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Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Ley de Darcy En un pozo dentro de un yacimiento, a cualquier distancia, la ecuación cartesiana de Darcy, se convierte: v

k

o

(1)

p

Ley de Darcy para Flujo Lineal En un pozo dentro de un yacimiento, la distancia que recorre el aceite al pozo es contraria a la caída de presión por lo que la ecuación cartesiana de Darcy conserva el signo: v

 k dp  o dx

(2)

Substituyendo la velocidad en términos del gasto de aceite @ c. y. y el área perpendicular al flujo: qoL Boi  k dp  , A  o dx

(3)

El área perpendicular al flujo de aceite es función del radio (área lateral): A  ab ,

(4)

Por lo que substituyendo y arreglando: q0 L 

 kabh dp .  o Boi dx

(5)

0, pe L, ps

1

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Ley de Darcy para Flujo Radial En un pozo dentro de un yacimiento, la distancia que recorre el aceite al pozo en la misma dirección a la caída de presión, por lo que la ecuación a cualquier distancia, r , y la ecuación cartesiana de Darcy, se convierte: vr 

k dp  o dr

(6)

Substituyendo la velocidad en términos del gasto de aceite @ c. y. y el área lateral perpendicular al flujo: qo Bo k dp  , A  o dr

(7)

El área perpendicular al flujo de aceite es función del radio (área lateral): A  2rh ,

(8)

Por lo que substituyendo y arreglando: q0 

2krh dp .  o Bo dr

(9)

rw, pwf

re, pe

2

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Ley de Darcy para Flujo Esférico En un pozo dentro de un yacimiento, la distancia que recorre el aceite al pozo en la misma dirección a la caída de presión, por lo que la ecuación a cualquier distancia, r , y la ecuación cartesiana de Darcy, se convierte: vr 

k dp  o dr

(10)

Substituyendo la velocidad en términos del gasto de aceite @ c. y. y el área perpendicular al flujo: qo Bo k dp  , A  o dr

(11)

El área perpendicular al flujo de aceite es función del radio (área lateral): A  4r 2 ,

(12)

Por lo que substituyendo y arreglando: q0 

4kr 2 dp .  o Bo dr

(13)

3

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Ecuación de Difusión en Dos Dimensiones Considere un volumen de control: Vc  xyz ,

En el volumen de control entra un flujo másico en la cara yz : 

m e   o v x yz ,

y sale un flujo másico: 

m s   o vx   o v x yz .

Figura B.1. Flujo lineal en el volumen de control. Si la masa que entra es diferente a la masa que sale al transcurrir un intervalo de tiempo, se acumula cierta cantidad de masa en el volumen de control disponible, la cual está dada por la ecuación:

flujo másico entra - flujo másico sale  flujo másico acumulado

,

4

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello 

m a   o vx yz   o vx   o v x yz   o v x yz .

La cantidad de masa acumulada en función del espacio se obtiene al multiplicar el flujo másico por el intervalo de tiempo t . 

ma  m a At    o v x yzt .

(B.1)

Al realizar el análisis dimensional se obtiene:  M  L ma M     o  3  v x   yLzLt T    L  T   .

Por otro lado, para un volumen de control, la masa acumulada está en función del tiempo. A un tiempo inicial t se tendrá una masa: m1  df S o  o xyz

.

Como se estableció en un principio, solo existe un fluido saturante, es decir So  1

, por lo que la expresión de m1 se reduce a:

m1  df  o xyz

.

Después que pase algún tiempo (una t ), se tendrá una masa distinta, la cual habrá cambiado con el tiempo, en ese mismo volumen de control:





m2  df  o  df  o  xyz

.

Por lo tanto, la masa acumulada en función del tiempo está dada por la ecuación: masa acumulada  masa después del cambio del tiempo - masa al tiempo inicial ,









ma   df  o   df  o  xyz   df  o xyz   df  o xyz

.

(B.2)

Realizando el análisis dimensional: 5

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

 

 M  ma M     df 1 o  3  xyz L3  L   .

El paso siguiente en el desarrollo es igualar las ecuaciones (B.1) y (B.2):

  o v x yzt  df  o xyz . Si se divide la ecuación anterior entre xyzt , se obtiene: 

  o v x    df  o  x t .

Al hacer tender x y t a cero, se aplica la definición de la derivada para ambos miembros y cambiando de signo al lado derecho, se obtiene la ecuación de continuidad:   o v x      o  . x t

(B.3)

La ecuación de movimiento para flujo newtoniano, llamada ley de Darcy, es: vx  

k px, t  .  x

Se sustituye la ecuación anterior en (B.3):    k p df x, t         o  .   o x    x   t

Si la permeabilidad de la fractura dominante, k df , y la viscosidad,  , se consideran constantes, es posible multiplicarlas por el operador derivada: k   p df x, t     o    o  .  x  x  t

(B.4)

La fórmula para derivar un producto:

6

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello u  v  u v v u x x x .

Sí u   o y

v

p df x

para el miembro izquierdo y u   o y v  df para el miembro

derecho, la ecuación (B.4) queda:  df o k   o px, t    p x, t   .  o   o       x x x  x  t t

(B.5)

 df  o  o Las derivadas parciales x , t y t pueden ser expresada utilizando la

regla de la cadena de la manera siguiente:  o p  o ,  x x p

(B.6)

 o p  o ,  t t p

(B.7)

df t



pdf df t pdf

(B.8)

Se sustituyen (B.6), (B.7) y (B.8) en (B.5):  p x, t   o   p df x, t   df k df  p df x, t   o  p df x, t    p df x, t     df  df   o      o    x p df  x x  x p df  p df   t  t

  

,

Arreglando: k df  o   2 p df x, t   1  o     x 2   o p df 

 p df x, t      x 

2

  1  o 1  df  p df x, t    df  o    t    o p df df p df  .

