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• J Rivera Alfaro

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FUERZAS INTERNAS O FUERZAS DE SECCION

1

FUERZAS INTERNAS.- FUERZAS DE SECCIÓN.Ejemplo.- Determine las componentes de fuerza x, y, z y el momento en la sección C de la tubería. Ignore el peso de los tubos. La carga que actúa en (0, 3.5, 3 ) pie es F1= (-24, 0, -10) Ib y M = (0, 0, -30 ) lb.pie y en el punto (0, 3.5, 0 ) pie es F2= (- 80, 0, 0 ) Ib.

2

S.-

DCL

 Fx = 0  Vcx - 80 - 24 = 0

Vcx = 104 lb

 Fy = 0  Nc= 0

Fuerza cortante x Fuerza axial

 Fz = 0  Vcz- 10 = 0

Vcz = 10.0 lb

 Mx = 0  Mcx- 10x2 = 0

Mcx = 20.0 lb.pie Momento flector x

 My = 0  Mcy - 24 x 3 = 0

Mcy = 72.0 lb.pie Momento detorsión

 Mz = 0  Mcz - 30 + 24 x 2 + 80x 2 = 0

Mcz = - 178 lb.pieMomento flector z

Fuerza cortante z

3

Fuerzas internas.- Método de las secciones.Para hallar las fuerzas internas en el cuerpo cargado se usa el método de las secciones. El cuerpo cargado de la figura a siguiente, se secciona mentalmente en dos partes A y B por medio de un plano. Con el fin de que cada una de estas partes se encuentre en equilibrio bajo la acción de las cargas externas aplicadas, es necesario sustituir la acción de la parte cortada por un sistema de fuerzas interiores en la sección. Estas fuerzas son las fuerzas de interacción entre las partes A y B del cuerpo. Las fuerzas interiores que actúan en la sección por el lado de la parte A, de acuerdo con la 3° Ley de Newton, son iguales en magnitud y contrarias en dirección a las fuerzas interiores que actúan en la sección por el lado de la parte B (ver figura b). Reduciendo las fuerzas internas al centro de gravedad de la sección tendremos en cada lado de la sección un vector fuerza y un vector momento (ver figura c). Si se tratase de una barra, ésta se cortará, en general, por un plano perpendicular al eje. 4

5

Si el eje x es normal a la sección ésta se denomina superficie o cara x. La orientación de los ejes y, z en el plano de la

sección coincide con los ejes principales de inercia de la misma. En la figura el primer subíndice indica la cara sobre la que actúan las componentes y el segundo la dirección de cada una de ellas. Por ejemplo, Pxy es la fuerza que actúa sobre la cara x en la dirección de y.

Cada componente representa un efecto distinto de las fuerzas aplicadas sobre el sólido en esta sección x, y recibe el nombre definido a continuación: 6

Pxx :

Fuerza axial o normal. Mide la acción de tirar (o empujar) sobre la sección. Tirar representa extensión o tracción, alargamiento del sólido. Empujar representa fuerza de compresión que acorta al sólido. Se llama también P o N.

Pxy, Pxz:

Fuerza cortante. Son componentes de la resistencia total al deslizamiento de la porción de sólido a un lado de la sección de exploración respecto de la otra porción. También se conoce como V o Q y sus componentes Vy (Qy) y Vz (Qz) identifican sus direcciones.

Mxx:

Momento de torsión. Esta componente mide la resistencia a la torsión del sólido considerado y se representa por Mt o T.

Mxy, Mxz: Momentos Flectores. Estas componentes miden la resistencia del cuerpo a curvarse o flexar respecto a los ejes y o z, y se conocen como My y Mz, respectivamente. 7

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Tracción (a)

Compresión (b)

Corte (c)

Torsión (d)

Flexión (e)

9

VIGA

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VIGA Pieza o barra estructural razonablemente larga con respecto a sus dimensiones laterales, convenientemente soportada y sometida a fuerzas transversales aplicadas de modo que provocan la flexión de la pieza en un plano axial. En la figura el eje de simetría vertical coincide con el plano de carga y el eje longitudinal de la viga.

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VIGA SOLICITADA POR CARGAS VERTICALES carga concentrada

eje longitudinal

carga repartida

viga deflectada cargada viga

plano de cargas

eje longitudinal

eje de simetría vertical coincide con el plano de cargas

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SECCIONES CON EJE DE SIMETRIA VERTICAL

Rectangular

I

T con talón

T

Cajón

Circular

Trapecial

Triangular

Triangular

T invertida

U

Compuesta

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CASOS ESPECIALES

(a)

(b)

(c)

(d)

(a) El plano de carga no coincide con el eje de simetría vertical. (b) La sección carece de eje de simetría vertical. (c) El eje de simetría se encuentra inclinado. (d) El peralte es excesivo (e) Viga curva

(e)

14

15

APOYOS

articulado fijo

articulado móvil

1

1

2

empotramiento

2

reacciones 16

VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS Son vigas en que las condiciones de sustentación son tales que es posible determinar las reacciones por las ecuaciones de Estática pasador

(a) viga simplemente apoyada

(b) viga en voladizo

pasador

(c) viga simplemente apoyada con volado

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VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS Son vigas en que no es posible deducir las reacciones solamente por las ecuaciones de Estática.

pasador

(a) viga empotrada con voladizo

(b) viga continua

(c) viga empotrada

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CARGAS Sobre la viga AB actúan cuatro tipos de carga: la carga concentrada o puntual P, la carga uniforme distribuída w, la carga distribuida no uniforme q, el momento M.

