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Apuntes de apoyo a la asignatura

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FÍSICA 1

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Ingeniería de la Salud

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UNIVERSIDAD de SEVILLA

ii Copyright ©2016 by Francisco L. Mesa Ledesma; esta información puede ser copiada, distribuida y/o modificada bajo ciertas condiciones, pero viene SIN NINGUNA GARANTIA; ver la Design Science License para más detalles.

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DESIGN SCIENCE LICENSE TERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATION Copyright ©1999-2001 Michael Stutz Verbatim copying of this document is permitted, in any medium. 0. PREAMBLE. Copyright law gives certain exclusive rights to the author of a work, including the rights to copy, modify and distribute the work (the reproductive,adaptative,.and "distributionrights). The idea of çopyleftïs to willfully revoke the exclusivity of those rights under certain terms and conditions, so that anyone can copy and distribute the work or properly attributed derivative works, while all copies remain under the same terms and conditions as the original. The intent of this license is to be a general çopyleft"that can be applied to any kind of work that has protection under copyright. This license states those certain conditions under which a work published under its terms may be copied, distributed, and modified. 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Apuntes de Física 1

La presente “Colección de Apuntes” fue modificada el 18 de septiembre de 2018.

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1. Repaso de matemáticas

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1.1. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Índice general

1.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . .

4

1.2. Geometría en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.4. Desarrollos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6. Cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7.1. Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7.2. Diferencial y derivada parcial de una función de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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1.8. Álgebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.8.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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1.8.5. Productos triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.9. Cálculo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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1.9.1. Operador gradiente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9.2. Integral de camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.9.3. Teorema fundamental del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.9.4. Integral de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10. Aspectos generales de funciones armónicas . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.11.Análisis fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.12.Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Cinemática de la partícula

31

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III

ÍNDICE GENERAL

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2.2. Magnitudes Físicas. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.1. El Sistema Internacional de unidades . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Conversión de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3. Dimensiones de las magnitudes físicas . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Movimiento curvilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1. Partículas materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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2.3.2. Vectores de posición y velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.3. Vector aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.4. Movimiento uniforme (MU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.5. Movimiento uniformemente acelerado (MUA) . . . . . . . . . . 41

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2.4. Componentes intrínsecas de la aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Movimiento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5.1. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6. Movimiento relativo de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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2.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3. Dinámica de la partícula

59

3.1. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1.1. Primera ley de Newton: Ley de la Inercia . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2. Segunda Ley de Newton. Fuerza y masa . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.3. La tercera ley de Newton. Acción y reacción . . . . . . . . . . . 64

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3.2. Clasificación de las fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.1. Interacciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2.2. Acción a distancia y contacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3. Resolución de problemas. Diagramas de fuerzas . . . . . . . . . . . . . 71

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3.3.1. Sistemas aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.2. Problemas con dos o más cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3. Fuerzas de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4. Movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Fuerzas centrípetas . 77 3.5. Ley de Hooke. Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.5.1. Partícula unida a un muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.2. El péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.6. Trabajo y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6.1. Trabajo de una fuerza a lo largo de una trayectoria . . . . . . . 84 3.6.2. Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.6.3. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6.4. Fuerzas conservativas. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . 88 3.6.5. Energía mecánica. Conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Apuntes de Física 1

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ÍNDICE GENERAL

v

3.6.6. Energía del movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . 94 3.7. Momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.7.1. Expresión alternativa segunda ley de Newton . . . . . . . . . . 95 3.7.2. Impulso y momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.8. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4. Sistemas de partículas

105

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.2. Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

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4.3. Momento lineal de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . 107

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3.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.1. Relación fuerza - momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.2. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4. Trabajo y Energía en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . 110

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4.4.1. Energía cinética asociada al centro de masas . . . . . . . . . . . 112

4.4.2. Energía interna de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . 113 4.5. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.6. Momento angular de un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . 118 4.7. Sólido rígido con un eje principal de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.7.1. Momento de una fuerza respecto a un eje de giro fijo . . . . . . 121

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4.7.2. Momento angular en la dirección del eje de giro . . . . . . . . . 124

4.7.3. Dinámica de la rotación del sólido rígido . . . . . . . . . . . . . 127 4.7.4. Energía cinética asociada a la rotación de un sólido rígido . . . 128 4.8. Rodadura (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 139

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5. Mecánica de Fluidos

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

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5.2. Estática de fluidos. Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.2.1. Fuerzas en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.2.2. Ecuación fundamental de la hidrostática . . . . . . . . . . . . . 142 5.2.3. Manómetros y barómetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.3. Flotación. Principio de Arquímedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.4. Dinámica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.4.1. Descripción del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.4.2. Líneas de flujo y ecuación de continuidad para fluidos . . . . . 153 5.5. Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.6. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

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Apuntes de Física 1

ÍNDICE GENERAL

vi

5.6.1. Teorema de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.6.2. Efecto Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.7. Viscosidad y turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.7.1. Flujo viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.7.2. Flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.1. Introducción

165

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6. Ondas mecánicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6.2. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

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6.3. Ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3.1. Ondas sonoras armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.4. Energía e Intensidad de la onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.5. Interferencia de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

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6.5.1. Superposición de dos ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . 177 6.5.2. Focos incoherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 6.5.3. Focos coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.6. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.7. Difracción (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.8. Grupo de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

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6.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7. Termodinámica

195

7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.2. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.2.1. Sistemas termodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

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7.2.2. Variables termodinámicas y funciones de estado . . . . . . . . 196 7.2.3. Estados de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.2.4. Procesos termodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.3. Equilibrio térmico y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.3.1. Principio cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.3.2. Escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit . . . . . . . . . . . 199 7.3.3. Termómetros de gas y la escala Kelvin de temperatura . . . . . 200 7.4. Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.4.1. Definición de calor. Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.4.2. Calor específico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.4.3. Calor latente y transiciones de fase . . . . . . . . . . . . . . . . 203 7.5. Trabajo y calor en procesos termodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . 204

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

ÍNDICE GENERAL

vii

7.6. Primera Ley de la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 7.7. El gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.7.1. Ecuación de estado del gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.7.2. Propiedades termodinámicas del gas ideal . . . . . . . . . . . . 208

Co p

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7.8. Segunda Ley de la Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

ÍNDICE GENERAL

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viii

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

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T EMA 1

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Repaso de matemáticas 1.1. Álgebra

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Algunas reglas básicas

Cuando se realizan operaciones algebraicas, se aplican las leyes de la aritmética. Símbolos como x, y y z se emplean normalmente para representar magnitudes no especificadas, denominadas incógnitas. En primer lugar, consideremos la ecuación 8x = 32

U so

Para despejar x, podemos dividir (o multiplicar) cada miembro de la ecuación por el mismo factor sin romper la igualdad. En este caso, dividimos ambos miembros de la ecuación por 8, obteniendo 8x 32 = 8 8

x =4

⇒

Consideremos ahora esta ecuación:

ia

x +2 = 8

Co p

En este tipo de expresión, podemos sumar o restar la misma cantidad en cada miembro de la ecuación. Si restamos 2 a cada miembro, obtenemos x +2−2 = 8−2

⇒

x =6

En general, si x + a = b, entonces x = b − a. Consideremos ahora la siguiente ecuación: x =9 5 Si multiplicamos cada miembro de la ecuación por 5, nos queda la incógnita x en el miembro izquierdo de la ecuación y 45 en el miembro derecho: ³x ´ (5) = 9 · 5 ⇒ x = 45 5

En todos los casos, cualquier operación que se efectúe en el miembro izquierdo debe también efectuarse en el miembro derecho.

1

2

Tema 1. Repaso de matemáticas A continuación se muestran las reglas que se debe tener presente para multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones: ³ a ´³ c ´ b

d

=

ac bd

(1.1) (1.2)

ad ± bc a c ± = b d bd

(1.3)

ic o

(a/b) ad = (c/d ) bc

Potencias

ém

Cuando se multiplican potencias de una misma magnitud x, se aplica la siguiente regla: x n x m = x n+m (1.4) Cuando se dividen potencias de una misma magnitud, la regla es

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xn = x n−m xm

(1.5)

Una potencia fraccionaria, tal como 1/3, se corresponde con una raíz: x 1/n =

p n

x

(1.6)

Por último, cualquier cantidad (x n ) elevada a la potencia m es (1.7)

U so

(x n )m = x nm

Logaritmos

Supongamos que una magnitud x se expresa como una potencia de una cierta magnitud a: x = ay . (1.8)

Co p

ia

El número a se denomina base. El logaritmo de x en base a es igual al exponente al que debe elevarse la base para satisfacer la expresión x = a y : y = loga x .

(1.9)

Inversamente, el antilogaritmo de y es el número x: x = antiloga y . Es también interesante recordar que siempre se cumple la identidad x = a loga (x) .

(1.10)

En la práctica, las dos bases empleadas con más frecuencia son 10, que es la base de los logaritmos decimales, y el número e = 2.71828 . . ., denominado constante de Euler o base de los logaritmos naturales o neperianos. Cuando se emplean logaritmos decimales, tenemos y = log10 x

Apuntes de Física 1

(o’ x = 10 y )

(1.11)

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1.1. Álgebra

3

y para el logaritmo neperiano (o’ x = e y ) .

y = ln x

(1.12)

log(ab) = log a + log b

(1.13)

log(a/b) = log a − log b

(1.14)

n

(1.15)

log(1/a) = − log(a)

(1.16)

logb x = logb a loga x

(1.17)

log 1 = 0

(1.18)

ém

log(a ) = n log a

ic o

Por último, algunas propiedades útiles de los logaritmos son las siguientes:

ln e = 1

(1.19)

a

ln e = a .

(1.20)

Ac ad

Actividad 1.1: ¿Es cierto que log(a + b) = log a + log b? Razone su respuesta. Demuestre la identidad (1.15). [Haga uso de (1.10)] ¿Puede escribirse log a en términos de ln a? ¿Cuál es el valor de ln(−3)? 2

Ecuaciones lineales

U so

Grafique las siguientes funciones: ex , ex , ln x, ln x 2 y x ln x.

ia

Una ecuación lineal tiene la forma general siguiente: y = mx + b

(1.21)

Co p

donde m y b son constantes. Esta ecuación se denomina ecuación lineal porque la gráfica de y en función de x es una línea recta, como se muestra en la figura. La constante b, llamada ordenada en el origen, representa el valor de y en el que la línea recta corta al eje y. La constante m es igual a la pendiente de la línea recta y también es igual a la tangente del ángulo que forma la línea con el eje x. Si dos puntos cualesquiera de la recta se especifican mediante las coordenadas (x 1 ,y 1 ) y (x 2 ,y 2 ), como se indica en la figura anterior, entonces la pendiente de la línea recta se puede expresar como sigue: m=

y 2 − y 1 ∆y = x 2 − x 1 ∆x

(1.22)

Obsérvese que m y b pueden tomar valores positivos o negativos. En la figura anterior, tanto b como m eran positivas. En la figura adjunta se muestran otras tres posibles situaciones.

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Apuntes de Física 1

4

Tema 1. Repaso de matemáticas

1.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Consideremos la ecuación 3x + 5y = 15, que tiene dos incógnitas, x e y. Una ecuación de este tipo no tiene una única solución. Por ejemplo, obsérvese que (x = 0, y = 3), (x = 5, y = 0) y (x = 2, y = 9/5) son soluciones de esta ecuación.

ic o

Si un problema tiene dos incógnitas, solo es posible obtener una solución si se tienen dos ecuaciones. En general, si un problema tiene n incógnitas, su solución requiere n ecuaciones. Para resolver sistemas de dos ecuaciones que impliquen dos incógnitas, x e y, despejamos x en función de y en una de las ecuaciones y sustituimos dicha expresión en la otra ecuación.

ém

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede resolverse gráficamente. Si las líneas rectas correspondientes a las dos ecuaciones se dibujan un sistema de ejes cartesianos, la intersección de las dos líneas representa la solución. Por ejemplo, consideremos las dos ecuaciones siguientes:   x−y =2 

x − 2y = −1

Factorización

Ac ad

Ambas rectas se han dibujado en la figura. La intersección de las dos líneas es el punto de coordenadas (x = 5, y = 3), que es la solución de este sistema de dos ecuaciones. Es aconsejable comprobar esta solución por el método analítico explicado anteriormente.

He aquí algunas fórmulas útiles para descomponer en factores una ecuación:

U so

ax + a y + az = a(x + y + z) 2

2

a ± 2ab + b = (a ± b) 2

2

2

a − b = (a + b)(a − b)

(factor común) (cuadrado perfecto)

(1.23)

(diferencia de cuadrados)

Ecuaciones de segundo grado

Co p

ia

La forma general de una ecuación de segundo grado es ax 2 + bx + c = 0

(1.24)

donde x es la incógnita y a, b y c son factores numéricos denominados coeficientes de la ecuación. Esta ecuación tiene dos soluciones, que se determinan mediante la expresión p −b ± b 2 − 4ac (1.25) x= 2a Si b 2 ≥ 4ac, las raíces son reales. Actividad 1.2: Resuelva la siguiente ecuación: ½

x2 − y 2 = 7 2(x + y) = 9 [Sol.: x = 109/36, y = 53/36]

Apuntes de Física 1

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1.2. Geometría en el plano

5

1.2. Geometría en el plano La distancia d entre dos puntos de coordenadas (x 1 , y 1 ) y (x 2 , y 2 ) es d=

q (x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2

(1.26)

y = mx + b

(1.27)

donde b es el punto donde la recta corta al eje y y m es la pendiente de la línea.

x2 + y 2 = R2 .

(1.28)

La ecuación de una elipse que tiene el origen como centro (ver figura) es

b

a 0

(1.29)

Ac ad

x2 y 2 + =1. a2 b2

ém

La ecuación de una circunferencia de radio R centrada en el origen es

ic o

La ecuación de una recta en el plano (ver figura) es

donde a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor.

La ecuación de una parábola cuyo vértice se encuentra en y = b (ver figura) es y = ax 2 + b

(1.30)

b 0

U so

La ecuación de una hipérbola rectangular (ver figura) es x y = constante

(1.31)

Co p

Ángulos

0

ia

La figura 1.1 muestra las áreas y volúmenes para distintas formas geométricas utilizadas durante el curso.

La longitud de arco s de un arco circular (ver figura) es proporcional al radio r para un valor fijo θ (en radianes): s =rθ

⇒

θ=

s . r

(1.32)

La relación entre radianes y grados sexagesimales es 360o = 2π rad .

(1.33)

En la figura 1.2 se muestran algunas relaciones útiles entre ángulos:

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Apuntes de Física 1

Tema 1. Repaso de matemáticas

Ac ad

ém

ic o

6

Co p

ia

U so

F IGURA 1.1: Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas.

Actividad 1.3: 1. Exprese el ángulo β en función de α.

2. Calcule el arco de una circuferencia de radio R que recorre 1 rad. Repita el cálculo si recorre 1o .

Apuntes de Física 1

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1.3. Trigonometría

7

α + β = 180o

α=β

AB ⊥ B D, AD ⊥ BC → α = β

Ac ad

F IGURA 1.2: Relaciones entre ángulos.

ém

ic o

α=β

1.3. Trigonometría

U so

La parte de las matemáticas que se basa en las propiedades especiales del triángulo rectángulo se denomina trigonometría. Por definición, un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º. Consideremos el triángulo rectángulo de la figura, en el que el lado a es el cateto opuesto al ángulo θ, el lado b es el cateto adyacente al ángulo θ y el lado c es la hipotenusa del triángulo. Las tres funciones trigonométricas básicas definidas por este triángulo son el seno (sen), el coseno (cos) y la tangente (tan). En función del ángulo θ, estas funciones se definen del siguiente modo: cateto opuesto a θ a = hipotenusa c

(1.34)

cos θ ≡

cateto adyacente a θ b = hipotenusa c

(1.35)

tan θ ≡

cateto opuesto a θ a sen θ = = . cateto adyacente a θ b cos θ

(1.36)

Co p

ia

sen θ ≡

El teorema de Pitágoras proporciona la siguiente relación entre los lados de un triángulo rectángulo: c 2 = a2 + b2 .

(1.37)

A partir de las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras, se deduce que sen2 θ + cos2 θ = 1 .

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(1.38)

Apuntes de Física 1

8

Tema 1. Repaso de matemáticas La funciones cosecante, secante y cotangente se definen del siguiente modo: 1 c = sen θ a c 1 = sec θ ≡ cos θ b

csc θ ≡

cot θ ≡

(1.39) (1.40)

1 b = . tan θ a

(1.41)

sen θ = x

⇒

θ = arcsenx

cos θ = x

⇒

θ = arc cos x

tan θ = x

⇒

ém

ic o

El ángulo θ cuyo seno es x se denomina arcoseno de x y se escribe arcsenx. Análogamente, se definen las funciones arcocoseno y arcotangente:

θ = arctan x .

Ac ad

Las siguientes relaciones se obtienen directamente del triángulo rectángulo mostrado en la figura anterior: sen θ = cos(π/2 − θ) cos θ = sen(π/2 − θ) cot θ = tan(π/2 − θ) .

Algunas propiedades de las funciones trigonométricas son

U so

sen(−θ) = − sen θ cos(−θ) = tan θ tan(−θ) = − tan θ .

Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo (como en la figura): (1.42)

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α

(1.43)

Co p

ia

α + β + γ = π [180o ] .

2

2

2

b = a + c − 2ac cos β

(1.44)

Teorema del coseno

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ .

(1.45)

Teorema del seno

a b c = = . sen α sen β sen γ

(1.46)

Apuntes de Física 1

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1.3. Trigonometría

9

A continuación se enumeran una serie de identidades trigonométricas útiles:

sen2 θ + cos2 θ = 1

(1.47)

sec2 θ = 1 + tan2 θ

(1.48)

2

csc θ = 1 + cot θ

(1.49)

2

2

cos 2θ = cos θ − sen θ tan 2θ =

2 tan θ 1 − tan2 θ

θ 1 − cos θ = 2 2 θ 1 + cos θ cos2 = . 2 2

(1.51) (1.52) (1.53) (1.54)

Ac ad

sen2

(1.50)

ic o

sen 2θ = 2 sen θ cos θ

ém

2

sen(A ± B ) = sen A cos B ± cos A sen B

(1.55)

cos(A ± B ) = cos A cos B ∓ sen A sen B

(1.56)

U so

A ∓B A ±B cos sen A ± sen B = 2 sen 2 2 A +B A −B cos A + cos B = 2 cos cos 2 2 A +B B−A cos A − cos B = 2 sen sen . 2 2

(1.57)

(1.58) (1.59)

ia

En la figura 1.3 se representan las funciones trigonométricas en función de θ. Las funciones seno y coseno tienen un periodo 2π rad (o 360º). Es decir, para cualquier valor de θ, sen(θ+2π) = sen θ. La función tangente tiene un periodo de π rad (o 180º).

Co p

Actividad 1.4:

Exprese sen2 α, cos2 α, sen3 α y cos4 α en función de senos y cosenos de α y 2α. En un triángulo no rectángulo, halle el valor de la longitud del cateto opuesto a dos de lado a y b y que forman un ángulo α. Halle el valor de x que verifica la ecuación: sec2 x + 2 tan x = 16. [Sol.:x = arctan(3)] La ecuación sin2 x + 2 cos x = 16 no tiene soluciones reales. ¿Por qué? Determine el periodo de la función sen(3x).

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Apuntes de Física 1

Tema 1. Repaso de matemáticas

U so

Ac ad

ém

ic o

10

Co p

ia

F IGURA 1.3: Funciones trigonométricas.

Apuntes de Física 1

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1.4. Desarrollos en serie

11

1.4. Desarrollos en serie

n(n − 1) 2 x +··· 2!

x2 x3 + +··· 2! 3! 1 1 ln(1 ± x) = ±x − x 2 ± x 3 − · · · 2 3 ex = 1 + x +

sen x = x −

x3 x5 + −··· 3! 5!

cos x = 1 −

x2 x4 + −··· 2! 4!

tan x = x +

x 3 2x 5 + +··· 3 15

(1.63)

(1.65)

(|x| < π/2) .

x

e ≈ 1+x ln(1 ± x) ≈ ±x

(1.66)

Ac ad

(1 + x)n ≈ 1 + nx

cos x ≈ 1

(1.62)

(1.64)

Para x ¿ 1, se pueden utilizar las siguientes aproximaciones:

sen x ≈ x

(1.61)

ém

(1 + x)n = 1 + nx +

(1.60)

ic o

Mostramos a continuación una serie de desarrollos en serie útiles: µ ¶ n µ ¶ X n! n n−k k n x y , con = (a + b)n = k k k!(n − k)! k

U so

tan x ≈ x .

(1.67) (1.68) (1.69) (1.70) (1.71)

(1.72)

ia

p Actividad 1.5: Si la unidad imaginaria se define como j = −1 y sus potencias vienen dadas por j2 = −1, j3 = −j, j4 = 1, . . ., demuestre la expresión siguiente denominada identidad de Euler: ejθ = cos θ + j sen θ.

Co p

1.5. Cálculo diferencial En varias ramas de la ciencia, es necesario utilizar algunas veces las herramientas básicas del cálculo infinitesimal, inventado por Newton, para describir los fenómenos físicos. El uso del cálculo infinitesimal es fundamental en el tratamiento de distintos problemas de la mecánica newtoniana, la electricidad y el magnetismo. En esta sección simplemente vamos a enunciar algunas propiedades básicas y reglas prácticas. En primer lugar, hay que especificar una función que describa cómo se relaciona una variable con otra (por ejemplo, una coordenada en función del tiempo). Supongamos que llamamos y a una de las variables (la variable dependiente), y x a la otra (la variable independiente). Para estas dos variables, podríamos tener una relación funcional como la siguiente: y(x) = ax 3 + bx 2 + c x + d

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Apuntes de Física 1

12

Tema 1. Repaso de matemáticas Si a, b, c y d son constantes especificadas, entonces se puede calcular y para cualquier valor de x. Normalmente, trabajaremos con funciones continuas, es decir, aquellas para las que y varía de forma suave al hacerlo x. La derivada de y con respecto de x se define como el límite, cuando ∆x tiende a cero de la pendiente de la cuerda dibujada entre dos puntos de la curva que representa y en función de x. Matemáticamente, escribimos esta definición del siguiente modo: ∆y y(x + ∆x) − y(x) dy = l´ım = l´ım (1.73) dx ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x

ém

ic o

donde ∆y y ∆x de definen como ∆x = x 2 − x 1 y ∆y = y 2 − y 1 (ver figura). Cuando ∆x tiende a cero, la cuerda se convierte en la recta tangente en un punto dado, de forma que la derivada coincide con la pendiente de dicha recta tangente. Es importante destacar que dy/dx no significa dy dividido entre dx, sino que simplemente se trata de la notación de Leibnitz que se emplea para designar el proceso de cálculo del límite para obtener la derivada, definido en la ecuación anterior. Una expresión útil que conviene recordar cuando y(x) = ax n , donde a es una constante y n es cualquier número, positivo o negativo (entero o fraccionario), es

Ac ad

dy = nax n−1 . dx

Si y(x) es un polinomio o función algebraica de x, aplicamos esta última ecuación a cada término del polinomio, siendo cero la derivada de una constante.

Propiedades especiales de las derivadas

U so

Derivada de la suma de dos funciones. Si una función f (x) es igual a la suma de dos funciones, f (x) = g (x) + h(x), entonces la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas:

Co p

ia

d f (x) d[g (x) + h(x)] dg (x) dh(x) = = + . dx dx dx dx

(1.74)

Derivada del producto de dos funciones. Si una función f (x) está dada por el producto de dos funciones, f (x) = g (x)h(x), entonces la derivada de f (x) se define como d f (x) d[g (x)h(x)] dg (x) dh(x) = = h(x) + g (x) . (1.75) dx dx dx dx

Derivada del cociente de dos funciones. Si una función f (x) está dada por el cociente entre dos funciones, f (x) = g (x)/h(x), entonces la derivada de f (x) se define como · ¸ d f (x) d[g (x)/h(x)] 1 dg (x) dh(x) = = 2 h(x) − g (x) . (1.76) dx dx h (x) dx dx

Regla de la cadena. Si y = f (x) y x = g (z), entonces, dy/dz puede escribirse como el producto de dos derivadas: dy dy dx = . dz dx dz

Apuntes de Física 1

(1.77)

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1.5. Cálculo diferencial

13

La segunda derivada. La segunda derivada de y con respecto de x se define como la derivada de la función dy/dx (la derivada de la derivada). Esto se expresa, normalmente, del siguiente modo: µ ¶ d dy d2 y = . dx 2 dx dx

(1.78)

µ ¶−1 dx dy = . dy dx

(1.79)

(1.80)

(1.81)

(1.82) (1.83)

(1.84) (1.85) (1.86)

(1.87)

ia

U so

Ac ad

d (a) = 0 dx d (ax n ) = nax n−1 dx d ax (e ) = ae ax dx d 1 (ln(x)) = dx x d (sen(ax)) = a cos(ax) dx d (cos(ax)) = −a sen(ax) dx d (tan(ax)) = a sec2 (ax) dx d 1 (arctan(x)) = . dx 1 + x2

ém

Ejemplo de derivadas de funciones particulares. A continuación se enumeran algunas de las derivadas utilizadas con más asiduidad (las letras a y n representan constantes):

ic o

Derivada inversa. La derivada de x respecto de y es la inversa de la derivada de y respecto de x, siempre que ninguna de ellas se anule:

Actividad 1.6:

Co p

Grafique algunos ejemplos de funciones continuas y discontinuas cuya derivada en el origen (x = 0) no sea continua. Dé las expresiones matemáticas de algunas de ellas. Explique las razones por las que el concepto de derivada es tan sumamente relevante en Física e Ingeniería. Exprese en palabras y de forma clara el significado de la siguiente ecuación: d f (x)/dx = f (x). ¿Existe alguna función que satisfaga la anterior ecuación? ¿Existe alguna diferencia fundamental con ecuaciones del tipo x 3 − sen x = 7? Halle las derivadas de las siguientes funciones:: (sen x)/x, sen(1/x), x 3x , y ln(sec x).

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Apuntes de Física 1

14

Tema 1. Repaso de matemáticas

1.6. Cálculo integral La integración es la operación inversa de la derivación. Por ejemplo, consideremos la siguiente expresión: f (x) =

dy = 3ax 2 + b dx

la cual es el resultado de derivar la función

ic o

y(x) = ax 3 + bx + c .

ém

Podemos escribir la ecuación anterior como dy = f (x)dx = (3ax 2 + b)dx y obtener y(x) “sumando” todos los valores de x. Matemáticamente, escribimos esta operación inversa como sigue: Z y(x) = f (x) dx . (1.88)

Ac ad

Para la función f (x) dada en el ejemplo anterior, tenemos Z y(x) = (3ax 2 + b) dx = ax 3 + bx + c donde c es una constante de integración. Este tipo de integral se denomina integral indefinida, dado que su valor depende de la elección que se haga de c. Una integral indefinida I (x) se define, en general, como Z I (x) = f (x)dx .

(1.89)

donde f (x) se denomina integrando y f (x) = dy(x)/dx.

Co p

ia

U so

Para una función continua cualquiera f (x), la integral se puede describir como el área bajo la curva limitada por f (x) y el eje x entre dos valores especificados de x, por ejemplo, x 1 y x 2 , como se muestra en la figura.

El área del elemento en color azul es aproximadamente f (x i )∆x i . Si sumamos todos esos elementos desde x 1 hasta x 2 y calculamos el límite de esta suma cuando ∆x i → 0, obtenemos el área real bajo la curva limitada por f (x) y x entre los limites x 1 y x 2 : Z x2 X Área = l´ım = f (x i )∆x i = f (x)dx = I (x 2 ) − I (x 1 ) . (1.90) ∆x i →0

Las integrales del tipo definido por esta ecuación se denominan integrales definidas. Una integral habitual que surge en situaciones prácticas es la siguiente: I (x) =

Z

x n dx =

x n+1 +c n +1

(x 6= −1)

(1.91)

Este resultado es obvio, ya que la derivada del miembro derecho de la ecuación con respecto a x es f (x) = x n , como puede verificarse directamente. Si los límites de integración son conocidos, esta integral se convierte una integral definida y se expresa como sigue: Z

x2 x1

Apuntes de Física 1

x1

i

x n dx =

x 2n+1 − x 1n+1 n +1

(x 6= −1)

(1.92)

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1.6. Cálculo integral

15

Integración por partes En ocasiones, resulta útil aplicar el método de la integración por partes para calcular ciertas integrales. El método utiliza la propiedad que establece que udv = uv −

Z

vdu

(1.93)

donde u y v se eligen cuidadosamente de modo que sea posible reducir una integral compleja a una integral más sencilla. En muchos casos, se realizan varias reducciones. Consideremos la función siguiente: I (x) =

Z

xex dx .

I (x) =

Z

x

x

xe dx = xe −

Z

ex dx = xex − ex + c .

I (x) =

Z

Ac ad

Es decir,

ém

Esta integral se puede calcular integrando por partes. Seleccionamos u ≡ x y dv ≡ ex dx, de modo que du = xdx y v = ex . Así,

ic o

Z

x 2 ex dx = x(ex − 1) + c .

Integración por sustitución

U so

Otro método útil que debe recordarse es la integración por sustitución, en la que se realiza un cambio de variable. Por ejemplo, consideremos la siguiente integral: Z I (x) = cos2 x sen xdx .

Esta integral es fácil de calcular si expresamos u = cos x, de modo que du = − sen xdx. La integral queda entonces del siguiente modo:

ia

I (u) = −

Z

u 2 du = −

u3 +C . 3

Co p

Deshaciendo el cambio de variables queda, finalmente, I (x) = −

cos3 x +c . 3

Actividad 1.7: Halle la solución de las siguientes integrales: Z 1 cos3 x dx 0 1

Z 0

x2 dx . 3x 3 + 1

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Apuntes de Física 1

16

Tema 1. Repaso de matemáticas Integrales inmediatas

U so

Ac ad

ém

ic o

A continuación se enumeran algunas integrales indefinidas de utilidad (tomando la constante de integración c igual a 0): Z x n+1 x n dx = si n 6= −1 (1.94) n +1 Z 1 dx = ln x (1.95) x Z 0 f (x) dx = ln[ f (x)] (1.96) f (x) Z 1 (1.97) e ax dx = e ax a Z 1 sen(ax) dx = − cos(ax) (1.98) a Z 1 (1.99) cos(ax) dx = sen(ax) a Z 1 1 tan(ax) dx = − ln[cos(ax)] = ln[sec(ax)] (1.100) a a Z 1 x 1 dx = arctan (1.101) 2 2 a +x a a Z 1 a+x 1 dx = ln si a 2 − x 2 > 0 (1.102) 2 2 a −x 2a a − x Z 1 1 x −a dx = ln si x 2 − a 2 > 0 (1.103) x2 − a2 2a x + a Z x 1 x dx = arcsen = − arc cos si a 2 − x 2 > 0 (1.104) p 2 2 a a a −x Actividad 1.8: Halle la solución de las siguientes integrales: R 0 f (x) f (x)dx Rb

f 00 (x) f 0 (x)dx

Rπ

x sen x dx

a

Co p

ia

0

R ∞ sen x 0

x

dx .

1.7. Funciones de varias variables Diferencial de funciones de una sola variable Recordemos que para una función de una sola variable f = f (x), ya se definió la derivada de la función f (x) con respecto a x como d f (x) f (x + ∆x) − f (x) ∆f = l´ım = l´ım . ∆x→0 ∆x→0 ∆x dx ∆x

(1.105)

Geométricamente, esta derivada expresa el valor de la pendiente de la tangente a la curva f (x) en el punto x. El concepto de diferencial de f (x), denotado genéri-

Apuntes de Física 1

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1.7. Funciones de varias variables

17

camente como d f , expresa la variación infinitesimal de la función f (x) entre x y x + dx, esto es, d f (x) = f (x + dx) − f (x) . (1.106)

Debe recordarse nuevamente que d f /dx no expresa un cociente entre d f y dx sino que por el contrario debe entenderse como la acción del operador d/dx sobre la función f (x). Este hecho se pone de manifiesto con otras notaciones que prefieren expresar la derivada de la función f (x) con respecto a x como Dx f (x), donde Dx ≡ d/dx es precisamente el operador derivada.

ém

1.7.1. Teorema fundamental del cálculo

ic o

Desde un punto de vista matemático, este diferencial viene dado por el siguiente producto: ¶ µ df dx . (1.107) d f (x) = dx

El teorema fundamental del cálculo establece la siguiente relación entre las operaciones de integración y diferenciación de la función f (x): b µdf

dx

a

¶

dx = f (b) − f (a) .

(1.108)

Ac ad

Z

Una posible³manera de “deducir” la expresión anterior pasa por tener en cuenta ´

que d f (x) =

df dx

dx, y por tanto Z

b a

d f (x) = f (b) − f (a) .

(1.109)

U so

1.7.2. Diferencial y derivada parcial de una función de varias variables

Es muy frecuente que en la naturaleza las magnitudes dependan de más de una variable, así la temperatura de una habitación depende de la posición del punto donde se mide, esto es, de las tres coordenadas espaciales del punto. Este hecho se manifiesta matemáticamente diciendo que la temperatura es función de x, y y z y se denota como T = T (x, y, z).

Co p

ia

Similarmente al concepto de derivada introducido en la sección anterior para funciones de una sola variable, puede ahora definirse el concepto de derivada parcial. Esta derivada hace referencia a la variación de cierta función con respecto a una sola de las variables cuando las demás permanecen constantes. Así, se define la derivada parcial de la función f (x, y, z) con respecto a x como ∂f f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) = l´ım ∂x ∆x→0 ∆x

(1.110)

y análogamente para las restantes variables. A partir del concepto de derivada parcial, puede deducirse que una variación infinitesimal de la función f (x, y, z) cuando dicha función varía entre los puntos x y x + dx podrá expresarse como µ ¶ ¯ ∂f d f ¯x = dx . (1.111) ∂x La variación infinitesimal de la función f (x, y, z) cuando ésta varía entre los puntos (x, y, z) y (x +dx, y +dy, z +dz) podría obtenerse, por tanto, sumando las variaciones parciales a lo largo de cada una de las coordenadas. De este modo, puede

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Apuntes de Física 1

18

Tema 1. Repaso de matemáticas escribirse que df =

µ

¶ µ ¶ µ ¶ ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z

(1.112)

Actividad 1.9: Escriba el diferencial de la siguiente función: x(t ) = 3t 2 + 9t − 5. • ¿Varía dx con t ?

ic o

• Exprese en palabras el significado de dx supuesto que x(t ) represente la posición en el tiempo de una partícula que se mueve a lo largo del eje x.

ém

Encuentre una integral definida (tanto el integrando como los límites de integración) cuya solución sea sen(π/3) − cos(π/3) + 1. Obtenga el diferencial de la siguiente función: x(u, v) = u 2 v − v 2 + v sen(u).

Ac ad

Si la temperatura en grados centígrados de una habitación viene dada por T (x, y, z) = x 2 + y 2 + 20, exprese en palabras el significado de dicha función. • ¿Qué significa que ∂T /∂x ∝ x? • ¿Qué implica que ∂T /∂z = 0?

U so

1.8. Álgebra vectorial

Co p

ia

1.8.1. Vectores

Apuntes de Física 1

En la naturaleza existen magnitudes físicas que están completamente determinadas por su valor y sus unidades. De forma genérica puede decirse que estas magnitudes son escalares. Ejemplos de estas magnitudes son la masa, la distancia, la temperatura, etc. Por el contrario, existen otras magnitudes que además de su valor y unidades están “dotadas” de una propiedad adicional: su dirección. Este tipo de magnitudes se conocen con el nombre de magnitudes vectoriales e incluyen a magnitudes tales como la posición, la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico, etc. Para expresar las magnitudes vectoriales se hace uso de los vectores y por tanto se hace imprescindible el álgebra de vectores.

Notación vectorial Usualmente las magnitudes vectoriales suelen denotarse en los textos impresos mediante letras minúsculas o mayúsculas en tipo negrita, v, V, dejándose usual~ , para la esmente la notación con una flecha/raya encima de dichas letras, ~ v,V critura manual de los mismos. No obstante en el texto de estos apuntes, con la idea de evidenciar más si cabe el caracter vectorial de las magnitudes, usaremos la notación con una flechita encima de las variables. En las figuras aparecerán a menudo los vectores denotados en tipo negrita.

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1.8. Álgebra vectorial

19

z vz Para expresar que cierta magnitud es vectorial se pueden usar varios tipos de notación. A continuación destacamos las más usadas:

v

Mediante una terna de números que son las componentes del vector en los ejes cartesianos x, y, z: ~ v = (v x , v y , v z ) . (1.113)

El vector ~ v puede también expresarse en función de su módulo y de su vector unitario. El módulo del vector ~ u suele denotarse como v o bien |~ v | y viene dado según el teorema de Pitágoras por q |~ v | ≡ v = v x2 + v 2y + v z2 . (1.114)

x

v

v^

Módulo del vector ~ v

Ac ad

ém

El vector unitario asociado con el vector ~ v se define como aquel vector de módulo unidad que tiene la misma dirección y sentido que ~ v . Dicho vector se denotará de forma genérica como vˆ o bien como ~ vˆ , pudiéndose expresar como (v x , v y , v z ) ~ v vˆ = = q . (1.115) v v x2 + v 2y + v z2

y

ic o

Geométricamente, las componentes cartesianas del vector pueden identificarse con las proyecciones de este vector a lo largo de los ejes cartesianos.

vy vx

Vector unitario de ~ v

z

Obviamente el vector ~ v puede escribirse como: ~ v = v vˆ .

v

Expresando el vector como suma de las componentes del vector por los vectores unitarios a lo largo de los ejes coordenados. Los vectoresunitarios a lo largo de los ejes x, y, z se denotaran como xˆ , yˆ , zˆ respectivamente. Otras notaciones frecuentes para estos vectores unitarios son i, j, k o bien ex , e y , ez . Usando esta notación, el vector ~ v se escribirá como: (1.116)

x

U so

~ v = v x xˆ + v y yˆ + v z zˆ .

y

1.8.2. Suma de vectores

La suma de vectores se realiza sumando sus componentes. De este modo si ~ a = a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ

~ b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ ,

ia

b

el vector ~ c suma de los dos anteriores será por tanto:

c a

Co p

~ c =~ a +~ b

= (a x + b x )ˆx + (a y + b y )ˆy + (a z + b z )ˆz .

(1.117)

1.8.3. Producto escalar El producto escalar de dos vectores ~ a y~ b, denotado como ~ a ·~ b es un escalar fruto de la siguiente operación: ~ a ·~ b = ax bx + a y b y + az bz = ab cos α ,

(1.118) (1.119)

siendo α el ángulo formado por los dos vectores (es independiente si este ángulo se mide en dirección horaria o antihoraria ya que cos(π − α) = cos α). El producto

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Apuntes de Física 1

20

Tema 1. Repaso de matemáticas escalar ~ a ·~ b puede interpretarse geométricamente como la proyección de uno de los vectores sobre el otro (salvo factores numéricos). Este hecho se manifiesta claramente en el producto escalar de ~ a por uno de los vectores unitarios según los ejes coordenados, esto es, ~ a · xˆ = a x , donde se ve claramente que ~ a · xˆ es justamente la proyección del vector ~ a sobre el eje x.

El producto escalar es conmutativo: ~ a ·~ b =~ b ·~ a.

ic o

Algunas de las propiedades del producto escalar son:

(1.120)

ém

El producto escalar es distributivo respecto a la suma de vectores: ~ a · (~ b +~ c) = ~ a ·~ b +~ a ·~ c.

(1.121)

El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo: ~ a ·~ b=0 ⇒ ~ a ⊥~ b.

Ac ad

(1.122)

El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado del módulo de dicho vector: ~ a ·~ a = a2 . (1.123)

1.8.4. Producto vectorial

Co p

ia

U so

El producto vectorial de dos vectores ~ a y~ b, denotado como ~ a ×~ b, es un vector definido como ˆ, ~ a ×~ b = ab sen α n (1.124) ˆ el vector unitasiendo α el ángulo más pequeño formado por los dos vectores y n rio normal exterior al plano que contiene a los vectores ~ a y~ b. Puesto que el plano ˆ que aparece en tiene dos normales (cada una con distinto sentido), el vector n (1.124) siempre se refiere a la normal que apunta según la regla de la mano derecha. Esta regla dice que usando la mano derecha y apuntando el dedo índice en la dirección de ~ a y el dedo corazón en la de ~ b, el dedo pulgar indicará la dirección 1 ˆ Geométricamente, el módulo del producto vectorial, |~ de n. a ×~ b|, es igual al área ~ del paralelogramo generado por los vectores ~ a y b. A partir de la definición del producto vectorial (1.124) pueden deducirse las siguientes propiedades: El producto vectorial es anticonmutativo: ~ a ×~ b = −~ b ×~ a.

(1.125)

El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores: ~ a × (~ b +~ c) = ~ a ×~ b +~ a ×~ c.

(1.126)

1 Esta regla también se conoce a veces como regla del tornillo cuando dice que considerando el giro

que va desde ~ a hasta ~ b por el camino más corto, si este giro se aplica a un tornillo, el sentido de avance o retroceso del tornillo indica hacia donde se dirige la normal.

Apuntes de Física 1

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1.8. Álgebra vectorial

21

El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo: ~ a ×~ b=0 ⇒ ~ a ∥~ b.

(1.127)

Multiplicación por un escalar α: (1.128)

Teniendo en cuenta la definición (1.124) y las propiedades (1.125)–(1.127), el producto vectorial de ~ a por ~ b puede obtenerse como ~ a ×~ b = (a x xˆ + a y yˆ + a z zˆ ) × (b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ ) = = (a y b z − a z b y )ˆx + (a z b x − a x b z )ˆy + (a x b y − a y b x )ˆz .

(1.129)

1.8.5. Productos triples

Ac ad

ém

Usando la definición del determinante, la expresión anterior puede escribirse como ¯ ¯ ¯ xˆ yˆ zˆ ¯¯ ¯ ~ a ×~ b = ¯¯ a x a y a z ¯¯ . (1.130) ¯ b b y bz ¯ x

ic o

α(~ a ×~ b) = α~ a ×~ b =~ a × α~ b.

Dado que el producto vectorial de dos vectores es otro vector, este vector puede a su vez multiplicarse escalar o vectorialmente para formar lo que se conoce como productos triples.

U so

Producto triple escalar: ~ a · (~ b ×~ c ). Desde un punto de vista geométrico, este producto triple escalar puede interpretarse como el volumen del paralelepípedo generado por los tres vectores ~ a, ~ b y~ c dado que según la figura adjunta |~ b ×~ c | es el área de la base y |a cos α| es la altura (α es el ángulo entre ~ a y~ b ×~ c ). Usando esta interpretación geométrica es fácil deducir que ~ a · (~ b ×~ c) =~ b · (~ c ×~ a) = ~ c · (~ a ×~ b) .

a b c

(1.131)

ia

Es interesante notar que en la expresión anterior se ha preservado el “orden alfabético”.

Co p

El productor triple escalar puede también obtenerse a partir del siguiente determinante: ¯ ¯ ¯ ax a y az ¯ ¯ ¯ ~ a · (~ b ×~ c ) = ¯¯ b x b y b z ¯¯ . (1.132) ¯ c c y cz ¯ x Producto triple vectorial: ~ a × (~ b ×~ c ). Este producto triple vectorial puede también obtenerse como ~ a × (~ b ×~ c) =~ b(~ a ·~ c ) −~ c (~ a ·~ b) .

(1.133)

(~ a ×~ b) ×~ c = −~ c × (~ a ×~ b) = −~ a (~ b ·~ c ) +~ b(~ a ·~ c)

(1.134)

Nótese que el vector

es un vector completamente diferente al definido en la expresión (1.133).

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22

Tema 1. Repaso de matemáticas

Actividad 1.10: Sean los siguientes puntos: A(0, 0), B (1, −1), C (1, 1) y D(2, 0). Halle los −→ −−→ vectores AB y C D y represéntelos gráficamente. Entre las posibles conclusiones que pudiera extraer del anterior cálculo, ¿podría decir que existe algo así como un “punto donde empieza el vector” en la propia definición del vector?

ic o

Halle el módulo y el vector unitario de ~ a = 3ˆx − 7ˆy + zˆ y también de ~ r (t ) = 3t 2 xˆ + yˆ − t 3 zˆ . 2 ~ Halle las componentes del vector pb(t ) cuyo módulo es b(t ) = 9t y su ˆ ) = (3t xˆ + 5ˆz)/ 9t 2 + 25. vector unitario b(t

ém

ˆ ¿Puede la proyección del vector unitario aˆ sobre otro vector unitario b tener como valor 1.7? Explique las razones.

Encuentre los vectores del plano que son ortogonales a ~ a = a x xˆ + a y yˆ . ~ Repita el cálculo anterior para el vector b = b x xˆ + b y yˆ + b z zˆ . Describa las posibles conclusiones que haya podido extraer de estos cálculos.

Ac ad

Usando las propiedades de la suma de vectores y de su producto escalar, deduzca las relaciones (1.43)-(1.45). Halle los vectores que son ortogonales al plano definido por los siguientes tres puntos: A(0, 2, 1), B (1, −1, 0), y C (2, 1, 1).

U so

¿Cuál es la distancia mínina desde el punto D(3, 3, 3) al plano descrito en el punto anterior?

1.9. Cálculo vectorial

Co p

ia

En este apartado extenderemos los conceptos de derivada, diferencial, e integración al caso de magnitudes vectoriales.

Operador ~ ∇

1.9.1. Operador gradiente Si tenemos una función escalar de varias variables, f (x, y, z), ya vimos en la expresión (1.112) que el diferencial de dicha función, d f , puede expresarse como el siguiente producto escalar: ¶ ∂f ∂f ∂f df = , , · (dx, dy, dz) . ∂x ∂y ∂z µ

(1.135)

Definiendo el operador vectorial ~ ∇ como ¶ ∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ ≡ xˆ + yˆ + zˆ , ∂x ∂y ∂z

~ ∇≡

µ

(1.136) (1.137)

al aplicarlo a la función f (x, y, z) se obtiene el gradiente de f , ~ ∇ f , que es eviden-

Apuntes de Física 1

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1.9. Cálculo vectorial

23

temente una magnitud vectorial: ¶ ∂f ∂f ∂f , , ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f = xˆ + yˆ + zˆ . ∂x ∂y ∂z

~ ∇ f (x, y, z) =

µ

(1.138)

Definición de gradiente de f

(1.139)

donde d~ r = (dx, dy, dz). Usando la definición de producto escalar, d f también puede escribirse como d f = |~ ∇ f | |d~ r | cos α ,

(1.141)

ém

lo que permite deducir que la máxima variación de la función f (x, y, z) se produce cuando α = 0, esto es, cuando d~ r es paralelo al gradiente de f , ~ ∇ f . Consecuentemente, la dirección del vector ~ ∇ f marca la dirección de máxima variación de la función en el punto (x, y, z).

ic o

Esta definición permite escribir el diferencial de la función f como el siguiente producto escalar: df =~ ∇ f · d~ r , (1.140)

Ac ad

Actividad 1.11: Halle la expresión de ~ ∇ f y d f para f (x, y, z) = x y 2 + z 3 .

Obtenga el vector unitario asociado con la dirección de máxima variación de la función anterior.

1.9.2. Integral de camino

U so

~ (esto es, una magnitud vectorial cuyas componenDado un campo vectorial F ~ entre dos puntos tes dependen de la posición espacial), la integral de camino de F A y B a lo largo de la curva Γ se define como la siguiente integral: Z B ~ · d~ F l C AB = A,Γ X ~ (P i ) · P i P i +1 . F = l´ım (1.142)

ia

P i +1 →P i (Γ) i

Co p

La integral anterior puede interpretarse como la superposición infinitesimal del ~ ·d~ producto escalar F l para cada elemento diferencial de la curva Γ entre los puntos A y B . El vector d~ l es un vector que tiene por módulo la longitud de un elemento diferencial de la curva y por dirección la de la recta tangente a la curva en dicho punto. Las integrales de camino son muy usuales en Física, definiendo, por ejemplo, el trabajo que realiza cierta fuerza entre dos puntos a través de cierta trayectoria. En general, la integral de camino depende del camino que se elija para ir desde A hasta B .

B

dl F

A

Algunas de las propiedades más importantes de las integrales de camino son:

Z

B A,Γ

~ · d~ F l =−

A

Z

B,Γ

~ · d~ F l.

Si A 0 es un punto intermedio de la curva Γ entre A y B , se tiene que Z B Z A0 Z B ~ ~ ~ ~ ~ · d~ F · dl = F · dl + F l. A,Γ

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A,Γ

A 0 ,Γ

Apuntes de Física 1

24

Tema 1. Repaso de matemáticas

Actividad 1.12:

1.9.3.

Teorema fundamental del gradiente

ic o

~ = x 3 y xˆ − z 2 yˆ . Halle el trabaCierta fuerza puede expresarse como F jo hecho por esta fuerza para trasladar una partícula desde el punto A(0, 1, 0) hasta el punto B (3, 1, 0) siguiendo una trayectoria recta paralela al eje x.

De forma similar a como se hizo para funciones de una sola variable en (1.108), se verifica que Z B ~ ∇ f · d~ l = f (B ) − f (A) , (1.143)

ém

A

donde la integral en la expresión anterior es una integral de camino.

Ac ad

La expresión (1.143) puede “justificarse” considerando la definición del diferencial de f dada por (1.140). A partir de esta definición, la integral en (1.143) puede verse como una superposición infinitesimal de las variaciones de la función entre los puntos A y B , y esto es precisamente f (B ) − f (A). Dos importantes corolarios se pueden extraer de la expresión (1.143) son 1.

Z

B

A,Γ

~ ∇ f · d~ l=

Z

B

A,γ

~ ∇ f · d~ l,

(1.144)

U so

RB esto es, A ~ ∇ f · d~ l es independiente del camino tomado entre los puntos A y B . RB ~ ·d~ Debe notarse que, en general, la integral de camino C AB = A,Γ F l sí depende del camino (considérese, por ejemplo, el trabajo realizado por un coche para desplazarse entre dos puntos siguiendo distintas carreteras).

2.

I Γ

~ ∇ f · d~ l =0.

(1.145)

Co p

ia

La integral de camino anterior a través de cualquier curva cerrada, Γ, es nula. ~ , puede expresarse como Actividad 1.13: La fuerza gravitatoria (o peso), P ~ ~ F = −∇E p (y), donde E p (y) = mg (y − y 0 ), g = 10 m/s2 y y 0 es un nivel de referencia constante. Para una partícula R B de masa m = 2 kg, obtenga el valor de la integral de ~ · d~ camino C AB = A,Γ P l siendo A(2, 3, 0) m y B (1, 0, 0) m. ¿Depende la anterior integral (es decir, el trabajo hecho por el peso) del camino seguido para ir desde A hasta B ? Encuentre una explicación para ello. Sin hacer ningún cálculo, deduzca el valor del trabajo de la fuerza gravitacional necesaria para trasladar la anterior partícula entre los puntos A(2, 3, 0) m y B (1, 3, −5) m, y también entre el punto A(2, 3, 0) m y él mismo tras recorrer una trayectoria cerrada.

Apuntes de Física 1

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1.10. Aspectos generales de funciones armónicas

25

1.9.4. Integral de flujo Una integral muy útil que aparece en Física es la integral de flujo. El flujo de un campo vectorial ~ A a través de una superficie S se define como la siguiente integral de superficie: Z Φ=

S

~ A · d~ S,

(1.146)

que tiene por módulo el área del elemento diferencial y por dirección y sentido el ˆ Por ejemplo, para el caso del del vector unitario normal exterior a la superficie, n. plano z = Cte, el diferencial de superficie será d~ S = dxdy zˆ .

Aspectos generales de funciones armónicas

ém

1.10.

ic o

donde S es una superficie arbitraria y d~ S es el vector diferencial de superficie, definido como ˆ, d~ S = dS n (1.147)

Ac ad

Una función armónica f (t ) es aquella que varía en el tiempo de la forma genérica: f (t ) = A cos(ωt + ϕ) , (1.148) donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y ϕ el desfase. La amplitud, A, determina el rango de variación de la señal, esto es −A ≤ f (t ) ≤ A .

La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia f a través de ω = 2π f =

2π , T

(1.149)

U so

donde T el periodo de la señal, esto es, aquel valor tal que f (t ) = f (t + T ). El desfase ϕ determina el origen del tiempo, esto es, cuál es el valor de la función en el instante t = 0: f (0) = A cos ϕ . Es interesante recordar algunas relaciones trigonométricas de las funciones seno o coseno, a saber: sen(a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b

ia

cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b ,

Co p

de donde puede deducirse, por ejemplo, que cos(ωt + ϕ − π/2) = sen(ωt + ϕ) .

(1.150)

Actividad 1.14:

Obtenga la amplitud, el periodo, la fase inicial y la frecuencia angular de la función armónica f (t ) = 3 sen(100πt ). Previamente escriba la anterior función en la forma general dada en (1.148).

Dadas dos funciones armónicas de la misma frecuencia: f (t ) = 5 cos(100πt ) y g (t ) = −5 sen(100πt ), halle su función suma. ¿Cuál es la frecuencia de la función resultante? ¿Qué ocurriría si la frecuencia angular de las funciones que se suman no es la misma?.

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Apuntes de Física 1

26

Tema 1. Repaso de matemáticas

1.11. Análisis fasorial

de modo que

ic o

En la resolución de ecuaciones de segundo grado, es frecuente encontrarse con p soluciones que implican tomar la raíz cuadrada de un negativo, por ejemplo −9. No obstante, es fácil notar que no existe ningún número real (esto es, que pertenezca al conjunto R) tal que su cuadrado sea −9. Para solucionar esta cuestión se introducen los números imaginarios, que pueden formarse a partir de la definición de la unidad imaginaria, j: p (1.151) j = −1 , p p p p −9 = −1 × 9 = −1 × 9 = j3 .

Los números que tienen tanto parte real como imaginaria se conocen como números complejos y pueden definirse como

ém

z = a + jb ,

(1.152)

donde a = Re (z) se dice que es la parte real de z y b = Im (z) la parte imaginaria de z.

Ac ad

Usualmente los números complejos se representan en un plano de modo que sobre el eje vertical se sitúa el eje imaginario y sobre el eje horizontal el eje real. De este modo, el número z queda caracterizado por un punto (como se muestra en la figura adjunta) que está a una distancia |z| dada por p (1.153) |z| = a 2 + b 2 , que se conoce como módulo de z, y con un ángulo ϕ medido en sentido antihorario a partir del eje real dado por µ ¶ b ϕ = arctan , (1.154) a

U so

que se denomina argumento de z.

Es fácil observar en la figura que z puede escribirse como z = |z|(cos ϕ + j sen ϕ) ,

y dado que la identidad de Euler dice que ejϕ = cos ϕ + j sen ϕ ,

(1.155)

Co p

ia

se tiene que el número complejo z puede reescribirse como z = |z|ejϕ .

(1.156)

Actividad 1.15: Escriba en forma polar los siguientes números complejos dados en forma binómica: z 1 = 3, z 2 = −3, z 3 = j, z 4 = −j, z 5 = 1 + j, z 6 = 1 − j, z 7 = −1 + j, y z 8 = −1 − j. [Se recomienda representar gráficamente los números anteriores en el plano complejo.] Escriba en forma binómica los siguientes números complejos: z 1 = e−jπ , z 2 = ejπ/4 , z 3 = 7e−jπ/2 , z 4 = 2ejπ/3 , z 5 = 3e−j3π/4 , z 6 = 3ej3π/4 , y z 7 = 0ejπ/2 . Sea z 1 = 1 − j y z 2 = 2e j π/4 , obtenga el resultado de las siguientes opep raciones: z 1 − z 2 , z 1 z 2 , z 1 /z 2 , z 14 , z 2 , y ln z 2 .

Apuntes de Física 1

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1.11. Análisis fasorial

27

Teniendo en cuenta la identidad(1.155), es fácil notar que la función armónica f (t ) = A cos(ωt + ϕ) puede escribirse como ¢ ¢ ¡ ¡ f (t ) = Re Aej(ωt +ϕ) = Re Aejϕ ejωt .

(1.157)

Si ahora definimos el fasor, f˜, de la función f (t ) como f˜ = Aejϕ ,

(1.158)

¢ ¡ f (t ) = Re f˜ejωt .

(1.159)

La identidad (1.159) permite establecer una relación biunívoca entre las funciones armónicas y sus fasores asociados, de modo que a toda función armónica se le puede asociar un fasor, esto es, f (t ) ↔ f˜ .

ém

(1.160)

ic o

se tiene que

Siguiendo las propiedades más elementales del cálculo de números complejos pueden demostrarse fácilmente las siguientes propiedades: ↔

α f (t )

↔

f˜1 + f˜2 α f˜ ,

(1.161)

Ac ad

f 1 (t ) + f 2 (t )

(1.162)

siendo f i (t ) = A i cos(ωt + ϕi ) y α un número real.

Una propiedad adicional de fundamental importancia práctica es d f (t ) ↔ jω f˜ . dt

(1.163)

Esta última propiedad puede deducirse como sigue:

U so

d f (t ) = − ωA sen(ωt + ϕ) = −ωA cos(ωt + ϕ − π/2) dt ¡ ¢ ¡ ¢ =Re −ωAej(ωt +ϕ−π/2) = Re −ωAejϕ e −jπ/2 ejωt ¡ ¢ ¡ ¢ =Re jωAejϕ e jωt = Re jω f˜ejωt ,

(1.164)

de donde se deduce que el fasor asociado a d f /dt es precisamente jω f˜.

ia

Actividad 1.16:

Co p

Halle los fasores asociados (en forma binómica) a las siguientes funciones armónicas: f 1 (t ) = −5 cos(πt ), f 2 (t ) = −5 cos(2πt ), f 3 (t ) = −5 cos(2πt + π/6), f 4 (t ) = −5 sen(πt ), f 5 (t ) = −5 sen(2πt ), y f 6 (t ) = −5 sen(2πt + π/6).

Escriba las funciones armónicas de periodo T = 1/50 s asociadas a los siguientes fasores: z 1 = e−jπ , z 2 = ejπ/4 , z 3 = 7e−jπ/2 , z 4 = 2ejπ/3 , z 5 = 3e−j3π/4 , z 6 = 3ej3π/4 , y z 7 = 0ejπ/2 . Dados los fasores f˜1 = 1 − j y f˜2 = 2e j π/4 asociados con las funciones armónicas f 1 (t ) y f 2 (t ) de frecuencia f = 50 Hz, halle las funciones armónicas resultantes de las siguientes operaciones: f 1 (t ) − f 2 (t ), 3 f 1 (t ) + 2 f 2 (t ) y 3 f 10 (t ) + 2 f 2 (t ).

Para el caso anterior ¿puede encontrarse el resultado de f 1 (t ) f 2 (t ) partiendo de sus fasores asociados?

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Apuntes de Física 1

28

Tema 1. Repaso de matemáticas

1.12. Problemas propuestos 1. Escriba la expresión de a) la longitud y el área de una circunferencia de radio R, b) el volumen de una esfera de radio R, c) el área y el volumen de un cilindro de radio R y altura h, d) el área y el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado a y altura h.

3. Dados los siguientes planos:

ic o

2. Escriba la expresión matemática de cos(2α), sen(2α), sen2 (α) y cos2 (α) en función de cos(α) y sen(α).

π0 ≡ x − 2y + 2z + 4 = 0

π ≡ 2x + 2y − z − 2 = 0

a) Obtener la ecuación de la recta que determinan. b) Hallar todos los puntos que equidistan de π y π0 .

