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Apéndice I

RECORDANDO EL ÁLGEBRA

II

TABLAS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

III

TABLA DE DERIVADAS

IV TABLAS DE INTEGRALES

V

EL FACTORIAL DE n Y BINOMIO DE NEWTON

VI

TRIANGULO DE PASCAL

VII TRANSFORMADAS INVERSAS ESPECIALES

VIII FORMA ESCALONADA PARA DOS Y TRES SECCIONES

IX TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

X

IDENTIDAD DE EULER

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

339

I RECORDANDO EL ÁLGEBRA TABLA DE FÓRMULAS PARA FACTORIZAR 1.

x 2  a 2   x  a  x  a 

   x  a x

2.

x  a   x  a  x  ax  a

2

3.

x a

2

4.

3

3

3

3

2

2

 ax  a



 

x  a   x  a  x  a  x  a 4

4

2n

a

2n



 x a n

n

x

n

5.

x

6.

x 2  2ax  a 2   x  a 

7.

x 2  2ax  a 2   x  a 

2

a

n

Diferencia de cuadrados Diferencia de cubos Suma de Cubos



2



Diferencia de cuadrados Diferencia de cuadrados en general

2

Trinomio cuadrado perfecto

2

Trinomio cuadrado perfecto

8.

x  a  b x  ab   x  a  x  b 

Términos semejantes

9.

x  3 x a  3a x  a   x  a 

Binomio al cubo

10. 11.

2

3

2

2

3

3

x  3 x a  3a x  a   x  a  3

2

2

3

3

Binomio al cubo





acx  adx  bcx  bd  ax cx  d   bcx  d   cx  d  ax 2  b Factorización por agrupamiento. Factor común 3

2

2

FACTORIZANDO LA DIFERENCIA DE CUADRADOS 1.

2.

3.

f  x   x 2  64 f  x    x  8 x  8

f  x   36  144 x 2 f  x   6  12 x 6  12 x   361  2 x 1  2 x 

4.

f  x   100  x 2 f  x   10  x 10  x 

f x   1  x 4 f  x   1  x 2 1  x 2  1  x 1  x  1  x 2

5.

f x   4 x 2  1 f  x   2 x  12 x  1

2. 3.



x 3  216   x  6  x 2  6 x  36





8 x  1  2 x  1 4 x  2 x  1 3



2

1  x  1  x  1  x  x 3

2





4.

2. 3.

 8 x  1  2 x  14 x x  216   x  6 x 3







 







2

 2x  1

2

 6 x  36



27 x 3  125  3 x  5 9 x 2  15 x  25





2



125 x  1  5 x  1 25 x  5 x  1 3



2

x 3  64   x  4  x 2  4 x  16

4.







343 x  8  7 x  2  49 x  14 x  4 3

5.





343 x  8  7 x  2  49 x  14 x  4

5. 6.

27  x 3  3  x  9  3 x  x 2 3



3

FACTORIZANDO LA SUMA DE CUBOS 1.



f x   x 4  81 f  x   x 2  9 x 2  9  x 2  9  x  3 x  3

6.

FACTORIZANDO LA DIFERENCIA DE CUBOS 1.





2

x  512   x  8 x  8 x  64 3

6.

2







FACTORIZANDO LA DIFERENCIA DE CUADRADOS CON EXPONENTE MAYOR QUE 4

         x  64  x   8  x  8x  8 =  x  2 x  2 x  4  x  2 x  2 x  4  x  1  x   x  1x  1  x  1x  1x  1  x  1x  1 x  1 x  1 x 6  1  x 3  1  x 3  1 x 3  1   x  1 x 2  x  1  x  1 x 2  x  1 2

1. 2. 3.

3 2

6

8

2

4 2

2

4

3

4

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

3

4

2

2

340

2

2

4

2

4.

   4  x 4  x   4  x 2  x 2  x   4  x 2  x  2  x  2  x  x  81  x   3  x  3x  3  x  3x  3 x  3   x  3x  3 x  3 x  3 

16  x 8  4   x 4

2

2

4

4

5.

4

2

4

2

4

2

2

2

4 2

8

4

2

4

4

2

4

4

FACTORIZANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 1.

f  x   x 2  18 x  81

4.

f  x    x  9 x  9   x  9

2.

