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• Renzo Abel Zevallos Benavente

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FLEXOCOMPRESION BIAXIAL Las columnas en las esquinas de los edificios son miembros a compresión que están sujetas a flexión biaxial en el eje X y Y. La flexión biaxial también se presenta en el desbalance de las cargas en los claros adyacentes y casi siempre en los pilares de los puentes.

FLEXION BIAXIAL: Es el esfuerzo resultante de la aplicación de una carga, no alineada a ninguno de los ejes, sobre una columna.

METODO DE LAS CARGAS INVERSAS Ecuación de la carga inversa BRESLER 1 1 1 1 = + + 𝑃𝑛 𝑃𝑛𝑥𝑜 𝑃𝑛𝑦𝑜 𝑃𝑜 Pn = la carga axial ultima bajo compresión Pnx = la carga axial ultima cuando la excentricidad ex está presente Pny = la carga axial ultima cuando la excentricidad ey está presente Po = cuando no hay excentricidad (compresión pura)

Pn ≥ 0.1Po

Pu

Mux

Muy

√

√

√

características de la sección B

Fy

H

f’c

R 𝑃𝑛 = Ø ∗ 𝑓 ′ 𝑐 ∗ (𝐴𝑔 − 𝐴𝑠𝑡) + 𝐴𝑠𝑡 + 𝑓𝑦 𝐴𝑠𝑡 = 𝜌 ∗ 𝑔 ∗ 𝑏 ∗ ℎ 𝑀𝑑𝑥 =

𝑀𝑢𝑥 Ø

EJEMPLOS EJEMPLO 1 Diseñar una columna rectangular de hormigón de 50cm x 30 cm sometida a una carga axial ultima Pu de 107 Tn, a un momento flector ultimo Muy (alrededor del eje y) de 11 Tn-m en la dirección de los 30 cm, y a un momento flector ultimo Mux (alrededor del eje x) de 13 Tn-m en dirección de los 50 cm. El hormigón tiene una resistencia característica de 280 Kg/cm2 y un esfuerzo de fluencia de 4200 Kg/cm2.

Se determina el ángulo de posición del vértice con relación al eje x: 𝑇𝑔(𝑏) =

25 𝑐𝑚 = 1.667 15 𝑐𝑚

𝑏 = 59.04° Se determina el momento flector último resultante: 𝑀𝑢 = √𝑀𝑢𝑥 2 + 𝑀𝑢𝑦 2 𝑀𝑢 = √(13 𝑇𝑛 − 𝑚)2 + (11 𝑇𝑛 − 𝑚)2 = 17.03 𝑇𝑛 − 𝑚

Se determina el ángulo de acción del momento flector resultante con relación al eje x: 𝑇𝑔(𝑎) =

13 𝑇𝑛 − 𝑚 = 1.182 11 𝑇𝑛 − 𝑚 𝑎 = 49.76°

El ángulo obtenido está comprendido entre 0° y 59.04°, por lo que para la interpolación se requieren las cuantías de armado para esos ángulos de flexión. Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interacción a 0°: 𝑥=

𝑓 ′𝑐

𝑦=

𝑀𝑢 1703000 𝐾𝑔 − 𝑐𝑚 = = 0.135 2 𝐾𝑔 ∗𝑏∗𝑡 (280 2 )(50 𝑐𝑚)(30 𝑐𝑚)2 𝑐𝑚

𝑓 ′𝑐

𝑃𝑢 107000 𝐾𝑔 = = 0.255 ∗ 𝑏 ∗ 𝑡 (280 𝐾𝑔 )(50 𝑐𝑚)(30 𝑐𝑚) 𝑐𝑚2

Se calcula el momento flector resultante: 𝑀𝑢 = √𝑀𝑢𝑥 2 + 𝑀𝑢𝑦 2 𝑀𝑢 = √(13 𝑇𝑛 − 𝑚)2 + (11 𝑇𝑛 − 𝑚)2 = 17.03 𝑇𝑛 − 𝑚 Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interacción con flexión diagonal (59.04° para esta columna rectangular), que consideran la capacidad resistente en las dos direcciones principales: 𝑀𝑢

𝑥=

𝑓 ′𝑐 ∗ 𝑦=

3 𝑏2

𝑓 ′𝑐

∗

3 𝑡2

=

1703000 𝐾𝑔 − 𝑐𝑚 3 3 = 0.105 𝐾𝑔 (280 2 )(50 𝑐𝑚)2 (30 𝑐𝑚)2 𝑐𝑚

𝑃𝑢 107000 𝐾𝑔 = = 0.255 ∗ 𝑏 ∗ 𝑡 (280 𝐾𝑔 )(50 𝑐𝑚)(30 𝑐𝑚) 𝑐𝑚2

Se calculan los factores de dimensión del núcleo para los ejes principales: 𝑔=

18 𝑐𝑚 = 0.6 30 𝑐𝑚

𝑔=

38 𝑐𝑚 = 0.76 50 𝑐𝑚

Se calcula el factor de dimensión del núcleo para los diagramas de flexión diagonal (a 59.04° para la columna rectangular): 𝑔=

𝑔𝑥 + 𝑔𝑦 = 0.68 ≫ 0.7 2

Se escoge el grafico #65 de los diagramas de interacción de columnas rectangulares definido por f’c=280 Kg/cm2, Fy=4200 Kg/cm2, g=0.6 y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras, así como el grafico #66 de los diagramas de interacción de columnas rectangulares con flexión diagonal, definido por f’c=280 Kg/cm2, Fy=4200 Kg/cm2, g=0.7 y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras. En el diagrama de interacción a 0°, utilizando x=0.135, y=0.255, se obtiene una cuantía de armado rt=0.033. En el diagrama de interacción (a 59.04° para la presente columna rectangular), utilizando x=0.105, y=0.255, se obtiene una cuantía de armado rt=0.0235. Interpolando para 49.76° se tiene: 𝜌𝑡 = 0.033 + (0.0235 − 0.033) ∗

