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• Mery Isabel Delgado Eduardo

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FUNCIONES TRASCENDENTES

Una función trascendente es una función que no puede ser representada por una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios, en comparación una función algebraica sí satisface tal tipo de ecuación. Es decir una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable. Necesitamos saber el concepto de funciones inversas para definir las inversas trigonométricas, hiperbólicas y logarítmicas.

FUNCIONES INVERSAS Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:  

El dominio de f−1 es el recorrido de f. El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa. Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. (f o f −1) (x) = (f −1 o f) (x) = x Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función,

Cálculo de la función inversa 1. Se escribe la ecuación de la función con x e y. 2. Se despeja la variable x en función de la variable y. 3. Se intercambian las variables.

1. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con

las longitudes de los lados del mismo. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones. Entre las funciones trigonométricas tenemos: la función Seno (Sen), Coseno (Cos), Tangente (Tan), Cotangente (Cot), Secante (Sec) y Cosecante (Csc). Y sus funciones inversas: Arcoseno (Sen⁻¹), Arcocoseno (Cos⁻¹), Arcotangente (Tan⁻¹), Arcosecante (Sec⁻¹), Arcocontangente (Cot⁻¹) y Arco cosecante (Csc⁻¹). La notación que se acostumbra es la siguiente:

Tomamos el ángulo α para definir las razones trigonométricas de la siguiente manera:

1.1 Función Seno: El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa.

El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α, en cuyo caso se trata de triángulos semejantes. La función seno es la función definida por: f(x)=senx

Características:     

Dominio: IR Recorrido: [−1, 1] Período: 2π rad Continuidad: Continua en Impar: sen(−x) = −sen x

1.2 Función Coseno El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa La función coseno es la función definida por: f(x)=cosx

Características:     

Dominio: IR Recorrido: [−1, 1] Período: 2π rad Continuidad: Continua en Par: cos(−x) = cos x

1.3 Función Tangente: La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente La función tangente es la función definida por: f(x)=tanx.

Características:     

Dominio: Recorrido: IR Continuidad: Continua en Período: 2π rad Impar: tg(−x) = −tg x

1.4 Función Cotangente: La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente. Asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es x. f(x) = cotg x

Características:     

Dominio: Recorrido: IR Continuidad: Continua en Período: 2π rad Impar: cotg(−x) = −cotg x

1.5 Función Secante: La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente f(x) = sec x

Características:     

Dominio: Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞) Período: 2π rad Continuidad: Continua en Par: sec(−x) = sec x

1.6 Función Cosecante: La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto.

Características:     

Dominio: Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞) Período: 2π rad Continuidad: Continua en Impar: cosec(−x) = −cosec x

2. FUNCION EXPONENCIAL La función exponencial es del tipo: f(x) = ax Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x. Definición: Una función exponencial con base a es una función de la forma f(x) = ax , donde a y x son números reales tal que a > 0 y a es diferente de uno. El dominio es el conjunto de todos los números reales el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

1) f(x) = 2x

y

Propiedades de la función exponencial        

Dominio: IR Recorrido: IR+ Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a >1. Decreciente si a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY

► Para a y b positivos, y x, y reales:

donde a y b son

1) Leyes de los exponentes:

diferentes

de

uno

2) ax = ay si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces ax = bx si y sólo si a = b.

La función exponencial de base e Al igual que p, e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación e para este número fue dada por Leonhard Euler (1727). Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función exponencial de base e. Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función f(x) = ex.

La gráfica de f(x) = ex es:

El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los números reales positivos.

La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como 21. Decreciente si a0,

se desplaza hacia arriba a unidades.

Si a

0,

se

desplaza

a

la

izquierda b unidades.

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b