2



f x   4 x 2  4 x  1

f  x   1  12 x  36 x 4

5.

f  x    x  5 x  5   x  5 3.

f  x   3 x  2 3 x  2   3 x  2 

2

f  x   x 4  10 x  25

  x  5 x  5  x  5

f  x   9 x 2  12 x  4





f  x   1  6 x   1  3 x 1  3 x

2

2

 x  5  2

2

2

2

6.

f  x   2 x  12 x  1  2 x  1

f x   4  8 x 2  4 x 4



f x   2  2 x 2

2



2

FACTORIZANDO A DOS BINOMIOS CON TERMINOS SEMEJANTES 1.

2.

3.

f  x   x 2  13 x  30 f x   x  3x  10

4.

f x   4 x 4  7 x 2  2 f x   x 2  2 4 x 2  1  x 2  2 2 x  12 x  1





f  x   x  13 x  42 f  x    x  6 x  7  2

6.





f x   2  3x 2  5 x 4 f x   1  x 2 2  5 x 2  1  x 1  x  2  5 x 2

5.

f x   9 x 2  9 x  2 f  x   3x  23x  1





 

 

f x   6  4 x 2  2 x 4 f x   2  2 x 2 3  x 2





 2  2x 2





3x





3x



FACTORIZANDO POR AGRUPAMIENTO. FACTOR COMÚN 1.





f  x   x 3  x 2  20 x  x x 2  x  20  x x  4  x  5



 



 



2.

f  x   x 5  16 x  x x 4  16  x x 2  4 x 2  4  x x 2  4  x  2  x  2 

3.

f x   x  1 



x  15  x  1 2  x  1 2  x  1 2 1  x  1 2   1



5



1



4









  x  1 1  ( x  1) 2   x  1 1  x 2  2 x  1   x  1 x 2  2 x  2 4. 12 xy  3 y  8 x  2  3 y 4 x  1  24 x  1  4 x  13 y  2  1 2

5.

1 2

1 2





1  2 y  y 2  2 y 3  1  2 y  y 2 1  2 y   1  2 y  1  y 2  1  2 y 1  y 1  y 

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

341



2

II TABLAS DE IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS TABLA A: RELACIONES TRIGONOMETRICAS

1 Csc 1 2. Cos  Sec Sen 3. Tan  Cos 1 4. Tan  Cot 1.

Sen 

Cos Sen 1 6. Cot  Tan 1 7. Sec  Cos 1 8. Csc  Sen 5.

Cot 

7.

SenCsc  1

TABLA B: CUADRADOS Y CUBOS 1.

Sen 2  Cos 2  1

2.

Sec 2  1  tan 2 

8.

CosSec  1

3.

Csc 2  1  Cot 2

9.

TanCot  1

1  Cos 2 2 1  Cos 2 2 5. Cos   2 1  Cos 2 2 6. Tan   1  Cos 2 4.

3Sen  Sen3 4 3Cos  Cos3 3 11. Cos   4

Sen 2 

10.

TABLA C: ANGULO DOBLE Y MEDIO 1.

Sen 2  2 SenCos

Sen 3 

1 1  Cos Sen 2   2 2 1 1  Cos  2 7. Cos  2 2 1 1  Cos 8. Tan    Csc  Cot 2 Sen Cot  Tan 9. Cost 2  2 6.

2.

Cos 2  2Cos 2  1

3.

Cos 2  1  2 Sen 2

4.

Cos 2  Cos 2  Sen 2

5.

Tan 2 

2 tan  1  tan 2 

TABLA D: PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS

1 Sen A  B   Sen A  B  2 1 Sen A  B   Sen A  B  2. CosASenB  2 1.

SenACosB 

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

342

3.

4.

1 Cos A  B   Cos A  B  2 1 SenASenB  Cos  A  B   Cos  A  B  2

CosACosB 

TABLA E: SUMA Y RESTA DE DOS ÁNGULOS

Sen( A  B )  SenACosB  CosASenB 2. Sen( A  B )  SenACosB  CosASenB 3. Cos ( A  B )  CosACosB  SenASenB 4. Cos ( A  B )  CosACosB  SenASenB TanA  TanB 5. Tan ( A  B )  1  TanATanB TanA  TanB 6. Tan ( A  B )  1  TanATanB

1.

TABLA F: SUMAS Y RESTAS DE SENOS Y COSENOS

 A B  A B SenA  SenB  2 Sen Cos   2   2   A B  A B 2. SenA  SenB  2Cos   Sen   2   2   A B  A B 3. CosA  CosB  2Cos  Cos   2   2   A B  A B 4. CosA  CosB  2 Sen  Sen   2   2  1.

TABLA G: ÁNGULOS NEGATIVOS

Sen( )   Sen 2. Cos (  )  Cos 3. Tan (  )  Tan

Cot ( )  Cot 5. Sec (  )  Sec 6. Csc (  )  Csc

1.