(B.9)

Las compresibilidades de la fractura dominante y del aceite están definidas mediante las ecuaciones:

7

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

cp 

1  ,  p

co 

1  o .  o p

Se sustituyen las dos ecuaciones anteriores en (B.9): 2 k df  o   2 p df x, t  p df x, t   p df x, t         c    c  c o o o p    x 2 t  x   





Cancelando la densidad del aceite,  o , de ambos miembros de la ecuación anterior, ésta se reduce a: 2 2 p df x, t   p df x, t    k   p df x, t      .  c   c  c o o p  x     x 2 t    





(B.10)

La compresibilidad total de la fractura dominante (recordando la presencia de un solo fluido saturante) es: ctdf  co  cdf

,

Por lo que la ecuación (B.10) se reescribe: 2 k df   2 p df x, t  p x, t   p df x, t       ct df  .  co  2   x x   t   

Si se despeja la permeabilidad del medio poroso k y la viscosidad  la ecuación anterior, ésta queda:  2 p df x, t  x 2

 p df x, t   Ct p df x, t    .  co  k t  x  2

(B.11)

La constante de difusividad hidráulica del medio poroso es: 

k . Ct 

8

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Por lo que al sustituir la difusividad hidráulica se obtiene la ecuación de difusión para flujo lineal:  2 p df x, t  x 2

 p df x, t   1 p df x, t    .  co   t  x  2

El gradiente de presión tiende a ser muy pequeño, y elevado al cuadrado es aún más pequeño, comparado con los demás elementos por lo que se desprecia. La ecuación de difusión para flujo lineal en un Yacimiento Homogéneo:  2 p  x, t  1 px, t   2  df t x

(B.12)

De la misma manera adicionando la dirección “y”, la ec. difusión en dos dimensiones:  2 p df x, y, t  x 2



 2 p df x, y, t  y 2



1 p df x, y, t   df t

.

(B.13)

También puede escribirse p df x, y, t  

1 p df x, y, t  .  df t

(B.14)

La relación entre las coordenadas polares en el plano y las coordenadas rectangulares es: x  r cos  y  rsen

r 2  x2  y2 tan  

y x

9

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

El primer par de ecuaciones transforma ecuaciones polares (r, θ ) a coordenadas rectangulares (x, y). El segundo par de ecuaciones hace posible transformar coordenadas rectangulares a coordenadas polares: u( x, y)  p(r, )

dx  cos  dr

dx  rsen d

dy  sen dr

dx  r cos  d

Utilizando la regla de la cadena: u ( x, y ) p(r ,  )  dr  p(r ,  )  d  p(r ,  ) p(r ,  ) sen     cos        x r  dx    dx  r  r u ( x, y ) p(r ,  )  dr  p(r ,  )  d  p(r ,  ) p(r ,  ) cos    sen       y r  dy    dy  r  r

Las segundas derivadas utilizando la regla de la cadena 2  2 u ( x, y )  2 p(r ,  ) 2sen  cos   2 p(r ,  ) sen 2 p(r ,  ) 2sen cos  p(r ,  ) 1 2 2  p(r ,  )  cos      sen  r r r r  x 2 r 2 r2 r2  2

2  2 u ( x, y )  2 p(r ,  ) 2sen  cos   2 p(r ,  ) cos 2  p(r ,  ) 2sen cos  p(r ,  ) 1 2  p(r ,  ) 2  sen      cos  r r r r  y 2 r 2 r2 r2  2

Sumando las ecuaciones anteriores:  2u  2u  2 p(r , ) 1 p(r , ) 1  2 p(r , )     2 x 2 y 2 r 2 r r r  2

El operador de presión en coordenadas cartesianas puede substituirse por uno en coordenadas polares  2 p( x, y, t )   2 p(r , , t )

10

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Transformando a coordenada polares:  2 p(r ,  , t ) 

1 p(r , , t )  t

El operador considerando la variación con el ángulo, esto es muy útil en sectores circulares para separación de variables:  2 p(r , , t ) 1 p(r , , t ) 1  2 p(r , , t ) 1 p(r , , t )   2  r r  t r 2 r  2

Si la presión no es función del ángulo horizontal:  2 p(r , , t ) 1 p(r , , t ) 1 p(r , , t )   r r  t r 2

Obtención de la ecuación de difusión en coordenadas polares Para construir la ecuación de difusión de flujo radial en un yacimiento homogéneo, considérese la Figura 1:

Figura 1. Volumen de control para flujo radial. 11

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

De acuerdo con la figura anterior, el volumen de control, Vc , está dado por la ecuación siguiente: Vc   arcorz

(1)

La longitud de arco se define de a cuerdo con la relación siguiente: 2  arco  360 

(2)

Despejando la longitud de arco:  arco  r

 180



(3)

Si: 

 180



,

(4)

Entonces la longitud de arco es:  arco  r ,

(5)

Por lo que la ecuación 1, se reescribe como: Vc  r rz  rrz

.

(6) 

A través del volumen de control entra un flujo másico m eo , y sale un flujo 

másico, m so , tal como se muestra en la Figura 2:

12

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Para obtener la masa de aceite que entra, se multiplica el flujo másico por el área a través del cual fluye y una t : 

meo  m eo At  vr r  r zt ,

(7)

Arreglando: meo  vr rz  vr rzt

.

(8)

Para obtener la masa de aceite que sale, se realiza el mismo procedimiento que en el paso anterior: 

mso  m so At  vr  vr rzt

,

(9)

Arreglando: mso  vr rzt  vr rzt

,

(10)

13

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

La masa acumulada total, se obtiene al restar la masa de aceite que sale menos la masa que entre: mac  mso  meo ,

(11)

mac  vr  vr rzt  vr r  r zt

,

(12)

desarrollando: mac  vr rzt  vr rzt   rvrzt  rvrzt  ,

(14)

La masa de aceite a un t1 , en el volumen de control de la Figura 1, está dada por la ecuación siguiente: mt1  S o  t1 rzr

,

(15)

Considerando únicamente, un solo fluido saturante, S o  1 , por lo que la ecuación anterior se reduce a: mt1   t rzr

.

(16)

Análogamente, la masa de aceite a un t 2 es: mt2     rzr

,

(17)

Desarrollando: mt2   rzr   rzr

.

(18)

La masa acumulada en el tiempo, está dada de acuerdo a la ecuación siguiente: mac  mt2  mt1

,

(19)

Sustituyendo: mac   rzr   rzr    rzr 

,

(20) 14

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello mac   rzr .

