fracción entre el denominador se obtiene un número decimal.

a,bcde parte decimal coma decimal parte entera

Un número decimal es la expresión lineal de una fracción.

claSiFicación de loS númeroS decimaleS De acuerdo a la cantidad de cifras en la parte decimal, los números decimales se clasifican como sigue: 1. Número decimal exacto (NDE)

0, 000 007 m

2. Número decimal inexacto (NDI) • Periódico mixto

• Periódico puro

Parte periódica o periodo

decimal Parte entera

0,37171... = 0,371 Parte no periódica Parte periódica o periodo

Problema 1

Problema 2

Si a,5bc7a... es un decimal periódico puro con dos cifras en el periodo, calcula a + b + c.

El número 0,2a8b3c1... es periódico mixto, con tres cifras periódicas y una cifra en la parte no periódica. Calcula a + b + c.

Solución:

Solución:

a,5bc7a... 5 = c = a b=7

a=3 0,2a8b3c1... 8 = c b=1

∴ a + b + c = 5 + 7 + 5 = 17 Rpta.: 17

∴ a + b + c = 3 + 1 + 8 = 12 Rpta.: 12

4,5639

¿Cuál de estos números es mayor?

La notación científica es de la forma: 1 ≤ a < 10 a×10n n ∈ Z – {0} Los números anteriores en notación científica son: Diámetro del sistema solar: 4,5×1012 km Diámetro del glóbulo rojo:

comparación de númeroS decimaleS 4,5681

se utiliza la notación científica.

7,0×10–6 m

Comparamos cifra por cifra y de izquierda a derecha.

4,5681

= ==>

4,5639

⇒ 4,5681 > 4,5639

2

41

III BIMESTRE

0,5353... = 0,53

4,567 Parte

o números tan pequeños como el diámetro de un glóbulo rojo:

CAPÍTULO 13

NÚMEROS DECIMALES I

Para determinar el mayor de dos números decimales comparamos cifra por cifra y de izquierda a derecha, hasta ubicar la primera pareja de cifras diferentes. La cifra mayor corresponde al número mayor. Problema 3

Solución:

Compara los pares de números y escriba el signo correspondiente.

1. 2,577 ... = =>

2,555 ... 2. 3,27474 ...

1.

2,57

2. 3,274

= ==>

2,5

3,2727 ...

> 2

3,27

3. 0,412412 ... ===>

3. 0,412

>

0,412341 ...

0,4123

Ten Presente

> Rpta.: >; >; >

1. Ceros a la izquierda. • En números enteros los ceros a la izquierda no tienen valor:

redondeo de númeroS decimaleS 3 = 1,73205080... El número 3 es irracional, tiene infinitas cifras decimales y no tiene parte periódica. Para aproximar se elige la cifra de aproximación. Si a la derecha de esta cifra hay una cifra mayor o igual que 5, la cifra de aproximación aumenta en 1, en caso contrario, se mantiene.

Redondeemos 3 a centésimas: • La cifra de aproximación es 3. 1,732...

, < o =, según corresponda: 0,843

II.

8,1236

3

C = {0,05 ; 0,11 ; 0,25} Si se seleccionan tres números, uno de cada conjunto, ¿cuál es la suma más grande que se puede obtener? 6

Al redondear al décimo y al centésimo el número decimal 0,26131 se obtiene 0,a y 0,bc, respectivamente. Halla a + bc + def.

7

¿Cuál de las fracciones siguientes es menor que 0,714285?

0,85 8,1241 0,63812

a)

Redondee al décimo y al centésimo cada uno de los números decimales. (a) 0,567781

8

(b) 3,15891 4

• Q = 0,1014

• R = 1,001

• S = –1,111

• T = 1,101

9

b)

7 8

c)

5 6

d) 3 4

e)

1 2

¿Cuál de los siguientes números está comprendido entre 0,2 y 0,3? 1 5

a)

1 3

Si

3 = 0,081, halla a + b. ab

Ordena en forma creciente. • P = 0,11

8 9

10 Si

b)

c)

1 6

d) 1 4

e)

1 7

a b + = 1,a , halla a + b. 5 10

2

43

III BIMESTRE

III. 0,63865

A = {–3,2 ; –2,1 ; –0,5} B = {3/4 ; 3/20 ; 3/7}

A. N.D.P.P.

II. 3,62525...

I.

Sean:

)

I.

5

)

1

CAPÍTULO

14

NÚMEROS DECIMALES II

FRACCIÓN GENERATRIZ ¿De qué tipo de fracciones provienen los números decimales exactos?

Un centímetro cúbico de plata pesa 10 gramos. ¿Cuánto pesa un dm3?

Los números decimales son generados por la división del numerador entre el denominador de una fracción, cuya fracción irreductible se denomina fracción generatriz. Ahora vamos a estudiar el tipo de decimal que origina una fracción generatriz de acuerdo a las características de su denominador. CASO 1 Si el denominador de una fracción generatriz tiene como únicos factores primos a 2 y/o 5, entonces origina un NDE, cuya cantidad de cifras decimales es igual al mayor exponente que presenta uno de los factores, 2 o 5. 13 13 = 2 = 0 , 65  20 2 ⋅ 5 2 cifras

15 15 = = 1, 875  8 2 3 3 cifras

Problema 1

Solución:

Calcula la suma de cifras decimales que origina la

a7 a7 mn ⇒ a7⋅4 = mn ⇒ a = 1 = 0 , mn ⇒ = 52 25 100 4

⇒ mn = 17⋅4 = 68 ⇒ m + n = 14

fracción propia a7. 25

III BIMESTRE

21 21 = = 0 , 84  25 5 2 2 cifras

Rpta.: 14

CASO 2 Si el denominador de una fracción no contiene factores 2 ni 5, entonces origina un número decimal periódico puro, cuyo periodo posee una cantidad de cifras igual a la cantidad de cifras del menor número formado por nueves que contiene al denominador. 7 7 : 11 está contenido en 99, que tiene 2 cifras, entonces tiene 2 cifras 11 11 periódicas. 7 = 0,6363 ... = 0,63 11 5 : 7 contenido en 999999 ⇒ 5 = 0,714285 7 7 6 cifras 6 cifras

Problema 2 2a 2 a mn5  = El periodo del decimal que origina la = 0 , mn5 ⇒ 37 37 999 27 fracción 2a termina en 5. Calcula la 37 ⇒ 2 a= ⋅ 27 mn 5 ⇒ a = 5 suma de cifras del periodo. ...5 Solución: Como 37 está contenido en 999 = 27⋅37 entonces el periodo del decimal que origina tiene 3 cifras.

44

2

⇒ 25⋅27 = 675 = mn5 ∴ 6 + 7 + 5 = 18 Rpta.: 18

Datos TABLA DE LOS NUEVES 9 = 32 99 = 32 ⋅11 999 = 33 ⋅37 9999 = 32 ⋅11⋅101 99999 = 32 ⋅41⋅271 999999 = 33 ⋅7⋅11⋅13⋅37

NÚMEROS DECIMALES II

CAPÍTULO 14

CASO 3 Si el denominador de una fracción generatriz contiene factores 2 y/o 5, y factores diferentes a éstos, entonces origina un número decimal periódico mixto cuya cantidad de cifras en la parte decimal no periódica se determina según el caso 1 y la cantidad de cifras del periodo según el caso 2.  5 5 = = 0 , 83 6 2⋅3 11

35 35  = = 0 , 32407 108 2 2 ⋅ 27 2 3

1 1

2

 23 23 = 2 = 0 , 383 60 2 ⋅ 5 ⋅ 3 2 1

3

Problema 3 Determina b, si la fracción generatriz N origina un decimal pebb riódico mixto con dos cifras en la parte no periódica.

2

1

Solución: N N  = = 0, abcd • bb b ⋅ 11 • Como tiene 2 cifras no periódicas ⇒ b contiene a 22 o 52.

2

Ten Presente

• b es cifra ⇒ b = 4 Rpta.: 4

OPERACIONES CON DECIMALES

Para sumar decimales periódicos es preferible pasarlos a fracción, sumarlos y volver a pasar a decimales.



1. adición y SuStracción de decimaleS 0,3 + 2,42 + 0,562

0,3 2,42 0,562 3,282

Para sumar o restar decimales se alinean respecto a la coma decimal y se suman o restan las cifras que se encuentran a la misma altura.

=

3

=

3

9

9 =

Solución: A: 0,31 B: 2,41 C: 0,05

=

+ +

45 − 4 90 41 90

+

+

231 − 2 99

229 99

330 + 451 + 2290 990 3071  = 3 , 102 990

III BIMESTRE

Problema 4 Una sustancia se compone de 0,31 mg de A, 2,41 mg de B y 0,05 mg de C. ¿Cuál es su peso, en mg?



 • 0 , 3 + 0 , 45 + 2 , 31

Total: 2,77 Rpta.: 2,77 mg

2. multiplicación de decimaleS 0,35 × 0,02 ⇒ 2

2

0,35 0,02 0,0070 2+2=4

Para multiplicar decimales se multiplican como si fueran enteros, pero al producto total se le asigna tantas cifras decimales como la suma de la cantidad de cifras decimales de los factores.

Problema 5 Durante un día una tienda comercial vende 16000 productos cuyos precios terminan en 0,99, redondeándolo a enteros. ¿Cuánto de ingreso obtiene la tienda a causa del redondeo?

Solución: • Por cada producto ingresa: 1 – 0,99 = 0,01 • En 1600: 0,01×16000 = 160 Rpta.: 160

2

45

CAPÍTULO 14

NÚMEROS DECIMALES II

3. diviSión de decimaleS • 84,38 ÷35 ⇒ 84,38 35 70 2,41 143 140 38 35 1

• 0,48÷ 0,5 ⇒ 4,8 5 4,5 0,9 0,3 ⇒ Resto: 0,3÷10 = 0,03

• 36 ÷0,25 ⇒ 3600 25 25 144 110 100 100 100

Para dividir cualquier número entre un decimal, se procura convertir el divisor en un entero, multiplicando dividendo y divisor por una potencia de 10 conveniente, y en caso de que haya un resto, éste se divide entre la potencia de 10 por el que se ha multiplicado. Durante la división, una vez que se llega a la coma decimal del dividendo se coloca una coma decimal en el cociente. Problema 6 Se fabrican pastillas de 0,048 kg de peso. ¿Cuántas pastillas se fabrican si todas pesan 17,64 kg?

Solución: • Peso de cada pastilla: 0,048 kg • Peso total: 176,4 kg • # de pastillas: 176,4 ÷ 0,048 ⇒ 176400 48 3675 Rpta.: 3675 pastillas

= F1 2

24 74  y= = 0 , mn F2 = 0 , pqr 33 125

{

}

3 5 = 0,3 , halla e indica la cifra periódica m m+3 del número decimal que origina.

)

6

Determina el valor de a + b, si 0,ab + 0,ba = 1,5

7

Halla la suma de cifras del número decimal originado por la fracción 2013 . 37037

8

 Si 0 ,= ab

¿Cuántos elementos del conjunto originan un decimal periódico puro? 11 4 10 17 40 M= ; ; ; ; 70 14 25 71 83

)

Halla m + n + p + q + r sin efectuar la división de las siguientes fracciones:

 4 5 , ∧ 0 , mn = 33 15

halla a⋅b + m⋅n.

)

3

Si

9

La fracción irreductible

a9 origina el decimal aa

)

III BIMESTRE

1

)

Actividad 14

x,ypq . Halla x + y + p + q. 4

Determina cuántas cifras periódicas tienen los decimales que originan las fracciones: F1 =

5

m 13

F2 =

n 7

¿Cuántas cifras periódicas y no periódicas origi2013 ? nan la fracción 32 ⋅ 77

46

2

10 Si cada fracción irreductible  , halla ro decimal 1, xyz

ab origina el númeba

( x + y + z) a+b

CAPÍTULO

RAZONES Y PROPORCIONES

15

RAZONES 2

¿Cómo varía con los años la razón aritmética de las edades de dos personas?

Ten Presente La razón aritmética es una comparación de dos cantidades mediante una sustracción. La razón geométrica es una comparación de dos cantidades mediante una división.

De cada 24 habitantes del mundo, 5 son chinos.

RAZÓN ARITMÉTICA Aldo

RAZÓN GEOMÉTRICA Carlos

Representemos gráficamente los dineros de Aldo y Carlos: 2

Obsérvese que si lo que tiene Aldo es como 4, lo que tiene de Carlos es como 3.

S/. 48 S/. 48

S/. 36

Comparemos los dineros de Aldo y Carlos: 48 es mayor que 36 en 12 48 excede a 36 en 12

48 – 36 = 12

48 es a 36 como 4 es a 3. 48 y 36 están en la relación de 4 a 3.

48 = 4 36 3

La razón geométrica representa la relación en la que se encuentran dos cantidades. En general:

En general: a–b=r

Valor de la razón

Antecedente

a =k b

Antecedente

Proporción aritmética

a–b=c–d medios extremos Proporción geométrica medio extremo

a c = b d

medio extremo

Proporción aritmética discreta (medios diferentes)

a–b=c–d Valor de la razón

Consecuente

Consecuente

PROPORCIÓN

(b ≠ c)

Proporción aritmética continua (medios iguales)

a–b=b–c Problema 1 Armando tiene S/. 100 y Franco, S/. 90. Si Franco diera S/. 20 a Armando, ¿en cuánto aumentaría la razón aritmética de sus dineros?

Problema 2 Miguel tiene 12 años y Marina, 8. Dentro de 20 años, ¿en qué relación estarán sus edades? Solución:

Solución:

Edad actual

Dentro de 20 años

Miguel:

12

32

Marina:

8

28

Razón inicial: 100 – 90 = 10 Armando: 100 120 20 Franco: 90 70 Nueva razón: 120 – 70 = 50 Aumenta en: 50 – 10 = 40 Rpta.: 40

8 Relación: 32 = 28 7

b: Media diferencial de a y c. Proporción geométrica discreta (medios diferentes)

a c = (b ≠ c) b d Proporción geométrica continua (medios iguales)

a b = b c Rpta.: 8 a 7

b: Media proporcional de a y c.

2

47

III BIMESTRE

La razón aritméticas representa el número de unidades en que una cantidad es mayor que otra.

S/. 36

Ten Presente

CAPÍTULO 15

RAZONES Y PROPORCIONES

Serie de razoneS geométricaS equivalenteS Antecedentes

Estas razones geométricas tienen el mismo valor (1/2), por ello se dice que son equivalentes.

6 15 8 12 1 Valor común o = = = = constante de 12 30 16 24 2 proporcionalidad Consecuentes

En general:

a a1 a2 a3 = = = .... = n = k b1 b2 b3 bn

(1)

2

Ten Presente

Propiedades de la serie de razones A continuación veamos las propiedades de una serie de razones geométricas a b c d equivalentes, para cuatro razones en particular: = = = = k . x y w z 1.

a b c d ฀ ฀ ฀ ฀k ฀ x y w z •

2.

III BIMESTRE

4.

1. ad = bc

8 ฀ 12 ฀ 10 8 12 10 ฀ 2฀ ฀ ฀ 4 ฀ 6฀ 5 4 6 5

8 12 10 ฀ ฀ ฀2 ฀ 4 6 5

(4 = número de razones)

8∙12∙10 8 3 12 3 10 3 ฀ 23 ฀ 3 ฀ 3 ฀ 3 4∙6∙5 4 6 5

8 12 10 ฀ ฀ ฀2 ฀ 4 6 5

Solución: a b c d Sea: = = = = k x y w z a฀ b฀ c ฀ d d = x ฀ y฀ w฀ z z 36 d = ฀ 48 4

48

Problema 4 En una serie de tres razones geométricas de valor 2, el producto de los consecuentes es 240. Calcula el producto de los antecedentes. Solución: Sea a = b = c = 2 x y w ฀

36 ฀ 4 =d ฀ d=3 48 Rpta.: 3

2

abc ฀ 23 ฀ xyw

2.

a฀c a c ฀ ฀ b฀d b d

3.

a฀b c฀d a฀ b c ฀ d ฀ o ฀ b d a c

4.

a฀b c฀d ฀ a฀b c฀d

5.

am ฀ c m am c m ฀ ฀ bm ฀ dm bm dm

Serie de razones geométricas equivalentes continuas:

8 2 ฀ 12 2 ฀ 10 2 8 2 12 2 10 2 2 ฀ 2 ฀ ฀ 2 ฀ 2 42 ฀ 62 ฀ 52 42 6 5

8 12 10 ฀ ฀ ฀2 ฀ 4 6 5

Problema 3 En una serie de cuatro razones geométricas la suma de los antecedentes es 36 y la de los consecuentes, 48. Si el último consecuentes es 4, calcula el correspondiente antecedente.

฀

se cumplen las siguientes propiedades:

am ฀ b m ฀ c m ฀ d m am b m cm dm ฀ km ฀ m ฀ m ฀ m ฀ m m m m m x ฀y ฀w ฀z x y w z •

฀

a c = b d

a ฀ 3 k , b ฀ 7 k , c ฀ 9k

abcd a4 b 4 c4 d4 = k4 = 4 = 4 = 4 = 4 xywz x y w z •

Dada la proporción geométrica

a฀ xk , b ฀ yk , c ฀ wk , d ฀ zk

a฀ b฀ c ฀ d a b c d ฀ k฀ ฀ ฀ ฀ x ฀ y฀ w฀ z x y w z •

3.

a b c ฀ ฀ ฀k ฀ 3 7 9

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

abc ฀ 8 240

⇒ abc = 240(8) = 1920 Rpta.: 1920

฀d ฀ ek ฀ 2 a b c d ฀c ฀ ek ฀ ฀ ฀ ฀k฀ 3 b c d e ฀b ฀ ek ฀ a ฀ ek 4 ฀ •

48 24 12 6 = = = =2 24 12 6 3

RAZONES Y PROPORCIONES

Problema 5

Problema 6 a b Si = = k y a + c = 15, halla b. Los números a, b, c y k b c son enteros

a b Si a + b = 200 y = , halla "a" 3 5 Solución: a = 3k a b = =k⇒ 3 5 b = 5k

Solución: a = ck2 a b = =k⇒ b c b = ck

a + b = 3k + 5k ⇒ 8k = 200 ⇒ k = 25

a + c = ck2 + c = c(k2 + 1) = 15

⇒ a = 75 ∧ b = 125 ∴

a b a + b a 200 = = = = ⇒ a = 75 3 5 3+5 3 8

c(k2 + 1) = 3 × (22 + 1) ⇒ c = 3; k = 2 Rpta.: 75

Problema 7 Sabiendo que

a b c = = y ab + bc = 720, halla a + b + c 3 8 7

Solución: De la serie; a = 3k, b = 8k, c = 7k Reemplazando en el dato: ab + bc = (3k)(8k) + (8k)(7k) = 720 ⇒ 24k2 + 56k2 = 80k2 = 720 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = 3 Luego a = 9; b = 24; c = 21 ∴ a + b + c = 54

CAPÍTULO 15

Rpta.: 54

∴b=3×2=6

Rpta.: 6

Problema 8 a b c Si = = y a + 2b + 3c = 66, halla a + b 2 5 7 Solución: a = 2k a b c = = = k ⇒ b = 5k 2 5 7 c = 7k ⇒ 2k + 2(5k) + 3(7k) = 66 33k = 66 ⇒ k = 2 ∴ a + b = 7k = 14

Rpta.: 14

Actividad 15

2

La razón aritmética de las cantidades de dinero de Jorge y Carmen es S/. 240. Si la razón geométrica es 8/13, ¿cuánto dinero tiene Carmen?

6

En una proporción geométrica continua, los términos extremos suman 65 y están en la relación de 4 a 9. Halla la media proporcional.

a b c d = y a⋅b + c⋅d = 192, Si = = 3 4 12 3

7

Si a + b = 5 , a–b 3 2 2 determina a + b a2 – b2

calcula a + b + c + d. 3

En una discoteca se observa que por cada 8 mujeres hay 5 hombres, y que el número de mujeres excede al de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva relación si se retiran 16 parejas?

8

En una serie de 3 razones geométricas continuas equivalentes de razón 3, la diferencia entre el mayor y el menor de sus términos es 104. La suma de las cifras de la suma de los antecedentes es:

4

En una proporción geométrica continua, la suma de los extremos es 34 y su diferencia, 16. Halla la media proporcional.

9

Dada la proporción continua:

5

La suma y la diferencia de dos números enteros positivos están en la misma relación que los números 9 y 7. Si la suma de sus cuadrados es 260, encuentre los números

a b = , donde a2 + 2b2 + c2 = 144, halla a + c. b c 10 En una proporción geométrica, la suma de los respectivos términos de las razones son 36 y 9. Si los consecuentes suman 25, ¿cuál es el valor de la razón?

2

49

III BIMESTRE

1

CAPÍTULO

16

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Entre dos engranajes en contacto da más vueltas el de menor radio.

¿El área del círculo es D.P. a su radio? 2

Ten Presente Magnitudes directamente proporcionales El cociente de los valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales es una constante, y el gráfico de la función de proporcionalidad es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Analicemos algunas posibilidades de como realizar el viaje: Supongamos que viaja a 60 km/h. Analicemos su avance en cada hora. 1

2

3

4

5

Tiempo (h)

2

240

A D.P. B: a a1 a2 a3 = = = .... = n = k b1 b2 b3 bn

vt = 400

240 180

e t

60

120

60

60 t(h)

t(h) Magnitudes directamente proporcionales

Magnitudes inversamente proporcionales

La magnitud A es directamente proporcional a B si al aumentar o disminuir sus valores, los valores correspondientes de B aumentan o disminuyen, respectivamente, en la misma proporción. Problema 1 Dos magnitudes directamente proporcionales son tales que A es 24 cuando B es 30. ¿En cuánto aumenta B cuando A se duplica?

La magnitud A es inversamente proporcional a B si al aumentar o disminuir sus valores, los valores correspondientes de B disminuyen o aumentan, respectivamente, en la misma proporción.

2

Magnitudes inversamente proporcionales El producto de los valores correspondientes de dos magnitudes inversamente proporcionales es una constante y el gráfico de la función de proporcionalidad es una hipérbola equilátera.

A

a1

Solución:

an

A

24

48

B

30

30 + x

24 48 = 30 30 + x

24(30 + x) = 30·48 ⇒ x = 30 Rpta.: 30

50

a3 a2 a1 n

300

300

III BIMESTRE

3

v(km/h)

e(km)

120

4

Velocidad (km/h) 60 75 100 150

Espacio (km) 60 120 180 240 300

180

5

A an

...

Tiempo (h)

Véase el tiempo que tarda viajando con algunas posibles velocidades.

...

De Lima a Huáncayo hay 400 kilómetros. Iván planea viajar en su auto.

b1

b2

b3

bn B

A I.P. B: a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = anbn

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Problema 2 A En el gráfico 30 calcula x + y, 18 si A D.P. B y

Solución: y 30 18 = = 8 x 12

8

CAPÍTULO 16

฀ 30 = 18 ฀ x = 20 ฀฀ x 12 ฀ ฀ y = 18 ฀ y = 12 ฀ 8 12

∴ x + y = 20 + 12 = 32

12 x B

Rpta.: 32 2

Ten Presente

REPARTO PROPORCIONAL Propiedades del reparto REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO

REPARTO PROPORCIONAL INVERSO

Repartamos 460 D.P. a 5; 8 y 10.

Repartamos 450 I.P. a 6; 8 y 12.

A B C = = =k 5 8 10 Índices 460 k฀

Repartir I.P. a 6; 8 y 12; equivale a repartir D.P. a 1/6, 1/8 y 1/12. I.P.

D.P. 1 6 → (24) = 4k = 4(50) = 200 6

Cantidad repartida

A+B+C ฀ 20 5 ฀ 8 ฀ 10 450 A = 5k = 5(20) = 100

460 B = 8k = 8(20) = 160

8 → 1 (24) = 3k = 3(50) = 150 8 12 →

1 (24) = 2k = 2(50) = 100 12

C = 10k = 10(20) = 200 ∴ Partes: 100; 160 y 200.

MCM(6; 8; 12) 450

1. Repartir de forma inversamente proporcional a ciertos índices equivale a repartir directamente proporcional a las inversas de los índices. • Repartir I.P. a 5; 1/2 y 3/4; equivale a repartir D.P. a los números 1/5; 2 y 4/3. 2. Si a los índices de un reparto se multiplican o se dividen por un mismo número diferente de cero, se obtienen las mismas partes. • Repartir D.P. a 200; 300; 700 y 900; equivale a repartir D.P. a 2; 3; 7 y 9.

A+N+M k฀ ฀ 50 4 ฀ 3฀ 2

Problema 3 Al repartir una suma proporcionalmente a 3; 9 y 10; las menores partes suman 240. Calcula la parte mayor. Solución: Partes: 3k, 9k, 10k 240 ⇒ 12k = 240 k = 20 ∴ 10k = 10(20) = 200 Rpta.: 200

III BIMESTRE

∴ Partes: 200; 150 y 100. Problema 4 Determina la menor parte que resulta de repartir 930 en forma inversamente proporcional a 6; 9 y 15. Solución: I.P. D.P. 1 6 → (90) = 15k 6 1 930 9 → (90) = 10k 9 1 15 → (90) = 6k 15 MCM(6; 9; 15) 930 A+B+C k฀ ฀ 30 ⇒ 6k = 6(30) = 180 15 ฀ 10 ฀ 6 Rpta.: 180

2

51

CAPÍTULO 16

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Problema 5 Un tío proporciona S/. 520 de propina a sus sobrinos, en forma inversamente proporcional a sus edades, que son 16; 12 y 8 años. ¿Cuánto recibe el mayor?

Solución: IP 16 = 4 × 4 520 12 = 3 × 4 ⇒ 8=2×4

DP 1/4 × 12 = 3 1/3 × 12 = 4 1/2 × 12 = 6

520 = 40 3+4+6 ∴ Mayor de los sobrinos: 40 × 3 = S/. 120 Rpta.: 120 k=

Actividad 16 1

2

A

a

B

24

93

2a

5

Se reparte un premio de S/. 1235 entre 3 ciclistas participantes en una carrera. Si los tiempos que emplearon fueron 40 minutos; 1 hora y 1 hora 20 min, ¿cuánto recibe el más veloz?

6

Un padre dejó una herencia a sus hijos para que se repartan en forma directamente proporcional a sus edades: 20; 24 y 32 años. Si al menor le corresponde S/. 2400, ¿cuánto le corresponde al mayor?

7

Se reparte 64 en forma directamente proporcional a m2, 2m y 1, siendo m en un entero positivo. Si la parte mayor que resulta en el reparto es 49, halle m.

8

Encuentra las partes en que se divide 3600, si se reparte proporcionalmente a 48; 120 y 192.

9

¿Cuál es la mayor de las partes obtenidas al dividir 999 en partes directamente proporcionales a 2; 3; 7 ? 5 4 10

3a a + 10

Si M es inversamente proporcional a N, Halla a y b. M

24

6

b

N

3,5

a

a + 14

La siguiente figura muestra la gráfica de dos magnitudes proporcionales. Encuentra a + m.

III BIMESTRE

3

Si A es directamente proporcional a B, halla el valor de a:

m + 10 32 20 a 4

a+9

m

La gráfica muestra los valores de las magnitudes volumen (V) y temperatura (T) correspondientes a un gas. Halla a + b.

2; 3; 6; 4? 3 3 4

V a 12 7,5

T 10

52

10 ¿Cuál es la menor de las partes obtenidas al dividir 1260 en partes inversamente proporcionales a

b

2

40

CAPÍTULO

REGLA DE TRES ¿Si tres gallinas ponen 3 huevos en 3 días, cuántos huevos pone una gallina en 3 días?

A mayor profundidad marina mayor es la presión del agua.

17

2

Ten Presente 1. Regla de tres directa x

A D.P. B a1 b1 x b2 (D)

La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales. Consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud mediante la comparación de magnitudes proporcionales.

Regla de tres

Simple

Directa Inversa

Compuesta

b2

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Una cuadrilla de pintores pinta en 15 días una superficie de 180 m2. ¿Cuántos metros cuadrados pueden pintar en 25 días?

Una cuadrilla de obreros concluyó una obra en 25 días trabajando 8 horas diarias. Si hubiesen trabajado 10 horas por día, ¿en qué tiempo hubiesen entregado la obra?

2. Regla de tres inversa A I.P. B a1 b1 x b2 (I)

xb2 = a1b1 a1 b1 ⇒ x= b2

Días 15 25 (D)

Área 180 x

Trabajando más horas por día demoran menos tiempo. Días y horas por día son I.P.: Días 25 x (I)

25 × 180 15 x = 300

x=

H/d 8 10

Rpta.: 300 m2

25 × 8 10 x = 20 x=

Rpta.: 20 días

Observación Se debe tener cuidado al comparar dos magnitudes. El hecho de que al aumentar los valores de una magnitud aumenten también los valores de la otra no garantiza que sean directamente proporcionales. Se debe verificar que la variación sea proporcional.

REGLA DE TRES COMPUESTA

Por ejemplo, cuando el lado de un cuadrado se duplica, el área se cuadruplica.

Dieciséis costureras pueden confeccionar 36 buzos, en 18 días, trabajando 6 horas diarias. ¿Cuánto demorarían 12 costureras, doblemente eficientes que las anteriores, trabajando 8 horas diarias, en confeccionar 48 buzos?

El área del cuadrado no es D.P. al lado, sino, al cuadrado del lado. Véase la figura: a

Magnitud comparación a

# Cost. 16

Buzos 36

# Días 18

Hrs/día 6

Efic. 1

12 (I)

48 (D)

x

8 (I)

2 (I)

16 48 6 1 = x 18 × × × × 12 36 8 2

a2

a

a 2a

x = 12 Rpta.: 12 días

La magnitud que contiene la incógnita se llama magnitud de comparación. Las demás se comparan considerando si son directa o inversamente proporcionales con ella.

2a

4a2

2a

2a

2

53

III BIMESTRE

En más días pintan más superficie y en menos días, menos superficie. Por consiguiente, el área y el tiempo que tardan en pintarlo son D.P.:

a1 b1

a1 b2 ⇒ x= b1

Veamos el procedimiento mediante los siguientes ejemplos:

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

=

CAPÍTULO 17

REGLA DE TRES

Problema 1 Una secretaria puede tipear 10 páginas en 6 horas. ¿Cuántas páginas puede tipear en 9 horas? Solución: # Págs. 10 x

Horas 6 9 (D)

x=

Problema 2 Una cuadrilla de obreros demora 20 días en terminar una obra. ¿Cuántos días tardaría si cada integrante aumentara su eficiencia en 1/3? Solución:

9 × 10 6

# Días 20 x

⇒ x = 15 Rpta.: 15 páginas

Efic. 1 4/3 (I)

20 × 1 4 3 ⇒ x = 15 x=

Rpta.: 15 días

Problema 3 Doce obreros pueden hacer una obra de 60 m2 en 24 días. ¿Cuántos días necesitarán 8 obreros, doblemente hábiles que los primeros, para hacer 50 m2 de una obra del mismo grado de dificultad que la anterior?

Problema 4 Veinte obreros, trabajando 8 horas diarias han avanzado los 4/9 de una obra en 27 días. Para culminar el resto de la obra contrataron 4 obreros más y trabajaron una hora más por día. ¿Cuántos días tardaron en culminar lo restante?

Solución:

Solución:

# Obrs # Obra # Días Hábil 24 1 60 12 8 (I)

50 (D)

x

= x 24 ×

2 ⇒ x = 15 (I)

12 50 1 × × 8 60 2

# Obrs # Obra # Días H/d 27 8 4/9 20 20 + 4 (I)

Rpta.: 15 días

5/9 (D)

x

= x 27 ×

20 5 8 × × 24 4 9

8 + 1 ⇒ x = 25 (I) Rpta.: 25 días

III BIMESTRE

Actividad 17 1

Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 4 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno también rectangular pero de dimensiones triples?

2

Si por pintar un cubo de 3 cm de arista se paga S/. 32, ¿cuánto se paga por pintar un cubo de 9 cm de arista?

3

Si 40 obreros construyen una casa en 18 días, ¿cuántos días antes hubieran terminado si hubieran sido 5 obreros más?

4

Se sabe que 100 hombres tienen alimentos para 20 días. Si estos alimentos deben alcanzar para 50 días, ¿cuántos hombres deben disminuirse?

5

Cinco obreros pueden hacer una zanja en 18 días. Luego de 6 días de trabajo se les unen 8 obreros. ¿En qué tiempo se hace toda la zanja?

6

Una fábrica produce 54 chompas diarias, empleando 9 obreros. Si 6 de ellos se enferman, ¿en cuánto disminuye la producción diaria? 54

2

7

Lo que un hombre hace en tres días, una mujer lo hace en 2 días. ¿En qué tiempo podrán hacer 4 mujeres y 3 hombres lo que 6 mujeres y 9 hombres pueden hacer en 3 días?

8

Diez obreros deben terminar en 18 días una obra, trabajando diariamente 5 horas. Si se desea adelantar la entrega de la obra en 3 días, ¿cuántos obreros deberán trabajar 9 horas al día?

9

Treinta obreros pueden ejecutar una obra en 15 días. Si el número de obreros se duplicara, ¿en cuántos días terminarían la obra?

10 Si para pintar una pared cuadrada de 2 metros de lado se requiere 8 horas, ¿qué tiempo se requiere para pintar una pared, también cuadrada, de 4 metros de lado?

CAPÍTULO

TANTO POR CIENTO

18

¿Porqué el 50% equivale a la mitad?

Los estudiantes son el 31 % de la población nacional

2

Ten Presente PROBLEMAS BÁSICOS DE TANTO POR CIENTO 60% 60 de 100

75% 75 de 100

72% 72 de 100

El tanto por ciento es el número de partes iguales (tanto) que se toma de una cantidad (total) dividida en 100 partes iguales. • 20 por ciento = 20% =

20 100

• 140 por ciento = 140% = 140 100

1. ¿Cuál es el 80% de 150? Resolución • 80% de 150 = 80 × 150 = 120 100 • También: 150

100%

x

80%

80×150 100 x = 120

x=

equivalenciaS del tanto por ciento con FraccioneS y decimaleS 10 = 1 = 0 , 10 100 10

• 50% = 50 = 1 = 0 , 50 100 2

• 100% = 100 = 1 100

• 20% =

20 = 1 = 0 , 20 100 5

• 75% = 75 = 3 = 0 , 75 100 4

• 200% = 200 = 2 100

• 25% = 25 = 1 = 0 , 25 100 4

• 1% = 1 = 0 , 01 100

2. ¿El 60% de qué número es 180? Resolución 60 x = 180 ⇒ x = 300 • 100 • También: 180

60%

x

100%

tanto por ciento de una cantidad 800 El rectángulo representa 800. El 60% de 800 (parte coloreada) es 60 partes de 800 dividido en 100 partes.

3. ¿Qué tanto por ciento de 180 es 36?

Ochocientos es el total, considerado como 100. Si 800 es como 100 lo que se toma es como 60.

• 180

• 30% de 600 =

60 × 800 = 480 100

30 × 600 = 180 100

80 × 90 = 72 • 80% de 90 = 100

Resolución 36

100% x

36×100% 180 x = 20%

x=

• También: parte × 100% todo

Modos de calcular el 60% de 800: • 60% de 800 =

100×180 60 x = 300

x=

• 800 x

100% 60%

x = 60 × 800 100 x = 480

36 × 100% = 20% 180

También: 30% de 600 = 0,30×600 = 180 También: 80% de 90 = 0,80×90 = 72

2

55

III BIMESTRE

• 10% =

CAPÍTULO 18

TANTO POR CIENTO

adición de tanto por ciento Problema 1 Abraham ganaba 1200 soles y le aumentaron el 15% de su sueldo. ¿Cuánto gana ahora? Solución: Nuevo sueldo: 100%(1200) + 15%(1200)

Problema 2 Dos poblados A y B tienen 540 y 680 habitantes, respectivamente. En un evento común participaron el 40% de los pobladores de A y el 60% de los pobladores de B. ¿Cuántos participaron en dicho evento? Solución: 40%(540) + 60%(680) = 624

= 115%(1200) = 1,15(1200) = 1380

216

408

Rpta.: S/. 1380

35%(600) = 210 40%(210)

En el cálculo del 35% del 40% de 600, el 40% se aplica sobre 600 y el 35% sobre el resultado anterior. En términos prácticos se puede calcular como sigue: 40 35%×40%×600 = 35 × ×600 = 84 100 100

84

III BIMESTRE

Problema 3 En un salón de 40 estudiantes, el 60% son varones, de los cuales el 75% aprobó matemática.

Solución: • Total: 40

¿Cuántos varones aprobaron matemática?

• Varones: 60%(40)

Aprobaron matemática: 75%60%(40) 60 75%×60%×40 = 75 × ×40 = 18 100 100 Rpta.: 18

APLICACIONES DE TANTO POR CIENTO aplicacioneS comercialeS En este capítulo estudiaremos las relaciones entre los diferentes precios. Supongamos que un comerciante compra un buzo a 60 soles y lo vende en 72 soles. El Precio de costo (Pc) es 60 soles, el Precio de venta (Pv), 72 soles. La diferencia, 72 – 60 = 12 soles, es la Ganancia (G). Supongamos, además, que ofrece en 80 soles, cantidad que llamaremos Precio fijado o Precio de lista (Pf), pero vende a 72 soles, rebajando 8 soles, el cual es el Descuento (D). Ahora hagamos un esquema de los precios arriba mencionados. Precio fijado = 80 Precio de costo = 60

Ganancia = 12 Descuento = 8

Precio de venta = 72

56

2

Ten Presente PORCENTAJES COMPLEMENTARIOS Dos porcentajes son complementarios si suman el 100%. Por ejemplo, 40% y 60% son complementarios porque

Rpta.: 624

tanto por ciento de tanto por ciento 600

2

• Ganancia (%) 12 × 100% = 20% 60 • Descuento (%) 8 × 100% = 10% 80

40% + 60% = 100%. • Un negociante ha comprado mercaderías con el 45% de su capital y le quedan 660 soles. ¿Cuál es el importe de las mercaderías? Resolución Si gastó el 45% de su capital, entonces le queda el 55%, y este porcentaje equivale a 6600 soles. Luego: 660

55%

x

45%

45×660 55 x = 540

x=

Las mercaderías costaron 540 soles.

TANTO POR CIENTO

CAPÍTULO 18

Precio de venta y precio de costo

Precio fijado y descuento

a) Pv = Pc + G

a) Pv = Pf – D

b) Pv = Pc – P

2

Ten Presente

Pv = Precio de venta

Pv = Precio de venta

Pc = Precio de costo

Pf = Precio de lista o precio fijado

G: Ganancia P: Pérdida

Generalmente se expresa como tanto por ciento del Pc

D: Descuento (Expresado como % Pf)

Problema 4 Un artefacto que costó 320 soles se vende en 400. Determina la ganancia como tanto por ciento del precio costo y del precio venta. Solución: • Ganancia = 400 – 320 = 80 • % de ganancia sobre el Pc: 80 × 100% = 25% 320

• % de ganancia sobre el Pv: 80 × 100% = 20% 400 Rpta.: 25% y 20%

GANANCIA BRUTA Y GANANCIA NETA Si durante la venta se incurre en gastos, como movilidad, comisiones de venta, etc, la ganancia queda disminuida. Entonces se habla de una ganancia bruta (GB) y una ganancia neta (GN). Por ejemplo, supóngase que un artículo se ha comprado en S/. 800 y se ha vendido en S/. 1500, pero se ha gastado S/. 400 en reparación y otros gastos. ¿Cuál es la ganancia neta? Ganancia bruta: 1500 – 800 = 700

Problema 5 Se ofrece un artículo en 500 soles pero al momento de vender se rebaja en 30%. ¿A qué precio se vende?

Gastos: 400 soles Ganancia neta: 700 – 400 = 300

Solución: Precio fijado = 500

Pv = 70%(500)

D = 30%(500)

Problema 6 Se vende un artículo en S/. 180, ganando el 20% del costo. ¿Cuál es la ganancia? Solución:

III BIMESTRE

Descontando 30% se vende en 70% de 500, entonces: Pv = 70%(500) = 0,7×500. Pv = 350 soles. Rpta.: S/. 350 Problema 7 Un distribuidor vende un artículo con un descuento del 20% sobre el precio fijado para su venta. ¿Cuál es este precio si lo vende a S/. 40? Solución:

S/. 180 → 120% ← Pv

Pv = Pf – D

x → 20% ← G

⇒ 40 = Pf – 20% Pf = 80% Pf

120⋅180 x= = 30 100

Resolviendo: ∴ Pf = S/. 50 Rpta.: S/. 30

Rpta.: S/. 50

2

57

CAPÍTULO 18

TANTO POR CIENTO

deScuentoS y aumentoS SuceSivoS Descuentos sucesivos

Aumentos sucesivos

Supóngase que un comprador encuentra un artículo en 100 soles con 20% de descuento. Al pagar, el cajero le vuelve a hacer un descuento, esta vez de 25%.

Supóngase que el precio de un artículo es 100 soles en el mes de enero. En febrero aumenta en 20% y en marzo, 25%.

¿Podría decir que le descontaron 45% en total? Veamos:

¿Se podría decir que de enero a marzo el precio aumentó en 45%? Comprobemos:

Precio inicial: 100

Enero: 100

Con 20% de Dcto: 80%(100) = 80

Febrero: 120%(100) = 120

Con 25% de Dcto: 75%(80) = 60

Marzo: 125%(120) = 150

Dcto. total:100 – 60 = 40 40%

Aumento total: 50 50%

100

Inicial: 1° Dcto: 2° Dcto:

20

60 60%

20 40%

Feb: Mar:

120 100%

Du =  a + b +

20 30 50%

III BIMESTRE

Problema 9 ¿En qué porcentaje se debe rebajar un precio aumentado en un 25% para volverlo al precio original? Solución: 100

25 125

Con el 1º Dscto: 80%(480) = 384

100

Con el 2º Dscto: 80%(384) = 307,2 Inicial: 1° Dcto: 2° Dcto:

480 80%

20%

384

80%

20%

307,2 Rpta.: S/. 307,2

20 Para aumentar se toma a 100 como 100%, pero para reducir se toma a 125 como 100%: 25 × 100% = 20% 125

Rpta.: 20%

Problema 10 La base de un triángulo aumenta en 10% y la altura relativa disminuye en 10%. ¿En qué tanto por ciento aumenta o disminuye el área? Solución:

Inicial

Final

Base

20

22

Altura

10

9

Área

100

99

∴ El área disminuye en 1, que es 1% del área inicial 58

2

 

 

100 100

Solución: Precio inicial: 480

1. Descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos de a% y b%: ab 

%

100 

2. Aumento único equivalente a dos aumentos sucesivos de a% y b%:

Después del primer aumento o descuento, los sucesivos se aplican sobre el resultado inmediatamente anterior. Problema 8 Un artículo se ofrece en 480 soles con dos descuentos sucesivos del 20 más el 20%. Determina el precio luego de los descuentos.

Ten Presente

Du =  a + b −

Ene:

80

2

%

VARIACIONES PORCENTUALES Cuando el lado de un cuadrado aumenta en 20%, ¿el área aumenta en el mismo porcentaje? Para calcular el aumento porcentual podemos asumir una medida cualquiera para el lado inicial del cuadrado. Supongamos que sea 10, entonces el área es 102 = 100. Cuando el lado aumenta en 20% resulta 120%(10) = 12, en consecuencia el área es 122 = 144. Obsérvese que el área aumentó en 44, que es 44% del área inicial. Por consiguiente, cuando el lado de un cuadrado aumenta en 20% el área aumenta en 44%. Esto es lo que se conoce como variación porcentual del área.

102 = 100 10 Rpta.: 1%

ab 

100 

122 = 144

12

TANTO POR CIENTO

CAPÍTULO 18

Problema 11 Un objeto que se vende a S/. 320 se promociona descontando un 10% al momento de venderlo. Como la promoción no tiene acogida, se vuelve a descontar en 25% del último precio. ¿En cuánto se oferta ahora?

Problema 12 Un comerciante desea vender un objeto a S/. 60 pensando ganar un 50%, pero por una necesidad realiza la venta perdiendo S/. 5. ¿A como vendió el objeto?

Solución:

Inicialmente el comerciante pensó ganar 50% (del costo)

10 × 320 = 32 a) Primer descuento: 10% de 320 = 100 ⇒ Precio descontado = 320 – 32 = 288 Segundo descuento: 25% de 288 = 72

Descontó 10%

=

×

75%

⇒ 60 = Pc + 50% Pc = 150% Pc Pero efectúa la venta perdiendo S/. 5

b) También se obtiene el mismo resultado cuando se consideran los tantos por ciento que, quedan después de cada descuento. Precio = 90% final

Pv = Pc + G Resolviendo, Pc = S/. 40

⇒ Precio descontado = 288 – 72 = 216

⇒

Solución:

× (320)

Descontó 25%

90 75 × × 320 = 216 100 100

c) También se puede usar el descuento único equivalente a los descuentos del 10% y 25%.

Pv = Pc – P = 40 – 5 = S/. 35 ∴ Lo vendió a S/. 35 Rpta.: S/. 35 Problema 13 ¿En qué porcentaje aumenta o disminuye ab2 si a aumenta en 20% y b disminuye en 10%? Solución: a

10 × 25  Du =  10 + 25 – % = 32,5%  100  Nótese:

b ab

∴ 320 – 32.5%(320) = 67,5%(320) = 216 Du

2

Inicial

Final

4

4,8

5

4,5

100

97,2

∴ Disminuyó en 2,8, que es el 2,8% de 100. Rpta.: 100

Actividad 18 1

¿Qué porcentaje de 0,5% de 200 es el 20% del 0,2% de 800?

2

¿Cuál es el número cuyo 10% de los 2/3 de su 21% equivale al 20% de los 3/10 de 7?

3

¿Cuál es el mayor: el 20% del 5% de 1 000 o el 50% del 2% de 1 000?

4

El 40% del 50% de «x» es el 30% de «y». ¿Qué porcentaje de (2x + 7y) es (x + y)?

5

La base de un rectángulo aumenta en 25%, pero el área no varía porque la altura disminuye en:

6

El precio de venta de un televisor LED de 40 pul-

gadas es S/. 1518. Si la ganancia es el 15%, ¿cuál es el precio del costo? 7

He comprado una casaca en S/. 240 y quiero venderla ganando el 40 %. ¿En cuánto debo vender?

8

El precio de un artículo aumentó en un 14%, y ahora su nuevo precio es S/. 912. ¿Cuál es el precio inicial del artículo?

9

¿Cuánto costó un objeto que se vendió en S/. 750, perdiendo el 70%?

10 Un artículo se compra en S/. 1300 y se vende en S/. 1600. Halla el 20% del 30% de la ganancia.

2

59

III BIMESTRE

Rpta.: 216

Unidad

04

ESTADÍSTICAS Y PROBABILIDADES INFORME PISA El Programa de Evaluación Internacional de Estudiantes, más conocido como PISA, analiza el rendimiento de estudiantes de 15 años en las asignaturas de matemática, lenguaje y ciencia, a partir de pruebas estandarizadas a las que son sometidos escolares de 65 países, que representan el 80 % de la población mundial. En las pruebas tomadas por la OCDE en 2012, el Perú ha recibido una puntuación de 368 para matemáticas, 384 para lectura y 373 para ciencias. - ¿Qué opinas sobre la ubicación del Perú en el último lugar en estas pruebas? http://www.ingemmet.gob.pe/GeologiaEscolares/inicio.html

APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones

Comunica y representa

Elabora y usa estrategias

Razona y argumenta • Propone el uso de las tablas de frecuencias.

• Explica el uso de las medidas de tendencia central.

• Interpreta la frecuencia en una tabla.

• Elabora tablas de frecuencias.

• Interpreta y analiza gráficos estadísticos.

• Elabora gráficos estadísticos.

• Calcula medidas de tendencia central, combinaciones y permutaciones.

• Reconoce las medidas de tendencia central.

• Describe las medidas de tendencia central.

• Emplea gráficos estadísticos.

• Reconoce el uso del análisis combinatorio y la probabilidad.

• Escribe el evento de un suceso o experimento.

• Resuelve problemas de análisis combinatorio y probabilidad.

60

2

• Justifica el uso de gráficos estadísticos.

• Argumenta la utilidad del análisis combinatorio y de la probabilidad.

CAPÍTULO

ESTADÍSTICA

19

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 2

¿Cuál es la diferencia entre frecuencia relativa y absoluta?

Si en la población rural hubiera 100 familias, 54 de ellas cocinarían con leña. (Fuente INEI)

Familias por tipo de combustible que usan para cocinar

Leña Kerosene Gas Más de 1 combustible Total

18 4 10 8 40

En un centro poblado de la Sierra del Perú se ha encuestado a 40 familias sobre el tipo de combustible que usan para cocinar. La información obtenida se muestra en la tabla de la izquierda.

Ten Presente LA ESTADÍSTICA Es la ciencia que proporciona métodos, pautas y procedimientos para recolectar, organizar, analizar e interpretar la información relativa a características, cualidades, atributos, de individuos u objetos. La información se procesa en forma de datos, los cuales se organizan y representan en tablas y gráficos.

Población.- Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen una característica común observable. En el ejemplo: todas las familias, que residen en el centro poblado. Muestra.- Es un subconjunto de la población que se toma porque resulta difícil o muy costoso estudiar toda la población. En el ejemplo: las familias encuestadas. Variable (xi).- Es una propiedad o característica de la población estudiada. En el ejemplo: familias que usan algún tipo de combustible para cocinar.

VARIABLE CUALITATIVA Representa una cualidad o atributo de la población.

Datos.- Es cada uno de los valores obtenidos de una variable. En el ejemplo: leña, kerosene, gas.

• Estado civil: casado, soltero, viudo, divorciado.

Frecuencia absoluta (fi ).- Es el número de veces que se repite un dato en una muestra. En el ejemplo: La frecuencia de las familias que cocinan con leña es 18. Tabla de distribución de frecuencias.- Es una tabla donde se presentan los datos con sus respectivas frecuencias. La tabla del ejemplo es una tabla de distribución de frecuencias para datos no agrupados.

x2 + x4 + f1 + f3.

xi 0 1 2 3

fi 9 13 11 2 35

A su vez la variable cuantitativa puede ser:

Solución: x2 = 1 x4 = 3 x2 + x4 + f1 + f3 = 1 + 3 + 9 + 11 f1 = 9 x + x + f + f = 24 2 4 1 3 f3 = 11 Rpta.: 24

tabla de diStribución de FrecuenciaS para datoS agrupadoS 13 17 14 14 16 19 11 09 13 16 18 11 08 12 15 12 07 04 14 14

Aquí las notas finales en matemática de 20 alumnos elegidos aleatoriamente.

Variable cuantitativa discreta Si se expresa con números enteros. • Número de familias, vehículos sin SOAT. Variable cuantitativa continua Si se expresa con números reales. • Estaturas, peso, composición porcentual de medicamentos.

2

61

IV BIMESTRE

Problema 1 Esta tabla representa el número de mascotas de 35 niños. Calcula

VARIABLE CUANTITATIVA Expresa las características de la población mediante números, como resultado de mediciones o conteos.

CAPÍTULO 19

ESTADÍSTICA

Dado que hay muchos datos vamos a agruparlos en intervalos de clase. Tamaño de la muestra (n).- Es el número de elementos de la muestra. En el primer ejemplo n = 40; en el último: n = 35. Rango (R).- Es la diferencia entre el máximo y mínimo valor de los datos. En el ejemplo:

Máximo valor: 19 Mínimo valor: 04

Escala.- Es el intervalo que abarcan los datos teniendo como referencia el rango. En el ejemplo hemos elegido la escala de 0 a 20.

Rango = 19 – 4 = 15 Rango = 15

0

19 20

4 Escala = 20

Intervalo de clase (Ii).- Son intervalos fijados convenientemente, dentro de los cuales se agrupan los datos. En el ejemplo, las notas los agrupamos en los siguientes intervalos: [0; 5〉; [5; 10〉; [10; 15〉 y [15; 20〉. Marca de clase (xi).- Es la semisuma de los valores extremos de cada intervalo. lsi: Límite superior del intervalo Ii Frecuencia relativa (hi).- Es la frecuencia absoluta de un intervalo dividida entre el número de datos o tamaño de la muestra.

hi =

Frecuencia relativa porcentual (%hi).- Es la frecuencia relativa expresada en términos porcentuales.

• 55 vivirían en la costa

fi n

%hi = hi×100%

Frecuencia acumulada (Fi).- Es la suma de las frecuencias anteriores a la frecuencia que corresponde al dato.

Costa Verde, Lima

• 31 vivirían en la sierra

Fi = f1 + f2 + f3 + ... + fi

Frecuencia relativa acumulada (Hi).- Es la frecuencia acumulada de un intervalo dividida entre el número de datos o tamaño de la muestra.

Hi =

Matemática en la vida

SI EL PERÚ TUVIERA 100 HABITANTES

li + lsi xi = i 2

lii: Límite inferior del intervalo Ii

125304

Fi n Tambo, Ayacucho

Conteo de los datos

Tabla de distribución de frecuencias

[0; 05〉 [05; 10〉

IV BIMESTRE

[10; 15〉 [15; 20〉

Ii

xi

fi

hi

%hi

Fi

Hi

[0; 5〉

2,5

1

[5; 10〉

7,5

3

0,05

5

1

0,05

0,15

15

4

0,20

[10; 15〉

12,5

10

0,50

50

14

0,70

[15; 20〉

17,5

6

0,30

30

20

1,00

20

1

100

• 14 vivirían en la selva

Santa Rosa, Madre de Dios

Problema 2 En una tabla de frecuencias de 50 datos, una de las frecuencias absolutas es 24. Calcula la frecuencia relativa correspondiente.

62

2

Solución:  h = n = 50  i  fi = 24  = h  i

Fuente INEI

fi n 24 = 0 , 48 50

Rpta.: 0,48

ESTADÍSTICA

Problema 3 Elabora la tabla de frecuencias de los siguientes datos. Notas en inglés de una muestra de 30 alumnos de un colegio: 13 17 12 14 07 19 11 09 12 13 16 12 18 20 11 16 08 14 15 12 07 04 18 10 14 15 03 12 20 13

CAPÍTULO 19

Problema 4 Completa la tabla e indique el número de datos.

Ii

xi

fi

hi

Fi

Hi

[0; 05〉

2,5

2

0,07

2

0,07

[05; 10〉

7,5

4

0,13

6

0,20

[10; 15〉 12,5 14

0,47

20 0,67

[15; 20] 17,5 10

0,33

30 1,00

30

fi

[10;

〉

[ ;

〉

0,20

[ ;

〉

0,30

4

Solución: f4 n

36 0 , 45 = n 36 n= 0 , 45

Ii

fi

hi

[10; 20〉

4

0,05

[20; 30〉 16 0,20 [30; 40〉 24 0,30 [40; 50〉 36 0,45

n = 80

1

Problema 5 Las notas de 200 estudiantes se clasificaron en cinco intervalos de ancho de clase iguales. Halla k + a.

hi

[ ; 50〉 36 0,45 h4 =

Solución:

Ii

Rpta.: 80

Problema 6 Respecto a la tabla, Ii calcula x1 + f3 + h2. [0 ; 10〉

8

[ ;

〉

6

[ ;

〉 12

Ii [40; 〉 [ ; 〉 [ ; 70〉 [ ; 〉 [ ; a〉 k 3k 2k 3k k fi 50 100 25 50 100

[ ; 40〉

fi

4

Solución:

Solución: Como son 200 estudiantes se cumple: k 3k 2k 3k k + + + + = 200 ⇒ k = 1000 50 100 25 50 100 Si el ancho de clase es "w": 40 + w + w + w = 70 ⇒ w = 10 El valor de: a = 70 + w + w ⇒ a = 90 ∴ k + a = 1090

Ii

xi

fi

hi

[0 ; 10〉

5

2

0,083

[10; 20〉

15

6

0,25

[20; 30〉

25

12

0,5

[30; 40]

35

4

0,16

fi n ⇒ h2 = 0,25; f3 = 12 y x1 = 5 ki =

∴ x1 + f3 + h2 = 17,25

n = 24 Rpta.: 17,25

Rpta.: 1090

Actividad 19 1

10 12 9 12 9

9 11 11 10 12

8 10 12 8 11

10 12 10 10 12

12 11 9 12 8

11 8 11 8 12

a) ¿Cuántos alumnos tienen 8 años? b) ¿Qué porcentaje del total de alumnos encuestados tiene 10 años?

2

La tabla consigna el porcentaje de productos defectuosos sobre el total de 4 productos: A, B, C y D. Tipo A B C D

% de Defectuoso Total producido 10% 4% 5% 8%

2000 1600 1500 900

¿Cuántas unidades defectuosas menos hay del tipo A que de los tipos B, C y D juntos?

2

63

IV BIMESTRE

Los números representan la edad de los 30 niños que participan en un concurso de matemática.

CAPÍTULO 19

3

ESTADÍSTICA

Las notas que obtuvieron 25 alumnos en el curso de Matemática son: 15 10 12 13 15

16 18 16 12 15

14 13 12 18 16

13 10 11 13 11

15 16 13 10 12

Número de profesores

15

18

22

c) ¿Cuántos profesores poseen más de 40 años y qué porcentaje del total representan? La siguiente tabla muestra la distribución de las notas de un grupo de alumnos. ¿Cuántos alumnos poseen una nota mayor o igual que 4? La siguiente tabla muestra el número de alumnos y las notas que obtuvieron en un examen.

Notas [0; 4〉 [4; 8〉 [8; 12〉 [12; 16〉

fi

hi

6

4/x 8/x 12/x 6/x

Notas

# de alumnos

[4; 8〉 [8; 12〉 [12; 16〉 [16; 20〉

15 20 25 15

IV BIMESTRE

m : Es el porcentaje de alumnos con puntaje mayor a 8. n : Es el porcentaje de alumnos con puntaje menor a 12. Halla m – n.

64

2

fi

[10; 20〉 [20; 30〉 [30; 40〉 [40; 50〉 25 [50; 60〉 20

El siguiente cuadro consigna 270 personas con menos de 31 años. ¿Cuántas tienen por lo menos 25 años?

Edades [19; 22〉 [22; 25〉 [25; 28〉 [28; 31〉 [31; 34〉

hi

0,1 0,3

hi

0,15 0,25 0,40 0,10 0,10

25

b) ¿Cuántos profesores poseen menos de 35 años y qué porcentaje del total constituyen?

6

Ii

[25; 30〉 [30; 35〉 [35; 40〉 [40; 45〉

a) ¿Cuál es la marca de clase de cada intervalo de clase?

5

8

En un colegio se hizo una encuesta sobre las edades de los profesores y se obtuvo la siguiente tabla: Edades

Si el 80% de datos de la siguiente tabla de frecuencias, son menores que 50, halla f2 – f1 + f3.

¿Cuál es la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa correspondientes a las notas: 11; 12 y 13? 4

7

9

La tabla de frecuencias relativas corresponde a los años de servicio de 180 empleados de una empresa. ¿Cuántos empleados han trabajado entre 4 y 10 años? Tiempo en años

hi

0,15 0,35

[2; 5〉 [5; 8〉 [8; 11〉 [11; 14〉

0,20

10 La siguiente tabla muestra la distribución de las estaturas correspondientes a 80 basquetbolistas de un club: Intervalos de estatura (m) [1,70; 1,80〉 [1,80; 1,90〉 [1,90; 2,00〉 [2,00; 2,10〉 [2,10; 2,20〉

fi

hi

48 0,125 0,075

Si veinte jugadores tienen por lo menos 1,90 m, determina el porcentaje de los que miden menos de 2 m.

CAPÍTULO

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I ¿Cuántos datos hay si las frecuencias son 2; 4; 6; 8; 11; 15 y 18?

¿En qué se diferencia el histograma del gráfico de barras?

PRODUCTO NACIONAL (primeros meses del 2016) 125304

PORCENAJE

10

El gráfico muestra la tendencia de la actividad económica nacional, a nivel global y sectorial. (Fuente INEI)

7,59 6,41 5

4,9

4,8

4,51

4,4

4,31

Se puede observar cuál ha sido el desarrollo de la economía en los primeros 8 meses del 2016.

2,37 0

20

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago

Matemática en la vida PELÍCULAS PERUANAS MÁS VISTAS

• Asu mare

Fuente: INEI

Los gráficos estadísticos permiten visualizar las características y aspectos saltantes de los datos. Es una forma de presentar gráficamente los datos estadísticos. Existen diversos tipos de gráficos estadísticos, que estudiaremos a continuación.

• Fuga del Chacal

gráFico de barraS fi 3 038

PELÍCULAS PERUANAS MÁS VISTAS

(En miles de espectadores)

Espectadores (fi)

Películas (xi)

Películas peruanas más vistas

(en miles)

Asu Mare (2015) (1)

3 038

La fuga del chacal (1987) (2)

980

980

Pantaleón y las visitadoras (1999) (3) 635 Cementerio General (2013) (4)

635

503

• Pantaleón y las visitadoras

503 xi

Fuente: http://blog.cinencuentro.com/

Problema 1 Elabora un diagrama de barras con los datos de la tabla.

IV BIMESTRE

Los diagramas o gráficos de barras son utilizados en la representación de datos cualitativos. Las barras tienen por base el dato y una altura proporcional a la frecuencia. Solución: xi A B C D

fi 60 55 30 15

fi 60 40 20 xi

2

65

CAPÍTULO 20

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I

diagramaS circulareS Elaboremos un diagrama circular para la tabla de la izquierda:

ESTABLECIMIENTOS DE SALUD - TUMBES

Establecimiento (xi)

Unidades

Hospitales

5

Centros de salud

18

Puestos de salud

37

• 60 5 x=

60

360° x

• 60 18

5 ⋅ 360 º = 30 º 60

x=

Los diagramas circulares representan las frecuencias mediante sectores circulares cuyos ángulos centrales son proporcionales a las frecuencias de los datos. El círculo representa el total de los datos. Problema 2 Elabora un diagrama circular con los datos de la tabla.

xi A B C D

360° x

18 ⋅ 360 º = 108 º 60

Centros de salud 18

Hospitales 5

Puestos de salud 37

Solución: Para calcular los ángulos centrales multiplicamos las frecuencias relativas por 360º.

fi 0,25 0,35 0,30 0,11

xi A B C D

fi hi×360° 0,25 90° 0,35 126° 0,30 108° 0,10 36°

C (30%)

D (10%) A (25%)

B (35%)

Datos GRÁFICOS DE BARRAS HORIZONTALES Distribución de habitantes por región:

Costa

55%

Sierra

51%

pictogramaS En los pictogramas las frecuencias se representan con dibujos alegóricos de los objetos que se estudian. Supóngase que en una ciudad se determina los muertos por accidentes, cuya tabla se muestra. En el pictograma asumimos que cada ícono representa 5 personas. Observe con atención el gráfico. MUERTOS EN ACCIDENTES DE TRÁNSITO POR SEXO

Hombres

Mujeres

50

40

Laboral

35

20

Otros

10

8

Tipo

IV BIMESTRE

Tránsito

Problema 3 En un pictograma 4 figuras representan 450 unidades. ¿Con cuántas figuras se representan 1575 unidades?

Problema 4 Determina la frecuencia relativa de un dato cuya representación en un diagrama circular es un sector circular con 54º de ángulo central.

Solución:

Solución: El círculo representa la suma de las frecuencias relativas, que es igual a 1.

4 x

450 1575

x=

1575 ⋅ 4 = 14 450 Rpta.: 14

66

2

1 x

360° 54°

x=

54 ⋅ 1 = 0 , 15 360 Rpta.: 0,15

Selva

14% 50 Fuente INEI

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I

Problema 5 En el siguiente diagrama:  a ° 2

40° F

Solución: # personas en "A": x

A

 a ° 3

B

C

Del diagrama circular:  a ° + 40° +  a ° + 80° +  a ° + 50° = 360° 2 3 6

80°

50° E

Resolviendo: a = 190

 a ° 6

D

Haciendo la proporción:

Si en el sector "D" hay 57 personas,

∴x = 72

¿cuántas personas hay en "A"?

Problema 6 El gráfico corresponde a los datos de la tabla. Calcula a + b. fi

hi

A

8

B

30

C

20

D

12

CAPÍTULO 20

B

En el gráfico f1 + f3 = 65. Calcula f2 + f4. 4k 3k 2k k

b C

Rpta.: 72°

Problema 7

A

a

x = 57 40°  190 °  6 

A

D

B

Solución:

Solución:

Total: 8 + 30 + 20 + 12 = 60

f1 + f3 = k + 4k = 65 ⇒ k = 13

∴a+b=

30 + 12 ⋅ 360° = 252° 60

Rpta.: 252°

∴ f1 + f3 = 4k + 3k = 7k ⇒ 91

C

D

Rpta.: 91

Actividad 20 1

Calcula la diferencia entre los que prefieren los productos A y B.

En el siguiente diagrama de barras: 20%

A B

14%

3 30%

C D

12%

E

24%

El gráfico de sectores muestra las preferencias de 400 personas por 4 productos A, B, C y D.

D

A m°

16% C

140 120

Toneladas

IV BIMESTRE

Los productos B, C, D y E son de mejor calidad. ¿Qué porcentaje de ellos representa la producción de D? 2

El gráfico señala la producción de un cereal en 5 lugares del país A, B, C, D y E.

100 80 60 40 20

8% 3m° B

Con esta información se desea confeccionar un gráfico de sectores. ¿Qué ángulo corresponde a los sectores A y E?

2

67

CAPÍTULO 20

4

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I

De acuerdo al gráfico de frecuencias.

A (m°)

D (25%)

# alumnos B (15%)

30 m

C (2m°)

15 10

8

De acuerdo al siguiente histograma,

Notas 8

f

10 12 14 16 18

15

¿Cuál es el total de alumnos que presenta la tabla, si el 50% ha obtenido notas comprendidas desde 12 a 16? 5

9 6 3

Se realizó una encuesta a cierto número de personas sobre sus preferencias a 5 marcas de cigarrillos, designados como: M, N, P, Q, R, presentándose el siguiente gráfico de sectores: N

M 3a°

(a + b)°

b°/3

2b°

6 10 14 18 22 26

9

P

a°

x

halla x. En el siguiente histograma se muestran los sueldos por hora de un grupo de empleados. Calcula el promedio del sueldo por hora.

Q

R

# Empleados

Si gustan de M tantos como gustan de P y 72 personas gustan de R, ¿cuántos gustan de N? 6

12

El diagrama ha sido elaborado con los tiempos de duración de un conjunto de baterías.

25 20 15 Sueldo por hora es S/.

5

fi 56

10 El diagrama representa la asignación de recursos para un año en cierta municipalidad de un distrito de Lima.

48 40 24

D (27%)

A (30%)

16 8 90

94

98

102 106 110 114 118

Tiempo (horas)

IV BIMESTRE

¿Cuántas baterías tienen una duración desde 100 hasta 112 horas? 7

El siguiente diagrama muestra las preferencias de 200 personas con respecto a 4 productos A, B, C y D. ¿Cuántos más prefieren C que B?

68

2

C (18°)

B (25%)

Si para B y D se destinan 48400 soles más que para A, ¿cuánto se destina a C?

CAPÍTULO

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II

21

¿Cuál es la diferencia entre el polígono de frecuencias y el ojiva?

En el 2013 el Perú ha producido 1,6 millones de toneladas de maíz y ha crecido en 4,58% respecto al año anterior.

HiStogramaS La tabla corresponde a la hemoglobina de 50 pacientes atendidos en un hospital. Hemoglobina (g/dL)

[10; 12〉 [12; 14〉 [14; 16〉 [16; 18〉 [18; 20〉

fi 9 20 12 5 4 50

20

Nota

15 10 5 10

12

14

16

18

20

Los histogramas sirven para representar datos agrupados. Son rectángulos continuos cuyas bases se sitúan en el eje horizontal y están limitadas por los valores extremos de cada intervalo. Sus alturas son proporcionales a las frecuencias absolutas o relativas de cada intervalo. Problema 1 En el histograma del ejemplo, ¿cuántos pacientes tienen una hemoglobina inferior a 16?

El histograma se utiliza para la representación de datos agrupados en intervalos de clase, mientras el gráfico de barras es para datos no agrupados o variables cualitativas.

fi

Solución: 15

A

9 + 20 + 12 = 41

5 10

12

14

16

18

C

D

xi

Rpta.: 41

fi

f1

20

f2

f3 f4

Polígono de frecuen cias

15

I1

10

I2

I3

I4

xi

5 10

12

14

16

18

20

diagrama eScalonado Son diagramas de barras o rectángulos, cuyas bases representan los intervalos de clase y cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias absolutas o relativas acumuladas (Fi, Hi).

2

69

IV BIMESTRE

A la derecha se muestra el polígono de frecuencias del histograma de las hemoglobinas.

B

Gráficos de barras

20

polígono de FrecuenciaS El polígono de frecuencias se obtiene a partir del histograma, uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos.

f4

Tienen menos de 16 de hemoglobina:

12

9

10

f3

f1

20

20

f2

CAPÍTULO 21

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II

Para elaborar el diagrama escalonado calculemos la frecuencia acumulada de la tabla del ejemplo y luego elaboremos su diagrama escalonado. La línea que une los puntos medios de las barras se llama ojiva. Hemoglobina (g/dL)

fi

Fi

50

[10; 12〉

9

9

40

[12; 14〉

20

29

30

[14; 16〉

12

41

20

[16; 18〉

5

46

10

[18; 20〉

4

50

Fi

Ojiva

10

Problema 2 Elabora el histograma de la siguiente tabla de frecuencias.

Ii

fi

[0; 10〉

10

[ ;

〉 15 〉 20

[40;

〉 10

Solución: Completamos la tabla y elaboramos el histograma. Ii

fi

25

14

Problema 3 Elabora la tabla de frecuencias a partir del gráfico escalonado e indique la frecuencia del intervalo [10; 15〉.

[ ; 30〉 25 [ ;

12

fi

16

18

20

xi

Fi

60 50 40 30 20 10

xi

Solución:

[0; 10〉

10 20 [10; 20〉 15 15

Ii [0; 5〉

[20; 30〉 25 10 [30; 40〉 20 5

Fi fi

20

5

15

5

[5; 10〉 20 15

xi

[40; 50〉 10

[10; 15〉 40 20 [15; 20〉 50 10

10 5

[20; 25〉 60 10 La frecuencia del intervalo [10; 15〉 es 20 Rpta.: 20

IV BIMESTRE

Actividad 21 1

La tabla muestra las edades y el número de pacientes atendidos en un hospital.

En el siguiente gráfico de frecuencias. # de alumnos

[40; 50〉

xi 45

fi 6

30

[50; 60〉

50

8

20

[60; 70〉

55

9

[70; 80〉

60

3

Edad

Elabora el histograma correspondiente. 70

2

2

25

10

12

14

16

18

Notas

Indica el número de alumnos que por lo menos sacaron 12 de nota.

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II 3

Del siguiente gráfico de frecuencias:

CAPÍTULO 21 7

# de personas 45

Se tiene el siguiente histograma de frecuencias relativas: hi 6m 4m 3m 2m m

30 20 24

20

28

32

Edades

36

I

¿Cuántas personas tienen al menos 24 años y qué porcentaje del total representan? 4

Representa con un histograma y un polígono de frecuencias los datos que indica el tiempo que los alumnos de un aula dedican a navegar en Internet. Tiempo (min)

¿Cuántos datos se encuentran en el intervalo [b; e〉, si el tamaño de la muestra es 160? 8

5x 4x 3x x

# de alumnos

[50; 60〉

7

[60; 70〉

6

[70; 80〉

4

[80; 90〉

3

[90; 100〉

5

I

¿Cuántas observaciones caen en el rango [b; e〉, si la población es de 600? 9

5

Del histograma mostrado: 25 15 10

Ii 20

25

30

35

40

45

a) Elabora la tabla de frecuencias absoluta y relativa correspondiente. b) ¿Qué tanto por ciento de los datos se encuentra en el intervalo [25; 40〉? Dado el siguiente gráfico de frecuencias: # de alumnos

m 15 10

Notas 10

12

14

16

18

56 48 40 32 24 16 8

fi

Tiempos (hora) 90

94

98

¿Cuántas baterías tienen una duración entre 98 y 110 horas? 10 El diagrama mostrado ha sido elaborado con los tiempos de duración de un conjunto de baterías. 56 48 40 32 24 16 8

fi

Tiempos (hora)

20

¿Cuál es el total de alumnos, si se sabe que el 50% de ellos ha obtenido notas comprendidas desde 12 a 16?

102 106 110 114 118

90

94

98

102 106 110 114 118

¿Cuántas baterías tienen una duración entre 100 y 115 horas?

2

71

IV BIMESTRE

30

El diagrama mostrado ha sido elaborado con los tiempos de duración de un conjunto de baterías.

fi

20

6

Se tiene el histograma de frecuencias relativas: hi 7x

CAPÍTULO

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

22

¿Cuál es la diferencia entre media y mediana?

En agosto 2013 Claudio Pizarro llegó a 70 partidos jugados con la Selección, con un promedio de 0,26 tantos por partido. Fuente: El comercio

medidaS de tendencia central para datoS no agrupadoS NOTAS DE LOS MEJORES ALUMNOS EN MATEMÁTICA DE UN SALÓN Nombres 1° Bim 2° Bim 3° Bim 4° Bim Andy

09

16

19

18

Bruno

16

12

18

16

Celso

16

16

15

15

El promedio aritmético de las tres notas es 62÷4 = 15,5; con el cual aparentemente los tres están empates.

En este capítulo estudiaremos, aparte del promedio aritmético o media, la moda y la mediana. Media(x)

Moda(mo)

Mediana(me)

Suma de datos entre número de datos.

Dato que más se repite.

Dato central o media de dos centrales.

09

16 + 12 + 18 + 16 60 xB = 15,5

12

16 + 16 + 15 + 15 60 xC = 15,5

15

Bruno: x B =

Celso: x C =

IV BIMESTRE

xA = 15,5

9 + 16 + 19 + 18 60 xA = 15,5

Andy: x A =

18

19

16

16

15

16 16

moA: Amodal

18

136 • Suma de los datos: 136 x = 10 Número de datos: 10 x = 13,6

2

Un conjunto de datos puede tener más de una moda. fi

xi Población unimodal fi

16

xB = 15,5 moB = 16 (Unimodal) meB= 16 xC = 15,5 moC: Bimodal(15 y 16) meC= 15,5

• mo = 13 (Se repite 3 veces) • Para hallar la mediana ordenamos los datos de menor a mayor: Datos centrales

Solución:

MODA

meA= 17

16

12; 13; 20; 14; 13; 10; 12; 13; 9 y 20.

72

16 17

Problema 1 Calcula la media, la moda y la mediana de los siguientes datos:

Nota

¿Quién de los tres es el mejor?

9 10 12 12 13 13 13 14 20 20 4 datos 4 datos 13 me = 13 (Media de los datos centrales)

xi Población bimodal

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

CAPÍTULO 22

• mo = 14 (Se repite 3 veces)

Problema 2 Compara la media, la moda y la mediana de los siguientes datos: 14; 7; 10; 14; 16; 10; 12; 14 y 11.

Historia

Dato central

• 8 10 10 11 12 14 14 14 16 4 datos 4 datos me

Solución: • Suma de los datos: 108 x = 108 9 Número de datos: 9 x = 12

me = 12

A partir del siglo XVI la Estadística inicia su etapa de gran desarrollo gracias a la contribución de personajes sobresalientes de esta época, como fueron:

promedio ponderado EDADES DE 40 ALUMNOS DE UN SALÓN DE 1º AÑO

Edad(x)

f1

11

6

12

30

13

4

x=

En la tabla se observa que 6 alumnos tienen 11 años, 30 alumnos, 12 y 4 alumnos, 13 años. Para calcular la media de las edades debemos sumar todas las edades y dividir entre 40. El cálculo del promedio ponderado consiste en multiplicar cada dato por su frecuencia o peso, sumar, y dividir entre la suma de frecuencias.

11 ⋅ 6 + 12 ⋅ 30 + 13 ⋅ 4 6 + 30 + 4

En general: x=

478 = x = 11, 95 40

Hermann Conring (1600 - 1681) De nacionalidad inglesa, quien introdujo la estadística en un curso de ciencias políticas, con el propósito de descubrir y examinar los datos sobresalientes del estado.

Problema 3 El profesor de matemática ha dicho que la nota del examen escrito vale por tres, la nota de examen oral, por dos y la nota del cuaderno por uno. Aníbal tiene 13; 14 y 17, respectivamente. ¿Cuál su nota promedio?

x1 ⋅ f1 + x2 ⋅ f 2 + x3 ⋅ f 3 + ... + xn ⋅ fn f1 + f 2 + f 3 + ...+ fn

Solución: Ex. escrito Ex. oral Cuaderno = x

84 = 14 6

Nota 13 14 17

Peso nota×peso 3 39 2 28 1 17 6 84 Rpta.: 14

Godofredo Achenwall (1714 - 1772) De nacionalidad inglesa, quien hizo su aporte al considerarla como una disciplina independiente y la introduce como una asignatura universitaria con el nombre de estadística. Se le considera el padre de la estadística.

media para datoS agrupadoS FUGA DE AGUA POR MES EN 50 VIVIENDAS (L)

Volumen

f1

[0; 20〉

18 15

[40; 60〉

12

[60; 80〉

5

Volumen [0; 20〉 [20; 40〉 [40; 60〉 [60; 80〉

x1

f1

Queremos calcular el promedio en litros de fuga de agua en las 50 viviendas. Para ello calculamos las marcas de clase, que “representan los intervalos” y procedemos como en el caso anterior. x1 ⋅f1

10 30 50

18 15 12

180 450 600

70

5

350

50

1580

Promedio: 1580 = 31,6 litros 50 En general: x=

x1 ⋅ f1 + x2 ⋅ f 2 + x3 ⋅ f 3 + ... + xn ⋅ fn f1 + f 2 + f 3 + ...+ fn

Adolfo Quetelet (1796-1874) De nacionalidad belga, quien hizo su aporte al aplicar métodos modernos al estudio de un conjunto de datos. Se le considera el padre de la estadística moderna por su interés en destacar la importancia de la aplicación de los métodos estadísticos, orientada en un doble sentido: teórico y práctico. http://www.educando.edu.do/articulos/ directivo/estadsticas-educativas/

2

73

IV BIMESTRE

[20; 40〉

En la tabla se observa que hay fuga de 0 a menos de 20 litros en 18 viviendas, de 20 a menos de 40 litros en 15 viviendas, etc.

CAPÍTULO 22

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Problema 4 Calcula la Ii media de [10; 14〉 los datos de la tabla. [14; 18〉 [18; 22〉 [22; 26〉

Solución: Ii

fi

[10; 14〉 [14; 18〉 [18; 22〉 [22; 26〉

9 15 30 6

xi

fi

xi ⋅fi Media: 108 x = 1092 60 240

12 16 20

9 15 30

24

6

144

60

1092

600

x = 18,2 Rpta.: 18,2

Actividad 22 1

2

Calcula la media aritmética de las notas de matemática de: Manolito, cuyas notas son: 12; 17; 14; 13 Raulito, cuyas notas son: 14; 16; 18; 16 En un concurso de matemática, tres secciones A, B y C de un determinado año, participan con 6 alumnos cada una. Las notas obtenidas son: Sección

Notas

A B C

11 13 15 12 14 13 14 15 14 13 12 13 13 14 14 15 13 15

6

Lu 20 15

Ma 25 18

Mi 30 20

Ju 25 18

Vi 15 15

Calcula la moda de los tiempos de cada niño.

IV BIMESTRE

4

5

Después de un examen de 20 preguntas tomado a 10 alumnos, se hizo una encuesta sobre la cantidad de problemas que resolvieron y se obtuvo la siguiente información: 7; 9; 12; 15; 18; 10; 5; 10; 10; 14. Halla la suma de la media, la mediana y la moda de la muestra. Considere la tabla adjunta y halla el promedio de las notas de los cursos indicados.

74

Curso

N° de alumnos

Promedio

Matemática Historia Biología Lenguaje

120 100 150 180

11,2 10,5 11,4 11,8

2

fi

5 9 12 8

[20; 30〉 [30; 40〉 [40; 50〉 [50; 60〉

La media de las notas de 25 estudiantes ha resultado 12. Si se sube 2,5 puntos a cada uno de los 10 desaprobados y se aumenta una unidad a cada aprobado, ¿cuál sería el nuevo promedio?

8

La tabla muestra las notas de los cursos A y B.

En la tabla se muestra el tiempo en minutos que dos alumnos demoran en llegar a su colegio: Carlos Daniel

Intervalo

7

Se desea declarar ganador a aquel equipo que tenga más alumnos con notas mayores a la mediana obtenida por su sección. ¿Qué sección gana? 3

Para el siguiente conjunto de datos clasificados, calcula la media.

9

Curso A Curso B

Indica si es verdadero o falso.

1

06

05

2

06

05

I. La mediana del curso A es mayor que el curso B.

3

08

14

4

10

14

II. La moda del curso A es menor que el curso B.

5

14

12

En la siguiente tabla de frecuencias, halla la media.

X

fi

7 10 12

a aa 6a

10 En la tabla de datos: Nombre

Enrique Fidel César Nataly Vanessa Karina Manuel

Altura, en cm.

Peso, en kg.

140 120 125 135 130 115 110

40 35 33 37 38 32 30

Halla: a) Altura media de los 7 niños b) Peso medio de los 7 niños

CAPÍTULO

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

23

¿Cuál es la diferencia entre permutaciones y variaciones?

La planificación de un viaje vía aérea implica considerar líneas áreas, horarios, precios, etc.

2

Ten Presente FACTORIAL DE UN NÚMERO

¿Cuántos productos de dos números se obtiene?

Con las cifras

3

4

5

3 elementos

¿Cuántos números de dos cifras se obtiene?

3×4 = 12

34

35

3×5 = 15

43

45

4×5 = 20

53

54

3 combinaciones

6 permutaciones

No interesa orden

Interesa orden

COMBINACIONES

PERMUTACIONES

Las combinaciones son los diferentes agrupamientos que se pueden realizar con un número de elementos. El número de combinaciones de n elementos tomándolos de r en r está dado por:

Las permutaciones son los diferentes ordenamientos que se pueden realizar con un número de elementos. El número de permutaciones de n elementos tomándolos de r en r está dado por:

Crn =

n! 1 ″ r″ n (n − r )! r !

P(n, r ) =

n! 1 ″ r″ n (n − r )!

Problema 2 Seis amigos encontraron, en un consultorio médico, un sillón de 4 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 4 de ellos en el sillón?

Solución: Cada apretón de mano es una combinación de dos personas. No se tiene en cuenta el orden.

Solución: Una vez elegido 4 de ellos pueden ubicarse de distintas maneras, cada una de las cuales es una permutación de 4 elementos. El número total son las permutaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4:

Por lo tanto, el número de apretones es igual al número de combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2: 12 ! 10 !⋅ 11 ⋅ 12 C212 = = = 66 10 !⋅ 2 ! 10 !⋅ 2 Rpta.: 66

P(6 ; 4= )

n! = 1·2·3·...(n – 1)n • 4! = 1·2·3·4 = 24 • 5! = 1·2·3·4·5 = 4!×5 = 120 Propiedad:

n! = (n – 1)!n

PRINCIPIOS DE CONTEO Principio de adición Si un procedimiento se puede realizar de m maneras; otro segundo, de n maneras, y no se pueden realizar los dos simultáneamente, entonces cualquiera de ellos se puede realizar de m + n maneras. • En mi barrio don Álamo vende 3 variedades de arroz, doña Peta, 4 variedades, distintas a las de don Álamo. ¿Cuántas variedades de arroz puedo comprar? Respuesta:

IV BIMESTRE

Problema 1 En una reunión se encontraron 12 amigos y todos se saludaron con un apretón de manos. ¿Cuántos apretones de mano se dieron en total?

Sea n un número natural mayor que cero, entonces se define factorial de n, denotado por n!, como:

3 + 4 = 7 variedades

6 ! 720 = = 360 2! 2 Rpta.: 360

2

75

CAPÍTULO 23

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

variacioneS Consideremos las cifras 3; 5; 7; 8 y 9. Con estas cifras formemos números, sin repetir las cifras. Algunos autores consideran permutaciones sólo cuando se toman todos los elemento a la vez y llaman variaciones cuando se considera solo una parte.

Permutaciones Números de 5 cifras diferentes: Variaciones Números de 3 cifras diferentes: V(5 ; 3) =

5! 120 = = 60 (5 − 3)! 2 !

Problema 4 De cuántas maneras diferentes pueden ocupar los tres primeros lugares 8 atletas en una carrera de 100 metros planos.

Solución:

Solución: Del total de 8, sólo los 3 primeros lugares serán considerados.

P(4)

×

P(4)

3! × 4 6 × 24 = 144

P(3)

4! × 3! 24 × 6 = 144

Cada forma de llegar es un ordenamiento, entonces pueden llegar de: V(8 ; 3) =

Total = 144 + 144 = 288

Ten Presente

P(5) = 5! = 120

Problema 3 Tres niñas y cuatro niños juegan a sentarse de distintas formas en una banca de 7 asientos, pero siempre juntos los niños y las niñas entre sí.

P(3) ×

2

5 !⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 8! = 336 = 5! (8 − 3)!

Principio de multiplicación Si un procedimiento 1 se puede realizar de m maneras; un procedimiento 2, de n maneras y cualquiera de las formas de realizar 1 puede ser seguido por cualquiera de las formas de realizar 2, entonces el procedimiento 1 seguido de 2 se puede realizar de m×n maneras diferentes. • En un restaurante ofrecen 3 tipos de café y 4 tipos de emparedados. ¿De cuántas formas puedo desayunar con un café y un emparedado?

Respuesta: De 3×4 = 12 maneras

Rpta.: 336

Rpta.: 288

Actividad 23 1

¿De cuántas maneras se puede elegir 2 personas de un total de 8 para ejecutar un trabajo?

2

¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una banca de 5 asientos?

IV BIMESTRE

3

4

5

¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir un comité de 4 miembros de un total de 12 candidatos? En una tienda hay 6 modelos de polos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir tres polos de modelos diferentes? ¿Cuántas señales distintas de 4 banderas se pueden hacer con 9 banderas de diferentes colores?

76

2

6

De un grupo de 6 candidatos se debe seleccionar dos personas para ocupar los cargos de Director y Sub director. ¿De cuántas maneras se puede realizar la solución?

7

¿Cuántos números de 3 cifras terminan en cifra 5?

8

¿Cuántos surtidos de dos frutas se puede preparar con 6 tipos distintos de frutas?

9

¿Cuántas palabras diferentes (sin importar su sentido) se pueden formar con las letras de la palabra “AMOR”

10 En una carrera de 100 m planos, participan 8 corredores. ¿De cuántas maneras diferentes pueden obtener 2 medallas?

CAPÍTULO

PROBABILIDAD

24

EXPERIMENTO ALEATORIO ¿Cuál es la diferencia entre un evento simple y uno compuesto?

¿Nacen más hombres o más mujeres en el mundo?

Este auto se dirige de Arequipa a Juliaca. ¿Se podría determinar con qué tipo de vehículo se cruzará primero en cuanto salga de la ciudad? ¿Se puede determinar en qué tiempo llegará a su destino si mantiene una rapidez promedio de 50 km/h? EXPERIMENTO ALEATORIO

EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO

No hay forma de determinar con qué tipo de vehículo se cruzará primero, puede ser con otro auto, un ómnibus, un camión, etc.

La distancia de Arequipa a Juliaca es 250 km. Si mantiene la rapidez de 50 km/h, en cada hora avanzará 50 km, y estará arribando a Juliaca en 5 horas.

Es igual que cuando se lanza una moneda al aire. No hay forma de saber si saldrá cara o sello. Un experimento aleatorio es un proceso cuyo resultado no se puede precisar, sino sólo hacer una lista de posibilidades.

En este caso es posible predecir la hora en que el auto llegará a su destino. Un experimento determinístico es aquel cuyo resultado se puede prever.

Matemática en la vida

125304

DETERMINACIÓN DEL SEXO

Cromosoma femenino XX XX

Cromosoma masculino XY

XX XX

XY XY

50%

50%

Las probabilidades de que de un embarazo nazca hombre o mujer es la misma.

ESPACIO MUESTRAL Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Solución: El dado tiene 6 caras numeradas y al lanzar puede salir cualquiera de ellas. Espacio muestral: S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Problema 2 En una caja se introducen 5 fichas numeradas del 1 al 5. Se extraen dos fichas de la caja y se suman los números de las dos fichas. ¿Cuáles son las sumas posibles?

IV BIMESTRE

Problema 1 ¿Cuál es el espacio muestral del lanzamiento de un dado?

Solución: La menor suma: 1 + 2 = 3 La mayor suma: 4+ 5 = 9 Sumas posibles: S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

2

77

CAPÍTULO 24

PROBABILIDAD

evento o SuceSo Supóngase que lanzamos un dado con la intención de que salga par. ¿En qué casos estaremos satisfechos? En los casos en que el resultado sea uno de los elementos del conjunto: A = {2; 4; 6} Un evento o suceso es un subconjunto del espacio muestral.

A = {2; 4; 6} S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Todos los resultados posibles

Problema 3 Se lanzan dos monedas. Halla el número de elementos del espacio muestral y del evento “Sale igual en ambas monedas” Solución:

C S

Resultados elegidos

CC Espacio muestral CS S = {CC, CS, SC, SS}

C S

SC SS

Evento A = {CC, SS}

∴n(S) = 4; n(A) = 2

Lanzar un dado, también es un evento simple. Ya hemos visto su espacio muestral.

Problema 4 En una urna hay 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 celestes. Se extrae una bola al azar y se anota su color. ¿En cuántos casos el color de la bola no es rojo?

No es rojo No es rojo ∴ No es rojo en 5 + 6 = 11 casos Rpta.: 11

Rpta.: 4 y 2

probabilidad de un evento De esta caja se extraerá una bola sin ver. Al que acierte el color de la bola extraída se le premiará con mil soles. ¿Por qué color apostaría quien quiera ganar el premio?

IV BIMESTRE

Si bien no se puede asegurar el color de la bola extraída, por ser un experimento aleatorio, quien quiera ganar el premio apostará por el color rojo. La probabilidad no asegura que saldrá el rojo, pero indica que el que apuesta por el color rojo tiene mayor posibilidad de ganar (de 7 contra 5). Probabilidad de un evento =

Número de casos favorables (Cf) Número de casos posibles (Cp)

En el ejemplo, hay 12 casos posibles (Cp) de la extracción de una bola, de las cuales, el que apuesta por rojo tiene 7 casos favorables (Cf).

78

S = {cara, sello}

EVENTO COMPUESTO Un evento compuesto consta de dos o más eventos simples. Lanzar una moneda y un dado es un evento compuesto. Su espacio muestral es la combinación de los dos espacios: Dado

Es rojo

C S

En el ejemplo:

EVENTO SIMPLE Lanzar una moneda es un evento simple. Los resultados posibles son:

Evento o suceso

Solución:

Sea C: sale cara S: sale sello

Ten Presente

• P(rojo) =

2

7 12

• P(verde) =

5 12

Moneda

Espacio muestral

2

1

2

3

4

5

6

C S

Hay un total de: 2×6 = 12 resultados posibles.

PROBABILIDAD

Problema 5 Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un múltiplo de 3. Solución: Resultados posibles del lanzamiento del dado:

Problema 6 En la sala de espera de un consultorio se encuentran 3 niños, 4 adultos y 5 ancianos. Si el médico llama a un paciente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que llame a un niño? Solución: Niños: 3 Adultos: 4 Ancianos: 5

• S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ Cp = 6 • Sale múltiplo de 3: A = {3; 6} ⇒ Cf = 2 ∴ P(A) = 2 = 1 6 3

Rpta.: 1 3

CAPÍTULO 24

2

Cp = total = 12 Cf = niños = 3

∴ P(niño) = 3 = 1 12 4

Rpta.: 1 4

probabilidad de eventoS independienteS Lanzar un dado y una moneda, son eventos independientes porque al resultado de uno no afecta el resultado del otro. Si de una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 verdes se saca una bola, y sin devolverla se vuelve a sacar otra, las dos extracciones son eventos dependientes. Por ejemplo, si en la primera extracción salió una bola roja, para la segunda extracción quedan menos bolas rojas. La probabilidad de un evento compuesto, que consta de dos eventos independientes, se calcula multiplicando la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo.

Si A y B son dos eventos independientes, entonces: P(A y B) = P(A) P(B)

Problema 8 Una urna contiene 4 bolas azules y 6 rojas. Se extraen dos bolas sin reponer. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

Solución:

Solución: La probabilidad es igual a la probabilidad de que salga roja en la primera extracción: P(A) y vuelva a salir roja en la segunda P(B).

La probabilidad que nos piden es igual a la probabilidad de que salga par en el dado: P(A), por la probabilidad de que salga cara en la moneda: P(B). 3 1 = 6 2 • P(B) = 1 2 • P(A y B) = P(A)×P(B) 1 1 1 P(A y B) = × = 2 2 4

• P(A) =

Rpta.: 1 4

3 • P(A) = 6 = 10 5 • Para la segunda extracción quedan 5 bolas rojas y 9 bolas en total: ⇒ P(B) = 5 9 ∴ P(2R) = P(A)×P(B) P(2R) =

3 5 3 1 × == 5 9 9 3

1. Probabilidad de eventos complementarios La probabilidad de dos eventos complementarios suman la unidad. Por ejemplo, si la probabilidad de que ocurra un accidente en un viaje es 1/100, entonces la probabilidad de que NO ocurra es 99/100.

P(A) + P(A′) = 1

2. Probabilidad de un evento seguro La probabilidad de un evento seguro es 1. Por ejemplo, la probabilidad de que salga una bola roja de una caja que contiene sólo bolas rojas es 1.

P(A seguro) = 1

3. Probabilidad de un evento imposible La probabilidad de un evento imposible es 0. Por ejemplo, la probabilidad de que salga una bola azul de una caja que contiene sólo bolas rojas y verdes, es cero.

P(A imposible) = 0

Rpta.: 1 3

2

79

IV BIMESTRE

Problema 7 Se lanzan una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado salga par y en la moneda, cara?

Ten Presente

CAPÍTULO 24

PROBABILIDAD

Eventos Excluyentes: • Supóngase que se elige al azar un número de entre los siguientes: 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18 ¿Cuál es la probabilidad de que salga menor que 13 o mayor que 16? 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18 3 2 P(>16) = P( 16) = + = 9 9 9 En el mismo ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que salga par o múltiplo de 3? Estos eventos no son excluyentes, porque hay números que son pares y a la vez múltiplos de 3. Se debe restar la parte común. o

10 12 16 14 18 5 9

6 2 P(P o 3 = ) + − == 9 9 9 9 3 5

3

Par

2

2 9

m(3) 15

17 11 13

3 9

Actividad 24 1

P(B): La probabilidad que caiga en un cuadro blanco.

Determina si es un experimento determinístico. 1. Lanzamiento de dos dados.

P(V): La probabilidad que caiga en un cuadro verde.

2. Lanzamiento de una moneda. 3. Soltar una moneda y ver si cae. 4. Averiguar el precio del pasaje a Huancayo en un terminal terrestre. 2

Ordene las probabilidades de menor a mayor. 5

En una caja hay 6 bolillas verdes y 10 azules. Se extrae al azar una bolilla. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de color azul?

6

De un grupo de alumnos, 6 varones y 9 mujeres, se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

7

Determina la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar.

8

Se han vendido 200 boletos de una rifa. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el premio mayor una persona que ha comprado 20 boletos?

9

¿Cuál es la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado?

Indica cuántos de los siguientes experimentos son aleatorios: 1. De una urna extraer una ficha sin ver. 2. Lanzamiento de un dado. 3. Lanzamiento de una moneda.

IV BIMESTRE

3

Determina el espacio muestral del siguiente evento. a) Lanzamiento de un dado. b) Lanzamiento de una moneda.

4

Una ficha se lanza al azar sobre el tablero mostrado.

10 Halla la probabilidad de obtener 2 sellos al lanzar 2 monedas. Siendo: P(A): La probabilidad que caiga en un cuadro amarillo. 80

2

CUADERNO DE TRABAJO

4

El CUADERNO DE TRABAJO 4, para el cuarto año de educación secundaria es complemento del libro de GEOMETRÍA 4 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & Yho S.A.C., ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra:

Cuaderno de Trabajo Geometría 4

Título de la colección:

Geniomatic Educación secundaria

Director Académico:

Hernán Hernández Bautista

Editores Responsables:

Hernán Hernández Bautista Anibal Trucios Espinoza Elvis Valerio Solari

Asesor Académico:

Diseño y Diagramación: Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Eduardo Tomas Granados Marcelo Corrección de Estilo:

Victor Francisco Bautista

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas Web

Primera edición:

Setiembre 2015

Tiraje:

3000 ejemplares Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna Nº 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L.

Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial:31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14621 ISBN del libro: 978-612-4302-07-7

PRESENTACIÓN El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC de Cuarto Año de Secundaria de Editorial Ingenio & YHO S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc. El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados. Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Proyecto Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso. El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando: EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad. TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes. REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades.

4

3

Los ejercicios de este grupo son para ampliar, reforzar, complementar, profundizar y detallar los contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios. En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes. RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”. Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares. En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias. La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica.

EDITORIAL INGENIO & YHO S.A.C.

4

4

GEOMETRÍA 4 TEMAS

CAPÍTULOS

N° PÁGINA

Capítulo 01

TRIÁNGULOS I

7

Capítulo 02

TRIÁNGULOS II

10

Capítulo 03

POLÍGONOS

14

Capítulo 04

CUADRILÁTEROS

17

Capítulo 05

CIRCUNFERENCIA I

21

Capítulo 06

CIRCUNFERENCIA II

25

Capítulo 07

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

28

Capítulo 08

PROPORCIONALIDAD

32

Capítulo 09

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

36

Capítulo 10

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

39

Capítulo 11

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

43

Capítulo 12

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

46

Capítulo 13

ÁREA DE REGIONES POLIGONALES

50

Capítulo 14

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES

53

Capítulo 15

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

57

Capítulo 16

ÁNGULOS TRIDIMENSIONALES

61

Capítulo 17

POLIEDROS

64

Capítulo 18

PRISMA

68

Capítulo 19

PIRÁMIDE

71

Capítulo 20

CILINDRO CIRCULAR RECTO

75

Capítulo 21

CONO CIRCULAR RECTO

78

Capítulo 22

ESFERA

82

Capítulo 23

TEOREMA DE PAPPUS - GOULDING

85

Capítulo 24

PLANO CARTESIANO

89

CLAVE DE RESPUESTAS

92

4

5

6

4

capÍtulo

01

TRIÁNGULOS I 1

En el triángulo ABC, calcula  +  + q + y, si  + q = 100.

A) 10º

y

B

A) 180º

4 En la figura calcula x. B) 20º

B) 380º

C) 30º

C) 280º

D) 40º

D) 360º E) 260º

2

2x

80°

130°

x

6x

E) 50º C

A

En el siguiente triángulo se traza el segmento BE. ¿Qué denominación tiene? B A) Altura

5 En la figura calcula x. A) 40º B) 50º

B) Mediana

C) 60º

C) Bisectriz

D) 70º

D) Bisectriz y mediana E) Mediana y altura

A

b

E

b

E) 80º

C

110°

GEOMETRÍA

En el siguiente triángulo, I es el incentro, calcula x. B) 100º

E) 140º

Si O es ortocentro, calcula x. A) 220º

120°

C) 140º

C) 110º D) 120º

6

B) 240º

°

A) 90º

20

3

I x

D) 120º

O

E) 320º

x

4

7

EDI TORI AL I NGENI O

7 En la figura, el segmento DE es una mediatriz, calcula q. D

A) 20º

Si el punto E es excentro de ABC, calcula x.

C) 40º

D) 80º

D) 50º

E) 90º E

Si el punto E es excentro de ABC, calcula x. B

E

B) 25º

x

C) 35º

50°

A

C

10 En el siguiente triángulo calcula x. A) 5° B) 10°

40° A

25°

x

D) 20° E) 25°

130°

110°

C

GEOMETRÍA

E) 55º

E

x

C) 15°

D) 45º

60°

B) 60º

120°

C) 70º

A) 15º

B

A) 50º

B) 30º

E) 60º

8

9

3 En la figura calcula

Tarea

3m

el valor de m. 1 En la figura calcula  +  + g. 6m

40

°

2 En la figura calcula el valor de .

4

x D

A

8

B

4 En la figura, calcula el valor de x.

56°

E 78°

C

EDI TORI AL I NGENI O

REFORZANDO

NIVEL

I

1 En un triángulo equilátero, calcula la medida del ángulo formado por dos bisectrices interiores. A) 100º D) 130º

B) 110º

C) 120º E) 150º

NIVEL

REFORZANDO

II

6 En la figura, calcula el valor de . A) 16° B) 26° C) 36° D) 46° E) 56°

180º

2 En la figura calcula el valor de q. A) 30°

7 En la figura calcula el valor de x.

B) 37° C) 45°

A) 31°

D) 53°

B) 32°

E) 60°

C) 33°

4x x

D) 35° E) 36° 3 En un triángulo ABC, las bisectrices externas de los ángulos A y C se intersecan en E; tal que mAEC = 12°. Calcula la medida del ángulo ABC. A) 118º D) 156º

B) 120º

C) 124º E) 130º

8 En la figura calcula m. A) 15°

m

B) 16° C) 17° D) 18°

A) 45º D) 75º

B) 55º

C) 65º E) 85º

E) 19°

6m

9 En la figura, el triángulo ABC es equilátero. Calcula x. B A) 55° B) 65°

5 En un triángulo ABC se traza la altura BH y la bisectriz del ángulo ABC. Halla el ángulo formado por la bisectriz y la altura BH, si mA – mC = 40°. A) 20º D) 50º

B) 30º

C) 40º E) 60º

C) 75°

50°

D) 85° E) 95°

x x C

A

10 En un triángulo isósceles ABC, AB = BC. Sobre los lados AB y BC se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que mPQB = 120° y PQ = QC = AC. Calcula mQPB. A) 20º D) 50º

B) 30º

C) 40º E) 60º

4

9

GEOMETRÍA

4 En un triángulo acutángulo ABC se ubica el ortocentro O, donde mAOC = mB + 70º, calcula mB.

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

13 Halle q.

III

A) 25° B) 35°

11 En la figura, calcula x.

120°

70°

C) 45°

A) 12°

y

D) 55°

10x

B) 22°

x x

y

E) 65° 30°

C) 32° D) 42°

14 En la figura calcula f.

E) 52°

A) 15°

36°

B) 18° 12 En un triángulo ABC, calcula la medida del ángulo que forman la ceviana BM y la bisectriz exterior BQ, si mBAC – mBCA = 110° y mBMC = 80°. A) 55º D) 45º

B) 20º

C) 20°

94°

D) 21°

112°

E) 22° 15 En la figura halla x.

C) 30º E) 25º

70°

A) 60° B) 90° x

C) 80° D) 70°

50°

E) 100°

GEOMETRÍA

capÍtulo

02 1

TRIÁNGULOS II

Dados los triángulos ABC y MNP, calcula x + y. A) 26

B

N

A) 12

B) 21

θ

θ

B) 11

10

a

C) 24 D) 20 E) 25

10

2 En la figura calcula MB.

A

α

y

4

x C M

a 15

A

45º

8

C) 10 D) 9

α

C

P

E) 8

M

B

R

EDI TORI AL I NGENI O

6 En el gráfico calcula θ.

3 En la figura calcula ED. B

A) 10 2

E

B) 10

C) 20º

D) 10 3 A

60º

60º 20

D) 45º/2

C

D

4 En la figura, L es mediatriz de AC y AB = 10 m. Calcula TB. A) 16 m

B

L

B) 12 m

A

α

3α

C

2θ

C

D

7 En la figura calcula AC, si AP = 12. A) 18

B

B) 20

4θ P

P

E) 26

11θ

3θ

3θ

A

8 Del gráfico, C es circuncentro del triángulo ABD. Calcula θ. B

A) 30º

B) 6 C) 5

Q A

θ

B) 25º

B

C

C) 20º C

C

D) 15º E) 10º

A

40º 30º

D

H

4

11

GEOMETRÍA

5 En la figura PQ = AB = 12. Calcula BQ, si BC = 8.

D) 4 E) 3

A

D) 24

D) 10 m

A) 8

E) 25º

C) 22

T

C) 14 m E) 13 m

θ

B) 37º/2

C) 15 E) 18

B

A) 18º

EDI TORI AL I NGENI O

9

10 El triángulo ABC tiene una mediana BM. En el triángulo ABM trazamos la mediana AP que corta a BC en R (P en BM y R en BC). Si AR = 12 m, calcula PR.

Si HC = 3 m, calcula BC. H

A) 12 B

B) 10 C) 9

θ

D) 8 E) 6

A

2θ

θ

C

Tarea

GEOMETRÍA

1 En un triángulo rectángulo ABC, mABC = 90º, siendo M punto medio de AC, sobre AB se ubica el punto R. Si AR = 12 m, RB = 2, BC = 10 m. Calcula mARM.