4.

   , y 2 4 6   11. Cos      Sen 2    12. Cos       Sen 2  13. Cos      Cos 14. Cos      Cos   15. Cos      Sen 2  16. Cos   2   Cos

TABLA H: SUMAS Y RESTAS DE ÁNGULOS CON 1.

2. 3. 4. 5. 6.

  Sen     Cos 2    Sen     Cos 2  Sen     Sen Sen      Sen   Sen    Cos 2  Sen  2   Sen

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

343

3   Sen    Cos 2   8. Sen 2     Sen 2 9. Sen3      Sen3   10. Sen 2      Sen2 2 

3       Sen 2   18. Cos 2     Cos 2 19. Cos3     Cos3   20. Cos 2     Cos 2 2  17. Cos  

7.

21.

  Tan     Cot 2  23.

24.

22.

Tan     Tan

    Cos    Sen    2Cos 4 4       Sen2    3Cos 2    2 Sen2 6 6  

TABLA I: IDENTIDADES CON

e i

e xi  e  xi 2  Cos  iSen

e xi  e  xi 2  Cos  iSen

1.

Cosx 

2.

Sen x 

3.

e i

4.

e  i

TABLA J: TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

 x  Cos 1 x  Tan 1 2 1 x2  x 1  Cot 1 x  Sen 1 3. Tan x  2 1 x2 1.

Sen 1 x 

5.

1 Sec 1 x  Cos 1    x

 x  Sen 1 x  Cot 1 2 1 x2 1 1  1  4. Cot x  Tan    x 1 1  1  6. Csc x  Sen    x 2.

Cos 1 x 

TABLA K: TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS

e x  ex 2 x e  ex 3. Tanhx  e x  e x 2 5. Sechx  x e  e x Senhx 7. Tanhx  Coshx 1 9. Sechx  Coshx x 11. e  Coshx  Senhx 1.

Senhx 

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

e x  ex 2 x e  ex 4. Cothx  e x  e x 2 6. Cschx  x e  e x Coshx 8. Cothx  Senhx 1 10. Cschx  Senhx x 12. e  Coshx  Senhx 2.

344

Coshx 

TABLA L: HIPERBÓLICAS CON ARGUMENTOS NEGATIVOS

Senh x    Senhx 3. Cosh x   Coshx 5. Tanh x   Tanhx

Coth x   Cothx 4. Sech x   Sechx 6. Csch x   Cschx

1.

2.

TABLA M: IDENTIDADES HIPERBÓLICAS

Cosh 2 x  Senh 2 x  1 2 2 2. 1  Tanh x  Sech x 2 2 3. 1  Coth x  Csch x 4. Senh x  y   SenhxCoshy  CoshxSenhy 5. Cosh x  y   CoshxCoshy  SenhxSenhy 6. Senh 2 x  2 SenhxCoshy 1.

Cosh 2 x  Cosh 2 x  Senh 2 x 2 8. Cosh 2 x  2 Senh x  1 2 9. Cosh 2 x  2Cosh x  1

7.

TABLA N: LEYES DE SENOS Y COSENOS a c





 b

a, b y c : Lados del triángulo ,  y  : Ángulos opuestos a los lados a, b y c respectivamente LEY DE LOS SENOS: 1.

2.

Sen Sen Sen   a b c a b c   Sen Sen Sen

LEY DE LOS COSENOS:

a 2  b 2  c 2  2bcCos 2 2 2 4. b  a  c  2acCos

3.

5.

c 2  a 2  b 2  2abCos

ÁREA DEL TRIÁNGULO 6.

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

A  abSen

345

TABLA Ñ: RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS CONOCIDOS

  rad 0

 6  4  3  2 2 3

  grados Sen 00 30 0

1 2

3 2 1

1

60

3 2

2 1 2

90

0

1

0

1 2

3 2 1

0

5 6 

150 0

2

0

0

135

4 3 3 2 5 3 7 4 11 6

1

45

120 0

2 1 2

225 0 240

0



 

270 0 300 0 315 0 330

0

0 0  360 0

 

2 3 2

indefinido 2

2

1

2

1

2

2

Indefinido

1

-2

2

2

3

 3



1

-1

0



3 2

3

1 3



-1

3

 2

2

2 

0



 3

3

1

2 1  2

3

3 2 1

1 2

 3 -1

1





 2

1 3

-2

0

Indefinido 2

1 3

-1

indefinido -2

2 3

1



2

2 3 -1

Indefinido

1 3

3 2 1



1 3

Indefinido

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

Csc

3

Indefinido

0

0

1

3

3

-1

2 1  2

Sec

Indefinido

1

-1

1 2 1

Cot

3

1 2



0

180 0 210 0

Tan

0

0

3 4

7 6 5 4

Cos

 2 2 3



-1



2 3

 2

2

2 3 2



1

1 3 0

346

 3

2

-2

3 Indefinido

1

indefinido

TABLA O: IDENTIDADES LOGARÍTMICAS

ln a n  n ln a 2. ln ab  ln a  ln b

ln e u  u x 6. ln x  log e

1.

