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• María Mejía

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Funciones elementales

FUNCIONES ELEMENTALES TIPO

FÓRMULA

GRÁFICA

Constante

Lineal

Afín

Cuadrática

1

Funciones elementales

Polinómica de grado 3

Polinómica de grado 4

Proporcionalidad Inversa

Homográfica

Valor Absoluto de 1º grado

2

Funciones elementales

Valor Absoluto de 2º grado

Parte Entera

Mantisa

Logarítmica

Exponencial

3

Funciones elementales

Trigonométricas Directas

Trigonométricas Inversas

4

Funciones elementales

Trigonométricas Recíprocas

5

Funciones elementales

6

Funciones elementales

FUNCIONES: FUNCIONES: Se denomina función a toda correspondencia que asocia cada elemento de un conjunto un solo elemento de otro conjunto. ELEMENTOS DE UNA FUNCION En una función se observa los siguientes elementos: dos conjuntos diferentes, que eventualmente pueden ser iguales, y una relación que asocia dichos elementos. Utilizando la notación de conjuntos f: A B, podemos observar que: A va hacer el DOMINIO de la función f; el cual lo podemos definir como sigue: Es el conjunto de Valores para los cuales una función está definida, simbólicamente: Df = { x D/ y = f(x) para algún y R} 7

Funciones elementales

B  R va ser el RANGO o RECORRIDO de la función; el cual lo podemos definir como sigue: Es el conjunto de valores que son imágenes de los elementos del DOMINIO de la función. Simbólicamente: Rf = { y R / y = f(x) con x D} Un tercer conjunto que va a ser el GRAFICO de la función; (Relación), el cual lo podemos definir como sigue: Es el conjunto de PARES ORDENADOS formados por los elementos RELACIONADOS según la ley o relación dada Simbólicamente: G(f) o G ( R ) = { (x,y) / x R y o y = f (x) } FORMAS DE DAR UNA FUNCION EN FORMA DESCRIPTIVA La función se especifica utilizando el lenguaje verbal mediante una descripción de la misma MEDIANTE FORMULAS Se da una formula explicita y = f(x) o se da una ecuación P(x,y) = 0 en dos variables x,y que define a y implícitamente como función de x una vez que despejemos la variable y. MEDIANTE REPRESENTACIÓN GRAFICA Es la representación ilustrada de la función en un sistema de coordenadas. MEDIANTE TABLA DE VALORES Es la representación cuantitativa en valores de las variables que intervienen, es una forma más fácil de representar gráficamente la función.

TIPOS DE FUNCIONES

8

Funciones elementales

Algebraicas 1.1 Polinómicas

x

y=5

-2 5 A. FUNCION POLINIMICA: -1 5 funciones tienen múltiples 0 5 del polinomio. Su forma 1 5 an-1xn-1 +....+ a3x3 + a2x2+ a1x coeficientes ai  R, an  0. 2 5 números reales, mientras Dentro de estas funciones nos encontramos con: Definición: f: IR IR X f(x)= an xn + an-1 xn-1 +..... + a1 x + a0

como su nombre lo indica estas tamaños, dependiendo del grado general es la siguiente: f(x) = a nxn + + a0. donde n  Z+ y los Es obvio que el dominio son los que su rango es  a los reales.

B. FUNCION CONSTANTE: la función constante de denota por f(x) = K donde K  R, su dominio es R y su rango es un solo número real K. La gráfica de esta función es una línea recta horizontal con K como intersección en el eje Y. 6 5 4 3 2 1 0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Ahora vamos a graficar la función constante: y=-2 El Dominio son los números reales R El rango viene dado por los valores de Y, -2 x

-2

-1

0

y

Ahora grafica y=3 9

1

2

Funciones elementales

Dominio: Rango: x y

C. FUNCION IDENTIDAD: la función identidad se denota por f(x) = x tiene como dominio al conjunto R, así como su rango. La gráfica de esta función es la recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45°, es decir tiene pendiente 1. (Recta) 3

x 0 -1 1 2 -2

2 1 0 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -1

0.5

1

1.5

2

2.5

y=x 0 -1 1 2 -2

-2 -3

Ahora vamos a graficar la función constante: y=x El Dominio son los números reales R El Rango viene dado por los valores de Y R x

-2

-1

0

1

2

y

D. FUNCION LINEAL O AFIN: Su forma general es la siguiente f(x) = mx + b donde m,b  R. Dado su representación gráfica es una línea recta. Su dominio y rango son los reales. A la constante m se le conoce como pendiente de la línea recta y la constante b indica el corte de la recta con el eje Y. 8

x -2 -1 0 1 2

6 4 2 0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

y = x+5 3 4 5 6 7

2

Ahora vamos a graficar la función constante: y=x+3 El Dominio son los números reales R El Rango viene dado por los valores de Y R x