ém

4. Dados los puntos A(1, −1, 2), B (2, 0, −1), C (0, 1, 3), se pide: a) Hallar todos los puntos que equidistan de A, B y C .

b) ¿Cuáles de ellos pertenecen al plano 2x + 2y + 2z + 1 = 0? c) Hallar la ecuación del plano que pasa por A, B y C . 5. Dado el sistema de ecuaciones

Ac ad

x + y + 2z = 2

−3x + 2y + 3z = −2 2x + m y − 5z = −4

a) Discutir el sistema según los valores de m. b) Resolverlo para m = 1.

a) Hallar el valor de λ para que sea continua la siguiente función:  λx 2 − 1  e  si x > 0   3x 2 f (x) =      sen(2x) si x ≤ 0 . x

U so

6.

b) Representar la anterior función en el intervalo −10 < x < 10.

7. Dado el polinomio P (x) = x 3 + ax 2 + bx + c, obtener los valores de a, b y c para que se verifiquen las siguientes condiciones: a) El polinomio P (x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x = −1/3, x = −1.

Co p

ia

b) La recta tangente a la gráfica de P (x) en el punto (0, P (0)) sea y = x + 3.

8. Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a) (3t 2 − 1) cos(4t ) b)

ez

2

z 6 − cos2 z

c) 5x 3x ln(x) 9. Sabiendo que la función F (x) tiene derivada f (x) continua en el intervalo cerrado [2, 5] y que F (2) = 1, F (3) = 2, F (4) = 6, F (5) = 3, f (3) = 3 y f (4) = −1; hallar: R a) 25 f (x) dx R b) 23 [5 f (x) − 7]dx R c) 24 F (x) f (x) dx 10. Calcular las primitivas de las siguientes integrales: R a) cos2 (ωt ) dt R b) sen3 (2y) dy c)

Apuntes de Física 1

R

dz z4 − 1

JCM,FLML

1.12. Problemas propuestos

29

R 2 2 x ln (x) dx R −3u e) ue du

d)

p 11. Recordando que ejα = cos(α) + j sen(α), siendo j = −1 la unidad imaginaria, escriba en forma binómica y polar el resultado de las siguientes operaciones con números complejos: a) ejπ/4 − 7j3 b) (4 + j)(2 − 5j) c)

(3 + 2j)2 4 − 5j

12. Expresar el vector (9, 8) como combinación lineal de los vectores (3, 1) y (1, 2) y representar gráficamente el resultado. Sol.: (9, 8)=2(3, 1)+ 3(1, 2). 13. Encontrar el unitario en la dirección dada por los puntos de coordenadas (3, 2, 0) y (6, 8, 2). ˆ Sol.: n=(3/7, 6/7, 2/7).

ém

14. Calcular el vector unitario perpendicular al plano determinado por los puntos (0, 0, 0), (1, 2, 3) y (3, 3, 1). p Sol.: (−7, 8, −3)/ 122

ic o

d) [e(2+jπ/3) ]4

15. Encontrar el ángulo formado por los vectores (3, 6, 2) y (8, 6, 0) utilizando dos técnicas diferentes (producto escalar y vectorial). Sol.: α = 31.003o .

Ac ad

16. Utilizando el concepto de producto vectorial, determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos p de coordenadas (1, 0, 0), (4, 5, 2) y (3, 1, 2). Sol.: Área= 117/2.

17. Encontrar los vectores unitarios radial (ˆr) y tangente (ˆt) en los puntos (x, y) de una circunferencia de radio R que se halla en el plano XY y tiene su centro en el origen de coordenadas. Repetir lo anterior suponiendo ahora que la circunferencia tiene su centro en el punto (3, 2). Sol.: centro en (0, 0): rˆ = (x/R, y/R), ˆt = (−y/R, x/R); centro en (3, 2): rˆ = ((x − 3)/R, (y − 2)/R), ˆt = (−(y − 2)/R, (x − 3)/R).

U so

18. Indicar cuales de las siguientes expresiones tienen sentido y cuales no: a) (~ a ·~ b) ·~ c ; b) ~ a · (~ b ×~ c ); c) ~ a (~ b ·~ c ); d) (~ a ·~ b) ×~ c. Sol.: correctas: b), c); incorrectas: a) y d) . p 19. Utilizando el hecho de que |~ a| = ~ a ·~ a , demostrar que q |~ a +~ b| = |~ a |2 + |~ b|2 + 2~ a ·~ b.

20. Encontrar la componente del vector (7, 5, 2) en la dirección dada por la recta que une los puntos (5, 4, 3) y (2, 1, 2). Sol.: (6, 6, 2).

ia

21. Descomponer el vector ~ A = (1, 5, 5) en sus componentes paralela y perpendicular a la dirección ˆ dada por el unitario n=(0, 3/5, 4/5). Sol.: ~ A=~ A∥ + ~ A ⊥ , siendo ~ A ∥ =(0, 3/5, 4/5) y ~ A ⊥ =(1, 21/5, 28/5).

Co p

22. Las coordenadas de una partícula móvil de masa m = 2 kg en función del tiempo son ~ r (t ) = (3t , t 2 , t 3 ) m (t en segundos). Determinar: a) la velocidad y aceleración de la partícula; b) la fuerza que actúa sobre la misma en el instante t = 1 s, así como las componentes de dicha fuerza en la dirección perpendicular y tangente a la trayectoria. ~ = (0, 4, 12) N; F ~⊥ = (−6, 0, 6) N, y F ~∥ = Sol.: a) ~ v (t ) = (3, 2t , 3t 2 ) m/s, ~ a (t ) = (0, 2, 6t ) m/s2 ; b) F (6, 4, 6) N. q 23. Calcule el gradiente de la función φ(x, y, z) = 2x y/r , siendo r = x 2 + y 2 + z 2 . £ ¤ Sol. ~ ∇φ = r −3 2y(r 2 − x 2 )ˆx + 2x(r 2 − y 2 )ˆy − 2x y z zˆ

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

ia

Co p U so ic o

ém

Ac ad

ic o

T EMA 2

ém

Cinemática de la partícula

Ac ad

2.1. Introducción

U so

Movidos por nuestra curiosidad, desde antaño la especie humana ha buscado los principios fundamentales y universales que gobiernan las causas y los efectos en los fenómenos observables del universo. Este procedimiento de búsqueda es lo que se denomina ciencia, siendo el método científico el acto de construir, probar y relacionar modelos con el objetivo de describir, explicar y predecir la realidad. Toda esta metodología implica el establecimeinto de hipótesis, la realización de experimentos que se puedan repetir y observar y la formulación de nuevas hipótesis. Esencial para determinar el valor de un modelo científico es su simplicidad y su utilidad para elaborar predicciones o para explicar observaciones referidas a un amplio espectro de fenómenos.

ia

Podemos definir la física como la ciencia que estudia la materia y la energía así como el espacio y el tiempo. Sus objetos de interés son los principios que determinan el movimiento de las partículas y las ondas, las interacciones de la partículas y las propiedades de las moléculas, los átomos y los núcleos atómicos, así como los sistemas de mayor escala, como los gases, los líquidos y los sólidos. La física podría considerarse como la rama de la ciencia más fundamental dado que sus principios sirven como base para otros campos científicos como la química, la biología, la geología, etc.

Co p

El presente curso de física empezará con el estudio de la mecánica. Esta rama de la física trata sobre el movimiento de los cuerpos. El movimiento puede estudiarse desde el punto de vista cinemático y dinámico. En el primer modelo se describe el movimiento en sí mismo; en el segundo, se investigan las relaciones que existen entre el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen. Dentro de este último apartado, la estática establece, como caso particular, las condiciones de equilibrio de los cuerpos. La mecánica es la más antigua de las ramas de la física y también la más elaborada. Sus modelos se han levado a otros campos, incluso fuera de la física. De ahí su interés como fundamento para entender otras parcelas científicas. En el presente tema estudiaremos la cinemática de una partícula y dejaremos el estudio de la dinámica para el próximo tema. Además, empezaremos el tema con una introducción al concepto de las magnitudes físicas que intervienen en mecánica, antes de abordar el estudio de la cinemática propiamente dicha.

31

32

Tema 2. Cinemática de la partícula

2.2. Magnitudes Físicas. Unidades Comenzaremos nuestro estudio de la mecánica estableciendo unas pocas definiciones básicas, introduciendo las unidades y mostrando cómo estas unidades se tratan en las ecuaciones.

ém

ic o

La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor unitario de la misma. Así, para medir la distancia entre dos puntos, la comparamos con una unidad estándar de distancia tal como el metro. La afirmación de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces la longitud de la unidad metro; es decir, una regla métrica patrón se ajusta 25 veces en dicha distancia. Es importante añadir la unidad metros junto con el número 25 al expresar una distancia debido a que existen otras unidades de longitud de uso común. Decir que una distancia es 25 carece de significado. Toda magnitud física debe expresarse con una cifra y una unidad.

2.2.1. El Sistema Internacional de unidades

Ac ad

Todas las magnitudes físicas pueden expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales. Muchas de las magnitudes que se estudiarán en mecánica, tales como velocidad, fuerza, trabajo o energía, pueden expresarse en función de tres magnitudes fundamentales: longitud, tiempo y masa. La selección de las unidades patrón o estándar para estas magnitudes fundamentales determina un sistema de unidades. El sistema utilizado universalmente en la comunidad científica es el Sistema Internacional (S.I.). En el S.I. la unidad patrón de longitud es el metro, la unidad patrón de tiempo es el segundo y la unidad patrón de la masa es el kilogramo. Damos a continuación la definición de las unidades patrón de cada una de las magnitudes fundamentales:

Co p

ia

U so

Longitud: La unidad patrón de longitud, el metro (símbolo m) estaba definida originalmente por la distancia comprendida entre dos rayas grabadas sobre una barra de una aleación de platino e iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Sèvres (Francia). Se escogió esta longitud de modo que la distancia entre el Ecuador y el Polo Norte a lo largo del meridiano que pasa por París fuese igual a 10 millones de metros. El metro patrón se define hoy día como la distancia recorrida por la luz en el vació durante un tiempo de 1/299792458 segundos. Esto supone que la velocidad de la luz es exactamente 299.792.458 metros por segundo. Tiempo: La unidad de tiempo, el segundo (símbolo s) se definió originalmente en función de la rotación de la Tierra, de modo que correspondía a 1/86400 del día solar medio. Actualmente se define en función de una frecuencia característica asociada con el átomo de Cesio. Todos los átomos, después de absorber energía, emiten luz con longitudes de onda y frecuencias características del elemento considerado. Existe una frecuencia y una longitud de onda particulares asociadas a cada transición energética dentro del átomo de un elemento y todas las experiencias manifiestan que estas magnitudes son constantes. El segundo se define como la frecuencia de la luz emitida en una determinada transición del Cesio es de 9.192.631.770 ciclos por segundo. Con estas definiciones, las unidades fundamentales de longitud y de tiempo son accesibles a cualquier laboratorio del mundo. Masa: La unidad de masa, el kilogramo (símbolo kg), igual a 1000 gramos (g), se define de modo que corresponde a la masa de un cuerpo patrón concreto, también conservado en Sèvres. Estudiaremos con más detalle el concepto

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

2.2. Magnitudes Físicas. Unidades

33

Al estudiar electricidad y termodinámica necesitaremos otras tres unidades físicas fundamentales: la unidad de corriente eléctrica, el amperio (A); la unidad de temperatura, el kelvin (K) y la unidad de cantidad de materia, el mol. Existe otra unidad fundamental, la candela (cd), unidad de intensidad luminosa, que no tendremos ocasión de utilizar durante este curso. Estas siete unidades fundamentales constituyen el Sistema Internacional de unidades.

Prefijo exa peta tera giga mega kilo hecto deca

Abreviatura E P T G M k h da

Múltiplo 10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1

Prefijo atto femto pico nano micro mili centi deci

U so

Múltiplo 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

Ac ad

ém

La unidad de cualquier magnitud física puede expresarse en función de estas unidades del S.I. fundamentales. Algunas combinaciones importantes reciben nombres especiales. Por ejemplo, la unidad S.I. de fuerza, kg·m/s2 se denomina newton (N). Análogamente, la unidad S.I. de potencia, kg·m2 /s3 se denomina vatio (W). En la Tabla 2.1 se relaciona los prefijos de los múltiplos y submúltiplos más corrientes de las unidades del S.I. Estos múltiplos son todos potencias de 10 y un sistema así se denomina sistema decimal; el sistema decimal basado en el metro se llama sistema métrico. Los prefijos pueden aplicarse a cualquier unidad del S.I., por ejemplo, 0,001 segundos es un milisegundo (ms); 1.000.000 de watios es un megawatio (MW).

ic o

de masa en el capítulo siguiente. Como veremos, el peso de un objeto en un punto determinado de la tierra es proporcional a su masa. Así, las masas de tamaño ordinario pueden compararse a partir de su peso.

Abreviatura a f p n µ m c d

Cuadro 2.1: Prefijos de las potencias de 10.

Co p

ia

Como último comentario en este apartado es conveniente notar que las unidades siempre se expresarán en el tipo de letra estándar (no cursiva). Así, por ejemplo, 3m denotará “tres veces la masa de un cuerpo” pero 3 m denotará “tres metros.” Por otra parte las unidades siempre se escribirán en minísculas pero sus abreviaturas se escribirán en mayúsculas o minúsculas según procedan de un nombre propio o bien uno común. De este modo, 1 s representa “un segundo” y 1 A representa “un amperio” dado que amperio proviene del físico Ampère. En otro ejemplo tendremos que 1 km represente “un kilómetro” pero 1 Km representa “un kelvin metro”.

2.2.2. Conversión de unidades

Todas las magnitudes físicas contienen un número y una unidad. Cuando estas magnitudes se suman, se multiplican o dividen en una ecuación algebraica, la unidad puede tratarse como cualquier otra magnitud algebraica. Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar la distancia recorrida en 3 horas (h) por un coche que se mueve con una velocidad constante de 80 kilómetros por hora (km/h). La

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

34

Tema 2. Cinemática de la partícula distancia x es precisamente la velocidad v multiplicada por el tiempo t : x = vt =

80 km h


×3 h
= 240 km .

1 mi =1. 1.61 km

ic o

Eliminamos la unidad de tiempo, la hora, igual que haríamos con cualquier otra magnitud algebraica para obtener la distancia en la unidad de longitud correspondiente, el kilómetro. Este método permite fácilmente pasar de una unidad de distancia a otra. Supongamos que quisiéramos convertir nuestra distancia de 240 kilómetros en millas (mi). Teniendo en cuenta que 1 mi=1.61 km, si dividimos los dos miembros de esta igualdad por 1.61 km se obtiene

ém

Como toda magnitud puede multiplicarse por 1 sin modificar su valor, podemos convertir 240 km en millas multiplicando por el factor (1 mi)/(1.61 km):

× 240 km = 240  km

1 mi  = 149 mi . 1.61  km

Ac ad

El factor (1 mi)/(1.61 km) se denomina factor de conversión. Todos los factores de conversión tienen el valor 1 y se utilizan para pasar una magnitud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de medida. Escribiendo explícitamente las unidades no es necesario pensar si hay que multiplicar o dividir por 1.61 para pasar de kilómetros a millas, ya que las unidades indican si hemos escogido el factor correcto o el incorrecto.

Co p

ia

U so

Aunque siempre podemos proceder de la manera anteriormente expuesta, cuando debemos hacer operaciones algebraicas que involucran varias magnitudes siempre es recomendable expresar los valores numéricos de dichas magnitudes en el S.I. para así asegurar que el resultado de sus operaciones también tenga unidades del propio S.I. De este modo prescindimos de las unidades enlas operaciones intermedias y solo al final añadimos la unidad oportuna del S.I. correspondiente a la magnitud involucrada. Así, en el cálculo de la distancia x realizado anteriormente, primero expresaríamos la velocidad en el sistema internacional, para lo cual 80000 v= = 22, 22 m/s . 3600 Posteriormente también expresaríamos el tiempo en segundo; esto es, t = 10800 s y finalmente operaríamos de la siguiente manera:

Apuntes de Física 1

x = v t = 22, 22 × 10800 = 240 ×103 m .

2.2.3. Dimensiones de las magnitudes físicas El área de una figura plana se encuentra multiplicando una longitud por otra. Por ejemplo, el área de un rectángulo de lados 2 m y 3 m es A = (2 m)(3 m) = 6 m2 . La unidad de área es el metro cuadrado. Puesto que el área es el producto de dos longitudes, se dice que tiene dimensiones de longitud por longitud, o longitud al cuadrado, que suele escribirse L 2 . La idea de dimensiones se amplía fácilmente a otras magnitudes no geométricas. Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo o L/T . Las dimensiones de otras magnitudes, tales como fuerza o energía, se escriben en función de las magnitudes fundamentales: longitud (L), tiempo (T ) y masa (M ). La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene sentido si ambas tienen las mismas dimensiones.

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2.2. Magnitudes Físicas. Unidades

35

Símbolo A V v a F p ρ E P

Dimensión L2 L3 LT −1 LT −2 M LT −2 M L −1 T −2 M L −3 M L 2 T −2 M L 2 T −3

Ac ad

Cuadro 2.2: Dimensiones de las magnitudes físicas

ém

Magnitud Área Volumen Velocidad Aceleración Fuerza Presión(F /A) Densidad(M /V ) Energía Potencia

ic o

A veces pueden detectarse errores en un cálculo comprobando las dimensiones y unidades de las magnitudes que intervienen en él. Supongamos, por ejemplo, que estamos utilizando erróneamente la fórmula A = 2πr para el área de un círculo. Veremos inmediatamente que esto no puede ser correcto, ya que 2πr tiene dimensiones de longitud, mientras que el área tiene dimensiones de longitud al cuadrado. La coherencia dimensional es una condición necesaria pero no suficiente para que una ecuación sea correcta. Una ecuación puede tener las dimensiones correctas en cada término, pero no describir una situación física. El Cuadro 2.2 relaciona las dimensiones de algunas magnitudes corrientes en física.

Cuando una magnitud carece de dimensiones, se denomina adimensional. Los ángulos, por ejemplo, son magnitudes adimensionales. Esto se ve claramente en la definición de radián [ver Eq. (1.32)], que se muestra gráficamente en la figura. Con centro en el vértice del ángulo se traza un arco AB de radio R. Entonces la medida θ en radianes es s θ= (2.1) R

Definición de ángulo en radianes

ia

U so

donde s es la longitud del arco. Esta definición se basa en el hecho de que s/R es independiente del radio del arco y, por tanto, caracteriza bien al ángulo. Un radián se define, en consecuencia, como el ángulo que corresponde a una longitud del arco igual al radio. Así, una circunferencia completa (360º) tendrá 2π radianes. Claramente, el radián carece de dimensiones, ya que proviene del cociente entre dos longitudes. Análogamente, los argumentos de funciones trascendentes (seno, coseno, logaritmo, exponencial, . . . ) son también adimensionales. Actividad 2.1:

Co p

Describa las ventajas más importantes de disponer de un “sistema de unidades” y más en concreto del Sistema Internacional. Determine si las siguientes expresiones son correctas o incorrectas y razone su respuesta: (a) 2 ms, (b) 5 Ms, (c) 5 sM, (d) 7 km, (e) 7 mk, (f ) 7 mK, (g) 7 Km, (h) 200 KHz, (i) 200 kHz, (j) 200 Julios, (k) 4 Metros, (l) 4 kilometros, (m) 4 Kilometros. Exprese la velocidad de un móvil que nos dicen que es 120 km/h en las siguientes unidades: (a) m/s, (b) km/min, (c) mm/año, (d) Mm/día, (e) pulgadas/mes. Explique la relevancia de un análisis de dimensiones en las expresiones físicas.

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

36

Tema 2. Cinemática de la partícula

2.3. Movimiento curvilíneo 2.3.1. Partículas materiales

ic o

Cuando se mueven los cuerpos describiendo una trayectoria, pueden al mismo tiempo girar, caso de una pelota que rueda por el suelo, o vibrar, como una gota de agua que cae. Estos movimientos superpuestos al del cuerpo, que se mueve como un todo, dificultan el estudio del movimiento. Para evitar inicialmente estas complicaciones se considera que los cuerpos se mueven como partículas materiales. Matemáticamente, una partícula es un objeto puntual (“ocupa” un punto) sin dimensiones y, por tanto, no puede tener ni rotaciones ni vibraciones internas.

ém

En la realidad no existen tales objetos puntuales; sin embargo, en el estudio del movimiento de muchos cuerpos, estos se comportan muy aproxidamente como si lo fueran. Es por ello que la mecánica de la partícula constituye un modelo muy útil para el estudio del movimiento. A continuación realizamos una serie de comentarios en relación con la aplicación del modelo de partícula a la mecánica:

Ac ad

Aunque la palabra partícula se asocia intuitivamente a algo de pequeñas dimensiones, los cuerpos no tienen que ser necesariamente pequeños para que puedan considerarse como partículas. Así, con este modelo, se consigue una gran cantidad de información acerca del movimiento de los cuerpos del Sistema Solar, considerando cada astro como una partícula, cosa que por otra parte puede estar justificada si tenemos en cuenta la enorme distancia que los separa en relación con sus dimensiones.

U so

Si el cuerpo es demasiado grande para que pueda asimilarse a una partícula en un problema específico, siempre puede analizarse su movimiento en función de los movimientos de cada una de las partículas que lo forman, y en este caso también resultará útil el modelo de partícula.

Co p

ia

Finalmente, es obvio que este modelo de partícula, por su propia definición, tiene una limitación a la hora de aplicarlo. Con él sólo pueden estudiarse movimientos de traslación, entendiendo como tales los movimientos de un cuerpo en los que, si imaginamos un sistema de referencia ligado al cuerpo, sus respectivos ejes se mantienen paralelos a sí mismos en el transcurso del movimiento.

y

trayectoria

Apuntes de Física 1

Cuando una partícula se mueve en el espacio describe en general una línea que no es una recta y decimos que experimenta un movimiento curvilíneo. La posición P de la partícula en un instante t queda completamente especificada por su vector de posición ~ r (t ) respecto de un sistema de referencia: ~ r (t ) = x(t ) xˆ + y(t ) yˆ + z(t ) zˆ .

(2.2)

En un instante posterior t + ∆t , la partícula ocupará una posición P 0 caracterizada por un vector de posición ~ r 0 . El vector

x z

2.3.2. Vectores de posición y velocidad

∆~ r =~ r 0 −~ r

(2.3)

representa el cambio de posición de la partícula, tanto su cambio de dirección como el cambio de distancia respecto del origen de coordenadas (ver figura). Se

JCM,FLML

2.3. Movimiento curvilíneo

37

define la velocidad media de la partícula durante el intervalo ∆t como el cociente ~ vm =

∆~ r ∆t

(2.4)

siendo, por tanto, ~ v m un vector de igual dirección y sentido que ∆~ r y módulo |∆~ r |/∆t .

~ v (t ) = l´ım

∆t →0

~ ∆~ r r (t + ∆t ) −~ r (t ) d~ r = l´ım = . ∆t ∆t →0 ∆t dt

(2.5)

~ v (t ) =

d~ r ˙ ) xˆ + y(t ˙ ) yˆ + z(t ˙ ) zˆ = x(t dt

ém

En la ecuación anterior hemos representado las posiciones de la partícula en el tiempo mediante una función vectorial~ r (t ) de la variable escalar t . La velocidad aparece entonces como la derivada de esta función vectorial. El vector velocidad puede también escribirse en función de las componentes del vector de posición de la siguiente forma:

ic o

La velocidad instantánea se define tomando un intervalo ∆t muy pequeño en su límite infitesimal:

(2.6)

Velocidad instantánea

Ac ad

donde el punto encima de una determinada función dependiente del tiempo significada derivada con respecto al tiempo de dicha función. (Nótese que las derivadas respecto al tiempo de los vectores xˆ , yˆ y zˆ son cero pues su módulo, dirección y sentido permanecen fijos en el tiempo). El módulo del vector velocidad, v(t ) ≡ |~ v (t )| podrá entonces expresarse como q ˙ )]2 + [ y(t ˙ )]2 + [z(t ˙ )]2 v(t ) = [x(t (2.7)

U so

El vector unitario asociado a la velocidad es un vector tangente a la trayectoria dado que, cuando P → P 0 , encontramos que la dirección de ∆~ r será la de la tangente a la trayectoria en el punto P (o instante t ). Dicho vector unitario será denotado ˆ y podrá obtenerse como como τ ˙ ) xˆ + y(t ˙ ) yˆ + z(t ˙ ) zˆ x(t ˆ=p τ . 2 2 ˙ )] + [ y(t ˙ )] + [z(t ˙ )]2 [x(t

(2.8)

Co p

ia

En el límite mostrado en (2.5) podemos operar de forma diferente para obtener unas expresiones alternativas para el módulo y el vector unitario de la velocidad. Para ello denotemos como ∆s al desplazamiento a lo largo de la trayectoria entre los puntos P y P 0 . Si multiplicamos y dividimos por ∆s en (2.5) obtenemos µ ¶µ ¶ ∆~ r ∆s ∆~ r ∆s ~ v (t ) = l´ım = l´ım l´ım . (2.9) ∆s→0 ∆s ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆s ∆t

Notemos ahora que el módulo del primer límite es la unidad dado que ∆s → |∆~ r| r |). Lo cuando ∆t → 0 (o, equivalentemente, cuando P → P 0 tenemos que ∆s → |∆~ anterior nos permite escribir entonces que l´ım

∆s→0

∆~ r d~ r ˆ. ≡ =τ ∆s ds

(2.10)

Para el segundo límite en (2.9), tenemos simplemente que l´ım∆t →0 (∆s/∆t ) = ds/dt por lo que finalmente podemos escribir ~ v (t ) =

JCM,FLML

ds ˆ = v(t ) τ ˆ τ dt

(2.11)

Apuntes de Física 1

38

Tema 2. Cinemática de la partícula donde v(t ) =

ds dt

(2.12)

ˆ su vector unitario. representa el módulo de la velocidad instantánea y τ Actividad 2.2: Las trayectorias de las partículas son siempre líneas rectas en el espacio. ¿Verdadero o Falso?

ic o

¿Puede existir un movimiento en el que su vector velocidad media sea nulo, ~ v m = 0? Si piensa que sí, describa posibles ejemplos.

Describa las trayectorias de cuatro partículas cuyo vectores posición vienen dados respectivamente por ~ r 1 (t ) = t ln(3t )ˆx, ~ r 2 (t ) = 3ˆx + t yˆ , ~ r 3 (t ) = 3ˆx + t 2 yˆ , ~ r 4 (t ) = t 2 yˆ .

ém

Calcule el vector velocidad para los casos anteriores y relacione dicho vector con su trayectoria. Si le diesen únicamente los vectores velocidad obtenidos en el punto anterior, ¿podría obtener los vectores posición ~ r (t ) del punto previo al anterior? Razone su respuesta.

Ac ad

¿Sabe distinguir “vector posición” y “trayectoria”? Obtenga cuando sea posible las trayectorias de los movimientos definidos por el vector posición del tercer punto. Demuestre que el espacio recorrido s por una partícula entre los instantes de tiempo t 1 y t 2 puede expresarse como s 1→2 =

Z

t 2q

t1

˙ )]2 + [ y(t ˙ )]2 + [z(t ˙ )]2 dt . [x(t

ia

U so

En un movimiento circular uniforme con velocidad angular ω, su vector posición puede escribirse como ~ r (t ) = R cos(ωt )ˆx +R sen(ωt )ˆy. Utilice la integral anterior para obtener el espacio recorrido por la partícula en un intervalo de tiempo ∆t . ¿Qué obtendría si ∆t = T , siendo T el periodo de dicho movimiento?

Co p

y

z

De modo completamente análogo a como hicimos con la velocidad media podemos igualmente definir la aceleración media como ~ am =

∆~ v ∆t

(2.13)

e igualmente la aceleración instantánea vendrá dada por

x

trayectoria

Aceleración instantánea

Apuntes de Física 1

2.3.3. Vector aceleración

~ a (t ) = l´ım

∆t →0

~ ∆~ v v (t + ∆t ) − ~ v (t ) d~ v = l´ım = ∆t ∆t →0 ∆t dt

(2.14)

que puede reescribirse en función de las derivadas de las componentes del vector de posición como ~ a (t ) =

d~ v d2~ r ¨ ) xˆ + y(t ¨ ) yˆ + z(t ¨ ) zˆ . = 2 = x(t dt dt

(2.15)

JCM,FLML

2.3. Movimiento curvilíneo

39

Anteriormente hemos expresado la velocidad y la aceleración como derivadas del vector posición. No obstante, podemos proceder inversamente y obtener el vector posición en función de la aceleración y la velocidad. Para ello debemos integrar las expresiones de la aceleración y velocidad y conocer los valores de las mismas en un instante dado (que, por comodidad, denotaremos como t = 0). Supongamos entonces que conocemos el vector aceleración ~ a (t ) asociado a cierta trayectoria. Dado que tenemos que d~ v (t ) dt

(2.16)

podemos escribir el diferencial de velocidad como d~ v (t ) = ~ a (t ) dt .

(2.17)

Z

~ v (t )

~ v0

d~ v=

t

Z 0

~ a (t ) dt

obtenemos finalmente t

Z 0

~ a (t ) dt .

(2.18)

(2.19)

Ac ad

~ v (t ) = ~ v0 +

ém

Tomando como velocidad inicial ~ v (t = 0) ≡ ~ v 0 , al integrar en la ecuación anterior

ic o

~ a (t ) =

Si procedemos de forma análoga, partiendo de ~ v (t ) =

d~ r (t ) dt

considerando que ~ r (t = 0) ≡~ r 0 llegamos a que t

Z

~ v (t ) dt

U so

~ r (t ) =~ r0 +

0

(2.20)

(2.21)

donde ~ v (t ) se ha definido en (2.19). Actividad 2.3:

ia

El vector aceleración en un punto P es tangente a la trayectoria en dicho punto. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta.

Co p

El vector aceleración en un punto P nunca es tangente a la trayectoria en dicho punto. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta. ¿Puede existir un movimiento acelerado en el que su vector aceleración media sea nulo, ~ a m = 0? Si piensa que sí, describa posibles ejemplos. ¿Existe alguna relación geométrica sencilla que nos permita determinar la dirección de la aceleración de una partícula a partir de su trayectoria? Razone su respuesta. Halle el vector aceleración en un movimiento circular uniforme con velocidad angular ω si vector posición viene dado por ~ r (t ) = R cos(ωt )ˆx + R sen(ωt )ˆy. ¿Qué característica relevante tiene dicha aceleración?

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

40

Tema 2. Cinemática de la partícula

E JEMPLO 2.1 Una partícula, que en el instante inicial se encuentra en el punto dado por el vector ~r 0 = 8ˆx + 2ˆy m con velocidad ~ v 0 = 6ˆy + 7ˆz m/s, posee una aceleración ~ a (t ) = −27 cos(3t )ˆx − 12 sen(2t )ˆy m/s2 . Calcule, para un instante genérico t , el vector de posición de la partícula ~r (t ) (todas las distancias están en metros, los ángulos en radianes y el tiempo en segundos).

Z ~v ~ v0

d~ v=

Z t 0

~ a dt

ic o

En primer calculamos el vector velocidad, y para ello partimos de d~ v =~ a dt . Al integrar esta expresión en nuestro caso particular obtenemos que

Z t £ ¤ ~ v −~ v0 = −27 cos(3t )ˆx − 12 sen(2t )ˆy dt 0

ém

de donde obtenemos que

£ ¤t ~ v (t ) = ~ v 0 + −9 sen(3t )ˆx + 6 cos(2t )ˆy 0

= 6ˆy + 7ˆz − 9 sen(3t )ˆx + 6 cos(2t )ˆy − 6ˆy

Ac ad

= −9 sen(3t )ˆx + 6 cos(2t )ˆy + 7ˆz .

Análogamente procedemos para obtener el vector posición ~ r (t ) a partir de Z ~r ~ r0

d~ r=

Z t 0

~ v dt

Z t £ ¤ ~ r (t ) −~ r0 = −9 sen(3t )ˆx + 6 cos(2t )ˆy + 7ˆz dt . 0

Al operar encontramos que

U so

£ ¤t ~ r (t ) =~ r 0 + 3 cos(3t )ˆx + 3 sen(2t )ˆy + 7t zˆ 0

=8ˆx + 2ˆy + 3 cos(3t )ˆx − 3ˆx + 3 sen(2t )ˆy + 7t zˆ = [5 + 3 cos(3t )] xˆ + [2 + 3 sen(2t )] yˆ + 7t zˆ .

Co p

ia

2.3.4. Movimiento uniforme (MU) El caso más sencillo de movimiento de una partícula es el movimiento uniforme. Este movimiento se caracteriza porque su aceleración es nula; esto es, ~ a = 0. Según la expresión (2.19), esto significa que ~ v (t ) = ~ v0 es decir, que el vector velocidad es constante. Al introducir este vector en la expresión (2.21), obtenemos finalmente que ~ r (t ) =~ r0 + ~ v0 t .

(2.22)

Este movimiento es un movimiento rectilíneo a lo largo de la recta que pasa por el punto ~ r 0 y cuya dirección la marca ~ v 0 . En el caso particular de que esta dirección coincida con el eje x, tendremos el conocido como movimiento rectilíneo uniforme, cuya ecuación será x(t ) = x 0 + v 0 t .

Apuntes de Física 1

(2.23)

JCM,FLML

2.3. Movimiento curvilíneo

41

2.3.5. Movimiento uniformemente acelerado (MUA) Este movimiento se caracteriza por tener una aceleración constante: ~ a (t ) = ~ a0 . Al operar ahora en las expresiones (2.19) y (2.21) obtenemos que la velocidad y posición de la partícula vienen dadas porque (2.24)

1 ~ a0 t 2 . r (t ) =~ r0 + ~ v0 t + ~ 2

(2.25)

Caso 1: Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

ém

A continuación analizamos dos situaciones particulares de MUA que podemos encontrar frecuentemente en nuestra experiencia diaria.

Velocidad y posición en el MUA

ic o

~ v (t ) = ~ v0 + ~ a0 t

v(t ) = v 0 + a 0 t

Ac ad

En el caso particular de que los vectores velocidad y aceleración sean constantes y paralelos entre sí, definimos este movimiento como movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En el caso particular en que ~ v 0 = v 0 xˆ y ~ a 0 = a 0 xˆ , entonces tendríamos que

1 x(t ) = x 0 + v 0 t + a 0 t 2 . 2

(2.26)

U so

Se puede eliminar el tiempo de las ecuaciones (2.26) y (2.27) obteniendo la siguiente relación: v 2 = v 02 + 2ax

Velocidad y posición en el MRUA

(2.27)

(2.28)

Relación entre velocidad y posición en el MRUA

ia

Un ejemplo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es la caída libre de un cuerpo, en el cual a = g , donde g = 9.81 m/s2 es la aceleración de la gravedad.

Caso 2: Movimiento parabólico bajo la acción gravitatoria

Co p

Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada debido a los efectos de la aceleración de la gravedad. Un balón lanzado, un paquete soltado de un avión o una bala disparada de un cañón son ejemplo de proyectiles. Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo idealizado que representa el proyectil como una partícula con aceleración (debida a la gravedad) constante en módulo y dirección. Despreciaremos los efectos del aire y la curvatura de la Tierra. En primer lugar, observamos que el movimiento de un proyectil está limitado a un plano vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial. Esto se debe a que la aceleración debida a la gravedad es exclusivamente vertical; la gravedad no puede mover un proyectil lateralmente. Por tanto, este movimiento es bidimensional. Tomamos como plano de movimiento el plano x y, con el eje

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

Tema 2. Cinemática de la partícula

ém

ic o

42

Ac ad

F IGURA 2.1: Trayectoria de un proyectil con una velocidad inicial ~ v 0 y un ángulo α0 respecto a la horizontal. La distancia x A es el alcance horizontal, y H es la altura máxima.

x horizontal hacia la derecha y el y vertical hacia arriba. En este caso tendremos que ~ a = −g yˆ y si representar la velocidad inicial ~ v 0 con su módulo v 0 y su ángulo θ0 con el eje x en términos de sus componentes v 0x = v 0 cos θ0

v 0y = v 0 sen θ0

(2.29)

U so

entonces, al sustituir en (2.24) y (2.25), llegamos a que ~ v (t ) = (v 0 cos θ0 xˆ + v 0 sen θ0 yˆ ) − g yˆ t

Co p

ia

1 ~ r (t ) = (x 0 xˆ + y 0 yˆ ) + (v 0 cos θ0 xˆ + v 0 sen θ0 yˆ )t − g yˆ t 2 2

Apuntes de Física 1

o, equivalentemente, a un movimiento en el eje x que es un movimiento rectilíneo uniforme:   v x (t ) = v 0x (2.30)  x(t ) = x 0 + v 0x t . y a un movimiento en la dirección y que es uniformemente acelerado (con aceleración constante a y = −g ):   v y (t ) = v 0y − g t 

(2.31)

y(t ) = y 0 + v 0y t − 21 g t 2 .

Por lo general, lo más sencillo es tomar la posición inicial (en t = 0) como origen; así, x 0 = y 0 = 0. Este punto podría ser la posición de una pelota cuando abandona la mano del lanzador, o la de una bala cuando sale de un cañón. La Fig. 2.1 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa por) el origen de coordenadas en t = 0. La posición, velocidad, componentes de velocidad y aceleración se muestran en una serie de instantes equiespaciados. La componente x de la aceleración es 0, así que v x es constante. La componente y de la aceleración

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2.3. Movimiento curvilíneo

43

es constante (pero no nulo), así que v y cambia en cantidades iguales a intervalos iguales. En el punto mas alto de la trayectoria, v y = 0. Tomando x 0 = y 0 = 0 en (2.30) y (2.31) llegamos a que y(t ) = v 0 sen θ0 t − 21 g t 2



(2.32)

v x (t ) = v 0 cos θ0

v y (t ) = v 0 sen θ0 − g t

Estas ecuaciones describen la posición y la velocidad del proyectil de la Fig. 2.1 en cualquier instante de tiempo t . Podemos deducir la siguiente ecuación de la trayectoria y(x) eliminando t de las ecuaciones anteriores: g 2v 02 cos2 θ0

x2

(2.33)

Trayectoria parabólica

ém

y(x) = (tan θ0 )x −

Ecuaciones del movimiento de proyectiles

ic o

  x(t ) = v 0 cos θ0 t

que, dado que θ0 , v 0 y g son constantes, corresponde a la ecuación de una parábola.

t1 =

µ

v 0 sen θ0 g

¶ ¶ µ 1 v 0 sen θ0 2 v 0 sen θ0 − g g 2 g

U so

H = y(t 1 ) = v 0 sen θ0

Ac ad

Es también interesante encontrar los valores de la altura máxima H y del alcance x A en función de las constantes v 0 y θ0 . Para encontrar el valor de la altura máxima, tenemos en cuenta que en ese punto, v y = 0, y buscamos para qué valor de t = t 1 tiene lugar ese evento. Sustituimos t 1 en la ecuación de y(t ) y de ahí se obtiene H = y(t 1 ):

es decir,

H=

v 02 sen2 θ0 2g

.

(2.34)

Co p

ia

Si variamos θ0 , el valor máximo de h se obtiene cuando sen θ0 = 1, es decir, θ0 = 90º. Para obtener la ecuación del alcance x A usamos la ecuación de la trayectoria (2.33) para obtener el valor de x cuando y = 0: (tan θ0 )x =

g 2v 02 cos2 θ0

x2 .

Esta ecuación tiene dos raíces: la primera correspondería al punto inicial (x = 0, y = 0); la otra raíz x = x A nos daría el siguiente valor del alcance: xA =

2v 02 sen θ0 cos θ0 g

=

v 02 sen 2θ0 g

.

(2.35)

El alcance será máximo cuando sen 2θ0 = 1, es decir, θ0 = 45º. Dada la simetría de la trayectoria se puede deducir que el tiempo que tarda en alcanzarse la altura máxima es la mitad del tiempo necesario para que x = x A ; además, y(x A /2) = H .

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Apuntes de Física 1

44

Tema 2. Cinemática de la partícula

Actividad 2.4: ¿Es posible un movimiento uniforme cuya trayectoria sea curvilínea? Si piensa que es posible, ponga un ejemplo. ¿Es posible un movimiento uniformemente acelerado cuya trayectoria no sea rectilínea? Si piensa que es posible, ponga diversos ejemplos. Todos los movimientos curvilíneos son MUA. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta.

ic o

El movimiento parabólico de un proyectil se dice que es un MUA ¿Por qué? ¿Podría tener el proyectil una trayectoria no parabólica? La caida de un paracaidista desde un avión, ¿es un MUA?

ém

¿Corresponde ~ r (t ) =~ r0 + ~ v 0 t 2 + 12 ~ a 0 t 2 a un MUA?

Ac ad

E JEMPLO 2.2 Una partícula sale despedida desde un edificio de altura h con cierta velocidad inicial horizontal ~ v 0 = v 0x xˆ .(a) Calcular la velocidad final v~f = v f x xˆ + v f y yˆ cuando la partícula impacta en el suelo en función de h, v 0 y g . (b) Calcular el ángulo α que forma v~f con la horizontal en función de las mismas variables. (c) Calcular el radio de curvatura ρ en el instante final en función de las mismas variables. (a) En la presente situación debemos tener en cuenta que tenemos una trayectoria parabólica donde se verifican las siguientes ecuaciones: v x (t ) = v 0

x(t ) = v 0 t

v y (t ) = −g t

1 y(t ) = h − g t 2 . 2

Co p

ia

U so

Al llegar al suelo tenemos que y = 0 y, por tanto, 1 0 = h − g t2 2

s

=⇒

t=

2h . g

La componente y de la velocidad en el instante anterior será s 2h q = 2g h v f y = −g g por lo que el vector velocidad final vendrá dado por q v~f = v 0 xˆ − 2g h yˆ .

(b) Para calcular el ángulo α debemos notar en la figura adjunta que p |v f y | 2g h tan α = = |v f x | v0 y, por tanto, α = arctan

p 2g h

v0

.

(c) Finalmente, para el cálculo del radio de curvatura debemos considerar que en el instante del impacto se verifica (esta expresión la obtendremos en el Apartado siguiente) an =

Apuntes de Física 1

v 2f ρ

=⇒

ρ=

v 2f an

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2.4. Componentes intrínsecas de la aceleración

45

q donde v f = |~ v f | = v 02 + 2g h y a n es el módulo de la componente normal de la aceleración. Esta componente es normal a la trayectoria y estará dirigida según se muestra en la figura adjunta. Dado que la aceleración en nuestro problema es ~ a = −g yˆ , tendremos que

a n = g cos α = g

vf x vf

=q

g v0 v 02 + 2g h

v 2f an

=

(v 02 + 2g h)3/2 g v0

.

Ac ad

2.4. Componentes intrínsecas de la aceleración

ém

ρ=

ic o

de donde obtenemos finalmente

Al describir el movimiento curvilíneo observamos que la velocidad es un vector tangente en todo instante a la trayectoria mientras que la aceleración, en general, NO lo es. En muchas ocasiones, resulta conveniente descomponer la aceleración según las direcciones tangente y normal a la trayectoria. Por simplicidad nos restringiremos al movimiento plano. Consideremos una partícula que se mueve describiendo una curva en el plano del papel. De acuerdo con la ecuación (2.11), expresamos la velocidad como

U so

ˆ ~ v = vτ

En general, el vector aceleración NO es tangente a la trayectoria

(2.36)

ˆ es un vector unitario tangente a la trayectoria y orientado en el sentido donde τ del movimiento. La aceleración la obtenemos derivando respecto al tiempo, ˆ dτ dv ˆ +v τ . dt dt

(2.37)

ia

~ a=

Co p

Obsérvese que, a diferencia de lo que sucede con los vectores unitarios (ˆx, yˆ , ˆ es en general distinta de cero, ya que aunque el módulo de τ ˆ zˆ ), la derivada de τ es siempre la unidad, su dirección cambia de un punto a otro de la trayectoria. Si ˆ como una función del ángulo θ que forma con el eje x, aplicando consideramos τ la regla de la cadena tendremos ˆ dτ ˆ dθ dτ = . dt dθ dt

(2.38)

Necesitamos calcular las dos derivadas. Para ello, consideramos la figura adjunta. Sea P la posición de una partícula en un instante dado t y tomemos de ˆ como el vector tangente a la trayectoria en el punto P . En un instante nuevo τ posterior t 0 = t + ∆t , la partícula se encontrará en el punto P 0 y el vector tangente ˆ 0. será τ

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Apuntes de Física 1

46

Tema 2. Cinemática de la partícula ˆ yτ ˆ 0 y los dibujamos desde un mismo origen Tomemos ahora los vectores τ tal como aparece en la figura adjunta. Como ambos tienen módulo unidad, sus extremos se encuentran sobre una circunferencia de radio unidad. El ángulo que ˆ0 − τ ˆ tendrá forman entre sí lo denominamos ∆θ de manera que el vector ∆~ τ=τ módulo q p ∆θ ˆ 2 + |τ ˆ 0 |2 − 2 cos ∆θ = 2(1 − cos ∆θ) = 2 sen |∆~ τ| = |τ| 2

ém

ic o

De manera análoga a lo que sucedía con la velocidad en el límite ∆θ → 0, el vector ∆~ τ se vuelve tangente a la circunferencia de radio unidad de la figura y, ˆ En dicho límite el vector ∆~ por tanto, perpendicular a τ. τ/∆θ tiene esas mismas propiedades, pero además su módulo vale ¯ ¯ ¯ ∆~ τ ¯¯ 2 sen(∆θ/2) sen(∆θ/2) l´ım ¯¯ = l´ım = l´ım =1 ¯ ∆θ→0 ∆θ ∆θ→0 ∆θ→0 (∆θ/2) ∆θ Es decir, en el límite en que ∆θ → 0, el vector ∆~ τ/∆θ es un vector unitario ˆ y con el mismo sentido que gira τ. ˆ Podemos entonces escribir perpendicular a τ ˆ = l´ım n

ˆ ∆~ τ dτ = ∆θ dθ

(2.39)

Ac ad

∆θ→0

ˆ se denomina vector normal a la trayectoria. Conforma El vector unitario n ˆ un par de vectores unitarios perpendiculares entre sí en cada punto junto con τ de la trayectoria.

Co p

ia

U so

ˆ necesitamos calcular dθ/dt . Este valor se Una vez obtenida la derivada de τ, expresará en función del concepto llamado radio de curvatura instantáneo, ρ. Para definirlo, consideremos dos puntos de la trayectoria P y P 0 , alcanzados en dos instantes de tiempo muy próximos t y t + dt . Si la trayectoria es curva, las perpendiculares a la trayectoria que pasan por P y P 0 se cortarán en un punto C , como se muestra en la figura. Obviamente, si la trayectoria fuera circular, ρ coincidiría con su radio. La idea intuitiva consiste en considerar que en un intervalo muy pequeño de tiempo dt , la distancia recorrida ds puede asimilarse a un arco de circunferencia de radio ρ. La relación entre ρ y ds será entonces ds = ρdθ

y dividiendo por dt tendremos ds dθ =ρ dt dt de donde

dθ 1 ds = . dt ρ dt

(2.40)

Recordemos que ds/dt es el módulo de la velocidad e insertando la ecuación (2.40) en (2.38) obtenemos ˆ v dτ ˆ. = n (2.41) dt ρ Sustituyendo esta ecuación en (2.37) llegamos finalmente a que

Componentes intrínsecas de la aceleración

Apuntes de Física 1

~ a=

dv v2 ˆ+ n ˆ ≡~ τ at + ~ an . dt ρ

(2.42)

JCM,FLML

2.4. Componentes intrínsecas de la aceleración

47

Se puede hacer una clasificación general del movimiento en función de las componentes intrínsecas de la aceleración:

a n 6= 0 (ρ = cte)

a t = cte (Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)

  a t = 0 (Movimiento circular uniforme) 

ém



Ac ad

a n = 0 (ρ = ∞)

  a t = 0 (Movimiento rectilíneo uniforme)

ic o

Por consiguiente, la componente tangencial de la aceleración refleja el cambio en el módulo de la velocidad, mientras que la componente normal refleja el cambio en la dirección del movimiento de la partícula. Cuanto más pequeño sea el radio de curvatura y más grande la velocidad, más rápido será el cambio en la dirección de la velocidad. La aceleración de una partícula sólo será cero cuando tanto la componente tangencial como la normal sean nulas. Es decir, si una partícula se mueve con velocidad constante describiendo una curva, su aceleración no es cero, salvo que la partícula pase por un punto de inflexión o su trayectoria sea recta.

a t = cte (Movimiento circular uniformemente acelerado)

Actividad 2.5:

Enumere las razones por las que es conveniente describir el vector aceleración en términos de la aceleración tangencial y normal.

U so

ˆ de un vector unitario (u) ˆ es siempre Demuestre que el diferencial (du) perpendiular a este vector unitario. ˆ ·u ˆ = 1 por lo que d(u ˆ · u) ˆ = 0]. [Ayuda: u Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando su respuesta.

ia

• En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la aceleración normal es nula. • En un movimiento circular uniforme no existe aceleración.

Co p

• En un movimiento parabólico bajo la acción única de la gravedad (esto es, ~ a = −g yˆ ), la aceleración normal es constante.

• El radio de curvatura se mide siempre desde el origen de coordenadas. • En un movimiento circular, la aceleración tangencial es siempre nula. • Si el módulo de la velocidad es constante en cierto movimiento, su radio de curvatura es constante.

¿Existe algún movimiento en que tanto la aceleración tangencial como la normal sean constantes? Razone su respuesta. Demuestre la siguiente igualdad: a n2 = a 2 − a t2 .

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Apuntes de Física 1

48

Tema 2. Cinemática de la partícula

E JEMPLO 2.3 El vector posición de una partícula viene dado por ~ r = 3t 2 xˆ + 6t yˆ , donde

el tiempo está en segundos y la distancia en metros. Determinar: (a) La trayectoria de la partícula. (b) Los vectores velocidad y aceleración. (c) Los vectores unitarios tangencial τˆ y normal nˆ , y las componentes intrínsecas de la aceleración (normal y tangencial). (d) El radio de curvatura. (a) Dado que ~ r = 3t 2 xˆ + 6t yˆ , tenemos que

ic o

x(t ) = 3t 2 y(t ) = 6t . Al despejar t de la segunda ecuación obtenemos que y2 y2 = 36 12

ém

x =3

es decir la ecuación de un parábola simétrica respecto al eje x. (b) Los vectores velocidad y aceleración vendrán dados por ~ v =~ r˙ = (6t xˆ + 6 yˆ ) m/s

Ac ad

~ a =~ v˙ = 6 xˆ m/s2 .

(c) El vector tangente a la trayectoria coincide con el vector unitario asociado a la velocidad. Para ello calcularemos primero el módulo de la velocidad: p |~ v| ≡ v = 6 1 + t2 por lo que

~ 6t xˆ + 6 yˆ v t xˆ + yˆ = p =p . |~ v| 6 1 + t2 1+ t2 Para calcular el vector normal debemos tener en cuenta la descomposición de la aceleración en sus componentes tangencial y normal

U so

ˆ= τ

ˆ + an n ˆ, ~ a =~ aτ + ~ an = aτ τ

de donde deducimos que ~ an = ~ a −~ aτ

ˆ cuyo vector unitario asociado será finalmente n.

Co p

ia

Por otra parte, la componente tangencial de la aceleración puede obtenerse como ˆ τ ˆ= ~ a τ = (~ a · τ)

6t 1+ t2

(t xˆ + yˆ )

por lo que la aceleración normal será ~ a n = 6ˆx −

6t 1+ t2

(t xˆ + yˆ ) =

6 1+ t2

(ˆx − t yˆ )

cuyo módulo es 6

|~ an | = p

1+ t2

y el vector unitaria normal será entonces ˆ= n

~ an xˆ − t yˆ =p . |~ an | 1+ t2

N OTA: En este caso de movimiento en un plano debemos recordar que el vector unitario normal podía haber sido obtenido directamente de la expresión del vector unitario ˆ = 0. Es decir la ecuación ˆ ·τ tangente teniendo en cuenta que debe cumplirse n τx n x + τ y n y = 0

Apuntes de Física 1

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2.5. Movimiento circular

49

se verifica tomando n x = ±τ y y n y = ∓τx , lo que nos dice directamente a partir de la ˆ que expresión obtenida para τ ±ˆx ∓ t yˆ ˆ± = p n . 1+ t2 El signo ± debe escogerse en cada caso de modo que la normal apunte hacia el centro de la trayectoria. (d) Como tenemos que an =

v2 ρ

→

ρ=

v2 an

ρ=

62 (1 + t 2 ) = 6(1 + t 2 )3/2 . p 6/ 1 + t 2

Nota: Parte de los dos últimos apartados podrían haberse respondido haciendo uso directamente de la expresión (2.41), que nos decía que

Movimiento circular

Ac ad

2.5.

ém

ˆ dτ v ˆ. = n dt ρ

ic o

deducimos que

Un caso de interés práctico del movimiento curvilíneo es el movimiento circular. En este movimiento, el radio de curvatura es constante e igual al radio r de la circunferencia (trayectoria) que describe la partícula, y la velocidad, al ser tangente a la trayectoria, es perpendicular al radio en cada punto.

Las coordenadas cartesianas de la partícula respecto de un sistema de referencia con origen en el centro de la trayectoria circular pueden expresarse en función del ángulo θ(t ) (ver figura) como

U so

  x(t ) = r cos θ(t ) 

o, equivalentemente,

y(t ) = r sen θ(t )

~ r (t ) = r cos θ(t ) xˆ + r sen θ(t ) yˆ

(2.44)

trayectoria circular

ia

= r [cos θ(t ) xˆ + sen θ(t ) yˆ ] = r rˆ .

(2.43)

Co p

Debemos notar que el ángulo θ(t ) puede tener, en principio, cualquier dependencia con el tiempo. La característica de “movimiento circular” proviene únicamente del hecho de que la trayectoria es circular; esto es, |~ r (t )| constante. Además ˆ ≡ rˆ en este movimiento circular. encontramos que n El vector velocidad asociado a este movimiento circular será entonces ˆ ~ v (t ) = ~ r˙(t ) = v τ ¢ d ¡ cos θ(t ) xˆ + sen θ(t ) yˆ dt £ ¤ dθ =r − sen θ(t ) xˆ + cos θ(t ) yˆ . dt =r

(2.45)

En la expresión anterior aparece la magnitud dθ/dt ; esto es, el “ángulo barrido por unidad de tiempo”: dθ ω= (2.46) dt

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

50

Tema 2. Cinemática de la partícula que se denomina velocidad angular y cuya unidad en el Sistema Internacional es el rad/s. El módulo de la velocidad puede escribirse, por tanto, como v = ωr

(2.47)

y su vector unitario tangente a la trayectoria será entonces ˆ = − sen θ(t ) xˆ + cos θ(t ) yˆ τ por lo que obtenermos finalmente que (2.48)

ic o

ˆ. ~ v = ωr τ

ém

La velocidad angular ω puede considerarse como un vector perpendicular al plano formado por ~ v y~ r (ver figura), cuyo sentido nos indica el sentido del movimiento circular (es decir, horario o anti-horario) haciendo uso de la regla de la mano derecha. La expresión vectorial que relaciona estos tres vectores es ~ v =~ ω ×~ r .

(2.49)

Ac ad

De forma análoga, el vector aceleración del movimiento circular generalizado se obtendrá de la siguiente manera: ˆ dω dτ d ˆ =r ˆ +rω ~ r ωτ τ . a (t ) = ~ v˙ (t ) = dt dt dt

(2.50)

Si ahora se define la aceleración angular como

Aceleración angular. Definición

α=

dω d2 θ = 2 dt dt

(2.51)

U so

(siendo rad/s2 su unidad en el Sistema Internacional) y tenemos en cuenta que ¤ dθ £ ¤ ˆ dτ d £ ˆ = − sen θ(t ) xˆ + cos θ(t ) yˆ = − cos θ(t ) xˆ − sen θ(t ) yˆ = −ωˆr = ωn dt dt dt

Co p

ia

llegamos finalmente a que la aceleración en este caso puede expresarse como ˆ + ω2 r n ˆ. ~ a (t ) = αr τ

Al igual que hicimos con el MUA, a continuación estudiamos dos casos particulares de movimiento circular de interés práctico.

Caso 1: Movimiento circular uniforme Si α = 0, es obvio que ω es constante e integrando la ecuación (2.46) llegamos a que θ(t ) = θ0 + ωt (2.53) expresión característica del movimiento circular uniforme. El tiempo empleado en dar una vuelta o revolución se denomina periodo T . Haciendo t = T y θ = θ0 + 2π en la ecuación (2.53) se deduce que

Periodo T=

Apuntes de Física 1

(2.52)

2π . ω

(2.54)

JCM,FLML

Velocidad a

2.5. Movimiento circular

51

Al número de revoluciones o ciclos que efectúa la partícula por unidad de tiempo se denomina frecuencia: f =

1 ω = T 2π

(2.55)

Frecuencia

y se expresa en el S.I. en hercios (Hz) o ciclos por segundo (s−1 ).

ic o

Por lo tanto, en el movimiento circular uniforme [tomando θ0 = 0 por conveniencia] tenemos que   x(t ) = r cos(ωt ) y(t ) = r sen(ωt )

 Derivando, obtenemos



˙ ) = ωr cos(ωt ) v y (t ) = y(t

Volviendo a derivar, resulta  2 2  a x (t ) = v˙x (t ) = −ω r cos(ωt ) = −ω x(t ) a y (t ) = v˙ y (t ) = −ω2 r sin(ωt ) = −ω2 y(t )

de donde obtenemos que

Ac ad



ém

 ˙ ) = −ωr sen(ωt )  v x (t ) = x(t

~ a = a x xˆ + a y yˆ = −ω2~ r

(2.56)

es decir, no existe aceleración tangencial en el movimiento circular uniforme. La única compomente de la aceleración que existe en este tipo de movimiento es la aceleración normal; es decir, at = 0 v . r

(2.58)

U so

a n = ω2 r =

(2.57)

2

El hecho anterior es esperado, ya que al ser ω constante, el módulo de la velocidad v también lo será, y, por consiguiente, a t = v˙ = 0. Obsérvese entonces que α = 0 no implica a = 0, ya que la velocidad cambia continuamente de dirección. Caso 2: Movimiento circular uniformemente acelerado

Co p

ia

Cuando α es constante, tenemos un movimiento circular uniformemente acelerado. La velocidad angular y la posición angular vendrán dadas entonces por   ω(t ) = ω0 + αt 

θ(t ) = θ0 + ω0 t + 21 αt 2

y tanto la componente tangencial como la componente normal de la aceleración serán no nulas: dv d = (ωr ) = αr dt dt v2 an = = ω2 r . r at =

(2.59) (2.60)

Ciertamente, las expresiones anteriores de las componentes de la aceleración de un movimiento circular uniformemente acelerado están en concordancia con (2.52).

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Apuntes de Física 1

52

Tema 2. Cinemática de la partícula

2.5.1.

Movimiento armónico simple

Un tipo de movimiento muy común en la naturaleza es el movimiento armónico simple (MAS). Este movimiento describe las pequeñas oscilaciones de muchos sistemas. Aunque este movimiento será analizado con más detalle en próximos temas, podemos ahora adelantar que la proyección sobre el eje x del movimiento circular uniforme nos da precisamente el MAS, que viene descrito por la siguiente ecuación de movimiento: x(t ) = A cos(ωt + θ0 )

ic o

x

(2.61)

donde A es la amplitud del movimiento (−A ≤ x(t ) ≤ A), ω = 2π/T se conoce como frecuencia angular, T es el periodo del movimiento y θ0 la fase inicial. La velocidad y aceleración del MAS vienen dados por

2

ém

˙ ) = −ωA sen(ωt + θ0 ) x(t

(2.62)

¨ ) = −ω A cos(ωt + θ0 ) x(t

(2.63)

Ac ad

¨ ) es proporcional a x(t ). donde podemos observar que la aceleración x(t Actividad 2.6:

¿Existe algún movimiento en el que su velocidad no sea tangente a su trayectoria? Describa algunos movimientos en los que su aceleración sea tangente a su trayectoria.