3. 4.

5.

a  ln a  ln b b e ln u  u

7.

ln

e a b  e a e b

TABLA P: TABLA DEL ALFABETO GRIEGO

           

           

           

alfa beta gamma delta épsilon zeta eta teta iota kapa lamda mu

 nu  xi  omicrón  pi  rho  sigma  tau  ípsilon  ó  fi  ji  psi  omega

TABLA Q: CONVERSIONES 1m = 100 cm 1cm = 0.394 plg 1m = 39.37 plg 1m = 3.281 pies 1km = 1000 mts 1km = 0.621 millas 1 plg = 2.54 cm 0.083 pie =1/12 pie 1 pie = 30.48cm 1 pie = 0.305 mts 1 milla = 1.609 km

1litro = 0.264 galones 1Newton = 0.225 libras 1Joule = 0.738 pie-libra 1gramo = 0.035 onzas 1Kilogramo = 2.205 libras 1galón = 3.785 litros 1libra = 4.448 newtons 1pie-libra = 1.356 Jouls 1onza = 28.35 gramos 1slug = 14.594 kilogramos

TABLA R:

ÁREAS, VOLÚMENES Y PERÍMETROS

V: Volúmen h: altura

A: área C: longitud de la circunferencia B: área de la base S: área de la superficie a: base b: base r: radio l1  l 2 : lados del triángulo l : lados el trapecio

Figura 1. Círculo

Volúmen

2. Esfera

4 V  r 3 3

Área

Área de la sup

A  r

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

2

S  4r 2

347

Perímetro

C  2r

3. Cono Ciruclar 4. Cilindro 5. Prisma (bases paralelas) 6. Pirámide

1 V   2h 3 V  r 2 h

S  r r 2  h 2 S  2rh

V  Bh

V 

1 Bh 3

7. Triángulo

1 bh 2 A  bh

A

8. Rectángulo 9. Trapecio

A

a  b h

C  b  l1  l 2 C  2b  2h C  a  b  2l

2

TABLA S: NÚMEROS IRRACIONALES 1. 2. 3.

  3.14159 26535 89793 23846 2643... e  2.71828 18284 59045 23536 0287...

2  1.41421 35623 73095 04880 1688.....

TABLA T: REPRESENTACION MATEMATICA DE LOS NUMEROS IRRACIONALES 1

1.





1

2.

3.

1 1 x2

dx

Lím  1  n e 1   n   n  1 2  1 1 2 1 2 1 2 1 2 

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

348

III 1.

TABLA DE DERIVADAS

Dx C   0

2.

D x Cx   C

3.

D x u n  nu n 1 D x u

4.

D x u  v   D x u  D x v

5.

D x uv   uD x v  vD x u

 

7.

 u  vD u  uD v Dx    x 2 x v v u u Dx e  e Dx u

8.

Dx ln u  

6.

9.

 

1 Dx u u D x senu   cos uD x u

21.

D x csc u    csc u cot uD x u 1 D x sen 1u  Dx u 1 u 2 1 D x cos 1 u  Dx u 1 u2 1 D x tan 1 u   Dx u 1 u 2 1 D x cot 1 u   Dx u 1 u2 1 D x sec 1 u  Dx u u u2 1 1 D x csc 1 u  Dx u u u2 1 D x senhu   cosh uD x u

22.

D x cosh u   senhuD x u

14. 15.

16

17.

18.

19.

20.

10.

D x cos u    senuD x u

23.

11.

D x tan u   sec 2 uD x u

24.

12. 13.

D x cot u    csc 2 uD x u

D x sec u   sec u tan uD x u

25. 26.

