2 Los ángulos BAC y ACB de un triángulo ABC miden 53º y 45º, respectivamente. Si AB = 15, calcula AC.

NIVEL

REFORZANDO

I

1 En la figura, AR = QC y AP = 10. Calcula RQ. B

A) 10 B) 12

12

B) 10º

4

4 En los lados AC y AB de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican los puntos P y T respectivamente; tal que PA = PC, TA = BC = 4 y mPAT = 15º. Calcula la medida del ángulo PTB.

3 En la figura, AB = BR y BC = BS. Calcula x. S

A) 90º

R

B) 100º

60º

B

60º

x

C) 110º E) 130º

50º

C

R

2 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la bisectriz interior AM, tal que MC = 2(BM). Calcula la medida del ángulo interno en C. A) 30º D) 36º

3 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BN, tal que mNBC = 12º, mNAB = 34º y BN = 16. Calcula AC.

C

A

º

A

E) 15

C) 4 E) 2

50

50º

D) 14

B) 5

D) 120º Q

P

C) 13

A) 6 D) 3

C) 20º E) 60º

4 En el gráfico mostrado MN = NP; AC = 2(CP) y NC = 2 m. Calcula BN. B

A) 14 m B) 2 m

M

C) 6 m

N

D) 5 m E) 8 m

A

C

P

EDI TORI AL I NGENI O

5 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mC = 36º. Sobre AC se ubica el punto F, tal que BF = 12 m y mABF = 18º. Calcula AC. A) 21 D) 24

B) 22

A)

NIVEL

II

6 En la figura, mABC = 90º, AB = 5 m y AH = 3 m. Calcula FN. A) B) C) D)

B

2m 3m 4m 1m

E) 2,5 m

F

N

A

18 20 22 24

E) 26

α α

C 45º

A

N

B

B) 8

5 3

C)

3 4

D)

C) 10 E) 14

9 En un triángulo rectángulo isósceles ABC, mB = 90º, por B se traza una recta exterior al triángulo. Luego se traza AP y CQ perpendiculares a dicha recta. Si AP = 4 y CQ = 10, calcula PQ. B) 15

C) 16 E) 18

B) 110º

B) 24º

3 2

C) 90º E) 105º

13 Desde el vértice B de un triángulo ABC se trazan BP y BQ, perpendiculares a las bisectrices exteriores de los ángulos A y C, respectivamente. Si PQ = 10 m, calcula el perímetro del triángulo ABC. A) 10 D) 20

B) 15

C) 18 E) 25

14 En la figura MN = 3 m. Calcula la altura BH del triángulo ABC. B

A) 12

α

B) 9 C) 8 E) 5

N 2α

A

M C

15 En la figura, L es mediatriz de AC, AB = 4 m y AC = 14 m. Calcula MS. B

A) 3

L

B) 4 C) 5

10 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH y desde P, un punto ubicado en HA se traza la perpendicular PQ a BA, Q en AB. Si los triángulos AQP y PHB son congruentes, determine la mHBC. A) 18º D) 36º

E)

12 Sobre los lados AB y BC de un triángulo ABC se construyen los triángulos equiláteros ABE y BFC. Calcula el ángulo que forman AF y CE al cortarse.

D) 6

A) 14 D) 17

5 2

S

D) 6 E) 7

M

A

α α

C

C) 30º E) 15º

4

13

GEOMETRÍA

8 En un triángulo isósceles ABC; AB = BC; se traza la ceviana interior BR y BF // AC (F exterior relativo a BC); si AR = BF y FC = 8. Calcula BR. A) 6 D) 12

B)

C

H

M

2 3

A) 120º D) 95º

7 En la figura, AM = 10 y CN = 12. Calcula MN. A) B) C) D)

III

11 En un triángulo ABC se traza BM, perpendicular a la bisectriz interior del ángulo A. Si N es el punto medio de BC, AB = 5 m y AC = 8 m, calcula MN.

C) 23 E) 25

REFORZANDO

NIVEL

REFORZANDO

capÍtulo

03 1

POLÍGONOS

Indique cuáles de la siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I.

4

El heptágono tiene nueve lados.

¿Cuál es el polígono regular donde 6 veces la medida de su ángulo interior equivale al cuadrado de la medida de su ángulo exterior? A) Octógono C) Decágono D) Undecágono

II. En todo polígono convexo al menos hay un ángulo interno cuya medida es mayor que 180º.

B) Nonágono E) Dodecágono

III. En todo polígono convexo, el número de vértices es igual al número de ángulos internos. A) VVV B) VVF C) VFF

2

D) FFV

E) FFF

¿Qué polígono es aquel donde el número de sus diagonales es igual al número de sus lados? A) Decágono C) Heptágono D) Hexágono

5

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

B) Octógono E) Pentágono

En todo polígono convexo la suma de las medidas de todos sus ángulos externos es igual a 360º.

II. En un decágono convexo hay por lo menos doce ángulos externos.

GEOMETRÍA

III. A un polígono no convexo, una recta secante siempre interseca en tres puntos como máximo. A) VVV B) FFF

3

Si la medida de cada uno de los ángulos internos de un polígono regular es igual a 5 veces la del ángulo externo adyacente, ¿de qué polígono regular se trata? A) Heptágono C) Decágono D) Dodecágono

14

B) Nonágono E) Pentágono

4

6

C) VFV D) VFF

E) FFV

En un polígono equilátero cuyo lado mide 4, el número de sus diagonales resulta numéricamente igual al triple del número que expresa el perímetro de la región limitada por el polígono. Calcula el perímetro del polígono. A) 124 D) 100

B) 108

C) 104 E) 96

EDI TORI AL I NGENI O

7

Calcula el número de diagonales de un polígono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ángulo central equivale a 9 veces la medida de su ángulo interior. A) 24 D) 56

8

B) 35

C) 42 E) 65

Desde 10 vértices de un polígono se pueden trazar 84 diagonales. Calcula el número total de diagonales del polígono. A) 50 D) 90

B) 70

C) 60 E) 80

9

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del polígono cuyo número total de diagonales es 119? A) 2400º D) 2600º

B) 2100º

C) 2500º E) 2700º

10 Si el número de lados de un polígono equiángulo aumenta en 5, el número de sus diagonales aumenta en 50. Calcula la medida del ángulo exterior. A) 60º D) 30º

B) 50º

C) 40º E) 36º

GEOMETRÍA

Tarea 1 La suma de las medidas de los ángulos internos, centrales y externos de un polígono regular es igual a 2160º. Calcula la medida de su ángulo central.

3 ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número de diagonales aumenta en tres al aumentarse en uno el número de lados?

2 Desde (n – 4) vértices consecutivos de cierto polígono se trazan 32 diagonales. Calcula n.

4 Desde 5 vértices consecutivos de un polígono equiángulo se trazan 54 diagonales. Calcula la medida del ángulo exterior.

4

15

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Dos ángulos de un pentágono convexo miden 120º cada uno. Calcula la medida de los ángulos exteriores de los otros tres ángulos si se sabe que son iguales entre sí. A) 60º D) 75º

B) 65º

α αα α

B) 125º C) 135º D) 140º

α

E) 150º

α

α α α

GEOMETRÍA

B) Hexágono E) Dodecágono

B) 6

C) 7

D) 8

B) 126

REFORZANDO

E) 9

C) 104 E) 65

NIVEL

16

B) Decágono E) Icoságono

4

B) Octógono E) Hexágono

A) Octógono C) Hexágono D) Nonágono

B) Decágono E) Undecágono

Un polígono regular es siempre convexo.

II. La medida de un ángulo exterior de un dodecágono es igual a 36º III. La intersección de las mediatrices de al menos de dos de los lados de un polígono determina el centro del polígono. A) FFF D) VVV

B) FFV

REFORZANDO

II

6 En un polígono regular, el ángulo central mide la sesentava parte de la suma de los ángulos internos. El nombre del polígono es: A) Nonágono C) Undecágono D) Dodecágono

A) Triángulo C) Cuadrilátero D) Pentágono

I.

5 ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono cuyos ángulos internos suman 1980º? A) 154 D) 94

C) 70º E) 90º

10 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

4 Calcula el número de lados que tiene un polígono regular, si la medida de cada ángulo exterior es 72º. A) 5

B) 60º

9 Si a un polígono equiángulo se le duplicara el número de sus lados, la medida de su ángulo interior aumentaría en 18º. ¿Cómo se llama el polígono?

3 ¿En qué polígono se cumple que la suma de las medidas de sus ángulos internos excede en 1080º a la suma de las medidas de sus ángulos externos? A) Octógono C) Decágono D) Heptágono

A) 50º D) 80º

8 ¿Cuál es el polígono convexo cuya suma de las medidas de sus ángulos internos se triplica al duplicar el número de sus lados?

C) 70º E) 80º

2 En el siguiente gráfico calcula el valor de α. A) 120º

7 Los ángulos interiores B, C y D de un pentágono convexo ABCDE miden 80º, 150º y 50º. ¿Qué ángulo forman las prolongaciones de BA y DE?

C) FVV E) VFF

NIVEL

III

11 Calcula el número de diagonales trazadas desde siete vértices consecutivos en el icoságono convexo. A) 100 D) 105

B) 102

C) 104 E) 110

12 ¿Cuál es el polígono convexo donde el número total de sus diagonales excede en 42 al número de sus vértices?

EDI TORI AL I NGENI O

A) Octógono C) Decágono D) Undecágono

B) Nonágono E) Dodecágono

13 ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyo ángulo interior disminuiría en 6º, si sólo tuviera los 4/5 de los lados que tiene? A) 15 D) 12

cuyo número de lados es las 2/3 partes del polígono original. Calcula el número de lados de dicho polígono.

B) 18

C) 20 E) 25

A) 12 D) 18

B) 14

C) 15 E) 20

15 Desde los puntos medios de tres lados consecutivos de un polígono regular se han trazado 39 diagonales media. Calcula la medida de un ángulo central. A) 36º D) 26º

14 Al disminuir en 10 cada ángulo interior de un polígono regular resulta otro polígono regular

B) 32º

C) 30º E) 24º

capÍtulo

1 En la figura calcula el valor de ρ. A) B) C) D) E)

12° 11° 10° 9° 8°

8ρ

7ρ

2

9ρ

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

36°

Si los cuatro lados de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

II. Las medidas de los ángulos internos de un rombo son iguales. III. Romboide es el paralelogramo propiamente dicho. A) VVV D) VFV

B) VVF

C) FFF E) FFV

4

17

GEOMETRÍA

04

CUADRILÁTEROS

EDI TORI AL I NGENI O

3 En la figura ABCD es un paralelogramo LM = MC, AL = 6 y BO = OD. Calcula MO. B

A) 5

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

C

Las diagonales de un rombo son congruentes.

M

B) 7/2 C) 4

6

II. Las diagonales de un rectángulo son perpendiculares entre si.

O

L

D) 5/2 E) 3

III. Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares y congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

D

A

A) VVV D) FFF

4

En un trapecio ABCD (BC // AD), M es punto medio de AB y N punto medio de AD. Si CN biseca a DM en P y PC = 15 m, calcula PN.

GEOMETRÍA

A) 2 D) 5

B) 3

1 3/2 2 5/2 3

B M x

C) VVF E) FVF

Un cuadrilátero convexo ABCD, donde BC = CD, la mediatriz de CD pasa por A. Si mDAC = 2(mCAB) y mABD = 110°, calcula mDBC. A) 18° D) 36°

C) 4 E) 6

5 En la figura, M es punto medio de AB. Calcula x. A) B) C) D) E)

7

B) VFF

B) 24°

C) 30° E) 40°

8 En la figura se muestra el romboide ABCD y los cuadrado, CDEF (centro O) y ABGH. Calcula OM si GC = a y HM = MF.

6

G B

N

2 A

C M

H

F

A

O D E

A) a

18

4

B)

a 4

a 2 C) 2

D)

a 2

E)

a 3

EDI TORI AL I NGENI O

9

Se une el punto medio M del lado CD del rectángulo ABCD con el vértice B y el punto medio N de BM con el vértice A. Si el ángulo CBM mide 37°/2, ¿cuánto mide el ángulo NAD? A) 60° D) 45°

B) 30°

C) 50° E) 40°

10 En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B se traza la altura CH y se pide calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AH y CD sabiendo que BD = 12 m. A) 8 m D) 4 m

Tarea

B) 10 m

C) 6 m E) 9 m

1 En un triángulo equilátero ABC, de medianas AM y BN y perímetro 24 m, calcula la distancia entre los puntos medios de AM y BN.

3 El perímetro de un trapecio isósceles es 80. Calcula la longitud de su lado no paralelo, si las longitudes de su base menor, base mayor y del lado no paralelo son entre sí como 4; 6 y 3, respectivamente.

2 En un trapezoide ABCD calcula la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos exteriores A y D, si las medidas de los ángulos internos B y C suman 200°.

4 En un trapecio, la base media mide 16 cm y el segmento que une los puntos medios de las diagonales 4 cm. Calcula las longitudes de sus bases.

1 En la figura calcula el valor de ω. A) 102° B) 106°

x

D) 45°/2 ω – 68°

E) 116°

120°

B) 36°

P x

C) 40° α

α

E) 24°

A

D

4 Calcula la longitud de la mediana de un trapecio rectángulo sabiendo que la altura mide 16 m, el lado no paralelo 20 m, y la longitud de una de las bases es el doble de la otra.

2 En la figura calcula x. A) 32°

C

C) 18°

92° ω

M

B

B) 37°/2

ω

D) 112°

E) 44°

3 En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula x. A) 15°

C) 108°

D) 42°

I

4x

A) 16 5 D) 16 θ

B) 18

C) 18 5 E) 20 5

θ

4

19

GEOMETRÍA

NIVEL

REFORZANDO

EDI TORI AL I NGENI O

5 En un trapezoide ABCD, calcula el menor ángulo formado por las bisectrices de los ángulos internos A y C, si los ángulos internos, B y D miden 110° y 70°, respectivamente. A) 18° D) 25°

B) 20°

C) 22° E) 26°

10 En un trapecio rectángulo ABCD el ángulo D mide 60°. Sobre AD se toma el punto E de modo que BCDE resulta un paralelogramo. Calcula la razón entre las longitudes de la altura y del segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio ABCD. A) 2 3 D) 3/2

NIVEL

REFORZANDO

Trapecio es un cuadrilátero convexo cuyos lados opuestos son paralelos.

III. En un trapecio escaleno los lados laterales tienen longitudes diferentes.

C) 2 6

A) VVV D) FFF

E) 2 3

7 ABCD y CGFE son cuadrados cuyos lados miden 3 m y 5 m, respectivamente. Calcula el perímetro de la región AMNP. A) 36

G

M

N

GEOMETRÍA

B) 30 C) 32

B

C

F

D) 34 E) 38

A

D

E

P

8 En un trapecio ABCD de 12 m de altura, mBAD = 60° y mADC = 45°. Calcula la suma de las longitudes de los lados no paralelos. A) 6( 6 + 3) C) 24 D) 6( 3 + 2 2)

B) 8( 3 + 2) E) 3 6(1 + 2)

A) 16 cm D) 22 cm

B) 18 cm

C) 20 cm E) 24 cm

4

C

N P

D) 6 A

D

12 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

Trapezoide es un cuadrilátero convexo que no tiene ningún par de lados opuestos paralelos.

II. Dos ángulos internos de un trapecio son suplementarios. III. En todo trapecio sus diagonales son congruentes. A) VFV D) VFF

B) VVV

C) FVF E) FFF

13 En un trapecio isósceles la base mayor mide 100 cm y los lados no paralelos 50 cm. Si sus diagonales son perpendiculares a los lados no paralelos, determina la base menor. B) 50 cm

C) 40 cm E) 78 cm

14 En un paralelogramo ABCD (AB < BC), se traza AR (R en CD) que intersecta a BD en F. Si AB = 12 m y BF = 3FD, calcula DR. A) 3 m D) 6 m

20

M

B

B) 3 3

A) 60 cm D) 30 cm 9 ABCD es un trapecio y mBCD = 2(mBAD). Si el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 8 cm, calcula CD.

III

11 ABCD es un cuadrado donde PC = 2 3. Si M y N son puntos medios, entonces AC resulta: A) 4

C) VFF E) FVV

NIVEL

REFORZANDO

II. En todo trapecio la mediana es paralela a las bases.

B) VVF

C) 2 E) 1/2

II

6 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.

B) 3

B) 4 m

C) 5 m E) 7 m

EDI TORI AL I NGENI O

15 En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6. Si O es el centro del cuadrado y AM = MN = ND, calcula x.

A) 6 2

C

B

B) 2 5/3

O

C) 3 10/5 E) 3

P

x

D) 1,5 A

M

N

D

capÍtulo

05

CIRCUNFERENCIA I 1 En la figura, calcula la longitud de la flecha correspondiente al menor arco AB. A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5

3

La circunferencias de centros A, B y C son tangentes entre sí. Calcula el perímetro de la región ABC.

B

A) 20 6

5

A

C

B

B) 21 C) 22

A

12

D) 23 E) 24

GEOMETRÍA

2 En la figura calcula PT. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

4

C2E

7

D

P T

A

F B

Desde un punto E exterior a una circunferencia se trazan las rectas tangente ET y secante EAB, tal que T es punto de tangencia, AB diámetro de dicha circunferencia y AB = 2AE = 8. Calcula ET. A) 4 D) 4 3

B) 2 6

C) 5 E) 6

4

21

EDI TORI AL I NGENI O

 5 En el gráfico, AB // CD y EB // AD. Calcula mEC. A) 120° C) 40°

A x – 20°

D) 75°

C

B

B) 15°

140°– x

C) 16°

D

D) 18°

E) 80°

A

A) 63° B) 48°

A) 30°

T

B

B) 36

M A

P

E

B) 15 Q

C) 13 C R

E) 46

D) 12 E) 10

4

C

10 En la figura, el perímetro de la región ABC es 24 y AC = 7. Calcula el perímetro de la región CPF. A) 17

A

D) 44

N

R

P

7 En la figura P, Q y R son puntos de tangencia. Si AP = 24, calcula el perímetro de la región ABC. A) 48

x

Q P

D) 45° E) 53°

E) 27°

B

C) 37°

D) 33°

GEOMETRÍA

x

9 En la figura, CM = CN. Calcula x. B) 36°

° 27

O

C) 47°

22

2x

E) 20°

6 En la figura O es centro y T es punto de tangencia. Calcula mATP.

C) 40

Calcula x. A) 12°

E

B) 60°

8

A

B

Q

P C

F S

EDI TORI AL I NGENI O

Tarea

3 En la figura, AB = CD y BC + AD = 48. Calcula AB.

1 En la figura, T es punto de tangencia, r = 3 y ET = 4. Calcula el orden aproximado de w.

B

r P A ω T

2 En la figura, AB = 7; BC = 8 y AC = 9. Calcula AT.

4 En la figura, AC = 6 y el semiperímetro de la región ABC es 9. Calcula BM.

NIVEL

B

A) 24

I

A

B) 28

B) 14

a

C) 12

b

N

O

C

D) 36

C

P

A) 20

A

B) 18 D) 14

B

53° P

x A

C

P

3 En el gráfico, AB = 8. Calcula MN. M

A) 1/2 C) 3/2

H

N

M

D) 7/2

B) 1

B

E) 12

B) 5/2

E) 4

C) 16

GEOMETRÍA

2 En el gráfico, AB = 4; BC = 5 y AC = 6. Calcula x.

C) 3

18

5 Calcula BH, si A y B son puntos de tangencia y AH = 24.

E) 15

A) 2

B

E) 40

M

D) 10

C

N

C) 32 1 En la figura, a = b y MN = 10. Calcula PC.

M

T

A

C

T

REFORZANDO

D

E

B

A

A) 11

C

A

N

B 5

NIVEL

REFORZANDO

II

6 Calcula la longitud del inradio de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 y 12. A) 1 D) 5/2

B) 3/2

C) 2 E) 3

O

D) 2 E) 5/2

7 Calcula PA. A y B son puntos de tangencia. A) 12

4 Las circunferencias de los centros A, B y C son tangentes entre sí. Calcula el perímetro de la región ABC.

A

B) 14 C) 16

12

D) 18 E) 20

P

74° B

4

23

EDI TORI AL I NGENI O

8 En la figura B y D son puntos de tangencia, calcula CD. B

A) 6

B) 17

5

A

C) 5

M

C) 18

D) 4

D) 19

C

D

E) 3

B) 6

A) 2

C) 5

B) 3

D) 4

C) 4 A

P

C

A

13 En la figura, AD es diámetro y NC = 4. Calcula BF.

B

A) 7

N

E) 20

9 Si AB = 3 y BC = 4, calcula PQ.

E) 2

B

A) 16

15

B) 7

12 Si BM = 4 y BN = 6. Calcula el perímetro de la región ABC.

C

Q

D) 5 E) 6

C

N F

B

D

A

10 Calcula x en la figura. 14 En la figura calcula el perímetro del triángulo ABP, si el perímetro del triángulo APC es 20 (P, Q y S puntos de tangencia).

B

A) 68° B) 64°

47°

N

C) 79°

P

A) 30

D) 34°

77

E) 48°

A

°

x M

C

B) 28 C) 24

S

B A

P

D) 22

C Q

GEOMETRÍA

E) 20

NIVEL

REFORZANDO

III

11 En la figura calcula el valor de φ.

15 M, N y P son puntos de tangencia. Calcula x.

A) 62°

B) 36°

B) 66°

C) 37°

C) 70° E) 74°

N M

D) 45°

φ

D) 72°

B

A) 30°

E) 60° 32°

P A x C

24

4

capÍtulo

06

CIRCUNFERENCIA II  = 70°. Calcula x. 1 En la figura, mAD C

A) 120° B) 115°

 si mAB  + mDE  = 35° 4 En la figura, calcula la mEF  y mBC = 23°.

x

A

C) 14°

D) 105° D

E) 100°

P

A) 40°

20°

T

B) 45° A

B

O

D) 55° E) 60°

Q

θ θ

E B F

D) 15° E) 16°

 (P punAB es diámetro y PQ // AB, calcula mPT to de tangencia).

C) 50°

D

B) 12°

C) 110°

2

C

A) 10°

B

A

 A y F son puntos de 5 En la figura, calcula la mEF. tangencia. A) B) C) D) E)

A

70° 60° 50° 40° 30°

40°

x

E

60°

P

F

GEOMETRÍA

3 En el siguiente gráfico, AB // CD y  + mCD  = 260°. Calcula q. mAB

6 En la figura, ABCD es un paralelogramo. Calcula x.

A) 30°

A) 24°

B) 35°

B) 22°

C) 45° D) 50° E) 55°

B

A θ C

C) 20°

B

E) 16°

M

C

N

D) 18° D

x

4x

A

P

D

4

25

EDI TORI AL I NGENI O

7

La longitud del radio de la circunferencia ex inscrita relativa a un cateto de un triángulo rectángulo isósceles es 6. Calcule la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo. A) 6 3 D) 12

B) 9

9

C) 6 2 E) 4 6

En el triángulo ABC el radio de la circunferencia inscrita mide 3 y BQ = RS. Calcule BM. B A) 3 B) 4 Q C) 5 M D) 6 E) 7 A

8 En el gráfico calcula x.

10 En la figura, AC – PQ = 8 y TB = TC. Calcule AB. D A) 10 T B B) 9 P Q C) 8 D) 7 C E) 6 A

A) 70° 70°

B) 80°

C

S

R

x

C) 90° D) 100°

GEOMETRÍA

E) 110°

Tarea

3 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 y el radio de la circunferencia inscrita mide 2. Calcula el producto de los catetos.

1 De la figura, calcula el valor de f.

4φ

–φ

95°

2 A y B son puntos de tangencia, calcula x.

x

70° B

26

4



A

4 Calcula x en la figura.

x

80°

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

I

1 De la figura calcula el valor de λ.

B) 12°

5λ 54°

λ

D) 18°

A) 82°

B

B) 86°

40°

C) 90°

M

D) 94° E) 98°

E) 20°

N

x

A

58°

C

P

7 De la figura, T es punto de tangencia y O es el centro. Calcule x.

2 En la figura calcula el valor de θ. A) 10° B) 12°

II

6 Si M, N, P son puntos de tangencia, calcula x.

A) 10° C) 15°

NIVEL

REFORZANDO

A) 20° 7θ

C) 14° θ

D) 15° E) 18°

B) 40°

T

C) 60°

x 30°

D) 15°

O

E) 30° 3 De la figura calcula el valor de δ. 8 En la figura, M, N y P son puntos de tangencia. Calcula mABM.

A) 38° B) 40°

B

C) 42° D) 44°

4δ

114°+δ

E) 45°

A) B) C) D) E)

40° 50° 30° 60° 65°

N θ

A

M θ

40°

C

 4 En el gráfico calcula mAB.

GEOMETRÍA

P

9 En la figura, d = 14 + b. Calcule a.

A) 60°

B

B) 50°

C 50°

C) 40°

A) 14

10°

B) 13

D

D) 45° E) 65°

5 En la figura calcule a, si mBAC = mBFO.

C) 12

b

D) 11

B a A

E) 10

C

24

A

d

D

A) 53º/2 F

B) 36º

B

C) 45º/2 D) 30º E) 37º/2

A

x O

C

10 La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo miden 17 y 8 respectivamente. Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en dicho triángulo. 7 C) 3 A) 4 B) 2 D)

5 2

E) 2

4

27

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

R

A) 8( 3 – 1)

III

B) 8( 3 + 1)

B

C

A

D

C) 4( 3 – 1) 11 En la figura calcula q. A) 35°

D) 4( 3 + 1) E) 4 3

25°

B) 45°

14 En el gráfico calcula x.

C) 55° q

A) 55°

E) 75°

35 °

D) 65°

B) 50° C) 45°

12 Del gráfico calcula x.

E) 35°

A) 100°

100°

B) 110° C) 120°

15 En la figura ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia. Calcula la longitud del inradio del triángulo NBC.

x

D) 130°

120°

E) 140°

A) 2

GEOMETRÍA

capÍtulo

28

C) 3

T

D) 2

N

E) 3

A

4 D

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

07

La longitud de la mediana AM de un triángulo ABC es 18. Calcula la distancia del baricentro de dicho triángulo al vértice A. A) 6 D) 12

C

B

B) 1

13 En la figura se tiene al rectángulo ABCD y al triángulo equilátero ARD; si AB = 8, calcula BC + RC.

1

x

D) 40°

B) 8

4

C) 10 E) 14

2

En un triángulo PQR, se ubica el incentro I; tal que mIPQ mIQR mIRP = = . Calcula mIRQ. 3 1 2 A) 18° D) 14°

B) 16°

C) 15° E) 12°

EDI TORI AL I NGENI O

3

En un triángulo rectángulo la distancia entre el circuncentro y el baricentro mide 4. Calcula la longitud de la hipotenusa. A) 12 D) 22

B) 16

6

En un triángulo isósceles ABC, mABC = 130°, H: Ortocentro y O: Circuncentro. Calcula . H

A) 20°

C) 20 E) 24

B

B) 25° C) 30° D) 35° E) 40°

4

Si O es circuncentro del ABC, calcula x.

7

B

A) 80° B) 90° C) 95° D) 110° E) 100°

3x – 110°

x A

B) 3

E) 6

B) 10

C) 8 E) 4

H A

C

8

En un triángulo ABC se traza la altura BM en cuya prolongación se encuentra el ortocentro H de modo que HB = BM. Si la distancia del circuncentro O al lado AC es 6, calcula HM. A) 12 D) 21

B) 15

C) 18 E) 24

N

4

29

GEOMETRÍA

B

A) 2

D) 5

O

C

5 En la figura, H es ortocentro. Si AH = 5, calcula AN.

C) 4

C

En un triángulo ABC, se ubica el incentro I y el excentro E relativo al lado BC; tal que IE = 12. Calcula la distancia del vértice B al punto medio del segmento IE. A) 12 D) 6

O

α

A

EDI TORI AL I NGENI O

9 En la figura calcula x. A) 40°

α

B 80°

B) 36°

10 En el triángulo ABC, BM es mediana, entonces el valor de  es:

C x

B) 18°

C) 34° θ

D) 32° E) 30°

A

C) 16°

θ

2α

D

D) 15° E) 12°

Tarea 1 La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 72. Calcula la distancia del baricentro al vértice del ángulo recto. B

GEOMETRÍA

2 En la figura, H es ortocentro del triángulo ABC. Calcula f. A

REFORZANDO

2φ

H 48 – φ

NIVEL

C

I

1 En un triángulo acutángulo ABC, se ubica el ortocentro H; tal que 2mHCA + 3mHBA = 70°. Calcula mHCA. A) 12° D) 16°

B) 14°

C) 15° E) 18°

2 En un triángulo ABC, se ubica el excentro E relativo al lado AB; tal que mAEB = 72°. Calcula mACB. A) 30° D) 54°

30

B

A) 20°

B) 36°

4

C) 42° E) 60°

A

α

45°

2α

C

M

3 En la figura, I es incentro del triángulo ABC. Calcula q.

B 4θ

I

2θ 3θ

A

C

B

4 En la figura, el triángulo ABC es isósceles, H y O son a ortocentro y circuncentro, respectivamente. α Calcula .

70º H

a

O

A

C

3 En un triángulo inscrito el ortocentro H coincide con el centro de la circunferencia. Calcula la medida del ángulo ABC. A) 45° D) 90°

B) 37°

C) 60° E) 30°

4 ¿Cuál es la relación entre las longitudes del inradio y el circunradio en un triángulo equilátero? A)

3 4

D)

3 2

B)

4 3

C)

5 3

E)

1 2

EDI TORI AL I NGENI O

5 En la figura, H es ortocentro. Calcula x.

10 En la siguiente figura, calcula x.

A) 36°

B

A) 80º

B) 33°

x

B) 60º

C) 32°

H

C) 70º

D) 30° E) 28°

30°

A

II

6 En la figura, I es incentro y α + θ = 50°. Calcula x. A) 20°

NIVEL

REFORZANDO

III

11 En el gráfico, O circuncentro. Calcula BC. B

A) 8

θ

B) 25°

α x

E) 90º

C

NIVEL

REFORZANDO

90°+α

α

D) 100º

B) 9

C) 30°

I

C) 10

α

D) 35°

D) 11

x

E) 40°

E) 12

7 En un triángulo rectángulo un cateto mide 24 cm y el otro 18 cm. Calcula la distancia del ortocentro al baricentro. A) 10 cm D) 20 cm

B) 5 cm

C) 15 cm E) 30 cm

O

2 13° 1 17°

A

C

12 En un triángulo ABC se trazan las medianas BM y CN los cuales son perpendiculares entre sí. Si G es el baricentro, el ángulo GCA mide 60° y GN = 3 cm, calcula AG. A) 1,5 cm D) 9 13 cm

B) 3 13 cm

C) 6 13 cm E) 12 13 cm

8 En la figura, O es circuncentro. Calcula x. B

B) 40°

60°

C) 35°

O

13 En la figura, AB = BC. Calcula x. B

A) 18° B) 16°

D) 30° E) 45°

x

A

C

x

C) 15° °

B

40

K

A) Baricentro C) Circuncentro D) Ortocentro

C

D

50°

A

C

14 Si I es incentro del triángulo ABC, calcula x. A) B) C) D)

E

°

9 En la figura, ¿qué punto notable es K del ABC, si los triángulo AKD y BKE son equiláteros?

20

D) 12° E) 10°

A

GEOMETRÍA

A) 50°

B

15º 22,5º 30º 37º

E) 45º

I x

30°

A

a

M

C

a

B) Incentro E) Cevacentro

4

31

EDI TORI AL I NGENI O

15 En el triángulo ABC,  +  = 20°, H es ortocentro y O circuncentro. Calcula x. B A) 15° x B) 16° C) 18° H Q D) 20° α

θ

E) 22°

C

A

capÍtulo

08 1

PROPORCIONALIDAD 3 De la figura, halla x, si L1 // L2 // L3 .

Si L1 // L2 // L3 , calcula x. A) 7

A) 11

B) 8

2n

x

C) 9 D) 10

3n

12

L1

B) 11 2

L1

L2

C) 15

L2

L3

D) 11 3 E) 16

L3

b

x

3b 6a

22

GEOMETRÍA

E) 6

a

2 En la figura, L // AC. Calcula n. A) 12

L

10

8

D) 10

15

E) 8

A

4

En un triángulo ABC, mB = 90, AB = 12, BC = 8, se traza la mediana AN y la bisectriz BM que se intersecan en O. Calcula (AO)(ON). A) 30 D) 15

B

C) 15

32

F

E

B) 14

4

n

C

B) 20

C) 24 E) 48

EDI TORI AL I NGENI O

5

En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior del ángulo B que interseca a la prolongación del lado AC en el punto T, tal que TC = 12, TA = 18 y AB = 12. Calcula BC. A) 7 D) 10

6

B) 8

C) 9 E) 6

B) 12

Dos circunferencias son tangentes interiormente en el punto T. En la circunferencia mayor se trazan las cuerdas TB y TD que intersectan a la otra circunferencia en los puntos A y C, tal que AB = 4, TC = 6 y CD = 5. Calcula AT. A) 3 D) 4,8

En la bisectriz interior BN de un triángulo ABC se ubica el incentro I, tal que IB = 2IN y AB + BC = 28. Calcula AC. A) 11 D) 14

8

C) 13 E) 15

B) 3,6

C) 4 E) 5

9 En la figura, PM // BQ, MQ // AB , AM = 3 3 y

P

Q

MC = 3. Calcula MF. A

4

E) 15

A

2 3 5

3 2

3 5

E)

4 3 5

R Q

M 6 T

C)

S

calcula PQ.

8

D) 14

D)

B)

9

L

C) 13

3 3 2

10 Si QR = 2 y RS = 6, B

B) 12

A)

F

C

M

GEOMETRÍA

7 En la figura calcula AT. A) 10

B

5

A

P C

A)

5 2

B) 3

C)

7 2

D) 4

E)

4

9 2

33

EDI TORI AL I NGENI O

Tarea

3 Si m // n , 6PQ = 11QM y RM = 4, calcula TM.

1 De la figura calcula x,

A P

si MN // BC.

6

x–2

M N

M x–4 B

2 En un triángulo ABC; AB = 8, BC = 6, AC = 5. La bisectriz exterior que parte de B interseca a la prolongación de AC en F. Calcula CF.

NIVEL

I

B) 8

y

C) 9 E) 6

A

A) 8

10

20 C

L 5

4 A

GEOMETRÍA

C) 10 D) 12

A) 12 C) 14

d

D) 15

L1

x y

E) 16

L3 L4

A) 10 a

C) 14

18

D) 16

L1

14

L2

REFORZANDO

A) 6 D) 12

4

L4 z

L5

NIVEL

II

B) 8

C) 10 E) 9

7 Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC miden 9; 18 y 12, respectivamente. La bisectriz exterior del ángulo B interseca en P a la prolongación del lado CA, tal que PA = y. Calcula y. A) 9 D) 14

34

4d

L3

y

21 L3

E) 15

E) 14

3d

L1 L2

x 12

6 En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AM; tal que MB = 4, MC = 10 y AC = 15. Calcula AB.

3 En la figura, L1 // L2 // L3 , calcula a. B) 12

L2

D

L2

8

d

d 2d

B) 8

2 Si L1 // L2 // L3 // L4 , calcula x + y.

d

24

5 En la figura, L1 // L2 // L3 // L4 // L5 . Calcula x – y – z.

C

A) 6

B) 13

L1

10 P

E) 12 F

B

b

D) 11

E

D) 10

4 En la figura, L1 // L2 . Calcula b.

C) 10

B

n

4 En un triángulo ABC la mediatriz de AC interseca en N al lado BC y en E a la prolongación de AB. Si AB = 20 y CN = 5(BN), calcula BE.

B) 9

1 En la figura, L // AC. Calcula y. A) 7

Q

T

x–3 C

REFORZANDO

m

R

B) 10

C) 12 E) 15

EDI TORI AL I NGENI O

8 En un triángulo ABC, el segmento que une al incentro con el baricentro es paralelo al lado AC. Si AB = 6 y BC = 8, calcula AC. A) 5

11 B) 2

C) 6

13 D) 2

E) 7

1 2

D)

5 12

B)

3 5

A) 4 10R/15

C)

4 7

E)

6 13

10 Dos circunferencias son tangentes interiores en el punto B. En la circunferencia mayor se traza la cuerda AC que es tangente a la otra circunferencia en el punto Q. Si AB = 7, BC = 9 y AC = 8. Calcula AQ. A) 4

D)

5 2

E)

O

R

5R/3

13 Dos circunferencias de radios cuyas longitudes son 3 y 8, son tangentes interiormente en el punto A. En la circunferencia mayor se traza la cuerda AB que intersecta a la otra circunferencia en el punto P. Si AP = 4, calcule PB. 20 3

B)

16 3

C) 6

D) 8

E) 7

14 En la figura, ABCD es cuadrado, BE = 3 y EF = 1. Calcula x. A) 2

B

B) 3

C) 3

3

E

F C 1 x

C) 1 D) 4

E) 2

REFORZANDO

x

C) 8R/9

A)

7 B) 2

10R/3

B)

D) 10R/4

9 En un triángulo ABC se trazan las alturas AN, CM y BH, tal que AM = 5, MB = 4, BN = 3 y NC = 9. Calcula AH / HC. A)

12 De la figura calcula x en función de R.

NIVEL

A

E) 2

III

D

15 De la figura, determina el valor de x.

2

x

1

11 En un triángulo ABC se trazan las cevianas concurrentes AP, BQ y CR tal que 3AR = 2RB, 3BP = 4PC y QC = 9. Calcula AQ. A) 5 D) 8

B) 6

C) 7 E) 9

GEOMETRÍA

4

8 5

A) 4 D)

5 2

B)

7 2

C) 3 E) 1,5

4

35

capÍtulo

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

09

1 En la figura, AB = 6, BC = 4 y BD = 3, calcula QC. B

A) 1 B)

ω

2

2

A

x 4

C) 3 C

B) 50

C) 45 E) 30

E 8

α D

D) 4

α

Los perímetros de 2 triángulos semejantes están en la relación de 3 a 4; si el perímetro del mayor es 40, ¿cuál es el perímetro del menor? A) 60 D) 35

B

A) 1 B) 2

Q

C) 2 D) 3 E) 3

α D

ω

4 Del gráfico calcula x.

2

α

A

E) 5

C

5 De la figura, P y Q puntos de tangencia. Calcula x. P

A) 3 B) 2 2 C) 4

8

D) 2 3

x 2

Q

GEOMETRÍA

E) 2

3 En el gráfico, BC = 3 y AD = 15. Si BM = MA, calcula AB. C B A) 12 B) 18

D) 4 3 A

E) 12 5

4

P

C) 5

D) 6 5

36

B

A) 6 B) 2 6

M

C) 3 5

6 En la figura BM es mediana, AP = 2 y PB = 4. Calcula AC.

D

E) 7

A

M

C

EDI TORI AL I NGENI O

7

En un trapecio las longitudes de las bases son 6 m y 9 m. La distancia desde la intersección de las diagonales a la base menor mide 4 m. Calcula la longitud de la altura. A) 8 m D) 12 m

8

B) 9 m

C) 10 m E) 7 m

C) 4 3

M

B) 2

R

Q

x x

x

θ

α

S

E) 5

3

C

R

10 En la figura mostrada, P y Q son puntos de tangencia. Calcula AB. N 3

O

P

6

P 2

D) 2 13 E) 3 5

A) 1

D) 4

A

B) 3 2

Calcula x en la figura mostrada.

C) 3

Calcula R en la figura mostrada. A) 2 3

9

B

Q

8

3

C A

B

15

A) 22 D) 34

B) 32

C) 24 E) 42

GEOMETRÍA

Tarea

3 En la figura, AP = 5 y PC = 4. Calcula BC.

C P

1 Los lados de un triángulo miden 6; 10 y 8. Si el perímetro de un triángulo semejante es 48, calcula la longitud de su lado mayor.

2 Los perímetros de 2 triángulos semejantes están en la relación de 3 a 2; si el perímetro del menor es 12, ¿cuál es el perímetro del mayor?

a a

B

A

4 En la figura mostrada, M, N y C son puntos de tangencia. Calcula AB. M N

2 A

1 O1

C

B

O2

4

37

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Los lados de un triángulo miden 4; 6 y 7. Si el perímetro de un triángulo semejante mide 51, calcula cuánto miden los lados del triángulo. A) 14;12 y 8 C) 7; 6 y 4 D) 16; 24 y 28

7 En un paralelogramo ABCD, CD = 15. En AB se ubica el punto R, tal que AR = 5 y CR interseca a BD en P. Se traza PQ (Q en AD) paralelo a CD. Calcula PQ. A) 6 D) 9

B) 7

C) 8 E) 10

B) 21; 12 y 18 8 En un triángulo rectángulo ABC recto en B, en AC y BC se ubican los puntos P y R, respectivamente, tal que BP = PR; AB = 12; BC = 36 y la distancia de P a BC es 8. Calcula RC.

E) 6; 21/2 y 9

2 En la figura, AB = 6 y AC = 9. Calcula RC. B

A) 7 B) 6

A) 8 D) 11

α

B) 9

C) 10 E) 12

C) 5 D) 4 α

A

R

9 De la figura calcula el valor de x. C

3 Dado el triángulo rectángulo ABC en el cual se inscribe el cuadrado PQRS; PS está en la hipotenusa AC y AP =1 y SC = 9. Calcula PS. A) 2 D) 6

B) 3

A) 2 6 B) 5

60°

E) 8

C) 2 3

60

° 12

6 x

D) 4 E) 2 5

C) 4 E) 10

10 En la figura, M es punto de tangencia; AM // CN. 4 PQRS es un cuadrado, AC = 12 m y BH = 8 m. calcula QR. B

B) 4,8 m

A)

R

A P H S E) 8,4 m 5 De la figura calcula el valor de R.

M

C)

C

Q

A

R

2 C

D) 3/2 E) 5

A) 8

α

N

α P

R

C) 10

8

16

B) 9 D) 11

REFORZANDO

E) 12

REFORZANDO

NIVEL

II

6 En el trapecio ABCD, BC // AD, las diagonales se intersecan en P. Si AD = 2BC y la distancia de P a BC es 4; calcula la distancia de P a AD.

38

3

B) 1

D) 8,5 m

A) 10 D) 9

NP AN NR = = . Si MQ = 3, calcula 2 3 5

AQ.

Q

C) 5,8 m

12

GEOMETRÍA

A) 3,8 m

Además,

B) 11

4

C) 12 E) 8

NIVEL

III

11 En un triángulo ABC se ubican P y Q en AB y BC, respectivamente, tal que BP = BQ. La mediana BM del triángulo ABC interseca a PQ en R. Si AB = 6, BC = 15 y PR = 3, calcula RQ. A) 3 D) 1,2

B) 2,4

C) 2 E) 1

EDI TORI AL I NGENI O

12 En un triángulo ABC, AB = 4; BC = 6 y AC = 8. Se traza la bisectriz AF (F en BC) y por F se traza FN // AC (N en AB). Calcula FN. A)

8 3

B)

7 3

C)

5 3

D)

11 3

E)

A) 3 D) 2

10 3

13 De la figura calcula el valor de x.

B) 6

60°

A) 8 x

C) 5

14 Por el incentro I del triángulo PQR se traza el segmento AB paralelo al lado PR, A en PQ y B en QR. Si PQ = 5, QR = 7 y PR = 6. Calcula AB. B) 4

C) 3,5 E) 2,5

15 En el gráfico, A, B, P, Q y S son puntos de tangencia. Si r = 4 y R = 9, calcule x.

60

°

A) 2 6

6

B) 5

2

D) 4

C) 2 5

E) 3

D) 6

S

Q

P

R

x

r A

B

E) 3 3

capÍtulo

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO RECTÁNGULO 1 En la figura calcula x. 10 11 12 15 14

x

A

9

H

16

C

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 34. Si la altura relativa a la hipotenusa mide 15, calcula la medida de la menor proyección de un cateto sobre la hipotenusa. A) 12 D) 9

B) 11

C) 10 E) 8

4

39

GEOMETRÍA

A) B) C) D) E)

2 B

10

EDI TORI AL I NGENI O

3 De la figura calcula x.

6

A) 2 10

A) 48°

B) 3 5

B) 42° x

C) 4 3

D) 40° 3

E) 6

7

C) 4 12 E) 4 13

x 3

n 12

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 30 y la altura, 12. Calcula la longitud del cateto menor. A) 6 5 D) 3 5

B) 5 6

C) 2 3 E) 2 6

GEOMETRÍA

B) 3 14

E) 45°

12

En el lado AC de un triángulo equilátero ABC se ubica el punto N; tal que NA = 3NC = 12. Calcula BN. A) 4 15 D) 3 11

n

C) 41°

D) 5 2

4

Calcula x.

5

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 m y su cateto menor 3 5 m. Calcula la altura relativa a la hipotenusa. A) 2 5 D) 6

40

B) 5

4

C) 3 3 E) 2 6

8

En los lados BC y AC de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican los puntos D y N respectivamente; tal que: DN  AC, DN = 3, DB = 5 y AB = 7. Calcula AN. A) 63 D) 7

B) 65

C) 8 E) 9

EDI TORI AL I NGENI O

9

En la región interior de un rectángulo ABCD se ubica un punto P, de tal manera que PA = 9, PB = 7 y PC = 5. Calcula PD. A) 6 D) 57

B) 63

C) 7 E) 8

10 En la figura calcula x. A) 144/25 16

B) 169/25 36

C) 121/25

x

D) 4 E) 161/25

Tarea

3 En la figura calcula x.

1 Los lados de un triángulo rectángulo se encuentra en progresión aritmética de razón igual a 1. Calcula la longitud del cateto menor.

8 1 x

4 En la figura calcula b.

4

REFORZANDO

NIVEL

I

1 Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 4 m y 9 m. Calcula la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 5 m D) 4,5 m

B) 6 m

C) 5,5 m E) 7 m

GEOMETRÍA

2 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 y 8. Calcula la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa.

b

12

2 Calcula (x + y) en el cuadrante. x

A) 15

8

B) 13 C) 11

15

D) 9 E) 8

y

3 En un triángulo rectángulo que tiene por catetos a 1 y 2 m, calcula la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 3

B)

1 2

C)

3 2

D)

3 4

E)

4

2 5 5

41

EDI TORI AL I NGENI O

4 En la figura calcula r.

10 En un triángulo rectángulo sus lados se encuentran en progresión aritmética de razón igual a 4. Calcula la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa.

A) 13 B) 14 12

C) 15

A) 10 D) 15

r

D) 11

8

E) 10

5 En el interior del cuadrado ABCD se construye la semicircunferencia de diámetro AD. Desde el vértice C se traza CQ tangente a la semicircunferencia en P y Q en AB. Si AB = 12, calcula PQ. B) 2

A) 6 D) 5/2

C) 2 5 E) 3

B) 20

C) 12 E) 18

NIVEL

REFORZANDO

III

11 Calcula (a · b). A) 16

2

B) 30

b

8

C) 40 D) 32

NIVEL

REFORZANDO

II

6 En un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en C, AC = 5; BC = 65 y la proyección de AC sobre AB mide 3. Calcula AB. A) 9 11 D) 4 6

B) 3

a

E) 64

12 Calcula la longitud del radio de las circunferencias congruentes. 26

A) 3 5 B) 6

C) 10 E) 11

16

C) 4 2

16

D) 5 E) 3 3

7 En la figura calcula x. 2

A) 6

GEOMETRÍA

B) 7

8

13 Calcula la altura de un trapecio rectángulo en el cual sus bases miden 4 y 9 m. Además, sus diagonales son ortogonales.

x

C) 8

12

D) 9

A) 6 D) 2 6

E) 10

8 En la figura, AP = 2. Calcula AB. A) 2 2

A) 6

B

B) 7

C) 2 3

C) 5

P

D) 4

D) 3 6

A

C

H M

a

3 b

E) 5,5

A) 10

A) 3

B) 6 5

B) 6

C) 11

C) 9

C P N

D) 8

D) 8 2

42

x

15 En el semicírculo de centro O, AB = BC = 20 y MN = NP. Calcula OM.

9 De la figura calcula x.

E) 12

C) 8 E) 10

B) 4 3

14 Calcula x, si ab = 72.

B) 2

E)

26

x

4

4

9

E) 5

A

O

M

B

capÍtulo

RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO 1

En un triángulo, cuyos lados miden 5; 6 y 7; calcula la longitud de la menor mediana. A) 5 D) 73/2

2

B) 2 5

C) 4 E) 2 6

Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC miden 9; 6 y 5 respectivamente. Calcula la longitud de la bisectriz exterior relativa al lado AC. A) 7 D) 4 6

B) 2 7

4

Dado un triángulo ABC, se cumple a2 = b2 + c2 + 1,6 bc. Calcula la medida del mayor ángulo interior del triángulo. A) 120° D) 135°

5

C) 8 E) 9

11 B) 125°

C) 130° E) 143°

En un triángulo de perímetro 36 m, una bisectriz interior determina en el lado opuesto dos segmentos de 5 y 7 de longitud. Calcula la longitud de dicha bisectriz. A) 105 D) 12

B) 11

C) 111 E) 6 2

GEOMETRÍA

3

En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BN, de tal manera que NC = AB = BC = 2NA = 4. Calcula BN. A) 2 D) 2 2

B) 6

C) 5/2 E) 3

6

En una semicircunferencia de diámetro AB de longitud 6 se traza una cuerda BP y punto Q de esta cuerda se une con A. Si PQ = 3 y QB = 2, calcula AQ. A) 4 D) 3 3

B) 2 5

C) 5 E) 10

4

43

EDI TORI AL I NGENI O

7

En un triángulo ABC, AB = 14, BC = 10 y AC = 6. Calcula mC. A) 120° D) 105°

8

B) 100°

C) 110° E) 130°

Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior AD y la mediana AM, de manera que AD = DM. Si (AB)(AC) = 4, calcula BC. B) 3

C) 5 E) 4,5

Un ángulo interior de un triángulo mide 53° y los lados que lo forman miden 10 y 21. Calcula la longitud del tercer lado. A) 12 D) 17

B) 14

C) 16 E) 18

10 Las bases y los lados laterales de un trapecio miden 12; 3; 7 y 6 respectivamente. Calcula la longitud de la altura. A)

8 5 3

D)

9 7 5

B)

9 7 4

C)

5 8 4

E)

11 10 5

GEOMETRÍA

A) 4 D) 6

9

Tarea 1 Los lados AB, BC y AC de un triángulo miden 5, 7 y 8 respectivamente. Calcula la longitud de la mediana relativa al lado AC.

3 En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BT, tal que TA = AB = BC = 3TC = 3. Calcula BT.

2 Los lados AB, BC y AC de un triángulo ABC miden 13; 15 y 14 respectivamente. Calcula la longitud de la altura relativa al lado AC.

4 Las bases y los lados laterales de un trapecio miden 9; 5; 6 y 7, respectivamente. Calcula la suma de los cuadrados de las diagonales.

44

4

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

I

1 En un triángulo ABC, AB = 5, la altura BH (H en AC) determina los segmentos AH = 4 y HC = 3. Calcula BC. A) 6 D) 3 2

B) 2 5

C) 5 E) 4

2 Los lados de un triángulo miden 7; 8 y 9. Calcula la longitud de la altura relativa al lado intermedio. A) 3 5 D) 2 5

B) 2 6

C) 3 6 E) 3 7

3 En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BN, tal que NA = 2, NC = AB = 4 y BC = 5. Calcula BN. 7 C) A) 3 B) 11 2 D) 13

13 2

D) 74 8−2

C) 5

B) 188

8 En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BN, tal que NA = BC = 3  AB = 2NC = 2. Calcula BN. A)

10 2

D)

19 2

B) 19

E)

B) 8

17 2

C) 7 E) 10

10 La proyección del lado AB sobre el lado AC de un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en A, mide 3. Si AB = 7 y BC = 9, calcula la longitud de la proyección del lado BC sobre el lado AC. B) 40

C) 42 E) 44

E) 3

REFORZANDO

B) 46

REFORZANDO

C) 7 E) 37

NIVEL

II

B) 2 10

C) 7 E) 8

NIVEL

III

11 Los lados de un triángulo miden 4; 6 y 8. Calcula la suma de los cuadrados de las longitudes de las tres medianas. A) 87 D) 81

6 En un rombo ABCD se ubica M, punto medio de BC, tal que AM = 8 y MD = 6. Calcula AB. A) 6 D) 3 6

C) 10

9 En un paralelogramo ABCD, M es punto medio de BC, tal que, AM = 10, MD = 8 y la proyección del lado CD sobre la prolongación de AD mide 2. Calcula BC.

A) 41 D) 43

5 Las bases y un lado lateral de un trapecio isósceles miden 3; 7 y 5 respectivamente. Calcula la longitud de una diagonal. A) 8 D) 6

C) 156 E) 136

B) 84

C) 83 E) 80

12 En un paralelogramo ABCD, M es punto medio de BC, tal que, AM = 8, MD = 6 y la proyección del lado CD sobre la prolongación de AD mide 2. Calcula BC. A) 9 D) 6

B) 8

C) 7 E) 10

4

45

GEOMETRÍA

B)

A) 176 D) 144

A) 9 D) 6

E) 4

4 Los lados AB, BC y AC de un triángulo obtusángulo ABC, obtuso en A miden 3; 6 y 4 respectivamente. Calcula la longitud de la mediana relativa al lado AC. A) 4

7 La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un trapezoide es 160 y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 2. Calcula la suma de los cuadrados de las diagonales.

EDI TORI AL I NGENI O

13 Las bases y los lados laterales de un trapecio miden 10; 6; 5 y 7, respectivamente. Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases. A) 33 D) 5

C) 31 E) 30

B) 6

15 En la figura calcula r. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6

r

12

6 M

A

C

14 De la figura calcula x. A) 2 6 B) 5

6

C) 2 5 D) 4 x

E) 2 3

capÍtulo

x

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

12 GEOMETRÍA

1 En la figura calcula el valor de x.

46

A)

5–1

B)

3+1

C)

3–1

D)

5+1

E)

5+ 3

2 En la figura, PQ = 1, QR = 4 y OR = 6. Calcula r. A) 5 x

C) 4 x

4

2

r

B) 3 3 D) 2 6 E) 3

O P Q

R

EDI TORI AL I NGENI O

3

En la circunferencia de centro O se traza la cuerda AB y se une un punto M de la cuerda con el centro de la circunferencia. Si AM = 2, MB = 4 y OM = 3. Calcula la longitud del radio. A) 5 D) 2 5

4

C) 4 E) 17

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD; por D se traza una perpendicular DH  AC, H en BC. Si AB + BH = 2, calcula BD. A) 2 2 D) 2

B) 1

C) 2 E) 3

Los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son proporcionales a 1; 2; 3 y 4, en forma correlativa. Si su perímetro es 20, calcula el producto de sus diagonales. A) 52 D) 46

B) 50

C) 48 E) 44

B

A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

C x

5 A 4

N n

D

P n M

7 En la figura calcula (a · b). A) 12

6

B) 14

a

3

C) 15 b

D) 18 E) 20

GEOMETRÍA

5

B) 3 3

6 En la figura calcula x.

8 En la figura calcula (x + y). A) 36 B) 30 C) 34 D) 32

10 4

x

5

y

E) 28

4

47

EDI TORI AL I NGENI O

9

Calcula x en la figura. A) 6



10 Calcula  en la figura mostrada.



D) 9

A) B) C) D)

E) 10

E) 75°

12

3

B) 7 C) 8

5

x

Tarea

6 1

6 α

1

3 En la figura calcula x.

16

1 En la figura calcula x.

45° 53° 60° 66°

x

8

n n

12

2

x+1

2x

2 En la figura calcula n.

6 x

GEOMETRÍA

9

4 En la figura, calcula PT, si AB = 2 y BC = 4; B y T puntos de tangencia.

T P A B

n

C

NIVEL

REFORZANDO

I

1 En la figura determine el valor de r.

C) 6

r O

D) 9

r

D 9

D

4

A

E) 8

5

E) 10

B

O

C

4 En la figura mostrada, BC = 2 y AB = 1 (B y T puntos de tangencia). Calcula PT.

2 En la figura calcula x.

A)

A) 6 B) 5 C) 4

6

D) 3

3

2

x

4

6

T

P

B) 3 C)

A

5

B

D) 2 E)

E) 2 48

E

4

x

D) 7 B

E

C

C) 6 11

B) 7

A) 4 B) 5

A

A) 8

3 En la figura calcula x.

3

C

EDI TORI AL I NGENI O

5 En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, una diagonal es el doble de la otra y la suma del producto de sus lados opuestos es 18. Calcula la longitud de la diagonal menor. A) 10

B) 4

C) 2 3

D) 3

A) 9 D) 6

E) 6

NIVEL

REFORZANDO

II

6 De la figura calcula x. A) 2 7

4 2

2

D) 5

G

B C

D E

F

E) 5

12 Calcula AB, P y Q son puntos de tangencia.

7 Calcula (x + y) en la figura. 5

III

A

A) 3

D) 4

E) 2 3

A) 4

10 4

P

B) 5

4

C) 6

x

A

D) 7

y

E) 32

E) 8

Q

B

3

13 En la figura, AB · BC = 64. Calcula x.

A) 6 2

10

C) 5

2

x

D) 2 3

A) B) C) D) E)

8 9 10 11 12

GEOMETRÍA

8 En la figura calcula x.

B)

NIVEL

C) 1

1

40 38 36 34

C) 7 E) 5

REFORZANDO

B) 2

C) 2 5

A) B) C) D)

B) 8

11 Siendo BC = 5, CD = 4, EF = 2 y FG = 4, calcula AB.

x

B) 6

10 En una circunferencia la cuerda AB interseca a las cuerdas CD y EF en M y N respectivamente, de modo que AM = NB, CM = 8, MD = 3 y NF = 4. Calcula EN.

x 6

C

O B

A

E) 4 14 En la figura calcula x. 9 En la figura, F punto de tangencia y AF = 10. Calcula AB. A) 3 10 B) 12

B

A) B) C) D) E)

4 5 6 7 8

x 8

2

x

C) 4 5 D) 10 E) 3 6

A F

15 En una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, se traza el radio ON y la cuerda BM que se cortan en P. Si los arcos AM y BN son congruentes, OP = 4 y PN = 1, calcula PM. A)

3 2

B) 2

C)

5 2

D) 3

E)

4

7 3

49

capÍtulo

ÁREA DE REGIONES POLIGONALES

13 1

El exradio relativo a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 y su inradio mide 3. Calcula el área de la región triangular correspondiente. A) 60 D) 45

2

B) 30

C) 90 E) 75

5

C) 304 E) 192

Las longitudes de dos lados de un romboide son 16 y 20, y uno de los ángulos internos mide 53º. Calcula el área de la región limitada por dicho romboide. A) 276 D) 248

C) 45 E) 6 15

B) 366

B) 264

C) 256 E) 236

GEOMETRÍA

B) 36

Las longitudes de las diagonales de un trapezoide son 24 y 32, y el ángulo que determinan mide 150º. Calcula el área de la región cuadrangular correspondiente. A) 384 D) 248

La circunferencia exinscrita a un triángulo rectángulo ABC, relativo al cateto BC es tangente en T a la prolongación de la hipotenusa AC; tal que TC = 2 y TA = 15. Calcula el área de la región triangular correspondiente. A) 30 D) 60

4

3 En la figura el área de la región triangular ABC es 36 m2. Calcula el área de la región sombreada. B A) 6 m2 B) 8 m

C) 9 m2 D) 3 m2

50

ABCD es un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide 7. Si BC = 12 y AD = 18, calcula el área de la región ABCD. A) 220 D) 190

2

E) 4 m2

6

C

A

4

B) 210

C) 200 E) 180

EDI TORI AL I NGENI O

7

En un trapecio isósceles la base mayor mide 12 m y los lados no paralelos 6 m, además, sus diagonales son perpendiculares a los lados no paralelos, calcula el área de la región trapecial. A) 54 m2 D) 27 3 m2

B) 36 2 m2

C) 64 m2 E) 72 m2

9 En la figura, QF = QE y PQ = 3. Calcula el área de QFOE. F A) 18 B) 16 C) 15 D) 12 E) 9

8

Las longitudes de la mediana y la altura de un trapecio son 16 y 12, respectivamente. Calcula el área de la región trapecial. A) 172 D) 198

B) 184

C) 192 E) 204

Q

P

O

E

X

10 Los lados AB y CD de un cuadrilátero ABCD, circunscrito a una circunferencia de radio 5, miden 9 y 13, respectivamente. Calcula el área de la región ABCD. A) 110 D) 140

B) 120

C) 130 E) 150

GEOMETRÍA

Tarea 1 En un triángulo, la longitud de un lado es el duplo de la longitud de la altura correspondiente y el área de la región triangular es igual a 100. Calcula la longitud de dicha altura.

3 Calcula el área de la región limitada por un cuadrado circunscrito a una circunferencia de 4 m de radio.

2 La hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo miden 37 y 35, respectivamente. Calcula el área de la región triangular correspondiente.

4 Determine el área de la región del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados de un rectángulo de lados 8 m y 12 m.

4

51

EDI TORI AL I NGENI O

REFORZANDO

NIVEL

I

1 En un triángulo rectángulo, la hipotenusa y un cateto miden 29 y 21 respectivamente. Calcula el área de la región triangular. A) 200 D) 210

B) 180

C) 220 E) 190

2 Los lados de un triángulo miden 11; 12 y 13. Calcula el área de la región triangular correspondiente. A) 64 D) 60

B) 18 5

C) 6 105 E) 24 3

3 Los lados de un triángulo miden 9; 10 y 11. Calcula la longitud del exradio relativo al lado menor. A) 5 2 D) 9

B) 8

C) 4 3 E) 3 6

4 Los exradios de un triángulo miden 1; 2 y 3, además el inradio mide 6/11. Calcula el área de la región triangular correspondiente.

GEOMETRÍA

A) 6

B) 3 11

6 11 D) 11

C) 3

A) 12 D) 8 3

8 Las longitudes de los lados de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia miden 52; 33; 56 y 39, respectivamente. Calcula el área de la región cuadrangular correspondiente. A) 2240 D) 1938

B) 2180

A) 12 m2 D) 18 m2

B) 14 m2

C) 48 E) 30

C) 16 m2 E) 20 m2

10 En la figura el área de la región sombreada es 3 m2. Calcula el área de la región triangular ABC. A) 90 m2

B

B) 86 m2

4e F E

2

e A

E) 96 m2

B) 50

C) 2020 E) 1900

9 Las diagonales de un trapecio ABCD, BC // AD se intersecan en T; tal que las áreas de las regiones ATD y BTC son 24 m2 y 6 m2, respectivamente. Calcula el área de la región BCD.

D) 100 m

E) 6

C) 14 E) 16

B) 6 6

C) 72 m2

5 La circunferencia inscrita a un triángulo rectángulo ABC, recto en B, es tangente al lado AC en T; tal que AT = 10 y TC = 3. Calcula el área de la región triangular correspondiente. A) 60 D) 32

7 Un cuadrado es equivalente a un rectángulo cuyas dimensiones son 8 y 12. Calcula la longitud de la diagonal del cuadrado.

C

NIVEL

REFORZANDO

III

11 ¿Qué parte del área de la región triangular ABC es el área de la región sombreada? B k

REFORZANDO

NIVEL

II

Q 2k

6 Las longitudes de las bases y de la altura de un trapecio son 8; 24 y 10, respectivamente. Calcula el área de la región limitada por dicho trapecio. A) 160 D) 172

52

B) 180

4

C) 196 E) 148

A

A)

1 3

B)

8 21

C

p

2p

C)

1 4

D)

3 5

E)

3 7

EDI TORI AL I NGENI O

12 Calcula el área de la parte sombreada de la figura.

2

14 ABCD es un paralelogramo, MN // BC, PQ // AB, si SMBPF = 10 m2, calcula SFNDQ. A) 10 m2 B) 12

A) 2

B) 6

C) 1

A) 60 m2 D) 72 m2

B) 54 m2

E) 20 m2

A

B) 36 m2

C) 64 m2 E) 68 m2

a

C) 40 m2

M

D) 44 m2

a

m2

A

2

A) 3(2p – 3 3)

B) p/2

B) 2(2p + 3)

C) 1

C) 4(3p – 6 3)

E) 1,3

1

D

capÍtulo

14

Calcula el área del segmento circular sombreado.

A) p

D) 2p

F E

D) 2(p + 6)

O

60°

6

E) 5(p – 3)

4

53

GEOMETRÍA

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Calcula el área de la parte sombreada. (Los círculos son congruentes).

D

Q

15 En la figura, ABCD es un paralelogramo cuya área de su región es 120 m2. Calcula el área de la región sombreada. b b N B C A) 30 m2

E) 50

1

N

D) 18 m2

1 E) 2

13 En los lados AB y BC de un trapezoide ABCD se ubican los puntos medio M y N, respectivamente, tal que SAMD = 36 m2 y SNCD = 24 m2. Calcula SMDNB.

C

F

M

C) 15 m2 2 D) 2

P

B

m2

EDI TORI AL I NGENI O

3

Si ABCD es un rectángulo, calcula el área del círculo sombreado. P y Q puntos de tangencia. A) p

B

C

B) 2p C) 3p



Q

E) 5p

6

B) 33p

D) 12(6 – p) E) 6(3 + p)

A

D

Se tienen dos circunferencias concéntricas, si la cuerda AB de la circunferencia mayor es trisecada por la menor. Calcula el área de la corona, si AB = 12. A) 32p D) 28p

12

C) 3(12 + p)

2

A

4

Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de la región sombreada. C B A) 9(8 – p) B) 6(6 + p)

P

6

D) 4p

6

D

12

7 En la figura, calcula el área de la región sombreada. ° 120 A) 64p B) 12(4p + 3 3)

C) 36p E) 24p

C) 60p

12

D) 18(3p + 2 3)

GEOMETRÍA

E) 58p

5

Calcula el área de la parte sombreada de la figura. A) 4(3 3 – p)

Calcula el área del círculo. A) 4p B) 5p

B) 2( 3 + p)

C) 6p

C) 3( 2 + p)

2

D) 8p

D) 3(3 3 – p)

E) 9p

E) p + 2

54

8

60°

4

60°

6

8

EDI TORI AL I NGENI O

9

10 En la figura, calcula el área de la región sombreada.

Calcula el área de la parte sombreada. A) 2p B) 3p

A) 3(2p + 3 3)

4

C) 4p

B) 2(p + 6 3)

D) 5p

C) 4(3p – 2 3)

E) p

D) 6(p – 3)

60°

6

E) 3(p + 3)

Tarea

A

3 Calcula el área del círculo, si OA = OB = ( 2 + 1).

1 Calcula el área del círculo. 6

O

B

O 2 Calcula el área del círculo.

4 Calcula el área de A la región sombreada.

B

4

D

REFORZANDO

NIVEL

I

1 En el interior de un cuadrado de 10 cm de lado se inscribe un círculo. Calcula el área del círculo. A) 20p D) 35p

B) 25p

C) 30p E) 40p

C

B

A) 12 – 3p B) 10 – 2p 3

C) 4 + p D) 6 – p E) 3 + p

4 r

A

C

3 Calcula el área de la parte sombreada. A) 2p

2 En la siguiente figura, calcula el área de la región sombreada.

B) 8(4 – p) C) 4(2 + p)

4

D) 3(5 – p) E) 3p

4

55

GEOMETRÍA

3

18

EDI TORI AL I NGENI O

9 En la figura, (AP)(AQ) = 60. Calcula el área de la región sombreada.

4 Calcula el área de la región sombreada. A) 5(p + 3)

A) p + 6

B) 6(2p – 5) C) 3(p + 1)

B) 3p

4 4

5 En la figura, ABCD es un cuadrado, calcula el área de la región sombreada. C

B 8

C) 8p cm2 D) 20 cm2

A

E

D

8

NIVEL

REFORZANDO

II

6 Calcula el área de la región sombreada. A) 2p – 4 B) 2p – 2 C) 2p – 1

GEOMETRÍA

10 ABCD es un cuadrado, P, Q, R y S son puntos medios. Calcula el área de la parte sombreada. B

Q

C

B) 18 cm2

D) 36 E) 18p

P

O

A) 6p cm2

B) 32 C) 20p

Q

D) 4p E) 3p + 2

A) 16p

69°

C) 2p + 5

D) 8(p – 2) E) 10(p – 1)

A

2

E) 9p cm2

R 6 cm

P A

D

S

NIVEL

REFORZANDO

III

11 Calcula el área de la región sombreada. ABCD es un cuadrado. C B A) 4(p – 2) B) 6(p – 3)

D) 2p + 1

C) 2(p + 2)

E) 2p – 3

D) 3(p + 1) E) p + 2

4

2

R A

D

7 Calcula el área de la parte sombreada. 12 Calcula el área de la parte sombreada.

A) 9p cm2

A) p + 2

B) 18p cm2 C) 36p cm2

6 cm

D) 12p cm2

B) p C) p + 3 D) 2p

E) 8p cm2

E) p + 1

8 Calcula el área de la parte sombreada. P es punto de tangencia. A) 18(4 – p) B) 12(p + 1) C) 6(p + 3)

P

B) 6p cm2

D) 10(5 – p)

C) 8p cm2

E) p + 2

D) 10p cm2 E) 16p cm2

56

4

2

13 Calcula el área de la parte sombreada. El hexágono es regular y los sectores circulares congruentes y tangentes. A) 4p cm2

3

45°

4 cm

EDI TORI AL I NGENI O

14 ABCD es un cuadrado, calcula el área de la parte sombreada: C B A) 6p

15 En la figura, calcula el área de la región sombreada. 72° A) 20p

B) 4p

B) 3(2p + 3 3)

C) 3p

C) 18p

D) 2p

54° 10

D) 2(5p – 5) A

E) p

D

6

E) 16p

capÍtulo

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1

Desde el centro M de un cuadrado ABCD de lado 1 m, se levanta la perpendicular MP al plano del cuadrado. Calcula la longitud de MP conociendo que la distancia de P a uno de los vértices del cuadrado es 3 m. A)

5 2

B)

34 2

C) 2

D)

3 2

E)

3

15

Se tiene dos planos paralelos P y Q distantes 20. Calcula la proyección de AB sobre Q, si AB = 25. A está en P y B está en Q. A) 10 D) 16

B) 12

C) 15 E) 18

30 2

GEOMETRÍA

2

¿Cuántos planos determinan como máximo 10 puntos y 6 paralelas? A) 130 D) 170

B) 190

C) 195 E) 200

4

Desde el centro P de un rectángulo ABCD, se levanta la perpendicular PT al plano del rectángulo; tal que PT = 21, AD = 32 y CD = 24. Calcula TB. A) 26 D) 29

B) 27

C) 28 E) 30

4

57

EDI TORI AL I NGENI O

5

Si un plano es paralelo a una recta:

8

A) Toda perpendicular a la recta es paralela al plano.

A) Todo plano perpendicular a uno de ellos lo es también al otro.

B) Toda recta paralela al plano es paralela a la recta dada.

B) Toda recta perpendicular a la intersección de ambos debe estar contenido en uno de ellos.

C) Todo plano perpendicular al plano dado es paralela a la recta dada.

C) Todas las rectas de uno de ellos son perpendiculares al otro.

D) Toda recta que es perpendicular al plano tiene que ser perpendicular a la recta.

D) No siempre se cortan.

E) La recta es paralela a cualquier recta contenida en el plano.

6

Cuando dos planos son perpendiculares:

Con n puntos y 8 rectas dispuestos en el espacio se han determinado como máximo 184 planos. Calcula n. A) 6 D) 9

B) 7

C) 8 E) 10

E) Todo plano perpendicular a su intersección es perpendicular a ambos.

9

Si una recta es perpendicular a dos rectas: A) Estas rectas son paralelas entre si. B) Estas rectas se cortan. C) Todo plano paralelo a una de las dos rectas será perpendicular a la primera recta. D) Todo plano perpendicular a una de la dos rectas será también perpendicular a la otra de las dos rectas.

GEOMETRÍA

E) Ninguna de las afirmaciones anteriores completa correctamente a la proposición inicial.

7 En la figura la circunferencia está contenida en el plano P y tiene diámetro de 9 m, la distancia de A al plano es 8 m. Calcula AB, si AC = 10 m. (BC: diámetro) A A) 16 m B) 18 m C) 17 m D) 19 m E) 20 m

58

B P

4

C

10 Por un punto O que dista 10 m de un plano se traza a él un segmento OP de 15 m. Calcula la longitud del lugar geométrico de los puntos P. A) 10 5 p m D) 13 5 p m

B) 12 5 p m

C) 20 m E) 15 5 p m

EDI TORI AL I NGENI O

Tarea 1 Desde el centro O de un cuadrado ABCD de lado 6, se levanta la perpendicular OE al plano del cuadrado; tal que OE = 4 3. Calcula ED.

4 Se tiene un plano P y un punto A exterior. En el plano se encuentra una circunferencia de diámetro 10 m. Si la mínima distancia entre la circunferencia y el punto A es 10 m, calcula la mayor distancia entre el punto A y la circunferencia, sabiendo que A dista del plano 6 m.

A

2 En la figura, AH es perpendicular al H plano P, AH = 12; P HQ = 9; AD = 17. Calcula el área de la región HDQ.

REFORZANDO

D Q

NIVEL

I

1 La recta L de intersección de dos planos X e Y, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y. Si la distancia entre L y R es 16 cm y entre L y S es 12 cm, calcula la distancia entre R y S . A) 14 cm D) 18 cm

B) 15 cm

C) 16 cm E) 20 cm

2 Señale la afirmación falsa: Una recta que es paralela a dos planos que se cortan, es paralela a su intersección.

II. Una recta y un plano perpendiculares a una recta, son paralelos. III. Una recta que forma ángulos iguales con otras tres rectas que pasan por su pie en el plano, es paralela a dicho plano. IV. Es imposible trazar desde un punto dos perpendiculares distintas a un mismo plano. V. La proyección de un segmento paralelo a un plano es igual a la longitud del segmento. A) I D) V

B) III

C) II E) IV

3 Con n rectas paralelas y 6 puntos en el espacio se han determinado como máximo 125 planos. Calcula n. A) 16 D) 13

B) 10

C) 14 E) 12

4 En la figura, AP es perpendicular al plano H. Si AP = 12; AB = 5 y BC = 9, calcula PC. A) 14

P

B) 6 6 C) 16

A

B

D) 5 10

C

E) 15

5 Se tiene un segmento AB, la diferencia de las distancias de A y B a un plano exterior es 7 m. Si la proyección de AB sobre el plano es igual a 24 m, calcula AB. A) 31 m D) 26 m

B) 30 m

REFORZANDO

C) 28 m E) 25 m

NIVEL

GEOMETRÍA

I.

3 Sea M y N dos planos paralelos que distan entre sí 40 m. La proyección de AB (con A en M y B en N) sobre el plano N mide 30 m. Calcula AB.

II

6 La recta L de intersección de dos planos P y H, perpendiculares entre sí, es paralela a una recta L1 del plano P y a una recta L2 del plano H; tal que la distancia entre L y L1 es 12 y entre L y L2 es 35. Calcula la distancia entre L1 y L2 . A) 36 D) 39

B) 37

C) 38 E) 40

7 Decir si es verdadero (V) o falso (F): I.

Si dos planos son paralelos a la misma recta, entonces dichos planos son paralelos entre sí.

4

59

EDI TORI AL I NGENI O

II. Dadas dos rectas que se cruzan, entonces siempre existe una recta perpendicular entre ambas. III. Todos los planos paralelos a un plano son paralelos entre sí. IV. La intersección de 3 planos es necesariamente una recta. A) VVVF D) FFVV

B) FFFV

C) FVVF E) FVFV

REFORZANDO

NIVEL

III

11 Indique la proposición verdadera: A) Dos planos pueden tener un único punto común. B) Si dos planos son distintos y tienen por lo menos un punto en común entonces son secantes. C) Dos planos secantes pueden ser paralelos.

8 Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas:

D) Si dos planos tienen por lo menos un punto en común, entonces son coincidentes.

A) Las tres rectas dadas tienen que ser paralelas.

E) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.

B) Las tres rectas dadas tienen que estar en un mismo plano que contenga a la perpendicular. C) Por las tres rectas pueden pasar tres planos paralelos entre sí. D) Por las rectas dadas no pueden pasar planos paralelos entre sí. E) Las tres rectas tienen que ser cruzadas o alabeadas.

GEOMETRÍA

9 Un punto P se mueve permaneciendo a 7 m de los extremos de AB cuya longitud es de 10 m. Calcula el área de la región limitada por el lugar geométrico de los puntos P. A) 49p D) 25p

B) 36p

C) 32p E) 24p

12 Un triángulo equilátero ABC está en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento que une el punto medio de AC con el punto medio de BD, mide 2 m. Calcula ED. A) 4 m D) 2 m

B) 3 m

13 En el plano P se tiene una circunferencia de diámetro AB de longitud igual a 5 m, por B se levanta una perpendicular BC a P y sobre la circunferencia se toma un punto D tal que CD = AB. Calcula el área de la región triangular ACD, si BD = 3 m. A) 14 m2

B) 6 m2

D) 8 m2 10 Se tiene un segmento PQ secante a un plano tal que las distancias de P y Q al plano miden 5 y 7. Además la proyección de PQ sobre el plano es igual a 5 m. Calcula PQ. A) 15 D) 13

B) 10

C) 8 E) 17

C) 2,5 m E) 1 m

C) 12 m2 E) 10 m2

14 Desde el punto exterior A a un plano H, trazamos la perpendicular AO y dos oblicuas AM y AN. Calcula la distancia de MN al punto O, si AO = 4, AM = AN = 5 y MN = 4. A) 2

B) 5

D) 3

C) 5 E) 3

15 Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos AE y EB y sobre otra recta L2 secante, los segmentos CF y FD. Si AB = 8 m, CD = 12 m y FD – EB = 1 m, calcula el valor de CF. A) 4 m D) 1 m 60

4

B) 7 m

C) 5 m E) 9 m

capÍtulo

ÁNGULOS TRIDIMENSIONALES 1

Dado un ángulo diedro, tal que las distancias de un punto exterior, a las caras y la arista miden: 10 2; 12 y 20 m, respectivamente. Calcula la medida del ángulo diedro. A) 68º D) 90º

2

B) 72º

7 2

B) 3

C) 3 3

Dos caras de un triedro miden 120º y 130º respectivamente, la tercera cara puede medir: A) 10º D) 120º

B) 20º

C) 110º E) 130º

C) 82º E) 98º

Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB (AO = OB = 2). Por O se levanta la perpendicular OF al plano del triángulo. Calcula OF, para que el diedro AB mida 30º. A)

4

16

D)

3 3

E)

5

3 2

Dado un triángulo rectángulo isósceles, siendo AO = OB = 6 m, en el vértice O se eleva una perpendicular al plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular, uniendo M con los vértices A y B. Calcula el valor de OM para que el diedro AB mida 60º. A) 3 m D) 1 m

B) 2 m

C) 4 m E) 5 m

GEOMETRÍA

3

Un ángulo diedro mide 60º. ¿A qué distancia de la arista se encuentra un punto P, si se halla a 20 m de cada cara? A) 30 m D) 42 m

B) 36 m

C) 40 m E) 46 m

6

En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH, luego se traza AP perpendicular al plano que contiene al triángulo ABC, de modo que la mAPH = mPCA. Calcula la medida del diedro BC. A) 60º D) 37º

B) 53º

C) 45º E) 30º

4

61

EDI TORI AL I NGENI O

7 La figura muestra dos cuadrados que forman un diedro que mide 45º. Si el lado mide 6, calcula la distancia entre sus centros. E A) 6 3 B) 2 2 + 2

F

C) 3 2 – 2

B

C

D) 3 3 E)

8

A

2+ 2

B) 45º

Sea ABC un triángulo equilátero de 18 m de lado cuyo ortocentro es M. Si en M se levanta una perpendicular MD = 27 m al plano que contiene al triángulo, calcula el ángulo diedro formado por el triángulo ADC y ABC. A) 60º D) 45º

B) 75º

C) 90º E) 30º

D

Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, tal que AB = 15 y BC = 20. Por B se levanta una perpendicular BR al plano de triángulo ABC. Si BR = 12, calcula la medida del diedro formado por el triángulo ABC y el plano determinado por los puntos A, R y C. A) 30º D) 53º

9

C) 60º E) 37º

10 En la figura, el triángulo equilátero LMN está inscrito en la circunferencia cuyo radio mide 6 cm. Si PM = 2MN y PM es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia, el área en cm2 de la región que encierra el triángulo PLN es: P A) 3 1539 B) 12 C) 16

M

L

D) 13

GEOMETRÍA

E) 3 1339

N

Tarea 1 Se tienen un triángulo rectángulo ABC, recto en B, AB = 6 m y BC = 8 m. Por B se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo rectángulo ABC, tal que el ángulo diedro que forman ABC y AEC sea igual a 45º. Calcula BE.

2 En un ángulo triedro O - ABC, los ángulos de sus caras miden mAOC = mBOC = 45º y mAOB = 60º; entonces la medida del ángulo diedro A - OC - B es: 62

4

3 En un ángulo diedro, las distancias de un punto interior a las caras y a la arista miden 4 2 m, 4 m y 8 m respectivamente. Calcula la medida del ángulo diedro.

4 Se tiene un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero ABE, no coplanares. Calcula la medida del diedro formado por dichas figuras para que las áreas de los triángulos AEB y DCE estén en la razón de 3 : 1.

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

I

1 El área de la proyección de un cuadrado sobre un plano que pasando por su diagonal forma un ángulo de 60º con el plano del cuadrado, es 18,2 cm2. El área de la región del cuadrado es: A) 36,4 cm2 C) 9,1 cm2 D) 21,3 cm2

B) 18,2 2 cm2

B) 8 cm

C) 9 cm E) 11 cm

3 Se tiene un triángulo rectángulo ABC; recto en B, AB = 12; BC = 16. Por el vértice B se levanta la perpendicular BF al plano de ABC. Si BF = 9,6; calcula la medida del ángulo diedro que forman ABC y AFC. A) 30º D) 53º

NIVEL

II

6 El área de la proyección de un cuadrado sobre un plano que pasando por su diagonal forma 60º con el plano del cuadrado, es 18 cm2. Calcula el área de la región cuadrada. A) 24 cm2 D) 30 cm2

B) 26 cm2

C) 28 cm2 E) 36 cm2

E) 31,6 cm2

2 La distancia EA del punto E del espacio a una recta contenida en un plano es 17 cm y la distancia del mismo punto E al plano es 15 cm. Calcula la longitud de la proyección de EA sobre el plano. A) 7 cm D) 10 cm

REFORZANDO

B) 60º

C) 37º E) 45º

A) 10º y 120º B) 30º y 100º

a

C) 20º y 100º

b c

D) 40º y 115º

A) 30º D) 45º

B) 36º

C) 37º E) 53º

8 En el triángulo rectángulo ABC recto en B, los lados miden AB = 6 y BC = 8. Por el vértice B se traza BF perpendicular al plano ABC, tal que BF = 4,8. Calcula la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFC. A) 30º D) 53º

B) 37º

C) 45º E) 60º

9 En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden 15 y 20 m respectivamente. Por B se levanta BP perpendicular al plano del triángulo, luego se une P con A y C. Calcula la medida del diedro AC, si BP = 16 m. A) 53º D) 37º

B) 30º

C) 60º E) 45º

E) 30º y 120º

5 En un triángulo AOB, recto en O, AB = 2AO = 4 m. Si OM es perpendicular al plano del triángulo y la medida del ángulo diedro O - AB - M es igual a 60º. Calcula OM. A) 1 D) 4

B) 2

10 Por el vértice B de un triángulo equilátero ABC se levanta la perpendicular BE al plano del triángulo. Calcula el ángulo diedro que forman los planos ABC y AEC, si BC = 6 y BE = 3 3. A) 60º D) 37º

B) 45º

C) 30º E) 53º

C) 3 E) 5

4

63

GEOMETRÍA

4 En la figura, c = 140º; b = 120º. Calcula el intervalo de la tercera cara a.

7 Se tiene un triángulo ABC, en el cual AB = 13; BC = 15; AC = 14. Se eleva por B, BF perpendicular al plano ABC, siendo BF = 16. Calcula la medida del ángulo diedro que determinan los planos AFC y ABC.

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

III

11 En triedro O - ABC, las caras AOB y OAC miden 45º. Si P  OA, Q  OC y R  OB tales que

13 Un ángulo diedro es de 114º. Calcula la medida del ángulo formado por las semirrectas perpendiculares a sus caras trazadas desde un punto cualquiera del plano bisector del diedro. A) 114º D) 74º

QP  OA, RP  OA, QR = 2 2 + 3 y OP = 2,

B) 104º

C) 92º E) 66º

entonces la medida del ángulo diedro OA es: A) 60º D) 120º

B) 75º

C) 105º E) 150º

12 Dado un triángulo rectángulo isósceles AOB, siendo AO = OB = 7a, en O se levanta una perpendicular al plano AOB, sobre la que se toma 7a 6 y se une el punto M con los vértices OM = 6 A y B. Calcula el valor de la medida del diedro AB. A) 15º D) 18º

B) 30º

C) 40º E) 45º

14 Dos rectas AA' y BB' se cruzan y forman entre sí un ángulo de 60º. Si AB es la mínima distancia y AA' = AB = a, BB' = b. Calcula la longitud A'B'. A) ab

B) a2 + b2

D) 2a2 – ab + b2

C)

2ab a+b

E) 2 ab

15 Se tiene un rectángulo ABCD tal que AB = 6 m y BC = 3 m. Se construye el triángulo equilátero PAB que forma un ángulo diedro de 45º con el plano del rectángulo. Calcula la distancia entre P y C. A) 2 3

B) 2 2

D) 5

C) 6 E) 3

GEOMETRÍA

capÍtulo

17

POLIEDROS 1

En un poliedro convexo la suma del número de caras y vértices es 20. Calcula el número de aristas. A) 16 D) 22

64

B) 18

4

C) 20 E) 1

2

¿Cuántos vértices tiene un poliedro convexo, si su número de aristas excede en 4 a su número de caras? A) 4 D) 6

B) 8

C) 9 E) 10

EDI TORI AL I NGENI O

3

Un poliedro convexo está formado por 6 regiones triangulares, 4 pentagonales y 2 hexagonales. Calcula el número de vértices. A) 12 D) 18

B) 25

6

C) 20 E) 15

Se tiene el triángulo ABC en el plano P, se traza BB' y CC' perpendiculares al plano P; el segmento B'C' no intercepta al plano P. Si BB' = 3, CC' = 1, AC = 17, BC = 14 y mBAB' = 30º, entonces el área del triángulo AB'C' es: A) 16 D) 10

4

Una región triangular, cuya área es 2S, se proyecta sobre un plano, determinándose otra región triangular cuya área es S. Calcula la medida del ángulo diedro formado por la región dada y el plano de proyección. A) 45º D) 30º

B) 60º

Se tiene un poliedro convexo de 15 aristas formado por regiones pentagonales y cuadrangulares. ¿Cuántos vértices tiene? A) 15 D) 12

B) 16

C) 18 E) 10

C) 75º E) 60º

En el tetraedro, OABC se cumple que mCOB = 60º, mAOB = 45º y mAOC = 45º, entonces el valor del ángulo diedro correspondiente a la arista OA vale: A) 45º D) 90º

C) 12 E) 9

C) 75º E) 120º

8

En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica el punto P, tal que BP = 1 y PC = 3. Se traza PQ perpendicular al plano que contiene al cuadrado. Calcula la medida del diedro que forman los planos AQD y ABCD (PQ = 3). A) 30º D) 53º

B) 37º

C) 45º E) 60º

4

65

GEOMETRÍA

5

B) 37º

7

B) 14

EDI TORI AL I NGENI O

9

¿Cuántos vértices tiene un poliedro convexo de 25 aristas formado por regiones pentagonales y cuadrangulares? A) 7 D) 11

B) 8

C) 9 E) 15

10 Se tiene el triángulo ABC (mB = 90) cuyo plano es perpendicular al plano del círculo del centro O. Si AC es diámetro de dicha circunferencia y OA = 6 2, calcula OB. A) 6 2 D) 12

B) 6

C) 4 E) 6 3

Tarea

GEOMETRÍA

1 Calcula el número de caras de un poliedro que está formado por 6 cuadriláteros y 8 pentágonos.

2 Se tiene un tetraedro regular. Calcula el número de caras del poliedro que se obtiene al unir los puntos medios de sus aristas.

REFORZANDO

NIVEL

I

1 ¿Cuántos vértices tiene un poliedro convexo formado por 4 regiones triangulares y 3 regiones cuadrangulares? A) 5 D) 8

B) 6

C) 7 E) 10

2 ¿Cuántas aristas tiene un octaedro convexo formado por regiones triangulares? A) 8 D) 12

66

B) 16

4

C) 20 E) 18

3 Los cuadrados ABCD y ABEF están contenidos en planos perpendiculares, AB = 2. Calcula la distancia de A a ED.

4 En cierto poliedro convexo la suma del número de caras, vértices y aristas es 32. Calcula el número de aristas.

3 Si S es la suma de las medidas de los ángulos diedros de un tetraedro entonces se puede afirmar que: B) S  [p, 4p]

A) S  [2p, 3p] C) S  [2p, 4p] D) S  [4p, 8p]

E) S  ]2p, 6p[

4 Un poliedro está formado por 3 regiones cuadrangulares, 5 pentagonales y x triangulares. Calcula x, si la suma de las medidas de los ángulos de todas las caras es 4320º. A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

EDI TORI AL I NGENI O

5 Un poliedro está formado por 8 triángulos y 6 cuadriláteros. ¿Cuántas aristas tiene? A) 14 D) 24

B) 18

REFORZANDO

C) 20 E) 26

NIVEL

II

6 El triángulo equilátero ABC y el cuadrado ABPQ están contenidos en planos perpendiculares. Calcula la distancia de Q al punto medio de BC, si AB = 4. A) 6 D) 2 7

B) 3 6

C) 7 E) 5

7 Calcula la medida del diedro que forman los planos que contienen a los rectángulos congruentes ABCD y AFED, si BC = 4 2, AF = 4 y mCAE = 60º. A) 90º D) 150º

B) 135º

C) 60º E) 120º

A) 63,5º D) 18,5º

B) 72,5º

C) 67,5º E) 26,5º

9 Los planos que contienen al cuadrado ABCD y al triángulo equilátero ABM forman un diedro que mide 30º. Si AB = 4, calcula MC. A) 4 D) 2 2

B) 2 5

C) 3 E) 6

10 El triángulo equilátero PCB y el cuadrado ABCD están contenidos en planos cuyo ángulo diedro que forman mide x. Si AB = 4 3 y la distancia de P al plano del cuadrado es 3 3, calcula el valor de x. (x < 90º). A) 30º D) 53º

B) 37º

C) 45º E) 60º

III

11 Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC, AC = 6. Se traza BP perpendicular al plano que contiene al triángulo. Calcula la medida del ángulo que forman los planos APC y ABC, si BP 2 = AB = BC. A) 30º D) 53º

B) 37º

C) 45º E) 16º

12 Dados los planos secantes P y Q, en P está contenido el triángulo ABC y en Q su proyección, el triángulo A1B1C1. Si BC = B1C1, mACB = 90º, mBAC = 30º y mA1B1C1 = 45º, calcula el coseno del ángulo diedro formado por los dos planos secantes. A)

3 2

D)

6 3

B)

5 3

C)

2 3

E)

3 3

13 Se tiene un tetraedro de vértices V, A, B y C donde mAVB = 90º, mAVC = 30º y mBVC = 75º. Si g es el ángulo diedro que forman los planos AVC y BVC, entonces el valor de cosg es: A) 3 – 3

B) 3( 3 – 2)

D) 2( 2 – 2)

C) 1 – 2 E) 2 – 3

14 Una pirámide posee 42 aristas. Calcula la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras. A) 5 400º D) 8 400º

B) 6 200º

C) 7 200º E) 9 200º

15 Un triángulo isósceles ABC donde AB = AC = a está inscrito en un círculo de radio a. En A se levanta una perpendicular AD y se une el punto D con los vértices B y C. Calcula la longitud del segmento DB para que el diedro BC mida 30º. A)

D)

a 13 13 a 13 3

B)

a 13 2 3

C) a 13 a E)

13 3 3

4

67

GEOMETRÍA

8 Los cuadrados ABCD y BDEF están contenidos en planos perpendiculares. Calcula la medida del diedro que forman los planos AFE y el plano del cuadrado BDEF.

NIVEL

REFORZANDO

capÍtulo

18 1

En un prisma triangular regular, la longitud de la diagonal de una de sus caras es 10 y al ángulo que ésta forma con la base mide 53º. Calcula el volumen de dicho prima. A) 108 D) 72 3

2

PRISMA

B) 48 6

5

C) 16 cm3 E) 15 cm3

La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8, siendo su altura igual al diámetro de la circunferencia inscrita en la base. Calcula su área lateral. A) 84 D) 72

C) 1124 E) 1200

B) 8 cm3

B) 48

C) 64 E) 96

GEOMETRÍA

B) 1040

A) 4 cm3 D) 35 cm3

C) 96 E) 84

La longitud de la altura de un prisma hexagonal regular es el triple de la longitud de una arista básica. La suma de las longitudes de todas las aristas es 240, calcula el área de la superficie lateral A) 960 D) 1152

4 La base y el desarrollo de la superficie lateral de un prisma recto son cuadrados, si 4 cm es la longitud del lado del cuadrado mayor, calcula su volumen.

3

Se tiene un prisma regular cuya altura es igual a la arista básica en longitud. Si las áreas de las superficies total y lateral están en razón de 3 a 2, calcula el número de lados de la base. A) 5 D) 7

68

B) 6

4

C) 4 E) 8

6

Un cubo de madera es pintado totalmente, luego se cortan en cubos cuyas aristas miden 10 cm cada uno. Si existen 96 cubos que tienen 2 de sus caras pintadas, determine la longitud de la arista del cubo mayor. A) 100 cm D) 144 cm

B) 96 cm

C) 108 cm E) 124 cm

EDI TORI AL I NGENI O

7

Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular, cuya diagonal mayor mide 10 cm y las caras laterales son cuadrados. A) 20 15 D) 30 15

8

B) 40 15

C) 60 15 E) 86 15

En un prisma regular la medida del ángulo diedro formado por dos caras contiguas es 120º. Si el perímetro de la base es 12 y su altura mide 4, calcula su volumen. A) 12 D) 24 3

B) 12 3

C) 24 E) 36 3

9

¿Cuál es el volumen de un prisma oblicuo si la sección recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3 m de radio y el área lateral del sólido es 28 m2? A) 56 m3 D) 45 m3

B) 52 m3

C) 48 m3 E) 42 m3

10 La base de un prisma recto es un rectángulo en el que un lado mide el doble del otro. Si la altura del prisma es 6 m y el área de la superficie total es 144 m2, calcula la suma de las longitudes de las diagonales de dicho prisma. A) 15 m D) 25 m

B) 36 m

C) 30 m E) 27 m

GEOMETRÍA

Tarea 1 Una fuente tiene una altura de 1 m y su base es un hexágono regular de 2 m de lado. Calcula su volumen.

2 Calcula el volumen de un prisma triangular regular, cuya altura mide 6 3 m y el desarrollo de su superficie lateral tiene por diagonal 12 m.

3 La altura de un prisma recto mide 6. Su base es un rectángulo, en el cual el largo es el doble del ancho. El área total es igual a 144. Calcula la diagonal del prisma.

4 En un prisma triangular regular, su altura es igual a 8. El desarrollo de la superficie lateral es una región rectangular cuya diagonal mide 16. El volumen del prisma es:

4

69

EDI TORI AL I NGENI O

REFORZANDO

NIVEL

I

1 Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular, si su arista básica mide 2 y su altura 3. A) 15 D) 20

B) 12

B) 108

D) 36 6

C) 40 3 E) 75

3 Las dimensiones de un rectoedro son proporcionales a 1; 2 y 3. Si su área total es 550 cm2, calcula su volumen. A) 900 cm3 D) 600 cm3

B) 800 cm3

C) 1500 cm3 E) 750 cm3

GEOMETRÍA

4 Las dimensiones de un rectoedro forman una progresión aritmética de razón 2, su volumen es igual a 105 m3. Calcula la diagonal del rectoedro. A) 10 D) 83

B) 8 2

A) 84 D) 108

B) 96

8 La diagonal de un rectoedro mide 10 m y su área total es 261 m2. Calcula la suma de las longitudes de todas sus aristas. A) 60 m D) 65 m

B) 86 m

9 El radio de la circunferencia inscrita en la base triangular de un prisma recto es 4 cm y el área lateral es 20 cm2. Calcula su volumen. A) 40 cm3 D) 70 cm3

B) 50 cm3

A) 160 D) 720

B) 758

C) 768 E) 264

E) 8

B) 540 cm2

D) 720 cm2

C) 480 2 cm2 E) 240 6 cm2

REFORZANDO

NIVEL

NIVEL

B) 98 6

C) 224 2 E) 124 6

D) 210 3

4

III

11 Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular cuya diagonal mayor tiene por longitud d y las caras laterales son cuadrados. A)

15 d3 50

D)

3 15 d3 50

B)

3d3 50

C) 3 15 d3 E) 50 d3

II

6 Las bases de un prisma recto son trapecios isósceles de bases 4 y 10 tienen ángulos de 60º en las bases. Calcula el volumen del prisma si su altura es 10.

70

C) 60 cm3 E) 80 cm3

10 Calcula el volumen de un prisma triangular recto ABC - DEF, sabiendo que EBCF es un cuadrado de centro O, AB = AC, DO = 10 y EF = 16.

REFORZANDO

A) 180 3

C) 76 m E) 70 m

C) 9

5 Determine el área lateral de un prisma oblicuo de 12 cm de arista lateral su sección recta es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10 cm y 24 cm respectivamente. A) 360 3 cm2

C) 102 E) 112

C) 18 E) 27

2 En un prisma triangular regular cuya arista lateral mide 3; el área de la superficie lateral es igual al área de su base. Calcula el volumen del prisma. A) 100

7 Calcula el volumen de un prisma triangular recto ABC - DEF, sabiendo que EBCF es un cuadrado de centro O. AB = AC, DO = 5 y EF = 8.

12 En un prisma recto de base cuadrada la relación entre su área lateral y el área de sus dos bases es de 10 a 3. Si al desarrollar el prisma se obtiene un rectángulo cuya diagonal mide 13, calcula su volumen. A) 75 D) 45

B) 60

C) 50 E) 40

EDI TORI AL I NGENI O

dimensiones diferentes es 14, calcula la altura para que se gaste la mayor cantidad de pintura.

13 En un hexaedro regular ABCD - EFGH, en CH se ubica el punto P, de modo que el área de la región triangular APB es el quíntuplo del área de la región triangular HPG. Calcula el área de la región triangular ABP, si AB = 4 m. A) 15 m2 D) 12 m2

B) 14 m2

C) 10 m2 E) 8 m2

14 Se tienen una caja de forma de un paralelepípedo rectangular, la cual se desea pintar. Si el largo es el doble del ancho y la suma de las 3

A) 7 D) 4 5

B) 3 6

C) 6 E) 5

15 La sección recta de un prisma es un triángulo circunscrito a una circunferencia de 4 m de radio y el área lateral del prisma es de 16 m2. Su volumen es: A) 8 m3 D) 28 m3

B) 16 m3

C) 32 m3 E) 20 m3

capÍtulo

1

En una pirámide cuadrangular regular O-ABCD, OD = DA y su altura mide 3. Calcula su volumen. A) 9 D) 24

B) 16

C) 18 E) 36

2

En una pirámide regular P-ABCD, la mDPC = 53º. Calcula la razón entre el área de la superficie total y el área de la base. A) 5 D) 6

B) 3

C) 2 E) 5

4

71

GEOMETRÍA

19

PIRÁMIDE

EDI TORI AL I NGENI O

3

4

El volumen de una pirámide cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya base es un cuadrado de lado a es: A)

a3 3 6

D)

a3

B)

a3 6

3

Calcula el volumen de un tetraedro regular de arista igual a 12 cm.

B) 400

4

GEOMETRÍA

La base de una pirámide recta es el cuadrado PQRS inscrito en el triángulo acutángulo ABC (P y S en AC y R en BC), AC = 12 m, la altura BH = 6 m. Calcula el volumen de la pirámide si su altura es 9 m (BH altura del triángulo ABC). A) 72 m3 D) 54 m3

7

B) 90 m3

C) 66 m3 E) 48 m3

B) 184 2 cm3

La base de una pirámide triangular regular es de lado L. La altura de la pirámide es igual al radio de la circunferencia circunscrita a la base. Calcula el volumen.

E) 144 2 cm3

A)

Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya área total es 360 y su apotema mide 13. A) 300 D) 500

72

a3 2 6

a3 3 E) 2

A) 196 2 cm3 C) 172 2 cm3 D) 166 2 cm3

5

C)

6

C) 450 E) 600

8

L3 12

B)

L3 8

C)

L3 4

D)

7L3 12

E)

8L3 9

En una pirámide de 27 m3 de volumen, se trazan dos planos secantes y paralelos a la base que dividen a la altura en 3 partes iguales. Calcula el volumen determinado en la porción central. A) 6 m3 D) 10 m3

B) 7 m3

C) 9 m3 E) 13,5 m3

EDI TORI AL I NGENI O

9

Sobre una de las bases de un prisma hexagonal regular de 8 cm de lado de la base y 3 cm de altura se ha construido una pirámide regular de 10 cm de arista lateral. Determine el área total del poliedro formado. B) 48(2 3 + 3 + 21) cm2 A) 264 cm2 C) (100 3 + 124) cm2 D) 86 6 + 180 cm2 E) 300 cm2

Tarea 1 Calcula el volumen de una pirámide cuya base es un cuadrado de 5 m de lado y su altura es de 9 m.

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Una pirámide regular tiene una base cuadrada de 3 cm de lado. Si la altura es igual al lado de la base, calcula su volumen. A) 9 cm3 D) 24 cm3

B) 12 cm3

C) 18 cm3 E) 15 cm3

2 Calcula el volumen de la pirámide mostrada en la figura, si su base es un triángulo equilátero. A) 25 3 B) 45 3

6

B) 6 3 C) 36 3 B

E) 27 3

A

C

H

3 Por el vértice A de un triángulo equilátero ABC de lado 8 se levanta una perpendicular al plano que lo contiene de longitud AP = 2 3, calcula el volumen de la pirámide P-ABC.

4 En una pirámide triangular regular la altura mide 15 y la arista básica mide 6. Calcula el área de la sección paralela a la base, sabiendo que esta sección dista 10m de la base.

3 En la figura se muestra una pirámide cuya altura es igual al perímetro de su base. Calcula su volumen. P A) 160 B) 145 C) 180

B

D) 190 E) 192

A

8 C

10

4 ¿A qué distancia del vértice de una pirámide de altura 8 se debe trazar un plano paralelo a dicha base para que se produzcan dos sólidos equivalentes? A) 4 3 4

D) 75 3

D) 8 3 2

10

h

D) 18

C) 75 E) 50 3

V

A) 9

B) 3 8

C) 2 3 4 E) 5 3 2

4

73

GEOMETRÍA

2 La base de una pirámide hexagonal regular está inscrita en una circunferencia cuyo radio es igual a 5. Si la arista lateral mide 13, calcula su volumen.

10 En la figura se muestra una pirámide regular. Calcula su volumen, si h = 2(AB) y BH = 3 3.

EDI TORI AL I NGENI O

5 En una pirámide hexagonal regular cuyas aristas laterales forman con la base un ángulo de 60º y tienen por longitud 2, calcula el volumen de la pirámide. A) 6

B)

9 2

C) 3

D) 12

E) 2

NIVEL

REFORZANDO

III

11 En la figura se muestra una pirámide regular. Si R = 4 3 y mPAB = 45º, calcula el volumen de dicha pirámide. P A) 144 B) 108 2

NIVEL

REFORZANDO

II

C) 120 E) 96

6 Se tienen una pirámide hexagonal regular, donde una arista lateral forma con la base un ángulo de 45º. Si la arista básica mide 2, calcula el volumen de la pirámide. A) 12 D) 4 3

C) 9 E) 6

B) 6 3

C

D) 72 2 A

B

R

12 En la figura se muestra el desarrollo de una pirámide cuadrangular regular. Calcula su volumen. A) 40 3 B) 400

7 La altura de una pirámide hexagonal regular mide 24 m y el lado de la base 10 m. Determine el área total. A) 30 3(5 + 217)

D) 300 E) 360

B) 25 5(3 + 173) 13 Calcula el volumen del tetraedro mostrado.

