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POTHENOT

PROBLEMA DE POTHENOT

1.- OBJETIVO.- Los objetivos de esta practica son:

 El objetivo principal de esta practica es la resolución del problema de POTHENOT o problema de tres puntos.

 La ubicación de puntos sobresalientes en campo para poder realizar y solucionar el problema de POTHENOT.

 Para la práctica determinaremos la posición del punto en el terreno, por 2 métodos : solución gráfica y solución analítica.

 Además aremos el cálculo de coordenadas para su respectivo plano de coordenadas, un plano de planta y otro con la solución gráfica.

2.- MATERIALES.-

Haber realizado de buena forma las dos prácticas anteriores es decir la de Línea Base , la de Hansen y los siguientes materiales : Teodolito, brújula, jalones y estacas.

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3.- FUNDAMENTO TEORICO.-

Consiste en determinar la posición de un punto, por medio de los ángulos que desde el se midan, a tres puntos de posición conocida. Estos puntos pueden ser vértices de una triangulación, o de una cuadrícula , o puntos de un polígono, o puntos cualesquiera de coordenadas conocidas con los cuales debe ligarse.

Este procedimiento es aplicable, especialmente , cuando el punto por situar está muy alejado de los puntos conocidos, o estando cerca, las medidas de las distancias a esos puntos conocidos son difíciles de hacer, o resultan imprecisas por obstáculos de terreno.

A, B , C son puntos conocidos . P punto por situar.

Datos : Coordenadas de A, B y C ángulos de  y  medidos desde P

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Con estos datos se requiere determinar la distancia PA , PB , PC , y coordenadas de P. Este problema tiene varias soluciones analíticas y gráficas.

Solución Analítica .- En esta parte veremos una de la varias soluciones analíticas del problema :

      x  y  360º

x  y  360º  (     )  m

(1)

AB BP  sen  sen x sen x  ( BP / AB ) sen  BC BP  sen  sen y sen y  ( BP / BC ) sen 

BP * BC.sen   BP * AB.sen  Ab * BC BP * BC.sen   BP * AB.sen  sen x  sen y  AB * BC sen x  sen y 

Por trigonometría :

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tan 12 m sen x  sen y tan 12 ( x  y )   ; sen x  sen y tan 1 ( x  y ) tan 1 ( x  y ) 2 2

sen x  sen y BC sen   AB sen   n sen x  sen y BC sen   AB sen 

n =cantidad conocida por estar en función a elementos conocidos.

Con estos elementos m y n se puede obtener:

tan 1 2 (x  y ) 

tan 1 2 m n

  tan 1 m  2  ( x  y )  2.  ang . tan   n    

(2)

Las ecuaciones (1) y (2) nos da un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, del cual se obtiene los valores de (x) y (y) , y con ellos se pueden calcular los ángulos en (B), y por ley de senos las distancias PA , PB y PC y con sus proyecciones las coordenadas de P.

En un sistema de ecuaciones como este :

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x  y  A  A B    x  2 x  y  B  

y  A  B  2 

Caso ideal .- P en el centro del triángulo A,B,C con forma cercana al equilátero.

Casos desfavorables .-

A, B y C casi en línea y P cerca de ella.

P muy alejado del triángulo A,B,C.

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Caso sin solución.- P sobre o Cerca, de la circunferencia que pasa por A, B, C.

Este caso se presenta cuando la suma de (     ) se acerca a los 180º, la solución es indeterminada, aún para valores cercanos al caso indicado, no solamente cuando la suma da 180º exactamente.

Soluciones gráficas.-

 A una escala determinada se gráfica los lados del triangulación con el ángulo interno también conocido.

 Del vértice A y B del primer lado conocido se traza dos direcciones con los ángulos de (90 alfa), si fuese mayor a 90 entonces se cambia de dirección por encima de la línea con un ángulo de (alfa - 90 ).

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 En cualquiera de los dos casos se cortan las circunferencias formando un origen a partir del cual se traza una circunferencia que pasa por los puntos A y B.

 Se repite el mismo proceso en el otro lado es decir el lado BC a partir de cada uno de los vértices se trazan dos direcciones con un ángulo de (alfa - 90 ) en cualquiera de los dos casos estas direcciones se cortan dando origen a otro punto, y dando también origen a otra circunferencia que pasa por los puntos BC.

 El cruce de las dos circunferencias es el punto P buscado.