D x tanh u   sec h 2 uD x u

D x coth u    csc h 2 uD x u

D x sec hu    sec hu tanh uD x u D x csc hu    csc hu coth uD x u

IV TABLAS DE INTEGRALES

Algunas formas elementales 1.  du  u  c 2.

 adu  au  c

3.

  f u   g u du   f u du   g u du

4.

n  u du 

5.



u n 1 c n 1

du  ln | u | c u

Formas racionales que contienen a+bu udu 1 6.  a  bu  b 2 a  bu  a ln | a  bu |  c u 2 du 1 1  2 2 7.  a  bu  b 3  2 a  bu   2aa  bu   a ln | a  bu |  c

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

349

n  1

8.

udu

 a  bu 

2



1  a   ln | a  bu |  c 2  b  a  bu 

  a2 a  bu   2a ln | a  bu |  c   a  bu 2 a  bu   udu 1  a 1    10.   a  bu 3 b 2  2a  bu 2 a  bu   c du 1 u 11.  ua  bu   a ln | a  bu | c du 1 b a  bu 12.  u 2 a  bu    au  a 2 ln | u | c du 1 1 u 13.  ua  bu 2  a(a  bu )  a 2 ln | a  bu | c u 2 du

9.



1 b3

a  bu Formas que contienen 3 2 3bu  2a a  bu  2  c 14. u a  bu du  3  15b 3 2 2 2 2 2 15. u  a  bu du  105b 3 15b u  12abu  8a a  bu  2  c 16.

n  u a  bu du 

17.



18.



19.

20.

udu a  bu u 2 du

a  bu

2u n a  bu  b2n  3

3

2



2an u n 1 a  bu du  b2n  3



2 bu  2a  a  bu  c 3b 2



2 3b 2 u 2  4abu  8a 2 3 15b





a  bu  c

2u n a  bu 2an u n 1 du   a  bu b2n  1 b2n  1  a  bu  1 a  bu  a ln | | c si a  0  du  a a  bu  a  u a  bu   2 a  bu  tan 1 c si a  0   a a u n du



du

a  bu b2n  3 du  n 1  n 1 2an  1 u an  1u a  bu

21.

u

22.



a  bu du du  2 a  bu  a  u u a  bu



a  bu  2  b2n  5 a  bu du a  bu du  n u an  1u n 1 2an  1  u n 1

n

a  bu



3

23.

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

350

Formas que contienen a 2  u 2 du 1 1 u 24.  a 2  u 2  a tan a  C 25.

26.

1 1 u  a tanh a  C si | u | a du 1 ua  a 2  u 2  2a ln | u  a | C   1 1 u  coth  C si | u | a a a  1 1 u  tanh  C si | u | a  du 1 ua a a  u 2  a 2  2a ln | u  a | C   1 1 u  coth  C si | u | a a  a

Formas que contienen

u2  a2

En las formulas 27 a 38, se puede sustituir



ln u  u 2  a 2



a  u2  a2 ln | | u 27.



du u a 2

2

senh 1

por

u a

senh 1

por

ln | u  u 2  a 2 | a u

 ln | u  u 2  a 2 | C u a2 u2  a2  ln | u  u 2  a 2 | C 2 2

28.



29.

2 2 2  u u  a du 

u 2  a 2 du 



u 2u 2  a 2 8



u2  a2 

a4 ln | u  u 2  a 2 | C 8



u 2  a 2 du a  u2  a2  u 2  a 2  a ln C u u



u 2  a 2 du u  u 2  a 2  a sec 1  C u a

32.



33.



u 2  a 2 du u2  a2    ln u  u 2  a 2  C 2 u u 2 u du u  a2 2 2  u a  ln u  u 2  a 2  C 2 2 2 2 u a

30.

31.

34.

35.

por

1 a  u2  a2   C  u u 2  a 2 a ln u du 1 1 u  u u 2  a 2  a sec a  C du

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

351

cosh 1

u a

36.

u

37.



38.



du 2

u2  a2





u2  a2 C  a 2u





u 3a 4 2 2 2 2 u a du  2u  5a u  a  ln u  u 2  a 2  C 8 8 du u  C 3 2  a2 u2  a2 u2  a2 2

2

3

2



a2  u2 Formas que contienen du 1 u 39.  a 2  u 2  sen a  C 40.



41.

u

42.

u a2 u a2  u2  sen 1  C 2 2 a u a4 u a 2  u 2 du  2u 2  a 2 a 2  u 2  sen 1  C 8 8 a

a 2  u 2 du  2





a 2  u 2 du a  a2  u2  a 2  u 2  a ln C u u



 a 2  u 2  a cosh 1 43.



44.



45.

46.

47.