C) 20 6(6 + 167) D) 15 10(10 + 111)

5 13

C) 200

E) 10 15(5 + 35)

A) 6 17

GEOMETRÍA

B) 24 8 La base de una pirámide regular es un hexágono de 10 cm de lado y su superficie lateral es el doble de la base. Calcula la longitud de la altura de la pirámide. A) 15 D) 9

B) 12

C) 17 E) 16

9 La arista de la base de una pirámide cuadrangular regular mide 12 cm y su área lateral es 240 cm2. El apotema de la pirámide mide: A) 16 cm D) 11 cm

B) 15 cm

C) 12 cm E) 10 cm

10 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular regular donde el área de la superficie lateral es igual al doble del área de la base y a su vez igual a 72. A) 18 2

B) 24 6

E) 36 3

D) 72 6

74

C) 30

4

17

C) 8 6

6 6

D) 16 E) 12 2

5

5 8

14 El área de la superficie lateral de una pirámide regular hexagonal es 192 cm2 y la longitud de una arista básica es 8 cm. Calcula la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral con la base. A) 60º D) 37º

B) 53º

C) 45º E) 30º

15 T - ABCD es una pirámide regular cuadrangular, AT  TC y AB = 6. Calcula el volumen de dicha pirámide. A) 36 3 D) 48

B) 54

C) 36 2 E) 24 6

capÍtulo

20

CILINDRO CIRCULAR RECTO 1

Se tiene un cilindro de revolución, cuyo radio básico y la generatriz miden 5 y 16, respectivamente. Calcula el volumen del cilindro. A) 240p D) 360p

2

B) 280p

C) 320p E) 400p

Un cilindro de revolución, cuya altura es congruente al diámetro de la base, tiene un área total de 12p. Calcula su volumen. A) 32p

B) 16p

D) 4 2 p

C) 8 2 p E) 4p

4

Una torta circular de 30 cm de diámetro y 6 cm de altura se divide en 12 partes iguales. Calcula el volumen de cada trozo de torta. A) 112,5p cm3

B) 100p cm3

D) 20p cm3

C) 120p cm3 E) 20,4p cm3

5 Si el número que expresa el área de la superficie lateral de un cilindro de revolución y el número que expresa su volumen son iguales, ¿cuánto mide el radio de su base? A) 2 D) 5

B) 3

C) 3 E) 1

GEOMETRÍA

3

Calcula el área total del cilindro de revolución de volumen 24p y área de su base 4p. A) 16p D) 48p

B) 32p

C) 60p E) 64p

6 El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro de revolución es una región rectangular cuya diagonal mide 13. Si la generatriz mide 5, calcula el área total del cilindro. A)

72 + 60 p

D)

54 + 48 p

B)

36 + 30 p

C)

48 + 54 p

E)

60 + 36 p

4

75

EDI TORI AL I NGENI O

7

La altura de un cilindro mide 10, la base está inscrita en un cuadrado cuyo lado mide 8. Calcula su volumen. A) 140p D) 170p

8

B) 150p

C) 160p E) 180p

Un vaso con forma de cilindro, cuyo diámetro interior es de 8 cm, contiene 225 cm3 de agua. Se arrojan dentro de él, 10 monedas de 20 mm de diámetro y 3 mm de espesor. Calcula si es posible, la altura, en cm, que alcanzará el agua dentro del vaso. A) 0,32 cm D) 0,54 cm

B) 4,66 cm

C) 0,45 cm E) 0,66 cm

9

En un cilindro recto se inscribe un prisma triangular regular, ¿qué relación existe entre los volúmenes de dichos sólidos? A)

4p 3 3

D)

3 4p

B)

4p 3

C)

4p 3

E)

3 4p

10 En la figura se muestra un cilindro de revolución y una pirámide regular inscrita en el cilindro. Calcula la razón entre sus volúmenes. A)

3/p

B)

3/4p

O

C) 2 3/3p D) 2 6/3p 3p

GEOMETRÍA

E)

Tarea 1 El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un cuadrado de diagonal 12 2, calcula su volumen.

2 Una torta circular de 60 cm de diámetro y 6 cm de altura se divide en 12 partes iguales. Calcula el volumen de cada trozo de la torta.

76

4

3 El desarrollo del área lateral de un cilindro es un rectángulo de 10 cm de altura y 5 5 cm de diagonal. Calcula su volumen.

4 En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro de revolución. Calcula la razón entre sus áreas laterales.

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Se tiene un cilindro circular recto, cuya generatriz y el diámetro de su base miden 10 y 8, respectivamente. Calcula el área de la superficie lateral del cilindro. A) 120p D) 90p

B) 110p

C) 100p E) 80p

2 El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro de revolución es una región rectangular cuya altura y una diagonal miden 21 y 29, respectivamente. Calcula el volumen del cilindro. A)

2900 p

B)

2700 p

2300 D) p

C)

2500 p

B) 300p cm3

C) 360p cm3 E) 424p cm3

4 Calcula el volumen del cilindro oblicuo mostrado. (Las bases son de áreas iguales a 9p).

D) 54 3 p

A) 4p D) 10p

B) 8p

C) 6p E) 12p

8 Un cilindro de 20 cm de alto, longitud de la circunferencia de la base 16p cm, calcula su área total. B) 440p cm2

C) 424p cm2 E) 396p cm2

9 Calcula el volumen de un cilindro circular recto, si en su sección axial se encuentra inscrito un círculo de área 16p. A) 196p D) 148p

B) 193p

C) 186p E) 128p

10 Un cilindro contienen agua hasta la mitad de su capacidad. Se suelta un trozo metálico y el nivel de agua sube 3,5. Si el radio de la base mide 4, calcula el volumen del trozo. B) 63p

C) 64p E) 126p

60°

E) 60 3 p

5 Se tiene un tronco de cilindro de revolución, cuyo eje mide 15. Si el radio básico mide 6, calcula el volumen del tronco. A) 540p D) 600p

C) 72p E) 60p

7 El volumen de un cilindro recto es 81p. Calcula el perímetro de su base, si su área lateral y total están en la relación de 3 a 4.

A) 56p D) 72p

10

B) 84p

B) 560p

REFORZANDO

C) 580p E) 620p

NIVEL

II

6 Se tienen un recipiente de forma cilíndrica cuyo radio de la base mide 6. Dicho recipiente contiene agua hasta la mitad, se introduce un tro-

NIVEL

REFORZANDO

III

11 La circunferencia de la base de un cilindro mide L, y su altura mide h. Calcula el volumen del cilindro. A)

L2h (4p)

D)

L2h (6p)

B)

L2h (2p)

C)

L2h (3p)

E)

L2h (9p)

12 Un cilindro de revolución, cuya generatriz mide 10, está inscrito en una esfera de radio 7. Calcula el volumen del cilindro.

4

77

GEOMETRÍA

A) 40 3 p B) 45 3 p C) 45p

A) 93p D) 66p

A) 448p cm2 D) 400p cm2

2100 E) p

3 Calcula el volumen de un cilindro recto que tiene de base un círculo de 4 cm de radio y 25 cm de altura. A) 400p cm3 D) 440p cm3

zo metálico observándose que el nivel del agua sube una longitud igual a 2. Calcula el volumen del sólido metálico.

EDI TORI AL I NGENI O

A) 240p D) 224p

B) 260p

C) 300p E) 254p

A) 12p

P

B

Q

B) 24p C) 32p

13 Calcula el volumen del cilindro de revolución mostrado, si DE = 4 y EC = 2. A) 24p

D) 36p E) 72p

M

D

A

B) 28p C) 32p D) 36p

E

E) 40p

C

B

15 Calcula el volumen y el área total del cilindro de revolución mostrado, si CM = 37, OC = 34 y AM = 4(BM). C B A) 45p; 48p B) 45p; 36p

14 Según el gráfico el plano M es perpendicular a las bases del cilindro de revolución, OP = PQ = 3, O es centro de la base y la generatriz mide 8. Calcula el área de la menor porción de superficie cilíndrica que determina el plano M.

C) 30p; 36p D) 30p; 48p E) 42p; 48p

M

A

O

D

GEOMETRÍA

capÍtulo

21 1

Las longitudes de la generatriz y el diámetro de la base de un cono de revolución son 17 y 16 respectivamente. Calcula la longitud de la altura de dicho cono. A) 15 D) 12

78

CONO CIRCULAR RECTO

B) 14

4

C) 13 E) 11

2

Las longitudes de la generatriz y el diámetro de la base de un cono circular recto son 29 y 40 respectivamente. Calcula el volumen de dicho cono. A) 3200p D) 2600p

B) 3000p

C) 2800p E) 2400p

EDI TORI AL I NGENI O

3

La altura de un cono equilátero mide 3 3 m, calcula su área lateral. A) 18p m2 D) 3p m2

4

B) 15p m2

C) 9p m2 E) 12p m2

Calcula el radio de la esfera inscrita en un cono equilátero de generatriz igual a 6 3. A) 3 D) 3,5

B) 2

6

Calcula el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a 12 m2, la distancia del centro de la base a una de sus generatrices es 3 m. A) 12 m3 D) 24 m3

7

B) 6 m3

C) 9 m3 E) 15 m3

Calcula el área total de un cono cuyo desarrollo es el de la siguiente figura. A) 8p cm2

C) 2,5 E) 1

B) 10p cm2

120°

C) 9p cm2 10 p cm2 3 E) 7p cm2 D)

Calcula el volumen de un cono inscrito en un cubo de 6 cm de arista. A) 15p m3 D) 15p m3

B) 10p m3

C) 12p m3 E) 18p m3

8

Calcula el volumen de un cono de revolución, sabiendo que un punto de una de sus generatrices dista de la base 6, del vértice del cono 5 y de la altura 3. A) 200p D) 160p

B) 150p

C) 187,5p E) 187p

4

79

GEOMETRÍA

5

2 cm

EDI TORI AL I NGENI O

9

En un cono recto con radio de la base de 3 m y volumen 27p m3, se traza un plano secante paralelo a la base a 2/3 de la base. Calcula el volumen del tronco de cono que se forma. A) 9p m3 D) 25p m3

B) 18p m3

C) 24p m3 E) 26p m3

10 Calcula el volumen de un cono equilátero en función del radio r de la esfera inscrita. A) p r3 D) 4p r3

B) 2p r3

C) 3p r3 E) 5p r3

Tarea 1 Calcula el área total de un cono recto si su altura mide 12 m y su generatriz, 13 m.

GEOMETRÍA

2 La generatriz de un cono circular recto es igual a 13 y la longitud de la circunferencia de la base es igual a 10p. Calcula el volumen.

NIVEL

REFORZANDO

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

2 Calcula el volumen de un cono recto, si su área lateral es igual al doble del área de la base y el radio de la base mide 2. A)

8 3p 3

B) 8p

D) 6p

80

4

C)

10 2p 3

E)

5 5p 2

4 El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo cuyo radio mide 2. Calcula el volumen del cono.

I

1 El área de la superficie lateral de un cono circular recto es el triple del área de la base. La longitud de la generatriz es 24, calcula la longitud del radio básico. A) 4

3 Se tiene un cilindro y un cono de bases congruentes y de alturas congruentes. Calcula la relación de volúmenes.

3 Se tiene un tronco de cono de revolución, cuyas longitudes de los radios de las bases y la altura son 8, 15 y 24 respectivamente. Calcula la longitud de la generatriz de dicho tronco. A) 33 D) 27

B) 31

C) 29 E) 25

4 En un tronco de cono recto los radios de las bases miden 4 y 7 m y su altura 4 m; calcula el área lateral. A) 60p m2 D) 45p m2

B) 55p m2

C) 50p m2 E) 40p m2

EDI TORI AL I NGENI O

5 La superficie total de un cono es 200p, el producto de la generatriz y el radio es 136. Calcula su volumen. A) 320p D) 370p

B) 325p

REFORZANDO

NIVEL

II

6 En un cono circular recto, el área de la superficie lateral es el doble del área de la base, calcula el volumen del cono si su altura es 6 m. A) 18p m3 D) 33p m3

B) 24p m3

C) 28p m3 E) 36p m3

7 La generatriz de un cono recto mide 10 m, el desarrollo del área lateral genera un sector circular de 216º. Calcula su volumen. A) 124p m3 D) 96p m3

B) 112p m3

C) 104p m3 E) 90p m3

8 Calcula el volumen de un cono de revolución, sabiendo que el desarrollo de la superficie lateral es un semicírculo de área igual a 18p. B) 9 6 p

D) 9 5 p

C) 16p E) 9 3 p

9 Si el área lateral de un cono recto es el doble del área de su base, determine el ángulo que forma la generatriz y la altura. A) 30º D) 60º

B) 45º

C) 50º E) 24º

12 Se tiene un cono de revolución donde el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrantal cuyo radio mide 8. Calcula el volumen del cono. A)

8 15 p 3

D)

10 2p 3

A) 4 D) 7

A) 128 D) 110p

C) 27p cm3

4 p R3 7

E) 30p cm3

D)

5 p R3 11

E)

E)

12 2p 5

B) 5

C) 6 E) 8

B) 89p

C) 89 E) 128p

15 En la figura el volumen del cono mayor es 96p cm3. Calcula el volumen del cono menor.

2 p R3 5

C)

C) 6 2 p

14 Calcula el volumen de un cono recto, si el ángulo del sector circular que se obtiene al desarrollar el área lateral del cono es 288º y la generatriz es 10.

3 p R3 8

B)

B) 2 6 p

13 Una cuerda trazada en la base de un cono circular recto mide 8. Si la distancia de la cuerda al centro del círculo base es 2 y la altura del cono mide 4, calcula la longitud de la generatriz.

A) 18p cm3

5 p R3 9

C) 4 2 E) 4 3 4

D) 4 3

10 Calcula el volumen del cono equilátero inscrito en una esfera cuyo radio mide R. A)

B) 2 2

37°

B) 24p cm3 D) 36p cm3

4

81

GEOMETRÍA

A) 18p

III

11 La altura de un cono recto mide 8. ¿A qué distancia del vértice se debe trazar un plano paralelo a la base para determinar dos sólidos parciales equivalentes?

C) 350p E) 375p

A) 4

REFORZANDO

NIVEL

capÍtulo

22

ESFERA

1 El área de la superficie esférica es numéricamente igual al volumen de la esfera, calcula su volumen. A) 72p D) 42p

2

B) 64p

4000 p cm3 B) 1600p cm3 3

D) 180p cm3

5

4400 p cm3 3

E)

4500 p cm3 3

Determine el volumen de la esfera que está inscrita en un cilindro de 200p cm3 de volumen. A) 120p

C) 130p cm2 E) 96p cm2

C)

B)

400 p 3

D) 100p

C) 140p E)

430 p 3

GEOMETRÍA

B) 120p cm2

Calcula el volumen de una esfera inscrita de un cilindro recto de 20 cm de altura. A)

C) 48p E) 36p

A una distancia de 3 cm del centro de una esfera se ha trazado un plano secante que ha determinado un círculo de 16p cm2 de área, calcula el área de la superficie esférica. A) 100p cm2 D) 90p cm2

4

3

Determine el volumen de una esfera inscrita en un cubo cuya diagonal mide 6 3 m. A) 24p m3 D) 60p m3

82

B) 46p m3

4

C) 36p m3 E) 72p m3

6

Determine el radio de una esfera equivalente a un cilindro de 4 cm de radio y 6 cm de altura. A) 3 2 D) 2 3 9

B) 3 3 2

C) 3 36 E) 6

EDI TORI AL I NGENI O

Calcula el volumen del sólido engendrado por un semicírculo al girar en 60º alrededor de su diámetro, cuyo radio de dicho semicírculo mide 3 unidades. A) 12p D) 6p

8

B) 10p

C) 8p E) 9p

Se tiene un cilindro recto conteniendo agua hasta una determinada altura. Se introduce una esfera y se observa que el agua se ha desplazado 2 cm. Calcula el radio de la esfera si el radio del cilindro es 4 m. A) 2 3 3 D) 5

B) 6

C) 3 3 E) 3 2

9

Un cilindro de 4 m de radio y volumen 96p m3 se encuentra inscrito en una esfera. Calcula el volumen de la esfera. A)

500 p 3

B) 164p

C)

D) 172p

560 p 3

E) 180p

10 Calcula el tiempo que tarda en llenarse un depósito de combustible como el de la figura, si se sabe que se vierten p/2 litros por segundo. A) 36 h B) 32 h C) 27 h D) 25 h

3m

7

3m 3m

E) 24 h

GEOMETRÍA

Tarea 1 El área de la superficie de una esfera es numéricamente igual al volumen. Calcula la longitud de su diámetro.

2 Una esfera de radio 20 cm está inscrita en un cilindro, de forma que tiene un punto de contacto con cada base del cilindro. Calcula el área total del cilindro.

3 Dado un semicírculo de diámetro AB = 6 cm, ¿cuántos grados se debe girar el semicírculo alrededor de AB para que el volumen resultante sea 3p cm3?

4 Un globo esférico, que tiene de radio 5 cm, se infla de forma que su nuevo radio sea igual al triple del radio original. ¿Cuántos centímetros cúbicos de aire se ha introducido en el globo?

4

83

EDI TORI AL I NGENI O

REFORZANDO

NIVEL

I

1 El volumen de una esfera es 36p m3. Calcula el área de su círculo máximo. A) 8p m2 D) 12p m2

B) 9p m2

C) 10p m2 E) 15p m2

2 Determine el área de una esfera inscrita en un cono equilátero cuya generatriz mide 6 m. A) 18p D) 12p

B) 16p

7 En un recipiente cilíndrico de diámetro 4 m y que contiene agua, se introduce una esfera de metal y hace que el nivel del agua se eleve 8/3 m. Calcula el radio de la esfera. A) 6 m D) 2 m

A) 42p m2

C) 15p E) 10p

3 Calcula el volumen de una esfera equivalente a una cuña esférica cuyo radio y su ángulo diedro miden 6 m y 120º, respectivamente. B) 36p m3

C) 48p m3 E) 96p m3

B)

GEOMETRÍA

A) 8 m D) 6,5 m

B) 7,5 m

C) 7 m E) 8,5 m

A) 124p

B) 136p

525 p D) 3

C)

500 p 3

9 A 6 cm del centro de una esfera se traza un plano secante que determina con la esfera un círculo de área 64p cm2. Calcula el volumen de la esfera.

D)

5000 p cm3 C) 1600p cm3 3

4000 p cm3 3

E) 1500p cm3

10 Calcula el volumen de un esfera que está inscrita en un cubo inscrito en otra esfera de 6 3 m de diámetro. B) 54 2 p m3

C) 66p m3

D) 42 3 p m3

E) 36p m3

NIVEL

REFORZANDO

NIVEL

II

6 Dos esferas son tangentes exteriores y están apoyadas sobre un plano, ¿cuál es la distancia entre los puntos de tangencia con el plano si los radios miden 4 y 9 m?

84

B)

E) 164p

REFORZANDO

A) 16 D) 13

C) 46p m2 E) 48p m2

A) 72p m3 5 Calcula el volumen de una esfera si en una de sus circunferencias máximas está inscrito un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm.

400 p m2 9

500 p m2 9

A) 1800p cm3 4 Calcula el radio de la esfera en la cual se halla inscrito un cono recto de 6 m de radio de la base y 9 m de altura, si el centro de la esfera es interior al cono.

C) 5 m E) 3 m

8 Calcula el área de la superficie de una esfera inscrita en un cono de 12 m de altura y 13 m de generatriz.

D)

A) 16p m3 D) 72p m3

B) 3 m

B) 15

4

C) 14 E) 12

III

11 Calcula la medida del ángulo diedro correspondiente a un huso esférico equivalente a la superficie de una esfera cuyo diámetro es la mitad del diámetro de dicho uso. A)

2p 3

B)

p 2

C)

p 3

D)

3p 5

E)

p 4

12 Determine el volumen de una esfera circunscrita a un octaedro regular de 6 2 de arista. A) 300p D) 264p

B) 288p

C) 272p E) 260p

EDI TORI AL I NGENI O

13 Calcula el volumen de una esfera que está inscrita en un cubo inscrito en otra esfera de 3 3 m de diámetro. A) 9p

B)

9p 2

D) 4p

C) 6p E) 8p

15 Se traza un plano secante a una esfera, de modo que el área del círculo determinado es igual a la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos formados y la distancia del plano al centro de la esfera es 3( 5 – 2). Calcula el área de la superficie de dicha esfera. A) 48p

B) 24 3 p

C) 42p

D) 18 6 p

E) 36p

TEOREMA DE PAPPUS - GOULDING

capÍtulo

14 Una semiesfera se encuentra inscrita en un ortoedro de base cuadrada. Si el ortoedro tiene una superficie de área total igual a 576 m2, entonces el volumen (en m3) de la semiesfera es: A) 72p D) 124p

B) 88p

C) 108p E) 144p

A) 48p cm2 B) 64p cm2 2

C) 72p cm

D) 80p cm2

C

16 cm 4 cm

D L

2

Calcula el área de la superficie generada por un círculo al girar alrededor de una recta exterior y coplanar, cuyo radio mide 6 unidades y la distancia de su centro a dicha recta mide 15 unidades. A) 360p2 D) 320p

B) 330p2

C) 330p E) 300p

E) 96p cm2

4

85

GEOMETRÍA

1 De la figura, calcula el área de la superficie generada por el segmento CD al girar 180º en torno de la recta L.

23

EDI TORI AL I NGENI O

3 De la figura, calcula el área de la superficie generada por el rombo ABCD al girar 180º en torno de la recta L. B

A) 84p B) 78p

E) 64p

B

B) 2 200p

GEOMETRÍA

E) 2 280p

5

B) b2ap

ab2 p D) 2

C)

a2b p 2

ab2 E) p 3

4

B) 21 3 p

D) 9 3 p

D

5

L

8

L

A

Calcula el volumen del sólido generado, al girar alrededor de una de sus alturas, por la región de un triángulo equilátero, cuyo perímetro es de 18 unidades. A) 27p

A

En un rectángulo de lados que miden a y b (a < b), calcula el volumen del sólido generado al girar la región rectangular alrededor de su lado mayor. A) a2bp

86

C

8

C) 2 240p D) 2 360p

15

7

C 30°

E) 1440p

L

24

24

D) 1500p

D

Calcula el volumen del sólido generado por la región ABCD al girar alrededor de la recta L. A) 2 160p

60°

B) 1600p

5 1

B

C) 1748p

C) 72p A

Calcula el área de la superficie generada por la región ABC al girar alrededor de la recta L. A) 1728p

C

6

D) 68p

4

6

C) 24p E) 18p

ABCD es una región cuadrada. Calcula el área de la superficie que genera al hacer girar esta región una vuelta completa alrededor de L . 4 B C A) 80p B) 64 2 p C) 90p D) 84 2 p E) 100p

4

L 45°

A

D

EDI TORI AL I NGENI O

9

Calcula el volumen generado por una región hexagonal regular al girar alrededor de uno de sus lados, cuyo perímetro es de 60 unidades. A) 2750p D) 1720p

B) 3740p

C) 4730p E) 4500p

10 Calcula el volumen del sólido generado por una región cuadrangular regular al gira alrededor de la recta L. A) 256(1 + 3)p 8

B) 224( 3 – 1)p C) 218(1 + 3)p D) 272( 3 – 1)p 30°

E) 200(1 + 3)p

Tarea 1 Al girar una región rectangular alrededor de uno de sus lados, se genera un sólido. ¿Cuál es el nombre de este sólido?

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Calcula el área de la superficie generada al girar el segmento AB alrededor de la recta L. A) pbh/3

B

B) 2pbh

b

C) pbh/2

D) L

2 Calcula la distancia del centroide de una semicircunferencia a su diámetro, cuyo radio mide 6 unidades. 6 p 5

3 Calcula el volumen del sólido generado al hacer girar el círculo una vuelta completa alrededor de L . L A) 24p2 S B) 16p O

2

1

16p2

E) 24p3

A

E) 3pbh

A)

4 Calcula el volumen del sólido generado por la región de un rombo cuyo perímetro es de 48 unidades y uno de sus ángulos internos mide 60º, al girar alrededor de uno de sus lados.

C) 24p2

h

D) pbh

3 Calcula el volumen del sólido generado por la región de un hexágono regular cuyo perímetro es de 36 unidades, al girar alrededor de uno de sus lados.

B)

6 p

C)

9 p

D)

10 p

E)

12 p

4 Un triángulo equilátero, cuyo lado mide 6, gira alrededor de uno de sus lados. Calcula el volumen del sólido generado. A) 52p D) 54p

B) 28p

C) 34p E) 64p

4

87

GEOMETRÍA

2 Calcula el área de la superficie generada por un cuadrado al girar alrededor de una de sus diagonales, cuyo perímetro es de 16 unidades.

L

EDI TORI AL I NGENI O

5 Las diagonales de un rombo miden 8 y 10, el rombo gira 360º por un vértice alrededor de una recta L paralela a la diagonal mayor. Calcula el área de la superficie generada. B) 32 41 p

A) 160p D) 36 39 p

C) 180p E) 196p

NIVEL

II

6 Un triángulo ABC de lado AC = 8 m y altura BH = 3 m (H en AC) se gira una vuelta alrededor de AC. Calcula el volumen del sólido generado. 3

A) 16p m D) 18p m3

B)

24p m3

20p m3

C) E) 26p m3

7 Calcula el área de la superficie generada por un triángulo equilátero al girar alrededor de uno de sus lados, cuyo perímetro es de 36 unidades.

GEOMETRÍA

A) 288 3 p D) 216 3 p

B) 300 3 p

C) 144 3 p E) 252 3 p

8 Un rombo, cuyo lado mide 5 y su diagonal mayor 8, gira alrededor de una paralela a esta diagonal mayor trazada por el extremo de la diagonal menor. Calcula el área de la superficie generada. A) 90p D) 116p

B) 96p

C) 108p E) 120p

9 Calcula el volumen del sólido generado por la región de un rombo al girar alrededor de una recta paralela a su diagonal mayor que a su vez contiene un vértice del rombo. Las diagonales miden 12 y 16 unidades, respectivamente. A) 1152p D) 1200p

B) 1180p

C) 1196p E) 1100p

B) 180p

C) 216p E) 288p

12 Calcula el volumen generado al girar una región triangular ABC alrededor del lado AB, si se conoce que la altura CH mide 18 unidades y AB = 10. A) 1 260p D) 960p

B) 1 080p

C) 1 020p E) 900p

13 Calcule el volumen del sólido generado por la corona al girar alrededor de la recta L, si AB = 5, BC = 14 y T es punto de tangencia. A) 1 256p2 B) 1 224p2 C) 1

200p2

D) 1

176p2

L

C T

E) 1 100p2

A

B

14 Se tiene un paralelogramo ABCD en donde mA = 135º, AB = 4 y AD = 8. Calcula el volumen generado por el paralelogramo cuando gira alrededor de BC. A) 72p D) 10 2

B) 64p

C) 192p E) 32p

15 En la figura, calcula el volumen del sólido generado por la región ABC cuando gira alrededor de la recta n. A) 648p

C

n

B) 666p 10 Los lados de un triángulo miden 13; 14 y 15 unidades, las distancias de sus vértices hacia una recta exterior son 7; 17 y 9 unidades. Calcula el área de la superficie generada por el triángulo al girar alrededor de dicha recta. A) 886p D) 924p

88

B) 900p

4

C) 906p E) 960p

III

11 Calcula el volumen engendrado por una región hexagonal regular al girar en torno a un lado, si su lado mide 4. A) 144p D) 252p

REFORZANDO

NIVEL

REFORZANDO

12

C) 672p

37°

D) 696p E) 700p

A

B

capÍtulo

24

PLANO CARTESIANO 1

El punto H(3b; 4b – 60) se encuentra ubicado en el eje de abscisas. Calcula el valor de b. A) 12 D) 15

2

B) 13

C) 14 E) 16

En un plano cartesiano, la distancia del punto P(x; 8) al origen es 17. Calcula el valor de x. A) 9 D) 15

B) 11

4

A(1; 3), B(7; 11) y C(3; 8) son los vértices de un triángulo. Calcula el perímetro de la región ABC. A) 10 + 33

B) 11 + 35

D) 14 + 29

5

C) 13 E) 17

C) 12 + 41 E) 15 + 29

G(a; b) es el baricentro de la región triangular cuyos vértices son los puntos A(7; 9), B(13; 17) y C(16; 13). Calcula (b – a). A) 5 D) 2

B) 4

C) 3 E) 1

GEOMETRÍA

3

En un plano cartesiano, la distancia entre los puntos A(n; n) y B(8; 1) es 13. Calcula el valor de n. A) 13 D) 10

B) 12

C) 11 E) 9

6

Se tienen los puntos A(6; 9), B(12; 15), calcula la distancia del punto medio de AB al origen del sistema de coordenadas. A) 16 D) 14

B) 15

C) 13 E) 12

4

89

EDI TORI AL I NGENI O

7

Se tienen los puntos colineales A(4; 8), P(a; b) y B(9; 13); tal que 2PA = 3PB. Calcula H = a2 – ab + b2. A) 99 D) 81

8

B) 93

C) 88 E) 77

A(a; b), B(11;17) y C(c; d) y D(–10; –3) son los vértices del cuadrado ABCD. Calcula el área de la región ABCD. B) 431,5

C) 396 E) 402

A(–3; –1), B(6; 5) y C(9; 3) son los vértices de un triángulo ABC. Calcula la longitud de la mediana relativa al lado AC. A) 6 2 D) 5

B) 6

C) 3 3 E) 2 5

10 A(1; 1), B(3; 7), C(q; t) y D(7; 3) son los vértices consecutivos de un romboide. Calcula 2qt. A) 122 D) 152

B) 144

C) 133 E) 162

GEOMETRÍA

A) 420,5 D) 372,5

9

Tarea 1 El punto T(a; 3a – 15) se encuentra ubicado en el eje de abscisas. Calcula el valor de a.

2 Se tienen los punto E(–6; –3) y F(16; 17). Calcula la distancia del punto medio del segmento EF al origen del sistema de coordenadas.

90

4

3 A(1; 3), B(7; 9) y C(10; 6) son los vértices del triángulo ABC. Calcula la distancia del baricentro del ABC al origen del sistema de coordenadas.

4 A(2; 4), B(5; 11) y C(9; 7) son los vértices de un triángulo ABC. Calcula el área de la región ABC.

EDI TORI AL I NGENI O

NIVEL

REFORZANDO

I

1 El punto R(5a – 70; 2a) se encuentra ubicado en el eje de ordenadas. Calcula la distancia de R al origen del sistema de coordenadas. A) 14

B) 18

C) 20

D) 24

E) 28

2 Calcula la distancia entre los puntos E(–3; –5) y F(2; 7). A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

4 A(8; 9), B(a; b)y C(14; 17) son los vértices de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, calcula la longitud de la mediana relativa al lado AC. A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

5 A(–3; –2), B(5; 7) y C(3; 9) son los vértices del triángulo ABC. Calcula el área de la región ABC. A) 19

B) 18

C) 17

D) 16

E) 15

II

6 El punto T(3n; 4n – 48) se encuentra ubicado en el eje de las abscisas. Calcula la distancia del punto T al punto A(–2n; 0). A) 12

B) 24

C) 36

D) 48

E) 60

7 La distancia entre los puntos C(–3; –5) y D(2x – 4; x – 11) es 2x + 1. Calcula el valor de x. A) 24

B) 22

C) 20

D) 18

A) 180 D) 100 3

B) 84 3

D) 16

E) 25

C) 200 E) 224

C) 30 2 E) 36 2

NIVEL

REFORZANDO

III

11 A(–5; –7), B(3; 9) y C(–1; 4) son los vértices de un triángulo. Calcula la distancia del baricentro del ABC al punto T(20; 22). A) 29

B) 30

C) 33

D) 35

E) 28

12 Se ubican en el plano cartesiano los puntos A(9 7; 4 21), B(0; 3 21) y P(9 7; 0). Calcula la distancia del punto A al baricentro de la región triangular POB, siendo O el origen del sistema de coordenadas. B) 24

A) 12 7 D) 21

C) 6 21 E) 16 7

13 Los puntos A(0; 0), B(7; 9) C(a; b) y D(15; 3) son los vértices del paralelogramo ABCD. Calcula el área de la región paralelográmica ABCD. A) 114 D) 96 2

B) 74 3

C) 120 E) 124

14 Los puntos A(2; 4), B(8; 15) y C(13; 10) son los vértices del triángulo ABC. Calcula la longitud de la altura relativa al lado BC. B)

A) 6 3

E) 16

8 Los puntos (2; 5) y (8; 13) son dos vértices opuestos de un cuadrado. Calcula el área limitada por dicho cuadrado. B) 50

C) 12

10 A(4; 5), B(t; u) y C(16; 21) son los vértices de un triángulo equilátero. Calcula el área de la región ABC.

D)

A) 25 2 D) 60

B) 9

17 2 2

15 2 2

C) 8 2 E) 9 2

15 Los puntos A(0; 0), B(6; 6) y C(6; 2 3) son los vértices del triángulo ABC. Calcula la medida del ángulo BAC. A) 60º

B) 53º

C) 45º

D) 30º

E) 15º

4

91

GEOMETRÍA

NIVEL

REFORZANDO

A) 8

E) 11

3 La distancia del punto T(x – 8; x + 9) al origen del plano cartesiano es 25. Calcula el valor de x. A) 12

9 A(2; 9), P(q; r) y B(18; 21) son puntos colineales tal que PA = 3PB. Calcula (q – r)2.

EDI TORI AL I NGENI O

CLAVE DE RESPUESTAS CUADERNO DE TRABAJO

92

NIVEL I

NIVEL II

NIVEL III

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

01

C

D

C

B

C

D

B

A

C

B

C

C

D

B

A

C

E

D

D

C

A

E

A

B

C

02

E

E

D

D

D

D

D

C

E

D

A

A

D

C

D

A

C

B

A

C

E

A

D

D

A

03

D

E

D

E

D

B

B

D

E

C

E

E

C

A

E

D

D

C

B

E

C

E

A

D

E

04

D

E

E

D

C

D

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05

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06

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07

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08

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09

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10

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11

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12

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E

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13

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C

14

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A

15

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C

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E

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C

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B

E

16

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C

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C

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C

17

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18

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C

19

C

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E

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E

A

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D

A

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C

20

E

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A

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C

B

A

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E

A

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C

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A

A

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A

21

A

C

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C

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C

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B

A

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E

A

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A

22

E

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D

D

A

A

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B

D

E

D

C

E

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B

D

E

B

B

B

E

E

23

B

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C

A

A

A

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E

A

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E

A

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B

B

C

E

A

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E

B

D

B

A

24

D

D

A

E

E

B

B

A

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E

E

B

D

B

C

E

D

B

D

D

A

D

A

B

E

GEOMETRÍA

GEOMETRÍA

Curso Cap

4

CUADERNO DE TRABAJO TRIGONOMETRÍA 3 El CUADERNO DE TRABAJO TRIGONOMETRÍA 3, para el tercer año de educación secundaria, es complemento del libro TRIGONOMETRÍA 3 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima. Título de la obra: Título de la colección: Director Académico: Editores Responsables:

Cuaderno de trabajo Trigonometría 3 Geniomatic Educación Secundaria Hernán Hernández Bautista Hernán Hernández Bautista Anibal Trucios Espinoza

Asesor Académico:

Anibal Trucios Espinoza

Diseño y diagramación: Katherine Karen Rivera Escuel Marco Antonio Lizárraga Podestá Eduardo Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Corrección de estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 4000 ejemplares

Editado e impreso en los talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426–4853 www.editorialingenio.pe E-mail: [email protected] Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio. Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14418 ISBN: 978-612-4302-12-1

PRESENTACIÓN El conocimiento es más fidedigno cuando nace de la práctica. En Matemática, no puede ser diferente. El CUADERNO DE TRABAJO GENIOMÁTIC de tercer Año de Secundaria de Editorial Ingenio S.A.C., responde a la necesidad de brindar a los estudiantes condiciones favorables concretas para el aprendizaje de los contenidos del área mediante la resolución de problemas, entendiéndose por resolución de problemas el desarrollo de todo un conjunto de capacidades como la de análisis, síntesis, interpretación, comunicación de ideas, iniciativa, creatividad, autovaloración, etc. El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC es un complemento de los textos de Matemática GENIOMÁTIC, de Aritmética, Álgebra, Geometría y Trigonometría. Es el complemento práctico. La teoría, en sí, los recursos teóricos, herramientas y criterios que serán utilizados para resolver los problemas del cuaderno, así como los ejemplos y modelos desarrollados, están en los cuatro textos mencionados. Si bien los textos han sido elaborados bajo un esquema pedagógico, hemos sido cuidadosos de no encasillar al maestro ni al estudiante a un solo modo de proceder. El maestro puede diseñar su propio sistema de trabajo de aula y adecuar a su diseño los materiales de Editorial Ingenio. Sin contraponer a lo anterior y a manera de exponer los criterios con los que fueron elaborados los materiales, vamos a describir su estructura y plantear algunas sugerencias en su uso. El Cuaderno de Trabajo GENIOMÁTIC consta de tres partes: Ejercicios con espacios en blanco, Tarea y Reforzando: EJERCICIOS CON ESPACIOS EN BLANCO Consta de 10 ejercicios, cada uno de los cuales tiene un espacio en blanco cuadrillado para que el estudiante desarrolle en esta parte el ejercicio correspondiente. Con ello el escolar no tendrá necesidad de transcribir los enunciados de los ejercicios, sino, sólo presentar el proceso de la resolución con los detalles que crea necesario, de modo que cuando sea revisado posteriormente por él mismo sea entendible y le permita recordar el modo cómo ha procedido para llegar al resultado. En la práctica se ha demostrado que el momento más adecuado para trabajar el Cuaderno es inmediatamente después del desarrollo teórico del tema, como una forma de aplicar, reforzar, ampliar y profundizar los contenidos del capítulo. Los ejercicios pueden ser desarrollados en grupos de trabajo o individualmente. De todos modos, requieren la supervisión y orientación del maestro cuando los estudiantes encuentran alguna dificultad. TAREA Consta de 4 preguntas de repetición y aplicación. Son ejercicios para desarrollar detalladamente en el cuaderno, los mismos que serán revisados y verificados por el maestro de aula. El grado de dificultad de estas preguntas es fácil, tiene por objetivo establecer un nivel mínimo obligatorio de avance entre los estudiantes. REFORZANDO Consta de 15 ejercicios con alternativa múltiple distribuidos en tres niveles y ordenados ascendentemente por su grado de dificultad. Estos ejercicios cubren los diversos niveles y aplicaciones del tema tratado. Se caracterizan por su similitud a las preguntas de tipo exámenes de admisión a las universidades.

Los ejercicios de este grupo son para ampliar, reforzar, complementar, profundizar y detallar los contenidos del capítulo. Pueden ser desarrollados en el aula mediante grupos de trabajo, en seminarios complementarios a las horas de clase habituales o como tareas domiciliarias con el desarrollo total o parcial, obligatorio o voluntario, de los ejercicios. En todo grupo escolar hay quienes tienen mayor interés en la Matemática y necesitan medios para desarrollar sus habilidades y destrezas. Los ejercicios de reforzando se adecuan para fines semejantes. RECOMENDACIONES PEDAGÓGICAS La concepción del escolar respecto a la Matemática determina en buena parte su modo de aprendizaje, por repetición o por deducción. Si piensa que en Matemática hay formas de hacer ya establecidas se limitará a repetir dogmáticamente los modelos que observa y siempre hará la pregunta “y esto cómo se hace”. En cambio, si comprende que la Matemática es una herramienta científica que le puede ayudar a resolver una diversidad de problemas, y como toda ciencia tiene sus leyes que obedecen a una razón y no a un capricho de genialidades, entonces procederá en forma lógica, hará uso de su sentido común más que las reglas aprendidas y su pregunta será “porqué esto o aquello”. Por lo anterior, será más provechoso darle ideas de solución más que darle la solución, preguntarle hasta dónde ha llegado y en qué se ha “atascado” y plantearle alternativas de salida, sugerir posibles caminos, proponer algunas herramientas que puede usar y plantearle que repase ejercicios resueltos similares. En la resolución de problemas no hay un solo camino, generalmente hay más de uno. Todos los caminos racionales son válidos. En Geometría y Trigonometría, y particularmente en los primeros años, pueden ser usados los métodos de medición directa, como ángulos y distancias. La representación de situaciones problemáticas mediante esquemas o figuras es un recurso muy útil en la resolución de problemas. Representar una situación abstracta en forma de dibujos ayudará a visualizar y comprender mejor la situación. Si bien hay esquemas específicos para determinados temas matemáticos, los esquemas no deben ser limitados sólo a estos temas ni reunir determinadas condiciones para ser aceptados. Un esquema es personal, es la expresión de la forma cómo lo está comprendiendo un tema puntual. Finalmente, expresamos nuestro reconocimiento a los maestros de aula por la sacrificada y esforzada labor que realizan en las instituciones educativas del país y agradeceremos con humildad todas las sugerencias, críticas y apreciaciones que surjan de la implementación de esta propuesta pedagógica.

EDITORIAL INGENIO YHO S.A.C.

TRIGONOMETRÍA 3 TEMAS

CAPÍTULOS

N° PÁGINA

Capítulo 01

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

07

Capítulo 02

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

10

Capítulo 03

CONVERSIÓN DE UNIDADES

14

Capítulo 04

LONGITUD DE ARCO

17

Capítulo 05

SECTOR CIRCULAR

21

Capítulo 06

TRAPECIO CIRCULAR

24

Capítulo 07

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

28

Capítulo 08

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

31

Capítulo 09

PROPIEDADES DE LAS R.T. RECÍPROCAS Y COMPLEMENTARIAS

35

Capítulo 10

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

38

Capítulo 11

ÁNGULOS VERTICALES

42

Capítulo 12

PLANO CARTESIANO

45

Capítulo 13

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

49

Capítulo 14

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA

52

Capítulo 15

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

56

Capítulo 16

R.T. DE ÁNGULOS COTERMINALES Y CUADRANTALES

59

Capítulo 17

REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MENORES QUE 1 VUELTA

63

Capítulo 18

REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MAYORES QUE 1 VUELTA

66

Capítulo 19

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

69

Capítulo 20

IDENTIDADES RECÍPROCAS Y POR COCIENTE

72

Capítulo 21

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES

75

Capítulo 22

ÁNGULOS COMPUESTOS SENO Y COSENO

78

Capítulo 23

ÁNGULOS COMPUESTOS TANGENTE

81

Capítulo 24

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE

84

CLAVE DE RESPUESTAS

88

3

5

6

2

CAPÍTULO

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 1

Halla x en función de  y .

4

Halla x en función de ,  y q. A)  +  + q

B)  – 

B)  +  – q

D) 2 – 

C)  –  + q

x

E)  –  – q

2 De acuerdo al gráfico, señala x en función de  y . A)  + 

5 Del gráfico encuentre la relación entre los ángulos trigonométricos mostrados. A)  +  + q = 90°

B)  – 

B)  –  – q = 90° x

C)  –  – q = 90°

D) 2 – 

D) q –  –  = 90°

E) 2 – 

E)  –  + q = 90°

3 De acuerdo al gráfico, halla x en función de los ángulos trigonométricos mostrados. A)  + 

D)  +  – 180° E)  +  + 180°

6 Del gráfico, halla x si OC es bisectriz. C A) 10 B) 11

B)  –  C)  –  + 180°

x

D)  –  – q

E) 2 – 

C)  – 

TRIGONOMETRÍA

A)  +  C)  – 

01

C) 12 x

A

B

(5x – 3)° (9 – 6x)°

D) 8 E) 6

O

3

7

EDITORIAL INGENIO

7 Del gráfico, encuentra la relación entre los ángulos. A)  + q = 360°

9

Señala la relación entre los ángulos trigonométricos, si se sabe que mBAOE = mBBOC y mBBOE = 120°. D

B)  – q = 360°

C E

C) q –  = 360°

TRIGONOMETRÍA

D)  + q = 180° A

E)  – q = 180°

A)  –  + q = 240° C)  –  – q = 240° D)  +  + q = 100°

B) 6

° 7x)

C) 7

(6 – (5x + 6)°

D) 8 O

E) 9

M

E)  +  + q = 180°

B) q/2 – 90°

x

C) q + 45° B

C

I

D) q – 45° E) 2q + 45°

Tarea

B)  –  + q = 180°

10 En el gráfico, AI es bisectriz del ángulos BAC y CI es bisectriz del ángulo ACB. Halla x. B A) q/2 + 90°

Calcula x si OM es bisectriz de AOB. A A) 5

8

B

O

A

3 Del gráfico mostrado calcula x.

1 Halla x.

x °

0 –21

300°

x 4 Halla x, siendo

2 Halla x.

OP bisectriz. 5x

A

P 2x – 60°

3x –7x

8

3

O

B °–

30

5x

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO 1 Del gráfico halla x.

I

B) 60°

B) 15°

C) 30°

–x

D) –30°

x

C) 20° D) 25°

30°

E) 70°

x

TRIGONOMETRÍA

A) 10°

–x

E) 30°

2 Del gráfico halla x.

7 Halla x.

A) 10°

A) –10°

B) –10°

B) –20°

C) 20° E) 30°

II

6 Del gráfico halla x.

A) –60°

D) –20°

NIVEL

REFORZANDO

C) –30° 30° – 6x

3x + 30°

7x – 35°

D) –40°

25° + x

E) –50°

3 Halla x del gráfico.

8 Del gráfico halla x.

A) q

A) 5°

B) –q

B) 10°

C) 2q

x

D) –2q

C) 15° D) 20°

E) 180° – q

E) 25°

4 Del gráfico halla x.

40° – 3x

8x + 20°

9 Halla x.

A) 10°

A)  + 

B) 20°

B)  – 

C) 30°

–60°

D) 40°

C)  –  x

E) 50°

D) – – 

x

E)  – 2

5 Del gráfico halla x.

10 En el gráfico se cumple:

A) 8° B) 10° C) 12° D) 14°

–100° 3x

–2x

E) 16° A)  +  = 180° C)  –  = 180° D)  –  = 90°

B)  –  = 180° E)  –  = 90°

3

9

EDITORIAL INGENIO

REFORZANDO

NIVEL

III

13 Halla x del gráfico. A) 360° +  –  B) 360° –  + 

11 Halla x del gráfico.

C) 180° –  + 

TRIGONOMETRÍA

A) f –  – 180°

D) 360° –  – 

B) f +  – 180°

x

E) 90° –  + 

C)  – f + 180°

x

D) f +  – 180°

14 Halla x del gráfico mostrado.

E)  + f + 180°

A) –90°

230°

B) –190° 12 Halla x del gráfico.

C) –196°

A) 

x

D) –80°

320°

E) –180°

B) – x

C) 2 D) –2

A

15 Halla x, si OF es bisectriz.

E) /2

A) 32° B) 35° C) 34°

3x + 40° O

F

30° – 5x

D) 70° B

E) 50°

CAPÍTULO

SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

02 1

Convierte 126º al sistema centesimal. A) 132g D) 144g

10

B) 136g

3

C) 140g E) 150g

2

Convierte 160g al sistema sexagesimal. A) 114º D) 144º

B) 124º

C) 136º E) 148º

EDITORIAL INGENIO

3

Reduce H=

A)

5 2

B) 2

C)

36° + 70g 70g – 36° 7 2

6

D) 3

E)

Convierte A) 87º D) 92º

11 3

p rad + 30g a grados sexagesimales. 3 B) 88º

C) 90º E) 95º

TRIGONOMETRÍA

4

Reduce

A) 1

7 Si el complemento de 20g es

1° + 2° + 3° + ... + 9° M= g 1 + 2g + 3g + ... + 9g B)

5 4

C) 2

D)

10 9

E)

5 6

5 En la figura, y – x = 8. Calcula la medida del ángulo en grados sexagesimales.

8

Convierte A) 90º D) 117º

A) 60º B) 64º C) 68º D) 72º

A) 2 D) 5

B) 3

xp rad, calcula x. 5 C) 4 E) 6

3p rad a grados sexagesimal. 5 B) 99º

C) 108º E) 126º

yg x°

E) 76º

3

11

EDITORIAL INGENIO

9

Convierte 500p rad a grados centesimal. A) 100g D) 100 000g

B) 1 000g

10 Calcula

C) 10 000g E) 9 000g

B) 2

C) 3 E) 5

TRIGONOMETRÍA

A) 1 D) 4

p rad + 10g 5 K= 15°

Tarea 3 Convierte

3p rad al sistema sexagesimal. 10

4 Convierte

12p rad al sistema centesimal. 5

1 Convierte 162º al sistema centesimal.

2 Convierte 230g al sistema sexagesimal.

NIVEL

REFORZANDO

1 Expresa 40g en el sistema sexagesimal. A) 45º D) 37º

B) 36º

C) 42º E) 48º

2 Expresa 90° en el sistema francés. g

A) 100 D) 110g

g

g

B) 80

C) 95 E) 120g

I 4 Siendo 23°41'17'' + 17°32'56'' = a°b'c'', a–b . calcula K = c–4 A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

5 De acuerdo al gráfico calcula A) 10 B) 9

3 Reduce q = 2°40'32'' + 3°31'52''. A) 6°11'24'' C) 6°12'20'' D) 6°24'24''

12

B) 6°12'24''

C) 8 D) 7 E) 6

E) 6°12'34''

3

yg x°

10x – 9y . 90

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO 1g10m 2g30m + 10m 20m

A) 21 D) 21,5

B) 20,5

NIVEL

REFORZANDO

III

11 Expresa 50° en el sistema circular. C) 22,5 E) 33,5

A)

5p 18

B)

2p 9

C)

2p 5

D)

p 5

E)

p 3

TRIGONOMETRÍA

6 Calcula X =

II

12 Expresa 40g en el sistema internacional. 7 En un triángulo isósceles, los ángulos congruentes miden (7x + 2)° y 8xg. Si el ángulo desigual mide 4n°, calcula n. A) 3 D) 12

B) 6

p 3

13 Expresa

C) 9 E) 13

8 De acuerdo al gráfico calcula

A)

A) 10°

2x – 3y . 30

B)

B) 12°

Calcula E =

D) 4 3x° E) 5 9 En un triángulo los ángulos interiores miden: px (20x)g, (17x)° y rad 18 ¿Cuál es el valor de E = x + 5 – 1?

10 Sabiendo que

C) 2

D) 3

D)

p 6

E)

p 9

C) 18°

D) 20°

E) 40°

g px  160x  ; (14x)° y rad  9  6

5y g

B) 1

p 5

p rad en el sistema sexagesimal. 9

B) 2

A) 0

C)

14 En un triángulo sus ángulos interiores miden

A) 1 C) 3

p 4

(x2)° + x' . x'

A) 161 D) 211

B) 151

15 Sabiendo que

C) 181 E) 231

2p rad = 3a°4b'3c'', 11

calcula L = (a + b) · c. E) 4

A) 30

B) 36

C) 40

D) 45

E) 54

3p rad = 4a°3b'1c'', 13

halla L = (a + b) · c. A) 20

B) 21

C) 24

D) 25

E) 27

3

13

CAPÍTULO

03 1

Convierte 54° al sistema centesimal. A) 40g D) 65g

TRIGONOMETRÍA

CONVERSIÓN DE UNIDADES

B) 50g

4

C) 60g E) 70g

Si la suma de los números de grados sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo es igual a 76, ¿cuál es la medida radial del ángulo? A)

2

Convierte 40° al sistema radial. A)

2p 3

B)

2p 9

C)

p 3

D)

5 p 9

E)

p 4

p 2

Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, reduce 3S – 2C L= C–S A) 7 D) 10

14

B) 8

3

C) 9 E) 11

6

p 3

C)

p 4

D)

p 5

E)

p 6

Señala la medida circular de un ángulo que cumple 5S – 3C = 75; siendo S y C lo conocido para dicho ángulo. A) p

3

B)

B)

p 2

C)

p 3

D)

p 4

E)

p 5

Señala la medida radial de un ángulo, si la suma de los números que expresa su medida en los tres sistemas conocidos es igual a 383, 1416. A) p

B)

p 2

C)

p 3

D) 2p

E)

p 4

EDITORIAL INGENIO

7

Siendo S; C y R los conocidos para un mismo ángulo no nulo, reduce: M=

8

B) 15

C) 20 E) 30

A) 5° D) 8°

Si la suma de los números de grados sexagesimal y centesimal de un ángulo, es igual a 19 veces su número de grados sexagesimales divididos entre su número de minutos centesimales. Señala la medida centesimal del ángulo. A) 8g

B) 8m

C) 9g

D) 9m

E) 10m

Tarea 1 Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2, ¿cuál es la medida centesimal del ángulo?

2 Si la diferencia de los ángulos de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la suma de los mismos números, como su número de grados centesimales es a 152, ¿cuál es la medida radial del ángulo?

B) 6°

C) 7° E) 9°

TRIGONOMETRÍA

A) 10 D) 25

p2(C – S)(C + S) 380R2

9 La diferencia de las inversas de los números que expresan la medida sexagesimal y centesimal de un ángulo es igual a su número de radianes dividido entre 2p. Halla la medida sexagesimal del ángulo.

10 Si los números de minutos sexagesimales y minutos centesimales que contiene un ángulo, suman 1540, ¿cuál es la medida circular del ángulo? A)

p 10

B)

p 5

C)

p 4

D)

p 15

E)

p 20

3 Si el número de grados centesimales de un ángulo con el número de grados sexagesimales de su suplemento se diferencian en 48, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo?

4 Señala la medida radial de un ángulo, si la suma de los números que representan su medida en los tres sistemas conocidos es igual a la suma de los números que representan su complemento en los mismos sistemas.

3

15

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

TRIGONOMETRÍA

REFORZANDO

I

1 Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, reduce 3C – 2S E= C–S A) 6

B) 12

C) 18

D) 8

E) 16

2 Siendo S, C y R lo conocido para un ángulo no nulo, reduce 2pS – 30R E= pC + 20R A) 1

B) 2

C)

2 3

D)

3 2

E)

4 3

3 Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo, reduce 4C2 + 10S2 E= 2C2 – CS A) 3

B) 5

C) 7

D) 9

8 Señala la medida centesimal de un ángulo tal que S = 2n + 1 y C = 3n – 16; siendo S y C los conocidos para dicho ángulo. A) 10g

B) 20g

C) 30g

9 Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 5, como 19 es a 3, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? A) 10º

B) 15º

C) 18º

B)

p 4

C)

p 5

D)

p 10

D) 21º

E) 24º

10 Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la diferencia de los mismos números como 19 veces su número de grados sexagesimales es a 6, ¿cuál es la medida circular del ángulo? A)

p 20

B)

p 18

C)

p 30

D)

p 60

E)

NIVEL

REFORZANDO

p 2

E) 50g

p 180

E) 11

4 Señala la medida circular de un ángulo que verifica 3S – C = 34, siendo S y C lo conocido para dicho ángulo. A)

D) 40g

E)

p 20

III

11 Señala la medida circular de un ángulo que cumple S 3 + S2 + S = 0,9 C3 + C2 + C siendo S y C lo conocido para dicho ángulo.

5 Señala la medida circular de un ángulo que verifica 2C – S + 20R = 14,1416; siendo S, C y R lo conocido para dicho ángulo. p A) 5

p B) 11

p C) 44

p D) 33

p E) 20

A)

p 380

D) –

B) –

p 380

p 190

C)

p 190

E) –

p 570

12 Señala la medida en radianes de un ángulo que cumple

NIVEL

REFORZANDO

II

6 Siendo S y C lo conocido para un ángulo no nulo tales que S = x + 2 y C = x + 3, ¿cuál es el valor de x? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

16

B) 9°

C) 27°

3

D) 15°

A)

3p 10

D)

2p 5

B)

3p 20

C)

3p 200

E)

7p 200

E) 9

7 Señala la medida sexagesimal de un ángulo, tal que S = n + 1 y C = n + 4, siendo S y C lo conocido para dicho ángulo? A) 18°

(C + S)(C3 – S3) – (C – S)(C3 + S3) = 6(SC2 – S3)

E) 36°

13 Si la media aritmética de los números de grados sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo es igual a 76, ¿cuál es la medida circular del ángulo? A)

p 5

B)

p 3

C)

2p 3

D)

2p 5

E)

p 9

EDITORIAL INGENIO

14 Si el número de grados sexagesimales de un ángulo, con el número de grados centesimales de su complemento suman 94, ¿cuánto mide el ángulo? B) 60°

C) 54° E) 30°

A)

p 19

B)

2p 19

C)

3p 19

D)

4p 19

E)

5p 19

CAPÍTULO

04

LONGITUD DE ARCO

1 En un sector circular, el ángulo central mide p rad y el radio 24 cm. ¿Cuánto mide el arco? 3 A) 6p cm D) 9p cm

2

B) 7p cm

C) 8p cm E) 10p cm

En un sector circular el ángulo central mide 36° y el radio 25 cm. ¿Cuánto mide el arco? A) 5p cm D) 15p cm

B) 10p cm

3

C) 12p cm E) 18p cm

Halla la medida sexagesimal del ángulo central de un sector circular cuyo arco mide 2p cm y el radio 15 cm. A) 20° D) 23°

4

B) 21°

C) 22° E) 24°

Calcula la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 40° en una circunferencia de 18 m de radio. A) 3p cm D) 6p cm

B) 4p cm

C) 5p cm E) 7p cm

3

17

TRIGONOMETRÍA

A) 18° D) 36°

15 Señala la medida radial de un ángulo, si el número que representa su complemento en el sistema centesimal es igual a su número de grados sexagesimales.

EDITORIAL INGENIO

5

Calcula la longitud de un arco cuyo ángulo central correspondiente mide 20g y el radio del sector mide 20 m. B) 2p m

C) 3p m E) 5p m

TRIGONOMETRÍA

A) p m D) 4p m

6

Calcula la longitud de un arco cuyo ángulo central correspondiente mide 30° y el radio del sector es 24 cm. A) 4p cm D) 7p cm

7

C) 6p cm E) 8p cm

En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en su cuarta parte, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: A) 12 cm D) 18 cm

18

B) 5p cm

B) 14 cm

3

C) 15 cm E) 20 cm

8 Del gráfico calcula K = A)

1 2

C)

1 4

D)

1 5

B)

1 3

L3 – L1 . L2 E

3 O

L1 3

E)

2

F

4 5

2

2

C

A

L3

L2 D

2

B

9 De acuerdo al gráfico calcula q; si L1 = L2. A)

p 12

C)

p 7

D)

2p 7

B)

p 14

A

L1

C 1 E)

3p 14

B L2

3

D

O

10 Del gráfico calcula q en el sistema sexagesimal A) 24° C

B) 25° C) 28° D) 30° E) 36°

5

A

O D

5

B

EDITORIAL INGENIO

Tarea 1 Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 45° en una circunferencia de 24 cm de radio.

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Calcula la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de 60° en una circunferencia de 18 cm de radio. A) 2p cm D) 5p cm

B) 3p cm

C) 4p cm E) 6p cm

B) 2p cm

C) 4p cm E) 6p cm

B) 2(p + 40)

A) p cm D) 16p cm

B) 2p cm

C) 8p cm E) 32p cm

NIVEL

C) 4(p + 20) E) 2(p + 25)

II

6 En un sector circular el arco mide 100 cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: A) 100 cm D) 125 cm

3 En un sector circular, el ángulo central mide 10g y el radio mide 40 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? A) 2(p + 20) D) 4(p + 40)

mBA = 80g y mBB = 28º, ¿cuánto mide el arco que subtiende el ángulo C?

REFORZANDO

2 Calcula la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 40g en una circunferencia de 25 cm de radio. A) p cm D) 5p cm

4 En un sector circular el arco mide L. Si el ángulo central se incrementa en su mitad y el radio se reduce en su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:

B) 50 cm

C) 150 cm E) 25 cm

7 En un sector circular el arco mide L. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa en el triple, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: A)

1 L 6

B)

2 L 3

4 C) L 3

D)

8 L 3

E)

1 L 6

4 De acuerdo al gráfico calcula L PQ . 8 Del gráfico calcula

A) p cm C) 3p cm

S

20 cm

B) 2p cm

g

20

P

K=

L1 + L 2 . L3

L2

D) 4p cm E) 6p cm

C

Q

45°

L3

60°

A 5 Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de 18 cm de radio. Si se sabe que

A) 7

B)

26 3

L1

P

E

B

O C)

17 3

D) 4

E)

3

25 3

19

TRIGONOMETRÍA

2 Calcula la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 70g en una circunferencia de 200 cm de radio.

3 Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de 9 cm de radio. Si se sabe que mBA = 102° y mBB = 20g, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo C?

EDITORIAL INGENIO

9 De acuerdo al gráfico calcula K =

L1 + L 2 , L3

13 De acuerdo al gráfico, calcula el perímetro de la región sombreada si BD y BE se dibujan con centro en A y C respectivamente.

si L1, L2 y L3 son arcos con centros en O. A

TRIGONOMETRÍA

A) 1

B) 2

E O

C) 3 1 D) 2

B

C L1

2

2

L3

L2

F

2 E) 3

D

45°

A

B

D

E

A) p – 4 + 2 2

C)

p 14

D)

p 7

3p B) 14

D) p + 4 + 2 2

B

1

A

D 3 E)

p 21

B) 2p + 8 – 2

C) p + 4 – 2 2

10 Del gráfico calcula q, si LAD = L BC . p A) 6

C

O

E) 3p + 4 – 2 2

14 De acuerdo al gráfico calcula el perímetro de la región sombreada, si OC se dibuja con centro en B. A C A) p + 12 B) 2p + 12

12

C) 3p + 12

NIVEL

REFORZANDO

III

11 Del gráfico calcula q. p A) 5

p B) 6

p C) 2 p D) 4

B

2

E

O 2

E) 5

3

3

C

L1 F

3

2L1 + 3L3 . L2

2

A

L3

L2 D

2

B

B

A

B) 2

C) 3 6

12

15 De acuerdo al gráfico calcula K = q–2 + q2.

D)

B) 2

20

O

E) 5p + 12

A) 1

D

p E) 7

A) 1

D) 4

D) 4p + 12

C

O

12 De acuerdo al gráfico calcula K =

C) 3

A

6

C

C

17 4

O E)

4 17

D B

CAPÍTULO

05

SECTOR CIRCULAR 1

En el sector circular cuyo ángulo central mide 36° y su radio 2 10 cm, ¿cuál es su área? B) 3p cm2

C) 4p cm2 E) 6p cm2

B) 5p cm2 C) 6p cm2

O

D) 7p cm2

13 c m

E) 8p cm2

2

p En un sector el arco mide cm y el radio 6 cm, 2 ¿cuál es su área? A) p cm2 D)

3

B) 2p cm2

3p cm2 2

C) 3p cm2 E)

3p cm2 4

p cm y el án3 gulo central mide 60°. ¿Cuál es su área? En un sector circular el arco mide

A) p cm2 D)

p cm2 4

B)

p cm2 2

C)

p cm2 3

E)

p cm2 6

5

60° D

B

Se tiene un sector circular de área S, si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: A) 6S D) 18S

B) 12S

C) 9S E) 36S

6 Se tiene un sector circular de superficie 36 cm2. Si el ángulo central se reduce a la mitad y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: A) 18 cm2 D) 72 cm2

B) 36 cm2

C) 48 cm2 E) 84 cm2

3

21

TRIGONOMETRÍA

A) 2p cm2 D) 5p cm2

4 Del gráfico calcula el área de la región sombreada. A C 7 cm A) 4p cm2

EDITORIAL INGENIO

7

Se tiene un sector circular cuya área es 24 cm2. Si el ángulo central se incrementa en su doble y el radio se reduce en su tercera parte se genera un nuevo sector circular cuya área es:

TRIGONOMETRÍA

A) 6 cm2 D) 18 cm2

8

B) 32 cm2

C) 12 cm2 E) 24 cm2

El arco de un sector circular es igual al lado de un cuadrado. El área del sector circular es igual al del mismo cuadrado. Calcula la medida del ángulo central del sector circular. A) 1

1 B) 2

1 C) 3

2 D) 3

3 E) 4

9

Se tiene un sector circular de radio R y ángulo central de 36°. Si se reduce el ángulo central en 11° y el radio se incremento en x, de modo que el área del nuevo sector generado es igual al del sector original. ¿Cuál es el valor de x? A)

R 2

B)

R 5

C) R

D) 2R

E)

2R 3

10 Del gráfico, calcula el área de la región sombreada, si DAB es un sector circular con centro en A. C

A) 4 – p D

B) p – 2 C) 2 + p D) 4 + p E) 2p

A

45°

2 2

B

Tarea 1 Calcula el área de un sector circular de 5 cm de radio y ángulo central 2 rad.

2 Calcula el área de un sector circular de 10 cm de radio y ángulo central 36°.

22

3

3 El radio de un sector circular de 20 cm2 de área se duplica y su ángulo central se reduce a la mitad. Calcula la variación del área.

4 Se tiene un sector circular de área 24 cm2. Si el ángulo central se reduce en su tercera parte se genera un nuevo sector circular cuya área es:

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

p cm y el án4 gulo central mide 30°. ¿Cuál es su área?

7 En un sector circular el arco mide

I

1 En un sector circular el ángulo central mide 60° y el radio mide 2 3 cm. Halla su área. B) 2p cm2

C) 3p cm2 E) 5p cm2

B) 11p cm2

A) p

C) 12p cm2 E) 18p cm2

D)

10p cm2 3

C)

4p 2 m 3

E)

B)

3p 2 m 4

D) 2p m2

2p 2 m 3 O

E)

p 2 m 2

C)

3p cm2 4

E)

2p cm2 3

2 3c m

E) 6p

A

D

B

15°

O

D) 4p

C

C) 6p cm2 9 Se tiene un sector circular de área S. Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

9p cm2 2

4 Del gráfico mostrado calcula el área de la región sombreada. A)

6 cm

B) 2p

3 En un sector circular el arco mide p cm y su ángulo central 20º. ¿Cuál es su área? B) 5p cm2

3p cm2 8

8 Del gráfico calcula el área de la región sombreada.

C) 3p

A) 4p cm2

B)

D) 2p cm2

2 En un sector circular el arco mide 2p cm y el radio 10 cm. ¿Cuál es su área? A) 10p cm2 D) 15p cm2

3p cm2 16

A) 4S D) 12S

B) 6S

C) 9S E) 18S

A 3

10 Se tiene un sector de superficie 48 cm2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es:

C 30° 5

D B

A) 32 cm2 D) 64 cm2

B) 24 cm2

C) 16 cm2 E) 18 cm2

5 En un sector circular cuyo ángulo central mide 45° y el radio 8 cm. ¿Cuál es su área? A) p cm2 D) 8p cm2

B) 2p cm2

REFORZANDO

C) 4p cm2 E) 16p cm2

NIVEL

II

6 En un sector circular el arco mide 2p cm y el radio, 8 cm. ¿Cuál es su área? A) 2p cm2 D) 8p cm2

B) 4p cm2

REFORZANDO

NIVEL

III

11 Se tiene un sector circular cuya superficie mide 40 cm2. Si el ángulo central se reduce en su quinta parte y el radio se incrementa en su doble, se genera un nuevo sector circular cuya superficie mide: A) 80 cm2 D) 288 cm2

B) 576 cm2

C) 72 cm2 E) 144 cm2

C) 6p cm2 E) 16p cm2

3

23

TRIGONOMETRÍA

A) p cm2 D) 4p cm2

A)

EDITORIAL INGENIO

TRIGONOMETRÍA

12 Se tiene un sector circular de radio R y ángulo central de 49°. Si se reduce el ángulo central en 13° y el radio se incrementa en x, de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original, ¿cuál es el valor de x? A)

R 2

B)

R 3

C)

R 4

D)

R 5

E)

R 6

14 De acuerdo al gráfico calcula el área de la región sombreada si BD y BE se dibujan con centro en C y A respectivamente. B

A) 2(p – 2) B) 2(p + 2 2)

2 2

C) 2(2p – 3) D) 4(2p – 2)

13 Del gráfico, calcula el área de la región sombreada. E F C D 2

E) 2(p – 2)

45° A

5

A) 10 – p D) 10 – 2p

B) 5 – p

B

A

C

B) 30p – 24 3 12

C) 36p – 12 3 C) 2p – 5 E) 10 – 3p

C

E

15 De acuerdo al gráfico calcula el área de la región sombreada, si OC se dibuja con centro en B. A) 30p – 36 3

A

D

D) 36p + 3 E) 12p + 6 3

O

12

B

CAPÍTULO

06

TRAPECIO CIRCULAR 1 Se tiene un trapecio circular cuya suma de las longitudes de sus arcos es 14p cm y la diferencia de las longitudes de sus radios es 6 cm. Calcula el área de dicho trapecio circular. A) 84p cm2 D) 54p cm2

B) 72p cm2

C) 64p cm2 E) 42p cm2

2 Se tiene un trapecio circular cuyo ángulo central mide 54° y las longitudes de sus radios son 7 y 11 metros respectivamente. Calcula el área de dicho trapecio circular. A) 12p m2 D)

24

3

54 p m2 5

B)

37 p m2 3

C) 13p m2 E) 11p m2

EDITORIAL INGENIO

3 Se tiene un trapecio circular cuyo ángulo central mide 72° y las longitudes de sus arcos son 2p cm y 6p cm. Calcula el área de dicho trapecio circular. B) 40p cm2

B) 54°

C) 44p cm2 E) 54p cm2

D) 30p

5 En una corona circular cuyo centro es O, se traza una cuerda AB tangente al círculo menor; tal que mBAOB = 120° y AB = 12 cm. Calcula el área del trapecio circular correspondiente al menor arco AB. cm2

A) 9p D) 18p cm2

B) 12p

cm2

cm2

C) 15p E) 21p cm2

9S

C) 5 E) 7

E

C

F

O

a 2

D) 6 A

E

B) 4

B O

A

4S

7 En la figura, O es el centro de las regiones circulares. Calcula el valor de a. 2 A) 3

cm2

E) 36p cm2

3S

D) 36°

4 En la figura, el área del sector circular AOB es 6p cm2 y OA = AC = CE. Calcula el área del trapecio circular CDFE. F A) 18p cm2 D B) 24p cm2 C) 28p cm

M

C) 45° E) 30°

2

B

A) 60°

8

O

S 2

a

2

La circunferencia inscrita en un sector circular AOB es tangente en P y T a los radios OA y OB respectivamente. Si OA = 2 cm y mBTOP = 60°, calcula el área del trapecio circular PTBA. A) 12p cm2 D) 6p cm2

B) 10p/9 cm2

C) 8p cm2 E) 4p/9 cm2

3

25

TRIGONOMETRÍA

A) 36p cm2 D) 48p cm2

6 En la figura, O es centro de las regiones circulares y AE = EO. Calcula f.

EDITORIAL INGENIO

9 En la figura, el triángulo ABC es equilátero. Calcula el área del trapecio circular sombreado. B A) 24p B) 20p C) 18p

TRIGONOMETRÍA

A) 4p cm2 D) 10p cm2

4

D) 16p

A

E) 12p

10 En un cuadrante circular AOB, se inscribe el cuadrado LMNO; luego se traza el arco LN. Si ON = 4 cm, calcula el área del trapecio circular LABN. B) 6p cm2

C) 8p cm2 E) 12p cm2

C

Tarea 1 En un trapecio circular, la suma de las longitudes de sus arcos es 16p cm y la diferencia de las longitudes de los radios es 20 cm. Calcula el área de dicho trapecio circular.

2 Se tiene un trapecio circular cuyo ángulo central mide 126° y las longitudes de sus radios son 29 cm y 21 cm. Calcula el área de dicho trapecio circular.

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Del gráfico calcula el área de la región sombreada, si LCD = n – 2  L AB = n + 2. A n A) n C B) n2 O S C) 2n2 D) n2/2

D

E) n2/3

n

B

3 En la figura, O es el centro de las regiones circulares. Calcula el valor de a.

S2 . S1

3

8S a+3

C

4 En un cuadrante circular AOB, se inscribe el cuadrado OPQR, luego se traza el arco PR; tal que el área de la región circular PABR es 8p cm2. Calcula OA.

A) 12 C) 15

A

4

B) 13

C

1 O

D) 20

S2

S1 1

D

4

E) 24

3 Del gráfico calcula K =

B

S1 . S2

A

A) 1 C) 2 D) 2/3 E) 3

26

B

S O a–3 A

S1

B) 1/2 2 Del gráfico calcula K =

D

C

O S2 D

B

EDITORIAL INGENIO

4 De acuerdo al gráfico calcula x. A

A) L

D) L/3

L

3S

D

A) 3/4

B

3

A

A) 3 cm2

C

B) 4 cm2

D

60°

E) 9/8

B

1

S1

D) 9/4

E

S3

10 Si en el gráfico, S1 = 3 cm2, S2 = 9 cm2 y S3 = 12 cm2. Calcula S4.

A

C) 2/3

S4 D

E) 5

S1 . S2

B) 3/8

O

2

C) 5 cm

S2 C

O

D) 6

S2

S1

O

S4

cm2

S3

D

E) 7 cm2

NIVEL

REFORZANDO S 6 Del gráfico calcula 1. S2 A) 1/4 B) 1/3 C) 1/5

1

D) 1/10

D

11 Del gráfico calcula K = A

B) 27/32 54°

E) 9/8

B

1

S1

D) 4/3

B

III

S1 . S2

C) 32/37

3

E) 1/15

NIVEL

REFORZANDO

A) 13/3 S2

S1

O

A

3

C

1

II

B

D 3

S2 C

O

7 De acuerdo al gráfico calcula L AB . A

A) 3 C

B) 4 C) 5

12 Del gráfico calcula K =

S

O

D) 6

S2 . S1

A) 12 2

x

3S

D

B) 24

1 O

C) 35

E) 8

B

A

5

D) 54

C S2

S1 1

D

5

E) 81

B

8 De acuerdo al gráfico calcula a/b. A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/4 E) 3

C

a O

4S

b

A

13 De acuerdo al gráfico calcula L AB . A

A) 1 C

B) 2

5S

C) 3

D

D) 4 B

E) 5

O

2S

10

3S

x

D B

3

27

TRIGONOMETRÍA

B

S2

S1

C) 3 D) 4

E) 3L

5 Del gráfico calcula K =

A

C

B) 2 x

S

O

S1· S3 . S2· S4

A) 1

C

B) 2L C) L/2

9 Del gráfico calcula

EDITORIAL INGENIO

14 De acuerdo al gráfico calcula a/b. A) 1

b

C

B) 2

15 En la figura A A) 1

a 7S

TRIGONOMETRÍA

2

3 3

B)

2 2

C)

1 2

D)

5 3

Si secx = 3, calcula E = 3cosx + tan2x A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

E)

1 . 2

3 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBA = f; BC = 3 y AC = 5. Calcula E = 2sec2f + 4tan2f.

3 2

A) 6 D) 10

4

3

B) 8

C) 9 E) 11

2 y tana = 7 5 4cscq + 7cot2 Calcula E = 11 Si senq =

A) 3 D) 11

28

S1

S3 S2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Calcula sen si  es agudo, además tan =

A)

a

E) 1/3

B

07 1

D) 1/2

D

CAPÍTULO

b

C) 3

D) 4 E) 5

a

B) 2 9S

O

C) 3

S1 + S 3 2 b = , calcula . 3 S2 a

B) 2

C) 7 E) 1

EDITORIAL INGENIO

5

6 Siendo q un ángulo agudo tal que cosq = , 9 calcula M = 5csc2q + 4tan2q. A) 9 D) 14

C) 12 E) 16

En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica un punto P, tal que 3PB = 2PC, mBPAB =  y mBPDC = q. Calcula T = 6(cot + cotq). A) 6 D) 6

B) 5

C) 2 5 E) 3 3

A)

1 2

B) 1

C)

En un triángulo rectángulo ABC (mBB = 90º), reduce E = senA secC + senC secA. A) 3 D) 2

B) 2

C) 1 E) 3

D) 2

E)

5 2

9 En el triángulo rectángulo ABC, recto en A, se 3 cumple que cosC = , halla tanB + tanC. 7 A)

2 3 3

B) 1

D) 2

7

3 2

TRIGONOMETRÍA

6

B) 11

8 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior CN; tal que mBBNC = q, mBNAC = w y NA = BC. Calcula M = cotw – cotq.

C)

12 5 5

E)

49 10 60

10 En un triángulo rectángulo el coseno de uno de 7 sus ángulos agudos es . Si el mayor lado mide 25 100 m, halla su perímetro. A) 256 D) 224

B) 244

C) 236 E) 212

3

29

EDITORIAL INGENIO

Tarea 3 En un triángulo ABC, recto en C, se sabe que 4tanA = tanB. Determina secA.

1 En un triángulo ABC, recto en A, reduce:

TRIGONOMETRÍA

E = asenB + ccotC

4 En un triángulo uno de los catetos es la mitad de la hipotenusa. Calcula la tangente del mayor ángulo agudo del triángulo.

3 2 Si tanq = , donde q es un ángulo agudo, 2 determina E = 13 senq + 6cotq

5 Si cos =

NIVEL

REFORZANDO

I

A) 3 D)

1 En la prolongación del lado DC de un cuadrado ABCD se ubica un punto E, tal que mBCBE = f y mBAED = . Si tanf = 3/5, calcula tan. A) 1

B)

1 5

C)

3 8

D) 2

E)

5 8

B) 6

A) 1 D) 4

30

A) 3 D) 13

8 Si sen =

4 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana AM; tal que mBAMB = f y mBMCA = w. tanf . tanw C)

3

II

B) 2

C) 3 E) 5

calcula Q = 7tan2q + 16cos2q.

E) 5

B) 2

NIVEL

B) 12

C) 16 E) 9

C) 3

D) 2

A) 1

4 3

7 Si q es un ángulo agudo tal que senq = 0,75 ,

rectos. Si AB = 2 7, CD = 5, AE = 3 y ED = 3, calcula la cotangente del ángulo B.

Calcula M =

E)

5 ; además q es un ángulo agudo, 2 calcula E = (senq + cosq) cscq.

C) 8 E) 10

B) 2

15 3

C) 15

6 Si secq =

3 En un pentágono no convexo ABCDE, no convexo en C, los ángulos ACB, AEC y ECD son

A) 1

B) 3

REFORZANDO

2 En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, mBA = f; AC = b; BC = a y AB = 5ab. Calcula H = tanf + cotf. A) 5 D) 9

1 ( es agudo), calcula tan. 4

1 2

D) 3

E)

1 3



5 1 y senq = (considere  y q ángulos 5 5

agudos), calcula E = A) 12 D) 15

csc2 + csc2q . 2

B) 13

C) 14 E) 16

3 9 Si f es un ángulo agudo y cosf = , 4 7 7 cotf calcula E = csc2f + 16 7

EDITORIAL INGENIO

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

13 En un triángulo ABC, recto en B, se sabe que secA = 5 y que tal cateto mayor mide 12. Calcula la longitud de la hipotenusa. A) 15 D) 6 5

A) 3 D)

B)

3 2

5 2

NIVEL

C) 5 6 E) 25

14 En la prolongación del lado AD de un cuadrado ABCD se ubica un punto P, tal que 3PD = 2AD y mBPBC = f. Calcula R = cotf – tanf.

C) 2 E) 1

REFORZANDO

B) 30

III

A)

4 5

D)

16 15

B)

9 8

C)

2 3

E)

6 5

11 En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), reduce J = sen2A + sen2C + sec2A – cot2C. A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

15 En un triángulo rectángulo LMN, recto en M, mBNLM = f; MN = a + b; LM = a – b y LN = 6ab. Calcula tanf. A) 2

12 En un triángulo ABC, recto en A, se sabe que senB = 2senC. Calcula E = cosB cosC. A) 0,4 D) 0,2

B) 0,5

CAPÍTULO

08 1

1 2

D) 3

C) 3 E) 5

C) 0,3 E) 0,1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES

Indica lo incorrecto: A) cos60° =

B) 2

2 B) cot30° = 3

Calcula C = sec245° + 3tan230° A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

C) tan45° = 2 D) sen37° =

3 5

E) tan60° = 3

3

31

TRIGONOMETRÍA

10 En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica un punto T, tal que mBTAB = f y mBTDC = w. Calcula M = tanf + tanw.

EDITORIAL INGENIO

3

Calcula C = (csc37° + cot37°)(2sen30° + sec245°) B) 7

C) 8 E) 10

Resuelva 5xcos53° – sec60° = xtan45° A) 2 D) 1

B) 3

C) 4 E) 2

TRIGONOMETRÍA

A) 6 D) 9

6

4

7 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana AM; tal que mBMAB = f y mBMCA = 45°. Calcula tanf.

Si D = (sen45° + cos45°)sec60° y P = 4tan37° + tan45°; calcula D + P. A) 3 D) 6

5

Calcula T =

A)

32

B) 4

3 2

C) 5 E) 7

A)

sen45° cos30°(sec37° + tan37°) . sec45° csc60°(csc53° – cot53°)

B) 1

C) 2

3

D) 3

E)

2 3

3 5

B)

2 3

C)

1 2

D)

2 4

E)

3 4

8 En un triángulo ABC, mBA = 30°, mBC = f, AB = 4 y BC = 10. Calcula cotf. A)

2 5

B) 2 6

C)

1 5

D) 2 2

E)

2 3

EDITORIAL INGENIO

9

En el lado AB de un cuadrado ABCD se ubica un punto H; tal que mBHDA = 37° y mBHCB = f. Calcula cotf. A) 1

2 B) 3

C) 2

4 D) 5

10 En un triángulo ABC, mBB = 127°, mBA = f y AB = 14 y BC = 20. Calcula M = 1 + 8cotf. A) 9 D) 14

E) 4

B) 11

C) 12 E) 15

TRIGONOMETRÍA

Tarea

3 Indica lo correcto:

1 En un triángulo rectángulo ABC (mBB = 90°), se traza la mediana CM (M en AB), de modo que: mBMCB = 37° y mBCAB = . Calcula tan.

A) sen30° =

1 2

D) tan37° =

3 5

B) sec45° = 2 C) sec60° = 2 E) sen53° =

4 5

4 Calcula

2 Calcula

C = (sec37° + tan37°)(sec245° + 1)

C = 2sen30° + tan260°

NIVEL

REFORZANDO

I

3 Calcula V =

tan260° + sec245° + csc230° tan45° – sen30°

A) 6 D) 15

1 Siendo I = 2sen30° + tan45°

B) 9

C) 12 E) 18

N = sec60° + sec245° G = 5(sen53° + sen37°)

4 Si cscq = tan260°, calcula T = 2 cosq + senq

calcula I – N + G. A) –1

B) 2

C) 3

D) 1

E) 5

A)

2 3

2 Calcula

sec

T = 4sen30° cos60° tan45° sec37° csc53° A)

5 2

B) 2

B)

5 4

C)

5 6

D)

4 5

E)

5 8

5 Si f(x) =

C) 3

D) 1

E)

5 3

x x x + tan + 2sen 3 4 6

1 + tan2

x 3

calcula f(p)

3

33

EDITORIAL INGENIO

A) 1

B)

2 3

C) 2

D)

E) 3

NIVEL

REFORZANDO TRIGONOMETRÍA

4 3

II

6 Resuelva 3xtan53° – csc30° = 2xcos60° + 4sec37° A)

1 3

B)

5 3

C)

7 3

D)

5 2

E)

3 2

7 Calcula m en mcsc30° + 6tan53° = m + 20sen37° A) 1 D) 4

B) 2

8 Calcula E =

C) 3 E) 5

A) 12 3 D) 17 3

B) 5 3

C) 15 E) 15 3

9 Sabiendo que senq = cos60° cos45° (q agudo), calcula M = A) 1

cot2q

B) 2

+2

C) 3

D) 4

E) 5

sec4x + 2sen2x 10 Si f(x) = , calcula f(15°). tan3x A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

A) 2 D) 1,5

3

B) 3

C) 0,5 E) 2,5

12 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana AM; tal que mBMCA = 45° y mBMAC = f. Calcula cotf. 3 2

B) 2

C)

5 3

D) 2

E) 3

13 En un triángulo rectángulo PRT, recto en R, se traza la mediana TM; tal que mBMTP = w y mBMPT = 30°. Calcula 5tanw. A) 3

B) 3

C) 2

D) 2

E) 1

14 En el lado AB de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican los puntos M y N; tal que MA = MN = NB, mBMAC = f, mBNCB = r y mBNMC = 37°. Calcula M = tanf + cotr. A) 4

B)

8 5

C) 3

D)

2 5

E) 2

15 En un triángulo ABC, mBB = 120°, mBC = r, y AB = 5BC. Calcula 7tanr. A) 5 D) 5 3

34

III

11 En un triángulo rectángulo ABC (mBB = 90°), se traza la mediana AM (M en BC), de modo que: mBACB = 37° y mBBMA = . Calcula tan.

A)

tan460° – sec445° (sec30° – cot60°)2

NIVEL

REFORZANDO

B) 2 3

C) 6 E) 6 3

PROPIEDADES DE LAS R.T. RECÍPROCAS Y COMPLEMENTARIAS 1

Escribe verdadero (V) o falso (F), en: ( )

2. tanx cotx = 1

( )

3. cos20° sec20° = 2

( )

B) 21°

B) 50°

A) 20° D) 32°

5

C) 22° E) 46°

Si tan = cot40° y secq = csc70°, halla  + q. A) 40° D) 70°

Si sen(2x + 1°) = cos(45° – x), halla x. (x < 50°) B) 48°

C) 22° E) 44°

C) FFV E) VFF

En la igualdad tanx cot23º = 1, halla x. A) 20º D) 23°

3

B) VVF

09 TRIGONOMETRÍA

1. senq cscq = 1

A) VFV D) VVV

2

4

CAPÍTULO

C) 60° E) 80°

Halla el recíproco de cscx. A) senx D) cotx

6

B) cosx

C) tanx E) secx

Halla ( + ) en: cos( + 10°) sec(40° – ) = tan45° A) 10° D) 40°

B) 20°

C) 30° E) 50°

3

35

EDITORIAL INGENIO

7

Si sen(3k) = cos54°, un valor de k es: B) 20°

C) 25° E) 30°



x Halla si I. sen10° cscx = tan245° y II. tany cot20° = 2cos60° A) 0,5 D) 0,6

B) 0,3

C) 0,4 E) 0,8

TRIGONOMETRÍA

A) 18° D) 12°

9

8 Sabiendo que sec4x = csc(x + 10°), ¿cuál es el valor de x? A) 2° D) 24°

B) 8°

C) 16° E) 30°

10 Si sen4x – cosx = 0, halla L = 5sen(2x + 1°) + 2sen(2x – 6°) A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

Tarea 3 Calcula x en

1 Calcula x en senx csc23° = 1

2 Calcula x en

4 ¿Cuánto vale x, si sec3x = csc2x? cos(2x – 5°) sec15° = 1

36

tan(x + y + 10°) cot(y + 20°) = cot45°

3

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

I

8 Si sec =

3sec20° + csc70° , 3csc70°

calcula T = sen tan. 1 Halla x si sen3x csc42° = 1. B) 14°

A)

C) 15° E) 18°

5 12

B)

4 9

C)

5 13

D)

7 12

E)

12 5

TRIGONOMETRÍA

A) 12° D) 17°

9 Sabiendo que tan13º cot(2x – 5º) = 1, calcula 2 Halla x, si cos(2x – 10°) sec(x + 30°) = 1. A) 10º D) 40º

B) 20º

M = tan25x + cot2(3x + 3º)

C) 30º E) 50º

A) 1 D) 4

3 Calcula B = 2tan18°tan72° + 3cos40°csc50° – secx sen(90° – x) A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

4 Si tan7x = cot(2x + 9°) y sen4x csc3y = 1, calcula K = cos5x cot4y cot(4x + 6°) A) 1 D)

B) 2

2 2

5 Si sen(4x + 10°) =

1. tan35° cot35° = 1

( )

2. sen10° csc80° = 1

( )

3. cos(10° – x) secx = 1

( )

4. tan(x + y – z) cot(y + x – z) = 1

( )

5. senx cscx + 2tan40°cot40° = 3

( )

III

11 Si sen(4a – 35°) csc(55° – 3a) = 1, calcula B) 20°

C) 16° E) 45°

E=

D)

NIVEL

REFORZANDO

II

6 Sabiendo que tan5x cot(x + 40°) = 1,

B) 3

1 2

3 D) 2

2 2 2 E) 3

A = 1 + tan3 tan4 tan5 tan6 B) 2

3 2

12 Sabiendo que tan3x tan2x = 1; señala el valor de

C)

7 Siendo  un ángulo agudo que cumple con tan3 cot(2 + 10°) = sen50° sec40°, calcula

C) 2 E)

C= B)

cos2a tana + sen5a cot6a

2 3

calcula cos3x.

A) 3 D) 2

C) VVVFV E) VFFVV

NIVEL

REFORZANDO

1 , halla x. csc(x + 70°)

A) 1

A) 1

B) VFFFV

3 2

(0° < x < 90°) A) 7° D) 15°

C) 3 E) 5

10 Indica con "V" lo verdadero y con "F" lo falso.

A) VFFFF D) VFVFV

C) 3 E)

B) 2

A) 1 D) 4

tan2(3x + 6°) + 4tan(2x + 1°) sen(2x – 6°) + 2cot(3x – 1°) B) 2

C) 3 E) 5

13 Sabiendo que cos4x sec(2x + 16°) = 1, ¿cual es el valor de x? A) 4° D) 12°

B) 8°

C) 6° E) 16°

C) 4 E) 3

3

37

EDITORIAL INGENIO

14 Sabiendo que tan3x cot(x + 40°) = 2sen30°, halla E = cos3x + 4tan(x + 17°)

15 Si A y B son complementarios, simplifica E=

TRIGONOMETRÍA

A)

1 2

B)

3 2

C)

CAPÍTULO

5 2

D)

7 2

E)

9 2

B) 3

C) 1 E) 2,5

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

10

1 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBA = f y AC = b. Calcula AB + BC. A) b(tanf + cotf) C) b(secf + cscf) D) b(tanf + senf)

B) b(senf + cosf) E) b(cotf + cosf)

2 En un triángulo rectángulo LMN, recto en M, mBL = w y LM = a. Calcula LN – MN. A) a(senw – cosw) C) a(cotw – cosw) D) a(secw – tanw)

38

A) 2 D) 1,5

(cosA)(tanA)(secA) (cotB)(senB)(cscB)

3

B) a(tanw – senw) E) a(cscw – cotw)

3 En un triángulo rectángulo PRT, recto en R, mBP =  y TR = n. Calcula PT – PR. A) n(sen – tan) C) n(cos – sec) D) n(cot – cos)

B) n(csc – cot) E) n(sec – tan)

4 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBA = g y AC = 8. Calcula el perímetro de la región ABC en términos de g. A) 8(1 + seng + cosg) C) 8(1 + seng + tang) D) 8(1 + seng + cotg)

B) 8(1 + seng + secg) E) 8(1 + seng + cscg)

EDITORIAL INGENIO

5 En un triángulo rectángulo LMN, recto en M, mBN = d y MN = 4. Calcula el perímetro de la región LMN en términos de d. B) 4(1 + tand + secd)

A) 12(1 + cotl + tanl) C) 12(1 + cotl + secl) D) 12(1 + cotl + cosl)

7

B) 12(1 + cotl + cscl) E) 12(1 + cotl + senl)

La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es q y la longitud del lado opuesto a dicho ángulo es 16. Calcula la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa en términos de q. A) 4cscq D) 10cscq

B) 6cscq

A) 6senw D) 18senw

E) 4(1 + tand + cosd)

6 En un triángulo rectángulo PRT, recto en R, mBT = l y PR = 12. Calcula el perímetro de la región PRT en términos de l.

C) 8cscq E) 12cscq

La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es w y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo es 18. Calcula la longitud de la altura relativa a la hipotenusa en términos de w.

9

B) 12cosw

C) 15tanw E) 9cosw

TRIGONOMETRÍA

A) 4(1 + tand + cotd) C) 4(1 + tand + cscd) D) 4(1 + tand + send)

8

La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es r y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo es 4. Calcula la longitud de la bisectriz interior relativa a la hipotenusa en términos de r. A)

2 2 1 + tanr

D)

4 2 1 + tanr

B)

2 1 + cotr

C)

4 tanr

E)

3 2 1 + cotr

10 En un triángulo rectángulo PRT, recto en R, se traza la altura RH; tal que mBHRT = q y HP = 8. Calcula HT en términos de q. A) 8tanq D) 8tan2q

B) 4cot2q

C) 2csc2q E) 4senq cosq

3

39

EDITORIAL INGENIO

Tarea

TRIGONOMETRÍA

1 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBA = f y AC = b. Calcula AB en términos de f y b.

2 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBA =  y BC = a. Calcula AC en términos de  y a.

REFORZANDO

NIVEL

I

1 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBC = g y AB = 2. Calcula AC – BC. A) 2(cscg – seng) C) 2(tang – cosg) D) 2(cotg – seng)

3 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH; tal que mBHBC = f y AH = n. Calcula BH en términos de f y n.

4 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH; tal que mBHBA = r y HC = q. Calcula AH en términos de r y q.

5 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBA = q y BC = 2 10. Calcula la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa. A) 10 tanq D) 10 cosq

B) 10 senq

B) 2(cscg – tang) E) 2(cscg – cotg)

REFORZANDO 2 En un triángulo rectángulo LMN, recto en M, mBL = f y LM = 2 2. Calcula LN – MN. A) 2(secf – cosf)

B) 2(cscf – senf)

C) 2 2(secf – tanf) D) 2(cscf – cotf)

E) 2 2(tanf – senf)

3 En un triángulo rectángulo PRT, recto en R, mBT =  y PT = 6. Calcula PR + RT. A) 6(tan + sen)

B) 6(sen + cos)

C) 3(tan + cos) D) 3(cot + sen)

E) 2(tan + cot)

4 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, mBA =  y AC = 5. Calcula el perímetro de la región ABC.

40

C) 10 cotq E) 10 cscq

A)

5(1 + tan + cot)

B)

5(1 + sen + sec)

C)

5(1 + cos + csc)

D)

5(1 + sen + cos)

E)

5(1 + tan + sen)

3

NIVEL

II

6 En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica un punto T, tal que mBTAB = f y AT = d. Calcula TC. A) d(tanf – cosf) C) d(secf – senf) D) d(secf – cosf)

B) d(cotf – senf) E) d(cosf – senf)

7 En un triángulo rectángulo LMN, recto en M, se traza la ceviana interior NT; tal que mBTLN = f y mBTNM = w y LN = d. Calcula TM en términos de f, w y d. A) dsenf cosw C) dsecf cotw

B) dtanf senw

D) dcosf tanw

E) dsenf tanw

8 En un triángulo rectángulo DEF, recto en E, mBF = r y EF = 3. Calcula el perímetro de la región DEF. A) 3(tanr + secr + 1)

B) 3(tanr + cscr + 1)

C) 3(tanr + cotr + 1) D) 3(cotr + cscr + 1)

E) 3(cotr + secr + 1)

EDITORIAL INGENIO

9 En el lado CD de un cuadrado ABCD se ubica un punto H, tal que mBHAD = f y HD = a. Calcula HC . B) a(secf – 1)

A) 7senq tanq C) 7secq cotq D) 14cscq tanq

E) a(cotf – 1)

10 En un cuadrilátero convexo ABCD, los ángulos ADB y BCD son rectos. Si AB = d, mBBAD = w y mBDBC = f, calcula CD. A) dsenf tanw C) dcosf cosw D) dsenf senw

B) dcosf cotw

a secq – cscq

D)

a tanq – senq

13 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediatriz de AC interseca al cateto AB en T; tal que mBTAC = q y AT = b. Calcula TB. A) 2bcosq D) bsen2q

NIVEL

III

11 En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B, mBADC = q, BC = a y AB = AD. Calcula CD.

C)

E) 14senq cosq

B) bcos2q

C) 2bsenq E) bsenq cosq

E) dtanf cotw

REFORZANDO

a A) tanq – cotq

B) 14cosq cotq

a B) senq – cosq

E)

a cotq – cosq

14 La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es f y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo es 2 2. Calcula la longitud de la bisectriz interior del ángulo recto. A)

2 1 + tanf

D)

2 1 + cscf

B)

1 1 + secf

C)

4 1 + cotf

E)

2 2 1 + senf

15 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH; tal que mBHBC = q y HC = n. Calcula HA. A) nsenq cosq C) nsecq cscq D) ncot2q

B) ntan2q E) nsenq secq

3

41

TRIGONOMETRÍA

A) a(tanf – 1) C) a(cosf – 1) D) a(senf – 1)

12 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la altura BH; tal que AC = 14 y mBHBC = q. Calcula BH.

CAPÍTULO

TRIGONOMETRÍA

11

ÁNGULOS VERTICALES

1 Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37°. Calcula la altura del edificio. A) 18 m D) 27 m

B) 20 m

C) 25 m E) 30 m

3 2

B) 2

C)

3 4

D) 3

E)

Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte alta y baja de un poste con ángulos de elevación y depresión de 60° y 30°, respectivamente. Determina la altura del poste. A) 24 m D) 32 m

2 Se observa un poste con un ángulo de elevación q, nos acercamos L y el ángulo de elevación es 45°. Si la altura del poste es 2L, determina tanq. A)

4

2 3

5

B) 28 m

Un observador de 3 m de estatura mira el extremo superior de una torre con un ángulo de elevación de 30°. Si después de caminar 100 m hacia la torre el ángulo de elevación hacia el extremo superior de la torre es 60°, halla la altura de la torre. A) 48 3 m

B) 60 m

D) 72 m

3 Desde dos puntos separados 42 m, se observa la parte alta de un poste que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación de 37° y 45°. Determina la altura del poste. A) 12 m D) 18 m

42

B) 15 m

3

C) 16 m E) 20 m

C) 30 m E) 36 m

C) 51 3 m E) 54 3 m

6 Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37°. Si la visual mide 30 m, determina la altura del edificio. A) 12 m D) 16 m

B) 14 m

C) 15 m E) 18 m

EDITORIAL INGENIO

7

Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. ¿Cuál es la altura de la torre? A) 28 m D) 34 m

B) 30 m

C) 32 m E) 36 m

A) 30 m D) 45 m

B) 35 m

C) 40 m E) 50 m

A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 6

TRIGONOMETRÍA

8 Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del poste es de 30 m, ¿a qué distancia del poste se encuentra el punto de observación?

9 Desde un punto en tierra se observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37°. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de elevación es q. Calcula tanq.

10 Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 53°. Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de elevación para su parte más alta es q. Calcula cotq. A) 2

B)

2 3

C) 3

D)

3 5

E) 1

Tarea 1 La azotea de un edificio se observa con un ángulo de elevación de 60° desde un punto distante 40 m de su base. ¿Cuál es la altura del edificio?

2 Desde un avión se observa una isla con un ángulo de depresión de 53°. Si el altímetro indica 2400 m, ¿a qué distancia horizontal se encuentra la isla con respecto al avión en ese instante?

3 Desde un punto en tierra ubicado a 80 m de una torre se observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuánto mide la altura de la torre?

4 Una hormiga observa la copa del árbol con un ángulo de elevación de 37°. Luego se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53°. Calcula la altura del árbol.

3

43

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

TRIGONOMETRÍA

REFORZANDO

I

1 Una persona de 2 metros de estatura observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 30°. ¿A qué distancia se encuentra de la base de la torre, si ésta mide 82 m? A) 122,4 m D) 136 m

B) 130 m

C) 132,8 m E) 138,4 m

2 Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer piso de un edificio con un ángulo de elevación  y la parte alta del quinto piso con ángulo de elevación . tan Halla . tan A) 1

B)

1 2

C) 2

D)

5 3

E) 3

3 Una persona ubicada a 36 m de una torre observa su parte más alta con un ángulo de elevación 7 , (tan = ). ¿Qué distancia habría que alejar12 se para que el ángulo de elevación sea q, donde 1 tanq = ? 4 A) 42 m D) 48 m

B) 44 m

C) 46 m E) 50 m

4 Desde la parte más alta de una torre de 60 m de altura se observa a una hormiga con un ángulo de depresión de 37°. ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra la hormiga? A) 68 m D) 82 m

B) 72 m

C) 80 m E) 90 m

5 Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45°, y desde otro punto ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el primer punto y el poste, el ángulo de elevación es . Calcula tan. 4 A) 3

5 B) 3

D) 2

44

NIVEL

II

6 Si desde un punto en tierra ubicada a 20 m de la base de un edificio, el ángulo de elevación para su parte más alta mide 37°, calcula la altura del edificio. A) 12 m D) 16 m

B) 15 m

C) 14 m E) 18 m

7 A 120 m del pie de un edificio, el ángulo de elevación es de 60°, ¿cuál es la altura del edificio? A) 40 3 m

B) 60 3 m

D) 20 3 m

C) 80 3 m E) 120 3 m

8 Desde un punto en tierra ubicado a 12 m de un edificio se ve su parte más alta con un ángulo de elevación . Si tan = 3/2, ¿cuánto mide el edificio? A) 24 m D) 26 m

B) 18 m

C) 36 m E) 15 m

9 Desde lo alto de un faro de 96 m de altura, con ángulos de depresión de 37º y 53º, se observan dos barcos alineados a un mismo lado de la base del faro. Calcula la distancia entre ellos. A) 46 m D) 32 m

B) 86 m

C) 56 m E) 63 m

10 Desde lo alto de un acantilado se observan dos barcos en una misma dirección con ángulos de depresión de 37º y 53º, respectivamente. Calcula la distancia entre los barcos si la altura del acantilado es 24 m. A) 14 m D) 64 m

B) 12 m

REFORZANDO

C) 32 m E) 128 m

NIVEL

III

C) 2 E) 2 2

3

REFORZANDO

11 Una pulguita observa la parte más alta de un poste con un ángulo de elevación q. Cuando la distancia que lo separa se ha reducido a la tercera parte la medida del nuevo ángulo de elevación para el mismo punto se ha duplicado. Halla q.

EDITORIAL INGENIO

A) 15° D) 45°

B) 30°

C) 60° E) 37°

A) 16 m D) 19 m

B) 32 m

B) 3

D)

C) 8 m E) N.A.

13 A 10 m de un poste la elevación angular para lo alto del mismo es  (tan = 0,8). Si retrocedemos 6 m, el ángulo de elevación es q. Calcula tanq. A) 1 D) 3

A) 2

C) 0,5 E) 0,3

B)

2 2

2 4

C) 2 2 E) 1

15 Un alumno del colegio, deslumbrado por una chica, observa sus ojos con un ángulo de elevación q. Después de acercarse una distancia igual al doble de la diferencia de sus estaturas el ángulo de elevación es (90° – q). Calcula E = cotq – tanq. A) 1 D)

B) 2

1 2

C) 4 E)

1 4

CAPÍTULO

12

PLANO CARTESIANO 1

Calcula la distancia entre los puntos P(a – 2; b + 1) y Q(a + 3; b – 1). A) 6 D) 2 5

B) 3 3

C) 5 E) 29

2

Calcula el perímetro de un cuadrado, si dos de sus vértices consecutivos son A(–1; 2) y B(0; 3). A) 8 D) 4 2

B) 6 2

C) 9 E) 6

3

45

TRIGONOMETRÍA

12 Desde un punto en tierra se observa lo alto de un poste de 30 m de altura con un ángulo de elevación cuya secante es igual a 2,125. Calcula la distancia del punto al poste.

14 Desde lo alto de un edificio se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión  y a otro punto ubicado a la mitad entre el primer punto y el edificio, con un ángulo de depresión 90° – . Calcula cot.

EDITORIAL INGENIO

3

Si los vértices de un triángulo son A(2; –1); B(–1; 1) y C(–2; 0), calcula la longitud de la mediana relativa al menor lado del triángulo. A) 2

TRIGONOMETRÍA

D)

4

B) 5 58 2

C) 3

6

Calcula el área de un cuadrado, si dos de sus vértices consecutivos son A(1; 4) y B(–7; –3). A) 111 D) 114

B) 112

C) 113 E) 115

E) 1

Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: 1. El punto A(–3; 4)  II C 2. El punto B(–2; –3)  IV C

7 Dado el triángulo ABC, donde A(1; 1), B(5; 7) y C(15; 1), calcula la longitud de la mediana relativa al lado AB. A) 13 D) 6 6

3. El punto P(0; 2)  eje Y

B) 3 17

C) 12 E) 11

4. El punto Q(–3; 0)  eje X A) VVVV D) VFFF

5

C) VFFV E) FFFF

Halla la distancia del punto A(1; –2) al punto B(4; 2). A) 8 D) 5

46

B) VFVV

B) 7

3

C) 6 E) 4

8 Si los vértices de un triángulo son A(–1; 5), B(1; 1) y C(4; 5), calcula la longitud de la mediana relativa al menor lado del triángulo. A) 5 D) 3 3

B) 2 5

C) 4 E) 3

EDITORIAL INGENIO

9

Si (b; 1) es el punto medio entre A(–8; a) y B(2; 3), calcula a – b. A) 1 D) –1

B) 2

C) 0 E) –2

10 Halla la suma de coordenadas del baricentro de un triángulo cuyos vértices son A(3; 5), B(4; –1) y C(8; 2). A) 11 D) 8

B) 10

C) 9 E) 7

TRIGONOMETRÍA

Tarea 1 ¿En qué cuadrante se ubica el punto A(–2; –3)? Grafíquelo.