U so

Describa algunos movimientos en los que su aceleración no sea tangente a su trayectoria. ¿Qué diferencia existe entre la velocidad de un movimiento curvilíneo y uno circular? ¿Y entre sus aceleraciones?

Co p

ia

¿Por qué tienen unidades distintas la velocidad y la velocidad angular? Explique por qué no cae a la tierra un satélite en órbita geoestacionaria a pesar de que la gravedad de La Tierra lo empuja constantemente hacia su centro. ¿Entiende por qué se dice que estos objetos están en “caída libre”? ¿Hay alguna componente, tangencial o normal, constante en el movimiento circular uniformemente acelerado?

2.6. Movimiento relativo de traslación En muchas ocasiones es útil emplear un sistema de referencia móvil respecto del sistema fijo ligado a un observador O. Consideremos el caso en el que los ejes (x 0 , y 0 , z 0 ) del sistema móvil son paralelos a los ejes (x, y, z) fijo en O y además se trasladan respecto de O sin modificar su orientación en el espacio. Veamos entonces qué relación existe entre las descripciones del movimiento de una partícula vista desde O y vista desde O 0 .

Apuntes de Física 1

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2.6. Movimiento relativo de traslación

53

Llamemos ~ r al vector de posición de la partícula, situada en el punto P , respecto de O, y ~ r 0 al vector de posición del punto P respecto de O 0 . En la figura podemos ver que ~ r =~ r 0 +~ r oo0

(2.64)

~ v =~ v0 +~ v oo0

(2.65)

y volviendo a derivar

ém

~ a =~ a0 + ~ a oo0 .

ic o

siendo ~ r oo0 el vector de posición de O 0 respecto a O. Derivando, obtenemos

(2.66)

Ac ad

Es decir, el movimiento visto desde O puede obtenerse como una combinación entre el movimiento visto desde O 0 y el movimiento de O 0 respecto de O. Este resultado deja de ser válido cuando el sistema móvil cambia su orientación con el tiempo. Un caso de especial interés es aquel en el que los observadores O y O 0 están en movimiento de traslación relativo uniforme. En ese caso, ~ v oo0 es constante y el sistema O 0 recibe el nombre de sistema de referencia inercial. En consecuencia

(2.67)

U so

~ a =~ a0

t = t0

(2.68)

Co p

ia

esto es, los dos observadores miden la misma aceleración. Esto es importante porque desde un punto de vista dinámico, como veremos en el próximo tema, significa que ambos observadores ven las mismas fuerzas. Las ecuaciones (2.64)–(2.67) contienen implícita una suposición: que el tiempo transcurre de igual manera para los observadores O y O 0 , esto es, que si hacemos t = 0 cuando ambos coinciden, entonces

Esta suposición de tiempo absoluto fue refutada por Einstein en su teoría especial de la relatividad.

El conjunto de ecuaciones (2.64), (2.65), (2.67) y (2.68) recibe el nombre de transformaciones de Galileo. Su importancia está en que nos descubre el hecho de que una magnitud física, como es la aceleración, es independiente del movimiento del observador (o, más precisamente, es la misma) para todos los observadores en movimiento de traslación relativo uniforme. La existencia de magnitudes físicas invariantes bajo transformaciones facilita enormemente la resolución de problemas y ha tenido una influencia profunda en la formulación de las leyes de la física.

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Apuntes de Física 1

54

Tema 2. Cinemática de la partícula

Actividad 2.7: ¿Es La Tierra en su movimiento alrededor del Sol un sistema de referencia inercial? ¿Podría ocurrir que se soltase una piedra en un ascensor y que viésemos que dicha piedra sube hacia el techo del ascensor?

ic o

Explique la razón por la que, si suelta un objeto desde lo alto del mástil de un barco en movimiento uniforme acercándose al puerto, dicho objeto cae justo al lado del mástil habiendo seguido en su trayectoria la vertical del mástil. ¿Qué tipo de trayectoria vería un observador situado en el puerto?

ém

¿Qué dirección debe tomar un avión con velocidad crucero respecto al aire de 300 km/h para tener rumbo Norte respecto al suelo si hay un viento lateral dirección Oeste de 100 km/h? ¿Qué velocidad respecto al suelo tendrá el avión?

Ac ad

E JEMPLO 2.4 Un bote viaja con rapidez de v BA relativa al agua en un río de anchura D . La rapidez con que fluye el agua es v A . (a) Pruebe que el tiempo necesario para

cruzar elqrío a un punto exactamente opuesto al punto de partida y luego regresar es 2 − v 2 . (b) Demuestre que el ángulo que debe tomar la barca respecto a t a = 2D/ v BA A q

2 − v 2 /v . (c) También pruebe la dirección de la corriente viene dado por tan α = − v BA A A que el tiempo que tarda el bote en viajar una distancia D aguas abajo y luego regresar 2 − v 2 ). Nota: La rapidez es el módulo del vector velocidad. es t b = 2D v BA /(v BA A

U so

(a) Llamamos a la velocidad del bote vista por nosotros ~ v y sabemos que la velocidad del agua es ~ v A = v A xˆ y además que el módulo de la velocidad del bote respecto al agua es v B A . Ciertamente se cumplirá, en general, que ~ v =~ vA +~ vB A .

Co p

ia

En este caso nosotros queremos que la trayectoria del bote sea únicamente a lo largo de la dirección y. Por ello tendremos que ~ v = v yˆ ; esto es v yˆ = v A xˆ + ~ vB A

por lo que ~ v B A = v A xˆ − v yˆ . Si ahora tomamos módulo en la expresión anterior (y elevamos al cuadrado), obtenemos que v B2 A = v 2A + v 2 de donde concluimos que v2 =

q

v B2 A − v 2A .

El tiempo que tarda el bote en alcanzar la otra orilla será t 1 = D/v, idéntico al tiempo que tardará en volver. Por ello, el tiempo total en este recorrido será finalmente t=

2D 2D =q . v 2 v B A − v 2A

(b) El ángulo que debe tomar el bote con respecto a la corriente del río es precisamente el ángulo que hace el vector ~ v B A con respecto al eje x. En este caso tendremos que q v B2 A − v 2A v tan α = − =− . vA vA

Apuntes de Física 1

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2.6. Movimiento relativo de traslación

55

(c) Consideremos ahora el caso de que el bote recorra una distancia D aguas abajo (abj) y después vuelva aguas arriba (arb). En este caso debemos distinguir dos situaciones. Aguas abajo (abj). En esta primera situación observamos que ~ v = −v abj xˆ

~ v A = v A xˆ

~ v B A = −v B A xˆ

de donde obtenemos directamente que v abj = v B A − v A

D D = . v abj v B A − v A

Aguas arriba (arb). En esta segunda situación tenemos ~ v = v arb xˆ

~ v A = v A xˆ

~ v B A = v B A xˆ

de donde obtenemos directamente que

y, por tanto, el tiempo en este recorrido será t arb =

Ac ad

v arb = v B A + v A

ém

t abj =

ic o

y, por tanto, el tiempo en este recorrido será

D D = . v arb v B A + v A

Finalmente el tiempo total en el recorrido de ida y vuelta será t = t abj + t arb

D 2D v B A D + = 2 . vB A − v A vB A + v A v B A − v 2A

Co p

ia

U so

=

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

56

Tema 2. Cinemática de la partícula

2.7. Problemas propuestos 2.1: La posición x (en m) de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por x(t ) = 16 − 12t + 2t 2 , donde el tiempo está en segundos. (a) Represente gráficamente (a mano) la posición como función del tiempo, desde t = 0 hasta t = 6. (b) Represente gráficamente (a mano) la velocidad como función del tiempo, desde t = 0 hasta t = 6. (c) Represente gráficamente (a mano) la aceleración como función del tiempo, desde t = 0 hasta t = 6. (d) ¿Cuánto vale la velocidad en t = 0 s, t = +2 s y t = +4 s? (e) Cuando la velocidad es 0, ¿dónde se encuentra el objeto? (f) ¿Cuánto vale la velocidad media entre t = −1 s y t = 3 s? (g) ¿Cuánto vale la velocidad media entre t = 0 s y t = 6 s? (h) ¿Cuánto vale el promedio de la “celeridad” (definida como distancia recorrida/tiempo empleado) entre t = 0 s y t = 6 s? (i) ¿En qué instante cambia de sentido el movimiento del objeto? Nota: No olvide nunca, incluso en las representaciones gráficas, indicar las unidades de cada magnitud. Sol. (d): v(0) = −12 m/s, v(2) = −4 m/s, v(4) = 4 m/s; (e): x(3) = −2 m; (f): v m = −8 m/s; (g): v m = 0 m/s; (h): 32/6 m/s; (i): t = 3 s.

ic o

¤

ém

2.2: Las posiciones de dos coches en carriles paralelos de una autopista recta se muestran en la figura como funciones del tiempo. Responda de forma cualitativa a las siguientes preguntas: (a): ¿Están en algún momento los dos coches lado a lado? Si es así, indique en qué momento(s). (b): ¿Viajan los coches siempre en la misma dirección? Si no es así, indique en qué intervalo ocurriría esto. (c): ¿Viajan los coches en algún momento a la misma velocidad? Si es así, indique el momento. (d): ¿En qué instante están los coches más separados? (e): Dibuje una curva aproximada de la velocidad respecto al tiempo para cada coche.

y trayectoria

x

800 700 600 500 400 300 200 100

0

t(s)

5

10

2.6: Un automóvil tiene una desaceleración típica de unos 7 m/s2 , y el tiempo de reacción típico de un conductor es de 0.5 s. Si en una zona escolar debemos circular a una velocidad tal que podamos detenernos en menos de 4 m, (a) ¿A qué velocidad máxima podremos circular? (b) ¿Qué fracción de los 4 m corresponden al tiempo de reacción? Sol. (a): v 0 = 4.76 m/s= 17.1 km/h; (b): ∼ 60 %.

Co p

ia

−5

U so

900

v (cm/s)

2.4: Una partícula que tiene un movimiento uniforme (v = |~ v | = Cte) describe la trayectoria que se muestra en la figura, estando situada en el instante inicial en la posición (x 0 , y 0 ). Obtenga la posición de la partícula, ~ r (t ) en todo instante de tiempo, su vector velocidad ~ v y aceleración ~ a . Obtenga también la ecuación de la trayectoria de la partícula, y = y(x). Sol.: ~ r (t ) = (x 0 , y 0 ) + v t (cos α, sen α), ~ v = v(cos αˆx + sen αˆy), ~ a = 0; y = y 0 + (tan α) (x − x 0 ). 2.5: Una partícula se mueve en línea recta de forma que en t = 3 s pasa por el origen. Midiendo su velocidad v respecto al tiempo t , se obtiene la parábola que se muestra (en t = 0 la velocidad es nula, en t = −10 s es 1000 cm/s, y en t = 10 s vuelve a ser 1000 cm/s). Calcular la aceleración y la posición de la partícula como función del tiempo. Sol.: a = 20t cm/s2 , x(t ) = −90 + 10/3t 3 cm.

1000

0 −10

Ac ad

2.3: Una bola A se suelta desde lo más alto de un edificio en el mismo instante en que otra bola B se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo. Cuando las bolas se encuentran ambas se mueven en el mismo sentido y la velociad de A es cuatro veces la velocidad de B . ¿En qué fracción de la altura del edificio ocurre el encuentro? Sol.: 1/3h.

2.7: Una partícula se mueve describiendo la trayectoria que se muestra en la figura (el sentido de movimiento viene dado por las flechas y la partícula se representa por un círculo negro). En el instante mostrado, el módulo de su velocidad va disminuyendo con el tiempo y el módulo de la aceleración tangencial es el doble que el de la normal: (a) Dibuje el vector aceleración de la partícula de manera que se aprecie claramente su dirección y sentido. (b) Calcule el ángulo ϕ entre el vector aceleración y el vector velocidad (en radianes). Sol.: ϕ = 3, 60 rad.

2.8: Una partícula, que en el instante inicial se encuentra en el punto dado por el vector ~ r 0 = 8ˆx +2ˆy m con velocidad ~ v 0 = 6ˆy + 7ˆz m/s, posee una aceleración ~ a (t ) = −27 cos(3t )ˆx − 12 sen(2t )ˆy m/s2 . Calcular, para un instante genérico t , el vector de posición de la partícula ~ r (t ). Sol.: ~ r (t ) = [8 + 3 cos(3t )] xˆ + [2 + 3 sen(2t )] yˆ + 7t zˆ . 2.9: Un cohete de modelo defectuoso se mueve en el plano X Y (la dirección +Y indica la vertical hacia arriba). La aceleración del cohete tiene componentes dadas por a x = αt 2 y a y = β − γt , donde α = 2.5 m/s4 , β = 9 m/s2 y γ = 1.4 m/s3 . En t = 0 el cohete está en el origen y tiene velocidad ~ v0 = v 0x xˆ +v 0 y yˆ con v 0x = 1 m/s y v 0 y = 7 m/s. (a) Calcule los vectores de velocidad y posición en función del tiempo. (b) ¿Qué altura máxima alcanza el cohete? (c) ¿Qué desplazamiento horizontal tiene el cohete al volver a y = 0? Sol.: (a) ~ v (t ) = (1 + 5/6t 3 )ˆx + (7 + 9t − 0.7t 2 )ˆy, ~ r (t ) = (t + 5/24t 4 )ˆx + (7t + 9/2t 2 − 7/30t 3 )ˆy. (b): 340,5 m.

Apuntes de Física 1

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2.7. Problemas propuestos

57

2.10: Una partícula sale despedida desde un edificio de altura h con una velocidad inicial ~ v 0 = v 0x xˆ . ~ Cuando la partícula impacta en el suelo, calcule (a) el vector velocidad v , (b) el radio de curvatura, ρ. p p 2 + 2g h)3/2 /(g v ). v (t imp ) = v 0x xˆ − 2g h yˆ ; (b): ρ(t imp ) = (v 0x Sol. (a): t imp = 2h/g , ~ 0x

2.12: Una manguera arroja agua desde el punto A de la figura a una velocidad inicial de 12 m/s formando un ángulo de π/3 con la horizontal. Determinar: (a) El punto del tejado en el que cae el chorro de agua, comprobando que pasa sin tocar el borde del tejado. (b) Las velocidades iniciales máxima y mínima para las cuales el agua cae sobre el tejado. Despreciar el rozamiento con el aire. Sol. (a): x = 8.64 m (b): 11.5 ≤ v 0 (m/s) ≤ 13.3 .

ém

2.13: Una partícula describe un movimiento circular de manera que su posición viene dada por ~ r (t ) = 5 cos(3t )ˆx +5 sen(3t )ˆy. Los ángulos están en radianes, el tiempo en segundos y las longitudes en metros. Calcular el vector aceleración normal ~ a n y su aceleración angular α. Sol. ~ a n = 0, α = 0.

ic o

2.11: Un estudiante está sentado en una plataforma a una altura h sobre el suelo. Lanza un petardo horizontalmente con una velocidad v 0 = |~ v 0 |. Sin embargo, un viento que sopla paralelo al suelo imprime al petardo una aceleración horizontal constante de módulo a 0 = |~ a 0 |. El resultado es que el petardo cae al suelo directamente abajo del estudiante. Determine la altura h en términos de v 0 , a 0 y g . Ignore el efecto de la resistencia del aire sobre el movimiento vertical.

Ac ad

2.14: Una rueda dentada de radio 3 cm gira respecto a un eje que pasa por su centro debido a la acción de una cremallera rectilínea. En determinado instante, la aceleración de la cremallera es de 15 cm/s2 hacia abajo y su velocidad es de 6 cm/s hacia arriba. Determinar: (a) La velocidad angular, en rad/s y rpm (revoluciones por minuto). (b) La aceleración angular de la rueda dentada. (c) La velocidad y aceleración del diente de la rueda dentada en contacto con la cremallera. Sol. (a): ω = 2 rad/s= 19.1 r.p.m.; (b): α = 5 rad/s2 ; (c): ~ v = 6 yˆ cm/s, ~ a = −12 xˆ − 15 yˆ cm/s2 .

U so

2.15: Un objeto unido a un muelle se mueve a lo largo de una línea recta oscilando alrededor de x = 0, y su posición en un instante t viene dada por la ecuación x(t ) = 5 cos(πt ) cm (t en s y ángulos en radianes). (a) Si el tiempo se mide en segundos y los ángulos en radianes, ¿qué unidades tiene, en este caso, el factor π? [Nota: esto no implica que, en otro contexto, el factor π no pueda tener otras dimensiones]. (b) Representar gráficamente, desde t = 0 s hasta t = 5 s, su posición en función del tiempo. (c) Determinar la amplitud de las oscilaciones. (d) ¿Cuánto tiempo tarda en realizar una oscilación completa? ¿Cuantas veces oscila en un segundo? (e) Determinar su velocidad instantánea y representarla gráficamente en función del tiempo, desde t = 0 s hasta t = 5 s. (f) ¿En qué puntos y en qué instantes la velocidad es nula? En esos puntos, ¿cambia de sentido el movimiento del objeto? (g) ¿En qué puntos e instantes la velocidad es máxima?, ¿cuánto vale esa velocidad? (h) Determinar su aceleración instantánea y representarla gráficamente en función del tiempo, desde t = 0 s hasta t = 5 s. (i) ¿En qué puntos y en qué instantes esta aceleración es nula? En esos puntos, ¿cambia de sentido el movimiento del objeto? (j) ¿En qué puntos e instantes es máxima?, ¿cuánto vale esa aceleración máxima? Sol. (c): Amplitud= 5 cm; (d): T = 2 s, f = 0.5 Hz .

Co p

ia

2.16: Una persona en un ascensor ve un tornillo que cae del techo. La altura del ascensor es de 3 m. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el tornillo en chocar con el suelo si el ascensor asciende con una aceleración constante de 4 m/s2 ? (b) Suponiendo que la velocidad del ascensor era de 16 m/s cuando el tornillo empieza a caer, determinar la distancia que recorre el ascensor y la que recorre el tornillo hasta que éste llega al suelo del ascensor. (c) En el supuesto anterior, ¿qué velocidad tiene el ascensor y el tornillo en el momento del impacto?, ¿cuánto vale la velocidad del tornillo, en el momento del impacto, si lo estamos viendo desde dentro del ascensor? (d) Si justo al empezar a caer el tornillo el cable del ascensor se rompiera, ¿cuánto tiempo tardaría el tornillo en impactar con el suelo del ascensor? Suponer despreciable el rozamiento con el aire y que, el último apartado es sólo una hipótesis de trabajo, ya que los ascensores tienen un sistema de frenado de emergencia para estos casos. Sol. (a): t = 0.66 s; (b): Ascensor recorre 11,43 m. Moneda recorre 8,43 m; (c): ~ v asc = 18, 64 yˆ m/s, ~ v mon = −9.1 yˆ m/s; (d): Nunca. 2.17: El contrapeso W , partiendo del reposo, desciende con aceleración constante de manera que a los 5 s la velocidad relativa de P respecto de W es de 75 cm/s hacia arriba. (a) Determinar las aceleraciones de W y P . (b) La velocidad y posición de W tras 4 s. Nota: En una polea, visto desde su centro, las velocidades y aceleraciones de sus dos extremos deben de ser iguales en módulo pero de sentido contrario; en caso contrario la cuerda se rompería. Sol. (a): ~ aW = −15/4 yˆ cm/s2 , ~ a P = 45/4 yˆ cm/s2 ; (b): ~ v W = −15 yˆ cm/s, ~ r W = −30 yˆ cm.

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Apuntes de Física 1

ia

Co p U so ic o

ém

Ac ad

ic o

T EMA 3

ém

Dinámica de la partícula 3.1. Leyes de Newton

U so

Ac ad

En el capítulo anterior dedicado a la cinemática, hemos descrito el movimiento de las partículas en función de las definiciones de los vectores de posición, velocidad y aceleración. Pero no hemos definido aún la causa que hace que los objetos se muevan de la forma en que lo hacen. Nos gustaría poder responder a preguntas generales relacionadas con las causas del movimiento tales como “¿qué mecanismo hace que se produzca una variación en el movimiento?” o “¿por qué algunos objetos aceleran con velocidades mayores que otros?” En este tema describiremos la variación en el movimiento de las partículas utilizando los conceptos de fuerza y masa. Estos conceptos están fundamentados en tres leyes fundamentales del movimiento, basadas a su vez en observaciones experimentales, formuladas hace más de tres siglos por Isaac Newton. Estas leyes son las siguientes:

Primera Ley de Newton

ia

Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos que sobre él actúe una fuerza externa. Un cuerpo con movimiento uniforme continúa moviéndose con velocidad contante a menos que sobre él actúe una fuerza externa.

Co p

La aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección y es proporcional a la fuerza externa neta que actúa sobre él. La constante de proporcionalidad recibe el nombre de masa. La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es la suma (vectorial) de todas las fuerzas que actúan sobre él.

Las fuerzas siempre actúan por pares de la misma magnitud y sentidos opuestos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B , éste ejerce una fuerza con el mismo módulo pero con sentido contrario sobre el cuerpo A.

A continuación discutiremos algunas de las consecuencias más relevantes que se derivan de cada una de estas leyes.

59

Segunda Ley de Newton

Tercera Ley de Newton

60

Tema 3. Dinámica de la partícula

3.1.1. Primera ley de Newton: Ley de la Inercia

Sistemas de referencia inerciales

ém

ic o

Si empujamos un trozo de hielo sobre una mesa, observamos que desliza y luego se para. Si la mesa está húmeda, el hielo recorre una distancia mayor antes de pararse y el cambio de velocidad es menor. Antes de Galileo se creía que una fuerza, tal como un empuje o un tirón, era siempre necesaria para mantener un cuerpo en movimiento con velocidad constante. Galileo, y posteriormente Newton, reconocieron que si los cuerpos se detienen en su movimiento es debido a la existencia de una fuerza: rozamiento (o fricción). Si este rozamiento se reduce, el cambio de velocidad también lo hace. Una capa de agua o de aire son especialmente efectivos para reducir el rozamiento, permitiendo que el objeto se deslice una gran distancia con un pequeño cambio en su velocidad. Según Galileo, si se eliminan todas las fuerzas externas, su velocidad no cambiará, una propiedad de la materia que él describía como su inercia. Esta conclusión, reformulada por Newton como su primera ley, se llama también ley de la inercia.

Ac ad

La primera ley de Newton no distingue entre un objeto en reposo y un objeto que se mueve con velocidad constante distinta de cero. El hecho de que un objeto esté en reposo o en movimiento con velocidad constante depende del sistema de referencia en el cual se observa el objeto. Consideremos una pelota situada en la bandeja del asiento de un avión que vuela en una trayectoria horizontal. En un sistema de coordenadas ligado al avión (es decir, en el sistema de referencia del avión) la pelota está en reposo, y permanecerá en reposo relativo al avión en tanto este vuele con velocidad constante. Supongamos ahora que el piloto aumenta la potencia de los motores y el avión, de forma brusca, acelera (con respecto al suelo). Observaremos que la pelota, de repente, retrocede acelerando con respecto al avión incluso cuando no actúa ninguna fuerza sobre ella.

Co p

ia

U so

Acabamos de ver que en un sistema de referencia acelerado no se cumple la primera ley de Newton. Así pues, usamos la primera ley de Newton para determinar si un sistema de referencia es inercial o no. Es decir, si sobre un objeto no actúa ninguna fuerza, cualquier sistema de referencia con respecto al cual la aceleración es cero, es un sistema de referencia inercial. Tanto el avión cuando se mueve a velocidad constante, como el suelo, son una buena aproximación de sistemas de referencia inerciales. Cualquier sistema de referencia que se mueve a velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial es también un sistema de referencia inercial.

Un sistema de referencia ligado a la superficie de la Tierra no es totalmente inercial a causa de la pequeña aceleración de la superficie de la Tierra, la cual se debe, a su vez, a la revolución alrededor del Sol. Sin embargo, como estas aceleraciones son del orden de 0.01 m/s2 (o menos), podemos considerar que aproximadamente un sistema de referencia ligado a la superficie de la Tierra es inercial. El concepto de sistema de referencia inercial es crucial porque las leyes de Newton son válidas sólo en sistemas de referencias inerciales.

Actividad 3.1: ¿Qué característica debe tener la trayectoria de una partícula para que podamos asegurar que sobre ella no actúa ninguna fuerza?

Apuntes de Física 1

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3.1. Leyes de Newton

61

3.1.2. Segunda Ley de Newton. Fuerza y masa La primera y la segunda ley de Newton nos permiten definir el concepto de fuerza. Una fuerza es una influencia externa sobre un cuerpo que causa su aceleración respecto a un sistema de referencia inercial. La dirección y sentido de una fuerza coinciden con la dirección y sentido de la aceleración causada. El módulo de la fuerza es el producto de la masa del cuerpo por el módulo de la aceleración. La siguiente ecuación muestra matemáticamente esta ley: (3.1)

m2 a1 = . m1 a2

Ac ad

ém

Los objetos se resisten instrínsecamente a ser acelerados. Imaginemos que damos una patada a una pelota de fútbol y a una bola grande ce acero; esta última se resiste mucho más a ser acelerada que la pelota de fútbol. Esta propiedad intrínseca de los objetos es la masa. En consecuencia, la masa es una medida de la inercia (resistencia al cambio del estado de movimiento) del cuerpo. La relación entre dos masas se define cuantitativamente aplicando la misma fuerza y comparando sus aceleraciones. Si la fuerza F produce una aceleración a 1 cuando se aplica a un cuerpo de masa m 1 , y la misma fuerza produce la aceleración a 2 cuando se aplica a un objeto de masa m 2 , el cociente entre las masas se define por

Formulación matemática de la Segunda Ley de Newton

ic o

~ = m~ F a .

La masa es una propiedad intrínseca

U so

Esta definición está de acuerdo con nuestra idea intuitiva de masa. Si la misma fuerza se aplica a dos objetos, el objeto de más masa es el que menos se acelera. Experimentalmente se deduce que la relación a 1 /a 2 , obtenida cuando fuerzas de idéntica magnitud actúan sobre dos cuerpos, es independiente del módulo, dirección o del tipo de fuerza utilizada. La masa de un cuerpo es una propiedad intrínseca de mismo y, por lo tanto, no depende de la localización del cuerpo ni de la fuerza que sobre él actúa. Es decir, la masa de un cuerpo continúa siendo la misma si el cuerpo está sobre la Tierra, sobre la Luna o en el espacio exterior.

ia

Experimentalmente se encuentra que si sobre un cuerpo actúan dos o más fuerzas, la aceleración que causan es igual a la que causaría sobre el cuerpo una sola fuerza igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales. Esto se conoce como principio de superposición. En consecuencia, las fuerzas se combinan como los vectores, y la segunda ley de Newton puede expresarse de la forma X ~i = F ~neta = m~ F a. (3.2)

Principio de superposición

Co p

i

Fuerza debida a la gravedad: el peso Si dejamos caer un objeto cerca de la superficie terrestre, el objeto acelera hacia la Tierra. Si podemos despreciar la resistencia del aire, todos los objetos poseen la misma aceleración, llamada aceleración de la gravedad ~ g , en cualquier punto del espacio. La fuerza que causa esta aceleración es la fuerza de la gravedad so~ .1 Si el peso es la única fuerza que actúa bre el objeto, llamado peso del mismo, P

1 Referirse a la fuerza de gravedad como el peso es desafortunado ya que parece implicar que el peso

es una propiedad del objeto más que una fuerza externa que actúa sobre él. Para evitar caer en esta interpretación aparente, cada vez que leamos “el peso” mentalmente traduciremos esta denominación como “la fuerza gravitatoria”

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Apuntes de Física 1

62

Tema 3. Dinámica de la partícula sobre un objeto, se dice que este se encuentra en caída libre. Si la masa es m, la segunda ley de Newton define el peso de la siguiente forma: ~ = m~ P g .

Peso (fuerza gravitatoria)

(3.3)

ém

g = 9.81 m/s2 .

ic o

Como ~ g es idéntico para todos los cuerpos, llegamos a la conclusión de que el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. El vector ~ g se denomina campo gravitatorio terrestre y es la fuerza por unidad de masa ejercida por la Tierra sobre cualquier objeto. Es igual a la aceleración en caída libre experimentada por un objeto. Cerca de la superficie terrestre g tiene el valor

Ac ad

Medidas cuidadosas muestran que ~ g varía con la posición. En particular, en un punto por encima de la superficie terrestre, ~ g apunta hacia el centro de la Tierra y varía inversamente con el cuadrado de la distancia a dicho punto. Así pues, un cuerpo pesa ligeramente menos cuando se encuentra en lugares muy elevados respecto al nivel del mar. El campo gravitatorio también varía ligeramente con la latitud debido a que la Tierra no es exactamente esférica, sino que está achatada por los polos. Por lo tanto, el peso, a diferencia de la masa, no es una propiedad intrínseca del cuerpo. Aunque el peso de un cuerpo depende del lugar donde esté situado debido a las variaciones de g , el cambio en el peso es prácticamente despreciable para la mayor parte de las aplicaciones prácticas sobre o cerca de la superficie terrestre.

Co p

ia

U so

Un ejemplo puede clarificar la diferencia entre masa y peso. Supongamos que en la Luna tenemos una bola de acero. Su peso es la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna sobre ella, pero esta fuerza es solo una sexta parte de la fuerza que se ejerce sobre la bola cuando está en la Tierra, por lo que para levantar la bola en ella se necesita una sexta parte de la fuerza. Sin embargo, lanzar la bola con cierta velocidad horizontal requiere la misma fuerza en la Luna que en la Tierra, o en el espacio libre.

Apuntes de Física 1

Aunque el peso de un objeto puede variar de un lugar a otro, para un mismo lugar, su peso siempre será proporcional a su masa. Así pues, podemos comparar convenientemente las masas de dos objetos en un lugar determinado comparando sus pesos. La sensación que tenemos de nuestro propio peso procede de las demás fuerzas que lo equilibran. Por ejemplo, al estar sentados en una silla, apreciamos la fuerza ejercida por ella que equilibra nuestro peso, y por lo tanto evita que nos caigamos al suelo. Cuando estamos situados sobre una balanza de muelles, nuestro pies aprecian la fuerza ejercida sobre nosotros por la balanza. Esta balanza está calibrada de modo que registra la fuerza que debe ejercer (por compresión de su muelle) para equilibrar nuestro peso. La fuerza que equilibra nuestro peso se denomina peso aparente. Este peso aparente es el que viene dado por una balanza de muelle. Si no existiese ninguna fuerza para equilibrar nuestro peso, como sucede en la caída libre, el peso aparente sería cero. Esta condición, denominada ingravidez, es la que experimentan los astronautas en los satélites que giran alrededor de la Tierra. La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravedad (su peso). El astronauta está también en caída libre. La única fuerza que actúa sobre él es su peso, que produce la aceleración ~ g . Como no existe ninguna fuerza que equilibre la fuerza de la gravedad, el peso aparente del astronauta es cero.

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3.1. Leyes de Newton

63

Unidades de fuerza y masa

La unidad patrón de masa conveniente en física atómica y nuclear es la unidad de masa atómica o uma (u) que se define como la doceava parte de la masa del átomo neutro de carbono-12 (12 C). La uma está relacionada con el kilogramo por

La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 1 u.

ém

1 u = 1.66540 × 10−27 kg

Unidad de fuerza: 1 N (newton)

ic o

Podemos establecer una escala de masas eligiendo un cuerpo patrón y asignándole la masa de 1 unidad. Como vimos en el capítulo anterior, el cuerpo elegido como patrón es un cilindro de una aleación de platino e iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, y se le asigna la masa de 1 kilogramo, la unidad S.I. de masa. La fuerza necesaria para producir una aceleración de 1 m/s2 sobre el cuerpo patrón es por definición 1 newton (N). Según la segunda ley de Newton, 1 N=1 kg·m/s2 .

Ac ad

Otra unidad de fuerza muy usada es el kilopondio (kp), también denominado frecuentemente kilogramo-fuerza (kgf ). Se define como aquella fuerza que imprime una aceleración igual a la gravitatoria a una masa de un kilogramo. En consecuencia, 1 kp = 1 kgf = 9.81 N

Actividad 3.2:

¿Puede “deducirse” la primera y/o la segunda ley de Newton?

U so

¿Cómo podemos conocer la fuerza que actúa sobre una partícula? Explique las razones por las que las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: • La misma fuerza actuando sobre diferentes partículas produce la misma aceleración.

ia

• La dirección de la velocidad de una partícula es siempre la misma que la de la fuerza que actúa sobre ella. • La dirección de la velocidad de una partícula no siempre es la misma que la de la fuerza que actúa sobre ella.

Co p

• Dos fuerzas de la misma magnitud actuando sobre una partícula producen una aceleración doble a la que habría si solo actúa una de ellas.

¿Qué significa que la masa es una propiedad intrínseca de la materia, pero no su peso? ¿Por qué no usamos las unidades del S.I. de fuerza (newtons) en las tiendas para referirnos al peso (fuerza gravitatoria)? Cuando nos pesamos en una báscula de “cuarto de baño” ¿Qué magnitud exactamente nos mide el dial de dicha báscula? ¿Podría ocurrir que el dial de esta báscula (peso aparente) nos diera una lectura nula?

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Apuntes de Física 1

64

Tema 3. Dinámica de la partícula

3.1.3. La tercera ley de Newton. Acción y reacción Cuando dos cuerpos interaccionan mutuamente, se ejercen fuerzas entre sí. La tercera ley de Newton establece que estas fuerzas son iguales en módulo y van ~A,B sodirigidas en sentidos opuestos. Es decir, si un objeto A ejerce una fuerza F ~B,A sobre el objeto A que es igual bre un objeto B , el objeto B ejerce una fuerza F en módulo y de sentido opuesto a la anterior. Es decir, ~A,B = −F ~B,A . F

ic o

ém

Las fuerzas de acción y reacción actúan sobre objetos diferentes

Así, las fuerzas se dan en pares. Es común referirse a estas fuerzas como acción y reacción; sin embargo, esta terminología es desafortunada porque parece como si una fuerza reaccionara a la otra, lo cual no es cierto, ya que ambas fuerzas actúan simultáneamente. Si una fuerza externa que actúa sobre un objeto particular es denominada “fuerza de acción”, la correspondiente “fuerza de reacción” debe actuar sobre un objeto diferente. Así, en ningún caso, dos fuerzas externas que actúan sobre un único objeto constituyen un par de fuerzas acción-reacción.

Ac ad

En la figura se muestra una caja que descansa sobre un mesa. La fuerza hacia ~ debido a la atracción de la Tierra. La caja abajo que actúa sobre la caja es el peso P ~ 0 = −P ~ . Estas fuerzas ejerce sobre la Tierra una fuerza igual y de signo contrario P forman pues un par acción-reacción. Si fueran las únicas fuerzas presentes, el bloque se aceleraría hacia abajo y la Tierra se aceleraría hacia arriba. Sin embargo, la ~ que compensa el peso. La camesa ejerce sobre la caja una fuerza hacia arriba N ~ 0 = −N ~ hacia abajo. Las fuerzas N ~ y ja también ejerce una fuerza sobre la mesa N ~ 0 forman otro par acción-reacción. En definitiva, las fuerzas que actúan sobre la N ~yN ~ , y las restantes actúan sobre otros objetos. caja son P

U so

Actividad 3.3:

¿Existe alguna situación donde no exista fuerza de reacción?

Co p

ia

¿Por qué se afirma que denominar a las fuerzas como “acción” y “reacción” es desafortunado?

Apuntes de Física 1

Dado que la magnitud de la fuerza de acción es siempre igual a la de reacción y de sentido opuesto, la fuerza que actúa sobre una partícula es siempre nula. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta. Si la Tierra me atrae y yo atraigo a la Tierra, ¿por qué no se observa que se acelera la Tierra? Si al empujar yo una pared, ésta reacciona y ejerce una fuerza sobre mí, ¿por qué observo que no me acelero en sentido contrario? Cuando interactúan más de dos cuerpos ¿puede aplicarse la tercera ley de Newton que únicamente hace referencia a la interacción entre dos cuerpos?

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3.2. Clasificación de las fuerzas

65

3.2. Clasificación de las fuerzas

3.2.1. Interacciones fundamentales

ém

Todas las fuerzas de la naturaleza pueden considerarse como la composición de una serie de fuerzas o interacciones fundamentales:

ic o

La gran potencia de la segunda ley de Newton se manifiesta cuando se combina con las leyes de las fuerzas que describen las interacciones entre objetos. En esta sección describiremos los diferentes tipos de fuerzas presente en la Naturaleza. En primer lugar, mostraremos que todas las fuerzas de la Naturaleza surgen como una manifestación de cuatro tipos de fuerzas fundamentales. Posteriormente, se mostrará otra clasificación de las fuerzas dependiendo de si estas actúan a distancia o, si por el contrario, son fuerzas de contacto.

1. Fuerza gravitatoria 2. Fuerza electromagnética

Ac ad

3. Fuerza nuclear fuerte 4. Fuerza nuclear débil.

Analizaremos a continuación estas fuerzas de forma individual.

U so

Fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria es la fuerza de atracción mutua entre dos objetos cualesquiera del Universo. Es interesante y bastante curioso que, aunque la fuerza gravitatoria puede ser muy fuerte entre objetos macroscópicos, es la fuerza más débil de las fuerzas fundamentales. Por ejemplo, la fuerza gravitatoria entre el electrón y el protón en el átomo de hidrógeno tiene un módulo con un orden de magnitud de 10−47 N, mientras que la fuerza electromagnética entre estas mismas partículas es del orden de 10−7 N.

Co p

ia

Además de sus contribuciones a la comprensión del movimiento, Newton estudió en profundidad la fuerza de la gravedad. La ley de la gravitación universal de Newton establece que toda partícula del Universo atrae a otras partículas con una fuerza que es directamente proporcional al producto de las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas m 1 y m 2 y se encuentran separadas por una distancia r , el módulo de la fuerza gravitatoria es Fg = G

m1 m2 r2

donde G = 6.67 × 1011 N·m2 /kg2 es la constante universal de gravitación.

Fuerza electromagnética. La fuerza electromagnética es la fuerza que une a los átomos y moléculas en compuestos para formar la materia. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria. La fuerza que hace que un bolígrafo que se ha frotado contra una prenda de lana atraiga trocitos de papel y la fuerza que un imán ejerce sobre un clavo de hierro son fuerzas electromagnéticas. En esencia, todas las fuerzas que operan en nuestro mundo macroscópico, dejando aparte la fuerza gravitatoria, son manifestaciones de la fuerza electromagnética. Por ejemplo, las

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Apuntes de Física 1

66

Tema 3. Dinámica de la partícula fuerzas de rozamiento, las fuerzas de tensión y las fuerzas elásticas de los muelles son consecuencia de las fuerzas electromagnéticas existentes entre partículas cargadas que se encuentran próximas entre sí.

Fe = ke

q1 q2 r2

ic o

La fuerza electromagnética implica dos tipos de partículas: aquellas que tienen carga positiva y aquellas otras que tienen carga negativa. A diferencia de la fuerza gravitatoria, que siempre es una interacción atractiva, la fuerza electromagnética puede ser de atracción o de repulsión, dependiendo de la carga de las partículas. La ley de Coulomb proporciona el módulo de la fuerza electrostática F e entre dos partículas cargadas separadas una distancia r :

ém

donde q 1 y q 2 son las cargas de dos partículas, medidas en unidades denominadas culombios (C), y k e = 8.99 × 109 N·m2 /C2 es la constante de Coulomb. Obsérvese que la fuerza electrostática tiene la misma forma matemática que la ley de gravitación universal de Newton, con la carga haciendo el papel matemático de la masa y utilizándose la constante de Coulomb en lugar de la constante de gravitación universal. La fuerza electrostática es una fuerza de atracción si las dos cargas tienen signos opuestos, y es una fuerza de repulsión si las dos cargas tienen el mismo signo.

Ac ad

La cantidad más pequeña de carga aislada que se ha podido encontrar en la Naturaleza (hasta el momento), es la carga de un electrón o de un protón. Esta unidad fundamental de carga se designa mediante el símbolo e y tiene el valor e = 1.60 × 10−19 C. Una serie de teorías desarrolladas en la segunda mitad del siglo XX proponen que los protones y neutrones están formados por unas partículas más pequeñas, denominadas quarks, que tienen cargas 2e/3 o −e/3. Aunque se han encontrado pruebas experimentales de la existencia de tales partículas en el interior de la materia nuclear, no se han detectado nunca quarks libres.

Co p

ia

U so

Fuerza nuclear fuerte. Un átomo consta de un núcleo cargado positivamente y extremadamente denso, rodeado por una nube de electrones cargada negativamente, estando los electrones atraídos hacia el núcleo por la fuerza eléctrica. Dado que todos los núcleos, excepto el del hidrógeno, son combinaciones de protones cargados positivamente y neutrones con carga neutra (denominados, de forma colectiva, nucleones), ¿por qué la fuerza electrostática de repulsión entre los protones no hace que el núcleo se rompa? Evidentemente, existe una fuerza de atracción que contrarresta la fuerza electrostática extremadamente intensa de repulsión y que es responsable de la estabilidad del núcleo. Esta fuerza que une los nucleones para formar el núcleo se denomina fuerza nuclear fuerte. A diferencia de las fuerzas gravitatoria y electromagnética, que dependen inversamente del cuadrado de la distancia, la fuerza nuclear fuerte tiene un alcance extremadamente pequeño y su intensidad decrece muy rápidamente fuera del núcleo, siendo despreciable para distancias de separación mayores que 10−14 m, aproximadamente. Para una distancia de separación de unos 10−15 m (una dimensión nuclear típica) la fuerza nuclear es aproximadamente dos órdenes de magnitud más alta que la fuerza electrostática.

Fuerza nuclear débil. La fuerza nuclear débil es una fuerza de alcance muy pequeño que tiende a producir inestabilidad en determinados núcleos. La primera vez que se observó fue en las sustancias radiactivas naturales, y posteriormente se vio que juega un papel clave en la mayoría de las reacciones de desintegración radiactiva. La fuerza nuclear débil es aproximadamente 1025 veces más fuerte que la fuerza gravitatoria y unas 1012 veces más débil que la fuerza electromagnética.

Apuntes de Física 1

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3.2. Clasificación de las fuerzas

67

Actividad 3.4: Si todos los cuerpos están hechos de átomos que tienen cargas eléctricas, ¿por qué sólo se considera la fuerza gravitatoria cuando hablamos del movimiento planetario?

¿Qué detectores de fuerzas gravitatorias tiene nuestro cuerpo? ¿Y de fuerzas electromagnéticas?

ém

¿Tienen algún uso terapéutico las fuerzas nucleares?

ic o

¿Tienen relevancia las fuerzas electrostáticas en nuestra vida diaria? Si es así, ponga ejemplos claros de ello.

3.2.2. Acción a distancia y contacto

Fuerzas de acción a distancia

Ac ad

Existe una clasificación de las fuerzas complementaria a la anteriormente expuesta. Consiste en dividir las fuerzas en dos tipos fundamentales: fuerzas de acción a distancia y fuerzas de contacto. Esta clasificación es muy útil a la hora de analizar los problemas desde un punto de vista dinámico y para nosotros será de fundamental importancia.

ia

U so

Las interacciones gravitatoria y electromagnética actúan entre partículas separadas en el espacio. Esto crea un problema conceptual llamado “acción a distancia.” Newton consideraba la acción a distancia como una cuestión incompleta y no suficientemente comprendida en su teoría de la gravitación, pero evitaba dar cualquier otra hipótesis. Hoy, esta cuestión se “resuelve” introduciendo el concepto de campo, que actúa como un agente intermedio. Por ejemplo, la atracción de la Tierra por el Sol se considera en dos etapas. El Sol crea una condición en el espacio que llamamos campo gravitatorio. Este campo gravitatorio ejerce una fuerza sobre la Tierra. Nuestro peso es la fuerza ejercida por el campo gravitatorio de la Tierra sobre nosotros mismos. En la segunda parte de la asignatura, cuando estudiemos la electricidad y el magnetismo analizaremos los campos eléctricos (producidos por cargas eléctricas) y magnéticos (producidos por cargas eléctricas en movimiento).

Co p

Fuerzas de contacto

La mayor parte de las fuerzas ordinarias que observamos sobre los objetos (excepto el peso) se ejercen por contacto directo; entendiendo este “contacto” en un sentido macroscópico. Estas fuerzas son de origen electromagnético y se ejercen entre las moléculas/átomos de la superficie de cada objeto. Veamos a continuación algunas manifestaciones de estas fuerzas de contacto. Sólidos. Si empujamos una superficie, esta devuelve el empuje, según se deduce de la tercera ley de Newton. Consideremos una escalera que se apoya contra una pared [Figura 3.1(a)]. En la región de contacto, la escalera empuja la pared con una fuerza horizontal, comprimiendo las moléculas de la superficie de la pared. De forma similar a los muelles de un colchón, las moléculas comprimidas de

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68

Tema 3. Dinámica de la partícula

Fuerza Normal

Fuerza Rozamiento

(a)

(b)

ém

ic o

F IGURA 3.1: (a) La pared sostiene la escalera ejerciendo sobre ella una fuerza normal a la pared. (b) La fuerza de rozamiento ejercida por el suelo sobre el bloque se opone a su desplazamiento o a su tendencia a deslizar.

la pared empujan la escalera con una fuerza horizontal. Tal fuerza perpendicular a las superficies de contacto se denomina fuerza normal (en este contexto, la denominación normal quiere decir perpendicular). La superficie soporte se deforma ligeramente en respuesta a la carga, si bien esta deformación no se aprecia fácilmente a simple vista.

Ac ad

Las fuerzas normales pueden variar dentro de un amplio intervalo de valores. Una mesa, por ejemplo, ejerce una fuerza normal dirigida hacia arriba sobre cualquier bloque que esté colocado sobre ella. A menos que el bloque sea tan pesado que la mesa se rompa, esta fuerza equilibrará la fuerza del peso del bloque. Además, si presionamos hacia abajo el bloque, la mesa ejercerá una fuerza soporte mayor que el peso del bloque para evitar que éste se acelere hacia abajo.

Co p

ia

U so

En ciertas circunstancias, los cuerpos en contacto ejercerán entre sí fuerzas paralelas a las superficies en contacto. Consideremos el bloque de la Figura 3.1(b). Si se le empuja suavemente de lado no resbalará ya que la fuerza ejercida por el suelo se opone a que el bloque deslice. Si, en cambio, se empuja fuertemente, el bloque empezará a moverse en el sentido de la fuerza. Para mantener el movimiento es necesario ejercer continuamente una fuerza. A partir del instante en que se deja de empujar, el bloque ralentizará su movimiento hasta que se detiene. La componente paralela de la fuerza de contacto ejercida por un cuerpo sobre otro se denomina fuerza de rozamiento.

Sin rozamiento no podríamos andar

Aunque las fuerzas de rozamiento y normal se muestran en las figuras como si actuaran en un único punto, en realidad, se distribuyen sobre toda la región de contacto. Las fuerzas de rozamiento se tratan con más detalle en la Sección 3.3.3. El rozamiento es crucial para que tengan lugar muchos fenómenos observados en la Naturaleza. No sería posible ni caminar ni desplazarnos en automóvil si no existiera el rozamiento. Para empezar a andar hace falta el rozamiento y, una vez en marcha, para cambiar la dirección o la velocidad del movimiento también hace falta rozamiento. Se necesita rozamiento para mantener una tuerca en un tornillo o un clavo en la madera. Sin embargo, aunque el rozamiento sea tan importante, muchas veces intentamos evitarlo. Los lubricantes, como el aceite del motor de un coche o el líquido sinovial en nuestro cuerpo, son materiales que reducen el rozamiento.

Cuando aplicamos una pequeña fuerza horizontal a un gran bloque que descansa sobre el suelo, se observa que el bloque no se mueve debido a la fuerza ~e , ejercida por el suelo sobre el bloque, que equilibra de rozamiento estático, F la fuerza que estamos aplicando (ver figura). La fuerza de rozamiento estático, que se opone a la fuerza aplicada sobre el bloque, puede variar desde cero hasta

Apuntes de Física 1

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3.2. Clasificación de las fuerzas

69

cierto valor máximo, F e,max , dependiendo de la fuerza externa ejercida. Los experimentos muestran que F e,max es proporcional a la fuerza normal ejercida por una superficie sobre la otra, F e,max = µe N (3.4)

µe Coeficiente de rozamiento estático

donde la constante de proporcionalidad µe , llamada coeficiente de rozamiento estático, depende la naturaleza de las superficies en contacto. Si ejercemos una fuerza horizontal menor que F e,max sobre el bloque, la fuerza de rozamiento equilibrará esta fuerza horizontal. En general, podemos escribir F e ≤ µe N .

ém

Si se empuja el bloque con una fuerza mayor que F e,max , este deslizará so~d , bre el suelo. Al deslizar, el suelo ejerce una fuerza de rozamiento dinámico, F que se opone al sentido de movimiento. Para que el bloque deslice con velocidad constante debe ejercerse una fuerza sobre el bloque igual en módulo y de sentido opuesto a la fuerza de rozamiento dinámico ejercida por el suelo.

ic o

(3.5)

El coeficiente de rozamiento dinámico µd se define como el cociente entre los módulos de la fuerza de rozamiento dinámico F d y la fuerza normal N , F d = µd N

µd Coeficiente rozamiento dinámico

Ac ad

(3.6)

dependiendo este coeficiente de la naturaleza de las superficies en contacto. Experimentalmente se encuentra que µd < µe y que µd es aproximadamente constante para velocidades comprendidas en el intervalo de algunos cm/s a varios m/s. En general supondremos que la fuerza de rozamiento dinámico es constante.

U so

La figura adjunta muestra gráficamente la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque, F roz , por el suelo en función de la fuerza aplicada, F apl . La fuerza de rozamiento va compensando la fuerza aplicada hasta que esta alcanza el valor µe N , que es cuando la caja empieza a moverse. A partir de entonces, la fuerza de rozamiento (dinámica) es µd N . Muelles. Cuando un muelle se comprime o se alarga una pequeña distancia ∆x, la fuerza que se ejerce, según se demuestra experimentalmente es F x = −k∆x

Co p

ia

donde k es la denominada constante elástica del muelle, y constituye una medida de su rigidez. El signo negativo de la ecuación anterior significa que cuando el muelle se estira o comprime, la fuerza que ejerce es de sentido opuesto. Esta ecuación, conocida como ley de Hooke es de gran interés. Para pequeños desplazamientos, casi todas las fuerzas de restitución obedecen la ley de Hooke. Volveremos a esta ley en la Sección 3.5 cuando consideremos el movimiento armónico simple.

Cuerdas. Un cuerpo se puede arrastrar y mover mediante una cuerda o una cadena. Se puede suponer que una cuerda es como un muelle pero con una constante elástica muy grande, de forma que la deformación que adquiere al aplicar una fuerza es despreciable. Las cuerdas, sin embargo, no son rígidas ya que se flexionan y se tuercen y, por lo tanto, no pueden usarse para empujar objetos (como lo hacen los muelles) sino que únicamente pueden tirar de ellos. El módulo de la fuerza que un trozo de una cuerda ejerce sobre otro adyacente se denomina tensión. Por lo tanto, si se tira de un objeto con una cuerda, la magnitud de la fuerza coincide con la tensión.

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70

Tema 3. Dinámica de la partícula La tensión puede variar a través de la cuerda, como es el caso de una cuerda pesada que cuelga del techo; en ese caso, la tensión en el trozo de cuerda que está junto al techo es mayor, ya que en esa zona se aguanta también el peso de toda la cuerda. Sin embargo, en los problemas que trataremos en este curso, no se suele considerar la masa de las cuerdas, de forma que la variación de la tensión debida al peso de la cuerda se considerará despreciable. También despreciaremos las variaciones de tensión debidas a alguna aceleración de la cuerda.

ém

ic o

Ligaduras. Un tranvía que se mueve por un raíl, un caballo de madera de un tiovivo que se mueve en una circunferencia o un trineo que se mueve por la superficie de un estanque helado en un plano horizontal, son ejemplos de sistemas en los que existen un condicionante sobre el movimiento. Estos condicionantes reciben el nombre de ligaduras.

Actividad 3.5:

¿Qué fuerza de acción a distancia siempre estará presente en nuestros problemas de dinámica sobre la superficie (o a cierta altura) de la Tierra? ¿Producirá esta fuerza siempre una aceleración sobre los objetos?

Ac ad

Para que existan fuerzas de contacto, ¿debe haber contacto físico entre los objetos? Si dos objetos sólidos tienen contacto físico en cuatro puntos, ¿cuántas fuerzas de contacto habrá en total entre ellos? ¿Y sobre cada uno de ellos? ¿Por qué separamos las fuerzas de contacto en sus componentes normal y tangencial a la superficie de contacto?

U so

Si deja caer un objeto de vidrio suavemente sobre el suelo, éste no se rompe. Pero si lo deja caer desde cierta altura, sí se rompe. Explique la diferencia entre las dos situaciones desde un punto de vista de las fuerzas implicadas sobre el objeto.

Co p

ia

La tensión en una cuerda, ¿es una fuerza de acción a distancia o de contacto? ¿Y la fuerza de un muelle? En la situación mostrada en la figura dibuje todas las fuerzas de contacto y las de acción a distancia que actúan sobre los objetos 1, 2, y 3.

obj. 3 obj. 2 obj. 1

cuerda

Si en el problema anterior hace un balance global de las fuerzas que actúan sobre los objetos 1, 2, y 3: ¿cuáles de ellas se anulan?, ¿tiene esto algo que ver con la tercera ley de Newton? ¿Qué diferencia fundamental no-trivial existe entre la fuerza de rozamiento estática y la dinámica? ¿Variará la fuerza de rozamiento dinámica de un cuerpo que se mueve sobre una superficie horizontal en función de su velocidad?

Apuntes de Física 1

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3.3. Resolución de problemas. Diagramas de fuerzas

71

3.3. Resolución de problemas. Diagramas de fuerzas

Supongamos un trineo tirado por un perro que avanza por un terreno helado. El perro tira de una cuerda ligada al trineo (ver figura) con una fuerza horizontal que hace que este gane velocidad. Podemos pensar en el sistema formado por el trineo y la cuerda como un único cuerpo, ya que nunca se separan. ¿Qué fuerzas actúan sobre el cuerpo trineo-cuerda? Tanto el perro como el hielo tocan el cuerpo, de modo que ambos ejercen fuerzas sobre él. También sabemos que la Tierra ejerce una fuerza gravitatoria sobre el trineo (el peso del cuerpo). Resumiendo, estas tres fuerzas actúan sobre el cuerpo (suponiendo el rozamiento despreciable):

ém

~. 1. El peso del cuerpo, P

ic o

3.3.1. Sistemas aislados

~ ejercida por el hielo (sin rozamiento, esta fuerza es 2. La fuerza de contacto N perpendicular al hielo).

Ac ad

~ ejercida por el perro. 3. La fuerza de contacto F

Un diagrama que muestra esquemáticamente todas las fuerzas que actúan sobre un sistema, tal como el de la figura, se denomina diagrama del sistema aislado. Esta denominación se basa en el hecho de que el cuerpo se dibuja sin su entorno. Para dibujar a escala los vectores fuerza en un diagrama de fuerzas de sistema aislado es necesario determinar primero, usando métodos cinemáticos, la dirección del vector aceleración. Sabemos que el objeto se mueve hacia la derecha con velocidad creciente y, por lo tanto, que el vector aceleración va en la dirección de su movimiento hacia la derecha.

U so

Aplicamos la segunda ley de Newton (3.2) a nuestro problema, descomponiendo las fuerzas y la aceleración en sus componentes x e y. Así, para las componentes x nos da X

F x = N x + P x + F x = ma x 0 + 0 + F = ma

ia

esto es,

a=

F . m

Co p

Teniendo en cuenta que el cuerpo no acelera verticalmente, tenemos para la componente y: X

F y = N y + P y + F y = ma y N −P +0 = 0

de donde obtenemos que N = P = mg .

En este ejemplo simple hemos determinado dos magnitudes: la aceleración horizontal, a = F /m y la fuerza vertical N ejercida por el hielo, N = mg . A partir de este ejemplo se ilustra un método general y sistemático para la resolución de problemas usando las leyes de Newton. Es muy importante reconecer la importancia de tener un método sistemático y aprender a usarlo.

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Apuntes de Física 1

72

Tema 3. Dinámica de la partícula 1. Dibujar un diagrama claro. 2. Aislar el objeto que nos interesa y dibujar un diagrama que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. Si existe más de un objeto de interés en el problema, dibujar un diagrama para cada uno de ellos. Elegir un sistema de coordenadas conveniente para cada objeto e incluirlo en el diagrama de fuerzas para este objeto. Si se conoce la dirección de la aceleración, se elige un eje de coordenadas que sea paralelo a ella. 3. Aplicar la segunda ley de Newton en forma de componentes.

ic o

4. En problemas donde hay dos o más objetos, para simplificar las ecuaciones que se obtienen de aplicar la segunda ley de Newton, hay que hacer uso de la tercera ley de Newton y de todas las ligaduras.

ém

5. Despejar las incógnitas de las ecuaciones resultantes.

6. Comprobar si los resultados tienen las unidades correctas y parecen razonables.

Ac ad

Actividad 3.6:

¿Un sistema aislado puede estar compuesto por más de un cuerpo? Si la respuesta anterior es sí: ¿cuándo es conveniente definir un sistema aislado formado por más de un cuerpo? ¿Qué criterio nos debe guiar para escoger el sistema de coordenadas de nuestro problema?

U so

Mostramos a continuación algunos ejemplos en los que se hace uso de estas técnicas.

Co p

ia

E JEMPLO 3.1 Colgando un cuadro Un cuadro de masa m se aguanta mediante dos cables que ejercen tensiones T1 y T2 , tal como se muestra en la figura. Determinar la tensión de los cables. Como el cuadro está en reposo, la aceleración es nula y la fuerza neta que actúa sobre ~ , y las el mismo también debe serlo. Las tres fuerzas que actúan sobre el cuadro (su peso P ~ ~ tensiones T1 y T2 ) deben dar una resultante nula. Es decir, ~ +T ~1 + T ~2 = 0 P Planteamos el diagrama de fuerzas que muestra la figura. Descomponiendo la ecuación anterior en las componentes x e y tenemos (

Eje x

→ T1,x − T2,x = 0

Eje y

→ T1,y + T2,y − mg = 0

es decir, (

Eje x

→ T1 cos 30° − T2 cos 60° = 0

Eje y

→ T1 sen 30° + T2 sen 60° − mg = 0

Si expresamos, a partir de la ecuación de la componente x, el valor de T2 en función de T1 : T2 = T1

Apuntes de Física 1

p cos 30° = T1 3 cos 60°

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3.3. Resolución de problemas. Diagramas de fuerzas

73

e introducimos este valor en la ecuación para la componente y, nos queda µ ¶ p 1 3 = mg T1 (sen 30° + 3 sen 60°) = mg → T1 + 2 2

E JEMPLO 3.2 Peso en un ascensor

ém

Un hombre de masa m está de pie sobre una balanza de muelles sujeta al suelo de un ascensor. (a) ¿Qué peso indicará cuando el ascensor cuando se mueva con aceleración ~ a hacia arriba? (b) ¿Qué peso indicará cuando el ascensor cuando se mueva con aceleración ~ a 0 hacia abajo?

ic o

esto es, T1 = mg /2. Teniendo ahora en cuenta la relación entre T1 y T2 nos queda finalmente que p mg 3 T2 = 2

Ac ad

La lectura de la balanza es el peso aparente del hombre, es decir, el módulo de la fuerza ~ ejercida por la balanza sobre el hombre (ver figura). Como el hombre está en normal N reposo respecto al ascensor, tanto el uno como el otro poseen la misma aceleración. Sobre el hombre actúan dos fuerzas: la fuerza de la gravedad hacia abajo, m~ g , y la fuerza de la ~ , hacia arriba. La suma de ambas es la causa de la aceleración normal de la balanza, N observada por el hombre. Elegiremos como positiva la dirección hacia arriba. En el caso (a), la aceleración será ~ a = a yˆ , por lo que, aplicando la segunda ley de Newton a las fuerzas en el eje y tenemos N − mg = ma

→

En el caso (b), ~ a 0 = −a yˆ , y, en consecuencia, →

N = m(g − a 0 )

U so

N − mg = −ma 0

N = m(g + a)

ia

Cuando el hombre acelera hacia arriba, el peso aparente del hombre es mayor que mg , incrementándose una cantidad ma. Para el hombre todo ocurre como si la gravedad se incrementase de g a g + a. Cuando el ascensor acelera hacia abajo, el peso aparente del hombre ha disminuido una cantidad ma 0 . El hombre se siente más ligero, como si la gravedad fuera g −a 0 . Si a 0 = g , el ascensor estaría en caída libre y el hombre experimentaría la ingravidez (esto se podría hacer cortando la cuerda que sujeta al ascensor).

