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• Roberto Rodriguez

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FUNDAMENTO DE GEOMETRÍA David Hilbert

"Todo conocimiento humano comienza con intuiciones, desde allí pasa a los conceptos y finaliza con las ideas”. Kant, Kritik der reinen Vernunft, Elementariehre, Parte 2, sec. 2.

INTRODUCCIÓN La geometría, como la aritmética, requiere para su desarrollo lógico sólo de un pequeño número de simples, principios fundamentales. Estos principios fundamentales se llaman los axiomas de la geometría. La elección de los axiomas y la investigación de sus relaciones entre sí es un problema que, desde los tiempos de Euclides, se ha discutido en numerosas y excelentes memorias que se encuentran en la literatura matemática. Este problema es equivalente al análisis lógico de nuestra intuición del espacio. La siguiente investigación es un nuevo intento de escoger para la geometría un juego simple y completo de axiomas independientes y para deducir de estos los más importantes teoremas geométricos y de tal manera explicar con la mayor claridad posible el significado de los diferentes grupos de axiomas y el alcance de las conclusiones que se derivan de la axiomas individuales.

LOS CINCO GRUPOS DE AXIOMAS 1. LOS ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA Y LOS CINCO GRUPOS DE AXIOMAS Vamos a considerar tres sistemas diferentes de objetos. Las objetos que componen el primer sistema los llamaremos puntos y los designaremos por las letras A, B, C, …; los del segundo los llamaremos rectas y los designaremos por las letras a, b, c, … ; y los del tercer sistema, vamos a llamarlos planos y los designaremos con las letras griegas α, β, γ, … Los puntos son llamados los elementos de la geometría lineal, los puntos y rectas, los elementos de la geometría plana, y los puntos, rectas y planos, los elementos de la geometría del espacio o los elementos del espacio. Los puntos, rectas y planos tienen ciertas relaciones, que se indican por medio de palabras tales como "se encuentran", "entre", "paralelo", "congruente", "continua", etc. La descripción completa y exacta de estas relaciones sigue como consecuencia de los axiomas de la geometría. Estos axiomas se pueden organizar en cinco grupos. Cada uno de estos grupos expresa, por sí mismo, ciertos hechos fundamentales relacionados con nuestra intuición. Nombraremos a estos grupos de la siguiente manera: I, Axiomas de la conexión. (1-7) II, Axiomas de orden. (1-5) III, Axioma de las paralelas (axioma de Euclides) IV, Axiomas de congruencia. (1-6) V, Axioma de continuidad (axioma de Arquímedes)

2. GRUPO I: AXIOMAS DE CONEXIÓN Los axiomas de este grupo establecen una conexión entre los conceptos indicados anteriormente; es decir, puntos, rectas y planos. Estos axiomas son los siguientes: I, 1. Dos puntos distintos A y B siempre determinan por completo una recta a, escribiremos AB = a o BA = a. En lugar de "determinar", también pueden emplearse otras formas de expresión, por ejemplo, podemos decir que A "se encuentra en" a, A "es un punto de" a, a "pasa por" A "y por" B, a "une" A" con" B, etc. Si A yace sobre a y al mismo tiempo yace sobre la recta b, hacemos uso también de la expresión: "Las líneas rectas" a "y" b "tienen el punto A en común ", etc.

I, 2. Cualquiera par de puntos distintos de una recta determinan completamente esa recta, es decir, si AB = a y AC = a, donde B ≠ C, entonces es también BC = a.

I, 3. Tres puntos A, B, C que no se encuentran en la misma recta siempre determinan completamente un plano α. Escribimos ABC = α Se emplean también las expresiones: A, B, C, "están en" α; A, B, C "son puntos de" α, etc.

I, 4. Las tres puntos A, B, C de un plano, α, que no se encuentran en la misma recta, determinan por completo el plano.

I, 5. Si dos puntos A y B, de una recta a están en un plano α, entonces cada punto de a está en α. En este caso decimos: "La recta a se encuentra en el plano α", etc. I, 6. Si dos planos α, β tienen un punto A en común, entonces tienen por lo menos un segundo punto B en común.

