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Flexión Oblicua ó Desviada FLEXION PURA: cuando en toda sección recta de un prisma mecánico la resultante de las fuerzas situadas a un lado de las mismas es nula y el vector momento resultante que actúa en esa sección tiene solamente componente según uno de los ejes principales de inercia, entonces se dice que la barra está sometida a esfuerzos de flexión pura. En otras palabras, cuando en cualquier sección transversal de la misma no actúan fuerzas cortantes, es decir, actúan solamente momentos flectores. Los tramos A-B de las vigas indicadas están sujetos a Flexión Pura.

P

P A

y

P

x

z

A a

P

B a

Sección recta

B

a

a

FLEXION SIMPLE: una barra está sometida a esfuerzos de flexión simple cuando en cualquier sección transversal de la misma, si además del momento flector actuante en dicha sección, actúan esfuerzos cortantes. Los tramos “a” de las vigas indicadas en el gráfico están sujetos a Flexión Simple. FLEXION OBLICUA: un prisma mecánico en el que la solicitación exterior produce en una sección recta, un momento contenido en su plano, pero cuya dirección no coincide con ninguno de los ejes centrales de inercia, no habiendo esfuerzo normal, entonces se dice que el prisma mecánico está sometido a Flexión Oblícua ó como denominan algunos autores Flexión Desviada.

σ= ±

My Mz y ± z Iz Iy

1- Una viga en voladizo de sección recta rectangular soporta una carga inclinada P en su extremo libre, que sigue la dirección de una diagonal de su sección transversal. a) Demostrar que la línea neutra sigue la dirección de la otra diagonal. b) Calcular el 𝝈𝒎𝒂𝒙 y la deflexión máxima 𝜹𝒎𝒂𝒙 debido a la carga P para los siguientes datos: b = 7,5 cm ; h = 15 cm ; L = 1,5 m ; P = 80 kg ; E = 1,2 x 10 5 kg/cm2 a) σ = ± Mz Iz

Iz

My

y+

tg β =

Mz

Iy

y

Iz

tg β = 

tg β = 

P

ecuación de la línea neutra ;

Iy M z

b h3 12 h b3 12

b

pero

; Iz = = 

h

z

Iy

Iz M y

tg θ

Iy

My

z=0

=

z

y ±

h b

b h3 12

My Mz

;

M p sen θ

=

M p cos θ

Iy =



h

z 

= tg θ

h b3

;

12

tg θ =

b

2

h

=

2

y b

b h

que es la dirección de la otra diagonal

b) La sección más solicitada está en el empotramiento My = P sen θ L  x En el empotramiento x = 0 ; Mz = P cos θ L  x

σ=

Mz Iz

y

El punto de la sección más alejado de la línea neutra está en y =  ½ h ; σmax = 

Mz Iz

σmax = 76,32

y+

My Iy

z=

kg

P sen θ L h b3 12



h 2

+

P cos θ L

b

b h3 12

2

= 80 .6 .150

δy =

Iy

z

z=½b sen 26 ,56º 15

.7,52

+

cos 26 ,56º 7,5 .52

cm 2

P cos L

La máxima deflexión: δy =

My

P cos θ L L

2

2 E Iz

3

P cos θ L 3 3 E Iz

y

L

;

δz =

P sen θ L L

2

2 E Iy

3

P sen θ L 3

;

δz =

;

δz = 0,636 cm

L

L () P cos L

3 E Iy

Análogo para el eje z

δy = 0,318 cm

δT = δy cos  + δz sen  = 0,711 cm

2- La viga AB construida con un perfil I 240 tiene 2 m de longitud y está empotrada en su extremo izquierdo y sujeta a una barra articulada BC en el extremo derecho. Inicialmente fue dimensionada para resistir una carga uniformemente distribuida q max admisible aplicada en el plano xy del perfil. Calcular el porcentaje (%) de variación de la q max aplicable si se comete un error de montaje de 5º respecto al plano vertical. Perfil I 240 Barra BC h = 240 mm Ab = 1 cm2 b = 106 mm L=1m e = 13,1 mm E = 1,5 x 106 Av = 46,1 cm2 Iz = 4250 cm4 Iy = 221 cm4 adm = 1000 kg/cm2 E = 1,5 x 106 kg/cm2

