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PROBLEMA N° 27 Considerando que solo existe perdida de carga por fricción, calcular la diferencia de elevación entre dos reservorios distantes 1,000m, por donde circula 31 l/s de aceite pesado a través de la tubería de 6’’ que los comunica. La viscosidad cinemática es 𝑣 = 2.6 𝑐𝑚/𝑠 SOLUCIÓN Tomando Bernoulli entre A y B: 0+0+h= 0+0+f 𝐿 𝑉2

h = f 𝐷 . 2𝑔 donde:

𝐿 𝑉2 . 𝐷 2𝑔

…………….. (1)

𝐿 = 1,000 𝑚 𝐷 = 6′′ = 0.1524 𝑚

V=

El N° de Reynolds será:

𝑄 0.031 =𝜋 = 1.70 𝑚/𝑠 2 𝐴 (0.1524) 4 𝑁𝑅 =

𝑉.𝐷 𝑣

=

170∗15.24 2.6

𝑁𝑅 = 1,000 < 2,000 ∴𝑓=

64 64 = = 0.064 𝑁𝑅 1,000

Reemplazando valores en (1): 1,000 1.072 ℎ = 0.064 ∗ 0.1524 19.6 𝒉 = 𝟔𝟏. 𝟖𝟎 𝒎

PROBLEMA N° 28 Entre los puntos A (cota +40 m) y B (cota +44 m) distantes 1km, fluye un aceite a través de una tubería de 6’’ de diámetro. La presión en A es de 200 𝑙/𝑝𝑢𝑙𝑔2 y en B de 0.3 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . La viscosidad cinemática del aceite es 3.5 stokes y la gravedad especifica 0.92. Calcular el gasto. SOLUCIÓN La presión en A: 200 𝑝𝑠𝑖 = 14.1 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 = 141 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 P𝐴 141 = = 153.26 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑊 0.92 La presión en 𝐵 = 0.3 𝑘𝑔⁄𝑐𝑚2 = 3 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 P𝐵 3 = = 3.26 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒 𝑊 0.92

Tomando Bernoulli entre A y B: 𝑉2 2𝑔

+ 153.26 + 40 =

𝑉2 2𝑔

+ 3.26 + 44 + ℎ𝑓

Obteniendo una pérdida de carga:

ℎ𝑓 = 146 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑖𝑡𝑒

Suponiendo que el flujo es laminar, por la ecuación de Pousauille Hagen tendremos que:

ℎ𝑓 = El gasto será:

146 𝑔𝐷2 146𝑥9.80 (0.1524)2 = = 2.96 𝑚/𝑠 32 𝑉. 𝐿 32𝑥3.5𝑥10−4 𝑥1,000

𝑄 = 𝑉. 𝐴 = 2.96

𝜋(0.1524)2 4

𝑸 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟑𝟗 𝒎𝟑 /𝒔 Verifiquemos si el flujo es laminar: 𝑁𝑅 =

𝑉.𝐷 𝑣

=

296∗15.24 3.15

Obtenemos : 𝑁𝑅 = 1,290 < 2,000, por lo tanto los cálculos anteriores son correctos.

PROBLEMA N° 33 Una bomba impulsa 2000 barriles de petróleo por hora a través de una tubería de acero remachado (℮ = 0.005) de 20’’ de diámetro y 5000 m de longitud con una carga estática de 25 m la temperatura de la zona es 40 °C, correspondiéndole al petróleo una viscosidad de 0.2 poises. La misma bomba deberá emplearse en otra región donde la temperatura es de 0°C (𝜇 = 2.2 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒𝑠) para impulsar 2500 barriles de petróleo por hora a través de un oleoducto de 3000 m de longitud con una carga estática de 21.5 m, La densidad relativa del petróleo puede tomarse en ambos casos igual a 0.8. Calcular el diámetro del segundo oleoducto que será de acero remachado y fabricado de acuerdo al diámetro especificado. SOLUCIÓN El gasto que circula: 𝑄=

2,000𝑥0.159 3,600

𝑄 = 0.0883 𝑚3 /𝑠 La potencia de la bomba: 𝑃𝑜𝑡. = 𝑤. 𝑄. 𝐻 o Pot. = w. Q(h + ℎ𝑓 ) …………… (1) Como: 𝐿 𝑉2