I, 7. Sobre cada recta existen al menos dos puntos, en cada plano por lo menos tres puntos que no están en la misma recta, y en el espacio existen al menos cuatro puntos que no están en el mismo plano. Los Axiomas I, 1-2 contienen enunciados relativos sólo a puntos y rectas, es decir, acerca de los elementos de la geometría plana. Los vamos a llamar, por lo tanto, los axiomas del plano del grupo I, con el fin de distinguir de los axiomas I, 3-7, que se designan brevemente como los axiomas de espacio de este grupo. De los teoremas que se deducen de los axiomas I, 3-7, vamos a mencionar sólo los siguientes: Teorema 1. Dos rectas de un plano o bien tienen un punto o ningún punto en común, dos planos no tienen ningún punto en común o una recta en común, un plano y una recta que no está en él, tienen un punto en común o ninguno. Teorema 2. Por una recta y un punto no se encuentra en ella, o por dos rectas distintas que tienen un punto común, puede pasar un único plano.

3. GRUPO II: AXIOMAS DE ORDEN Los axiomas de este grupo definen la idea expresada por la palabra "entre", y hacen posible, sobre la base de esta idea, establecer una sucesión ordenada de puntos sobre una recta, de un plano, y en el espacio. Los puntos de una recta tiene una relación determinada unos con otros y la palabra "entre" sirve para describirlo. Los axiomas de este grupo son los siguientes: II, 1. Si A, B, C son puntos de una recta y B se encuentra entre A y C, entonces B se encuentra también entre C y A.

II, 2. Si A y C son dos puntos de una recta, entonces existe al menos un punto B situado entre A y C y al menos un punto D situado de modo que C se encuentra entre A y D.

II, 3. De cualquiera de los tres puntos situados sobre una recta, siempre hay uno y solamente uno que se encuentra entre los otros dos. II, 4. Cuatro puntos cualesquiera A, B, C, D de una recta siempre pueden ser dispuestos de modo que B estará entre A y C y también entre A y D, y, además, que C deberá estar entre A y D y también entre B y D.

Definición. Vamos a llamar al sistema de dos puntos A y B, que están sobre una recta, segmento y lo denotaremos por AB o BA. Los puntos situados entre A y B se denominan puntos del segmento AB o puntos que se encuentran dentro del segmento AB. Todos los demás puntos de la recta se conocen como los puntos que se encuentran fuera del segmento AB. Los puntos A y B se llaman extremos del segmento AB.

II, 5. Sean A, B, C tres puntos no situados en la misma recta y sea a una recta se extiende en el plano de ABC y no pasa sobre los puntos A, B, C. Si la recta a pasa por un punto del segmento AB, pasará también por un punto del segmento BC o por un punto del segmento de AC.

Los axiomas II, 1-4 contienen afirmaciones relativas a los puntos de una recta solamente, y, por lo tanto, vamos a llamar a los axiomas lineales del grupo II. El Axioma II, 5 se refiere a la los elementos de la geometría plana y, en consecuencia, será llamado el axioma plano del grupo II.

4. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CONEXIÓN Y ORDEN Con la ayuda de los cuatro axiomas lineales II, 1-4, podemos fácilmente deducir los teoremas siguientes: Teorema 3. Entre dos puntos cualesquiera de una línea recta, siempre existe un número infinito de puntos. Teorema 4. Si tenemos determinado un número finito de puntos situados sobre una recta, siempre podemos ordenarlos en una sucesión A, B, C, D, E,…, K, tal que B se encuentre entre A y C, D, E,…, K; C entre A, B y D, E,…, K, D entre A, B, C y E,. . . K, etc. Aparte de este sucesión ordenada, existe otra que posee esta propiedad a saber, el

orden inverso K,…, E, D, C, B, A.

Teorema 5. Cada recta a, que se encuentra en un plano α, divide el resto puntos de este plano en dos regiones que tienen las propiedades siguientes: cada punto A de una región determina con cada punto B de la otra región un segmento AB que contiene un punto de la línea recta a. Por otro lado, dos puntos cualesquiera A, A’ de la misma región determinar un segmento de AA´ que no contiene un punto de a.

Si A, A’, O, B, son cuatro puntos de una recta, en donde O se encuentra entre A y B, pero no entre A y A’, entonces podemos decir: los puntos A, A´ están situados en la recta a a un mismo lado del punto O, y los puntos A y B, están situados en la recta a en diferentes lados del punto O. Todos los puntos de a que se encuentran en el mismo lado de O, cuando se consideran juntos, son llamados semirrecta de origen O. Por lo tanto, cada punto de una recta divide a la recta en dos semirrectas.