-2

-1

0

y

10

1

2

Funciones elementales

E. FUNCION CUADRÁTICA: También se le llama función general de segundo grado, se denota por f(x) = ax2 + bx + c donde a,b,c  R y a  0. su dominio son los R mientras que su rango es subconjunto de R. Su gráfica es una parábola. Para facilitar su graficación se deben contemplar las siguientes consideraciones:  Si a>0 la parábola abre hacia arriba  Si a0, a  1, su dominio es el conjunto R y su rango es el conjunto (0,  ). Su gráfica es una curva que depende su posición del valor de a. Todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).

f: IR X

IR y= ax ( a a > 0 )

Dom (f) = IR

Im (f) = IR+ -  0  Gráfica: y x -2 -1 1 2 3

y = 2x 1/4 1/2 1 2 4

x -1

1

NOTA: Siempre pasan por el pto. (0,1)

FUNCION LOGARÍTMICA: la función tiene la forma f(x) = Log ax con a >0, a  1. Por definición

  

Logax = y x = ay. Su dominio (0,  ) y su rango son R. Su grafica es una curva que pasa por el punto (1,0). Su posición depende del valor de a.

f: IR X

IR loga x (a > 0, a  1)

Dom (f) = IR + -  0 Im (f) = IR + 



Propiedades: La función logaritmo es la inversa de la función exponencial ax loga x X a x alogax = x x loga a X logax x loga (ax) = x Gráfica: x

14

y  log x

Funciones elementales 0.4

0,25

-0,60205999

0,5 1 2 4 8

-0,30103 0 0,30103 0,60205999 0,90308999

0.2 0 -2

-1.5

-1

-0.5-0.2 0

0.5

1

1.5

2

-0.4 -0.6 -0.8

NOTA: Siempre pasan por el pto (1,0)

FUNCION SENO: La funcion se denota por f(x) = Sen x. Su dominio son los R y su rango es el conjunto [- 1,1]. Su grafica tiene forma de ondas y cortan el eje X en los valores n  con n  Z.

f: IR x

IR y = senx

P Sen x = OP

Dom(f) = IR Im(f) = [-1,1]



O

Propiedades: a. Es impar: Sen (-x) = -senx b. Función periódica de periodo  = 2; sen (x +2 e. Ceros de la función seno sen x  x = 0 + k; x = k / k e Z f. Signo: sen x  0 si x e I, x e II sen x  0 si x e III, x e IV  Continuidad: xeR

Gráfica: x sen x

0 0

/6 ½

/4 2 /2

/3 3 /2

/2 1

 0

3 -1 15

2 0

-/3

-/2 - 3 /2 -1

- 0

Funciones elementales

1 -2



- -1

2

 = 2

FUNCION COSENO: La funcion se denota por f(x) = Cos x. Su dominio son los R y su rango es el conjunto [ -1,1].

 Su grafica tiene forma de ondas y cortan el eje X en los valores n 2 con n  Z Coseno  Definición: f: IR IR X y = cos x Dominio (f): IR Im (f): [-1,1]



Propiedades: a. Relacción fundamental: sen2 x + cos2 x = 1 b. Es una función par: cos (-x) = cos x c. Función periódica de periodo = 2cos (x + 2 ) = cos x d. Signo cos x  0 si x e I, x e IV cos x  0 si x e II, x e III e. Continuidad:  x e IR

x cos x

 Gráfica: 0 /6 /4 1 3 /2 2 /2

/3 1/2

/2 0

 -1

3 0

16

2 1

-/3 ½

-/2 0

- -1

Funciones elementales

-2



-

2

F

Senx UNCION TANGENTE: la función se denota por f(x) = tg x = Cosx . Su dominio { x  R /Cos x  0} y su rango son los R. Su gráfica es una especie de “∫” que corta el eje X en los valores de n  con con n  Z f. IR IR sen x X f(x) = tg x = cos x Dom (f) = IR -  x / cos x  0 = IR -  (2k  1) / 2 Im (f) = IR  Propiedades: a. Función impar: tg (-x) = - tg x b. Función periódica de periodo =  

Continuidad: No está definida para x = /2 + k / k e IR



Gráfica:

x

0

/6

tg x

0

1/ 3

/4 -1

/3 3

/2

 0

3

17

2 0

-/4 -1

-/2

- 0

Funciones elementales

-2



-

2

Cosx FUNCION COTANGENTE: la función se denota por f(x) = Cotg x = Senx . Su dominio {x  R/ Sen x  0} y  su rango son los R. Su gráfica es una especie de “≀” que corta el eje X en los valores de n 2 con con n  Z. x