49.76° = 0.0250 59.04°

rt es mayor a la cuantía mínima en columnas (rmin=0.01), e inferior a la cuantía máxima en zonas sísmicas (rmin=0.06). Además una cuantía de armado de 2.50% es aceptable para nuestro medio, desde un punto de vista económico. Es importante notar que la cuantía de armado requerida para esta columna rectangular es menor que la cuantía de armado requerida en la dirección débil a 0° (0.0235 < 0.033), debido a la importancia de la dimensión de la columna en la dirección y (50 cm) comparada con la dimensión en la dirección x (30 cm), que mejora la capacidad resistente diagonal. Así mismo, por el motivo antes expuesto, si el momento actuara solamente en la dirección y, mucho más resistente, la cuantía de armado seria aún menor que las dos cuantías anteriores (rt=0.004). La sección transversal de acero requerida es: 𝐴𝑠 = 𝑟𝑡 ∗ 𝑏 ∗ 𝑡 = 0.0250 ∗ (50 𝑐𝑚) ∗ (30 𝑐𝑚) 𝐴𝑠 = 37.50 𝑐𝑚2 Se escogen 12 varillas de 20 mm, que proporcionan 37.68 cm2 de sección transversal.

EJEMPLO 2 Diseñar una columna cuadrada de hormigón armado de 50 cm x 50 cm, que debe resistir una carga axial ultima Pu de 178 Tn, un momento flector ultimo Muy (en la dirección del eje x, y alrededor del eje y) de 37 Tn-m y un momento flector ultimo Mux (en la dirección del eje y, y alrededor del eje x) de 22 Tn-m. la resistencia del hormigón f’c es de 280 Kg/cm2; el esfuerzo de fluencia del acero Fy es 4200 Kg/cm2.

Se escoge el tipo de distribución tentativa de las varillas de acero:

Se calcula el factor de dimensión del núcleo de la columna: 𝑔=

38 𝑐𝑚 = 0.76 @ 0.8 50 𝑐𝑚

El momento flector resultante se obtiene sumando vectorialmente los momentos flectores en la dirección de los ejes coordenados principales ortogonales. 𝑀𝑢 = √𝑀𝑢𝑥 2 + 𝑀𝑢𝑦 2 𝑀𝑢 = √(22 𝑇𝑛 − 𝑚)2 + (37 𝑇𝑛 − 𝑚)2 = 43.05 𝑇𝑛 − 𝑚

Se calcula el ángulo que forma el momento flector último resultante con relación al eje x: 𝑇𝑔(𝑎) =

𝑀𝑢𝑥 22 𝑇𝑛 − 𝑚 = = 0.595 𝑀𝑢𝑦 37 𝑇𝑛 − 𝑚

𝑎 = 30.74° Con la carga axial ultima y el momento flector último resultante se determinan los coeficientes de entrada a las curvas de interacción adimensionales. 𝑀𝑢

𝑥=

𝑓 ′𝑐 ∗ 𝑦=

3 𝑏2

𝑓 ′𝑐

∗

3 𝑡2

=

4305000 𝐾𝑔 − 𝑐𝑚 3 3 = 0.123 𝐾𝑔 (280 2 )(50 𝑐𝑚)2 (50 𝑐𝑚)2 𝑐𝑚

𝑃𝑢 178000 𝐾𝑔 = = 0.254 ∗ 𝑏 ∗ 𝑡 (280 𝐾𝑔 )(50 𝑐𝑚)(50 𝑐𝑚) 𝑐𝑚2

Se escoge el grafico #7 de los diagramas de interacción de columnas rectangulares y el grafico #7de los diagramas de interacción de columnas rectangulares con flexión diagonal, los que están definidos por f’c=280 Kg/cm2, Fy=4200 Kg/cm2, g=0.8 y 20 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras. En el diagrama de interacción a 0° se obtiene una cuantía de armado rt=0.0175. En el diagrama de interacción a 45° se obtiene una cuantía de armado rt=0.025. Es importante notar, que en esta columna cuadrada, el armado requerido a 45° es superior en un 43% al armado requerido a 0°. Interpolando linealmente entre 0° y 45°, para 30.74°, se tiene: 𝜌𝑡 = 0.0175 + (0.025 − 0.0175) ∗

30.74° = 0.0226 45°

rt es mayor a la cuantía mínima en columnas (rmin=0.01), e inferior a la cuantía máxima en zonas sísmicas (rmin=0.06). Además una cuantía de armado cumple criterios de economía. La sección transversal de acero requerida es: 𝐴𝑠 = 𝑟𝑡 ∗ 𝐴𝑔 = 0.0226 ∗ (50 𝑐𝑚) ∗ (50 𝑐𝑚) = 56.50 𝑐𝑚2 La distribución escogida inicialmente determina que se requerirán 12 varillas de hierro esquineras de 20 mm y 8 varillas centrales de 18 mm de diámetro, lo que proporciona 58.00 cm2 de sección transversal de acero.

Para mejorar la capacidad resistente de las columnas a flexocompresion biaxial, es preferible colocar los hierros de mayor diámetro en las esquinas. Las investigaciones han demostrado que los gráficos de flexocompresion diagonal dan los mejores resultados para columnas cuadradas, y proporcionan resultados aceptables, en columnas rectangulares cuya relación lado mayor / lado menor no supere 2, reajustando el ángulo respectivo en función de la posición de los vértices de las columnas; reajustando el factor de tamaño del núcleo g; y tomando en consideración la geometría y la capacidad resistente en las dos direcciones ortogonales principales.