Haciendo uso de la notación del teorema 5, se dice: Los puntos A, A’ se encuentran en el plano α en un lado con respecto a la recta a, y los puntos A, B se sitúan en el plano α en diferentes lados con respecto a la recta a. Definiciones. Un sistema de segmentos AB, BC, CD,…, KL se llama poligonal que une A con L y se designa, brevemente, como poligonal ABCDE… KL. Los puntos que se encuentran dentro de los segmentos AB, BC, CD,..., KL, como también los puntos A, B, C, D,..., K, L, se llaman a los puntos de la poligonal. En particular, si el punto A coincide con L, la poligonal se llama un polígono y se designa como el polígono ABCD. . . K. Los segmentos AB, BC, CD,…, KA se denominan los lados del polígono y los puntos A, B, C, D,…, K los vértices. Los polígonos que tienen 3, 4, 5,…, n vértices se llaman, respectivamente, triángulos y cuadrángulos, pentágono y n-gono.

Si los vértices de un polígono son todos distintos y ninguno de ellos se encuentran dentro de los segmentos que componen los lados del polígono, y, además, si no hay dos lados tienen un punto en común, entonces el polígono es llamado un polígono simple. Con la ayuda del teorema 5, ahora podemos obtener, sin grandes dificultades, el siguiente teorema: Teorema 6. Todo polígono simple, cuyos vértices se encuentran todos en un plano α, dividen a los puntos de este plano, no pertenecientes a la poligonal que constituyen los lados del polígono, en dos regiones, una interior y exterior, teniendo una de las siguientes propiedades: Si A es un punto de la región interior (punto interior) y B un punto de la región exterior (punto exterior), entonces cualquier poligonal que une A y B tiene al menos un punto en común con el polígono. Si, por otro lado, A, A’ son dos puntos del interior y B, B’ dos puntos de la región exterior, entonces siempre se encuentran poligonales que unen A con A’ y B con B’ sin tener un punto en común con el polígono. Existen rectas en el plano α que se hallan completamente fuera del polígono dado, pero no hay ninguna que se encuentran totalmente dentro de él. Teorema 7. Cada plano de α divide a los restantes puntos de espacio en dos regiones que tiene las propiedades siguientes: Cada punto A de una región determina con cada punto B de la otra región un segmento AB dentro del cual se encuentra un punto de α. Por otro lado, dos puntos cualesquiera A, A’ situados en la misma región determinan un segmento AA’ que no contiene ningún punto de α.

Haciendo uso de la notación del teorema 7, podemos decir ahora: Los puntos A, A’ están situados en el espacio sobre un mismo lado del plano α, y los puntos A, B están situados en el espacio en diferentes lados del plano α.

El Teorema 7 nos da los hechos más importantes relacionados con el orden de la sucesión de elementos en el espacio. Estos hechos son el resultado, exclusivamente, de los axiomas ya examinados, y, por tanto, no hay nuevos axiomas espaciales que se requieren en el grupo II.

5. GRUPO III: AXIOMA DE LAS PARALELAS (AXIOMA DE EUCLIDES) La introducción de este axioma simplifica en gran medida los principios fundamentales de la geometría y facilita en no poca medida su desarrollo. Este axioma puede expresarse como sigue: III. Dado un plano α, se puede graficar a partir de cualquier punto A, situada fuera de una recta a, una y sólo una recta que no se cruza la recta a. Esta recta se llama paralela a a que pasa por el punto A dado.

El enunciado del axioma de las paralelas contiene dos afirmaciones. La primera de ellas es que, en el plano α, siempre hay una recta que pasa a través de A que no tiene intersección con la recta dada. La segunda afirma que la recta es única. La última de las afirmaciones es esencial, y también puede ser expresada como sigue: Teorema 8. Si dos rectas a, b, de un plano no se intersectan con una tercera recta c del mismo plano, entonces ellas no tienen intersección. En efecto, si a, b tuvieran un punto A en común, entonces existirán en el mismo plano que c dos rectas a y b que pasan por A y no tienen intersección con la recta c. Esto, sin embargo, está en contradicción con la segunda afirmación contenida en el axioma de las paralelas como se había indicado. Por el contrario, la segunda parte del axioma de las paralelas, en su forma original, sigue como una consecuencia del teorema 8. El axioma de las paralelas es un axioma plano.