(21)

El paso siguiente es igualar la masa acumulada: vr rzt  vr rzt   rzr  ,

(22)

Se divide la ecuación anterior entre rzrt : vr rzt  vr rzt  rzr   rzrt rzrt ,

(23)

se separan las fracciones: vr rzt vr rzt  rzr    rzrt rzrt rzrt ,

(24)

se simplifica la ecuación anterior: vr  vr     r r t ,

(25)

Se factoriza de la ecuación previa: 1  rvr   vr r      t r  r  ,

(26)

el lado izquierdo de la ecuación se arregla, de la manera siguiente: 1  rvr   vr r  1  rvr  vr r  1  rvr    r  r  r   r  r  r  r     .

(27)

Se sustituye la ecuación anterior en la 26, resultando: 1  rvr     r  r  t .

(28)

15

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Para obtener la ecuación de continuidad, se aplica el límite cuando r  0 y t  0 :

1 rvr     r r t .

(29)

La ley de Darcy para flujo radial es: vr 

k p  r .

(30)

Al sustituir la ley de Darcy en la ecuación de continuidad, ecuación 29, se obtiene: 1    k p      r  r r    r   t ,

(31)

Al considerar la permeabilidad, k , y la viscosidad ,  ,como constantes, se obtiene: 1 k    p      r  r  r   r   t .

(32)

Al aplicar las derivadas parciales se obtiene: k  p  2 p r p    r   r     2 r  r r r r  t t r .

(33)

Las derivadas parciales de la densidad en espacio, y de la densidad y porosidad en tiempo, pueden expresarse con la regla de la cadena, de la manera siguiente:  p   r r p ,

(34)

 p   t t p ,

(35)

16

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello t p t  t t p ,

(36)

Sustituyendo las ecuaciones 34, 35 y 36 en 33:  p t   p   k  p   p k  2 p k p      t      2   r p  r  r r r  t p   t p  ,

(37)

Arreglando la ecuación anterior, en el miembro derecho de la ecuación anterior, se factoriza la derivada parcial de la presión con respecto al tiempo:  k  2 p k 1   p  2 k p   1 t 1   p         t   2   p  r  r r  t p  p  t ,   r

(38)

Cancelando la densidad del aceite, en la ecuación anterior, ésta se reduce a: 2  1 t 1   p k   2 p 1 p 1   p           t   2    r r r  p  r   t p  p  t ,

(39)

Las compresibilidades están dadas por: cf 

1 t t p ,

(40)

co 

1   p ,

(41)

Al sustituir las ecuaciones 41 y 42 en la 40, se obtiene: 2 k   2 p 1 p p  p    c o      t c f  co  2    r r r t  r   ,





(42)

La compresibilidad total del sistema está dada por la ecuación: ct  c f  co

,

(43)

17

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Por último se despeja k /  , y se obtiene la ecuación de difusión para flujo radial en un yacimiento homogéneo:  c p  2 p 1 p  p    co    t t 2 r r k t , r  r  2

(44)

El gradiente de presión tiende a ser muy pequeño, elevado al cuadrado es más pequeño y multiplicado por la compresibilidad es muy pequeño comparado con los demás elementos, por lo que se desprecia:  2 p 1 p t ct p   , k t r 2 r r

(45)

18

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Flujo Radial Estacionario en un Yacimiento Homogéneo La ecuación de difusión para flujo radial en estado transitorio en forma compacta: 1   pr , t    o ct pr , t  r  r r  r  k t

(1)

Un régimen de flujo estacionario indica que no existirá variación de la presión con respecto al tiempo, es decir, es cero. Lo anterior se expresa matemáticamente de la forma siguiente: pr , t  0 t

(2)

Substituyendo la derivada con respecto al tiempo: 1 d  dpr   r 0 r dr  r 

(3)

Despejando d  dpr   r 0 dr  dr 

(4)

Integrando r

dpr   C1 r

(5)

Arreglando dpr  C1  dr r

(6)

Separando diferenciales: dpr  

C1 dr r

(7) 19

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Integrando: p

r



dp( r )  C1 

pwf

rw

dr r

,

(8)

La solución general a la ec. de difusión para Flujo radial estacionario en un Yacimiento Homogéneo es: p(r )  C1 ln(r )  C2

(9)

Condiciones de Frontera para Resolver el Problema 1 Condición de frontera interna, Gasto constante (De la ley de Darcy ): dprw  qo  o Bo  dr 2khrw

(10)

Condición de frontera externa, frontera finita a presión constante: pre   pws

(11)

Aplicando la condición de frontera interna: dprw  C1 qo  o Bo   dr rw 2khrw

(12)

La constante es: C1 

qo  o Bo 2kh

(13)

La solución acotada es: p(r ) 

qo  o Bo ln( r )  C 2 2kh

(14)

Aplicando la condición de frontera externa en la solución acotada: p(re ) 

qo  o Bo ln( re )  C 2  p ws 2kh

(15) 20

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Despejando la otra constante: C 2  p ws 

qo  o Bo ln( re ) 2kh

(16)

Substituyendo la constante en la solución acotada y arreglando: p(r ) 

qo  o Bo q  B q  B ln( r )  p ws  o o o ln( re )  p ws  o o o ln( r )  ln( re ) 2kh 2kh 2kh

Arreglando se obtiene la solución particular para el problema dado: p  p wf 

qo Bo  o  r  ln   2kh  rw 

(17)

Despejando el gasto de aceite:

qo 

2khp  pwf 

o Bo ln r rw  .

(18)

El gasto de aceite en el pozo, a un determinado radio de drene:

qo 



2kh pe  p wf



 o Bo ln re rw 

.

(19)

La ecuación 19, es función de un logaritmo natural, que significa que la caída de presión se duplica o triplica a medida que la distancia del radio se incrementa por uno o dos órdenes de magnitud. Por ello, la región cercana a la vecindad del pozo es sumamente importante en la producción del pozo, porque es el lugar en donde ocurre una gran caída de presión.

