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• Cristian Pinto

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Probabilidades y Estadística (Computación) Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires Ana M. Bianco y Elena J. Martínez

2004

Función generadora de momentos: Definición: Si X es una variable aleatoria, el momento de orden k de X se define como

E( X k ) siempre que la esperanza exista. Notemos que

E( X ) = μ E( X 2 ) = σ 2 + μ 2 E( X 3 ) E( X 4 )

1er momento: posición 2do momento: relacionado con una medida de dispersión 3er momento: relacionado con una medida de asimetría 4to momento: relacionado con la kurtosis

Definición: La función generadora de momentos de una v.a. X es una función a valores reales M X (t ) , definida como

⎧ tx ⎪ ∑ e p X ( x) ⎪⎪ x∈R X M X (t ) = E (e tX ) = ⎨ ⎪ ∞ tx ⎪ ∫ e f X ( x)dx ⎪⎩−∞ siempre que el valor esperado exista para todo

si X es discreta

si X es continua

t ∈ (−h, h), h > 0 . Esta última es una

condición técnica necesaria para que M X (t ) sea diferenciable en 0. Se denomina función generadora de momentos porque los momentos de X ( E ( X n ) ) pueden ser obtenidos derivando esta función y evaluando la derivada en t = 0, tal como lo establece el siguiente teorema. Teorema: Sea X una v.a. para la cual existe la función generadora de momentos M X (t ) , entonces

E( X n ) =

∂n M X (t ) ∂t n t =0

La demostración se basa en el siguiente lema de Cálculo avanzado (ver por ejemplo, Advanced Calculus, D. Widder (1961)):

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Lema: Si la función g(t) definida por ∞

g (t ) = ∑ e p( x) tx

g (t ) = ∫ e tx f ( x)dx

ó

−∞

x

converge para todo t ∈ (− h, h) para algún h > 0 , entonces existen las derivadas de orden n de g(t) para todo t ∈ (− h, h) y para todo n entero positivo y se obtienen como ∞

∂ n g (t ) ∂ n e tx = ∑x ∂t n p( x) ∂t n

∂ n g (t ) ∂ n e tx = ∫−∞ ∂t n f ( x)dx ∂t n

ó

Demostración del Teorema: Si la función generadora de momentos existe para todo

t ∈ (−h, h) para algún h > 0 , aplicando el lema, ∂ n M X (t ) ∂ n e tx = ∑x ∂t n p( x) ∂t n ∂ n M X (t ) = ∑ x n e tx p( x) ∂t n x

ó

∂ n M X (t ) ∞ ∂ n e tx = ∫ f ( x)dx n ∂t n ∂ t −∞

ó

∂ n M X (t ) ∞ n tx = ∫ x e f ( x)dx ∂t n −∞

Evaluando estas derivadas en 0 ,

∂ n M X (t ) = ∑ x n p ( x) = E ( X n ) n ∂t x t =0

∂ n M X (t ) ∂t n

ó

∞

= t =0

∫x

n

f ( x)dx = E ( X n )

−∞

Ejemplos: 1) Sea X una v.a. con distribución exponencial de parámetro λ , o sea con densidad

f X ( x ) = λ e − λ x I ( 0,∞ ) ( x) ∞

M X (t ) = E (e ) = ∫ e λ e tX

tx

0

−λ x

∞

dx = λ ∫ e 0

−( λ −t ) x

dx =

λ

∞

(λ − t ) e λ −t ∫ 0

− ( λ −t ) x

dx =

λ λ −t

siempre que t < λ . Calculemos ahora E(X) y V(X).

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∂M X (t ) ∂t

E( X ) =

= t =0

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∂⎛ λ ⎞ λ ⎜ ⎟ = ∂t ⎝ λ − t ⎠ t = 0 (λ − t ) 2

= t =0

1

λ

.

Como V ( X ) = E ( X 2 ) − (E ( X ) ) , calculemos E ( X 2 ). 2

E( X 2 ) =

entonces, V ( X ) =

2

λ

2

−

1

λ

2

∂ 2 M X (t ) ∂t 2 =

1

λ2

= t =0

∂⎛ λ ⎜ ∂t ⎜⎝ (λ − t )2

⎞ 2λ (λ − t ) ⎟ = ⎟ (λ − t ) 4 ⎠ t =0

= t =0

2

λ2

.

2) Sea X una v.a. con distribución Binomial de parámetros, n y p, o sea X ~ Bi(n, p). Su función de probabilidad puntual es

⎛n⎞ p X (k ) = ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p) n − k ⎝k ⎠

si 0 ≤ k ≤ n

n n ⎛n⎞ t k tX t k ⎛n⎞ k n−k ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟(e p) (1 − p) n − k = (e t p + 1 − p) n . = = − = M X (t ) E (e ) ∑ e ⎜ ⎟ p (1 p) ∑ k =0 k =0 ⎝ k ⎠ ⎝k ⎠

Calculemos ahora E(X) y V(X).

E( X ) =

∂M X (t ) ∂t

E( X 2 ) =

(

∂ (e t p + 1 − p ) n ∂t

= t =0

∂ 2 M X (t ) ∂t 2

= t =0

( )

= n(n − 1)(e t p + 1 − p) n − 2 pe t

2

= n(e t p + 1 − p) n −1 pe t t =0

∂ n(e t p + 1 − p) n −1 pe t ∂t

(

+ n(e t p + 1 − p) n −1 pe t

)

)

t =0

= np .

= t =0

= n(n − 1) p 2 + np. 0

Entonces, V ( X ) = E ( X 2 ) − (E ( X ) ) = n(n − 1) p 2 + np − (np ) = −np 2 + np = np(1 − p). 2

2

Propiedad: Sea X una v.a. con función generadora de momentos M X (t ) , entonces si Y = a X + b , entonces M Y (t ) = e bt M X (at ) . Dem: Ejercicio.

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Unicidad de M X (t ) : Además de permitir calcular momentos de una v.a., la función generadora de momentos permite identificar la función de densidad o de probabilidad de una v.a. debido a la propiedad de unicidad, la cual establece que hay una correspondencia uno a uno entre funciones de densidad o probabilidad y funciones generadoras de momentos. Teorema de Unicidad: Si existe la función generadora de momentos de una variable aleatoria, es única. Además la función generadora de momentos determina a la función de densidad o probabilidad de la v.a. salvo a lo sumo en un conjunto de probabilidad 0. A continuación, presentamos una tabla con la función generadora de momentos de algunas de las distribuciones que hemos estudiado.

Distribución Bi(n,p) P(λ)

M X (t )

(e p + 1 − p ) n λ (et −1) t

e

N(μ,σ ) 2

σ 2 t 2 +μ t e

E(λ)

2

λ

λ −t

G(α,λ)

α ⎛ λ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝λ −t⎠

U(a,b)

e tb − e ta

G(p)

t (b − a ) p et 1 − (1 − p ) e t

BN(r,p)

⎛ p et ⎜ ⎜ 1 − (1 − p ) e t ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

r

Ejercicio: ¿Para qué valores de t existe cada una de las funciones generadoras de momentos de la tabla anterior?

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