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Vigas empotradas 20

VIGAS INESTABLES

21

FUERZAS INTERNAS Determinar las fuerzas internas de la viga en volado ACB empotrada en el muro B. La viga soporta las cargas puntuales P1 y P2. No considerar el peso propio. Las fuerzas internas se obtendrán por medio del corte transversal mn y el diagrama de cuerpo libre A mn y del corte transversal st y el diagrama de cuerpo libre A st.

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S.-

  Fx  0

 N  P1sen  0  N  P1sen

   Fy  0   P1 cos   P2  Q  0  Q  P2  P1 cos    M x  0  M  P1 cos  x  P2 x  a   0 M  P2 x  a   P1 cos  x

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  Fx  0

 N  P1sen  0  N  P1sen

   Fy  0   P1 cos   Q  0  Q   P1 cos 

  M x  0  M  P1 cos  x  0  M  P1 cos  x 24

FUERZAS INTERNAS Determinar las fuerzas internas en la viga simplemente apoyada AB. La viga soporta la carga uniformemente repartida w. a) Las fuerzas internas se obtendrán por medio del corte transversal mn y el diagrama de cuerpo libre A mn. Verificar el valor de las fuerzas internas con el diagrama de cuerpo libre mnB. b) Hallar el máximo momento flector y su ubicación.

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S.-

  Fx  0

N0

wl wl  wx  Q  0  Q   wx 2 2 wl wx 2  x   wl   0  M  wx       x  0  M  x 2 2 2  2 

   Fy  0    M cg

26

  Fx  0

N0

wl wl  wl  x   0  Q   wx 2 2 l  x  M  0 wl  0  l  x   wl  x  2 2 wl wx 2 M x 2 2

   Fy  0  Q    M cg

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b) ¿MMÁXIMO?

dM d  wl wx 2  0 x  x  l / 2 centro de luz    dx dx  2 2 

M

x

l 2

wl 2   M MAXIMO 8

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FUERZA CORTANTE, MOMENTO FLECTOR. En la figura 1, la viga simplemente apoyada con cargas verticales P1, P2, P3 tiene las reacciones R1, R2 en los apoyos. A la distancia x del apoyo izquierdo se hace el corte transversal mn que divide a la viga en los tramos A y B.

figura 1

En la figura 2, se aísla el tramo A como cuerpo libre. Las fuerzas exteriores P1, P2, R1 son equilibradas por las fuerzas interiores que el tramo B ejerce sobre el tramo A en la sección común mn.

acciones de B sobre A

figura 2

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acciones de B sobre A

figura 2

En la figura 3, a la izquierda de la sección mn, los efectos de cada fuerza exterior se reducen a una fuerza y un par. El efecto de las fuerzas exteriores aplicadas a un lado de la sección mn se reduce a un sistema de fuerzas cuya resultante es la fuerza cortante y a un sistema de pares cuya resultante es el momento flector. Por tanto, el efecto total del sistema de fuerzas a un lado de la sección se reduce al de una fuerza única y un par que son, respectivamente, la fuerza cortante y el momento flector en dicha sección.

figura 3

30

En la figura 4, para cumplir con el equilibrio  Fy = 0,  M = 0 en el cuerpo libre A, las acciones de B sobre A originan en la sección mn: - la fuerza interna Qr de igual magnitud y sentido contrario a Q; - el par interno Mr de igual magnitud y sentido contrario a M.

figura 4

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ACCIONES INTERNAS EN UNA VIGA SOLICITADA POR CARGAS MOMENTO FLECTOR M .- En una sección cualquiera de una viga, es el momento estático respecto al centro de gravedad de la sección de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga a la izquierda de la sección considerada. FUERZA DE CORTE Q (o V ).- En una sección cualquiera de una viga, es la proyección sobre dicha sección de la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga a la izquierda de la sección considerada.

FUERZA NORMAL N.- En una sección cualquiera de una viga, es la proyección sobre la tangente al eje de la viga, trazada por el centro de gravedad de la sección, de la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre la viga a la izquierda de la sección considerada. 32

Convención de Signos

flexión momento flector positivo M+

flexión momento flector negativo M33

resbalar, cortar, deslizar fuerza cortante positiva Q+

resbalar, cortar, deslizar fuerza cortante negativa Q-

alargar fuerza normal positiva N+

encoger fuerza normal negativa N34

RELACIÓN ENTRE MOMENTO FLECTOR, FUERZA CORTANTE Y CARGA

  M cg  0

M  dM  M  Qdx  0

Q a) No varía Q pero varía M

dM dx 35

   Fy  0

Q  wdx  Q  dQ   0

dQ  w dx

  M cg  0

dx M  dM  M  Qdx  wdx   0 2

dM Q dx

b) Varían Q y M

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   Fy  0

Q  P  Q'  0

Q'  Q  P

c) Carga P entre 2 secciones cercanas

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Ejemplo.- Para la viga, sin considerar su peso propio, hallar: a) ecuaciones de fuerza cortante y momentos flectores; b) diagrama de fuerza cortante ( DFC ) y diagrama de momentos flectores (DMF); c) deformada; d) diagrama de tracciones ( DT ). Dibujar a escala y uno debajo del otro diagrama de cargas, DFC, DMF, deformada, DT.

38

S.-

Reacciones.-

  Fx  0  Ax  0   M A  0  10Cy  1000  2.5  300 14  0  Cy  670   M C  0  10 Ay  1000  7.5  300  4  0  Ay  630 Verificación.-

   Fy  0  630  670  1000  300  0  0  0 39

DFC, DMF

x

Q

M

tramo AB 0 < x < 5

0

630

0

Q = 630 – 200x

1

M = 630x - 200 x

2

530

3.15

0

992.25

5

-370

650

Tramo BC 5 < x < 10

5

-370

650

Q = 630 – 1000 = -370

6.756

2

M = 630x – 1000 (x – 2.5)

0(Pl)

10

-370

-1200

Tramo CD 10