48.

a C u

a 2  u 2 du a 2  u 2 du u    sen 1  C 2 u a u 2 2 u du u a u  a2  u2  sen 1  C 2 2 a a2  u2

1 a  a2  u2   C  u a 2  u 2 a ln u 1 1 a =-   cosh C a u du

a2  u2  u 2 a 2  u 2   a 2u  C 3 u 2 2 2 2  a  u 2 du   8 2u  5a du u  2 2 32  a 2 a 2  u 2  C a u du











M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda



a2  u2 

352

3a 4 u sen 1  C 8 a

Formas que contienen 2au  u 2 ua a2  u 2 2 49. 2 au  u du  2 au  u  cos 1 1    C  2 2  a 2 2 2u  au  3a a3  u 2 2 50. u 2au  u du  2 au  u  cos 1 1    C  6 2  a



2au  u 2 du  u  2au  u 2  a cos 1 1    C u  a

52.



53.



54.



55.



2au  u 2 du 2 2au  u 2  u    cos 1 1    C 2 u u  a du  u  cos 1 1    C 2  a 2au  u udu  u   2au  u 2  a cos 1 1    C 2  a 2au  u u  3a  2au  u 2  3a 2 cos 1 1  u   C u 2 du    2 2  a 2au  u 2

51.

56.

u

57.



58.



du 2au  u 2 du

2au  u  2

3

2au  u  2

3

ua

 a

2

udu

2au  u 2 C au



 2

2

2au  u 2 u

a 2au  u 2

C

C

Formas que contienen funciones trigonometricas 59. senudu   cos u  C 60. cot udu  ln | senu | C   61.

 cos udu  senu  C

62.

 sec udu  ln | sec u  tan u | C

1  1  ln tan   u   C 2  4 63.

 tan udu  ln | sec u | C

 csc udu  ln csc u  cot u  C  ln tan 2 u  C

66.

 sec

  ln cos u  C

65.

 sec

67.

 csc

2

2

udu  tan u  C udu   cot u  C

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

1

64.

n

udu 

68.

 csc

n

udu  

353

1 n2 sec n  2 u tan u  sec n  2 udu  n 1 n 1 1 n2 csc n  2 u cot u  csc n  2 udu  n 1 n 1

69.

 sec u tan udu  sec u  C

70.

71.

 csc u cot udu   csc u  C

73.

2  sen udu 

 cos 77. tan  79. cot 

72.

2

cosm  n u

 senmu cos nudu   2m  n  76. usenudu  senu  u cos u  C 

udu 

n

2

n 1

n 1

2



cosm  n u C 2m  n 

 u cos udu  cos u  usenu  C 80. u senudu  2usenu  2  u cos u  C 

 sen udu   n sen u cos u  n  sen 82. u cos udu  2u cos u  u  2 senu  C  81.



78.

udu   cot u  u  C

1

senm  n u C 2m  n  senm  n u senm  n u  cos mu cos nu  2m  n   2m  n   C

74.

1 1 u  sen2u  C 2 4

1 1 u  sen2u  C 2 4 2 udu  tan u  u  C 2

75.

senm  n u

 senmusennudu   2m  n 

n2

2

udu

2

1

 cos udu  n cos usenu  84. u senudu  u cos u  n u   n

83.

n 1

n

n

1

n 1 cos n  2 udu  n n 1 cos udu

 tan udu  n  1 tan u   tan udu 86. u cos udu  u senu  n u   senudu n

85.

n

n 1

n

n2

n 1

1 cot n 1 u   cot n  2 udu n 1 sen m 1u cos n 1 u m  1 m n 88. sen u cos udu   sen m  2u cos n udu   mn mn m 1 n 1 sen u cos u n  1   sen m u cos n  2 udu mn mn 87.

 cot

n

udu  

Formas que contienen funciones trigonometricas inversas

 sen 91. cos  89.

1

udu  usen 1u  1  u 2  C

1

udu  u cos 1 u  1  u 2  C

 cot 92. sec  90.

1

udu  u cot 1 u  ln 1  u 2  C

1

udu  u sec 1 u  ln u  u 2  1  C

 u sec 1 u  cosh 1 u  C 93.

 tan

1

udu  u tan 1 u  ln 1  u 2  C

94.

 csc

1

udu  u csc 1 u  ln u  u 2  1  C

 u csc 1 u  cosh 1 u  C

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

354

Formas que contienen funciones exponenciales y logaritmicas u u a u du au ln a a u du 95. e du  e  C  96.     un n  1u n1 n  1  u n1 97.

au C ln a u u  ue du  e u  1  C u  a du 

98.

 ln udu  u ln u  u  C u n 1

100.

n  u ln udu 

102.

 u ln u  ln ln u  C

u nau n n u u a du   u n 1 a u du  C  ln a ln a 

104.

au  e sennudu 

105.