2 Los vértices de un triángulo son A(1; 2); B(3;4) y C(5; –3). Halla el baricentro del triángulo.

REFORZANDO

NIVEL

I

1 Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1. El punto A(–7; –8)  III C 3. El punto C(–4; 0)  Eje X 4. El punto D(0; 7)  Eje Y B) FFVV

C) VFVF E) VVVV

2 El punto (–7; –5) está ubicado en el: A) I C D) IV C

B) II C

4 Halla el radio vector para el punto (–5; 12).

3 ¿Qué punto se encuentra más cerca del origen del sistema cartesiano? A) (–5; 3) D) (–4; 1)

B) (3; 4)

C) (–3; –2) E) (5; 2)

4 Si la distancia del punto P(a; a – 1) al origen es igual a 5, ¿cuál es el valor de a?

2. El punto B(4; –5)  IV C

A) FVFV D) VVFF

3 ¿Qué punto se encuentra más cerca del origen del sistema cartesiano, A(–1; 4) o B(2; –3)?

C) III C E) Eje X

A) 4 D) 4 ó –3

B) –3

C) 3 E) 4 ó 3

5 Determina la distancia del punto A(–5; 3) al punto B(1; –5) A) 5 D) 10

B) 10

C) 3 2 E) 15

3

47

EDITORIAL INGENIO

REFORZANDO

NIVEL

II

TRIGONOMETRÍA

6 Halla la distancia entre los puntos A(3; 7) y B(–2; 4) A) 2 7

B) 34

C) 10 E) 146

D) 53

7 Si dos vértices consecutivos de un cuadrado son A(1; –2) y B(3; 4), calcula el área de dicho cuadrado. A) 20 m2 D) 50 m2

B) 30 m2

C) 40 m2 E) 60 m2

8 Los vértices de un triángulo son A(–3; –3), B(–3; –1) y C(1; 3). Halla la mediana relativa al lado BC. A) 5

B) 2 5

D) 4 5

C) 3 5 E) 5 5

A) 10

B) 26

D) 37

C) 5 2

A) (0; 1) D) (–2; 0)

B) (0; 2)

A) 1 D) –2 ó 4

B) 1 ó –1

C) 2 E) 5

13 En un triángulo ABC de coordenadas A(x + 1; 0); B(x – 1; x – 3) y C(x; y – 1), su baricentro tiene x como coordenada (3; 2). Halla E = . y 1 5

B) 5

C) –5

D) –

1 5

E)

3 7

14 Dos vértices de un triángulo son A(8; 2) y B(–2; 4). Si el baricentro es el origen de coordenadas, ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice C?

E) 5

10 Si el punto medio del segmento cuyos extremos son A(1; –2) y B(a; b) es M(–2; 0), calcula a + b. B) 2

C) 4 E) –3

3

B) (–2; 6)

C) (6; 6) E) (–6; –1)

15 La abscisa de un punto A es –6 y su distancia al punto B(1; 3) es igual a 74. Halla la ordenada del punto A. A) –2 D) 8

48

C) (3; 0) E) (0; –4)

12 La ordenada de un punto A es –2 y su distancia al punto B(1; 4) es igual a 3 5. Halla la abscisa del punto A.

A) (–3; 6) D) (–6; –6)

A) 1 D) –6

III

11 Dos vértices de un triángulo son A(1; 1) y B(–1; 3). Si el baricentro es el origen de coordenadas, ¿cuáles son las coordenadas del tercer vértice C?

A) 9 Dado el segmento de extremos A(1; 7) y B(–3; 5), calcula la longitud del radio vector correspondiente al punto medio de AB.

NIVEL

REFORZANDO

B) 2 C) –8 E) Hay dos respuestas

CAPÍTULO

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 1 ¿A qué cuadrante pertenece un ángulo en posición normal cuya medida es 222º?

4 En la figura calcula el valor de f. A) 37

B) III C C) II C E) Ninguno de los cuadrantes

Y

TRIGONOMETRÍA

A) IV C D) I C

13

B) 42 C) 45

O

X

D) 48 E) 52

2 En la figura calcula el máximo valor entero de f. A) 18

Y

B) 17 C) 16 D) 15 E) 13

O

X

5

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. 253º  IV C

( )

2. 180º  II C

( )

3. –172º  III C

( )

4. 111º  II C

( )

A) FVFV D) FFVV

3 ¿A qué cuadrante pertenece un ángulo en posición estándar cuya medida es –284? A) III C D) IV C

B) II C C) I C E) Ninguno de los cuadrantes

B) VFVF

C) VVFF E) VFFV

6 En la figura calcula el mínimo valor entero de r. A) 15

Y

B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

X

O

3

49

EDITORIAL INGENIO

7 P(–5; 3) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo canónico. ¿A qué cuadrante pertenece dicho ángulo? A) I C D) IV C

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

9

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. El lado final de un ángulo en posición estándar coincide con cualquiera de los ejes positivos. ( )

TRIGONOMETRÍA

2. La medida de un ángulo cuadrantal siempre es mayor que 90º. ( ) 3. La medida de un ángulo en posición canónica es mayor que 0º. ( ) A) VFV D) FFF

8 ¿A qué cuadrante pertenece un ángulo en posición normal cuya medida es 840º? A) IV C D) I C

B) III C C) II C E) Ninguno de los cuadrante

B) FVF

C) VVF E) VVV

10 Indica cuales de los gráficos representan a un ángulo en posición estándar. 1.

2. Y

Y

3.

Y

X

O O 4.

O

X 5.

Y

X 6.

Y

Y

X O O

A) 2 D) 2 y 3

Tarea 1 ¿A que cuadrante pertenece un ángulo en posición estándar cuya medida es 348º?

2 En la figura calcula el máximo valor entero de f.

3

O

X

X

C) 5 E) 3 y 6

3 ¿A que cuadrante pertenece un ángulo en posición canónica cuya medida es –1111º?

Y O

O

50

B) 3

4 En la figura calcula el valor de f.

Y

X

X

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

I

1 ¿A que cuadrante pertenece un ángulo en posición normal cuya medida es 273º? B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

2 ¿A que cuadrante pertenece un ángulo en posición canónica cuya medida es –278º? A) I C D) IV C

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

3 En la figura calcula el máximo valor entero de w. Y

A) 33 B) 30

A) II C D) IV C

B) I C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

8 En la figura calcula el mínimo valor entero de f. Y A) 39 B) 40 D) 42 E) 43

9 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. El lado final de un ángulo cuadrantal coincide con cualquiera de los ejes. ( )

C) 27 D) 22

2. La medida de un ángulo en posición estándar puede ser menor que 0º. ( )

X

O

E) 21

3. –2000°  IIC 4 P(7; –8) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal. ¿A que cuadrante pertenece dicho ángulo? A) II C D) I C

X

O

C) 41

B) IV C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

A) FVF D) VVF





B) VVV







C) VFV E) FFV

10 En la figura calcula el máximo valor entero de f. Y A) 36 B) 35

5 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. 999º  II C

( )

2. 777º  I C

( )

3. 888º  IV C

( )

4. –1000º  I C

( )

A) FFVV D) VFFV

B) VVFF

X

O

C) 34 D) 33 E) 32

REFORZANDO

C) FVVF E) FVFV

( )

NIVEL

III

11 P(–37; 48) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica. ¿A que cuadrante pertenece dicho ángulo?

REFORZANDO

NIVEL

II

6 ¿A que cuadrante pertenece un ángulo en posición canónica cuya medida es –1234º? A) I C D) IV C

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

A) IV C D) I C

B) III C C) II C E) Ninguno de los cuadrantes

12 Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. –33º  I C

( )

2. 333º  III C

( )

3

51

TRIGONOMETRÍA

A) I C D) IV C

7 P(–5; –9) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar. ¿A que cuadrante pertenece dicho ángulo?

EDITORIAL INGENIO

3. –222º  IV C

( )

4. 555º  II C

( )

A) FVFV D) VVFF

B) VFVF

C) FFVV E) FFFF

A) 1 D) 5

B) 2 y 3

14 En la figura calcula el máximo valor entero de f.

TRIGONOMETRÍA

A) 31 13 Indica cuales de los gráficos representa un ángulo en posición canónica. 1.

2.

Y

3.

Y

C) 3 y 4 E) 6

Y

Y

B) 28 9(f – 5)°

C) 26 D) 24

X

X

O

E) 22

O O

O

X

4.

5. Y

X 6.

Y

X

Y X

O

O

A) 4 D) –2

O X

CAPÍTULO

Indica cuales de los gráficos representa un ángulo en posición canónica. A)

Y

B) X

C)

Y

E= A) 1 X D)

Y

E) X

Y

X

52

C) 0 E) –4

2 Si A(–3; 4) es un punto del lado final de un ángulo en posición normal q, calcula el valor de:

Y

X D)

B) 2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA

14 1

15 P(a; 3a + 12) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo cuadrantal de media vuelta. Calcula a.

3

2 3

B) 2

senq 1 – cosq C) 3 E)

1 2

EDITORIAL INGENIO

3

Si tan = 2tan,   III C, halla 5(sen – cos) A) 1 D) –1

B) 2

C) –2 E) –3

6

Si tanq = –

2  q  IV C, calcula el valor de: 5 E = 29(senq + cosq)

A) 6 D) 3

B) 5

C) 4 E) 2

TRIGONOMETRÍA

4 Si el punto B(–9; –40) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal , calcula el valor de E = 41sen + 9tan. A) 4 D) 1

5

Si senq = –

A) 4 D) 1

B) 3

C) 2 E) 0

1  q  III C, calcula el valor de: 3 E = 2(secq – tanq) B) 3

C) –2 E) 0

7 El punto P(–5; 2) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal. ¿A qué cuadrante pertenece dicho ángulo? A) I C D) IV C

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

8 El punto M(3; –4) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es q. Calcula R = cosq + secq. A)

34 15

B)

25 12

C)

15 34

D)

12 25

E)

3

9 16

53

EDITORIAL INGENIO

TRIGONOMETRÍA

9

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. 235º  III C

( )

2. 324º  IV C

( )

3. 111º  III C

( )

A) VFV D) VVF

B) VFF

10 El punto medio del segmento cuyos extremos son (7; 11) y (1; 4) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es f. Calcula E = 2senf – 3cosf. A) 1

B)

3 7

C)

5 11

D) 2

E)

6 17

C) FFV E) FFF

Tarea 1 P( 3; 2) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es f. Calcula M = 5senf cosf.

2 H(– 2; 6) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar cuya medida es . Calcula T = cos + sec.

REFORZANDO

NIVEL

B) 2 2

C) 3 E) 2

2 Indica el valor de verdad de cada afirmación: 1. 200°  III C

( )

2. 150°  III C

( )

3. 310°  III C

( )

A) VVV D) FFV

54

B) FVF

3

C) VFF E) VFV

4 E(–4; 3) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es w. Calcula T = cotw – cscw.

I

1 1 Si   III C, además sen = – , calcula cot. 3 A) 4 D) 2

3 M(– 5; – 7) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya medida es f. Calcula R = tanf + secf.

3 Indica el valor de verdad de cada afirmación: 1. 100°  II C

( )

2. 200°  III C

( )

3. 300°  IV C

( )

A) VVV D) FFF

B) VVF

C) VFF E) VFV

4 El punto P(2; 4) pertenece al lado final del ángulo cuya medida es q. Halla cosq senq. A)

4 5

B) 2

C)

7 10

D) 3

E)

2 5

EDITORIAL INGENIO

5 ¿Cuál de los gráficos son ángulos en posición normal? A)

B)

Y

C)

Y

X

Y

X

A)

21 2

D)

21 3

B)

7 3

C) –

21 2

E) –

14 3

D)

Y

E)

NIVEL

REFORZANDO

Y

III

X X

NIVEL

REFORZANDO

II

1 6 Si   IV C, además cot = – , calcula 5cos. 2 A) 1 D) 5

B) 2

1. 240°  II C

( )

2. 315°  IV C

( )

3. 100°  II C

( ) B) FFF

1. 172°  III C

( )

2. 282°  IV C

( )

3. 332°  III C

( )

A) FVV D) VVF

B) FFV

C) VVV E) FVF

12 El punto N(–7; –2) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar. ¿A qué cuadrante pertenece dicho ángulo?

C) 2 E) 3

7 Indica el valor de verdad de cada afirmación

A) FFV D) VVF

11 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

C) VVV E) FVV

A) III C D) IV C

B) II C C) I C E) Ninguno de los cuadrantes

13 P(– 5; 1) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es g. Calcula R = 6(seng – cosg). A) 5 – 1 D) 5

B) 6

C) 5 + 1 E) 1

8 Indica el valor de verdad de cada afirmación: 1. –120°  III C











( )

2. 240°  II C











( )

3. 350°  IV C











( )

A) VVF D) FVV

B) VVV

C) VFV E) FFF

14 P(–1; – 7) es un punto que pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica cuya me14 dida es . Calcula T = (sec + csc). 4 A) 7 – 1

B) 1 – 7

C) 7

D) –1 – 7 9 Si el punto Q(–1; –3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal , halla 3sec csc A) 10 D) 3 10

B) 10

C) 2 10 E)

10 2

E) 1

15 El punto P(–12; 35) pertenece al lado final de un ángulo en posición estándar cuya medida es . Calcula H = 37(sen + cos). A) –

2 5

B)

11 2

C)

17 15

D)

23 37

E) 23

2 10 Si cosq = , halla tanq, siendo q la medida de un 5 ángulo en posición normal en el IV C.

3

55

TRIGONOMETRÍA

X

CAPÍTULO

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

15 TRIGONOMETRÍA

1

Si tanq > 0  senq < 0, ¿a qué cuadrante pertenece q? A) I C D) IV C

4

M = tan100° · cos200°

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

2 ¿A que cuadrante pertenece q, si

N = tan300° + sec190° A) (+); (–) D) (–); (–)

5

senq > 0  cosq < 0? A) I C D) IV C

B) II C

Indica el signo de:

Si senq cosq > 0 y q  I C, entonces: 2. cscq < 0 3. secq > 0 A) Solo 1 D) 1 y 2

tanq > 0  secq < 0? A) I C D) IV C

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

6

3

B) Solo 2

C) Solo 3 E) 1 y 3

Si q es un ángulo del tercer cuadrante, entonces: 1. senq cosq > 0 2. senq tanq > 0 3. cosq – cotq < 0 A) Solo 1 D) 1 y 3

56

C) (–); (+) E) Ninguno

1. tanq > 0

C) III C E) eje X

3 ¿A qué cuadrante pertenece q, si

B) (+); (+)

B) Solo 2

C) 1 y 2 E) 1, 2 y 3

EDITORIAL INGENIO

7 De las proposiciones



Determina el signo de: L = sen100º cos70º

2. sec600º csc600º > 0

M = sen200º cos110º

3. tan600º cot600º > 0

N = sen300º cos240º

son verdaderos:

A) (+), (–), (–) B) (+), (+), (–) C) (+), (+), (+) D) (–), (+), (–) E) (+), (–), (+)

B) Solo 2

C) 1 y 2 E) 1, 2 y 3

Determina la veracidad o falsedad de las proposiciones:

10 Determina el signo de: P = sen130º + sen80º

1. cos800º sen900º < 0

R = cos12º + cos142º

2. sen400º cos550º > 0

T = tan80º + tan130º

3. tan300º cot500º < 0 A) VVV D) VFF

B) VVF

C) FVF E) FFF

A) (+), (–), (+) B) (–), (+), (–) C) (+), (+), (–) D) (+), (+), (+) E) (+), (–), (–)

Tarea 3 Determina el signo de: 1 Determina el signo de: M=

cos317° cot216° tan156°

2 Determina el signo de: sec150° + tan350° A= sen250°

M=

sen205° tan315° cot127°

4 Si   [210°; 300°], determina el signo de: N = tan

 · csc 2

3

57

TRIGONOMETRÍA

1. sen600º cos600º < 0

A) Solo 1 D) 2 y 3

8

9

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

I

TRIGONOMETRÍA

1 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. sen280º > 0

( )

2. cos310º < 0

( )

3. tan114º > 0

( )

A) VFV D) FFV

B) VVF

C) FFF E) VVV

REFORZANDO

NIVEL

II

6 Ordena de mayor a menor: p = cos23º q = cos50º r = cos100º A) r, q, p D) p, q, r

B) r, p, q

C) q, r, p E) p, r, q

7 Si cosf > 0  cotf < 0, ¿a qué cuadrante pertenece f?

2 Determina el signo de:

A) I C D) IV C

A = sen108º cos74º B = cos172º sen192º

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

C = tan82º tan234º A) (+), (–), (+) C) (–), (+), (–) D) (–), (–), (–)

B) (+), (+), (–) E) (+), (+), (+)

3 Si senf > 0  tanf < 0, ¿a qué cuadrante pertenece f? A) I C D) IV C

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

8 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 1. tan264º < 0

( )

2. cos283º > 0

( )

3. sen167º < 0

( )

A) VVV D) FFV

B) VFV

C) FVF E) VVF

9 Determina el signo de: 4 Ordena de menor a mayor:

L = cos333º + sen112º

a = sen20º

M = sen194º + cos176º

b = sen70º

N = tan44º + tan116º

c = sen140º

A) (+), (–), (+) B) (+), (–), (–) C) (+), (+), (–) D) (+), (+), (+) E) (–), (+), (–)

A) a, b, c D) b, c, a

B) a, c, b

C) b, a, c E) c, a, b

10 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

5 Determina el signo de: L = sen253º cos123º

1. sec327º > 0

( )

M = cos315º sen164º

2. cos257º < 0

( )

N = tan173º cot227º

3. cos125º > 0

( )

A) (+), (–), (–) C) (–), (–), (+) D) (–), (+), (–)

58

B) (+), (–), (+) E) (+), (+), (–)

3

A) VVV D) VVF

B) FVF

C) VFV E) FFV

EDITORIAL INGENIO

REFORZANDO

NIVEL

III

13 Determina el signo de: A = sen100º + cos208º B = cos38º + cos118º

11 Si secf > 0  senf < 0, ¿a qué cuadrante pertenece f?

A) (+), (–), (+) B) (+), (+), (–) C) (+), (–), (–) D) (–), (+), (–) E) (+), (+), (+)

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

14 Si cscf > 0  cosf < 0, ¿a qué cuadrante pertenece f?

12 Ordena de menor a mayor: l = tan77º

A) I C D) IV C

m = tan34º n = tan123º A) n, m, l D) l, n, m

B) n, l, m

C) l, m, n E) m, n, l

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

15 Si cotf > 0  senf < 0, ¿a qué cuadrante pertenece f? A) I C D) IV C

B) II C C) III C E) Ninguno de los cuadrantes

CAPÍTULO

R.T. DE ÁNGULOS COTERMINALES Y CUADRANTALES 1

Calcula

2

p M = tan[sen(cos )] – cos[tan(senp)] 2 A) 2 D) –1

B) 1

C) 0 E) –2

16

Calcula E = 3sen90° – 5cos180° + 7tan360° A) 4 D) 7

B) 5

C) 6 E) 8

3

59

TRIGONOMETRÍA

A) I C D) IV C

C = tan32º + tan122º

EDITORIAL INGENIO

3

6

Ordena de menor a mayor, a = csc90°; b = cos360°; c = cos180° B) a, c, b

E = sen(cos90°) + cos(sen0°) + tan(cot270°)

C) b, c, a E) b, a, c

A) –1 D) 2

B) 0

C) 1 E) 3

TRIGONOMETRÍA

A) a, b, c D) c, a, b

Calcula

4

Calcula

A) 1 D) –2

5

7 sen90° + sec360° – cos180° E= cos90° + tan180° – sen270° B) 2

A) –3 D) 0

B) –2

M=

C) 0 E) 3

Calcula E = (4cos180° + 3sen90°)3 C) –1 E) 1

Si f(x) = a2senx + b2cos2x, calcula

A) 2 D) –1

8

3

B) 1

C) 0 E) –2

Calcula M= A) 3 D) 0

60

f(90°) + f(270°) f(180°)

asen90° + (a + bcos270°)sen180° – acsc90° a+b B) 2

C) 1 E) –1

EDITORIAL INGENIO

9

10 Calcula

Calcula C= A) 2 D) 5

2sen90°

– (a – (a + b) absen490° + bcos3270° B) 3

3p + 4csc90° 2 cos0° + tan45°

cos180° – sen

b)2cos2180°

E=

C) 4 E) 6

A) 1 D) –1

B) 2

C) –2 E) 3

TRIGONOMETRÍA

Tarea

3 Del gráfico calcula

1 750° y 30° ¿son coterminales?¿por qué?

E=

Y

tan tanq X

2 Calcula E = (sen90° + cos90°)csc270°

REFORZANDO

NIVEL

a = tan360°; b = csc270°; c = sen90° B) a; b; c

C) c; a; b E) b; a; c

2 Calcula Q = (3cos180° – cos90°)2 A) 1 D) 16

B) 4

I

Q = (2cos180° – sen90°)2

3 Del gráfico calcula M = tanq – tan. Y

A) 0 B) 1

1 Ordena de menor a mayor:

A) b; c; a D) a; c; b

4 Calcula

C) 9 E) 36

C) –1 X

D) 2 E) –2

4 Calcula E = (2sen180° – sen90°)3 A) 0 D) 4

B) 1

C) –1 E) 16

3

61

EDITORIAL INGENIO

5 Calcula E=

TRIGONOMETRÍA

A) –1 D) –4

B) –2

REFORZANDO

II

6 Calcula E = tan(sen180°) + cos(tan360°) A) 0 D) 2

B) 1

C) –1 E) –2

1. sen270º = 1

( )

2. cos360º = 0

( )

3. sec180º = –1

( )

A) VFV D) VVV

B) VVF

p 7 Si f(x) = cos4x – sen2x + sec8x, calcula f  . 4 B) 1

B)

1 2

C)

3 2

D) 2

E)

5 2

13 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

(a + b)2sen390° + (a – b)2cos5180° asen270° + bcos290°

A) 2a D) –4a

A) 1

4sen90° + 3cos180° + 2cos360° 5cos0° – 3sec360°

C) –1 E) –3

8 Simplifica Q=

C) FVF E) FFV

12 Calcula E=

A) 0 D) 3

III

11 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

C) –3 E) –5

NIVEL

NIVEL

REFORZANDO

3cos0° – 4sen270° + sec360° cos180° + csc270°

B) –2a

C) 4a E) –4b

1. tan180º = 0

( )

2. csc270º = –1

( )

3. sen180º = –1

( )

A) VVV D) FVF

B) VVF

C) VFV E) FFV

9 Reduce C= A) n + m D)

n2cos7180° + m2sen490° msen90° + ncos0° B) m – n

m2 + n2 m+n

C)

m–n m+n

E)

m2 + n2 m–n

14 Calcula R = tan – tanf + sen – senf, siendo  y f coterminales. A) 1 D) –1

B) 2

C) 0 E) –2

15 Calcula M=

10 Calcula R = 3sen180° + 5cos0° + sen90° A) 3 D) 6

62

B) 4

3

C) 5 E) 7

A) –

1 3

7sen360° – 2cos0° + 3sen90° 4csc270° – sec360°

B) –

1 4

C) –

1 2

D) –

2 3

E) –

1 5

CAPÍTULO

1ER

REDUCCIÓN AL CUADRANTE DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA 1

Escribe verdadero (V) o falso (F) en cada proposición:







( )

2. (180° – x)  II C









( )

3. (360° + x)  IV C









( )

A) VVV D) FVF

2

B) VVF

2 3

B) 1

C)

1 2

E= A) 1 D) 4

D) 2

5

Calcula E = sen240° + sen120° A) 2 D) – 2

B) 1

B) 2

E)

Calcula E=

5 2 A)

3

cos(180° – x) cot(360° – x) – cos(2p – x) cot(p + x) C) 3 E) 0

C) VFV E) VFF

Señala el valor de C = tan225° cos300° A)

Simplifica

TRIGONOMETRÍA

1. (270° – x)  III C

4

17

6

1 2

B)

2 3

C)

cot300° sen240° 3 2

D)

4 3

E) 1

Si cos50° = a, ¿a qué es igual E?

C) –1

E=

E) 0 A) a

B) a2

sen140° cos130° sec310° csc320° C) a3

D) a4

E) a5

3

63

EDITORIAL INGENIO

7

Simplifica

9

Simplifica

csc(270° – x) – sec(90° – x) E= sec(360° – x) – csc(180° + x) B) –1

C) 0 E) 2

TRIGONOMETRÍA

A) –2 D) 1

8

Simplifica E=

A) –2 D) 1

E=

A) 2 D) –1

3p tan  + x   2 

sen(p + x) – cot(2p – x) p   cos –x 2  B) –1

C) 0 E) –2

10 En un triángulo ABC, simplifica cos(90° + x) cot(270° + x) + p 3p   cot  – x  cos –x 2   2  B) –1

C) 0 E) 2

E=

sen(A + B) tan(A + B + 2C) + tanC senC

A) –2 D) 1

B) –1

C) 0 E) 2

Tarea 3 Simplifica 1 Escribe verdadero (V) o falso (F) en: 1. sen(90° + x) = –senx

E=

sen(90° – x) csc(90° + x) tan(270° – x) cot(270° + x)

2. cos(90° – x) = senx 3. tan(180° + x) = tanx 4. sec(360° – x) = –secx

4 Calcula el valor de Q = sen150° – cos120° + tan135°

2 Calcula M = sen110° + cos200° – tan330°

64

3

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

I

9 Simplifica E=

1 ¿A qué cuadrante pertenece (270° – x)? B) II C

C) III C E) no se sabe

2 Escribe verdadero (V) o falso (F) en cada proposición: 1. (360° – x)  IV C









( )

2. (90° + x)  I C











( )

3. (90° – x)  II C











( )

A) VFV D) FFV

B) VFF

C) VVV E) FVV

3 Calcula sec 225°. A) – 2

B) 2

A) 0 D) –1

B) –2

10 Simplifica E=

sen(90° – x) tan(270° – x) + p 3p   tan  + x  sen +x 2   2 

A) –2 D) 1

B) –1

C) –2

D) 2

1 4

B) 4

C)

1 4

D)

2 3

E= E)

3 4

A) k4

5 Calcula E = 2cos120° + 4tan217° A) 1

B) 2

C) 3

D) 6

A)

5 2

B) –

1 2

C) 1

II

4sen2300° – cos120° 3tan3135° D) 2

E) –

7 6

7 Si T = sen2300° + cos2240°, A = 1 – 2cos120°, calcula T+A E= T–A B) 1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 2tanx

B) –

A) –11

1 4

C) 1

B) –1

2 11

E) –k2

2cos300° – sen2120° 2tan3135° D)

1 4

E)

1 8

C) –

1 11

E) –

11 3

14 Calcula M = cot225° cos300° + csc330° tan135° A) 2

C) –1 E) –3

csc(270° + x) + sec(90° + x) 8 Simplifica E = sec(360° – x) + csc(180° – x) A) –1

1 8

D) k–4

13 Si M = tan2120° – sec2330°, N = 1 – 4sen2120°, calcula M+N E= M–N

D) –

A) 2 D) –2

C) 1

E) 5

NIVEL

6 Calcula el valor de E =

B) –k4

sen160° cos110° sec290° csc340°

12 Calcula el valor de E =

A) –

REFORZANDO

III

11 Si sen20° = k, ¿a qué es igual E?

4 Reduce K = tan225° sen330° cos240° A) –

C) 0 E) 2

NIVEL

REFORZANDO 1 E) – 2

C) 2 E) 1

TRIGONOMETRÍA

A) I C D) IV C

sen(180° + x) tan(360° – x) – sen(2p – x) tan(p – x)

B)

1 2

C) 1

D) –

1 2

E)

5 2

15 Calcula M = 2tan2240° + 3sec300° – 4tan315° A) 8 D) 14

B) 10

C) 12 E) 16

3

65

CAPÍTULO

REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA

18 TRIGONOMETRÍA

1

Calcula E = sen4005º A) 2

2

2 2

D)

3 3

B) –1

B) 1

3

E)

1 2

1 2

B)

3 2

6

C)

3 2

D) –

1 2

E) –

Reduce cos(2468102p) A) –1 D) –2

C) 0 E) 2

C) 0 E) –2

Calcula sen3360° A)

5

Calcula Q = cos117p. A) 2 D) –1

66

C)

Calcula E = sen234p. A) –2 D) 1

3

B) 3

4

B) 0

Calcula M = sen   A) 1

B)

1 2

C) 1 E) 2

1321p  2  C)

3 2

D)

2 2

E)

2 3

3 2

EDITORIAL INGENIO

7

Halla sen(–210°) A)

3 2

B)

9 3 C) 3

5 2

D)

1 2

Calcula M=

E) 1 A) –

1 2

B) –

sen(–120°) tan(–135°)

3 3 C) – 2 2

D)

3 2

E)

1 2

TRIGONOMETRÍA

8

10 Simplifica E = sen(x – 270°) sec(x – 360°)

Calcula el valor de E= A) 2 D) –1

tan(–60°) cot(–45°) + sec(–30°) sec(–60°) B) 1

A) 1

B) 2

D) –2

C) 0 E) –2

C) –1 E)

2 3

Tarea 3 Calcula E = 5sen(–127°). 1 Calcula tan2760º

4 Calcula E = tan(–45°) – 2 csc(–45°). 2 Simplifica M = (m + 1)cos3420º + (m – 1)sen1530º

3

67

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

I

10 Halla E = sen(–2370º) A) –1

B) 0

C) –

TRIGONOMETRÍA

1 Calcula sen1500º 3 A) 3

B)

3 C) 2

1 2

3 1 D) – E) – 2 2

3 3

B)

3 3

C) –

3 Calcula N = tan   A) –2 D) 1

E)

1 2

D)

1 2

E) –

2 2

32005p  4 

B) –1

3 2

D) –

4 Calcula cos1200º B) 0

C)

1 2

D) –

1 2

E) –

3 2

B) 1

C) –1 E) –2

II

D)

6 Reduce cos(64081p) A) 0 D)

B) 1

1 2

E) –

8 Calcula

A) 0 D)

B) 1

C) –1

N=

1 2

2 E) 3

D) 2

68

3

3 2

cos225° tan(–120°) sen2400° cos540° 2 4

B) –

M=

2 2

C)

3 2 4

E)

3 2 8

sen(–60°)cos(–120°) tan(–135°)

B) –

1 2

C)

1 2

E)

3 4

1. sen(–f) = –senf

( )

2. sen(x – p) = –senx

( )

3. cos(x – p) = –cosx

( )

A) VVV D) VVF

H=

1 2

C) –1 E) –3

B) VFV

15 Calcula

C) –1 E) –

B) 1

N=

2 3

A) –

3 3 4

D) –

4 2 4

9 Calcula E = sec1200° + tan4545° A) 0 D) 3

E)

1 2

14 Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1 2

sen5070° + cos18780° 73p 2tan 4

B) 1

C) –

C) –1

7 Calcula Q = tan(684p + x) cot(2466p + x) 1 A) 2

A) –

1 2

3 2 4

13 Calcula

NIVEL

REFORZANDO

2 4

D) –

5 Reduce sen(123456p) A) 0 D) 2

A)

B)

3 2

12 Calcula

A) 1

III

11 Halla M = cos(–7620°) A)

C) 0 E) 2

1 2

NIVEL

REFORZANDO

2 Calcula cot3540º A) –

D) 1

1 2

C) FVF E) VFF

sen(–120°)tan(–240°) sec(–210°) tan(–135°)

B) –

6 2

C) – E) 1

2 3

CAPÍTULO

19

IDENTIDADES PITAGÓRICAS 1

Calcula M = sen4x – cos4x + 2cos2x.

2

C) 0 E) –2

Simplifica E= A) 3 E) 0

3

B) 1

B) 1

C) 1 E) –1

C) 0 E) –2

senx – 2sen3x 2cos3x – cosx

B) cosx

C) tanx E) secx

Escribe verdadero (V) o falso (F) en: 1. sen2x – cos2x = 1 senx 2. = tanx cosx 3. cosx secx = 2

(1 – cosx)(1 + cosx) + (1 – senx)(1 + senx) (secx + tanx)(secx – tanx)

Simplifica C = senx ⋅ cot⋅cosx(tan2x + 1) A) 2 E) –1

A) senx E) cotx

5

B) 2

Simplifica E =

TRIGONOMETRÍA

A) 2 E) –1

4

A) VVV E) FVV

6

B) VFF

C) FVF E) FFF

Reduce C = senx(1 + senx – cosx) + cosx(1 + cosx + senx) – 1 A) senx + cosx D) cosx

B) senx – cosx

C) 2senx E) tanx

3

69

EDITORIAL INGENIO

7

Reduce

sen4x – sen6x cos4x – cos6x B)

tan2x

9 cot2x

C) E) cos2x

Halla n en la igualdad senx – sen3x = ncot2x. A) senx D) sen4x

B) sen2x

C) sen3x E) sen5x

TRIGONOMETRÍA

A) 1 D) sec2x

L=

8

Reduce C = (3senx + 2cosx)2 +(2senx – 3cosx)2 A) 7 D) 13

B) 5

C) 12 E) 15

Tarea

10 Halla n en la igualdad sen4x – cos4x = 1 + ncos2x. A) 0 D) 2

B) –1

C) – 2 E) – 4

3 Reduce L = senx(cscx + senx) + cosx(secx + cosx) + 1

1 Demuestra que sen2x ⋅ cot2x + cos2x ⋅tan2x = 1

4 Reduce

2 Demuestra que (senx + cosx)2 = 1 + 2senx cosx

70

3

L = (3senx +cosx)2 + (senx – 3cosx)2

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO 1 Reduce

I

senx + cosx – (sen3x + cos3x) senxcosx

M=

C) tanx E) senx – cosx

A) cotf D) cscf

cscf – cos4f sec2f cscf sen4f csc2f

E=

B) secf

10 Escribe verdadero (V) o falso (F) en: 1. sen2q + cos2q = 1

2 Si sec2x + tan2x = 2, calcula sec4x – tan4x. A) 2 D) –1

B) 1

3 Simplifica A) 2 D) senx

2sen2 xcosx + senx H= (senx + cosx)2 B) tanx

4 Calcula tanx si A)

1 3

C) 1 E) cosx

C)

D) 2

A) senxtanx D) cotx

R=

B) cosx cotx

A) 1 D) sen2x

II

(1 + sen2x)(1 – sen2x) cos2

C) cosx E) cos2x

7 Reduce M = sen3x cscx cot2x – sen2x cos2x A) tan2x D) cos3x

8 Reduce A) 1 D) –1

B) cot2x

C) sen3x E) cos4x

(

)

A) VVV D) VFV

C) FVV E) VFF

B) FFF

11 Reduce

A) senx D) 0

L=

III

1 1 – cscx – cotx cscx + cotx

B) 2sec

C=

NIVEL

C) 2tanx E) 2cotx

1 1 + secx – tanx secx + tanx

B) 1

C) 2 E) 2secx

13 Halla n en la igualdad sen3x – sen5x = n(cos3x – cos5x)

14 Reduce A) 2 D) cotx

B) cosx

C=

sen6x – cos6x sen2x – cos2x

B) tanx

C) tanx E) secx

+ sen2x ⋅cos2x C) 1 E) 3

15 Reduce P = (secx – tanx – 1)(cscx + cotx + 1)

(secx + tanx)(secx – tanx) (cscx + cotx)(cscx – cotx) B) 0

3. senq⋅cosq = 1

A) senx D) cosx

2

x + 2sen x

B) senx

)

12 Reduce

C) tanx E) senx cosx

NIVEL

(

senq + cotq = 2cotq cosq

A) 2 D) 2cosx

sen2x – sen2x cos2x tan2x cosxsen2x cot2x

REFORZANDO 6 Reduce

1 2

E) 1

5 Simplifica

)

REFORZANDO

(secx + 1)(secx – 1) = 3

B) 3

(

2.

C) 0 E) 4

C) cosf E) senf

TRIGONOMETRÍA

A) senx B) cosx D) senx + cosx

9 Reduce

C)

1 2

E)

1 4

A) 1 D) – 2

B) 2

C) – 1 E) – 2senx cosx

3

71

CAPÍTULO

IDENTIDADES RECÍPROCAS Y POR COCIENTE

20 1

Simplifica

TRIGONOMETRÍA

A) senx D) cscx

2

Simplifica A) sen2x D) csc3x

3

B) tanx

E=

secx – cosx

B) –2

C) cot2x E) tan3x

3

C) 0 E) 2

Simplifica Q = (senx ⋅tanx + cosx)cosx A) –3 D) 0

5

cscx – senx

B) sec2x

4

C) secx E) cotx

Simplifica M = senx ⋅cotx ⋅ cosx ⋅(tan2x + 1) A) –1 D) 1

72

L = senx ⋅tanx + cosx

Simplifica A) tanx D) cosx

6

Simplifica A) cscx D) cotx

B) –2

E=

C) –1 E) 1

cosx + senx⋅ tanx senx secx

B) cotx

E=

senx 1 – cosx

B) senx

C) senx E) cscx

– cotx C) cosx E) tanx

EDITORIAL INGENIO

7

Simplifica

E=

A) 2 D) –2

tanq + cotq

9

secq⋅cscq

B) 1

C) –1 E) 3

Siendo tanx – cotx = 7, calcula C = tan2x + cot2x A) 9 D) 6

B) 8

C) 7 E) 5

TRIGONOMETRÍA

8

Siendo senx ⋅cotx + cosx = 1, halla el valor de x, para x agudo. A) 30° D) 53°

B) 37°

C) 45° E) 60°

10 Siendo tanx + cotx = 3, calcula C = sen3x ⋅cosx + senx ⋅ cos3x A)

1 2

B)

1 3

C)

2 5

D)

3 4

E) 1

Tarea 1 Siendo senx + cosx =

7 , 6

3 Si cscx – senx = 4, halla N = csc2 + sen2x

calcula C = senx ⋅cosx

2 Si senx + cosx =

1 , calcula el valor de 3

4 Si tanx + cotx = a – 1, calcula E = tan2x + cot2x

E = senx⋅cosx

3

73

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Si tanx – cotx = 2, calcula el valor de

TRIGONOMETRÍA

E = sec2x + csc2x A) 4 D) 9

B) 6

C) 8 E) 5

B) 6

Si cscx + senx = 3, calcula M = csc2x + sen2x A) 3 E) 9

B) 5

C) 7 E) 11

10 Si tanx + cotx = m ∧ tan2x + cot2x = n, elimina x.

2 Si tan2x + cot2x = 7, calcula E = tanx + cotx A) 7 D) 4

9

A) m2 + n = 2 C) m2 – n2 = 2 D) m – n = 3

B) m2 – n = 2 E) m + n2 = 2

C) 5 E) 3

NIVEL

REFORZANDO 3 Siendo tanx – cotx = 3, calcula M = tan2x + cot2x A) 3 E) 6

11 Si (secx + cosx)2 = 7, calcula el valor de

B) 4

C) 5 E) 7

E = (secx – cosx)2 A) 7 E) 4

4 Si senx + cosx = 1/2, calcula M = senx⋅ cosx + secx ⋅cscx 73 A) – 24

C) – 37 12

D) – 7 4

5 3 13 D) 12 A)

E) – 3 11

5 Siendo tanx + cotx = 5, calcula E = tan2x + cot2x B) 23

C) 27 E) 3

REFORZANDO

B) 6

C) 5 E) 3

12 Si cscx + cotx = 5, calcula cscx.

11 B) – 5

A) 25 D) 7

III

13 Si senx + cosx =

B)

15 4

C)

13 5

E) 5 4 1 , calcula 2

E = senx ⋅ cosx + secx ⋅cscx

NIVEL

II

sen2x

csc2x

A) –

1 4

D) –

15 4

B) –

17 4

C) – 7 4 E) –

4 15

14 Si senx + cosx = 1/3, calcula Q = (senx – cosx)2 6 Si senx + cscx = 1/3, calcula E = 17 B) – 9

1 A) 9 D)

9 17

+

17 C) 9

A) –

E) – 1 9

D)

B) k–2

C) k–3 E) k–5

8 Si secx + tanx = 4, calcula Q = secx – tanx

74

B)

1 2

C)

3

1 4

D)

1 3

E)

17 9

1 9

A) n D)

A) 1

B)

C)

9 17

E)

2 9

15 Si senx + cosx = n + 1, calcula E = senx ⋅cosx

7 Si cscx – senx = k, calcula M = tanx ⋅secx A) k–1 D) k–4

17 9

1 9

n 4

B) n 2

n 3 n E) 5

C)

CAPÍTULO

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES 1

Reduce M = (secx cscx – tanx)(secx cscx – cotx).

2

Simplifica N = A) 1/2 D) 2/5

3

B) 2

B) 2/3

B) 1/4

5

C) 2/3 E) 1/5

D)

6

B) 1/4

C) 1/5 E) 2/3

Si sen4x + cos4x = 5/8, calcula E = senx cosx A) 2/3

C) 1/5 E) 1/4

4 4 Simplifica Z = sen x + cos x + 1 6 sen x + cos6x + 2

A) 1/2 D) 1/3

A) 1 D) 1/6

C) 1/2 E) 1/5

1 – ( sen4x + cos4x) 1 – ( sen6x + cos6x)

Si tanx + cotx = 4, calcula F = senx cosx

TRIGONOMETRÍA

A) 1 D) 1/4

4

21

B) 1/2

3 4

C) 3/4 E) 3

Siendo senx + cosx = n, halla C = tanx + cotx A) D)

2 n2 + 1 n2

2 –1

B)

1 n

C)

n n2 – 1

E)

1 n+1

3

75

EDITORIAL INGENIO

Si tanx + cotx = 3, calcula P = (senx + cosx)4 A)

25 4

D)

15 4

B)

5 9

C)

25 9

E)

25 11

9

Reduce B = A) 0 D) 2

secx ⋅ cscx – 2cotx secx ⋅cscx – 2tanx B) 1

C) – 1 E) – 2

TRIGONOMETRÍA

7

8

Reduce T=

10 Calcula D =

1 – sen2x(1 – cos2x) – cos2x(1 – sen2x) 1 – cos4x(1 – sen2x) – sen4x(1 – cos2x)

A) 1/2 D) 1/4

B) 1/3

C) 2/3 E) 1/5

A) 1/6 D) 1/4

sen4x + cos4x sen6x + cos6x – 2 3 B) 1/2

C) 1/3 E) 1/5

Tarea 3 Simplifica R =

(tanx + cotx)secxcscx sec2x + csc2x

1 Simplifica E = secx cscx – cotx tanx

2 2 2 2 Simplifica N = sec x csc x – cot x 2 1 + sec x

76

3

4 Siendo tanx + cotx = 4, calcula C = sen4x tanx + cos4x cotx

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO 1 Simplifica A) 0

E) – sec2

A) 1 1 2

B) sen2x

1 2

2

A)

3 2

D)

2 3

D=

sen6x + cos6x + 5 B)

1 6

sen2x

A) D) cot2x

B)

4 Simplifica R = A) 1/2 D) 1

cos2x

sec2xcsc2x secx cscx(tanx + cotx) C) –1 E) 2

B) 1

E)

1 3

III

M = (senx + cosx)2

C) E) 1

A)

4 3

D)

1 8

B)

1 2

C)

1 4

E)

1 16

C)

64 9

E)

16 27

12 Siendo tanx + cotx = 6, calcula N = (senx + cosx)6

5 Reduce Q = 2sen2x cos2x + sen4x + cos4x A) 0 D) –1

4 3

11 Siendo tanx + cotx = 6, calcula tan2x

B) 2/3

C)

NIVEL

REFORZANDO

sec2xcsc2x – sec2x 3 Simplifica M = sec2xcsc2x – csc2x

C) cot2x E) tan2x

sen4x + cos4x + 3

10 Calcula

xcsc x – tan x 1 + csc2x 1 B) –1 C) 2 E) 3

2 Simplifica N =

D) –

2

secx cscx – cotx secx cscx – tanx

A) 1 D) –cot2x

E = secx cscx – tanx cotx B) 1 C) –1

1 2

C=

TRIGONOMETRÍA

D)

I

9 Reduce

C) 2 E) 1/2

A)

16 3

D)

64 27

B)

16 9

13 Siendo sen4x + cos4x = m, halla Q = sen6x + cos6x

NIVEL

REFORZANDO

II

4 4 6 Calcula H = sen x + cos x + sen2x cos2x 2

A) 1

B)

1 2

C)

1 3

D)

1 4

E)

1 8

1 2

8 Reduce A) tan2x D) 1

B)

1 4

C)

2 3

D)

3 2

E)

B = (senx secx – 2tanx)tanx B) cot2x

C) –cot2x E) –tan2x

3 4

B)

3m + 1 2

C)

3m + 2 2

E)

1 – 3m 2

14 Reduce R = (sen4x + cos4x – 1)tan2x A) –2cos2x D) –2sen4x

4 4 7 Calcula A = sen x + cos x + 9 sen6x + cos6x + 14

A)

3m – 1 2 1 – 3m D) 3 A)

B) –sen2x

C) –2cos4x E) –2senx

15 Si tanx + cotx = 3, halla C = sen2x tanx + cos2x cotx A)

13 6

D)

7 3

B)

7 8

C)

7 6

E)

13 3

3

77

CAPÍTULO

ÁNGULOS COMPUESTOS SENO Y COSENO

22 TRIGONOMETRÍA

1

2

Si sena =

4 5 y cosb = , calcula sen(a + b). 5 13

A) 1

33 B) 35

A) sen D) tan

5

sen( + ) – sen( – ) cos( + ) + cos( – ) B) cos

B)

3 2

C) 2

3

Calcula sen15º. A)

2 3

D)

3 2

E) 2

B)

6 2

C)

( 6 – 2) 4

E)

( 3 – 1) 2

Calcula cos16º. A)

12 15

B)

5 7

C)

6 11

D)

24 25

E)

18 25

C) tan E) sen

Si sen(x + y) = 2sen(x – y), calcula E = tanx coty. A) 1

78

56 D) 65

Simplifica la expresión E=

3

1 C) 3

4

D)

5 2

E) 3

6

Calcula M = 16sen15º sen75° + 50sen16º – 14tan8º A) 10 D) 15

B) 12

C) 14 E) 16

EDITORIAL INGENIO

7

9

Si M = sen10º cos20º + sen20º cos10º

Reduce

N = cos50º cos10º – sen50º sen10º,

M=

halla M + N. 3 A) 4

B) 1

2 C) 3

D) 2

4 E) 3

A) senx D) seny

sen(x – y) + tany cosx cosy

B) cosy

C) tanx E) cotx

TRIGONOMETRÍA

8

Reduce

A) cot D) tanq

sen( + q) – sen cosq E= cos( + q) + sen senq B) cotq

C) tan E) sen

10 Siendo tanx + tany + tanz = 4, calcula C=

sen(x + y) sen(y + z) sen(z + x) + + cosx cosy cosy cosz cosz cosx

A) 4 D) 12

B) 6

C) 8 E) 16

Tarea 3 Calcula R = 100cos16° + 32sen15° sen75° 1 Calcula E = 10sen97°.

4 Reduce 2 Calcula M = 20cos113°. T=

sen(30° + f) + sen(30° – f) senf cosf

3

79

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

REFORZANDO

I

8 Reduce N = 2cotf –

TRIGONOMETRÍA

1 ¿A qué es igual E = sen40ºcos10º – sen10ºcos40º? A) sen10º D) cos30º

B) sen50º

A) cotf D) tanw

C) sen30º E) cos50º

H=

Q = cos30ºcos23° – sen30ºsen23º calcula P + Q. 2 5

B)

B) cotw

sen(45° + f) + sen(45° – f) cosf

A) tanf

5 6

C)

3 5

D)

8 5

C) tanf E) tanf tanw

9 Reduce

2 Si P = sen20ºcos17° + sen17ºcos20º

A)

sen(f + w) + cotw senf senw

E)

6 5

B) 1

D) 2

C) cotf E) secf

10 Reduce

3 Reduce E= A) tan D) cotq

B) tanq

4 Reduce

A) senx D) 1

C) cot E) 1

B) tanx

5 Reduce sen(x – y) sen(y – z) sen(z – x) + + L= cosx cosy cosy cosz cosz cosx B) tanx

1 2

C) cosx E) senx cosx

NIVEL

III

11 Simplifica

C) –cotx E) 0

E=

A) cotx D) –tanx

B)

REFORZANDO

cos(x – y) – tany senx cosy

L= A) cotx D) –tanx

R = sen(30° – x) + sen(150° + x) + 2sen60°senx

sen( + q) – senq cos cos( + q) + sen senq

C) –cotx E) 0

senf senw + senw + cos(f + w) senf cosw – sen(f – w)

A) tanf + cotw C) cscf + cotw D) cotf + tanw

B) secf + tanw E) secf + cotw

12 Reduce M = secf cos(60° + f) + cos(60° – f) csc(90° – f)

NIVEL

REFORZANDO

II

6 Calcula R = sen15° + cos15° 2 A) 2

E) 2 – 1

80

B)

5 3

C)

3

6 5

C) 2cosf E) senf cosf

M = sen(60° – f) sen(60° + f) + cos2(90° – f)

C) 1 + 2

A) senf D)

7 Calcula M = 3sen16° + cos16° 3 5

B) 2

13 Simplifica

6 B) 2

D) 1

A)

A) 2secf D) 1

D)

9 5

E)

24 25

3 4

B)

1 2

C) cosf E) senf cosf

EDITORIAL INGENIO

14 Simplifica

15 Reduce

R = cos(45° – x) cos(45° + x) + cosx sen(90° – x) A) senx cosx

1 4

C) cosx

1 2

D)

B) 1

1 2

C) cotx E) secx

ÁNGULOS COMPUESTOS TANGENTE

23 1

A) tanx

E) senx

CAPÍTULO

cos(150° + x) cos(30° – x) tan135° sen(120° – x) sen(60° + x)

TRIGONOMETRÍA

D)

B)

H=

Si tan =

1 y tan( + ) = 1, determina tan. 3

A) 2

B) 1

C)

1 2

D)

3 2

E)

5 2

3 En el cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Calcula tanq. B

A) 2

C

B) 2 M

C) 2 D) 3

A

E) 3

2

4 Sabiendo que tana = 2tan(a + b) = 4, calcula

Calcula tan8º. A) 7

B)

1 5

D

C) 5

D)

1 7

K = tan(2a + b)

E) 9 A)

3 5

B)

2 3

C) 1

D) –

6 7

E)

3

5 6

81

EDITORIAL INGENIO

5

Calcula R = 4 3

B) 1

C) 2

D)

8 4 5

E)

3 4

Calcula M = tan23º + tan22º + tan23º tan22º A) 2

B)

1 2

C)

2 5

D) 1

E)

4 3

TRIGONOMETRÍA

A)

tan27° + tan10° 1 – tan27° tan10°

6

Calcula R =

A)

2 5

B)

tan70° – tan10° 1 + tan70° tan10°

3 4

C)

1 3

D) 3

E) 1

9 Sabiendo que  y q son ángulos agudos, tales que: 2 2  cosq = , cos = 29 13 calcula tan( + q). A)

7 Sabiendo que  y  son ángulos agudos, tales que: 1 3 sen = ,  sen = 5 13 calcula tan( – ). A)

82

2 3

B)

2 5

C) 1

3

D)

2 7

E)

4 7

16 11

B) –

16 11

C)

6 11

D) –

6 11

E)

7 11

10 Calcula N = tan50º + tan10º + 3 tan50ºtan10º A) 1

B) 2

C) 3

D)

3 3

E)

2 2

EDITORIAL INGENIO

Tarea

3 3 Si tan(f + w) = 1 y tanw = . Calcula tanf. 5

1 Calcula R = 48tan16º.

TRIGONOMETRÍA

4 Reduce M = 2tan(45º – x) tan(45º + x). 2 Calcula M = 10tan31º.

NIVEL

REFORZANDO 1 Reduce M = tanf tanw + A) cotf D) 1

I

tanf + tanw tan(f+ w)

B) 0

C) cotw E) secf

B) 7 – 2 3

1 7

B)

5 12

C)

2 17

1 13

E)

A) 2 11

4 Si tan(f – w) = 2 y tanf = 5. Calcula tanw. A)

2 5

B)

5 2

C)

10 3

D)

3 11

E)

3 5

5 En el lado AB de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubican los puntos M y N; tal que MN = MA = NB = BC, mBMAC = q y mBNMC = w. Calcula tan(q + w). B) 2

3 C) 5

D) 1

3 E) 7

NIVEL

REFORZANDO

II

6 En el lado CD de un cuadrado ABCD se ubica un punto T, tal que AT  BD = P, mBAPB = f y TD = 2TC. Calcula tanf. A) 3

B)

2 5

C) 5

D)

13 5

2 3

C)

11 45

1 3

3 2

E) –

10 23

B)

2 13

C)

5 6

D) 1

E) 2

9 Las longitudes de las bases y del menor lado lateral de un trapecio rectángulo se encuentran en la relación de 2; 5 y 3 respectivamente. Calcula la tangente de la medida del mayor ángulo formado por las diagonales de dicho trapecio. A) –

1 A) 2

B)

8 En los lados PR y RT de un triángulo rectángulo PRT se ubican los puntos N y M respectivamente, tal que MT = 2MR, NR = MT, 2NP = 3NR, PM  TN = {E} y mBMET = f. Calcula tanf.

C) 5 + 6 E) 9 – 3

D)

10 27

D) –

3 Si tan(q + g) = 7 y tanq = 3. Calcula tang. A)

Calcula tan(3f + w). A)

2 Calcula R = tan15º + tan82º. A) 5 – 3 D) 8 – 2

7 Si tan2f = 4 y tan(f + w) = 6.

3 8

B) –5

D) –11

C) –

5 17

E) 21

10 En el lado AB de un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se ubica un punto N; tal que NA NB BC = = , mBCNB = w y mBNAC = f. 2 3 5 Calcula tan(w – f). A)

3 5

D)

3 10

B)

2 5

C)

1 7

E)

5 14

E) 7

3

83

EDITORIAL INGENIO

NIVEL

TRIGONOMETRÍA

REFORZANDO

11 En el lado BC de un rectángulo ABCD se ubica un punto M, tal que AM  BD = {P}, mBMPD = q MC MB AB y = = . Calcula 3tanq. 4 5 3 A) 42 D) 52

B) 45

Calcula 7tanr.

III

A) 1 D) 4

M=

C) 48 E) 55

(1 – tanf) sen(75° – f) sec(15° + f) tan(45° – f)

A) senf D) 1 – cotf sen(120º – x) cos(30º – x) (1 + cos(60º + x))(1 – sen(30º – x))

15 Si tanf =

A) sen(30º + x) B) cos(30º – x) C) 1

B) cosf

A)

3 3 5 3 y tanw = . 13 11

3 6 2

B) 12

D) 3 5

13 En el lado AD de un cuadrado ABCD se ubica un punto T, tal que mBTCA = r y 2TA = 3TD.

Calcula E = sen2x secx cscx. A) 1

84

B) 2

C)

3

1 2

2 D)

1 4

E)

2 3

Reduce

A) 1

M=

B) 2

C)

2 5 3

E)

3 3 2

CAPÍTULO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO DOBLE 1

C) tanf E) 1 + tanf

Calcula E = tan(f + w) + sen(f + w).

1 E) 2

D) tan(30º + x)

C) 3 E) 5

14 Reduce

12 Reduce M=

B) 2

24 sen2x senx cosx C) 3

D)

1 2

E)

2 3

EDITORIAL INGENIO

3

Reduce E = 8senx cosx cos2x cos4x. A) senx D) sen6x

B) 4senx

6

Reduce M = cosx(cosx + secx) – senx(senx + cscx)

C) sen4x E) sen8x

A) 1 D) cosx

B) 2

C) senx E) cos2x

TRIGONOMETRÍA

4

Simplifica M = A) senx D) cos2x

5

cos2x – sen2x + senx. senx + cosx

B) cosx

B) senx

C) cosx E) cos2x

Si senq + cosq = 1,2, calcula sen2q. A)

C) sen2x E) sen3x

Si x  I C, reduce Q = 1 + sen2x – senx A) 1 D) sen2x

7

8

1 12

B)

1 13

C)

1 2

D)

11 25

E)

12 25

3 4

E)

1 4

Si tan = 2, calcula cot2. A) –1

B) 1

C)

3 4

D) –

3

85

EDITORIAL INGENIO

9

1 10 Si cotq = , calcula H = sen2q + cos2q. 2

Halla el valor de x, si se cumple secx sen2x = 1  0º < x < 90º. B) 25º

A)

C) 30º E) 37º

1 2

B) 1

C)

1 3

D) 2

E)

1 5

TRIGONOMETRÍA

A) 20º D) 36º

Tarea 3 Señala el equivalente de L = sen cos cos2. 1 Demostrar que sen2x cscx = 2cosx.

4 Siendo senx – cosx =

2

2 Demostrar que (senx – cosx) = 1 – sen2x.

NIVEL

REFORZANDO

I

1 Calcula E = 2sen15ºcos15º. A) D)

3

2

B)

1 2

3

3

A) D)

86

21 29

B)

20 29

17 29

1 4

A)

–2 3

E)

1 5

D)

–3 4

C) E)

3

3 Siendo f un ángulo agudo, tal que cosf = calcula cos2f.

C)

2 2 Siendo  un ángulo agudo, tal que tan = , cal5 cula sen2. 10 29 19 29

2 , calcula sen2x. 3

B)

–5 6

C)

–5 7

E)

–1 3

4 Calcula E = 2sen30ºcos30º. A) D)

1 2

B) 6

2

1 5

C) E)

3

2 2

2

1 , 6

EDITORIAL INGENIO

5 Siendo q un ángulo agudo, tal que cotq = 4, calcula sen2q . 4 5

D)

8 17

B)

4 17

C) E)

8 15

III

11 Simplifica C = (sen2q + 2senq)(1 – cosq).

3

A) sen3q D) cos3q

6

B) 2sen3q

C) 2cos3q E) 2sen2q

TRIGONOMETRÍA

A)

NIVEL

REFORZANDO

12 Señala el equivalente de

NIVEL

REFORZANDO

II A) sen4q

3 6 Si tan = , calcula sen2 ( agudo). 4 3 A) 5 D)

15 B) 25

18 25

18 17

B) 120

C)

1 sen4q 4

E)

1 sen8q 8

13 Reduce M = cos4 – sen4

5 7 Siendo  un ángulo agudo, tal que tan = , 12 2 calcula 13 sen2. A) 60 D) 169

B) 4sen4q

D) 8sen8q

24 C) 25 E)

C = senq cosq cos2q cos4q

A) cos22 D)

B) cos4

1 cos2 2

C) cos2 E) 2cos2

C) 30 E) 12 14 Siendo 3senx = 2cosx, calcula F =

8 Si sen = A) – D)

5 y   II C, calcula tan2. 6

2 3

B)

1 3

5

5 6

C) –

2 3

B)

1 9

D) 9

2 15 Siendo senx + cosx =

9 Siendo  un ángulo agudo, tal que sen = calcula cos2. A) D)

2 3

B)

1 3

2

E)

3

10 Siendo cosq = A) 2 D) – 2 2

C)

C)

9 4

E)

4 9

5

E) –

3

A)

1 – cos2x . 1 + cos2x

5 6

1 , 6

A)

1 2

D) 9

B)

1 4

3 , calcula sen2x. 2 C)

2 3

E)

1 3

3

6

1 y q  IV C, calcula tan2q. 3 B) 2 2

C) – 2 E) – 4 2

3

87

CLAVE DE RESPUESTAS

TRIGONOMETRÍA

Curso Cap

88

CUADERNO DE TRABAJO

NIVEL I

NIVEL II

NIVEL III

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

01

B

C

D

E

C

E

B

B

A

B

B

A

A

C

E

E

B

B

B

C

A

B

B

B

B

02

C

D

E

D D

A

A

C

D

C

B

A

B

B

A

C

C

B

C

E

A

C

D

C

C

03

C

B

A

D D

A

C

D

B

E

B

D

E

D

E

C

C

E

B

C

B

C

D

C

E

04

C

A

E

B

B

A

E

E

E

E

E

D

B

D D

B

D

B

A

B

B

E

C

E

C

05

C

D

E

C

D D

B

B

B

A

B

A

E

A

D D

A

A

D D D

E

D

A

A

06

E

D

B

D

B

D D

E

D

A

B

E

C

C

E

E

B

B

A

B

B

C

E

C

C

07

A

C

E

E

D

B

B

E

D

E

A

C

B

C

C

C

D D

E

B

A

C

D

E

08

C

C

D D

A

D

C

B

E

D

E

B

E

E

A

C

D

C

C

C

D

E

B

E

D

09

B

D D

E

A

C

D

C

A

D

B

D D D

B

D

B

D D

E

C

C

B

D

C

10

B

D

B

A

B

B

C

D D D

E

C

B

D

E

E

E

A

E

D

B

E

B

C

D

11 D

E

D

A

C

E

C

C

B

D

E

D D

C

D

B

E

B

C

A

B

A

C

A

B

12

E

D D

B

D

C

B

B

B

E

E

C

C

D D

B

C

B

D

E

E

D

E

D

E

13

B

E

C

E

D

C

B

C

D

E

D

A

D

B

E

C

C

C

B

D

C

E

E

D

E

14

C

E

D

E

C

D

B

A

D

E

B

C

A

E

D

A

E

C

B

C

E

A

C

D

E

15

C

B

C

A

D D D

E

C

D

C

E

B

B

E

D D

C

B

D D

A

B

B

C

16 D

E

D

E

C

C

E

D

C

B

E

C

A

C

D

B

C

E

B

D

E

C

B

C

E

17

B

C

E

E

B

D

B

C

E

E

C

B

A

C

B

E

E

A

C

A

A

A

C

E

E

18

C

C

D

B

C

A

D

E

B

C

C

A

D D

A

C

B

D

C

E

B

D

E

A

A

19

B

C

B

C

C

A

B

D

C

C

D

A

D

B

A

E

E

A

D

E

E

E

C

C

D

20

C

E

D

E

E

A

B

E

A

B

A

E

C

A

B

B

A

C

C

B

E

C

B

B

B

21

A

B

C

B

D D

C

C

C

A

B

A

D D

B

B

C

E

E

D

A

D

A

D D

22 D

D

E

C

D

E

B

D

C

C

C

E

A

B

E

B

D

A

D

C

E

D D D

B

23

C

D

E

D

E

D

E

D

B

C

D

E

E

D D

C

E

D

E

E

E

C

C

E

E

24

B

B

E

B

C

E

D D

C

E

B

B

A

C

C

B

D

A

D

B

E

C

E

A

2

D

D

1

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 1 Título de la obra:

Razonamiento Matemático 1

Título de la colección:

Geniomatic Educación Secundaria

Director Académico:

Hernán Hernández Bautista

Editores Responsables:

Hernán Hernández Bautista Daniel Octavio Saavedra Colmenares Elvis Valerio Solari

Asesor Académico:

Diseño y diagramación: Marco Antonio Lizárraga Podestá Eduardo Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Katherine Karen Rivera Escuel Corrección de estilo:

Victor Francisco Bautista Victor Emilio Ventura Bismarck

Fotografía:

Yuri Hernández Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web

Primera edición: Tiraje:

Setiembre 2015 3000 ejemplares

Editado e impreso en talleres gráficos de: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426–4853 www.editorialingenio.pe E-mail:[email protected] Impreso en Octubre 2015 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de GENIOMÁTIC Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2011-14611 ISBN: 978-612-4022-04-3

PRESENTACIÓN Sin duda, con la mejor intención de facilitar y motivar el aprendizaje de la Matemática, se ha creado la asignatura de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO, independientemente de la asignatura de Matemática, pero el hecho de que no se pueda fijar un límite claro entre los contenidos de uno y otro, nos ha llevado por caminos que más bien nos están alejando de los sanos objetivos para los que ha sido creado. La naturaleza de la Matemática no nos permite separarla ni de la Lógica ni del razonamiento, en términos sencillos, no hay Matemática sin razonamiento ni Razonamiento Matemático sin Matemática. Entonces, siempre que nos hemos propuesto hacer textos con este título, nos hemos visto en apuros, primero sobre qué contenidos incluir y segundo, sobre cómo diferenciarlo de la Matemática propiamente dicha. Por todo ello, hemos optado por incluir temas que no figuran usualmente dentro de los contenidos del curso de Matemática y, por otro lado, los temas que más estrategias proveen a la resolución de problemas. En lo que respecta al enfoque, nos hemos centrado en el raciocinio como el recurso más poderoso en la resolución de problemas antes que el aprendizaje de las fórmulas y reglas. Con respecto a la Primera Edición, esta edición contiene 24 capítulos con una nueva estructura: Parte teórica, Resolviendo con el profesor, Reforzando y Tarea. En la parte teórica se le proporciona, de un modo práctico y didáctico, los criterios que debe tener en cuenta el estudiante para resolver los problemas del capítulo. Resolviendo con el profesor consta de 15 problemas, 8 de los cuales están resueltos a modo de ejemplo y los 7 últimos quedan propuestos. Esta parte del capítulo es para que el profesor aproveche en dar al estudiante los alcances necesarios para que aplique en los problemas siguientes. Tiene la opción de aclarar la resolución usando lo que está en el texto o resolver por otros métodos, incrementando así las estrategias del estudiante. Los recursos que se utilizan en la resolución de los problemas son fundamentalmente las cuatro operaciones y hemos evitado en lo posible el uso de fórmulas, teoremas y propiedades complejas que impliquen conocimientos propios de la Matemática. Reforzando contiene 10 preguntas con 5 alternativas, que el estudiante debe resolver y luego de algún tiempo el profesor podrá orientar la resolución de los problemas que no hayan podido resolver los estudiantes. Las claves de respuesta de los problemas se encuentran en la última página del texto. La Tarea consta de 10 preguntas, similares a los resueltos, para que el estudiante refuerce sus conocimientos en su casa y debe traer resueltos en su cuaderno en la siguiente clase. El profesor aprovechará para esclarecer las dificultades que pudieron encontrar los alumnos con los problemas de la tarea.

El criterio que hemos seguido en la elaboración de este trabajo es presentar la Matemática desde el ángulo de la resolución de problemas con los recursos más elementales con las que cuenta cualquier estudiante del grado, poniendo énfasis en el aspecto lógico y el sentido común, con el objetivo de que el estudiante desarrolle su capacidad de análisis y raciocinio, en sí, las capacidades lógico matemáticos. EDITORIAL INGENIO YHO está empeñado en hacer que el aprendizaje de la Matemática no sea un privilegio de pocos, creemos que cualquier estudiante está en la capacidad de desarrollar exitosamente las estrategias matemáticas para resolver los problemas de la Matemática elemental, siempre que se le oriente desde un punto de vista de la lógica, el sentido común y el aspecto lúdico. Esperamos que esta obra contribuya a lograr los objetivos que nos hemos propuesto, para el cual consideramos que la labor docente del maestro de Matemática es fundamental. LOS EDITORES

CONTENIDO TEMAS

CAPÍTULOS

N° PÁGINA

Capítulo 01

MATEMÁTICA RECREATIVA

Capítulo 02

HABILIDAD OPERATIVA

15

Capítulo 03

SUCESIONES NUMÉRICAS

22

Capítulo 04

SUCESIONES LITERALES

26

Capítulo 05

ORDENAMIENTO LÓGICO DE DATOS

30

Capítulo 06

ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS

37

Capítulo 07

OPERACIONES COMBINADAS

42

Capítulo 08

EL MÉTODO DE LA FALSA SUPOSICIÓN

46

Capítulo 09

EL MÉTODO DE LAS OPERACIONES INVERSAS

50

Capítulo 10

EL MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA

55

Capítulo 11

OPERADORES MATEMÁTICOS

59

Capítulo 12

PLANTEO DE ECUACIONES

64

Capítulo 13

PROBLEMAS SOBRE EDADES

69

Capítulo 14

FRACCIONES I

73

Capítulo 15

FRACCIONES II

79

Capítulo 16

FRACCIONES III

84

Capítulo 17

TANTO POR CIENTO I

90

Capítulo 18

TANTO POR CIENTO II

95

Capítulo 19

TANTO POR CIENTO III

100

Capítulo 20

CONTEO DE FIGURAS

105

Capítulo 21

RECORRIDOS EULERIANOS

112

Capítulo 22

CRIPTOARITMÉTICA

119

Capítulo 23

SITUACIONES LÓGICAS

124

Capítulo 24

PERÍMETROS DE FIGURAS

129

CLAVE DE RESPUESTAS

7

136

1

5

Capítulo

01

MATEMÁTICA RECREATIVA

En lo que se refiere a tus estudios, esta es una nueva etapa de tu vida. Inicias la secundaria, en donde aprenderás muchas cosas nuevas e interesantes, pero no difíciles. En este texto de Razonamiento Matemático, te vamos a mostrar la Matemática, pero del lado más agradable y entretenido. No vas a necesitar muchos conocimientos de este curso para comprenderlo y desarrollarlo exitosamente.

2. Intercalando vasos Resuelve el siguiente problema. ¿Cuánto vasos, como mínimo, hay que mover para que los vasos llenos queden intercalados con los vacíos?

1. Caras ocultas Observa el siguiente problema:

Los vasos deben quedar así:

¿Cuánto suman los puntos de las caras ocultas de los dados? 1

Razonemos para resolver el problema. Primero, debemos evaluar bien la información con la que contamos. ¿Cómo están distribuidos los puntos de las caras de un dado? Si en una cara vemos el punto 1, ¿qué puntaje se encuentra en la cara opuesta? ¿Es cualquier puntaje o un puntaje en especial? Pues es el puntaje 6. En la cara puesta del puntaje 2 se encuentra el puntaje 5.

2

3

4

5

Como el vaso 2 ya está lleno, solo falta que el vaso 4 quede lleno y el vaso 1 vacío; para ello, es suficiente vertir el contenido del vaso 1 al vaso 4. Basta mover ¡un solo vaso!

3. Movimiento de monedas. Aquí hay 5 monedas dispuestas en dos filas que hacen una cruz. Debes agregar dos monedas, de manera que en cada fila haya 5 monedas. ¿Dónde se deben ubicar las dos monedas?

Es decir, los puntajes de las caras opuestas de un dado siempre suman 7.

6+1=7 5+2=7 4+3=7

Si ponemos una moneda en cada fila, solo conseguiremos 4 monedas por fila.

Las caras que están ocultas son las dos caras opuestas del dado inferior, que suman 7 y la cara inferior del dado superior que, por ser opuesta a 2, debe ser 5.

Entonces, debemos colocar en un lugar, de modo que la misma moneda haga incrementar el número de monedas de las dos filas. Ese lugar es la intersección de las filas.

Por lo tanto, los puntajes de las tres caras ocultas suman 7 + 5 = 12.

Debemos poner las dos monedas encima de la moneda del centro.

1

7

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4. Situaciones con palitos o cerillos.

b) Casos:

a) Se tiene doce palitos de fósforos como se muestra en el gráfico. Debes mover tres palitos y lograr que sólo queden tres cuadrados del mismo tamaño.

Se mueven en sentidos contrarios Se mueven en el mismo sentido

Se mueven en sentidos contrarios

En estos casos, hay que tener en cuenta que: –

Todos los palitos son del mismo tamaño.

–

No se debe romper los palitos.

Ejemplo:

–

No se debe dejar cabo suelto.

Si el engranaje “6” gira en el sentido que indica la flecha, ¿Qué engranajes giran en sentido horario?

Además, en el problema hay una condición: que solamente queden tres cuadrados del mismo tamaño.

2

3

4

1

1 2

5

6

Veamos:

4

Moviendo los palitos 1: 2 y 3 se logra cumplir las condiciones.

A

H

A

3

3

2

H 1

b) Con dos palitos de fósforos, formar el número 50. Solución:

5

Esto se podrá lograr si es el 50 en números romanos.

6

A

A Siguiendo el sentido de las flechas en los demás engranajes. ∴ Los engranajes 1 y 3 giran en sentido horario.

5. Ruedas o engranajes. En las ruedas o engranajes, se aprecia las siguientes situaciones: a) Sentido de giro

Sentido antihorario 8

1

Sentido horario

Nota: Observa los engranajes

No genera movimiento

Entonces, 3 o más engranajes en contacto tangencial, no genera movimiento

MATEMÁTIC A RECREATIVA

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Cuánto suman los puntos de las caras

que haya 6 monedas en cada fila?

ocultas de los dos dados que se muestran en la figura?

Resolución: La cara que esconde el dado superior es la opuesta a 4; entonces es 3, ya que los dos deben sumar 7. Los puntos de las caras que esconde el dado inferior suman 7 porque pertenecen a dos caras opuestas. Por lo tanto, los puntos de las tres caras ocultas suman 3 + 7 = 10. Rpta.: 10

02 En estos tres dados

Resolución: Para usar el menor número de monedas, ésta debe pertenecer a las dos filas. Hay que agregar una moneda encima de la moneda del centro. Rpta.: 1

04 En estos cuatro vasos vacíos debemos poner monedas. En el primer vaso, debe haber 1 moneda; en el segundo vaso, 2 monedas; en el tercer vaso, 3 monedas y en el cuarto vaso, 4 monedas. ¿Cuántas monedas se necesita como mínimo?

hay algunas caras que no se pueden ver; por lo tanto, no se sabe qué puntajes esconden. Sin embargo, es posible calcular la suma de los puntajes de todas las caras ocultas. ¿Puedes decir cuál es esta suma? Resolución: La cara que esconde el dado superior es la opuesta a 3; entonces, es 4, ya que los dos deben sumar 7. Cada uno de los dos dados inferiores esconde exactamente dos caras opuestas. Cada par de caras opuestas suman 7. Como son dos dados, suman 14. Suma total de los puntos de las caras ocultas: 4 + 14 = 18

Resolución: A primera vista, necesitaríamos: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 monedas Sin embargo, nos dicen «como mínimo», lo cual nos hace pensar que debe haber formas de poner las monedas usando menos cantidad.

03 ¿Cuál es el menor número de monedas que

Es suficiente 4 monedas. Ponemos una moneda en cada vaso, el primer vaso lo ponemos encima del segundo, los dos encima del tercero y los tres encima del cuarto vaso.

hay que aumentar a esta disposición para

Rpta.: 4

Rpta.: 18

1

9

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 Por descuido, un coleccionista de monedas ha mezclado una moneda falsa con otras siete monedas de curso legal. Las ocho monedas son idénticas, salvo en el detalle de que la falsa pesa unos centígramos menos que las otras. El coleccionista dispone de una balanza de dos platillos muy sensible y se prepara para pesar las monedas y así poder apartar la falsa. ¿Cuál será el número mínimo de pesadas que deberá hacer para conseguir su propósito?

Resolución: La condición es que “mire” hacia la derecha.

Resolución: El criterio para resolver este tipo de problemas es dividir las monedas, en lo posible, en tres grupos iguales. Como 8 no se puede dividir en 3 grupos iguales, entonces dividimos en dos grupos de tres y un grupo de 2: Rpta.: 2

07 En los 5 círculos, debes distribuir los númePesamos los dos primeros grupos, poniendo tres monedas en cada lado de la balanza:

ros del 1 al 5, de modo que la suma de los números de cada fila sea lo mismo. ¿Cuál es esta suma?

I I II I II

IIIII IIII

IIII IIIIII IIIIIIII III

Si la balanza se equilibra; entonces, la moneda falsa debe estar en el grupo de dos monedas, que con una pesada más se la puede identificar. Si la balanza se inclina, elegimos el grupo menos pesado, porque allí debe encontrarse la moneda falsa y pesamos como muestra la figura:

1

2

3

4

5

III III

IIIIIIIIIIIIIII IIII

II I

IIIIII III

Resolución: Una propiedad de los números consecutivos es que la suma de los términos equidistantes del centro son iguales:

En esta pesada, se identifica la moneda falsa. Por lo tanto, es suficiente dos pesadas. Rpta.: 2

De aquí se deduce que en el círculo central debe ir el 3. En una línea van 1, 3 y 5 y, en la otra línea, 2, 3 y 4. Rpta.: 6

06 ¿Cuál será la menor cantidad de palitos que

08 Mover la menor cantidad de palitos, para

debes mover para que el perrito mire para el lado derecho? Nota: el perrito debe estar siempre con la cola hacia arriba.

que la “basurita” quede fuera del “recogedor”. Dé como respuesta esta cantidad. Nota: el “recogedor” debe mantener su forma.

10

1

MATEMÁTIC A RECREATIVA 11 Coloca los 6 primeros números pares positivos en cada uno de los círculos, sin repetir, de tal manera que la suma de cada tres círculos que forman un lado sea 24. Da cómo respuesta la suma de números que van en los vértices. Resolución: La condición es que la “basurita” esté fuera del recogedor. 24

24

2 1 24 Mover los palitos 1 y 2 Rpta.: 2

09 Esta flecha de palitos de fósforo apunta hacia la izquierda. Moviendo el menor número de palitos, queremos que apunte hacia la derecha. ¿Cuántos hay que mover?

12 Estas cajas contienen caramelos de colores. Una caja contiene caramelos verdes; otra, caramelos rojos y una última, caramelos azules; pero ninguna caja contiene un color que coincida con su letrero. Carlitos quiere saber qué color de caramelo contiene cada caja. ¿Cuántas cajas debe abrir como mínimo?

13 ¿Cuántos soldados son necesarios para formar un triángulo que tenga 10 soldados por lado? Resolución: Debemos buscar elementos que, sin moverse, puedan formar parte de la flecha invertida.

14 Coloca los 6 primeros números primos, uno en cada círculo, sin repetir, tal que un lado del triángulo sume 21, el otro 22 y el otro 23. Da cómo respuesta el valor de (x + y + z). Y

Rpta: 3

10 ¿En qué sentido giran “B” y “C” respectivamente, si “A” gira en el sentido que indica la flecha? B

A

X

Z

15 Una empresa de gaseosas ha lanzado la siguiente oferta: «con tres chapitas reclame completamente gratis su botella de gaseosa». Isabel se ha conseguido 8 chapitas. ¿Cuántas gaseosas puede reclamar como máximo?

C

1

11

06 Cada uno de los cinco números 1, 4, 7, 10 y 13

REFORZANDO

B) 12

se coloca en uno de los cinco cuadrados de la cruz del diagrama, de tal modo que la suma de los tres números en la fila (horizontal) sea igual a la suma de los tres números en la columna (vertical). ¿Cuál es el mayor valor que puede tener esa suma?

C) 9

A) 24

D) 13

B) 30

E) 14

C) 21

01 ¿Cuánto suman los puntos de las caras ocultas de los dados? A) 7

02 Estas monedas están formando un triángulo

D) 25

con un vértice hacia abajo. ¿Cuántas monedas hay que mover como mínimo para que el triángulo se invierta y quede con el vértice hacia arriba? A) 1

E) 23

07 Indicar cuántos ruedas giran en sentido horario, si el engranaje “A” gira en el sentido que indica la flecha.

B) 2

A

C) 3 D) 4 E) 5

03 ¿Cuántos vasos hay que mover como mínimo para que los vasos vacíos queden intercalados con los llenos? A) 5 D) 4 A) 0 D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

04 Un joyero ha mezclado por descuido una perla falsa con otras 26 del mismo tamaño y color, con la única diferencia de que la falsa pesa ligeramente menos que las demás. ¿Cuántas pesadas como mínimo debe realizar el joyero para identificar la perla falsa, utilizando una balanza de dos platillos? A) 1 D) 9

B) 2

C) 3 E) 13

B) 6

C) 7 E) 8

08 Una rana cayó en un pozo de 30 metros de profundidad. Cada día subía 3 metros y cada noche resbalaba 2 metros hacia abajo. ¿Cuánto tiempo empleó para llegar a la boca del pozo? A) 27 días. C) 29 días. D) 26 días.

B) 28 días. E) 30 días.

09 Distribuir en este triángulo de círculos los números del 1 al 6, de tal manera que la suma de los números de cada lado sea la misma. Dar la mayor suma.

05 Tenemos 6 trozos de cadena, cada uno de 4 eslabones, y queremos hacer, con todos ellos, una única cadena. El herrero cobra 30 soles por soldar un eslabón y 6 soles por cortarlo. ¿Cuánto nos costará si queremos que salga lo más barato posible? A) 144 D) 180 12

B) 121

1

C) 300 E) 100

A) 9 D) 15

B) 12

C) 18 E) 11

MATEMÁTIC MATEMÁTIC A RECREATIVA A RECREATIVA 10 ¿Cuánto suman, a lo más, los puntos de las

06 Un campesino, llevando un saco de maíz, un

caras ocultas de los 4 dados colocados sobre una superficie no transparente?

gallo y un zorro quieren cruzar un río, tratando de que el zorro no se coma al gallo y éste, el maíz. El asunto es que dispone de una balsa tan pequeña donde caben él y una de las cosas que lleva. ¿Cuántas veces debe cruzar el río (como mínimo) para que todos pasen a la otra orilla sanos y salvos?

A) 43 B) 45 C) 42 D) 46 E) 44

07 Tengo un problema con un bizcocho que

TAREA 01 ¿Cuánto suman los puntos de las caras ocultas de los dados?

quiero hacer en el horno. Resulta que hay que dejarlo dentro exactamente 8 minutos, pero sólo dispongo de dos relojes de arena. Uno mide 7 minutos y, el otro, 3. ¿Cómo lo puedo hacer?

08 Escribir en cada cuadradito los números del 1 al 8, con la condición de que la diferencia entre dos números vecinos no sea nunca menor que 4.

02 ¿Es posible unir estos 9 puntos con 4 líneas rectas continuas?

09 Distribuir los números del 1 al 8 en las ocho marcas (X) de la figura, con la condición de que no puede haber dos números consecutivos en casilleros adyacentes, sea por lado o por vértice.

03 Con cinco cadenitas de 4 eslabones cada una, se quiere formar un collar cerrado de 20 eslabones. ¿Cuántos eslabones hay que abrir y cerrar como mínimo para confeccionar el collar?

X X

X X

X X

X X

10 El director de una prisión llama a tres de sus

para que los vasos vacíos queden intercalados con los llenos?

presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad».

05 Si el engranaje “1” se mueve como indica la

Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad?

04 ¿Cuántos vasos hay que mover como mínimo

flecha, ¿cuántos giran en sentido horario?

1

1

13

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

D’Alembert creció en París. En el año 1741 fue admitido en la Academia de Ciencias de París, donde trabajó por el resto de su vida. Fue amigo de Voltaire. Ayudó a resolver la controversia en física sobre la conservación de la energía cinética, mejorando la definición de Newton de la fuerza en su «Tratado de Dinámica» (1742), que articula el principio de mecánica de D’Alembert. En el año 1744, aplicó los resultados obtenidos en el equilibrio y movimientos de fluidos. Fue pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales y pionero en el uso de ellas en la física. Fue uno de los primeros en comprender la importancia de las funciones y en este artículo definió la derivada de una función como el

14

1

límite de los cocientes de los incrementos. En realidad, escribió la mayor parte de los artículos matemáticos en su trabajo, “volumen 28”. D’Alembert fue el que más se acercó a una definición precisa de límite y de derivada. Más en realidad toda duda se desvanecía ante el éxito de sus aplicaciones, de manera que el cálculo infinitesimal, más que una rama de la matemática, se convertía en una especie de doncella de la ciencia natural, en un auxiliar muy valioso, pero auxiliar al fin, de las varias ramas de la física. D’Alembert también estudió hidrodinámica, mecánica de los cuerpos, problemas de Astronomía y circulación atmosférica. D’Alembert rechazó un gran número de ofertas en su vida. Rechazó una oferta de Frederick II para ir a Prusia como presidente de la Academia de Berlín. También rechazó una invitación de Catherine II para ir a Rusia como tutor de su hijo.

Capítulo

02

HABILIDAD OPERATIVA

Algunas operaciones pueden realizarse de una manera más rápida de las que comúnmente se efectúan, debido a ciertas peculiaridades que se prestan para abreviar pasos y operar con mayor rapidez. En este capítulo, vamos a ver diversas técnicas, principalmente de multiplicación, que nos facilitarán efectuar operaciones en forma rápida.

1. Multiplicación por potencias de 10 Las potencias de 10 son: 10; 100; 1000; 10000; ... etc. Para multiplicar un número por una potencia de 10, es suficiente agregarle a la derecha los ceros de la potencia. Ejemplos: 35×10 = 350 42×1000 = 243×100 = Si el número fuera decimal, se corre la coma decimal hacia la derecha tantas cifras como ceros tiene la potencia. Si sobran aún ceros, se le agrega a la derecha. Ejemplos: 3,628×100 = 368,2 24,3×1000 = 24300 8,23×1000 =

2. División por potencias de 10 Es todo lo contrario al anterior. Se corre la coma decimal a la izquierda, tantas cifras como ceros tiene la potencia de 10. Ejemplos: 348÷100 = 3,48 496÷1000 = 0,496 32÷1000 = 4650÷1000 = 426,2÷1000 =

3. ¿Cómo sacar la mitad de un número? Consideremos el número 4862. Vamos sacando la mitad cifra por cifra, de izquierda a derecha. 4862 2 Mitad de 4 es 2 ⇒ 4 8 6 2 2 4 4 8 6 2 Mitad de 8 es 4 ⇒ 2 4 3 1 Así sucesivamente ⇒ 4 8 6 2 Mitad de 4862 es 2431 Ahora, vamos a considerar el número 2752 1 Mitad de 2 es 1 ⇒ 2 7 5 2 1 3 Mitad de 7 es 3 (aprox.) ⇒ 2 7 5 2 Pero sobra una centena, la cual la agregamos a la cifra de las decenas de modo que resulta 15. 1 3 7 Mitad de 15 es 7 (aprox.) ⇒ 2 7 5 2 También, sobra una decena que adicionamos a 2, resultando 12. 1 3 7 6 Mitad de 12 es 6 ⇒ 2 7 5 2 ∴ Mitad de 2752 es 1376. Por último, consideremos el número 457. 457 2 Mitad de 4 es ⇒ 4 5 7 2 2 Mitad de 5 es 2 ⇒ 4 5 7 Sobra uno que se adiciona a 7 resultando 17. 2 2 8, 5 Pero la mitad de 17 es 8,5 ⇒ 4 5 7

1

15

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Luego, la mitad de 457 es 228,5. Como el número es impar, su mitad resulta decimal. El decimal se considera en sólo la última cifra. Ejemplos: Saque la mitad de los siguientes números: 486 ⇒ 467 ⇒ 784 ⇒ 5672 ⇒ 9352 ⇒ 2301 ⇒ 902 ⇒ 42710 ⇒

4. Multiplicación por 5 El número 5 es la mitad de 10: 10 = 5 2 Multiplicar por 5 equivale a multiplicar por 10 y dividir entre 2. En consecuencia, para multiplicar cualquier número por 5, le agregamos un cero a la derecha y le sacamos la mitad. Ejemplo: 1 7 4 0 348×5 = 3 4 8 0 ⇒ 348×5 = 1740 3 7 6 5 753×5 = 7 5 3 0 ⇒ 753×5 = 3765

Ejercicios:

Efectúa las siguientes divisiones: • 2460÷5 = • 461÷5 =



• 9624÷5 =

6. Multiplicación de números por otro de dos cifras que comienza en 1. Ejemplo 1 Multiplicar: 3456×14 Se multiplica 3456 por 4 y el resultado se ubica debajo, desde la altura del aspa hacia la izquierda. Se suma verticalmente y el resultado es el producto buscado. Observa: 3 4 5 6 × 14 1 3 8 2 4 4 8 3 8 4

3456×4 Producto final

Ejemplo 2 2 5 6 2 3 × 18 2 0 4 9 8 4 4 6 1 2 1 4

6 5 3 2 × 15 3 2 6 6 0 9 7 9 8 0

Ejercicios: 6547 × 12

3798 × 19

4627 × 13

5324 × 19

1 0 5 2 5 2105×5 = 2 1 0 5 0 ⇒ 2105×5 = 10525 Ejercicios:

Multiplicar mentalmente: • 3468×5 =



• 2135×5 =



• 6712×5 =



• 89720×5 =

5. División entre 5 Es lo contrario a la técnica anterior. Para dividir un número entre 5, se duplica el número y se divide entre 10.

El procedimiento es similar al anterior, sólo que el primer producto se coloca corrido una cifra a la izquierda.

346÷5 ⇒ 346×2 = 692÷10 = 69,2

Ejemplo 1

271÷5 ⇒ 271×2 = 542÷10 = 54,2 985÷5 ⇒ 985×2 = 1970÷10 = 197 26,5÷5 ⇒ 26,5×2 = 53÷10 = 5,3 16

7. Multiplicación de números por otro de dos cifras que termina en 1.

1

3 4 2 × 3 1 1026×3 1 0 2 6 1 0 6 0 2 Producto final

HABILIDAD OPERATIVA Ejemplo 2

Ejemplo 3

2 7 1 × 4 1 1 0 8 4 1 1 1 1 1

3 6 8 × 5 1 1 8 4 0 1 8 7 6 8

Efectúa 67562×999 ⇒ 6 7 5 6 2 0 0 0 –

6 7 5 6 2 6 7 4 9 4 4 3 8

Ejercicios: 72 × 81

372 × 91

Ejercicios: Efectúa las siguientes multiplicaciones:

3685×99 ⇒ 9683 × 71

3052 × 61

4265×999 ⇒

8. Multiplicación de números por otro formado por cifras 9. El número 9 se puede expresar como 10 – 1 El número 99 se puede expresar como 100 – 1 El número 999 como 1000 – 1 Por otro lado, recordemos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la sustracción. a × (b – c) = a × b – a × c Por consiguiente, en lugar de multiplicar por 9 multiplicaremos por 10 – 1. En lugar de multiplicar por 99, multiplicamos por 100 – 1. Así sucesivamente.

3786×99999 ⇒

9. Multiplicación de un número por otro de cifras 1. Veamos la multiplicación 325×11: 3 2 1 3 2 3 2 5 3 5 7

5 × ⇒ 1 5

325×11=3575

5

Ejemplo 1:

Ahora veamos otro:

Multipliquemos: 3486×9 ⇒ 3486×(10 – 1) = 3486×10 – 3486 En forma práctica:

35241×11= 3(3+5)(5+2)(2+4)(4+1)1 = 387651 Cuando se multiplica por 111, se llega a tomar las cifras hasta de 3 en 3.

3486×9 ⇒

3 4 8 6 0 – 3 4 8 6 3 1 3 7 4

Producto

Por ejemplo: 50214×111= 5(5+0)(5+0+2)(0+2+1)(2+1+4) (1+4)4

Ejemplo 2

50214×111= 5573754

Multiplica 3486×99

Se va sumando las cifras del multiplicando de derecha a izquierda, de 1, de 2, de 3, hasta coger de tantas cifras como unos tiene el multiplicador y, luego, hacia la izquierda se va reduciendo hasta llegar a 1.

⇒ 3 4 8 6 0 0 – 3 4 8 6 3 4 5 1 1 4

Producto

1

17

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Otro ejemplo más:

Por ejemplo, cuadrado de 9 es 92. = 9×9 = 81

37526×1111=41691386



• 72 = 7×7 = 49



• 162 = 16×16 = 256 Vamos a ver un modo sencillo de obtener el cuadrado de un número que termina en cifra 5.

Ejercicios Ejemplos

Efectuar las siguientes operaciones:

• 4281×11 =



• 3654×111=



• 28672×111 =



• 59678×1111 =



• 3243216×11111 =

El cuadrado de un número que termina en 5 siempre termina en 25 y las demás cifras de la izquierda se obtiene multiplicando el número a la izquierda de 5 por su consecutivo.



952 = 9025 9×10

8×9

Ejercicios

10.Cuadrado de un número que termina en 5 El cuadrado de un número es lo que se obtiene multiplicando el número por sí mismo y se denota colocando el 2 en la parte superior derecha:

852 = 7225

Efectúa las siguientes operaciones:

• 452 = • 652 = • 1252 =



• 1155 = • 9952 = • 19952 =

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 De la operación:

N = 3128×1000 3

28400 – 284 = 284×

N = 3128000

El número que debe ir en el recuadro es:

Termina en 3 ceros. Rpta.: 3

Resolución:

03 Simplificar:

100(284) – (284) = 284× 99(284) = 284× 99

P=

100x – x = 99x

02 Al efectuar el producto:

2

2

0,03 × 2000

P=

N = 3,128×1000000, ¿en cuántos ceros termina N?

0,01 × 1000 2

3 × 20

Resolución:

P=

N = 3,128×1000000 3 3

P=6

1

0,01 x 1000

Resolución: Rpta.: 99

18

0,03 x 2000

1 × 10

2

=

60 10 Rpta.: 6

HABILIDAD OPERATIVA 04 Si ab00 – 34x99 = ab, halle el valor de

07 Calcular la suma de cifras del resultado:

a+b

la expresión: T =

M = 99900025

b–a

Resolución:

Resolución:

ab00 – 34×99 = ab

952 = 9025

100(ab) – ab = 34×99

9952 = 99 00 25

Observa

3cifs

99(ab) = 34×99

9995 = 999 000 25 4cifs

ab = 34 T=

2cifs 2cifs 2

a+b

3cifs 3cifs

 M = 99900025 3cfs 3cfs

b–a

M = 9 (9995)2 T=

3+4 4–3

=

7 1

=7

M = 9995 Rpta.: 7

Suma de cifras: 3·9 + 5 Suma de cifras: 32

05 Si a52 = 90bc, hallar a + b + c.

Rpta.: 32

Resolución: Como a5 termina en 5 entonces

08 Si ny2 = wzz5, n > 6 Calcular n + w + z – y.

bc = 25  b = 2 y c = 5 Además, 90 debe ser el producto de a por su consecutivo y como 90 = 9×10  a = 9

Resolución:

 a + b + c = 9 + 2 + 5 = 16

Observa

452 = 20 25 x5

95 = 90 25 2

Rpta.: 16

x10

06 Si PERU 9999 = ... 4371

⇒8

Calcular: P + U + R + E.

y

Resolución: O b s e r v a



abc × 99 = abc000 – abc

9 9 9 10

zz ×9

42×99 = 4200 – 42

PERÚ 0000 – PERÚ  . . . .4371

wz z

n52 = 7225

Ú R E P

n =8 w =7 z =2 y =5

n + w + z – y = 12 8+7+2–5 Rpta.: 12

=9 =2 =6 =5

09 Si A6V1 ·11 = E2Y91 Calcular A + V + E Resolución:

Piden:

Suma: P + U + R + E 5+9+2+6 22 Rpta.: 22

A6V1 ×11 A(A + 6)(6 + V)(V + 1)1 = E2Y91 V=8 Y=5 A=5

1

19

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Piden: A + V + E

04 Si (ab)2= 2025, halle el valor de a + b. A) 9 D) 5

5+8+6 19 Rpta.: 19

10 Efectuar y hallar la suma de cifras del resul-

B) 8

05 (AY5)2= 42025 Calcular: Y + A + Y + A A) 1 D) 4

tado: 18×222×25×257

11 Efectuar y hallar la suma de cifras del resultado: M = (1080 + 1)(9999...999)

C) 6 E) 7

B) 2

C) 3 E) 5

06 Si: [(15·9)·99]·999 = ...xy Calcular y 2 A) 25 D) 1

B) 15

C) 5 E) 16

80 cfs

07 Si 25×11 = a(a + b)b, halle b – a

12 Efectuar: 4

M=

123454321 – 1234321 5

A) 2 D) 10

B) 3

C) 7 E) 5

08 Si ELI × 99 = ...344 Calcular (E + L + I)2 A) 64 B) 169 D) 144

13 Si: P6 = 2QQR 2

Hallar:

P+R 2Q

C) 81 E) 100

09 Si (+)(+) = (–)(–) 14 ideas4

lomaximo3

= ...namay

Calcular el valor de M: pacay

¿En qué cifra termina pepe9

? M=

15 Calcular la suma de cifras del resultado:

Trae

+

A) 256 D) 27

99 × 909 × 90009

M=

Eterno

1111 + 2222

Ingenio Ingenio

+

B) 60

Amenos

4

Masa C) 1296 E) 81

10 Hallar el resultado de la siguiente suma: 1÷10 + 1÷100 + 1÷1000 +...+ 1÷100...000

REFORZANDO

10 ceros

01 ¿Cuántas cifras tiene el producto de 3578×99999999? A) 10 D) 13

02 Reducir: T =

20 0,1

A) 20200 D) 2020

B) 11

+

C) 12 E) 9

0,01 B) 22000

C) 2200 E) 2220

al cuadrado, halle el valor de a + b. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

1

B) 0,11111111111 D) 0,0101010101

TAREA

200

03 Si 3ab5 es el resultado de un número elevado

20

A) 0,1111111111 C) 0,0000000001

01 Hallar la suma de cifras del resultado de 1111111112

02 Hallar la suma de cifras del resultado de: M = 123454321

03 Si (3a)2 = 1bc5, hallar el valor de a + b + c

HABILIDAD OPERATIVA 04 Se tiene: a(a + b)(b + c)c = 325×11 Hallar el valor de: a + b + c

05 Si A = 12,42×100000 B = 11,28×100000, ¿en cuántos ceros termina A + B?

06 Si cyu×99 = ... 748 Calcular: c + u + y

07 Dada la multiplicación

09 Calcular la suma de cifras del resultado después de efectuar: M = [(1070)2 + 9 – 10][1010)14 + 90]

10 Si P = 452 + 33·11 + 322 Y = 1252 + 44·99 N = 40·11 + 952 K = 777·999 + 244·11 Calcular: P + Y + N + K + Y

547×999 = ...abc Calcular a + b + c

y dar como respuesta la suma de cifras.

08 Calcular el valor de: M = 100·101·102·103 + 1 Dar como respuesta la suma de cifras del resultado.

1

21

Capítulo

03

SUCESIONES NUMÉRICAS

Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números cuyos elementos obedecen un criterio de formación o regla de correspondencia que permite, dado el primer elemento, determinar los elementos siguientes. Ejemplo 1

Ejemplo 4 4;

7;

10; 13;

16; ...

+3 +3 +3 +3 Primer término

Razón

¿Qué número continúa en la siguiente sucesión?

Término general y número de términos de una sucesión aritmética

4; 6; 9; 13; … Resolución: 4

6 +2

9 +3

13

18

En la sucesión: 7; 11; 15; 19; ....

+4 +5

Rpta.: 18

11 = 7 + 1 (4)

Ejemplo 2

15 = 7 + 2 (4)

Hallar el término que sigue en la sucesión:

19 = 7 + 3 (4)

1; 2; 5; 20; 25; …

::: ::::::::

Resolución:

tn = 7 + (n – 1)4

1

2 ×2

5 +3

20

25

×4 +5

De donde:

150

Término anterior al 1º

×6 Rpta.: 150

Ejemplo 3 ¿Qué número sigue en la sucesión?

El término general es una fórmula que genera los elementos de la sucesión para los valores naturales y sucesivos de n.

0; 2; 5; 10; 18; … Resolución: 0

2 +2

5 +3

+1

10 +5 +8

+2

18

30

Así en tn = 4n + 1: Para n = 1: Para n = 5:

+12

+3 +4

SUCESIÓN ARITMÉTICA Una sucesión aritmética es aquella, que dado el primer término, cada término posterior se obtiene sumándole un mismo número llamado razón.

1

t1 = 4(1) + 3 t5 = 4(5) + 1

⇒ t1 = 7 ⇒ t5 = 21

De esta forma, podemos, por ejemplo, en la suceRpta:. 30

22

tn = 7 + 4n – 4 ⇒ tn = 4n + 3 Término general Razón

sión anterior, hallar el término que ocupa el lugar 20; para ello, hacemos n = 20: t20 = 4(20) + 7 ⇒ t20 = 87 Ahora, consideremos la sucesión: 2; 9; 16; 23; ….; 247

SUCESIONES NUMÉRIC A S El último término de esta sucesión es 247. Queremos saber cuántos términos tiene. Primero, hallamos su fórmula general: Números de términos Término anterior al 1º

tn = 7n – 5

{

Último términos

247 = 7n – 5

252 = 7n ⇒ n = 36

b) t30 = 5(30) + 1 ⇒ t30 = 151 t60 = 5(60) + 1 ⇒ t60 = 301 c)

tn

⇒ 426 – 1 = 5n

= 5n + 1

526

425 = 5n n = 85 Tiene 85 términos. Ejemplo 6

Hemos determinado que tiene 36 términos.

Estas sucesiones tienen igual número de términos. La suma de los últimos términos de las sucesiones

Ejemplo 5

8; 17; 26; 35; ..., y

Dada la sucesión:

1; 8; 15; 22; 29; ...;

6; 11; 16; 21; ……, 526

Es 633. ¿Cuántos términos tienen cada uno?

Determinar:

Resolución:

a) La fórmula general o de recurrencia.

Hallando las fórmulas generales de cada uno:

b) El término 30° y 60°

8; 17; 26; 35; ...; 9n – 1

c) El número de términos

1; 8; 15; 22; 29; ...; 7n – 6

Resolución:

Del dato:

(9n – 1) + (7n – 6) = 633

a) Razón = 5

16n – 7 = 633

Término anterior al 1º: 6 – 5 = 1

16n = 640

Fórmula general: tn = 5n + 1

n = 40

RESOLVIENDO RESOLVIENDO CON CON EL EL PROFESOR PROFESOR 01 ¿Qué número sigue en la sucesión?

03 ¿Qué número continúa en la sucesión?

360; 72; 18; 6; ...

7; 11; 16; 22; ...

Resolución:

Resolución:

360

72

÷5

18 ÷4

6 ÷3

7

3

11 +4

÷2

16

+5

22

+6

29 +7 Rpta.: 29

Rpta.: 3

02 De la siguiente sucesión, hallar la suma de

04 Hallar «x» 4; 16; 36; 64; 100; x

las cifras del número que sigue: 0; 3; 8; 15; 24; 35; ...

Resolución:

Resolución: 0

3 +3

4

8 +5

15 +7

24 +9

+11

35

16

36

64

100

144

22 42 62 82 102 Cuadrados de los números pares:

122

48

+13

 4 + 8 = 12 Rpta.: 12

 x = 144 Rpta.: 144

1

23

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 De la sucesión:

10 Sea la siguiente sucesión:

20; 10; 9; 9/2; 7/2; 7/4; ... el término que sigue es:

2

3

* * * * * * * * * *

* * * * * * * * * * * * *

Resolución:

÷2

–1

÷2

–1

÷2

* * * *

* * * *

* * * *

* * * *

9 7 7 7 3 ; ; ; –1 = 2 2 4 4 4

20; 10; 9;

4

1 * * * * * * *

¿Cuántos asteriscos habrá en el séptimo montón?

–1

Rpta.: 3/4

06 De la sucesión: 27; 9; 18; 6; 12; a; b

11 En la siguiente progresión aritmética, calcular el número de términos:

halle: a + b

17; 20; 23; 26; ab; ... ; ba

Resolución: ×2

÷3

÷3

12 Cuál es el término 10º de la siguiente suce-

12 a b

27 9 18 6 ×2

sión:

×2

÷3

156; 108; 72; 48; ...

a = 12÷3 = 4

13 La sucesión 2; 6; 12; 20; ... es finita.

b = 4×2 = 8 ∴ a + b = 4 + 8 = 12

La suma de los dos últimos términos es 242. ¿Cuántos términos tiene la sucesión?

Rpta.: 12

14 Hallar x + y de la siguiente sucesión:

07 Halle el término que sigue en:

2024; 2326; 2628; ... 74xy

1; 3; 4; 7; 11; 18; ... Resolución:

15 El término 20º de la primera sucesión con el

1 3 4

7

11

18

término 30º de la segunda sucesión suman 208. Hallar la suma del 30º término de la primera sucesión con el 20º de la segunda.

29

1+3 3+4 4+7 7+11 11+18

Rpta.: 29

08 Halle x + y



• 5; 8; 11; 14; 17; ...



• 1; 6; 11; 16; 21; ...

x; 1; 19; 45; 75; 107; y

REFORZANDO

Resolución:

x

1

19 45 75 107

y

01 Halle x en la siguiente sucesión:

+ 2 +18 +26 +30 +32 +33

2; 14; x; 62; 98

+16 + 8 + 4 +2 +1 24

23

22

21

A) 34

20

B) 24

C) 14

D) 42

E) 43

02 Encuentra m + n, si se conoce la siguiente

x + 2 = 1 ⇒ x = –1

sucesión: 10; 17; 24; ma; mn

107 + 33 = y ⇒ y = 140

A) 7

∴ x + y = –1 + 140 = 139 Rpta.: 139

B) 9

C) 11

D) 13

E) 12

03 Hallar el término que sigue en la sucesión: 5; 15; 17; 51; 53; ...

09 En la sucesión: 2 ; 2; 6 ; 2 2 ; x 2

Halle el valor de: x – 1 24

1

A) 100 D) 145

B) 106

C) 126 E) 159

SUCESIONES NUMÉRIC A S 04 ¿Qué número continúa en la siguiente sucesión? 13; 16; 20; 25; ... A) 30 D) 34

B) 31

TAREA 01 De la sucesión: 1; 3; 4; 7; 11; 18; a; b

C) 32 E) 35

05 Dado el término enésimo de una sucesión:

Hallar b – a

02 En la siguiente sucesión, determinar el término que sigue:

9

;

3

; 1;

2

; ...

tn = n3 – 1

4

Halle la suma de los 5 primeros términos de la sucesión:

03 ¿Qué número sigue en la sucesión?