6. GRUPO IV: AXIOMAS DE CONGRUENCIA Los axiomas de este grupo definen la idea de la congruencia o de desplazamiento. Los segmentos guardan cierta relación entre sí que es descrita por la palabra "congruente". IV, I. Si A, B son dos puntos en una recta a, y si A’ es un punto sobre la misma o en otra recta a’, entonces, a un lado dado de A’ en la recta a’, siempre podemos encontrar un único punto B’ de modo que el segmento AB (o BA) es congruente con el segmento A’B’. Señalamos esta relación escribiendo AB ≡ A’B’ Cada segmento es congruente consigo mismo, es decir, siempre tenemos AB ≡ AB. Podemos afirmar el axioma de arriba brevemente diciendo que todos los segmentos pueden ser trasladados a un lado determinado de un punto dado de una recta dada, de una y solo una única forma.

IV, 2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A’B’ y también al segmento A’’B’’, Entonces el segmento A’B’ es congruente con el segmento A’’B’’, Es decir, si AB ≡ A’B’ y AB ≡ A’’B’’, Entonces A’B’≡ A’’B’’.

IV, 3. Dados AB y BC dos segmentos de una recta que no tienen un puntos en común más que el punto B, y, además, sea A’B’ y B’C’ dos segmentos de la misma o de otra recta a’ que no tienen, igualmente, ningún otro punto más que B’ en común. Entonces, si AB ≡ A’B’ y BC ≡ B’C’, entonces AC ≡ A’C’.

Definiciones. Sea α cualquier plano arbitrario y h, k dos semirrectas distintas que yacen en α y que tiene origen desde el punto O de tal manera que forman de dos rectas diferentes. Llamamos al sistema formado por estos dos semirrectas h, k un ángulo y lo representamos por el símbolo ∠ (h, k) o ∠ (k, h). A partir de axiomas II, 1-5, se deduce fácilmente que las semirrectas h y k, tomadas junto con el punto O, dividen los puntos restantes del plano en dos regiones que tienen la siguiente propiedad: Si A es un punto de una región y un punto B de la otra, entonces el segmento que une A y B ya sea pasa a través de O o tiene un punto en común con una de las semirrectas h y k. Si, sin embargo, A, A’ ambos se encuentran en la misma región, entonces siempre es posible unir estos dos puntos por un segmento que no pase a través de O ni tenga un punto en común con cualquiera de las semirrectas h y k. Una de estas dos regiones se distingue de la otra en que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la presente región se encuentra por completo dentro de la región. La región así caracterizado se llama el interior del el ángulo (h, k). Para distinguir la otra región de esto, lo llamamos el exterior del ángulo (h, k). Las semirrectas h y k se denominan los lados del ángulo, y el punto O es llamado el vértice del ángulo.

IV, 4. Sea un ángulo (h, k) dado en el plano α y sea que una recta a’ dada en un plano α’. Supongamos también que, en el plano α’, un lado definido de la recta a’ ha sido elegido. Denotemos por h´ a una semirrecta en la recta a’ que se origina de un punto O’ de esta recta. Luego, en el plano α’ hay una y solamente una semirrecta k’ de tal manera que el ángulo (h, k), o (k, h), es congruente con el ángulo (h’, k’) Y al mismo tiempo todos los puntos interiores del ángulo (h’, k’) se encuentran en el lado dado de a’. Expresamos esta relación por medio de la notación

∠ (h, k) ≡ ∠ (h’, k’) Cada ángulo es congruente consigo mismo, es decir,

∠ (h, k) ≡ ∠ (h, k) o, ∠ (h, k) ≡ ∠ (k, h)

Decimos que, en pocas palabras, que todos los ángulos en un plano dado pueden ser trasladados a un lado determinado de la una semirrecta dada de una y sólo una manera.

IV, 5. Si el ángulo (h, k) es congruente con el ángulo (h’, k’) y el ángulo (h’’, k’’), entonces el ángulo (h, k’) Es congruente con el ángulo (h’’, k’’); Es decir, si ∠ (h, k) ≡ ∠ (h’, k’) y ∠ (h, k) ≡ ∠ (h’’, k’’), entonces ∠ (h’, k’) ≡ ∠ (h’’, k’’).

