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“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CUIDADANO” UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA PROFESIONAL DE ESTADISTICA

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ALUMNA: -CORDOVA CORDOVA ROSA -REQUENA FLORES ESTEFANI

 CURSO: CALCULO DE PROBABILIDADES I  TEMA: FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS

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DOCENTE:COSME CORREA FECHA : 25/08/17

FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria X es

siempre que esta esperanza exista. La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de t = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generadora no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar. De forma general, donde

es un vector aleatorio n-dimensional

Función generadora de momentos: Definición: Si X es una variable aleatoria, el momento de orden k de X se define como: E(Xk) siempre que la esperanza exista. Notemos que E(X ) = m 1er momento: posición E(X 2 )= s2+m 2do momento: dispersión E(X 3 )= 3er momento: relacionado con una medida de asimetría E(X 4 )= 4to momento: relacionado con la kurtosis

Definición: La función generadora de momentos de una v.a. X es una función a valores reales M (t) X , definida como:

La demostración se basa en el siguiente lema de Cálculo avanzado (ver por ejemplo, Advanced Calculus, D. Widder (1961)):

FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS DE ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS.

 DISTRIBUCION MULTINOMIAL En teoría de probabilidad, la distribución multinomial es una generalización de la distribución binomial. La distribución binomial es la probabilidad de un número de éxitos en N sucesos de Bernoulli independientes, con la misma probabilidad de éxito en cada suceso. En una distribución multinomial, el análogo a la distribución de Bernoulli es la distribución categórica, donde cada suceso concluye en únicamente un resultado de un número finito K de los posibles, con probabilidades

La Función de probabilidad de la distribución multinomial es como sigue: f(x1, ..., xk; n, p1, pk)= Pr(x1=x1 y ... y Xk= xk) [ (n!)/(x1!...xk!) ] * (P1 x1... Pk xk ) cuando ∑k i=1 xi=n =

0 en otras casos

Para enteros no negativos x1, ..., xk. 

PROPIEDADES:

ESPERANZA MATEMÁTICA Una definición fácil de entender es la relación entre el premio obtenido y la probabilidad de acertar en para una variable aleatoria discreta y f(x) es

el valor esperado de su distribución de probabilidad en x el valor esperado de x es: ϵ(x)=∑_(i=1)^n 〖xi∙f(xi) 〗

ALGUNOS TEOOREMAS SOBRE ESPERANZA MATEMATICA 

TEOREMA 1: si C es cualquier constante entonces se tiene lo siguiente: ∈(cx)=c∈(x)



TEOREMA 2: si X y Y son variables aleatorias entonces la esperanza es: ∈(x+y)=∈(x)+∈(y)



TEOREMA 3: si X y Y son variables aleatorias independientes entonces ∈(xy)=∈(x)∈(y) VARIANZA: Una cantidad de gran importancia en probabilidad y estadística y se define como el valor esperado de:

ALGUNOS TEOREMAS SOBRE VARIANZA 

TEOREMA 1: √^2=∈[(x-M)^2 ┤]=∈(x)^2-M^2



TEOREMA 2: si C es una constante entonces se obtiene lo siguiente var(x)=C^2 var (x)



TEOREMA 3: si X y Y son variables aleatorias independientes entonces se obtiene lo siguiente var(x+y)=var (x)+var (y) √(x+y)〗^2=〖√x〗^2+ 〖√y〗^2 var (x+y)=var(x)-var (y) 〖√(x+y)〗 ^2=〖√x〗^2- 〖√y〗^2

DISTRIBUCION GEOMÉTRICA En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:  

la distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Sus propiedades:

2. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios para obtener un éxito es Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es P(Y=X)=(1-p)xp para x = 0, 1, 2, 3,....

3. En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica. El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es: E(X) =1/p y dado que Y=X-1 1. E(Y) =(1/p)/p

4. en ambos casos. la varianza es var(Y) = var(X) = 5.Las funciones respectivamente.

generatrices

de

probabilidad de X y

la

de Y son,

6. Como su análoga continua, la distribución exponencial, la distribución geométrica carece de memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria.

7.La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1. 

Ejemplos:

1.Se lanza al aire una moneda cargada 8 veces, de tal manera que la probabilidad de que aparezca águila es de 2/3, mientras que la probabilidad de que aparezca sello es de 1/3, Determine la probabilidad de que en el último lanzamiento aparezca una águila. -

Solución:

Si nosotros trazamos un diagrama de árbol que nos represente los 8 lanzamientos de la moneda, observaremos que la única rama de ese árbol que nos interesa es aquella en donde aparecen 7 sellos seguidos y por último una águila; como se muestra a continuación: SSSSSSSA Sí denotamos; x = el número de repeticiones del experimento necesarias para que ocurra un éxito por primera y única vez = 8 lanzamientos p = probabilidad de que aparezca una águila = p( éxito) = 2/3 q = probabilidad de que aparezca un sello = p(fracaso) = 1/3 Entonces la probabilidad buscada sería; P(aparezca una águila en lanzamiento)=p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(S)*p(A) =

el

último

=q*q*q*q*q*q*q*p = Luego, la fórmula a utilizar cuando se desee calcular probabilidades con esta distribución sería;