A) 221 D) 178

B) 148

C) 220 E) 330

06 Hallar la suma de los dos términos siguientes de la sucesión:

B) 48

C) 49 E) 51

07 ¿Qué número sigue? B) 20

C) 31 E) 96

08 Halle el término 20 de la siguiente sucesión: 4; 9; 14; 19; 24; ... A) 100 D) 141

B) 99

C) 199 E) 101

09 La sucesión: 7; 10; 13; ... es finita, el último término es 445. ¿Cuántos de sus términos terminan en cifra 5? A) 20 D) 16

B) 17

C) 15 E) 29

10 Determina el número de términos de la siguiente sucesión: 317; 321; 325; ...; 3101 A) 20 D) 23

4; 7; 10; 13; ...; 6a; a0; ... Indica como respuesta la suma de las cifras.

04 Hallar el término que sigue en la siguiente

B) 21

6; 11; 18; 27; ...

05 ¿Qué número sigue en la sucesión? 3; 3; 5; 10; 19; ...

06 Calcular el décimo quinto término de la si-

12; 48; 9; 36; 6; 24; ... A) 3 D) 72

3

secuencia:

7; 8; 11; 11; 15; 14; 19; 17; 23; ... A) 47 D) 50

2

C) 22 E) 24

guiente sucesión: 20; 17; 14; 11; ...

07 ¿Cuántos términos tiene la sucesión? 35; 78; 1111; 1514; ... xy si x + y = 176.

08 La sucesión 7; 13; 19; 25; ... es finita. El penúltimo y antepenúltimo términos suman 140. ¿Cuántos términos tiene la sucesión?

09 Dada la sucesión: 2; 7; 12; 17; ... ; 522 Determinar: a) La fórmula general o de recurrencia. b) El término 50º y 100º. c) El número de términos.

10 Hallar la suma de los dos términos que continúan en la sucesión: 7; 4; 2; 1; 1; ...; ...

1

25

Capítulo

04

SUCESIONES LITERALES

Una sucesión es un conjunto cuyos elementos están dispuestos según una regla de formación que nos permite, dado el primer elemento, determinar los elementos siguientes.

Resolución:

Las sucesiones literales constan de una secuencia de letras, dispuesta según alguna regla. El problema consiste en determinar la letra que falta o la letra que sigue.

C

F

I

L

Ñ

Q

3

6

9

12 15

18

+3 +3

+3 +3 +3 Rpta.: Q

OTROS CRITERIOS

Ejemplo 1 B, C, E, H, ... Para encontrar la letra que sigue, podemos utilizar el siguiente criterio. A cada letra le asociamos un número natural, tal como se muestra en la tabla, de modo que en lugar de buscar la regla con las propias letras, usamos los números.

Las reglas que rigen una sucesión literal pueden ser diversas. Por ejemplo, las iniciales de las palabras que forman una secuencia ordenada, como los nombres de los números cardinales, los números ordinales, los días de la semana, los meses del año, etc.:

A

B

C

D

E

F

G

Uno

Dos

Tres

Cuatro

...

1

2

3

4

5

6

7

U

D

T

C

...

Ejemplo:

H

I

J

K

L

M

N

8

9

10

11

12

13

14

¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión? U, T, C, S, N; ... Resolución:

Ñ

O

P

Q

R

S

T

15

16

17

18

19

20

21

U

V

W

X

Y

Z

22

23

24

25

26

27

B

C

E

H

L

2

3

5

8 12

T

C

S

N

O

uno

tres

cinco

siete

nueve

once

Rpta.: O

Primero Segundo Tercero P

S

Domingo Lunes

¿Qué letra sigue en la siguiente sucesión? C, F, I, L, Ñ, ...

1

T

Cuarto ... C

...

+3 +4

Ejemplo 2

26

U

Observa estas secuencias literales

Para el ejemplo propuesto:

+1 +2

Notamos que la sucesión está formada por las iniciales de los nombres de los números impares:

D

L

Martes Miércoles ... M

M

...

SUCESIONES LITERALES

Enero Febrero Marzo Abril E

F

M

Mayo ...

A

M

Resolución: A

...

L

D

O

R

MNÑ 3

BC 2

W STUV 4

SUCESIONES COMPUESTAS

Rpta.: W

Las sucesiones compuestas están formadas por dos o más sucesiones cuyos elementos están en forma alternada.

Ejemplo 2 ¿Qué letra debe ir en el espacio donde se encuentra el signo de interrogación?

Ejemplo: ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión?

K

O

S

A, U, B, D, C, T, D, ...

?

Resolución: Uno

A

U

1

Dos

B

D

Tres

C

2

Cuatro

T

D

3

1

C

Resolución: –5

4

1

Ejemplo 1 ¿Qué letra debe ir en el círculo vacío?

O

2

R

3

?

20

–6

+4

11

20

26

23

–3 5

Las sucesiones literales pueden estar distribuidas en gráficos de diferentes tipos, ocupando lugares de la misma jerarquía.

L

+5 16

11

SUCESIONES Y GRÁFICAS

D

–4 16

1 Rpta.: C

A

V

X

E

+3

23

25

–2

Y

25

+2

+1

Rpta.: C Hemos encontrado dos soluciones. Cualquiera de las dos es correcta. Sin embargo, en las preguntas con alternativas múltiples sólo una de ellas figurará entre ellas. En caso de que hubiera dos posibles respuestas entre las alternativas, se marca la solución que se obtiene con mayor facilidad.

4

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Qué letra continúa en la sucesión?

02 Qué letra continúa:

L, J, H, F, ...

C, G, K, Ñ, R, V, ...

Resolución:

Resolución:

L

J

H

F

D

C , G , K , Ñ , R

12

10

8

6

4

3

–2

–2

–2

, 7 +4

–2

Rpta.: D

, V , Z

, 11 , 15 , 19 , 23 , 27 +4

+4

+4

+4

+4

Rpta.: Z

1

27

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 03 ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión?

Resolución: Figura:

C, F, I, L Resolución: C , F

, I

, L , Ñ

3

, 9

, 12 , 15

, 6 +3

+3

+3

1 línea

2 líneas

Letras:

3 líneas

K

G

D

B

16

11

7

4

2

–5

Letra que continúa: Ñ

–4

 La figura que sigue es

–3

–2

B

04 ¿Qué letra continúa en la sucesión

14 I 9

N

–2

K 11

+2

L

08 ¿Qué letra debe ir en lugar del signo de interrogación?

–2

12

10 M 13

J

+2

B

Rpta.:

I, N, K, L, M, J, Ñ, ... ? Resolución: –2

5 líneas

O

+3

Rpta.: Ñ

4 líneas

8 Ñ 14

H

D

H

N

G

?

C

Resolución:

+2

D

H

G

N

C

F

4

8

7

14

3

6

Rpta.: H

05 ¿Qué letra continúa en la sucesión?

×2

P, Q, S, S, T, U, C, ...

×2

×2 Rpta.: F

Resolución: +2

18 P

Q

1°

+2

+2

20 S

22

S

2°

T

U

3°

09 Halla la letra que continúa en la secuencia:

C

W

4° Rpta.: W

10 ¿Qué letra continúa en la sucesión? L, E, M, F, M, M, J, ...

11 ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión literal? A, S, C, Q, E, O, ...

06 ¿Qué letra continúa en la secuencia?

12 ¿Qué letra continúa?

W, L, F, ...

E, U, F, D, M, T, A, ...

Resolución: W

L

F

C

24

12

6

3

÷2 ÷2

A, A, C, D, E, G, G, ...

24

13 Qué letra continúa: U T C S ; ; ; ; D C S O D

÷2 Rpta.: C

14 ¿Qué letra falta en esta sucesión? B, C, E, G, ...

07 ¿Cuál es la figura que continúa en la sucesión? O 28

15 ¿Qué letra continúa en la sucesión? K

1

G

D

...

A, B, B, D, F, F, W, ...

SUCESIONES LITERALES 10 ¿Qué letra debe ir en lugar del signo de inte-

REFORZANDO

rrogación? A) H

01 Hallar la letra que continúa en la secuencia:

S

A, B, D, H, ... A) Ñ

B) O

C) P

D) Q

D

B) M

Y

E) Y

? H

C) N D) Z

J

02 ¿Qué letra continúa?

E) U

D, C, S, O, ... A) D

B) X

C) Y

D) P

E) N

03 ¿Qué letra continúa en la sucesión?

? J

M

A) F

01 ¿Qué letra continúa?

Ñ

Q

S

B) G

C) H

TAREA

C, E, I, Ñ, ...

02 ¿Qué letra continúa en la sucesión? N, P, S, V, ?

D) I

E) J

03 ¿Qué letra continúa? U, O, K, G, D, ...

04 ¿Qué letra continúa?

04 ¿Qué letra continúa en la sucesión?

A, D, H, K, Ñ, ... A) P

B) Q

C) R

D) T

E) U

05 Hallar la letra que continúa en la secuencia: P, S, T, C, Q, ... A) R

B) S

C) D

Z

X

U

? M

Q

05 ¿Qué letra debe D) E

E) T

ir en el espacio vacío?

Y

G

06 ¿Qué letra sigue?

K

M

A, A, B, C, E, ... A) F

B) G

C) H

D) I

E) J

P

B, C, E, G, K, Ñ, S, ... B) Z

C) N

E) O

A

G

C

I

C

T

I

?

B) W

C) V

S

,

T

D) X

,

C C

, ??

07 ¿Qué término continúa en la secuencia?

08 ¿Qué letra va en el lugar vacío?

A) Z

,

U D T

D) D

?

06 ¿Qué letras continúan en la sucesión?

07 ¿Qué letra sigue en la siguiente secuencia? A) L

U

A O C E , , , , .... U B I D

08 Hallar el término que continúa en la siguiente secuencia: E) Y

AB; BE; DI; HN; ...

09 ¿Cuál es la letra que sigue en esta sucesión?

09 ¿Qué letras continúan en la sucesión?

Ñ, M, J, F, ...

E

F M A M , , , , , ?? D L M M J A)

S K

B)

R L

C)

P S

D)

10 ¿Qué letra debe J V

E)

P V

ir en el espacio vacío?

?

B

W

E H

Ñ F

Q

1

29

Capítulo

05

ORDENAMIENTO LÓGICO DE DATOS

Aprenderemos en este capítulo a ordenar la información dada en los enunciados. Teniendo en cuenta que pueden presentarse diversas situaciones, es preciso utilizar un esquema, el cual nos va a permitir realizar mejor el ordenamiento. Tenga en cuenta siempre las condiciones del problema.

Resolución: De los datos se obtiene: Oeste

Este S

U T

a) Ordenamiento lineal En esta parte, analizaremos los problemas de lateralidad (izquierda – derecha), arriba – abajo, edificios y carreras.

K

Sea donde esté el volcán “T”, el volcán “S” siempre está al oeste de los demás Rpta.: Volcán “S”

Ejemplo 1: Cinco personas rinden un examen, si se sabe que:

b) Ordenamiento circular o cerrado



• Beto obtuvo un punto más que Dany.

Analizaremos las situaciones cuando los elementos a ordenar están formando un círculo.



• Dany obtuvo un punto más que Carlos.

Ejemplo 3:



• Edgar obtuvo dos puntos menos que Dany.



• Beto obtuvo dos puntos menos que Ana.

Cuatro amigos están sentados, uniformemente distribuidos, alrededor de una mesa circular. Aníbal está sentado frente a Elio y Sara está sentada a la izquierda de Elio. ¿Entre quiénes está sentado Renán?

Ordenarlos en forma creciente de acuerdo a sus notas.

Resolución:

Resolución:

Representando según los datos:

(+) Puntos Ana

S izq. de E A

A frente a E A S

Beto Dany Carlos (–) Puntos

Edgar

Rpta.: Edgar, Carlos, Dany, Beto y Ana. Ejemplo 2: El volcán “T” está ubicado al este del volcán “S”. El volcán “U” está al oeste del “K”. EL volcán “S” está ubicado al oeste del “U” ¿Cuál es el volcán ubicado más al oeste? 30

1

E

Final A S

E

R E

El único sitio que le queda a Renán es entre Aníbal y Elio. Rpta.: Entre Aníbal y Elio. c) Con cuadro de decisiones Para el análisis de estas situaciones,vamos a utilizar un cuadro de doble entrada que nos va a permitir relacionar los datos mediante afirmaciones y negaciones. Ejemplo 4: Cuatro amigas, Amalia, Betty, Cecilia y Diana, tienen 11; 12; 13 y 14 años, aunque no

ORDENAMIENTO LÓGICO DE DATOS Diana no es la mayor ni la menor:

necesariamente en ese orden. Preguntada cada una responde así:

11

Amalia: Tengo 11 años. Betty: Tengo 13 años. Cecilia: Tengo 14 años. Diana: No soy la mayor ni la menor. Se sabe que Amalia y Cecilia mienten; las demás no. ¿Cuál es la edad de cada una? Resolución:

Amalia

12

13

Betty X

Betty tiene 13 años:

11 Amalia

X

Betty

X

12

13

14

X

13

14

X X

X

P

X

X

X

X

X

Se concluye:

14

Diana

Betty Diana

X

Cecilia

X

Cecilia

Como Amalia y Cecilia mienten, Amalia no tiene 11 años ni Cecilia, 14.

11

Amalia

12

11

12

13

14

Amalia

X

X

X

P

Betty

X

X

P

X

Cecilia

P

X

X

X

Diana

X

P

X

X



• Amalia tiene 14 años.



• Betty tiene 13 años.



• Cecilia tiene 11 años.



• Diana tiene 12 años.

X

P

X

Cecilia

X

X

Diana

X

X

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR hija única; entonces, Zaida no es administradora.

01 Las amigas Ximena, Yéssica y Zaida tienen estas profesiones: administradora, economista y contadora. Se sabe que: •

Ximena es la novia del hermano de Zaida y es mayor que la contadora.

•

La administradora es hija única y es la menor de las tres. ¿Quién es la administradora?



• Ximena es mayor que la contadora y la administradora es menor que todas; entonces, Ximena no es administradora.

A

E

C

x

X

P

X

Resolución:

y

P

X

X



• Ximena es mayor que la contadora; entonces, no es contadora.

z

X

X

P



• Zaida tiene hermano y la administradora es

Rpta.: Yéssica

1

31

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 02 Se encuentran en un partido de fútbol A,

04 Pepe, Jorge y Carlos son 3 amigos que viven

B, C y D. Entre ellos, hay un topólogo, un camionero, un estibador y un ladrillero. De ellos se sabe lo siguiente:

en distritos diferentes: Ate, Chosica y en el Rímac y cada uno de ellos tienen caracteres diferentes: alegre, colérico y tímido. Se sabe que:



• ``A´´ y el estibador son viejos amigos.



• El camionero y el ladrillero conocieron ``A´´ en este partido.



• ``B´´ y ``C´´ no son estibadores.



• El camionero y ``C´´ son cuñados. ¿Quién es el camionero? Resolución: A, B y C no son estibadores; entonces, D es estibador. A no es camionero, ladrillero ni estibador; entonces, es topólogo. A, C y D no son camioneros; entonces, B es camionero.

Top. Cam. Est. Ladr.

• • • • •

Pepe no vive en Ate. Carlos no vive en Chosica. El que vive en Ate no es alegre. Carlos no es tímido ni alegre. Además, se sabe que el que vive en el Rímac es colérico.

¿Dónde vive Jorge y qué carácter tiene? Resolución: Carlos no es tímido ni alegre, entonces es colérico. Carlos es colérico; entonces, vive en Rímac. Pepe no vive en Ate ni puede vivir en Rímac, entonces vive en Chosica. Entonces, Jorge vive en Ate y no es alegre ni puede ser colérico; entonces, es tímido.

A

P

X

X

X

B

X

P

X

X

C

X

X

X

P

Pepe

X

P

X

X

P

X

D

X

X

P

X

Jorge

P

X

X

X

X

P

Carlos

X

X

P

P

X

X

Rpta.: B

03 En una carrera donde no hay empates, participan 6 personas: A, B, C, D, E y F. Si se sabe que A llegó antes que D, pero 2 puestos después que F, B llegó inmediatamente después que A, pero antes que E, se puede afirmar que: I. C llegó en segundo lugar.

Ate Chosica Rímac Colérico Alegre Tímido

Del cuadro, se deduce que Jorge vive en Ate y es tímido. Rpta.: Vive en Ate y es tímido.

05 Cinco autos, numerados del 1 al 5, participan en una carrera. Si se sabe que:

• En dicha carrera no hubo empates. • El auto 1 llegó en tercer lugar.

II. D Llegó antes que E.

• Ni el auto 3 ni el auto 4 ocuparon los dos

III. E Llegó en sexto lugar.

primeros puestos.

• La numeración del auto no coincidió con

Resolución:

su orden de llegada.

De los datos:

¿Qué auto ganó la carrera? 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°

F

Resolución:

C A B E

Ojo: También puede ser que “E” llegue en 6.° lugar y “D” EN 5.° lugar.

D Rpta.: Sólo I

32

1

De los datos:

1.° 2.° 3.° 4.° 5.°

2 5 1 3 4

Rpta.: El auto n° 2 ganó la carrera.

ORDENAMIENTO LÓGICO DE DATOS 06 Seis alumnos (A, L, U, M, N y O) se sientan



alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente. Se sabe que:

• La casa de los Garay queda junto y a la derecha de la casa de los Larico.



• La casa de los Contreras está a la derecha de los demás.



• Los Larico viven a la izquierda de los Hinostroza.

• “A” se sienta diametralmente opuesto a “L”. • “U” no se sienta junto a “M” ni a “O”.

¿Qué familia vive a la izquierda de las demás?

• “O” se sienta junto a la derecha de “L”.

Resolución:

Podemos afirmar con certeza:

N

I. “M” se sienta junto a “O”.

L

II. “N” se sienta junto a “A”.

G

L

III. “U” se sienta junto a “N”.

H

Ordenando:

Resolución:

U L

Los Navarro

(cambio)

N

N

Izquierda

07 Seis amigos viven en un edificio de seis pisos, cada uno en un piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, pero más arriba que David. Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. ¿El tercer piso lo ocupa?

3.° 2.° 1.°

C Derecha



• Los tres hombres se sientan juntos. • Beatriz se sienta junto y a la derecha de Diego. • Carmen se sienta frente a Miguel. ¿Quiénes se sientan junto a Elena?

10 Se realiza una reunión en la casa de las

Resolución:

4.°

H

Diego, Elena y Miguel, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además:

Rpta.: I y III

5.°

G

09 Seis amigos: Alberto, Beatriz, Carmen,

M

6.°

L

Rpta.: Los Navarro.

A

O

Andrés Bica Carlos David Enzo Franco

Rpta.: David.

08 Cinco familias: los Contreras, los Navarro, los Larico, los Garay y los Hinostroza viven en la avenida los Ángeles en cinco casas contiguas y de ellas se conoce que:

G

• Los Navarro viven a la izquierda de los Garay.



Chicas «Super Poderosas» y se sabe, además que, ellas disponen de una mesa circular con ocho sillas distribuidas simétricamente. Ellas con sus invitados se acomodan del modo siguiente: • Bombón se sienta frente a Bellota. • La señora Below se sienta frente al profesor Utonio. • Mojo Jojo se sienta junto y a la derecha de Burbuja. • Burbuja está sentada a la izquierda de la Sra. Below y junto a Bombón. • El alcalde de Saltadilla se sienta adya cente a La Princesita y frente a Mojo Jojo. Entonces, de acuerdo a los datos descritos, responder la siguiente pregunta: ¿Burbuja se sienta frente a?

1

33

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 11 En una granja, hay más gallinas que gallos, pero menos gallinas que pollos. Hay menos patos que conejos y menos conejos que gallos. Hay muchas palomas, más que gallinas, pero menos que pollos. ¿De qué animales hay menos?

12 San Mateo está ubicado al este de Chosica. Huancayo se ubica al oeste de Pucallpa; Chosica, a su vez, está ubicada al oeste de Huancayo. ¿Cuál de los pueblos está ubicado más al oeste?

13 En una carrera de tortugas participan seis tortugas: Flash, Rayo, Trueno, Bala, Misil y Flecha. Sobre el orden de llegada a la meta se sabe que:



• No hubo empates. • Flash llegó antes que Rayo, pero exactamente tres tortugas llegaron antes que él. • Trueno llegó adyacente a Bala y Flecha. • Misil no llegó en último puesto. • Bala llegó a dos puestos de Misil. ¿Quién ganó la carrera?

REFORZANDO 01 Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que:

• Pedro no se sienta junto a Luis. • José está entretenido viendo cómo los otros tres discuten. • El otro amigo es Juan. Según esto, podemos afirmar: A) José y Juan se sientan juntos. B) Luis y José no se sientan juntos. C) Es falso que José y Juan no se sientan juntos. D) Pedro se sienta junto y a la derecha de José. E) Pedro se sienta entre José y Juan.

02 Entregué el examen antes que Pablo; pero después que Lorena y que Jaime. Jaime lo entregó antes que Lorena y después que Meche. ¿Quién entregó primero el examen? A) Pablo C) Meche E) Yo

14 En las esquinas de una mesa cuadrada, se sientan cuatro personas y se sabe que:

• El ingeniero se sienta junto y a la derecha de Álvaro. • Ximena se sienta frente al arquitecto. • Álvaro y el arquitecto son amigos del profesor. • El contador se sienta frente a Pepe. • Ivon es fanática de la salsa. ¿Quién es el arquitecto?

15 Se tiene 6 libros en un estante: Aptitud Matemática, Matemática 1, Lengua, Física, Historia y Geografía. Si se sabe que:

34

B) Lorena D) Jaime

03 Cuatro amigos, Ángel, Beto, César y Fernando, viven en cuatro distritos distintos. Además:

• Beto no vive en Jesús María, pero Fernando vive en Pueblo Libre.



• Ángel va a Jesús María a visitar a César.



• A Beto le gustaría vivir en San Isidro. ¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja? A) San Borja, Ángel. B) San Isidro, Beto. C) Pueblo Libre, Ángel. D) Jesús María, Beto. E) San Isidro, Ángel.

• El de Matemática 1 está junto y a la iz 04 Pablo es 4 cm más alto que Julio, Mónica es 3 quierda del de Lengua. cm más baja que Julio, Ricardo es 7 cm más • El de Física está a la derecha del de Mabajo que Pablo, Ruth es 4 cm más baja que temática 1 y a la izquierda del de Historia. Julio. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son • El de Historia está junto y a la izquierda ciertas? del de Geografía. I. Ricardo y Mónica son de la misma talla. • El de Aptitud está a la izquierda del de II. Julio es más alto. Lengua. III. Ruth es más baja. ¿Qué libro ocupa el cuarto lugar si los contamos de izquierda a derecha

1

ORDENAMIENTO LÓGICO DE DATOS A) Todas C) I y III E) Sólo I

B) I y II D) II y III

05 Pepe, Jorge, Paolo y Álvaro tienen diferentes

ocupaciones. Sabemos que: • Pepe y el carpintero están molestos con Álvaro. • Jorge es amigo del electricista. • El comerciante es familiar de Álvaro. • El sastre es muy amigo de Paolo y del electricista. • Pepe desde muy jóven se dedica al comercio. ¿Cuál es la ocupación de Álvaro? A) Carpintero C) Sastre E) Electricista o sastre

B) Electricista D) Comerciante

09 En una carrera, participaron 5 atletas: Sandro,



Luis, Iván, Roberto y Gabriel. Al término de la carrera, cada uno llegó en un puesto diferente y se sabe que: • Roberto llegó antes que Luis, pero después que Gabriel. • Sandro no llegó antes que Iván. • Iván llegó en tercer puesto. Según lo expuesto, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Roberto llegó en segundo lugar. II. Iván llegó antes que Luis. III. Sandro llegó en quinto lugar. A) Sólo I C) Sólo I y III E) Sólo III

B) Sólo II y III D) Sólo I y II

10 Cuatro niñas están jugando con sus juguetes En un colegio, en el pueblo de ``San Damián´´ los profesores, Pepe, Lalo y Jorge, enseñan los cursos de Trigonometría, R.M. y Biología, no necesariamente en ese orden. Se sabe que Jorge no enseña Trigonometría ni R.M.; además, Pepe es amigo del profesor que dicta R.M. ¿Qué curso dicta Lalo? A) Trigonometría. C) Biología. E) R.M. o Biología.

B) R.V. D) R.M.

07 La ciudad “A” se encuentra 40 km al norte de la ciudad “B”, pero 30 km al este de “C”. “D” está 60km al sur de “A” y “E” está 20 km al oeste de “B”. De acuerdo a esto podemos afirmar: A) “B” está al suroeste de “C”. B) “C” está al noreste de “D”. C) “E” está al sureste de “A”. D) “D” está al suroeste de “E”. E) “E” está al noroeste de “D”.

08 Seis amigos, A, B, C, D, E y F, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además:

• D no se sienta junto a B. • A se sienta junto y a la derecha de B y frente a C. • E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F? A) Entre A y E C) Entre B y C

B) Entre A y D D) Entre B y E

preferidos alrededor de una mesa cuadrada, cada una en una esquina. Si Diana tiene la muñeca, Carla está a la derecha de la que tiene la pelota, Luisa está frente a María;el rompecabezas está a la izquierda del peluche, María no tiene la pelota. Se puede afirmar que: A) María tiene el rompecabezas. B) Diana está frente a María. C) Luisa tiene la pelota. D) Carla tiene la muñeca. E) Diana está a la derecha de Luisa.

TAREA 01 Cinco amigos: A, B, C, D y E se sientan alrededor de una mesa circular y se sabe que: • Las 5 sillas se encuentran distribuidas simétricamente. • A se sienta junto y a la izquierda de B. • D no se sienta junto a C. Podemos afirmar con certeza que: I) D se sienta junto a A. II) E se sienta junto a C. III) B se sienta junto a D. A) Sólo I B) Sólo II C) I y II D) Sólo I y III E) Todas

02 Álvaro, Pepe, Scott y Ody tienen diferentes ocupaciones y se sabe que: • Álvaro y el gasfitero son amigos del mecánico.

1

35

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

• Pepe es amigo del mecánico. • El comerciante es familia de Ody. • El pintor es muy amigo de Scott y del mecánico. • Álvaro es comerciante. ¿Cuál es la ocupación de Pepe?

A) Jorge es mayor que Luis. B) René es menor que José. C) No es cierto que Jorge sea mayor que Tito. D) Luis es mayor que Tito. E) Más de una es correcta.

07 Carolina, Meche y Julia han decidido hacer dieta, comiendo solamente una de las siguientes frutas: papaya, guanábana y durazno. Con las pistas: 1. Cada una ha escogido una fruta diferente. 2. Carolina es mayor que la que escogió durazno. 3. A Meche ni Carolina les gusta la guanábana. Determina, ¿quién escogió durazno?

03 Seis personas se sientan alrededor de una

mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: • Ángel se sienta tres asientos a la derecha de Camilo y frente a Daniel. • Fernando se sienta tres asientos a la izquierda de Eulogio. • Beto se sienta frente a Camilo. ¿Cuántos ordenamientos posibles hay? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

04 En un edificio de 5 pisos, viven las personas con apellidos: Flores, Zanabria, Miranda, Pérez e Islas; cada una en pisos diferentes. Se sabe que:

• Islas viven un piso más arriba que Zanabria. • Flores vive en el último piso. • Miranda no puede subir las escaleras. • Pérez está conforme donde vive. Entonces, son ciertas: I) Zanabria vive en el piso tres. II) Pérez vive en el pizo tres. III) Miranda vive en el piso uno. A) Sólo I D) Todas

B) Sólo III

C) I y II E) Ninguna

estudian cada una un idioma diferente entre inglés, portugués, francés, ruso y alemán. Ana quisiera estudiar inglés en lugar de francés. Pilar le ha pedido a Carla el teléfono de su profesor de ruso. Diana no estudia alemán y se ha disgustado con la que estudia portugués. ¿Qué idioma estudia Diana?

06 De los profesores de R.M., se sabe que:

36

• Pedro es mayor que José, pero menor que Luis. • René es menor que Pedro y mayor que Tito. • Jorge es mayor que Pedro. • Luis es mayor que Jesús. Podemos afirmar con certeza:

1

mado café. El señor Rojo dijo:



• Qué casualidad, el color de nuestras corbatas coincide exactamente con nuestros apellidos y ninguno de nosotros tiene la corbata del color de su apellido. El señor de la corbata verde dijo. • Tienes toda la razón. ¿De qué color es la corbata del señor Rosado.

09 En una mesa circular, seis superhéroes, Batman, Robin, Súperman, Acuamán, Flash y la Mujer Maravilla, se ubican simétricamente y se sabe que:

05 Cinco amigas, Ana, Pilar, Carla, Diana y Elena,



08 Los señores Rojo, Verde y Rosado estaban to-



• Súperman está junto y a la izquierda de la Mujer Maravilla y frente a Acuamán.



• Robin está frente a Batman y no está al lado de Acuamán. De acuerdo al ordenamiento del enunciado, responder: ¿Quién se sienta junto y a la derecha de Flash?

10 En una mesa circular, hay seis asientos simétricamente colocados, ante la cual se sientan 6 amigas a jugar monopolio, guardando distancias iguales. Si Lucia no está sentada al lado de Leticia ni de Juana, María no está al lado de Cecilia ni de María, Irene está junto y a la derecha de Leticia, ¿Quién está sentada junto y a la izquierda de María? A) Lucia. C) Irene. E) No se puede precisar.

B) Leticia. D) Cecilia.

Capítulo

ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS

06

El objetivo en este capítulo es hallar una cantidad desconocida, la cual se la representará con una “X”, signo de interrogación o espacio en blanco. Este número se hallará relacionando los otros números mediante operaciones aritméticas. Analizaremos estos tres tipos A

(B)

C

A

B

C

D

(E)

F

D

E

F

G

(X)

H

G

H

I

Analogía Numérica

A

C B

Llevan paréntesis en la parte central.

•

Distribuido en filas y columnas.

•

Distribuido en filas y columnas.

•

Se puede operar solo en filas o solo en columnas.

•

Siempre se opera en filas (no es columna, ni diagonal).

•

Cualquiera de los números puede ser la incógnita.

F E

Distribución Numérica

•

D

G

I H

Distribución Gráfica •

Los números están asociados a un gráfico cumpliendo una regla que se debe descubrir y con ella encontrar el número desconocido.

•

Cualquiera puede ser el valor desconocido.

NOTA: En cualquiera de los tres casos, se debe cumplir la misma operación en las tres filas, columnas o gráficos, inclusive el sentido de la operación se debe respetar.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Hallar el valor de “x” en:

Indicar el valor de la incógnita.

5 (24)

1

4

3

7

3 (4)

5

1

10

3

8 (x)

10

x

2

5

Resolución:

Resolución: 5 (24)

1

52 – 1 = 24

3 (4)

5

32 – 5 = 4

8 (x)

10

82 – 10 = x

4 1 x 15 Rpta:. 54

3 +

10 2 15

7 +

3

+

5 15 Rpta:. 10

1

37

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Resolución: 8

Ejemplo 3: Hallar el valor de “x”: 8 5

23

1 10

4

6

10 1

x

10

5 4

23

1 10

6

4

5 + 10 + 8 23

10 1

4+1+1 6

x

10

4

10 + 4 + 10 x Rpta:. x = 24

Nota: Una analogía, distribución numérica o distribución gráfica, puede tener más de una solución.

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Cuál es el número que falta?

03 Indicar el número que falta en el recuadro en blanco.

20 (15) 10 6 (10) 14 7 ( ) 11

8

9

64

81

Resolución:

3

4

20 (15) 10

20 + 10 = 15 2

6 (10) 14

6 + 14 = 10 2

4

9

6

2

Resolución:

7 + 11 =9 2

7 ( ) 11

88

Rpta.: 9

8

9

64

81 4

02 Indicar el número que falta.

88 3

4

9

6

2

24 (36) 15 (4+4)(8)

71 (48) 42 111 ( )

92

(6+3)(9)

= 64

(2+9)(8)

= 81

= 88

Resolución:

Rpta.: 8

24 (36) 15

(2 + 4) (1 + 5) = 36

71 (48) 42

(7 + 1) (4 + 2) = 48

111 ( )

(1 + 1 + 1) (9 + 2) = 33

92

Rpta.: 33

38

1

04 Hallar “x” 4

24 3

2

1

40 5

8

5

x 6

3

ANALOGÍA S Y DISTRIBUCIONES NUMÉRIC A S Resolución:

Resolución: 4

4

2

24

1

8

40

3

5

x

5

3

3

5

30

2 54

2

1

4

3

6

(4×3×2)

(1×5×8)

(5×6×3)

= 24

= 40

= 90

(42+12+22+32)

(42+32+22+52)

30

54 1

3 x

Rpta.: x = 90 –2

5

05 Indicar el número que falta sobre la tercera ((–2)2+52+32+12)

mesa. 31

7

2

4

39

18

1

Rpta.: x = 39

4

1

2

3

8 7

3 1

tercer muñeco.

Resolución: 31

18

7

2

4

1

2

3

7 2 – 4 1 3 1

22

x

4

1

08 Indicar el número que falta en la cabeza del

8

3

7

56

9

1

3

5

6

5

3

5

4

4

2

7

1

4 1 – 2 3 1 8

8 3 – 7 1 1 2

Resolución: 22

Rpta.: x = 12

06 Indicar el número que se debe colocar sobre el círculo vacío. 13

7

5

8

4 Resolución: 13

9

8

3

?

5

7

5

2

2

56

9

1

3

5

3

5

4

4

4 2

2

9

3

?

(3×9×1)–5

(4×3×5)–4

22

56 22

4

5

4

13 + 7 =5 4

8+2 =2 5

9+3 =3 4 Rpta.: x = 90

6

5

2

7

07 En el siguiente gráfico, hallar “x”: 4

3

5

30 2

2

1

54 1

4

3 x

3

–2

5

(2×6×5)–7 53 Rpta.: x = 53

1

39

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 En la siguiente analogía numérica, hallar el

15 Hallar el número que falta:

número que falta:

6

(17)

5

9

8

(26)

10

19 (72) 17

7

( )

9

13 (88)

14 ( ) 11

REFORZANDO 10 Hallar “x” del gráfico. 01 Hallar el número que falta: 2

7

38

5

10

6

27

4

17

3

?

5

5

1 x 37 26

A) 13 D) 18

B) 15

C) 12 E) 20

11 Hallar “x” 02 Hallar el número que falta:

5

3 2

7

5

2 7 18

x

4

7

2 4 45

3

4 ? 72

9

25

12 Halle el número que corresponde al espacio

A) 9 D) 6

B) 8

C) 7 E) 5

en blanco.

03 Hallar “x” de la siguiente gráfica 6

2

3

3

2

36

4 2

16

4

144

29

63

87

2

x

9

18

12

15

1

A) 1 D) 4

5 4

81

–2

169

1

x

B) 2

C) 3 E) 5

6

04 ¿Que número falta en el siguiente gráfico?

14 Indique el valor de “x” en: 8

9

10

5

x

7

4

3

4

5

1

11

1

5

1

13 Indique el valor de “x” en:

40

3

8

3

5

7

9

x

5 A) 8 D) 13

3

10

5 B) 2

8

7 C) 4 E) 12

ANALOGÍA S Y DISTRIBUCIONES NUMÉRIC A S 05 Indicar el número que falta: 2

3

7

02 Indicar qué número falta:

1

14

2

16

5

4

A) 24

B) 25

3

8 11 11

7 ?

5 C) 26

8

9

D) 27

E) 30

3

3

6

3

4

1

8

2

4

2

1

5 A) 15

7 5 11

8 D) 13

E) 23

07 Indicar qué número falta:

A) 28

(36) 4 ( 3 ) 12 ( ) 7 C) 18 D) 10

A) 56

B) 40

(21) (90) ( )

7

A) 16

B) 20

C) 14

8

A) 6

B) 20

(77) (55) ( ) C) 30

9

2

20

x

5

2

6

5

21

06 Hallar “x”:

D) 30

E) 42

2 3 7

8 3

4

9

E) 32

5

x

9

2

7

8

6

4 7 2

3 4 7

6 2 x

07 Hallar “x”: 3

9 12 x

11 14 17

4 5

14

08 Hallar “x”: 4 D) 19

E) 24

2

2

6

4

0

10 Indicar qué número falta: 9 8 11

10

5

09 Indicar qué número falta: (5) (8) ( )

6

2

4 31 7

C) 36

9 25 49

15 ? 6

05 Hallar “x”:

08 Indicar qué número falta: 5 11 7

5 8

C) 8

12 6 14 B) 20

6 1 16

04 Hallar “x”:

12 B) 10

18 ? 6

03 Indicar qué número falta:

06 Indicar qué número falta: 2

12 5 13

7

5

–1

11

x

09 Indicar qué número falta:

2 3 10 D) 19

9

15 E) 21

26

2

7 4

15

3

6

42

6

3

TAREA 10 Indicar el siguiente número que falta en la siguiente relación:

01 Indicar qué número falta: 4 5 3

2 5 10

18 ? 11

5 3 8

(60) (45) (....)

15 12 5

1

41

Capítulo

07

OPERACIONES COMBINADAS

Muchos problemas pueden resolverse aritméticamente con las cuatro operaciones o algebraicamente mediante las ecuaciones. En este capítulo, estudiaremos las estrategias para resolver problemas, utilizando solamente las cuatro operaciones fundamentales. Adición

(+)

Sustracción

(–)

Resumiendo: # Menor = (Suma – Diferencia) ÷ 2 # Mayor = # Menor + Diferencia Ejemplo 1: Hallar dos números sabiendo que suman 80 y se diferencian en 32. # Menor = (80 – 32) ÷2 = 48÷2 = 24 # Mayor = 24 + 32 = 56

4 operaciones fundamentales

Multiplicación (×) División (÷)

Ejemplo 2: Divide el número 480 en dos partes que se diferencien en 100. Resolución:

La suma y la diferencia Consideremos que dos números desconocidos suman 48 y se diferencian en 10. ¿Cómo hallar estos números?

Se trata de buscar dos números que sumen 480 y cuya diferencia sea 100: # Menor = (480 – 100)÷2 = 380÷2 = 190 # Mayor = 190 + 100 = 290.

En primer lugar, vamos a visualizarlos con un gráfico.

Doble y diferencia

# Menor # mayor # Menor

Rpta.: Las partes son 290 y 190.

10 Diferencia

# Menor

Suma 48

Si un número es doble del otro, la diferencia es igual al menor: Diferencia # Mayor

# Menor

A la suma le restamos la diferencia: 48 – 10 = 38

Ejemplo 3:

El número 38 es el doble del número menor. # Menor 38 # Menor

38 ÷ 8 = 19

# menor = 38 ÷ 2 = 19

Martín tiene 15 años y su hermanito Félix, 6 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Martín será el doble de la de su hermanito menor? Resolución: La diferencia de edades es 15 – 6 = 9

El número mayor es 10 unidades mayor que el número menor:

Cuando la edad de Martín sea el doble, la diferencia sigue 9; entonces, el menor tendrá 9 años y será dentro de:

# Mayor = 19 + 10 = 29

9 – 6 = 3 años

42

1

OPERACIONES COMBINADA S

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 En una fiesta organizada por la promoción

del colegio con el grupo de la región ``Los Aguerridos de Chupaca´´ asistieron 102 personas entre hombres y mujeres. En un determinado momento, 14 hombres y 2 mujeres no bailan. ¿Cuántos hombres asistieron a dicha fiesta? (nota: las personas bailan en parejas, un hombre con una mujer). Resolución: Total 102 B

NB

H

43

14

M

43

2

86

16

Total hombres 57

tadoras a 1200 soles cada una y las vendió todas por S/. 75 600. ¿Cuánto ganó por cada una? Resolución: Cada una la vendió en: 75600÷42 = 1800. Ganancia por c/u: 1800 – 1200 = 600 soles. Rpta.: S/. 600

05 Carmen tiene el triple del dinero que tiene Antonio. Si entre los dos tienen 300 soles, ¿cuánto tiene Carmen? Resolución: Como Carmen tiene el triple de Antonio, entre los dos hacen 4 veces lo de Antonio; esto es, los 300 soles equivalen a 4 veces lo de Antonio.

102 Rpta.: 57

02 Utilizando cada una de las cifras 1, 2, 3 y 4 se puede escribir números de 4 cifras diferentes; por ejemplo, podemos escribir 3241. ¿Cuál es la diferencia entre el más grande y el más pequeño de los números que se construye así? Resolución: Mayor Menor Diferencia

04 Un comerciante ha comprado 42 compu-

4 3 2 1 – 1 2 3 4 3 0 8 7 Rpta.: 3087

03 Un comerciante compra planchas en 24 soles la unidad y las vende en 35 soles la unidad. Durante esta semana, ha obtenido una utilidad de 396 soles en la venta de las planchas. ¿Cuántas vendió? Resolución:

Entonces: Antonio tiene: 300÷4 = 75 Carmen tiene: 75×3 = 225 Rpta.: S/. 225

06 En un corral, hay 12 cerdos y 8 gallinas. Hallar la diferencia entre el total de patas y el total de cabezas. Resolución: Total: 12 cerdos y 8 gallinas N° cabezas = 12 + 8 = 20 N° patas

= 12 × 4 + 8 × 2 = 64

64 – 20 = 44 patas más que cabezas. Rpta.: 44

07 Si me gano 600 soles en una rifa, compro un televisor de 1800 soles y me quedarían 80 soles. ¿Cuánto tenía al principio? Resolución:

Por la venta de cada plancha gana: 35 – 24 = 11

Si me gano 600, tengo para comprar el televisor y me sobra 80 soles.

Ganancia total = 396

1800 + 80 = 1880 soles

Número de planchas vendidas: 396÷11 = 36

Entonces, tengo: 1880 – 600 = 1280

Rpta.: 36

Rpta.: S/. 1280

1

43

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 08 Si al minuendo de una sustracción se le

14 Se compró cierto número de carneros por

suma 20 y al sustraendo se le resta 20; entonces, la diferencia de la sustracción ¿aumenta o disminuye y en cuánto?

S/. 5000 y se vende 130 de ellos por S/. 2600, ganando en cada uno S/. 10. ¿A cómo se debe vender cada uno de los que quedan para ganar S/. 6850 soles en total?

Resolución: M–S=D

15 Se compra 200 tunas a 30 céntimos cada

(M + 20) – (S – 20) = M – S + 20 + 20 D + 40 Aumenta en 40) Gráficamente: Minuendo Sustraendo

S

REFORZANDO

Diferencia

Minuendo

01 Se tiene 200 chocolates en total, que están

20

20 Diferencia

La diferencia aumenta en 20 + 20 = 40 Rpta.: Aumenta en 40

09 Un cubo de 1 metro de lado es dividido en cubitos de 1 cm de lado. Se coloca estos cubitos uno a continuación del otro, formando una fila, ¿cuál es la longitud de la fila (en metros)?

10 Se compra 200 jarrones a 5 soles cada uno. Si se rompen 120 jarrones, ¿a cómo se debe vender cada uno de los que queda para ganar 1400 soles?

11 La tarifa de un celular es de S/. 20 al mes por 50 minutos libres y S/. 1 por cada minuto adicional. ¿Cuánto se pagará por 78 minutos de llamadas al mes?

12 Daniel tiene 16 años y cada uno de sus her-

manos mayores le lleva tres años al que le sigue. Si en total son 4 hermanos, ¿cuántos años tiene el segundo hermano?

13 Jorge ``El duro´´ compra piñas a razón de

7 piñas por S/. 21, y las vende a razón de 3 piñas por S/. 15. ¿Cuánto ganará si compra y vende media docena de piñas?

44

1

una. Si 40 de ellas están malogradas, ¿a cuánto se debe vender cada una de las restantes si se desea ganar S/. 20 en total?

en dos cajas ``A´´ y ``B´´. Si pasamos de la caja ``A´´ 40 chocolates a la caja ``B´´ habrían igual cantidad de chocolates en ambas cajas. ¿Cuántos chocolates habían inicialmente en la caja ``B´´? A) 30 D) 60

B) 40

C) 50 E) 55

02 Entre 6 personas deben pagar un total de S/. 144 en partes iguales, algunas de ellas no pagaron y el resto tuvo que pagar 12 soles más. ¿Cuántos no pagaron? A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

03 Se sabe que 100 chocolates cuestan lo mismo que 20 galletas y 40 wafers juntos. Si cada galleta cuesta S/. 3 y cada wafer S/. 2, ¿cuánto cuestan 5 chocolates? A) S/. 6 D) S/. 9

B) S/. 7

C) S/. 8 E) S/. 5

04 En una sala hay, 10 mesas de tres patas y 6 sillas de 4 patas. En cada silla, hay sentadas personas con dos piernas. ¿Cuántas piernas y patas hay en total? A) 86 D) 80

B) 66

C) 54 E) 70

05 Una persona decide entrar a galería en vez de ingresar a platea, ahorrando 3 soles. Si los precios de ambas localidades suman 18 soles, ¿cuánto pagó dicha persona? A) S/. 7,50 D) S/. 9,5

B) S/. 6

C) S/. 10,50 E) S/. 8

OPERACIONES COMBINADA S 06 En una sustracción al minuendo se le suma 120

02 Miriam y Rocío tienen juntas 200 soles, pero

y al sustraendo, 40. ¿Qué resultado se obtiene, restando nuevamente los nuevos términos, si la diferencia original era 120?

Miriam tiene 60 soles más que Rocío. ¿Cuánto tiene Rocío?

A) 40 D) 400

B) 120

C) 200 E) 100

07 La suma de tres números impares consecutivos es igual a 27. ¿Cuál es el número más pequeño de los tres? A) 11 D) 7

B) 9

C) 8 E) 5

08 Andrés gana 35 soles diarios y Darío, S/. 30 diarios. ¿Cuántos días tienen que transcurrir para que entre ambos hayan ganado S/. 1560? A) 24 D) 27

B) 25

C) 26 E) 28

09 Compré cierto número de gaseosas a S/. 720 y los vendí a 1396 soles. Si en cada gaseosa gané dos soles, ¿cuántas gaseosas compré? A) 325 D) 335

B) 278

C) 330 E) 338

10 Un comerciante compró 20 conejos y 15 cuyes por 660 soles. El precio de un conejo es el doble del cuy. ¿Cuánto cuesta cada conejo? A) S/. 20 D) S/. 24

B) S/. 22

C) S/. 23 E) S/. 25

TAREA 01 En la siguiente operación, cada cuadradito puede ser reemplazado por el signo de la adición (+) o por el signo de la multiplicación (×): 2 4 1

03 Calcule la suma del mayor número de 3 cifras diferentes con el menor número de 2 cifras diferentes.

04 Si son las 7 p.m., ¿cuál es la diferencia entre el tiempo transcurrido y lo que falta por transcurrir?

05 Después de haber comprado 15 libros del mismo precio, me sobran 38 soles y me faltan 47 soles para comprar otro. ¿De qué suma disponía?

06 Carla tiene 41 soles y compra juguetes de 3 soles y 5 soles. Hallar la máxima cantidad de juguetes de 3 soles que puede comprar invirtiendo todo su dinero.

07 Pablo compra duraznos enlatados a 3 por 8 soles y los vende a 2 por 9 soles. ¿Cuántas latas tiene que vender para ganar 77 soles?

08 Se compró cierto número de toros por S/. 24000, luego se vendió 50 toros por S/. 8000 perdiendo S/. 40 por cada uno. ¿Cuántos toros se compró?

09 Analí y Rosario tienen 160 soles. Si Analí le diera S/. 20 a Rosario, ambas tendrían la misma suma. ¿Cuánto tiene cada una?

10 Dentro de una caja grande se coloca 3 cajas medianas; dentro de cada una de éstas se coloca 4 cajas pequeñas y dentro de cada una de estas últimas se coloca 3 canicas. ¿Cuál es la diferencia entre el número total de cajas y el número de canicas?

¿Cuáles son los signos correspondientes si quiero que el resultado sea 9?

1

45

Capítulo

08

EL MÉTODO DE LA FALSA SUPOSICIÓN

Hay un grupo de problemas que se caracterizan por tener como datos dos cantidades totales y dos cantidades unitarias.

Perdió 200 – 137 = 63 puntos, entonces se equivocó en 63÷7 = 9 preguntas. Si erró en 9, entonces acertó en 40 – 9 = 31 preguntas.

Estos problemas pueden resolverse con la estrategia de la falsa suposición.

Rpta.: 31 Ejemplo 3:

Ejemplo 1: En una granja, puede contarse 60 cabezas y 150 patas, entre gallinas y conejos. ¿Cuántos animales hay de cada especie?

Se reparte 600 caramelos entre 160 niños, dando 5 a los de primaria y 3 a los de secundaria. ¿Cuántos niños hay de cada nivel? Resolución:

Resolución: 60 cabezas significan 60 animales entre conejos y gallinas. Resolveremos, suponiendo que todos son gallinas. Si todos fueran gallinas, habrían 60×2 = 120 patas. Pero hay 150, que son 150 – 120 = 30 patas de más. Por cada conejo, hay dos patas de más, entonces, hay 30÷2 = 15 conejos.

Si se repartiera a todos, dando 3 caramelos a cada uno, se gastaría 160×3 = 480 caramelos y sobraría 600 – 480 = 120. Los 120 sobrantes sólo se repartiría entre los niños de primaria, dándoles 2 a cada uno para completar los 5 caramelos. Entonces, hay 120÷2 = 60 niños de primaria. Si de primaria son 60, de secundaria son:

Como son 60 animales, hay 60 – 15 = 45 gallinas.

160 – 60 = 100 Rpta.: 60 de primaria y 100 de secundaria.

Rpta.: 15 conejos y 45 gallinas. Ejemplo 2:

Ejemplo 4:

En una prueba de 40 preguntas, un estudiante ha obtenido 137 puntos, habiendo respondido todas las preguntas. Cada respuesta correcta vale 5 putos y por cada equivocación le quitan dos puntos. ¿Cuántas preguntas respondió correctamente?

Vitocho tiene una colección de moscas y arañas, contando 20 insectos y 132 patitas. ¿Cuántas moscas tiene en su coleción?

Resolución: Entre respuestas correctas y equivocadas hacen 40.

Resolución: Suponiendo que todos los insectos de su colección fuesen arañas, habrían 20×8 = 160 patas. Pero realmente hay 132 patas.

Si hubiera respondido todas acertademente, hubiera obtenido 40×5 = 200 puntos.

Entonces: 160 – 132 = 28 patas más

Por cada equivocación, no solo deja de ganar los 5 puntos; sino, le descuentan 2 puntos, o sea, pierde 7 puntos.

∴

8 – 3 = 2 patas de más por cada par. 28 = 14 moscas. 2 Rpta.: Tiene 14 moscas.

46

1

EL MÉTODO DE L A FALSA SUPOSICIÓN

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Toño ha visitado la granja de su tío Augusto. Como entretenimiento, contó 60 cabezas y 156 patas entre patos y conejos. ¿Cuántos conejos ha contado? Resolución: 60 cabezas = 60 animales. Si todos fueran patos, habrían 60×2 = 120 patas. Pero hay 156 – 120 = 36 patas de más. Por cada conejo, hay 2 patas de más; entonces, hay 36÷2 = 18 conejos. Rpta.: 18

Por cada entrada Vip hay S/. 15 de más, entonces hay 1800÷15 = 120 asientos Vip. Rpta.: 120

05 Un comerciante ha vendido en un mes 40 computadoras de dos precios: S/. 900 y S/. 750, por un monto de S/. 31950. ¿Cuántas computadoras ha vendido de cada clase? Resolución: Si todas fueran de 750, el importe de la venta sería 750×40 = 30000. Pero hay 31950 – 30000 = 1950 de más.

02 Tengo S/. 240 en 40 billetes de S/. 5 y

Por cada computadora de 900 hay un ingreso de 900 – 750 = 150 de más.

S/. 10 soles, ¿cuántos de los billetes que tengo son de S/. 10?

Entonces, fueron vendidas 1950÷150 = 13 computadoras de 900 y 40 – 13 = 27 de 750. Rpta.: 13 de 900 y 27 de 750.

Resolución: Si los 40 billetes fueran de S/. 5, habría 40×5 = S/. 200. Pero hay 240 – 200 = S/. 40 de más. Por cada billete de S/. 10, hay S/. 5 de más; entonces, hay 40÷5 = 8 billetes de S/. 10. Rpta.: 8

03 Tomás distribuye 196 caramelos entre 50

niños, dando 5 caramelos a las niñas y 3 a los varones. ¿Cuántos son varones?

06 Para participar en un concurso escolar de Matemática, los organizadores han cobrado S/. 10 a los estudiantes de colegios privados y S/. 6 a los de colegios estatales. Si hubo una recaudación de S/. 1650 con una asistencia de 231 concursantes, ¿cuántos de ellos procedían de colegios privados? Resolución: Si todos fueran estatales, la recaudación sería de 231×6 = 1386.

Resolución:

Pero hay 1650 – 1386 = 264 soles de más.

Dando 3 a todos, gastaría 3×50 = 150 caramelos y le sobraría 196 – 150 = 46.

Por cada estudiante de colegio privado, hay 4 soles de más.

Como a cada niña le debe 2 caramelos, los 46 alcanza para 46÷2 = 23 niñas.

Entonces, hay 264÷4 = 66 estudiantes procedentes de colegios privados. Rpta.: 66

Entonces, hay 50 – 23 = 27 varones. Rpta.: 27

04 Un teatro, con capacidad para 300 asistentes, cobra S/. 40 en la zona Vip y S/. 25 en Popular. En una función con el teatro lleno, ha recaudado S/. 9300. ¿Cuántos asientos tiene la zona Vip? Resolución: Si todos fueran a Popular, le recaudación sería 300×25 = 7500. Pero hay 9300 – 7500 = 1800 de más.

07 En un almacén, se puede observar 85 vehículos entre triciclos y bicicletas. Si en total se puede contar 200 neumáticos, ¿cuántas bicicletas hay en dicho almacén? Resolución: Si todos fueran bicicletas, habrían 85×2 = 170 neumáticos, pero hay 200 – 170 = 30 de más. Por cada triciclo, hay 1 neumático de más; entonces, hay 30 triciclos y 85 – 30 = 55 bicicletas. Rpta.: 55

1

47

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 08 Al escribir 80 números consecutivos meno-

13 Un comerciante ha comprado 64 latas de

res que 200 se ha utilizado 200 cifras. ¿Cuál es el mayor de los números escritos?

aceite de dos capacidades distintas, unas tienen 10 litros de capacidad y otras tienen 16 litros de capacidad. Si en total ha reunido 784 litros de aceite, ¿cuántas latas de 10 litros compró?

Resolución: Si todos fueran de 2 cifras, se hubiera utilizado 80×2 = 160 cifras. Pero se usó 200 – 160 = 40 cifras de más. Por cada número de 3 cifras, se utiliza 1 cifra de más; entonces, se ha escrito 40 números de 3 cifras: 100; 101; ...; N 40

N – 99 = 40 ⇒ N = 139 Rpta.: 139

09 En un corral, hay aves y caballos. Se puede contar 100 ojos y 160 patas. ¿Cuál es la diferencia entre animales de una y otra especie? Resolución: 100 ojos ⇒ hay 100÷2 = 50 animales. Si todos fueran aves, habrían 50×2 = 100 patas, pero hay 60 patas de más. Por cada caballo hay 2 patas de más; entonces hay 60÷2 = 30 caballos y 20 aves. La diferencia es 30 – 20 = 10. Rpta.: 10

10 Un barril contiene 104 litros de vino que debe ser envasado en 160 botellas, unas de 0,75 litros y otras de 0,50 litros. ¿Cuántas botellas de 0,75 litros serán necesarias? Resolución: Si en las 160 botellas envasáramos 0,50 litros, en cada una entrarían 160×0,50 = 80 litros y sobrarían: 104 – 80 = 24 litros. A cada botella de 0,75 litros le agregamos 0,25 litros más; entonces, entran en 24÷0,25 = 96 botellas de 0,75 litros. Rpta.: 96

11 Luis desea pagar una deuda de 6000 soles con 100 billetes de 50 y 100 soles. ¿Cuántos billetes de S/. 50 soles debe emplear?

12 En un examen de 20 preguntas se otorga 4 puntos por respuesta correcta y se resta 1 punto por respuesta incorrecta. Si un alumno contestó todas las preguntas y obtuvo 60 puntos, ¿cuántas respuestas fueron respondidas correctamente? 48

1

14 A causa de las inundaciones el Estado envió 44 mil soles para ser distribuidos entre las 200 familias damnificadas. Cada familia, con hijos, recibió 250 soles y cada familia sin hijos, 200 soles. ¿Cuántas familias con hijos fueron damnificadas?

15 Una bodega ha vendido 120 botellas de vino de dos calidades. La botella de vino de primera cuesta 24 soles y la de vino de segunda, 20 soles. ¿Cuál es la diferencia entre los importes de las dos calidades de vino si el importe total es 2660 soles?

REFORZANDO 01 En un corral, se puede contar entre carneros y gallinas 78 cabezas y 220 patas. Se puede afirmar que: A) Hay más gallinas que carneros. B) Hay más carneros que gallinas. C) Hay tantos carneros como gallinas. D) Hay doble de gallinas que de carneros. E) La diferencia entre el número de gallinas y carneros es 24.

02 Tengo 50 monedas de S/. 2 y S/. 5, además un total de S/. 160. ¿Cuántas monedas de mayor denominación hay? A) 20 D) 32

B) 24

C) 30 E) 36

03 Hermilio distribuye cierto número de caramelos entre 60 niños, dando 6 caramelos a las niñas y 4 a los varones. Entonces: A) Si hay 40 niñas; entonces, se repartieron 300 caramelos. B) Si hay 40 varones; entonces, se repartieron 300 caramelos. C) Si fueron repartidos 300 caramelos; entonces, hay 25 varones. D) Si fueron repartidos 300 caramelos; entonces, hay 40 varones. E) Si fueron repartidos 300 caramelos, entonces hay tantos varones como niñas.

EL MÉTODO DE L A FALSA SUPOSICIÓN 04 La entrada a un teatro cuesta 45 soles para adultos y 30 soles para niños. Con una asistencia de 400 personas, entre adultos y niños, se ha recaudado 16215 soles. Entonces: A) Asistieron 191 niños. B) Asistieron 191 adultos. C) Asistieron 291 adultos. D) Asistieron 281 niños. E) La diferencia entre el número de adultos y niños es 162.

ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches se repararon? A) 10 D) 20

B) 30

C) 15 E) 22

10 Por un monto de 8700 soles, se ha comprado 80 sacos de arroz y de azúcar. El saco de arroz cuesta 120 soles y el de azúcar, 100 soles. ¿Cuál es la diferencia entre el número de sacos de arroz y de azúcar? A) 15 D) 5

B) 10

C) 12 E) 8

05 He comprado 20 kilogramos de clavos de 2 y de 3 pulgadas. Los de 2 pulgadas pesan 15 gramos y los de 3 pulgadas, 20 gramos. Si en total hay 1200 clavos, entonces: A) Hay más de 600 clavos de 2 pulgadas. B) Hay menos de 600 clavos de 2 pulgadas. C) Hay 600 clavos de 2 pulgadas. D) Hay 300 clavos de 2 pulgadas. E) Hay 600 clavos de 3 pulgadas.

06 En una playa de estacionamiento, se puede contar 324 neumáticos de 84 vehículos, entre automóviles y motocicletas. Cada uno de los automóviles, cuenta con una llanta de repuesto. Señale lo correcto: A) Hay 50 automóviles. B) Hay 32 automóviles. C) Hay más automóviles que motocicletas. D) Hay más motocicletas que automóviles. E) Hay 54 automóviles.

07 Al escribir 95 números consecutivos menores que 200, se ha utilizado 245 cifras. Se puede afirmar que: A) Se ha escrito 40 números de 2 cifras. B) El menor número de 2 cifras es 59. C) El mayor número de 3 cifras es 155. D) Se ha escrito 40 números de 3 cifras. E) A y C son correctos.

08 En un zoológico, en la misma jaula, hay tortugas y pájaros. Se puede contar en total 61 cabezas y 164 patas. ¿Cuántas aves hay en la jaula? A) 35 D) 21

B) 40

C) 45 E) 22

09 En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de

TAREA 01 Germán distribuye 324 caramelos entre 60 niños, dando 6 caramelos a los varones y 4, a las niñas. ¿Cuántas son las niñas?

02 En una granja, Alonso ha contado 70 cabezas y 212 patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuántos cerdos hay en esta granja?

03 En mi billetera, tengo 1280 soles en 40 billetes de 20 soles y 50 soles. ¿Cuántos billetes de 50 soles tengo?

04 Alejandra ha repartido 320 galletas entre 85 escolares, dando 5 galletas a las niñas y 2, a los varones. ¿Cuántas niñas recibieron las galletas?

05 En un teatro, las entradas de adultos costaban 45 soles y las de los niños, 25 soles. Concurrieron 520 espectadores y se recaudaron 19900 soles. ¿Cuántos adultos asistieron al teatro?

06 Un comerciante ha vendido en un mes 120 calculadoras de dos precios: S/. 45 y S/. 55, por un monto de S/. 6120. ¿Cuántas calculadoras de mayor precio ha vendido?

07 En una cochera se observa 84 vehículos entre triciclos y motocicletas. Si en total se puede contar 206 neumáticos, ¿cuántas motocicletas hay en esta cochera?

08 Al escribir 120 números consecutivos menores que 300, se ha utilizado 280 cifras. ¿Cuál es el menor de los números escritos?

09 Un barril contiene 262 litros de vino, que debe ser envasado en 75 botellas de 3 litros y 4 litros. ¿Cuántas botellas de 4 litros será necesario utilizar?

10 Una suma de 220 soles se descompone en 56 monedas de 5 soles y 2 soles. Hállese el número de monedas de cada clase.

1

49

Capítulo

09

EL MÉTODO DE LAS OPERACIONES INVERSAS

El método de las operaciones inversas es una estrategia que se utiliza para resolver los problemas donde, con un número desconocido, se realiza un conjunto de operaciones y se da como dato el resultado final de las operaciones.

restantes. ¿Cuántos panes vendió en la primera hora?

Las operaciones realizadas con el número desconocido vamos a denominarlas operaciones directas. El problema radica en encontrar el número desconocido. La técnica consiste en realizar con el dato la operación inversa de las operaciones directas en orden inverso al que han sido efectuadas. A estas operaciones las denominaremos operaciones inversas.

Cuando vende 60, el número de panes disminuye en 60. Equivale a restar 60.

Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: A Zenaida le preguntaron por su edad y ella respondió: «Si multiplican mi edad por 5, al resultado le suman 45 y lo dividen entre 5 y, finalmente, le restan 6, obtendrán 15». ¿Cuántos años tiene Zenaida? Resolución: El número desconocido es la edad de Zenaida. Las operaciones directas son: ×, +, ÷ y –. La operaciones inversas son: +, ×, –, ÷. Veamos la resolución del problema: N ×5 +45 ÷45 –6

Cuando vende la mitad, queda la otra mitad, lo cual equivale a dividir los panes entre 2.

Cuando vende la tercera parte, se podría pensar que el número de panes de ese momento queda dividido entre 3. ¡Cuidado! No es así. Cuando se vende la tercera parte, quedan las 2 terceras partes (2/3); es decir, el número de panes queda multiplicado por 2/3 y no queda dividido entre 3, como aparentemente se podría pensar. Veamos la estrategia: N÷2 –60 2 × 3 –50

21×5 = 105 105 – 45 = 60 60÷5 = 12 = N

15

Ejemplo 2: Un panadero distribuye los panes en su triciclo todos los días en la madrugada. Un día, agotó todos los panes en 4 horas: En la primera hora vendió la mitad; en la segunda hora, 60 panes; en la tercera hora, la tercera parte del resto y, la última hora, los 50

1

0 + 50 = 50 3 50× = 75 2 75 + 60 = 110 0

110×2 = 220 = N

2 3 Observe que la operación inversa de × es × , 2 2 2 que equivale a dividir entre . 3 El número de panes es 220; entonces, en la primera hora vendió 220÷2 = 110. Rpta.: 110 panes

15 + 6 = 21

Rpta.: Zenaida tiene 12 años.

50

Resolución:

Ejemplo 3: Carmela tiene 192 fichas distribuidas en 3 montones. Pasa del primer montón al segundo, tanto como hay en éste, luego pasa del segundo al tercero, tanto como hay en el tercer montón y, finalmente, pasa del tercer montón al primero, tanto como había quedado en éste. Así consigue la misma cantidad de fichas en cada montón. ¿Cuántas había en cada uno al principio? Resolución: Para resolver este problema, veamos una situación previa. Supongamos que tenemos dos montones con 40 y 30 fichas:

EL MÉTODO DE L A S OPERACIONES INVERSA S

40

Devolvemos del primer grupo al tercero, porque fue el último de los traspasos.

30

32

Pasamos del primero al segundo, tanto como hay en éste. Como en el segundo hay 30; entonces, debemos pasar 30 fichas:

30 40

64

64

+32

÷2 30

32 10

64

60

(30×2 = 60)

64

96

Devolvemos del tercero al segundo:

48 Observe que el número de fichas del segundo montón queda duplicado.

32

64

Ahora, devolvamos las fichas, del segundo al primero: 30

÷2

+48 32

10

96

48

112

60 Por último, devolvemos del segundo al primer grupo:

40

30

Observe que cuando se devuelve el montón queda dividido entre 2. Para resolver el problema, vamos a proceder en la forma como hemos procedido en el ejemplo previo. Luego de los traspasos, al final, cada montón queda con 192÷3 = 64 fichas.

64

64

56

(60÷2 = 30)

64

32

48

112 ÷2

+56 88

48

56

En síntesis, el método del cangrejo consiste en resolver los problemas retrocediendo, de adelante para atrás, partiendo de lo último que se realizó, avanzar «reponiendo», hasta llegar a la situación inicial.

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Un comerciante de frutas vende sus frutas de la siguiente manera: En la primera hora vende 15; la segunda hora, la mitad del resto; la tercera hora 14 más y se queda con 20 frutas. ¿Cuántas frutas tenía al iniciar la primera hora?

Resolución: N –15 ÷2 –14

20 + 14 = 34 34×2 = 68 20

68 + 15 = 83 = N Rpta.: 83

1

51

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 02 ¿Cuál es el número que, al sumarle 18,

06 Se tiene un cesto con 24 huevos y otro con

restarle 20 al resultado, multiplicarlo por 3 el nuevo resultado y sumarle nuevamente 18 al último resultado, es igual a 48?

16. Se pasa del primer cesto al segundo tantos huevos como hay en éste. ¿Con cuántos huevos queda cada cesto al final?

Resolución: N +18 –20 ×3 +18 48

Resolución: 48 – 18 = 30

16

1°

2°

30÷3 = 10 10 + 20 = 30 30 – 18 = 12 = N Rpta.: 12

24 24 + 16 8

16 16 × 2 32 Rpta.: 8 y 32

03 Al número de soles que tiene Iván se le suma 15. El resultado se eleva al cuadrado; en seguida, se le divide entre 8 para luego sumarle 14, entonces se obtiene 86. ¿Cuántos soles tiene Iván? Resolución: N +15 ( )2 ÷8 +14

86 – 14 = 72 72×8 = 576

07 Sobre una mesa hay 80 monedas divididos en dos grupos. Del primer grupo, se pasa 25 monedas al segundo grupo; de esta manera, se consigue que en ambos grupos haya la misma cantidad de monedas. ¿Cuántas monedas había al principio en cada grupo? Resolución:

576 = 24 24 – 15 = 9 = N 86

Al final, hay 80÷2 = 40 monedas en cada grupo. Devolvemos

Rpta.: 9

04 Le preguntaron a Darío por su edad y respondió diciendo: si a mi edad le suman 11, al resultado lo multiplican por 6 y le extraen la raíz cuadrada, obtendrán 12. ¿Qué edad tiene Darío? Resolución: E +11 ×6

40 + 25 65

40 40 – 25 15 Rpta.: 65 y 15

122 = 144

08 Sobre una mesa, hay 60 monedas divididas

144÷6 = 24 24 – 11 = 13 = E 12

Rpta.: 13

05 Marcelo tiene caramelos distribuidos en dos bolsitas. Cuando pasa 21 caramelos de la primera bolsa a la segunda, la primera bolsa queda con 25 caramelos y la segunda con 45. ¿Cuántos caramelos contenía cada bolsa al principio? Resolución:

en dos grupos. Del primer grupo, se pasa al segundo tanto como hay en éste; de esta manera, se consigue que en ambos grupos haya la misma cantidad de monedas. ¿Cuántas monedas había al principio en cada grupo? Resolución: Al final, en cada grupo, hay 60÷2 = 30. Devolvemos

Devolvemos 25 25 + 21 46

21

30 45 45 – 21 24 Rpta.: 46 y 24

52

25

40

1

30 + 15 45

30÷2 = 15

30 30÷2 =15 Rpta.: 45 y 15

EL MÉTODO DE L A S OPERACIONES INVERSA S 09 Mauricio y Emilio se ponen a jugar apostando 20 soles. Mauricio pierde la partida y resulta con 21 soles y Emilio con 60 soles. ¿Con cuánto dinero empezó la partida cada uno y cuánto dinero tienen entre los dos?

REFORZANDO 01 ¿Cuál es el número que, al sumarle 20, dividirlo entre 5, restarle 18 al resultado, multiplicarlo por 6 al nuevo resultado y sumarle 35, resulta 107? A) 100 B) 110 C) 90 D) 130 E) 120

10 Carlos y Daniel se ponen a jugar a los dados,

02 Un vendedor de manzanas vende su mercade-

con la condición de que el perdedor de la partida duplicará el dinero del otro. Si Carlos pierde la partida y los dos resultan con 60 soles cada uno, ¿con cuánto empezó a jugar cada uno?

ría de la siguiente manera: En la primera hora, vende la mitad; la segunda hora, 25 manzanas; en la tercera hora, la mitad de lo que tiene en ese momento y se queda con 15 manzanas. ¿Cuántas manzanas tenía al iniciar la primera hora? I. Tenía más de 80 manzanas. II. Tenía menos de 150 manzanas. III. Tenía entre 100 y 120 manzanas. A) Solo I B) Solo II C) I y III D) II y III E) I, II y III

11 Homero, Horacio y Honorio se ponen a jugar a las cartas con la condición de que quien pierda la partida dará 15 soles a los demás. Horacio pierde la partida y, luego de pagar la apuesta, cada uno resulta con 50 soles. ¿Con cuánto dinero empezó a jugar cada uno?

12 Cada vez que voy donde mi tía Bartola, siempre me duplica el dinero que llevo. En agradecimiento, le compro un regalo de 12 soles. En una semana la visité dos veces y, como consecuencia, tengo 10 soles, ¿con cuánto dinero inicié la visita?

03 Sergio: ¿Cuántos años tienes, Pamela? Pamela: Si a mi edad multiplicas por 2, le sumas 13 al resultado, elevas al cuadrado el nuevo resultado y le restas 225, obtendrás 504. Entonces, Pamela tiene: I. Más de 30 años. II. Menos de 15 años. III.Es mayor de edad. A) Solo I B) Solo II C) I y III D) II y III E) I, II y III

13 Estando lleno un reservorio se abre la llave

04 Los que asistieron a ver la película hindú

de desagüe y se observa que en cada hora el reservorio pierde la mitad del agua que tiene al inicio de la hora y 350 litros más. Si se seca completamente en 3 horas, ¿cuál es la capacidad del reservorio?

«Mamá no vendas mis muletas», una vez terminada la función se retiraron en 4 minutos. En el primer minuto, se retiró la cuarta parte; en el segundo minuto 45 de los asistentes; en el tercer minuto, la tercera parte de los que quedaban y, en el cuarto minuto, los 30 restantes. ¿Cuántos acudieron a ver la referida película? A) 100 B) 80 C) 110 D) 120 E) 150

14 En una cabina de internet comienza la atención con cierto número de clientes. En la primera hora, vienen 8 clientes más, en la segunda hora se va la tercera parte, en la tercera hora entran 10 clientes y, en la cuarta hora se va la mitad; entonces, la cabina queda con 9 clientes. ¿Con cuántos inició la atención?

15 Cuando en un teatro terminó la función, los asistentes se retiraron en 4 minutos. En el primer minuto, se retiró la cuarta parte, en el segundo minuto 57 asistentes; en el tercer minuto, la tercera parte de los que quedaban y, en el cuarto minuto, los 36 restantes. ¿Cuántos asistieron al teatro?

05 A un cierto número se le eleva al cuadrado, a este resultado se le suma 7, al nuevo resultado se le multiplica por 3, a este producto se le resta 5, a la diferencia se le extrae la raíz cúbica y finalmente, se le resta 3, obteniéndose 1. Hallar el número inicial. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

06 Manuel apostó su dinero en dos juegos. En el primero, le duplicaron su dinero, pero enseguida gastó 10 soles; en el segundo perdió 1/3 de lo que tenía y gastó 5 soles. Si al final le quedó 155 soles, ¿cuánto tenía al comienzo? A) 100 B) 120 C) 125 D) 130 E) 150

1

53

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 Se tiene 2 dépositos de vino, A y B. De A pasan

02 ¿Cuál es el número que, al multiplicarlo por 4,

a B 20 litros; luego de B pasan a A la mitad de los litros que tiene B. Si quedan A y B con 115 y 35 litros respectivamente, ¿cuántos litros tenía B inicialmente? A) 40, B) 30, C) 50, D) 60, E) 80,

luego restarle 21; dividirlo este resultado entre 5, y finalmente, sumarle 24, resulta 39?

08 Mauro y Simón se ponen a jugar a las cartas, con la condición de que el perdedor de la partida duplicara el dinero del otro. Mauro pierde la partida y luego de pagar la apuesta cada uno resulta con 60 soles. De las afirmaciones: I. Al principio Mauro tenía 90 soles. II. Mauro perdió 30 soles. III. Al principio, Mauro tenía 30 soles más que Simón. Señale lo correcto: A) Solo I B) Solo II C) I y II D) II y III E) I, II y III

09 Sheila tiene 100 chocolates distribuidos en dos cajones. Cuando pasa del primer cajón al segundo tanto como hay en éste, ambos cajones resultan con igual número de chocolates. De las afirmaciones: I. Del primer cajón se pasaron 50 chocolates al segundo. II. En el primer cajón, habían 50 chocolates más que en el segundo. III. En el segundo cajón, había más de 30 chocolates. Señale lo correcto: A) Solo I B) Solo II C) I y III D) II y III E) I, II y III

10 Con un número se hacen las siguientes operaciones: Primero, se multiplica por 5, al producto se le suma 60, a dicha suma se le divide entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente restarle 4. Si luego de realizar las operaciones indicadas se obtiene 2, ¿cuál es el número? A) 6 B) 60 C) 80 D) 300 E) 150

TAREA

le resta 31; al resultado se le extrae la raíz cuadrada, en seguida se le multiplica por 9 para luego restarle 20; de esta manera, se obtiene 88. ¿Cuántas monedas tiene Lucía?

04 Fernando tiene canicas distribuidas en dos grupos. Cuando pasa 15 canicas del primer grupo al segundo, el primero queda con 20 canicas y el segundo con 38. ¿Cuántas canicas había al principio en cada grupo?

05 A Vidal le preguntaron por el número de hermanos que tiene, entonces respondió diciendo: Si al número de hermanos que tengo lo multiplican por 8, al resultado le suman 27, a este resultado lo dividen entre 9 y le restan 6, obtendré 5, que es el número de hermanas que tengo. ¿Cuántos hermanos varones tiene Vidal?

06 Sobre una mesa, hay 60 limones divididos en dos grupos. Del primer grupo, se pasa 21 limones al segundo; de esta manera, se consigue que en ambos grupos haya la misma cantidad de limones. ¿Cuántos limones había al principio en cada grupo?

07 A una conferencia asistieron 120 participantes y están distribuidos en dos salones. Para que haya la misma cantidad de asistentes en cada salón, se pasa del primer salón al segundo tantos asistentes como había en éste. ¿Cuántos asistentes había al principio en cada salón?

08 Franco y Rodrigo se ponen a jugar apostando 25 soles. Franco pierde la partida y ambos resultan con 60 soles cada uno. ¿Con cuánto dinero empezó la partida cada uno?

09 Kevin y Renato se ponen a jugar a las cartas, con la condición de que el perdedor triplicará el dinero del otro. Si Kevin pierde la partida y los dos resultan con 90 soles cada uno, ¿con cuánto empezó a jugar cada uno?

10 Cada vez que me encuentro con mi tío Uriel,

01 En el estante de una tienda hay una cantidad de frutas. En la primera hora, se vende 18; en la segunda hora, 21; en la tercera hora, la mitad del resto y quedan 13 frutas. ¿Cuántas frutas habían al principio? 54

03 Al número de monedas que tiene Lucía se

1

siempre duplica el dinero que tengo en ese momento, pero me cobra 10 soles para no perjudicarse del todo. Hoy me encontré tres veces, al final de los cuales me quedé sin dinero. ¿Cuánto tenía antes que me le encuentre por primera vez?

Capítulo

10

EL MÉTODO DE LA REGLA CONJUNTA

La relación de equivalencia consiste en que dos cosas, siendo diferentes, pueden ser iguales en algo. Por ejemplo, supóngase que 5 kg de arroz cuestan 12 soles. De hecho, el arroz no es igual que el dinero. Son cosas diferentes. Sin embargo, 5 kilogramos de arroz equivale a 12 soles de dinero, lo cual expresaremos así: 5 kg < > 12 soles «5 kg» es el primer miembro y «12 soles», el segundo miembro de la equivalencia.

Propiedades de la equivalencia Las propiedades de la equivalencia son similares a las de la igualdad. 1. Ambos miembros de la equivalencia pueden multiplicarse o dividirse por el mismo número diferente de cero: 5 kg < > 12 soles

La técnica consiste en disponer las equivalencias, de modo que el segundo miembro de cada una, es de la misma especie que el primer miembro de la siguiente; además, el primer miembro de la primera equivalencia es de la misma especie que el segundo miembro de la última. Se multiplica miembro a miembro, de tal manera que se obtiene la equivalencia buscada. Ejemplo 1: Si 2 peras pesan igual que 3 manzanas, 5 manzanas pesan tanto como 6 naranjas y 5 naranjas tanto como 2 melones, ¿cuántos melones pesan tanto como 25 peras? 2 peras < > 3 manzanas 5 manzanas < > 6 naranjas 5 naranjas < > 2 melones x melones < > 25 peras 2·5·5x < > 3·6·2·25

5 kg (5) < > 12 soles(5) 25 kg < > 60 soles 2. Varias equivalencias pueden multiplicarse miembro a miembro y la equivalencia permanece. 5 peras < > 4 manzanas 3 manzanas < > 5 plátanos 8 plátanos < > 6 soles Multiplicando miembro a miembro: (5 pe)(3 maz)(8 plá) < > (4 maz)(5 plá)(S/. 6) 120 peras < > 120 soles 1 pera < > 1 sol Se puede concluir que una pera cuesta 1 sol.

Regla de conjunta La regla de conjunta es una técnica que tiene por objetivo determinar la relación de equivalencia que existe entre dos cantidades, conociendo otras relaciones intermedias.

×

x < > 18 Por lo tanto, 18 melones pesan tanto como 25 peras. Rpta.: 18 Ejemplo 2: En un mercado de Breña, se observa que 4 choclos, cuesta tanto como 8 tomates, 7 tomates como 5 apios, 3 apios como 14 lechugas. ¿Cuántos choclos cuestan tanto como 20 lechugas? Resolución: 4 choclos < > 8 tomates 7 tomates < > 5 apios 3 apios < > 14 lechugas

×

20 lechugas < > x choclos 4·7·3·20 < > 8·5·14·(x) 1 1

2

x 3

2

Rpta.: 3 choclos

1

55

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Si 6 conejos cuestan lo mismo que 5 gallinas

04 En una tienda de mascotas, dos gatos cues-

y 2 gallinas cuestan S/. 120, ¿cuánto costarán 20 conejos?

tan lo mismo que tres canarios. Además, 4 perros cuestan tanto como 5 canarios, 3 ratones cuestan S/. 30, y 8 perros cuestan lo mismo que 4 ratones. ¿Cuánto costarán 6 gatos?

Resolución: 6 conejos 5 gallinas 2 gallinas S/. 120

×

S/. x 20 conejos

Resolución: 2 gatos < > 3 canarios

6⋅2⋅x 20⋅120⋅5

5 canarios < > 4 perros

10

3 ratones < > S/. 30

x = 1000  20 conejos costarán S/. 1000

S/. x < > 6 gatos

Rpta.: S/. 1000

02 En una feria, 5 gallinas cuestan lo mismo que 3 pavos; 6 patos cuestan lo mismo que 5 pavos; 5 patos cuestan lo mismo que 4 cuyes. ¿Cuánto costarán 5 gallinas, si un cuy cuesta S/. 12.50? Resolución:

2 · 5 · 3 · 8 · x < > 3 · 4 · 30 · 4 · 6 1

1

x < > 36  6 gatos cuestan S/. 36 Rpta.: S/. 36

×

5 pat < > 4 cuy 125 ga < > 72 cuy 125 ga < > 72 · 12,50 5 ga < > 36 Rpta.: S/. 36

03 Un frutero ofrece 8 plátanos a S/. 5. Además, 5 plátanos equivalen a 2 tunas, 4 tunas cuestan lo mismo que 5 nísperos. ¿Cuánto pagaré por 16 nísperos?

por 3 monos te dan 2 cocodrilos, por 4 cocodrilos te dan 3 jirafas y por 12 jirafas dan 8 leones, por 5 leones pagamos S/. 120. ¿Cuánto pagaré por 5 monos?

3 monos < > 2 cocodrilos 4 cocodrilos < > 3 jirafas 12 jirafas < > 8 leones

×

5 leones < > S/. 120 S/. x < > monos 3 · 4 · 12 · 5 · x < > 2 · 3 · 8 · 5 · 120

Resolución: S/. 5 < > 8 plátanos 5 plátanos < > 2 tunas 4 tunas < > 5 nísperos

x < > 40 ×

5 · 5 · 4 · 16 < > 8 · 2 · 5 · x 2

20 < > x

1

Rpta.: S/. 40

06 En una panadería, por 8 bizcochos te

16 nísperos < > S/. x

56

05 En un zoológico, te ofrecen lo siguiente:

Resolución:

125 ga < > 900

2

2

x 3·2·6

5 ga < > 3 pav 5 pav < > 6 pat

×

8 perros < > 4 ratones

Rpta.: S/. 20

dan 5 budines, por 10 budines te dan 3 empanadas, 5 empanadas equivalen a 4 panes. ¿Cuántos bizcochos te darán por 6 panes?

EL MÉTODO DE L A REGL A CONJUNTA los mismo que 5 pavos, 3 conejos cuestan lo mismo que 8 patos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta S/. 30?

Resolución: 8 bizcochos < > 5 budines 10 budines < > 3 empanadas

×

5 empanadas < > 4 panes

el trabajo de 10 albañiles, si el trabajo de 6 empleados equivale al trabajo de 2 albañiles y el trabajo de 5 empleados equivale al de 3 obreros?

6 panes < > x bizcochos 8 · 10 · 5 · 6 < > 5 · 3 · 4 · x 2

2

1

10 ¿El trabajo de cuántos obreros equivaldrá

1

40 < > x  Por 6 panes me dan 40 bizcochos. Rpta.: 40

07 Cinco correas equivalen a 8 pañuelos, 20 pañuelos equivalen a 5 corbatas, 4 correas cuestan S/. 6. ¿Cuánto pagaré por 4 corbatas?

Resolución: 5 correas < > 8 pañuelos 20 pañuelos < > 5 corbatas ×

4 corbatas < > S/. x 5 · 6 · 20 · 4 < > 8 · 5 · 4 · x 1

cambio monetario y era el siguiente: por 5 soles daban 6 cruzados, 4 cruzados por 10 pesos, 2 pesos por 3 dólares. ¿Cuántos soles daban por 9 dólares?

12 En una tienda de mascotas se ofrece algunos animales como: 4 gatos cuestan igual que 6 perros; 3 perros, como 10 canarios; 7 canarios, como 21 loros y, 6 loros, como 8 hamster. ¿120 hamster a cuántos gatos equivalen?

13 En una fiesta agropecuaria, el Sr. ``Serapio´´ vende: 10 gallinas que cuestan lo mismo que 4 patos; 2 patos que cuestan lo mismo que 3 conejos. Si un conejo cuesta S/. 20, ¿cuánto costarán 5 gallinas?

S/. 6 < > 4 correas 3

11 Un coleccionista se puso a analizar sobre el

1

15 < > x

14 En una librería, 5 reglas equivalen a 1 cua-

 Por 4 corbatas pagaré S/. 15. Rpta.: S/. 15

08 Sabemos que 3 cuadrados equivalen a 5 triángulos y 7 triángulos equivalen a 4 círculos. Si 6 círculos equivalen a S/. 18, ¿cuánto costará 14 cuadrados?

derno y 3 cuadernos equivalen a 10 plumones. ¿Cuántos plumones dan por 3 reglas?

15 En un pueblo lejano, un turista hace trueques con los pobladores de la siguiente manera: 5 llamas equivalen a 10 euros, 13 euros equivalen a 20 carneros. ¿26 llamas equivalen a cuántos carneros?

Resolución:

REFORZANDO

3 cuadrados < > 5 triángulos 7 triángulos < > 4 círculos

×

6 círculos < > S/. 18 S/. x < > 14 cuadrados 3 · 7 · 6 · x < > 5 · 4 · 18 · 14 1

3

2

x < > 40

01 Se sabe que 6 plátanos cuestan lo mismo que 8 naranjas y que 4 naranjas cuestan 2 soles. ¿Cuánto costarán 12 plátanos? A) S/. 6 D) S/. 11

B) S/. 8

C) S/. 10 E) S/. 15

02 Cinco kilogramos de azúcar equivalen a 2 kg

 14 cuadrados costarán S/. 40. Rpta.: S/. 40

09 En una feria agropecuaria, 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos, 14 patos cuestan

de arroz, 5 kg de azúcar equivalen a 3 kg de fideos. ¿Cuántos kg de arroz equivalen a 6 kg de fideos? A) 9 kg D) 15 kg

B) 6 kg

C) 7 kg E) 4 kg

1

57

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 03 En una clase de geometría, dos profesores, ``Tuco´´ y ``Tico´´, convienen en hacer un trueque: por un cuadrado reciben 4 esferas y por 6 esferas reciben 3 rectángulos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibir por 24 rectángulos? A) 9

B) 10

C) 12

D) 11

E) 24

04 Con 3 dólares se obtiene un (USB), con 3 (USB) se obtiene un (MP3). ¿Cuántos (MP3) se obtiene con 81 dólares? A) 8

B) 9

C) 7

D) 6

E) 12

05 Un toro cuesta lo mismo que 5 carneros y 3 carneros igual que 6 cabras. Por 90 cabras, ¿cuántos toros darán? A) 10

B) 8

C) 6

D) 9

E) 7

06 El profesor Pepe averigua los precios de algunos automóviles y observa que: 4 Ticos cuestan tanto como 6 Nizan, 3 Nizan tanto como 10 Chevrolet, 7 Chevrolet lo mismo que 21 Mercedes y 6 Mercedes tanto como 8 Toyotas. ¿Cuántos Ticos equivalen a 120 Toyotas? A) 8

B) 6

C) 5

D) 7

E) 9

07 En la bodega, ``Don Jorgito´´, se observa que 4 kg de azúcar cuesta lo mismo que 10 kg de fideos y 5 kg de fideos cuestan lo mismo que 7 tarros de leche. ¿Cuántos tarros de leche te darán por 2 kg de azúcar? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

08 Si: •  =  

•  =   5, ¿a cuánto equivale? A) 6

B) 9

C) 10

D) 7

•    = 2 E) 11

de R.V. y 7 libros de R.V. cuestan S/. 50. ¿Cuánto cuesta un libro de R.M.? B) S/. 32

C) S/. 35 E) S/. 27

10 En una feria gastronómica, 3 platos de arroz con pollo cuestan tanto como 5 platos de chanfainita, 2 platos de chanfainita cuestan tanto como 3 platos de tallarín. ¿Cuántos platos de arroz con pollo nos darán por 5 platos de tallarín? A) 7 58

B) 6

C) 5

1

D) 3

01 Por 3 gallinas, se obtiene un conejo; con 3 conejos, un pavo. ¿Cuántos pavos se obtendrá con 117 gallinas?

02 Se conoce que 6 jarras cuestan lo mismo que 5 cubiertos y que 3 cubiertos cuestan S/. 7.20, ¿cuánto costarán 7 jarras?

03 En una libreria, 7 lapiceros cuestan lo mismo que 2 plumones, 14 reglas cuestan lo mismo que 5 plumones, 3 libros de R.M. cuestan lo mismo que 8 reglas. ¿Cuánto costarán 4 lapiceros, si un libro de R.M. cuesta S/. 15?

04 En una feria, 8 gallinas cuestan lo mismo que 10 conejos, 16 conejos lo mismo que 2 carneros y 4 vacas cuestan lo mismo que 3 carneros. ¿Cuántas gallinas cuestan lo mismo que 15 vacas?

05 En el Mercado Mayorista de Frutas la señora Elsa ofrece: 3 tunas por 2 duraznos, 3 duraznos por 5 mandarinas, y 8 mandarinas por 9 chirimoyas. ¿15 chirimoyas equivalen a cuántas tunas?

06 Un turista, en el pueblo de ``Chuspi´´ ofrece cierto trueque a los comuneros de la siguiente manera: por 6 llamas le dan 5 euros y por 2 euros 30 gallinas. ¿Cuántas gallinas intercambiará por 4 llamas?

E) 5

09 Cinco libros de R.M. valen tanto como 14 libros

A) S/. 20 D) S/. 18

TAREA

E) 2

07 Si un pantalón cuesta lo mismo que 5 polos y 3 polos cuestan lo mismo que 6 corbatas, ¿cuántos pantalones darán por 90 corbatas?

08 Sabiendo que 6 camisas equivalen a 5 pantalones y 2 pantalones cuestan S/. 100, ¿cuánto costarán 4 camisas?

09 Se sabe que 2 carneros cuestan lo mismo que 3 toros, 4 vacas cuestan lo mismo que 5 toros, 3 cabras cuestan S/. 300 y que 8 vacas cuestan lo mismo que 4 cabras. ¿Cuánto costarán 7 carneros?

10 En una frutería, 2 docenas de mangos cuestan lo mismo que una docena de duraznos, 9 duraznos equivalen a 1/2 docena de naranjas. ¿A cuántas naranjas equivalen 10 mangos?

Capítulo

11

OPERADORES MATEMÁTICOS

Para representar la adición, utilizamos (+), para la multiplicación, (x), etc. Estos símbolos se llaman operadores matemáticos. Cada operación tiene un símbolo con el cual se la representa y una regla de cómo se debe realizar la operación. A la regla que señala cómo se debe efectuar la operación se denomina Regla de definición.

Ejemplo 2: Para todo entero m  n, se define la operación representada por , en la forma siguiente: m+n m n= m–n Según esto calcule: a) 8 ∆ 6

b) 15 ∆ 3

En la matemática, se utiliza muchas operaciones, desde las básicas hasta operaciones sumamente complejas y todas ellas tienen su regla de definición y su operador matemático.

Resolución:

Ejemplos:

a) 8  6 =

48 + 10 = 58 48 – 10 = 38

8–6

b) 15  3 =

48×10 = 480

En Matemática, se puede definir diferentes operaciones, asignándole un símbolo cualquiera para su representación

15 – 3

Definamos una operación simbolizada por

*

Operador matemático

c) 24  11 =

a b = 2a – b * Regla de definición

m–n

14

=7

2 =

24 + 11 24 – 11

18 12 =

=

3 2

35 13

Ejemplo 3: Se define la operación simbolizada por  en los términos siguientes:

• a  b =

Ejemplo 1:

=

15 + 3

48÷10 = 4,8 A pesar de que son los mismos números, pero por el tipo de operación dan diferentes resultados, porque sus reglas son diferentes.

m+n

m n= 8+6

c) 24 ∆ 11

• a  b =

ab a–b ab b–a

si a > b

si a < b

ab=0 Calcule E =

si a = b (12  10)  (12  15) 12  17

Según esta definición, calculemos las siguientes operaciones:

Resolución:

a) 4 5

b) 7 15

Calculando por partes. Se efectúa primero las operaciones que encontramos entre signos colectores.

Resolución: a) a b = 2a – b

b) a

12 > 10 ⇒ 12  10 =

*

*

*

*

b = 2a – b

(12)(10) 12 – 10

=

120 2

= 60 5

4

5 = 2(4) – 5

* * 5=8–5 4 5=3 * 4

7

15 = 2(7) – 15

* * 15 = 14 – 15 7 15 = –1 *

7

12 < 15 ⇒ 12  15 =

(12)(15) 15 – 12

=

(12)(15) 3

12  15 = 60

1

59

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 5:

Reemplazando: E=

(60) θ (60)

Se define la operación:

12  17

x + 3 = 4x – 1

Como 60 = 60 ⇒ 60  60 = 0 Reemplazando: E =

0 12  17

Calcule n en: 7 + n + 1 = 38 Resolución:

=0

Para que el operador «rectángulo» pueda funcionar, el número de su interior tiene que tener la forma x + 3.

Ejemplo 4: Se define la operación: Calcule M = (4d)d – (6d – 10)d

Cuando la expresión no tiene la forma esperada, se le da la forma sumando y restando apropiadamente:

Resolución:

7=7–3+3=4+3

Siempre efectuando primero las operaciones que están entre paréntesis:

n + 1 – 3 + 3 = (n – 2) + 3

ad = 3a – 2

4 = 3(4) – 2 = 12 – 2 = 10 d

n + 1 = (n – 2) + 3 = 4(n – 2) – 1 = 4n – 9

6 = 3(6) – 2 = 18 – 2 = 16 d

Reemplazando:

Reemplazando:

7 + n + 1 = 38

M = (10) – (16 – 10) d

d

M = 10 – 6 d

7 + 4 + 3 = 4(4) – 1 = 16 – 1 = 15

15 + 4n – 9 = 38

d

4n = 38 + 9 –15

M = [3(10) – 2] – 16 = [30 – 2] – 16 = 12

4n = 32 ⇒ n = 8 Rpta.: 12

Rpta.: 8

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR Ordena de menor a mayor:

01 Dada la operación:

A=8#5

a  b = ab + a + b Calcule 3  (4  5)

D = (4 # 2) % (1 % 5)

Resolución:

Resolución:

4  5 = 4·5 + 4 + 5 = 20 + 9 = 29

A = 8 # 5 = (8 + 5)(8 – 5) = 39

3  (4  5) = 3  29

13

29

C=6#4

3

B = 7 % 8 = 7·8 – 1 = 56 – 1 = 55 = 3·29 + 3 + 29

C = 6 # 4 = (6 + 4)(6 – 4) = 10·2 = 20

= 87 + 32 = 119 Rpta.: 119

02 Dadas las operaciones: a # b = (a + b )(a – b) c % d = cd – 1 60

B=7%8

1

D = (4 # 2) % (1 % 5) D = (4 + 2)(4 – 2) % (1·5 – 1) = 12 % 4 = 12·4 – 1 = 47 Rpta.: CADB

OPERADORES MATEMÁTICOS 03 Sea m d n = 3m – 2n

06 Dada la operación: m  n = 2m + n

Calcule x d y, donde:

Calcule: 1  [2  (3  4)]

x d 3 = 3 y y d 5 = 11

Resolución:

Resolución:

• x d 3 = 3 3x – 2(3) = 3

3y – 2(5) = 11

3x = 3 + 6

3y = 11 + 10

x=3

3  4 = 2(3) + 4 = 10

• y d 5 = 11

y=7

• x d y = 3 d 7 = 3(3) – 2(7)

2  (3  4) = 2  10 = 2(2) + 10 = 14 10 1  [2  3  4] = 2(1) + 14 = 16 14

Rpta.: 16

⇒ 9 – 14 = – 5 Rpta.: – 5

07 Sea x y = Resto de dividir x÷y 4537 10

04 Se define las operaciones:

+ 8538 5

Resolución:

m  n = 3m + 2n

• 4537 10 = 7, porque 4530 + 7

p d q = 4p – 3q

• 8538 5 = 3, porque 8535 + 3

Calcule 1  [2 d (3  4)]

∴ 4537 10 + 8538 5

= 7 + 3 = 10

Resolución:

Rpta.: 10

3  4 = 3(3) + 2(4) = 9 + 8 = 17

08 Se define las operaciones:

2 d (3 ∆ 4) = 2 d 17 = 4(2) – 3(17) 17

a * b = 2a + 3b m # n = 3m – 2n

= 8 – 51 = – 43

Calcule x en x * 3 = 7 # x Resolución:

1  [2 d (3 ∆ 4)] = 1  (– 43) – 43

= 3(1) + 2(– 43)

x * 3=7#x 2x + 3(3) = 3(7) – 2x

= 3 – 86 = – 83 Rpta.: – 83

2x + 2x = 21 – 9 4x = 12 ⇒ x = 3 Rpta.: 3

05 Sea x d y = suma de cifras de xy. Calcule (5 d 7) d (10 d 8)

09 Sea n = consecutivo siguiente de n.

Resolución:

Calcule:

5 d 7 = Suma de cifras de 35 = 8

1

10 d 8 = Suma de cifras de 80 = 8

.... 50 trapecios

(5 d 7) d (10 d 8) = 8 d 8 8

8

10 Se define la operación:

= suma de cifras de 64

a = a2 + a + 1

= 6 + 4 = 10 Rpta.: 10

Calcule x, si x + 1 – x = 18

1

61

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO ab, si a > b

11 Si: a

b

2 Se puede afirmar que:

ba, si a < b 3)

Efectuar: (2

12 Si:

(0

I. 3  5 = 5  3

1000)

II. 2(4  5) = 2(4)  2(5) III. 3  (1  4) = 4  (1  3)

a

= ac – b

b c

A) Solo I D) I y III

Calcule x en: 3

B) Solo II

C) I y II E) I, II y III

03 Si ad = 2a + 1, entonces: 2

+

x 2

7

2 –1

=

4

–2 –3 –5

13 En la tabla definida por ( ) * m n p m m n

p

n

n

p

p m n

A) (2d)d = 10 B) (3d)d = 16 C) (5d)d = 24 D) (4d)d = 20 E) (8d)d = 35

04 Se define las operaciones: a d b = ab – (a + b)

p m

m  n = m2 + n2 Marque lo correcto:

Calcule x (m * x) * p = (n * p)

x+2 =x+1 4

A) 2 d 5 < 0 B) 1 d 8 < 1  8 C) 2 d 7 > 7  2

14 Se define en N

Calcular

a+b

02 Sean: a  b =

9

D) 3 d 6 > 3  6 E) 1  3 < 1 d 3

05 Sea: a  b =

15 Si: n + 1 = 2n – 3 Calcular: a “b”.

+

a+b

ab= b ; en términos de “a” y

2

a–b 2

si a  b si a > b

Si x  7 = 6 y x  3 = 1, se puede afirmar que: I. x es par II. x es impar

REFORZANDO 01 Dada la operación: a # b = 2a + 3b

III. x > 3 A) Solo I D) I y III

B) Solo II

C) Solo III E) II y III

se puede afirmar que:

06 Sea: A = suma de cifras de A.

A) 3 # 2 = 13 B) 3 # 4 = 4 # 3

Se puede afirmar que:

C) 4 # 5 < 5 # 4

I.

D) 7 # 2 = 20 E) 0 # 2 = 2 # 0 62

1

II.

A + B = A + B cualquiera sea el valor de A y B naturales. A ≤ A para todo valor de A  

OPERADORES MATEMÁTICOS III. Si A > A entonces A tiene más de 1 cifra. A) Solo I D) II y III

B) Solo II

C) I y II E) I, II y III

03 Sea m n = 2m + 3n Calcule a b , donde

a 3 = 13 y b 5 = 23

07 Si m # n = m2 + 2n 04 Sea [a] = 2a + 1

calcule x en: 5 3 # x = 79 A) 9

B) 3

C) 1

D) 2

E) 7

08 Se cumple que:

a  b = 3a – b m  n = 3n – m

a(b – 1); si a  b

Calcule: ((4  2)  5)  2

Hallar “k” en: k = (5  2)  (1  3) A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

+1

2

05 Se define las operaciones:

a(b – 1); si a > b

ab=

1

Calcule: 1 +

E) 5

06 Sea a = suma de cifras de a Calcule:

09 Si x + 2 = x + 1, 942 +

2798 + 1248

además, x – 5 = x – 4, calcule M.

07 Se define () en la tabla ∆ 1 2 3

M = 99 + 1 A) 1

B) 101

C) 98

D) 99

1 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 3

E) 0

10 Si 2n – 2 = 4n + 1

Calcule x en: (x  3)  (1  2) = (3  3) calcule A) 20

7

+ 3

B) 49

C) 51

D) 52

E) 54

2m + 3n

08 Si m # n =

2

Calcule x en 5 # x = x # 4

TAREA 09 Si: 01 Dada la operación:

n–3

=n+1

x % y = 2x + y Calcule:

Calcule

0

–1

3 % 5 + (2 % 1) (4 % 3)

02 Dadas las operaciones: a  b = ab + a + b c  d = c (c + d) Calcule: (3  5)  (4  2)

10 Si: k – 1 = 2k, Además,

2k + 4 = k + 2,

Halle M en: M=

– 10 +

7

1

63

Capítulo

12

PLANTEO DE ECUACIONES

Consiste en traducir las expresiones verbales al lenguaje matemático (ecuación). Es decir, es la mera interpretación de un enunciado o texto al lenguaje de las variables y operaciones.

B) El doble de un número disminuido en 8. _______________________________________ C) La suma de un número con 7. _______________________________________

El triple de la suma de un número con 2, equivale al exceso del número sobre 20. Halle dicho número.

Leguaje verbal

D) El triple de la suma de un número con 7. _______________________________________ E) El triple de un número aumentado en 7. _______________________________________

Traducción

F) Dos veces un número. Sea "x" dicho número 3(x + 2) = x – 20 3x + 6 = x – 20 3x – x = – 20 – 6 2x = – 26 x = –13 Rpta.: El número es –13

_______________________________________ G) Dos veces más un número. Leguaje Matemático

_______________________________________ H) Dos más que un número. _______________________________________ I) Tres números consecutivos. _______________________________________

Tener en cuenta: 1) Leer bien los enunciados hasta entenderlos. 2) Identificar la o las variables. 3) Plantear la ecuación. 4) Resolver y responde. Observaciones: • •

•

Es importante no fallar en uno de estos pasos, sino afectaría el proceso de planteo.

J) La suma de tres números pares consecutivos. _______________________________________ K) El exceso de un número sobre 8. _______________________________________ L) El exceso del triple de un número sobre 8. _______________________________________

No siempre se usa una variable en el planteo. Esto depende de que el lector sepa resolver sistemas de ecuaciones lineales.

M) El triple del exceso de un número sobre 8.

Se aconseja verificar siempre si el valor de la variable cumple con las condiciones del problema.

N) Un número es excedido por 20 en 7.

_______________________________________

_______________________________________

Ejemplos:

Veamos algunos ejemplos:

Para ejercitar la traducción, simbolicemos algunos enunciados cortos

Ejemplo 1

A) El doble de un número. _______________________________________ 64

1

El doble de un número, aumentado en 15 es igual al mismo número disminuido en 10. Hallar el número.

PL ANTEO DE ECUACIONES uno por x y el otro por y, los dos lo representamos en términos de x.

Resolución: El número

x

El doble de un número,

2x

aumentado en 15

2x + 15

es igual

2x + 15 =

al mismo número

2x + 15 = x

disminuido en 10:

2x + 15= x – 10

Análogamente, si dos números suman 20 y uno de ellos es x, entonces el otro es 20 – x. Así, tenemos representados los dos números en términos de una sola letra.

Trasponiendo términos

2x – x= –15 –10

Ejemplo 4

x = –25

Las edades de Lorenzo y Claudia suman 24. Si la mitad de la edad de Lorenzo y el doble de la edad de Claudia suman 33, ¿cuál es la edad de cada uno?

Si dos números suman 20 y uno de ellos es 8, el otro es 20 – 8 = 12.

Rpta.: El número buscado es –25. Ejemplo 2

Resolución:

La mitad de mi edad, aumentado en su triple, es igual a 42. ¿Cuál es mi edad?

Edad de Lorenzo:

2x

Edad de Claudia:

24 – 2x

Resolución:

La mitad de la edad de Lorenzo: x x x

Mi edad La mitad de mi edad Aumentado en su triple Es igual a 42

2 x 2 x 2

doble de la edad de Claudia

2(24 – 2x)

suman 33:

x + 2(24 – 2x) = 33 x + 48 – 4x = 33

+ 3x = 42 + 3x = 42

x + 6x 2

15 = 3x x=5 Edad de Lorenzo: 2(5) = 10 Edad de Claudia: 24 – 10 = 14

= 42

Rpta: Lorenzo (10) y Claudia (14)

7x = 84 x = 12 Rpta.: Mi edad es 12 años Ejemplo 3 Dos números que suman 60 son tales que uno es el triple del otro. Halle los números.