Suponga que dado un triángulo ABC. Se designa con h, k a las dos semirrectas de origen A que pasan respectivamente a través de B y C. El ángulo (h, k) se dice entonces que el ángulo formado por los lados AB y AC, o por el lado opuesto BC en el triángulo ABC. Contiene todos los puntos interiores del triángulo ABC y está representado por el símbolo ∠ BAC, o por ∠ A. IV, 6. Si, en los dos triángulos ABC y A’B’C’ las congruencias AB ≡ A’B’, AC ≡ A’C’, ∠ BAC ≡ ∠ B’A’C’ se verifican, entonces también se verifican las congruencias:

∠ ABC ≡ ∠ A’B’C’ y ∠ ACB ≡ ∠ A’C’B’ Los axiomas IV, 1-3 contienen afirmaciones concernientes a la congruencia de segmentos de una recta pueden, por tanto, ser llamado los axiomas lineales del grupo IV. Axiomas IV, 4, 5 contienen afirmaciones relativas a la congruencia de los ángulos. Axioma IV, 6 ofrece la conexión entre la congruencia de segmentos y la congruencia de los ángulos. Los axiomas IV, 4, 5, 6 contienen declaraciones con respecto a los elementos de la geometría plana y pueden ser llamados los axiomas del plano del grupo IV.

7. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CONGRUENCIA Supongamos que el segmento AB es congruente con el segmento A’B’. Dado que, según el axioma IV, 1, el segmento AB es congruente consigo mismo, se deduce del axioma IV, 2 que A’B’ es congruente a AB; es decir, si AB ≡ A’B’, entonces A’B’≡ AB. Decimos, entonces, que los dos segmentos son congruentes entre sí. Sean A, B, C, D,. . . , K, L y A’, B’, C’, D’,. . . , K’, L’ dos series de puntos en las rectas a y a’ respectivamente, de modo que correspondientes segmentos AB y A’B’, AC y A’C’ , BC y B’C’, ..., KL y K’L’ son respectivamente congruentes, entonces las dos serie de puntos se dice que son congruentes entre sí. A y A’, B y B’,…, L y L’ se llaman puntos correspondientes de las dos series de puntos congruentes. A partir de los axiomas lineales IV, 1-3, podemos fácilmente deducir los teoremas siguientes: Teorema 9. Si la primera de dos series congruente de los puntos A, B, C, D,. . . , K, L y A’, B’, C’, D’,. . . , K’, L’ está dispuesto de manera que B está entre A y C, D,. . . , K, L, y C entre A, B y D,. . . , K, L, etc, a continuación, los puntos A’, B’, C’, D’,. . . , K’, L’ de la segunda serie están dispuestas de una manera similar; es decir, B’ se encuentra entre A’ y C’, D’,. . . , K’, L’, y C’ se encuentra entre A’, B’ y D’,. . . , K’, L’, etc. Sea el ángulo (h, k) es congruente con el ángulo (h’, k’). Dado que, según axioma IV, 4, el ángulo (h, k) es congruente consigo mismo, se desprende del axioma IV, 5 que el ángulo (h’, k’) es congruente con el ángulo (h, k). Decimos, entonces, que los ángulos (h, k) y (h’, k’) son congruentes entre sí. Definiciones. Dos ángulos que tienen un mismo lado y un vértice en común, mientras que los lados no forman una línea recta común, se llaman ángulos adyacentes. Dos ángulos que tienen un vértice común y cuyos lados forman rectas se llaman los ángulos opuestos por el vértice. Un ángulo que es congruente con su ángulo adyacente se llama un ángulo recto. Dos triángulos ABC y A’B’C’ se dice que son congruentes entre sí cuando se cumplen todas las congruencias siguientes: AB ≡ A’B’, AC ≡ A’C’, BC ≡ B’C’, ∠ A ≡ ∠ A’, ∠ B ≡ ∠ B’, ∠ C ≡ ∠ C’. Teorema 10. (Primer teorema de congruencia de triángulos). Si, dados dos triángulos ABC y A’B’C’, y las congruencias AB ≡ A’B’, AC ≡ A’C’, ∠ A ≡ ∠ A’ se verifican, entonces los dos triángulos son congruentes entre sí.