 Para  . y. menores a 90º.- Teniendo dibujados los puntos A, B, y C, se trazan dos circunferencias , de tal modo que AB y BC sean cuerdas de ellas, y que desde las circunferencias se vean respectivamente , AB bajo el ángulo alfa y BC bajo el ángulo beta.

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 Para  . y. mayores a 90º .- Se construyen las circunferencias en forma semejante al caso anterior , pero marcando (  90). y.(  90) hacia el lado opuesto de P.

4.- MEMORIA .-

Para la resolución del problema de los tres puntos se tiene un procedimiento de campo y otro de gabinete. El procedimiento de gabinete ya se describió en el fundamento teórico por lo cual se describirá a continuación el procedimiento de campo.

 Una ves elegido cual es el punto (p) que se quiere determinar su posición, se elige dos lados del la figura (cuadrilátero) de la anterior práctica sabiendo que uno de los lados elegidos debe

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ser la línea base , ya conocido los dos lados nos proporcionan tres vértices o tres puntos conocidos tenemos la siguiente gráfica :

 Fijados los dos puntos de la figura escogida, se lee el ángulo interno entre esos dos lados el cual se conoce por la anterior práctica.

 Desde el punto P que se desea conocer, se une imaginariamente este hacia los vértices conocidos se origina un cuadrilátero con cinco ángulos. Uno de ellos conocido (el formado por los lados elegidos) y el resto de ellos desconocidos, los ángulos resultantes del punto P que los denominamos alfa y beta, son los que medimos en el campo y los ángulos X y Y son los que determinaremos en los cálculos de gabinete posteriores.

 Para medir los ángulos en el campo se sigue uno de los métodos conocidos ya sea el de

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repetición o reiteración, se debe realizar por cualquiera de los dos métodos un mínimo de cinco mediciones para cada ángulo cuyo promedio será el ángulo verdadero.

En nuestro caso utilizamos el método de Repetición que describiremos a continuación:

1. Se instala el instrumento en el vértice, se visa el vértice sgte. y se coloca el nonio en 0º. en esa posición se afloja el tornillo general.

2. Se gira el instrumento hasta el siguiente vértice, de tal manera que se barra el ángulo a ser medido, en esa posición se ajusta el tornillo general, se da un vuelco al ocular cambiando su dirección en 180º.

3. Se hace la lectura del ángulo inicial medido.

4. Se afloja el general, se barre nuevamente hasta ver el vértice inicial, completándose de esa manera un ciclo, en esa posición se hace lectura del ángulo final que normalmente para ciclos impares deberá ser de 180º y para ciclos pares debe ser de 0º.

5. El ángulo después del número de ciclos determinados será igual al promedio de ángulos resultantes en cada ciclo.

7.-CONCLUSIONES.-

POTHENOT

El problema de POTHENOT también conocido como problema de los tres puntos dentro de la triangulación, este se refiere resolver a partir de datos de la triangulación la posición de puntos sobresalientes que están ubicados exactamente en base a la triangulación.

Estos puntos pueden localizarse desde los puntos existentes calculándose y compensándose el triángulo como ya se ha indicado. Pero para hacer las observaciones necesarias tiene que instalarse el instrumento en los tres puntos y para disminuir este trabajo se recurre al problema de Pothenot.

En este caso solamente se necesitan una posición instrumental, pero tres puntos conocidos atrás para la observación de los ángulos necesarios, especialmente si los cuatro puntos se encuentran casi sobre la misma circunferencia.

Frecuentemente en los levantamientos topográficos se requiere la ubicación con exactitud de puntos singulares como ser por ejemplo: Puentes, Alcantarillados, Obras de Toma, Tanques de Almacenamiento, etc. Los cuales son puntos esencialmente básicos de algún proyecto de obras civiles, que requiere una precisión mas exacta con respecto a los demás puntos del levantamiento.

También podemos nombrar los errores que se pudieron tener en esta práctica los cuales pudieron perjudicarnos en la resolución de la misma, los errores pudieron ser : Mala colocación del

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teodolito, mala nivelación del mismo, jalones no verticales, y por último hasta la mala apreciación de los ángulos por parte del lector.

A pesar de todo la práctica se realizó con total normalidad, ya que todos los integrantes del grupo trabajaron en conjunto y se termino rápido debido a que la práctica no es larga pero hay que tener mucho cuidado en la medición de los ángulos indicados.