Evitar las fracciones Las ecuaciones que contienen fracciones presentan mayor dificultad para resolverlas. Por consiguiente, se trata de evitar los términos fraccionarios en el momento del planteamiento. Ejemplo 5 Gasté los 3/5 de mi dinero en la compra de un regalo y 1/3 del resto en un almuerzo y solo me quedé con 32 soles. ¿Cuánto tenía al principio?

Resolución: Uno de los números:

x

El otro número es:

3x

Dos números que suman 60:

x + 3x = 60 4x = 60 x = 15

Resolución: Se observa que a la cantidad que tenía se debe sacar la quinta y tercera partes, entonces: Tenía

3x = 45 Rpta: Los números son 15 y 45. Si se busca dos números, debemos procurar en representarlos por una sola letra. Por ejemplo, en «hallé dos números que suman 20», se busca dos números, pero en lugar de representar

Regalo

15x 3 (15x) = 9x ⇒ queda 6x 5 1

(6x) = 2x ⇒ queda 4x 3 4x = 32 ⇒ x = 8 ⇒ 15x = 15(8) = 120 Rpta: Tenía S/. 120 Almuerzo

1

65

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Cuál es el número cuyo doble aumentado en 13 es igual a 47? Resolución: Número cuyo doble aumentado en 13 es igual a 47

x 2x 2x + 13 2x + 13 = 47 2x = 47 – 13 2x = 34 x = 17 Rpta.: 17

02 ¿En cuánto debe aumentar el número 48 para ser igual a su doble disminuido en 15?

Resolución: x x + 48 x + 48 + 18 x + 48 + 18 = 3x 66 = 3x – x 66 = 2x

Hay cierto # de niños Cuando llegan 48 faltan 18 para que haya el triple

33 = x Rpta.: 33 niños

05 Javier: "¿Cuántos años tienes Mariela?" Mariela: "El doble de mi edad aumentado en 18, hacen el triple de mi edad disminuido en 6". ¿Cuántos años tiene Mariela? Resolución:

Resolución: En cuánto debe aumentar 48 para ser igual a su doble disminuido en 15.

x 48 + x 48 + x = 48 + x = 2(48) 48 + x = 2(48) – 15 x = 96 – 15 – 48

Edad de Mariela El doble de mi edad aumentado en 18 hacen el triple de mi edad disminuido en 6

24 = x

x = 33

Rpta.: 24 años

Rpta.: 33

03 ¿Cuál es el número cuyo triple es igual a su doble aumentado en 23? Resolución: Cuál es el número cuyo triple es igual a su doble aumentado en 23

x 3x 3x = 3x = 2x 3x = 2x + 23 3x – 2x = 23 x = 23 Rpta.: 23

04 En una escuela, hay cierto número de

niños. Cuando llegan de visita 48 niños de otra escuela, se observa que solo faltan 18 niños para que haya el triple de lo que había al principio. ¿Cuántos niños habían en la escuela?

66

1

x 2x x + 18 2x + 18 = 3x 2x + 18 = 3x – 6 18 + 6 = 3x – 2x

06 En una granja de aves hay el doble de patos que de pavos y el triple de gallinas que de patos. Si entre pavos, patos y gallinas hay 3348 aves, ¿cuál es la diferencia entre el número de gallinas y el número de patos? Resolución: Pavos Patos Gallinas Hay 3348 aves:

x 2x 3(2x)

x + 2x + 3(2x) = 3348 9x = 3348 x = 372 Diferencia entre gallinas y patos 6x – 2x = 4x 4x = 4(372) 4x = 1488 Rpta.: 1488

PL ANTEO DE ECUACIONES 07 A una varilla de 90 cm de longitud se la divide con tres cortes, de manera que la longitud de cada parte es el doble de la anterior. ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor de las partes? Resolución: x 2x

4x

8x

12 Un número excede a otro en 8 unidades. Si suman 36, ¿cuál es el menor?

13 El exceso del triple de un número sobre 20 equivale al exceso de 30 sobre el doble del mismo número. Halle el número.

14 Carlos tiene 10 soles más que Raquel, pero Raquel tiene 20 soles más que Norma y, esta última, 12 soles menos que Armando. Si entre los 4 tienen 86 soles, ¿cuánto tiene cada uno?

x + 2x + 4x + 8x = 90 15x = 90 x=6 Mayor – menor = 8x – x = 7x 7x = 7(6) 7x = 42

15 En un hotel de 2 pisos, hay 48 habitaciones. Si la cantidad de habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en el primer piso? Rpta.: 42 cm

08 David tiene S/. 80, los cuales quiere distribuir entre sus dos hijos, de tal manera que el doble de lo que reciba el mayor sea igual al triple de lo que reciba el menor. ¿Cuál es la diferencia entre las dos partes?

REFORZANDO 01 La suma de tres números consecutivos es 180. Entonces: A) El mayor de los números es 60. B) El menor de los números es 60.

Resolución:

C) La suma de cifras del mayor es 8.

x 80 – x 2x = 3(80 – x) 2x = 3·80 – 3x 2x + 3x = 240 5x = 240 x = 48 (mayor) Menor: 80 – 48 = 32 Diferencia: 48 – 32 = 16

D) La suma de cifras del menor es 14.

Mayor Menor Dato:

E) Dos de los números son pares.

02 Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuál es el número menor? A) 23

B) 25

C) 27

D) 29

E) 21

03 Yo tengo el doble de dinero que tú tienes. Pero si te diera S/. 30, ambos tendríamos igual suma. ¿Cuánto tengo? Rpta.: S/. 16

09 La suma de 5 números consecutivos es igual al doble de la suma de los dos siguientes consecutivos. Entonces, el mayor de los 5 consecutivos es.

A) S/.100 D) S/.60

B) S/.120

C) S/.130 E) S/.80

04 La suma de las edades de A y B es 84 años y B es 8 años menor que A. Hallar la edad de A. A) 46

B) 38

C) 36

D) 48

E) 45

10 Omar le dice a Sandro: «Yo tengo S/. 15 más de lo que tienes. Si tú me dieras S/. 8, yo tendría el doble de lo que tú tendrías entonces». ¿Cuánto tienen entre los dos?

11 La suma de dos números consecutivos es 37. ¿En cuánto hay que aumentar al mayor para que sea el doble del menor?

05 Durante una fiesta, se observa que varias parejas están bailando, pero 34 mujeres y 42 hombres no están bailando. Si hay 126 personas en la fiesta, ¿cuántas parejas están bailando? A) 20

B) 50

C) 40

D) 25

E) 28

1

67

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06 Los niños de una escuela están distribuidos en dos salones. En uno de los salones, hay 12 niños más que en el otro. Para que haya igual número de niños en los dos salones:

TAREA 01 La suma del doble y el triple de un número es 80. ¿Cuánto es el cuádruple de dicho número?

A) Deben pasar 24 niños de un salón a otro. B) Deben pasar 12 niños de un salón a otro. C) Deben pasar 6 niños de un salón a otro. D) Deben pasar 8 niños de un salón a otro. E) Deben pasar 10 niños de un salón a otro.

07 Entre Isaac, Dora y Jasmín tienen 120 soles. Isaac tiene el triple de lo que tiene Dora; Jasmín, tanto como tiene Isaac y Dora juntos. ¿Cuánto tiene que darle Jasmín a Dora para que tenga tanto como tiene Isaac? A) S/. 30 D) S/. 28

B) S/. 32

C) S/. 35 E) S/. 36

08 Daniel reparte su dinero del modo siguiente: a Stacy le da la mitad, a Ariana la séptima parte y a Miriam los S/. 2000 restantes. ¿Cuánto era el dinero de Daniel? A) S/. 5600 D) S/. 2800

B) S/. 6000

C)S/. 4200 E) S/. 5800

09 Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en uno de los cestos? A) 195 D) 202

B) 200

C) 175 E) 210

10 Deseo repartir 12000 soles entre 4 personas, de tal manera que a la segunda le corresponda la mitad de lo que le corresponde a la primera, a la tercera persona le corresponde la mitad de lo que reciban la primera y la segunda juntas y, a la cuarta persona, le corresponda la tercera parte de lo que reciba la tercera persona. ¿Cuánto recibe la cuarta persona? A) 1200 D) 1800

68

B) 2400

1

C) 600 E) 2000

02 El triple de un número disminuido en 16 es igual al doble del número aumentado en 23. El cuádruplo del número disminuido en 26 es:

03 Dos números que suman 36 son tales que uno es el doble del otro. Determina la mitad del número menor.

04 En una escuela, 60 niños están distribuidos en dos aulas. En una de las aulas, hay tanto como hay en el otro y 12 niños más. ¿Cuántos niños hay en cada aula?

05 Si me dan 15 soles, solo me faltaría 17 soles para tener el triple de lo que tengo. ¿Cuánto tengo?

06 Isabel: ¿Cuántos años tienes Martín? Martín: Si a la mitad de la edad que tengo le sumas 8 años, tendrás mi edad disminuida en 3. ¿Cuántos años tiene Martín?

07 En una granja hay 636 aves. Si hubiera 12 pavos más, habrían tantos patos como pavos. Si el número de gallinas es el triple del número de pavos y patos juntos, ¿cuál es la diferencia entre el número de gallinas y el número de pavos?

08 Entre Juan, Elsa y Tito tienen 60 soles. Tito tiene el doble de lo que tiene Juan. Elsa, tanto como tienen Juan y Tito juntos. ¿Cuánto tienen entre Elsa y Tito?

09 La suma de dos números consecutivos es 41. ¿En cuánto hay que disminuir al mayor para que sea igual a la mitad del menor?

10 El exceso de un número sobre 80 equivale al exceso de 220 sobre el duplo del número. ¿Cuál es el número?

Capítulo

13

PROBLEMAS SOBRE EDADES

Una peculiaridad de las edades es que la diferencia de las edades de dos personas siempre es la misma en todo el tiempo. Si Carlos es mayor que Isaac en 5 años, toda la vida es mayor en 5 años.

Ejemplo 2: Hace 7 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 11 años. ¿Qué edad tengo? Resolución: Edad actual

Presente Carlos

9

12 20

51

80

Isaac

4

7

15

46

75

Diferencia

5

5

5

5

5

Las edades que intervienen en un problema pueden corresponder al pasado, al presente o al futuro. Es importante identificar a qué momento corresponde cada edad para evitar las confusiones.

Dentro de 11 años

Hace 7 años x–7

x

x + 11

Por la condición: x–7=

x + 11

2 2(x – 7) = x + 11

Abordaremos dos tipos de problemas: Cuando interviene la edad de una persona y cuando intervienen las edades de más de una persona.

2x – 14 = x + 11 x = 25 Rpta.:25 años

I. Con la edad de una persona Ejemplo 1:

II. Con las edades de dos o más personas

La edad de Pepe hace 6 años y la que tendrá dentro de 9 años suman 25 años. ¿Qué edad tiene Pepe?

Ejemplo 3:

Resolución: Edad actual

Resolución: Dentro de 9 años

Hace 6 años

Ernesto tiene 13 años y Margot, 3 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Ernesto será el doble de la de Margot?

x–6

x

x+9

Pasado

Presente

Futuro

Presente

Futuro

Ernesto

13

2x

Margot

3

x

Diferencia

10

10

2x – x = 10 (x – 6) + (x + 9) = 25 2x = 25 – 9 + 6 x = 11 Rpta.: 11 años

x = 10 Margot tiene 3 años, tendrá 10 años dentro de 7 años. Rpta.: Dentro de 7 años

1

69

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Hace 12 años tenía 10 años. ¿Qué edad tendré dentro de 12 años?

Resolución: Hace 12 años 10

x años

22 + 12 = 34 Rpta.: 34 años

02 Dentro de 8 años tendré 24 años. ¿Qué edad tenía hace 12 años?

Actual 11 13

José Pilar

11 + x 13 + x

(11 + x) + (13 + x) = 36 24 + 2x = 36 2x = 36 – 24 x=6

Resolución: Hace 12 años 16 – 12 = 4

Dentro de 8 años Actual 24 – 8 16

24 Rpta.: 4 años

03 Mariana tiene 12 años. ¿Dentro de cuántos

años tendrá el doble de lo que tenía hace 3 años? Resolución:

Rpta.: 6 años

06 Vilma tiene 12 años y Aldo, 13 años. ¿Qué edad tendrá Vilma cuando Aldo tenga el doble de lo que tiene Vilma? Resolución:

Actual

Futuro

Vilma

12

x

Aldo

13

2(12) = 24

Diferencia de edades = 1:

Hace 3 años

24 – x = 1

x Actual 12

12 – 3 = 9

x = 23 2(9) = 18

x = 18 – 12 = 6 años

Rpta.: 23 años

07 Las edades actuales de Camilo y Norma Rpta.: 6 años

04 Héctor tiene 12 años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el triple de la edad que tenía hace 5 años? Resolución:

suman 32 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades sumarán 48 años?

Resolución: Por cada año que pasa, la suma de las edades aumenta en 2. De 32 a 48, aumenta en 12.

Hace 5 años

x Actual 12

12 – 5 = 7

3(7) = 21

Rpta.: 9 años

1

Entonces, pasaron 12÷2 = 6 años Rpta.: 6 años.

x = 21 – 12 = 9

70

mente. ¿Dentro de cuántos años sus edades sumarán 36 años?

Resolución:

Dentro de 12 años Actual 10 + 12 22

05 José y Pilar tienen 11 y 13 años, respectiva-

08 Las edades de dos hermanos son números

consecutivos. Dentro de 6 años sumarán 31 años. ¿Qué edad tiene el menor de los hermanos?

PROBLEMA S SOBRE EDADES Resolución:

02 Dentro de 10 años tendré 18 años. ¿Qué edad

Actual

Dentro de 6 años

x

x+6

x+1

x+7

(x + 6) + (x + 7) = 31 2x + 13 = 31 2x = 31 – 13 ⇒ x = 9 Rpta.: 9 años

09 Hace 4 años, la edad de un padre era el tri-

ple de la edad de su hijo. Dentro de 7 años sumarán 66 años. ¿Cuál es la edad actual del hijo?

tenía hace 6 años? A) 1 año. C) 3 años. D) 4 años.

B) 2 años. E) 5 años.

03 Miriam tiene 15 años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de lo que tenía hace 4 años? A) Dentro de 9 años. B) Dentro de 5 años. C) Dentro de 12 años. D) Dentro de 11 años. E) Dentro de 7 años.

04 Antonio y Pámela tienen 13 y 14 años,

10 Hace 7 años, Armando tenía la mitad de la

respectivamente. ¿Hace cuántos años sus edades sumaban 17 años?

11 La edad de Juan es el doble de la de Pepe y

A) Hace 10 años. B) Hace 8 años. C) Hace 5 años. D) Hace 6 años. E) Hace 17 años.

edad que tendrá dentro de 8 años. ¿Qué edad tiene Armando?

la edad de Pepe es el triple de la de Antonio. Si dentro de 5 años sus edades sumarán 45 años, ¿cuál es la edad de Antonio?

12 Alejandra tiene 27 años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. ¿Cuántos años tiene la madre?

13 Un padre tiene 20 años más que su hijo.

Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

14 Una madre tiene 40 años y su hija 10 años.

¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el triple que la de su hija?

15 Las edades de 3 hermanos son como 1, 2

y 3. Hace 8 años sus edades sumaban 12 años. ¿Qué edad tendrá el mayor dentro de 8 años?

REFORZANDO 01 Hace 9 años tenía 8 años. Tendré 35 años: A) Dentro de 19 años. B) Dentro de 15 años. C) Dentro de 20 años. D) Dentro de 18 años. E) Dentro de 15 años.

05 Las edades de un padre y un hijo suman 83 años. La edad del padre excede en 3 años al triple de la edad del hijo. Hallar la edad del hijo. A) 25 años. C) 45 años. D) 55 años.

B) 35 años. E) 20 años.

06 Dentro de 9 años, Cecilia tendrá el triple de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad tendrá Cecilia dentro de 10 años? A) 12 años. C) 20 años. D) 21 años.

B) 10 años. E) 22 años.

07 La tercera parte de mi edad aumentada en su doble es igual a 70. ¿Cuál será mi edad cuando tenga el doble de la que tenía hace 12 años? A) 30 años. C) 25 años. D) 35 años.

B) 20 años. E) 36 años.

08 Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más a partir de hoy, tendrá sólo el doble. Hallar la edad actual del hijo. A) 12 años. C) 14 años. D) 15 años.

B) 13 años. E) 17 años.

1

71

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 09 Preguntado un hombre por su edad, responde:

04 Hace 5 años las edades de Germán y Emilia

si al doble de mi edad le quito 17 años, tendría lo que me falta para tener 100 años. ¿Qué edad tiene el hombre?

sumaban 25 años. ¿Dentro de cuántos años sumarán 41 años?

A) 19 años. C) 39 años. D) 49 años.

B) 29 años. E) 59 años.

10 Las edades de Emilio y Edú suman 22 años. Dentro de 5 años la edad de Emilio será el triple de la edad que tenía Edú hace 7 años. ¿Qué edad tiene Emilio? A) 12 años. C) 10 años. D) 9 años.

B) 11 años. E) 13 años.

Ciro. Dentro de 8 años sus edades sumarán 52 años. ¿Cuántos años tiene Ciro?

06 Aníbal tiene 15 años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el triple de la edad que tenía hace 8 años?

07 Jaime es mayor que su hermano Pepe en 6 años. ¿Dentro de 5 años el doble de la edad de Pepe y el triple de la edad de jaime sumarán 103 años. ¿Cuántos años tiene Jaime?

08 En 8 años tendré el doble de la edad que tenía

TAREA

hace 4 años. ¿Cuántos años tengo?

01 Dentro de 8 años tendré 19 años. ¿Qué edad tenía hace 6 años?

02 Sara tenía 12 años hace 3 años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de lo que tenía hace 6 años?

03 Eduardo tiene el doble de la edad que tenía hace 8 años. ¿Cuál es la edad actual de Eduardo?

72

05 La edad de Rosario es el doble de la edad de

1

09 Hace 8 años Ana tenía el doble de la edad de Carla. Dentro de 8 años sus edades sumarán 50 años. ¿Cuántos años tiene Carla?

10 La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene el hijo?

Capítulo

14

FRACCIONES I

Los problemas de fracciones vamos a desarrollar en tres capítulos. Empezaremos recordando la interpretación práctica de una fracción.

En general, una fracción puede interpretarse como cualquier parte de una cantidad dividida entre el total.

Interpretación de una Fracción

Fracción =

Si bien una fracción es un número racional de la a forma , con a y b enteros, b ≠ 0 y a b diferente de un múltiplo de b, para resolver los problemas nos interesa más su interpretación práctica.

Ejemplo 1:

Consideremos la unidad dividida en 5 partes, tal como muestra la figura:

Resolución:

Todo

Tenía 350 soles y gasté 100 soles en la compra de un libro. ¿Qué parte de mi dinero he gastado?

Fracción =

1

Parte

Parte Todo

=

100 350

=

2 7

Rpta.: gasté los 2/7 de mi dinero.

Clasificación de fracciones

1

Las fracciones se clasifican de acuerdo a diferentes criterios.

5 Cada parte es un quinto (1/5 ó

1

). Si de las 5 5 partes, consideramos 3 de ellas; entonces, son las tres quintas partes(3/5 ó

3 5

1. Por la comparación de los términos: Fracción propia

).

1

Numerador < Denominador

Fracción impropia 3 5 3 5

Numerador > Denominador

Ejemplos: 3 8 12 ; ; 5 9 15

Ejemplos: 9 9 19 ; ; 6 8 10

es una fracción, donde: 2. Por los divisores comunes de los términos: Número de partes consideradas

Numerador

Fracción reductible

3 5 Denominador

Número de partes en que se ha dividido la unidad

Ejemplos:

Numerador y denominador tie- 10 9 15 ; ; nen divisores comunes aparte 16 6 10 de la unidad.

1

73

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Fracción irreductible

Ejemplos:

También: 7

Numerador y denominador son 9 ; 8 ; 15 primos entre si (PESI). 16 9 16

10

÷

14 25

7 10

=

=

14 25

7 × 25

=

10 × 14

5 4

Casos particulares:

3. Por los denominadores de varias fracciones:

•

9

÷5=

7

9 7

×

1 5

=

9 35

• 5 ÷

11 8

=5×

8 11

9 Fracciones homogéneas

Ejemplos: • 3 8 10 ; ; 7 7 7

Tienen denominadores iguales.

7 5

=

9 7×5

=

9

•

35

12 11

=

12 × 9 11

=

108 11

9

Fracción de una cantidad Fracciones heterogéneas

Ejemplos: 3 8 10 ; ; 9 5 17

Tienen denominadores diferentes.

La fracción de una cantidad es el número de partes consideradas de una cantidad total dividida en partes iguales. Por ejemplo, ¿cuánto es los 4/9 de 720? Significa que, de 720 dividido en 9 partes iguales, vamos a considerar 4 partes: 720÷9 = 80 4(80) = 320

Operaciones con fracciones 1. Adición y sustracción de fracciones. Si son homogéneas: 4 12

+

7 12

5

–

12

=

4+7–5

6

=

12

12

=

3

5

7

–

12 15

=

4

2

9

de 720 =

4 9

80

× 720 = 320

Ejemplo 2:

(60÷3)2 (60÷12)5 (60÷15)7

+

En forma práctica, este cálculo se puede realizar de la siguiente forma:

1

Si son heterogéneas:

2

Los 4/9 de 720 es 320.

40 + 25 – 28 60

=

37 60

MCM (3; 12; 15)

Cuando el jardinero había soltado 120 metros cúbicos de agua a la piscina, se percató que había llenado los 3/8 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad de la piscina? Resolución: 120 m3

2. Multiplicación de fracciones 4 12

×

8 5

×

15 16

=

4 × 8 × 15 12 × 5 × 16

=

1 2

3

3. División de fracciones 7 10

74

÷

14 25

=

7

×

25

10 14

1

=

7 × 25 10 × 14

=

5 4

8 Se observa que cada parte es 120÷3 = 40 El total, o sea, las 8 partes hacen 8(40) = 320 Rpta.: 320 m3.

FRACCIONES I Otro modo de resolver el mismo problema es asumiendo que x es la capacidad de la piscina; entonces:

Resolución:

3

7

8 3 8

de x = 120

8

x = 120 ⇒ x = 8(40) = 320

8

×

5 9

× 1296 = 630

de los

4 7

de 70 =

3 5

de 40 =

3 5

Los problemas de fracciones, al final, se reducen a uno de los tres siguientes problemas: 1.

de los

4 7

de 70 =

3 5

×

4 7

¿Qué parte de 20 es 4? Parte Todo

=

4 20

=

1 5

8

× 40 = 24

2.

En forma práctica: 5

9

7

de 1296 =

Problemas básicos de fracciones

40

3

5

Rpta.: S/. 630

Una fracción puede estar referida a otra fracción. Por ejemplo, en los 3/5 de los 4/7 de 70, los 4/7 están referidos a 70; pero los 3/5 están referidos al resultado anterior y no a 70. Veamos:

5

de los

40

Fracción de fracción

3

En la educación de los hijos, se gasta:

× 70 = 24

Ejemplo 3: Los 7/8 del sueldo de mi papá se destinan a gastos de la familia, de los cuales los 5/9 se destinan a la educación de los hijos. Si mi papá gana 1296 soles mensuales, ¿cuánto se gasta en la educación de los hijos?

3.

⇒ 4 es

1 5

de 20

3

de 150? 5 Este tipo de problemas corresponde a la fracción de una cantidad que ya lo hemos abordado. 3 3 × 150 3 de 150 = × 150 = = 90 5 5 5 3 ¿Los de qué número es 24? 7 24 × 7 3 x = 24 ⇒ x = ⇒ x = 56 7 3 3 24 es los de 56. 7 ¿Cuánto es los

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Qué parte del total está sombreada?

02 Calcular los

x y

de

w z

de

z x

de

20 w

de

y 2

Resolución:

Resolución: La figura tiene que estar dividida en partes iguales; entonces, tracemos segmentos:

Recordemos que: ``de, de los´´ equivale a multiplicar. x w z 20 y · · · · y z x w 2 Simplificando: x w z 20 y · · · · y z x w 2

Rpta.:

5 9

Queda:

20 2

= 10 Rpta.: 10

1

75

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3

03 ¿Qué parte de

le falta a

4

2 5

para que

7

4

sea equivalente a

=

3x 7

x3

1

? 7 Indicar el numerador de la fracción.

3x = 27x3

Resolución:

27

a 3 b 4 a 3

3

b

4

4

1 9

4 Piden: x +

7

5 =

b

35

a

⇒

105

=

b

1

respecto 2

2

1 3

Le falta:

1

–2

2 11 2

1

N

3 7

–

Nota:

=

3

33 – 14 6

=

a b

=

27 7

=1

de

3 8

5 3

b

Le falta:

19

5 3 5

6

del doble de x es igual

19

–

1–

1 1 2

3

.

Resolución: 1

1

1

5 2

?

3

3

– 1–

–

1 3

=

2 3 4 3 Rpta.:

07 Si M = 2 +

N=1+

4 3

1 1 2

1 1+

1 6+

4 3 1 27 · · 2x = · x3 7 8 14

3

con

2

1+ 2

2

1

6

de x3.

Calcule x +

Rpta.: 1

bN + a

Rpta.:

a

3

3

1 2 5 1– 1 Le falta: · – 1+ 3 2 2

?

Resolución:

7

3

1

Resolución:

35

04 ¿Cuánto le sobra a 5

05 Los

3

=

8

Rpta.: 8

4

3

2

9

35

Piden el numerador: a = 8

Sobra:

+

⇒x=

1+

35

Sobra: 5

3

1

⇒

1

para ser igual al producto de:

24

=

2

6

8

a

= x2 ⇒ x =

06 ¿Cuánto le falta a 1 –

20 – 14

=

= x2

2

–

7

3

b

=

5

=

b 4 a

2

+

x2

a

Sea la parte:

76

3x

Queda:

1 2

Hallar la diferencia positiva del numerador y denominador luego de simplificar (M + N).

FRACCIONES I Resolución:

09 José sale de su casa con 50 soles y gasta 4/5 en el cine y 1/10 en chocolates. ¿Qué fracción del total ha gastado?

Reduciendo M: 1

M=2+

1+ M=2+

2 3

1

3

2

2

=

2

de denominador 12 existen?

M= 1+

1

1+

2

1 3

1+

1 4

3 10

de M.

... 1 +

1 99

12 ¿Qué parte del total está sombreado? 1

13

2

2

1

=1+

1

13

1

13

15

15

B

C

A

D

1 1+

2

13

(ABCD: rectángulo)

2 13

13 Ya completé los 2/5 de un álbum. Para llenar N=1+

13 15

=

28 15

13

un cuarto de lo que me falta necesito 36 figuritas. ¿Cuántas figuritas en total tiene el álbum?

14 Gonzalo vive en Lima y decide visitar a su

Sumando: 5 · 8 28 68 Homogenizando: + = 5 · 3 15 15 Piden: Dif. positiva (de sus términos) Mayor – Menor 68

–

15 = 53 Rpta.: 53

08 Si me deben los los

10 ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles 11 Hallar la quinta parte de los

2 N=1+

3

3

6+

1+

2

3

8

Reduciendo N: 1 N=1+ 1 1+

N=1+

1

⇒2+

3 5

de S/. 400 y me pagan

hermano que vive en la ciudad de Tacna. El primer día recorre 2/7 del camino y el segundo día 2/5 de lo que le falta. Si le quedan aún 900 km por recorrer, ¿cuántos km tiene el camino?

15 María gastó en el supermercado las tres cuartas partes del dinero que llevó. Después fue a la zapatería y quiso comprar tres pares de zapatillas a S/. 9,90 cada una, pero le faltaban S/. 6,50. ¿Cuánto dinero tenía al entrar al supermercado?

2

de S/. 150, ¿cuánto me deben aún? 3 Resolución:

3 180 Deben: (400) = S/. 240 5 1

Pagan:

2 3

50

(150) = S/. 100

1

Me deben todavía: Deben – Pagan 240 – 100 Me deben aún: S/. 140 Rpta.: S/. 140

REFORZANDO 01 Doce rotuladores cuestan 60 soles. Compramos los 2/3. ¿Cuánto pagamos? A) S/. 40 D) S/. 12

B) S/. 10

C) S/. 35 E) S/. 20

02 A una persona que le preguntan cuánto pesa, responde: ``La mitad de la cuarta parte de mi peso es igual a 10 kg´´. ¿Cuánto pesa esa persona? A) 80 kg D) 90 kg

B) 70 kg

C) 60 kg E) 65 kg

1

77

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 03 Las naranjas constan de piel, pulpa y zumo. 2/7 es piel y pulpa. Con 14 kg de naranjas, ¿qué peso de zumo obtengo? A) 10 kg D) 15 kg

B) 11 kg

C) 12 kg D) 18 kg

respecto a la del otro? A) 6 cm D) 5 cm

B) 21 cm

TAREA

04 En una reunión de 20 amigos, once son morenos, cinco rubios y el resto calvos. ¿Qué fracción son los calvos? A) 2/5 D) 1/4

B) 1/5

C) 4/5 E) 3/4

A) 80 litros. C) 50 litros. D) 90 litros.

B) 70 litros. E) 45 litros.

1+ • Y =

cada 5 bolas rojas, hay 4 negras. De la caja, se extrae 2/3 de los rojos y 3/5 de las negras. De las que quedan en la caja, ¿qué fracción son rojas? A) 25/7 D) 25/49

B) 7/25

C) 25/14 E) 49/25

07 ¿Cuántos valores puede tomar x sabiendo que: x/9 es una fracción impropia e irreductible menor que 4/3? A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E) 3

1 1 5

+

1 1 3

+

1



• U = 2

1 3

+3

1 2

3

1 1 4

Calcular C + U + Y.

02 Álvaro tiene tantas canicas como 20 más los 3 4

06 En una caja, hay bolas rojas y bolas negras. Por

1

01 Si: • C = 1 +

05 Se ha consumido los 7/8 de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros, el bidón queda lleno en sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón

C) 15 cm E) 12 cm

de sus canicas. ¿Cuántas canicas tiene Álvaro?

03 Con los 2/3 de mi propina me compré un helado y, con el resto, un pastel. Si el pastel me costó 2 soles, ¿cuánto me costó el helado?

04 Los dos quintos de los ahorros de Beatriz son 50 soles. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado?

05 Los 2/3 de la capacidad de un depósito son 60 litros. ¿Cuál será la capacidad de los 5/6 del mismo depósito?

06 El primero A está formado por 24 alumnos:

08 ¿Cuántos valores puede tomar ``n´´, sabiendo

4 son rubios, 1/3 son morenos y el resto son castaños. ¿Cuántos son castaños?

que: 24/n es una fracción propia e irreductible mayor que 8/9?

07 Calcular los 4/7 de los 2/3 de los 13/4 de la

A) 1

B) 2

C) 3

09 ¿Qué fracción de 5

de 5

2

de

1

17 24

D) 4

E) 10

hay que agregarle a los

para que sea igual a la tercera

3 34 2 parte de la mitad de las cinco sextas partes de 12? Dar como respuesta la suma de cifras del denominador. A) 17

B) 13

C) 11

10 Si Pepe mide 1

4 5

D) 7

m, Álvaro mide 1

E) 8 3 4

m.

¿En cuántos cm excede la estatura del más alto 78

1

quinta parte de 10 de los 21/13 de 103. Dar como resultado la suma de cifras del resultado.

08 ¿Qué número debe sumarse a los términos de la fracción 4/3 para que la suma de sus términos sea 57?

09 En una maratón, llegaron a la meta los 3/5 de los atletas participantes y 30 se retiraron. ¿Cuántos atletas tomaron la salida?

10 Pagamos 38 soles por un libro, un cuaderno y una goma. El precio del cuaderno es un quinto del precio del libro. La goma cuesta un tercio de lo que cuesta el cuaderno. ¿Cuánto cuesta el libro?

Capítulo

15

FRACCIONES II

En este capítulo, trataremos, en lo fundamental, sobre la aplicación de las fracciones en situaciones problemáticas concretas.

Fracciones complementarias

Gasté: Me queda:

Diremos que dos fracciones son complementarias si suman la unidad.

7

140

12 5

x

12 x=

5 140

= 100

7

1

Rpta.: Me queda S/. 100.

Disminución y aumento 3

5

8

8

Por ejemplo, si el precio de un artefacto disminuye en 2/7, queda disminuido a sus 5/7.

Fracciones complementarias Siempre que se toma una parte de una cantidad, automáticamente aparece la otra parte no considerada; es la parte complementaria. Por ejemplo, si gasto los 3/8 de mi dinero, me queda los 5/8, de modo que: 3 8

+

5 8

Resolución: Si gastó los 4/7, entonces le quedó los 3/7 de lo que tenía. Si consideramos que tenía x, entonces: 7

7×30 3

Por ejemplo, si el precio de un artefacto aumenta en 2/7, resulta 9/7: 1+

2 7

=

7 7

+

2 7

=

9 7

Si una cantidad aumenta en sus 3/5, resulta en sus 8/5.

Isabel ha comprado un regalo para su hija con los 4/7 de lo que tenía y le quedó 30 soles.

x = 30 ⇒ x =

Cuando una cantidad aumenta en una fracción, resulta el total más la fracción.

=1

Ejemplo 1:

3

Cuando una cantidad disminuye en una fracción, queda en su complementaria.

⇒ x = 70

Ejemplo 3: Un artículo se ofrece en 270 soles. Al comprobar que no tiene demanda, se decide disminuir su precio en sus 2/9, así se logró vender en: Resolución: Si el precio disminuye en sus 2/9, queda en sus 7/9. Luego: 7

Rpta.: Tenía S/. 70

9

Ejemplo 2: Luego de gastar 140 soles me percaté que sólo me quedaba los 5/12 de lo que tenía. ¿Cuánto me queda? Resolución: Si me queda 5/12, entonces gasté los 7/12, los cuales ascienden a 140 soles. Luego:

de 270 =

7 9

30

× 270 = 210

Rpta.: se vendió en S/. 210 Ejemplo 4: Una tienda ofrece televisores a 840 soles. Por el incremento de la demanda, subieron el precio en sus 3/8. Entonces, el precio actual de los televisores es:

1

79

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2º

Resolución: Si aumenta en sus 3/8, se convierte en sus 11/8. Por lo tanto, el nuevo precio es: 11 8

de 840 =

11 8

Las fracciones equivalentes se obtienen multiplicando por el mismo número, distinto de cero, los dos términos de la fracción reducida: 8

105

× 840 = 1155

12

2

=

3

=

2×1 3×1

2×2

=

3×2

=

2×3 3×3

= ... =

2k 3k

Lo que es lo mismo:

Rpta.: el nuevo precio S/. 1155

8

Fracciones equivalentes

12

=

2 3

=

4

6

=

6

=

9

10 15

= ... =

2k 3k

Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número racional.

Ejemplo 5:

Por ejemplo, las fracciones:

Halla una fracción equivalente a 12/20, cuya suma de términos sea igual a 120.

8 12

= 0,666 y

10 15

= 0,666,

son equivalentes, de modo que: 8 12

=

2

12

=

3

15

1º

Simplificamos

12 20

=

3 5

5

2º

15

La fracción equivalentes es:

3k 5k

Donde 3k + 5k = 120 ⇒ k = 15 Por lo tanto, la fracción buscada es:

2

10

3

10

Si dos fracciones son equivalentes, al simplificarlas, resultan la misma fracción irreductible: 8

Resolución:

⇒

3

2 3

=

2

3(15)

3

5(15)

=

45 75

Rpta.: 45/75

Expresión general de la fracción equivalente

Ejemplo 6:

Dada una fracción cualquiera, se puede hallar todas las fracciones equivalentes a ella.

Halla una fracción equivalente a 4/5, cuyo producto de términos sea 320.

Por ejemplo, hallemos las fracciones equivalentes 8 a : 12

Resolución:

1.º Simplificamos la fracción hasta volverla irreductible:

• (4k) (5k) = 320 ⇒ 20 k2 = 320

2

8

12 3

80

1

=

2 3

• Sea la fracción:

4k 5k

k2 = 16 ⇒ k = 4 • Reemplazando:

4(4) 5(4)

=

16 20

Rpta.: 16/20

FRACCIONES II

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Una fábrica tiene 360 trabajadores. Los 3/8 de los trabajadores de la fábrica son mujeres. ¿Cuántas mujeres trabajan en esta fábrica? Resolución:

3

Mujeres son los 3/8 de 360:

= (360) = 135

05 Si gasto los 3/5 de lo que tengo, me quedaría con 120 soles. ¿Cuánto tengo? Resolución: Si gasto 3/5, me quedarían los 2/5 de lo que tengo.

Rpta.: 135

Si 2/5 de lo que tengo es 120; entonces, 1/5 es 120÷2 = 60

02 Martín ha recibido un premio de 800 soles,

Si 1/5 de lo que tengo es 60; entonces, lo que tengo es 5/5, o sea, 5×60 = 300 soles.

8

de los cuales le ha dado a su mamá 250 soles. ¿Qué parte del premio le ha dado a su mamá? Resolución: Fracción =

Parte Todo

=

250 800

16

06 Romina ha comprado un helado con 1/6 de su propina. Más tarde, gastó 1/3 en un chocolate. Si aún le queda 3 soles, ¿cuánto gastó en el helado?

5

=

Rpta.: S/. 300.

Rpta.: 5/16

03 Ernesto y Camila han comprado una motocicleta. Ernesto ha puesto 240 soles para la compra, por lo que es dueño de los 5/12 de la motocicleta. ¿Cuánto costó la motocicleta? Resolución: 240 es los 5/12 del precio de la motocicleta: Total

Resolución: Lleva gastando:

1

+

1

=

1+2

=

3

=

1

6 3 6 6 2 Como gastó la mitad, le queda la otra mitad. Si la mitad es 3, entonces tenía 6. 1 El helado le costó (6) = 1 6

Rpta.: S/. 1

07 Gasté 11/13 de mi dinero en comprarme una camisa y aún me queda S/. 2. ¿Cuánto dinero tenía? 240 240 ÷ 5 = 48

Resolución: Recordando:

Total = 12(48) = 576 Rpta.: S/. 576

Gasto

Queda

m

n–m

n

n

04 Mariana gana un sueldo de 720 soles. Asigna a la manutención de su madre los 3/8 de su sueldo. ¿Con cuánto se queda? Resolución:

8

de 720 =

Gasto 11

Si asigna 3/8; entonces, se queda con los 5/8. 5

Sea mi dinero: x

5 8

90

(720) =

13

x

5×720

Queda 13 – 11 13

Dato x

=2

1

2

8

13

1

⇒ 5×90 = 450

Mi dinero: Rpta.: S/. 450

x

1

=2

x = 13 Rpta.: S/. 13

1

81

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 08 Cuando el largo de un rectángulo aumenta en sus 2/7, resulta de 18 cm y su área aumenta en 20 cm2. ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo? Resolución:

18 20

a b Largo:

b b+

2b

7 7b + 2b 7 9b 7

a

2b 7

resto y, la tercera semana, los 24 kilómetros restantes. ¿Cuántos kilómetros repararon la primera semana?

15 Entre los participantes de una conferencia, hay 30 ingenieros, 40 médicos y los 60 restantes son estudiantes. No hay participantes con dos ocupaciones ni participantes con otras especialidades. ¿Cuál es la diferencia entre la fracción de ingenieros y la fracción de los médicos?

= 18

REFORZANDO = 18

01 En un colegio, trabajan en total 48 profesores. = 18 ⇒ b = 14

Área aumenta en:

2 7

(14)a = 20 140 a= ⇒ a=5 2·14 Rpta.: 5 cm.

09 Fermín ha pintado los 5/9 de una pared. Si pinta 46 metros cuadrados más, solo le faltaría 1/8 de la pared. ¿Cuántos metros cuadrados tiene la pared que está pintando Fermín?

10 En un salón de 45 alumnos, los 5/9 son mujeres. De los hombres, los 3/4 aprobaron una prueba de Matemática. ¿Cuántos varones desaprobaron la prueba?

11 ¿Qué longitud debe tener una cuerda para que luego de recortar 1/7 de su longitud, quede 12 metros de largo?

12 Mario entra a un casino, apuesta y pierde 2/5 de lo que tenía. Vuelve apostar el resto y vuelve a perder, esta vez, los 3/5 de lo que apostó. ¿Con cuánto dinero ingresó al casino, si solo le quedan 9 soles?

Los 11/16 de los profesores del colegio son varones. ¿Cuántos profesores varones trabajan en este colegio? A) 30 D) 33

B) 31

C) 29 E) 32

02 De los 4500 votantes de un distrito, 3500 han votado por el candidato a alcaldía de la lista número 1. ¿Qué parte de los votantes ha votado por el mencionado candidato? A) 2/9 D) 2/7

B) 7/9

C) 3/7 E) 5/9

03 Un reservorio de agua ha sido llenado por dos caños. El primer caño ha vertido 360 litros y ha llenado los 3/11 del reservorio. ¿Cuántos litros de agua llenan dicho reservorio? A) 1320 D) 1310

B) 1200

C) 1210 E) 1100

04 Tres amigos tienen que reunir una suma de dinero para comprar una maqueta. Carlos pone los 4/15; Perla, los 2/5 y Gerardo, el resto. ¿Qué parte de la suma pone Gerardo? A) 1/3 D) 1/10

B) 2/5

C) 1/5 E) 3/10

05 Si gasto 150 soles, me quedaría los 3/8 de lo 13 Cuando estaba viendo por televisión el partido entre Barcelona y Real Madrid, me percaté que, para terminar el primer tiempo, faltaba los 2/7 de lo transcurrido hasta ese momento. ¿Cuántos minutos faltan para terminar el primer tiempo?

14 Una cuadrilla de obreros ha reparado los 2/9 de una carretera en una semana. La siguiente semana repararon los 4/7 del 82

1

que tengo. ¿Cuánto tengo? A) S/. 240 D) S/. 300

B) S/. 90

C) S/. 250 E) S/. 180

06 Gerardo gana un sueldo de 910 soles. De su sueldo, ahorra los 2/7. ¿Cuál es, entonces, su gasto mensual? A) S/. 260 D) S/. 650

B) S/. 520

C) S/. 560 E) S/. 780

FRACCIONES II 07 Carmen quiso comprar una falda para regalar

03 Maribel gana un sueldo de S/. 810. Si men-

a su hermana, pero sólo tenía 40 soles y le faltaba para cubrir los 3/8 del precio de la falda. ¿Cuánto de dinero necesitaba Carmen para comprar el regalo?

sualmente gasta los 7/9 de su sueldo, ¿cuánto ahorra al mes?

A) S/. 26 D) S/. 23

B) S/. 25

C) S/. 24 E) S/. 22

08 A una reunión de padres de familia,asistieron 30 madres y 5 padres. ¿Cuántos padres más hacen falta para que el número de varones sea los 2/5 del número de mujeres? A) 6 D) 10

B) 7

C) 8 E) 9

09 Con 1/3 de mi propina puedo comprar 1 paquete de galletas. Con los 3/5 de mi propina y S/. 2 más, puedo comprar 2 paquetes de galletas. ¿Cuál es mi propina? A) S/. 24 D) S/. 22

B) S/. 30

C) S/. 25 E) S/. 20

04 Si gasto los 3/7 de lo que tengo, me quedaría S/. 280. ¿Cuánto tengo?

05 Carlos quiso comprar una camisa, pero le faltaba S/. 15 y solo le alcanzaba para cubrir los 4/7 del precio de la camisa. ¿Cuál es el costo de la camisa?

06 Cuando quise comprar una casaca de S/. 42, me faltaba para pagar los 2/7 del precio de la casaca. ¿Cuánto tenía?

07 Una tela al ser lavada se encoge en 1/7 de su longitud. ¿Cuántos metros tendré luego de lavar 5,6 metros de esta tela?

08 Una entidad benéfica ha recaudado 4800

10 Habiendo gastado los 3/8 de lo que no gasté,

Nuevos Soles entre los socios. Los 5/8 de esta recaudación será destinado a los niños pobres. ¿Cuánto de dinero recibirán los niños pobres?

me quedan 24 soles. ¿Cuánto tenía antes de gastar?

09 En el estadio, habían 45000 espectadores.

A) S/. 9 D) S/. 33

B) S/. 8

C) S/. 22 E) S/. 32

TAREA 01 Los 2/3 de los estudiantes de mi salón se fueron de paseo. ¿Cuántos de mis compañeros se fueron de paseo, si en mi salón somos 36 estudiantes?

Cuando terminó el partido, en los primeros 10 minutos, salieron los 2/15, y en los siguientes 10 minutos, los 3/10 del resto. ¿Cuántos espectadores quedan todavía después de los 20 minutos de terminado el partido?

10 Si mi tarea la escribo a mano, me demoro 30 minutos. Haciéndola en la computadora me ahorro los 2/5 del tiempo que demoro haciendo a mano. ¿En cuánto tiempo hago mi tarea en la computadora?

02 En el estadio del colegio, se reunieron 360 estudiantes. Los 2/9 son de primer año, 3/8 son de segundo año y los restantes de tercer año. ¿Cuántos estudiantes son de tercer año?

1

83

Capítulo

16

FRACCIONES III

Reducción a la unidad

faltan 5 minutos, falta llenar:

Los problemas de reducción a la unidad, son un tipo de problemas de fracciones caracterizadas porque, para su resolución, algo que se hace en varios días se reduce a lo que se hace en un día; el costo de varias unidades de un producto se reduce al costo de una unidad, etc.

5 45

=

1 9

del reservorio

Ejemplo 3 Marcos puede hacer una obra en 15 días y Elio puede hacer la misma obra en 10 días. a) En un día, ¿qué parte de la obra hace cada uno?

Ejemplo 1

b) En un día, ¿qué parte de la obra hacen entre los dos?

Se ha adquirido 15 sacos de arroz por 1875 Nuevos Soles. Si se quiere hacer un pedido de 24 sacos más, ¿de cuántos Nuevos Soles más habría que disponer?

c) ¿En cuántos días culminan la obra trabajando juntos?

Resolución.

a) Marcos:

Calculemos el costo de 1 saco. Si 15 sacos cuestan 1875 Nuevos Soles, un saco cuesta 1875÷15 = 125 Nuevos Soles. Para 24 sacos más, son necesarios 24×125 = 3000 Nuevos Soles más. Rpta.: S/. 3000 Ejemplo 2 Un grifo puede llenar un reservorio en 45 minutos.

Resolución: Toda la obra la hace en 15 días; entonces, en un día hace: 1 de la obra 15 Elio: Toda la obra la hace en 10 días; entonces, en un día hace: 1 de la obra 10 b) Entre los dos, en un día, hacen: 1

a) ¿Qué parte llena en un minuto?

15

b) ¿Qué parte llena en media hora?

1

c) ¿Cuánto falta llenar al cabo de 40 minuto? Resolución. a) Si llena todo en 45 minutos, en un minuto llena: 1 45

+

c) Si en un día hacen

1 10 1 10

= =

2+3 30 1 6

1

de la obra; entonces, toda 6 la obra la hacen en 6 días.

del reservorio Ejemplo 4

b) Media hora = 30 minutos 1 Si en 1 minuto llena del reservorio, entonces, 45 en 30 minutos llena: c) Si en 1 minuto llena

84

15

+

1

30 45 1

45

=

2 3

del reservorio

del reservorio, como

Un albañil puede levantar un muro en 36 horas. Su ayudante puede hacer el mismo muro en 45 horas. Si el albañil decide levantar el muro juntamente con su ayudante, ¿en qué tiempo terminarían la obra? Resolución. Si el albañil lo puede hacer en 36 horas, en 1 hora 1 hace de la obra. 36

FRACCIONES III

El ayudante, en 1 hora, hace

1

de la obra.

45 Trabajando juntos en 1 hora, hacen 1 36

+

1 45

=

Si en 1 hora hacen

5+4 180 1

20

=

1 20

de la obra

del muro, todo el muro lo

harán en 20 horas. Rpta.: 20 h Ejemplo 5 Un comerciante compra 4 casacas por S/. 248 y vende 5 casacas por S/. 655. Vendiendo 40 casacas, ¿cuánto ganaría? Resolución. Compra: Una casaca lo compra en 248÷4 = S/. 62

Resolución. Compra: Si 3 chocolates cuestan S/. 2, entonces un chocolate cuesta: 2 Nuevos soles 3 Venta: Si 2 chocolates los vende en S/. 3; entonces 1 chocolate lo vende en: 3 Nuevos soles 2 Ganancia: Por cada chocolate gana: 3

–

2

=

9–4

=

5

6 2 3 6 Para ganar S/. 30, debe vender: 5 5 30 ÷ = 30× = 36 chocolates. 6 6 Rpta.: 36 chocolates.

Venta: Ejemplo 7

Una casaca lo vende en 655÷5 = S/. 131

Un caño puede llenar un pozo vacío en 24 minutos; mientras que un caño, situado en la base del pozo, lo puede vaciar en 36 minutos. Si se abre los dos caños estando vacío el pozo, ¿en qué tiempo se llena?

Ganancia: En la venta de una casaca, gana: 131 – 62 = 69 Nuevos Soles Por lo tanto, si vendiera 40 casacas, ganaría:

Resolución. Todo en:

En 1 minuto:

Caño A 24 minutos

+ 1/24

Ejemplo 6

Caño B 36 minutos

– 1/36

Margarita compra chocolates a 3 por S/. 2 y los vende a 2 por S/. 3. ¿Cuántos chocolates tiene que vender para ganar S/. 30?

Juntos en 1 minuto:

69×40 = 2760 Nuevos Soles Rpta.: S/. 2760

1

–

1

24 36

=

1 72

partes

Rpta.: se llena en 72 minutos.

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Arturo es un albañil. Le han encargado construir un muro. El se ha comprometido a entregar la obra en 8 días. ¿Qué parte del muro construye en un día y qué parte en 5 días? Resolución: 1 día 5 días

Muro

Si en 8 días hace toda la obra, en un día hace la octava parte: 1 En 1 día: 8 Si en un día hace 1/8, en 5 días hace 5/8. 5 En 5 días: 8 Rpta.: 1/8 y 5/8

8 días

1

85

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 02 El viaje en ómnibus de Lima a Huancayo dura 7 horas. ¿Qué parte del recorrido falta después de 5 horas de viaje?

Si en una hora llenan 3/20, en 5 horas habrán llenado: 5

Resolución: Si el viaje dura 7 horas, en una hora avanza 1/7 del recorrido. Si en una hora avanza 1/7, en 5 horas avanza 5/7. Si ya avanzó 5/7, entonces falta recorrer 2/7 del camino. Rpta.: 2/7

03 Angélica puede tejer una chompa en 4 días. Aurora puede tejer una chompa similar en 6 días. Si se ponen a tejer entre las dos, ¿qué parte de la chompa tejen en un día y qué parte en 2 días?

3 20

=

15 20

=

1 4

1

Aurora, en 1 día, teje

05 Alfredo y Boris fueron contratados para pintar un edificio. Se ha demostrado que, en un día, ellos pueden avanzar 1/12 del pintado. ¿En cuántos días terminarán con el pintado del edificio? Resolución: Si en un día pintan 1/12 del edificio; entonces todo el edificio lo puede pintar en 12 días. 1 día 1/12

1

+

4

1 6

=

06 Un albañil, trabajando solo, puede levan-

de la chompa.

3+2

=

12

Por lo tanto, en 2 días tejen 2 chompa.

tar una pared en 21 días, mientras que su ayudante necesitaría 28 días para hacer la misma obra. ¿En cuántos días levantaría la pared el albañil trabajando junto con su ayudante?

5 12 5 12

=

5 6

Resolución: de la

Rpta.: 5/12 y 5/6

04 Un reservorio se puede llenar mediante

dos caños. El caño A puede llenar en 12 horas; mientras que el caño B, en 15 horas. Se abre los dos caños al mismo tiempo y se espera que pasen 5 horas. ¿Qué parte del reservorio se ha llenado hasta ese momento? Resolución: El caño A en 1 hora llena

1 12

del reservorio.

1

del reservorio. 15 En una hora entre las dos llenan: El caño B en 1 hora llena

+

1 15

1

=

5+4 60

Rpta.: 12 días

de la chompa.

6 En un día, entre las dos, tejen:

86

del reservorio.

12 días

Angélica, en 1 día, teje

12

4

Rpta.: 3/4

Resolución:

1

3

=

9 60

=

El albañil en 1 día hace

1 21

El ayudante en 1 día hace

de la pared.

1

de la pared. 28 En 1 día trabajando juntos hacen: 1 21

+

1 28

=

4+3 84

=

7 84

=

1 12

Si en 1 día, entre los dos, pueden hacer 1/12 de la obra; entonces, toda la obra la pueden hacer en 12 días. Rpta.: 12 días

07 Un caño llena una piscina en 24 horas y

el caño de desagüe la puede vaciar en 36 horas. Estando vacía la piscina, el jardinero suelta el caño de llenado, pero se había olvidado de cerrar el caño de desagüe. ¿Qué tiempo tardará en llenar la piscina?

3

Resolución:

20

El caño de llenado en 1 hora llena

1 24

FRACCIONES III

de la piscina y el de desagüe vacía

1 36

13 Un caño A llena un pozo en 6 minutos; otro .

Funcionando los dos, en una hora llenan: 1

–

1

24 36

=

3–2 72

=

1 72

Si en 1 hora llenan 1/72 de la piscina, entonces la piscina tardará en llenarse 72 horas. Rpta.: 72 horas

08 Una cuadrilla de obreros pueden abrir una zanja en 15 días y otra cuadrilla puede ejecutar la misma obra en 10 días. Si se juntan las dos cuadrillas, ¿en qué tiempo pueden abrir la mencionada zanja?

caño B puede llenar el mismo pozo en 12 minutos y otro caño C, ubicado en el fondo del pozo, puede vaciarlo, estando lleno el pozo, en 24 minutos. Si se abre los 3 caños a la misma vez estando el pozo vacío, ¿en que tiempo se llenará?

14 Un caño “A” puede llenar un tanque en 6h y otro caño “B” puede llenarlo en 12h. ¿En qué tiempo llenarán solo las 3/4 partes del tanque, si se los abre a la vez estando vacío el tanque?

15 En un bote, entran 15 mujeres o en su defecto 10 hombres. ¿Cuántas parejas (hombre y mujer) puede transportar este bote?

Resolución: La 1º cuadrilla en 1 día hace La 2º cuadrilla en 1 día hace

1 15 1

de la zanja

de la zanja. 10 En 1 día, trabajando juntos, hacen: 1 15

+

1 10

=

2+3 30

=

5 30

=

1 6

Si en 1 día las dos cuadrillas pueden hacer 1/6 de la obra; entonces, toda la obra la pueden hacer en 6 días. Rpta.: 6 días

09 Adela compra manzanas a 5 por 4 soles y las vende a 4 por 5 soles. Si quiere ganar 45 soles vendiendo manzanas, ¿cuántas manzanas necesita vender?

10 Una cuadrilla de obreros puede levantar un muro en 18 días y otra cuadrilla puede ejecutar la misma obra en 12 días. Si se juntan las dos cuadrillas, ¿qué parte de la obra hacen en 6 días?

11 Un pintor puede pintar una casa en 18 días. Luego de trabajar solo durante 3 días, para terminar la obra en menos tiempo, decide contratar un ayudante quien, pintando solo, tardaría 36 días en pintar la casa. ¿En cuántos días, en total, se terminó el pintado?

12 Germán y Armando pueden armar un escenario en 6 horas. Germán, trabajando solo, tardaría 15 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría Armando, armando solo el escenario?

REFORZANDO 01 Mariano puede pintar una casa en 24 días. I. En un día pinta 1/24 de la casa. II. En 6 días pinta 1/4 de la casa. III. Al cabo de 18 días, le falta pintar 1/4 de la casa. Es correcto: A) Solo I D) II y III

B) Solo II

C) I y III E) I, II y III

02 Si en 1 día un artesano puede tejer la octava parte de un tapiz, entonces: I. En 16 días, puede tejer dos tapices. II. En 5 días, puede tejer más de la mitad de un tapiz. III. Después de tejer 6 días, sólo le faltaría tejer la cuarta parte de un tapiz. Es correcto: A) Solo I D) II y III

B) Solo II

C) I y III E) I, II y III

03 Un reservorio se puede llenar por un caño A en 12 horas y por un caño B en 15 horas. Si se abre los dos caños: I. En una hora, llenan 1/27 del reservorio. II. Para llenar, necesitan más de 6 horas. III. Para llenar, necesitan menos de 6 horas. Es correcto: A) Solo I D) II y III

B) Solo II

C) I y III E) I, II y III

1

87

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

5/8 de un camino rural. Entonces:

III. En el tiempo en que el albañil hace 3/4 de la obra, el ayudante hace 1/4.

A) En un día, reparan 1/20 del camino.

Es correcto:

B) Para reparar todo el camino, necesitan 20 días.

A) Solo I D) II y III

04 Un grupo de campesinos repara en 15 días los

C) Todo el camino lo reparan en menos de 25 días. D) Todo el camino lo reparan en más de 24 días. E) En 20 días, hacen los 3/4 de la obra.

05 Carlos puede hacer una obra en a días y Pedro, la misma obra, en b días. Trabajando juntos harían la obra en: 1 1 A) a + b días B) + días a b ab C) días a+b D)

a+b a–b

días

E)

a+b ab

días

06 Andrés tarda 4 horas para resolver los problemas de una separata; con ayuda de Maritza lo haría en 3 horas. Maritza sola lo resolvería en: A) 1 hora D) 12 horas

B) 10 horas

C) 8 horas E) 9 horas

07 Sofía compra limones a 5 por 4 soles y los vende a 4 por 5 soles. Si en la venta de un día ha ganado 36 soles, ¿cuántos limones ha vendido ese día? A) 80 D) 72

B) 58

C) 70 E) 90

B) Solo II

C) I y III E) I, II y III

10 Una cuadrilla de obreros puede hacer los 3/4 de una obra en 12 días y otra cuadrilla puede hacer los 3/5 de la obra en 9 días. Marque lo correcto: A) Si se juntan las dos cuadrillas, en un día hacen 1/8 de la obra. B) La primera cuadrilla es más rápida que la segunda. C) La primera cuadrilla puede terminar la obra en 16 días. D) La segunda cuadrilla puede terminar la obra en 16 días. E) Las dos cuadrillas, trabajando juntas, necesitan menos de 7 días para hacer la obra.

TAREA 01 Un tractor puede construir un tramo de carretera en 25 días. ¿Qué parte de la carretera hace en un día y qué parte en 5 días?

02 Un ingeniero ha proyectado construir un puente en 60 días. ¿Qué parte de la obra faltará cuando haya trabajado 18 días?

08 Un obrero puede hacer una pared en 8 días;

03 Un caño puede llenar un reservorio en 36 mi-

mientras que otro obrero puede hacer una pared similar en 4 días. El primer obrero empieza a trabajar solo y al cabo de 2 días recibe la ayuda del otro obrero, terminando la obra. Halle el tiempo total en que se hace la obra.

nutos y otro caño en 45 minutos. Si estando vacío el reservorio, se abre los dos caños, ¿qué parte llenan en un minuto y qué parte en 15 minutos?

A) 4 días D) 8 días

B) 3días

C) 2 días E) 6 días

09 Un albañil puede enchapar una pared en 12 días, con un ayudante puede hacer el mismo trabajo en 9 días. Entonces: I. En un día, el ayudante solo puede hacer 1/6 de la obra. II. El ayudante solo necesita 36 días para hacer la obra. 88

1

04 Para llenar una bañera, hay dos cañerías: la de agua fría, que llena en 28 minutos, y la de agua caliente, que llena en 21 minutos. Si estando vacía la bañera se abre los dos caños al mismo tiempo, ¿qué tiempo tardará en llenarse la bañera?

05 José y Renato pueden lavar un auto en 12 minutos. Pero José, lavando solo, tarda 20 minutos. ¿Qué tiempo demora Renato en lavar un auto solo?

FRACCIONES III 06 Un caño llena una piscina en 20 horas y el caño de desagüe lo puede vaciar en 30 horas. Estando vacía la piscina el jardinero suelta el caño de llenado y se olvida cerrar el caño de desagüe. ¿Qué tiempo tardará en llenar la piscina?

07 Carmen compra chocolates a 3 por 2 soles y los vende a 2 por 3 soles. Si en un día logra vender 60 chocolates, ¿cuál es su ganancia de ese día?

08 Oscar puede resolver en 3 horas los problemas que le han dejado de tarea. Luego de trabajar

solo 1 hora, se le junta Isabel y, 1 hora más tarde, les falta solo 1/6 de la tarea. Si Isabel se pusiera a resolver sola los problemas, ¿qué tiempo demoraría?

09 En un ascensor, caben 12 niños u 8 adultos. Si suben 4 adultos con sus respectivos niños, ¿qué parte de la capacidad del ascensor falta llenar?

10 Ángel puede hacer un trabajo en 15 días. Trabajando con Miguel puede hacer el mismo trabajo en 5 días. ¿Qué parte de la obra faltaría después de 5 días de trabajo de Miguel solo?

1

89

Capítulo

17

TANTO POR CIENTO I

El tanto por ciento es el número de centésimas partes de la unidad. 10 Así, el 10 por ciento es ó 0,10 100 Para denotar, se utiliza el símbolo % que se lee «por ciento». 30 30% → «30 por ciento» y 30% = 100 40% → «40 por ciento» y 40% =

40 100

Porcentajes notables • 10% =

• 20% =

• 25% =

• 40% =

• 50% =

• 75% =

• 100% =

10 100 20 100 25 100 40 100 50 100 75 100 100 100

=

=

=

=

=

=

1 10 1 5 1 4 2 5 1 2 3 4

→ 10% « »

→ 20% « »

→ 25% « »

→ 40% « »

→ 50% « »

→ 75% « »

Esto es equivalente a decir que 80 se divide en 100 partes (cada parte sería 0,8) de las cuales se considera 30 (30×0,8 = 24). Esto significa que cuando decimos 100% nos referimos al total. Con 50%, nos referimos a la mitad; con 25%, a la cuarta parte; con 200%, al doble, etc. • 100% =

• 50% =

• 25% = 1 10

parte.

1 5 1 4 2 5 1 2 3 4

parte.

parte.

• 200% =

10 100 50 100 25 100 200 100

partes.

=

=

1 2 1 4

= 0,5

= 0,25

=2

Vemos que el tanto por ciento se puede expresar como fracción o como decimal. Ejemplos: 20% =

partes.

=1

24% =

20 100 24 100

1

= =

5 6 25

= 0,20 = 0,24

Entonces, para calcular, por ejemplo, el 60% de 80, podemos multiplicar a 60 ya sea por 60

partes.

100 • 60% de 80 =

= 1 → 100% « » 1.

ó 0,60:

60

×80 = 48 100 • 60% de 80 = 0,60×80 = 48

Tanto por ciento de una cantidad

Problemas básicos de tanto por ciento

El tanto por ciento de una cantidad es el número de centésimas partes de ella. Por ejemplo, el 30% de 80 es: 30×80 30 ×80 = = 24 30% de 80 = 100 100

1. Calcule el 40% de 95

90

1

50% de 95 =

40 100

× 95 =

40 × 95 100

= 38 Rpta.: 38

TANTO POR CIENTO I 2. ¿El 40% de qué número es 84? 40 40% x = 84 ⇒ x = 84 100 x = 210

240 x

40%

x

100%

100×84

x=

40

x = 210 Rpta.: 210 3. ¿Qué % de 180 es 72? Parte Todo

180

= 40%

Igual que el problema anterior, también se puede resolver por regla de tres: Si 180 es el 100%, queremos saber, qué tanto por ciento es 72: 180

100% x

72

x=

72×100% 180

15

Rpta.: 1600 Ejemplo 3: En un poblado de 450 habitantes, se ha instalado agua potable a 270 habitantes. ¿Qué tanto por ciento de la población aún no cuentan con agua potable? Resolución Si 450 es el 100%, debemos calcular qué tanto por ciento es 180: 450

100%

x=

x

180

180×100%

450 x = 40% Rpta.: 40%

Ejemplo 4: Si A es los 3/5 de B:

x = 40% Rpta.: 40%

a) ¿Qué tanto por ciento de B es A? b) ¿Qué tanto por ciento de A + B es A?

Ejemplo 1: En un club de 150 miembros, los socios fundadores son el 12% y los socios honorarios, el 16%. Calcule cuántos miembros son fundadores y cuántos socios son honorarios. Resolución Socios fundadores: 12% de 150 =

100%

100×240

Falta instalar para 450 – 270 =180 habitantes.

72×100%

×100% =

x=

x = 1600

También, se puede resolver por regla de tres: 84 es el 40% y estamos buscando el 100%: 84

15%

12 100

× 150 =

12×15 10

c) ¿Qué tanto por ciento de A + B es B – A? Resolución a) Consideremos B = 5k, entonces: 3 A = (5K) = 3K 5 Parte

= 18

Socios honorarios: 16 16×15 = 24 16% de 150 = × 150 = 100 10 Rpta.: 18 y 24 Ejemplo 2: Los hinchas de un equipo fueron obligados a empadronarse en el club e inmediatamente 240 hinchas lo hicieron. A raíz de ello, el presidente del club declaró que se han empadronado el 15% de los hinchas. ¿Cuántos hinchas tiene este equipo? Resolución Se observa que 240 es el 15% y debemos calcular el 100%:

Todo

× 100% =

3k×100% 5k

= 60%

Observe que k se cancela al efectuar las operaciones; por lo tanto, se puede resolver el problema sin considerar k, así: Sea B = 5 ⇒ A = 3 Parte Todo

× 100% =

3×100% 5

= 60% Rpta.: 60%

b) Para estos dos últimos casos, tomamos B = 5 y A=3 3×100% Parte ×100% = = 37,5% 3+5 Todo Rpta.: 37,5%

1

91

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO c)

Parte Todo

×100% =

(5 – 3)×100% 3+5

80%A = 130%B 80A = 130%B ⇒ A = 162,5%B 100 Rpta.: 162,5%

= 25% Rpta.: 25%

Ejemplo 5: Se sabe que X es el 25% de Y. Y es el 40% de Z y Z es el 60% de W. ¿Qué tanto por ciento de Z es X + Y? Resolución: No se conoce el valor de ninguna de las variables. Vamos a suponer, convenientemente, que W es igual a 100. Luego: • W = 100



Ejemplo 7: Si M es el 20% del 50% del 60% de N; calcule M para N = 150. Resolución: M=

• Y = 40% de 60 = 24

• Z = 60% de 100 = 60 • X = 25% de 24 = 6

M=

⇒ X + Y = 6 + 24 = 30 Como Z = 60 y X + Y = 30, la mitad de 60; entonces X + Y es 50% de Z. Rpta.: 50%

20

×

50

×

60

100 100 100

N

20×50×60(150)

⇒ M=9

100×100×100

Rpta.: 9% Ejemplo 8:

Ejemplo 6:

Si A es 25% de B y B es es 40% del 60% de C, ¿qué tanto por ciento de C es A?.

Si A disminuido en su 20% es igual a B aumentado en su 30%; entonces, ¿qué tanto por cinto de B es A?

Resolución: Sea C = 100

Resolución: B, aumentado en su 30%, es 100% de B más su 30%; o sea, 130% de B. A, disminuido en su 20%, es 100% de A menos su 20%; o sea, 80% de A; entonces:

B=

40

×

60

100 100

(100) = 24

A=

25 100

(24) = 6

Si C = 100 y A = 6, entonces A es 6% de C. Rpta.: 6%

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Si: A es 40 % de 60

02 ¿Qué expresión decimal representa el 10% de 1/4 de 228?

B es 70% de 80

Resolución:

C es 75% de 160 Calcule el 25% de A, más el 75% de B más el 40% de C.

10%

1 4

10

57

· 228 =

100

· 57 = 5,7

1

Resolución: A=

C=

40 100

Rpta.: 5,7

· 60 = 24

B=

70 100

· 80 = 56

75

· 160 = 120 100 25%(24) + 75%(56) + 40%(120) = 96 6

+

42

+

1

30% A es igual a 50% B? Resolución: 30% A = 50% B 3A = 5B ⇒

48

Rpta.: 96 92

03 ¿Qué porcentaje de A es B, si:

3 5

=

B A

TANTO POR CIENTO I

Piden:

B A

3

(100%) = =

5

09 Calcule el 40% del 60% del 50% de 700.

(100%)

300% 5

10 El número 850 aumentado en su 40% y

= 60%

luego disminuido en su 25% es: Rpta.: 60%

11 Si A = 04 Si el 10% de un número es igual al 25% de 80, ¿cuál es dicho número?

3 5

B, ¿qué tanto por ciento de B es A?

12 ¿En cuánto por ciento debe aumentar 110 para que sea igual al 45% de 440?

Resolución: 10%N = 25%(80)

13 Si A = 40% 60%

10N = 25·80 N = 25·8 ⇒ N = 200 Rpta.: 200

80% 750 y

4

B = 70% 50% 75%

2 3

·600,

¿cuál es mayor, A o B?

05 ¿El 30% de qué número es 72?

14 ``a´´ es el 40% de 60 y ``b´´, el 60% de 160.

Resolución: 30% x = 72 ⇒

3

30 100

¿Qué % de b es a?

x = 72 ⇒ x = 240 Rpta.: 240

06 ¿El 24% de qué número es el 30% de 72?

15 El 80% de A es 120 y el 60% de B es 36. ¿Qué tanto por ciento de A es el 80% de B?

Resolución:

REFORZANDO

30% de 72 = 0,3(72) = 21,6 24% 100%

21,6

x=

100×21,6

x

24

x = 90 Rpta.: 90

07 ¿Cuánto es 800 disminuido en su 30% y aumentado en 45%? Resolución: Cuando una cantidad disminuye en su 30%, se convierte en su 70%: Cuando aumenta en su 45%, resulta en su 145%. 145 70 145% 70% 800 = · · 800 = 812 100 100 Rpta.: 812

08 ¿Cuánto es 700 aumentado en su 40%?

01 El 54% de 150 es: A) 36% de 200 B) 24% de 180 C) 45% de 180 D) 45% de 210 E) 50% de 180

02 ¿En cuánto por ciento debe aumentar 200 para que sea igual al 60% de 370? A) 15% D) 10%

B) 12%

C) 14% E) 11%

03 Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: a) 50% + 20% + 10% = 80% b) 70% – 20% = 50%

Resolución:

c) 120%÷4 = 30%

Cuando una cantidad aumenta en su 40%, se convierte en su 140%: 140 · 700 = 980 140% 700 = 100 Rpta.: 980

A) VVV D) VFF

B) VVF

C) VFV E) FVV

1

93

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 04 Evalúa el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

10 ¿Qué tanto por ciento de 40 es el 60% de 64? A) 48% D) 88%

a) El 40% de 80 es 32

B) 96%

C) 36% E) 72%

b) 32% de 80 < 80% de 32 c) Si 40% de A > 40% de B, entonces A > B A) VVV D) FVV

B) VVF

C) VFV E) VVF

TAREA 01 Calcula el 60% del 45% del 20% de los 4/5 de 150.

05 Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

02 Determina qué tanto por ciento de 150 equivale al 36% de 200.

a) 20% de 40 = 0,2(40) b) 32% de 50 = 50% de 32 1 c) 25% de 30 = de 30 4 A) VVV D) FFV

B) VVF

03 ¿En cuánto por ciento debe aumentar 120 para que sea igual al 45% de 320? C) VFV E) VFF

04 Si A =

18 25

B, ¿qué tanto por ciento de B es A?

05 Califica con verdad (V) o falso (F) las siguientes 06 ¿Cuál de las siguientes expresiones es mayor?

proposiciones:

A) 700 aumentado en su 40%

a) a% + b% = (a + b)%

B) 800 aumentado en su 35%

b) 20% (M + N) = 20% M + 20% N

C) 950 disminuido en su 20% D) 840 disminuido en su 10%

c)

a% a = b% b

E) 640 aumentado en su 60%

06 ¿Qué tanto por ciento de 54 es el 30% de 45? 07 Si A es 20% de B, B es 30% de C; entonces A 07 ¿El 35% de qué número es el 42% de 55?

es: A) 50% de C

B) 60% de C

C) 600% de C D) 6% de C

E) 0,6% de C

08 ¿Qué tanto por ciento de 60 es el 90% de 150? 09 Si A es 40% de B, B es 70% de C, ¿qué tanto por ciento de C es A?

08 Marque lo correcto: A) 35% de 48 = 36% de 46 B) 30% de 84 > 36% de 70

10 Entre Lucas y Manolo tienen 450 soles. Lucas tiene 18 soles más que Manolo. Entonces:

C) 26% de 65 = 65% de 26

A) Lucas tiene el 48% y Manolo el 52%

D) 24% de 65 = 18

B) Lucas tiene el 52% y Manolo el 48%

E) 54% de 58 < 56%55

C) Lucas tiene el 51% y Manolo el 49% D) Lucas tiene el 53% y Manolo el 47%

09 Si A aumenta en su 60% resulta igual a B disminuido en su 60%. Entonces, se puede afirmar que: A) A = 20% B

B) A = 25% B

C) B = 20% A D) B = 25% A

94

E) A = 60% B

1

E) Lucas tiene el 54% y Manolo el 46%

Capítulo

18

TANTO POR CIENTO II

En este capítulo, vamos a desarrollar las aplicaciones del tanto por ciento en diversos tipos de problemas. Para ello, vamos a exponer algunos criterios prácticos que te permitirán resolver con facilidad los problemas de este capítulo.

Operaciones con tanto por ciento Si una persona gasta el 40% de su dinero en alguna compra, luego el 30% en otra compra; entonces ya lleva gastado el 70% de su dinero: 40% + 30% = 70% Se puede sumar o restar el tanto por ciento de una cantidad con otro tanto por ciento de la misma cantidad: 40%N + 30%N = 70%N No podemos sumar porcentajes referidos a cantidades diferentes. No puedo decir que el 30% de mi dinero con el 40% del dinero de mi amigo hacen el 70%.

Resolución: Si se estira 60%, alcanza el 160% de su longitud en reposo: 160%(30) = 48 cm Rpta.: 48 cm Ejemplo 3: La papa, después de ser cosechada por deshidratación pierde en una semana el 5% de su peso. Una cosecha de 1800 kilos de papa tarda una semana en llegar al mercado. ¿Con qué peso llega al mercado y cuánto se pierde por deshidratación si el kilogramo de papa se vende en S/. 1,8? Resolución: Si pierde el 5% del peso, al mercado llega con 95% de su peso: 95%(1800) = 1710 Se pierde 1800 – 1710 = 90 kg. En soles: 90×1,8 = 162

Ejemplo 1:

Rpta.: 1710 kg y S/. 162

Una carretera de 140 kilómetros fue asfaltada de la siguiente manera: en el primer mes el 30%, en el segundo mes el 25%, el tercer mes el 35% y el cuarto mes se terminó de asfaltar. ¿Cuántos kilómetros se asfaltó en el último mes? Resolución: En los primeros 3 meses, se asfaltaron: 30% + 25% + 35% = 90% En el cuanto mes se asfaltó

Tanto por ciento de tanto por ciento El tanto por ciento se puede aplicar a otro tanto por ciento. Ejemplo 4: Una mezcla de concreto de 600 kg está compuesta por 70% de arena y el resto de cemento. Si el 40% de arena es piedra, ¿cuántos kilogramos de piedra contiene la mezcla? Resolución:

100% – 90% = 10%

Arena: 70%(600) = 420

Cuarto mes: 10%(140) = 14 Rpta.: 14 km

Aumento y disminución Cuando una cantidad aumenta en 40%, se convierte en su 140%. (100 + 40 =140). Cuando una cantidad disminuye en 40%, se convierte en su 60%. (100 – 40 = 60). Ejemplo 2: Un resorte puede estirarse hasta en un 60% de su longitud en reposo. ¿Qué longitud puede alcanzar un resorte de 30 centímetros mediante el estiramiento?

Piedra: 40%(420) = 168 Obsérvese que 70% se aplica sobre 600, pero 40% se aplica sobre 420. Se aplica sobre el resultado de aplicar el primer tanto por ciento. 600 kg 70% 40%

Rpta.: 168 kg

1

95

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Falsa suposición En los problemas de tanto por ciento, no siempre se trabaja con cantidades. Se puede trabajar solamente en términos porcentuales o con cantidades supuestos. Por ejemplo, si alguien dice que en su salón el 80% son varones, sin saber cuántos alumnos hay, ya se tiene una idea de que hay muchos más hombres que mujeres. Ejemplo 5: En un salón, el 60% de los alumnos son varones, de los cuales el 40% van en bicicleta al colegio. ¿Cuántos alumnos hay en este salón si 12 varones van en bicicleta? Resolución: Supongamos que hay 100 alumnos en el salón; entonces:

lo cual es un error porque los que van en bicicleta son 12, no 24. Corrigiendo este error, encontramos la solución. El razonamiento es el siguiente: Suponiendo que hay 100 alumnos, llego a la conclusión que 24 van en bicicleta, ¿cuánto debe haber para que sean 12?. Como 12 es la mitad de 24, entonces, la solución es la mitad de lo supuesto. Ejemplo 6: En una fiesta, el 40% del total son mujeres y, de los varones, el 20% son casados (el resto son solteros). Si hay 60 hombres solteros, ¿cuántas personas hay en la fiesta? Resolución: Supongamos que son: 100K

Varones: 60%(100) = 60

H 60%

Van en bicicleta: 40%(60) = 24. Si hubieran 100 alumno,s irían en bicicleta 24, pero solo van 12 (la mitad); entonces, hay 100÷2 = 50 alumnos. Rpta.: 50 Obsérvese que hemos supuesto 100 alumnos y hemos llegado a demostrar que 24 van en bicicleta,

60K

C 20% 12K

M 60% S 60% = 48K 5 K= 4 Rpta.: 125 personas.

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Carlos tiene 250 soles y gasta el 40% en la compra de un abrigo. ¿Cuánto le costó el abrigo? Resolución:

36%(875) =

36 100

Rpta.: 315

03 Marina se fue de compras con 800 soles.

El abrigo le costó el 40% de 250: 40 40%(250) = (250) = 100 100

Con el 40% compró ropa y, con el 30%, víveres. ¿Cuánto le queda hasta ese momento? Resolución: Rpta.: 100

Ya gastó 40% + 30% = 70%

02 El 64% de los 875 alumnos y alumnas de un

Queda 30%:

colegio están matriculados en Educación Secundaria. ¿Cuántos de ellos no son de Secundaria?

30%(800) =

Resolución:

30 100

(800) = 240 Rpta.: 240

04 En una empresa, hay 200 personas y el

Si el 64% son de secundaria; entonces, 36% no lo son. 96

(875) = 315

1

30% son hombres. ¿Cuántas mujeres hay en dicha empresa?

TANTO POR CIENTO II Resolución:

Resolución:

Si el 30% son hombres; entonces, el 70% son mujeres: 70 70%(200) = (200) = 140 100 Rpta.: 140

Con seguro: 40%  128 Sin seguro: 60%  x x=

60 · 128 40

= 192 Rpta.: 192

05 En un colegio, el 8% de los estudiantes va

09 Una compañía minera extrae mineral que

a clase de natación. ¿Cuántos estudiantes tiene el colegio si en la clase de natación hay 56 alumnos?

contiene 12% de cobre y 2% de plata. De la producción del último mes, han obtenido 8 toneladas de plata. ¿Cuántas toneladas de cobre han producido en ese mes?

Resolución:

10 Con el 45% de 480 soles, pagué la mensua-

Sea x el número de estudiantes:

lidad del colegio y, con el 35% del resto, pagué el recibo de luz. Con el dinero que quedó, compré víveres para mi casa. ¿Cuánto dinero gasté en la compra de víveres?

8%x = 56 8x = 56 ⇒ x = 700 100 Rpta.: 700

06 La población escolar de un colegio es de 360 alumnos. Si hay 252 mujeres, ¿qué tanto por ciento de la población escolar son mujeres?

11 En una semana, se ha construido el 40% de un puente. En la semana siguiente, construyeron el 55% del resto. ¿Qué tanto por ciento del puente falta construir?

12 Entre los estudiantes de una universidad

Resolución:

se ha determinado que el 65% tienen una laptop. El 40% de éstos son mujeres. ¿Qué tanto por ciento de los estudiantes de esta universidad son mujeres con laptop?

Total = 360 Mujeres = 252 Tanto por ciento =

Parte

(100%) Todo 252 (100%) = 70% = 360 Rpta.: 70%

13 El 30% de los asistentes a un circo son

equivale, al 40% de las aves que hay en la granja. ¿Cuántas aves hay en esta granja?

adultos y el resto niños. El 40% de los niños van acompañados por sus padres y el resto solos. Si los niños que van solos son 182, ¿cuántos de los asistentes son adultos? 14 Natalia le agregó 3 gramos de sal a 17 gramos de agua. ¿Cuál es el porcentaje de sal en la solución obtenida?

Resolución:

15 Luis hace limonada con 12 litros de agua y

07 En una granja de aves, hay 120 patos que

8 litros de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje de zumo que hay en la limonada?

Sea A el número de aves: 40% A = 120 40A

REFORZANDO

= 120 100 A = 300

01 En un salón de 75 niños, 45 son varones. Rpta.: 300

08 El 40% de los trabajadores de una fábrica tienen seguro social. Si los trabajadores con seguro son 128, ¿cuántos trabajadores de esta fábrica no tienen seguro?

Entonces: A) El 30% son mujeres. B) El 40% son mujeres. C) El 35% son mujeres. D) El 46% son mujeres. E) El 42% son mujeres.

1

97

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 02 En una reunión. hay 30 hombres y 24 mujeres.

07 Un ternero aumentó su peso en 20% en el

Para que el porcentaje de mujeres sea el 60% de los asistentes:

último mes; así, pesa ahora 168 kg. ¿Cuánto pesaba el mes anterior?

A) Deben llegar 26 mujeres. B) Deben llegar 24 mujeres. C) Deben retirarse 18 mujeres. D) Deben retirarse 2 mujeres. E) Deben llegar 21 mujeres.

A) 120 kg C) 130 kg D) 135 kg

B) 125 kg E) 140 kg

08 En una caja hay 30 bolas rojas, 15 bolas verdes

03 Abanto tiene 600 soles. Gerónimo tiene 500 soles. Si Abanto aumenta su dinero en 70% y Gerónimo, en 90%; entonces: A) Abanto tiene más que Gerónimo. B) Gerónimo tiene más que Abanto. C) Ambos tienen igual cantidad.

y 5 bolas azules. Si se extrae 10 bolas rojas; entonces, el porcentaje de bolas verdes aumenta: A) De 30% a 35% B) De 30% a 40% C) De 30% a 37,5% D) De 30% a 38,5% E) De 30% a 42,5%

D) Entre los dos tienen 1970 soles.

09 Se ha pagado 45 soles por una entrada para

E) A y D.

04 Jaime tiene 300 soles y Edgar, 450. Si Jaime aumenta su dinero en 40% y Edgar pierde el 40% de lo que tiene; entonces: A) El 40% de lo que tiene Jaime equivale al 60% de lo que tiene Edgar. B) El 45% de lo que tiene Jaime equivale al 90% de lo que tiene Edgar. C) El 60% de lo que tiene Jaime equivale al 50% de lo que tiene Edgar. D) El 40% de lo que tiene Jaime equivale al 80% de lo que tiene Edgar. E) El 45% de lo que tiene Jaime equivale al 70% de lo que tiene Edgar.

un partido adquirida en la reventa. Si el revendedor ha cobrado el 180% del precio original, ¿cuánto costaba la entrada en taquilla? A) S/. 15 C) S/. 35 D) S/. 45

B) S/. 25 E) S/. 50

10 Luego de gastar el 40% del 80% de lo que tenía me queda 170 soles. ¿Cuánto tenía antes de gastar? A) S/. 200 C) S/. 250 D) S/. 320

B) S/. 240 E) S/. 300

TAREA

05 En una clase de 30 alumnos, la mitad juega fútbol; un tercio, baloncesto y el 10% ambos deportes. ¿Cuál es el número de alumnos que no juegan a ninguno de los dos deportes? A) 15 D) 28

B) 20

C) 8 E) 10

06 Un reservorio lleno de agua se gasta el 30% en la primera hora y el 40% del resto en la segunda hora, quedando entonces con 2520 litros. ¿Cuál es la capacidad del reservorio? A) 6000 litros C) 7200 litros D) 7000 litros

98

B) 5400 litros E) 4500 litros

1

01 César tiene 450 soles y gasta el 24% en la compra de un colchón. ¿Cuánto le costó el colchón?

02 Un caserío tiene 150 habitantes, de los cuales el 36% vive de la agricultura. ¿Cuántos de los habitantes de este caserío viven de la agricultura?

03 Entre los asistentes a un partido de fútbol entre los equipos A y B, el 34% son hichas del equipo A y el 32%, hinchas de B. Si los asistentes son 24000, ¿cuántos no son hinchas de A ni de B?

TANTO POR CIENTO II 04 El 30% de las familias de un barrio tienen hijos

08 En las elecciones presidenciales, quedaron dos

en edad escolar, el 12% son familias sin hijos. ¿Cuántas familias del barrio tienen hijos en edad escolar, si 72 familias no tienen hijos?

candidatos para la segunda vuelta. El 56% de los pobladores de un distrito votaron por el candidato ganador, el 40% de los restantes votaron en blanco. Si los votos en blanco ascienden a 440, ¿cuántos votos obtuvo el candidato ganador en este distrito?

05 En una granja de aves hay 48 pavos, que equivalen al 15% de las aves que hay en la granja. ¿Cuántas aves hay en esta granja?

09 Tres socios han constituido una empresa. El 06 Una compañía minera extrae mineral que contiene 15% de cobre y 2% de plata. De la producción del último mes, han obtenido 24 toneladas de cobre. ¿Cuántas toneladas de plata han producido en ese mes?

socio A tiene el 20% de las acciones y el socio B el 45%. Cuando se repartieron las utilidades, a C le correspondió 1715 soles. ¿Cuánto le correspondió a A?

10 Me comí una rebanada de un pastel circular 07 Fernanda gasta el 30% de su saldo del celular para llamar a sus amigos, el 3% para enviar mensajes de texto y el resto para llamar a sus familiares. Si acaba de hacer una recarga por 30 soles, ¿cuánto de esta recarga gastará llamando a sus familiares?

que representaba el 15% del pastel, como indica la figura. ¿Cuál es el ángulo (α) que abarca la rebanada del pastel? α

1

99

Capítulo

19

TANTO POR CIENTO III

En este capítulo, continuaremos viendo las aplicaciones del tanto por ciento. En este caso, las aplicaciones en la actividad comercial.

1. Aplicaciones comerciales (compras y ventas) Los comerciantes compran y venden mercadería. Compran en un precio y venden en otro precio. La diferencia del precio al que venden y el precio al que compran es su ganancia, utilidad o beneficio. Para ello, se cumple que:

Ejemplo 2: Alfonso ha comprado un celular y lo ha vendido en 448 soles. Según él, en esta operación ha ganado el 60%. a) ¿En cuánto compró el celular? b) ¿Cuánto ganó? Resolución: a) Si vendió ganando el 60%, entonces lo vendió en 160% de su costo. El precio de venta S/. 448 es el 160% del costo y éste es el 100%: 448

PV = PC + G Donde:

160%

PC

PV: Precio de venta.

100%

PC =

100×448 160

PC = 280 Rpta.: S/. 280

PC: Precio de costo. G : Ganancia o utilidad. Ejemplo 1:

b) La ganancia es: 448 – 280 = 168 Rpta.: S/. 168

Una tienda comercial vende refrigeradoras, ganando el 40% del costo. Si las compra en 650 Nuevos Soles: a) ¿En cuánto las vende? b) ¿Cuál es su ganancia? Resolución:

Aclaración: Cuando el tanto por ciento de ganancia no se especifica si está referido al precio de costo o al precio de venta, entonces, se sobreentiende que está referido al precio de costo.

a) Si vende ganando el 40%; entonces, las vende en 140% de su costo: Pv = 140%(650) = 910 Rpta.: S/. 910 b) La ganancia se puede calcular como una diferencia entre el precio de venta y el precio de costo:

Pérdida Un comerciante no siempre gana. Algunas veces pierde. Cuando, por alguna razón, vende su mercadería en menos precio al que ha comprado; entonces, pierde. Se cumple que: PV = PC – P

910 – 650 = 260 Donde:

O, como el 40% del costo:

PV: Precio de venta.

G = 40%(650) = 260 Rpta.: S/. 260

PC: Precio de costo. P : Pérdida.

100

1

TANTO POR CIENTO III Ejemplo 3: U n co m e rc i a nte d e p e s c a d o co m p ró mercaderías por 1200 soles. Cuando llegó al terminal pesquero, comprobó que había mucha oferta y se vió obligado a vender con una pérdida del 20%. a) ¿En cuánto vendió?

70%(20) = 14 Disminuye en: 9% Rpta.: disminuye en 9% Ejemplo 2: ¿En qué tanto por ciento aumenta el área de un cuadrado cuando su lado aumenta en 40%? Resolución:

b) ¿Cuánto perdió en está operación? Resolución: a) Al perder el 20% del costo, lo vendió en el 80% del costo:

Queremos averiguar la variación del área. Vamos a darle un valor apropiado al lado del cuadrado, procurando que el área resulte igual a 100. Inicial

Final

Lado

10

14

Área

10 = 100

196

Pv = 80% (1200) = 960 Rpta.: S/. 960 b) La pérdida es: P = 1200 – 960 = 240

2

Aumenta en 96

También se puede calcular como:

140%(10) = 14

P = 20% (1200) = 240

Aumenta en: 96%

Rpta.: S/. 240

Rpta.: aumenta en 96% Ejemplo 3:

2. Variaciones porcentuales

Si E = ab 2, cuando a aumenta en 40% y b disminuye en 20%, ¿cómo varía E?

Consideremos A = mn Para m = 5 y n = 20: A = (5)(20) = 100

Resolución:

Si m aumenta en una unidad y n disminuye en 5 unidades, resulta m = 6 y n = 15.

Queremos averiguar la variación de E. Vamos a darle valores apropiados a a y b, procurando que E resulte igual a 100. Inicial

Final

a

4

5,6

b

5

4

E = ab2

4(5)2 = 100

89,6

A = (6)(15) = 90 Se observa que A ha disminuido en 10%. Ejemplo 1: El largo de un rectángulo disminuye en 30% y el ancho aumenta en 30% ¿El área del rectángulo aumenta o disminuye y en qué tanto por ciento?

140%(4) = 5,6

Resolución:

80%(5) = 4

Queremos averiguar la variación del área. Vamos a darle valores apropiados al largo y ancho del rectángulo, procurando que el área resulte igual a 100.

Disminuye en: 100 – 89,6 = 104

Inicial

Final

Largo

5

6,5

Ancho

20

14

Área

100

91

130%(5) = 6,5

Disminuye en 9

Disminuye en 1,4

Rpta.: disminuye en 10,4%

Descuentos y aumentos sucesivos Una vez descontado el precio de un artículo se puede volver a descontar; pero el precio ya descontado. Los dos descuentos se llaman descuentos sucesivos. El problema radica en calcular un descuento equivalente a los dos descuentos. Nota: Los aumentos o descuentos sucesivos, no son acumulativos.

1

101

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Cuando una tienda hace dos descuentos sucesivos del 30% y 20%, en realidad ¿cuánto por ciento descuenta?

El precio de un artículo aumenta en 20% y, un mes después, vuelve a aumentar; pero esta vez, en 30%. ¿En cuánto por ciento aumentó en total?

Resolución: Supongamos que el precio inicial es 100.

Resolución:

Descontando 30%, queda 70%; o sea, 70.

Supongamos que el precio inicial es 100.

Descontando 20% a 70, queda 80%(70):

Aumentando 20% resulta 120%, o sea, 120. Aumentando 30% a 120, resulta 130%(120):

80%(70) = 56 De 100 queda 56, se ha descontado:

130%(120) = 156 De 100 aumentó a 156. Aumentó en:

100 – 56 = 44, o sea 44% Rpta.: 44%

156 – 100 = 56, o sea 56% Rpta.: 56%

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Andrés compró una calculadora en 120

Resolución:

soles y quiere venderla ganando el 20% de lo que le costó. ¿En cuánto debe vender?

Sea 100 el precio inicial del artículo.

Resolución:

120% de 100 = 120

Cuando vende ganando el 20%, lo vende en el 120% del costo.

Al final del siguiente mes resulta:

Pv = 120% 120 Pv =

120 · 120 100

Al final del mes resulta:

120% de 120 = 1,2(120) = 144 En dos meses, aumentó de 100 a 144, en 44. Esto es, en 44%. Rpta.: 44%

= 144 Rpta.: S/. 144

02 Encontré una refrigeradora que la estaban ofertando en 1200 soles; pero me lo vendieron con un descuento del 32%. ¿Cuánto pagué por la refrigeradora? Resolución: Cuando me descuentan el 32%, lo compro en 68% del precio ofrecido: 68 68% 1200 = · 1200 = 816 100 Rpta.: S/. 816

04 Se compra un artículo en 360 soles y se vende en 486 soles. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia? Resolución: Ganancia: 486 – 360 = 126 Se toma como 100% el costo (S/. 360). Ganancia en porcentaje: Parte 126 · 100% = · 100% = 35% Todo 360 Rpta.: 35%

03 El precio de un artículo sufre un aumento

05 Un artículo que costó 320 soles se fija para

del 20% en un mes y vuelve a subir en 20% en el siguiente mes. ¿En cuánto por ciento aumentó el precio en los dos meses?

su venta en 450 soles; pero, en el momento de vender, se hace una rebaja del 18%. ¿Cuánto se gana en la venta?

102

1

TANTO POR CIENTO III Cuando r aumenta en 20%:

Resolución: Rebajando 18% se vende en 82%: 82 Pv = 82%(450) = · 450 = 369 100

Cuando h aumenta en 10% resulta:

Si se vende en 369 y se compra en 320; entonces, la ganancia es: 369 – 320 = 49

 Volumen = (12)2(1,1) = 158,4

r = 120% de 10 = 12

a = 110% de 1 = 1,1

Rpta.: S/. 49

06 ¿En cuánto por ciento aumenta ab, cuando a aumenta en 20% y b aumenta en 10%? Resolución: Sea a = 10 y b = 10 ⇒ ab = 10×10 = 100. Cuando a aumenta 20% resulta a = 12 y b aumenta 10% resulta b = 11 y ab = 12×11 = 132.

ab aumenta en 132 – 100 = 32, esto es, en 32%. Rpta.: 32%

07 Si se alarga en 20% el lado de un cuadrado, ¿en cuánto por ciento aumenta el área? Resolución:

Ha aumentado de 100 a 158,4, en 58,4; o sea, en 58,4%. Rpta.: 58,4%

09 Los lados desiguales de un rectángulo aumentan en 10% y 20%. Como consecuencia, ¿en qué tanto por ciento aumenta el área del rectángulo?

10 En una tienda comercial, el kilogramo de detergente está a 14 soles. Las tiendas comerciales ganan el 12% del costo de las mercaderías que comercializan. ¿Cuánto ganan en la venta de 30 kilogramos de detergente?

11 Aníbal compró un celular en 250 soles y

Consideremos que el lado del cuadrado inicialmente mide 10 cm; entonces, el área inicial es 102 = 100 cm2.

se lo vendió a Gonzalo ganando el 40%. Gonzalo se lo vendió a Ricardo ganando el 30% de lo que le costó. ¿En cuánto compró el celular Ricardo?

Cuando el lado aumenta en 20%, resulta 120% de 10 = 12 y el área resulta 122 = 144.

12 Una cámara fotográfica se ha vendido en

El aumento es 144 – 100 = 44, que es el 44% del área inicial.

462 Nuevos Soles, ganando el 32%. Calcule el precio de costo de la cámara fotográfica.

10

12

100

13 ¿En cuánto por ciento aumenta el producto de dos factores cuando los dos factores aumentan en 50% cada uno?

144

Aumento 44%

14 Fueron vendidos dos artículos en 600 soles

08 ¿En cuánto por ciento aumenta el volumen

cada uno. En uno, ganó el 20% del costo y, en el otro, perdió el 20% del costo. En la venta de los dos, ¿ganó o perdió y cuánto?

de un cilindro cuando su radio aumenta en 20% y su altura en 10%?

15 ¿Cómo varía el perímetro de un cuadrado

Rpta.: 44%

Resolución: Recordemos:

r Volumen del cilindro: h

V = r h 2

Sea: r = 10 y h = 1 ⇒ V = (10)2(1) = 100

cuando su lado aumenta en 30%?

REFORZANDO 01 ¿A qué precio debo vender una cámara digital que me ha costado 800 Nuevos Soles para ganar el 40%? A) S/. 1130 C) S/. 1120 D) S/. 1130

B) S/. 1150 E) S/. 1220

1

103

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 02 Una impresora, que costó 460 Nuevos Soles, se vende en 575 Nuevos Soles. ¿Qué tanto por ciento del costo representa la ganancia? A) 20% D) 25%

B) 23%

C) 24% E) 28%

03 Daniel ha comprado una bicicleta en 560 Nuevos Soles y quiere venderla ganando más del 40% del costo. Entonces, no lo puede vender en: A) S/. 785 D) S/. 750

B) S/. 820

C) S/. 800 E) A ni D

04 Cynthia vendió un artículo en S/. 500, ganando el 25% sobre el precio de costo. ¿Cuánto le costó el artículo? A) S/. 375 D) S/. 500

B) S/. 400

C) S/. 600 E) S/. 550

09 Si la base de un triángulo aumenta en 20% y la altura disminuye en 20%; entonces: A) El área aumenta en 2% B) El área aumenta en 4% C) El área disminuye en 2% D) El área disminuye en 4% E) No varía

10 Sea A = ab. Si a aumenta en 15% y b aumenta en 20%; entonces: A) A aumenta en 35% B) A aumenta en 25% C) A aumenta en 30% D) A aumenta en 40% E) A aumenta en 38%

TAREA

05 Una tienda comercial ofrece dos descuentos

01 Minerva compró una estatua en 200 Nuevos

sucesivos del 20% más el 25%. ¿Cuál es el porcentaje de descuento real?

Soles y la vendió ganando el 20%. ¿En cuánto vendió la estatua?

A) 30% D) 60%

B) 45%

C) 40% E) 36%

06 Dos personas ofrecen sus productos en 400 soles cada uno. Uno lo vende con un descuento del 14% y, el otro, con un descuento de 17%. Determina la diferencia entre los precios de venta. A) S/. 12 D) S/. 17

B) S/. 15

C) S/. 20 E) S/. 3

07 Si el lado de un cuadrado aumenta en 30%:

B) Solo II

nando el 40%. ¿Cuánto gané?

03 Hugo ofrece los tapices que negocia en S/. 180; pero, en el momento de la venta, hace una rebaja del 15%. ¿A qué precio los vende?

04 Se compra un artículo en S/. 480 y se vende en S/. 696. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia?

05 Mariana compró un televisor en S/. 360 y lo vendió en S/. 486. ¿Qué % del precio de costo ganó?

06 Calcule la variación porcentual del área de un

I. El área aumenta en 60% II. El perímetro aumenta en 30% III. El área aumenta en 69% Señale lo correcto: A) Solo I D) II y III

02 Compré un artículo en S/.120 y lo vendí ga-

cuadrado cuando: a) El lado del cuadrado aumenta en 30%. b) El lado del cuadrado disminuye en 30%. C) I y III E) I, II y III

07 La base y la altura de un rectángulo aumentan

08 Si el largo de un rectángulo aumenta en 10%

en 20% y 30% respectivamente. Como consecuencia, ¿en qué tanto por ciento aumenta el área del rectángulo?

y el ancho disminuye en 10%, entonces el área del rectángulo:

08 Si el lado de un cuadrado disminuye en 40%, 09 ¿En cuánto por ciento aumenta o disminuye ab,

Señala lo correcto:

10 El precio de un artículo sufre un aumento del

A) Solo I D) II y III

104

¿en cuánto por ciento disminuye el área?

I. No varía II. Aumenta en 1% III. Disminuye en 1% B) Solo II

1

cuando a aumenta en 40% y b disminuye en 30%?

C) Solo III E) I, II y III

30% en un mes y vuelve a subir un 30% en el siguiente mes. ¿En cuánto por ciento aumentó el precio en los dos meses?

Capítulo

20

CONTEO DE FIGURAS

Contar objetos podría parecer muy simple y sólo se necesitara saber contar; sin embargo, hay situaciones en las que se necesita conocer algunas técnicas que nos facilite el conteo.

Ejemplo 2: ¿Cuántos cuadriláteros como máximo hay en la figura?

Aquí vamos a estudiar dos técnicas para contar figuras: Por enumeración y por cálculo.

Conteo por enumeración: Veamos esta técnica mediante el siguiente ejemplo:

Resolución:

Ejemplo 1: ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura mostrada?

1

2

3

4

□1 = 4 □2 = {12; 34; 24; 13} = 4 Resolución: Primero enumeramos todas las regiones determinadas en la figura.

□3 = – □4 = {1234} = 1 ∴ Total: 4 + 4 + 1 = 9

Rpta.: 9 □s

1 2 3 5 6

4

Ejemplo 3: ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura?

Contamos los triángulos de un número; en orden: 1; 2; 4; 5; 6 ⇒ 5 triángulos. Ahora, los triángulos de dos números. Siempre en orden, combinando cada número con sus mayores. No se debe combinar un número con su menor, porque se supone que cualquier combinación con un número menor ya ha sido considerada.

Resolución: a

Triángulos de dos números: 23; 35; 46; 56

b 1 c 5 2

4 triángulos.

Triángulos de tres números:

d 6

3 triángulos.

134; 135; 234

Triángulos de 4 números: No hay.

3

□1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = 6

Triángulos de 5 números: 13456

4

□4 = {2345} = 1

1 triángulo.

∴ Total: 6 + 1 = 7

Total triángulos: 5 + 4 + 3 + 1 = 13 Rpta.: 13

Rpta.: 7 cuadrados.

1

105

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En la figura, donde queremos contar el número de segmentos, el último número es 5. Entonces, el número de segmentos es:

OBSERVACION Con este tipo de conteo, se puede realizar el conteo de cualquier figura, colocando siempre números y letras hasta visualizarlas todas.

5×6 2

= 15

Segmentos y otras figuras Conteo por cálculo: Si una figura presenta una regularidad que se repite en alguna característica; entonces se puede hacer una generalización. Se puede deducir una fórmula que puede utilizarse para cualquier número de repeticiones.

Muchas figuras pueden contarse solamente contando el número de segmentos. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 3: ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

Ejemplo 1: ¿Cuántos segmentos se puede contar en la siguiente figura: Resolución Resolución:

Enumeremos los segmentos de la base:

Vamos a enumerarlos. 1

2

3 1

Ahora, los contamos 1

2

2

3

3

1

y

1

2

2

3

2

3

4

Por cada segmento de la base, hay un triángulo. Observa la siguiente figura:

En total, son 6 segmentos. Ejemplo 2: ¿Cómo contarías los segmentos que hay en la siguiente figura?

1 2 1 2 1 2 Entonces, para saber cuántos triángulos hay en la figura, basta con contar los segmentos de la base. En la base hay

Resolución: 2

2

= 10 segmentos.

Entonces, hay 10 triángulos.

Primero, los enumeramos: 1

4×5

Rpta.: 10

3

4

5

Aquí tenemos otros ejemplos:

Tenemos que pensar como en el ejemplo 1: 1

1

2

1

2

3 segmentos

6 segmentos

1×2

2×3

3×4

2

2

2

1 segmento

3

Para calcular el número total de segmentos, multiplicamos al último número por su consecutivo y lo dividimos entre 2. 106

1

1 2 3 4 5 6 Hay

6×7

= 21

2 rectángulos

1 2 3 4 Hay

4×5

= 10 2 hexágonos (fig de 6 lados)

CONTEO DE FIGURA S

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Al trazar las dos diagonales de un rectángulo, ¿cuántos triángulos como máximo se forman?

04 ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura?

Resolución: ∆s de 1#: 1; 2; 3; 4 ⇒ 4 ∆s de 2#s: 12; 14; 23; 34 ⇒ 4 Total = 4 + 4 = 8

2 1

3 4

Rpta.: 8

Resolución:

02 ¿Cuántos triángulos como máximo hay en esta figura?

x 1

2

4

5

3 ∆1 = {1; 2; 3; 4; 5} = 5

Resolución: 3 2

∆2 = {12; 23; 34; 45; 2x; 4x} = 6

∆s de 1#: 2; 3; 4; 5; 6; 7 ⇒ 6

4

∆s de 4#s:

1 7 6

∆4 = {234x} = 1 ∴Total = 5 + 6 + 2 + 1 = 14 ∆s

1246; 1357 ⇒ 2

5

∆3 = {123; 345} = 2

Rpta.: 14 ∆s

Total = 6 + 2 = 8 Rpta.: 8

03 ¿Cuántos triángulos en total hay en esta

05 En la figura, ¿cuántos cuadriláteros hay como máximo?

figura?