21

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Condiciones de Frontera para Resolver el Problema 2 Condición de frontera interna, Producción a presión de fondo fluyendo constante: prw   pwf

(20)

Condición de frontera externa, Frontera finita a presión constante pre   pws

(21)

Aplicando la condición de frontera interna: p(rw )  C1 ln(rw )  C2  pwf

(22)

Aplicando la condición de frontera interna: p(re )  C1 ln(re )  C2  pws

(23)

Restando: C1 ln(re )  ln(rw )  pws  pwf

Despejando la constante C1 

p ws  p wf ln( re / rw )

(24)

Substituyendo en la solución general se obtiene una solución acotada: p(r ) 

p ws  p wf ln( re / rw )

ln( rw )  C 2

(25)

Aplicando la condición de frontera interna: p(rw ) 

p ws  p wf ln( re / rw )

ln( rw )  C 2  p wf

(26)

22

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Despejando la otra constante C 2  p wf 

p ws  p wf ln( re / rw )

ln( rw )

(27)

Substituyendo la constante en la solución acotada, se obtiene la solución para este problema en particular: p(r ) 

p ws  p wf ln( re / rw )

ln( rw )  p wf 

p ws  p wf ln( re / rw )

ln( rw ) 

p ws  p wf ln( re / rw )

ln( r / rw )  p wf

(28)

Distribución de presión en el yacimiento 6,000

p ws

5,000

p(r)

4,000

3,000

p wf 2,000

1,000

-

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

90.00

100.00

r

23

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Condiciones de Frontera para Resolver el Problema 3 Condición de frontera interna, Gasto constante (De la ley de Darcy ): dprw  qo  o Bo  dr 2khrw

(29)

Condición de frontera externa, Frontera finita cerrada pre  0 r

(32)

Ecuación de Difusión para Flujo Radial 1   p(r , t )   Ct p(r , t ) r  r r  r k t 

(33)

Arreglando:

Ct h p(r , t ) 1   p(r , t )  r  r r  r  kh /   t

(34)

Ecuación diferencial de Muskat, 1937: 2

kh   p(r , t )  p(r , t ) r   Ct 2hr  r  r  t

(35)

***

24

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Flujo radial pseudoestacionario en un Yacimiento Homogéneo. Casi todos los pozos eventualmente presentan los efectos de sus fronteras. En sección previa la condición del estado estacionario implica una frontera externa a presión constante. La frontera natural puede presentarse al considerar el impacto de un acuífero muy grande. La presión constante inducida puede ser el resultado de configuraciones inyector-productor. Para fronteras no fluyentes, las áreas de drene pueden ser descritas por límites naturales tales como fallas, acuñamientos, etc., o puede ser inducidas artificialmente por la producción de pozos . Esta condición a menudo se refiere a un “estado pseudoestacionario”. La presión en la frontera externa deja de ser constante, pero en su lugar declina a gasto constante con el tiempo, esto es pe / t  cte . La ecuación de difusión para flujo radial en un yacimiento homogéneo es la siguiente:  2 pr , t  1 pr , t  pr , t    r r t , r 2

(1)

Un régimen de flujo pseudoestacionario indica que la variación de la presión con respecto al tiempo será constante: pr , t   C1 t .

(2)

Al sustituir la ecuación anterior en la Ecuación de Difusión para flujo radial, ecuación 1, ésta se reduce a: d 2 pr  1 dpr    C1 r dr dr 2 .

(3)

Para resolver la ecuación previa, se hace el cambio de variables siguiente:

25

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello G r , t  

dpr  dr

(4)

Entonces: dGr  d 2 pr   dr dr 2 .

(5)

Al sustituir las ecuaciones 4 y 5 en la ecuación 3, se obtiene la expresión siguiente: dGr  1  Gr   C1 dr r ,

(6)

La ecuación anterior puede escribirse como: 1 d rGr   C1 r dr ,

(7)

Separando variables: d rGr   C1rdr ,

(8)

Al integrar ambos miembros de la ecuación anterior se obtiene: rGr   C1

r2  C2 2 ,

(9)

Dividiendo entre r: Gr   C1

r C2  2 r

(10)

Al sustituir la ecuación 4 en la anterior se obtiene: dpr  r C  C1  2 dr 2 r

(11)

al separar variables: 26

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello dpr   C1

r 1 dr  C 2 dr 2 r

(12)

Al integrar ambos miembros de la ecuación: pr   C1

r2  C 2 ln r   C3 4 .

(13)

Considérense las condiciones de frontera siguientes: prw   p wf

(14)

pre   p ws

(15)

Entonces, la presión en la vecindad del pozo, prw  , está dada por la ecuación: p wf  C1

rw2  C 2 ln rw   C3 4

(16)

Análogamente, la presión estática del yacimiento, p ws re , t  , está dada por la ecuación: p ws  C1

re2  C 2 ln re   C3 4 .

(17)

La caída de presión en el yacimiento p R r , t  , está dada por la ecuación: p R r   p ws  p wf

(18)

Al sustituir las ecuaciones 16 y 17 en la anterior, se obtiene:  r2   r2  p R r   C1 e  C 2 ln re   C3   C1 w  C 2 ln rw   C3   4   4 

p R r  





C1 2 re  rw2  C 2 ln re   ln rw  4 ,

(

(19)

(20)

27

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Al aplicar las propiedades de los logaritmos, la ecuación anterior queda: p R r  

  r  C1 2 re  rw2  C 2 ln  e  4   rw 





,

La expresión anterior también puede escribirse como:





p ws  p wf 

C1 2 re  rw2  C 2 ln re   ln rw  4 ,

p ws  p wf 

  r  C1 2 re  rw2  C 2 ln  e  4   rw 



(21)



Despejando la constante C 2 , se obtiene C2 

p

ws





C1 2 re  rw2 4 r  ln  e   rw 

 p wf 

 .(22)

Al sustituir la constante C 2 , en la ecuación 13 se obtiene:   p ws  p wf  C1 re2  rw2 2 r 4 pr   C1  4   re   ln     rw 









   

ln r   C3

.

(23)

Para obtener el valor de la constante C 3 , debe evaluarse alguna de las condiciones de frontera, en la ecuación 23. Para este caso se utilizó la condición pre   p ws

, obteniéndose la expresión siguiente:

  p  p wf  C1 re2  rw2 re2  ws 4  C1  4  r   ln  e    rw 



p ws







   

ln re   C3

,

(24)

28

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Se despeja la constante C 3 :

C3  p ws

  p  p wf  C1 re2  rw2 re2  ws 4  C1  4  r   ln  e   rw  







   ln r  e    .