Co p

3.3.2. Problemas con dos o más cuerpos Algunos problemas tratan de dos o más cuerpos que están en contacto o conectados a través de una cuerda o un muelle. Estos problemas se resuelven dibujando un diagrama de fuerzas para cada cuerpo y aplicando después la segunda ley de Newton a cada uno de ellos. Las ecuaciones resultantes, juntos con otras ecuaciones que describen las restricciones establecidas, se resuelven simultáneamente para las fuerzas o aceleraciones desconocidas. Si los cuerpos están en contacto directo, las fuerzas que se ejercen mutuamente deben ser iguales y opuestas, como establece la tercera ley de Newton. Dos cuerpos que se mueven en línea recta y que estén conectados por una cuerda tensa deben tener la misma componente de la aceleración paralela a la cuerda, ya que el movimiento en la dirección paralela a la cuerda de ambos cuerpos es idéntico. Si la cuerda pasa por una pinza o polea, la frase “paralela a la cuerda” significa paralela al segmento atada al objeto.

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Apuntes de Física 1

74

Tema 3. Dinámica de la partícula Consideremos a los dos alpinistas mostrados en la figura, donde uno sostiene a otro mediante una cuerda. La velocidad con la cual uno sube se iguala con la velocidad con la que el otro baja; o equivalentemente las componentes del vector velocidad de cada uno paralelas al tramo de cuerda al que están sujetos deben igualarse. Lo mismo ocurre con las componentes de la aceleración paralelas a la cuerda.

ém

ic o

Los segmentos de cuerda en contacto con los alpinistas experimentan una tensión, que, según la tercera ley de Newton, tendrá el mismo módulo y sentido contrario que la tensión ejercida por la cuerda sobre los alpinistas. En principio, la ~1 ) y el que baja (T ~2 ) sobre un segmento de cuertensión que realizan el que sube (T da de masa ∆m no tienen por qué ser la misma. Así, aplicando la segunda ley de Newton, T1 − T2 = (∆m)a. Si la masa del segmento de cuerda ∆m es despreciable, entonces T1 = T2 y no se necesita una fuerza neta para darle una aceleración (es decir, solo se necesita una diferencia de tensión infinitesimal para dar a un trozo de cuerda de masa despreciable una aceleración finita).

Ac ad

Calculemos la tensión y la aceleración de los alpinistas. Para ello planteamos un diagrama de sistema aislado para cada alpinista, teniendo en cuenta que las ~1 y T ~2 son de igual módulo al ser la cuerda de masa destensiones de la cuerda T preciable. La cuerda ni se alarga ni se encoge, de modo que ambos alpinistas siempre tienen el mismo módulo de la velocidad. Sus aceleraciones a 1 y a 2 son, por lo tanto, iguales en módulo, pero no en dirección. El que sube acelera por la superficie de la montaña, mientras que el que baja lo hace verticalmente hacia abajo. Así, aplicando la segunda ley de Newton a las fuerzas aplicadas sobre el que sube en el eje x tenemos T1 − P 1,x = m 1 a 1 ,

P 1,x = m 1 g sen θ

U so

y, aplicando la segunda ley de Newton para el otro montañero (en el eje x 0 ), tenemos: m 2 g − T2 = m 2 a 2

(

T − m 1 g sen θ

=

m1 a

m2 g − T

=

m2 a

A partir de aquí se puede despejar los valores de T y a: T=

Co p

ia

Teniendo en cuenta las dos ligaduras del sistema, T1 = T2 ≡ T y a 1 = a 2 ≡ a, nos queda un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a saber, T y a:

m1 m2 g (1 + sen θ) m1 + m2

a=

m 2 − m 1 sen θ g. m1 + m2

Actividad 3.7: ¿Qué caracterísitca importante hace que muchos sistemas de dos cuerpos no puedan ser tratados como un sistema aislado? ¿Por qué es conveniente escoger varios sistemas de coordenadas en estos casos?

Apuntes de Física 1

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3.3. Resolución de problemas. Diagramas de fuerzas

75

3.3.3. Fuerzas de rozamiento En la Sección 3.2 mostramos que las fuerzas de contacto poseen una componente normal y otra paralela a la dirección de movimiento. Esta última componente está relacionada con el rozamiento o fricción entre los cuerpos que se encuentran en contacto. En esta sección analizaremos cuantitativamente los efectos del rozamiento en el movimiento de los cuerpos.

1. Se escoge el eje y en la dirección normal a las superficies de contacto. Se elige el eje x paralelo a la superficie y paralelo o antiparalelo a la fuerza de rozamiento.

ém

2. Se aplica la segunda ley de Newton (3.2) a las componentes de la fuerza en el eje y y se obtiene la fuerza normal.

ic o

Mostramos a continuación la metodología que conviene aplicar para resolver problemas que incluyen rozamiento:

Si el rozamiento es dinámico, la fuerza de rozamiento se obtiene usando F d = µd N .

Ac ad

Si el rozamiento es estático, se relaciona la fuerza de rozamiento máxima con la fuerza normal usando F e,máx = µe N . 3. Se aplica la segunda ley de Newton (3.2) a las componentes de la fuerza en el eje x y se obtiene la variable deseada.

Actividad 3.8:

Explique por qué la fuerza de rozamiento no puede tener componente normal.

U so

Recuerde la diferencia fundamental que existe entre el rozamiento estático y el dinámico. ¿Cómo se manifiesta esta diferencia en las ecuaciones dinámicas?

Veamos a continuación algunos ejemplos en los que existe rozamiento.

ia

E JEMPLO 3.3 Una moneda que resbala

Co p

Por la cubierta superior de un libro de tapas duras que está sobre una mesa hay una moneda. Poco a poco se levanta la tapa del libro hasta que la moneda comienza a deslizar. El ángulo θmáx es el ángulo que forma la tapa con la horizontal en el momento en que la moneda empieza a moverse. Calcular el coeficiente de rozamiento estático µe entre la tapa del libro y la moneda en función de θmáx .

Las fuerzas que actúan sobre la moneda son su peso, la fuerza normal ejercida por el libro y la fuerza de rozamiento. Sigamos la metodología mencionada anteriormente para resolver problemas con rozamiento estático. Para ello, en primer lugar, dibujamos un diagrama de fuerzas cuando la tapa del libro está inclinada un ángulo θ ≤ θmáx . Aplicamos la segunda ley de Newton para las componentes x e y de las fuerzas, teniendo en cuenta que, como la moneda no desliza, la aceleración será cero: (

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Eje x

→ N = mg cos θ

Eje y

→ F e = mg sen θ

Apuntes de Física 1

76

Tema 3. Dinámica de la partícula Como F e ≤ µe N , tenemos que, aplicando la ecuación para el eje x, F e ≤ µe mg cos θ. Aplicando este último resultado en la ecuación del eje y nos queda mg sen θ ≤ µe mg cos θ es decir, µe ≥ tan θ

ém

µe = tan θmáx

ic o

En consecuencia, la moneda no desliza cuando se cumple esta última condición (es decir, cuando θ ≤ arctan µe ). Como la tangente es una función creciente en el primer cuadrante (lógicamente, en nuestro problema los ángulos tienen que ser inferiores a 90º), la moneda comenzará a deslizar cuando θ llegue a su valor máximo:

E JEMPLO 3.4 Un bloque que resbala

Ac ad

La masa m 2 de la figura se ha ajustado de forma que el bloque de masa m 1 está en el umbral de deslizamiento. (a) Calcular el coeficiente de rozamiento estático en función de m 1 y m 2 . (b) Con un ligero toque, los bloques se mueven con aceleración a. Determinar su valor teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el soporte horizontal es µd . Para resolver el problema, aplicamos la segunda ley de Newton a cada bloque por separado, teniendo en cuenta que la tensión de la cuerda y la aceleración es la misma para cada bloque. La figura muestra el diagrama de fuerzas.

Co p

ia

U so

La determinación de µe en el apartado (a) se hace suponiendo que la fuerza de rozamiento estático sobre m 1 es igual a su valor máximo y que la aceleración es cero. Aplicando la segunda ley de Newton a cada bloque tenemos que  Eje x     Eje y     Eje x 0

→ F e,máx = T → N = m1 g → T = m2 g

Como F e,máx = µe N , tenemos, a partir de las ecuaciones para el bloque 1, que T = µe N = µe m 1 g . Introduciendo este valor en la ecuación para el bloque 2, nos queda µe m 1 g = m 2 g . En consecuencia, m2 . µe = m1 Para resolver el apartado (b) tenemos en cuenta que la aceleración es distinta de cero. Así, según la segunda ley de Newton:  Eje x     Eje y     Eje x 0

→ T − Fd = m1 a → N = m1 g → m2 g − T = m2 a

Como F d = µd N , obtenemos T = µd N + m 1 a = m 1 (µd g + a). Sustituyendo este resultado en la ecuación para el bloque 2, nos queda: a=

Apuntes de Física 1

m 2 − µd m 1 m1 + m2

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3.4. Movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Fuerzas centrípetas

77

3.4. Movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Fuerzas centrípetas

ém

Además, según la segunda ley de Newton, la fuerza neta va en la dirección de la aceleración. La componente de la fuerza neta en la dirección normal se denomina fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta no es una clase de fuerza distinta de las que ya hemos estudiado, sino que meramente designa a la componente de la fuerza neta perpendicular a la dirección de movimiento. Esta fuerza puede ejercerse mediante una cuerda, un muelle o cualquier otra fuerza de contacto como la fuerza normal o la fuerza de rozamiento. También puede producirse mediante una fuerza de acción a distancia como la fuerza de gravitación, o puede darse como resultado de una combinación de todas. En cualquier caso, siempre apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

ic o

En el Tema 2 se estableció que si una partícula se mueve con una velocidad v a lo largo de una trayectoria curva con un radio de curvatura r , la partícula tiene una componente de la aceleración a n = v 2 /r en la dirección normal o centrípeta (hacia el centro de curvatura), y una componente de la aceleración en la dirección tangencial (a τ = dv/dt ).

Ac ad

Actividad 3.9:

¿Existe alguna diferencia conceptual entre una fuerza centrípeta y cualquier otro tipo de fuerza (por ejemplo, la gravitatoria)?

¿Existe algún tipo de problemas en los que no puede haber fuerzas centrípetas? Descríbalos.

U so

¿Existe algún tipo de problemas en los que solo puede haber fuerzas centrípetas? Descríbalos.

Veamos algunos ejemplos en los que aparecen estos tipos de fuerza. E JEMPLO 3.5 Dando vueltas a un cubo

Co p

ia

Se hace girar un cubo de agua siguiendo una circunferencia vertical de radio r . Si la velocidad del cubo en su parte más alta es v a , calcular (a) la fuerza ejercida por el cubo sobre el agua, F p , en este punto; (b) el valor mínimo de v a para que el agua no se salga del cubo; (c) la fuerza ejercida por el cubo sobre el agua en la parte más baja del círculo, en donde la velocidad del cubo es v b . Aplicamos la segunda ley de Newton para calcular la fuerza ejercida por el cubo sobre el agua. Como el agua se mueve según una trayectoria circular, existirá una aceleración centrípeta v 2 /r hacia el centro del círculo. Dibujamos un diagrama de fuerzas para el agua en la parte superior y en la parte inferior de la circunferencia. En cada caso, elegimos como sentido positivo del eje y la dirección hacia el centro de la circunferencia. Para resolver el apartado (a), aplicamos la segunda ley de Newton en el punto más alto, teniendo en cuenta que la velocidad es v a y la aceleración será v a2 /r : F p + mg = m

v a2 r

Ã

→

Fp = m

v a2 r

!

−g

La fuerza mínima que puede realizar el cubo sobre el agua es cero, correspondiendo este caso a una pérdida de contacto entre el cubo y el agua. Como

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Apuntes de Física 1

78

Tema 3. Dinámica de la partícula

s µ ¶ Fp va = r +g m

el valor mínimo de v a corresponderá al valor mínimo de la fuerza, que es cero, tenemos: v a,mín =

p rg

Fp = m

à 2 vb

r

!

+g

ic o

Aplicamos finalmente la segunda ley de Newton para determinar el valor de la fuerza de contacto en el punto más bajo:

ém

En la parte más baja del círculo, la fuerza de contacto debe ser mayor que el peso de modo que se suministre la fuerza centrípeta necesaria para que el cubo comience a girar.

E JEMPLO 3.6 El péndulo cónico

Ac ad

Una bola de masa m está suspendida de una cuerda de longitud L y se mueve con velocidad constante v siguiendo una circunferencia horizontal de radio r . La cuerda forma un ángulo constante θ con la vertical. Determinar la tensión de la cuerda y la velocidad de la bola. Sobre la bola actúan dos fuerzas: su peso y la tensión T de la cuerda. La suma vectorial de estas fuerzas va en la dirección de la aceleración. Como la bola se mueve en una circunferencia horizontal de radio constante, la aceleración será centrípeta, es decir, dirigida hacia el centro de la circunferencia.

Co p

ia

U so

Para calcular la tensión de la cuerda y la velocidad de la bola planteamos un diagrama de fuerzas, colocando el eje x solidario con el radio de la circunferencia. Así, aplicando la segunda ley de Newton y, teniendo en cuenta que la aceleración (centrípeta) apunta al sentido positivo del eje x:    Eje x   Eje y

v2 r → T cos θ − mg = 0 → T sen θ = m

De la ecuación para el eje y podemos despejar el siguiente valor de T : T=

mg cos θ

Introduciendo este valor en la ecuación para el eje x, se obtiene la velocidad v: v=

q r g tan θ

3.5. Ley de Hooke. Movimiento armónico simple Estamos familiarizados con varios ejemplos de movimiento periódico, tales como las oscilaciones de un objeto conectado a un muelle, el movimiento de un péndulo o las vibraciones de un instrumento musical de cuerda. Existen muchos otros sistemas que muestran un comportamiento periódico; por ejemplo, las moléculas de un sólido vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio; las ondas

Apuntes de Física 1

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3.5. Ley de Hooke. Movimiento armónico simple

79

Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es proporcional al desplazamiento de la partícula respecto a una posición de equilibrio y esa fuerza está dirigida siempre hacia dicha posición de equilibrio, decimos que esta fuerza sigue la ley de Hooke. En el caso monodimensional, esta fuerza da lugar a un tipo especial de movimiento periódico denominado movimiento armónico simple, que ya fue analizado de forma simple en el Apartado 2.5.1 y que nos servirá como modelo de análisis de una gran cantidad de problemas relacionados con las oscilaciones.

3.5.1. Partícula unida a un muelle

Ac ad

ém

Para estudiar el movimiento oscilatorio, un modelo muy útil es el formado por un objeto de masa m conectado a un muelle horizontal situado sobre una superficie sin rozamiento, tal como muestra la figura. Si el muelle no está estirado ni contraído, el objeto está en reposo en su posición de equilibrio, la cual queda definida por x = 0 (figura b). Si se mueve el objeto hacia un lado, hasta la posición x (figura a), y luego se suelta, oscilará hacia adelante y hacia atrás. Cuando una partícula unida a un muelle ideal sin masa se desplaza hasta una posición x, el muelle ejerce una fuerza cuya magnitud, según la ley de Hooke, viene dada por

ic o

electromagnéticas se caracterizan por tener vectores de campo eléctrico y magnético oscilantes; en los circuitos de corriente alterna, el voltaje y la corriente varían periódicamente en el tiempo. En esta sección analizaremos algunos sistemas mecánicos que muestran un movimiento periódico.

F x = −kx

(3.7)

Ley de Hooke

Co p

ia

U so

donde k es la constante de recuperación del muelle y F x es la componente se~ ejercida por el muelle. Decimos que la fuerza de la gún el eje x de la fuerza F ecuación (3.7) es una fuerza de recuperación lineal, ya que es proporcional al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y va dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, en sentido opuesto al desplazamiento. Es decir, cuando la partícula se desplaza hacia la derecha, como en la figura (a), x es positivo y la fuerza ejercida por el muelle tiene una componente negativa, hacia la izquierda. Cuando la partícula de desplaza hacia la izquierda de x = 0 (figura c), x es negativo y la fuerza ejercida por el muelle tiene una componente positiva, hacia la derecha. Cuando una partícula está bajo el efecto de una fuerza de recuperación lineal, el movimiento de la partícula se corresponde con un tipo especial de movimiento oscilatorio denominado movimiento armónico simple (MAS). Se puede comprobar si una partícula tendrá un movimiento armónico simple analizando si la fuerza que se ejerce sobre la partícula es lineal con respecto a x. Al sistema que experimenta un MAS se le denomina oscilador armónico. Imaginemos una partícula sometida a una fuerza de recuperación lineal, similar a la indicada en la ecuación (3.7). Aplicando a la partícula la segunda ley de Newton en la dirección x tenemos F x = ma

−kx = ma

→

Podemos despejar la aceleración, quedando a =−

k x. m

(3.8)

Es decir, la aceleración es proporcional al desplazamiento de la partícula con relación a la posición de equilibrio y va dirigida en sentido opuesto al desplazamiento. Si desplazamos la partícula hasta una posición x = A y luego, cuando la

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Apuntes de Física 1

80

Tema 3. Dinámica de la partícula

ic o

partícula está parada, la soltamos, su aceleración inicial es −k A/m. Cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio, x = 0, su aceleración es cero. En ese instante, su velocidad alcanza un valor máximo, ya que la aceleración cambia de signo. La partícula continúa moviéndose hacia la izquierda de la posición de equilibrio con una aceleración positiva y, finalmente, alcanza la posición x = −A. En ese instante, su aceleración es +k A/m y su velocidad es, de nuevo, cero. La partícula realiza un ciclo completo de movimiento volviendo a la posición original, pasando de nuevo por x = 0 a la velocidad máxima. Por tanto, vemos que la partícula oscila entre los puntos límite x = ±A. En ausencia de rozamiento, este movimiento continuará indefinidamente. Los sistemas reales, están sujetos, generalmente, a algún tipo de rozamiento y por ello no pueden oscilar indefinidamente.

Representación matemática del movimiento armónico simple

ém

Vamos a desarrollar a continuación una representación matemática del movimiento que hemos descrito anteriormente. Recordemos que, por definición, ˙ ) = x(t ¨ ), por lo que podemos expresar la ecuación (3.8) de la forma a(t ) = v(t

Identificando

k x. m

Ac ad

x¨ = −

ω20 =

k m

(3.9)

la expresión anterior se transforma en

x¨ = −ω20 x .

(3.10)

U so

Necesitamos ahora una solución matemática para esta ecuación. Es decir, una función x(t ) que satisfaga esta ecuación diferencial de segundo orden. Esto nos dará una representación matemática de la posición de la partícula en función del tiempo. Buscamos, por tanto, una función x(t ) tal que su derivada segunda sea igual a la función original, pero con signo negativo y multiplicada por ω20 . Las funciones trigonométricas seno y coseno muestran este comportamiento, de modo que podemos construir una solución basándonos en una cualquiera de ellas. La siguiente función coseno es una solución a la ecuación diferencial (3.10):

Co p

ia

Ecuación del MAS

Apuntes de Física 1

x(t ) = A cos(ω0 t + ϕ)

(3.11)

donde A, ω0 y ϕ son constantes. Para ver esto de forma explícita, obsérvese que ˙ ) = −ω0 A sen(ω0 t + ϕ) v(t ) = x(t

(3.12)

¨ ) = −ω20 A cos(ω0 t + ϕ) . a(t ) = x(t

(3.13)

Si comparamos las ecuaciones (3.11) y (3.13), vemos que x¨ = −ω20 x, lo que satisface la ecuación (3.10). Los parámetros A, ω0 y ϕ son constantes del movimiento. Para dar un significado físico a estas constantes es conveniente disponer de una forma de representación gráfica del movimiento, dibujando la curva que representa x en función de t , como se muestra en la figura. En primer lugar, vemos que el parámetro A, denominado amplitud del movimiento, es, sencillamente, el valor máximo de la posición de la partícula tanto en el sentido positivo como en el negativo del eje x. La constante ω0 se denomina frecuencia angular y se mide en rad/s.

JCM,FLML

3.5. Ley de Hooke. Movimiento armónico simple

81

Partiendo de la ecuación (3.9), obtenemos que la frecuencia angular es

ω0 =

k . m

(3.14)

El ángulo ϕ se llama constante de fase (también llamada ángulo de fase o fase inicial) y, al igual que la amplitud A, queda determinado solamente por la posición y la velocidad de la partícula en el instante t = 0. Si la partícula está en su posición máxima x = A en el instante t = 0, la constante de fase es ϕ = 0 y la representación gráfica del movimiento es la que se muestra en la figura. A la magnitud (ω0 t + ϕ) se le denomina fase del movimiento. Obsérvese que la función x(t ) es periódica y que su valor es el mismo cada vez que ωt se incrementa en 2π radianes.

Ac ad

ém

El periodo T del movimiento se define como el tiempo que necesita la partícula para describir un ciclo completo de su movimiento. Es decir, los valores de x y v para la partícula en el instante t son iguales que los valores de x y v en el instante t + T . Podemos establecer la relación que existe entre el periodo y la frecuencia angular gracias al hecho de que la fase se incrementa en 2π radianes en un tiempo T : [ω0 (t + T ) + ϕ] − [ω0 t + ϕ] = 2π .

Relación entre la frecuencia angular y la constante de un muelle

ic o

s

Simplificando la expresión anterior obtenemos que ω0 T = 2π, o bien T=

2π . ω0

(3.15)

Periodo del MAS

U so

Al inverso del periodo se le denomina frecuencia f del movimiento. Mientras que el periodo es el intervalo de tiempo que dura cada oscilación, la frecuencia representa el número de oscilaciones que lleva a cabo la partícula por unidad de tiempo: 1 ω0 . f = = T 2π Las unidades en las que se mide f son ciclos por segundo o hercios (Hz). Adaptando esta ecuación tenemos

ia

ω0 = 2π f =

2π . T

Co p

Podemos combinar la ecuaciones (3.14) y (3.15) para expresar el periodo del movimiento del sistema muelle-partícula en función de las constantes k y m del sistema, de la forma r m T = 2π (3.16) k es decir, el periodo (y, por consiguiente, la frecuencia) de un oscilador armónico depende solamente de la masa de la partícula y de la constante de recuperación del muelle y no de los parámetros del movimiento, como A o ϕ. Como cabía esperar, la frecuencia es mayor para un muelle más rígido (mayor valor de k) y disminuye al aumentar la masa de la partícula. Obtuvimos la aceleración y la velocidad de una partícula que experimenta un movimiento armónico simple en las ecuaciones (3.12) y (3.13). De la ecuación (3.12) deducimos que, como las funciones seno y coseno oscilan entre ±1, los valores límites de v son ±ω0 A. Del mismo modo, la ecuación (3.13) nos dice que los

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Apuntes de Física 1

82

Tema 3. Dinámica de la partícula valores límite de la aceleración son ±ω20 A. Por lo tanto, los valores máximos del módulo de la aceleración la velocidad son, respectivamente, v máx = ω0 A;

a máx = ω20 A .

ic o

La figura (a) representa la posición en función del tiempo para un valor arbitrario de la constante de fase. Las curvas velocidad-tiempo y aceleración-tiempo asociadas están representadas en las figuras (b) y (c). Estas figuras muestran que la fase de la velocidad difiere de la fase de la posición en π/2 radianes. Es decir, cuando la posición x es máxima o mínima, la velocidad es cero. Del mismo modo, cuando x es cero, la velocidad alcanza su máximo. Obsérvese, además, que la fase de la aceleración difiere de la fase de la posición en π radianes. Por ejemplo, cuando x está en un máximo, a alcanza su módulo máximo, pero en sentido opuesto.

ém

Actividad 3.10:

¿Cuál es la diferencia más relevante entre un movimiento de traslación y uno de oscilación?

Ac ad

Dé algunas razones por las que el movimiento oscilatorio es tan importante en nuestra vida y en nuestra tecnología. Describa las razones físicas que hacen que un objeto unido a un muelle experimente un movimiento oscilatorio. ¿Cuál es la clave? ¿Depende el periodo de la oscilación de la amplitud de la propia oscilación?

U so

Explique razonadamente por qué el periodo de un muelle fuerte será menor que el de un muelle más flojo.

Co p

ia

3.5.2. El péndulo simple

El péndulo simple es otro sistema mecánico que exhibe un movimiento periódico. Consiste en un objeto puntual de masa m, suspendido de una cuerda (o barra) ligera de longitud L, cuyo extremo superior está fijo, tal como muestra la figura adyacente. En el caso de un objeto real, siempre que el tamaño del objeto sea pequeño comparado con la longitud de la cuerda, el péndulo puede modelarse como un péndulo simple; se trata de un modelo de partícula. Cuando el objeto se desplaza hacia un lado y luego se suelta, oscila alrededor del punto más bajo, que es la posición de equilibrio. El movimiento se produce en un plano vertical y está impulsado por la fuerza de la gravedad. ~ ejercida por la cuerLas fuerzas que actúan sobre el objeto son la tensión T da y la fuerza de la gravedad, m~ g . La componente tangencial de la fuerza de la gravedad, mg sen φ, siempre actúa hacia la posición dada por φ = 0, en sentido opuesto al desplazamiento. La fuerza tangencial es, por tanto, una fuerza de recuperación y podemos utilizar la segunda la ley de Newton para escribir la ecuación del movimiento en la dirección tangencial como F τ = ma τ

⇒

−mg sen φ = m

d2 s dv =m 2 dt dt

donde s es la posición medida a lo largo del arco circular de la figura y el signo negativo indica que F τ actúa hacia la posición de equilibrio y se ha usado la iden-

Apuntes de Física 1

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3.5. Ley de Hooke. Movimiento armónico simple

83

Esta ecuación es similar a (3.10), aunque no idéntica. El miembro derecho es proporcional a sen φ en lugar de φ; por lo tanto, podemos extraer la conclusión de que el movimiento no es armónico simple, ya que la ecuación que describe este movimiento no tiene la forma de la ecuación (3.10). Sin embargo, si asumimos que φ es pequeño (menor que unos 10o ), podemos usar un modelo simplificado denominado aproximación para ángulos pequeños, donde sen φ ≈ φ, estando φ expresado en radianes. Por tanto, para ángulos pequeños, la ecuación de movimiento pasa a ser d2 φ g =− φ 2 dt L

Ecuación de movimiento para el péndulo simple (con φ pequeño)

ém

(3.18)

ic o

tidad (2.12). Dado que s = Lφ y L es constante, está ecuación se puede reescribir como g d2 φ = − sen φ (3.17) dt 2 L

ω0 =

r

g L

(3.19)

Frecuencia angular de un péndulo simple

(3.20)

U so

y el periodo del movimiento viene dado por s L T = 2π . g

Ac ad

Ahora sí tenemos una expresión que tiene exactamente la misma forma matemática de la ecuación (3.10), con ω20 = g /L, de modo que podemos extraer la conclusión de que el movimiento es aproximadamente armónico simple para pequeñas amplitudes. Considerando la solución a partir de la ecuación (3.11), φ se puede escribir por tanto como φ(t ) = φmax cos(ω0 t +ϕ), donde φmax es la posición angular máxima y la frecuencia angular ω0 es

ia

En otras palabras, el periodo y la frecuencia de un péndulo simple que oscila con ángulos pequeños depende solamente de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad. Dado que el periodo es independiente de la masa, podemos deducir que todos los péndulos simples de igual longitud situados en la misma ubicación, oscilarán con periodos iguales. La experimentación muestra que esta deducción es correcta. El péndulo simple se puede utilizar para medir el tiempo. También es muy adecuado para hacer mediciones precisas de los valores de la aceleración de la gravedad.

Co p

Actividad 3.11:

¿Quién proporciona la fuerza recuperadora en un péndulo? ¿Por qué se opta por resolver la ecuación (3.18) en vez de la ecuación más general (3.17)? Si estuviese en la Luna y dispusiese de un péndulo y un cronómetro, ¿cómo podría calcular el valor de su gravedad? Si las oscilaciones de un péndulo son muy amplias, ¿puede caracterizarse su movimiento como un MAS? ¿Por qué? ¿Por qué se paran los péndulos? ¿Qué podría hacer para que un péndulo siguiese en movimiento perpetuo?

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Apuntes de Física 1

84

Tema 3. Dinámica de la partícula

3.6. Trabajo y energía 3.6.1. Trabajo de una fuerza a lo largo de una trayectoria

ic o

Consideremos una partícula que se mueve desde un punto 1 hasta otro punto vecino 2 (ver figura). Al vector d~ r que une dos puntos infinitesimalmente próximos de la trayectoria se le denomina vector desplazamiento diferencial de la ~ . Se partícula. Supongamos que sobre esa partícula está actuando una fuerza F ~ define el diferencial de trabajo de F correspondiente al desplazamiento d~ r como ~ · d~ dW = F r .

~ al desplazar a una partícula Por consiguiente el trabajo que realiza la fuerza F desde un punto 1 hasta otro punto 2 podrá expresarse como la siguiente integral de camino [ver Sec. 1.9.2]: W1→2 =

Unidad de Trabajo: 1 J (julio)

2

Z

1

~ · d~ F r .

Ac ad

Definición de Trabajo

ém

Trabajo infinitesimal

(3.21)

(3.22)

El trabajo es, por tanto, una magnitud escalar cuya unidad en el Sistema Internacional es N·m, también llamada julio (J). Aplicando la definición de producto escalar tendremos dW = F dr cos ϕ

(3.23)

Co p

ia

U so

con lo que dW ≥ 0 si 0 ≤ ϕ ≤ π/2, mientras que dW ≤ 0 si π/2 ≤ ϕ ≤ π. Obviamente dW = 0 si ϕ = π/2 (fuerza y desplazamiento perpendiculares). En consecuencia, la fuerza normal de contacto de una superficie no realiza trabajo sobre un cuerpo ~ y d~ que deslice sobre ella, ya que F r son perpendiculares. Utilizando la descomposición vectorial en componentes podremos también escribir el diferencial de trabajo como dW = F x dx + F y dy + F z dz

y el trabajo para un desplazamiento desde el punto (x 1 , y 1 , z 1 ) al punto (x 2 , y 2 , z 2 ) como W1→2 =

2

Z 1

~ · d~ F r=

x1

F x dx +

Z

y2 y1

F y dy +

Z

z2 z1

F z dz .

(3.24)

Veamos, a modo de ejemplo, el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad sobre un objeto que se mueva sobre la superficie terrestre. Tomando el eje y en la dirección vertical y el sentido positivo del eje y hacia arriba, tenemos para la ~ = −mg yˆ (o, equivalentemente, F x = F z = 0 y F y = −mg ) y, por tanto, fuerza, F

W =−

Apuntes de Física 1

x2

Z

Z

y2 y1

mg dy = mg (y 1 − y 2 ) .

(3.25)

JCM,FLML

3.6. Trabajo y energía

85

Actividad 3.12: ¿Tiene el trabajo dirección y sentido? Si su respuesta es NO, entonces ¿tienen relevancia los conceptos de dirección y sentido en el cálculo del trabajo?

• En general, el trabajo no depende de la trayectoria seguida desde A hasta B . • Si B ≡ A de modo que la trayectoria es cerrada, el trabajo es siempre nulo.

ém

• Si la fuerza es una fuerza de contacto normal, el trabajo realizado es nulo independietemente de la trayectoria seguida.

ic o

Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones referentes al trabajo hecho por una fuerza para desplazar una partícula desde un punto A hasta otro B .

Ac ad

~ para desplazar una par¿Puede el trabajo W realizado por una fuerza F tícula una distancia d definirse, en general, como W = F d ? Razone su respuesta.

3.6.2. Potencia

U so

Cuando se trata con máquinas o motores, es a menudo más conveniente manejar el concepto de potencia en lugar del de trabajo. La potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo. Tanto un motor pequeño como una gran central eléctrica pueden realizar la misma cantidad de trabajo. La diferencia estriba en que, mientras que el motor pequeño puede tardar un año, la central eléctrica puede requerir solo unos minutos. Si W es el trabajo realizado en un tiempo ∆t , la potencia media desarrollada en ese intervalo será W 〈P 〉 = . ∆t

Potencia media

P (t ) =

dW . dt

(3.26)

Potencia instantánea

Co p

ia

En el límite en que ∆t → 0, tendremos la potencia instantánea:2

~ . PaLa potencia puede expresarse también en función de la fuerza aplicada F ~ · d~ ra ello notemos que dW = F r , y si escribimos d~ r en función de su velocidad tenemos que ~ ·~ dW = F v dt . (3.27)

2

A partir de la definición de potencia instantánea podemos obtener la potencia media si notamos que esta última se define como Z ∆t 1 P (t ) dt ∆t 0 ¶ Z ∆t µ Z ∆t 1 dW 1 W = dt = dW = . ∆t 0 dt ∆t 0 ∆t

〈P 〉 =

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

86

Tema 3. Dinámica de la partícula Como a su vez, podemos escribir el diferencial de trabajo como ¶ µ dW dt = P (t ) dt dW = dt

(3.28)

al identificar las dos últimas expresiones encontramos que ~ y~ Potencia en función de F v

(3.29)

ic o

La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el J/s o vatio (W). Generalmente es una unidad muy pequeña, por lo que se suelen utilizar múltiplos de la misma, como el kW o el MW. También se usa otra unidad no perteneciente al Sistema Internacional, denominada caballo de vapor: CV (también se suele abreviar con las letras “hp” correspondientes a la denominación inglesa horsepower, equivalente a 736 W). A veces se usa una unidad de trabajo diferente a partir de la unidad de potencia. Esta unidad es el kilovatio-hora (kWh), que se define como el trabajo realizado durante una hora por un dispositivo cuya potencia es 1 kW. El valor numérico de 1 kWh es

ém

Unidad de Potencia: 1 W (vatio)

~ ·~ P =F v .

Ac ad

1 kWh = (103 W) × (3600 s) = 3, 60 × 106 J .

Debe tenerse en cuenta que un kilovatio-hora es una unidad de trabajo, no de potencia. Las compañías eléctricas facturan normalmente según el trabajo realizado por los aparatos eléctricos usando como unidad el kWh. Actividad 3.13:

Describa alguna razón por la que es conveniente introducir el concepto de potencia.

U so

¿Qué diferencia cualitativa existe entre potencia media y potencia instantánea? ¿Qué concepto es más útil?

Co p

ia

Si decimos que un motor es más potente (“tiene más potencia”) que otro, esto quiere decir que es capaz de realizar más trabajo. ¿Verdadero o Falso? Razone la respuesta.

3.6.3. Energía cinética Si partimos de la definición de diferencial de trabajo dada en (3.21) y de la pro~ = m~ pia definición de fuerza dada por la segunda ley de Newton (F a ), podremos escribir que d~ v ~ · d~ · d~ r. (3.30) dW = F r =m dt Teniendo ahora en cuenta que el diferencial de desplazamiento puede expresarse como d~ r =~ v dt , tenemos que el producto escalar anterior puede a su vez reescribirse como d~ v d~ v d~ v · d~ r= ·~ v dt = ~ v· dt = ~ v · d~ v dt dt dt tras reconocer que d~ v = (d~ v /dt )dt [recordemos (1.107)]. Si notamos ahora que µ ¶ µ ¶ 1 1 1 2 ~ v · d~ v = d (~ v ·~ v) = d ~ v ·~ v = d |~ v| , 2 2 2

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

3.6. Trabajo y energía

87

el segundo miembro de (3.30) puede reescribirse como µ ¶ µ ¶ d~ v 1 2 1 2 m · d~ r = m d |~ v | = d mv dt 2 2

(3.31)

y, por tanto, obtenemos que µ

¶ 1 2 mv . 2

(3.32)

Integrando la expresión anterior desde un punto de partida 1 donde v = v 1 , hasta un punto final 2 donde v = v 2 , resulta ¶ Z v2 µ 1 1 1 2 (3.33) d mv = mv 22 − mv 12 W1→2 = 2 2 2 v1 donde la magnitud escalar 1 E c ≡ mv 2 2

Definición de Energía Cinética

ém

(3.34)

ic o

~ · d~ dW = F r =d

recibe el nombre de energía cinética.

Ac ad

La ecuación anterior se conoce con el nombre de teorema trabajo-energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas). Dicho teorema expresa que el trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula es igual a la variación de la energía cinética de la partícula: W1→2 = E c2 − E c1 = ∆E c .

(3.35)

Teorema trabajo-energía cinética

ia

Actividad 3.14:

U so

Debido al principio de superposición, si sobre una partícula actúan varias fuerzas, ∆E c representaría el trabajo total de todas ellas, que se calcularía como la suma algebraica del trabajo realizado por cada una de ellas. De cara a la resolución de problemas, el teorema trabajo-energía cinética presenta la gran ventaja de que, para calcular velocidades, no se requiere determinar previamente las aceleraciones a lo largo de la trayectoria. Además, solo intervienen magnitudes escalares y podemos prescindir de todas aquellas fuerzas que no realizan trabajo (por ejemplo, las fuerzas normales) en la resolución de algunos problemas.

¿Hemos hecho alguna suposición o aproximación en la derivación del teorema trabajo-energía cinética?

Co p

El teorema trabajo-energía cinética no puede aplicarse a las fuerzas de rozamiento. ¿Verdadero o Falso? Razone la respuesta. Si mantenemos unas pesas de 80 kg quietas encima de nuestra cabeza durante un minuto ¿estamos realizando algún trabajo? Explique su respuesta. Si una partícula parte del reposo en A y llega a un punto B también en reposo bajo la acción de cierta fuerza, ¿es el trabajo realizado por esta fuerza nula? Si su respuesta es afirmativa, ¿quiere esto decir que si levantamos un objeto pesado desde el suelo hasta cierta altura por encima de nuestra cabeza, no hemos realizado nosotros ningún trabajo? Razone su respuesta.

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

88

Tema 3. Dinámica de la partícula

3.6.4.

Fuerzas conservativas. Energía potencial

~ se dice que es conservativa cuando el trabajo W1→2 que Una fuerza F realiza sobre la partícula al desplazarla desde el punto 1 al punto 2 es independiente de la trayectoria seguida; esto es, si se verifica que W1→2 =

Z

2 1,M

~ · d~ F r=

Z

2 1,N

~ · d~ F r

(3.36)

(3.37)

ém

~ = −~ F ∇E p ¶ µ ∂E p ∂E p ∂E p xˆ + yˆ + zˆ . =− ∂x ∂y ∂z

ic o

donde M y N representan dos trayectorias distintas que unen los puntos 1 y 2 (ver figura adjunta). En la Sec. 1.9.3 se discute que esta propiedad solo se satisface si la ~ deriva de un potencial, es decir si podemos expresar F ~ como el gradiente fuerza F de cierta función que llamaremos, por conveniencia, −E p (~ r ):

(3.38)

Ac ad

Bajo la anterior suposición, y siguiendo el teorema fundamental del cálculo discutido en (1.143), encontramos que el trabajo puede expresarse en este caso como Z 2 Z 2 Z 2 ~ · d~ ~ W1→2 = F r =− ∇E p · d~ r =− dE p 1 1 1 £ ¤ = − E p (~ r 2 ) − E p (~ r1) (3.39) ~ es una fuerza conservativa podremos escribir entonces que esto es, si F

Trabajo de una fuerza conservativa

W1→2 = E p (~ r 1 ) − E p (~ r 2 ) = −∆E p .

(3.40)

ia

U so

La función E p (~ r ) se denomina energía potencial. Obsérvese que si W1→2 es positivo (la fuerza realiza un trabajo), entonces ∆E p es negativo (la energía potencial disminuye). Podemos ver también que la energía potencial es una medida del trabajo que puede realizar una determinada fuerza conservativa sobre un cuerpo.

Co p

Definición de fuerza conservativa

Si la trayectoria que describe una partícula es una trayectoria cerrada, entonces el punto inicial coincide con el punto de llegada, es decir, E p (~ r 1 ) = E p (~ r 2 ), y, por tanto, el trabajo neto total es cero. Así pues, para una fuerza conservativa siempre tendremos que I ~ · d~ F r =0 (3.41) en correspondencia con (1.145), donde cerrada.

H

significa integral sobre una trayectoria

Como ejemplo, analicemos el caso de la fuerza gravitatoria, que viene dada ~g = −mg yˆ . En este caso, ya vimos en la Eq. (3.25) que el trabajo, Wg , que por F realiza dicha fuerza gravitatoria para mover una partícula de masa m entre dos puntos de altura y 1 e y 2 era Wg = mg (y 1 − y 2 ) .

(3.42)

Dado que el trabajo en una trayectoria cerrada [y 1 ≡ y 2 ] sería nulo, podemos afirmar que la fuerza de la gravedad es una fuerza conservativa. A partir de la expresión anterior para Wg , y teniendo en cuenta (3.40) [esto es, Wg = E p (1) − E p (2)], podemos igualmente concluir que la energía potencial gravitatoria viene dada por E p (y) = mg y +C

Apuntes de Física 1

(3.43)

JCM,FLML

3.6. Trabajo y energía

89

donde C es una constante indeterminada que siempre aparece en la determinación de la energía potencial. Esta indeterminación se resuelve tomando un nivel de referencia adecuado. En el caso de la energía potencial gravitatoria, se suele tomar como nivel de referencia la superficie terrestre, aunque se puede ajustar según cada problema concreto.

¿Hemos hecho alguna suposición o aproximación en la derivación de la expresión (3.40)? La expresión (3.40) no puede aplicarse a las fuerzas de rozamiento. ¿Verdadero o Falso? Razone la respuesta.

ém

Demuestre si la fuerza recuperadora de un muelle dada por (3.7) es conservativa o no.

ic o

Actividad 3.15:

Ac ad

En el caso de alguno de nosotros levante un objeto pesado desde el suelo hasta mantenerlo quieto con los brazos extendidos por encima de la cabeza, el teorema trabajo-energía cinética nos dice que la fuerza que actúa sobre el objeto pesado no ha realizado trabajo en este proceso. Explique esta aparente paradoja y demuestre que el trabajo que realizaríamos nosotros en este proceso es justamente la variación de la energía potencial del objeto pesado.

U so

3.6.5. Energía mecánica. Conservación

Cuando tratamos con fuerzas conservativas, el teorema trabajo-energía cinética puede combinarse con la ecuación (3.40) con lo que resulta: ∆E c = −∆E p

o, lo que es lo mismo,

La cantidad

ia

∆(E c + E p ) = 0 . Em = Ec + E p

(3.44)

(3.45)

Energía mecánica

Co p

se conoce como energía mecánica total de la partícula, y la ecuación (3.44) indica que la energía mecánica total permanece constante bajo la acción de fuerzas conservativas.

Volviendo al caso del campo gravitatorio, tenemos que 1 E m = mv 2 + mg y = cte . 2

Si inicialmente la partícula se encuentra en reposo a una altura y 0 , a una altura y tendremos que 1 mv 2 + mg y = mg y 0 2

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Apuntes de Física 1

90

Tema 3. Dinámica de la partícula lo que nos permite escribir v 2 = 2g (y 0 − y) = 2g h , fórmula bien conocida para la velocidad de caída libre de un cuerpo. Obsérvese que, como la energía potencial depende solo de la altura, la velocidad de una partícula tiene el mismo valor en todos los puntos situados en el mismo nivel para una trayectoria dada (siempre que no haya rozamiento).

ic o

ém

Las fuerzas de rozamiento no son conservativas

Así pues, bajo la acción de fuerzas conservativas, las energías cinética y potencial pueden variar pero su suma tiene que permanecer constante. La existencia de fuerzas no conservativas hace que la energía mecánica total no permanezca constante. Las fuerzas de rozamiento, por ejemplo, son fuerzas no conservativas y, por tanto, el trabajo que realizan no puede ser expresado como un cambio en la energía potencial, ya que depende de la trayectoria seguida por sus puntos de aplicación. Además, el trabajo de una fuerza de rozamiento es siempre negativo, lo cual produce una disminución de la energía mecánica.

Ac ad

Demostremos a continuación esta última afirmación (es decir, que el rozamiento disminuye la energía mecánica). Para ello dividimos la fuerza neta que actúa sobre una partícula en dos componentes, una debida a la resultante de las fuerzas conservativas y otra debida a la resultante de las fuerzas no conservativas: ~ =F ~c + F ~nc . Así, podemos expresar F W = Wc + Wnc = −∆E p + Wnc .

(3.46)

U so

Utilizando ahora el teorema trabajo-energía cinética (W = ∆E c ), llegamos a que ∆E c = Wnc − ∆E p

de donde podemos extraer la siguiente importante conclusión:

Co p

ia

Trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energia mecánica

Apuntes de Física 1

Wnc = ∆E c + ∆E p = ∆E m

(3.47)

que nos dice que el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema. En el caso de que exista rozamiento entre el suelo y un objeto, la fuerza de ~r se opondrá al desplazamiento del objeto, por lo que dWnc = F ~r · rozamiento F d~ r = −F r dr en todo punto del espacio, y, en consecuencia, Wnc < 0. Por lo tanto, ∆E m < 0 .

El hecho de que la energía mecánica no se conserve cuando intervienen fuerzas no conservativas no significa que se pierda o desaparezca energía del sistema, sino que se transforma en otro tipo de energía, tal como energía térmica (calor). Solo si se consideran todas las formas de energía que intervienen en el problema, el “principio de conservación de la energía” será válido. Este hecho no será tratado aquí pues traspasaríamos las fronteras de la mecánica para entrar en el territorio de la termodinámica.

JCM,FLML

3.6. Trabajo y energía

91

Actividad 3.16: El principio de conservación de la energía mecánica, ¿por qué no es válido para todo tipo de fuerzas? Ponga un ejemplo de fuerza que sí lo cumpla y otro que no.

Si observamos que un paracaidista cae a velocidad constante, ¿podemos inferir la existencia de una fuerza no conservativa actuando en el sistema? ¿De qué modo podemos relacionar el trabajo de las fuerzas no conservativas con la variación de la energía mecánica?

ém

En las situaciones en las que no se verifica el principio de conservación de la energía mecánica, ¿debemos renunciar a tener un principio de conservación para la energía?

ic o

¿Por qué es útil el principio de conservación de la energía mecánica?

Ac ad

E JEMPLO 3.7 Partícula que cae sobre una superficie esférica

Una partícula, de masa m, se encuentra sobre una superficie esférica de radio R. La partícula desliza sobre la superficie (se supone que el rozamiento es despreciable) hasta que pierde el contacto con ella. (a) Determinar el ángulo θ correspondiente al punto en que pierde contacto con la esfera. (b) Una vez que abandona la superficie esférica, ¿qué movimiento describirá la partícula? (c) Calcule el vector velocidad cuando la partícula impacta en el suelo.

U so

(a) En primer lugar debemos considerar que cuando la partícula pierde el contacto con la superficie es justamente cuando la fuerza normal que ésta hace sobre la partícula es nula (esto es, N = 0). Para encontrar esta condición debemos hacer el balance de fuerzas en la dirección normal. Según la figura adjunta, esto nos dice que mg cos θ − N = ma n = m

de donde obtenemos que

v2 R

Ã

ia

! v2 N = m g cos θ − . R

Co p

La condición de normal nula (indicada por el subíndice 0) nos lleva a que v2 g cos θ0 = 0 R

=⇒

v 02 = g R cos θ0 .

Para calcular el ángulo θ0 al que esto ocurre debemos encontrar una relación adicional entre la velocidad y dicho ángulo. Esta relación adicional nos la proporciona la conservación de la energía mecánica de la partícula en el deslizamiento sobre la esfera (dado que no existe fuerza de rozamiento y la fuerza normal no realiza trabajo). Esta condición nos dice queda ∆E m = 0 =⇒ ∆E c = −∆E p

que puede escribirse para la presente situación como 1 mv 02 = mg R(1 − cos θ0 ) 2

=⇒

v 02 = 2g R(1 − cos θ0 ) .

Igualando ahora las dos expresiones que hemos obtenido para V02 encontramos que g R cos θ0 = 2g R(1 − cos θ0 )

JCM,FLML

=⇒

cos θ0 =

2 . 3

(3.48)

Apuntes de Física 1

92

Tema 3. Dinámica de la partícula La velocidad justo en dicho momento será s

v0 =

2g R . 3

(c) Para calcular el vector velocidad justo en el momento del impacto del suelo, ~ v f , podemos proceder de diferentes maneras. Aquí escogeremos el calcular primero el módulo de la velocidad justo en el momento del impacto (v f ). Para ello simplemente haremos uso de nuevo de la conservación de la energía mecánica entre el momento en que pierde contacto y el que llega al suelo:

ém

trayectoria parabólica

ic o

(b) Una vez que la partícula ha perdido contacto con la esfera, nos encontramos con un típico moviemiento parabólico debido a la acción de la gravedad y cuya velocidad inicial será ~ v 0 = v 0 cos θ0 xˆ − v 0 sen θ0 yˆ . p Teniendo en cuenta que sin θ0 = 5/3, la velocidad inicial puede entonces escribirse como s p 2g R ~ v0 = (2ˆx − 5ˆy) . 27

∆E c = −∆E p

que nos lleva a

Ac ad

1 m(v 2f − v 02 ) = −mg (0 − R cos θ0 ) 2

v 2f = v 02 + g R cos θ0 2 2 g R + 2g R g R = 2g R . 3 3

U so

Dado que la velocidad en la dirección x no cambia (a x = 0), en el momento del impacto con el suelo será s 2g R v f x = v 0x = 2 . 27

Co p

ia

Para calcular la componente y de la velocidad (v f y ) haremos uso de que

Apuntes de Física 1

8g R 46g R v 2f y = v 2f − v 2f x = 2g R − = 27 27

lo que nos permite escribir finalmente que s p 2g R ~ vf = (2ˆx − 23ˆy) . 27

Curvas de potencial (*) Las gráficas que representan E p (~ r ) en función de ~ r son un instrumento de gran utilidad para entender el movimiento de una partícula, incluso sin necesidad de resolver la ecuación de movimiento. Consideremos por simplicidad que la energía potencial solo depende de una variable x, esto es, E p (x). Supongamos que la Figura 3.2 representa la curva de energía potencial para los diferentes valores de x. La fuerza está dada por F = −dE p /dx, esto es, por la pendiente de la curva cambiada de signo. En las zonas en que E p (x) es creciente su primera derivada es positiva y, por tanto F negativa (hacia la izquierda); es el caso de posiciones tales que x 3 < x < x 5 o x 6 < x < x 7 de la figura. Si la función E p (x) es decreciente, F resulta positiva, como en x < x 3 o x 5 < x < x 6 . En puntos tales como x 3 , x 5 , x 6 , o x ≥ x 7 , la pendiente de E p (x) es cero, y por tanto en ellos la fuerza que actúa sobre la partícula es nula, son puntos de equilibrio; si colocamos la partícula en

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3.6. Trabajo y energía

93

U so

Ac ad

ém

ic o

x 3 con velocidad nula se queda allí sin moverse. Este equilibrio es de tres tipos, que llamaremos: equilibrio estable, cuando al desplazar la partícula a izquierda o derecha, la fuerza tiende a volverla a la posición de equilibrio original (es el caso de x = x 3 y x = x 6 ); equilibrio inestable, cuando al producir el mencionado desplazamiento la fuerza aleja a la partícula de la posición de equilibrio (caso x = x 5 ), y equilibrio indiferente cuando el resultado de un pequeño desplazamiento es una nueva posición de equilibrio (caso x > x 7 ). Como se aprecia en la figura, los tres equilibrios mencionados corresponden a mínimos, máximos o zonas de valor constante, respectivamente, de la energía potencial.

F IGURA 3.2: Las líneas horizontales representan la energía total E que es constante; se representan cuatro valores diferentes E 1 , E 2 , E 3 y E 4 , dependiendo estos de las condiciones iniciales en el movimiento de la partícula. En cualquier caso tiene que verificarse que E ≥ E p (x), si esto no fuera cierto, la velocidad sería imaginaria, lo que no tiene sentido físico.

Co p

ia

Analicemos ahora las zonas en que puede moverse la partícula en función de su energía total. Supongamos que colocamos la partícula en la posición x 5 y le damos una velocidad hacia la izquierda tal que su energía total es E 4 , es decir, tal que E c = E 4 − E p (x 5 ). La partícula será acelerada desde x 5 hasta x 3 y se verá frenada de x 3 hacia la izquierda. Al llegar a x 1 sus energías potencial y total son iguales, con lo que posee E c = 0, o sea, se para en x 1 y aparece una fuerza hacia la derecha, sentido en el que seguirá indefinidamente. El punto x 1 , con energía E 4 , es un punto de retorno que la partícula no puede superar; continuar a la izquierda de x 1 supondría tener E p > E y por tanto E c < 0, lo que no tiene sentido físico por corresponder a una velocidad imaginaria. Si la energía total de la partícula es E 3 , tiene dos posibles zonas donde moverse, y el que lo haga en una u otra depende de la posición inicial en que la coloquemos; pero una vez colocada en una de ellas no podrá pasar a la otra, ya que entre ambas existe una barrera de potencial, que corresponde a un salto de energía E p (x 5 ) − E 3 , inaccesible para para la partícula si no recibe acciones exteriores. Cuando la energía total de la partícula es E 2 su movimiento está restringido a valores de x tales que x 2 ≤ x ≤ x 4 . Las posiciones x 2 y x 4 son puntos de retorno, de

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Apuntes de Física 1

94

Tema 3. Dinámica de la partícula velocidad nula, y posee velocidad máxima en x 3 donde E p es mínima. Con energía total E 1 solo puede estar en x 3 y en reposo, y con E < E 1 no puede existir la partícula.

3.6.6. Energía del movimiento armónico simple A partir de la ecuación (3.12) se puede calcular la energía cinética del movimiento armónico simple,

ic o

1 1 E c = mv 2 = mω20 A 2 sen2 (ω0 t + φ) . 2 2

Teniendo en cuenta que sen2 (ω0 t + φ) + cos2 (ω0 t + φ) = 1 se obtiene que

ém

1 E c = mω20 A 2 [1 − cos2 (ω0 t + φ)] 2 Finalmente, haciendo uso de (3.11) llegamos a

(3.49)

Ac ad

1 E c = mω20 (A 2 − x 2 ) . 2

Por tanto, en el movimiento armónico simple, la energía cinética es máxima en la posición de equilibrio x = 0 y nula en los extremos de la oscilación (x = ±A). Para obtener la energía potencial recordamos que ∆E p = −

Z

x2

x1

F dx .

U so

Si tomamos el cero de energía potencial en la posición de equilibrio x = 0, aplicando la Ley de Hooke (3.7), resulta ∆E p = −

Z

x2 x1

F x dx = −

Z

x2 x1

¢ 1 ¡ kxdx = k x 12 − x 22 2

ia

que, tras considerar (3.14), nos dice que

Co p

Energía potencial elástica

Energía mecánica del MAS

Apuntes de Física 1

1 1 E p (x) = kx 2 = mω20 x 2 . 2 2

(3.50)

Así pues, la energía potencial aumenta a medida que la partícula se acerca a los extremos de oscilación. Como la fuerza es conservativa, la energía mecánica deber ser una cantidad constante: 1 E m = E c + E p = mω20 A 2 . 2

(3.51)

Podemos considerar que durante una oscilación tiene lugar un intercambio continuo de energía cinética y potencial. Cuando la partícula está en un extremo de la oscilación, toda la energía mecánica es energía potencial. Al moverse hacia la posición de equilibrio la energía potencial decrece a expensas de la energía cinética. En el punto de equilibrio toda la energía está ya en forma de energía cinética. El proceso se invierte al alejarse de la posición equilibrio. En la figura adjunta se representa este proceso.

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3.7. Momento lineal

95

3.7. Momento lineal

ém

En las secciones anteriores, hemos visto que la velocidad de un objeto nos permite cuantificar la rapidez y la dirección de su movimiento. En este apartado comprobaremos que esta definición no es suficiente para caracterizar adecuadamente la naturaleza del movimiento. Como ejemplo, supongamos dos objetos que se mueven hacia nosotros, cada uno de ellos con una velocidad de 2 m/s. Uno es una pelota de ping-pong y el otro es un camión. Probablemente, tengamos intuitivamente claro cuál de los dos seríamos capaces de parar con el cuerpo. Ambos se mueven con la misma velocidad, pero algo nos dice que el camión tiene un movimiento “de mayor entidad”. Podemos usar entonces el concepto de “cantidad de movimiento” para describir esa diferencia entre estos dos objetos móviles. El momento lineal o cantidad de movimiento de un objeto de masa m que se mueve con una velocidad ~ v se define entonces como el producto de la masa por su velocidad: ~ = m~ p v . (3.52)

ic o

3.7.1. Expresión alternativa segunda ley de Newton

Ac ad

Dado que el momento lineal es igual al producto de un escalar m por un vector ~ v, se trata de una magnitud vectorial. Su dirección es la misma que la de ~ v.

Momento lineal o cantidad de movimiento

U so

A partir de su definición podemos notar que el concepto de momento lineal sí proporciona una diferencia cuantitativa entre objetos con masas diferentes que se mueven con la misma velocidad. Por ejemplo, el momento lineal del camión que se mueve con una velocidad de 2 m/s es mucho mayor en módulo que el de la pelota de ping-pong que se mueve a la misma velocidad. En consecuencia, podemos considerar el momento lineal como una medida de la dificultad para llevar una partícula hasta el reposo. Fue Newton quien denominó al producto m~ v cantidad de movimiento, que es quizás una descripción más gráfica que el término momento lineal, aunque nosotros usaremos más frecuentemente la denominación de momento lineal Aplicando la segunda ley de Newton, podemos relacionar el momento lineal o cantidad de movimiento de una partícula con la fuerza neta que actúa sobre ella. Recordemos que la segunda ley de Newton se puede escribir como ~ = m~ F a =m

d~ v . dt

ia

X

Co p

Sin embargo, esta expresión matemática de la ley solo puede aplicarse cuando la masa de la partícula permanece constante. En situaciones en las que la masa varía con el tiempo, debe utilizarse una expresión alternativa de la segunda ley de Newton que nos dice que la derivada del momento lineal con respecto al tiempo es igual a la fuerza neta que actúa sobre la partícula: X

~= F

d~ p . dt

(3.53)

Segunda Ley de Newton para una partícula de masa variable

Si la masa de la partícula es constante, la ecuación anterior se reduce a la primera expresión (3.2) que vimos la segunda ley de Newton. Es difícil imaginar una partícula cuya masa varíe pero, si se piensa en objetos no puntuales, enseguida podemos encontrar varios ejemplos: un cohete que expulsa combustible a medida que se mueve, una bola de nieve rodando por una montaña y que va haciéndose cada vez más grande, o una camioneta con un depósito abierto en la parte trasera que se va llenando de agua mientras llueve.