Resolución:

Resolución: 2

∆s de 1#:

5

2; 3; 5; 6 ⇒ 4

4

1 3

7 6

∆s de 2#s:

3·4 2

=6

13; 67 ⇒ 2 ∆s de 3#s:

3

3

3 245; 346 ⇒ 2

Total: 3(3) + 4 + 2(2) = 17 Rpta.: 17

4·5 ∴ 6 · 10 = 60

2

= 10 Rpta.: 60

1

107

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06 En la figura, hallar la diferencia del número

N° de triángulos:

máximo de cuadrados y triángulos =

2×3 2

×4 = 12∆s Rpta.: 12

08 ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura?

Resolución: 1

2

3

Resolución:

4

1

n= 3 3

2

2 3 =m

1

1

4

N°∆s =

• N° de cuadrados: 4 × 4 + 3 × 3 + 2 × 2 + 1 × 1 = 30



1

2

2

3



4

(n + m)(n)(m) 2

N° de triángulos: =

• N° de triángulos:

(3 + 3) (3×3) 2

= 27∆s Rpta.: 27∆s

4 × 5 = 20 ∴ 30 – 20 = 10

09 ¿Cuántos cuadriláteros en total se cuenta Rpta.: 10

en la figura?

07 ¿Cuántos triángulos se puede contar en la figura?

10 En la figura, ¿cuántos triángulos hay como

Resolución:

máximo?

4 3 2 1 1

108

1

2

CONTEO DE FIGURA S 11 ¿Cuántos triángulos en total tienen solo un asterisco en su interior?

02 Hallar el número máximo de triángulos en la figura:

* *

*

12 ¿Cuántos cuadrados hay en total?

A) 14 D) 17

B) 15

C) 16 E) 18

03 ¿Cuántos cuadrados como máximo hay en la siguiente figura? a a

13 ¿Cuántos segmentos como máximo hay en

a

la siguiente figura?

a a a a

a

A) 15 D) 18

14 Hallar el total de triángulos.

a

a

a

B) 16

a C) 17 E) 19

04 ¿Cuántos triángulos en total tienen un círculo?

15 Calcula el máximo número de cuadrados en la figura. A) 5 D) 6

B) 8

C) 9 E) 10

05 ¿Cuántos triángulos como máximo se cuenta en la figura?

REFORZANDO 01 ¿Cuántos trapecios como máximo se puede contar en la siguiente figura?

A) 20

B) 18

C) 15

D) 21

E) 16

A) 13 D) 16

B) 14

C) 15 E) 17

1

109

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 06 Obtén el total de triángulos.

TAREA 01 ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura?

A) 45 D) 15

B) 60

C) 30 E) 25

07 ¿Cuántos cuadriláteros como máximo hay en la figura?

02 ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la A) 20 B) 24 C) 30 D) 36 E) 25

08 ¿Cuántos triángulos hay como máximo en la figura?

figura adjunta?

03 ¿Cuántos cuadriláteros como máximo hay en la figura mostrada?

A) 36 B) 45 C) 35 D) 40 E) 42

09 ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay como máximo?

04 ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura?

A) 85 D) 126

B) 94

C) 32 E) 104

10 ¿Cuántas pirámides de base cuadrangular hay como máximo en la figura?

05 ¿Cuántos cuadrados en total hay en la figura? n

2n

n n n n

A) 52 D) 62 110

B) 54

1

C) 48 E) 39

n

CONTEO DE FIGURA S 06 ¿Cuántos triángulos hay como máximo en la

09 ¿Cuántos segmentos hay en total en la figura?

figura?

07 Calcular el máximo número de triángulos en la figura.

10 ¿Cuántos cuadrados como máximo hay en la figura?

08 ¿Cuántos rectángulos como máximo hay en la siguiente figura?

1

111

Capítulo

21

RECORRIDOS EULERIANOS

En la ciudad de Koningsberg, hoy Kaliningrado (Rusia) y en la desembocadura del río Pregel, hay dos islas en medio del río, unidas entre sí por 7 puentes, y a las riberas del río, tal como muestra la figura.

Punto par.- Diremos que un punto es par si el número de líneas que convergen en él es par. Ejemplos.

Río

Isla 1

Isla 2

2 Líneas

4 Líneas

6 Líneas

Río Punto impar.- Diremos que un punto es impar si el número de líneas que convergen en él es impar. Ejemplos Al matemático suizo Leonard Euler (1707 – 1783) le plantearon el problema de que si sería posible dar un paseo pasando por todos los puentes una sola vez. Este problema se conoce como el problema de los puentes de Koningsberg y su solución dio inicio a una de las interesantes ramas de la Geometría moderna, la Topología. Si consideramos las porciones de tierra firme como un punto y los puentes como una línea, la figura se convierte en la siguiente:

Y el problema se reduce a dibujar esta figura de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel. Euler demostró que eso no era posible y así dio inicio a las raíces de la Topología. En adelante, estudiaremos las condiciones que debe tener una figura para ser dibujada de un solo trazo y sin alzar el lápiz del papel. Para ello, previamente, vamos a definir algunos términos. 112

1

3 Líneas

7 Líneas

5 Líneas

Caso 1. Si todos los puntos de una figura continua son pares; entonces, se puede dibujar de un solo trazo y sin levantar el lápiz del papel. Ejemplos.

Caso 2. Si la figura tiene dos puntos impares, se puede dibujar de un solo trazo y sin repetir, empezando de uno de los puntos impares. Si tiene más de dos puntos impares no es posible. Se tiene que repetir una línea por cada par de puntos impares después de los dos primeros. Por ejemplo, si hay 8 puntos impares, hay 6 más aparte de los 2 primeros. Como 6 puntos hacen 3 pares; entonces, se tiene que repetir 3 líneas.

RECORRIDOS EULERIANOS Para estar dentro de la figura, hay que salir y entrar; es decir, hay que cruzar dos líneas.

Ejemplos

Se puede salir y entrar varias veces; entonces, se tendrá que traspasar un número de líneas para mantenerse dentro de la figura. Sí

Sí

Sí

Si estando dentro se ha traspasado un número impar de líneas, de hecho que está fuera de la figura. En consecuencia, es suficiente contar el número de líneas que hay entre A y B:

No

No

No B

Adentro y afuera Consideremos la siguiente figura cerrada:

A 1

2

3 4 5

6

8 7

9

Entre A y B hay 9 líneas y 9 es impar; entonces, si un punto está fuera, el otro está dentro. Como A está fuera, entonces B está dentro.

B A

Por ejemplo, en la figura mostrada, ¿cuántos puntos están fuera y cuántos, dentro? Se observa que el punto A está fuera de la figura y el punto B, dentro. Si tapamos los bordes de la figura tal como se muestra abajo:

A B A

Es difícil determinar qué punto está dentro y qué punto fuera. Sin embargo, sabiendo que A está fuera, se puede determinr si B está dentro o fuera.

El punto A está dentro. Es suficiente contar cuántas líneas hay entre el punto A y cada uno de los demás puntos para determinar si está fuera o dentro de la figura. Rpta.: Dentro 5 y fuera 6.

1

113

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 ¿Cuál de estas figuras se puede dibujar de un solo trazo y sin levantar el lápiz del papel?

Tiene dos puntos impares. Sí es posible.

i

i Rpta.: II y III

03 Una mosca se halla en el interior de un I

II

III

i

i

hexágono. Intenta cruzar todos los lados del mismo una vez solamente y terminar en el interior. ¿Es posible?

Resolución:

i

i

i

i

i

i

i

i

Tiene 6 puntos impares. No es posible

Tiene 2 puntos Tiene 4 puntos impares. impares. Sí es posible No es posible

Rpta.: Sólo I

02 ¿Cuáles de las siguientes figuras se puede dibujar sin pasar dos veces por la misma línea ni levantar el lápiz del papel?

I

Resolución:

II

Rpta.: Sí es posible

04 Se ha construido un prisma con 9 cerillas de madera, tal como se muestra en la figura. Si cada cerilla mide 3 cm, ¿cuál es la menor longitud que recorre un caracol al pasar por todas las aristas del prisma?

III

Resolución: Esta figura tiene 4 puntos impares. No es posible dibujar de un solo trazo.

i

Resolución: Como hay 6 puntos impares, 6÷2 = 3 pares y 3 – 1 = 2 pares adicionales,  repite 2 líneas Recorre 9 + 2 = 11 líneas  11·3 = 33

i i

i

Todos los puntos son pares, por consiguiente sí es posible. Rpta.: 33 cm

05 ¿Cuál es la longitud mínima que recorrerá una hormiga para poder explorar todas las aristas de un cubo de 4 cm de arista?

114

1

RECORRIDOS EULERIANOS Resolución:

09 Se podrá cruzar todos los puentes sin volver Hay 8 puntos impares, 8 ÷ 2 = 4 pares. Por el primer par, no se repite; por los 3 pares siguientes se repite 3 aristas.

sobre los pasos.

Río

 Recorre 12 + 3 = 15 aristas. Longitud = 15·4 = 60

Río Rpta.: 60 cm

06 ¿Cuántos segmentos como mínimo deben repetirse, para poder dibujar la figura de un sólo trazo y sin levantar el lápiz del papel?

10 La figura muestra el plano de la primera planta de una casa. ¿Es posible entrar y salir de la casa pasando una sola vez por todas las puertas?

11 ¿Qué figura(s) se puede(n) realizar con un

Resolución: La figura tiene 8 puntos impares, 8÷2 = 4 pares y 4 – 1 = 3 adicionales al primer par. Por lo tanto repite 3 segmentos. Rpta.: 3

trazo continuo sin levantar el bolígrafo ni pasar dos veces por el mismo trazo?

07 ¿Es posible dibujar la figura mostrada de un solo trazo y sin alzar el lápiz del papel?

I

II

III

12 En la siguiente figura, se desea saber si es posible dibujar una curva simple y abierta que pase exactamente una vez por cada uno de los segmentos de recta.

Resolución:

Rpta.: Sí

08 Si el punto ‘‘A’’ esta dentro de la figura, ¿el punto ‘‘B’’ está dentro o fuera de la figura? A

13 Esta mosca ha decidido recorrer todas las líneas de la figura a 5 cm/min. ¿Qué tiempo tardará como mínimo en cumplir su objetivo si la figura consta de 8 cuadrados de 5 cm de lado cada uno?

B

Resolución: Entre A y B hay 9 líneas de separación y 9 es impar; entonces, si A está dentro, B está fuera. Rpta.: Fuera

1

115

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 14 En el gráfico, se tiene 79 rectángulos y 80 circunferencias.

04 ¿Cuál de los siguientes gráficos admite un recorrido euleriano?

....

II

I

Podemos afirmar: A) No se puede dibujar de un solo trazo. B) Se puede hacer de un solo trazo. C) La podemos trazar partiendo de cualquier punto. D) Cumple B y C. E)

Es imposible.

III A) Solo I D) Solo I y III

B) Solo II

C) Solo III E) Todas

05 En la figura, encontrar la longitud del recorrido

15 ¿Se podrá cortar todos los segmentos de la figura, pasando una sola vez por cada uno?

mínimo que se debe hacer para trazarla sin levantar el lápiz del papel. 5 cm

5 cm 5 cm

A) 65

REFORZANDO

5 cm

B) 75

5 cm

C) 85

5 cm

D) 90

E) 95

06 Una araña se encuentra en el interior de un

01 Una de estas figuras no puede dibujarse sin

polígono e intenta cruzar todos los lados del mismo una sola vez y terminar adentro.

levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por la misma línea. Indique cuál es.

I. Es posible siempre que el número de lados del polígono sea par. II. Es posible siempre que el número de lados del polígono sea impar.

B)

A)

III. Es posible siempre que el polígono sea regular.

C) D)

Es correcto:

E)

02 Una araña recorre todas las aristas de un cubo, haciendo un recorrido mínimo. ¿Por cuántas aristas debe pasar 2 veces? A) 3 D) 1

B) 2

C) 4 E) 5

03 ¿Cuál o cuáles de las siguientes figuras puede

A) Solo I D) I y III

B) Solo II

C) Solo III E) II y III

07 Respecto a la figura, podemos afirmar que se podrá trazar de un solo trazo si:

A

dibujarse de un solo trazo y sin levantar el lápiz del papel?

B A) Empezamos por cualquier punto. B) Empezamos por el punto A.

I

II

A) Solo I D) I y II 116

B) Solo II

1

III C) Solo III E) I, II y III

C) Empezamos por el punto B. D) Cualquiera A o B. E) No se puede trazar.

RECORRIDOS EULERIANOS 08 Si el punto ``A´´ está dentro de la figura:

TAREA 01 ¿Qué figura se puede realizar de un sólo trazo

A

y sin levantar el lápiz del papel?

B I. El punto ``B´´ está dento de la figura. II. El punto ``B´´ está fuera de la figura. III. No es posible saber. A) Solo I C) Solo III D) I y II

I

II

III

02 ¿Cuál de los siguientes gráficos admite un B) Solo II

paseo euleriano?

E) Ninguno

09 ¿Se podrá cruzar todos los puentes sin volver sobre los pasos?

I

II

III

03 ¿Qué figura se puede realizar de un solo trazo y sin levantar el lápiz del papel?

I

I.

Es posible.

II.

No es posible.

II

III. Es posible siempre que se pase dos veces por un puente. A) Solo I C) Solo III D) I y III

B) Solo II

III

04 Hallar la longitud mínima para trazar el siguiente sólido, si todas sus aristas miden 4 cm.

E) Ninguno

4 cm

10 ¿Cuántos centímetros como mínimo se debe recorrer con el lápiz para dibujar el siguiente rectángulo sin levantar el lápiz del papel?

4 cm

4cm

05 ¿Cuál es la longitud mínima que recorrerá una 3 cm

hormiga para poder explorar todas las aristas de un cubo de 2 cm de arista?

2 cm

06 La siguiente figura se podrá recorrer de un

A) 45 cm C) 48 cm D) 50 cm

B) 46 cm

solo trazo siempre y cuando se empieza por el punto: A B C

E) 44 cm F

E

D

1

117

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 ¿Qué figura se puede realizar de un solo trazo y sin levantar el lápiz del papel?

09 La siguiente figura se podrá recorrer de un sólo trazo siempre y cuando se empiece por el punto: C B

I

II

III

08 ¿Cuál es el menor recorrido que se debe realizar para trazar la figura, sin levantar el lápiz del papel? 2 cm 2 cm 2 cm

118

1

2 cm

A

D F

E

10 La figura es el plano de un museo. ¿Es posible pasar por todas las puertas de cada sala exactamente una vez? No interesa dónde se empiece o termine.

Capítulo

22

CRIPTOARITMÉTICA

Criptaritmos: La palabra “Criptaritmos” hace referencia a una operación matemática, donde algunas o todas las cifras se ocultan. Consideraciones Importantes: • Letras diferentes representan cifras diferentes y letras iguales representan a una misma cifra o el mismo valor (caso contrario quedará especificado en el problema). Ejemplo 1: A

B

C

D

E

E

F

F

1

2

3

4

5

5

6

6

Cifras diferentes •

•

Cifras Cifras iguales iguales

Cada asterisco representa a una cifra y dos asteriscos pueden tener el mismo o diferente valor. Las cifras utilizadas (sistema decimal), son: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

•

La suma de dos cifras no puede ser mayor que 18.

Resolución: 3×B = ––8 Entonces: B = 6 Además: 3×7 + 1 = ––C

Deducimos que: C = 2 Luego: 3×A + 2 = 14

4 3 2 1 0

2 + 7 ⇒ 7 + 3 = 10 3 2

∴A+B–C⇒4+6–2=8 2) Hallar la suma de todos los asteriscos, en: * * 5 8 * 1 0 6 * * * * 0 Resolución: * * 5 8 * 1 0 6 * * * * 0

3 × * 2 2

3 × * * 2

Luego, debemos buscar un número que, multiplicado por 3, termina en cifra 2. ¡Muy bien! es el número 4.

Por lo tanto, quedan:

Entonces en: 4 7 1 1 3

No te olvides que estás llevando 2

Entonces: A = 4 Nos pide hallar:

Ejemplo 2: Sabemos que:

No te olvides que estás llevando 1

2 + B Concluimos que: B + 2 = 10 7 7 Rpta.: B = 8

Problemas resueltos 1) Si: A 7 B × 3 1 4 C 8 Hallar: A + B – C

* * 5 8 * 1 0 6 * * * * 0 Osea: * * 5 8 * 1 0 6 5 * * * 0

3 × 4 2 2

5 × 3 = 15 Por lo tanto, el asterisco señalado es 5.

3 × Ahora, debes buscar un número que, multiplicado 4 por 5, nos dé 1065. 2 1065 = 213? ¿Fácil, verdad 2 5

1

119

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4) Hallar “A + B + C”, si:

Reconstruyendo obtendremos: 2 1 5 8 5 1 0 6 5 1 1 5 0

3 × 4 2

A B 5 + C 3 A 3 8 7 Resolución:

2

5+A+=7⇒A=2 B+3=8 ⇒B=5

∴ Suma de todos los asteriscos es 26. Rpta.: 26

A + C = 3; pero sabemos que:

3) Hallar “M + E + S”, si:

A=2⇒C=1 ∴ “A + B + C”, es igual a 8

MN + E E S S MES

Rpta.:8 5) Hallar “A + B + C”, si: A B C × 99 = ...759 Resolución:

Resolución:

Del enunciado:

De las unidades: M + E + S = ... S  M + E = 10 M + E = ... 0 De las decenas: M+E+S+1=ME M=1

A B C 0 0 – A B C * * 7 5 9



• 10 – C = 9  C = 1 • 9 – B = 5  B = 4



• 10 – A = 7  A = 3 ∴C+B+A=1+4+3=8 Rpta.: 8

1 + 9 + S + 1 = 19  E = 9 Observación:

 S=8

S + 11 = 19

ABC × 99 = ABC (100 – 1)

∴ M + E + S = 1 + 9 + 8 = 18 Rpta.: 18

ABC × 99 = ABC00 – ABC

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 En la siguiente operación.

02 Si: a + b + c + d = 15

Hallar (A + B + C).

Hallar: abcd + bcda + cdab + dabc Resolución:

AB9C– BAC9

+1 +1 +1

a b c d 1 6

1AB3 Resolución: A8 B6 9 C2 – B6 A8 C2 9

C=2

1 A8 B6 3

A=8

B=6

Rpta.: 16

1

c d a b 6

d + a b c 5 Rpta.: 16665

∴ A + B + C = 16

120

b c d a 6

CRIPTOARITMÉTIC A Resolución:

03 Hallar: “A + B + C”, si:

Recordemos:

A5B× 8 28C8

+1

A7 B2 4 + A = 7 B=2 5 3 A7 C=1 C1 2 6 C1

Ademas: C ≠ 0 y B > 5 Resolución:

∴ A + B + C = 10

+4 +4

A3 5 B6 × 8 2 8 C4 8

A=3 B=6 C=4

Rpta.: 10

07 Hallar la suma de todos los asteriscos en:

∴ A + B + C = 13

* * 4 * * * * * 8

Rpta.: 13

04 Si: 1abcde× 3 abcde1

4 2 1 4 9 4 1 0 8

Resolución: +2 +1 +2

1 a4 b2 c8 d5 e7 × 3 a4 b2 c8 d5 e7 1

7 2

08 Reconstruir la siguiente multiplicación y

4 5 4

dar como respuesta la suma de las cifras del segundo producto parcial. 6 * * 3 * * * * 2 6 2 * * 7

05 Sabiendo que: SIN + SIN = NADA Hallar: S + I + N + A + D + A Resolución: S6 I4 N1 + Dos sumandos S I N 6 4 1 es N A D A 1 2 8 2 1

2

6 4 3 3 2 1 1 9 2 6 2 2 4 7

8 2 Rpta.: 23

06 Si:

A B 4 + 5 3 A C 2 6 C

* × 5 * 0

Resolución:

∴ S + I + N + A + D + A = 23 1

1 Rpta.: 29

Rpta.: 30

6 4

7 × 3 1

∴ 4 + 7 + 2 + 1 + 1 + 9 + 4 + 1 + 0 = 29

∴ c + e + b + a + d + a = 30 8

1

Resolución:

Hallar: c + e + b + a + d + a +1

* × 3 *

2 × 5 0 0

Multiplicando Multiplicador Primer prod. parcial Segundo prod. parcial Producto total o final

∴ 1 + 9 + 2 + 6 = 18 Rpta.: 18

09 Si: A7 + B2 + AB = 122 Hallar: “(A + 1) (B+ 1)”

Hallar: “A + B + C”

1

121

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 10 Si:

03 Hallar la suma de todos los asteriscos en:

4 + 44 + 444 + 4444 + 44444 + 444444 = ...abc "a + c" Hallar: b

2 4 * * 6 9 * A) 24

11 Si: SAL + MAS = ALLA Calcular: (M + A + L + L + A + S)

B) 27

04 Hallar “A”, si:

*

C) 28

D) 30

E) 32

D) 6

E) 7

4 B C – 3 A B 1 C 5

12 Si: MM + II + LL = MIL Hallar: “M × I × L” A) 3

* × * 4

B) 4

C) 5

13 Si: A 5 6 + B A B

05 Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de cifras del dividendo.

D 1 9 4

7 * * * * – 4 * * 2 – 1 1 –

Hallar: “A + B + D”

14 Reconstruir la siguiente división y dar como respuesta la suma de las cifras del dividendo. * * * * 3 * 2 2 * * 4 – 6 * * * – 4 * * * * 2

1 b 8 1 5 A) 13

Calcular: “ aaa + bbb + ccc”

B) 15

07 Si:

REFORZANDO

C) 4332 E) 2342

A 3 B B × 8 4 B A 7 6

Hallar: “A + B” A) 5 D) 8 122

B) 6

1

8 c 8 5

C) 16

0 5 3 9

a + b 7 5 D) 17

E) 18

Hallar “B + 2C”

Calcular: “2abc + 1cab + bca”

02 Si:

c 1 a 5

C B C + B 3 5 1 C C 7

01 Si: (a + b + c)2 = 144 B) 3332

* * 3 * * 8 – 7

A) 26 B) 24 C) 25 D) 23 E) 27

06 Hallar “a + b + c”, si:

15 Sabiendo que: a + b + c = 23

A) 4392 D) 4432

* * * * 5 3 * *

C) 7 E) 10

A) 20

B) 13

C) 15

D) 18

E) 24

08 Reconstruir la siguiente multiplicación y dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. 3 * × * 6 1 * 2 * 4 * 3 * A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

CRIPTOARITMÉTIC A 09 Si:

a 5 2 1 b

b a 7 c

04 Reconstruir y dar como respuesta el valor de:

c + 7 4 7

B + A + CA B 4 A × ; O = cero 6 C O B 2

Hallar: “b + a + c + a” A) 18 D) 17

10 Si:

B) 21

C) 15 E) 19

05 Hallar “A + B”, si: 63A + 27A + BB = 93B 06 Si: MAR × 99 = ...779, hallar “M + A + R”

1 P R O F E × 3 P R O F E 1

07 Reconstruir: 5

Hallar: “P + R + O + F + E” A) 21 D) 28

B) 24

C) 26 E) 31

1 2 – 8 0 7 0 0 9 1

Indicar la suma de cifras de los espacios en blanco.

08 Reconstruir y dar como respuesta el valor de:

TAREA

PQ + QR

01 Si: 6M6 R + R 6M6 9 3 2 8

P QQ R + ;Q ≠ 0 R R P 2 R 3 5

09 Si : LUNA × 9 = ....9313 Hallar: “L + A + N + U”

Hallar: “R + M”

02 Reconstruir y dar como respuesta el valor de: A(A + B).

10 Sabiendo que : 1n + 2n + 3n + ... + 9n = ab1 Hallar el valor de (a + b + n)

3 A B × 7 2 A 1 B

03 Reconstruir y dar como respuesta el valor de: AA + BB. A B 8 6 × B 1 A 9 B B

1

123

Capítulo

23

SITUACIONES LÓGICAS

Mediante estas situaciones, vamos a desarrollar el pensamiento lógico matemático.

Mi madre

1. RELACIÓN DE PARENTESCO

Mi esposa

Es la misma relación que se cumple cotidianamente; es así, que podemos establecer las siguientes relaciones:

• El papá de tu mamá es tu:

Único vástago de mi madre

yo

________________________

Mi hija

• El hermano de tu papá es tu: ________________________



• El hijo del hermano de tu mamá es tu: ________________________



• El hijo de tu hermano es tu:



________________________

• El único hijo del papá de tu papá es tu: ________________________



• La mamá de mi hermano es mi: ________________________



• La hermana de mi tía que no es mi tía es mi: ________________________



• El único hijo de mi padre:

Rpta.: se puede observar que dicha mujer es mi hija. Ejemplo 2: En una cena familiar, están reunidos dos padres, tres hijos, un abuelo y dos nietos. ¿Cuántas personas como mínimo están presentes en dicha cena? Resolución: En este caso, aprovecharemos los múltiples roles familiares que puede tener cierta persona. El diagrama adecuado sería: 2 padres

Abuelo

________________________

• El hijo del hijo del hermano de mi papá es mi: ________________________

3 hijos

Papá

Ejemplo 1: ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre?

Hijo 1

Hijo 2

Resolución: En este caso, utilizaremos un esquema para orientarnos mejor.

124

1

Rpta.: 4 personas como mínimo

SITUACIONES LÓGIC A S 2. RELACIÓN DE TIEMPO La situación es la misma que la vida real. Resuelve estas situaciones:

se sabe cuál) y los otros 4 días (lunes, martes, miércoles y jueves) solo se repiten 4 veces en el mes. Es así que podemos hacer:



• El ayer del ayer es: ______________



• El mañana del mañana es: ________

31



• El pasado mañana de ayer es: _____

3

4

5

6



• El anteayer de mañana es: ________

10

11

12



• El mañana de ayer del ayer de mañana es: ___________________

17

18

24

25



Domingo

Lunes

• Si hoy es lunes, ¿qué día fue el ayer del anteayer de mañana? __________ En algunos casos, usaremos la siguiente equivalencia: ... –2 ...Anteayer

–1

0

+1

Ayer

Hoy

Mañana

+2 .... Pasado Mañana ...

Ejemplo 3: Si el mañana del anteayer del mañana del ayer del ayer fue martes, ¿qué día de la semana será el pasado mañana del ayer de mañana de pasado mañana de hace 3 días? Resolución: • +1 –2 +1 –1 –1 = martes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

1

2

7

8

9

13

14

15

16

19

20

21

22

23

26

27

28

29

30

Como ves, hay 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos

También, se observa que el primer día de dicho mes es el primer día en mención; en este caso viernes y, el último día (31), el último día mencionado. En este caso, domingo. Entonces, se observa que el día 05 del mes siguiente es viernes y el 19 del mismo mes es martes. Rpta.: Viernes – Martes Ejemplo 5: El mañana del mañana del pasado mañana de ayer será Lunes. ¿Qué día fue el anterior al subsiguiente día de anteayer? Resolución:

–2 = Martes

Ojo: subsiguiente día < > pasado mañana.

• +2 –1 +1 +2 –3 = ?

• +1 +1 +2 –1 = Lunes

+1 = ?

+3 = Lunes

Luego: ? –2

–1

0

+1

Mar

Mie

Jue

Vie

• –1 +2 –2 = ? → –1 = ? Luego: Jueves

Rpta.: será viernes

–1

Ejemplo 4: En un determinado mes, se observan 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos. ¿Qué día cae el 05 del mes siguiente y el 19 de dicho mes, respectivamente? Resolución: Este mes, que tiene 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos, es un mes que tiene 31 días (no

Viernes Sábado Domingo Lunes

0

+1

+2

+3 Rpta.: Jueves

Nota: • El día que subsigue (o el subsiguiente día) +2. • El día que precede –1. • El día que sucede +1.

1

125

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 La mamá de Miriam es la hermana de mi padre. ¿Qué representa para mí el abuelo materno del mellizo de Miriam?

04 ¿Qué representa para Kike el único nieto del abuelo del padre de Kike? Resolución:

Resolución:

Abuelo del padre de Kike

Mi Papá

Mamá de Miriam

yo

su único nieto

Miriam

Padre del padre de Kike

su abuelo

Padre de Kike

Hermano

El abuelo materno del mellizo de Miriam es mi abuelo también.

Kike

Rpta.: es mi abuelo.

Rpta.: es el papá de Kike.

02 Si anteayer de mañana fue lunes, ¿qué día

05 Los esposos Ramírez tienen cuatro hijos va-

de la semana era el mañana de anteayer? Resolución:



• –2 +1 = Lunes → –1 = Lunes



• +1 –2 = ? → –1 = ? Rpta.: Lunes

rones. Cada hijo tiene una hermana y cada hermano tres sobrinos. ¿Cuál es el número mínimo de personas que conforman esta familia? Resolución: Esposos Ramírez

03 Daniel estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: “¿De quién es esa fotografía?” A lo que él contestó: “Soy hijo único; pero el padre de ese hombre es el hijo de mi padre”. ¿De quién era la fotografía que estaba mirando Daniel? Resolución: Si soy hijo único; entonces, el hijo de mi padre soy yo necesariamente.

Rpta.: como mínimo 10 personas.

06 Si dentro de tres días será lunes; entonces,

Papá de Daniel

el ayer del pasado mañana del anteayer del ayer del mañana fue: Resolución:

Daniel

El padre de ese hombre.

Rpta.: de su hijo.

126

1

• +3 = Lunes • –1 + 2 –2 –1 + 1 = ? → –1 = ? Jue

Vie

Sab

Dom

Lun

–1

0

+1

+2

+3 Rpta.: Jueves

SITUACIONES LÓGIC A S 07 ¿Qué día será el mañana del anteayer del subsiguiente día del ayer, si el mañana del anteayer del ayer fue sábado?

Resolución:

13 Sabiendo que el mañana de anteayer del

mañana de pasado mañana será jueves, ¿qué día fue el anteayer del ayer del mañana de hace dos días?

14 El otro día en los jardines del parque es-

Observación: Subsiguiente día

cuché a dos personas la siguiente conversación: “ Ten en cuenta que mi madre es la suegra de tu padre”. ¿Qué parentesco une a las dos personas?

Pasado mañana • +1 –2 +2 –1 = ? → 0 = ? 0 • +1 –2 –1 = Sábado → –2 = sábado

15 Si hoy es domingo, ¿qué día fue el ayer del pasado mañana de hace dos días?

Sab

Dom

Lun

–2

–1

0 Rpta.: lunes.

08 ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único?

01 La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: A) Hija. C) Nieta. D) Sobrina.

Resolución: Observación: soy hijo único. Mi papá Su nieto

REFORZANDO

B) Madre. E) Prima.

02 ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer

Yo Mi hijo

Su madre

Rpta.: es mi esposa.

09 En un determinado mes existen 5 lunes, 5 martes y 5 miércoles, se pide hallar qué día de la semana es 25 y cuántos días trae dicho mes.

10 Mi tía Juana es la hermana de mi madre. Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Edgar y Martha?

que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? A) Es mi madre. B) Es mi hija. C) Es mi suegra. D) Es mi sobrina. E) Es mi nieta.

03 Pedro se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué? A) Es su hermana. B) Es su hija. C) Es su tía. D) Es su mamá. E) Es su abuela.

11 Si el mañana del pasado mañana, del ayer

04 Se sabe que Jaime es sobrino de Pedro, quien

del anteayer de hace dos días fue miércoles, ¿qué día será el mañana de dentro de tres días?

es hermano de Juan, el que, a su vez, es padre de Víctor. Si Jaime no es hijo de Juan, ¿qué relación existe entre Jaime y Víctor?

12 ¿Cuántas personas como mínimo forman una familia que consta de un abuelo, una abuela, dos padres, tres madres, dos sobrinos, un tío, una tía, una nieta, dos nietos, una nuera, una suegra y un suegro?

A) Jaime es tío de Víctor. B) Son hermanos. C) Jaime es sobrino de Víctor. D) Son primos. E) Víctor es padre de Jaime.

1

127

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 05 En una reunión, se encuentran 1 abuelo, 2 padres, 2 hijos y 1 nieto. ¿Cuántas personas como mínimo se encuentran en dicha reunión? A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5

06 Si ayer del anteayer de mañana fue lunes, ¿qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? A) Lunes. C) Miércoles. D) Jueves.

B) Sábado.

TAREA 01 Luis se jactaba de tratar muy bien a la suegra de la mujer de su hermano, ¿por qué?

02 En una cena familiar, se encuentran dos padres, dos hijos y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo la cena?

03 La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi...

E) Domingo.

04 Si hoy es jueves, ¿qué día será el mañana del 07 Si el anteayer del pasado mañana de anteayer fue viernes, ¿Qué día es el ayer del pasado mañana de ayer? A) Domingo. C) Martes. D) Jueves.

B) Lunes. E) Sábado.

08 Si el mañana del pasado mañana del ayer de

05 ¿Cuál es el día que está anterior al siguiente día del que subsigue al posterior día del que está después del día que precede al anterior día de hoy sábado?

mañana de hace tres días es miércoles, ¿qué día será el ayer del pasado mañana del mañana de pasado mañana?

06 Si el ayer del anteayer de mañana del pasado

A) Lunes. C) Miercoles. D) Domingo.

07 Luis es el único hijo del abuelo de Miguel y

B) Sábado. E) Martes.

09 Si el anteayer de mañana de pasado mañana será viernes, ¿qué día fue ayer? A) Miércoles. C) Sábado. D) Jueves.

B) Lunes. E) Martes.

10 Hace dos días se cumplía que el anteayer del ayer de mañana era martes. ¿Qué día de la semana será cuando, a partir de hoy, transcurran tantos días como los días que pasaron desde el ayer de anteayer hasta el día de hoy? A) Sábado. C) Martes. D) Jueves.

128

anteayer del mañana del pasado mañana de hace dos días?

B) Lunes. E) Domingo.

1

mañana del ayer de hace dos días fue lunes, ¿qué día será el mañana de hace un día? Ángel es el hijo de Luis, ¿qué es Miguel de Ángel?

08 Si el mañana del mañana del ayer del pasado mañana del mañana del ayer será jueves, ¿qué día será dentro de cuatro días?

09 ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo de Leonel, si la madre de Leonel es la hermana de mi hermano gemelo?

10 Si el ayer del mañana del pasado mañana de hace tres días es el día que subsigue al ayer del anteayer del mañana del viernes, ¿qué día de la semana será el inmediato anterior al día que sigue al mañana del pasado mañana del mañana de hoy?

Capítulo

24

PERÍMETROS DE FIGURAS

Cojamos un hilo y 4 clavos. Sobre una tabla, dibujamos un rectángulo y, en cada vértice, clavamos un clavo.

En general:

a 15 cm

b

20 cm

Perímetro = 2(a + b)

En seguida, rodeamos los 4 clavos con hilo, lo tensamos y amarramos.

En el caso del cuadrado, es suficiente medir un solo lado, porque los 4 lados miden igual y multiplicarlo por 4. a

a

Cortamos el hilo en cualquier punto, lo estiramos y medimos su longitud.

0

10

20

30

40

50

60

70

a

Perímetro = 4a

a En el triángulo, hay que medir sus tres lados, a menos que los tres sean iguales; en tal caso, se triplica un lado.

a

c

La longitud medida es el perímetro del rectángulo que hemos dibujado. En este caso, es 70 cm. Entonces, el perímetro de una figura es la longitud de la línea o borde que lo limita. Otro modo de obtener el perímetro es midiendo la longitud de cada uno de sus lados y sumándolos. En el caso del rectángulo, no es necesario medir sus 4 lados; es suficiente medir dos lados desiguales y duplicar, ya que los pares de lados opuestos miden igual.

b Perímetro = a + b + c Hallar el perímetro de un círculo no es tan simple. Necesitamos conocer un número llamado pi, cuyo símbolo es  y su valor es 3,14159…., con muchas cifras decimales; pero, para nuestros cálculos, es suficiente considerar:  = 3,14 Para hallar el perímetro de un círculo, hay que medir su radio y multiplicar por 2 y por .

Ejemplo: 15 cm

R 20 cm

Perímetro = 2R

Perímetro = 2 (20 + 15) = 70 cm.

1

129

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Ejemplo 2:

La longitud de una semicircunferencia es:

Calcule el perímetro de la región sombreada. Longitud de la = R semicircunferencia

22 cm

R

32 cm

R

7 cm

Ejemplo 1: Calcule el perímetro de la figura: 25 cm Resolución: 16 cm

Obsérvese que la región sombreada está limitada por fuera por una poligonal y, por dentro, por una circunferencia. Los lados de la poligonal, pueden proyectarse (como indican las flechas) a los lados de un rectángulo. Así, el perímetro de la poligonal es igual al perímetro del rectángulo de 32 cm por 22 cm:

Resolución: 25 cm

32 cm

22 cm

16 cm

8 cm

16 cm

8 cm

7 cm

8

25 cm

Perímetro = 2(32 + 22) + 2(7) = 108 + 14

Perímetro = 16 +2(25) + 8= 66 + 8 Rpta.: 66 + 8

Rpta.: 108 + 14

RESOLVIENDO CON EL PROFESOR 01 Si el perímetro del cuadrado es igual al del rectángulo, ¿cuánto mide el lado del cuadrado?

p(Cuadrado) = 32  Lado del cuadrado = 32÷4 = 8 cm Rpta.: 8 cm.

02 Si el perímetro del hexágono regular mide 6

L

10

L

Resolución: p(Rectángulo) = 2(10 + 6) = 32

130

L

1

48 cm, ¿cuánto mide el perímetro del triángulo equilátero sombreado?

PERÍMETROS DE FIGURA S Resolución:

05 Si AB = 10 cm, calcule el perímetro de la región sombreada.

L L

L L

L

L

L

6L = 48

A

B

3L = 24

L

Rpta.: 24 cm.

03 Calcule el perímetro de la región sombrea-

Resolución: El perímetro es: A

da, si el perímetro del cuadrado es 16 cm.

B

+ A

B

Como AB = 10

A

B

=

(10) = 5 2

=

(10) = 5 2

Resolución: Lado del cuadrado mide 16÷4 = 4 cm.

2

2

2

2

A

B

Rpta.: 10 .

4

06 Calcule el perímetro de la región sombrea4

El perímetro de la región sombreada está formada por el perímetro del cuadrado y el círculo:

da, si el perímetro del cuadrado ABCD es 18cm. A

B

p = 16 + 2(2 2 ) ⇒ p = 4(4 +  2 ) Rpta.: 4(4 +  2 )

04 En la figura AB = 10 cm, cacule el perímetro de la región sombreada.

D

Resolución:

a A 2a

h A

B

Resolución: a

b

g

c

2h g

2d

f 2a

2b

2c

B

b 2b B 2c

D 2f A

C

c d

2e C e

ps = a + b + c + d + e + f + g + h

ps = a + b + c + AB

ps = (a + b + c + d + e + f + g + h)

ps = ( a + b + c ) + 10 ⇒ ps = 5 + 10 5 Rpta.: 5( + 2)

ps = 

18  ps = 9 2

Rpta.: 9

1

131

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 07 Si el lado del cuadrado exterior y el lado del

10 El radio de los círculos mide 8 cm. ¿Cuánto

cuadrado interior suman 12 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la región sombreada?

mide el perímetro de la región sombreada?

11 Calcule el perímetro de la región formada

Resolución:

por 3 cuadrados congruentes y un triangulo equilátero.

b a b a

a b a b 4 cm

a + b = 12 cm 4a + 4b = 4(a + b) = 4×12 = 48 Rpta.: 48 cm

08 Los cuadrados son congruentes.

12 En un círculo, se inscribe un cuadrado y, en

a = perímetro de la región sombreada de la figura I. b = perímetro de la región sombreada de la figura II.

este cuadrado, otro círculo de radio 4 cm. ¿En cuánto difieren los perímetros de los dos círculos?

13 Si el perímetro del rectángulo ABCD es 24 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura sombreada? A

B

D

C

II I Es correcto: II. a = 2b I. a = b

III. b = 2a Rpta.: Solo I.

09 Las longitudes de los lados de los cuadrados ABCD y MNPQ están en la relación de 3 a 2. Si el perímetro de la región sombreada es 40 cm, ¿Cuál es el perímetro del cuadrado ABCD?

¿cuál es la suma de los perímetros de los cuadrados B, C, D y E? B A

B

A M

Q D 132

14 Si el perímetro del rectángulo A es 18 cm,

E

P C

1

C

N D

PERÍMETROS DE FIGURA S 15 ¿Cuál es el perímetro de la región sombrea-

04 En la figura:

da si ABCD es un cuadrado y MNPQ puntos medios de los lados?

N

A

C

B

A

B

r P

M

Sean:

a = perímetro de A

D

Q

c = perímetro de C

C

I. a + b = c II. a + b > c

REFORZANDO

III. Perímetro de A, B y C = a + b + c

01 El lado de un cuadrado mide 8 cm y el de un hexágono regular 6 cm. ¿En cuánto se diferencian sus perímetros? A) 2 D) 8

B) 4

C) 6 E) 5

Triángulo equilatero

B) Solo II E) Ninguno

rectángulo MNPQ, 20 cm. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada?

A

B

M

N

Q

P

Pentágono regular

Si el lado del pentágono mide 24 cm, ¿cuánto suman las longitudes de los lados del cuadrado y triángulo? A) 35 cm C) 65 cm D) 70 cm

A) Solo I C) I y III D) II y III

05 El perímetro del cuadrado ABCD es 18 cm y del

02 Las figuras mostradas tienen igual perímetro.

Cuadrado

b = perímetro de B

D A) 38 cm D) 40 cm

C B) 58 cm

C) 56 cm E) 36 cm

06 En la figura adjunta, ABCD es un rectángulo.

B) 60 cm

A

B

r

D

C

II

A) El perímetro de la región sombreada es mayor que el del rectángulo ABCD.

E) 80 cm

03 En la figura mostrada:

I 2r

B) El perímetro de la región sombreada es menor que el del rectángulo ABCD.

p = Perímetro de I q = Perímetro de II A) p = q D) p =

2 3

B) p > q q

C) El perímetro de la región sombreada es igual al del rectángulo ABCD.

C) p < q E) q =

2 3

q

D) No se puede determinar. E) Falta saber cuánto mide el lado del rectángulo.

1

133

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO A

07

B M

Q

N

Es correcto: A) Solo I C) Solo III D) I y II

P

D

III. El perímetro de I es menor al perímetro de II.

C

Sean:

B) Solo II E) I y III

10 En las figuras mostrada, a, b y c son los perímetros de A, B y C, respectivamente:

p = perímetro del cuadrado ABCD. q = perímetro del cuadrado MNPQ. A

r = perímetro de la región sombreada.

B

I. r = p + q p+q II. r = 2 III. r < p + q

A) a = b = c

Es correcto:

C) a = b < c

d

C d

d

Marque lo correcto:

A) Solo I C) Solo III D) II y III

B) Solo II E) Ninguno

B) a < b < c E) a  b  c

D) a > b > c

TAREA

08 I

II

2r

2r

01 En la figura AB = 32 cm. Calcule el perímetro de la región sombreada.

A

p = perímetro de I

B

q = perímetro de II I. p = q

02 En la figura AB = 12 cm, calcule el perímetro

II. p = q + 2r

de la región sombreada.

III. p = q – 2r Es correcto: A) Solo I.

A

B

B) Solo II. C) Solo III.

03 Con el perímetro de un cuadrado se forma un

D) No se puede determinar.

triángulo equilátero. Si el lado del triángulo formado mide 16 cm, ¿cuánto medía el lado del cuadrado original?

E) I y II.

09 En las dos figuras mostradas:

04 El perímetro del cuadrado es igual al del triángulo. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado? I

II

L 9

7

L

L

I. El perímetro de I es igual al perímetro de II. II. El perímetro de I es mayor al perímetro de II. 134

1

12

L

PERÍMETROS DE FIGURA S 05 Si el perímetro del cuadrado ABCD es 18 cm,

09 El triángulo ABC es equilátero. Los rectángulos

¿cuál es el perímetro de la región sombreada?

son congruentes y el ancho de cada rectángulo es la cuarta parte de su largo. Si el perímetro de la región sombreada es 60 cm, ¿cuál es el perímetro del triángulo ABC?

A

B

B D

C

06 Calcule el perímetro de la región sombreada si el perímetro del círculo es 8 y ABCD es un cuadrado.

A

A

C

B

10 Si el perímetro de los cuadrados ABCD y MNPQ están en la relación de 5 a 4 y el perímetro de la región sombreada es 18 cm, calcule el perímetro del cuadrado MNPQ.

C

D

B

A

07 El largo de un rectángulo es los 3/2 del ancho

M

N

Q

P

y el perímetro, 30 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?

08 Si el radio del círculo exterior y el radio del círculo interior suman 15 cm, ¿cuánto mide el perímetro de la corona circular?

D

C

1

135

CLAVE DE RESPUESTAS CUADERNO DE TRABAJO Cap

136

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

01

D

B

B

C

A

A

C

B

B

A

02

C

A

B

A

D

C

B

B

E

A

03

A

C

E

B

C

A

A

B

C

C

04

B

A

C

B

B

C

B

A

D

B

05

E

C

B

C

B

D

E

C

D

C

06

D

A

D

B

C

D

A

E

C

E

07

D

B

B

B

A

C

D

A

E

D

08

A

A

E

E

A

C

A

B

A

B

09

D

E

B

D

B

C

C

A

B

B

10

B

E

C

B

D

B

A

C

A

E

11

D

C

E

B

E

D

D

E

D

E

12

D

B

B

A

D

C

A

A

B

A

13

D

B

E

C

E

E

E

C

C

C

14

A

A

A

B

A

D

C

A

E

D

15

D

B

A

A

A

D

C

B

B

D

16

E

E

B

C

C

D

A

A

D

C

17

C

E

A

C

A

B

D

C

B

B

18

B

E

E

E

C

A

E

C

B

C

19

C

D

D

B

C

A

D

C

D

E

20

E

D

C

C

B

A

C

E

D

B

21

E

A

E

E

C

A

B

A

C

E

22

C

C

C

B

A

D

B

D

E

C

23

D

B

D

D

C

D

A

D

A

C

24

B

D

B

A

A

C

A

C

B

A

1

Solucionario

CAPÍTULO

01

NÚMEROS REALES Actividad 01

I. (F)

II. (V)

III. (V)

09

• Juan ( 2)2 = 2 es R



• Luis ( 2) = 8 es I



• Pedro, falso, ver caso de Juan y Luis

07

3

I. (F) ( 3 + 2)( 3 – 2) = 1

Clave C

Clave E

02

• A si cumple.



• B no cumple. (1)(–2) = 2 ∉ B



• C si cumple.

Clave E

03

Si a = K; b = K + 1 y c = K(K + 1)



D = K2 + (K + 1)2 + [(K)(K + 1)]2



D = K2 + K2 + 2K + 1 + K4 + 2K3 + K2



D = K4 + 2K3 + 3K3 + 2K + 1



2

10

• (2 + 3) + (2 – 3) = 4 es R .......... (F)



a • = q + r ; r < b ............................. (V) b



2 4 –4 • = ; ; ... ............................ (V) 3 6 –6

Clave C



II. (F) No existe el elemento neutro.



III. (V) Si x = 1 se cumple 11 = 1

1

Clave E

08

a  b = 2a + 5b



• a  e = 2a + 5e = a  e = –



• e  a = 2e + 5a = a  e = –2a

a 5

a \ – = –2a  a = 0  No tiene a–1 5

Clave B

CUADERNO DE TRABAJO

2

09

Solo Katty dice la verdad.

Clave B

D = (K + K + 1) ⇒

I.

01

D = K2 + K + 1 impar

04

Corrija: Alternativa E) No tiene

I. (F)

II. (V)

III. (V)

Clave D

Clave D

(V)

II. a b e = e b a = a a + e + 2014 = a ⇒ e = –2014 .... (V) III. a b a–1 = e ⇒ a + a–1 = – 2014

02

a + b = c



• A sí cumple



• B no cumple; 1 + 3 = 4  B



• C sí cumple

03

I. par  par×impar = par



II. par  par×impar = par



III. par  par×impar = par



IV. impar  par – 1 = impar

10

a * b = a + b + 1



• a * e = e * a  a + e + 1 = a  e = –1



• a * a–1 = a–1 * a = e 4 * 4–1 = 1  4–1 + 4 + 1 = –1  4–1 = –6



• Es correcto

Clave E

Clave E

⇒ Si a = 4; a–1 = –2018 ................... (F)

Clave D

05

I. Si a = 8 ∧ b = 2



8 – 2 = 6 ∉ (Z – N) ...................... (F)

–n

04

Clave E

06



05

I. (V) (Q)2  Q

a⋅b = c



R⋅ R = I

II. (F) Si a = 2, a2  Q pero a  Q



III. (F) Si a = –2  b = –1





2 ⋅ 2 = 2 ⇒ 2 no es I ......... (F)

|(–2) + (–1)|=|–2|+|–1|  a, b  0

II. Verdadero

Clave D

III. e ⋅e = e2 ⇒ e2 es I ................... (F)

Clave D

06 08

Neutro: a∗e=e∗a=a ⇒ e=0 Inverso: a ∗ a–1 = a–1 ∗ a = e ⇒ a–1 =

02

Clave C

⇒ a = b ∨ a = – b .................. (V)

I.

Clave D

Z

Q

R

5

Si

Si

Si

Si

–7

No

Si

Si

Si

3

2

No

No

No

Si

2/7

No

No

Si

Si

03 Si a, b ∈ R a×b = c ⇒ c ∈ R

A ⇒ si cumple



B ⇒ si cumple



C ⇒ no cumple (–1)(–2) = 2 ∉ C

z + y z y Corrija: IV. = + x x x

IV.

z + y z y = + x x x

a ↑ b = ab + a + b a ↑ e = e ↑ a = a a ⇒ e = – a + 1

04 I. Falso 4

III. x · y = x · y a a – 1

N

I. (V) a q b = b q a  es conmutativa

III. (V) a q (b q c) = (a q b) q c  es asociativa

Clave E

Conjunto Números

II. (F) a q e = e q a  e = 1

E) Si a2 – b2 = 0

07

01 Clave A

II. an ⇒ Si n es par an ≥ 0 ............ (F) III. n + e = 0 ∉ N ............................. (V)

TAREA



Clave B

8 ⇒

4

2

8 = 8 ∈ I

II. Falso 4∈Q ⇒

4 = 2 ∈ Q

5

1

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

REFORZANDO 01 Solo C ⇒

a b a+b + = c + 1 c + 1 c + 1

08

a b e = e b a = a ⇒ e = 2

Falso; a < 0

II. Falo;



III. Falso; a ⇒ r ∈ Z+

04

I. (F)

II. (V)

a ∗ b = (a + b) I. (F)

P ∈ P ⇒ P ∈ Q



II. (Verdadero)

P ⊂ Q



III. L ∈ Q ⇒ A ∆ =







IV. (Falso)

Clave B

III. (F)

IV. (V)

13

y = 2

I. (F)

II. (F)

a # b = b # a, entonces es conmutativa



II. ((1 # 2) # 3) # 4 = 43



1) x o y = xy – x = 42 – 4 = 12







4 x 2) xy = + x = + 2 = 4 2 y

(4 # 3) # 4 ⇒ 13 # 4 = 43

III. a # e = e # a = a ⇒ e = 0

Clave E

4) x ∆ y = 2x + 3y = 2(4) + 3(2) = 14

III. (F)

14 I.

x+y 4+2 5) x ⊗ y = + 2 = 5 + 2 = 2 2



Falso, 1 ∈ 〈0,1] ∩ Q 2



II. Verdadero



III. Falso; 4 ∉ 〈0; 1] Q

Clave E

II

NIVEL

REFORZANDO

III. (F)

11 I. Es asociativa



a ∆ (b ∆ c) = (a ∆ b) ∆ c II.

ab 2

Reemplazando en las operaciones binarias.

NIVEL

Clave D

07 I.

a # b = a + b + I.

Clave B

06

Clave D

3) x ∗ y = xy + 1 = 4×2 + 1 = 3

Clave D

REFORZANDO





2

II. (V)

L2 ∈ Q

III

A ∆ B ∈ R ....... (V)

15 I.

Verdadero



II. Falso; e > 0 ⇒ ex > 0



III. Verdadero

III.

∅ ∈ R .............. (F)

Clave D

a∆e=e∆a=a ⇒ e=a

Solucionario

02

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA

Actividad 01

E = (m + 1)(m – 1)(m2 + 1) + 1



E = m4 – 1 + 1 = m4



03

Si a + b = 3 ∧ ab = 1



• a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 7



• a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = 47



Hallar: a + b + a2 + b2 + a4 + b4 3 7 47

Clave D

1 Si x2 – 3x + 1 = 0 ⇒ x + = 3 x 2 1 1 2 – 2 = 9 – 2 = 7 E = x + 2 = x + x x

Clave E

2

Clave B

II. A ∪ B ∈ R ....... (V)

CAPÍTULO

02

L2 3 4 (Verdadero)

786 2519 ∧ Solo dos números: 625 2000

10 Si x = 4 ∧

Clave A

Clave D

05



Clave C



⇒ V = h ⋅ r2 (p) puede ser Q o I (Verdadero)



Clave D

09 03 I.

Clave B

• Si 13 ∉ P ⇒ 13 ∉ Q



abb=a+b–b

12 I. V = h⋅(p⋅c2)

a∆b=b∆a

Clave C

02

III. Es conmutativa

I

NIVEL

5

57

04

Clave C

Si : a + b = 1 ⇒ (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab a2 + b2 = 2



⇒ ab = –

1 2



• a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)





05

1 = (1)3 – 3 – (1) 2 3 + b3 = 5 ∴a 2

Si a

Clave B

b a – 3 = b – 3 a b

⇒ (a – b)2 = 0 ⇒ a = b ∴ M = 23 – (–2)3 = 16

Clave B

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

06

Si x2 ⋅y2 = b ; x6 – y6 = a3 + 3ab

03

x6 – y6 = (x2 – y2)(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) x6 – y6 = (x2 – y2)(x2 – y2)2 + (3x2y2)

y(x) = x3 + a1x2 + a2x + a3 = (x + a)3



A =

= a3 + 3ab = m(m2 + 3b) = a(a2 + 3b)



⇒m=a

01

8

6

4x = x2 – 1 ⇒ x2 – 4x – 1 = 0 2

04

a + b = 5; a · b = 1  b = a–1 a3 + a–3 = (a + a–1)3 – 3(a + a–1) = 53 – 3(5) \ a3 + a–3 = 110



02 Si:

E =



E = x4 + x2 + 1 + 14 – 1 x2 x

05



1 E = x2 + 12 + x2 + 2 – 3 x x



E = 3



ab Corrija: F = (a – b)2 2 + ab + b2) a3 = b3  a3 – b3 = (a – b)(a 

Si

\ F =

ab 1 = – 3 (a – b)2

0



x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 + z2 – 67 + 9 = 0

03 Si: x2 – 3x + 1 = 0

Clave B

(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 0 x = 1 y = 2 z = 3 ∴ M = x + y – z = 1 + 2 – 3 = – 4 2

2

Clave A bn

an

an

n n a2b2

2

= 9 ⇒

an + bn n n



1  1 2 1 3   E = x + – 2 + x + – 3 x +    x x x



E = 32 – 2 + 33 – 3×3 = 25

bn

Si: • + = 7 • + + 2 = 9 bn an bn an an + bn

06 Si x + 1 = 3  E = x2 + 12 + x3 + 13 x x x

= 3

a2b2

Clave C

1 1 x – 3 + = 0 ⇒ x + = 3 x x 2

04 Si 2a + 3b + 4c = 0



Se cumple: (a + 2b) + (b + 3c) + (a + c) = 0

1  m–3 + n  = 3  m–3 · n–3  m + n3



1 1 1 ⇒ (a + b)2 = ab + = a b a+b

⇒ E =

P =



1 1 P = = (m + n)3 – 3mn(m + n) –24

K =



K =



K =



08

(a + b)6 – 6(a6 + b6)

(ab)3



V =

x2 + y2 + z2 30 = = 5 6 x + z

02

a =

= –11

I

Clave B

(x – 2)2(x + 2)2(x2 + 4)2 + 32x4 – 256

(x4 – 16)2 + 32x4 – 256

Clave B

09

Si a  b  c



(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 T = (a – b)(b – c)(a – c)



3(a – b)(b – c)(c – a) = –3 T = (a – b)(b – c)(a – c)

x8 – 32x4 + 256 – 256 = x8

03

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Clave A

Clave D

⇒ ab = +2

2

2

2

2

= 25 – 2(+2) = 21



V =

(a + b )(b + c )(a + b + c ) (2abc – a3)(2abc – c3)(a + c)



V =

(a2 + b2)(b2 + c2)(a3 + b3 + c3) ac(b2 + c2)(a2 + b2)(a + c)



E =

3abc 3abc = = –3 (ac)(a + c) –abc



=

Clave A

(a + b)4 – (a – b)4 8ab(a2 + b2) M = = = 4ab 2(a2 + b2) 2(a2 + b2)



Si a + b + c = 0



V =

3

3

Clave C

a + b = 5 ∧ a3 + b3 = 95 a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

10

3 + 1 3 + 1 × = 3 + 2 3 – 1 3 + 1

∴ (a2 – 7)2 = (4 3 + 7 – 7)2 = 48

02

NIVEL

[(x – 2)(x + 2)(x2 + 4)]2 + 32x4 – 256



CUADERNO DE TRABAJO 01

= 3

E = (m2 – 1)(m2 + 1) + 1 = m4

(ab)3 (ab)3

(a + 2b)(b + 3c)(a + c)

01 E = (m + 1)(m – 1)(m2 + 1) + 1

Clave A

(ab)3 – 6[(–ab)(–2a2b2)]

K = –

3(a + 2b)(b + 3c)(a + c)

x = 1  y = –2  z = 5

(a + b)6 – 6[(a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4)]

11(ab)3

(a + 2b)(6 + 3c)(a + c)

REFORZANDO

x2 + y2 + z2 = 2(x – 2y + 5z) – 30 (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 5)2 = 0

(ab)3

E =

(a + 2b)3 + (b + 3c)3 + (a + c)3



Clave C

10

1 1 E = x2 + 2 = x + – 2 = 7 x x



–3 –1

07

Clave D

1 5 = 1 – 3 – = 2 2



Si x2 + y2 + z2 + 4 = 2(x + 2y + 3z) – 10

2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1 ⇒ ab = – 2

∴ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

a2 + ab + b2 = 0  (a – b)2 = –3ab

Clave E

2

a + b = 1 a2 + b2 = 2

2

2

2

1 = x + – 2 – 2 = 322 x



Clave D

x + x – x + x + 1 x2



= 1

1 1 ∴ x4 + 4 = x2 + 2 – 2 x x

2

4

(x + 1)2 – (x – 1)2 (x + 1)(x – 1)

Clave C

07 Si x4 – 3x2 + 1 = 0 ⇒ x2 + 12 = 3 x

09

a12 a13 9a2 27a2 +  A = 2 + 3 = 30 a2 a3 3a a

∴ m = x2 – y2 = a

Clave E

08

TAREA

a1 = 3a, a2 = 3a2, a3 = a3

Clave A

3

Clave E

04 Si x + y =

13 ; xy = 4

(x + y)3 – 3xy(x + y) + 4 13 (x + y)2 – 2xy

17 13 – 12 13 13 – 8

= 13

5

Clave A

3

PROYECTO INGENIO

05

x2 + xy + y2 x+y x2 – xy + y2 x+y ∴

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

= a3 – 1 = (a – 1)(a2 + a + 1) = a + 1 = (a + 1)(a – a + 1)

Clave A

REFORZANDO 06

NIVEL



(2x – y)2 + 2(2x – y)(z) + z2 = 0



[(2x – y) + (z)]2 = 0



2x – y = – z ∧ 2x + z = y



E =

II

x y + y x = 2

∴ x + y + z = 2 + 1 + 3 = 6

Clave B

13 10x4 + 10x2 + 4 = 3x2 – 6 10x4 + 7x2 + 10 = 0



1 7 ⇒ x2 + 2 = – 10 x

Clave E

2

10 Se cumple a + b + c = 0

∴ = 3

R =

32x + 32y = 27 ∧

(a3 + b3 + c3)(a2 + b2 + c2)

R =

3abc⋅ (2)(ab + bc + ac) abc ⋅(ab + bc + ac)

3x + 4 = 11

(a – 2) + (b + 4) + (c – 9) = 0 = –6

Clave D



M =

3(a – 2)(b + 4)(c – 9) 6(a – 2)(b + 4)(c – 9)

=

1 2

Clave E

32x + 32y = (3x + 3y)2 – 2⋅ 3x + y



27 = (3x + 3y)2 – 22

15 Si a3 + b3 + c3 = 30

⇒ (3x + 3y) = 7

REFORZANDO

∴ K = (3x + 3y)3 = 343

a2 + b2 = 13 ab = 13(p–1) ∴ 13

NIVEL

Clave E

11  x  08

Clave D

14 Si: a + b + c = 7

abc(ab + bc + ac)

Clave C

07

(x – 2)2 + (z – 1)2 + (y – 3)2 = 0

1  1 13 ∴ x + = x2 + 2 + 2 =  x 10 x

⇒ 3 + 5x3 – 10x2y + 5y3 como x = y

x2 + y2 + z2 = 4x + 2z + 6y – 14

2 2x – y 2x – z + 2z + y 2z

1 1 ∴ E = 1 – = 2 2

–1

x3 y3 x y ⇒ + = 2 ∧ + = 2 y x y3 x3



12 Si x ∈ R

4(2x – y)(z) = 2[(2x – y)2 + z2]

2

3

x + y a + 1 = x – y a – 1

–1

(2x – y – z)2 – (2x – y + z)2 = 2[(y – 2x)2 + z2]

09

n

xn + yn 3

a + b + c = 3 abc = 4

n

y  y  +   = 62   x

(a + b) = 13(1 + 2p–1)

p a + b = a3 + b3 p – 1

III

n

x y

n

=

6



ab + bc + ac = 1

1 1 1 ab + bc + ac 1 E = + + = = a b c abc 4

( x n + y n ) 2 = 6 62 + 2 n

x y

Clave C

n

Clave D

Clave C

Solucionario

CAPÍTULO

03

DIVISIÓN ALGEBRAICA 02

Actividad

x 2 P(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 2 x2 + – 3 3 3x4 + x3 – 2x2



Se concluye: mb = 1 ∧ n = 1 ⇒ mb + n = 2

3x2 + 3

Clave A

0 + 3x2 + x – 2

01

P(x) = x3 – x2 + mx +



P(x) = (x + 4)(x – 1) ⋅d(x) + 14x – 11



• x = –4



P(–4) = (–4)3 – (–4)2 + m(–4) + n

n

3x2 + x – 2

cociente: 3(x2 + 1)

04

P(x) = x4 + x2 + 2 D(x) = x2 – 3 ⇒ x2 = 3

Clave D



R = (3)2 + 3 + 2 = 14

05

P(x) = x98 – 16x94 + 2x2 – 1

Clave D

⇒ n – 4m = 13 .............. (∗)

• x = 1

P(1) = 1

3 – 12 + m

+n

⇒ m + n = 3 .............. (∗∗)

De (∗) y (∗∗)

⇒ m = –2 ∧ n = 5

Clave E

4

5

03

P(x) = x5 + 3mx2 + x + 3



P(x) = (x2 + 2mx + m)(nx + b) + 2



P(x) = x3 + 3mx2 + x + 3 = nx3 + (2mn + b)x2



Residuo = P(–2) = (–2)98 – (–2)4⋅(–2)94 + 2(–2)2 – 1













+ (mn + 2mb)x + (mb + 2)

D(x) = 4x + 8 = 0 ⇒ x = –2



P(–2)= 7

Clave C

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

06

P(x) = x2 + ax + 6

Son divisibles

03

P(x) = x3 + bx2 – cx + 3

Q(x) = x2 + bx + 3

H(x) = 2x + c = 0



P(a) = 13 + b + c + 3 = 0  b + c = –4



P(x) = (x – 1)(x + 1)(x + e) 

x = – 2

c ac c P – = – + 6 = 0 2 4 2 c2 bc c Q – = – + 3 = 0 2 4 2



c 2

TAREA 01

3x3 + 15x2 – 9x

Q(x)

(–)

1 (ac – bc) = 3 ⇒ ac – bc = 6 2

Clave D

07

M(x) 3(x – 5) + 4(x – 6) = = N(x) (x – 5)(x – 6)



• x = 5: M(5) = 4



• x = 6: M(6) = 3

R = 9 – x

2x

3 1 Q(1) = (2)(1 + e) = –  e = – 2 4 1 2 Q(x) = x + x – 3 2 Clave A

2x2 + 10x – 6

02 P(x) = 3x2y – 5x7 + 2x2 + 5 P(–1) = 3 – 5 + 2 + 5 = 5

2

04

P(x) = x + 3x – Ax + B



P(–4) = (–4)3 + 3(–4)2 – 4A + B = 0



P(2) = (2)3 + 3(2)2 – 2A + B = 0

3

03 P(x) = M(x)(x + 5) – 12 ⇒ P(1) = (5)(6) – 12 = 18

 A = –6  B = –8

Clave C

08

\ A – B = 2

04

Clave C

xn+2 – y2n–5 x2 – y3 ⇒

n + 2 2n – 5 = ⇒ n = 16 3 2

3x + 2

2 + 10x – 6

Q(x) = (x + 1)(x + e)

6

3

3x3 + 17x2 + x – 6 x2 + 5x – 3

Clave D

x180 – z80 x9 – z4 tk = (x9)20 – k ⋅ (y4)k – 1

05

P(x) = R'(x)(2x – 1) + 6



P(x) = R''(x)(x + 1) + 3



P(x) = (2x – 1)(x + 1)R''(x) + R(x)



180 – 9k + 4k – 4 = 101



5k = 75 ⇒ k = 15

R(x) = ax + b

09

(x + 2)16 – (x – 2)16

1 a R = + b = 6  R(–1) = –a + b = 3 2 2

(x + 2)2 + (x – 2)2

\ R(x) = 2x + 5

t5 = (–1)6[(x + 2)2]3[(x – 2)]4 t5 = 36 = 729

10

x3 – y4

;

Clave B

x102 – y68

I

m = 49



x3 – y2

NIVEL

01 P(x) = x50 – 2x45 + 3x15 – 4x8 + 2

Clave C

06 x75 – y100

REFORZANDO

x4a + 12 – y4a – 3 xa – 8 – ya – 9



P(–1) = Residuo = 1 + 2 – 3 – 4 + 2 = c



P(–1) = –2

4a + 12 4a – 3 # tnos = =  a = 15 a – 8 a – 9

∴ m + c = 47

Clave B

Clave C

(x3)25 – k ⋅ (y4)k – 1 = (x3)34 – m ⋅ (y2)m – 1

• 25 – k = 34 – m • 2(k – 1) = m – 1



25 – k = 34 – (2k – 1) 2k – 2 = m – 1 k = 10



m = 2k – 1 ...(∗)

07

x240 – y160  tk = (x3)80 – k(y2)k – 1 x3 + y2



240 – 3k + 2k – 2 = 164  k = 74

∴

Clave D

08

Sea:

4x 5y – 9

= n 



2x3 + 7x2 + 10x + p x + 1

x



 –2 + 7 – 10 + p = 2  p = 7

∴m + n = 2 + 1 = 3

02

P(x) = x3 + 2ax2 – 7ax2 + 2a3

P(2) = 2(2)5 – (2)3 – 2(2)2 + 1 – c = 0



= 49 – c = 0 ∴ 4 + 9 = 13



P(a) = a3 + 2a3 – 7a3 + 2a3 = 1  –2a3 = 1 3

Clave C

Clave C

Clave A

P(x) = (x2 – 3x + 2)(x2 – 8x + 15)(x2 – 10x + 24)

04

2

d(x) = x – 7x + 9

x7a – 2 – y2a – 7 x11 – y 7a – 2 = 2a – 7 11 a = 5 ∧ 2a – 7 = 3

Clave E

R(x) = –9

10

Clave A



P(x) d(x)

Clave E

m = 2 n = 1

03 P(x) = 2x5 – x3 – 2x2 + 1

y

\ n = 16

09

Residuo = D(–1) = 2

2 \ a = 2



1 1 1 P – = m – n – 1 = – 1 2 4 2

a5 – 9 – b5 – 9

n(n – 5) = 176  (n + 11)(n – 16) = 176

CUADERNO DE TRABAJO D(x)

P(–1) = m – n – 1 = 0

x x a4 – b4

t5 = (am)n – 5(bp)4 = a176 · b64

01 d(x) =



Clave E

⇒ m = 19 x45y36

02 P(x) = mx2 + nx – 1

05

P(x) = M(x)(x3 + 1) + x2 + x – 1 2

2



P(x) = M(x)(x + 1)(x – x + 1) + x + x – 1



Se divide x2 – x + 1  R(x) = 2x – 2

Clave E

x2n + 1 – y2n + 1 x3 – y3

→ si

Clave B 2n + 1 = m 3

t3 = (x3)m – 3 ⋅ (y3)2 = x12y6 ⇒ m = 7 ∴ n = 10

Clave A

5

5

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5° 2(a2 + b2)5 ⇒ Hay de exponente 10



REFORZANDO

NIVEL

II

06 P(0) = 11

P(x) = M(x)(x – 5) + R(x)



P(0) = (4)(–5) + R(x)

(a2)5 – k(b2)k =

an – r ⋅br

⇒ x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 2)(x + 1)(x – 1)

Como k = 5 Como kmáx = 5

⇒ r = 11



⇒ n = 11

Clave B

Clave A

07 P(x) = (2n – 1)x16n – (5n – 3)x8n

+ (n + 5)x4n – 5 – (3n – 15)x39 + n + 2



REFORZANDO

P(x) = P(–1) = (2n – 1) – (5n – 3) – (n + 5) x + 1 + (3n – 15) + n + 2

P(–1) = –16

Clave D

08 P(x) = M(x)(x2 + 3x + 2) + (2x + 3)

P(x) = N(x)(x2 + 2x – 3) + (x – 2)



P(x) = H(x)(x2 – 1) + R(x)



P(1) = R(1) = – x

09

P(x) = q∗(x)(x2 – x – 2) + (8x + 14) ....(∗∗)



b

b10 = br – 1

R(x) = 11 + 20 = 31

13 P(x) = q(x)(x2 – 1) + (–2x + 4) ....(∗)

5

NIVEL

III



En (∗) y (∗∗)



P(x)(x – 2) = q(x)(x + 1)(x – 1)(x – 2)





P(x)(x – 1) = q∗(x)(x – 2)(x + 1)(x – 1)

8





P(x) = (x – 2)(x + 1)(x – 1)[q∗(x) – q(x)]





Residuo en común –1

14

3 2

⇒ a + b + c = 0

c = –

⇒ a + b – c = 3

3 a + b = 2

10

b

=

+ 10x2 – 2x – 6 → Residuo

⇒ (x + y)

=

n–k

(x + y)n – yn (x + y) – y

⋅ yk = (x + y)25 ⋅ y13

⇒ n = 38

⇒ P(2) = 32 + 16a + 4b + 2c + 1 = 0 9 a = – 3 b = 2 ab ∴ = 9 c

(x + y)n – yn x

∴ (n – 1) – k = 38 – 14 = 26

3 c = – 2

15 Clave E





• P(x) = (x2 – 3)(x + 1)(x) + R(x) (x + 1)

Clave C



a7 + a6 + a5 + .... + 1 Si a3 = a – 1







1 + a + a2 + (a – 1)[1 + a + a2]









+ a3(a3)(a3) + a3(a4)



2a3 + 1 ∴ 2(a – 1) + 1 2a – 1

Clave C

04

FACTORIZACIÓN I

Actividad 01

A(x, y) = 18x2y3(x – 2y)5(x + 1)(x2 + 1)2



I) El polinomio tiene 5 factores primos x; y ; x – 2y ; x + 1 y x2 + 1 ∴ FVV

03

P(x) = (x8 – x2) = x2(x6 – 1)

05

P(x; y) = 4x4 + 625y4



= (x2)(x3 – 1)(x3 + 1)



= (2x2 + 25y2)2 – 2(2x2)(25y2)



P(x) = x2(x – 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)



= (2x2 + 25y2 – 10xy)(2x2 + 25y2 + 10xy)



Suma de coeficientes:



Q(1; 1) = 2(1)2 + 25(1)2 + 10(1)(1) = 37

Clave B

04

Son factores primos

∴ ax + b

Clave B

5



Clave E

(y – 6)(y + 5)(y + 2)(y – 3) + 144 (y2 – y – 30)(y2

Clave C

ax2 + bx – a2x – ab ⇒ ax(x – a) + b(x – a)

6

Clave D

Solucionario

CAPÍTULO

(ax + b)(x – a)

+ (a – 1)[a3 + a4]

⇒ a3 + a2 + a + a3 – a2 – a + 1

∴ Coeficiente del término lineal: –1

b



a[1 + a + a2] + (a – 1)(a – 1)(a + 1)

= x4 + x3 – 2x2 – x + 1

Como uno de los términos es:

02

Clave E

⇒ 1 + a + a2 + a3 + a3(a) + a3(a2)

12 • P(x) = H(x)(x + 1)

n n – 1 n n – 3 3 2 c 1 a ⋅b + c 3 a ⋅b ...



Clave A

⇒ P(x) = (x + 1)(x3 – 2x + 1) (a + b)n – (a – b)n

+ (8x + 14)(x – 1)

P(1) = 2 ∧ P(–1) = 3 ∧ P(2) = 0

Clave C

63 2 −1



2

4

(–)



11 P(x) = x + ax + bx + cx + 1

E = 1 + 8 2 ( E − 8 2 47 ) 1 − 8 2 48 = 1− 8 2

+ (x – 2)(4 – 2x)



E = 1 + 8 2 + 8 2 2 + 8 2 3 + ..... + 8 2 47

E=



– y – 6) + 1444

(a – 30)(a – 6) + 144 a2 – 36a + 344 = (a – 18)2 (y2 – y – 18)(y2 – y – 18) ∴ y2 – y – 18

Clave A

06

P(x) = x5 + x4 + 1



= x5 + x4 + x3 – (x3 – 1)



= x3(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1)



P(x) = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1)

Clave A

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

07

P(x) = x6 + x5 + x3 + x – 1

04

2x2 – 3x – 2 – y2 + 3y + xy 2

02 • A(x, y) = x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + 9

2



= x6 + x5 + x4 – x4 + x + x3 – 1

(x – 1) – (y – 1) + y(x + 1) + (x – 2)(x + 1)



= x4(x2 + x + 1) – x(x3 – 1) + (x3 – 1)

(x + y – 2)(x – y) + (x + 1)(x + y – 2)



= (x2 + x + 1)(x4 – x2 + 2x – 1)



P(x) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x2 + x – 1) ∴ Suma de coeficientes: 3 + 1 + 1 = 5

Clave D

08

A(x; y) = x5 – xy4 = (x)(x – y)(x + y)(x2 + y2)



B(x; y) = (x2 – y2)(x4 – y4)





\ Suma de factores: 3x – 1

05

P(x) = x3 + 2x2 – 2x – 1



2 P(x) = (x – 1)(x + 3x + 1)  

1

\ 3 factores

∴ Grado absoluto: 7

Clave A

P(x) = 2x4 + 3x3 + 8x2 + 6x + 5

D > 0 2 factores

Clave C

06

2x3 – x2 – x – 3 



2(x3 – 1) – (x2 + x + 1)



2(x – 1)(x2 + x + 1) – (x2 + x + 1)



= (x + y + 3)(x + y + 3)



• B(x, y) = x2 + xy – 6y2 + 7x + 16y + 6





= (x + 3y + 1)(x – 2y + 6)

03 • A(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6

Divisores binómicos ⇒ {±1, ±2, ±3, ±6}



A(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)



• B(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 ⇒ {±1, ±2, ±3, ±6}



= (x + 1)(x + 3)(x – 2)

x3 – 1 + x3 – x2 – x – 2

04 • A(x) = x2 – x – 12 = (x – 4)(x + 3) • B(x) = 2x2 – 11x + 12 = (2x – 3)(x – 4)



 (x2 + x + 1)(2x – 3)

09



Clave D

= (x – y)2(x + y)(x2 + y2)

MCM(A; B) = (x)(x – y)2(x + y)2(x2 + y2)



(x + y – 2)(2x – y + 1)



∴ MCD(A, B) = x – 4

Suma de coeficientes del factor lineal es: –1

Q(x) = x4 – x

Clave B

P(x) = (2x2 + x + 5)(x2 + x + 1)



Q(x) = (x)(x – 1)(x2 + x + 1)

07

⇒ MCD[P(x); Q(x)] = x2 + x + 1 ∴ Suma de coeficientes: (1)2 + (1) + 1 = 3

12x2 – 14x – 14xy – 10y2 – 20y – 10 3x –5y –5 4x 2y 2

M(x) = x3 – 1 + x2 – x











02

= (x – 1)(x + 1)

III. (F)

03 A(x, y) = xy4 – 5x2y3 – 4x2y2 + 20x3y

Clave C

09

x2 – xy – y – 1 ⇒ (x + 1)(x – y – 1)

Clave A

2 + 2x + 1) 2

II. (V)

I

Clave D

11x2 + 41x – 12 = (11x – 3)(x + 4) 11x –3 x 4 \ (11 + 3) – (1 + 4) = 9

= (x – 1)(x2 + x + 1) + x(x – 1) = (x – 1)(x

I. (V)

NIVEL

Clave A

08

Corrija: M(x) = x3 + x2 – x – 1

01

(3x – 5y – 5)(4x + 2y + 2)  7x – 3y – 3

Clave E

10

REFORZANDO



= xy(y2 – 4x)(y – 5x)

∴ 15 + 14 = 19

(x – 5)(x + 4)(x – 7)(x + 6) – 504

Clave C

(x2 – x – 20)(x2 – x – 42) – 504

∴ Uno de los factores primos es: (x + 1)

(a – 20)(a – 42) – 504

Clave A

04 P(x) = x4 – 2x2 + 1 = (x – 1)2(x + 1)2

a2 – 62a + 336 = (a – 6)(a – 56)

∴ Suma de factores primos: 2x

2 – x – 6)(x2 – x – 56) = (x – 3)(x + 2)(x – 8)

(x

(x + 7)

\ x + 7

CUADERNO DE TRABAJO

Clave A

Clave B

05 P(x) = x6 – x2 – 2x – 1 01

A(x) = x2 + 7x + 6 = (x + 6)(x + 1)



B(x) = x2 – 5x – 6 = (x – 6)(x + 1)



C(x) = x2 + 4xy – 45y2 = (x + 9y)(x – 5y)

10



x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24 x2 –5x +6 x2 –5x 4  (x – 3)(x – 2)(x – 4)(x – 1)



K = (5a – 3)(5a + 3)(a – 2)(a + 2)

TAREA 01



NIVEL

II

06 P(x, y) = 8x2y5(x – y)4(x + y)(x2 + y)3 Clave B

03

REFORZANDO

Clave A

Clave A K = 25a4 – 109a2 + 36

Clave A

(x2 – 5x + 6)(x2 – 5x + 4)

D(x) = 6x2 + 7xy + 2y2 = (3x + 2y)(2x + y)

02

= (x3 – x – 1)(x3 + x + 1)

6x2 + x – 2 = (2x – 1)(3x + 2) 2x –1 3x 2

8x4 + bx2 – (2 + d) = (2x2 + 1) (4x2 – 1) 2 3x 2 1 = (2x2 + 1)(2x + 1)(2x – 1) 4x d



I) (–1)(2) = –2

............. (F)

 d = –2 – d  d = –1



II. 1 ∧ 5





III. Fac. primos: (3x + 2) ∧ (2x – 1) ....... (V)

Clave A



............. (V)



I. 5 factores primos .......................... (F)



II. 2 factores primos monomios x ∧ y ......................... (V)



III. El que se repite es: y .................... (F)



IV. (3)(6)(5)(2)(4) – 1 = 719 ................ (F)

Clave B

5

7

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

07 P(x, y) = xy + ab + xb + ay



= y(x + a) + b(x + a)





= (x + a)(y + b)

REFORZANDO

• B = (a + b)2 – 2(ba + b2) = (a + b)(a – b)



B a–b ∴ = A a+c

09

9

III

11 P(x) = x3 – 2x2 – x + 2

Clave A

08 • A = a2 + ab + ac + bc = (a + b)(a + c)

NIVEL



= (2x + y)(x + y + 1)



• Q(x, y) = x2 – y2 – 2y – 1





P(x) Halle: E = 3 3 3 x – – – ab ac bc



MCD(P, Q) = x + y + 1

= (x + y + 1)(x – y – 1)

∴ 1 + 1 + 1 = 3

⇒ P(2) = 0 ∴ E = 0

Clave C



= (x – 1)(x + 1)(x – 2)





14 • P(x, y) = 2x2 + 3xy + 2x + y2 + y

Clave A

Clave A

15 P1(x) = Ax2 + 2x – B =

x – 1 = [(x ) – 1] 3 3

⇒ c = –1

12 • x2 + cx – 2 = (x + 1)(x – 2)

3 – 1)(x6 + x3 + 1)





= (x





= (x – 1)(x2 + x + 1)(x6 + x3 + 1)



Clave E



P2(x) = Ax2 – 4x + B =

• dx2 + 5x – 4 = (2x – 1)(3x + 4) ⇒ d = 6



MCM(P1, P2) = x3 – x2 – 9x + 9

d ∴ = –6 c





Clave D



= (x – 1)(x – 3)(x + 3)

⇒ P1(x) = (x – 1)(x + 3)

10 = a4 + b4 + a2b2 13



= (a2 + b2)2 = a2b2



= (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 – ab)

Clave A



P(x, y) = (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – 4(x2 + y2)

2

2

2



2

A = 1 ∧ B = 3 ∴ B2 – A = 32 – 1 = 8

= (x + y + 2y – 1)(x + y – 2y – 1)

Clave A

Clave D

Solucionario

CAPÍTULO

05

FACTORIZACIÓN II



= (3x – 2y + 2)(2x – y + 1)

Actividad

∴ Producto de coeficientes de los factores primos: –12 ó – 2

01 A(x, y) = 15x2y – 23xy + 4y



= (3x – 4)(5xy – y)





= y(5x – 1)(3x – 4)



0 + (–1) + (–4) = –5

02

P(x) = (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12



= (x

Clave E

05

P(x) = x3 – 13x + 12





= x3 – x – (12)(x – 1)





= (x – 1)[(x)(x + 1) – 12]





= (x – 1)(x + 4)(x – 3)

P(x) = (x – 3)(x + 2)(x – 2)(x + 1)

03

P(x) = (x2 – 5x + 4)2 – 3x2 + 15x – 22



P(x) = (x2 – 5x + 4)2 – 3(x2 – 5x + 4) – 10



P(x) = (x2 – 5x + 4 – 5)(x2 – 5x + 4 + 2)



P(x) = (x2 – 5x – 1)(x – 3)(x – 2) ∴ 3 factores primos.



(–1) + (4) + (–3) = 0

Clave A

06

J(x) = 2x3 – 3x2 + 3x – 1





= 3x – 3x + 3x – (x + 1)





= (x2 – x + 1)(2x – 1)

Clave C

Q(x, y) = 6x2 – 7xy – 4y + 2y2 + 2 + 7x

2

= 6x – 7xy + 2y + 7x – 4y + 2

8

5

= 13(a + 1)3(a – 1) – (a – 1)3(a + 1) – 4(a2 – 1)



= 4(a + 1)(a – 1)(3a + 1)(a + 2)

09

15a2x2 – 30a2x3 + 90a2x4 – 75a2x5



15a2(x2 – 2x3 + 6x4 – 5x5)



–15a2x2(5x3 – 6x2 + 2x – 1)



–15a2x2(x – 1)(5x2 – x + 1)



(–15a2x2)(x – 1)(–5x2 + x – 1)

3

Clave D 2

08

Clave D

2

3

∴ Suma de factores primos: x2 + x

07

Clave E

Clave C

∴ Suma de los términos independientes de los factores primos:

2 – x – 6)(x2 – x – 2)

2

∴ a + b + m + n + p + q = 6



Clave E

04

y m = – 6

Clave E

∴ Suma de términos independientes:



a = 4 ; b = 2 ; q = 4 ; n = 8 ; p = – 6

–12 ∨ –2

2

S(x, y) = 4x + mxy – 4y + nx + py + q ax

+by

y

–by

a

1

10

P(x) = x3 – 7x – 6



P(x) = x3 – x – 6(x + 1)



P(x) = x(x2 – 1) – 6(x + 1)



P(x) = (x + 1)(x2 – x – 6)



P(x) = (x + 1)(x – 3)(x + 2)

Q(x) sus raíces son 2 unidades más. Q(x) = (x – 1)(x – 5)(x) Q(x) = x3 – 6x2 + 5x

Clave C

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

CUADERNO DE TRABAJO

10

B(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6





01 A(x) = x2 + 7x + 6 = (x + 6)(x + 1)

B(x; y) = x2y – 5xy – 6y = (xy – 6y)(x + 1)





05 P(x) = x3 – 13x + 12

= (x + 1)(x + 3)(x – 2)

\ Suma de factores lineales: 3x.

Clave B



= x3 – x – 12x + 12



= (x – 1)(x + 4)(x – 3) ∴ –1 + 4 – 3 = 0

= y(x – 6)(x + 1)

\ Factores primos: 2 y 3.

Clave C

02

P(x; y) = 2x2 + xy – x – y2 + 4y – 3





= (2x – y + 3)(x + y – 1)

\ Suma de factores primos: 3x + 2.

Clave A

TAREA REFORZANDO

01 • 9x2 – 18x + 8 = (3x – 2)(3x – 4) • 12x2 + x – 6 = (3x – 2)(4x + 3)





5a

–3

3a

–4

∴ 7x – 1

∴ 5a – 3

03

P(x; y) = 2x4 – 3x3y – 4x2y2 + 3xy3 + 2y4





= 2(x4 – 2x2y2 + y4) – 3xy(x2 – y2)





= 2(x2 – y2)2 – 3xy(x2 – y2)





= (x + y)(x – y)(2x + y)(x – 2y)

(3x – 4y)(x – 3y)

P(x) = x3 + 2x2 – 2x – 1 = x3 – 1 + 2x2 – 2x



2 + 3x + 1) P(x) = (x – 1)(x 

2x

x2 – 4xy + 3y2 + 4x – 8y + 4 x – y 2 x –3y 2

04

2



– 1/2

4x2 ⇒ 2x2 –

⇒ (x – y + 2)(x – 3y + 2)

D > 0

\ Factores primos: 3.

4



Clave E

04

07 8x4 + bx2 – 1 + d

∴ (4x – 7y)

03

Clave B

3x2 – 13xy + 12y2

02

–d 1 1 4x2 – 4 2

2x –

1 2

2x +

1 1 1 2x – 2x + 2 2 2

Clave A

x3 – 6x2 + 11x – 6 DB: {±1, ±2, ±3, ±6} x3 – x2 – 5x2 + 11x – 6

Clave C

08 12x2 – 14x – 10y2 – 14xy – 20y – 10

x2(x – 1) + (x – 1)(–5x + 6)

05

x3 – 6x2 – x + 6 = x(x2 – 1) – 6(x2 – 1)

(x – 1)(x2 – 5x + 6)



= (x – 1)(x + 1)(x – 6)

(x – 1)(x – 3)(x – 2)



= (3x – 5y – 5)(4x + 2y + 2) ⇒ Diferencia de factores primos: x + 7y + 7



Clave D

∴ 3x – 6

\ –6

II

06 15a2 – 29a + 12 = (5a – 3)(3a – 4)

⇒ 3x – 4 + 4x + 3

Clave B

NIVEL

Clave B

09 2x2 – y2 + xy – 3x + 3y – 2 06

P(x; y) = (x + y + 1)2 – 2x – 2y – 10





= (x + y + 1)2 – 2(x + y + 1) – 8





= (x + y – 3)(x + y + 3)



Suma de factores primos mónicos: 2(x + y)

Clave B

07

REFORZANDO



• Q(x, y) = 6x2 + 7xy + 2y2 = (3x + 2y)(2x + y)



Suma de factores primos: ⇒ 2x + 4y ; 5x + 3y

P(x) = (x – 1)(x + 1)(x)[x2 + x + 1]





= x(x4 – 2x2 – 8)





= x(x + 2)(x – 2)(x2 + 2)

Clave D

2a4 – a2b2 – b4 = (a2 – b2)(2a2 + b2) a2 –b2 2a2 b2

\ Factores lineales: 3.

Clave D



= (x + y)2 + 6(x + y) + 9





= (x + y + 3)2

∴ Factor primo = x + y + 3





15a2x2[1 – 2x + 6x2 – 5x3]





[(x – 1)2 – 5x2(x – 1)]

REFORZANDO 11

Clave A

= (x + 3y + 1)(x – 2y + 6)

∴ 2x + y + 7



Clave E

03 A(x, y) = x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + 9

10 15a2x2 – 30a2x3 + 90a2x4 – 75a2x5

Clave E

04 B(x, y) = x2 + xy – 6y2 + 7x + 16y + 6 Clave C

∴ –2 + 1 = – 1

∴ Factor cuadrático: –5x2 + x – 1

x3 + 6x2 + 11x + 6 = x3 + x2 + 5x2 + 11x + 6  (x + 1)(x + 3)(x + 2)

(x + y – 2)(2x – y + 1)

⇒ 15a2x2(x – 1)[–5x2 + x – 1]

02 P(x) = x5 – 2x3 – 8x

Clave D

09

Clave B

P(x) = x5 + x4 – x2 – x = x(x4 – 1) + x2(x2 – 1)

\ 3x

08

I

01 • P(x, y) = x2 + 4xy – 45y2 = (x + 9y)(x – 5y)

P(x) = (x2 – 1)[x(x2 + 1) + x2]

NIVEL

NIVEL

III

(x – 5)(x – 7)(x + 6)(x + 4) – 504 ⇒ (x2 – x – 6)(x2 – x – 56) (x – 3)(x + 2)(x – 8)(x + 7) ∴ La suma de términos independientes de los factores lineales: –2

Clave C

Clave D

5

9

PROYECTO INGENIO

12

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

11x2 + 41x – 12 = (Ax ↓ B)(Cx ↑ D) 11x –3 x 4

⇒

A = 11 , B = 3 ; C = 1 y D = 4



(A – B) – (C – D)

(x2

15 Por divisores binómicos:

2

+ 1)

x = –1

6 41 97 97 41 6 ↓ –6 –35 –62 –35 –6

x = –2

6 35 62 35 6 0 ↓ –12 –46 –32 –6

x = –3

6 23 16 3 0 ↓ –18 –15 –3

∴ Suma de factores primos: x2 + 1

⇒ (11x – 3)(x + 4) = (Ax ↓ B)(Cx ↑ D)

x4 + 2x2 + 1

13

Clave A

14

∴ (8) – (1 – 4) = 11

x6 – 9x5 + 30x4 – 45x3 + 30x2 – 9x + 1

6x2 5x 1 0 3x 1 (3x + 1)(2x + 1) 2x 1

⇒ (x2 – 3x + 1)3

Clave E

Clave C

∴ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(3x + 1)(2x + 1)

Clave E

Solucionario

CAPÍTULO

06

NÚMERO COMBINATORIO

Actividad 01

n

C

C

n = 4

C 8 + C 16 9

= 13!

(n + 6)! (n + 7)! (n + 7)

⇒ n + 6 = 13

C

8 + 1

C

8 + 2

C

49

50

∴ C 42 = C

C 2 + C 3 =

= 13!

C

10 3 =

C

n + 3 m



∴ m⋅n = 49

∴ n = 7

Clave A

1! 2 ! 3 ! 4 n! + + + ... + = 03 Si: 3! 4! 5! (n + 2)! 9 1 1 1 1 4 = + + + ... + 2×3 3× 4 4×5 (n + 1)(n + 2) 9

∴ (n – 14)3 = (2)3 = 8

1 10

2

10! = 210 4! 6!

C 4 =

28 04 Cx28 = C3x

Clave D

10

∧

Clave B

 9! + 8!  10! + 9!  8!(9 + 1) 9!(10 + 1) = ×  8!  9!  8! 9!



= 110

02

(x + 4)!(x + 6)! (x + 5)!(x + 6) = = 20 (x + 4)! + (x + 5)! (x + 6) (x + 5)! = 20!  x = 15

03

Clave E

Clave A

3! 4! 5! 6! Si + + + = 3(n!) – 4 1! 2! 3! 4! 3(n!) = 6 + 12 + 20 + 30 + 4  n = 4

8



n

01

Clave B

10 hombres 5 mujeres

C 6 ×10 = 100

2



C

máximo: n – m = 50 – 8 = 42

Clave A

09

50

C 42 = C m n m

CUADERNO DE TRABAJO

08

1 1 1 1 1 1 1 1 4 − + − + − ... − = 2 3 3 4 4 5 n+1 n+ 2 9 4 n = ⇒ n =16 (2)(n + 2) 9

n

Clave D

07 C 52 × C 74 = 10×35 = 350

• x2 = 3x

50 8 =

⇒ Máximo valor n = 7 ∧ m = 7

= 13!

49

C 41 + C 42 = C m

9 = 3 9

9

(n + 5)![1 + (n + 6)]

\ (n + 1)! = 5! = 120

Clave A

• x2 + 3x = 28

Clave E

x = 4

∴ Suma de valores de x = 3 + 4 = 7

Clave D

10

16 15 C 7 + C 8 + C 9

Clave B

8 7 7 8 n + 3 06 C 0 + C 1 + C 2 + C 3 = C m

(n + 5)! (n + 7)!

x = 3

16

16

(n + 6)! + (n + 5)]



14

15

8 = 28 6

Clave C

(n + 7)! (n + 5)!

⇒

2n = 6

16

49 n 15 17 14 C 6 + C 7 + C 8 + C 9 + C 10 + ... C 42 = C m

n + 1 = 10 ⇒ 3

∴C

⇒ x = 7

02

n

C 2 + C 3 = 10

(3x + 4)(3x + 3)! = 25! 25 24

14

49 n 15 17 14 C 8 + C 7 + C 7 + C 7 + C 7 + ... C 7 = C m

05 C 21 + C n2 + C n3 = 12

5

n 14 16 15 10 C 14 7 + C 4 + C 4 + ... = C m – C 8

36

04

14 Cx14 = C2x – 1  x + 2x – 1 = 14  x = 5

Clave C

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

05

10 8 8 9 04 C 3 + C 4 + C 5 + C 6

C1n + C2n + C3n + 1 = 35  C2n + 1 + C3n + 1 = 35 C2n + 2 = 35 

C

n = 5

\ 2C25 = 20

9 + 4

C

Clave B

∴ 4! = 24

11! 11 = 462 6 = 5!6!



REFORZANDO

I

NIVEL

C19 + C29 + C310 = Cnm–+12  C210 + C310 = Cnm–+12

01

C311 = Cnm–+12  m = 9  n = 4

(x + 1)! – x! = 18 x!(x) = 18

\ m + n = 13

02

4! 6!

REFORZANDO

⇒ (n! + 2)! = 4!

11

n = 2

V = {a; e; i; o; u}

x!

2

x2 + x – 2 = 40



x2 – x + 2 = 0

= 14

[x2 + 3x + 2] – [x2 – 11x + 30] = 14



14x = 42

x2 + x = 42

x = 3

∴ x = 6

Clave C

Clave C

2(1!) + 4(2!) + 6(3!) +...+ 50(25!) = 2(n!) – 2!



1! + 1! + 2(2!) + 3(3!) +...+ 25(25!) = n!



Sea: 1! + 2! + 3! + 4! +...+ 25! = S

(n! + 1)! – (n!)!

12

(n!)! – (n! – 1)(n! – 1)

Clave C

n = 1 3

∴

n – 1

n – 1

= 6(n!)

⇒ n = 3

C n – 4 + C n – 3 = 84

Clave C

n

C n – 3 = 84 n! = 84 (n – 3)3!

1! + 2! + 3! + 4! +...+ 25! + 26! = n! + S  S

∴ n = 9

Clave E

13 6(+) ∧ 5(–) Clave B

05 10 persona, piden comisión de 4 peronas. 10! = 210 6!4!

TAREA

10 C 4 =

(2n + 1)⋅ (2n)! = 120 = (5)⋅4! ⇒ n = 2

6



• (+)(+)(+)(+) = C 4 = 15



• (–)(–)(–)(–) = C 54 = 5



• (+)(–)(+)(–) = C 62 × C 52 = 150 ∴ 170

Clave A

Clave B

14 9

REFORZANDO

02 C 83 = 8! = 56 3!5!

06 E =

NIVEL

II

9

4

C 2 × C 3 × C 4 = (36)(35)(1) = 1260 Clave A

1313! + 1 ⋅ (12!)14!

4

1313! ⋅ (12!)13⋅ 13!

E = 13⋅ (12!)13!

Clave B

42 03 C 42 = C 5x – 1 2x + 8

15

(

 ( ( ) !) ! 119 !  ( 3 ! )

)

4!

5

 = (6 !)( n !)! ⋅ (719 !)( n !)!  5

• 2x + 8 = 5x – 1

07

x = 3 • 2x + 8 + 5x – 1 = 42 x = 5 ∴ 5 + 3 = 8

III

No

10



(x – 7)!



04 Si C n – 2 + C n – 2 + C n – 1 = 84 n – 5 n – 3 n – 4



(x – 5)!

(x + 7)(x – 6)

Placa: V1 V2 b1 b2 b3 b4 (5)(4)(6)(5)(4)(3)

\ 26! = n!  n = 26

–

NIVEL

(x + 1)(x + 2) – (x – 6)(x – 5) = 14

B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

\ 7200

(x + 2)!

Clave D

03 C 40 = C 40 x x – 2

Clave D

x2 = x – 2

01

Clave D

Clave C

[(n! + 2)! – 4]! = 20!

5H  4M  C24 × C45 = 6×5 = 30



(4!)(1 + 3 + 2)!



24

Clave B

09

10 4 cuadros de Reembrand

x! = 60 (x – 3)!

(x – 2)(x – 1)(x) = 3×4×5  x = 5

08

Clave D

∴ 17280

∴ (x + 1)! + x! = 30 V3x = 60 

= 288

x = 3

Clave E

Clave E

09 = 2×(4!)(3!)

Corrija: Alternativa E) 13 C08 + C18 + C29 + C310 = Cnm–+12

07

• La abuela es fijo, quedan 4 asientos.

10 10 C 6 + C 6

C

06

08 • 5 asientos

9 5



( ( 720 !)119 ! )4 !  = [720 ⋅ (719 !)]( n !)!  

n!(n! – 3) = 18 n! + 4

(720 !)120 ! = (720 !)( n !)! ⇒ n = 5

K = 42 + 3(4) + 7 ∴ K = 35

Clave E

Clave D

5

11

Solucionario

CAPÍTULO

07

BINOMIO DE NEWTON 09

Actividad

n

Si hay 13 términos:



(5n + 2) + 1 = 13 ⇒ n = 2



13 + 1 #tc = = 7 2

n

Clave C

Clave C 1 x3

n

tk + 1 = C 12 ⋅ ( x 12 – k ) ⋅ k

k

1 x3

n

1 x

1 Binomio: x2 + 2 – 2 x



#términos = 2n + 1 = 21 ⇒ n = 20

⇒

Clave B

07

(x3 + y5)12



t8 + 1 = C812 · (x3)4 · (y5)8  t9 = 495x12 · y40 \ Coeficiente = 495  grado = 52

x –

20

Clave A

08

Si b es par; término central



b tb/2 + 1 = Cb/2

Clave C

⇒ 12 – k = 3k ⇒ k = 3

b

12

11

tk + 1 = C k ⋅ 2n – 2k ⋅ xn – 2k , n – 2k = 3 x3 k = 4

01

tk + 1 = C

12 k

1 xy 3

k x12 – k ⋅ x 2 = x9

⋅

1 yx 2

k

= mx9y8

⇒ k = 6

02

10  3 1  Existen 11 términos. x +  x



 1 5 tC = t6 = C510(x3)5  t6 = C510 x10 x

Clave A

12

03

n

tk = C n3 xn – R ⋅2R = 80xk ⇒ R = 3 n 3 3 ⋅ 2 = 80 ⇒

C

n 3 = 10 ⇒

n = 5 ∧ k = 2

∴ n + k = 7

Clave E

n

1 1  + x2  t4 = C3n x x 

n–3

10  31

 x

Entonces tiene 17 términos:



17 t16 + 1 = C16

5 términos

Clave B

 1  1 2 16 (x ) x

Clave E

⇒ k = 4 ⇒ m = C 4 26

04

(x + 3)n

∴ m = 13440



Coeficiente lugar 9 = Coeficiente lugar 10

9

Clave D

2 2 x 5

9 – k

TAREA

⋅

1 2x

01

C8n · 38 = C9n · 39

k

 C8n = 3

9

tk + 1 = C 6 ⋅

12

t7 = C 6 ⋅



(x + 3x2)7 t5 = C 74 (x)3(3x2)4 = 2835⋅ x11

C8n = 3C9n

(n – 8) · n C8  n = 11 9

02

Clave E

2x3 +

x 2

7

⇒ t4 = C 73 ⋅ (2x3)4 ⋅

3

x = 35(2)x15 2

∴ Coeficiente: 70

3

2 ⋅ (2)–6 = 0,084 5

6

Clave C

05

Si a  Z  a  0; 5

2 3x ⋅ = 924 3 2

03

i

1  a(7 – i) = 3i  x3 



ti + 1 = Ci7(x9)7 – i



Si a  0; 5  a = 4  i = 4

6

∴ 1 + x2 + x4 + x6 = 4

Clave A

5

C47 =

7! = 35 4! 3!

04

Clave C

6

(3a + b2)6 ⇒ tk + 1 = C k ⋅ (3a)6 – k ⋅ (b2)k ∴ Se suman los grados: 6 + k = 12

\ Término independiente:

⇒ x = 1

12

30

30 – k   1   tk + 1 = Ck30 · 3 · ( x)k   x

 k   30 – k  – Términos racionales: Z  2  3 



 6 – (n – 3) = –8  n = 17

90

tk + 1 = C k ⋅

+ x

Clave C

 tk + 1 = Ck30 · (x) 2 

(x2)3

⇒ 18 – 2k = k ⇒ k = 6

08

\ Lugar: i + 1 = 23

tk + 1 = C k (x)10 – k ⋅ yk ⋅ 210 – k = mx6y4 90

07

 2(55 – i) = 3i  55 · 2 = 5i  i = 22

 k   30 – k  –  3 

17 = C117 = 17 \ Coeficiente: C16

06

(x2 – x–3)55  ti + 1 = Ci55 · (x2)55 – i · (x–3)i

Clave E

tk + 1 = t4 = C 3 (x)n – R(2)R

C

09 Clave B

Clave A

∴ m = C 6

05

Clave B

(2x + y3)14

\ Grado = 27 + 5 = 32

12 – k

\ ab = 12

t10 = C914(2x)14 – 9 · (y3)9  t10 = C914 25 · x5 · y27

11

tk = C 4 ⋅ 23 = 2640

04

b (a – 1) = 3  a = 2 2

n

tk + 1 = C k (2x)n – k ⋅(2x)–k , como n = 11

b

 xa  2  yb  2 = x3y15  yb – 5   x 

b (b – b + 5) = 15  b = 6 2

Clave B

CUADERNO DE TRABAJO 03

 1 i  x2 

 20 – 2i = 2i  i = 5 \ C510 = 252

2n

10

∴ Ctc = C 10

∴ t4 = C 3 = 220

ti + 1 = Ci10(x2)10 – i

= C m = C m ⇒ Cm ⇒ m = 16 13 + 1 m + 13 3 ∴ Admite 17 términos

tk + 1 = C k ⋅ (x)n – k ⋅

06

tk + 1 = C k xn – k ⋅ yk ∧ tk + 1 = C k xk ⋅ yn – k

01

02

Como los coeficientes no varían si se cuenta:

(x3 – x)11 ⇒ tk + 1 = C 11 (x3)11 – k ⋅ (x)k = 132x k 33 – 3k + k = 1 ⇒ k = 16 ∴ Lugar k + 1 = 17

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

REFORZANDO 01

x2 –

REFORZANDO

I

NIVEL

10

1 x

06

t5 = C 10 ⋅(x2)6 ⋅ 4

1 x2 + 3 x

n

n

⇒ t25 = C 24(x2)n – 24 ⋅

1 x3

REFORZANDO

II

NIVEL 24

11 (2x + (2x)–1)11

1 11 tk + 1 = C k ⋅ (2x)11 – k ⋅ 2x

⇒ 2n – 48 – 72 = 12 ⇒ n = 66

4

1 = 210x8 x

Clave C

Clave D



III

NIVEL k

11 – k – k = 3 ⇒ k = 4 11

∴ C 11 ⋅ 27 – 4 = 2640

02

(x2 + x3)14

⇒ t12 = C 14 (x2)3 ⋅(x3)11 11

∴ 6 + 33 = 39

Clave D

16

16

C 0 + C 16 1 + ... + C 16 = V1

12

• Suma de coeficiente (x8 + x4) =



C 0 + C 1 + ... + C nn – 1 – 1 = V2 n

03 V = 1 + 2C n1 + 4C n2 + 8C n3 + ... + 2nC nn



n

1

3

C

3

3

V3 = 1 + 2C 1 + 4C 2 + 8C 3 = 27 = 33 n

tc = C 30 ⋅ (x3)15 ⋅ 15 ∴ tc = C



1 x

15



30 30 ⋅x 15

09

Clave B

1 x2 +



1 2x

k

05

x2 +

1 x

8

Clave E

10

10 x + M y6 10

t6 = C 5 ⋅

⇒ 9 términos 8

término central = t5 = C 4 (x2)4 ⋅

1 x

4

∴ 70x4

Clave C

,

12

Clave D

⇒ M = xm ⋅yn

C

x 5 m ⋅ (x ⋅y ) y6

7

⇒ tk + 1 = C 7k ⋅ (a)7 – k ⋅

1 a

k

7

Clave D

n 2

n 2

2

1 2

2

2

n 2

n 2

Sn = C 0 + C 1 + C 2 + ... C n S1 = C 10 + C 1 = 2 = C 21

⇒ 5 + 5m = 15 ∧ (–30) + 5n = – 25 m = 2 n = 1 ∴ M = x2y

1 a

∴ C 2 = 21

15

11 11 n 5

a –

k • 7 – k – = 4 ⇒ k = 2 2



Clave B

C 6 = C 4 ⇒ 2n = 6 + 4 ∴ n = 5

14

Si: k = 10 ⇒ 2(n – 10) – (10) = 20 ∴ n = 25

2n

r – 1

2x n

coeficiente coeficiente = del lugar 7 del lugar 5

1 x

⇒ tr = C 21 ⋅ (x3)22 – r ⋅ r – 1

n

tk + 1 = C k ⋅ (x2)n – k ⋅

(x + y)2n

2n

21

∴ grado de x = 15

Clave B

⇒

1 x3 + x

⋅ (x3)9 ⋅ 1 ⇒ r = 15 ⇒ t13 = C 21 12 x

Vn = 1 + 2C 1 + 4C 2 + 2nC n = 3n

04

Clave D

como el grado relativo es 7.

n

n

n n + = 6 ⇒ n = 6 2 2

Clave A

13 08

n 2

n

n y ⇒ t n + 1 = C n ⋅ (x2) 2 ⋅ 2 2 x

6

V1 = 1 + 2C 1 = 3 = 31 V2 = 1 + 2C

n

y n

∴ C 3 = 20

⇒ 216 = 22 ⋅2n – 1 ∴ n = 15

2 2 2 = 9 = 3

x2 + ⇒

• V1 = 4V2

Por inducción:

2 1 + 4

Clave A

07 • Suma de coeficientes (x2 + x3)16 =

Clave C

2

S2 = C 20 + C 21 + C 22 = C 4 = 6 2

 ∴ Sn = C 2n n

Clave C

5

13

Solucionario

CAPÍTULO

08

CANTIDADES IMAGINARIAS 02

Actividad

E = i + i2 + i3 + i4 + ... + i4k + 2

I) –4 ⋅ –16 = 4 i ⋅ 16 i

0 ...