C C

5º

q

2 kg/cm

100

e x

A

h

z

B

z

200 y

y

b

Cálculo de qmax admisible Ecuación de compatibilidad: 1  2 = 3 δ1 Ev Iz =

1

L

3

q L2 3 2

1

δ2 Ev Iz = 2 T L L

L=

4 2 3

L=

q L4

(2)

8 T L3

(3)

3

T Lb

δ3 = E

b

(4)

Ab

De (1), (2), (3) y (4):

σ=

Mz Iz

y

(1)

;

q L4 8 Ev Iz

σmax =



q 200 2 2

T L3 3 Ev Iz

T Lb

=

 67 q 200 4250

;

Eb Ab

0,03137 q = 0,0004683 T

12 ≤ 1000

;

Cálculo de qmax en el error de montaje: 𝜎=  

200 2 2

𝑀𝑧 𝐼𝑧

𝑦

𝑀𝑦 𝐼𝑦

𝑧 ≤ 1000

 67 . 200 𝑞 cos 5º 4250

q = 16,57 kg cm

;

 12 

 𝑞 𝑠𝑒𝑛 5º  5,3 200 2 221

Disminuye  70%

2

≤ 1000

q max

adm

= 53,66 kg cm

;

67 q = T

𝐤𝐠

3- La viga AB de la figura 𝐄 = 𝟐 𝐱 𝟏𝟎𝟔 𝐜𝐦𝟐 está empotrada en A y apoyada en B. Un momento flector M = 1,8 tn.m actúa en un plano normal a la sección recta del extremo libre, formando un ángulo de 30º con el eje vertical. a) Calcular y graficar las máximas tensiones normales que aparecen en la viga y la posición de la línea neutra correspondiente. b) Determinar la flecha máxima de AB. c) La inclinación de la elástica en el extremo B. 30º

Datos: E = 2 x 106

2 cm

kg

M

cm 2

A

2 cm

B

z

16 cm M

M = 1,8 tn.m

2 cm 300 cm

4

Iy = 344 cm Iz = 3936 cm4

y 10 cm

Traza del plano de M

a) Cálculo de la reacción del apoyo B: Mz = M cos30º = 180 000 kg.cm x 0,866 = 155 885 kg.cm (momento actuante en el eje z) My = M sen30º = 180 000 kg.cm x 0,5 = 90 000 kg.cm (momento actuante en el eje y) DCL

Mcos30º 𝛿𝑅 = 𝛿𝑀

Compatibilidad: RB

Mcos 30º L 2

(+)

2 E Iz

=

R B L3 3 E Iz

Mcos30º DMF

DMF

RB = 779,42 kg

M

R

Deflexión debido a Mcos30º

Deflexión debido a RB  77 942

Plano XOZ

200 Msen30º

DMF 100 “xy”

+ 155 885

(+)

+ 90 000

DMF “xz”

La sección más solicitada se encuentra en el extremo B σ=

My

σ1 =

z

Mz

90 000

5

Iy

344

Iz

y=

90 000 344

155 885 3936

z

155 885 3936

y=0 ;

10 = 1704,19

kg cm 2

y

tgβ = z = 6,606 ;

σ2 =

90 000 344

;

(5)

β = 81,392º 155 885 3936

10 = 1704,19

kg cm 2

b) La máxima deflexión se puede dar en el extremo B(plano xz) ó en el punto donde el momento flector es cero (plano xy) En B: δz =

My L2 2 E Iy

90 000 . 300 2

= 2.

2 . 10 6 . 344

90 000 . 100 2

En C: δz = 2 .

2 . 10 6 . 344

= 5,8866 cm

= 0,654 cm δC =

77 942 . 100 2 2

δy = 2 . Luego:

2 . 10 6 . 3936 3

δz

2

+ δy

2

=

= 0,033 cm

max = 5,8866 cm

c) La pendiente de la elástica en el punto B: ∆θAB =

155 885 .200

∆θxz AB =

90 000 . 300

𝜃𝐵𝑇 =

𝑥𝑧 ∆𝜃𝐴𝐵

xy

2

2 . 10 6 . 344

2



77 942 . 100

1

2

2 . 10 6 . 3936

= 1,485 10 3 rad

= 39,244 10 3 rad 𝑥𝑦 2

+ ∆𝜃𝐴𝐵

= 39,27 10 3 𝑟𝑎𝑑

;

𝜃𝐵𝑇 = 2,25º

0,654

2

+ 0,033

2

= 0,655