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

96

Tema 3. Dinámica de la partícula A partir de la ecuación (3.53) vemos que si la fuerza neta sobre un objeto es igual a cero, la derivada respecto del tiempo del momento lineal es cero y, por tanto, el momento lineal del objeto debe ser constante. Esto resulta familiar, ya que es el caso de una partícula en equilibrio expresado en función del momento lineal. Por supuesto, si la partícula está aislada (es decir, si no interacciona con su ~ no varía: esta es la primera entorno), entonces ninguna fuerza actúa sobre ella y p ley de Newton. Actividad 3.17:

ic o

Si la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa, el momento lineal de la partícula no varía. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta.

ém

Si la fuerza que actúa sobre una partícula está dirigida según el eje x, el momento lineal de la partícula en la dirección y no varía. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta.

Ac ad

Si la masa del objeto no varía con el tiempo no podemos usar la expresión (3.53) de la segunda ley de Newton. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta.

3.7.2. Impulso y momento lineal

Como describe la ecuación (3.53), el momento lineal de una partícula varía P ~ actúa si una fuerza neta actúa sobre ella. Supongamos que una fuerza neta F sobre una partícula y que esta fuerza puede variar con el tiempo. De acuerdo con la ecuación (3.53), podemos escribir que

U so

d~ p=

¡X ¢ ~ dt . F

Co p

ia

Si integramos esta expresión para hallar la variación del momento lineal de una partícula durante el intervalo de tiempo ∆t = t f − t i obtenemos que

Impulso de una fuerza

Apuntes de Física 1

~f − p ~i = ∆~ p=p

Z

tf ti

¡X ¢ ~ dt . F

La integral de una fuerza durante el intervalo de tiempo en el que ésta actúa se denomina impulso de la fuerza. El impulso de la fuerza neta es un vector definido por Z tf X ¡ ¢ ~ ~ dt = ∆~ I≡ F p . (3.54) ti

P ~ sobre una partícula es igual a Por tanto, el impulso total de la fuerza neta F la variación del momento lineal de la partícula. Esta afirmación, conocida como el teorema impulso-cantidad de movimiento, es equivalente a la segunda ley de Newton. A partir de la definición, vemos que el impulso es una magnitud vectorial cuyo módulo es igual al área comprendida bajo la curva del módulo de la fuerza neta en función del tiempo, como se describe en la figura adjunta. En esta figura se supone que la fuerza neta varía con el tiempo de la manera general indicada y que es distinta de cero en el intervalo de tiempo ∆t = t f − t i . El vector impulso tiene la misma dirección que la variación del momento lineal. Las dimensiones del impulso son iguales que las del momento lineal.

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3.7. Momento lineal

97

Dado que generalmente la fuerza puede variar con el tiempo, como se muestra en la figura (a), es recomendable definir una fuerza neta promediada en el tiempo, ~T , del siguiente modo: F Z tf X ¡ ¢ ­X ® 1 ~ dt ~T ≡ ~ = F F F ∆t ti donde ∆t = t f − t i . Por tanto, podemos expresar la ecuación (3.54) como ~ ~T ∆t . I = ∆~ p =F

El módulo de esta fuerza neta media, como se ilustra en la figura (b), puede interpretarse como el módulo de una fuerza constante neta que proporcionaría el mismo impulso a la partícula en el intervalo de tiempo ∆t que la fuerza neta variable en el mismo intervalo de tiempo.

ém

Actividad 3.18:

ic o

(3.55)

En el caso de que las fuerzas que actúan sobre la partícula sean no conservativas, ¿se verifica que ~ I = ∆~ p ? Razone su respuesta. ¿Siempre que ∆~ p = 0 tendremos que ~ I =0?

Ac ad

~T ≈ 0 podría Si tenemos que ∆~ p ≈ 0, ¿qué otra condición además de F ocasionarlo?

y x

U so

E JEMPLO 3.8 Un vagón de carga de masa m v = 14.000 kg se mueve horizontalmente con una velocidad v i = 4 m/s hacia un dispensador de grano. Justo cuando el vagón está debajo, el dispensador suelta repentinamente una masa m g = 2000 kg de grano en el vagón. Calcule el tiempo que necesita el vagón para recorrer una distancia D posterior de 500 m. Suponga que el grano cae verticalmente sobre el vagón y que no hay fricción de las ruedas del vagón con los raíles.

En el presente problema debemos observar que la única fuerza externa relevante que se ejerce sobre el vagón (nuestro sistema) es la proveniente de la dispensación del grano; es decir, solo tiene componente vertical (a lo largo del eje y). Esto implica que el impulso en la dirección horizontal es nulo, provocando la conservación del momento lineal en esta dirección: ~ I x = 0 =⇒ ∆~ px = 0 .

ia

Podemos establecer por tanto la siguiente relación entre las componentes horizontales de los momentos lineales del vagón “antes” y “después” de recibir el grano:

Co p

p x (antes) = p x (después) .

Si denominamos v d al módulo de la velocidad “después” de recibir m g cantidad de grano, podremos escribir la anterior ecuación como m v v i = (m v + m g )v d

y, por tanto,

vd =

mv 14 ×103 vi = × 4 = 3, 5 m/s . mv + mg 14 ×103 + 2 ×103

Una vez que tenemos la velocidad posterior a la carga del grano, dado que no hay rozamiento, ésta se mantendrá constante, por lo que el tiempo ∆t en recorrer una distancia D vendrá dado simplemente por ∆t =

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L 500 = ≈ 142, 86 s . vd 3, 5

Apuntes de Física 1

98

Tema 3. Dinámica de la partícula

3.8.

Momento angular

Consideremos una partícula de masa m, con un vector de posición ~ r con res~, pecto a cierto sistema de referencia y que se mueve con un momento lineal p como se indica en la figura. Definimos el momento angular, ~ L, de la partícula relativo al origen O como el producto vectorial de su vector de posición instantá~: neo ~ r por su momento lineal p ~ ~ . L =~ r ×p

(3.56)

ic o

Momento angular

Es importante observar que tanto el módulo como la dirección y sentido de ~ L dependen del origen que se elija. La dirección de ~ L es perpendicular al plano for~, y el sentido de ~ mado por ~ r yp L está indicado por la regla de la mano derecha. ~ se encuentran en el plano x y y ~ En el ejemplo de la figura se supone que ~ r yp L ~ = m~ apunta en el sentido positivo del eje z. Dado que p v , el módulo de ~ L es

ém

y

L = mvr sen φ

x

Ac ad

~. Se deduce que ~ donde φ es el ángulo formado por ~ r yp L es cero cuando ~ r es ~. En otras palabras, cuando la partícula se mueve a paralelo (o antiparalelo) a p lo largo de una línea que pasa por el origen, tiene un momento angular cero con ~, L es máximo e igual respecto a ese origen. Por otro lado, si ~ r es perpendicular a p a mvr . De hecho, en ese instante la partícula se mueve exactamente igual que si estuviera en el borde de una rueda que gira alrededor del origen, sobre un plano ~. Una partícula tiene un momento angular distinto de cero con definido por ~ r yp respecto a algún punto si el vector de posición de la partícula medido desde ese punto gira alrededor de dicho punto a medida que la partícula se mueve.

z

Co p

ia

U so

En el caso del movimiento de traslación, descubrimos que la fuerza neta sobre una partícula era igual a la derivada respecto al tiempo del momento lineal (3.53). Demostraremos ahora que, a partir de de la segunda ley de Newton, se deduce una situación similar para el movimiento de rotación (o traslación cíclica); es decir, que el momento de la fuerza neta que actúa sobre una partícula es igual a la derivada respecto al tiempo del momento angular de dicha partícula. Comencemos por derivar la ecuación (3.56) respecto al tiempo. Utilizando la regla del producto de las derivadas nos queda d~ L d~ r d~ p ~ +~ = ×p r× . dt dt dt El primer sumando de la ecuación anterior es nulo dado que ~ v = d~ r /dt es paralelo ~, por lo que nos queda ap d~ L d~ p =~ r× . dt dt Si definimos el momento de una fuerza que actúa sobre la partícula en la posición ~ r respecto a cierto sistema de referencia como el siguiente vector: ~ ~ τ =~ r ×F

Momento de una fuerza

(3.57)

tenemos que X d~ L ~ ) =~ ~neta =~ r ×( F r ×F dt

Apuntes de Física 1

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3.8. Momento angular

99

o, equivalentemente, ~ τneto =

d~ L dt

(3.58)

Relación entre momento de una fuerza y el momento angular

Fuerzas centrales

~ =0. ~ τ =~ r ×F

d~ L =0 dt

Ac ad

De acuerdo con (3.58) obtenemos igualmente que

ém

~ tal que Cuando la única fuerza que actúa sobre una partícula es una fuerza F su recta soporte pase siempre por un punto fijo O se dice que la partícula se mueve bajo una fuerza central, y el punto O recibe el nombre de centro de fuerzas. Al ~ siempre por O resulta que, respecto a dicho punto, ~ pasar la recta soporte de F r ~ son paralelos y, en consecuencia, yF

ic o

~neta . Este resultado es el equivalente de la segunda ley de Newdonde ~ τneto =~ r ×F ton (3.53) para el movimiento de rotación de una partícula en torno a un punto de referencia. Es importante observar que la ecuación (3.58) es válida solamente si los orígenes de ~ τneto y ~ L son el mismo (es decir, si ambos están tomados en el mismo sistema de referencia).

(3.59)

y, por tanto, el momento angular de una partícula bajo fuerzas centrales es constante tanto en módulo como en dirección y sentido.

Actividad 3.19:

U so

Puesto que ~ L = m~ r ×~ v , se deduce que la partícula describirá una trayectoria que estará contenida en un plano fijo perpendicular a ~ L. La importancia de estos resultados radica en el hecho de que la fuerza gravitatoria ejercida por el Sol sobre un planeta o por la Tierra sobre un satélite artificial (o la Luna) es una fuerza central. También lo son las fuerzas electrostáticas ejercidas por los núcleos sobre los electrones de un átomo.

Co p

ia

¿Es el momento angular ~ L de una partícula dependiente del sistema de coordenadas elegido? Compare el caso del momento angular con el del momento lineal. ~ dados, ¿bajo qué condiciones es el módulo del momento ¿Para un~ r yp angular máximo? ¿Y cuándo es mínimo? Escriba una expresión que relacione la derivada temporal del momento angular de una partícula con la de su momento lineal. ¿En qué situaciones tendremos que el momento angular de una partícula se conserva? Si se conserva el módulo del momento lineal de una partícula, ¿lo hará igualmente el módulo de su momento angular?

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Apuntes de Física 1

100

Tema 3. Dinámica de la partícula

3.9. Problemas propuestos Leyes de Newton

ic o

3.1: Un tren formado por la máquina y un vagón, unidos entre sí, circula a 100 km/h. La masa de la máquina es de 15000 kg y la masa del vagón de 20000 kg. Cuando se aplican los frenos, el sistema de frenado puede aproximarse como si actuara una fuerza de frenado constante de 25 kN sobre la máquina y de 25 kN sobre el vagón. Calcular: (a) El tiempo requerido para que el tren se pare después de aplicar los frenos. (b) La fuerza en el enganche entre los vagones cuando está frenando. [Nota: Cuidado con las fuerzas en el enganche, ya que si se considera el tren en conjunto, son fuerzas internas y no hay que tomarlas en cuenta, pero si se considera la máquina y el vagón por separados hay que tomarlas en cuenta, y deben de ser del mismo módulo y dirección, de sentidos contrarios, y aplicadas una en la máquina y la otra en el vagón (tercera ley de Newton)]. Sol. (a): t = 19.4 s; (b): F = 3.55 kN. 3.2: Sobre un bloque de masa M se encuentra otro bloque de masa m, como se indica en la figura. El rozamiento entre la pared vertical y el bloque de masa m es despreciable, pero sí hay rozamiento entre los dos bloques y entre el bloque de masa M y el suelo. Si el sistema está en equilibrio, realizar un esquema de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los bloques (dibujar los bloques por separado), indicando el origen de cada una de ellas.

ém

m

M

Ac ad

3.3: Sobre un remolque de 50 kg se transporta una caja de 100 kg. Los coeficientes de rozamiento entre ambos son µe =0.3 y µd =0.2, y el rozamiento entre el suelo y el remolque se puede considerar despreciable. Determinar el rango de valores posibles de la fuerza F aplicada al remolque, y su aceleración si: (a) El remolque y la caja se mueven juntos. (b) Se mueven por separado, deslizando la caja sobre el remolque. Calcular también, en este caso, la aceleración de la caja. (c) Si existiera rozamiento también entre el remolque y el suelo, dibujar el diagrama de fuerzas del sistema. Sol. (a): F ≤ µe (m 1 + m 2 )g ; (b): a = (F − µd m 1 g )/m 2 .

U so

3.4: Una esfera de masa m = 10 kg se sujeta al techo por medio de dos cuerdas AB y CD. De pronto se parte la cuerda AB. Calcular: (a) La tensión en la cuerda CD antes de romperse AB. (b) La tensión en la cuerda CD y la aceleración de la esfera después de haberse roto la cuerda AB. (c) Cuando la cuerda se ha roto, determinar la aceleración tangencial p y normal de la esfera. Sol. (a): T = mg ; (b): T = mg /2; (c): a τ = g 3/2, a n = 0 . 3.5: Un piloto de 80 kg ejecuta con una avioneta un rizo de 125 m de radio. Determinar la velocidad de la avioneta en los puntos A y B sabiendo que en A el piloto experimenta la sensación de no tener peso, y en el punto p una masa de 275 kg. p B de tener Sol. v A = g R, v B = (M − m)g R/m .

Co p

ia

3.6: Un bloque de masa m 1 = 250 g se encuentra en reposo sobre un plano que forma un ángulo de 30◦ sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque y el plano es µ = 0.1. Este bloque está unido a otro de masa m 2 = 200 g que cuelga libremente de una cuerda que pasa por una polea sin rozamiento y de masa despreciable.Partiendo del reposo, el sistema comienza a moverse, descendiendo el bloque 2. Calcular la velocidad del segundo bloque cuando ha caído 30 cm. r m 2 − µm 1 cos α − m 1 sen α Sol. v = 2 g h = 0.83 m/s. m1 + m2

Apuntes de Física 1

3.7: Dos cajas de masa M , están sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. A través de una polea de masa despreciable están unida a una masa m. (a) Averiguar en primer lugar si el sistema se mueve y, en su caso, hacia dónde. (b) Si se mueve, encontrar también el valor de la aceleración y las tensiones en las cuerdas. D ATOS : M = 5 kg, m = 7 kg, θ = 300 , g = 10 m/s2 , µe = 0.2 y µd = 0.1 (por simetría, los dos bloques experimentarán la misma fuerza de rozamiento). Sol.: Se mueve hacia la derecha. a = 0.66 m/s2 , T M = 2Tm = 65.38 N. 3.8: Determinar la máxima velocidad con la que un coche puede tomar una curva de 100 m de radio si (a) la carretera no está peraltada y el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es de µe =0.8. ¿Seguro que tenemos que emplear el coeficiente estático y no el dinámico? (b) La carretera está peraltada 15º y es lisa (no hay rozamiento). (c) La carretera está peraltada 15º y el coeficiente de rozamiento estático entre los neumáticos y la carretera es de µe =0.8. [Nota: Consultar el ejemplo 5.11 del Tipler en caso de duda.] s p µe cos α + sen α Sol. (a): v max = µe g R = 28 m/s (b,c): v = Rg . cos α − µe sen α

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3.9. Problemas propuestos

101

ém

3.10: En el sistema de la figura el bloque que está sobre el plano inclinado tiene una masa m 1 = 2m 2 , donde m 2 es la masapdel cuerpo que cuelga. El coeficiente de rozamiento estático del bloque con la superficie es µe = 1/ 3 y las masas de la cuerda y las poleas son despreciables. Calcular el ángulo de inclinación mínimo αc para que el sistema se mueva, y averiguar hacia dónde se movería (por ejemplo, si el bloque 2 sube o baja). Nota: Es un problema algo más complicado. Analizar con cuidado cómo están relacionadas las aceleraciones de los dos bloques. Tampoco está claro el sentido de la fuerza de rozamiento, ya que depende del sentido de movimiento. Suponer que no hay rozamiento y averiguar hacia dónde se mueve, considerar posteriormente que sí existe rozamiento, y calcular αc . Sol. (a): Sin rozamiento, a = g /3(sen α − 1) < 0, m 1 sube. (b): Con rozamiento, µe cos αc + sen α = 1 ⇒ αc = π/6.

ic o

3.9: Sobre un tablero inclinado con un ángulo de 30◦ se colocan dos cuerpos A y B de masa 4 y 3 kg respectivamente. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el bloque A y el plano inclinado es de 0.1, y entre el bloque B y dicho plano 0.2. Los bloques se mueven. (a) ¿Cómo deslizarán los cuerpos, juntos o separados? (b) Calcular la aceleración de cada cuerpo y la reacción en la superficie de contacto entre los bloques (si la hubiera). (c) Calcular la velocidad común o de de cada cuerpo después de haberse desplazado 5 m a lo largo del plano inclinado. Sol. (a): Deslizan juntos pues aceleración del cuerpo situado más arriba es mayor. (b): a = 3, 69 m/s2 . (c): v = 6.07 m/s.

Movimiento armónico simple

Ac ad

3.10: Una manzana que pesa 1 N se cuelga del extremo de un resorte largo con constante de fuerza k = 1.5 N/m y masa despreciable de modo que se mueve hacia arriba y hacia abajo realizando un M.A.S. Si se detiene este movimiento y ahora se hace oscilar la manzana de un lado a otro con un ángulo de oscilación pequeño, la frecuencia de este péndulo simple resulta ser la mitad de la frecuencia del movimiento oscilante vertical. ¿Cuál es la longitud del resorte sin estirar (quitando la manzana)? Sol. L = 8/3 m.

U so

3.11: Un objeto de masa m = 2 kg oscila de modo que su movimiento puede describirse por la ecuación x(t ) = 5 cos(10πt + π/3) m, donde x indica el desplazamiento desde el punto de equilibrio (en metros), el tiempo está en segundos y los ángulos en radianes. (a) Calcule el tiempo ∆t que tarda en dar 12 oscilaciones. (b) Calcule el número de oscilaciones N que realiza en 12 segundos. (c) Halle la energía cinética máxima que puede tener el objeto en su movimiento, y el valor (o valores) de x correspondiente(s) al instante en el que esta energía es máxima. (d) Calcule la energía potencial máxima que puede tener el objeto en su movimiento, y el valor (o valores) de x correspondiente(s) al instante en el que esta energía es máxima. Sol. (a): ∆t = 2, 4 s. (b): N = 60 oscilaciones. (c): E c,max = 24674 J; x = 0. (d): E p,max = 24674 J; x = ±5 m. Trabajo y energía

Co p

ia

3.12: Un bloque de 6 kg, en reposo, se eleva 3 m mediante una fuerza vertical de 80 N. Calcular: (a) El trabajo realizado por la fuerza de 80 N. (b) El trabajo realizado por la gravedad. (c) La velocidad con la que llega a ese punto por dos caminos distintos, resolviendo el problema dinámico para encontrar la aceleración y luego la velocidad, y luego mediante la relación entre trabajo realizado por todas las fuerzas y la variación de la energía cinética. (d) Si analizamos el resultado, veremos que la variación de la energía potencial gravitatoria, con signo menos, no es igual a la variación de la energía cinética. ¿Por qué? Sol. (a): W = 240 J; (b): W = 174.6 J ; (c): v f = 4.6 m/s.

3.13: Antes de abrir el paracaídas, un paracaidista en caída libre tiene una velocidad límite de aproximadamente 200 km/h y una vez abierto de 20 km/h. Si su masa es de 80 kg, calcular la potencia disipada por la fricción con el aire antes y después de abrir el paracaídas. Nota: debido a la fricción con el aire, y después de un tiempo, la fuerza debida al peso del paracaidista se compensa con la fricción, y cae con velocidad constante, velocidad que se denomina velocidad límite. Sol. (a): Antes, P = −43512 W; (b): después, P = −4351 W.

3.14: Un tren, de masa 2×106 kg, recorre una distancia de 62 km a una velocidad constante de 15 km/h, subiendo una altura de 707 m. La fuerza de rozamiento total tiene módulo constante, de valor 0.8 veces su peso, y dirección y sentido siempre opuesta al movimiento. (a) Calcular la variación de la energía cinética, energía potencial y energía mecánica del tren. (b) La energía disipada por el rozamiento (normalmente esta energía acaba transformándose en calor que se cede al entorno). (c) La potencia de la locomotora. Sol. (a): ∆E c = 0, ∆E p = 1.39 ×1010 J, ∆E m = 1.39 ×1010 J; (b): E dis = 9.4 ×1011 J ; (c): P )66.34 MW.

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Apuntes de Física 1

102

Tema 3. Dinámica de la partícula 3.15: Una partícula, de masa m, se encuentra sobre una superficie esférica de radio R. La partícula desliza sobre la superficie (se supone que el rozamiento es despreciable) hasta que pierde el contacto con ella. (a) Determinar el ángulo θ correspondiente al punto en que pierde contacto con la esfera. (b) Una vez que abandona la superficie esférica, ¿qué movimiento describirá la partícula? (c) ¿A qué distancia del centro de la esfera impactará contra el suelo? Sol. (a): cos θ = 2/3; (b): Trayectoria parabólica; (c): 1.29 R

m

3.16: Una vagoneta de masa m desliza sobre un rail sin rozamiento a lo largo de un rizo, como se indica en la figura. La vagoneta se mueve sin perder en ningún momento el contacto con el rail. Si en el instante inicial la vagoneta está en reposo a una altura h, determine el valor mínimo de esa altura h (en función de m, R y la gravedad g ) para que consiga superar el rizo. Sol. h = 5R/2

R

ic o

h

ém

3.17: El bloque 1 de 4 kg desliza sobre el suelo debido al peso del bloque 2 de 2 kg que baja. El coeficiente dinámico de rozamiento entre el bloque 1 y el suelo es de 0.35, y el sistema parte del reposo. (a) Calcular la velocidad de los bloques cuando el bloque 2 ha bajado 2 m. (b) Determinar la variación de la energía cinética, potencial y mecánica del sistema en el supuesto anterior. (c) Calcular también la energía disipada s por rozamiento. Nota: La polea y la cuerda tienen masa despreciable. 2g h(m 2 − µm 1 ) = 1.98 m/s; (b): ∆E c = 11, 76 J, ∆E p = −39.2 J, ∆E m = −27.44 J; m1 + m2 (c): Wroz = −27.44 J.

Ac ad

Sol. (a): v =

~ = y xˆ − x yˆ N (x, y en m) actúa sobre una partícula, que se 3.18: Un campo de fuerzas dado por F mueve desde el punto (0, 1) m hasta el punto (1, 0) m. (a) Calcular el trabajo realizado por esta fuerza si la partícula se desplaza en primer lugar por el eje y hasta el origen y luego por el eje x. (b) Calcular el trabajo realizado por esta fuerza si la partícula se desplaza en línea recta desde el punto inicial al final. (c) ¿Es este campo conservativo? Sol. (a): W = 0; (b): W = 1 J; (c): No.

U so

3.19: Cuando la escuadra ABC gira muy despacio en sentido antihorario, el bloque de 6 kg comienza a deslizar hacia el muelle cuando θ = 15◦ . En esa situación (θ = 15◦ ), el bloque desliza una distancia d = 250 mm e impacta contra el muelle, observándose un acortamiento máximo de δ = 50 mm. Determinar los coeficientes de rozamiento estático y dinámico. kδ2 Sol.: µe = tan θ = 0.268, µd = tan θ − = 0.151 2mg cos θ(d + δ)

Co p

ia

3.20: (Problema opcional pero bastante interesante). La energía potencial correspondiente a la fuerza que existe entre dos átomos en una molécula diatómica puede expresarse, con un alto grado de aproximación, como U (r ) = a/r 12 − b/r 6 (Potencial de Lennard-Jones), donde r es la distancia entre los átomos y a y b dos constantes positivas. (a) Determinar la fuerza que actúa sobre un átomo en función de r (recordar que F = −dU (r )/dr ). (b) Mediante el uso de un ordenador, y dando diversos valores a los parámetros a y b, trazar las gráficas de U (r ) y F (r ) como funciones de r . Intentar explicar, cualitativamente, por qué este potencial puede describir bien este tipo de fuerzas (consultar en libros o Internet). (c) Encontrar, en función de a y b, la distancia de equilibrio entre los dos átomos. ¿Es estable el equilibrio? (observad la forma de la curva y recordar que en un mínimo, relativo, la derivada se hace nula). (d) Si los dos átomos están en equilibrio, ¿qué energía mínima debería suministrarse a la molécula para disociarla? (es decir, para separar los dos átomos). (e) Para la molécula de CO, la distancia de equilibrio entre los átomos de C y O es de 1.13 Å(1 Å= 10−10 m, unidad que se utiliza bastante en este contexto ya que la distancia típica entre átomos es de este orden) y la energía de disociación es de 9.6 eV por molécula (1eV=1.6 ×10−19 J, unidad de energía que se utiliza bastante en este contexto, ya que el julio resulta ser muy grande, ¿es casualidad que el factor de conversión sea numéricamente igual, en valor absoluto, a la carga del electron?). Calcular los valores de a y b. µ ¶1/6 12a 6b 2a b2 Sol. (a): F = 13 − 7 ; (c): r 0 = ; (d): E = . b 4a r r

Apuntes de Física 1

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3.9. Problemas propuestos

103

Impulso y momento lineal 3.21: Un objeto de masa m = 100 g está situado al inicio de la rampa que se muestra en la figura. Sobre este objeto actúa una fuerza media F m = 100 N durante 10 ms. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento dinámico es µd = 0, 2, calcule: (a) la velocidad v 0 que adquiere el objeto tras la acción del impulso inicial; (b) la velocidad final v f con que llega dicho objeto al final de la rampa; (c) la altura máxima h max que alcanza el objeto una vez que abandona la rampa. p Sol. (a): v 0 = 10 m/s, (b): v f = 60 m/s , (c): h max = 5, 75 m.

Co p

ia

U so

Ac ad

ém

3.22: Una pequeña bola gira con velocidad (módulo) v, sobre una superficie sin rozamiento, describiendo una circunferencia de radio r , mientras es sostenida por un hilo de masa despreciable, como se indica en la figura. Si tiramos del hilo y el radio disminuye a la mitad, ¿con qué velocidad se moverá ahora la bolita? Sol.: v f = 2v .

ic o

Fuerzas centrales y momento angular

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Apuntes de Física 1

ia

Co p U so ic o

ém

Ac ad

ic o

T EMA 4

ém

Sistemas de partículas. Sólido rígido.

Ac ad

4.1. Introducción

U so

En temas anteriores siempre hemos considerado que los objetos de estudio eran puntuales; es decir, toda su masa estaba concentrada en un punto. Los objetos no tenían forma y por tanto no podían tampoco girar sobre sí mismos. Ciertamente la suposición anterior es muy restrictiva, aunque es una aproximación muy válida en multitud de situaciones prácticas. Queremos ahora extender nuestro estudio del movimiento y las fuerzas que lo producen a objetos que no estén constituidos por una sola partícula sino por un sistema de partículas. Entre estos objetos estarían los objetos que tradicionalmente llamamos sólidos, líquidos y gases. En el presente tema empezaremos estudiando los sistemas de partículas puntuales (sistemas discretos) cuyas posiciones relativas no cambian. Posteriormente trataremos sistemas continuos de masa en los que de nuevo la posición relativa de sus partículas elementales constituyentes no cambia y que conoceremos con el nombre de sólido rígido. Un estudio introductorio de los fluidos (donde las posiciones relativas sí varían) queda postergado hasta el tema siguiente.

ia

4.2. Centro de masas

Co p

Sea un sistema de N partículas, cada una con masa m i y posición ~ r i con respecto a cierto sistema de referencia. Definimos su centro de masas como P P mi ~ ri mi ~ ri ~ r cm = P = . mi M

(4.1)

Notemos que ~ r cm puede interpretarse como la posición media de las partículas del sistema ponderada por la masa de cada partícula; esto es, la posición del centro de masas estará más cercana de las partículas más masivas que de las que tengan menos masa. En el caso de que tratemos con un cuerpo sólido rígido debemos considerar que éste esta formado por un continuo de partículas de masa infinitesimal cuya posición relativa permanece constante (en otro caso no lo denominaremos “sólido” sino “fluido”). Este hecho nos permite definir el centro de masas de dicho

105

106

Tema 4. Sistemas de partículas cuerpo sólido como R R P ~ ~ r dm r dm ∆m~ ri = R . = P ∆m→0 ∆m M dm

~ r cm = l´ım

(4.2)

ic o

Debemos notar que existen múltiples situaciones en las que la posición del centro de masas puede obtenerse sin necesidad de realizar cálculos. Estas situaciones son aquellas en las que existen simetrías aparentes en el sistema y la distribución de masa en el sistema es homogénea (su densidad de masa no varía con la posición). Igualmente debemos notar que también podremos calcular de forma sencilla la posición del centro de masas de un cuerpo homogéneo de forma complicada pero reducible a la superposición de formas geométricas sencillas en las que sepamos a priori la posición de su centro de masa.

Ac ad

ém

La expresión para el centro de masas de un sistema de partículas puede derivarse con respecto al tiempo y así obtener la velocidad y la aceleración del centro de masas, que vendrán dadas por las siguientes expresiones: P mi ~ vi d~ r cm ≡~ v cm = (4.3) dt M P d~ v cm mi ~ ai ≡~ a cm = . (4.4) dt M Es interesante notar que si describiéramos la posición ~ r i de cada partícula i en función de la posición del centro de masas ~ r cm y la posición relativa desde el centro de masas ~ r i∗ , es decir ~ r i =~ r cm +~ r i∗ (4.5)

* centro de masas

entonces, al derivar la expresión anterior también obtendríamos que ~ vi = ~ v cm + ~ v i∗ .

(4.6)

Co p

ia

U so

Si ahora sumamos las expresiones anteriores ponderándolas con la masa de cada partícula tenemos que X X X X mi ~ r i = mi ~ r cm + m i ~ r i∗ = M~ r cm + m i ~ r i∗ (4.7) X X X X ∗ ∗ mi ~ v i = mi ~ v cm + m i ~ v i = M~ v cm + m i ~ vi (4.8)

Apuntes de Física 1

de donde podemos deducir las dos siguientes igualdades importantes: X r i∗ = 0 mi ~ X v i∗ = 0 mi ~

(4.9) (4.10)

sin más que recordar las definiciones dadas en (4.1) y (4.3). Actividad 4.1: La posición absoluta/relativa del centro de masas de un sistema, ¿depende de la elección del origen de coordenadas? ¿Dónde se sitúa el centro de masas de una superficie esférica cuya densidad de masa depende de la distancia al centro de la esfera? P Demuestre que m i ~ r i∗ = 0 simplemente quiere decir que la posición del centro de masas tomando como origen de coordenadas el propio centro de masas es nula.

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4.3. Momento lineal de un sistema de partículas

107

4.3. Momento lineal de un sistema de partículas

Si tenemos en cuenta la definición de la velocidad del centro de masas dada en (4.3), la expresión del momento lineal del sistema puede igualmente escribirse como ~sis = M~ ~cm . p v cm ≡ p (4.12)

4.3.1. Relación fuerza - momento lineal

ém

~cm con el momento lineal de una única parNotemos que podemos identificar p tícula de masa M cuya velocidad es justamente la velocidad del centro de masas del sistema de partículas original.

ic o

~sis , Para un sistema de partículas definimos el momento lineal del sistema, p como la superposición de los momentos lineales de cada una de las partículas de dicho sistema, X X ~i = m i ~ ~sis = p vi . (4.11) p

Al derivar con respecto al tiempo la expresión del momento lineal del sistema de partículas obtenemos que

Ac ad

X X X d~ p sis X ~i = F ~i ,ext + F ~i ,int = mi ~ ai = F dt

(4.13)

~i , como donde hemos expresado la fuerza que afecta a cada partícula, F ~i = F ~i ,ext + F ~i ,int F

(4.14)

U so

es decir, como la suma de dos términos: uno debido a las fuerzas externas al sistema (por ejemplo, la fuerza de la gravedad terrestre) y otro causado exclusivamente por las fuerzas internas entre las partículas del sistema (por ejemplo, fuerzas de contacto).

Dado que en nuestro sistema de partículas las fuerzas internas se ejercen siempre entre pares de partículas, y estas fuerzas verifican la tercera ley de Newton, tenemos que la fuerza ~ f i j que ejerce la partícula j sobre la partícula i verificará que ~ fi j = −~ f ji . (4.15)

ia

Esto implica que la suma de todas las fuerzas internas tienen componente nula; es decir, X XX ~ ~i ,int = F fi j = 0 (4.16)

Co p

i

i j 6=i

lo cual nos permite escribir (4.13) como X d~ p sis ~ext ≡ F ~i ,ext =F dt

(4.17)

~ext representa la fuerza externa neta. Equivalentemente, la expresión andonde F terior se puede reescribir como d~ p cm ~ext =F dt

(4.18)

lo que nos indica claramente que la dinámica del centro de masas del sistema solo viene determinada por la suma total de las fuerzas externas. Así, por ejemplo, la trayectoria de caída del centro de masa de un saltador de trampolín siempre será

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

108

Tema 4. Sistemas de partículas la misma independiente del tipo de acrobacias que haga durante el salto (ya que estas acrobacias son provocadas únicamente por la acción de fuerzas internas). En aquellos sistemas en los que la resultante de las fuerzas externas sea nulo P ~ext = F ~i ,ext = 0),1 tendremos que (F d~ p sis =0 dt esto es, el momento lineal del sistema se conserva: ~sis = Cte . p

(4.20)

ic o

Ley de conservación del momento lineal para un sistema aislado

(4.19)

ém

Este resultado se conoce como ley de conservación del momento lineal, válida para sistemas aislados. Esta ley es considerada como una de las más importantes leyes de la mecánica. Obsérvese que no hemos dicho nada acerca de la naturaleza de las fuerzas que actúan. El único requisito es que las fuerzas que actúan sobre el sistema tienen que ser internas. Por tanto, el momento lineal se conserva para un sistema aislado independientemente de la naturaleza de las fuerzas internas, incluso aunque sean fuerzas no conservativas.

Ac ad

Actividad 4.2:

Describa con claridad qué significa fuerzas externas e internas al sistema. Aplique esta diferenciación al caso de dos partículas unidas por un muelle (inicialmente el muelle está estirado) que caen desde cierta altura. ¿Por qué decimos que las fuerzas internas siempre se producen entre pares de partículas?

U so

¿Qué fuerzas (externas o internas) son las relevantes para determinar el movimiento del centro de masas del sistema? En el ejemplo anterior de las dos partículas unidad por el muelle, ¿variará el movimiento del centro de masas del sistema si el muelle hubiese estado inicialmente comprimido en vez de estirado? ¿Y si las partículas no estuviesen unidad por un muelle sino sueltas?

Co p

ia

¿Puede considerarse un sistema aislado el caso de dos bolas de billar que se mueven sin rozamiento apreciable en la mesa de billar? Razone su respuesta. Si las bolas del ejemplo anterior chocasen entre sí, ¿afectaría esto a la posición del centro de masas del sistema?

4.3.2. Impulso La expresión del impulso para una partícula que vimos en (3.54) también puede extenderse a un sistema de partículas. En este caso consideramos que la fuerza neta externa al sistema produce la siguiente variación en el momento lineal del sistema: Z tf X ~ ~i ,ext ) dt = ∆~ ~sis, f − p ~sis,0 . I sis = ( F p sis = p (4.21) t0

1

Apuntes de Física 1

Existen unos sistemas, que llamaremos sistemas aislados, en los que no existe fuerza neta externa ~i ,ext = 0 actuando sobre cada una de las partículas, F

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4.3. Momento lineal de un sistema de partículas

109

El impulso representa una interacción entre el sistema y su entorno. Como resultado de esta interacción, el momento lineal del sistema varía. Por tanto, cuando decimos que se proporciona un impulso a un sistema, estamos implicando que se transfiere un cierto momento lineal desde un agente externo hacia el sistema. Cuando consideramos el impulso sobre una determinada partícula i del sistema de partículas tendremos que Z tf ~ ~i dt = ∆~ ~i , f − p ~i ,0 . Ii = F pi = p (4.22) Si ahora consideramos la descomposición de la fuerza total sobre la partícula i en sus componentes externa e interna tendremos que Z tf ~i ,ext + F ~i ,int ) dt . (F (4.23) ∆~ pi = t0

ém

En muchas situaciones físicas que implican “colisiones” haremos uso de la denominada aproximación basada en el impulso, que consiste en suponer que

ic o

t0

Ac ad

las fuerzas internas que actúan durante el breve instante de tiempo que dura la colisión son mucho mayores que cualquier fuerza externa que actúa sobre el sistema durante dicha colisión. Así, por tanto, bajo esta aproximación podremos escribir que Z tf ~i ,int dt . ∆~ pi = F t0

(4.24)

ia

U so

Este modelo simplificado nos permite ignorar los efectos de las fuerzas externas para el cálculo de ∆~ p i , dado que dichos efectos son irrelevantes durante el breve instante en el que actúa la fuerza interna más significativa. Esta aproximación resulta especialmente útil para el cálculo de la variación del momento lineal de cada partícula individual cuando se producen colisiones (la duración de la colisión es muy corta). Por ejemplo, cuando una pelota de béisbol es golpeada por un bate, la duración de la colisión es de aproximadamente 10 ms, y la fuerza media que el bate ejerce sobre la pelota (fuerza interna) durante ese mismo intervalo de tiempo es normalmente de varios miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la fuerza gravitatoria sobre la pelota (fuerza externa), por lo que ignoramos cualquier variación de la velocidad relacionada con la fuerza gravitatoria durante la colisión.

Co p

Como resultado adicional muy importante tenemos que si las fuerzas externas pueden despreciarse respecto a las internas en el intervalo considerado, entonces a la vista de (4.21) podemos concluir que, bajo la aproximación basada en el impulso, el impulso del sistema durante la colisión será aproximadamente nulo; es decir, Z tf X ~ ~i ,ext ) dt = ∆~ ( F p sis = 0 . (4.25) I sis = t0

Actividad 4.3:

¿Por qué si las fuerzas internas no intervienen en el movimiento del centro de masas, sí son relevantes en el movimiento de las partículas de un sistema cuando hay colisiones? ¿Por qué en una colisión se conserva el momento lineal del sistema?

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Apuntes de Física 1

110

Tema 4. Sistemas de partículas

4.4. Trabajo y Energía en un sistema de partículas En nuestro sistema de N partículas procedemos a escribir para cada partícula la segunda ley de Newton mi

d~ vi ~i =F dt

(i = 1, . . . , N ) .

(4.26)

Si multiplicamos ambos miembros de la anterior ecuación por un desplazamiento infinitesimal d~ r i obtenemos que d~ vi ~i · d~ · d~ ri = F ri . dt

ic o

mi

(4.27)

ém

Si recordamos ahora la identidad (3.31), tenemos que el primer miembro de la anterior ecuación puede expresarse como µ ¶ 1 d~ vi · d~ r i = d m i v i2 = dE c,i mi (4.28) dt 2 donde E c,i corresponde a la energía cinética de la partícula i . La anterior expresión nos dice que (4.27) puede ser entonces reescrita como (i = 1, . . . , N ) .

Ac ad

~i · d~ F r i = dE c,i

(4.29)

Tras sumar la ecuación anterior para todas las partículas del sistema llegamos a que à ! N N N X X X ~ F i · d~ ri = dE c,i = d E c,i . (4.30) i =1

i =1

i =1

U so

Si ahora, al igual que hemos hecho en secciones anteriores, definimos la energía cinética del sistema como la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas del sistema (prescindiremos de los índices en los sumatorios), X X1 2 (4.31) E c,sis = E c,i = 2 mi v i ,

Co p

ia

podremos reescribir la ecuación (4.30) como X ~i · d~ F r i = dE c,sis .

Si integramos la ecuación anterior desde un conjunto de posiciones iniciales [A] en cierto tiempo inicial t 0 hasta hasta un conjunto de posiciones finales [B ] alcanzado en el tiempo final t f tendremos que [B ] X

Z

[A]

~i · d~ F ri =

tf

Z

t0

dE c,sis

= ∆E c,sis =

(4.33)

X1 2

m i v i2, f −

X1 2

m i v i2,0

(4.34)

donde el segundo miembro de la anterior ecuación corresponde a la variación de la energía cinética del sistema entre los instantes t 0 y t f . En el primer miembro de (4.33) podemos descomponer la fuerza que actúa sobre cada partícula en sus componentes “externa” e “interna”, lo que nos llevaría a Z [B ] X Z [B ] X ¡ ¢ ~i · d~ ~i ,ext + F ~i ,int · d~ F ri = F ri (4.35) [A]

Z =

Apuntes de Física 1

(4.32)

[A] [B ] X

[A]

~i ,ext · d~ F ri +

Z

[B ] X [A]

~i ,int · d~ F ri .

(4.36)

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4.4. Trabajo y Energía en un sistema de partículas

111

El primer término de (4.36) puede claramente identificarse con la suma de los trabajos realizados por las fuerzas externas sobre cada una de las partículas y, en consecuencia, podemos denominarlo trabajo externo, Wext , sobre el sistema. El segundo término estará entonces relacionado con el trabajo realizado por las fuerzas internas y será denominado como trabajo interno, Wint . Volviendo ahora a la ecuación (4.33) observamos que ésta nos dice que Wext + Wint = ∆E c,sis .

Es interesante notar aquí que usualmente las fuerzas internas son de carácter conservativo (fuerzas gravitatorias, eléctricas, recuperadoras, etc). En este caso común, el trabajo interno puede relacionarse con la variación de la energía potencial interna del sistema, de forma análoga a como ya se hizo en el Apartado 3.6.4 para el caso de una única partícula: [B ] X [A]

~i ,int · d~ F r i = −∆E p,int .

Esto nos permite reescribir finalmente (4.37) como

o, equivalentemente, Wext = ∆Upr donde la magnitud

(4.39)

Ac ad

Wext = ∆E c,sis + ∆E p,int

(4.38)

ém

Z

ic o

(4.37)

Upr = E c,sis + E p,int

(4.40)

(4.41)

Energía propia de un sistema

U so

se conoce como energía propia del sistema. La expresión (4.40) es el equivalente en términos de energía de la interacción de un sistema con su exterior, que ya fue expresado en términos de fuerzas en la expresión (4.18), y nos dice que la variación de la energía propia del sistema de partículas es igual al trabajo hecho sobre el sistema por las fuerzas externas.

ia

Para el caso de sistemas aislados ya hemos mencionado que las fuerzas externas son nulas. Ello implica que el trabajo externo será igualmente nulo y llegamos a lo que se conoce como principio de conservación de la energía:

Co p

En un sistema aislado, la energía propia del sistema permanece constante en cualquier sistema de referencia inercial. Volviendo al caso de sistemas no-aislados, cuando las fuerzas externas que actúan sobre el sistema también sean conservativas tendremos que el trabajo de dichas fuerzas externas puede escribirse como Wext = −∆E p,ext

(4.42)

y, por tanto, la expresión (4.40) puede reescribirse en este caso como ∆Upr = −∆E p,ext

(4.43)

∆(Upr + E p,ext ) = 0 .

(4.44)

o, equivalentemente,

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Apuntes de Física 1

112

Tema 4. Sistemas de partículas Esta última expresión nos dice que la magnitud conocida como energía total de un sistema, E , sometido a fuerzas internas y externas de carácter conservativo permanece constante:

Conservación de la energía total de un sistema sometido a fuerzas conservativas

E = Upr + E p,ext = E c,sis + E p,int + E p,ext = const.

(4.45)

Actividad 4.4:

ic o

Explique por qué las fuerzas internas no intervienen en la expresión (4.18) que determina la posición del centro de masas del sistema pero sí lo hacen en (4.37) que determina la energía cinética del sistema. [Se recomienda hacer las operaciones con un sistema de dos partículas]

ém

Exprese con sus propias palabras y con detalle el significado de la expresión Wext = ∆Upr y cuál es su implicación más relevante para el caso de sistemas aislados.

Ac ad

Explique por qué la expresión ∆(Upr + E p,ext ) = 0 no sería válida si interviniesen fuerzas no conservativas en el sistema.

4.4.1. Energía cinética asociada al centro de masas Es interesante notar que, si expresamos v i2 = ~ v i ·~ v i y consideramos la descomposición dada en (4.6), tenemos que

U so

2 v i2 = (~ v cm + ~ v i∗ ) · (~ v cm + ~ v i∗ ) = v cm + (v i∗ )2 + 2~ v cm · ~ v i∗

lo que nos permite reescribir (4.31) como

Co p

ia

E c,sis =

2 2 m i v cm +

X1

∗ 2 2 m i (v i ) +

X1

X1

v cm · ~ v i∗ 2 m i 2~

.

(4.46)

El tercer término en la expresión anterior puede a su vez reescribirse como X

v cm · ~ v i∗ = ~ v cm · mi ~

X

v i∗ = 0 mi ~

P que es idénticamente nulo debido a que m i ~ v i∗ = 0 según lo discutido en relación con la expresión (4.10). En consecuencia obtenemos que la energía cinética del sistema puede finalmente expresarse como E c,sis = =

2 ∗ 2 1 2 m i v cm + 2 m i (v i ) X 2 ∗ 1 E c,i 2 M v cm +

X1

X

(4.47)

donde el primer término representa la energía cinética de una partícula de masa M situada en el centro de masas del sistema (energía cinética orbital) y el seP ∗ gundo término, E c,i , representa la suma de las energías cinéticas de las partículas cuando su velocidad se toma con referencia en el centro de masas del sistema.

Apuntes de Física 1

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4.4. Trabajo y Energía en un sistema de partículas

113

Actividad 4.5:

2 ¿Se le ocurre alguna razón por la que el término 21 M v cm es denominado “energía cinética orbital”?

Energía interna de un sistema de partículas

ém

4.4.2.

ic o

P ∗ 2 + E c,i es válida solo para sistemas en La expresión E c,sis = 12 M v cm los que actúan fuerzas conservativas. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta. P ∗ ¿Existe alguna situación en la que E c,i sea idénticamente nulo? Descríbala.

En la expresión (4.47) aparece un término de energía cinética referido al sistema de referencia centro de masa que se conoce como energía cinética interna del sistema, X ∗ X1 ∗ 2 E c,i . (4.48) E c,int = 2 m i (v i ) =

Ac ad

Si a esta energía cinética interna le sumamos el término de energía potencial interna definido en (4.38) obtenemos una nueva magnitud conocida como energía interna del sistema: Uint = E c,int + E p,int . (4.49)

Energía interna de un sistema

Si notamos ahora que la energía propia del sistema en (4.41) puede escribirse, usando (4.47) y (4.49), como 2 Upr = Uint + 12 M v cm

U so

tendremos que la expresión (4.40) también puede expresarse como ¡ ¢ 2 Wext = ∆Uint + ∆ 21 M v cm .

(4.50)

(4.51)

Esta expresión nos indica que el trabajo de las fuerzas externas se emplea para modificar la energía interna del sistema y la energía cinética del movimiento orbital del centro de masas.

ia

La expresión (4.51) puede aplicarse a una serie de casos particulares de especial interés para obtener unas expresiones muy útiles en dichos casos. Así distinguiremos las siguientes situaciones:

Co p

La resultante de la suma de las fuerzas externas es nula. Este caso fue contemplado anteriormente y nos llevó a la expresión (4.19), que nos decía que el momento lineal del sistema era constante bajo estas circunstancias. Esto implica necesariamente que ∆v cm = 0 y, por tanto, partiendo de (4.51) llegamos igualmente a que Wext = ∆Uint .

(4.52)

La resultante de la suma de las fuerzas externas así como el trabajo de estas fuerzas son nulos. Esta situación corresponde a un sistema aislado y podemos concluir que ∆Uint = 0

(4.53)

Conservación de la energía interna de un sistema aislado

que expresa la conservación de la energía interna de un sistema aislado.

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Apuntes de Física 1

114

Tema 4. Sistemas de partículas La energía interna del sistema no cambia durante el movimiento. Este caso corresponde, por ejemplo, a lo que ocurre en el movimiento sin rotación de un cuerpo rígido. En esta situación encontramos entonces que ¢ ¡ 2 Wext = ∆ 21 M v cm (4.54)

U ≡ Uint

ic o

es decir, el trabajo externo sería responsable del cambio de la energía cinética orbital. La anterior expresión también nos justifica el hecho de haber tratado a veces en el Tema 3 el movimiento de traslación de cuerpos sólidos rígidos como si fuesen partículas puntuales. Es costumbre escribir la energía interna del sistema sin el subíndice “int”, de modo que a partir de este momento denotaremos la energía interna del sistema simplemente como U .

ém

Actividad 4.6:

Ac ad

Describa con detalle ejemplos sencillos y prácticos donde se verifiquen las siguientes ¢expresiones: (a) Wext = ∆Uint , (b) ∆Uint = 0, y ¡ 2 . (c) Wext = ∆ 12 M v cm

4.5. Colisiones

En esta sección, vamos a utilizar la ley de conservación del momento lineal para describir lo que ocurre cuando colisionan dos objetos.

U so

Como ya hemos mencionado, una colisión es básicamente fruto de la interacción de fuerzas internas durante un periodo de tiempo muy corto. Dado que las fuerzas externas serán entonces poco significativas (aproximación basada en el impulso) y actúan durante un periodo de tiempo muy corto, el impulso del sistema durante la colisión [ver Eq. (4.25)] puede considerarse nulo: ~ I sis = ∆~ p sis = 0 .

(4.55)

Co p

ia

Este hecho implica entonces que el momento lineal del sistema se conserva durante la colisión; es decir,

Apuntes de Física 1

~sis (antes de la colisión) = p ~sis (después de la colisión) . p

(4.56)

Bajo esta misma aproximación podemos igualmente suponer que el trabajo de las fuerzas externas sobre el sistema durante la colisión es despreciable. Por tanto, según (4.40), encontramos que la energía propia del sistema también se conserva: Upr (antes de la colisión) = Upr (después de la colisión) .

(4.57)

La aplicación de las anteriores condiciones de conservación del momento lineal y la energía propia del sistema nos permitirá la resolución de algunos problemas de colisiones en los que nuestro objetivo general será relacionar las condiciones finales del sistema con las condiciones iniciales. Una colisión puede ser el resultado del contacto físico entre dos objetos, como se ilustra en la figura (a). Esta situación resulta habitual cuando se trata de dos objetos macroscópicos, tales como dos bolas de billar o una pelota de béisbol y un bate. Sin embargo, el concepto de colisión debe generalizarse, ya que en el nivel microscópico no está suficientemente claro qué significa la noción de “contacto”. Para comprender la diferencia

JCM,FLML

4.5. Colisiones

115

entre las colisiones macroscópicas y microscópicas, consideremos la colisión de un protón con una partícula alfa (el núcleo de un átomo de helio), que se ilustra en la figura (b). Dado que las dos partículas tienen carga positiva, se repelen entre sí. Se ha producido una colisión pero las partículas que han colisionado no han llegado nunca a estar en “contacto”. De acuerdo con (4.57), la energía propia del sistema se conserva durante la colisión, lo que quiere decir que la variación de la energía cinética del sistema coincidirá con menos la variación de la energía potencial interna del mismo: (4.58)

En función de si existe o no variación de la energía potencial interna del sistema tendremos que la energía cinética del sistema se conserva o no durante la colisión. Definimos entonces

ém

colisión inelástica como aquella en la que energía cinética del sistema NO se conserva (el momento lineal hemos supuesto que siempre se conserva).

ic o

∆E c,sis = −∆E p,int .

Ac ad

La colisión de una pelota rugosa con una superficie dura es inelástica, ya que parte de la energía cinética de la pelota se transforma en energía potencial interna cuando la pelota se deforma mientras que está en contacto con la superficie. Cuando dos objetos colisionan y quedan unidos después de la colisión se produce una transferencia máxima de energía cinética inicial a energía potencial interna. Decimos entonces que la colisión es completamente inelástica. Por ejemplo, si dos vehículos colisionan y quedan unidos, se mueven con una cierta velocidad común después de una colisión completamente inelástica. Si un meteorito colisiona con la Tierra y queda completamente sepultado en el suelo, la colisión es completamente inelástica.

U so

colisión elástica como aquella en la que la energía cinética del sistema se conserva así como el momento lineal.

ia

Las colisiones reales en el mundo macroscópico, tales como las que se producen entre las bolas de billar, son sólo aproximadamente elásticas, ya que parte de la energía cinética se transformará en algún otro tipo de energía. No obstante, en el mundo microscópico sí existen colisiones realmente elásticas entre partículas atómicas y subatómicas. Las colisiones elásticas y completamente inelásticas son casos límite. La inmensa mayoría de las colisiones caen dentro del rango comprendido entre estos dos límites.

Co p

Actividad 4.7:

Describa las condiciones que deberían darse para que en una colisión no se conservase el momento lineal del sistema. Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: • En una colisión elástica solo actúan fuerzas conservativas. • En una colisión inelástica, parte de la energía cinética del sistema se transforma en calor. • En una colisión completamente inelástica, al haber deformación, las fuerzas que actúan deben ser de rozamiento. • Hay colisiones que no son elásticas ni completamente inelásticas.

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Apuntes de Física 1

116

Tema 4. Sistemas de partículas Colisiones completamente inelásticas en una dimensión Antes de la colisión

(a) Después de la colisión

(b)

m 1 v 1i + m 2 v 2i = (m 1 + m 2 )v f

⇒

vf =

ic o

Consideremos dos objetos de masa m 1 y m 2 que se mueven con velocidades cuyas componentes iniciales son v 1i y v 2i a lo largo de una línea recta (habría que considerar cada componente con su signo oportuno), como se ilustra en la figura. Si los dos objetos colisionan de frente y quedan unidos, se moverán con una velocidad común v f después de la colisión: la colisión es completamente inelástica. Dado que el momento lineal total del sistema aislado formado por los dos objetos antes de la colisión es igual al momento lineal total del sistema formado por los objetos combinados después de la colisión, m 1 v 1i + m 2 v 2i m1 + m2

(4.59)

Colisiones elásticas en una dimensión Antes de la colisión

ém

Por tanto, como conocemos las componentes iniciales de la velocidad de los dos objetos, podemos utilizar esta sencilla ecuación para determinar la componente final común de la velocidad.

Después de la colisión

m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 1 f + m 2 v 2 f

(4.60)

1 1 1 1 2 2 m 1 v 1i + m 2 v 2i = m 1 v 12 f + m 2 v 22 f . 2 2 2 2

(4.61)

Ac ad

(a)

Consideremos ahora dos objetos que chocan frontalmente en una dimensión, con una colisión elástica (ver figura). En este tipo de colisión, tanto el momento lineal como la energía cinética se conservan. Por tanto, podemos escribir

(b)

U so

En un problema típico de colisiones elásticas, aparecen dos magnitudes desconocidas, y las ecuaciones anteriores nos permiten calcular ambas, sin más que resolver el sistema de ecuaciones no lineales.

Co p

ia

Nota: Existe otro método alternativo, que implica ciertas manipulaciones matemáticas de la ecuación (4.61), que a menudo simplifica este proceso. En primer lugar, si se cancela en factor 1/2 de la ecuación (4.61) y se separan los términos que contienen m 1 y m 2 en cada uno de los miembros de la ecuación, podemos escribirla del siguiente modo: 2 2 m 1 (v 1i − v 12 f ) = m 2 (v 2i − v 22 f )

A continuación, descomponemos en factores ambos miembros de la ecuación: m 1 (v 1i − v 1 f )(v 1i + v 1 f ) = m 2 (v 2i − v 2 f )(v 2i + v 2 f )

(4.62)

Si ahora separamos los términos que contienen m 1 y m 2 en la ecuación de la cantidad de movimiento (4.60), obtenemos m 1 (v 1i − v 1 f ) = m 2 (v 2i − v 2 f )

(4.63)

Para obtener el resultado final, dividimos la ecuación (4.62) entre la ecuación (4.63) y resulta v 1i + v 1 f = v 2i + v 2 f o, agrupando en cada miembro de la ecuación los valores iniciales y finales, v 1i − v 2i = −(v 1 f − v 2 f ) .

(4.64)

Esta ecuación, junto con la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (4.60), se puede utilizar para resolver problemas que impliquen colisiones elásticas en una dimensión entre dos objetos cualesquiera. De acuerdo con la ecuación (4.64), la velocidad relativa

Apuntes de Física 1

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4.5. Colisiones

117

v 1i − v 2i de los dos objetos antes de la colisión es igual a la velocidad relativa después de la colisión, pero con signo opuesto, −(v 1 f − v 2 f ).

E JEMPLO 4.1 Choque elástico en dos dimensiones.

ic o

Supongamos que las masas y las componentes iniciales de la velocidad de ambos objetos son conocidas. Las ecuaciones (4.60) y (4.64) pueden proporcionar las componentes finales de la velocidad en función de los valores iniciales, ya que tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas: µ ¶ µ ¶ m1 − m2 2m 2 v1 f = v 1i + v 2i m1 + m2 m1 + m2 µ ¶ µ ¶ 2m 1 m1 − m2 v2 f = v 1i − v 2i . m1 + m2 m1 + m2

Antes de la colisión

ém

Un disco de hockey B descansa sobre una superficie de hielo liso y es golpeado por otro disco A de la misma masa. El disco A viaja inicialmete a una velocidad v 0 en la dirección x y es desviado un ángulo α con respecto a su dirección original. Suponiendo que el choque es perfectamente elástico, calcule la velocidad final de cada disco y la dirección β de la velocidad de B después del choque.

Después de la colisión

Ac ad

En la colisión usamos el hecho de que el momento lineal del sistema se conserva, es decir, ~i = p ~f p que puede reescribirse como

m A~ v A,i + m B ~ v B,i = m A ~ v A, f + m B ~ v B, f .

En el presente caso, dado que m A = m B y ~ v B,i = 0, la anterior expresión se reduce a ~ v A,i = ~ v A, f + ~ v B, f .

(4.65)

Por otra parte, al ser el choque elástico, también tenemos que se conserva la energía cinética del sistema, ∆E c = 0.

U so

v A, f = v A cos αˆx + v A sen αˆy, Según nos dice el enunciado del problema ~ v A,i = v 0 xˆ y ~ ~ v B, f = v B cos βˆx + v B sen βˆy, por lo que la expresión (4.65) junto con la condición de conservación de la energía cinética nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones: v 0 = v A cos α + v B cos β

(4.66)

0 = v A sen α + v B sen β

(4.67)

v 02 = v 2A + v B2 .

(4.68)

Para resolverlo, elevamos al cuadrado (4.66) y (4.67),

(4.69)

0 = v 2A sen2 α + v B2 sen2 β + 2v A v B sen α sen β

(4.70)

ia

v 02 = v 2A cos2 α + v B2 cos2 β + 2v A v B cos α cos β

Co p

y sumamos (4.69) junto con (4.70) para obtener £ ¤ v 02 = v 2A + v B2 + 2v A v B cos α cos β + sen α sen β = v 2A + v B2 + 2v A v B cos(α − β) .

(4.71) (4.72)

Si tenemos ahora en cuenta (4.68) en (4.72) llegamos a que cos(α − β) = 0

(4.73)

o, equivalentemente, a la siguiente condición: α − β = π/2

=⇒

β = α − π/2 .