(25)

Finalmente, sustituyendo la constante C 2 en la ecuación 23 se obtiene:   p ws  p wf  C1 re2  rw2 2 r 4 pr   C1    4 r   ln  e    rw 







     pws  pwf  C1 re2  rw2  2 r 4  ln r     p  C e    ws 1 4   r  ln  e      rw    









     ln r   e     



,

(26) Arreglando la ecuación anterior se obtiene: pr   p ws

  p ws  p wf  C1 re2  rw2 C1 2 4  r  re2    4  re   ln    rw  















r ln     re    .

(27)

La cual es la solución de la ecuación de difusión para régimen estacionario. pr   p ws 

p

ws

 p wf

r ln  e  rw

  

 ln r   C r r  4 1



e



2



r   rw2 ln  e  r

.

(28)

Caso particular Puede observarse que si C1  0 , la ecuación anterior se reduce a:  p ws  p wf   r  pr   p ws    ln     ln r r e w   re  

(29)

29

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Producción de aceite Pseudoestacionaria Área circular con un pozo en el centro, en estado estacionario, el ritmo de producción del pozo es igual al ritmo de expansión del fluido contenido en el área de drene. Ct 

 1 dVt Vt dp

La expansión: dVt  CtVt dp

Arreglando las diferenciales: dVt dp 2  Ctre ht dt dt

El gasto por expansión de fluidos:

qo   re hCt 2

dp(r ) dt

Despejando la derivada:  qo dp( r )  dt  re 2 hCt

Substituyendo la derivada en la ec. De flujo radial:   p(r , t )   Ct r   q  r    r  r  k  re 2 hCt 

Simplificando: d  dp(r )   qo o r r  2 dr  dr  khre

Integrando: 30

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

 r

 dp(r )   qo o dr  dr  khre 2 



rdr

dp(r )  qo o r 2   C1 2 dr khre 2

dp (r )  qo o r C   1 2 dr r khre 2

Pero como es un yacimiento cerrado dp ( re ) 0 dr

dp(re , t )  q C   1 0 dr 2khre re Despejando la constante: C1 

q 2kh

Substituyendo la constante y factorizando:

d p(r , t )  qo o r q  1 q  1 r    o o  o o   2 2 dr 2kh r 2kh  r re  2khre Integrando: p(r , t ) 

q 2 2khre

 dr rdr   2   re    r 

Integrando se obtiene la presión en estado estacionario:

qo o  r2  p (r , t )   C2 ln( r )  2 2kh  2re  31

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

De la ecuación de difusividad radial, la presión p a cualquier punto r , del yacimiento de radio re , está dada por (Dake, 1978): p  pwf 

141.2qBo    r  r 2  ln    2  kh   rw  2re 

.

(19)

Cuando r  re , la ecuación se reduce a: p  pwf 

141.2qBo    re  1  ln     kh   rw  2 

.

(20)

Esta ecuación es útil para estado pseudo estacionario, mientras

p e sea

conocida a un tiempo dado. De cualquier forma, la presión promedio del yacimiento, p , puede ser obtenida de pruebas de incremento de presión periódicas. Una expresión más útil para la ecuación de difusión en estado pseudo estacionario puede ser una utilizando la presión promedio del yacimiento. Esto se define como una presión ponderando con el volumen drenado: re

p

 p(V )dV

rw re

re



 dV

 pdV

rw

 re2  rw2 h

,

(21)

rw

Donde:





V (r )   r 2  rw2 h dV  2rhdr ,

La ecuación anterior se convierte: re

 pdV

2 p 2  2 re h re rw

re

 prdr .

(22)

rw

32

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

La expresión para la presión a cualquier punto de r puede ser sustituida de la ecuación anterior: p  pwf 

2 141.2qBo  re2 kh

  r  r2   ln rw   2re2  dr . rw    re

(23)

Al efectuar la integral se obtiene: p  pwf 

141.2qBo    re  3  ln     kh   rw  4 

(24)

Al introducir el factor de daño e incorporando el término ¾ dentro de la expresión logarítmica, se conduce a la relación de flujo para una frontera no fluyente del yacimiento: p  pwf 

141.2qo Bo o kh

  0.472re     s  . ln  r w    

(25)

La ecuación anterior es útil ya que provee la relación entre la presión promedio del yacimiento, p , y el gasto q . La presión promedio, p , es una variable que puede ser determinada. Depende del área de drene y de las propiedades del fluido y de la roca. El gasto de aceite para condiciones de estado pseudo estacionario: qo 

kh 141.2 Bo  o

p  p wf  0.472re ln   rw

   s 

.

(26)

33

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Transformación a variables adimensionales de la Ecuación de Difusión para Flujo Radial en Yacimientos Homogéneos

 2 p(r , t ) 1 p(r , t ) ct p(r , t )   . r r k t r 2

(45)

Para transformar la ecuación de difusión en variables adimensionales se considerarán las variables siguientes: rD  tD 

r rw ,

 2 w

r

(46)

t

kt  ct rw2 ,

p D rD , t D  

p wD t D  

(47)

2rhk pi  pr , t  qBo 



,

(48)



2rhk pi  p wf rw , t  qBo 

.