-180 -150 -120 0,58 ---1,72 1

y

-90

-60 -30 0 30 60 0,58 0 0,58 1,72 ---1,72 1

90

120 150 180 0 0,58 1,72 ----

2.5 2 1.5 1 0.5 0 -180

-130

-80

-30

20

-0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

18

70

120

170

Funciones elementales

1 FUNCION SECANTE: la función tiene la forma f(x) = Sec x = Cosx . Su dominio { x  R / Cos x  0} y su rango (-  ,-1] U [1,  ) . Sus graficas tienen forma de “U”. x

-180 -150 -120 -90 -1 1,16 -2 ---

y

-60

-30 1,16 2 3

0

30 1,16 1 3

60

20

70

90

2 ---

120

150 -2 1,16

180 -1

2.5 2 1.5 1 0.5 0 -180

-130

-80

-30

-0.5

120

170

-1 -1.5 -2 -2.5

1 FUNCION COSECANTE: la función tiene la forma f(x) = Cosec x = Senx . Su dominio { x  R / su rango (-  ,-1] U [1,  ) . Sus graficas tienen forma de “U”. x y

-180 -150 -120 ----2 1,16

-90

-60 -1 1,16

-30

0

-2 ----

19

30

60 1,16 2 3

90

120 1,16 1 3

Sen x  0} y

150

180

2 ----

Funciones elementales 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -180

-130

-80

-30

20

-0.5

70

120

170

-1 -1.5 -2 -2.5

FUNCION SECCIONAL O POR SECCIONES: Consiste en la unión de partes de varias funciones. Su dominio, gráfica y rango dependen de las funciones que la forman y de las condiciones dadas. FUNCION PARTE ENTERA O FUNCION ENTERO MAYOR: se denota por f(x) = [x] es el máximo entero no mayor que x. Su gráfica es de forma escalonada. OPERACIONES CON FUNCIONES Una función f se puede combinar con otra función g mediante las operaciones aritméticas, dando origen a otra función. Sean f y g funciones definidas en el conjunto D  R. 

FUNCION SUMA: (f+g) (x)= f(x) + g(x) dominio igual a D(f)  D(g)



FUNCION RESTA: (f-g)(x) = f(x) - g(x) dominio igual a D(f)  D(g)



FUNCION MULTIPLICACIÓN: (f*g) = f(x) * g(x) dominio igual a D(f)  D(g)

 FUNCION DIVISIÓN: : (f / g)(x) = f(x) / g(x) dominio igual a D(f)  D(g) con g (x)  0  FUNCION COMPOSICIÓN: (f o g)(x) = f (g(x)) o (g o )(x) = g (f(x)) Ejemplos: 20

Funciones elementales Determine las funciones f+g, f-g, f.g, f/g, f(g(x)) y su dominio, sabiendo que F(x)= x +1 y g(x)= x 2 +3x+1 

(f + g)(x) = f(x) + g(x) =(x+1)+( x2 +3x+1)= x+1+ x2 +3x+1= x2 +4x+2



(f - g)(x) = f(x) -g(x) =(x+1)-( x2 +3x+1)=x+1- x2 -3x-1= -x2 -2x



(f * g)(x) = f(x) * g(x) =(x+1)*( x2 +3x+1)=



(f /g)(x) = f(x) /g(x)



x 1 x + 3x + 1 2

(x+1)



(g o f)(x) = g[f(x)]

= x2 +3x+1=( x+1)2+3(x+1)+1

Guía de funciones: 1. Determine las principales características de las funciones, entre ellas, el dominio, el rango, representación gráficamente la función. y=3 Y=x Y=3x2+2x+1

y=-4 Y=x-2 Y=x2+6x+8 y=√x-9

Y=9 Y=x-4 Y=x3 Y=log (x-3)

y=2x Y=sen x

y=ln(x+9) y=tg x

y=e(x+5) y=cos x

Y=‫׀‬x2+5‫׀‬

F(x)=[x]

f ( x) 

x 1 3x + 1

X2-4

si

x≤1

f(x) = √x-1

Sean las funciones f(x) = 3 x2 + 1, y g(x) = 2 x – 4, calcule (0,5 c/u pts.) A. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = B. (f - g)(x) = f(x) -g(x) = C. (f + g)(x) = f(x) * g(x) = D. (f /g)(x) = f(x) /g(x) = E. (g o f)(x) = g[f(x)] =

21

x