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• Julissa Polo

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FLUJO DE UNA PELICULA DESCENDENTE: Este tipo de flujo es aplicable cuando se realiza la concentración de soluciones que se descomponen cuando se hace la ebullición directa. La solución se hace deslizar a través de una superficie y se suministra calor en forma indirecta, generalmente con vapor, y se logra evaporar el agua de la solución, obteniendo un producto de mayor concentración, tal como se observa en el esquema de la figura:

En este esquema, la viscosidad puede considerarse variable, en otras aplicaciones donde no hay intercambio de calor, la viscosidad se considera constante. A continuación, se presenta el esquema de un sistema de concentración por flujo de una película.

El sistema de la película descendente es aplicable con las siguientes suposiciones: a) b) c) d)

Régimen laminar En la interfase sólido fluido, la velocidad del fluido es nula. Las propiedades físicas del sistema permanecen constantes. Los fenómenos de perturbación por efectos finales no se consideran.

Ahora aplicamos el balance de cantidad de movimiento en el esquema de esta figura:

Comenzamos aplicando un balance de cantidad de movimiento z, sobre una envoltura de espesor ∆𝑥 limitada entre z=0 y z=L y que se extiende hasta una distancia w en la dirección Y El balance general de cantidad de movimiento está dado por: [ENTRADA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO – SALIDA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO]+[GENERACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO]= ACUMULACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO] ENTRADA DE CANTIDAD DE 𝐿𝑊𝑇𝑍𝑋 |𝑥 MOVIMIENTO POR TRANSPORTE MOLECULAR O VISCOSO. ENTRADA DE CANTDAD DE (𝑤∆𝑥𝑉𝑍 )(𝜌𝑉𝑍 )|𝑧 = 0 MOVIMIENTO POR TRANSPORTE COVECTIVO. GENERACION DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO POR FUERZA GRAVITACIONAL QUE ACTUA SOBRE EL FLUIDO.

SALIDA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO POR TRANSPORTE MOLECULAR O VISCOSO SALIDA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO POR TRANSPORTE COLECTIVO

𝐿𝑊𝜏𝑧𝑥 |𝑥 + ∆𝑥

(𝑊∆𝑋 𝑉𝑧 )(𝜌𝑉𝑍 )|𝑧 = 𝑙

(𝐿𝑊∆𝑋)(𝜌𝑐𝑜𝑠𝛽)

La entrada y salida de cantidad de movimiento se debe a dos contribuciones: el convectivo o global, y el molecular o viscoso. La generación de cantidad de movimiento se debe a las fuerzas superficiales o de presión, y las fuerzas volumétricas o corporales. En esta primera parte del curso, presentamos dicho balance en régimen estacionario, por lo cual, el miembro derecho de la ecuación de balance general de movimiento es igual a 0 . Las fuerzas de presión no están presentes en este sistema, debido a que ambos extremos están abiertos a la atmosfera. Entonces tenemos la ecuación: 𝐿𝑊𝜏𝑋𝑍 ⌊𝑥

− 𝐿𝑊𝜏𝑋𝑍 |𝑥 + ∆𝑥

+ 𝑊∆𝑥𝜌𝑉𝑧2 |𝑧 = 0 − 𝑊∆𝑥𝜌𝑉𝑧2 |𝑧 = 𝑙 + 𝐿𝑊∆𝑥𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 = 0

Debido a que el flujo de masa es constante, el termino correspondiente al transporte convectivo, también lo es, por lo cual, se elimina el balance de cantidad de movimiento. Luego la ecuación se reduce a :

𝐿𝑊𝜏𝑋𝑍 ⌊𝑥 −𝐿𝑊𝜏𝑋𝑍 |𝑥 + ∆𝑥 + 𝐿𝑊∆𝑥𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 = 0

El caudal o flujo volumétrico se obtiene mediante: 𝑊𝜹

𝑄 = ∬ 𝐕𝐳(𝐗) 𝑑𝑥𝑑𝑦 00

La fuerza de rozamiento en la pared se calcula mediante: 𝛛𝐯

FZ = −𝜇 𝛛𝐯𝐳|

𝐿𝑊 = −𝜏𝑔𝜹𝒄𝒐𝒔𝛽𝐿𝑊

𝐿𝑊𝜏𝑋𝑍 |𝑥 = 0

𝐳 x=0

ó 𝐿

𝛛𝐯

𝑊

𝐿

𝑊

FZ = ∫0 ∫0 −𝜇 𝛛𝐯𝐳 | 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = ∫0 ∫0 𝜏𝑋𝑍 |𝑥 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = −𝜌𝑔𝜹𝒄𝒐𝒔𝛽𝐿𝑊 𝐳 x=0 En el siguiente gráfico consideramos el eje de referencia en sentido opuesto, es decir, en dirección de la transmisión de la cantidad de movimiento por difusión molecular.

Esquema tridimensional de la película con nuevos ejes de referencia, en dirección a la transmisión de la cantidad de movimiento. X=0 ,

𝛛𝐯𝐳 𝛛𝐯𝐳

X= 𝜹 , VZ=0 

Derivando la siguiente ecuación:

VZ= −  𝛛𝐯𝐳 𝛛𝐯𝐳



𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 2𝜇

x2 + C1 + C2

Obteniendo:

= −

𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 2𝜇

Usando (a):

C1

+ C1

(a) (b)



C2 =

Usando (b):

𝜌𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 2𝜇

𝜹2

Lo cual permite conseguir el perfil de velocidad: 𝑉𝑧 = −

𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∗ 𝑥 2 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∗ 𝛿 2 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∗ 𝛿 2 𝑥 + = [1 − ( )2 ] 2𝜇 2𝜇 2𝜇 𝛿

Usando esta ecuación se obtiene el caudal: 𝛿

𝑄=∬ 0

𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∗ 𝛿 2 𝑥 2 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∗ 𝛿 3 ∗ 𝑤 [1 − (( ) )] 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 2𝜇 𝛿 3𝜇