(49)

El primer paso es derivar las ecuaciones anteriores, con respecto a r, t y p(r,t), respectivamente: drD 1  , dr rw

(50)

dt D   2, dt rw

(51)

qBo dpr , t   . dp D rD , t D  2rw hk

(52)

La primera derivada de la presión con respecto al radio del pozo, utilizando la regla de la cadena es: p(r , t ) dp(r , t ) drD p D (rD , t D )  , r dp D (rD , t D ) dr rD

(53)

34

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Sustituyendo las derivadas: qBo p D (rD , t D ) p(r , t )  qBo   1  p D (rD , t D )    .   r rD 2rw hkrw rD  2rw hk   rw 

(54)

La segunda derivada de la presión con respecto al radio: qBo   p D (rD , t D )  drD   2 p(r , t )    2 , 2rhkrw rD  rD r  dr 

(55)

Sustituyendo la derivada del radio: qBo  2 p(r , t )  2 2rhkrw r

  2 p D (rD , t D )  1  qBo  2 p D (rD , t D )     .  r  rD2 2rhkrw2 rD2   w 

(56)

La primera derivada con respecto al tiempo se puede expresar como: p(r , t ) dt D dp(r , t ) p D (rD , t D )  . t dt dp D (rD , t D ) t D

(57)

Al sustituir las parciales en la ecuación previa, se obtiene: qBo  k  p D (rD , t D ) p(r , t )    t 2rhk  ct rw2  t D

(58)

Sustituyendo las parciales:  qBo  2 p D (rD , t D )  rw   2 rD2  2rhkrw  r

 qBo p D (rD , t D )   ct  qBo  k  p D (rD , t D )         rD k  2rhk  ct rw2  t D  2rhkrw rw  

(59)

Al simplificar se obtiene la ecuación adimensional de difusión para Flujo Radial en Yacimientos Homogéneos:  2 pD (rD , t D ) 1 pD (rD , t D ) pD (rD , t D )   rD2 rD rD t D

(60)

35

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Transformación a Variables Adimensionales de las Condiciones de la Ecuación Condición inicial, distribución uniforme de presión: pr ,0  pi ,

(61)

 r   0  2rhk pi  pr ,0 2rhk  pi  pi  p D  , 2    q0 Bo q0 Bo  rw rw  p D rD ,0  0 .

(62)

Condición de frontera interna, gasto constante: prw , t  q  B  o o o , r 2rw hk

(63)

Pero

2rw hkrw p(r , t ) p D (rD , t D )  . rD qBo r 2rw hkrw p(rw , t ) 2rw hkrw qo  o Bo p D (1, t D )   . rD qo  o Bo r qo  o Bo 2rw hk p D 1, t D   1 . rD

(64)

Condición de frontera externa, yacimiento infinito: lim p(r , t )  pi , r 

(65)



 r    2rhk  pi  pr , t   2rhk  lim p D  , 2 t   lim  pi  lim p(r , t )  lim r  r  r  r  q  B q  B r r  0 o 0 o w w     rw rw

lim pD rD , t D  

rD 

2rhk  pi  pi   0 , q0 Bo

 (66)

Condición de frontera externa, yacimiento finito: lim p(r , t )  pi ,

(68)

r re





 re   2rhk 2rhk  pi  pi  , lim p D  , 2 t   lim pi  lim p(r , t )  r re r  re r  re q0 Bo  rw rw  q0 Bo

lim p D rD , t D   0 .

reD 

(69)

36

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Condición de frontera externa, yacimiento cerrado: p re , t   0, r

(70)

Pero

2rhkrw p(r , t ) p D (rD , t D )  . rD qBo r

Evaluando en el radio de drene p D (reD , t D ) 2re hkrw p(re , t ) 2re hkrw 0 .   rD qo  o Bo r qo  o Bo p D reD , t D   0. rD

(71)

Régimen de flujo transitorio Indica que la variación de la presión con respecto al tiempo será variable, lo anterior se expresa matemáticamente de la manera siguiente: p D rD , t D   f t D  . t D

(72)

37

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Solución Fuente Lineal de la Ecuación Adimensional de Difusión para Flujo Radial en un Yacimiento Homogéneo  2 p D (rD , t D ) 1 p D (rD , t D ) p D (rD , t D ) .   rD rD t D rD2

(2)

Condición inicial, distribución uniforme de presión: pD rD ,0  0 ,

(3)

Condición de frontera interna, gasto constante:  p r , t   lim  rD D D D   1 , rD 0 t D  

(4)

Condición de frontera externa, yacimiento infinito: lim  pD rD , t D   0 .

rD 

(5)

Aplicar la transformada de Laplace a la ecuación de difusión adimensional radial:   2 p D (rD , t D )  1  p D (rD , t D )   p D (rD , t D )  L   L   L  2 rD t D rD      rD 

(6)

Para la primera derivada en el espacio:  p (r , t )   Lp D (rD , t D )  d  p D (rD , s) , L D D D   rD drD   rD

(7)

 p (r , t )  dp (r , s) L D D D   D D . drD  rD 

(8)

Análogamente, para la segunda derivada en el espacio:   2 p D (rD , t D )  d 2 p D (rD , s) . L  2 2  r dr D D  

(9)

La primera derivada del tiempo:

38

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

 p (r , t )  L D D D   spD (rD , s)  pD (rD ,0) . t D  

(10)

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la inicial, se obtiene: d 2 pD (rD , s) 1 dpD (rD , s)   spD (rD , s)  pD (rD ,0) , drD2 rD drD

(11)

Al sustituir la condición inicial, la ecuación anterior se reduce a: d 2 p D (rD , s) 1 dp D (rD , s)   sp D (rD , s) , rD drD drD2

(12)

d 2 p D (rD , s) 1 dp D (rD , s)   sp D (rD , s)  0 . rD drD drD2

(13)

Se multiplica la ecuación anterior por rD2 , y se obtiene: rD2

d 2 p D (rD , s) dp (r , s) 2  rD D D  rD sp D (rD , s)  0 . 2 drD drD

(14)

Se define una variable y función de transformación: z  rD s .

(15)

p D rD , s   GD z  ,

(16)

El término, puede expresarse utilizando la regla de cadena, de la forma siguiente: dp D (rD , s) dG z  dz  , drD dz drD

(18)

Se deriva la variable de transformación con respecto a rD y se obtiene: dz  s. drD

(17)

Al sustituir la ecuación 18, en la anterior se obtiene: dp D (rD , s) dG z  .  s drD dz

(19)

39

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Al derivar la ecuación anterior, empleando la regla de la cadena se obtiene: d  dp D (rD , s)  d  dG z       s , drD  drD dz   drD 

(20)

d 2 pD (rD , s) d  dG z   dz d  dG z       s ,  s  s 2 drD  dz  drD drD  dz  drD

(21)

d 2 p D (rD , s) d 2G z  .  s drD2 dz 2

(22)

 

Sustituir la función de transformación, su primera y segunda derivada parcial en la ec inicial:  d 2 G z   dG z  2 rD2  s  rD s GD z   0 ,   rD  s 2 dz    dz 





(23)

Se sustituye la ecuación 16 en la anterior y queda la expresión siguiente: z2

d 2 G z  dG z  2 z  z GD z   0 . 2 dz dz

(24)

La ecuación previa corresponde a una ecuación tipo Bessel modificada, cuya solución tiene la forma: Gz   C1 I 0 z   C2 K 0 z  .