𝑄

0.0883

ℎ𝑓 = f 𝐷 . 2𝑔 ; donde: V = 𝐴 = 0.2027 = 0.435 𝑚/𝑠 L = 5000 m ; 𝐷 = 0.508 𝑚. Siendo 𝑓 función del 𝑁𝑅 y la RR. 𝑁𝑅 =

𝜌. 𝑉. 𝐷 0.8 ∗ 43.5 ∗ 50.8 = = 8840 𝑣 0.2 𝑅𝑅 =

𝑒 0.005 = = 0.01 𝐷 0.508

Con estos valores, el grafico de Moody da: f = 0.044 5000(0.435)2 ∴ ℎ𝑓 = 0.044 = 4.19 𝑚. 0.508𝑥19.6

Reemplazando valores en (1): 𝑃𝑜𝑡. = 800 𝑥 0.0883 (25 + 4.19) = 2061.9 𝑘𝑔 − 𝑚/𝑠

Para la segunda tubería: 𝑄1 =

2500𝑥0.159 = 110 𝑙/𝑠 3600

La misma bomba, luego: 𝑃𝑜𝑡. = 𝑤. 𝑄1 . 𝐻1 𝐻1 =

𝑃𝑜𝑡. 2060 = = 23.40 𝑚. 𝑤. 𝑄1 800𝑥0.110

Como: 𝐻1 = ℎ1 + ℎ𝑓′ ℎ𝑓′ = 𝐻1 − ℎ1 ℎ𝑓′ = 23.40 − 21.50 = 1.90 𝑚. 𝑉2

𝐿

1 Se puede escribir: ℎ𝑓′ = f 𝐷1 . 2𝑔 = 1.90 ………… (2) 1

Desde:

𝑄

𝐿1 = 3000 𝑚 ; 𝐷1 =? ; 𝑓 =? ; 𝑉1 = 𝐴

Asumiendo: 𝐷1 = 0.50 𝑚 𝑉1 = 𝑁𝑅 =

0.110 = 0.56 𝑚/𝑠 0.196

0.8 ∗ 56 ∗ 50 = 1,010 < 2,000 2.2

∴𝑓=

64 64 = = 0.0628 𝑁𝑅 1,010

Reemplazando valores en (2): ℎ𝑓′ = 6.2 < 1.9 Asumiendo 𝐷1 = 0.60 𝑚.

0.110 = 0.39 𝑚/𝑠 0.2827

𝑉1 = 𝑁𝑅 =

0.8 ∗ 39 ∗ 60 = 850 < 2,000 2.2

∴𝑓=

64 64 = = 0.0752 𝑁𝑅 850

Reemplazando valores en (2): ℎ𝑓′ = 2.92 < 1.9 Asumiendo 𝐷1 = 0.70 𝑚. 𝑉1 =

0.110 = 0.286 𝑚/𝑠 0.3848

𝑁𝑅 =

0.8 ∗ 28.6 ∗ 70 = 727 2.2

∴𝑓=

64 64 = = 0.088 𝑁𝑅 727

Reemplazando valores en (2): ℎ𝑓′ = 1.56 < 1.9 Graficamos ℎ𝑓′ con 𝐷1 : Entrando con ℎ𝑓′ =1.9 obtenemos: 𝑫𝟏 = 𝟎. 𝟔𝟓 𝒎

PROBLEMA N° 34 La presión manométrica en el punto A del oleoducto que se muestra en la figura es de 3.3 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 . Calcular la descarga de este oleoducto sabiendo que transporta petróleo de 0.07 poises y 0.75 de gravedad específica y que toda la tubería es de fierro galvanizado. SOLUCIÓN La presión en A será: ℎ=

𝑃𝐴 3.3𝑥10 = = 44 𝑚 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒𝑜 𝑤 0.75

Para el primer tramo: 𝑉 2

𝐿

𝐼 ℎ𝐼 = f 𝐷𝐼 . 2𝑔 …………… (1) 𝐼

𝐿

ℎ𝐼𝐼 = f 𝐷𝐼𝐼 . 𝐼𝐼

𝑉𝐼𝐼 2 2𝑔

……………(2)