Prueba. Por axioma IV, 6, se deduce que los dos congruencias ∠ B ≡ ∠ B’ y ∠ C ≡ ∠ C’ se cumplen, y es, por tanto, suficiente para demostrar que los dos lados BC y B’C’ son congruentes. Vamos a suponer que lo contrario es verdad, es decir, que BC y B’C’ no son congruentes, y demostrar que esto lleva a una contradicción. Tomamos sobre B’C’ un punto D’ tal que BC ≡ B’D‘. Los dos triángulos ABC y A’B’D’ tienen, entonces, dos lados y el ángulo

incluido de un triángulo, respectivamente congruentes, a dos lados y el ángulo incluido del otro. Se deduce de axioma IV, 6 que los dos ángulos BAC y B’A’D’ son también congruentes entre sí. En consecuencia, mediante la ayuda de axioma IV, 5, los ángulos B’A’C’ y B’A’D’ deben ser congruente.

Esto, sin embargo, es imposible, puesto que, por axioma IV, 4, un ángulo puede ser trasladado de una y sólo una manera en un lado de una semirrecta determinada de un plano. A partir de esta contradicción vale el teorema También podemos demostrar fácilmente el siguiente teorema: Teorema 11. (Segundo teorema de congruencia de triángulos). Si en cualquiera de los dos triángulos un lado y los dos ángulos adyacentes son respectivamente congruentes, los triángulos son congruentes. Ahora estamos en condiciones de demostrar la proposición siguiente importante. Teorema 12. Si dos ángulos ABC y A’B’C’ son congruentes entre sí, sus ángulos adyecentes CDB y C’B’D’ también son congruentes.

Prueba. Dados los puntos A’, C’, D’ en los lados que pasan a través de B’ de tal manera que A’B’ ≡ AB, C’B’ ≡ CB, D’B’ ≡ DB. Luego, en los dos triángulos ABC y A’B’C’, y los lados AB y BC son respectivamente congruente con A’B’ y C’B’. Además, dado que los ángulos incluidos por estos lados son congruentes entre sí, por hipótesis, se deduce del teorema 10 que estos triángulos son congruentes, es decir, tenemos las congruencias CA ≡ A’C’, ∠ BAC ≡ ∠ B’A’C’. Por otro lado, puesto que por axioma IV, 3 segmentos y el AD A’D’ son congruentes con cada uno otra parte, se sigue de nuevo desde el teorema de que el CAD 10 triángulos y C’A’D’0 son congruentes, y, en consecuencia, tenemos las congruencias: CD ≡ C’D’, ∠ ADC ≡ ∠ A’D’C’. A partir de estas congruencias y la consideración de la BCD triángulos y B’C’D’, Se sigue en virtud de axioma IV, 6 que los ángulos CBD y C’B’D’ son congruentes.

Como consecuencia inmediata del teorema 12, tenemos un teorema similar en relación con la congruencia de los ángulos opuestos por el vértice. Teorema 13. Sea el ángulo (h, k) del plano α congruente con el ángulo (h’, k’) del plano α’, y, además, sea l una semirrecta el plano α con origen en el vértice del ángulo (h, k) y se extiende dentro de este ángulo. Entonces, siempre existe en el plano α’ una semirrecta l’ con origen en el vértice del ángulo (h’, k’) que yace dentro de este ángulo de modo que tenemos ∠ (h, l) ≡ ∠ (h’, l’), ∠ (k, l) ≡ ∠ (k’, l’).

Prueba. Vamos a representar los vértices de los ángulos (h, k) y (h’, k’) por O y S’, respectivamente, y así seleccionar a los lados h, k, h’, k’ los puntos A, B, A’, B’ que el congruencias OA ≡ S’A’, OB ≡ S’B’ se cumplen. Debido a la congruencia de los triángulos de la OAB y O’A’B’, tenemos a la vez AB ≡ A’B’, ∠ OAB ≡ S’A’B’, ∠ OBA ≡ ∠ S’B’A’. Deje que la línea recta AB se cruzan l en C. Tomar el punto C’ en el segmento A’B’ tal que A’C’ ≡ CA. Entonces, S’C’ es la requerida semirrecta. De hecho, se sigue directamente desde estas congruencias, con la ayuda del axioma IV, 3, que BC ≡ B’C’. Además, los triángulos OAC y O’A’C’ son congruentes entre sí, y lo mismo es cierto también de los triángulos OCB y O’B’C’. Con esto se demuestra nuestro teorema. De una manera similar, se obtiene la siguiente proposición. Teorema 14. Sea h, k, l y h’, k’, l’ dos conjuntos de tres semirrectas, donde las mismas tienen origen en el mismo punto y se encuentran en el mismo plano. Entonces, si las congruencias ∠ (h, l) ≡ ∠ (h’, l’), ∠ (k, l) ≡ ∠ (k’, l’) se cumplen, la siguiente congruencia también es válida, a saber: ∠ (h, k) ≡ ∠ (h’, k’). Por la ayuda de los teoremas 12 y 13, es posible deducir el siguiente teorema simple, al cual Euclides le di , a mi parecer en forma incorrecta, el lugar de axioma. Teorema 15. Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí. Prueba. Sea el ángulo BAD congruente con su ángulo suplementario de CAD, y, asimismo, sea el ángulo B’A’D’ congruente con su ángulo suplementario C’A’D’. Por lo tanto los ángulos BAD, CAD, B’A’D’, y C’A’D’ son todos los ángulos rectos. Vamos a suponer que la proposición contraria a la nuestra es verdadera, es decir, que el ángulo recto B’A’D’ no es congruente al