(25)

Substituyendo la variable y la función de transformación







p D rD , s   C1 I 0 rD s  C 2 K 0 rD s

.

(26)

El paso siguiente es aplicar la transformada de Laplace a las condiciones de frontera interna y externa. Para la condición de frontera interna:   p r , t    p r , s   1 L lim  rD D D D   lim  rD D D    , rD 0 r  0 t D t D s  D    

(28)

y para la condición de frontera externa: 40

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello





L lim  p D rD , t D   lim  p D rD , s   0 . rD 

(29)

rD 

Al aplicar la condición de frontera externa a la ecuación 26, se obtiene:

 



 



lim  p D rD , s   C1 lim I 0 rD s  C2 lim K 0 rD s  0 .

rD 

rD 

rD 

(30)

De la gráfica siguiente: Funciones Bessel "Io" y "Ko"

1E+260 1E+210 1E+160 Cuando rD crece, el valor obtenido, evaluando en la función I0 aumenta

1E+110

Ko, Io

1E+60 1E+10 10

100

1000

1E-40 1E-90 Cuando rD crece, el valor obtenido, evaluando en la función K0 tiende a cero

1E-140 1E-190 1E-240 1E-290

rD Ko

Io

Puede concluirse que: 0  C1 valor  C2 0 ,

(30)

Para cumplir la igualdad anterior, se requiere que: C1  0 .

(31)

Se sustituye el valor de la contante C1 en la ecuación 26, y ésta se reduce a:





p D rD , s   C2 K 0 rD s .

(32) 41

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Para aplicar la condición de frontera interna, se requiere derivar la ecuación 32, con respecto a rD : dp D rD , s    sC 2 K1 rD s , drD





(33)

El paso siguiente es multiplicar la ecuación anterior por rD : rD

dp D rD , s    s rD C 2 K1 rD s , drD





(34)

Finalmente, se aplica el límite cuando rD tiende a cero (lo que implica la fuente lineal):  dp r , s   1 lim  rD D D    s rD C 2  lim K1 rD s    . rD 0 rD 0  drD s  

 



(35)

Las funciones Bessel Modificadas con argumentos pequeños pueden aproximarse como: lim K n x   x 0

n

1  x n   , 2 2

(36)

Entonces para x  rD s y n  1:

 

lim K1 rD

rD 0

r 1 s  1 D 2  2

 





lim K1 rD s 

rD 0

1 rD s

s   

1



1 0! 2 , 2 rD s

.

(37) (38)

Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación 35, se obtiene:  1 s rD C 2   rD

 1  , s  s

(39)

Al simplificar se obtiene la constante C 2 : C2 

1 . s

(40) 42

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Se sustituye la ecuación anterior en la 32, y se obtiene la solución acotada en el espacio de Laplace: p D rD , s  





1 K 0 rD s . s

(41)

La transformación a espacio real de la ecuación anterior es la siguiente: 1  rD2 p D rD , t D    Ei  2  4t D

  . 

(42)

Substituyendo las variables adimensionales: 2rhk  pi  pr , t  qBo 

 r2  2 1  rw   Ei  kt 2 4   ct rw2 

   .   

Arreglando: qo Bo  o   ct r 2 pi  pr , t    Ei  4rhk  4kt

 .  

El comportamiento de la presión con la producción es: pr , t   pi 

qo Bo  o   ct r 2 Ei  4rhk  4kt

 .  

(43)

43

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Flujo Radial Transitorio de Aceite en Yacimientos Homogéneos La ecuación de difusión para flujo radial describe el comportamiento de presión en un yacimiento, con un fluido ligeramente compresible y de viscosidad constante:  2 pr , t  1 pr , t   o ct pr , t    r r k t r 2

(1)

Condición inicial, presión uniforme:

pr ,0  pi

Condición de frontera interna, gasto constante:

dprw , t  qo  o Bo  dr 2khrw

Condición de frontera externa, frontera infinita:

lim pr , t   pi r 

La solución, denominada integral exponencial es: pr , t   pi 

  c r 2 qo  o Ei  o t 4kh  4kt

  , 

(2)

La integral exponencial para argumentos en x  0.01 (i.e., para tiempos grandes, distancias pequeñas, capacidad de flujo altas, capacidad de almacenamiento baja, viscosidad baja, como en la vecindad del pozo), puede ser aproximada por:   c r 2 Ei  o t  4kt

  4kt    ln     c r 2 o t  

 ,  

(3)

Donde:  = constante de Euler = 1.78.

Evaluando la presión en el yacimiento en la vecindad del pozo y poco después de la producción se obtiene la presión de fondo fluyendo: prw , t   p wf t  .

(4)

La presión en el pozo en función del tiempo, puede ser aproximado por: 44

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

p wf (t )  pi 

q o  o  4k ln  4kh   o ct rw2

 t  . 

(5)

Las variables de campo que se establecen en la Tabla 1 Valor Variable

Unidad de campo

0.635 rw

pies

590 590 h

pies

0.095 t

Adim.

0.08 S w

Adim.

28  10cf6

psi 1

10

Dens. Ac.

 API

103.8 Rs

pies 3 / bl

3,256 pi

psi

576

psi

pb

1.11 Boi

[email protected]/[email protected].

1.18 Bob

[email protected]/[email protected].

17.1 oi

cp

ob

cp

4

11  10co6

psi 1

2  10c6w

psi 1

28  10cf6

psi 1

45  10ct6

psi 1

1,700 k H

md

700

md

kV

Tabla 1. Valores y unidades de campo de las variables de un yacimiento petrolero, de la formación Brecha.

45

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Variable

Valor

Unidad de campo

rw

0.635

pies

h

590

pies

t

0.115

Adim.