(4.74)

Por otra parte, de la ecuación (4.67) tenemos que v B sen β = −v A sen α

JCM,FLML

=⇒

v B = −v A

sen α = v A tan α . sen(α − π/2)

(4.75)

Apuntes de Física 1

118

Tema 4. Sistemas de partículas Al sustituir esta expresión en (4.68) obtenemos que v 02 = v 2A (1 + tan2 α) = v 2A sec2 α

(4.76)

de donde deducimos finalmente que (4.77)

v B = v 0 sen α .

(4.78)

ic o

v A = v 0 cos α

ém

4.6. Momento angular de un sistema de partículas

Ac ad

En el Apartado 3.8 se definió el momento angular para una partícula con respecto a cierto sistema de referencia, además de su relación con el momento de la fuerza neta que actuaba sobre ella. A continuación extenderemos este análisis al caso de un sistema de partículas. Para ello, empezaremos definiendo el momento angular de un sistema de partículas, ~ L sis , con respecto a un sistema de referencia dado como la superposición de los momentos angulares de cada una de las partículas del sistema: X X ~ L sis = ~ Li = ~ r i × mi ~ vi . (4.79) i

i

U so

En la Eq. (3.59) obtuvimos que la derivada temporal del momento angular de una partícula era igual al momento de la fuerza neta que actuaba sobre ella. Veamos a continuación la extensión de esta igualdad al caso de un sistema de partículas. Pare ello derivemos con respecto al tiempo la expresión (4.79): d~ L sis X d~ Li X d~ pi ri × = = ~ . dt dt dt i i

(4.80)

Co p

ia

Considerando las ecuaciones (3.53) y (4.14), (4.80) puede reescribirse como

Supondremos que (~r i −~r j ) × ~ fi j = 0

Apuntes de Física 1

X ¡ ¢ d~ L sis X d~ pi X ~i = ~ ~i ,ext + F ~i ,int . = ~ ri × = ~ ri × F ri × F dt dt i i i

(4.81)

El último término de la anterior expresión puede expresarse en función de las fuerzas internas entre pares de partículas ~ f i j (recordemos que ~ f j i = −~ f i j ): X i

~i ,int = ~ ri × F

X i

~ ri ×

X j 6=i

~ fi j =

XX i j 6=i

~ ri × ~ fi j =

XX

(~ r i −~ rj)× ~ fi j .

i j 6=i j >i

Observamos la aparición de términos del tipo (~ r i −~ rj)× ~ f i j , que serán idéntica~ mente nulos cuando (~ r i −~ r j ) sea paralelo a f i j . Afortunadamente ésta es una situación muy frecuentemente encontrada en la práctica (por ejemplo cuando las fuerzas internas son centrales) y que nosotros supondremos que se cumple siempre en nuestros casos de estudio. En consecuencia tendremos que (~ r i −~ r j )× ~ fi j = 0 y, por tanto, nos encontramos con que el término que involucra a las fuerzas inP ~i ,int , es idénticamente nulo. ternas, i ~ ri × F

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4.6. Momento angular de un sistema de partículas

119

La suposición anterior nos permite escribir finalmente que X d~ L sis X ~i ,ext = ~ = ~ ri × F τi ,ext ≡~ τext dt i i

(4.82)

Ecuación fundamental de la dinámica de rotación de un sistema de partículas

donde hemos usado la definición del momento de una fuerza con respecto a cierto sistema de referencia dada por [ver (3.57)] ~. ~ τ =~ r ×F

ém

La expresión (4.82) nos dice entonces que la variación temporal del momento angular del sistema depende únicamente del momento neto de las fuerzas externas del sistema. Este hecho es muy relevante puesto que nos permite relacionar el comportamiento del sistema completo con la acción de las fuerzas externas, que son las que usualmente conocemos y podemos controlar. En particular, si tenemos que ~ τext es nulo encontramos que el momento angular del sistema se conservaría, lo cual es muy conveniente a la hora de entender y resolver muchas situaciones.

ic o

(4.83)

Actividad 4.8:

Ac ad

Si ya obtuvimos la expresión (4.18) que nos daba el comportamiento del momento lineal de un sistema de partículas, ¿por qué es importante tener también la expresión (4.82) para el comportamiento de su momento angular? [Relacione esto con el hecho de que podemos tener una fuerza neta externa nula sobre el sistema pero sin embargo tener movimiento de rotación.] Si queremos que un sistema de partículas esté en reposo, ¿qué condiciones debemos imponer?

Describa alguna situación física en la que ~ τext sea idénticamente nulo.

U so

Describa alguna situación física en la que solo una de las componentes del vector ~ τext sea idénticamente nulo. ¿Qué consecuencias físicas importantes obtendría del hecho anterior?

ia

Expresión en términos del centro de masa

Co p

Si consideramos ahora el término que nos da el momento neto de las fuerzas externas cuando expresamos la posición de cada partícula en función de la posición de su centro de masas, encontramos que X¡ ¢ ~i ,ext ~ ~ r cm +~ r i∗ × F τext = X X ∗ ~i ,ext + ~ ~i ,ext =~ r cm × F r ×F i

~ext +~ =~ r cm × F τ∗ext (4.84) P ~i ,ext representa el momento neto de las donde el último término ~ τ∗ext = ~ r i∗ × F fuerzas externas con respecto al sistema de referencia centro de masa (indicado mediante el superíndice ∗ ). Por otra parte tenemos que el momento angular del sistema puede escribirse como X¡ ¢ ¡ ¢ ~ ~ L sis = r cm +~ r i∗ × m i ~ v cm + ~ v i∗ X X X ∗ X ∗ = ~ r cm × m i ~ v cm + ~ r cm × m i ~ v i∗ + ~ r i × mi ~ v cm + ~ r i × mi ~ v i∗ . (4.85)

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Apuntes de Física 1

120

Tema 4. Sistemas de partículas Teniendo ahora en cuenta que tanto el segundo como el tercer término del segundo miembro de la expresión anterior son nulos [según (4.9) y (4.10)], vemos que podemos escribir

~ L sis =~ r cm × M~ v cm + =

~ L cm

X

~ v i∗ r i∗ × m i ~

+

~ L ∗sis

(4.86)

ém

ic o

~cm representa el momento angular de una partícula de masa donde ~ L cm =~ r cm × p P ∗ M en la posición del centro de masas del sistema y ~ L ∗sis = ~ r i × mi ~ v i∗ representa el momento angular del sistema tomando las posiciones y las velocidades desde el sistema de referencia centro de masa. Si derivamos la expresión anterior con respecto al tiempo encontramos finalmente que

L∗ d~ L sis d~ L cm d~ = + sis dt dt dt

L∗ d~ r cm d~ p cm d~ ~cm +~ ×p r cm × + sis dt dt dt d~ L∗ ~ext + sis . = 0 +~ r cm × F dt

Ac ad

=

(4.87)

Co p

ia

U so

Si consideramos la ecuación (4.82) junto con las expresiones (4.84) y (4.87) vemos entonces que podemos identificar las siguientes igualdades:

Apuntes de Física 1

d~ L cm ~ext =~ r cm × F dt

d~ L ∗sis dt

=~ τ∗ext .

(4.88)

(4.89)

Estas expresiones nos permiten relacionar el momento angular del centro de masas con el momento neto de las fueras externas y el momento angular del sistema referido al centro de masas con el momento neto de las fuerzas externas tomadas desde este mismo sistema de referencia. En particular, es importante notar que esta última ecuación (4.89) es válida incluso si el c.d.m. se desplaza con un movimiento curvilíneo y/o acelerado (sistema no inercial). De este modo, esta ecuación junto con (4.18) nos serán muy útiles para estudiar el caso general del movimiento de un sistema de partículas que se traslada y que rota con respecto a su centro de masas (por ejemplo, el caso de una rueda cayendo por un plano inclinado).

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4.7. Sólido rígido con un eje principal de giro

121

Actividad 4.9:

Si el centro de masas de un sistema de partículas está en reposo, ¿qué tipo de movimiento pueden tener las partículas de dicho sistema? Describa un ejemplo sencillo. ¿Cuál sería la ecuación fundamental que nos determina el movimiento de las partículas en esta situación? ¿Existe en este caso alguna ventaja en usar la ecuación (4.89) respecto a (4.82)?

Ac ad

ém

Si el centro de masas de un sistema de partículas se traslada acelerándose, ¿qué tipo de movimiento pueden tener las partículas de dicho sistema? Describa un ejemplo sencillo. ¿Cuáles serían las ecuaciones fundamentales que nos determinan el movimiento de las partículas en esta situación? ¿Existe alguna ventaja en usar la ecuación (4.89) respecto a (4.82)?

ic o

A la vista de las anteriores derivaciones, ¿tienen las fuerzas internas alguna relevancia en el comportamiento global del sistema? ¿Y en el comportamiento detallado de cada una de las partículas del sistema?

4.7. Sólido rígido con un eje principal de giro

ia

U so

Un sólido rígido es un sistema de partículas que forma un continuo material que no se deforma. En general, el movimiento más frecuente que realiza un cuerpo rígido puede considerarse como la combinación de una traslación de su centro de masas [regido por la ecuación (4.18)] y la rotación en torno a su c.d.m. [regido por la ecuación (4.89)]. Este hecho nos simplifica enormemente el estudio de la dinámica de un cuerpo rígido pues su c.d.m. se mueve como una sola partícula y, por tanto, se puede analizar siguiendo los procedimientos expuestos en el Tema 3. En cuanto a su movimiento de rotación, el estudio de éste es en general bastante complicado. Por ello, en este apartado, nos centraremos primero en el caso particular de un sólido rígido que rota alrededor de un eje que pasa por un punto fijo en un sistema de referencia inercial. En este caso usaremos directamente la ecuación fundamental de la dinámica de la rotación de un sistema de partículas dada en (4.82). Posteriormente, trataremos en el Apartado 4.8 la rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje que pasa a través de su centro de masa que puede estar trasladándose de forma arbitraria.

Co p

4.7.1. Momento de una fuerza respecto a un eje de giro fijo Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo que puede girar alrededor de cierto eje gracias a un pivote, distinguiremos dos características de la fuerza aplicada: su punto de aplicación y la línea de acción de la fuerza.2 Esta última será la línea que pasa por el punto de aplicación de la fuerza y que contiene a dicha fuerza. Si esta línea de acción no pasa a través del pivote, el cuerpo tiende a girar alrededor del eje impuesto. Por ejemplo, cuando se empuja una puerta, la puerta gira alrededor del eje que pasa por sus bisagras. Para que se produzca la rotación, 2

Debemos notar aquí que el vector que representa la fuerza aplicada no tiene “punto de aplicación” o “punto inicial”, tal y como ya discutimos en la Actividad del Apartado 1.8. No obstante, la fuerza físicamente sí puede aplicarse en un punto específico del sólido rígido, y este hecho es el relevante en esta discusión. Matemáticamente, la existencia de este “punto de aplicación” está considerada en el vector ~ r.

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Apuntes de Física 1

122

Tema 4. Sistemas de partículas es necesario realmente que actúe un momento dinámico (momento de la fuerza), el cuál puede siempre visualizarse como la acción de un par de fuerzas (concepto que se define como un conjunto de dos fuerzas de igual módulo cuyas líneas de acción no coinciden). En el caso de la puerta que gira, aparece una fuerza adicional en la puerta aplicada en las bisagras. Ambas fuerzas son responsables de la rotación de la puerta así como del movimiento de traslación de su centro de masas. Si la línea de acción de las fuerzas fuera la misma, se podría producir una deformación del cuerpo, pero nunca una rotación.

ic o

La tendencia de una fuerza a hacer que un cuerpo gire alrededor de un eje la determina cuantitativamente el momento de la fuerza [ver Ec. (4.83)]. Dicho momento es la causa de los cambios producidos en el movimiento de rotación, y juega un papel en la dinámica de rotación análogo al papel que las fuerzas juegan en la dinámica de la partícula, donde las fuerzas son la causa de los cambios en el movimiento de traslación. Supongamos un martillo que puede girar alrededor ~ puede de un eje que pasa por O, tal como muestra la figura. La fuerza aplicada F actuar, de forma general, formando un ángulo θ con respecto al vector de posición ~ r que indica el punto de aplicación de la fuerza.

d

ém

O

~ encontramos A partir de la expresión del momento ~ τ resultante de la fuerza F que su módulo viene dado por

Ac ad

τ = r F sen θ .

(4.90)

Es muy importante tener en cuenta que el momento de la fuerza sólo queda definido cuando se especifica un eje de referencia, a partir del cual se determina el vector ~ r. Podemos interpretar la expresión (4.90) de dos formas diferentes:

U so

1. Si nos fijamos en las componentes de la fuerza en la figura, vemos que la componente F n = F cos φ, paralela a ~ r , no contribuirá al giro alrededor del punto de pivote porque su línea de acción pasa justamente a través del punto del pivote (una puerta no se puede abrir empujando las bisagras). Por lo tanto, solo la componente tangencial provoca un giro alrededor del pivote. En este caso, podemos escribir τ = r (F sen φ) = r F t (4.91)

Co p

ia

de modo que el momento es el producto de la distancia al punto de aplicación de la fuerza y la componente tangencial de esta (F t = F sen φ).

Apuntes de Física 1

2. La forma alternativa de interpretar la expresión (4.90) consiste en asociar la función seno a la distancia r , de modo que τ = F (r sen φ) ≡ F d

(4.92)

donde la magnitud d = r sen φ se denomina como brazo de palanca de la fuer~ y representa la distancia más corta entre el eje de rotación y la línea de za F ~ (esta distancia se mide en la perpendicular de la línea de acción). acción de F De la definición del momento de la fuerza (4.92), podemos deducir que la tendencia a producir un giro aumenta al hacerlo F y d . Por ejemplo, podemos conseguir que una puerta gire con más facilidad si empujamos con más fuerza o bien si empujamos desde un punto cercano al picaporte en lugar de hacerlo desde un punto cercano a las bisagras. No debe confundirse el momento de la fuerza con la propia fuerza. El momento ciertamente depende de la fuerza, pero también de dónde se aplica ésta.

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4.7. Sólido rígido con un eje principal de giro

123

se sitúa en el plano x y, como en la figura, el momento se representa mediante un vector ~ τ paralelo al eje z y cuyo sentido es el mismo que el vector velocidad angular ~ ω. La fuerza de la figura ejerce un momento que tiende a hacer que el cuerpo gire en sentido antihorario, por lo que ~ τ está orientado en la dirección ~, ~ positiva del eje z. Si invertimos el sentido de F τ estará ciertamente orientado en la dirección negativa del eje z.

Ac ad

ém

Si dos o más fuerzas actúan sobre un cuerpo, como muestra la figura, cada una de ellas tiene una cierta tendencia a producir un movimiento de rotación alrededor de un punto de pivote O. Por ejemplo, si el cuerpo está inicialmente en ~2 tiende a hacer girar el cuerpo en sentido horario mientras que F ~1 tienreposo, F de a hacerlo en sentido antihorario. Utilizaremos el convenio de que el signo del momento resultante de una fuerza es positivo si tiende a provocar un giro alrededor del eje en sentido antihorario y que el signo es negativo si la tendencia del ~1 , giro es en sentido horario. Por ejemplo, en la figura, el momento resultante de F que tiene un brazo de palanca d 1 , es positivo e igual a +F 1 d 1 ; mientras que el mo~2 es negativo e igual a −F 2 d 2 . Por tanto, el momento neto mento resultante de F que actúa sobre el cuerpo con respecto al eje que pasa por O es

ic o

Para clarificar la naturaleza vectorial del momento de la fuerza supongamos ~ que actúa sobre una partícula con vector de posición ~ una fuerza F r . El módulo del momento debido a esta fuerza respecto a un eje que pasa a través del origen ~ . El eje alrededor del cual F ~ es |r F sen φ|, donde φ es el ángulo que forman ~ r yF ~ . Si la fuerza tenderá a producir un giro es perpendicular al plano que forman ~ r yF

¡Cuidado con el convenio de signos!

U so

τneto = τ1 + τ2 = F 1 d 1 − F 2 d 2 .

Momento de la fuerza de gravedad

ia

Cuando una de las fuerzas externas que actúa sobre el sólido es la gravedad, el momento que dicha fuerza de gravedad ejerce sobre el sólido rígido, ~ τg , puede ~i = m i ~ g , como escribirse a partir de (4.84), considerando que F

X ∗ mi ~ g+ ~ r i × mi ~ g ¡X ¢ ∗ =~ r cm × M~ g+ mi ~ ri × ~ g.

Co p

~ τg =~ r cm ×

X

(4.93)

En la expresión anterior podemos observar que el segundo témino es nulo debido a la identidad (4.9). Por consiguiente encontramos que

~ τg =~ r cm × M~ g.

(4.94)

Momento externo de la fuerza gravitoria

Esta expresión nos dice que el momento de la fuerza de gravedad puede considerarse que proviene del peso total del sólido rígido aplicado justamente en el centro de masas del mismo. Si elegimos como sistema de referencia el propio c.d.m., entonces tenemos que el momento de la fuerza de gravedad será nulo.

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Apuntes de Física 1

124

Tema 4. Sistemas de partículas

Actividad 4.10: ¿Qué ocurre si la línea de acción de fuerza aplicada pasa por el eje de giro del sólido rígido? Describa las diferentes posibilidades que tendría para aumentar la rotación de un sólido alrededor de un eje.

ic o

Utilice el convenio de signos del momento de la fuerza anteriormente mencionado para explicar por qué gira un volante si aplicamos fuerzas con igual módulo en distintos sentidos en sus extremos y no gira si estas fuerzas se aplican en el mismo sentido.

ém

Compruebe que el momento de un par de fuerzas respecto a un eje de rotación que atraviese el SR siempre es equivalente al momento de una sola fuerza (y viceversa).

Ac ad

Utilice la expresión (4.94) para deducir que podemos calcular la posición del centro de masas de una figura plana de geometría arbitraria colgándola de dos puntos distintos de la misma y esperando a que alcance su posición de equilibrio. [Ayuda: el c.d.m. estará en el punto donde se cruzan las dos líneas de acción del peso.]

Eje de giro

4.7.2. Momento angular en la dirección del eje de giro

U so

Si suponemos que un sólido rígido gira en torno a cierto eje (cuya orientación la tomamos coincidente con la del eje z) con una velocidad angular ~ ω = ωˆz, observamos que cada una de las partículas del sistema realiza un movimiento circular en torno al eje de giro. El vector velocidad de cada partícula puede, por tanto, expresarse como ~ vi = ~ ω ×~ ri (4.95)

Co p

ia

cuyo módulo viene dado por v i = ωd i

(4.96)

donde d i = |ˆz ×~ r i | es la distancia mínima desde la partícula al eje de giro. Considerando la cinemática del movimiento circular (ver Apartado 2.5), siendo la ace˙ tenemos que leración angular α = ω, a τ,i = αd i a n,i =

v i2 di

= ω2 d i .

(4.97) (4.98)

Para encontrar la componente del momento angular del sólido rígido (SR) a lo largo de la dirección del eje de giro, partimos de la expresión del momento angular para el sólido, X ~ L SR = m i ~ ri × ~ vi (4.99) y expresamos

~ r i = d~i + z i zˆ

siendo z i zˆ la componente z de ~ r i . Al introducir esta expresión en (4.99) obtenemos ³ ´ X X X ~ L SR = m i d~i + z i zˆ × ~ v i = m i d~i × ~ v i + m i z i zˆ × ~ vi (4.100)

Apuntes de Física 1

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4.7. Sólido rígido con un eje principal de giro

125

P donde observamos que el primer término, m i d~i ×~ v i , está dirigido a lo largo del eje de giro (z) mientras que el segundo término no tiene componentes en esta dirección. Por tanto, la componente z del momento angular puede expresarse como ¯X ¯ X ¡X ¢ ¯ ¯ L z = ¯ m i d~i × ~ v i ¯ = mi di v i = m i d i2 ω

(4.101)

o equivalentemente3 Lz = I ω donde I=

X

m i d i2

(4.103)

Momento de inercia de un solido

ém

es el llamado momento de inercia del sólido rígido respecto al eje de giro dado. Esta magnitud veremos que representa la “inercia” del sólido rígido a cambiar su movimiento de rotación.

ic o

(4.102)

En el caso de que consideremos el carácter continuo del sólido rígido debemos tener en cuenta que la expresión (4.103) debe sustituirse por Z SR

ρ 2 dm

donde ρ expresa la distancia al eje de giro.

(4.104)

Ac ad

I=

Es importante que notemos que el momento de inercia no es una magnitud intrínseca del sólido rígido (como sí lo sería su masa total) sino que depende del eje de giro que se tome como referencia. Así, un sólido rígido cualquiera tendrá distintos momentos de inercia según a qué ejes sean referidos. Algunos ejemplos de momentos de inercia de distintos cuerpos sólidos se muestran en la Fig. 4.1.

U so

Si conocemos el valor del momento de inercia respecto a un eje de giro que pase por el centro de masa del sólido rígido, en cuyo caso lo denominaremos I∗ =

X

m i (d i∗ )2

(4.105)

y queremos encontrar el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior (que denominaremos I 0 ), podemos proceder de la siguiente forma: X

m i d i2 =

m i |d~i |2 =

m i |d~cm + d~i∗ |2 =

ia

I0 =

X

X

X

h i 2 m i d cm + (d i∗ )2 + 2d~cm · d~i∗

Co p

donde d cm es la distancia entre los ejes de giro paralelos considerados y además P debemos considerar que m i d~i∗ = 0 según nos dice la identidad (4.9). Por tanto, tenemos que 2 I 0 = Md cm + I∗ .

(4.106)

Esta expresión es precisamente la que nos permite obtener de forma fácil el valor del momento de inercia de la tercera situación mostrada en la primera fila de Fig. 4.1 a partir del valor de la segunda (que se refiere a un varilla cuyo eje de giro pasa por el centro de masa).

3 Es interesante notar que todo sólido rígido tiene al menos tres ejes de giro, denominados ejes prin-

ciaples, a lo largo de los cuales el momento angular es paralelo a la dirección del eje giro; es decir, se cumple que ~ L = I~ ω. No obstante, la expresión (4.102) es válida aunque la dirección zˆ no coincida con uno de estos ejes principales.

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Apuntes de Física 1

Tema 4. Sistemas de partículas

Ac ad

ém

ic o

126

U so

F IGURA 4.1: Momentos de inercia de distintos cuerpos sólidos.

Co p

ia

Actividad 4.11:

El movimiento de todas las partículas de un SR que gira en torno a un eje responde a un movimiento circular con la misma velocidad angular. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta. En la expresión (4.102), I ω representa: (a) el módulo del momento angular del SR, (b) una componente del momento angular, (c) el momento angular, (d) ninguna de las anteriores. Razone su respuesta. Explique qué quiere decir que el momento de inercia de un SR no es una propiedad intrínseca del mismo como la masa. 2 Describa el significado preciso de la expresión I 0 = Md cm + I ∗.

En los casos mostrados en las columnas segunda y tercera de la primera y tercera fila de la Fig. 4.1, explique cualitativamente por qué el momento de inercia de la segunda columna es menor que el de la tercera.

Apuntes de Física 1

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4.7. Sólido rígido con un eje principal de giro

127

4.7.3. Dinámica de la rotación del sólido rígido A partir de la ecuación general (4.82) que nos relaciona el cambio temporal del momento angular de un sistema de partículas con el momento dinámico de las fuerzas externas podemos obtener la ecuación que rige el movimiento de rotación de un sólido rígido respecto a un eje fijo. Para ello nos bastará con considerar únicamente la componente z de la ecuación (4.82), es decir, dL z = τz,ext dt

donde τz,ext es la componente z del momento de la fuerzas externas y viene dado en la presente situación por la siguiente expresión: X

~i ,ext = zˆ · ~ ri × F

X

~i ,ext . d~i × F

ém

τz,ext = zˆ ·

ic o

(4.107)

Si usamos ahora el hecho de que L z = I ω, podemos reescribir la ecuación (4.107) como dω = Iα dt

(4.108)

Ac ad

τz,ext = I

que nos relaciona directamente la componente z (con su signo adecuado) del momento de las fuerzas externas con la aceleración angular (α). La anterior ecuación puede identificarse entonces como la ecuación fundamental de la dinámica de rotación de un sólido rígido a largo de su eje de rotación (de alguna forma equivalente a la segunda ley de Newtwon para el movimiento de traslación) y nos muestra claramente el papel de “inercia a la rotación” que ya comentamos con respecto al momento de inercia I .

U so

En el estudio de las rotaciones, una situación de bastante interés práctico se da cuando el momento de las fuerzas externas es nulo. Según nos dice la ecuación (4.82) [o, en su defecto, la ecuación (4.107)], esto implica que el momento angular del sistema se conserva; es decir si ~ τext = 0

⇒

~ L sis = cte .

(4.109)

Conservación del momento angular del sistema de partículas

Co p

ia

Esta situación se produce, por ejemplo, en el caso de una patinadora cuando realiza una pirueta en la que empieza a girar con los brazos extendidos y paulatinamente va cerrando los brazos mientras que aumenta su velocidad angular de giro. Si consideramos el hecho de que tanto la fuerza de la gravedad como la fuerza de contacto normal ejercida por el suelo no ejercen momento en la dirección vertical y que el momento de las fuerzas de contacto tangenciales del hielo es despreciable (el rozamiento con el hielo es muy pequeño), entonces encontramos que L z = cte

⇒

I 0 ω0 = I f ω f .

Supongamos que en una posición inicial la patinadora tiene los brazos extendidos en horizontal y llamamos a su momento de inercia inicial I 0 y a su velocidad angular inicial ω0 . Al cerrar los brazos y llegar a una situación final con los brazos extendidos hacia arriba, el momento de inercia final será menor que el inicial I f < I 0 . Esto implica que para que se cumpla la condición de conservación del momento angular tendremos necesariamente que ω f > ω0 ; esto es, la patinadora habrá aumentado considerablemente su velocidad angular.

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Apuntes de Física 1

128

Tema 4. Sistemas de partículas

Actividad 4.12: ¿Podemos aplicar la ecuación (4.108) a cualquier SR? Explique con detalle el papel del momento de inercia del SR como “inercia a la rotación” a la vista de la ecuación (4.108).

ic o

¿Por qué decimos en el caso de la patinadora que el momento de las fuerzas externas no tiene componente en la dirección vertical? Si el momento angular en la dirección vertical es constante, ¿quiere esto decir que la aceleración angular permanece constante? Si su respuesta es Sí, ¿entonces cómo es que cambia la velocidad angular de la patinadora?

ém

Explique por qué las fuerzas internas no afectan a la velocidad del centro de masa de la patinadora pero sí lo hacen a la velocidad angular de sus giros.

Ac ad

4.7.4. Energía cinética asociada a la rotación de un sólido rígido En la situación considerada anteriormente en la que el sólido rígido rota alrededor de un eje fijo, tenemos que la energía cinética del sólido es únicamente de rotación, E c ≡ E c,r , y puede escribirse como E c,r =

X1

2

m i v i2 =

X1 2

m i ω2 d i2

(4.110)

U so

o, equivalentemente, teniendo en cuenta la definición de momento de inercia respecto al eje de rotación, como

Co p

ia

Energía cinética (total) de rotacion de un sólido respecto a un eje fijo

Energía cinética total del sólido con eje de giro en cdm

E c ≡ E c,r =

1 2 Iω . 2

(4.111)

En el caso particular pero de mucho interés práctico en que el eje de rotación pase por el centro de masas y dicho eje se traslade con cierta velocidad v ≡ v cm (esta velocidad puede ser, en general, variable en el tiempo), podemos aplicar la expresión (4.47) y escribir que E c = E c,cm + E c,int .

(4.112)

Si tenemos ahora en cuenta la expresión (4.48) que nos dice que E c,int =

∗ 2 2 m i (v i )

X1

y que el módulo de la velocidad de las partículas desde el centro de masas puede escribirse como v i∗ = ωd i∗ , entonces E c,int =

∗ 2 2 2 m i (d i ) ω

X1

= 21 I ∗ ω2 .

(4.113)

La anterior expresión nos permite finalmente expresar la energía cinética para este caso como 1 1 2 + I ∗ ω2 E c = M v cm (4.114) 2 2 donde se han separado explícitamente los términos correspondientes al movi-

Apuntes de Física 1

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4.7. Sólido rígido con un eje principal de giro

129

miento de traslación del centro de masas y al del movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por este c.d.m. Actividad 4.13: ¿Podemos aplicar la ecuación (4.114) al movimiento geneal de un SR? ¿Y la ecuación (4.47)?

ém

E JEMPLO 4.2 Una barra delgada y uniforme de longitud L y masa M puede rotar sobre un extremo, En posición horizontal, se deja caer, y el rozamiento es despreciable. Para un ángulo arbitrario ϕ, a) calcular la aceleración angular de la barra, b) la aceleración tangencial y la normal, c) la fuerza sobre el pivote. Dato: El momento de inercia de una barra delgada, respecto a un eje perpendicular a ella que pase por el centro de masas es I ∗ = M L 2 /12.

ic o

Si una rueda gira cuando va cayendo por una pendiente, ¿llegaría antes al final de la pendiente en comparación con el caso en que la rueda se deslizara sin rozamiento? Razone su respuesta.

Ac ad

(a) En primer lugar es conveniente calcular el momento de inercia con respecto al eje de rotación fijo O. Para ello hacemos uso de la expresión (4.106) para obtener 2 I O = Md cm + I ∗ = M (L/2)2 + M L 2 /12 = M L 2 /3 .

U so

A continuación notamos que la aplicación de (4.108) nos dará la aceleración angular de la barra. El momento de la fuerza gravitatoria desde O viene dado por τz,ext = M g (L/2) cos ϕ, por lo que tenemos que 1 L M g cos ϕ = I α = M L 2 α 2 3 de donde obtenemos que 3g cos ϕ . α= 2L (b) Dado que el movimiento del centro de masas es circular, su aceleración tangencial y normal vendrán dados por la expresión (2.52) (teniendo en cuenta que en este caso r = L/2). Para la aceleración tangencial tendremos entonces que a cm,τ = αL/2

=⇒

a cm,τ =

3g L 3 cos ϕ = g cos ϕ . 2L 2 4

Co p

ia

Para calcular la aceleración normal, como esta viene dada por a cm,n = ω2 L/2, debemos calcular primero la velocidad angular en función del ángulo. Para ello podemos aplicar la conservación de la energía mecánica en este sistema conservativo, es decir E m (ϕ = 0) = E m (ϕ) .

Notamos ahora que en ϕ = 0 la energía cinética es nula dado que parte del reposo y, además, haremos que la posición horizontal sea nuestra referencia de energía potencial [esto es, E p (ϕ = 0) = 0]. Ello nos lleva a escribir 0 = E m (ϕ) = E p (ϕ) + E c (ϕ) .

La energía potencial del sólido puede expresarse en función de la energía potencial del cdm, de modo que ésta viene dada por E p (ϕ) = −M g h cm = −M g

JCM,FLML

L sen ϕ . 2

Apuntes de Física 1

130

Tema 4. Sistemas de partículas Por otra parte, la energía cinética en este caso será únicamente de rotación si la expresamos respecto al eje fijo O. Usando entonces (4.111) podemos escribir que 1 I 0 ω2 2 1 M L2 2 1 = ω = M L 2 ω2 . 2 3 6

E c (ϕ) =

Haciendo ahora uso de la conservación de la energía mecánica llegamos a que L 1 sen ϕ + M L 2 ω2 2 6

o bien que g sen ϕ =

1 2 Lω 3

de donde obtenemos que

ic o

0 = −M g

3g sen ϕ . L Finalmente podemos escribir que la aceleración normal del centro de masas es a cm,n =

ém

ω2 =

3g L 3 sen ϕ = g sen ϕ . L 2 2

Ac ad

(c) Para calcular la fuerza que ejerce el pivote sobre la barra debemos aplicar la segunda ley de Newton a lo largo de las direcciones tangencial y normal al desplazamiento del centro de masa; esto es, M g cos ϕ − F 0,τ = M a cm,τ

−M g sen ϕ + F 0,n = M a cm,n .

Operando en las anteriores ecuaciones tras sustituir los valores previamente obtenidos para las acelaraciones del cdm obtenemos finalmente que 1 M g cos ϕ 4 5 F 0,n = M g sen ϕ . 2

Co p

ia

U so

F 0,τ =

E JEMPLO 4.3 Un bloque de masa m 1 = 2 kg descansa sobre una mesa sin rozamiento unida mediante una cuerda de masa despreciable y a través de una polea con un segundo bloque de masa m2 = 5 kg que cuelga a una altura h0 = 0, 8 m sobre el suelo. El momento de inercia de la polea respecto de su eje de giro es I = 0,8 kg·m2 y su radio es R = 0, 1 m. El rozamiento de la polea respecto de su eje es muy pequeño por lo que no se toma en cuenta y la cuerda no desliza sobre la polea. (a) Calcular la aceleración de los bloques en el instante inicial. (b) Usando argumentos de energía calcular la velocidad con la que el bloque de masa m2 llega al suelo. (a) Como la polea tiene masa, las tensiones en las cuerdas a cada lado de la polea serán distintas. Denominemos a estas tensiones T1 y T2 según apunten a la masa m 1 o m 2 . Estas masas se moverán con la misma aceleración a dado que la cuerda no se estira ni se comprime. Si aplicamos la segunda ley de Newton a cada polea tenemos T1 = m 1 a m 2 g − T2 = m 2 a .

(4.115) (4.116)

La aplicación de la ecuación fundamental de la rotación (4.107) a la polea, teniendo en cuenta la relación que existe entre la aceleración angular α de la polea y la aceleración lineal de las masas, a T2 R − T1 R = I α , α= , R

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

4.8. Rodadura (*)

131

nos lleva a

a a =⇒ T2 − T1 = I 2 . R R Operando en (4.115),(4.116) y (4.117) obtenemos ¶ µ a I m 2 g − T2 + T1 + T2 − T1 = m 2 a + m 1 a + I 2 = m 1 + m 2 + 2 a R R T2 R − T1 R = I

a=

m2 g I

=

m1 + m2 + 2 R

5 × 10 ≈ 0.57 m/s2 . 0, 8 2+5+ 0, 12

ém

(b) Debido a la conservación de la energía mecánica en el sistema, la variación de la energía potencial del bloque m 2 en su descenso se transforma en energía cinética de traslación de los bloques m 1 y m 2 más energía cinética de rotación en la polea. Esto nos lleva a que 1 1 1 m 2 g h = m 1 v 12 + m 2 v 22 + I ω2 . 2 2 2 Si tenemos ahora en cuenta que v 1 = v 2 ≡ v y que ω = v/R, la ecuación anterior puede reescribirse como ¶ µ 1 I 1 1 v2 1 m2 g h = m1 v 2 + m2 v 2 + I 2 = m1 + m2 + 2 v 2 2 2 2 R 2 R

2m 2 g h I

m1 + m2 + 2 R

4.8.

Rodadura (*)

=

Ac ad

de donde obtenemos que v=

ic o

de donde

(4.117)

2 × 5 × 10 × 0, 8 ≈ 0, 92 m/s . 2 + 5 + 80

ia

U so

El movimiento de un sólido rígido que únicamente se traslada o bien que únicamente rota se muestra en la Fig. 4.2 para el caso de una rueda. Si el sólido rígido se traslada a la vez que rota su movimiento se denomina en general rodadura, en cuyo caso la propia rotación del objeto es parcial o totalmente responsable de la traslación del mismo (tal y como sucede en una rueda girando sobre el suelo). Si el objeto rota con una velocidad angular ω respecto a un eje que pasa por su centro de masas, las partículas del mismo tienen una velocidad referida al centro de masas que vendrá dada por ~ v i∗ = ~ ω ×~ r i∗

Co p

donde la dirección del vector ~ ω es a lo largo del eje de giro. En lo que sigue supondremos que los objetos rodantes son únicamente discos, cilindros o esferas. Llamaremos rodadura sin deslizamiento al caso en el que tenemos un objeto que rota a velocidad angular ω (esta velocidad angular no tiene que ser constante) y cuya rotación es completamente responsable de la traslación del objeto. Podemos observar que, en ese caso, el punto de contacto del objeto rodante con el suelo tendrá una velocidad nula, tal y como la tiene el punto del suelo en contacto con el objeto.4 Un desplazamiento infinitesimal, ds, de un punto que está situado en el extremo del objeto rodante (a una distancia R del eje de giro) vendrá dado por ds = R dθ = Rω dt 4 Si se deslizara sí habría una velocidad relativa entre los puntos de contacto del objeto y del suelo,

que es lo que ocurre cuando un objeto plano se desliza por el suelo y que ya hemos estudiado en temas anteriores, implicando en este caso un coeficiente de rozamiento dinámico.

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Apuntes de Física 1

132

Tema 4. Sistemas de partículas donde hemos hecho uso de la igualdad dθ = ω dt . Ciertamente, durante el tiempo dt , este objeto rodante se traslada precisamente esta misma distancia y podemos decir que ds = v dt , donde la velocidad de traslación del objeto podemos identificarla con la de su centro de masas, v ≡ v cm , y escribir finalmente que

Velocidad y aceleración del c.d.m. en la rodadura sin deslizamiento

v cm = ωR

(4.118)

a cm = αR .

(4.119)

~ vi = ~ v cm + ~ v i∗

ic o

Dado que la velocidad de las partículas del objeto rodante se puede escribir en función de la velocidad del c.d.m. como

ém

observamos que obtenemos un patrón de velocidades como el que se muestra en la figura adjunta (este patrón es fruto de la suma de las velocidades que se muestran en la Fig. 4.2). Es interesante observar que el punto más alto del objeto rodante tiene una velocidad instantánea doble que la del centro de masa y nula para el caso del punto de contacto con el suelo.

Ac ad

U so

Fuerza de rozamiento es estática y no realiza trabajo en rodadura sin deslizamiento

Es importante que notenemos que la acción de la fuerza de rozamiento del suelo es fundamental en la rodadura sin deslizamiento. Sin esta fuerza de rozamiento no puede existir tal rodadura puesto que es la responsable de la aparición de un momento de la fuerza sobre el objeto rodante y, por tanto, de la propia rotación. Para analizar la acción de este momento de la fuerza debemos usar la ecuación (4.89), que es la que debe aplicarse en este caso dado que tenemos un eje de giro que tiene un movimiento de traslación arbitrario. Además, es importante notar que la fuerza de rozamiento es estática puesto que el punto de contacto objeto/suelo está en reposo (su velocidad relativa es nula). En este caso, la fuerza de rozamiento estática no realizará trabajo y el sistema será conservativo en aquellos casos en los que no participen otras fuerzas de carácter no conservativo.

Actividad 4.14:

Co p

ia

Explique por qué en el caso de rodadura sin deslizamiento tenemos que v cm = ωR. Explique también por qué la velocidad del punto de contacto será nula en este caso. ¿Qué tipo de rozamiento (estático/dinámico) existirá en el caso de la rodadura sin deslizamiento? ¿Y cuando hay deslizamiento? Razone sus respuestas.

Traslación

Rotación

F IGURA 4.2: Velocidad de las partículas del extremo de una rueda que no rota y se traslada y de una rueda que rota y no se traslada (patina).

Apuntes de Física 1

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4.8. Rodadura (*)

133

E JEMPLO 4.4 Esfera rodando sin deslizamiento por un plano inclinado. Una esfera de masa M y radio R rueda sin deslizar por un plano inclinado de inclinación θ. Si parte del reposo, y su centro de masas se encuentra a una altura h + R, a) ¿con qué velocidad llegará a la base de la pendiente? (b) ¿Cuánto valdrá el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento?

que, observando la figura adjunta, se pueden reescribir como N − M g cos θ = 0

(4.120)

M g sen θ − F r = M a cm a cm = αR . Sustituyendo en la Ec. (4.122) tenemos que Fr = I ∗

Fr

(4.121) (4.122)

Ac ad

∗

Fr R = I α

ém

Las ecuaciones que rigen el movimiento de traslación de su centro de masa [ver Eq. (4.18)] y la rotación respecto al mismo [Eq. (4.89)] serán X ~i ,ext = M~ F a cm X ∗ τz = I ∗ α

h

ic o

Según la Tabla en la Fig. 4.1 el momento de inercia de la esfera respecto a su centro de masa es 2 I ∗ = M R2 . 5

R

N

(4.123)

h

Mg

α 2 α 2 = M R 2 = M a cm . R 5 R 5

Por otra parte, sustituyendo en la Ec.(4.121)

U so

2 M g sen θ − M a cm = M a cm 5 obtenemos que la aceleración del c.d.m. es

a cm =

5 g sen θ . 7

ia

Dado que el c.d.m. realiza un movimiento uniformemente acelerado y recorre una distancia total d = h/ sen θ, concluimos que la velocidad al final de la pendiente será s r p h 5 10 v f = 2a cm d = 2 g sen θ = gh . 7 sen θ 7

Co p

Si admitimos que el movimiento de la esfera es una rodadura sin deslizamiento, entonces el trabajo de la fuera de rozamiento es nulo, dado que dicha fuerza de rozamiento es estática. Para que la esfera ruede sin deslizar debe verificarse, por tanto, que F r ≤ F rmax ≡ µe N = µe M g sen θ .

Como la fuerza de rozamiento hemos visto que es F r = 52 M a cm = 27 M g sen θ, la condición anterior implica que 2 µe M g cos θ ≥ M g sen θ 7 o equivalentemente 2 µe ≥ tan θ . (4.124) 7 Dado que en esta situación la fuerza de rozamiento no realiza trabajo, nos encontramos con que las fuerzas externas que realizan trabajo (la gravedad) son conservativas y, por

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

134

Tema 4. Sistemas de partículas consiguiente, se conservará la energía mecánica de la esfera . La aplicación de esta condición de energía mecánica constante podemos escribirla para las situaciones en las que la esfera se encuentra arriba en reposo (E c = 0) y cuando llega al suelo (E p = 0) como Mgh =

1 1 2 M v cm + I ∗ ω2 2 2

donde hemos hecho uso de la expresión (4.114) para la energía cinética de la esfera rodante. La expresión anterior puede reescribirse como 2 1 1 2 2 v cm 7 2 2 M v cm + R M v cm = 2 2 25 10 R

que nos dice finalmente que r

v cm =

10 gh , 7

tal y como y ya obtuvimos anteriormente.

ic o

Mgh =

ém

En el caso de que no se cumpla la condición (4.124) tenemos que la esfera rueda con deslizamiento (ya no se verifica que a cm = αR) y las ecuaciones de movimiento serán ahora N − M g cos θ = 0

(4.125) (4.126)

Fr R = I ∗ α

(4.127)

F r = µd N .

(4.128)

Ac ad

M g sen θ − F r = M a cm

La última de las anteriores ecuaciones nos dice que

F r = µd M g cos θ

y, al introducirla en (4.126), nos lleva a que

M g sen θ − µd M g cos θ = M a cm

U so

que nos proporciona el siguiente valor para la aceleración de c.d.m.: a cm = g (sen θ − µd cos θ) .

Co p

ia

La aceleración angular de la esfera será según (4.127) α=

F r R µd M g cos θ R 5 cos θ = µd g = . 2 I∗ 2 R M R2 5

Podemos observar claramente que si no hay rozamiento (µd → 0) entonces la aceleración angular será nula y no habrá rodadura (la velocidad angular inicial es nula).

4.9. Problemas propuestos Dinámica sistema de partículas y choques 4.1: Encontrar el centro de masas (CM) de un triángulo equilátero formado por tres barras muy delgadas, de longitud a y masa m. Nota: El problema se puede hacer por simetría o calculando en primer lugar el CM de cada barra, reduciendo el problema a tres partículas de masa m cada una de ellas situada en el CM de cada barra, y luego calcular el CM del sistema completo (para calcular el centro de masas de un sistema se puede dividir en partes, calculando el CM de cada parte y luego el CM del sistema completo). Sol.: El c.d.m. está a una altura h/3 medida desde el centro de uno de los lados. 4.2: Demostrar que la energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas viene dada por E p,sis = M g h cm , donde h cm es la altura del centro de masas y M la masa total del sistema.

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

4.9. Problemas propuestos

135

4.3: En un juego de billar hago una carambola (una bola golpea a otra y posteriormente golpea a una segunda bola). Suponiendo despreciables los efectos de rozamiento, ¿ha variado la velocidad del centro de masas del sistema (tres bolas) justo antes de la primera colisión y justo después de la última colision? Justificar la respuesta.

ém

4.5: Una pequeña masa m 1 está colgada del techo mediante un hilo de masa despreciable. Otra masa idéntica está unida a la anterior mediante un muelle también de masa despreciable. El sistema se encuentra inicialmente en equilibrio. Si súbitamente se corta el hilo, en ese instante, (a) ¿qué aceleración tiene cada masa? (b) ¿qué aceleración tiene el centro de masas del sistema? Sol. (a): a 1 = 2g , a 2 = 0 , (b): a cm = g .

ic o

4.4: Paco, de 90 kg, y María, de 60 kg, se encuentran sobre la superficie resbaladiza de un estanque helado (no hay rozamiento con el suelo), separados una distancia de 20 m, y unidos mediante una cuerda ligera (de masa despreciable) atada a la cintura de cada uno de ellos. A medio camino entre los dos hay un tarro de su bebida favorita. Los dos tiran de los extremos de la cuerda. Cuando Paco se ha movido 6 m hacia el tarro, (a) ¿en qué dirección y cuánto se ha movido María? (b) Si sólo es Paco el que tira, y no María, cuando éste ha recorrido 6 m, ¿en qué dirección y cuánto se ha movido María? Sol. (a): María se ha movido 9 m hacia Paco. (b): Igual que en el apartado (a).

Ac ad

4.6: Una pelota de béisbol tiene una masa de 0.145 kg. Se lanza hacia el bateador a una velocidad de 45 m/s, éste la golpea y sale en dirección opuesta con una velocidad de 55 m/s. (a) Calcular la variación de la cantidad de movimiento de la pelota. (b) Si la pelota está en contacto con el bate durante 2 ms, calcular la fuerza (media) que el bate ejerce sobre la bola. (c) Comprobar, durante este proceso, que el cambio en la cantidad de movimiento debida al peso es despreciable frente a la causada por la fuerza del bate. Sol. (a): ∆p pel = 14, 5 kg m/s; (b): F med = 7, 25 kN . 4.7: Un bloque de 4 kg que se mueve hacia la derecha con una velocidad de 6 m/s choca con otro bloque de 2 kg que se mueve también hacia la derecha con una velocidad de 3 m/s. Después de la colisión los bloques quedan unidos (colisión completamente inelástica), calcular: (a) La velocidad del sistema después de la colisión. (b) La variación de la energía mecánica del sistema. Si se ha perdido energía mecánica, ¿en qué se ha transformado? Sol. (a): v f = 5 m/s , (b): ∆E c,sis = 6 J .

U so

4.8: Una patinadora de 60 kg está sobre el hielo (no hay rozamiento con el suelo) y sostiene en sus manos dos pesas de 10 kg. Comenzando desde el reposo, lanza consecutivamente las dos pesas horizontalmente, una tras otra. La velocidad relativa de cada pesa respecto a la patinadora después de que sea lanzada es v rel =10 m/s. (a) Exprese la velocidad de la pesa v pes recién lanzada respecto al suelo en función de la velocidad de la patinadora tras el lanzamiento v pat . (b) Calcule la velocidad de la pa(1) tinadora, v pat (que se mueve en la dirección opuesta al lanzamiento de la pesa) después de lanzar el (2) , tras el segundo lanzamiento. (d) Obtenga primer peso. (c) Calcule de nuevo la velocidad anterior, v pat finalmente la velocidad de la patinadora v pat si hubiese tirado las dos pesas al mismo tiempo.

ia

(1) (2) Sol. (a): v pes = v pat + 10 m/s , (b): v pat = −1, 25 m/s, (c): v pat = −2, 68 m/s; (d): v pat = −2, 5 m/s.

Co p

4.9: Dos pequeñas partículas de masas m 1 y m 2 se atraen. En el instante inicial, m 1 tiene una velocidad v dirigida hacia m 2 , m 2 está en reposo, y están separadas una distancia d . En el instante t c las partículas colisionan. Suponiendo despreciables los efectos gravitatorios, y en general el efecto de fuerzas externas al sistema, ¿qué distancia recorre m 1 desde el instante inicial hasta la colisión? (indicar la respuesta en términos de m 1 , m 2 , d y t c ). Sol.: x 1 (t c ) = m 2 d /(m 1 + m 2 ) + m 1 v t c /(m 1 + m 2 ) .

4.10: Un coche de 1200 kg circula hacia el este cuando en una intersección choca con un camión de 3000 kg que circulaba hacia el norte. Después del choque, el camión y el coche quedan unidos, moviéndose el conjunto en dirección nordeste formando un ángulo de 60º con la dirección este/oeste, y el velocímetro del camión quedó bloqueado marcando una velocidad de 50 km/h, que era su velocidad inicial antes del choque. Calcular la velocidad del coche antes de la colisión. Sol.: |~ v 1 | = 72, 17 km/h . 4.11: Los dos bloques de la figura se separan mediante la explosión de la carga Q colocada entre ellos (la masa del explosivo es muy pequeña, y se puede despreciar). El bloque A, de 100 g, recorre 18 m hasta detenerse. Si el coeficiente de rozamiento entre el suelo y los bloques es µ, ¿qué distancia recorrerá el bloque B, de 300 g, hasta detenerse? Sol.: d B = 2 m .

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

136

Tema 4. Sistemas de partículas 4.12: Las tres pequeñas bolas de cristal de la figura tienen masas m A = 20 g, m B = 30 g y mC = 50 g. Se mueven hacia el origen sobre una mesa sin fricción con velocidades (en módulo) v A = 1.5 m/s y v B = 0.5 m/s. Las tres bolas llegan al origen simultáneamente. (a) ¿Cuánto tiene que valer ~ vC (módulo y dirección) para que las masas queden en el origen, sin moverse, después del choque? (b) ¿Se ha perdido energía mecánica en el choque? Si es así, calcular la cantidad perdida e indicar en qué se ha transformado. Sol. (a): vC = 0.793 m/s, θ = 19, 11o ; (b): Se pierde toda la energía cinética en el choque. Se transforma en deformación, sonido, calor, ...

ic o

4.13: Un muelle vertical de constante k=1000 N/m sostiene un plato de 4 kg de masa. Estando el plato en equilibrio, y desde una altura de 5 m respecto al plato, se deja caer una bola de 2 kg que choca elásticamente con éste. Calcular (a) la altura máxima a la que ascenderá la bola después del choque y (b) la máxima deformación del muelle. Sol. (a) h = 5/9 m , (b): ∆ = 0.46 m .

Ac ad

Sólido rígido

ém

4.14: Una bala de masa m y velocidad v atraviesa la lenteja de un péndulo (masa de pequeñas dimensiones que cuelga de la cuerda formando un péndulo), inicialmente en reposo, saliendo con velocidad v/2. La lenteja de masa M está en el extremo de una cuerda de longitud l . (a) Determine la velocidad V con la que comienza a moverse la lenteja del péndulo. (b) Calcule la velocidad mínima de la bala para que el péndulo dé una vuelta completa. Desprecie el rozamiento con el aire y exprese todos los resultados en función dep v, m, M , l y g . M m v Sol. (a) V = M 2 , (b): v = m 10g l .

4.15: Dos moléculas formadas por dos grupos de átomos muy similares, de la misma masa m, se diferencian en su estructura espacial, como se indica en la figura. Estas moléculas pueden rotar alrededor de un eje perpendicular al papel que pasa por el punto O. Si se aplica el mismo par de fuerzas a cada una de las moléculas, ¿cuál girará con mayor aceleración angular, (a) ó (b)? Justificar brevemente la respuesta.

U so

4.16: En la bicicleta de la figura, la rueda dentada trasera tiene un radio r 2 y está unida por medio de una cadena con la rueda dentada delantera, de radio r 1 . Si se pedalea a un ritmo de n pedaladas por segundo (n vueltas por segundo), ¿cuánto vale la velocidad angular de la rueda trasera? P ~i ,ext = 0) es el 4.17: Demostrar que el momento de un sistema de fuerzas cuya resultante es nula ( F mismo independientemente del origen de coordenadas que se tome. 4.18: Explique con detalle las condiciones que hacen que el cambio del momento angular de un sistema de partículas sea nulo durante una colisión (tenga en cuenta que entre las partículas se ejercen fuerzas internas y que también actúan fuerzas externas).

Co p

ia

4.19: Una escalera AB de peso 40 N descansa sobre una pared vertical haciendo un ángulo 60º con el suelo. Encontrar las fuerzas sobre la escalera en A y B. La escalera tiene rodillos en A, de modo que la fricción es despreciable en ese punto (en B sí hay rozamiento).

Apuntes de Física 1

4.20: Una barra de madera uniforme de masa m 1 = 20 kg está apoyada en dos soportes A y B como se indica en la figura. Un bloque de acero de masa m 2 = 30 kg está situado a la derecha del soporte A. (a) Calcular las fuerzas F A y F B que ejercen verticalmente los soportes si x = 1 m. (b) Calcular la distancia x máxima a la que se puede situar el bloque de acero sin que la barra se incline y vuelque. Nota Usar g = 10 m/s2 . Sol. (a) F A = 450 N, F B = 50 N; (b): x = 2 m . 4.21: Para empujar un armario de 100 kg se aplica una fuerza F a una altura de 1.5 m, como se indica en la figura. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el armario y el suelo es de 0.5, determinar: a) El valor de la fuerza F que hace que el sistema esté a punto de deslizar. b) El valor de F que hace que el sistema esté a punto de volcar. c) Si partimos de F = 0 y aumentamos poco a poco el valor de esta fuerza, ¿qué ocurrirá en primer lugar, el deslizamiento o el vuelco? Justificar la respuesta. Nota: para simplificar los cálculos, considerar g = 10 m/s2 y recordar que la fuerza normal del suelo sobre el armario es una fuerza repartida por toda la superficie de contacto, que equivale a una sola fuerza. Si el sistema está en equilibrio su módulo y punto de aplicación tendrán que ser tales que compensen las fuerzas y momentos aplicados.

JCM,FLML

4.9. Problemas propuestos

137

ém

4.23: Una barra delgada y uniforme de longitud L y masa m puede rotar sobre un extremo, En posición horizontal, se deja caer, y el rozamiento es despreciable. a) En ese instante, calcular la aceleración angular de la barra, la aceleración de su centro de masas y de su extremo. b) En ese instante, calcular la fuerza de reacción del pivote sobre la barra. c) Cuando la barra se encuentre en posición vertical, calcular la velocidad y aceleración de su extremo. Dato: El momento de inercia de una barra delgada, respecto a un eje perpendicular a ella que pase por el centro de masas es I ∗ = M L 2 /12.

ic o

4.22: Un disco homogéneo de masa M y radio r está unido (soldado) a una barra homogénea de masa m y longitud L = 3r en el punto A. El punto A coincide con el punto medio de la barra. El sistema puede rotar con respecto a un eje perpendicular que pasa por el punto O, donde se encuentra una articulación. En el instante mostrado en la figura hay una fuerza aplicada F = 4 N tal y como se indica, su velocidad angular es ω = 0 y θ = 30◦ . (a) Demostrar que el momento de inercia de la estructura con respecto a su eje de rotación (que pasa por O) es I O = (31/4)mr 2 . (b) Calcule las posición del centro de masas de la estructura. En el instante indicado en la figura, (c) represente el diagrama de fuerzas (diagrama de cuerpo libre) de la estructura y calcule la aceleración angular del sistema, indicando si es en sentido horario () o antihorario ( ). (d) En ese mismo instante, calcule las fuerzas aplicadas al sistema en el punto O. [Datos: I CM (barra) = mL 2 /12, I CM (disco) = M R 2 /2, M = 2m, m = 2 kg, r = 15 cm.] Sol.: (b) y cm = (4/3)r ; (c) α = 4, 27 rad/s2 ; (d) F τ = F cos(π/6), F n = 3mg .

Ac ad

4.24: Un disco uniforme de radio R y masa M pivota alrededor de un eje horizontal paralelo a su eje de simetría y que pasa a través un punto de su perímetro, de forma que puede oscilar libremente en el plano vertical. Se libera desde el reposo con su centro de masa en la misma altura que el pivote. (a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco cuando su centro de masa está directamente debajo del pivote? (b) ¿Cuál es la fuerza es ejercida por el eje sobre el disco en este momento? Dato: momento de inercia con respecto a un eje que pasa por su centro de masa I ∗ = 1/2M R 2 .

4.25: El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea (I = M R 2 /2) es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar: a) La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo y la velocidad angular de la polea en ese instante. b) Las tensiones de la cuerda. c) El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo. (Resolver el problema por dinámica y aplicando el balance energético)

U so

4.26: Las poleas de la figura están unidas y giran unidas respecto al eje fijo mostrado que pasa por su centro, siendo el radio de la polea mayor R 1 y el de la polea menor R 2 con masas M 1 y M 2 . (a) Encuentre el valor de m 2 en función de las variables conocidas del problema para que el sistema esté en equilibrio (b) Calcule la aceleración de m 1 suponiendo que esta masa desciende. (c) Halle la velocidad angular, ω, de las poleas cuando m 1 ha descendido una altura h partiendo del reposo. Dato: el momento de inercia de un disco de radio R y masa M respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masas es I = 21 M R 2 . Sol. (a): m 2 = m 1 R 1 /R 2 ; (b): a 1 = g R 1 (m 1 R 1 − m2R 2 )/[(m 1 + M 1 /2)R 12 + (m 2 + M 2 /2)R 22 ] ; (c): ω = p 2a 1 h/R 1 .

Co p

ia

4.27: Un disco de masa m y radio R gira alrededor de un eje que pasa por su centro con velocidad angular ω0 . Si se deja caer un “pegote” de barro, de masa m/4, a una distancia R/2 de su centro, quedando éste adherido a la superficie del disco, y suponiendo que el rozamiento entre el disco y el eje es despreciable (y con el aire también). a) ¿Cambiará el momento angular en la dirección del eje de rotación cuando cae el barro? Justificar la respuesta. b) ¿Con qué velocidad angular girará ahora el sistema? Dato: El momento de inercia de un disco respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad es IG = mR 2 /2. 4.28: Una bala de 0.2 kg y velocidad horizontal de 120 m/s, choca contra un pequeño diente situado en la periferia de un volante de masa 1.5 kg y 12 cm de radio (I = M R 2 /2), empotrándose en el mismo. Suponiendo que la bala es una masa puntual, que el volante es un disco macizo y homogéneo (no se tiene en cuenta el pequeño diente), calcular la velocidad angular adquirida por el sistema disco y bala después del choque, y la pérdida de energía.

4.29: Una esfera de masa M y radio R rueda sin deslizar por un plano inclinado (IG = (2/5)M R 2 ). Si parte del reposo, y su centro de masas se encuentra a una altura h + R, (a) ¿con qué velocidad llegará a la base de la pendiente? (b) ¿Cuánto valdrá el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento? 4.30: Liberadas desde el reposo a la misma altura, una esfera hueca (I h = 2/3M R 2 ) y una esfera sólida (I S = 2/5M R 2 ) de la misma masa M y radio R ruedan sin deslizarse por una pendiente a través de la misma caída vertical H . Cada una se mueve horizontalmente cuando sale de la rampa. La esfera hueca golpea el suelo a una distancia horizontal L h desde el final de la rampa y la esfera sólida golpea en el suelo a una distancia L s . (a): Calcule la velocidad de salida de la rampa de cada esfera. (b): Halle la relación L s /L h .