ángulo recto BAD, y mostrar que esta hipótesis conduce a una contradicción. Nosotros dejamos el ángulo B’A’D’ en la semirrecta AB de tal manera que el lado AD’’ que surja de esta operación este en el ángulo BAD o en el ángulo CAD. Supongamos, por ejemplo, que la primera de estas posibilidades sea verdad. Debido a la congruencia de los ángulos B’A’D’ y el BAD’’, se sigue del teorema 12 que el ángulo C’A’D’ es congruente con el ángulo de CAD’’ y, como los ángulos B’A’D’y C’A’D’ son congruentes entre sí, entonces, por IV, 5, el ángulo BAD’’ debe ser congruente con CAD’’.

Además, dado que el ángulo BAD es congruente con el ángulo de CAD, es posible, por Teorema 13, para encontrar en el ángulo CAD una semirrecta AD’’’ de origen A, de modo que el ángulo BAD’’ será congruente con el ángulo de CAD’’’, y también el ángulo DAD’’ será congruente con el ángulo de DAD’’’. El ángulo BAD’’ se demostró que era congruente con el ángulo CAD’’ y, por tanto, por axioma IV, 5, el ángulo de CAD’’, es congruente con el ángulo de CAD’’’. Esto, sin embargo, no es posible, porque, de acuerdo con axioma IV, 4, un ángulo puede trasladado en un plano dado sobre un lado de una determinada semirrecta en un solo sentido. Con esto nuestra proposición queda demostrada. Ahora se puede introducir, de conformidad con el uso común, los términos "Ángulo agudo" y "ángulo obtuso". El teorema relativo a la congruencia de los ángulos A y B de la base de un triángulo equilátero ABC sigue inmediatamente por la aplicación de axioma IV, 6 a los triángulos ABC y BAC. Con la ayuda de este teorema, además del teorema 14, se puede demostrar fácilmente la siguiente proposición. Teorema 16. (Tercer Teorema de congruencia de triángulos.) Si dos triángulos tienen los tres lados congruentes respectivamente, a las correspondientes tres lados de otro, los triángulos son congruentes. Cualquier número finito de puntos es llamado figura. Si todos los puntos se encuentran en un plano, la se llama una figura plana.

Dos figuras se dice que son congruentes si sus puntos pueden ser dispuestos en una correspondencia uno-a-uno de modo que los segmentos correspondientes y los ángulos correspondientes de las dos figuras son congruentes en todos los casos unos con otros. Las figuras congruentes tienen, como puede verse a partir de teoremas 9 y 12, las siguientes propiedades: Tres puntos de una figura que se encuentran alineados se encuentran también en una línea recta en cada la figura congruente con ella. En las figuras congruentes, la disposición de los puntos en planos correspondientes con respecto a las rectas correspondientes son siempre la misma. Lo mismo es cierto con la sucesión de puntos correspondientes situados en las rectas correspondientes.

