• Author / Uploaded
• Brishely Luis Conde

Citation preview

FLUJO BIDIMENSIONAL DEL LIQUIDO IDEAL INTRODUCCIÓN En cualquier análisis se introduce una sustancia o un proceso hipotético que permita un tratamiento matemático que produzca resultados de valor práctico. Ya se ha analizado el concepto del continuo. Ahora, se presentan flujos simplificados, los cuales, cuando se utilizan con discreción, permitirán el uso de teorías muy desarrolladas en problemas de interés en ingeniería. FLUJO UNIDIMENSIONAL Es una simplificación en la cual todas las propiedades y características del flujo se suponen como funciones de una sola coordenada espacial y del tiempo. Usualmente, la posición es la localización a lo largo de alguna trayectoria o conducto. Por ejemplo, en la Figura 4.18 se muestra un flujo unidimensional en una tubería, el cual requeriría que la velocidad, la presión, etc., fueran constantes en cualquier sección transversal y en cualquier instante dado y que variaran sólo con s en ese tiempo.

En la realidad el flujo en tuberías y conductos nunca es verdaderamente unidimensional, ya que la velocidad variará en la sección transversal. En la Figura 4.19 se muestran los perfiles de velocidad correspondientes a un flujo unidimensional verdadero y a un caso real. Sin embargo, si la diferencia no es muy grande o si interesan los efectos promedio sobre la sección transversal, puede suponerse que existe un flujo unidimensional. Por ejemplo, en tuberías y ductos este supuesto es usualmente aceptable cuando: 1. La variación de la sección transversal del recipiente no es muy grande. 2. La curvatura de las líneas de corriente no es excesiva. 3. Se sabe que el perfil de velocidad no cambia en forma apreciable a lo largo del ducto.

FLUJO BIDIMENSIONAL Se distingue por la condición de que todas las propiedades y caracteristicas del flujo son funciones de dos coordenadas cartesianas, por ejemplo X, y Y el tiempo; por consiguiente, no cambian a lo largo de la dirección z en un instante dado. Todos los planos perpendiculares a la dirección z tendrán, en el instante dado, el mismo patrón de líneas de corriente. El flujo alrededor de un perfil de una ala de relación de forma infinita o el flujo sobre una presa de longitud infinita y sección transversal uniforme son ejemplos matemáticos de flujos bidimensionales. En realidad, se supone un flujo bidimensional para la mayor parte de los problemas de alas y de presas, y se hacen “correcciones en los extremos” para modificar los resultados en forma apropiada.

Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las párticulas fluidas se mueven en planos o en planos paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada plano. Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tienen lugar movimientos rotatorios de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD En coordenadas cartesianas se considera el volumen de control elemntal dX, dY, dZ, con centro en el punto P (X, Y, Z).

En el punto P ocurren los valores ρ y v como funciones de punto y del tiempo.

Se puede aplicar la ecuación: ❑

−δρ dX dY dZ=∫ ρ ´v . d A´ δt sc El segundo mienbro, en la dirección X:

[

¿ ρ V X+

]

[

]

δ dX δ dX ( ρV X ) dY dZ− ρ V X − ( ρ V X ) dY dZ δX 2 δX 2

¿

δ ( ρV X ) dX dY dZ δX

En las otras dos direcciones se obtienen expresiones análogas, por lo que el caudal neto de masa que sale es:

¿

[

]

δ δ δ ρ V X )+ ρ V Y ) + ( ρV Z ) dX dY dZ ( ( δX δY δZ

Reemplazando y simplificando:

δ δ δ −δρ ρV X ) + ρ V Y )+ ( ρ V Z )= ( ( δX δY δZ δt ¿ . ρ ´v =

−δρ δt

Que es la expresión de la ecuación de continuidad para flujo compresible e incompresible, permanente y no permanente. Para fluidos incompresibles, como es el caso del líquido ideal:

¿ . ´v =0

FUNCIÓN DE CORRIENTE Como cuestón previa recordemos la definición del gradiente en el plano y sus propiedades. Dada una función escalar en el plano X, Y, tal como α (X, Y), se llama gradiente de la misma el vector cuyas componentes son las derivadas parciales de α:

grad α =

δα ´ δα ´ i+ j δX δY

Sus propiedades son: 1. El grad. α es normal a las líneas α = constante. 2. El módulo de grad. α es la derivada de α según la normal a las líneas α = constante.

|grad α|=

δα δn

3. El sentido de grad. α es el que corresponde a las α crecientes. Se puede suponer un liquido incompresible en movimiento bidimensional, pemanente, que se desarrolla en planos perperdiculares al eje Z, de modo que su estudio puede hacerse en el plano XY. Se puede considerar luego una familia de LC., las que no cambiarán con el tiempo por tratarse de un movimiento permanente.

La ecuación de estas LC. es:

dX dY = V X VY Y se puede considerar que la familia de LC. viene definida por una cierta función escalar ψ (X, Y) que se denomina función de corriente, con un valor constante diferente para cada LC.

ψ ( X ,Y ) =cte .

En el punto P, sobre una LC, los tres vetores indicados en la figura sin normales entre sí, de modo que se cumple:

V´ =grad ψ x k´

Siendo las componentes de

|

i δψ V= δX 0

V X=

δψ δY

VY=

−δψ δX

j δψ δY 0

V´

:

|

k δψ δψ ´ δψ ´ = i− j δX δZ δY 1

Y en coordenadas polares:

r’, θ’ ….. vectores unitarios.

|

r´ ' δψ V= δr 0

V r=

θ´ ' δψ δ θn 0

|

k´ δψ δψ ´ δψ ´ = r'− θ' δZ δ θ n δr 1

δψ dψ dψ 1 δψ = = = δ θn δ θn rdθ r δθ

V θ=

−δψ δr

Por otra parte, si n es la dirección normal a la LC genérica ψ.

|grad ψ|=

δψ δn

|grad ψ|=V De modo que:

δψ =V δn dψ=V dn Gasto que pasa entre dos LC ψ y ψ + dψ, por unidad de ancho poerpendicular al papel. Es decir:

2

q=[ ψ ]1 =ψ 2−ψ 1

FUNCIÓN POTENCIAL El estudio del flujo plano es posible sólo si se cumple que el campo de velocidades es un campo potencial, es decir un campo en el que existe una función escalar φ, llamada función potencia, tal que:

V´ =−grad φ Se puede mostrar con facilidad que rot

V´ =0 , es decir que si el campo de

velocidades es potencial es irrotacional, lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo irrotacional.

De la definición de funcion potencial se desprende que las componentes de

V X=

−δφ δX

VY=

−δφ δY

V´

son:

Y en coordenadas polares:

V r=

−δφ δr

V θ=

−1 δφ r δθ

Y tambiém que se cumple:

δφ =−V δs Siendo s la dirección normal a las líneas φ = cte, llamadas líneas equipotenciales. Puesto que las direcciones s y n son normales entre sí, las líneas de corriente y las líneas equipotenciales son ortogonales entre sí.