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Apuntes de Física 1

138

Tema 4. Sistemas de partículas 4.31: Un bloque de m 2 = 6 kg y una esfera de m 1 = 10 kg y radio R 1 = 20 cm están unidos por un hilo inextensible y sin peso (masa despreciable) que pasa a través de una polea en forma de disco de masa m 3 = 2 kg y radio R 3 = 10 cm. La esfera rueda sin deslizar subiendo por un plano inclinado 300 , y la cuerda hace girar la polea sin deslizar sobre ella. El sistema parte del reposo. Hallar: a) Las tensiones en la cuerda. b) La aceleración del sistema. c) La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m resolviendo el problema cinemático. d) La velocidad de la esfera y del bloque cuando se han desplazado 1.5 m utilizando energías. Datos: el momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro, para una esfera de radio R es I = 2mR 2 /5, y para un disco de radio R es I = mR 2 /2

Co p

ia

U so

Ac ad

ém

ic o

4.32: En una rueda de 50 kg se enrolla una cuerda y se tira de ella horizontalmente con una fuerza de 200 N, como se indica en la figura. El momento de inercia de la rueda respecto a un eje perpendicular al movimiento que pasa por su centro es de 0.245 kg·m2 y los coeficientes de rozamiento entre la rueda y el suelo son µe =0.2 y µd =0.15. (a) Demostrar que la rueda no realiza un movimiento solo de rodadura, sino que a la vez que rueda desliza sobre el suelo. (b) Calcular la aceleración de su centro de masas y su aceleración angular.

Apuntes de Física 1

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ic o

T EMA 5

Ac ad

ém

Mecánica de Fluidos

5.1. Introducción

ia

U so

Una forma común de clasificar la materia distingue tres posibles estados: sólido, líquido y gaseoso. La experiencia nos dice que un sólido tiene una forma y un volumen determinados (una bola acero mantiene su forma en el tiempo). También sabemos que un líquido tiene un volumen definido, pero no una forma concreta: una cierta cantidad de agua líquida tiene un volumen fijo pero toma la forma del recipiente que la contiene. Finalmente, un gas que no esté confinado no tiene ni volumen ni forma definidos. Estas definiciones nos ayudan a describir los estados de la materia, pero son bastante ambiguas. Por ejemplo, el asfalto, el vidrio y los plásticos se consideran normalmente como sólidos, pero con el paso del tiempo tienden a fluir como líquidos. Asimismo, la mayoría de las sustancias pueden ser un sólido, un líquido o un gas (o una combinación de las tres posibilidades), dependiendo de la temperatura y de la presión. En general, el tiempo que invierte una sustancia concreta en cambiar su forma como respuesta a una fuerza externa determina si debemos tratar a dicha sustancia como sólido, líquido o gas.

Co p

Un fluido es un conjunto de moléculas que se distribuyen aleatoriamente y que se mantienen unidas gracias a las débiles fuerzas de cohesión que se crean entre dichas moléculas y también a las fuerzas ejercidas por las paredes del recipiente. Tanto los líquidos como los gases son fluidos. En este tema sobre la mecánica de los fluidos, veremos que no se necesitan nuevos principios físicos para explicar efectos tales como el empuje que experimenta un objeto sumergido o la sustentación del ala de un avión.

En primer lugar, consideraremos la mecánica de fluidos en reposo, es decir, la estática de fluidos o hidrostática, y deduciremos una expresión para la presión ejercida por un fluido en función de su densidad y profundidad. También consideraremos la mecánica de fluidos en movimiento, es decir, la dinámica de fluidos o hidrodinámica. A partir de ciertas simplificaciones, se describirá la dinámica de un fluido en movimiento mediante dos ecuaciones básicas: la de continuidad y la de Bernoulli, que relacionarán la presión, densidad y velocidad en todos los puntos del fluido.

139

Definición de fluido

140

Tema 5. Mecánica de Fluidos

5.2. Estática de fluidos. Presión 5.2.1. Fuerzas en un fluido

ém

ic o

Imaginemos que aplicamos una fuerza a la superficie de un objeto, de manera que esa fuerza tenga componentes tanto en la dirección tangente como en la normal a dicha superficie. Si el objeto es un sólido apoyado sobre una mesa, la componente de la fuerza perpendicular a la superficie puede hacer que el objeto se comprima, dependiendo de la rigidez de dicho objeto. Si el objeto no desliza sobre la mesa, la componente de la fuerza paralela a la superficie del objeto podrá ocasionar una deformación del objeto. Como ejemplo supongamos que se sitúa horizontalmente un libro sobre la mesa y, colocando su mano sobre él, se aplica una fuerza paralela a la cubierta del libro y perpendicular al lomo. El libro se deformará; las páginas de debajo se mantendrán fijas en su posición original y las páginas de la parte superior se desplazarán horizontalmente una determinada distancia. La sección transversal del libro pasa de ser un rectángulo a ser un paralelogramo. Este tipo de fuerzas paralelas a una superficie se llaman fuerzas de cizalladura o fuerzas cortantes.

Ac ad

Los fluidos no viscosos solo se ven sometidos a fuerzas normales

En nuestro tratamiento inicial de los fluidos utilizaremos un modelo simplificado en el que supondremos que no existirá fricción entre capas adyacentes del fluido. Este tipo de fluidos se denominan no viscosos y podemos decir que los mismos no se ven sometidos a fuerzas de cizalladura; si imaginamos una mano colocada sobre la superficie del agua y se empuja en la dirección paralela a la superficie, la mano simplemente se deslizará sobre la superficie del agua, no pudiendo deformar el agua tal como lo hacía con el libro. Este fenómeno ocurre porque las fuerzas interatómicas en el fluido no son lo suficientemente fuertes como para mantener la posición de unos átomos respecto a otros. El fluido, por tanto, no se puede considerar como un objeto rígido dado que al aplicar una fuerza cortante, las moléculas simplemente deslizarán unas sobre otras.

Co p

ia

U so

Según nuestra suposición, tendremos que las únicas fuerzas de contacto que afecta a un fluido, y que a su vez éste producirá en los objetos circundantes, serán aquellas que sean perpendiculares a las superficies que estén en contacto con él. Por ejemplo, las fuerzas ejercidas por el fluido sobre el objeto de la Fig. 5.1 son perpendiculares en todo punto a las superficies del objeto. Estas fuerzas que se distribuyen a lo largo de toda la superficie las relacionaremos con una nueva magnitud denominada presión.

F IGURA 5.1: La fuerza que ejerce el fluido sobre cualquier punto de un objeto sumergido en el mismo es perpendicular a la superficie del objeto. La fuerza que ejerce el fluido sobre las paredes del recipiente es perpendicular a las paredes en todos los puntos.

Apuntes de Física 1

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5.2. Estática de fluidos. Presión

141

De este modo, si un objeto está sumergido en cierto fluido y dF es el módulo de la fuerza normal ejercida por el fluido en cierto punto sobre un elemento de superficie infinitesimal de área dA, entonces la presión p ejercida por el fluido en ese punto se define como dF . dA

(5.1)

Para el caso de un objeto cuya superficie A está a la misma profundidad en el fluido tendremos que la presión en esta superficie viene dada por F . A

(5.2)

Obsérvese que la presión es una magnitud escalar.

Presión sobre una superficie

ém

p=

Presión sobre un punto

ic o

p=

1 Pa = 1 N/m2 .

Ac ad

Dado que la presión es una fuerza por unidad de área, tiene unidades de N/m2 en el Sistema Internacional. El nombre para la unidad de presión en el Sistema Internacional es el pascal (Pa):

El pascal es una unidad de presión bastante pequeña, por lo que se utiliza comúnmente un múltiplo suyo, el bar, 1 bar = 105 Pa .

U so

En meteorología, la unidad más utilizada es el milibar (mbar) o, equivalentemente, el hectopascal (hPa).

ia

La atmósfera (que no es más que un fluido formado por moléculas de aire) ejerce una presión sobre la superficie de la Tierra y sobre todos los objetos situados en ella. Esta presión es la responsable de que funcionen las ventosas, las pajitas de los refrescos, las aspiradoras y muchos otros aparatos. El valor de la presión atmosférica al nivel del mar se denomina como “una atmósfera” y tiene un valor en el SI de

Co p

1 atm = 101325 Pa = 1013, 25 hPa = 1013, 25 mbar .

Obsérvese que la presión y la fuerza son magnitudes diferentes. Podemos obtener una presión muy grande a partir de una fuerza relativamente pequeña. Éste es el caso de las agujas hipodérmicas. El área de la punta de la aguja es muy pequeña; por ello, basta con ejercer una pequeña fuerza sobre la aguja para generar una presión suficientemente grande que perfore la piel. También podemos generar una presión pequeña a partir de una fuerza grande, aumentando el área sobre la que se actúa la fuerza. Este es el principio que subyace en el diseño de las raquetas para andar sobre la nieve. Si una persona caminara sobre una capa espesa de nieve con zapatos normales, es posible que sus pies atravesaran la nieve y se hundieran. Las raquetas para la nieve, sin embargo, permiten que la fuerza que se ejerce sobre la nieve debido al peso de la persona se distribuya sobre un área mayor, reduciendo suficientemente la presión como para que la superficie de la nieve no se rompa.

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Apuntes de Física 1

142

Tema 5. Mecánica de Fluidos

Actividad 5.1: Diga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razone su respuesta. • Las fuerzas que ejerce un fluido sobre su entorno o sobre un objeto sumergido en el mismo son siempre fuerzas de contacto. • Las fuerzas que se ejercen sobre un fluido pueden ser de contacto y también de acción a distancia.

ic o

• Las fuerzas de contacto sobre un fluido viscoso solo tienen componentes tangenciales (fuerzas de cizalladura). • Las fuerzas de contacto sobre un fluido no viscoso solo pueden ser normales.

ém

• Las fuerzas que ejerce un fluido no viscoso sobre su entorno o sobre un objeto sumergido en el mismo son siempre fuerzas normales.

Ac ad

• Las fuerzas que ejerce un fluido sobre un objeto sumergido en el mismo son dependientes de la forma y orientación de la superficie de contacto. En la expresión de la fuerza que ejerce un fluido en cierto punto por unidad de superficie, presión p = dF /dA, señale qué afirmaciones son verdades o falsas. Razone su respuesta. • dF es la componente normal de la fuerza. • dF es el módulo de la fuerza normal. • dF es el módulo de la fuerza total.

U so

Explique qué diferencia hay entre p = dF /dA y p = F /A. La unidad de presión en el S.I. es el bar. ¿Verdadero o Falso?

Co p

ia

La presión atmosférica es aproximadamente 105 Pa, lo que implica que la fuerza que ejerce la atmósfera sobre la parte superior de una chapa de madera de 1 m2 que fuese sostenida por una persona con los brazos en alto es de 105 kg. ¿Cómo es posible entonces que cualquier persona pueda sostener esta chapa de madera sin mayor problema?

Densidad de masa

5.2.2. Ecuación fundamental de la hidrostática En el estudio de la mecánica de fluidos es muy importante la densidad de masa de una sustancia. Esta magnitud escalar se define para cada punto como el cociente entre la masa diferencial (dm) que hay en un volumen diferencial (dV ) que contiene al punto y dicho diferencial de volumen: ρ=

dm . dV

(5.3)

La unidad de densidad de masa en el Sistema Internacional es kg/m3 . Otra unidad muy utilizada es g/cm3 (sistema CGS), de modo que 1 kg/m3 =10−3 g/cm3 . La densidad del agua destilada a 4o C es 1 g/cm3 y la del aire a temperatura ambiente aproximadamente 1 kg/m3 . La densidad varía con la temperatura porque

Apuntes de Física 1

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5.2. Estática de fluidos. Presión

143

p(y)A − p(y + dy)A − ρg Ady = 0

dp = −ρg dy .

(5.4)

Ac ad

es decir,1

ém

Como bien sabe cualquier persona que haya buceado, la presión dentro del agua aumenta a medida que nos sumergimos a mayor profundidad. Asimismo, la presión atmosférica disminuye cuando aumenta la altitud (por esta razón, los aviones, que vuelan a una gran altitud, deben tener cabinas presurizadas para proporcionar suficiente oxígeno a los pasajeros). Calculemos entonces de forma cuantitativa cómo aumenta la presión con la profundidad o, equivalentemente, cómo disminuye con la altura. Para ello, supongamos un líquido en reposo de densidad ρ (en general, la densidad puede variar con la altura) como el de la figura adjunta. Consideremos una porción de fluido de espesor dy cuyas caras tienen un área A. La masa de esta porción de fluido es ρ Ady y su peso ρg Ady. Si esta porción de fluido y el fluido circundanete están en equilibio, la fuerza resultante del propio P P P fluido sobre esta porción de fluido debe ser nula, es decir F x = F y = F z = 0. En las direccionesx y z sólo existen fuerzas debido al fluido que se compensan trivialmente. En cambio, en la dirección vertical (y) actúa también el peso del fluido, por lo que ha de cumplirse que

ic o

el volumen de una sustancia depende de la temperatura a la que se encuentre.

Ecuación fundamental de la estática de fluidos

Esta ecuación se denomina ecuación fundamental de la estática de fluidos. Obsérvese que ρ y g son cantidades positivas. Por tanto, a un incremento de altura (dy > 0) corresponde un descenso de presión (dp < 0) y viceversa, tal como comentamos anteriormente.

U so

A partir de (5.4) el tratamiento difiere para gases y para líquidos debido a que los líquidos son prácticamente incompresibles, lo cual quiere decir que su densidad permanece constante. En efecto, si consideramos un fluido incompresible, la integración de (5.4) es inmediata: 2

Z

1

2

Z

dp = −

1

ρg dy

p 2 − p 1 = −ρg (y 2 − y 1 )

(5.5)

Ecuación fundamental de la hidrostática (fluidos incompresibles)

donde p 2 y p 1 son las presiones correspondientes a dos niveles y 2 e y 1 .

Co p

ia

Apliquemos la ecuación (5.5) al líquido contenido en un vaso u otro recipiente con una superficie libre abierta a la atmósfera (ver figura adyacente) y tomemos el punto 2 en la superficie libre donde la presión p 2 coincide con la presión atmosférica p atm . El punto 1 corresponderá a un nivel cualquiera donde la presión es p. Si definimos la profundidad h = y 2 − y 1 , tenemos entonces que

(2) 2

h

(1)

p(h) = p atm + ρg h .

1

(5.6)

Como podemos observar, la forma del recipiente no influye para nada en la presión (esta sólo depende de la profundidad). En consecuencia, recipientes con diferente forma soportan la misma presión en su fondo si el nivel de líquido es el mismo en todos ellos. A este fenómeno se le conoce como paradoja hidrostática. El fondo de cada uno de los recipientes de la figura adyacente soporta la misma presión. 1

Notemos aquí que p(y + dy) − p(y) = dp .

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Apuntes de Física 1

144

Tema 5. Mecánica de Fluidos Otra interesante consecuencia de la ecuación (5.5) es que todos los puntos de un fluido incomprensible en reposo sometidos a la misma presión están a la misma altura. En este hecho se basa el principio de los vasos comunicantes, según el cual la superficie libre de un líquido distribuido entre diferentes vasos comunicados entre sí ha de estar en un plano horizontal (ver figura adyacente). Una consecuencia inmediata de este principio es que la superficie libre de un líquido contenido en un recipiente sea horizontal.

ic o

A la vista de la ecuación (5.6), podemos deducir que cualquier aumento de presión en la superficie del fluido deberá transmitirse a todos los puntos del interior de dicho fluido. Este hecho fue descubierto por primera vez por el científico y filósofo francés Blaise Pascal y se llamó principio de Pascal, según el cual

ém

Un cambio en la presión aplicada sobre el líquido contenido en un recipiente se transmite con la misma intensidad a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente.

Ac ad

Una aplicación importante del principio de Pascal es la prensa hidráulica, que se ilustra en la Figura 5.2. Si se aplica una fuerza F 1 a un pistón pequeño de área A 1 , la presión se transfiere a través del líquido al pistón de área A 2 , siendo F 2 la fuerza que ejerce el líquido ejerce sobre el pistón. Como la presión del líquido es la misma en ambos pistones, vemos que

p = F 1 /A 1 = F 2 /A 2

=⇒

F2 =

A2 F1 . A1

Co p

ia

U so

La fuerza F 2 es entonces un factor A 2 /A 1 mayor que F 1 . Los frenos hidráulicos, los elevadores de coches, los gatos hidráulicos y los ascensores hacen uso de este principio.

F IGURA 5.2: Diagrama de una prensa hidráulica. Como el aumento de presión es el mismo en lado izquierdo que en el derecho, una fuerza pequeña F 1 aplicada en la parte izquierda produce una fuerza F 2 mucho mayor en la parte derecha.

Apuntes de Física 1

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5.2. Estática de fluidos. Presión

145

Actividad 5.2: ¿Por qué aparece un signo negativo en la ecuación dp = −ρg dy ?

La ecuación (5.6) nos da la presión en un líquido incompresible a una profundidad h de su superficie. Derive la forma de esta ecuación si tenemos dos líquidos incompresibles e inmiscibles de densidades ρ a y ρ b . [Distinga si la presión se obtiene en el líquido a o en el b.] Razone si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

ém

• La presión en un fluido es la misma para la misma cota de profundidad y no depende en absoluto de lo que haya por debajo de esta cota.

ic o

¿Podemos aplicar la ecuación p 2 −p 1 = −ρg (y 2 −y 1 ) a cualquier fluido? Razone su respuesta.

• La presión en un fluido a cierta profundidad depende de la forma en la que está contenido el fluido por encima de esta cota.

Ac ad

Desde un punto de vista práctico ¿qué precauciones deberíamos tomar para realizar una prensa hidráulica?

¿Sería conveniente sustituir el líquido de la prensa hidráulica por aire? Razone su respuesta.

E JEMPLO 5.1 Fuerza en la pared de una presa El agua almacenada detrás de una presa de anchura w alcanza una altura H . Determinar la fuerza total ejercida sobre la presa.

U so

En primer lugar es muy importante darnos cuenta de que NO podemos calcular la fuerza sobre la presa multiplicando el área por la presión, ya que la presión en este caso varía con la profundidad. El problema puede resolverse calculando la fuerza dF sobre una banda horizontal infinitesimalmente estrecha situada a la profundidad h, e integrando la expresión para calcular la fuerza total en toda la presa.

ia

La presión en la porción sombreada en la Figura, situada a una profundidad h por debajo de la superficie es p = ρg h = ρg (H − y)

Co p

(No hemos incluido la presión atmosférica en nuestro cálculos porque actúa en ambos lados de la presa, de manera que su contribución a la fuerza total es nula). A partir de la ecuación (5.1), encontramos que la fuerza en la banda sombreada de área dA es dF = pdA

Como dA = wdy, tenemos que dF = ρg (H − y)wdy

Así, la fuerza total en la presa es F=

Z H 0

ρg (H − y)wdy =

1 ρg w H 2 2

Obsérvese que, como la presión aumenta con la profundidad, las presas deben diseñarse de forma que su espesor aumente también con la profundidad, como se muestra en la figura.

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

146

Tema 5. Mecánica de Fluidos

ic o

La relación entre la presión y la altura (o profundidad) es más complicada en un gas que en un líquido, debido a que la densidad de un gas no permanece constante al variar la presión. La presión de una columna de aire disminuye al aumentar la altitud considerada desde la superficie de la Tierra, como sucede con la presión de una columna de agua, pero a diferencia de este caso, la disminución de presión con la altura no es lineal con la distancia. En lugar de ello, la presión decrece de forma exponencial, hecho que se conoce como ley atmosférica. Como la densidad del aire es proporcional a la presión, esta densidad también disminuye con la altura. Así, se dispone de bastante menos oxígeno en una montaña que a elevaciones normales. E JEMPLO 5.2 La ley atmosférica Demostrar la ley atmosférica suponiendo que la densidad del aire es proporcional a la presión

ém

Mediciones sobre el aire nos dicen que la presión en el aire varía linealmente con la presión, esto es, ρ(p) = βp. Si en un nivel de referencia determinado (por ejemplo, el nivel del mar) tenemos que p = p 0 , siendo p 0 la presión atmosférica, y ρ(p o ) = ρ o , entonces podemos determinar que β = ρ o /p 0 , y escribir por tanto ρo p p0

Ac ad

ρ(p) = βp =

Si se introduce este resultado en la ecuación (5.5) llegamos a dp = −ρg dy = −βpg dy

o, equivalentemente,

dp = −βg dy . p

U so

Integrando esta última ecuación, tomando p(y = 0) = p 0 y p(y = h) = p(h), se obtiene Z h Z h dp =− βg dy 0 p 0 p(h) ln = −βg h p0

es decir,

p(h) = p 0 e−αh

(5.7)

Co p

ia

con α = −g ρ o /p 0 [≈ 10−4 m−1 si la referencia es el nivel del mar] . Notemos que esta ley nos

Apuntes de Física 1

dice que la caída de la presión atmosférica con la altura es exponencial.

5.2.3.

Manómetros y barómetros

Para medir presiones podemos utilizar la expresión (5.6) que nos dice que la diferencia de presión en un líquido es proporcional a la profundidad. En la figura adyacente se muestra un medidor de presión simple, el manómetro de tubo abierto o en U, el cual contiene al líquido manométrico. Uno de los extremos está abierto y, por tanto, a la presión atmosférica (p 0 = p atm ), mientras que el otro extremo está conectado a un gas de presión desconocida p, que es la que se quiere medir. La presión en los puntos A y B debe ser igual por la ecuación (5.5), y la presión en A es igual a la presión desconocida del gas. Así, igualando la presión en A a la del punto B , vemos que, aplicando (5.6), p = p atm + ρg h, donde ρ es la densidad del líquido manométrico. A la presión p se le denomina presión absoluta, mientras que a la diferencia p − p atm , que es igual a ρg h, se le llama presión

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5.3. Flotación. Principio de Arquímedes

147

5.3. Flotación. Principio de Arquímedes

A B

ém

La figura adyacente muestra un barómetro de mercurio utilizado para medir la presión atmosférica. Uno de los extremos parte de un tubo de gran longitud que está cerrado y se le ha hecho el vacío de forma que la presión en su interior es igual a cero. Dado que todos los puntos a idéntica altura deben tener la misma presión, vemos que la presión en el punto A debida a la columna de mercurio debe ser igual a la presión en el punto B debida a la atmósfera. Si esto no fuera así, la fuerza neta movería el mercurio de un punto a otro hasta que se llegara al equilibrio. Por tanto, p 0 = p atm = ρ Hg g h donde ρ Hg es la densidad del mercurio. A 0ºC, la densidad del mercurio es ρ Hg = 13.595 g/cm3 , por lo que la altura de la columna del líquido barométrico a la presión atmosférica (p atm = 101325 Pa) es 760 mm. Es por ello que se utiliza también como unidad de presión el milímetro de mercurio (mmHg), también llamado “torr” en honor del físico italiano E. Torricelli, inventor del barómetro.

ic o

manométrica o relativa. Ésta es la presión que se mide en la cámara de la rueda de un coche. Cuando la cámara se encuentra completamente deshinchada, la presión manométrica es nula, y la presión absoluta es igual a la atmosférica.

U so

Ac ad

En esta sección estudiaremos el origen de la fuerza de empuje, que es la fuerza ascendente que actúa sobre un objeto cuando está sumergido en un fluido. Las fuerzas de empuje se hacen patentes en muchas situaciones: cualquiera que haya subido en una barca ha experimentado la fuerza de empuje, que impide que esta se hunda. Otro ejemplo típico es la relativa facilidad con que se puede levantar a una persona sumergida en el agua, en comparación con intentar levantarla fuera del agua. Evidentemente, el agua proporciona un apoyo parcial a cualquier objeto introducido en ella. Todos estos fenómenos pueden explicarse mediante el siguiente enunciado conocido como principio de Arquímedes: Todo objeto total o parcialmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente o empuje de valor igual al peso del fluido desalojado por el objeto.

Principio de Arquímedes

Co p

ia

El principio de Arquímedes puede demostrarse de la siguiente manera. Supongamos la región cúbica de fluido del recipiente dibujado en la figura. Esta porción de fluido está en equilibrio debido a la compensación de las fuerzas que actúan sobre él. Una de las fuerzas aplicadas en dirección vertical es la fuerza gravitatoria, debiendo ser nula la suma de las fuerzas exteriores aplicadas en esta dirección. ¿Qué anulará el efecto de la fuerza gravitatoria descendente, permitiendo que esta porción de fluido permanezca en equilibrio? Ciertamente, debe ser el resto del fluido contenido en el recipiente el que esté ejerciendo una fuerza ascendente, el empuje. Por consiguiente, el módulo de esta fuerza ascendente debe ser igual al peso de la porción de fluido contenido en la región cúbica: X F y = 0 ⇒ B − Fg = 0 ⇒ B = M g donde M es la masa de esta porción de fluido. Ahora, imaginemos que sustituimos la región cúbica de fluido por una porción de acero de las mismas dimensiones. ¿Cuál sería la fuerza de empuje sobre el acero? El fluido circundante se comporta de la misma forma tanto si está ejerciendo una presión sobre una porción de fluido como si se trata de una porción de acero (recordemos que la presión la originaban únicamente las fuerzas normales). La fuerza de empuje que actúa sobre el acero es entonces la misma que la que actúa sobre la porción de fluido de las

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Apuntes de Física 1

148

Tema 5. Mecánica de Fluidos mismas dimensiones. Este resultado se puede aplicar a cualquier objeto sumergido, independientemente de su forma, tamaño o densidad.

ém

ic o

Demostremos ahora de una manera más explícita que el valor de la fuerza de empuje es igual al peso del fluido desalojado. Aunque esto es cierto tanto para líquidos como para gases, realizaremos los cálculos para el caso de un líquido. En las caras laterales de la porción de líquido representado en la figura, las fuerzas debidas a la presión que actúan horizontalmente se anulan entre sí, de manera que la fuerza neta en la dirección horizontal es nula. En la porción de líquido, la presión en su cara inferior es mayor que en la cara superior. Así, la fuerza ascendente F inf aplicada sobre la cara inferior del líquido considerado es mayor que la fuerza descendente F sup aplicada sobre la cara superior. La resultante de todas las fuerzas verticales ejercidas por el líquido restante (no consideramos el efecto de la fuerza gravitatoria pues no la ejerce el líquido restante) es X F líq = B = F inf − F sup . Expresándolo en términos de la presión aplicando (5.6) obtenemos que B = p inf A − p sup A = ρ f g ∆h A

⇒

B = ρf g V

Ac ad

donde ρ f es la densidad del líquido y V = A∆h es el volumen de la porción de liquido considerado. Como la masa de este líquido M = ρ f V , vemos que B = M g es precisamente el peso del líquido desalojado.

U so

Antes de seguir con algunos ejemplos, resulta interesante comparar dos casos típicos: la fuerza de empuje que actúa sobre un objeto completamente sumergido y la que actúa sobre un objeto que está flotando.

Co p

ia

(a)

(b)

(c)

F IGURA 5.3: (a) Un objeto completamente sumergido que sea menos denso que el fluido en el que está sumergido experimenta una fuerza neta ascendente. (b) Un objeto completamente sumergido que sea más denso que el fluido, se hunde. (c) Un objeto que es menos denso que el agua flota sobre él, como este cubito de hielo en el agua.

Caso 1: Objeto completamente sumergido. Cuando un objeto de volumen Vo está completamente sumergido en un líquido de densidad ρ f , el módulo de la fuerza de empuje ascendente es B = ρ f g Vo . Como el objeto está totalmente sumergido, el volumen del objeto y el volumen del líquido desalojado, V , es el mismo: V = Vo . Si el objeto tiene una densidad ρ o , su peso es M g = ρ o Vo g y, en consecuencia, la fuerza neta (positiva si es ascendente) que actúa sobre él es X F = B − M g = (ρ f − ρ o )Vo g . (5.8) Podemos ver que, si la densidad del objeto es menor que la densidad del líquido, como en la Fig. 5.3(a), la fuerza neta es positiva y el objeto sufre una aceleración ascendente. Si la densidad del objeto es mayor que la del líquido, como

Apuntes de Física 1

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5.3. Flotación. Principio de Arquímedes

149

en la Fig. 5.3(b), la fuerza neta es negativa y el objeto se hunde. Finalmente, si la densidad del objeto y del líquido son iguales, la fuerza neta es cero y el cuerpo permanece sumergido a cierta profundidad sin hundirse (flotabilidad neutra).

o bien V ρo = . ρ f Vo

(5.9)

Ac ad

ρ f g V = ρ o g Vo

ém

Caso 2: Objeto flotante (parcialmente sumergido). Ahora consideremos un objeto en equilibrio estático que está flotando sobre la superficie de un fluido, como el cubito de hielo parcialmente sumergido que flota en el vaso de agua de la Fig. 5.3(c). Como sólo está sumergido parcialmente, el volumen V del fluido desalojado es sólo una fracción del volumen total Vo del objeto. El volumen del fluido desalojado corresponde al volumen del objeto que está por debajo de la superficie libre del fluido. Al estar el objeto en equilibrio, la fuerza de empuje (ascendente) se equilibrará con la fuerza gravitatoria (descendente) ejercida sobre el objeto. La fuerza de empuje tiene un valor B = ρ f g V . Como el peso del objeP to es M g = ρ o Vo g y debe cumplirse que F = 0 en la dirección vertical, M g = B encontramos finalmente que

ic o

El mismo comportamiento presenta un objeto sumergido en un gas, tal como el aire de la atmósfera. Si el objeto es menos denso que el aire, como, por ejemplo, un globo de helio, el objeto flota y se eleva. Si es más denso, como una roca, cae.

(5.10)

U so

Así, la fracción del volumen del objeto que está bajo la superficie del fluido es igual al cociente entre la densidad del objeto y la del líquido. Es interesante notar que la expresión (5.9) nos dice igualmente que ρ f V = ρ o Vo ; esto es, Masa fluido desalojado = Masa del objeto flotante .

Actividad 5.3:

ia

¿Qué fuerza es responsable del empuje sobre el objeto sumergido en un fluido? ¿Por qué esta fuerza no tiene componentes en la dirección lateral? ¿Por qué es tan difícil sumergir un globo inflado grande en el agua?

Co p

Una vez sumergido completamente, ¿es más difícil llevarlo a mucha profundidad? Razone su respuesta. ¿Qué puede hacer un buceador que respira con una botella de aire comprimido para variar su profundidad si no pudiera usar sus aletas y manos? Si tenemos un hielo flotando en un vaso de agua lleno hasta el borde, al fundirse el hielo ¿rebosa el agua? Razone su respuesta. Encuentre la manera de calcular la densidad de una pelota de pingpong de radio r = 2, 5 cm que se encuentra sumergida en agua 10 cm y al soltarse salta sobre el agua una distancia de 3 cm.

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Apuntes de Física 1

150

Tema 5. Mecánica de Fluidos

E JEMPLO 5.3 La punta de un iceberg. Un iceberg que flota sobre el agua del mar es extremadamente peligroso pues la mayor parte del hielo se encuentra por debajo de la superficie. El hielo escondido puede dañar a un barco aun estando a una distancia considerable del hielo visible. ¿Qué fracción de hielo permanece por debajo del nivel del mar?

ρi Vsum = = 0.89 = 89 % Vi Va

ém

f =

ic o

Este problema corresponde al caso de un cuerpo parcialmente sumergido. El peso del iceberg es P i = ρ h g Vi , donde ρ h = 917 kg/m3 es la densidad del hielo y Vi es el volumen del iceberg. El módulo de la fuerza de empuje es igual al peso del agua desalojada, B = ρ a g Vsum , donde Vsum es el volumen de agua desalojada que será igual al volumen del iceberg sumergido y ρ a = 1030 kg/m3 es la densidad del agua salada. Según el Principio de Arquímedes, P i = B , es decir, ρ h g Vi = ρ a g Vsum . En consecuencia, la fracción de hielo sumergida será:

U so

Ac ad

Resultaría interesante que nos planteáremos qué ocurre con el nivel del mar si todos los icebergs del planeta se fundieran. ¿Variaría el nivel del mar en este caso? La respuesta es que NO variaría el nivel del mar puesto que la masa de hielo flotante es la misma que la del agua desalojada por el hielo. Luego cuando el hielo se halla fundido y convertido en agua, ese agua ocupará justamente el volumen que previamente había desalojado el hielo. No obstante, ahora cabe otra pregunta. Cuando se dice que debido al cambio climático se elevará el nivel del mar y podría sumergir ciudades costeras, ¿es esto cierto? La respuesta ahora es que SÍ, pero no debido al agua fundida de los icebergs (o, equivalentemente, el océano Ártico) sino de la proveniente de los hielos que se fundirían y que en este momento están sobre tierra firme (por ejemplo, el hielo de las montañas o bien el hielo de la Antártida). El agua de estos hielos iría a parar a los mares y océanos, incrementando el nivel de estos.

E JEMPLO 5.4 Calculo de la densidad de un objeto mediante tres pesadas.

Este problema nos presenta tres situaciones distintas que se corresponden con las tres pesadas mostradas en la figura adjunta.

Co p

ia

Una balanza de resorte marca 273 g cuando sobre ella se coloca un vaso de vidrio con agua. Si en el agua se sumerge una piedra atada de un hilo (de masa despreciable) marca 322 g. Se suelta el hilo, cae la piedra al fondo del vaso y la balanza indica 395 g. Calcule la densidad de la piedra.

273 g

322 g

395 g

F IGURA: Procedimiento para determinar la densidad de un objeto mediante tres pesadas en una balanza.

Apuntes de Física 1

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5.4. Dinámica de Fluidos

151

En la primera pesada lo que medimos es la masa del fluido, por lo que podemos determinar que su peso es P f = m f g = 2730 mN . En la segunda pesada debemos considerar que ahora el fluido ejerce una fuerza de empuje B sobre el objeto. Según nos dice la tercera ley de Newton, el objeto debe ejercer la misma fuerza en dirección opuesta sobre el fluido. Por tanto, la fuerza normal, N , que ejerce la balanza sobre el fluido (es decir, lo que nos marca su medida) será la suma del peso del fluido más esta fuerza de empuje. De aquí podemos deducir que la fuerza de empuje será B = (322 − 273)g = 490 mN .

B = ρ f g Vo B 0.49 = = 49 ×10−6 m3 = 49 cm3 . ρf g 1000 · 10

ém

y, por tanto, Vo =

B

ic o

Pero el empuje también nos proporciona el volumen del objeto, Vo , puesto que

B

Finalmente, en la tercera pesada, el objeto está en contacto también con la balanza, lo que nos proporciona directamente la masa del objeto más la masa del fluido. La masa del objeto será m o = 395−273 = 122 g, por lo que deducimos finalmente que la densidad del objeto es mo 122 g = 2.49 g/cm3 . = Vo 49 cm3

Ac ad

ρo =

ia

U so

Comentario histórico sobre el Principio de Arquímedes. El rey le había encargado a Arquímedes (287–212 AC) la tarea de determinar si una corona fabricada para él estaba hecha toda ella de oro o si, por el contrario, contenía algún metal más barato como la plata. El problema consistía en determinar la densidad de un objeto de forma irregular, sin destruirlo. Según cuenta la leyenda, Arquímedes encontró la solución mientras se bañaba e inmediatamente echó a correr desnudo por las calles de Siracusa gritando “¡Eureka!” (“¡Lo encontré!”). La comprensión de este hecho precedió en 1900 años aproximadamente a las Leyes de Newton (a partir de las cuales puede deducirse el principio de Arquímedes). Arquímedes encontró un procedimiento simple y exacto para comparar la densidad de la corona con la densidad del oro utilizando una balanza. Puso la balanza en el interior de un recipiente y colocó la corona en un platillo y oro puro de igual masa en el otro. Entonces añadió agua al recipiente hasta que quedaron sumergidos tanto la corona como el trozo de oro puro. La balanza osciló elevando la corona, indicando así que el empuje que actuaba sobre ésta era mayor que el que actuaba sobre el oro puro. Esto se debe a el volumen del agua desplazado por la corona era mayor que el desplazado por el oro puro. Concluyó entonces que la corona era menos densa que el oro puro (igual masa que el oro y mayor volumen que éste).

Co p

5.4. Dinámica de Fluidos Hasta aquí, nuestro estudio de los fluidos se ha limitado a los fluidos en reposo o fluidos estáticos. Ahora centraremos nuestra atención en los fluidos dinámicos, es decir, abordaremos el estudio de fluidos en movimiento. En lugar de estudiar el movimiento de cada una de las moléculas del fluido en función del tiempo, describiremos las propiedades del fluido de manera global.

5.4.1. Descripción del movimiento Cuando un fluido está en movimiento, su flujo puede clasificarse en dos tipos distintos: laminar o turbulento. Se dice que el flujo es estacionario o laminar si

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Apuntes de Física 1

152

Tema 5. Mecánica de Fluidos cada partícula del fluido sigue una trayectoria bien definida; es decir, las trayectorias del fluido nunca se cruzan unas con otras sino que las partículas se desplazan en forma de capas o láminas, tal y como se muestra en la Fig. 5.4(a). Así, en un flujo estacionario, la velocidad del fluido en cada punto permanece constante a lo largo del tiempo.

Ac ad

ém

ic o

Por encima de una cierta velocidad crítica, el flujo se vuelve turbulento. El flujo turbulento es un flujo irregular, caracterizado por la presencia de regiones con pequeños remolinos o vórtices, como en la Fig. 5.4(b). A modo de ejemplo, el flujo del agua de un río se vuelve turbulento en las zonas en la que se encuentra con rocas u otros obstáculos, formando a menudo los denominados rápidos.

(a)

(b)

F IGURA 5.4: (a) Flujo laminar alrededor de un ala en un túnel de aire. Las líneas de flujo del flujo de aire se hacen visibles utilizando partículas de humo. (b) Humo proveniente de un cigarrillo. El humo se mueve en primer lugar siguiendo un flujo laminar para transformarse en un flujo turbulento cuando asciende.

Co p

ia

U so

El término viscosidad se utiliza de manera común en el estudio del flujo de un fluido para caracterizar el grado de fricción interna en dicho fluido. Esta fricción interna, o fuerza viscosa, está relacionada con la resistencia que ofrecen dos capas adyacentes del fluido a deplazarse una con respecto a la otra. Como la viscosidad representa una fuerza no conservativa, parte de la energía cinética de un fluido viscoso se convertirá en energía interna cuando las capas del fluidos deslizan unas sobre otras. Este fenómeno es parecido al mecanismo por el cual un objeto que desliza sobre una superficie horizontal rugosa, experimenta una transformación de energía cinética en calor. Como el movimiento de un fluido real es muy complejo, vamos a utilizar un modelo simplificado. Como veremos, muchas de las características de los fluidos reales en movimiento se pueden entender analizando el comportamiento de un fluido ideal. En nuestro modelo simplificado, asumiremos las siguientes propiedades: Fluido no viscoso En un fluido no viscoso se desprecia la energía interna. Un objeto que se mueva dentro del fluido no experimentará ninguna fuerza viscosa. Fluido incompresible Se asume que la densidad del fluido permanece constante, independientemente de la presión del fluido. Un gas no es incompresible, por lo que, en consecuencia, no puede ser un fluido ideal.

Flujo laminar En un flujo laminar o estacionario, asumimos que la velocidad del fluido en todos sus puntos se mantiene constante a lo largo del tiempo.

Apuntes de Física 1

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5.5. Ecuación de Bernoulli

153

Las dos primeras suposiciones de nuestro modelo simplificado son propiedades de nuestro fluido ideal. La última es una descripción de la trayectoria del fluido.

ém

La trayectoria que sigue una partícula de un fluido en condiciones de flujo laminar se denomina línea de flujo. La velocidad de la partícula es siempre tangente a la línea de flujo, como se muestra en la figura. Dos líneas de flujo no pueden cruzarse; si lo hicieran, una partícula podría moverse siguiendo cualquiera de las dos trayectorias, creando puntos de cruce con otras partículas, y el flujo ya no sería laminar. Un conjunto de líneas de flujo, como las que se muestran en la figura, forman lo que se conoce como tubo de flujo. Las partículas del fluido no pueden entrar ni salir de los laterales de este tubo, ya que si lo hicieran, las líneas de flujo se cruzarían.

ic o

5.4.2. Líneas de flujo y ecuación de continuidad para fluidos

Ac ad

Consideremos un fluido ideal que fluye a través de una tubería de sección no uniforme, como la de la figura adyacente. Las particulas del fluido se mueven siguiendo una línea de flujo en estado estacionario. Cuando transcurre un tiempo ∆t , el fluido en el extremo inferior de la tubería se mueve una distancia ∆x 1 = v 1 ∆t . Si la sección transversal de la tubería en esta región es A 1 , entonces la masa del fluido contenida en la región sombreada de la izquierda es ∆m 1 = ρ A 1 ∆x 1 = ρ A 1 v 1 ∆t , donde ρ es la densidad (constante) del fluido ideal. Análogamente, el fluido que se mueve a través del extremo superior de la tubería en el tiempo ∆t tiene una masa ∆m 2 = ρ A 2 v 2 ∆t . Como no se crea ni desaparece fluido entre A 1 y A 2 (es decir, no hay fuentes ni sumideros), la cantidad de fluido que cruza A 1 en un tiempo ∆t debe ser la misma que atraviesa A 2 en ese mismo intervalo de tiempo. Esto implica que ∆m 1 = ∆m 2 :

o, equivalentemente,

U so

ρ A 1 v 1 ∆t = ρ A 2 v 2 ∆t

A1 v1 = A2 v2 .

(5.11)

(5.12)

Co p

ia

La expresión anterior, llamada ecuación de continuidad para fluidos incompresibles, establece que el producto del área por la velocidad de un fluido es constante en todos los puntos de la tubería. De manera que la velocidad aumenta cuando la tubería se estrecha. El producto Av, que tiene dimensiones de volumen por unidad de tiempo, recibe el nombre de caudal volumétrico, o, simplemente, caudal: ∆V I= = Av . (5.13) ∆t

Ecuación de continuidad para fluidos incompresibles

Caudal volumétrico

5.5. Ecuación de Bernoulli Cuando un fluido se mueve por una región en la que su velocidad o su altura sobre la superficie horizontal del suelo se modifican, la presión en el fluido varía con estos cambios. En 1738, el físico suizo D. Bernoulli obtuvo por primera vez una expresión que relacionaba la presión con la velocidad y la altura de un fluido ideal.

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Apuntes de Física 1

154

Tema 5. Mecánica de Fluidos

ic o

Consideremos el flujo de un fluido ideal a lo largo de una tubería de forma no uniforme, como muestra la figura adyacente. Nuestro sistema será el fluido comprendido en esta tubería entre las secciones 1 y 2, de áreas A 1 y A 2 respectivamente. Este fluido recorre en el tiempo ∆t una distancia ∆x 1 en la parte inferior y ∆x 2 en la superior. Llamemos porción 1 a la región de fluido sombreada inferior y porción 2 a la región sombreada superior. Estas regiones contienen la misma cantidad de fluido ∆m y también el mismo volumen ∆V (dado que la densidad no cambia). Debemos notar que el movimiento global de nuestro sistema en un intervalo ∆t es equivalente a que la porción 1 de fluido se hubiese desplazado hacía el punto 2 dando lugar a la porción 2 (sin que hubiese ninguna variación en el resto del fluido entre los dos puntos).

ém

Las fuerzas externas que actúan sobre nuestro sistema son dos: una de contacto ejercida por el fluido externo (el que está en los trozos de tubería anteriores y posteriores a nuestro sistema) y otra de acción a distancia provocada por la gravedad. Si ahora aplicamos el teorema trabajo-energía cinética a nuestro sistema, teniendo en cuenta la presencia de los dos tipos anteriores de fuerzas externas, llegamos entonces a que Wtotal ≡ Wfluido + Wgrav = ∆E c .

(5.14)

U so

Ac ad

Debemos por tanto identificar los trabajos realizados por ambas fuerzas externas. Para ello notemos que la fuerza ejercida por el fluido externo sobre el ∆m situado en la sección 1 tiene módulo F 1 = p 1 A 1 . El trabajo realizado por esta fuerza externa durante el intervalo ∆t será W1 = F 1 ∆x 1 = p 1 A 1 ∆x 1 = p 1 ∆V , siendo ∆V el volumen de la sección 1. Análogamente, el trabajo ejercido por el fluido externo en la sección 2 es, teniendo en cuenta que el volumen de las secciones 1 y 2 es el mismo, W2 = −p 2 A 2 ∆x 2 = −p 2 ∆V . El trabajo ahora es negativo porque esta fuerza se opone al desplazamiento. Así, el trabajo neto realizado por estas fuerzas externas de contacto sobre el sistema es Wfluido = (p 1 − p 2 )∆V .

(5.15)

Co p

ia

Por otra parte, el trabajo realizado por el campo gravitatorio conservativo sobre el sistema será igual a la disminución de la energía potencial de la cantidad de fluido desplazado ∆m; esto es, Wgrav = −∆E p = ∆mg (y 1 − y 2 ) .

(5.16)

Análogamente, la variación de energía cinética del sistema del sistema vendrá dada por 1 ∆E c = ∆m(v 22 − v 12 ) . 2 Introduciendo ahora estos resultados en (5.14) obtenemos que 1 1 (p 1 − p 2 )∆V + ∆mg y 1 − ∆mg y 2 = ∆mv 22 − ∆mv 12 . 2 2

(5.17)

Dividiendo cada término por ∆V y teniendo en cuenta que ρ = ∆m/∆V (que es constante debido a la incompresibilidad del fluido), esta expresión se reduce a 1 1 p 1 − p 2 + ρg y 1 − ρg y 2 = ρv 22 − ρv 12 2 2

(5.18)

que, al reagrupar términos, queda como

Ecuación de Bernoulli

Apuntes de Física 1

1 1 p 1 + ρv 12 + ρg y 1 = p 2 + ρv 22 + ρg y 2 . 2 2

(5.19)

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5.6. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

155

Esta es la ecuación de Bernoulli aplicada a un fluido ideal. A veces, se expresa también de la siguiente forma: 1 p + ρv 2 + ρg y = Cte . 2

(5.20)

Los gases no son incompresibles, por lo que no pueden describirse mediante la ecuación de Bernoulli. Sin embargo, el comportamiento cualitativo es similar: a medida que aumenta la velocidad del gas, su presión disminuye.

ém

Actividad 5.4:

ic o

Esta expresión nos dice que la suma de la presión (p) más la energía cinética por unidad de volumen ( 12 ρv 2 ) y más la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen (ρg y) tiene el mismo valor en todos los puntos de una línea de flujo. Cuando el fluido está en reposo, v 1 = v 2 = 0, la ecuación (5.19) se transforma en p 1 − p 2 = ρg (y 2 − y 1 ), que coincide con la ecuación (5.5), como era de esperar.

El filtro que suele venir en un grifo de cocina, ¿hace que el flujo del agua sea laminar o turbulento?

Ac ad

Enumere algunas razones por las que el estudio de un flujo turbulento es más complicado que el de un flujo laminar. ¿Es la viscosidad responsable de que un flujo deje de ser laminar?

La condición de continuidad dada en (5.12) no es necesariamente válida para flujos turbulento. ¿Verdadero o Falso? Razone su respuesta.

¿Puede aplicarse la ecuación de continuidad a gases? Razone su respuesta.

U so

En un flujo laminar que se mueve en una tubería, identifique con claridad las fuerzas que actúan sobre una porción de fluido y de qué tipo son. ¿Qué tipo de fuerza (contacto/acción a distancia) produce el trabajo (p 1 − p 2 )∆V ? ¿Es conservativa?

Identifique con claridad las condiciones que nos permiten obtener la ecuación de Bernoulli.

Co p

ia

Describa por qué es interesante expresar la ecuación de Bernoulli en la forma (5.20) y su relación con la conservación de la energía.

5.6. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli 5.6.1. Teorema de Torricelli Consideremos un depósito de sección transversal A 1 lleno hasta una altura h de un líquido de densidad ρ. El aire sobre la superficie del líquido está a una presión p 0 y el líquido sale por un orificio de sección A 2 . Sean v 2 la velocidad de salida (en el punto 2) y v 1 la velocidad en el punto 1. Tomando el punto 2 como nivel de referencia, tenemos, aplicando la ecuación de Bernoulli (5.19) 1 1 p 0 + ρv 12 + ρg h = p atm + ρv 22 2 2

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Apuntes de Física 1

156

Tema 5. Mecánica de Fluidos llegamos a que v 22 = v 12 + 2

p 0 − p atm + 2g h . ρ

(5.21)

Por otro lado, por la ecuación de continuidad (5.12) sabemos también que v2 =

A1 v1 A2

ic o

Si ahora suponemos además que A 2 ¿ A 1 (es decir, el orificio tiene un área mucho menor que la superficie del líquido), entonces, v 12 ¿ v 22 , y (5.21) puede escribirse de la forma · ¸ 1 p 0 − p atm p 0 − p atm 2 + 2g h ≈2 + 2g h . (5.22) v 22 = 1 − (A 2 /A 1 )2 ρ ρ

ém

Si finalmente consideramos el caso en que el depósito está abierto a la atmósfera resulta que p 0 = p atm , por lo que (5.22) se transforma en q v 2 ≈ 2g h . (5.23)

Ac ad

Es decir, la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en el fondo de un depósito grande es la misma que la de un objeto en caída libre desde la superficie libre del líquido. Este resultado se conoce como el teorema de Torricelli. Es válido también para un orificio situado en la pared a una profundidad h por debajo de la superficie superior del líquido.

5.6.2. Efecto Venturi

Co p

ia

U so

Si consideramos un estrechamiento producido en un tubo como el de la figura y aplicamos la ecuación de Bernoulli (5.19) a las partes ancha y estrecha del tubo encontramos que 1 1 p 1 + ρv 12 = p 2 + ρv 22 (5.24) 2 2 ya que los puntos 1 y 2 están a la misma altura. Ahora bien, según la ecuación de continuidad v 2 > v 1 , y, en consecuencia, p 2 < p 1 . Es decir, cuando aumenta la velocidad de un fluido, desciende la presión. Este resultado se conoce como efecto Venturi. La ecuación (5.24) es un resultado importante que se aplica en muchas situaciones donde pueden ignorarse los cambios de altura. En la figura adyacente se representan las líneas de flujo del fluido. La distancia entre ellas denota la velocidad del fluido. Cuanto menor es el espacio entre líneas, mayor es la velocidad. En el flujo horizontal, cuando la velocidad aumenta, la presión disminuye, por lo que cuando las líneas de flujo se juntan, la presión disminuye. Veamos a continuación algunas aplicaciones del efecto Venturi.

Apuntes de Física 1

El venturímetro El venturímetro es un aparato para medir la velocidad de un fluido. Un fluido de densidad ρ f pasa a través de una tubería de sección transversal A 1 que posee un estrechamiento de sección A 2 . Las dos partes de la conducción están conectadas por un manómetro en forma de U, parcialmente lleno de líquido de densidad ρ L . Como la velocidad de flujo es mayor en el estrechamiento, la presión en esta sección es menor que en la parte más ancha de la tubería. La diferencia de presión viene medida por la diferencia ∆h de los niveles de líquido en el tubo en U. A partir de este valor se puede determinar la velocidad del fluido en la zona ancha o estrecha.

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5.6. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

157

Para ello partimos de la ecuación (5.24): 1 1 p 1 + ρ f v 12 = p 2 + ρ f v 22 2 2 y de la ecuación de continuidad (5.12): v 2 = Rv 1 ,

R≡

A1 . A2

1 p 1 − p 2 = ρ f (R 2 − 1)v 12 . 2

(5.25)

p 1 + ρ L g h 1 + ρ f g H1 = p 2 + ρ L g h 2 + ρ f g H2 que podemos reescribir como

Ac ad

p 1 − p 2 = ρ L g (h 2 − h 1 ) − ρ f g (H2 − H1 )

ém

Por otro lado, podemos aplicar de nuevo la ecuación de Bernoulli al tubo en U para obtener (tenemos en cuenta que en el interior del tubo el fluido es estático y que las tuberías por las que fluye el fluido no son muy anchas)

ic o

A partir de estas ecuaciones se obtiene

= ρ L g ∆h − ρ f g ∆h = (ρ L − ρ f )g ∆h .

(5.26)

Igualando las ecuaciones (5.25 y 5.26) y despejando v 1 en función de ∆h se tiene finalmente que s v1 =

(5.27)

U so

Pulverizadores

2(ρ L − ρ f )g ∆h . ρ f (R 2 − 1)

Co p

ia

Muchos aparatos funcionan de forma similar al pulverizador de la figura. Una corriente de aire que fluye por encima del tubo inmerso en el líquido reduce la presión en la parte superior del tubo. Esta reducción de la presión provoca que el líquido ascienda y se una a la corriente de aire. Entonces el líquido se dispersa y se pulveriza. Este sistema es el que utilizan los botes de perfume o los esprays. El mismo principio se utiliza en el carburador de un motor de gasolina. En este caso, la región de baja presión en el carburador se produce por aire introducido por el pistón a través del filtro de aire. La gasolina se pulveriza en esa región, mezclándose con el aire, y entrando finalmente en el cilindro del motor, donde tiene lugar la combustión. Sustentación del ala de un avión La figura muestra las líneas de flujo alrededor de un corte del ala de un avión que se mueve a cierta velocidad con respecto al aire circundante. Debido a la forma y/o inclinación del ala, las líneas de flujo se concentran por encima de esta, lo que corresponde a una mayor velocidad del flujo y, por efecto Venturi, a una presión reducida en esa región. La fuerza que actúa hacia arriba en la parte inferior del ala es mayor que la actúa hacia abajo sobre la parte superior; hay entonces una fuerza neta hacia arriba, llamada sustentación. La sustentación no se debe sólo al impulso del aire que incide bajo el ala; de hecho, la presión reducida en la superficie superior es lo que más contribuye a la sustentación. Si el ala se encuentra muy inclinada, la velocidad del flujo de aire en la superficie superior puede ser

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Apuntes de Física 1

158

Tema 5. Mecánica de Fluidos muy alta, llegando a producirse turbulencias, como veremos al final del tema; esto hace que la diferencia de presión a lo largo del ala no sea tan alta como predice la ecuación de Bernoulli. En un caso extremo, esta turbulencia puede hacer que el avión pierda sustentación bruscamente.

Actividad 5.5:

ém

ic o

Se observa un patrón de flujo y una fuerza similar en las inmediaciones de cualquier objeto saliente cuando hace viento. Por ejemplo, la fuerza de sustentación que actúa sobre un paraguas abierto puede hacer que éste se doble hacia arriba en situaciones de viento intenso. Esta fuerza de “sustentación” también es responsable del movimiento de las aspas de un aerogenerador de viento. Estas aspas se diseñan con procedimientos análogos a los de las alas de los aviones, buscando en este caso que se provoque un movimiento de rotación muy eficiente de las mismas. Igualmente encontramos una fuerza de sustentación sobre un automóvil que va a gran velocidad porque el aire se mueve sobre el techo curvo del vehículo. Esa sustentación puede disminuir la tracción de los neumáticos, y es por ello que muchos coches están equipados con un spoiler aerodinámico en la parte trasera. El spoiler es similar a un ala invertida y hace que una fuerza hacia abajo actúe sobre las ruedas traseras.

Ac ad

Intente explicar por qué la cortina de la ducha tiende a pegarse al cuerpo cuando nos estamos duchando. ¿Qué fallaba en el argumento de muchos hombres de ciencia antiguos que suponían que nunca podría volar un objeto cuya densidad media fuese mayor que el aire? [Note que un objeto en el agua solo flota si la densidad media del objeto es menor que la del agua.] Explique físicamente cómo podemos sacar agua de un depósito que está abierto por su parte superior si solo disponemos de una goma.

Co p

ia

U so

Las explicaciones y resultados que se han obtenido en los ejemplos mostrados en esta sección puede que no se ajusten a muchas situaciones reales en las que se dan esos ejemplos. Explique las razones.

5.7. Viscosidad y turbulencia Hasta ahora hemos supuesto que el fluido bajo estudio es no viscoso y que su flujo era laminar. Aunque en muchos casos esos supuestos son válidos, existen muchas situaciones físicas importantes en las que los efectos de la viscosidad (fricción interna) y la turbulencia (flujo no laminar) son extremadamente importantes. Examinaremos brevemente algunas de esas situaciones.

5.7.1. Flujo viscoso La viscosidad es la fricción interna de un fluido. Las fuerzas viscosas se oponen al movimiento relativo entre dos porciones de fluido. La viscosidad hace que cueste trabajo remar en una barca con aguas tranquilas, pero también es lo que hace que funcione el remo. Los efectos viscosos son importantes en el flujo de fluidos en las tuberías, en el flujo de la sangre, en la lubricación de las partes de un motor y en muchas otras situaciones.

Apuntes de Física 1

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5.7. Viscosidad y turbulencia

159

Un fluido viscoso tiende a adherirse a una superficie sólida que está en contacto con ella. Hay una capa de frontera delgada de fluido cerca de la superficie, en la que el fluido está casi en reposo respecto a ella. Debido a ello, las partículas de polvo pueden adherirse al aspa de un ventilador aun cuando este esté girando rápidamente, y también que no podamos limpiar bien un coche con sólo dirigir el chorro de agua de una manguera hacia él.

ém

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli, si un fluido fluye estacionariamente por una tubería horizontal estrecha y de sección transversal constante, la presión será constante a lo largo de la tubería. En la práctica, se observa una caída de presión o pérdida de carga a medida que nos desplazamos en la dirección del flujo. Considerando este fenómeno de otro modo, podemos ver que se requiere una diferencia de presión para empujar y conseguir la circulación de un fluido a través de un tubo horizontal. Es necesaria esta diferencia de presión a causa de la fuerza de resistencia o frenado que ejerce el tubo sobre la capa de fluido que está en contacto con él y de la fuerza de arrastre que ejerce cada capa de fluido sobre la adyacente que se está moviendo con distinta velocidad. Estas fuerzas de arrastre o de resistencia se denominan fuerzas viscosas. Como resultado de su presencia, la velocidad de un fluido tampoco es constante a lo largo del diámetro de la tubería siendo mayor en su centro y cero en donde el fluido entra en contacto con las paredes de la misma. El movimiento es semejante a muchos tubos concéntricos que se deslizan unos respecto a otros, con el tubo central moviéndose más rápidamente y el más exterior en reposo. Las fuerzas viscosas entre los tubos se oponen a este deslizamiento; si queremos mantener el flujo, debemos aplicar una mayor presión detrás del flujo que delante de él. Es por ello que necesitamos seguir apretando un tubo de pasta dentífrica o una bolsa de ketchup (ambos fluidos viscosos) para que siga saliendo fluido del envase. Los dedos aplican detrás del flujo una presión mucho mayor que la atmosférica al frente del flujo.

ic o

Los fluidos que fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor viscosidad que los líquidos espesos como la miel o el aceite. Las viscosidades de todos los fluidos dependen mucho de la temperatura, aumentan para los gases y disminuyen para los líquidos al subir la temperatura (por ejemplo, la lava de un volcán fluye debido a la alta temperatura a la que se encuentra).