Los teoremas más generales relativas a las congruencias en un plano y en el espacio pueden ser expresados como sigue: Teorema 17. Si (A, B, C, ...) y (A’, B’, C’,. . .) son figuras planas congruentes y P es un punto en el plano de la primera, entonces siempre es posible encontrar un punto P’ en el plano de la segunda figura de modo que (A, B, C, ..., P) y (A’, B’, C’,. . . , P’) deberá del mismo modo ser figuras congruentes. Si las dos figuras tienen al menos tres puntos no alineados, entonces la selección de P’ se pueden realizar en un solo sentido. Teorema 18. Si (A, B, C, ...) y (A’, B’, C’,. . . ) son figuras congruentes y P representa cualquier punto arbitrario, entonces siempre se puede encontrar un punto P’ de modo que las dos figuras (A, B, C, ..., P) y (A’, B’, C’,. . . , P’) también deberán ser congruente. Si la figura (A, B, C, ..., P) contiene al menos cuatro puntos que no pertenecen al mismo plano, entonces la determinación de P’ se puede hacer de manera única. Este teorema contiene un resultado importante, a saber, que todos los hechos relacionados con el espacio que tienen referencia a la congruencia, es decir, a los desplazamientos en el espacio, son (por los axiomas de los grupos I y II) exclusivamente las consecuencias de los seis axiomas lineales y planos mencionados anteriormente. Por lo tanto, no es necesario para asumir el axioma de paralelismo con el fin de establecer estos hechos. Si tomamos, además de los axiomas de congruencia, el axioma de las paralelas, podemos a continuación, establecer fácilmente la siguiente proposición: Teorema 19. Si dos rectas paralelas se cortan por una tercera recta, los ángulos alternos internos y también los ángulos correspondientes son congruentes, por el contrario, si los ángulos alternos internos y los ángulos correspondientes son congruentes, las rectas dadas son paralelas. Teorema 20. La suma de los ángulos de un triángulo son dos ángulos rectos. Definiciones. Si M es un punto arbitrario en el plano α, la totalidad de los puntos A, para que los segmentos MA son congruentes entre sí, se llama circunferencia. M se llama el centro de la circunferencia. De esta definición puede deducirse fácilmente, con la ayuda de los axiomas de los grupos III y IV, las propiedades conocidas de la circunferencia, en particular, la posibilidad de construir una circunferencia a partir de tres puntos cualesquiera no alineados, como también la congruencia de todos los ángulos inscritos en la misma cuerda de una circunferencia, y el teorema relativo a los ángulos de un cuadrilátero inscrito.

8. GRUPO V: AXIOMA DE CONTINUIDAD (AXIOMA DE ARQUÍMEDES) Este axioma hace posible la introducción en la geometría de la idea de continuidad. Para afirmar este axioma, primero debemos establecer un convenio relativo a la igualdad de dos segmentos. Para ello, se puede basar nuestra idea de la igualdad en los axiomas relativos a la congruencia de segmentos y definir como "iguales" a dos segmentos congruentes, o sobre la base de los grupos I y II, podemos determinar cómo, por construcciones adecuadas, un segmento puede ser trasladado desde un punto de una recta de manera que queda definido un nuevo segmento, "igual" al mismo. Conforme con esta convención, el axioma de Arquímedes puede enunciarse de la siguiente manera: V. Sea A1 cualquier punto sobre una recta entre los puntos elegidos arbitrariamente A y B. Dados los puntos A2, A3, A4,. . . de manera que A1 se encuentra entre A y A2, A2 entre A1 y A3, A3 entre A2 y A4, etc. Por otra parte, dados los segmentos AA1, A1A2, A2A3, A3A4,. . . iguales entre sí. Entonces, entre esta serie de puntos, siempre existe un cierto punto An tal que B está entre A y An.

El axioma de Arquímedes es un axioma lineal. Observación. A los precedentes cinco grupos de axiomas, podemos añadir el siguiente, que, aunque no de carácter puramente geométrico, merece especial atención de un punto de vista teórico. Puede expresarse en la forma siguiente: Axioma de Completitud: Para un sistema de puntos, rectas y planos, es imposible para añadir otros elementos, de tal manera que, el sistema así generalizado formará una nueva geometría que obedece los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría formar un sistema que no es susceptible de extenderse, si consideramos como válidos los cinco grupos de axiomas.

Este axioma no nos da nada directamente sobre la existencia de puntos límites, o de la idea de la convergencia. Sin embargo, nos permite demostrar el teorema de Bolzano en virtud de la cual, para todos los conjuntos de puntos situados sobre una recta entre dos puntos definidos de la misma recta, existe necesariamente un punto de acumulación, es decir, un punto límite. Desde un punto de vista teórico, el valor de este axioma es que conduce indirectamente a la introducción de puntos límites, y, por lo tanto, hace posible establecer una correspondencia uno a uno entre los puntos de un segmento y el sistema de los números reales. Sin embargo, en lo que va a seguir, no se hará uso del axioma "de completitud".