Sw

0.08

Adim.

cf

28  106

psi 1  API

Dens. Ac. 40

Rs

103.8

pies 3 / bl

pi

3,256

psi

pb

180

psi

Boi

2.71

[email protected]/[email protected].

Bob

1.18

[email protected]/[email protected].

oi

17.1

cp

ob

4

cp

co

40 11  10

cw

2  106

psi 1

cf

28  106

psi 1

ct

45  106

psi 1

kH

700

md

kV

700

md

6

psi 1

Tabla2. Valores y unidades de campo de las variables de un yacimiento petrolero. de la formación JSK.

46

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Variable

Valor

Unidad de campo

rw

0.635

pies

h

590

pies

t

0.095

Adim.

Sw

0.08

Adim.

cf

28  106

psi 1

Dens. Ac.

10

 API

Rs

103.8

pies 3 / bl

pi

3,256

psi

pb

576

psi

Boi

1.11

[email protected]/[email protected].

Bob

1.18

[email protected]/[email protected].

oi

17.1

cp

ob

4

cp

co

11  106

psi 1

cw

2  106

psi 1

cf

28  106

psi 1

ct

45  106

psi 1

kH

1,700

md

kV

700

md

Tabla 3. Valores y unidades de campo de las variables de un yacimiento de aceite extrapesado.

47

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Obtener la constante de la Solución logarítmica en unidades Prácticas La solución logarítmica es la siguiente: pwf  pi 

 q  4k ln  t, 2  4kh   ct rw 

Se realiza el análisis dimensional:   L3   M    q     2 T   LT   4k L   M   M     pwf  2   pi  2   ln  t T 2 , 2  LT   LT  4k L hL   M  1  LT  2 2     LT  ct  M  rw L     

 

 

 

Empleando el Sistema Internacional de Unidades, la ecuación previa se reescribe:  m3    q    Pa  s    2 s  4k m   pwf Pa   pi Pa   ln t s  .  1 4k m 2 hm    1 2 2   Pa  s ct   rw m   Pa   

 

 

 

Considere las equivalencias siguientes:  m3   B  q    1.8403  10 6 q  ,  dia   s 

Pa  s  1 103 cp  ,

 

k m 2  9.86923 10 16 k md  ,

hm  3.28h pie  ,



rw2 m  10.7584rw2 pie 2



pPa   9,893 p psi,







ct Pa1  1.451104 ct psi 1



48

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Substituyendo las equivalencias:





 bl  1.8403  10 6 q  1 103  cp   4 9.86923  1016 k md  dia   9,893 p psi  9,893 p psi  ln  16 4 9.86923  10 k md  3.28h pie    cp  6,892 p psi1 10.7584rw2 pie 2 



















 t s   

 m3    q    Pa  s    2 s  4k m   pwf Pa   pi Pa   ln t s   4k m 2 hm  1  1   2 2   Pa  s ct   rw m   Pa   

 

 



p psi  p psi  3.117843  1011



 

 bl  q   cp    k md   dia      ln  5.5242  10 20 t s  k md h pie    cp ct psi 1 rw2 pie 2 



 



Sustituyendo:   lb f  s   pie 2    pie 3  2 2    c r pie q  t w     2    pies   lb    lb   lb   s    pwf   p  E i i 2 2 2 4k pie 2 t s   ´ pie   pie  4k pie h pie      













Simplificando: pwf  pi 

  k  162.6q0 Bo     3.23 log t   log 2  kh   ct rw   

***

49

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Adecuación de Ecuaciones para ser utilizadas en unidades de campo. Considere la Ecuación de Difusión para Flujo Radial en un Yacimiento Homogéneo:  2 pr , t  1 pr , t  1 pr , t  .   r r  t r 2

(A.1)

Al realizar el análisis dimensional, considerando las dimensiones de la difusividad hidráulica como incógnitas, se tiene que:

ML  L ML   X L T 4

1

3

x

y





M z MT 1 L2 ,

se plantean las ecuaciones: L : 4  x  2 ,

T : 0  y 1 , M : 1  z  1;

se obtienen los valores de las incógnitas: x  2 ,

y  1,

z  0.

Por lo que se concluye que las dimensiones de X son:





X  L2T ,

y debido a que: X

1



,

las dimensiones de la difusividad hidráulica son:   L2T 1  .

El análisis dimensional para la difusividad hidráulica y sus parámetros:  L2T 1   k L2  1L3 L3  1M 1LT ct1L 2 M Y M a LbT c ,

50

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

al plantear las ecuaciones se obtiene: M : 0  1  1  a , L : 2  2  3  3 1 2  b T : 1  1  c ;

se obtienen los valores de las incógnitas: a  0,

b 1, c  2 .

Se concluye que las dimensiones de Y son:





Y  LT  2 ,

las anteriores corresponden a las dimensiones de una aceleración, g , que corresponde a la gravedad, por lo que la difusividad hidráulica es igual a:  pie 2    s 







k pie 2  pie  g 2  , 2  lb   pie   s      ct   pie  s   lb 

o bien:  pie2   s  







k pie 2 .  lb  1  s 2   pie 2     ct      pie  s  g  pie   lb 

Cuando la viscosidad considera la aceleración gravitacional es igual a:  lb f  s   lb  1  s 2     pies  s  g  pies  . 2     pies  



Entonces, la difusividad hidráulica se reescribe de la manera siguiente:  pie2    s 







k pie 2 .  lb f  s   pie 2    c  2  t  pie   lb 

51

Producción de yacimientos de aceite M. I. Héctor Pulido Bello

Los factores de conversión de unidades congruentes a unidades de campo son:





k pie 2  1.06235  108 k mD ,  lb f  s   2.08686  10 5  cp  , 2  pies 



 pie 2   pie 2  144 pg 2   pg 2  ct   c  144 c t  t  lb   1 pie 2  .  lb      lb  Sustituyendo los valores anteriores se obtiene:

 pies 2  1.06235  108 k mD  ,  5 1  s   2.08686  10  cp  144ct psi











 pies 2  k mD  3.535  10 6 ,   cp ct psi 1  s 







 pie 2   pie2  86,400s  k mD    0.00264 .       cp ct psi1  día   s   1día 







***

52