Donde: p(x) = probabilidad de que ocurra un éxito en el ensayo x por primera y única vez p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso Resolviendo el problema de ejemplo; x = 8 lanzamientos necesarios para que aparezca por primera vez una águila p = 2/3 probabilidad de que aparezca una águila q = 1/3 probabilidad de que aparezca un sello

p(x=8) =

2. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva?. -Solución: a)

x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una variación excesiva p = 0.05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva q = 0.95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva

p(x = 6) = b)

x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una desviación excesiva p = 0.95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre una variación excesiva q = 0.05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una variación excesiva p(x = 5) = 3. Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?. -Solución: x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año p = 0.20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año q = 0.80 = probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año

p(x = 5) =

DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA En estadística la distribución binomial negativa es una probabilidad discreta que incluye a la distribución de Pascal.

distribución

de

El número de experimentos de Bernoulli de parámetro θ independientes realizados hasta la consecución del k-ésimo éxito es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y θ. La distribución geométrica es el caso concreto de la binomial negativa cuando k = 1. PROPIEDADES Su función de Probabilidad es

para enteros x mayores o iguales que k, donde

Figura 4.1.3 Fórmula Binomial Enteros mayores o iguales que k Su media es: μ= k(1-θ)/θ Si se piensa en el número de fracasos únicamente y μ= k/θ Si se cuentan también los k-1 éxitos su varianza es σ2=(k(1-θ))/θ2 en ambos casos.

Ejemplos: 1. Si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿Cuál es la probabilidad de que el

décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? En este caso, X es el número de niños expuestos la enfermedad y x=10, k=1, θ=0.40 La solución es: b*(10;1,0.4)= (103--11)0.43(1-0.4)10-3=(92)0.43(0.6)7=0.0645 En un proceso de manufactura se sabe que un promedio de 1 en cada 10 productos es defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad que el quinto (5) artículo examinado sea el primero (1) en estar defectuoso?. La solución es: X= artículos defectuosos P= 1/10 = 0,1 q= 1- 0,1 = 0,9 x= 5 ensayos K= 1 b*(5;1,0.1)=(5-1\11)(0.1)^1*(0.9)^5-1= b*(5;1,0.1)= 6.6% de probabilidad que el quinto elemento extraído sea el primero en estar defectuoso 1. Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviación excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el cuarto que no muestre una desviación excesiva?. Solución: a) k = 6 dispositivos de medición r = 3 dispositivos que muestran desviación excesiva p = p(dispositivo muestre una desviación excesiva) = 0.05 q = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95

p(Y = 6) = b) k = 7 dispositivos de medición r = 4 dispositivos que no muestran una desviación excesiva p = p(dispositivo no muestre una desviación excesiva) = 0.95 q = p(dispositivo muestre una desviación excesiva) = 0.05

p(Y = 7) =

2. Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año es de 0.20.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañía en un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta compañía en un año dado sea el tercero en requerir reparaciones en un año?.

Solución: a) k = 6 pozos r = 2 pozos que requieren reparaciones en un año p = p(pozo requiera reparaciones en un año) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un año) = 0.80

p(Y = 6) =

b) k = 8 pozos r = 3 pozos que requieren reparaciones en un año p = p(pozo requiera reparaciones en un año) = 0.20 q = p(pozo no requiera reparaciones en un año) = 0.80

p(Y = 8) =

LA DISTRIBUCIÓN GAMMA Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces un determinado suceso. Su función de densidad es de la forma:

Como vemos, este modelo depende de dos parámetros positivos: α y p. La función Γ(p) es la denominada función Gamma de Euler que representa la siguiente integral:

que verifica Γ(p + 1) = pΓ(p), con lo que, si p es un número entero positivo, Γ(p + 1) = p! El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de densidad de este modelo (para simplificar, se ha restringido al caso en que p es un número entero). Propiedades de la distribución Gamma 1. Su esperanza es pα. 2. Su varianza es pα2 3. La distribución Gamma (α, p = 1) es una distribución Exponencial de parámetro α. Es decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1. 4. Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α común

X ~ G(α, p1) y Y ~ G(α, p2) se cumplirá que la suma también sigue una distribución Gamma X + Y ~ G(α, p1 + p2). Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas ellas seguirá una distribución G(α, k).

LA DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada por:

que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este modelo). La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y vale:

El siguiente programa permite visualizar la forma de la función de densidad de este modelo y el valor de la función de distribución: Propiedades de la distribución Weibull 1. Si tomamos β = 1 tenemos una distribución Exponencial. 2. Su esperanza vale:

3. Su varianza vale:

donde Γ(x) representa la función Gamma de Euler definida anteriormente.