U so

Ac ad

En un fluido viscoso se requiere una diferencia de presión para empujar y conseguir la circulación de un fluido a través de un tubo horizontal.

ia

Según muestra la figura, en un fluido viscoso sea p 1 la presión en el punto 1 y p 2 la presión en el punto 2 situado a una distancia L del anterior (siguiendo la dirección de la corriente). Experimentalmente se encuentra que, en múltiples situaciones, la pérdida de carga Q ≡ ∆p = p 1 −p 2 es proporcional al caudal I = Av, Q ≡ ∆p = R I ,

(5.28)

Co p

siendo la constante de proporcionalidad R la resistencia al flujo, que depende de la longitud L del tubo, de su radio r y de la viscosidad del flujo. Si identificamos la pérdida de carga, Q, con la energía por unidad de volumen disipada por rozamiento interno, podemos reescribir la ecuación de Bernoulli de modo que pueda usarse para flujos viscosos. En este caso tendremos que 1 1 p 1 + ρv 12 + ρg y 1 = p 2 + ρv 22 + ρg y 2 +Q . 2 2

(5.29)

Ecuación de Bernoulli para flujo viscoso

A continuación definiremos el coeficiente de viscosidad de un fluido. En la figura se muestra un fluido confinado entre dos placas paralelas, cada una de ellas de área A y separadas por una distancia z. Manteniendo la placa inferior en reposo, se tira de la placa superior con velocidad constante v mediante una fuerza F . Es necesario ejercer esta fuerza para tirar de la placa superior porque el fluido

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

Tema 5. Mecánica de Fluidos Fluido Agua

Sangre Aceite para motores Petróleo Glicerina

Aire

Temperatura ºC 0 20 60 37 30 20 0 20 60 20

ém

Cuadro 5.1: Coeficientes de Viscosidad

η (mPa·s) 1.80 1.00 0.65 4.00 200.00 986.00 10000.00 1410.00 81.00 0.018

ic o

160

Ac ad

Fluido newtoniano

próximo a la placa ejerce una fuerza viscosa de resistencia que se opone al movimiento. La velocidad del fluido entre las placas es prácticamente igual a v en un lugar próximo a la placa superior y próxima a cero cerca de la placa inferior, y varía linealmente con la distancia entre las placas. La fuerza F puede considerarse que es directamente proporcional a v y A e inversamente proporcional a la separación z de las placas: vA (5.30) F =η z donde la constante de proporcionalidad η es el coeficiente de viscosidad. Cuando se cumple esta relación de proporcionalidad, se dice que el fluido es newtoniano.

U so

La unidad de viscosidad en el S.I. es el Pa·s. Una unidad antigua del sistema cgs, pero de uso poco común, es el poise. Estas unidades están relacionadas por 1 Pa · s = 10 poise .

Co p

ia

En el cuadro 5.1 se muestran los coeficientes de viscosidad de varios fluidos a diferentes temperaturas. En general, la viscosidad de un líquido aumenta cuando disminuye la temperatura.

Ley de Poiseuillle

Ley de Poiseuille Se puede demostrar que para un fluido newtoniano en flujo laminar en un tubo circular de radio r , la resistencia R a la circulación de un fluido que aparece en la ecuación (5.28) viene dada por R=

8ηL . πr 4

(5.31)

Las ecuaciones (5.28) y (5.31) se pueden combinar para obtener la siguiente expresión para la pérdida de carga en un tubo circular de radio r y longitud L: Q=

8ηL I . πr 4

(5.32)

La ecuación anterior recibe el nombre de ley de Poiseuille. Obsérvese la dependencia con el radio del tipo 1/r 4 en la pérdida de carga. Si se divide por la mitad el radio del tubo, la pérdida de carga para un flujo de volumen y viscosidad dados

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

5.7. Viscosidad y turbulencia

161

ém

Dado que la ley de Poiseuille se aplica sólo al flujo laminar de un fluido newtoniano (es decir, a un fluido cuya viscosidad es constante e independiente de su velocidad), esta ley no pude aplicarse directamente a la sangre. La sangre es un fluido complejo formado por partículas sólidas de diferentes formas suspendidas en un líquido. Por ejemplo, los glóbulos rojos son corpúsculos en forma de disco que están orientados al azar a velocidades bajas pero que, a velocidades altas, tienden a orientarse para facilitar el flujo. Así pues, la viscosidad de la sangre disminuye cuando aumenta la velocidad del flujo, de modo que no puede considerarse un fluido newtoniano. Por tanto, la Ley de Poiseuille no es estrictamente válida para describir el flujo sanguíneo, aunque dicha ley es una aproximación muy útil cuando para obtener una descripción cualitativa.

ic o

aumenta en un factor 16; esto es, se necesitaría una presión 16 veces mayor para impulsar el fluido en el tubo con el mismo flujo de volumen. Esto explica, por ejemplo, que si por alguna razón se reduce el diámetro de los vasos sanguíneos, la presión sanguínea debe subir considerablemente para mantener el mismo flujo de volumen.

Actividad 5.6:

Ac ad

¿Podríamos nadar en el agua si ésta no fuese algo viscosa? Razone su respuesta.

¿Por qué se requiere una diferencia de presión para que el agua circule por una tubería horizontal? La velocidad del agua que circula por una tubería en flujo laminar no es homogénea en toda la sección, tendiendo a cero en la parte en contacto con la tubería. Explique las razones de ello.

U so

¿Por qué debemos seguir apretando una jeringuilla para que el líquido de su interior siga saliendo por la aguja?

Describa diversas situaciones físicas comunes donde los fluidos sufren una evidente “pérdida de carga.”

ia

¿Qué implicaciones prácticas tiene que la resistencia al flujo de un fluido newtoniano en régimen laminar sea inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio de la tubería?

Co p

5.7.2. Flujo turbulento

Si la velocidad de un fluido excede cierto valor crítico, el flujo deja de ser laminar. El patrón de flujo se vuelve muy irregular y complejo, y cambia continuamente con el tiempo; no hay un patrón de estado estacionario. Este flujo irregular y caótico se denomina turbulencia. La Figura 5.4 muestra el contraste entre flujo laminar y turbulento. La ecuación de Bernoulli no es aplicable a regiones de turbulencia, pues el flujo no es estacionario. El que un flujo sea laminar o bien turbulento depende en parte de la viscosidad del fluido. Cuanto mayor es la viscosidad, mayor es la tendencia del fluido a fluir en capas y es más probable que el flujo sea laminar. Para un fluido viscoso, la velocidad del flujo es un factor determinante. Un patrón de flujo que es estable a velocidad baja se vuelve inestable de repente cuando se alcanza una velocidad crítica. Las irregularidades en el patrón de flujo pueden deberse a asperezas en la

JCM,FLML

Cuanto mayor es la viscosidad, mayor es la tendencia del fluido a fluir en capas y es más probable que el flujo sea laminar

Apuntes de Física 1

162

Tema 5. Mecánica de Fluidos pared del tubo, variaciones en la densidad del fluido y muchos otros factores. Si la velocidad de flujo es baja, estas perturbaciones se eliminan por amortiguamiento; el patrón de flujo es estable y tiende a mantener su naturaleza laminar. Cuando se alcanza la velocidad crítica, el patrón de flujo se hace inestable; las perturbaciones ya no se amortiguan, sino que crecen hasta destruir el patrón de flujo laminar. El flujo normal de sangre en la aorta humana es laminar, pero una alteración pequeña, como una patología cardíaca, puede hacer que el flujo se vuelva turbulento. La turbulencia hace ruido; por ello, escuchar el flujo sanguíneo con un estetoscopio es un procedimiento de diagnóstico útil.

2r ρv η

ém

NR =

Número de Reynolds

ic o

Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, queda claro que la velocidad crítica que separa los regímenes laminar y turbulento depende de la densidad y viscosidad del fluido, así como de la geometría del conducto. En el caso de una tubería circular de radio r , el flujo puede caracterizarse mediante un número adimensional denominado Número de Reynolds, que se define como (5.33)

Ac ad

donde v es la velocidad media del fluido. Los experimentos demuestran que el flujo es laminar si el número de Reynolds es inferior a 2000 y es turbulento si es mayor que 3000. Entre estos valores el flujo es inestable y puede variar de un tipo de flujo a otro. Actividad 5.7:

¿Puede aplicarse la ecuación de Bernoulli (con su variante que incluye pérdida de carga) a un flujo turbulento? Razone la respuesta. ¿Influye la viscosidad en el régimen de un fluido?

U so

Si un fluido tiene un número de Reynolds de 1409 ¿su régimen es laminar o turbulento?

Co p

ia

Muchos de los resultados que hemos obtenido anteriormente han supuesto implícitamente que el flujo era laminar. ¿Tienen alguna validez para el caso de flujos turbulentos? Razone su respuesta.

5.8. Problemas propuestos Estática de fluidos

5.1: Dos cubos de idéntico tamaño, uno de plomo y otro de aluminio (la densidad del plomo es mayor que la del alumnio, y las dos son mayores que la densidad del agua), están suspendidos a diferentes profundidades por medio de dos alambres en un estanque de agua. a) ¿Cuál de ellos experimenta una mayor fuerza de flotación (empuje)? b) ¿En qué cubo es mayor la tensión en el alambre? c) ¿Cuál de ellos experimenta una mayor fuerza sobre su cara inferior? d) ¿Para cuál de ellos es mayor la diferencia de presiones entre la cara superior e inferior? Sol.: (a) Idéntica. (b) Plomo. (c) Plomo. (d) Idéntica. 5.2: Para poder respirar, un ser humano necesita que la diferencia de presiones entre el exterior y el interior de sus pulmones sea de menos de 0.05 atmósferas. ¿A qué profundidad máxima puede nadar un buceador que respire por medio de un tubo largo (snorkel)? Sol.: 0.5 m. 5.3: Una balanza de resorte marca 273 g cuando de ella cuelga un vaso de vidrio con agua. Si en el agua se sumerge una piedra atada de un hilo (de masa despreciable) marca 322 g. Se suelta el hilo, cae

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

5.8. Problemas propuestos

163

la piedra al fondo del vaso y la balanza indica 395 g. Calcule la densidad de la piedra. Sol.: ρ = 2.49 g/cm3 .

ém

5.5: La densidad de una disolución de sal varía con la profundidad h de la forma ρ = ρ 0 + Ah, siendo ρ 0 = 1 g/cm3 y A = 0.02 g/cm4 (h en cm). (a) Calcule a qué profundidad se encontrará en equilibrio una bolita de volumen V1 = 0.1 cm3 y masa m 1 = 0.13 g. (b) ¿Cuál es la presión relativa a dicha profundidad? (c) Mediante un hilo se une la bolita anterior a otra de volumen V2 = 0.2 cm3 y masa m 2 = 0.34 g. Se introducen en la disolución y se encuentra que en el equilibrio la primera bolita se halla a una profundidad h 1 = 20 cm. Calcular la longitud L del hilo que une entre sí las bolitas. Sol.: (a) h = 15 cm. (b) ∆p = 1.5 Pa. (c) L = 12.5 cm.

ic o

5.4: Ejemplo 13.6 Tipler. El porcentaje de grasa corporal de una persona puede estimarse midiendo la densidad de su cuerpo, y teniendo en cuenta que la densidad de la grasa es, aproximadamente, de ρ g = 0.9 × 103 kg/m3 , y la densidad del tejido magro (todo el resto aproximadamente salvo la grasa) ρ m = 1.1 × 103 kg/m3 . Si el peso aparente de una persona sumergida completamente en agua, una vez que ha exhalado completamente el aire de sus pulmones es el 5 % de su peso, calcule su porcentaje de grasa corporal. Si suponemos que es un hombre de 30 años, consultar en Internet los valores típicos para saber si está gordo o delgado. Sol. Densidad de dicha persona: ρ p = 1, 05×103 kg/m3 . Porcentaje de grasa, f g = ρ g (ρ m − ρ p )/[ρ p (ρ m − ρ g )] ≡ 21 %.

Ac ad

5.6: Un globo lleno de Helio se ata con una cuerda al suelo de un vagón (un globo de He flota en el aire. Suponga que la tensión del hilo es prácticamente despreciable). Otro globo lleno de agua se ata al techo como se indica en la figura (evidentemente este globo no flota). El vagón comienza a moverse con una aceleración a hacia la derecha. Calcule el ángulo de inclinación θ para cada globo en su posición de equilibrio e indique si se inclina a la derecha/izquierda. Nota: Recordar que el aire es un fluido, y que ρ He ≈ 0.15ρ aire y ρ agua ≈ 1000ρ aire . Además tenga en cuenta que la fuerza de empuje siempre será mayor que la tensión en la cuerda. Sol.: (a) Globo agua: θ = arctan(a/g ) hacia la izquierda. (b) Globo He: θ = arctan(a/g ) hacia la derecha.

Dinámica de fluidos

U so

5.7: Un sólido en forma de prisma, de altura h y base A se encuentra sumergido entre dos fluidos, aceite con densidad ρ C =0,9 g/cm3 y agua de densidad ρ A =1,0 g/cm3 , siendo h 1 la altura que está dentro del aceite. (a) Obtenga la densidad del sólido, ρ S , en función de h, h 1 , ρ C , ρ A y de la aceleración de la gravedad g (no sustituir valores numéricos). (b) Calcule las presiones absolutas sobre las caras superior e inferior así como las fuerzas que la presión ejerce sobre ellas si A = 800 cm2 , hC = 100 cm, h = 50cm y h 1 = 30 cm. Tome g = 10 m/s2 y 1atm=105 Pa. Sol.: (a) ρ S = ρ A − (ρ A − ρ C )h 1 /h; (b) p sup = 106300 Pa, p inf = 111000 .

a

He Agua

Aceite

Agua

5.8: Un submarinista practicando la pesca submarina clava accidentalmente el arpón en su barca, abriendo un pequeño orificio que se encuentra situado 30 cm por debajo de la superficie del agua. ¿A qué velocidad entrará el agua en la barca a través del orificio? (Suponer que el agua se comporta, en estas circunstancias, como un fluido ideal) Sol.: v = 2.45 m/s.

ia

5.9: Dos globos de He flotan uno junto al otro con las cuerdas sujetas a una barra. La separación entre los globos es muy pequeña (1 ó 2 cm). Si soplamos en la zona que separa los dos globos, ¿qué les ocurrirá?: (a) Se acercan. (b) Se separan. (c) No se ven afectados. Justificar brevemente las respuestas.

Co p

5.10: En una conducción de agua de 2.5 cm2 , hay un estrechamiento de 1 cm2 . Determine la diferencia de altura, ∆h, entre las columnas de agua de los tubos manométricos si por la conducción fluye agua a razón de 9 l /min y se desprecian las pérdidas. Sol.: ∆h ≈ 9 cm .

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0 1 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0 1 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0 1 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0 1 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0 1 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111

5.11: Dos tanques abiertos muy grandes A y F contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BC D, con un estrechamiento en C y abierto al aire en D, sale del fondo del tanque A. Un tubo vertical E se une al tramo C y baja al depósito F , como indica la figura. La sección en C es la mitad que en D, y D está a una distancia h 1 por debajo del líquido en A. Suponiendo que el fluido se comporta como un fluido ideal, ¿A qué altura h 2 subirá el líquido en el tubo E ? Expresar la respuesta en términos de h 1 y, si hiciera falta, despreciar la densidad del aire frente a la del fluido. Sol.: h 2 = 3h 1 . 5.12: Un tanque cilíndrico vetrical cerrado y elevado con diámetro de 2 m contiene agua que alcanza una profundiad de 0,8 m. Accidentalmente un trabajador hace un orificio circular de diámetro 2 cm en la parte inferior del tanque. A medida que el agua sale del tanque, el aire comprimido situado por encima del agua en el tanque mantiene una presión manométrica de 5000 Pa en la superficie del agua.

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

164

Tema 5. Mecánica de Fluidos Ignore los efectos de la viscosidad. (a) Inmediatamente después de perforar el tanque, ¿cuál es la velocidad con que el agua sale del agujero? ¿Cuál es la razón entre esta velocidad y la velocidad del agua a la salida, si la parte superior del tanque estuviera abierta al aire? (b) Cuestión avanzada: ¿Cuánto tiempo se necesita para que salga toda el agua del tanque cerrado? ¿Cuál es la razón entre este tiempo y el tiempo que tardaría en vaciarse, si la parte superior del tanque estuviera abierta al aire? Sol.: (a) v = 5.1 m/s, v = 4 m/s (deposito abierto).

A

H

B

L

5.13: Se tienen dos depósitos A y B muy grandes a distinta altura comunicados por una tubería como se indica en la figura. Calcule: (a) las velocidades en las secciones S 1 , S 2 y S 3 de 5, 4 y 3 cm2 , respectivamente; (b) las alturas a que llegaría el agua en S 1 y S 2 si en dichas secciones se practican sendos orificios y se colocan tubos verticales. Datos: H = 8 m; L = 10 m; α = 30º. Desprecie las pérdidas debidas a la viscosidad. Sol.: (a) v 1 = 7.52 m/s, v 2 = 9.4 m/s, v 3 = 12.52 m/s. (b) h 1 = 127 cm, h 2 = 157 cm.

ic o

000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 1 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 2 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 3 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 α 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111 L/3 L/3 L/3 000000000000000000000000000 111111111111111111111111111

ém

5.14: La sangre que circula por una aorta de 1 cm de radio va a una velocidad de 30 cm/s. Suponiendo que la sangre tiene una viscosidad de 4 mPa·s y una densidad de 1060 kg/m3 , estimar si el flujo será laminar o turbulento. Nota: Esto es simplemente una estimación, ya que la sangre es un fluido bastante “peculiar” (busque por Internet información al respecto). Sol.: NR = 1590, flujo aproximadamente laminar. 5.15: En el supuesto del problema anterior (flujo laminar), si una placa de ateroma en las paredes arteriales reduce su radio efectivo en un 10 %, ¿en qué porcentaje se reduce el flujo sanguíneo? Sol.: El caudal se reduce en un 65 %.

Ac ad

5.16: Resuelva las siguientes cuestiones teniendo en cuenta la ley de Poiseuille I=

πr 4 ∆p 8ηL

Co p

ia

U so

donde I es el volumen de fluido por unidad de tiempo (caudal), ∆p es la diferencia de presión en una tubería de radio r y longitud L, y para el agua la viscosidad es η = 1 mPa·s. Se desea expulsar 2 cm3 de agua fuera de una jeringa de 1 cm de diámetro a través de una aguja de calibre 15 (diámetro interior de la aguja = 1, 37 mm) y 3.5 cm de longitud en 0.4 s. (a): ¿Cuál debe ser la diferencia de presión entre la punta de la aguja y el extremo conectado a la jeringa? (b): ¿Qué fuerza debe aplicarse al émbolo de la aguja? (c): ¿Con qué velocidad saldría el agua por la aguja de la jeringa? Sol.: (a) ∆p = 2024 Pa; (b) F = 0.16 N; (c) v = 3.4 m/s.

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

ic o

T EMA 6

ém

Ondas mecánicas

6.1. Introducción

U so

Ac ad

En la Naturaleza existen muchos fenómenos físicos en los que una perturbación física viaja sin que ello lleve aparejado un desplazamiento neto de materia. Un ejemplo de esto puede ser la ola que se produce en el agua tras arrojar una piedra. En este fenómeno se observa el desplazamiento de una ondulación en la superficie del agua en la que las partículas individuales de agua no viajan sino que realizan un simple movimiento de vaivén (movimiento oscilatorio). Otro ejemplo, es la propagación del sonido, que básicamente es un desplazamiento de un cambio de presión en el aire pero sin que ello implique que las partículas de aire viajen desde el lugar donde se originó el sonido hasta el receptor; más bien cada partícula transmite su movimiento oscilatorio a la siguiente antes de volver a su posición original. Otro ejemplo bastante visual de este tipo de fenómenos se produce al agitar una cuerda por uno de sus extremos. En este caso se observaría claramente el desplazamiento de un pulso en la cuerda, siendo también evidente que cada segmento de cuerda no viaja junto a este pulso.

Co p

ia

En todos los ejemplos anteriores una perturbación física se desplaza a través de un medio (agua, aire y cuerda respectivamente) sin que las partículas de este medio hayan sufrido un desplazamiento neto.1 Estos ejemplos son casos concretos de un tipo general de fenómenos físicos denominados ondas, las cuales pueden definirse como Propagación de una perturbación física sin que exista un transporte neto de materia.

Debe notarse que la propagación de la perturbación en la onda implica el transporte de cierta energía y momento lineal. En este sentido, el comportamiento ondulatorio debe discernirse claramente del comportamiento de las partículas, puesto que estas últimas siempre transportan energía y momento lineal asociado a un transporte neto de materia.

1 Debe notarse que la ausencia de un desplazamiento neto no implica la existencia de movimiento

nulo. El movimiento oscilatorio de una partícula en torno a un punto fijo es un claro ejemplo de movimiento en el cual no existe traslación neta.

165

166

Tema 6. Ondas mecánicas Entre las posibles formas de clasificar a las ondas, a continuación se presentan dos de ellas: Naturaleza física de la perturbación • O NDAS MECÁNICAS: cuando la perturbación física es de naturaleza mecánica, por ejemplo: desplazamiento, velocidad, presión, torsión, etc. • O NDAS ELECTROMAGNÉTICAS: cuando la perturbación es un campo electromagnético.

ic o

Dirección relativa de la perturbación y el desplazamiento ondulatorio perturbación propagación

• O NDAS LONGITUDINALES: cuando la dirección de la perturbación física y de la propagación ondulatoria coinciden, por ejemplo: onda de sonido.

perturbación propagación

(b)

Ac ad

(a)

ém

• O NDAS TRANSVERSALES: cuando la perturbación física se realiza en un plano transversal a la dirección de propagación de la onda; por ejemplo: el desplazamiento de un pulso en una cuerda, ondas electromagnéticas, etc.

F IGURA 6.1: Pulso de una onda transversal (a) y una onda longitudinal (b).

U so

Cuando se trata de caracterizar una onda, algunos conceptos usuales son: F OCO:Es el recinto donde se produce la perturbación inicial.

S UPERFICIE /F RENTE DE O NDA: Es el lugar geométrico de los puntos en que han sido alcanzados simultáneamente por la perturbación.

Co p

ia

V ELOCIDAD DE FASE:Velocidad con la que se propagan las superficies de onda.

Los conceptos anteriores pueden clarificarse si los concretamos en el caso de la propagación del sonido. En este caso, el foco sería el lugar donde se emiten los sonidos (por ejemplo la boca de alguien), la superficie de onda serían superficies aproximadamente esféricas centradas en el foco, y la velocidad de fase sería la velocidad a la que se viaja el frente de ondas, esto es, la velocidad del sonido (que es aproximadamente 340 m/s en el aire). Velocidad de las ondas Una propiedad general de las ondas es que su velocidad depende de las propiedades del medio y es independiente del movimiento del foco de las ondas. Por ejemplo, la velocidad del sonido que emite la bocina de un coche depende sólo de las propiedades del aire y no del movimiento del coche. En el caso de los pulsos en una cuerda, es fácil demostrar que cuanto mayor es la tensión, más rápidamente se propagan las ondas. Además, las ondas se propagan más rápidamente en una cuerda ligera que en una cuerda pesada bajo la

Apuntes de Física 1

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6.2. Ecuación de ondas

167

En el caso de las ondas sonoras en un gas, tal como el aire, la velocidad v viene expresada por r γRT v= (6.2) M En esta ecuación T es la temperatura absoluta medida en grados Kelvin. La constante γ depende del tipo de gas (para el aire, γ = 1.4). R = 8.314 J/(mol·K) es la constante universal de los gases y M es la masa molar del gas, que para el aire es M = 29 g/mol.

6.2.

Ecuación de ondas

(6.3)

Velocidad de las ondas electromagnéticas en el vacío

Ac ad

1 c=p = 2.99792 × 108 m/s . µ0 ²0

Velocidad del sonido en un gas

ém

Finalmente, la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío es una constante universal de valor

Velocidad de las ondas en una cuerda

ic o

misma tensión. Si T es la tensión y ρ la densidad lineal de masa, la velocidad de la onda es s T v= . (6.1) ρ

Cuando estudiamos la dinámica de una partícula en el Tema 3 vimos que existía una ecuación diferencial general (segunda ley de Newton) que determina el ~: ~, de una partícula en función de la fuerza externa, F momento lineal, p ~= F

d~ p . dt

(6.4)

U so

Para el caso de movimiento monodimensional, esta ecuación se convierte en la siguiente ecuación diferencial de segundo grado para la la función x(t ) que describe la posición de la partícula: d2 x F − =0. dt 2 m

(6.5)

Co p

ia

Del mismo modo que existe esta ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula existe también una ecuación diferencial general, denominada ecuación de ondas, que determina todos los fenómenos ondulatorios. La ecuación que describe el comportamiento ondulatorio de una perturbación física descrita matemáticamente como u(x, t ) que se propaga con velocidad constante v sin distorsión (onda no-dispersiva) a lo largo del eje x viene dada por ∂2 u 1 ∂2 u − =0 . ∂x 2 v 2 ∂t 2

(6.6)

Ecuación de ondas no dispersiva monodimensional

Para mostrar que la ecuación anterior describe matemáticamente el fenómeno ondulatorio, analizaremos la propagación de un pulso en una cuerda (este ejemplo ofrece una imagen visual muy oportuna). En este caso, la perturbación u(x, t ) representa justamente el desplazamiento vertical de cada trocito de cuerda. La forma del pulso para un instante arbitrario, que podemos tomar como t = 0, se muestra en la Figura 6.2(a); esto es, la forma matemática de la onda en ese instante de tiempo viene completamente descrita por la función u(x). Si tras un tiempo t , el pulso viaja sin distorsión hacia la derecha una distancia a, el perfil de la

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Apuntes de Física 1

Tema 6. Ondas mecánicas

ém

ic o

168

F IGURA 6.2: Evolución del pulso en una cuerda en dos instantes

Ac ad

cuerda será como el mostrado en la Figura 6.2(b), pudiéndose describir matemáticamente por la función u(x − a). Ahora bien, si el pulso viaja a una velocidad v, la distancia a recorrida por el pulso será a = v t y, consecuentemente, la expresión matemática de la onda en el instante t puede escribirse como u(x, t ) = f (x − v t ) .

(6.7)

Ciertamente el pulso podría haber viajado igualmente hacia la izquierda, en cuyo caso, la expresión matemática de la onda viajera en la cuerda sería

U so

u(x, t ) = f (x + v t ) ,

(6.8)

Co p

ia

de modo que un movimiento ondulatorio general en la cuerda podría ser descrito por la función u(x, t ) = f (χ) , χ = x ± v t (6.9) que representaría una onda que puede viajar tanto hacia la izquierda como hacia la derecha. Para encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es una función del tipo (6.9), diferenciaremos la función u(x, t ) con respecto a x y a t , esto es, ∂u ∂x ∂u ∂t

= =

du ∂χ = u 0 (χ) dχ ∂x du ∂χ = ±vu 0 (χ) . dχ ∂t

(6.10) (6.11)

Dado que las primeras derivadas no pueden relacionarse entre sí debido a la indefinición en el signo de (6.11), procedemos para obtener las derivadas segundas: ∂2 u ∂x 2

=

∂2 u ∂t 2

=

· ¸ ∂ ∂u d £ 0 ¤ ∂χ = u (χ) = u 00 (χ) ∂x ∂x dχ ∂x · ¸ ¤ ∂χ ∂ ∂u d £ = ±vu 0 (χ) = v 2 u 00 (χ) . ∂t ∂t dχ ∂t

(6.12) (6.13)

Si observamos ahora la forma de los segundos miembros de (6.12) y (6.13), podemos comprobar que al eliminar u 00 (χ) obtendríamos precisamente la ecuación

Apuntes de Física 1

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6.3. Ondas armónicas

169

Una propiedad muy importante de la ecuación general de ondas (6.6) es que ésta es lineal, lo que implica que si u 1 (x, t ) y u 2 (x, t ) son soluciones individuales de la ecuación de ondas, entonces una superposición lineal de ambas, u(x, t ) = α1 u 1 (x, t ) + α2 u 2 (x, t ), también lo es. Esta propiedad de linealidad de la ecuación de ondas simplemente expresa en forma matemática el siguiente principio físico conocido como principio de superposición de ondas:

6.3.

Ondas armónicas

Principio de superposición de ondas

ém

Cuando dos o más perturbaciones ondulatorias coinciden en un punto y en un instante de tiempo, la perturbación ondulatoria resultante es igual a la suma de las perturbaciones coincidentes.

ic o

general de ondas mostrada en (6.6). En consecuencia, esta ecuación diferencial en derivadas parciales tiene por soluciones a funciones del tipo (6.7) y (6.8) con la única condición de que éstas sean diferenciables hasta el segundo orden (la forma concreta de estas funciones en cada caso particular vendrá determinada por las condiciones iniciales del problema).

u(x, 0) = A sen

µ

Ac ad

Según se ha explicado en el apartado anterior, la expresión matemática general de una onda monodimensional no-dispersiva venía dada por (6.9). De entre las posibles formas matemáticas que puede tener este tipo de ondas, hay una especialmente interesante conocida como onda armónica. La forma de una onda armónica es una curva tipo sinusoidal, cuya instantánea en t = 0 puede venir dada por la siguiente expresión matemática: ¶ 2π x . λ

(6.14)

U so

La constante A es la amplitud de la onda y representa el valor máximo de la perturbación, λ es la longitud de onda o periodo espacial, esto es, la distancia en la que se repite la perturbación (por ejemplo, la distancia entre dos mínimos sucesivos). Si la onda se mueve hacia la derecha con cierta velocidad v, la función de onda en cualquier instante de tiempo t posterior vendrá dada por ·

(6.15)

ia

¸ 2π u(x, t ) = A sen (x − v t ) . λ

t

Co p

El tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda se conoce como periodo T , por lo que λ v= o’ λ=vT . (6.16) T

vt

El periodo T corresponde igualmente al tiempo empleado por la perturbación en realizar una oscilación completa en un punto fijo. Usando la definición del periodo, (6.15) puede escribirse como · µ ¶¸ x t u(x, t ) = A sen 2π − . λ T

(6.17)

La expresión anterior indica claramente que la onda armónica muestra una doble periodicidad, tanto en el espacio como en el tiempo: u(x, t ) = u(x + nλ, t + mT ) .

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(6.18)

Apuntes de Física 1

170

Tema 6. Ondas mecánicas Esta doble periodicidad es una consecuencia de la periodicidad temporal de la perturbación en el foco (x = 0), que se refleja en una periodicidad espacial.2 La función de onda armónica puede expresarse en una forma más conveniente si se definen dos cantidades, k y ω, que corresponden a la frecuencia espacial o número de ondas y a la frecuencia angular respectivamente, esto es, k = 2π/λ

(6.19)

ω = 2π/T .

(6.20)

ic o

Combinando las expresiones (6.19) y (6.20) junto con (6.16), obtenemos la siguiente relación para la frecuencia angular y el número de ondas de una onda armónica: ω = vk . (6.21)

ém

La frecuencia angular ω suele expresarse comúnmente en términos de la frecuencia temporal, f (siendo ésta la inversa del periodo: f = 1/T ) mediante ω = 2π f .

La frecuencia temporal representa por tanto el número de oscilaciones realizadas por unidad de tiempo, siendo su unidad el hercio (Hz).

Ac ad

Unidad de frecuencia: 1 hercio (Hz≡ s−1 )

(6.22)

Teniendo en cuenta las definiciones dadas en (6.19) y (6.20), la función de onda armónica que viaja en el sentido positivo de las x puede escribirse como u(x, t ) = A sen(kx − ωt ) .

(6.23)

La expresión anterior es un caso particular de la siguiente expresión genérica usando la función coseno: u(x, t ) = A cos(ωt − kx − ϕ) ,

(6.24)

U so

Expresión matemática de la onda armónica viajando en el sentido positivo de las x

Co p

ia

donde el argumento completo del coseno se conoce como fase de la onda y la constante ϕ como fase inicial y se introduce para posibilitar que en t = 0 la perturbación en el foco (x = 0) pueda tomar un valor arbitrario: u(0, 0) = A cos ϕ. Una onda armónica viajando en el sentido negativo de las x tendrá la siguiente forma general: u(x, t ) = A cos(ωt + kx − ϕ) . (6.25)

Expresión matemática compleja de la onda armónica

Es interesante notar que el carácter viajero de la onda en sentido positivo/negativo del eje x lo determina la desigualdad/igualdad entre los signos que acompañan a ωt y kx en la fase. Para facilitar las operaciones con ondas armónicas, éstas suelen expresarse en forma de exponencial compleja, de manera que la onda armónica dada en (6.24) se escribirá usualmente como u(x, t ) = Ae−j(kx+ϕ) ejωt

(6.26)

(ver Apéndice 1.11 para un estudio de los fasores), aunque debe considerarse que u(x, t ) tal como se ha expresado en (6.24) es solamente la parte real de (6.26): ³ ´ (6.27) u(x, t ) = A cos(ωt − kx − ϕ) = Re Ae−j(kx+ϕ) ejωt . 2 De manera análoga a como un pastelero soltando pasteles cada tiempo T en un extremo de una

cinta transportadora (periodicidad temporal en el foco) que se mueve con velocidad v da lugar a una periodicidad espacial en dicha cinta; esto es, los pasteles aparecen distanciados una longitud de onda.

Apuntes de Física 1

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6.3. Ondas armónicas

171

No obstante, en lo que sigue del tema, cuando tratemos con ondas armónicas usaremos la notación compleja por simplicidad, debiéndose sobreentender que la onda verdadera es la parte real de la expresión compleja. Es interesante observar que en cualquier punto fijo x = x 0 , la perturbación puede escribirse como (6.28)

donde φ = −kx 0 − ϕ. Si la perturbación física que se propaga en la onda fuese un desplazamiento respecto a cierta posición de equilibrio, tendríamos entonces que esta perturbación se corresponde con un moviento armónico simple (M.A.S.) [ver Apartado 3.5]. Es decir, los puntos del espacio afectados por dicha perturbación ondulatoria de tipo armónico oscilarían en la forma de un M.A.S.

ém

E JEMPLO 6.1 Una onda armónica en una cuerda

ic o

s(t ) ≡ u(x 0 , t ) = A cos(ωt + φ)

Ac ad

La función de onda de una onda armónica que se mueve en una cuerda es y(x, t ) = 0.03 sen(2.2x − 3.5t ), con y y x en metros y t en segundos. (a) ¿En qué sentido de propaga esta onda y cuál es su velocidad?. (b) Determinar la longitud de onda, la frecuencia y el periodo de esta onda. (c) ¿Cuál es el desplazamiento máximo de cualquier segmento de cuerda? (d) ¿Cuál es la velocidad máxima de cualquier segmento de cuerda? (a) Para determinar el sentido de la onda, expresamos y(x, t ) en función de (x ± v t ). Si el signo es positivo (negativo), la onda viaja en el sentido negativo (positivo) del eje x. Como y(x, t ) = A sen(kx−ωt ), podemos escribir y(x, t ) = A sen[k(x−v t )], donde hemos usado que ω = kv. Por tanto, la onda viaja en el sentido positivo del eje x.

U so

Por otro lado, identificando términos, sabemos que A = 0.03 m, k = 2.2 m−1 y ω = 3.5 rad/s. Así, mediante la relación de dispersión, ω = kv, se puede obtener el valor de v: ω 3.5 v= = m/s = 1.59 m/s k 2.2

ia

(b) La longitud de onda λ está relacionada con el número de ondas k, y la frecuencia ν y el periodo T , están relacionados con ω de la forma: λ=

2π = 2.86 m k

T=

2π = 1.80 s ω

Co p

f ≡ν=

1 = 0.557 Hz . T

(c) El desplazamiento máximo del segmento de cuerda es la amplitud A. A = 0.03 m .

(d) La velocidad “vertical” de un punto de la cuerda, v y , vendrá dada por la derivada temporal del desplazamiento en dicha dirección, esto es v y (x, t ) =

∂y(x, t ) = −ωA cos(kx − ωt ) . ∂t

Por tanto, la velocidad máxima tiene lugar cuando cos(kx − ωt ) = −1, es decir, v y,máx = Aω = 0.105 m/s .

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Apuntes de Física 1

Tema 6. Ondas mecánicas

ém

ic o

172

U so

Ac ad

F IGURA 6.3: (a) Desplazamiento respecto al equilibrio de las moléculas de aire en una onda sonora armónica en función de la posición en un cierto instante. Los puntos x 1 y x 3 son puntos de desplazamiento nulo. (b) Algunas moléculas representativas igualmente espaciadas en sus posiciones de equilibrio 1/4 de ciclo antes. Las flechas indican el sentido de sus velocidades en ese momento. (c) Moléculas próximas a los puntos x 1 , x 2 y x 3 después de la llegada de la onda. Justo a la izquierda de x 1 , el desplazamientos es negativo, indicando que las moléculas del gas se desplazan hacia la izquierda, alejándose del punto x 1 en ese momento. Justo a la derecha de x 1 , el desplazamiento es positivo, indicando que las moléculas se desplazan hacia la derecha, o sea, de nuevo alejándose del punto x 1 . Así, en el punto x 1 la densidad es un mínimo, ya que las moléculas de gas en ambos lados se desplazan alejándose de dicho punto. En el punto x 3 , la densidad es un máximo porque las moléculas a ambos lados de este punto se desplazan hacia x 3 . En el punto x 2 la densidad no se modifica, pues las moléculas a ambos lados de este punto tienen desplazamientos iguales en la misma dirección. (d) Densidad del aire en ese momento. La densidad es máxima en x 3 y mínima en x 1 , puntos ambos en los que el desplazamiento es nulo. Es cero en el punto x 2 , que es un máximo de desplazamiento. (e) Cambio de presión, que es proporcional al cambio de densidad, en función de la posición. Los cambios de presión y desplazamiento (cambios de posición) están desfasados 90º

Co p

ia

6.3.1. Ondas sonoras armónicas

Función de una onda sonora armónica

Las ondas sonoras armónicas pueden generarse mediante un diapasón o un altavoz que vibre con movimiento armónico simple. La fuente vibrante hace que las moléculas de aire próximas oscilen con movimiento armónico simple alrededor de sus posiciones de equilibrio. Estas moléculas chocan con otras moléculas próximas, haciéndolas oscilar, y, por lo tanto, propagan la onda sonora. Si expresamos el desplazamiento de las moléculas respecto a su posición de equilibrio como u(x, t ) ≡ s(x, t ), tendremos que dicho desplamiento (supuesta una fase inicial nula) puede escribirse como s(x, t ) = s 0 cos(ωt − kx) .

(6.29)

Estos desplazamientos se producen a lo largo de la dirección de propagación de la onda y dan lugar a variaciones de densidad y presión del aire. La figura 6.3 muestra el desplazamiento de las moléculas de aire y los cambios de densidad originados por una onda sonora en un movimiento determinado. Como la presión

Apuntes de Física 1

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6.4. Energía e Intensidad de la onda

173

del gas es proporcional a su densidad, el cambio de presión es máximo cuando la variación de densidad es máxima. Los gráficos de la figura nos muestran que la onda de presión (o de densidad) está desfasada 90o respecto al desplazamiento de la onda. Cuando el desplazamiento es nulo, los cambios de presión y densidad son máximos o mínimos. Cuando el desplamiento es máximo o mínimo, los cambios de presión y densidad son nulos. Una onda de desplazamiento dada por la ecuación (6.29) implica una onda de presión dada por p(x, t ) = p 0 sen(kx − ωt )

Relación entre las amplitudes de presión y desplazamiento

ém

donde p representa la variación de presión respecto a la presión de equilibrio (lo que el Apartado 5.2.3 denominamos presión manométrica), y p 0 es el valor máximo de esta variación. Se puede demostrar que la máxima amplitud de esta variación de presión p 0 está relacionada con la máxima amplitud de desplazamiento s 0 mediante p 0 = ρωv s 0 (6.31)

ic o

(6.30)

6.4.

Ac ad

donde v es la velocidad de propagación y ρ la densidad de equilibrio del gas. Así, cuando una onda sonora se propaga en el tiempo, el desplazamiento de las moléculas del aire, la presión y la densidad varían todas ellas de forma armónica con la frecuencia de la fuente vibrante.

Energía e Intensidad de la onda

La intensidad de una onda se define como

la energía que fluye por unidad de tiempo a través de una superficie unidad situada perpendicularmente a la dirección de propagación.

U so

Si ρU es la densidad volumétrica de energía de la onda (esto es, la energía media por unidad de volumen contenida en el medio donde se propaga la onda) y v la velocidad de propagación de la onda, la intensidad I de la onda es I = ρU v ,

Intensidad de la onda (6.32)

cuyas unidades son (Jm−3 )(ms−1 )=Js−1 m−2 =Wm−2 ; es decir, potencia por unidad de área.

Co p

ia

Analicemos el caso particular en el que una perturbación ondulatoria no dispersiva armónica (por ejemplo, una onda sonora) se propaga a lo largo de la dirección x en un medio homogéneo, isótropo y no absorbente de densidad de masa ρ m . En este caso, el movimiento armónico de cada partícula (y también su energía) es transmitida a las restantes partículas del medio que la rodea. La expresión matemática del desplazamiento de las partículas, tal como ya se definió en (6.29), puede expresarse como u(x, t ) = A cos(ωt − kx) . Las partículas de este medio adquieren, al paso de la onda, una cierta velocidad, ˙ t ), que viene dada por u(x, ˙ t) = u(x,

∂u(x, t ) = −ωA sen(ωt − kx) ∂t

(6.33)

y, por consiguiente, una energía mecánica debida al movimiento armónico que realizan. En este tipo de movimiento, la energía total de las partículas puede igualarse a la energía cinética máxima que adquieren. Por tanto, la energía, ∆U , de un

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Apuntes de Física 1

174

Tema 6. Ondas mecánicas elemento de volumen, ∆V = Sv∆t (de sección transversal S y anchura ∆l = v∆t , siendo v la velocidad de propagación de la perturbación ondulatoria) puede expresarse como 1 1 2 2 = ρ m Sv∆t u˙ max . (6.34) ∆U = ∆m u˙ max 2 2 A partir de (6.33) obtenemos que la velocidad máxima de las partículas será u˙ max = ωA, por lo que la energía puede escribirse como 1 ∆U = ρ m Sv∆t ω2 A 2 2

(6.35)

ρU =

(6.36)

ém

La potencia P , o energía transmitida al medio por unidad de tiempo, se obtiene a partir de ∆U 1 = ρ m Sv ω2 A 2 . (6.37) P= ∆t 2 Dado que la intensidad, I , de la onda viajera es potencia por unidad de área, se tiene finalmente que Potencia 1 = ρ m ω2 A 2 v . (6.38) I= 2 Área Para el caso particular que estamos analizando, teniendo en cuenta (6.36), observamos que (6.38) puede también expresarse como I = ρU v, en concordancia con la expresión general (6.32). Es también interesante notar en (6.38) que la intensidad de la onda armónica mecánica es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud de la perturbación.

Ac ad

Intensidad de la onda armónica mecánica: I ∝ A 2

∆U 1 = ρ m ω2 A 2 . ∆V 2

ic o

y, finalmente, la densidad volumétrica de energía vendrá dada por

La intensidad de una onda sonora se obtiene sustituyendo en (6.31) para la amplitud A ≡ s 0 = p 0 /(ρ m ωv), obteniéndose I=

Co p

ia

U so

Intensidad de una onda sonora armónica

1 p 02 . 2 ρm v

(6.39)

El oído humano puede acomodarse a un largo intervalo de intensidad de ondas sonoras, desde 10−12 W/m2 aproximadamente (que normalmente se toma como el umbral de audición) hasta 1 W/m2 aproximadamente (que produce una sensación dolorosa en la mayoría de las personas). Las variaciones de presión que corresponden a estas intensidades extremas varía aproximadamente desde 3 × 10−5 Pa para el umbral de audición hasta 30 Pa para el umbral del dolor. Estas pequeñas variaciones de presión se superponen (sumando o restando) a la presión atmosférica normal cuyo valor es 1013 hPa. E JEMPLO 6.2 Un altavoz El diafragma (diámetro D = 30 cm) de un altavoz vibra con una frecuencia f = 1 kHz y una amplitud A = 0.020 mm. Suponiendo que las moléculas de aire próximas al diafragma tienen esta misma amplitud de vibración, determinar (a) la amplitud de la variación de presión y la intensidad sonora justo enfrente del diafragma; (b) la potencia acústica irradiada. Dato: La densidad del aire es ρ = 1.29 kg/m3 .

(a) La amplitud de la variación de la presión se calcula directamente de (6.31): p 0 = ρωv A = 55.1 Pa . La intensidad se calcula usando (6.39): I=

Apuntes de Física 1

1 2 2 ρ A v = 3.46 W/m2 . 2

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6.4. Energía e Intensidad de la onda

175

(b) La potencia es el producto de la intensidad por el área del diafragma:

1 πD 2 = 0.245 W . 4

Nivel de intensidad sonora

I I0

(6.40)

Ac ad

β(dB) = 10 log10

ém

Nuestra percepción del sonido no está directamente relacionado con el valor específico de la intensidad sonora sino más bien con el logaritmo de dicho valor. Usamos por tanto una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora, β, el cual se mide en decibelios (dB) y se define como

ic o

P = IS =

Nivel de intensidad en dB

donde I es la intensidad física del sonido e I 0 es un nivel de referencia, que tomaremos como umbral de audición: I 0 = 10−12 W/m2 .

U so

En esta escala, el umbral de audición es β = 0 dB y el umbral del dolor (I = 1 W/m2 ) es β = 120 dB. El cuadro 6.1 relaciona los niveles de intensidad de algunos sonidos comunes.

Co p

ia

Fuente Respiración normal Rumor de hojas Conversación en voz muy baja (a 5 metros) Biblioteca Cocina tranquila Conversación normal (a 1 metro) Tráfico denso Oficina ruidosa con máquinas; fábrica de tipo medio Camión pesado (a 15 metros); Cataratas del Niágara Tren de metro antiguo Ruido de construcción (a 3 metros) Concierto de rock con amplificadores (a 2 metros) Ametralladora Despegue de un reactor (cercano) Motor de un cohete (cercano)

dB 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 150 180

Descripción Escasamente audible Apenas ruidoso Poco ruidoso

La exposición constante daña al oído Umbral de dolor

Cuadro 6.1: Intensidad física y nivel de intensidad sonora de algunos sonidos comunes (I 0 = 10−12 W/m2 )

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Apuntes de Física 1

176

Tema 6. Ondas mecánicas

E JEMPLO 6.3 Ladridos de perros El ladrido de un perro supone alrededor de 1 mW de potencia. (a) Si esta potencia se distribuye en todas direcciones, ¿cuál es el nivel de intensidad sonora a una distancia de 5 m? (b) ¿Cuál sería el nivel de intensidad de dos perros ladrando al mismo tiempo si cada uno de ellos desarrolla una potencia de 1 mW?

(a) La intensidad producida por un perro a 5 m es P 4πr 2

= 3.18 µW/m2 .

ém

I1 =

ic o

El nivel de intensidad sonora se deduce de la intensidad física y ésta de la expresión I = P /(4πr 2 ). En nuestro caso, P = 1 mW y r = 5 m. Para dos perros, las intensidades físicas se suman.

El nivel de intensidad sonora lo obtenemos de (6.40): β1 = 10 log

I1 = 65.0 dB . I0

es decir,

Ac ad

(b) La intensidad de dos perros es I 2 = 2I 1 . Por tanto, el nivel de intensidad para dos perros será 2I 1 I2 = 10 log = 10 log 2 + β1 β2 = 10 log I0 I0 β2 = 3.01 + 65.0 ≈ 68.0 dB .

U so

Vemos en este ejemplo que siempre que la intensidad física se duplica, la intensidad sonora se incrementa en 3 dB.

E JEMPLO 6.4 Sensibilidad del oido humano

Co p

ia

A 1000 Hz, el umbral de audibilidad del oido humano corresponde a una intensidad de 10−12 W/m2 . ¿Cuál es el desplazamiento máximo de las moléculas de aire en este límite?. Datos: ρ aire = 1.2 kg/m3 , v = 340 m/s. Dado que la intensidad de la onda sonora viene dada por I=

1 ρ m ω2 A 2 v , 2

la amplitud, A, correspondiente al desplazamiento máximo de las moléculas del medio será s 2I A= . ρ m ω2 v Al sustituir los datos del presente problema tendremos que s

A=

2 · 10−12 1.2 · 4π2 ×106 · 340

≈ 1.1 ×10−11 m .

Este desplazamiento es minúsculo, lo que demuestra la alta sensibilidad del oído humano.

Apuntes de Física 1

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6.5. Interferencia de Ondas

6.5.

177

Interferencia de Ondas

u(P, t ) =

N X

u i (P, t ) .

ic o

Cuando dos o más ondas coinciden en el espacio en el mismo instante de tiempo se produce un fenómeno que se conoce como interferencia. El principio de superposición de ondas establece que cuando dos o más ondas coinciden en un punto y en un instante de tiempo, la perturbación resultante es la suma de las perturbaciones individuales (este principio ya fue relacionado en el Apartado 6.2 con la linealidad de la ecuación de ondas). En consecuencia, la perturbación resultante en un punto P y en un instante de tiempo t , u(P, t ), debido a la coincidencia de N ondas u i (x, t ) se obtendrá mediante la siguiente expresión: (6.41)

6.5.1.

Superposición de dos ondas armónicas

ém

i =1

Para estudiar los aspectos cuantitativos de la interferencia consideraremos la superposición de dos ondas armónicas monodimensionales de la misma frecuencia pero distinta amplitud y fase inicial,

Ac ad

u 1 (r, t ) = A 1 cos(ωt − kr − ϕ1 ) y

F1

U so

u(P, t ) = u 1 (r 1 , t ) + u 2 (r 2 , t ) .

P

r2

u 2 (r, t ) = A 2 cos(ωt − kr − ϕ2 ) ,

en cierto punto P . Si r 1 y r 2 son las distancias desde los focos respectivos al punto P , la perturbación resultante vendrá dada por

r1

F2

(6.42)

Si usamos la notación compleja, la perturbación suma puede obtenerse a partir de u(P, t ) = A 1 e−j(kr 1 −ωt +ϕ1 ) + A 2 e−j(kr 2 −ωt +ϕ2 ) £ ¤ = A 1 e−jε1 + A 2 e−jε2 ejωt = A(P )e−jε(P ) ejωt

ia

donde

εi = kr i + ϕi

(6.43)

(6.44)

Co p

y A(P ) y ε(P ) son respectivamente la amplitud y la fase de la perturbación resultante en el punto P . Operando en (6.43) encontramos que A(P )e−jε(P ) =A 1 e−jε1 + A 2 e−jε2 ¡ ¢ ¡ ¢ = A 1 cos ε1 − jA 1 sen ε1 + A 2 cos ε2 − jA 2 sen ε2 = (A 1 cos ε1 + A 2 cos ε2 ) − j (A 1 sen ε1 + A 2 sen ε2 ) ,

(6.45)

de donde obtenemos que la amplitud puede ser calculada como sigue: A 2 (P ) = A 21 cos2 ε1 + A 22 cos2 ε2 + 2A 1 A 2 cos ε1 cos ε2 + A 21 sen2 ε1 + A 22 sen2 ε2 + 2A 1 A 2 sen ε1 sen ε2 = A 21 + A 22 + 2A 1 A 2 cos(ε1 − ε2 ) ,

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

178

Tema 6. Ondas mecánicas esto es,

Amplitud de la interferencia de 2 ondas armónicas de igual frecuencia

A(P ) =

q

A 21 + A 22 + 2A 1 A 2 cos δ(P )

(6.46)

siendo δ(P ) = kr 1 − kr 2 + ϕ1 − ϕ2 = k∆r + ∆ϕ .

(6.47)

2A 1 A 2 cos δ(P ) ,

ic o

En la expresión anterior, δ(P ) se denomina diferencia de fase, ∆r = r 1 − r 2 se conoce como diferencia de camino entre el recorrido de las dos ondas al propagarse desde los focos respectivos hasta el punto P y ∆ϕ = ϕ1 −ϕ2 es la diferencia de fase inicial entre las dos ondas. El último término de la expresión anterior,

ém

se denomina usualmente término de interferencia puesto que es el responsable de que la amplitud de la interferencia varíe al variar la diferencia de camino hasta el punto P . En concreto, si notamos que −1 ≤ cos δ(P ) ≤ 1 encontraremos que la amplitud en un punto podrá tomar en general valores comprendidos entre (6.48)

Ac ad

(A 1 − A 2 ) ≤ A ≤ (A 1 + A 2 ) .

Para obtener la intensidad resultante de la superposición de las dos ondas armónicas de igual frecuencia en el punto P debemos tener en cuenta que, según (6.38), la intensidad de las ondas armónicas depende del cuadrado de la amplitud (I ∝ A 2 ). En consecuencia, a partir de (6.46), podemos deducir que la intensidad resultante será p I (P ) = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ(P ) . (6.49)

U so

6.5.2. Focos incoherentes

Co p

ia

En el apartado anterior observamos que la amplitud resultante en el punto P oscilaba entre dos valores dependiendo del valor concreto de δ en dicho punto. No obstante, en la práctica ocurre frecuentemente que la diferencia de fase no es constante en el tiempo sino que δ = δ(t ). Esto puede ser debido a una posible variación temporal de las condiciones de emisión de los focos (usualmente en un tiempo del orden de 10−10 s); por ejemplo: 1. La frecuencia de los focos no es estrictamente constante sino que presenta pequeñas fluctuaciones arbitrarias que provocan que el número de ondas (y equivalentemente la longitud de onda) oscile ligeramente en torno a cierto valor promedio, 〈k〉 k(t ) = 〈k〉 + ∆k(t ) . 2. Las fases iniciales de los dos focos presentan fluctuaciones al azar de modo que las funciones ϕ1 (t ) y ϕ2 (t ) no están correlacionadas de ninguna manera dando lugar a que la diferencia de fase inicial sea una función del tiempo, ∆ϕ = ϕ1 (t ) − ϕ2 (t ) = f (t ) , que varía igualmente al azar.

Cuando nos encontramos con alguna de las condiciones anteriores decimos que los focos son incoherentes. Debido a esta rápida variación arbitraria en el tiempo

Apuntes de Física 1

JCM,FLML

6.5. Interferencia de Ondas

179

de la diferencia de fase, el término de interferencia se anula en promedio durante el intervalo de observación debido a que el valor medio del coseno de un argumento que varia al azar es cero: 〈cos δ(t )〉 =

1 T

T

Z 0

cos δ(t ) dt = 0 .

Notemos que en el presente caso de focos incoherentes, la anulación en promedio del término de interferencia hace que la intensidad de la perturbación NO dependa de la posición del punto de observación. Este hecho provoca que aunque podamos, en un sentido estricto, hablar de interferencia, ésta no será observable y usualmente diremos que “no existe interferencia.”

6.5.3. Focos coherentes

Ac ad

ém

A menudo cuando se habla de un único foco también podemos decir que este foco es “incoherente”. En este caso, en realidad estamos queriendo decir que este único foco tiene cierta extensión espacial, y que las distintas partes del foco (asimilables a diversos focos puntuales) no son coherentes entre sí.

ic o

Esto hecho implica que la intensidad promedio en el punto P , 〈I (P )〉, venga dada por 〈I (P )〉 = I 1 + I 2 focos incoherentes. (6.50)

Cuando la fase inicial de los dos focos está completamente correlacionada, de modo que ϕ1 (t ) − ϕ2 (t ) 6= f (t ) ,

U so

manteniendo una diferencia de fase inicial constante, se dice que los dos focos son coherentes. En el caso de que ∆ϕ = 0, δ sólo dependerá de la diferencia de camino (en general ∆r ): δ = k∆r = 2π∆r /λ (6.51) dando lugar así a una interferencia que SÍ podría ser observable.

ia

En las circunstancias anteriores, podemos distinguir dos casos de interés, dependiendo de si el valor de cos δ es 1 o’ -1; esto es, si A(P ) adquiere su valor máximo (interferencia constructiva) o bien su valor mínimo (interferencia destructiva). Por tanto, si ( 2nπ ⇒ A(P ) = A 1 + A 2 Interferencia Constructiva δ= (6.52) (2n + 1)π ⇒ A(P ) = A 1 − A 2 Interferencia Destructiva.

Co p

Teniendo en cuenta (6.51), la condición de interferencia constructiva o destructiva para ∆r en P vendrá dada por ∆r =

 nλ

(2n + 1) λ 2

Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva ;

(6.53)

es decir, si la diferencia de camino es un múltiplo entero/semientero de la longitud de onda, entonces tendremos interferencia constructiva/destructiva. Desde un punto de vista práctico, una forma usual de producir focos coherentes es generar dos focos secundarios a partir de la misma fuente primaria, asegurando así que la diferencia de fase inicial en los dos focos secundarios es una constante. Uno de los primeros experimentos que mostró el fenómeno de interferencia con luz es el experimento de la doble rendija de Young mostrado en la

JCM,FLML

Apuntes de Física 1

Tema 6. Ondas mecánicas

U so

Ac ad

ém

F IGURA 6.4: Experimento de la doble rendija de Young

ic o

180

Co p

ia

F IGURA 6.5: Patrón de interferencia resultante en el experimento de la doble rendija de Young

Figura 6.4(a), constatando así convincentemente la naturaleza ondulatoria de la luz. En este experimento, la luz (u otra perturbación ondulatoria) proveniente de un foco primario S se hace pasar por una pantalla en la que se han realizado dos ranuras S 1 y S 2 separadas una distancia d . Las rendijas se comportan como dos focos coherentes de luz cuyas ondas interfieren en el semiespacio derecho. Este fenómeno provoca un patrón de interferencias en la pantalla S D donde aparecen regiones sombreadas (dibujadas en negro) junto a regiones más iluminadas tal y como se muestra en la Figura 6.5. En este experimento tenemos que la amplitud de las ondas que interfieren es idéntica, esto es, A1 = A2 . Si además consideramos que la pantalla S D se coloca a una distancia tal que D À d de las rendijas y admitimos que θ es muy pequeño, entonces, según muestra la Figura 6.4(b), encontramos que la diferencia de camino en la coordenada y de la pantalla viene dada por ∆r = d sen θ ≈ d tan θ ≈ d

y . D

(6.54)

En consecuencia, el patrón de interferencia obtenido en la pantalla S D mostrará franjas de interferencia constructiva o bien destructiva según se cumplan las

Apuntes de Física 1

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6.5. Interferencia de Ondas

181

siguientes condiciones: Interferencia constructiva, y = y M : k∆r = 2nπ ⇒

2π y M d = 2nπ , λ D

(6.55)

Interferencia destructiva, y = y m : k∆r = (2n + 1)π ⇒

2π y m d = (2n + 1)π , λ D

(6.57)

ém

de donde se deduce que las franjas y = y m de interferencia destructiva verifican 2n + 1 D λ, (6.58) ym = 2 d siendo la intensidad de la onda en estas franjas I = 0.

ic o

de donde se deduce que las franjas y = y M de interferencia constructiva verifican D yM = n λ , (6.56) d siendo la intensidad de la onda en estas franjas: I = 4I 1 .

∆y =

D λ . d 2

Ac ad

Nótese que la diferencia ∆y entre un máximo y un mínimo consecutivo es

(6.59)

Esta expresión nos proporciona adicionalmente un procedimiento muy sencillo para determinar el valor de la longitud de onda a partir de la medida de la distancia entre franjas de interferencia constructiva y destructiva.

U so

Es interesante notar que en las franjas de interferencia constructiva se ha obtenido que la intensidad es cuatro veces (y no dos) el valor de la intensidad proporcionada por cada uno de los focos. Esto parece violar el principio de conservación de la energía, aunque tal hecho no se produce puesto que la energía de la onda no se distribuye homogéneamente en la pantalla S D sino que, debido a la interferencia, existen puntos donde la energía es mayor que la suma de las energías provenientes de los focos pero también existen otros puntos donde la energía es menor (incluso cero) que la proveniente de los focos.

Co p

ia

E JEMPLO 6.5 Un foco de luz amarilla (λ = 600 nm) incide sobre dos rendijas separadas una distancia d , observándose la interferencia de la luz proveniente de estas rendijas en una pantalla situada a una distancia de 3 m. Obtener la separación d entre las rendijas para que la distancia entre máximos y mínimos consecutivos del patrón de interferencia luminoso sea mayor que 5 mm. Según la teoría expuesta anteriormente, la distancia entre máximos y mínimos consecutivos en el experimento de la doble rendija de Young viene dado por ∆y >

D λ . d 2

Al despejar en la expresión anterior d encontramos que d