Donde: ℎ = ℎ𝐼 + ℎ𝐼𝐼 = 44 𝑚 Rugosidad relativa para el primer tramo: 𝑅𝑅 =

0.00015

Rugosidad relativa para el segundo tramo: 𝑅𝑅 =

0.254

= 0.0006

0.00015 0.1524

= 0.0001

Asumiendo: 𝑉𝐼 = 1.0 𝑚/𝑠 𝑁𝑅 =

0.75 ∗ 100 ∗ 25.4 = 27200 0.07

El grafico de Moody da: 𝑓1 = 0.0258 Reemplazando valores en (1), donde: 𝐿1 = 2,000 𝑚 y 𝐷𝐼 = 10′′ = 0.254 𝑚 ℎ1 = 10.35 𝑚 𝑉𝐼𝐼 = (

10 2 ) 𝑥1.0 = 2.78 𝑚/𝑠 6 𝑁𝑅 =

0.75 ∗ 278 ∗ 15.24 = 45,400 = 45400 0.07

El grafico de Moody da: 𝑓𝐼𝐼 = 0.022 Reemplazando valores en (2), donde: 𝐿𝐼𝐼 = 1,500 𝑚 y 𝐷𝐼𝐼 = 6′′ = 0.152 𝑚

ℎ𝐼𝐼 = 85.50 𝑚 ℎ𝐼 + ℎ𝐼𝐼 = 95.85 𝑚 < 44𝑚. Asumiendo : 𝑉𝐼 = 0.5 𝑚/𝑠 𝑁𝑅 =

0.75 ∗ 50 ∗ 25.4 = 1,360 < 2,000 0.07 ∴𝑓=

64 64 = = 0.047 𝑁𝑅 1,360

Reemplazando valores en (1): ℎ1 = 4.72 𝑚 𝑉𝐼𝐼 = (

10 2 ) 𝑥0.5 = 1.39𝑚/𝑠 6 𝑁𝑅 =

0.75 ∗ 139 ∗ 15.24 = 22,650 0.07

El grafico de Moody da: 𝑓𝐼𝐼 = 0.0255 Reemplazando valores en (2): ℎ𝐼𝐼 = 24.68 𝑚 ℎ𝐼 + ℎ𝐼𝐼 = 29.40 𝑚 < 44𝑚. Asumiendo : 𝑉𝐼 = 0.6 𝑚/𝑠 𝑁𝑅 =

0.75 ∗ 60 ∗ 25.4 = 1,630 < 2,000 0.07 ∴𝑓=

64 64 = = 0.0393 𝑁𝑅 1,630

Reemplazando valores en (1): ℎ1 = 5.65 𝑚 𝑉𝐼𝐼 = (

10 2 ) 𝑥0.6 = 1.67𝑚/𝑠 6 𝑁𝑅 =

0.75 ∗ 167 ∗ 15.24 = 27,300 0.07

El grafico de Moody da: 𝑓𝐼𝐼 = 0.0245 Reemplazando valores en (2): ℎ𝐼𝐼 = 34.35 𝑚 ℎ𝐼 + ℎ𝐼𝐼 = 40 𝑚 < 44𝑚. Graficando h con 𝑉𝐼 : Entrando con ℎ = 44𝑚, hasta intersecar a la curva, bajamos y obtenemos: 𝑉𝐼 = 0.63 𝑚/𝑠 La descarga será: 𝑄 = 𝑉𝐼 . 𝐴𝐼 𝜋 𝑄 = 0.63 (0.254)2 4 𝑸 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝟗 𝒎𝟑 /𝒔

PROBLEMA N° 57 Una tubería de hierro fundido de 18’’ está descargando 0.150 𝑚3 /𝑠. En un punto situado a 400 m aguas abajo dl reservorio de alimentación, el centro de la tubería se halla 20 m por debajo del nivel de la superficie libre del reservorio. ¿Qué presión en libras/pulg2 deberá esperarse en dicho punto? Calcular el problema por la fórmula de Darcy.

