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El sistema de ecuaciones del método de desplazamientos, obtenidos tanto en la forma canónica, como en la forma descompuesta, contienen coeficientes en la diagonal principal, los cuales son positivos, es decir

rii > 0 . Los coeficientes ubicados en forma simétrica en el sistema de

ecuaciones, son iguales, esto quiere decir, que

rik = rki . En consecuencia, la matriz de los

coeficientes del sistema de ecuaciones siempre será simétrica. La solución del sistema de ecuaciones permite determinar los ángulos de giro y desplazamientos lineales de los nudos del pórtico dado, los cuales a su vez permitirán graficar los diagramas finales de fuerzas internas para el pórtico hiperestático dado. Tabla 6.1 Momentos en los apoyos de vigas hiperestáticas de un solo tramo Nº

Esquema de la viga y cargas

Fórmulas de cálculo

M ab = 4i 1

M ba = 2i

Vab = Vba = −

6i L 6i L

M ab = M ba = − 2

12i L2

Vab = Vba =

M 'ab = −M 'ba = − 3

Vab' = − Vba' =

wL2 12

wL 2

M 'ab = − PLuv 2 4

M 'ba = PLu 2 v Vab' = Pv 2 (1 + 2u ) Vba' = −Pu 2 (1 + 2 v) M 'ab = − M 'ba = −

5

Vab' = − Vba' =

PL 8

P 2

M 'ab = Mv(3u − 1) 6

M 'ba = Mu (3v − 1) Vab' = Vba' = −

145

6M uv L

Diagrama de momento flector

M 4

M 'ab = M 'ba = 7

Vab' = Vba' = −

M 'ab = − 8

M 'ba

1,5M L

wL2 2 u (3 − 4u + 1,5u 2 ) 6 wL2 3 = u (2 − 1,5u ) 6

M 'ab = − M 'ba =

11 wL2 192

5 wL2 192

9

Vab' =

13 wL 32

Vba' = −

3 wL 32

M ab = 3i 10

M ba = 0 Vab = Vba = −

11a

M ab = −

3i L

3i L

M ba = 0 11b

Vab = Vba =

M 'ab' = −

3i L2

wL2 8

M 'ba' = 0 12

Vab'' =

5 wL 8

3 Vba'' = − wL 8

146

PL uv(1 + v) 2

M 'ab' = −

M 'ba' = 0 Pv (3 − v 2 ) 2

Vab'' =

13

Vba'' = −

Pu 2 (3 − u ) 2

M 'ab' = −

3 PL 16

M 'ba' = 0 Vab'' =

14

11 P 16

Vba'' = − M 'ab' = 15

5 P 16

M (1 − 3v 2 ) 2

M 'ba' = 0 Vab'' = Vba'' = −

1,5M (1 − v 2 ) L

M 'ab' = 16

M 8

M 'ba' = 0 9 Vab'' = Vba'' = − M 8 M 'ab' = −

wL2 2 u (2 − u ) 2 8

M 'ba' = 0

17

Vab'' =

wL 8u − u 3 (3 + v) 8

[

Vba'' = − M 'ab' = − 18

Vab'' =

]

wL 3 u (3 + v) 8

9 wL2 ; M 'ba' = 0 128

57 7 wL ; Vba'' = − wL 128 128

147

M 'ab' = −

wL2 2 v (2 − v 2 ) 8

M 'ba' = 0 19

Vab'' = Vba" = −

wL 2 v (6 − v 2 ) 8

wL v 8 − v (6 − v 2 ) 8

[

M 'ab' = −

7 wL2 128

M 'ba' = 0 20

Vab'' =

23 wL 128

Vba'' = −

41 wL 128

M ab = 0 21

M ba = 3i Vab = Vba = −

22a

3i L

M ab = 0 M ba = −

3i L

Vab = Vba = 22b

3i L2

M 'ab' = 0 23

M 'ba' =

wL2 8

Vab'' =

3 wL 8

5 Vba'' = − wL 8

148

]

M 'ab' = 0

24

M 'ba' =

PL uv(1 + u ) 2

Vab'' =

Pv 2 (3 − v) 2

Vba'' = −

Pu (3 − u 2 ) 2

M 'ab' = 0 M 'ba' =

25

M (1 − 3u 2 ) 2

Vab'' = Vba'' = −

1,5M (1 − u 2 ) L

M ab = − M ba = 2i 26

Vab = Vba = 0

M ab = M ba = 6i 27

Vab = Vba = − M 'ab = M 'ba = − 28

Vab' = Vba' =

Nota: En la tabla 6.1, la rigidez por metro lineal y

12i L wL2 32

5 wL 16

i ab y la luz L ab de las vigas, son simbolizadas por i

L , respectivamente.

6.3 DIAGRAMA FINAL DE MOMENTO FLECTOR Si se resuelve el problema en la forma descompuesta, entonces será necesario graficar previamente el diagrama de momentos en los nudos. Los momentos en los nudos se determinarán por las fórmulas 6.1, 6.2, 6.5 para los valores de los desplazamientos determinados del sistema de ecuaciones. En los tramos, donde existen cargas externas, será necesario agregar al diagrama de momentos en los nudos, el diagrama de momentos debido a la acción de las cargas externas, como si se tratase de una viga simplemente apoyada sometida a dichas cargas. En caso se utilice la forma canónica, el diagrama final de momento flector se construirá como una suma de diagramas, de acuerdo a la siguiente fórmula: 149