Clave E

= –(2)(4) = –8 ∴ Solo I es incorrecto.

02

Clave B

03

S = i + i2 + i3 + ... + i2011 Se sabe: i + i2 + i3 + i4 = 0 S = i2009 + i2010 + i2011 = –1

M=

(1 + i)2 ⋅(1 + 3i) (i – 3)

04

05

06

E=

E=

(1 + i)

( 2 )16

=

28

=1

06

A=

2i –2i (1 + i)2 (1 – i)2 –  A= – =4 i i i21 i9

⇒ E=4

1+i 1+i 1+i R= = = =i 1+i 1–i 1+i 1+ 1+ 1–i 1+i 1+ 1–i

4

A=

3

1+i 1–i 1+i + + 1–i 1+i 1–i 4

3

A = i + (–i) + i = i

= 2 i− i+ 5 i 2i

Clave A

10

(4 – 3i)

S=

i729 + i73 + i251

=

2i757 – i81

i + i + i3 2i – i

Clave A

M=

M=

i42 + i163 + i41 i13 + 2i22 + i11 i2 + i3 + i i + 2i2 + i3

=

1 2

Clave C

Clave D = (1 + i)51 – (1 – i)51 = (1 + i)(1 + i)50 – (1 – i)(1 – i)50 = (1 + i)(2i)25 – (1 – i)(–2i)25

M3 = 2i 2i = 2i(1 + i) = (1 + i)3

= 225i[1 + i + 1 – i] = 226i

129

S=

i

73

Clave C

Clave A 251

+i +i 2i75 – i81

E=

i + i + (–i) = =1 2i – i

1+i 1–i + 1–i 1–i

⇒ E=i+1

Clave B

Clave A

10

4 4 + 2i  1 + 2i   i 4 M = 16 + = 16 + 2i 2  4 – 2i  1 – 2i

\ M = 2i + 1

= 16

Clave E

S=1

05

4

2 (4 – 3i)

= 2i + 10i + 10i – 3i

M3 = 2i 2 i − (1 + i )2

= 2 –1 = 2i = 1 + i

Clave A

02

M3 = 2i 2 i − 2 17 i

Clave B

i 4

I

NIVEL

= 19i

04

4+1

25 i 2i 1 + i A= = = =i 1 + i7 1 − i 1 − i

01

2

Clave D

09 09

4

REFORZANDO

2

\M=1+i

08

Clave A

03

= (3 + 4i) + 2 (3 + 4i)(3 – 4i) + (3 – 4i)

1 + i 4+1 1 – i + 1–i 1+i 1+i 1–i + =0 S= 1–i 1+i

1+i 1–i +2 1–i 1+i

Clave D

E = 3 + 4i + 3 – 4i

S=

=i

Clave D

08 07

23

Y = (1 + i)48 – (1 + i)49

Clave A

1+i 1+i =i = 1–i 1+i 1– 1+i 1– 1+i 1– 1–i Clave E

E2 = 6 + 2 25

(–2i)3

Clave D

07 E2

M=

Clave B

Y = 224(1 – 1 – i) = –224i

05 (2i)8

04

=

Y = 224 · i24 – 224 · i24 (1 + i)

(1 + 3i)

M = (–i) ⋅ (1 + i)2 = 2

16

i + 5i3 + 3i3 = –7 i

6

M = (i – 2i)4 = 1

i(1 + i)2 ⋅ (1 + 3i)

=

E=

Clave C

04 03

1–i 2

03 i573 + 5i1259 + 3i1415 M= i781 =

0

S=1+i

0

E=i–1

S = 1 + i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + i9 0

...+ i4k + i4k + 1 + i4k + 2 + i2 + i3 + i4 +... E = i  ...  0

01

02

Clave D

Clave A

REFORZANDO 06

II

NIVEL

44 3 11i(−4)  4i + 7 i   20i 3 − 3i  (−4) ⇒ 19 3i = − 57

Clave B

CUADERNO DE TRABAJO 01

07 01

M = –9 + 2 –16 – –1

Clave E

5

A = 1 + 2 + 3 + ... + 4n + i + i2 + i3 + ... + i4n 0

–4 + –100 – 3 –81 ⇒ 2i + 10i – 27i

M = 3i + 8i – i  M = 10i

14

TAREA

∴ –15i

A=

(4n)(4n + 1) 2

= 2n(4n + 1)

Clave B

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

08

M=

1+i

4k + 6

=

2

2i 2

4k + 6

8k

= i(i)2k + 2

M = i(–1)k + 1

09

(1 + i)11 32(1 – i)

=

Clave D

11

NIVEL

III

13

Clave C

8k

Clave C

10

 1 + 3i  3   1 + 3i  10 M=   =    = [1] = 1  1 − 3i    1 − 3i  30

14 12

1  1   1  1 + i + i − R=  12  2   2  2 R = (i)4k + (–i)4k = 2

( 1 − i )2 1 − i −2i = = 1+ i 1+ i 1+ i

S=

S = –i

(1 + i)10 (1 + i) 25 ⋅i5 ⋅ i = = –1 ⋅ 32 32 (1 – i)

Clave B

10

REFORZANDO

P(x) = x100 + x99 + x98 + ... + x3 + x2 + x

Clave A

Hallar:

1+i 1+i =i E= = 1–i 1+i 1– 1+i 1– 1–i

P(i) = i + i2 + i3 + i4 + ... + i98 + i99 + i100 P(i) =

Clave B

15

A = i + i +............+ i

⇒ A = 2014i

2014 sumandos

0

Clave D

Clave D

Solucionario

CAPÍTULO

09

NÚMEROS COMPLEJOS 06

Actividad

z = a + bi ,

CUADERNO DE TRABAJO

z = a – bi

2z + iz = 6 + 9i

01

E = (1 + i)4 +

1 1 17 =–4– =– (1 + i)4 4 4

Clave C

02

5 2 2 5 + 2i = ⇒ ⇒ k=– 1 –k 5 1 – ki

(x – 2y) + (x – y)i = 2 + 5i  x = 8  y = 3

a=1 b=4

\ x + y = 11

|z|= a2 +b2 = 17

07

Si |z|+ z = 3 – 3 i

8 + 6i = [(m + n) + (n –

– 3

∴ |z|= 2

m=1

∧

08

n=2

1+ 3 1– 3 – i 2 2 Im Re

E=

Clave C

Si:

z1 = 1 + 2i z3 = – 5 – i

z2 = 12 + 2i i z4 = 2 – 2

M=

z1 − z3 1 + 2i − 5 + i i + z4 = +2− z2 2(6 + i ) 2

M=

6 2

Z=

Clave C

Corrija: Alternativa A) 390 z = (3 + 4i)(5 – 12i)(2 2 + i)(1 + 3i) |z|=|3 + 4i||5 – 12i||2 2 + i||1 + 3i|

Clave D

|z|= (5)(13)(3)(2) = 390

09

(1 + i ) 2

n+m 6

Clave A

n+m 3

(n + m)π  (n + m)π  + i sen  cos   12 12 

05

Clave C

Z=

1 + ai = mi  1 + ai = mi + am 1 – ai

 n = a  am = 1  a2 = 1  a = 1

Clave C

Clave B

10 05

z = 4 – 3i  z = 4 + 3i \ |z|=|z|= 42 + 32 = 5

04

∴ Solo I y III son verdaderas

04

03 Clave D

8 + 6i = (m + n)2 – (n – m)2 + 2(m + n)(n – m)i n–m=1 m+n=3

Clave B

a=1 ∧ b=– 3

m)i]2

2 + ai = m  2 + ai = m – mi  a = –2 1–i

a2 + b2 + a + bi = 3 – 3 i 3

8 + 6i = (m + n) + (n – m)i

Clave C

Clave C

02 z = a + bi ⇒

Clave D

x – 2y + xi – yi = 2 + 5i

(20 + b) + (2b + a)i = 6 + 9i

Si z ∈ R z=

03

01

2a + 2bi + ai + b = 6 + 9i

Si z = 1 + i

( 3 − 4i ) ( 3 + i ) (1 − i )

w=

[cos 12° + i sen12°]4 ⋅  2 (cos 8° + i sen 8°) [cos 6° + i sen 6°]11 ⋅ [sen 80° + i sen 80°]

( 2 ) (e ) ⋅(e ) 11

w=

| 3 − 4|| 3 + i| 5 ⋅ 2 = =5 2 Z= |1 − i| 2

Clave C

11

12 i 4

8 i 11

( e 6 i )11 ⋅ ( e10 i )

∴ w = 32 2 cis(60°)

= ( 2 ) ⋅ 2 ⋅ e 60 i 10

a + 2i

06 b + 3i = m



b + (8 + a)i = ni a + bi

 a = –4  b = –6

2 \ m · ni = – i 3

Clave C

Clave E

5

15

PROYECTO INGENIO

07

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

1 + i = (x + yi)2 1+i=

x2

+ 2xyi –

02 y2

=

(x2

–

y2)

∴m=7

+ (2xy)i

x 2 – y2 1 \E= = =2 xy 1 2

10

7 + (3m – 21)i = número real

Clave D

5 + 3i 2i = – 2i –4 + i z0

⇒ z0 = 1 – i

∴ f(1 – i) = (1 – i)2 – 3(1 – i) + 3 = i

Clave E Clave E

03

→ imaginario puro

z = 4n + 12 – ni ∴ n = –3

08

Clave B

1–z z = a + bi  =1 1+z

04

 |1 – a – bi|=|1 + a + bi|  (1 – a)2 + b2 = (1 + a)2 + b2  a = 0  z = bi I. (F)

z=1+i

II. (F)

z=

2–1 1 = i+1 1+i

REFORZANDO 11

1 2

=

z = cos6° + isen6° = e

6i

 z =e 15

z = 2(cos20° + isen20°)

12

z5 = 32 e100i = 32cis100°

(1 + itanq)7 cosq7 (1 + itanq)7 = · cos7q – isen7q cos7q cos7q – isen7q

sec7q (eqi)7 (isenq + cosq)7 · sec7q = e7qi (isen7q + cos7q) \

sec7q

REFORZANDO

Clave D

06

NIVEL

Clave E

i

+

i

+

i

07

=

04

z=

( 7 + i)

2

⇒ |z| =

2 2

14

16(z2 – 2zi – 1)2 = z4 16z4 – 64z3i – 96z2 + 64zi + 16 = z4

2 + 1) + ( 2 − 1) i 6

15z4 – 64iz3 – 96z2 + 64zi + 16 = 0 ∴ Suma de raíces: –

Clave B

(–64i) 64i = 15 15

i2 = – 1 z=

2 2 (2)

Clave E

Clave D

Clave E

|z| = |z| ⇒ z = –4 – 3i ⇒ |z| = 5 (2 – 2i)(1 + 3i)

E = (a + 1)4 ∈ R

1 2

08 03

(

13

Clave C

Redes

z = 2

→ 6 + 8ai = 2mi + 3m ⇒ m = 2 ∧ a =

∴ (z1 + z2)3 = 0

∴ Infinitos valores

( 2 + 1) + ( 2 − 1) i  z = 2 2 ( 2 + 1) − ( 2 − 1)

B) m = 4 (imaginario puro) 6 + 8ai = mi → 2 – 3i

k = 1: z2 = |z| cis q + p 2

b=3

TAREA A) n = 5 (número real)

z = a + bi = |z| (cosq + isenq)

q k = 0: z1 = |z| cis 2

II

= a + bi

∴ ba = 30 = 1

02

Clave D

z = |z| q + 2kp 2

3 + 4i 4 + 5i 5 + 6i + = a + bi + 4 – 3i 5 – 4i 6 – 5i a=0 ∧

01

3 + 4i + 3 – 4i = M

M=4

Clave A

Clave A

z=

III

M2 = 6 + 2 9 + 16 = 16

2 2

z = 2e20i

90i

 |z90i|=|cos90° + isen90°|= 1

10

NIVEL

Clave A

05 09

i (1 + i) + (1 – i) i

∴ |z| = |z| =

z=2

III. (V) z = bi

z=

i2003 – i i–1

=

15

–2i =i–1 i–1

zz – (1 + 3i)z – (1 – 3i)z = 12

|z| = 2

=2

Si z = a + bi

Clave C

a2 + b2 + 6b – 2a – 12 = 0 (a – 1)2 + (b + 3)2 =

09

22

2

∴ Una circunferencia

im

01

I

53/2

a(1 – i) + b(1 + i) = 4 + 2i

∧

|z2| 3

b=3

Clave C

5

R

6

⇒ cosq = cos37° ∴

∴ ab = 3

16

q 53/2

(a + b) + (b – a)i = 4 + 2i a=1

|z

NIVEL

1|

Clave A

REFORZANDO

4 5

Clave B

Solucionario

CAPÍTULO

10

ECUACIONES I 08

Actividad 01

06

3x – 5 = 1

5x – 3 + 2 (2x + 3)(3x – 5) = 0

Aumenta en 64

L + 4 → A2 = (L + 4)2

∴x=3

L = 36 ⇒ L = 6

 x

⇒ 4)(2x + 3)(3x – 5) = (3 – 5x)2

(L + 4)2 – L2 = 64

\ E = p + q + 2(m + n) – 2(m + n) = p + q

Clave E

09

4x + 1 = 5 + 6 − x ∴x = 6

+ a – 2a – 1 = 71

a = 9 ∧ a + 1 = 10

m



07

a+x b+a a + x ( a + b) = ⇒ = a − x ( a − b )2 a−x b−a ⇒

08

a a( a 2 + b 2 ) a ( a + b )2 + ( a − b )2 ⇒ = = x 4 ab x ( a + b ) 2 − ( a − b )2

2 a2 b ∴x = 2 a + b2

f(x) = x2 + 3x + 2  x1 = –2  x2 = –1 \ x2 + 2 = 1

Clave C

CUADERNO DE TRABAJO

04

x = # de lapiceros



• x ⋅y = 100



• (x + 5)(y – 1) = 100

2

y = precio del lapicero

2

=

3

3



Clave D

10

x ⋅ y = (x + 5)(y – 1) ∴ 20

Clave C

2

 x−a− x+a   x+a − x−a    =    ( x + a)( x − a)   ( x − b)( x + b)  ⇒ x = ab

1 2n 2n 2n =  =  n=8 2n + 1 n + 9 2n + 1 n + 9

P(x) = 16x2 + 8x – 8 = (2x – 1)(x + 1)

(a + b) (a + b)2 =  x=a+b ab ab

\ x1 =

03 2

6x # de naranjas 3x x Juan Pedro

2x Resto

2x = 20 x = 10

x+

1 x

x1 = 4 ∧

=5 –1 x2 = 4

8 • = 1 ⇒ a = 8 a –b 17 • = ⇒ b = –34 a 4

1  x2 = –1 2

Clave A

TAREA 01

\ 6x = 60

60k: # naranjas totales

Clave C 30k

2

04 → ax + bx + 8 2

Hoy

Hijo: H

P = 6H

15

⇒

+12

60k ×7 = 36k + 35k + 170 ⇒ k = 5 4

∴ 60(k) = 300

P + 12 = 2(H + 12) P = 18  H = 3

\ 18 + 3 = 21

∴ a + b = –26

30k ×7 = costo 6

30k ×6 = costo 5

Corrija: Alternativas D) 36 y E) 21 Padre: P

30k

Clave E

y

x

02

⇒ x + y = 10

Clave D 6 am

07

3x = x + x ( 3 − 1) =

2 3 +1 2

(

3 + 1)

Clave D

Clave B

Clave D

06

x+2 a+1 = 1–a x

1 1 1 1 1 1 1 2n 1 – + – + – +...+ – = 2n – 1 2n + 1 n + 9 3 3 5 5 7 1–

1 1 b a x a b x – – 1 = – + 1  x + = + + 2 a b a b a b a b x

1 1 1 1 + = + x+a x−a x+b x−b 1 1 1 1 − = − x+a x−a x−b x+b

05

02

x+2 – x =a  x+2 + x

x+3 x+4 = 4 9

\ x = –2,2

x = 20 ∧ y = 5

Clave B

(a – 1)2 (a – 1)2 x =  x= x + 2 (a + 1)2 2a

Clave A

01 x + 1 + 1 x + 1 + 1

f(x) = x2 + (n + 1)x + n = 0 Si x = –2: (–2)2 + (n + 1)(–2) + n = 0  n = 2

09

∴ m – n + p = 20 – 30 + 10 = 0

A = {2}  B = {1; 2}  A  B = {2}

2

Ecuación cuadrática n 4 –3 x + (p + 6)x + (p – 2) = 0 2 m • – 3 = 2 ⇒ m = 20 4 n • = 15 ⇒ n = 30 2 p+6 • p – 2 = ⇒ p = 10 2

Clave C

Clave D

Clave A

10 03

Clave C

5 + 4 x + 1 = 3 10 + 6 − x

(a)(a + 1) – (a + a + 1) = 71 a2

2  a b 1 1 + – = +  b a a + b b a

 x = a + b = p + q + 2(m + n)

Clave C

2

02

Para: m + n + p = a  m + n + q = b

x a x b x–a x–b 2x 2x + =  – + + = b a a+b b b a a a+b

2x + 3 + 2 (2x + 3)(3x – 5) + 3x – 5 = 1

→ A1 = L2

L

2x + 3 –

05 ⇒ x =1

Clave A

x2 + x + 1 = 0  x1; 2 = A) (V)

B) (V)

D) (F)

E) (V)

–1  –3 2 C) (V)

Clave D

presente

x y = 2 3

4 pm

3x = 2y ⇒

5x = 2(x + y) = 20 x = 4 horas

∴ Presente: 10 a.m.

5

17

PROYECTO INGENIO

03

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

(x – 1)2 – 2x = 1 ⇒ x2 – 4x = 0

REFORZANDO

∴ Suma de raíces: 4

06 04

P(x) = x2 + (a + 3)x + (a + 2) = 0

II. (F)

07

III. (F)

01



08

y = 3x + 5

x

x + 125

x = 350 475 ⋅ S/. 3,60 = 142,5 ∴ 12

(n)(n + 1) = n2 2

∴x=

n–1 2

13

Clave D

Clave C

partes iguales: 12

∧

2 botellas = 2x – 3 kg (3)(2x – 3) = a + x (9)

x: personas que no dan

a=6 x=3

2x – 3 x = 2a + 2 2

∴ 1 botella 1,5 kg

(5 – x)(12 + 8) = 60 ⇒ x = 2

y1 = 3(x + 4) + 5 = 3x + (5 + 12)

CAJA 2

• 2x + 125 = 825

Clave C

I

NIVEL

CAJA 1

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + n) = n2 nx +

REFORZANDO

12

II

x x + + 1 = 100 2 4

4x + 2x + x = 99 ∴ x = 44 4

P(–6) = (–6)2 + (a + 3)(–6) + (a + 2) = 0 x1 = – 6 a = 4 → x1 + x2 = –7 x2 = – 1 I. (V)

x+

NIVEL

Clave C

Clave D

∴ Se aumenta en 12 unidades

Clave B

09 02

x: padre

∴m=

x – 3y 2

año

10

40%(4x + 9) = (x + 6) x3

+

3x2

⇒

15

REFORZANDO 11 Clave A



NIVEL

III



4x2 – 20x + 28 = 0

2x + a x – b 3ax + (a – b)2 = – ab a b • 2ax + a2 – bx + b2 = 3ax + a2 – 2ab + b2 2ab a+b ∴ numerador de la solución: 2ab

)2

2

= (5)2 – 2(7) = 11

5b2 – 3 3b – 5

= – 1,625

P(2) = 4a + 2b + c = 3

4 3 b=1

P(5) = 25a + 5b + c = 34

c=–

x1 =

–3 + 217 8

(m – 3) 4 = (m – 1) 5 ∴

x2 – 7x + 1 = 0 ⇒ x1 + x2 = 7 ∴ E = x1 + x2 = 7

Clave A

x2 – (m – 3)x + (m – 1) = 0 x1 + x2 x1 ⋅ x2

18

=

Clave D

ECUACIONES II

Actividad

Si:

13 3

Solucionario

11 02

a=

P(x) = 4x2 + 3x – 13 = 0

Clave C

Clave D

P(x) = ax2 + bx + c

CAPÍTULO

01

Clave A

13 4 =0 P(x) = x2 + x – 3 3

⇒x=

• x1 + x2 = (x1 + x2 – 2x1x2 2

a–3

+

P(1) = a + b + c = – 2

x(a + b) = 2ab

05

a(a – 1)

3 5

b=

+ 13 = 5

x2 + (3a – 2b)x – 6ab = 0 x 3a x –ab x1 = –3a ∧ x2 = 2b

a=4

, si a > b

Clave D

Clave C

04

3 5

x2 = 4

(x + 1)2 + 2x = 3x(x + 1) + 5 1 ∴ Suma de raíces = 2

8x + 18 = 5x + 30 ∴

x1 =

2x2 – x + 4 = 0

3

5x2 – 23x + 12 = 0

Clave B

Clave D

x=4

14

= (–8)2 – 4n = 20 ⇒ n = 11

y: hijo

x + m = 3(y + m)

03

x2 – 8x + n = 0

4 5

5

⇒ m = 11

m – 5 11 – 5 = =3 2 2

03

x1 = k ∧ x2 = 3k



• a = 4k



• b = 3k

2

04 Clave C

x1 + x2 = – 2 ∧ x1 ⋅x2 = – 1 E=

=

∴ 3a2 = 16b

E=

Clave E

x12 x1 + 1

+

x22 x2 + 1

x12x2 + x1x22 + x12 + x22 (x1 + 1)(x2 + 1) x1x2(x1 + x2) + x12 + x22 x1 + x2 + x1 ⋅ x2 + 1

=

2+6 = –4 –2

Clave E

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

05

(n + 1)x2 + (–n – 7)x + 5(n + 3) = 0



•

n+7 = x1 – x1 = 0 ⇒ n = –7 n+1

Clave D

CUADERNO DE TRABAJO 01

10

06





• x1 + 3x1 = k + 4

⇒ 4(x1 – 1) = k



• (x1)(3x1) = 3k

⇒ x12 = k

∴ k=4

⇒ Si: x1 = 2

02 Clave E

x2 + x – 1 = 0

 –13

x2 + 8x – 8 = 0

 –23

Clave B

TAREA

3

x + 27x – 27 = 0

01 • x1 + x2 = 4

2

x – (a + d)x + (ad – bc) = 0

x2 + 103x – 103 = 0  –103

x1 = 3 ∧ x 2 = 5 ⇒ 8=a+d

\ –103 = –1000

∧ 15 = ad – bc

∴

03

+ (3)(15)(a + d)y + 153 = 0 2

y – [(a +

d)3

– 45(a + d)]y +

153

k0

3k2x2 – 6kx – (k + 2) = 0 x1 + x2 = 2x1x2 

=0

6k –2(k + 2) 1 =  k=– 2 3k2 3k2

Clave C

2

y – 152y + 3375 = 0

• y1 + y2 = 152



• y1 ⋅ y2 = 3375

04

∴ y1 ⋅ y2 (y1 + y2) = 513000

08

⇒ ∆ < 0 ; como n ≥ 0 ⇒ –2, ... < n < 2, ...

05

∴ menor valor entero de: n + 2 = 0 + 2 = 2

1 1 10 + = = x1 x2 8 x1 ⋅ x2

P(x) = x2 + ax + b



• x1 ⋅ x2 = b ⇒ (2)(–4) = b ⇒ b = –8 ∴ ab = –16

04 • 1 = a 3

2

2 ⇒ a= 3

1 15 • = ⇒ b = 45 3 b

2 ∴ ab = (45) = 30 3

REFORZANDO

• ab = c

a2 + b2 + 2c (a + b)2 (6)2 = = =4 \ 9 9 9

Clave D

• x1 ⋅ x2 = –8

x1 + x2

• x1 + x2 = – a ⇒ (2) + (–4) = –a ⇒ a = 2

(2k + 2)x2 + (4 – 4k)x + (k – 2) = 0

x2 – 6x + c = 0 • a + b = 6

• x1 ⋅ x2 = 6



k–2 1  x1x2 = 1  = 1  k = –4 x2 2k – 2 102 x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 2 – 2(1) 3 82 2 2 \ x1 + x2 = 9 Clave D

⇒ 2x2 – nx + 1 = 0

(n)2 < 4(2)(1)

03

x1 =

Clave D



02 • x1 + x2 = –10

Clave C

y2 – (a3 + d3 + 3bc(a + d))y + (ad – bc)3 = 0 y2 – (a3 + d3 + 3ad(a + d))

Clave D

 –3

2

07

\ r1 + r2 – b = 5 – (–25) = 30

\ Producto de raíces = 1

x2 – (k + 4)x + 3k = 0

20 = 4  r 1 = 1  r2 = 4 5 b • r1 + r2 = 5 = –  b = –25 5

(r1)(r1 + 3) =

Corrija: Alternativas D) Las raíces son imaginarias P(x) = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 = 0  x = 1

5x2 + bx + 20  raíces: r1 y r2 = r1 + 3

01 • x1 + x2 = 4 = 2 2

Clave D

I

NIVEL • x1 ⋅ x2 = –

1 2

Clave C ∆>0

09

16 + 4k > 0 ⇒ k > –4

16 + 4k 0

amín entero = 1

P(x) = x2 + mx + 3

–m + m2 – 12 x1 = = 1 + –2  m = –2 2

Se sabe que: 2a – 1 > 0 ⇒ a >

a2

Clave B

(2p – 1)x2 + 4x + (p + 6) = 0 3 –4 x1 + x2 = = 10 ∴ p = 10 (2p – 1)

+ 2a

= xa2 – 2a + (2x + 1) = 0 2a – 1 Si 0 < x < 1 ⇒ x = 2 a +2 2a – 1 165

5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10 I



02

• 2x + 3 < 30

x2 > 168

01 • En (I)



5x + 1 < 3x + 11 2x < 10 x 0

2

– 4(2r + 1) > 0

 –17 < 7 – 3x  16

r2 + 2r + 1 – 8r – 4 > 0 r2

 –24 < –3x  9

17 7 – 3x \– < 8  2 2

– 6r – 3 > 0

TAREA 

(r +

1)2

17 – ;8 2

Como: ∆ > 0

Clave C

01

04

–4  x + 1 < 4

Clave C

De (1): –





De (2):





02

5≤x+3 >8 1 1 1 > ≥ 5 x+3 8

(2)

2 5 2 2 >  2+ > x+1 4 x+1 2



05

6 6 3 ≥ > 5 x+3 4

03

x2 – 5x + 6 < 0

–7  x  x  7  x < 0  x > 4

De (I) (II): x ∈ 〈3,14; 9,71〉

Clave B

 [–7; 0  4; 7]

\ 4 · 7 = 28

Clave C

– 2

x2 + x + 1  x + 50 < x2 – 3x + 50 x2  49  0 < x(x – 4)

6 3 ; 5 4

⇒

(x – 3)(x – 2) < 0

Clave E

x2 + x + 1  x + 50  x + 50 < x2 – 3x + 50

x ∈ 〈–7,71; 9,71〉 .......... (II)

III) –1

Si x ∈ [2; 5〉

+

x2 – 2x – 75 < 0

4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39

1 1 > x+1 4

3 5 \ –;  ; + 2 2

3x2 + 75

> 2x2 – x 2 3x2 + 75 > 4x2 – 2x

1 1  (1) 4 x+1

3 2 2 2   2+ x+1 2 4 x+1



5 > 4x + 7 7 44 • 2x > 7 • x > 3,14 .......................... (I)

En (1): • 6x +

En (2): •



–

09



II) 1  máx

Si x  [–5; 3  –5  x < 3

∴ a1 + a2 + a3 1 + 1 + 7 + 1 + (7)(2) = 24

Si x ∈ [–1; 0] I) 0

r ∈ 〈–∞ ; 4,46〉 ∪ 〈6,4; +∞〉 Como r > 0 y lo menor posible: r = 7

+ 1/3

D < 0  52 –4(3)(A – 1) < 0  A  3,08

(a2 – 14)(4) – 4(–2) + 4a = 0 ⇒ a = +3 ∧ a = –4

– –2

Clave E

08

01

+

\ ab = –6

C.S.: x ∈ [1; +∞〉

(a2 – 14)x2 – 4x + 4a ≤ 0

4a2 + 4a – 4(12) = 0

3x(x + 1)  2 – 2x  3x2 + 5x – 2  0  a = –2  b = 3

f(x) = –x

Clave D

Si: x = –2

Clave A

Y

⇒ x+5>0 x > – 5 .......... (∗)

∴ De (∗) y (∗∗): x ∈ 〈–5; 4]

x2 – 2bx – c < 0  C.S. = –3; 5 (x + 3)(x – 5) < 0  x2 – 2x – 15 < 0

2

5(x + 5) –18 • ≤ 3 + x+5 x+5

06

06

x2 – 1 – x < 0



•

 

05

04

+

∴ x ∈ [2; 3]

3

x2 + ax + b > 0

→ 〈–∞, 2〉 ∪ 〈5, +∞〉

(x – 2)(x – 5) > 0 x2 – 7x + 10 ⇒ a = –7 ∧ b = 10 ∴ ab = –70

5

23

PROYECTO INGENIO

REFORZANDO 01

3≤x≤8

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

07

I

NIVEL

–

⇒ 4 ≤ 3x – 5 ≤ 9

1 2 2 ≤ ≤ 2 3x – 5 19

∴M∈

5≤

25 2x + 5 0

Clave C

15

0 ≤ x –|x|

∧

x – |x| ≤ ?

|x| ≤ x

∧

x ≤ ? |x|+ 2

x ∈ [0; +∞〉

∧

x∈R

⇒ |x – 3| – 3 < 0 ⇒ |x – 3|< 3

B: {x ∈ [0; +∞〉}

⇒ –3 < x – 3 < 3 ⇒ 0 < x < 6

∴ A – B = – 1 ; 0 2

∴ Suma de elementos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Clave D

Clave B |3x – 2| – 2 = 5

∨

|3x – 2| – 2 = –5

|3x – 2| = 7

∨

|3x – 2|= – 3

3x – 2 = 7 ∨ 3x – 2 = – 7 x=3

∨

∴ x1 ⋅ x2 = 3 –

03

x=–

08

0 ≤

|x|+ 1

x+1

5 =–5 3

Clave E

2x + 6 = – x – 3

∨

2x + 6 = x + 3

3x = – 9

∨

2x – x = 3 – 6

x = –3

∨



x = –3

Clave C

1 3

x≥3

x–6–26 –x+ 56 –x = 16 Como: a – b = b – a

x+1

⇒ 2 ≥

1 ⇒ x ∈ 0; 3

x+1

⇒

x–1

Clave D

x – (a – b) = –x – (a – b)  2x = 0  x = 0

S

x – (a – b) = x + a – b  a = b

Clave B

x=–

∴x∈

04

• x  R /



• {x  R /|x + 1|= 3x}  x 

3 2

7 3 – =2 2 2

10

2



x2 – 2x + 1 – x2 + 4x – 4 ≥ x2 – 6 x2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇒ (x – 3)(x + 1) ≤ 0

Clave C

Clave D

05

–1 ≤ x – |x|

∧

x – |x| ≤ 1

|x| – 1 ≤ x

∧

x ≤ |x|+ 1

x ∈ – 1 ; +∞ 2

∧

x∈R

1 A: x ∈ – ; +∞ 2 Evaluando en B: –1 ≤ x – |x| – 1 ≤ 1 0 ≤ x – |x| ≤ 2

2 x+

1 2

2

 x

1 2

–7 x+

2 ; 5 = A 5

1 1 ;– =C 2 4

Clave C

1 +6=0 2

1 1    2 x+ –3 x+ +2 =0     2 2

Evaluando en A: –1 ≤ x – |x| ≤ 1

(|x – 1| + | x – 2 |) (|x – 1|–|x – 21|) ≥ x2 – 6 x – 1 = x – 2 ≥ x2 – 6

\ A  C =

1 2

1 ; +∞ 2

2 x5 5



5 x–1=– 2

Como x – 1 = 1 – x y (x – 3)2 =x – 32

∴ x ∈ [–1; 3]

Clave B

|x – a + b|=|x + a – b|

2

2–x ≤ 1+x ⇒ x ≥

Clave B

2

03

|x – 2|

En (∗): 2x – 1= 5

06

x1 = 10  x2 = –4  x3 = 6  x4 = 0

...... (**)

|x|+ 1

x>0

∴ Suma de valores de x:

|x – 3|= 3

09

(x)

∨

|x – 3|– 5 = –2

\ a + b + c = x1 + x3 + x4 = 16

⇒ x ∈ [3; +∞〉

(3x – 1+ 1)(2x – 1– 5) = 0

7 2



(x – 3) = 7  (x – 3) = –7 

2x – 2 ≥ x + 1

6x – 12 – 13 x – 1 – 5 = 0

x=

|x – 3|– 5 = 2

(x – 3) = 3  (x – 3) = –3

–2

∨

Clave E

Clave D

∴ x1 + x2 = 2 + 10 = 12

5 x–1= 2

x2 = 8

|x – 3|= 7

...... (∗)

x1 = 2 ∨ x2 = 10

>0

18 – 3x = –6

x1 = 4

02

∴ S – [–1; 4] = 〈4; +∞〉

Soluciones positivas:



18 – 3x = 6 \ x1 · x2 = 32

1 ∪ [3; +∞〉 De (*) y (**): x ∈ 0; 3

4x– 6= 16 ⇒ x– 6= 4

01

|x – 1|

• Si x > 1 2 ≥

05

CUADERNO DE TRABAJO

⇒ x>0

• Ahora veremos: x ≠ 1 x+1 0 ax + b Si: x = 0 ∧ y = b = 2

Clave B

02

y 5 5

03

ax = – b = – 2 ⇒ a = 2

y5–x

y = 3x + 1

∴ y > 2x + 2

x

Clave A

04

y

2 1

2x + y > 5 – x

1

y > 5 – 3x

Clave C x

05

x

Si: y = 0 ∧ x = –1

(y – 1) = 3(x – 0) Pero además es una inecuación en el que el punto (0; 0) es aceptable en la inecuación lo cual, la inecuación resultante sería: y – 3x ≤ 1

3

–1

03

E) (2; –3)

Vemos que las intersecciones son (–1/3; 0), (0; 1) y además tiene pendiente positiva; por lo que si fuera una ecuación sería:

y  –|x – 1|+ 2

2

X

Sabemos que y ≠ 0

Clave C

y < 3 +|x|

Clave D

Y

Sabemos: y < (x – 1) ∨ –(x – 1) < y (I) (II)

04 1

y

REFORZANDO

5x  4y

X

x

Clave C

Clave D

01

y>

(6 – 2x) 3

NIVEL

I

y

x

06

I(b) - II(c) - III(a)

05 Clave A

Clave D

x  4  y > –1

Clave D

02 07

3x – y ≤ 0

Y

06

3x ≤ y

I. c II. a

III. b

Clave E

Clave B y–1>x y>x+1





Si x = 0

2x – 6 < 3y  x  0



Clave E

⇒ y=1

Si x = –1 ⇒ y = 0 Se intersecta la recta, X luego se sombrea la parte de

5

Clave D

2x – 3y < 6  x  0

Interceptos: (0,1) ; (–1,0)

Clave B

36

07

y x

Y

Si: y = 0 ⇒ x = a ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4 = a ∴ a + b = 4 – 12 = –8

X

08

Se cumple: Si: x = 0 ⇒ y = b ⇒ y = –12 = b

03 Por la gráfica: Pendiente negativa:

–2 5

–2 x+b 5 Cuando: x = 0 ⇒ y = 2 y≤

08

2x + 5y  10  y < 4

y x

y2–

2x  y|x|



x x

3

y=1 ⇒ 1=3+a+b

a + b = – 2 ................. (I)

y

10

y >|x – 3|

14 • Si: x = 3 ;

• Si: x = 0 ; y = 4 4=b–a

Clave D

................. (II)

De (I) y (II):

Clave E

* (I) + (II): b = + 1

* (I) – (II): a = –3

∴ a + 2b = –3 + 2(1) = –1

REFORZANDO 06

Pendiente positiva:

2 3

II

⇒ y≤

2 x+b 3

⇒ y≤

Si: x = 0 ; y = 2 ∴ 3y – 6 ≤ 2x

07

NIVEL

REFORZANDO

15 Observando la gráfica m, n, p son solucio-

5

2 x+2 3

1 x+b 5

nes de: y x – 3 –2 –1  Cuando: y = 0 ⇒ 0 = x – 3 –2 –1 

• Si: x = 0 ; y = 1 ⇒ b = 1



x – 2y > 4 x

∴ ab = 5×5 = 25

x≥0

• x – 3 –2 = –1

• Como: x + ay < b ⇒ a = 5 ∧ b = 5



x – 3 = 3

Clave C

Clave D

∨

y

12 x≥0

6 3

⇒ m=2

y=0

y≥0

–4 x = 0

x

x

Clave C

CAPÍTULO

Actividad Se grafíca cada

Y

una, luego se 4 X

interceptan, por lo que se obtiene:

05

Reconstruyendo las inecuaciones:

x+y>5

.... (II)

x + 2y < 11 ⇒ –x – 2y > –11

.... (III)



• y ≥ 0; por que limita a que todos las soluciones y0 sean positivas.



• 2y ≤ x + 2; ya que son las interacciones y además cerrado por que toma dos valores de igualdad.



• De (III) + (II): y < 6



• De (I) + 2(II): y > 3 ⇒ y=4 ∧ x=2 ∴y–x=2

–1

• 2y < –x + 2; son las intersecciones y además es abierto como también sombreado a la izquierda.

Clave D

de las tres ecuaciones.

04

• Se nota que se sombrea el lado izquierdo de L1; por lo que: x + y ≤ 4



• Sombreado el lado izquierdo de L2, por lo que: y ≥ x

Y

la intercepción

S X

Clave A

20

3y – 2 > 2x + 3 ⇒ 3y – 2x > 5 .... (I)

Clave E El área S es

p=6

Clave D

03

02

n=4

x3 = 4 ∨ x4 = 2

Clave A

2x + y ≥ 6

SISTEMA DE INECUACIONES II



∨

∴ m + n + p = 2 + 4 + 6 = 12

Solucionario

01

x – 3 = 1

x – 3 = 3 ∨ x – 3 = –3 ∨ x – 3 = 1 ∨ x – 3 = –1

y

–6

x – 3 –2 = –1

∨

x 1 = 6 ∨ x2 = 0

08

1

x – 3 –2 –1 

1 y < – x + 1 ⇒ 5y < – x + 5 5

y

Clave C

III

11 • Pendiente negativa: 1 y0

(II)

x0

(III)

TAREA 01

Clave B

03 07

Graficando: Y



de G son: (3,3)

1

4

23

3x + y  6

I.

IV

4 I

III. x  –2

III

IV. y  4

–2

II

x

Clave C

∴4

(2,1); (3,1); (3,3) y (3,3)

04

y







12



Clave B

08

Hallando la

Con x ≤ y ≤ 2



gráfica x ≤ y 

se obtiene

Y

3

–3



3 4

3 2



Soluciones positivas x

y 4 4

3

x

Y

4



R

–2 2

6

L L3 4



06

3y – 2x > 5 (1) x + y > 5 (2) x + 2y < 11 (3)

6

x

≥

y

07

1) (1;

(2; 5), (2; 6), (2; 7), .... (2; 15)

⇒ 11

0x 3 (4)

08 x≤6

)

xx + y = 23 = 8

REFORZANDO

\ 7 soluciones

x

x + y ≥ 3 ........ (I) y≤x

........ (II)

y≥0

........ (III)

x–y3

y

Y

I

x+ y≥ 4

X

02 3

–3

x  –3

III

X

∴ x≤6; x≥y; x+y≥4

Clave B

09

76

Clave D

04

5

X

II

Y

III

.... (III)

X II

7

Y

I

∴ Se observa 3 soluciones

3 iii

2

4

Clave C

i 3

I

.... (I)

112

y

ii

x+y≤0

0≤x≤1

10 –10

III

1

Clave A

Corrija: Cambie y – x < 3 por y + x < 3

x

1

2x – 3y ≤ 12 .... (II)

76 56

Solución entera (43; 34)

10

...... (III)

Clave A

03

\ 2m – 5 = –3

3

y≥1

x + y > 76 x + 2y < 112

y

Y

...... (I)

Clave B

x – y < 10

CUADERNO DE TRABAJO

y < 2x

1 ≤ x ≤ 4 ...... (II) x

–3

\ 27

L2

II

Clave E

3

x+y3

I

NIVEL

Clave C

x – y  –3

6

–2

38

∴ Total de número de soluciones: 57

 en (3): 3 < y < 4,5 y x

⇒2

(7; 4), (7; 5)

De (4) y (2): x  2

01

(2; 0

–2

Clave C

y

4

01

Soluciones que satisfacen el sistema:

L3 L1

Y 4

Representación del sistema de inecuaciones

yx+4

–2

10

(II)

x≥0

⇒ 12

Clave B

cuadrilátero. X

(III) 4 X

y < –x + 4

cuyo borde es un L1

L2

2

(1; 6), (1; 7), (1; 8), .... (1; 17)

R es una región

4

x+y≥1

Clave D

\ y=4  x=2 



.... (III)

(I)

(6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6), (6; 7) ⇒ 5

Clave B

6

y≥2

X

Clave A

2

Cada triángulo tiene área 1, como son 4, el área total es 4.



.... (II)

x+y≤5

\ (3; 1), (3; 2)

X



x≥1

y≥0

• y < 12 – 3x

04 05

– 2

03

• y < 2x – 3

–4

L5

Y

x + y ≤ 4 .... (I)

3

1

(4,0)

Como nos dicen: (x, y) ∈ N×N

09

02

(I)

(II)

(3,1); (3,2); (3,3);

X

–3

........ (II) 2

(2,0); (2,1); (3,0);

G

y≥0

y

II. y – 2x  1

Los puntos N×N

12

........ (I)

2 ≤ x ≤ 3 ..... (III)

Clave B

(III)

Y

y 8



06 10







A



1

B

2 2,5

⇒ A =

07

NIVEL



II

3 10 3

09

C – B 2

x2

I)

+

y2

II)

= 40

10

(–4,3 ; –6)

y–x=2

–6

(–3; –5) ∈ Z × Z

........ (F)

⇒ n(A ∩ B ∩ C) = 1

Clave B

........ (V)

13 Clave D

7 3 52 3

3

1

x: # alumnos ⇒ x > 18

∴ 18 < x < 21

6

1 52 8

3x – 5 < 2(x) + 16 ⇒ x < 21

–3 –3,5 –3 –2 –1 –6

10/3

........ (F)

x=6 ∧ y=5

Clave E

4 3

∴ máx. x = 20

3

3

∴ Soluciones enteras: (1;1), (1;2), (2;1), (2;2) ⇒ n(A) = 4

Clave A

Clave B

∴ Única solución entera (–3; –5) dentro del área sombreada. x + y = (–3) + – (5) = –8

23 – 15 =4 2

–5

42 + 52 = 41 ≠ 40

10/3

=

(–2,8 ; –4,6)

12

Son soluciones enteras:

2x – 7 > 29

–14 3

Clave C

III) x2 – y2 = 9

(0;0)

–12

=

Clave B

Pero si y < x ⇒ y – x < 0

27 3 267 = 13,35 = – 2 20 20

2

–12

• Se sabe que: (0,6)(0,5) B= 2

(2,8 ; 1,6)

A =

5 1 0 0 0 5 15 C

• En (III) y (IV): 4 < y < z < 7 5 6 ∴ 3z – 2y = 3(6) – 2(5) = 8

(3)(9) • A + B = 2





y>4

Clave B

REFORZANDO

0 20 4 3 3 0 0 B

–x+y–z>–6

∴ Hay 6 soluciones

1 –1/2

• En (I) – (II): x + y + z > 14

REFORZANDO

Clave A

III

NIVEL

14

6

x – 1 + y – 5 ≤ 1

5

y ≥ 5 + 1 – x 

11 08

I.

x + y + z > 14

II.

x–y+z 0  f(x) = 2

1 –x2 =1– 2 x +1 x2 + 1 

Mín f(x) = 0

f(x) = 3(x – 1)2 – 2

• Si x < 0  f(x) = –2

f(x) =

1

f(x) = 3x2 – 6x + 1 ; x  –1; 2]



2 – 1)1/2 f(x) = (x 

0

f(x) = x – 2x + 1 – 1  f(x) = x + 2x + 1 – 1 2

f(x) = (x – 1) – 1



Clave D

f(x) = x2 + 2x|x|

g(x) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c + a(x – 1)2 + b(x – 1) + c g(x) = 2ax2 + 2bx + 2a + 2c

f(x) =

G(x) = –4x2 + 8x  G(x) = –4x2 + 8x – 4 + 4 0

CUADERNO DE TRABAJO

06

Clave D

– 2)2 G(x) = 4 – (2x 

08 05

Clave D

f(x) = x2 + 4x + 1  f(x) = (x + 2)2 – 3

Clave D

Como x  0

16 2 x + 4x 3

m=3 p = +12

05

b=2

g(x) = f(x + 1) + f(x – 1)

\ g(x) = –

f(1) = m – p = –9

|x|– x  0  |x|– x

+ bx + c

f(–1) = 2  a – b + c = 2

Clave D

Clave C

\ x  –∞; 0 

04

Clave A

5 2

f(x) = m(x – 2)2 – p f(0) = 4m – p = 0

Como 9, existe si 9  0

\ x  [4; +∞

5 2

\ m + p = 15

0

ax2

04

a2 + 1 a2 + 1  f(x)  |a – 2| |a – 2|

f(x) =  x–2– x x – 2  x  0  (x – 2)  0

\ [–4; 3] –

De (I) y (II): a2 – 1 |a – 2|f(x)  a + 1



Clave A

x2 – 4x + 4  x  x  2

2x – 5 = 0  x =

 |a – 2|f(x)  a2 + 1

\ f es acotada  a  R – {2}



x2 + x – 12  0

I. f(x) > 0  |a – 2|f(x)2 – a2f(x)  f(x)

Clave D

0

03

12 – x – x2  0

(x – 3)(x + 4)  0

08

II. f(x) < 0  |a – 2|f(x)2 – a2f(x)  –f(x)

02

Dominio

b=4

Calculando b: 37 = 3(b) + 4  b = 11

x2



Clave A

Calculando a: a = 3(5) + 4  a = 19

x2

f(x) =



f(2) = 2 + b = 10

12 – x – x2 |2x – 5|

03

f(x) = x2 + 2x + 1 – 1; (x + 1)2  0



01

f(x) = x2 + 2x



07

Actividad

Clave C

\ –;

Mínimo valor (x = 0)

8 9

Clave A

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

f(x – 2 x) = 2(x – 4 x); x  4

05

f(x) = x –  x

Dom f = [4; +



• x  0

\ Ran f  Dom f = [4; +

REFORZANDO

0

Ran f = [–8; +

11

\ Domf : x  [0; ∞

f(x) = 7 – 2 3x – 5

Clave D



Clave D

Domf:

06

H = {(5; –1), (2; –4), (5; 3), (1; –5)}

f(x) =

\ Ninguno de los 3 son funciones.



F = {(1; 0), (0; 1), (1; 2), (2; 3), (3, 4)} G = {(–1; 8), (8; –1), (–1; –1)}

12

x2 – 16; –4  x < 6

A = {x  Z/|x| 4}



• f(x) = x2 – 3

6 136 ; 6  x  16 – x+ 5 5

• 3 = b – 1  b = 4

(x – 3)(x – 2)  0

 –3  f(x)  13  Ranf: [–3; 13]

20

Domg:  1 – x  x  1  –4  x  4 4 6

G(x) =

0

+

– 1

+

\ Ranf  Domg: {–3; –2; –1; 0; 1}

Clave B

\ Ranf : [–16; 28]

3

Clave D

13 f(x) =

– 2)2 G(x) = 4 – (2x 

1 x

07

F(x) = x +



Si x > 0  x +

+ 8x – 4 + 4 0

x2; –2  x  –1

1/2; 1  x  5 y

1 1  2  x < 0  x +  –2 x x

\ RanF(x) = R – –2; 2

\ Rango G(x): –∞; 4]

4 1

Clave A

1/2 –2 –1

01

NIVEL

I

08 f(x) =

5x2 – 7x – 6 x+

f(x + 4) = x2 + 3x  f(x) = (x – 4)2 + 3(x – 4) f(x) = x2 – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)

3 5

3  x + (5x – 10)  5 = 3 x+ 5

f(x) = 5x – 10 sobre Domf:

\ f(a + 1) = (a + 1 – 4)(a + 1 – 1) = a2 – 3a

Ranf: –13; –7]



REFORZANDO

...(**)

16



04

...(*)

 Domg: [–4; 1]

16

\ x  –∞; 2]  [3; + –4x2

• g(x) = 1 – x + 1

Ranf: –4  x  4  –3  x2 – 3  13

(16; 8)

f(x) =  x2 – 5x + 6



Clave B

28

–6 –4

0

II

NIVEL

\ ab = (2)(4) = 8

03

5 ;7 3

4 – 4x; –6  x < –4

G = {(1; 4), (2; 3), (1; 2a), (2; b – 1)} • 2a = 4  a = 2



 Ranf: –∞; 7]



REFORZANDO

02

5 ; + 3

\ Domf  Ranf:

TAREA 01

III

NIVEL

• x – x  0  x  x  0



10

3 3 – ; 5 5

\ Ranf: [1; 4] 

14

\ Ran|f|: [7; 13

Clave E

x 1

5

1 2

Clave B

y = (x – a)2 + (x – b)2 – a)2 + 2(x – a)(x – b) + (x – b)2 y = (x 

Clave D

T.C.P.

–2(x – a)(x – b)

y = (x – (a + b))2 – 2(x – a)(x – b) 

02

14 + 5x – x2 f(x) = 

09

0

–(x2 – 5x – 14)  0  (x – 7)(x + 2)  0 \ Domf : [–2; 7]



04

25 25 + +2 4 4

2 33  f(x) = – x – 5 4  2

Clave A

15

33 \ mín f(x) = 4

0

Clave E

10 10 x(12 – x)  f(x) = [x(12 – x)] 9 9 10 f(x) = [–x2 + 12x + 36 – 36] 9 10 f(x) = [36 – (x – 6)2]  9 f(x) =

0

x: # de minutos 

2,5x;

Clave B

f(x) = –x2 + 5x + 2

f(x) = x2 + 4x + 1  f(x) = (x + 2)2 – 3

M(x) =

\ Esto se da cuando x = a + b

8 = –9 + 4a – 3  a = 5

Clave B

\ Ranf : [–3; +∞

míny = –2(x – a)(x – b)

En el punto (3; 8): 8 = f(3) = –32 + 3a + a – 3

f(x) = –x2 + 5x –

03

0

f(x) = –x2 + ax + (a – 3)

10 x3

x + 0,10(x – 3); x > 3

32 32 g(x) = 2 = – 3)2 + 4 x – 6x + 13 (x  g(x) =

M(x) es igual a G(x), por lo tanto sólo G(x).

Clave D

32 =8 4

\ máx g(x) = 8

0



Piden máx f(x); se da cuando x = 6  f(6) =

10 (36) = 40 9

\x=6

Clave D Clave A

5

43

Solucionario

CAPÍTULO

23

TRAZADO DE GRÁFICOS

Actividad

Si x > 0: 2x =  x=

01

II y III.

F(x) = ax + b, ab > 0



Si a > 0  b > 0  pendiente positiva



Si a > 0  b > 0  pendiente negativa

Área: –2 0 1 10 2 3 –2

\ Hay más de una posibilidad.

CUADERNO DE TRABAJO

10 3

f(x)

 10 20  ;  B  3 3 

Clave D

02

x 10 +5  x= 2 3

B

5

g(x)

01

Corrija: Alternativa D) I, II y III



Los tres gráficos corresponden a funciones.

A



Clave D

–10

4 40 40 + 0 3 3 40 = 10 = 2 3 3 4

02

\ [–5; –1  1; 4

03 03

f(x) = 4 –|x + 3|

Clave C

04

g(x)

f(x) 1

1 0

f(x) = 4 – {x + 3} –{x + 3}

\ Área sombreada =

\ f(x) < g(x), se observa que cumple del tramo de: 0; 1.

05

\ Rango f = 0; 9]

09 04

+ 2x  f(x) =

f(x) = f(x) =

–(x2

f(x) =||x2 – 4|– 3|

1

– 2x + 1 – 1)

H(x) = x

06

2

Nos piden hallar:



Si y = x2  q = p2

Sea f(x) = x2 – (x0 + y0)x + x0y0 f(0) = 2  x0y0 = 2

x2 – 4

x0 + y0 = 3  x0 + y0 = 6 2

Clave C 3

05

Clave A

2

– 1) + 1  fmáx = 1

\ Ranf: –∞; 1]

f(x) = –x2 + 6x f(x) = 9 – (x – 3)2, 0 < x < 6

Clave D

(4)(8) = 16 2

–(x2

Clave E

1

Clave C

–x2

Hay desplazamiento en el eje y de 1, se ve el espejo, eso indica valor absoluto. \ f(x) =|x|+ 1

1

–7

Tiene pendiente positiva  f(x) = x + 4

f(x) = x2  g(x) = x

4 {x + 3}

Clave A

Clave D

Clave E

08

Por la gráfica, el dominio es:

4

q·p 2

\ f(x) = x2 – 6x + 2

H(x) =|x2 – 4|– 3 4

07

4 4 4 16 En y = x  q = p  p =  q = 5 5 5 25 3 4 q·p 5 32 \ = = 2 125 2 Clave E

Clave A

2 |x2 – 4|

2

5

1

y

f(x) =||x + 1|– 2| x

f(x) =||x2 – 4|– 3|

Clave D

Clave D

08

Sea f(x) = a(x – 3)2 – 4 f(0) = 5  a(–3)2 – 4 = 5  a = 1

06

x

xo

0

f(x) = x2 + bx + c

xo

2

(xo > 0)

10

f(x) =



Por la gráfica:

–x2

+ 2x = (x)(2 – x)

\ f(x) = (x – 3)2 – 4 = x2 – 6x + 5

Clave E

1 b

• f(0) = 2  c = 2  f(x) = x2 + bx + 2

2

a 1 a+b

• y – xo = (x – xo)2  y = x2 – 2xxo + xo2 + xo  xo2 + xo = 2  (xo + 2)(xo – 1) = 0

f(a) = (a)(2 – a) = b

...(I)

\ xo = 1

f(a + b) = (a + b)(2 – a – b) = b

...(II)

Clave D



En (II) y (I):

f(x) = 2x y g(x) =



Si x < 0: –2x =

x +5 2

x + 5  x = –2 2

 x = –2  A(–2; 4)

44

Sea f(x) = a(x – 1)2 – 1  f(x) = (x – 1)2 – 1

\ b = 2( 2 – 1)

Clave B

5

Clave B

f(0) = 0  a(–1)2 – 1 = 0  a = 1

b  b b2  1– 1+ =b  1– =b  2  2 4  b2 + 4b – 4

De acuerdo a la gráfica: \ Dominio: –; 2  2,5; +

10

b = 2 – 2a  b = 2(1 – a)

07

09



• f(3) = 3 • f(2) = 0 • g(2) = 3·2 – 0 = 6 \ f(3) + g(2) = 3 + 6 = 9

Clave C

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

TAREA

 n  n   8  ; f  – ;0  3   2m  2m 



Clave D

Clave A

01 I. Tiene 2 puntos de corte.

\ p(–3a) = 3a(–a)(–5a) = 100 = 10

Vértice: –

II. Tienen 2 puntos de corte.

05

\ Sólo III es función.

Raíces –3 y 3 9m

Cuando y = 8

02 Observando la gráfica:

8 = –(x – 3)(x + 3)

Domf: [–6; 4] – {1}

–3

 x=1

Ranf: [–1: 3  4; 5]

REFORZANDO

f

 f(x) = –(x – 3)(x + 3)

11 3

6m

Esto se resuelve, repasando la traslación de funciones en el eje y. y P(x)

\ Ancho a lo máximo es 2x = 2.

1

Clave B

03

2

a = 4, b = 2 y c = 3 \a+b+c=9

–1

2

REFORZANDO

4

06 04

f(x) =

mx2

b2 = 4ac y n2 = 4mp

= (ax – b)2 = mx2 – 4mx + 1



2

= (ax – 1) = mx – 4mx + 1



a2 = m

01

NIVEL

Clave D

12

f(2) = g(2)  6 = 2a + b

(F)

\ ab = 4

I

13

f(x) = ax2 + bx + c



c c Se sabe: x1 = 5  x1x2 =  x2 = a 5a  c  \ F(5) + F  0+0=0  5a 

Clave E

I. No es función, tiene 2 puntos de corte.

Clave B



En el eje x: Dom [–4; 3] – {2} En el eje y: Ran [–1; 2  3; 4]

Clave A



08

Clave B

Área: 8×15



Área de la base de la caja: (8 – 2x)(15 – 2x)



Altura de la base: x



x x

15





8





x • x > 0

14



II. f(3) = 3 3 = a + 12 + b

 b = (3 – a)2 – 3

 b = (3 – a)2 – 3

Igualando b: 2

(3 – a) – 3 = (6 –

Q(x) = –P(x – a) = –(x – 4a)(x – 2a)(x) Q(x) = –(x)(x – 2a)(x – 4a)

a)2

ax2 + 3x + 4 = 0

– 12  a = 3  b = –3

Clave A

P(x)

Clave C

9 Tenga solución única D = 0; a = 16 9 2 x + 3x + 4 = mx2 + nx + p 16

2a 3a

P(x)  tiene 3 soluciones

4a Q(x)

x1 = 0; x2 = –2; x3 = +3

\ Q(x)  P(x); x 2a; 3a

Entonces es divisible: (x); (x + 2); (x – 3) \ (x + 2)(x – 3)

10

P(x): polinomio cúbico



raíces: x1 = 0; x2 = –2a; x3 = 2a P(x) = –x(x + 2a)(x – 2a) P(a) = –a(3a)(–a) = 20  a3 =

Clave D

Clave E

D0

9 a 32 – 4(a)(4)  0  16



Q(x) = –x3 + 6x2a – 8xa2

–a

09

\ ab = –9

04

\ Dom(V): 0; 4

P(x) = x3 – 3ax2 – a2x + 3a3 P(x) = (x – 3a)(x – a)(x + a) donde a > 0

• 2x < 8  x < 4

V(x) = x(8 – 2x)(15 – 2x)

I. f(3) = 3

División de P(x) con (x – 3) \ P(3) = –(3 – 1)2(3 – 2) = –4

Según la gráfica: 3 = a + 3 + b

P(x): polinomio de grado n

P(x) = –(x – 1)2(x – 2)

x

03

Clave D

n es menor posible  por la gráfica n es impar  n = 3.

\ Solo II y III son funciones.

02

De (I) y (II): a = 2  b = 2

Clave D

07

...(I)

f(–1) = g(–1)  0 = –a + b  a = b ...(II)



III. abc  mnp

f(x) = x3 – x = x(x – 1)(x + 1) g(x) = ax + b

(V)

1 \ 4m – 7 = 4 – 7 = –6 4

REFORZANDO

II (V)

c b = 5a n

4m2 = m 1 m= 4

\ P(x) = (x – 1)2(x – 3)(x – 4)

II. Como tiene el mismo vértice, y se ob serva que son cuadráticas se cumple:

= a2x2 – 2ax + 1 = mx2 – 4mx + 1 a = 2m  a2 = 4m2

NIVEL

x

4

2

I. f y g sus D = 0

– 4mx + 1

2

P(x) – 1 1

–3

f(x) =|x – 2|

III

NIVEL

15

f(x) = (x + 2)(x + 1)3(x – 3)6(x – 6)5



Es de grado 15: impar. \ raíces: x1 = –2; x2 = –1; x3 = 3; x4 = 6

Clave D

20 3

5

45

Solucionario

CAPÍTULO

24

FUNCIÓN PAR E IMPAR II. g(x) =|x + 1|

Actividad 01

(x + 1)

a) f(x) = 3x  3x = –f(–x)  3x = –3(–x) = 3x

III. h(x) = x3

h es una función impar.

 2x3 = –2(–x)3 = 2x3

d) f(x) =

+

(Sí)

III. h(–x) = –x + 1  –h(x)

(Sí)

Clave C Clave C

 es una función par

\ c y d funciones pares.

Clave C

07

a) Impar



c) No es par, ni impar

b) Par \ IPN

03

a - 2; b - 3; c - 1

04

Periodo: |7 – 3|= 4 \ 4

Clave E

Clave B

Clave C

02

Función par: es simétrica al eje y.

Clave D

08

05

A) f(x) = 5: es una función par. B) g(x) =|x|+ x2: es una función par.

03

Función periódica: es aquella función que se repite cada cierto periodo.



Observando: solo II es periódica. \ I y II no son periódicas.

x3 + x + x x

 G(–x) =

C) h(x) = 3x2 + x – 2: no es par, ni impar.

Clave D

3

G(x) =

3

–x3 – x – x = G(x) –x

D) I(x) = x3 + 2x: función impar.

I.

G(x) = G(–x)

(V)

x : función impar. E) J(x) = 2 x +1

II. G(–x)  –G(x)

(F)

III. Es par pero no impar

(F)

Clave C



\ Solo I.

Clave A

y

04

09

f(x) = x – x

06 k

Clave B 1

2

3

\ Se observa que el periodo es 1.

Clave B

Clave B

07

f(x) = –f(–x) f(x) =

+ 3(–x) + 1 –

4(–x)2

+ 3(–x) + 1

f(x) = 4x2 – 3x + 1 – 4x2 + 3x + 1

• f(x) = I.

f(x) = 4x2 + 3x + 1 – 4x2 – 3x + 1

4(–x)2

T = 3 periodo  k = 3T  k = 12

x

k

\ k es periodo = 3.

05

(No)

\ 2 son funciones impares.



c) f(x) = –5x2 + 1  es una función par 2x2

(Sí)

\ Son correctas I y III.

b  es una función impar.

x4

f(–x) = –x = –f(x)

II. g(–x) = (–x)3 = –x3 = –g(–x)

III. I(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3  –I(x)

a  es una función impar. b) f(x) = 2x3  2x3 = –f(–x)

Función impar: f(–x) = –f(x) I.

g no es una función par, ni impar.



Función impar: f(x) = –f(–x)

02

10

Periodo: 5



Es b – a = 5  si a =

...(I)

x x + • g(x) = 3 x3 + x x3 + 1 x3 – 1

f(x) = f(–x)  f es par

III. f es par

5 4







\ FFV.

\a+b=

 2 4x2 + 3x + 1 = 2 4x2 – 3x + 1  x  –x f no es par.

5 25 30 + = = 7,5 4 4 4

Clave E

08

Función par  1



Función impar  2 a - 1; b - 2; c - 2

f(x) = f(x)  f(x) = –(I)

(V)

Clave D

5 25 b– =5  b= 4 4

4x2 + 3x + 1 – 4x2 – 3x + 1 = 4x2 + 3x + 1 – 4x2 – 3x + 1

(F)

II. g(x)  –g(–x)  g es impar (F)

\ 122

Clave B

f(x) = 4x2 + 3x + 1 – 4x2 – 3x + 1

CUADERNO DE TRABAJO

 f es una función impar. \ Es correcto afirmar que f es una función impar.

Clave B

09 01

(V)

I.

II. g(x)  g(–x)

(F)

III. (V) Si k = x2  f(x) = x2 par

III. h(x) = h(–x)

(V)

\ Solo I y III.

I.

06

I. f(x) = x2

81

\ Solo II no es par. f es una función par. 9

46

5

 2(–x)2 – k = 2x2 – k  k  R

Función par: f(x) = f(–x) f(x) = x2 = f(–x)

f(x) = 2x2 – k es par  f(–x) = f(x)

Clave B

(V)

II. (F)

Clave E

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

10

y

f(x) = 4x2 – 2x + k es par

II. (F) |f(x)|=|(x – 2)2 + 3|

 f(x) = f(–x)  4x2 – 2x + k = 4x2 – 2(–x) – k 2k = 4x  k = 2x

3

k

\ 2x

k

\k=3

x

6

Clave A

Clave D

 No es función par

3 2

III. Falso \ Solo I

Clave A

04 Función máximo entero 2

TAREA –2 –1

01

1

f(x) = 5 es una función constante.

–1 –2

f(–x) = f(x)  es una función par.

02

a)

1

2 3

\ Función no decreciente.



REFORZANDO 11

Clave E

f(x) = senx

f(x) = 3x2 + k es par

k

 Función par

05

f(x) =|x|+ 3



Las funciones pares son simétricas al eje y.

II. k = 2x2  f '(x) = 5x2  Función par

f(x) =|x|+ 3 3

III. k es una función lineal de x f ''(x) = 3x2 + ax + b  f ''(–x)  f ''(x)

Clave A

 No es función par. \ I y II.

03

f(x) = x

REFORZANDO

Notación de una función impar:

NIVEL

II

f(x) = – f(x)  –x = –(x)  –x = –x \ Se demuestra que f es impar.

12



 f(x) = –2(–x)2  f(x) = –2x2



Notación de una función impar:

 Función par

Clave A

1 3) g(x) = |5x|  Función par 2

x

f



2) f(x) = 3|x|  f(x) = 3|–x|  f(x) = 3|x|  Función par

1 \ a= 2

y x g

c) función periódica

07

4) f(x) = |x|  Función par

I. (V) Función coseno f(x) = cosx II. (V) f(x) = senx

y h

\ 4 son funciones pares.

III. (F)

Clave D

13 08

01

NIVEL

I

f(x) =|x|  f(–x) = f(x)  |–x|=|x|= f(x)

II. h(x) =

III. h(x) = h(–x)  h(–x) = (–x)2 = x2

III. M(x) = x2

09

2

f(x) = x + 2x + 1 = (x + 1)

b) f(x) = 2|x|  f(–x) = f(x)  2|–x|= 2|x|

 no es una función par

 es una función par

II. H(x) = x2 + x + 1  H(x) = H(–x)

c) f(x) = senx

 no es una función par

Función periódica

III. M(x) = x2  M(x) = M(–x)

Periodo cada cuanto de intervalo se repite lo mismo.

\ Solo III

10

• f(x) = x – k



• k  x < k + 1

15 f(x) =

Clave C

I. f(x) = ax  f(–x) = –f(x)  a(–x) = –ax

1

\ Periodo 1.



Clave B

Observando la gráfica.

Clave C

–3 –2 –1

 es una función par

03

...(F) ...(V)

2

I. g(x) = x2 + 4x + 1  g(x)  g(–x)



– 8x + 8

Clave D

 es una función impar

\ a - 3; b - 1; c - 2

...(F)

\ Solo III

14



x2

II. g(x) = g(–x)  g(–x) = |–x| = |x|

Clave A

a) f(x) = 2x  f(–x) = –f(x)  2(–x) = –(2x)

f(x) = x2 – 4x + 4 I. g(x) = x2 – 4x + 8

I. f(x) = x  f(–x) = –x  x

\ II y III son funciones pares.

\ f(x) es una función par.

02

Clave E

\ Solo I y II son verdaderas.

x

REFORZANDO

1) f(x) = –2x2  f(x) = f(–x)

f(x) = 2x + 4a – 2

b) función impar

y

Clave E

06

3

f(–x) = –f(x)  2(–x)3 + 4a – 2 = –2x3 – 4a – 2

04 a) función par

III

I. k es constante

b)

c)

NIVEL

2

Clave C

x2; si x < 0

–x2; si x  0

f

\ f es una función impar.

 es una función impar

Clave C

5

47

Solucionario

CAPÍTULO

25

FUNCIONES ESPECIALES

01

Solo (B) es una función biyectiva.

08

I. (V)



II. (F) No toda función sobreyectiva es in yectiva y viceversa. III. (F)

Clave B

02

q  j son funciones suryectivas. \ 2

Clave C

03

C) No es suryectiva



E) Si es biyectiva

05



entonces f es biyectiva (suryectiva e inyectiva a la vez)

 f(1) = –3  f(–2) = 2

+1  x=y +1  y= x–1

f(x) =

x2

f –1(x)

= g(x) = x – 1

f  • función biyectiva • función decreciente

2

\ 25

\ g(3) = 3 – 1 = 2

a) f(x) = 4x + 3  x = 4y + 3  y =

x–3  f –1(x) = 4 x y b) g(x) = – – 4  x = – – 4 3 3

x–3 4

a=

11 3  b= 5 5

 11  3  = 33  5  5 

Clave E

Clave B

Clave E

04

x

Clave E

06

f(x) = x2 + 1 ; si x  0

10

y

Clave C

09

\ Las demás gráficas son funciones no inyectivas.



Se genera reflejando respecto a la recta y = x.



Actividad

07

y

y

I. F(x)



No es inyectiva

|f(x – 2) + 1| x

–1

II. H(x) = 3(x – 1)2 ;  x  –; –1

x

1

g–1



Clave C

 y = –3(x + 4)  g–1(x) = –3(x + 4)

y

III. G(x) = x3

Clave C

H(x) =|x – 1| 3 para ese dominio la función es inyectiva decreciente. Función inyectiva

x

\ II y III

CUADERNO DE TRABAJO

f(x) = x

función inversa

01

x

Función inyectiva

creciente o decreciente

f(x1) = f(x2)  x1 = x2 \ Solo I

Clave B

08

I. (V)



II. (V) Como esta definida en [–2; 4  es continua en [–2; 2  es sobreyectiva.

Clave A

06



f es función biyectiva, entonces: f(3) = a(3)2 + b = –13

a = –2

07

Clave C

• Función inyectiva: Para un valor de x hay un solo f(x).



• Función suryectiva: Todo elemento del conjunto de llegada es imagen de al menos un elemento del dominio.



09

P(2) = 3 P(5) = 34

 P(x) =

Clave A \ x1 =

|x|+ 5

F(x) =|x|+ 5

x

 no es función inyectiva.

03

y

II. G: [0; 2]  R



2

F(x) =|x|+ 5

2

 G es función inyectiva.

H(x) =|x|– x + 1

El gráfico de alternativa B) corresponde a una función biyectiva.

x

1

x

 H es función inyectiva.

5

x

13 4 , b = 1, c = – 3 3

13 4 2 x +x–  P(x) = 0 3 3

–3 + 217 8

Clave B

x–1 3

04

• f(x) = 3x + 1  y = 3y–1 + 1  y–1 =



• G(x) = (x + 2)2 – 3  y = (y–1 + 2)2 – 3

Clave A

11 x–2

y

10

f(x) = 3 +



I. f es función decreciente, a la vez inyectiva. (V)



II. Para todo dominio hay un rango. (V)



III. Si una función es inyectiva y suryecti va a la vez tiene inversa. (V)

Clave B

 y–1 = x + 3 – 2

Clave E

a=

y

–2

y

III. H: –∞; 0  R

P(x) = ax2 + bx + c P(1) = –2

• Función biyectiva: Tiene que ser inyectiva y suryectiva a la vez. \ Solo I

y

I. F: R  R

48

02

b=5

\ a + b = –2 + 5 = 3

III. (F) (x)(x – 2)(x + 2)  Función impar y no es univalente.

Clave B

f(x) = ab2 + b ; f: [1; 3]  [–13; 3]

f(1) = a + b = 3

Clave E



05

y

3

f 2

Clave A

x

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

TAREA 01

y=

04

2x  x= x2 – 9

 y=

1+ 1+ x2

f(x) = x2 + 1; es suryectiva, entonces se cumple:

f(2) =

9x4



22

+1=5

f=

B es rango de f(x)

Clave E

1 2

–1

\a+b=1+5=6

4x + 5  x2 x–3

REFORZANDO

Clave C

 f es univalente para el dominio de 5; 8 \ f(x1) = f(x2)  x1 = x2 se demuestra.

03

f(x) = (x – 2)2 – 5

05

f: –1; 2]  m; m + n]



Es biyectiva, se cumple:



• f(–1) = –(–1) + 4(–1) – 9  m = –14



• f(2) = –(2)2 + 4(2) – 9 = –5

f(3) = (1)2 – 5 = –4 2

f(5) = (3) – 5 = 4

A = {x  R/ x  a}



Abscisa del vértices de f(x) = ax2 – bx + c es x = –

\ xmáx para que sea inyectiva es x =

Clave E

Rango –2; 6

12 NIVEL

f(x) = –(6x2 + 48x + 91) = –[6(x + 4)2 – 5] f(x) = 5 – 6(x + 4)2  Función decreciente

06

f(x) =

• f(7) = 72 – 6(7) + 11 = 18  n = 18 • f(m) = m2 – 6m + 11 = 3

I. Ranf: –∞; 5]

(V)



II. f es creciente en –5; –2]

(F)



III. f tiene inversa en –3; 1]

(V)

x2



II

– 6x + 11

\ y = (2 – 4 –

 Como es una función biyectiva se cumple: f(x) = x2 – 4x + 7



Buscando la función inversa de f(x) • x = y2 + 4y + 5  x – 1 = (y + 2)2



Función inversa: f (x)

kf *(5) = 1  k(– 5 – 1 – 2) = 1  k = –

Clave A

y = 3x2 + 6  x = 3y2 + 6  y = – f –1(x) = –

x–6 3

Si x  5  f(x) = –5 Si x < 5

5 5

–5; si x  5 –5 f(x) = –2x + 5; si x < 5

Clave C

a = f(2) = 32 – 2 + 2  a = 4



• f(3) = 3  b = 3 • f(a) = f(–2)  a = –2 \ ab = (–2)(3) = –6

14

f: [5; 13]  [m; n] / 2x – 1



• f(5) = 2(5) – 1 = 3  m = 3



• f(13) = 2(13) – 1 = 5  n = 5

15 Clave C

09

Gr(f) = {(3; 1), (x; 3), (2; 3)}: A  B  x = 2

2

 1 5 –x + +  2 4

Obteniendo la inversa: 2

x=–

2

  1 5 1 5 –y + –y + +  = –x   2 4 2 4

1 y = – ( 5 – 4x – 1)2 4

AA  y=2  z=2 Gr(h) = {(1; 1), (2; w), (3; 2), (4; 2)}:

1 \ f *(x) = – ( 5 – 4x – 1)2, –∞; –5 4

Clave D

\ E = yz – (x – w) = 2 · 2 – (2 – 3) = 5

Clave E

Clave A

f(x) = x – –x + 1, x < –4 f(x) = x – –x + 1  f(x) = –



BA  w=3

b = f(5) = 52 – 5 + 2  b = 22

1 4

\ (n2 – 2m2) = 52 – 2(32) = 7

Gr(g) = {(3; 1), (y; z), (1; 3)}: f(x) = x2 – x + 2; función biyectiva, entonces se cumple:

\ a + b = 22 + 4 = 26



Se cumple:



9–6 = –1 3

Clave A

03

f: R  B  f(x) =|x – 5|– x

\ B = [–5; +∞

Clave B

08

–1

x–6  f –1(9) = – 3

 F*(x) = (2 – 4 – x )2

y = – x – 1 – 2  f *(x) = – x – 1 – 2

f(8) = 82 – 4(8) + 7 = b  b = 39

f(x) = 3x2 + 6 ; f –∞; 0]  R

13



f(x) = x2 + 4x + 5; x < –2



f(2) = 22 – 4(2) + 7 = a  a = 3

02

y=2– 4–x

 f(x) = –2x + 5

07

f: [5; 8  [a; b

\ a + b = 39 + 3 = 42

Clave E

I

NIVEL

x )2

Clave A

 m2 – 6m + 8 = 0  (m – 4)(m – 2) = 0 \ m + n = 4 + 18 = 22

Función inversa: x = 4 – ( y – 2)2 ( y – 2)2 = 4 – x 

Como m > 3  m = 4

01

F(x) = 4 x – x; x  [0; 1] F(x) = 4 – 4 + 4 x – x  F(x) = 4 – ( x – 2)2

REFORZANDO

REFORZANDO

3 4

Clave B

\ No cumple que es biyectiva.

04

b 2a

f(2) = m + n = –14 + n = –5  n = 9 \ n – m = 9 – (–14) = 23

III

NIVEL

11

2

Si es biyectiva  es inyectiva y suryectiva a la vez. 



f3; 5  –2; 6

1 1  x–k= x–k y–k

2

B = [1; 5] = [a; b]

02 Si f: 5; 8  R

y–k=

 f y f * son iguales para k –∞; + ∞

–5

f(–1) = (–1)2 + 1 = 2

2y y2 – 9

10

Clave C

5

49

Solucionario

CAPÍTULO

26

ÁLGEBRA DE FUNCIONES 08

Actividad

\ F + G = {(2; 6), (3; 8), (4; 10), (5; 12)}

M = f 2 – g; DomM: Domf  Domg

Clave A

 f 2 – g = {(–3; 16), (3; –2)}

01

I. f(x) = g(x)  II. f(x) = g(x) x  x2

1 1 x = x–1  = x x x2

\ 16 – 2 = 14

...(V)

Clave B

...(F)

2

x

09

06

• F(x) = x – 5

Dom F: [5; +



• G(x) = 9 – x

Dom G: –; 9]

Función compuesta: f o g o h

\ Dom (F · G) = Dom F  Dom G = [5; 9]

g(h) = {(1; 3), (3; 7), (5; 0), (7; 1)}

\ VF

x

\ f(g(h)) = {(1; 1), (7; 1)}

Clave B

Clave D

Clave C

07 02

F + G, deben tener el mismo dominio \ F + G = {(–5; –2), (–1; 6), (3; 14)}.

Clave E

F = {(3; 5), (5; 7), (7; 9), (9; 11)}

10

I. h o (f + g)  h o f + h o g

(F)

G = {(5; 2), (7; 4), (9; 6), (11; 8)}



II. Si Domf = Domg = R

(V)

\ G(F(x)) = {(3; 2), (5; 4), (7; 6), (9; 8)}

Clave C

f(g) = {x  Domg  g(x)  Domf} f(g) = {x  R  g(x)  R} = Domf(g): R

H y G mismo dominio y H(x; y) – {y  0} \

III. (f o g) o h = f o (g o h)

G = {(–5; 0), (–1; 2)} H

Como son funciones de variable real se cumple este enunciado.

Clave E

\ FVV x–1; x < –1

f(x) =

x; x  1

g(x) =



• G(x) = 2x; x  0; 6] F – G = x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 Dom (F – G) = Dom F  Dom G = 0; 5]

Clave C

\ (F – G)(x) = (x – 1)2; x  0; 5]

Clave B

2x + 1; x > 2



1 ; x < –1 x2

x ;x>2 2x + 1

• F(x) = x2 + 1; x  –2; 5]

x; x < 0

CUADERNO DE TRABAJO

f y g mismo dominio: Domf  Domg

f = g

08

01 \AoB

Los que cumple: f = {(2; 18), (3; 6), (5; 4)}

09

Corrija: Alternativa B) VVV



• F(x) =

1 x–2

• G(x) =

I. (V)

II. (V)

III. (V)

g = {(2; 3), (3; 2), (5; 0)}

Clave E

\ Ran (f + g) = 21 + 8 + 4 = 33

05

Clave B

Clave E F = {(6; 0), (5; 2), (4; 3), (1; 2), (0; 2), (–2; 0)} G = {(5; 2), (4; 2), (3; 6), (2; 3), (0; 3), (–1; 0), (1; –2)} DomG o F = {x  DomG  F(x)  DomG}

02

f = {(6; 1), (3; 5), (2; 4)} g = {(4; 3), (2; 2), (5; 1)}

G(F) = {(6; 3), (5; 3), (4; 6), (1; 3), (0; 3), (–2; 3)}

\ Ran (f o g) = 5 + 4 = 9

Clave B

10

• F(x) = 5 x – 2



• G(x) =

Clave C

4

5 – 2x 2

Dom F: [2; + Dom G: –;



f = {(3; 5), (–2; 3), (7; 0), (4; 3), (0; 5)}

03

• F(x) = (x + 5)(x – 5) = x2 – 25; x  R

g = {(–5; 3), (–2; 1), (2; 9), (4; 0), (0; 7)}



• G(x) =

M = f 2 – g2; DomM: Domf  Domg

I. (V)

x2

– 55 

II. (F)

x2

Clave C

04

• F(x) = x–2 I. (F)

07



II. (V)

• G(x) = x–4

F = {(2; 5), (3; 6), (4; 7), (5; 8)}

5

P(x) = (x – 1)2  G(x) = (x – 1)2 F(x) = x2 =|x|  F(x) = G(x)

02 05

G = {(2; 1), (3; 2), (4; 3), (5; 4)}

50

01

Clave D

f(x) – g(x) = {(–1; –6), (1; –3), (2; –3)}

Clave D

TAREA

III. (F)

R = f(x) – g(x); DomR: Domf  Domg \ (–6)(–3)(–3) = –54

Clave B

III. (V)

Clave E

\ 8 + 9 – 24 = –7

5 2

– 25; x  R

M = {(–2; 8), (4; 9), (0; –24)}

5 2

\ Dom (3F – 2G) = Dom F  Dom G = 2;

06

x–2 x–2



04

(V)



03

F + G = {(1; 1), ( 5; 2), (3; 0)} F · G = {(1; –2), ( 5; 0), (3; –1)}

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

03 Si G = (x; y);

3(f/g)(1) + (f/g)(0)  3

y0

F 1 = {(1; – ); (2; 0)} 2 G \  elementos del rango: –

04

f(1) f(0) + g(1) g(0)

1 2 3 +  1 + 1 = 2 3 2

1 1 +0=– 2 2

REFORZANDO

Clave C

REFORZANDO

f(x) = x2 + 4; –x < 0  f(x) = x2 + 4; x > 0

I. Domf = Domg

(V)

II. Como x > 0; F(x) = G(x)

(V)

III. Ranf = Rang

(V)

• f(g(x)) = 0



Si: x = a  b = 0



Si: x = b  a = 2



• f(g(x)) = 4



Si: x = a  b = 4



Si: x = b  a = 6

Si x  2  f(x) + g(x) = x – x2 – 2

1 2 7  f+g=– x– –  2 4 a+b=6



Si x < 2  f(x) + g(x) = x2 – 2 – x + 4

1 2 9  f+g=– x+ +  2 4

Clave C \f+g=

07

Dom(f + g) = Domf  Domg

1 2 7  – x– – ; x2  2 4



g(x) = x + 4; x > 0

12

06

Clave D

II

NIVEL

 

01

I

f(x) , existe si  g(x)  0  x  2 g(x) f(x)  : R – {2}  g(x) 

f(g) = {(–3; –4), (0; 1), (4; 2)}

NIVEL

Si

III

\ Dom

g(f) = {(–3; 7), (6; 7), (5; 3)}

REFORZANDO

11

NIVEL

1 2 9  – x+ + ; x x > –1

• f(g(x)) = 3(2x – 1) + 2  f(g(x)) = 6x – 1 \ Ran f(g(x)) = [2; 14

F 1 = {(3; – ); (–1; 0)} 4 G

Clave B





Dom f o g = {x  [–1; 3  2x – 1  [0; 4}

• Si x  1  f(x) + g(x) = 2x • Si –1 < x < 1  f(x) + g(x) = 2



 F = {(–2; 3)(–5; 0)}

\ Menor elemento del rango de F + G: –1

03

• Dom f o g = {x  Domg / g(x)  Domf}

13

Clave A

f(x) = M(x);  g(x)  0  x  3 g(x) f (x – 3)(x + 3) = M(x)  (x) = (x + 3) (x – 3) g(x)

15

I. (V)

II. (F)

III. (V)

Clave A

 No existe M(3) = 6

05

• f(–1) = 1



• g(–1) = 3



• f(0) = 2



• g(0) = 2

\ Rango de M(x): R – {6}

Clave D

5

51

Solucionario

CAPÍTULO

27

LOGARITMOS

Actividad E=





log[(x)(x + 3)] = log(x + 1)2 (x)(x + 3) = (x + 1)2  x2 + 3x = x2 + 2x + 1 \x=1

1 + logax 5 = 5  1 + logax = 5 + 1 + logxa logax



Como logax = m

03

log23 = n  log36243 = log36



5 log36243 = = log232 + log322 \ log36243 =

1 = 5· log336 5

2 + 2·

09

5 5n = 1  2(n + 1)  2 1+  n

Dato: logbxb =



x = a5



M=

1 1 logbb = x x

M = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 20 M=

20(21) = 210 2

Clave A

logax = 5 x = a–1

Clave C

05

• Log2(2x) = log2(y)  x = log2y



• x2 – 2(2 – x) = 0  (x – 2)2 = 0  x = 2  y = 16

1 1 1 1 + + + –1 1 + log3(10e) 1 + ln(30) 1 + log(3e) log3e

\ (x + y) = 16 + 2 = 18

1 1 1 1 M= + + + –1 log330e ln30e log30e log3e

M = log30e3 + log30ee + log30e10 + loge3 – 1



M = log30e30e + loge3 – 1 = 1 + loge3 – 1



M = loge3 = ln3

06

Ln(3) – Ln(2) = b

Clave D 3 2

10

log3x + log32y =



3 log3x + log3y1/2 = log3xy1/2 = 2

(1)



Además: xy = 3

(2)

De (1) y (2): 33/2 = xy1/2 ·

07

y = (xy)y–1/2 y1/2

33/2 = (xy)y1/2  33/2 = 3y1/2  y = 3–1

k – k – 6 = 0  (k – 3)(k + 2) = 0 2

logx = 3  logx = –2

\x+y=9+

 x1 = 1000  x2 = 100–1

1 28 = 3 3

Clave D

a2 – b2 4

Clave D

1 – logx(27)1/2 · (log3x) = 1 

k2 +

Como xy = 3  x = 9

a+b 2 a–b Ln(2) = 2 Ln(3) =

5 k–1=0 2

Logx3 = –2



logx · logx – logx – 6 = 0

\ Ln(3) · Ln(2) =

1/2

Clave C

3 Si Ln(6) = a  2Ln = 2b 2

Ln(3) + Ln(2) = a



04 logxlogx – logx – 6 = 0



logax = 5

1 log23

Clave D



Clave E

m + m2 = 5m + 5  (m – 3)(m – 2)

Clave A

35

E = logpqrpqr + 1  E = 1 + 1 = 2

08

logx + log(x + 3) = 2log(x + 1)



Clave E

Clave A

02

 15x2 – 75x + 90 = 0  x2 – 5x + 6 = 0

04

(log8 + log9)2 = log8 + log9 log8 + log9

E = 3log2 + 2log3 = 3a + 2b

E = logpqrr + logpqrq + logpqrp + 1

(x – 3)(x – 2) = 0  x = 3  x = 2

log28 + 2 · 3 · 2 · log3 · log2 + log29 log8 + log9

log28 + 2log32 · log23 + log29 E= log8 + log9 E=





01

 35 – x3 = 125 – 75x + 15x2 – x3

Logx3 =

1 2



Solo (**): x = 3

08

• log(x2 + y2) = log130



• log(x + y) = log[8(x – y)]

1–

3 k =k 2

(*) (**)

Clave E

\ x1 + x2 = 1000 + 100–1 = 100,01

CUADERNO DE TRABAJO 05

log8 antilog4colog24



H = log8 antilog4(–log24) = log8 antilog4–2



4 4 H = log84–2 = log232–4 = – log22 = – 3 3

Clave C

06

3log2x – 4log2x = 1  log2x = –1  x =

1 2

02

• 45 =

a2b3 • b = 42  b = 16 • a = 2 16

\ (a + 1)2 = 32 = 9

Clave E

– 3m – 20 = 0  (2m + 5)(m – 4) = 0

Como 4x > 0  m = 4 2x = 4  4x = 16

\ log2(4x) = log216 = 4

Clave B 3 07 log(35 – x ) = 3

log(5 – x)

52

E=

1 1 1 + + +1 logr(pq) + 1 logq(pr) + 1 logp(rq) + 1

E=

1 1 + logr(pq) + logrr logq(pr) + logqq +

 log(35 – x3) = 3log(5 – x)

log(35 – x ) = log(5 – x) 3

03

E=

3

5

1 +1 logp(rq) + logpp

1 1 1 + + +1 logrpqr logqpqr logppqr



9y = 7x

x2 + y2 = 130  x = 9  y = 7 \ x · y = 63

Clave B

2(4x) – 3(2x) – 20 = 0 2m2



01



Clave E

Clave A

09

• 2x = x + y



• log(x + y) + log3x = log27 + log37



En (1): log2x + log3x = log(2 · 3)7



log(2 · 3)x = log(2 · 3)7  x = 7  y = 121

(1)

\ log(y – 3x) = 2

Clave C

10

6 + log2x2 = (log2x)2 + 3



(log2x)2 – 2(log2x) – 3 = 0  x=8  x=

1 2

\x=8

Clave A

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°

TAREA 01 log100010 = log(103)10 log100010 = log1030  log100010 = 30log10



\ log100010 = 30

05

logx2 · logx/162 = logx/642



log2x · log2x/16 = log2x/64



log2x[log2x – log216] = log2x – log264



Si log2x = m  m(m – 4) = m – 6 log2x = 3  log2x = 2  x1 = 8  x2 = 4



02 log816 + log39 3

1/3 + 2

4 4 1 11 1  + 2 log33 = + = log22 + 3  3 3 3 3

REFORZANDO 03 log8 antilog4colog24

log8 antilog4(–log24) = log8 antilog4–2



log8

1 = log81 – log88 = –1 8

04 log93log28 = 1 log333 = 3 log33 = 3 2

2

2

NIVEL

II





loga2(ab)6 =



loga2(ab)6 = 3[logab + logab]



loga2(ab)6 = 3(2) = 6

Clave A

1 = log26 = log23 + 1 a

log62 = a 



log65 = b



M = log23 + log365  M = \M=

6 logaab 2

• log35 = c

log21 + log35 – log15 = log49

12

1 = 2  logab = 1 logab

logab +

• log21 = b

\ log49 = b + c – a

06 logab + logba = 2

• log15 = a

III

NIVEL

21 · 35  21 · 35   = 49  log = log49  15  15

Clave A

 log23 = log33 24

11

m2 + 5m + 6 = 0  (m – 3)(m – 2) = 0

\ x1 + x2 = 8 + 4 = 12 3

REFORZANDO

13

1 1 – 1 + log65 a 2

1 1 –1+ a 2

Clave C

log5N = log 5M  log5N = 2log5M  log5N = log5M2  N = M2

Clave B

M+N=

7 7  M2 + M = 4 4

Como M, N > 0

01

loga 27 = –

NIVEL

I

1 1  loga33/2 = – 2 2



11 1 1 3 loga3 = –  loga3 = –  a = – 2 2 2 3

Clave C

Si log2x = m 

m2 + 2 3 m 1 3 + =  = 2 2m 2 m 2



log2x = 1  log2x = 2  x1 = 2  x2 = 4



Mayor valor a = 2  b = 4

log24 + log242 + ... + log24n = log246



log2(4 · 42...4n) = log246 

(n)(n + 1) =6 2

\ n = 3

Clave C

H= H=

03

M = log(2×4×6×...×20) – log9!



M = log(210(1×2×3×...×10)) – log9!



M = log210 · 10! – log9!



M = log210 ·



M = log10 + log210  M = 1 + log2

2log3 3log4 (n – 1)logn + log3 + ... + log(n – 1) log2 3 4 n

Como xlogay = ylogax H=

10!  M = log210 · 10 9!

log2

log3

M–N=

Log23 = n



log36243 = log3635



log36243 =



log36243 =

3 4 n + + ... + log(n – 1) 3log2 4log3 n

Clave E

– 1) +

15

log123 = b



log1236 = log1212 · 3  log1236 = 1212 + log123



\ log1236 = 1 + b

Clave A

– 1) = 0

(x + 4)(x – 1)(x + 1) = 0

10

Log3(5) = x

1–x0  x1



log45243 = log4535 = 5log453

\ x1 = 4; x2 = –1  x1 + x2 = –5



log45243 =

x  1 ya que: logba existe si: b > 0 y b  1

Clave C

Clave C

5 5 = log336 log332 + log322 5

1 2+2 2

=

5n 2(n + 1)

Clave D

• logyx + logxy =

10 3

Como m > 0  logyx = m

09

x3 + 4x2 – x – 3 = 1  x3 + 4x2 – x – 4 = 0 4(x2

11 4

14

log(n – 1)

2

H = 1 + 1 + ... + 1  H = (n – 2)

log(1 – x)(x3 + 4x2 – x – 3) = 0 x(x3

–1 – 2 2 2

8 – 4 2 + 1 1 + 2–   2 4

\M–N=2 2–

Clave B

04

 M2 =

 –1 + 2 2   2 2 – 1  –    2  2

M–N=–

Clave A

08

–1 + 2 2 2

M – N = M – M2

m2 – 3m + 2 = 0  (m – 1)(m – 2) = 0

\ logab = log24 = 2

02

M1 =

5 5 5 = = log345 log35 + log332 2 + x

• xy = 256 m+

1 10 = m 3

m2 –

10 m+1=0 3



m1 = 2 m2 =

1 3



logyxy = 256



logxx + logxy = logx256

Si x = 4

x=4

 y = 43

\



 

REFORZANDO

07 log4x + logx2 = 3  1 log2x + 1 = 3 log2x 2 2 2

x + y 4 + 64 = = 34 2 2

logxy = 3

Clave B

Clave C

5

53

CAPÍTULO

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

28

 22x – 2–2x =

Actividad

3 2

03

Si 2x = m  m2 – m–2 –



01

A(t) = 10(0,8)t

3 =0 2

A(2) = 10(0,8) = 6,4 luego de 2 horas

m2 = 2  (2x)2 = 2  x =

A(0) = 10(0,8)0 = 10 al inicio

\ log2x = log2

\ A(0) – A(2) = 10 – 6,4 = 3,6

1 = –1 2

\k=

03

1 = 0,2 5

Clave D

Como m =

f(4) = 16  b4 = 16  b = 2

4x =

2 5logx(x – 5x + 15) 2

Clave D

=

4x

+

–

21/x – 2x  0  21/x  2x  x  0



log221/x  log22x 

– 5x + 15)

= 5logx3

logx

05

>0



09 x2 – 5x + 15 = 9

\x=3  x=2

f(x)

f(x), x > 0

g(x) 1 1/3

 c>a



II. logba > c , si a > bc  logba > logbbc III. logbc > logba  a > c  es contradictorio

+ 8

Clave E



10

>0

(F)

Por la gráfica:

+ –3

– 2



Si a =



Si a = 0  b = –1



Resolviendo (1) y (2):

Clave E

f(x) =|logx – 5|+|1 + logx|



• Si logx < –1  f(x) = logx + 5 – 1 – logx  f(x) = 4 – 2logx  –2logx > 2  4 – 2logx > 6  f(x) > 6

C.S.: –3; 2  3; +∞



(1)

• Si –1  logx < 5  f(x) = –logx + 5 + 1 + logx = 6

Clave C

(2)

• Si logx  5  f(x) = logx – 5 + 1 + logx  f(x) = 2logx – 4  2logx  10  2logx – 4  6  f(x)  6

CUADERNO DE TRABAJO

(2)



3  3; + 2

07

+

(1)

f(3a) = log(a + b)(3a – b) = 2  (a + b)2 = 3a – b

3  3; + 2

4x – 3  log3|4x – 3|> log39  log3 >0  9 

\ C.S = –; –

3

\ a + b + c = –3 + 2 + 3 = 2

f(a) = log(a + b)(a – b) = 0  a – b = 1

3 1  b= 2 2

>0

–



 x  0; +∞

x – x)(3x – log x)(x2 – 9)(3x – 9) > 0 (2 3  

Corrija: Alternativa E) –; –

3 – 4x 4x – 3 3 >1  >1  x>3  x0

(V)

 bc > a  es contradictorio (F)

06

g(x)

06

f(x), x < 0

I.

(3)

\ De (1), (2) y (3): Ranf = [6; +

01

f(t) = 5 · 2t + 4  f(5) = 5 · 29 = 2560

3 a 2 = =3 b 1 2

Clave D

f(x) = 2x + 2–x  g(x) = 2x + 2–x

3 3 f(x) = g(x) =  (2x + 2–x)(2x – 2–x) = 2 2

54

–

Clave C

3 1 1 3 >  3 · 3–x <   x   3 x x 

Clave A

05

07

f(x) = Ln  2x – 3   x+5 

\ C.S.: R – [5; 8

x

31 – x


C.S. = [–1; 0  [1; +  a = 1

1+ 5 2

1+ 5  \ C.S. = –∞; log4  2 

 x2 – 5x + 6 = 0  (x – 3)(x – 2) = 0

bc

(x2 – 1) 1 x  0 x x

\ 2a + 1 = 3

+

1– 5 2

Clave C

2 3logx5

(x2 – 5x + 15) = log

ba

3  4; + 2

04



1 2 (m – m – 1) < 0 m

f(x) = bx ; b > 1

 5logx(x

4x – 4–x < 1 ; 4x = m

1 (–m + m–2 – 1) < 0 m

> (|x|+ 1)14

1 2

m – m–1 – 1 < 0

Clave E

\ b2 = 22 = 4

04

08

– 5x + 2

\ C.S. = –; –

Clave B

3x + 2 – 3x + 1 3x(32 – 3) 6 k= = = 30 30 · 3x 30 · 3x

2

(|x|+ 1)2x

2x2 – 5x – 12 > 0  (2x + 3)(x – 4) > 0

2m4 – 3m2 – 2 = 0  (2m2 + 1)(m2 – 2) = 0

2

02

Solucionario

5

Clave A

Clave B

08 02

Corrija: f(x) = 2x – 1



Si f(x) = 2x – 1 \M=

x+2

2

x–1

–2 2x

=4–

1 7 = = 3,5 2 2

Clave E

f(x) = ln(–x2 + 3x + 10) + 6

x–1 x2(x – 4)

f(x) = ln((x – 5)(–x – 2)) + 6

x–1 x2(x – 4)



Dominio:



• (x – 5)(x + 2) < 0  C.S.: –2; 5

PROYECTO INGENIO

SOLUCIONARIO - ÁLGEBRA 5°



•

x–1  0  C.S.: +; 1]  [4; + x2(x – 4)

03

–3 1 2

 3 f – =  2 2

Intersectando soluciones: –2; 1]  [4; 5



\ Producto de valores enteros: (–1)(0)(1)(4) = 0

\ x = 4,2 aprox.

f: función decreciente = 2,83

10

1

 1   1 2 f = = 0,71 2 2

Clave C

x + log(1 + 2x) < xlog5 + log6



log[(10x)(1 + 2x)] < log[5x · 6]

 x = log227  x = 4,75

04

Observando la gráfica:

\ C.S.: –; 1



• f(a) = g(a)  2a =



1 • f(–1) = 2

3 a  a=3 2 8 8 • g(–1) = (–1) = – 3 3

=1

Domf: [–1; 3

Ranf:

Clave A

Domg: [–1; 3

8 Rang: – ; 8 3

= 1  3x – 1 ·

3x – 1 · \x=1

I. (F)

 

10

Clave C

5x · 6 > 10x(1 + 2x)  5x[6 – 2x – 22x] > 0

Clave D

II. (V)

1 ;8 2

\ a = 4,75

11

05

y

f(x)

8 P(x) = 3,4e0,19x = 8  logee0,19x = loge   3,4  8 loge   3,4   x=  x = 4,5 aprox. 0,19

III. (F)

Clave D

B(t) = 150(1,4)t

\ x = 2,1 horas aprox.

REFORZANDO 06

–f(x)

NIVEL

2x1

f(x) =

;

13

1 =  x1 = –2 4

07

b) x = 4  f(4) = 100(1,2)4 = 207,36  Se ha incrementado en 107,36%.

f(x) = g(x)  log2x =

B(t) = 20(1,3)t

B(x) = 2(20)  20(1,3)x = 2(20)  log1,31,3x = log1,32

Clave D

\ x = log1,32 = 2,6 aprox.

x: tiempo

a) x = 0  f(x) = 100 bacterias

Clave E

B(0) = 20(1,3)0 = 20

f(x2) = 2x2 = 8  x2 = 3 \ Domf: [–2; 3

04

\ A · B = (4)(1) = 4

II

f(x) = 2x  función biyectiva es creciente f(x1) =

1

x

100(1,2)x

• g(x) = log2x

f(0) = B = g(x)  log2x = 20

Clave D

f(x)

y

2x



f(2) = A  22 = A  4 = A x

f(x) = 3|x|

• f(x) = 2x

 B=1  x=2 1

03

12

y

1 = 3x 3x

Un bebé nació: peso = 3,4 kg

P(2) = 5  P(2) = 3,4ea(2) = 5  a = 0,19

t = x  2B(0) = 150(1,4)x  (1,4)x = 2

x

f(x) =

III

t = 0  B(0) = 150

1

02

NIVEL

P(0) = 3,4 = kea(0)  k = 3,4

TAREA f(x) = 3x

Clave E

REFORZANDO

Clave B

01

f(x) = 27  3x = 27  x = 3 g(x) = 27  2x = 27  log22x = log227

\ Ranf: [0,71; 2,83]

09

Clave A

Clave C

x 2

\ 2x/2 = x  x = 2

Clave D

14

P(t) = 2t(2 + 1)  P(t) = 3,2t P(0) = 3,20 = 3

REFORZANDO 01

NIVEL



08

f(x) = log2x  f(a) = 1

f(x)

1



log2a = 1  a = 2



log3b = 1  b = 3

x

\a+b=2+3=5

Clave A

02

f(x) = log1/3x

y 1

x

Clave E

300% = 3  P(x) = 3(P(0))  3,2x = 3(3)  log22x = log23

g(x) = log3x  g(b) = 1

y

f(x) = 3x

I

\ x = log23 = 1,6 aprox.

Clave D

09

I(t) = ke0,5t



Si t = 0  I(0) = ke0,5(0) = 50  k = 50



Si t = x  I(x) = 50e0,5x = 400  e0,5x = 8



logee0,5x = loge8  0,5x = loge8  x = 2loge8

Clave C

15

• f(x) = (x – k)2



Por la gráfica se cumple:



en x = k + d  f(x) = g(x) = 2

• g(x) = log3x

 g(x) = 2  log3x = 2  x = 9  f(x) = 2  (k + d – k)2 = 2 \d= 2

Clave D

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