SOLUCIÓN Tomando Bernoulli entre A y B: 𝑉2

0 + 0 + 20 = 2𝑔 + 𝑄

Donde: 𝑉 = 𝐴 = 𝜋 4

𝑃𝐵 𝑤

400

𝑉2

𝑉2

+ 0 + 𝑓 0.4572 ∗ 2𝑔 + 0.5 2𝑔 ……. (1)

0.150

0.150

(0.4572)2

= 0.1642 = 0.915 𝑚/𝑠

En la Tabla N°1, con esta velocidad y D=18’’, f= 0.0186 Reemplazando valores en (1): ∴ 20 =

0.9152 𝑃𝐵 400 0.9152 + + (0.00083 + 0.5) 19.6 𝑤 0.4572 19.6 20 = 0.043 +

𝑃𝐵 = 0.717 𝑤

Del cual: ∴

𝑃𝐵 = 19.24 𝑚 = 1.924 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑤

En libras por pulgada cuadrada: 𝑷𝑩 = 𝟐𝟕. 𝟒 𝒑. 𝒔. 𝒊 𝒘

PROBLEMA N° 58 Usando la fórmula de Schoeder, resolver el problema anterior SOLUCIÓN Usando la fórmula de Schoeder, categoría II, (perdida de carga por rozamiento), se tendrá en el Bernoulli de A con B. 0 + 0 + 20 =

𝑉 2 𝑃𝐵 400𝑉 1.85 𝑉2 + + 0 + 0.00083 + 0.5 2𝑔 𝑤 0.45721.25 2𝑔

𝑄

Donde: 𝑉 = 𝐴 = 0.915 𝑚/𝑠 0.9152 𝑃𝐵 400(0.915)1.85 0.9152 ∴ 20 = + + 0.00083 + 0.5 19.6 𝑤 0.45721.25 19.6 20 = 0.043 +

𝑃𝐵 400 ∗ 0.848 + 0.00083 + 0.0215 𝑤 0.375

20 = 0.043 + ∴

𝑃𝐵 + 0.7505 + 0.0215 𝑤

𝑃𝐵 = 19.185 𝑚 = 1.9185 𝑘𝑔/𝑐𝑚2 𝑤

En libras por pulgada cuadrada: 𝑷𝑩 = 𝟐𝟕. 𝟐 𝒑. 𝒔. 𝒊 𝒘

PROBLEMA N° 59 Si la bomba mostrada en la figura desarrolla 200 H.P. cuando el flujo de agua en el sistema es de 120 l/s, calcular a que elevación puede ubicarse el reservorio. SOLUCIÓN Aplicando Bernoulli entre A y E: 𝑉𝐸 2 𝑃𝐸 8 𝑉𝐸 2 𝑉𝐸 2 + +𝑓 ∗ + 0.5 2𝑔 𝑤 0.4064 2𝑔 2𝑔

100 − 92 = Donde 𝑉𝐸 2 =

𝑄 0.12 =𝜋 = 0.923 𝑚/𝑠 2 𝐴 (0.4064) 4

Con esta velocidad y D=16’’, la Tabla N°1 da: 𝑓 = 0.019 Luego: 8=

0.9232 𝑃𝐸 8 0.9232 0.9232 + + 0.019 ∗ + 0.5 19.6 𝑤 0.4064 19.6 19.6

Obtenemos: 𝑃𝐸 = 8 − 0.08 = 7.92 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤 Sabemos que: 𝑃𝑜𝑡. 𝐵𝑜𝑚𝑏𝑎 =

𝑤.𝑄 75

(𝐵𝑆 − 𝐵𝐸 )

Luego: 200 =

1000𝑥0.120 𝑉𝑆 2 75

( 2𝑔 +

𝑃𝑆 𝑤

−

𝑉𝐸 2 2𝑔

−

𝑃𝐸 𝑤

) ……………… (1)

Donde: 16

𝑉𝐸 = 0.923 𝑚/𝑠 ; 𝑉𝑆 = 0.923(14)2 = 1.21 𝑚/𝑠 Reemplazando la presión del punto S: 𝑃𝑆 = 132.90 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑤 Tomando Bernoulli entre S y P:

𝑉𝑆 2 𝑃𝑆 𝑉𝑃 2 1000 𝑉𝑆 2 𝑉𝑆 2 + + 92 = +𝑦+𝑥−𝑦+𝑓 ∗ + 0.9 2𝑔 𝑤 2𝑔 0.3556 2𝑔 2𝑔 𝑉𝑆 = 𝑉𝑃 = 𝑉 = 1.21 𝑚/𝑠, con D=14’’, la Tabla N°1 da 𝑓 = 0.0186 Luego: 1000 1.212 132.90 + 92 = 𝑥 + (0.0186 + 0.9) 0.3556 19.6 𝒙 = 𝟐𝟐𝟎. 𝟗𝟓 𝒎