106.

99.

u

101.

e du  u n e u  n  u n 1e u du  C

n u

103.

u

u

u

e du e 1 e du  u n   n  1u n1  n  1  u n1

n  12

n  1 ln u  1  C

du

au  e cos nudu 

e au asennu  n cos nu   C a2  n2

e au a cos nu  nsennu   C a2  n2

Formas que contienen funciones hiperbólicas 107. senhudu  cosh u  C 108. csc hu coth udu   csc hu  C   109.

 cosh udu  senhu  C

110.

111.

 tanh udu  ln cosh u  C

112.

 coth udu  ln senhu  C 115. sec hudu  tan senhu   C  113..

1

117.

1

 csc hudu  ln tanh 2 u  C

 sec h udu  tanh u  C 121. csc h udu   coth u  C  119.

2

129.

n  Sen uCosudu 

Sen n 1u C n 1

M.C Ma. De Lourdes Leyva Cerda

1

2

1

1

2

2

120.

 u cosh udu  usenhu  cosh u  C

122.

au  e senhnudu 

123.

Formas misceláneas 1 au au 125. e du  e C  a 1 u 127.  1  e u du  u  ln 1  e  C

2

 cosh udu  4 senh2u  2 u  C 114. tanh udu  u  tanh u  C  116. coth udu  u  coth u  C  118. usenhudu  u cosh u  senhu  C 

2

 sec hu tanh udu   sec hu  C

1

 senh udu  4 senh2u  2 u  C

124.

e au asenhnu  n cosh nu   C a2  n2 e au au a cosh nu  nsenhnu   C e cosh nudu   a2  n2

126.

128.

130.

355

u 2 au 2u au 2 au  u e du  a e  a 2 e  a 3 e  C Cos n 1u n Cos uSenudu   C  n 1 du  1  Senu  tan u  Secu  C 2

au

du

du

131.

 1  Cosu  Cotu  Cscu  C

132.

 SenuCosu  ln tan u  C

133.

 1  tan u  2 u  ln Cosu  Senu   C

134.

 1  Cotu  2 u  ln Senu  Cosu   C

135.

 1  Secu  u  Cotu  Cscu  C

136.

 1  Cscu  u  tan u  Secu  C

137.

 u ln udu 

138.

 ln

139.

du

1

du

u2  1  2 ln u   C 4 n n n 1  ln udu  u ln u  n  ln udu

140.

 xe

142.

n  x ln xdx 

144.



x

dx  xe x  e x  C

x x2  a2

151.





udu  u 2  2 ln u  ln 2 u  C

x

 xe dx  a e 143. x e dx  x e 

x n 1 x n 1 ln x  C n 1 n  12

ax

2

dx  x 2  a 2  C

 x Cosxdx  x

150.

2

145.



x

dx xx

ax

2

x

1 ax e C a2  2 xe x  2e x  C



 2 ln 1  x  C

147. 2

149.

1

du

141.

146,

148.

du

2

Senx  2 xCosx  2 Senx  C

du

1

au  b

 (au  b)cu  d   ad  bc ln | cu  d | c

x

2

Senxdx   x 2 Cosx  2 xSenx  2Cosx  C

a, b, c y d cons tan tes

 u 2 du 1  2a a2    (a  bu ) 3 b 3  a  bu 2a  bu 2  ln a  bu   c du 1  a  2bu 2b u   a 2 (a  bu ) 2   a 2  u (a  bu )  a ln a  bu   c udu

 (a  bu )

n



1 b2

  1 a  c  n2 n 1  (n  1)a  bu    (n  2)(a  bu )

152.

 u 2 du 1  1 2a a2      (a  bu ) n b 3  (n  3)(a  bu ) n3 (n  2)a  bu n2 (n  1)a  bu n1   c n  1,2,3

153.

154.

2 2au  b  Tan 1 c si b 2  4ac  2 2 4ac  b 4ac  b du   au 2  bu  c   1 2au  b  b 2  4ac  ln c si b 2  4ac  b 2  4ac 2au  b  b 2  4ac  2 u du 1  du  2  au 2  bu  c  2c ln au  bu  c  b  au 2  bu  c 

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356

V EL FACTORIAL DE n Y BINOMIO DE NEWTON

1. n!

nn  1n  2 n  3......n  n  1 n

x  y 

n! x nk y k k 0 k!n  k !



n

2.

VI TRIANGULO DE PASCAL

VII TRANSFORMADAS INVERSAS ESPECIALES

 F s   n F a k  ak t e   G s   k 1 G a k 

1. £ 1 

Fórmula de Heaviside

 s  s 2  k 2



 1  s 2  k 2

 Senkt  ktCoskt  2  2k 3 

2. £ 1 

3. £ 1 

 

2

 tSenkt  k 



VIII FORMA ESCALONADA PARA DOS Y TRES SECCIONES

1.

f t   f1   f1  f 2  t  a 

2.

f t   f 1   f 1  f 2  t  a    f 2  f 3  t  b 

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357

IX TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE £  f t   F s  f t  f t  1. 1

2. t

3.

tn

1 s

18. t cosh kt

1 s2

19.

senkt  kt cos kt

n!

e at

n es un entero positivo

1 sa

5. senkt

k s k s 2 s  k2 k 2 s k2 s 2 s k2 1 s  a  2 2

6. cos kt 7. senhkt 8. cosh kt 9.

10.

te at t n e at

s2  k 2

s

s n 1 4.

£  f t   F s 

2

2k 3

s

21. kt  senkt

k3 s2 s2  k 2

22.

t f t 

23.

 t  a 

24.

e at f t 

n

f t  a  t  a 

26.

f n  t 



2

 k2

2



 1n



n

d F s  ds n

e  as s F s  a  e  as F s 

s n F s   s n 1 f 0   s n  2 f ´0 ...  f n 1 0  F s G s 

27.

s  a n  1



 k2

2

senkt  kt cos kt

25.

, n es un entero positivo

2

2ks 2

20.

2

n!

s



 k2

2

t

 f  g t   d o

11.

12.

at

e senkt

k s  a 2  k 2

s  a 

k

2

13.

e at senhkt

14.

e at cosh kt

15. tsenkt

16. t cos kt

t

1



2

s

sa

at

e cos kt

28.

29. 2

t

1



2

3

k

30.

s  a  2  k 2

2s 2   1 ,   1 s  1

t

sa

s  a 2  k 2

s

2ks 2

 k2



2

 k2



2

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358



2k 2

31.

sen kt

s s 2  4k 2

32.

cos 2 kt

s 2  2k 2 s s 2  4k 2

33.

senh 2 kt

2k 2 s s 2  4k 2

2

s2  k 2

s

2

 







17. tsenhkt

35.

s

ae at  be bt ab 37. 1  cos kt

cosh 2 kt

2

44.

J 0 kt 

s

s  a s  b 

36.

asenbt  bsenat



39.



s

cos bt  cos at a2  b2 40. senktsenhkt

s

41. senkt cosh kt

k s 2  2k 2 s 4  4k 4 k s 2  2k 2 s 4  4k 4 s3 s 4  4k 4

42. cos ktsenhkt 43. cos kt cosh kt

2

a

2

s

2

b

2

46.

e bt  e at t 21  cos kt  t

47.

21  cosh kt  t



2k 2 s s 4  4k 4

s2  k 2 s2

ln

s2  k 2 ln s2

senat cos bt t

1 ab tan 1  2 s 1 ab tan 1 2 s 1





51.

 t  t 0 

52.

tSenkt 2k

 k2

s2  k 2 sa ln sb

49.

 t 

2

e  st 0

s

s 2



2

X IDENTIDAD DE EULER

e

 i

 1



0

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359



a arctan  s

50.

s



senat t



1

s 2  2k 2 s s 2  4k 2 1

48.



53.

Senkt  ktCoskt 2k 3

45.

k2 s s2  k 2 1 2 2 s  a s 2  b 2 



38.





34.

2 2

k 1 s  a s  b 

e at  e bt ab

ab a 2  b 2

2ks

 k2



2

Bibliografía http://es.scribd.com/doc/39053020/Historia-de-Las-Ecuaciones-Diferenciales#scribd http://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/2152/John%20Napier http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euler.htm http://www.portalplanetasedna.com.ar/laplace.htm http://electronicacompleta.com/lecciones/leyes-de-kirchhoff/ http://www.biografiasyvidas.com/biografia/f/fourier.htm http://www.astromia.com/biografias/laplace.htm

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones Dennis G. Zill Thompson Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Murray R. Spiegel Prentice Hall Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor de frontera Camphell, Haberman McGraw Hill Matemáticas Avanzadas para ingeniería Erwin Kreyszig Vol. I Limusa Matemáticas Avanzadas para ingeniería Erwin Kreyszig Vol. II Limusa Ecuaciones Diferenciales Daniel A. Marcus CECSA Ecuaciones Diferenciales E.D. Rainville/P.E. Bedient Interamericana

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