PROBLEMA N° 63 Una tubería de 6’’ de diámetro y 80 pies de longitud, parte del fondo de un pozo y descarga a la atmosfera mediante una boquilla de 2’’. La profundidad del agua en el pozo es de 100 pies y la boquilla por la cual descarga esta situada a 120 pies por debajo de la superficie libre en el pozo. Determinar: a) El gasto b) La altura de la velocidad en la tubería y en el chorro c) La altura de la presión a la entrada y salida de la tubería d) Dibujese un esquema mostrando las líneas de altura total, altura piezometrica y elevación del eje de la tubería. (la tubería es de fierro fundido nueva) SOLUCIÓN La tubería es corta porque: 𝐿 80𝑥12 = = 160 𝐷 6 Por tanto, debemos considerar perdidas por accesorios ℎ=

𝑉2 2 2𝑔

𝐿

+𝑓𝐷∗

𝑉1 2 2𝑔

𝑉2

1 + 0.5 2𝑔 …………… (1)

62

Donde, de la ecuación de continuidad: 𝑉2 = 𝑉1 ( 2 ) = 9 𝑉1 Reemplazando valores en (1): 81𝑉1 2 80 𝑉1 2 𝑉1 2 (100 + 20)3048 = +𝑓 ∗ + 0.5 2𝑔 0.5 2𝑔 2𝑔 O 36.6𝑥2𝑔 = (81 + 160𝑓 + 0.5) 𝑉1 2 De donde:

717.3

𝑉1 = √81.5+160𝑓 …………. (2)

Asumiendo : 𝑓 = 0.020

𝑉1 = √

717.3 = 2.91 𝑚/𝑠 81.5 + 160 ∗ 0.02

Con esta velocidad y D=6’’. La Tabla N°1 da 𝑓 = 0.0191

Reemplazando en (1):

𝑉1 = √

717.3 = 2.92 𝑚/𝑠 81.5 + 160 ∗ 0.0191

Que se puede considerar aceptable 𝜋

a) El gasto será: 𝑄 = 𝑉1 ∗ 𝐴1 = 2.92 4 (0.1524)2 𝑸 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟑𝟏 𝒎𝟑 /𝒔 b) En la tubería : ℎ=

𝑉1 2 2.922 = = 0.435 𝑚 2𝑔 19.6

En el chorro: ℎ=

𝑉1 2 (9 ∗ 2.92)2 = = 35.2 𝑚 2𝑔 19.6

c) Tomando Bernoulli entre un punto de la superficie del reservorio y donde comienza la boquilla de 2’’: 2.922 𝑃 80 2.922 + + (0.0191 + 1) 19.6 𝑤 0.5 19.6 8.526 𝑃 36.6 𝑚 = (0.5 + 3.06 + 1) + 19.6 𝑤 𝑷 = 𝟑𝟒. 𝟔 𝒎 𝒅𝒆 𝒂𝒈𝒖𝒂 𝒘

120𝑥0.3048 = 0.5

Tomando Bernoulli entre la superficie libre y la entrada de la tubería: 2.922 𝑃𝐼 2.922 100𝑥0.3048 = 0.5 + + 19.6 𝑤 19.6 8.526 𝑃𝐼 30.48 = 1.5 + 19.6 𝑤 𝑷𝑰 = 𝟐𝟗. 𝟗 𝒎 𝒅𝒆 𝒂𝒈𝒖𝒂 𝒘

PROBLEMA N° 64 Una tubería de 6’’ de diámetro y 80 pies de longitud, parte del fondo de un pozo y descarga a la atmosfera mediante una boquilla de 2’’. La profundidad del agua en el pozo es de 100 pies y la boquilla por la cual descarga está situada a 120 pies por debajo de la superficie libre en el pozo. Determinar: a) El gasto b) La altura de la velocidad en la tubería y en el chorro c) La altura de la presión a la entrada y salida de la tubería d) Dibujese un esquema mostrando las líneas de altura total, altura piezometrica y elevación del eje de la tubería. (la tubería es de fierro fundido nueva) SOLUCIÓN