• Author / Uploaded
• telesuptacna TACNA

Citation preview

IEP “EL FARO” FÍSICA 1.

Concepto de física La física se esfuerza siempre por presentar una imagen clara del mundo que nos rodea; estudia las interacciones de la materia con la materia o con la energía. Por consiguiente: Etimológicamente Física significa naturaleza. Por tanto, la Física es la ciencia que estudia las propiedades de la materia y las leyes que tienden a modificar su estado o su movimiento sin cambiar su naturaleza. La enseñanza de la física contribuye intensa y permanentemente a la formación intelectual de la persona humana y permite desarrollar una actitud positiva frente a las realidades de la vida. En consecuencia, se estudia física porque:  Cultivando nuestros sentidos entenderemos a la naturaleza.  Aplicando sus principios y leyes elevaremos el nivel de vida de nuestra sociedad.

2.

Objeto de la física El objetivo fundamental de la física consiste en explicar los fenómenos naturales que ocurren en la tierra y el universo; a partir de ella se pueden desprender las predicciones que se consideren más convenientes. La predicción del comportamiento de un fenómeno natural, se realiza con la ayuda de un sistema de leyes que han sido deducidas de la observación experimental. Así por ejemplo en el movimiento vertical de un cuerpo que cae, podemos decir que su velocidad aumenta a medida que se aproxima al piso, debido a la aceleración de la gravedad y que el tiempo que demora en caer dependerá de su altura. Estas predicciones las verificamos mediante un experimento adecuado, apoyados en las leyes que rigen el movimiento vertical.

3.

Métodos de la física La física es una ciencia esencialmente experimental, tal como lo planteaba Bacón (1 561-1 642). La física hace uso de la observación y de la hipótesis, emplea la experimentación y vislumbra la ley que gobierna el fenómeno observado; por consiguiente hace uso del, método científico. Este método científico usado desde la época de Galileo Galilei se expresa de la siguiente manera: Observación Razonamiento

= Ley

Experiencia

De todo lo anteriormente dicho, se deduce que la física es una de las más importantes ramas de la ciencia, que se basa en la experimentación y la deducción lógica. Su lenguaje es la matemática. 4.

Ramas de la física En el comienzo del desarrollo de las ciencias, nuestros sentidos constituían el medio que se empleaba en la observación de los fenómenos que se producen en la naturaleza. Por ello, el estudio de la física se desarrollo subdividiéndose en diversas ramas, cada una de las cuales agruparon fenómenos relacionados con el sentido pon el cual se percibían. Así, surgieron. 1. La mecánica.- Rama de la física que estudia los fenómenos relacionados con el movimiento. 2. La termología.- Como su nombre lo indica, esta rama de la física estudia los fenómenos del calor y los efectos que produce. 3. La acústica.- Estudia los fenómenos audibles o sonoros (sonidos); además estudia las propiedades del movimiento ondulatorio. 4. La óptica.- Es la parte de la física que estudia los fenómenos relacionados con la luz. 5. La electricidad.- En esta parte de la física se incluyen los fenómenos eléctricos y magnéticos. 6. La física moderna.- Esta parte abarca el desarrollo alcanzado por la física durante el siglo XX. Incluye a la física nuclear y la física sideral.

5.

Relación de la física con otras ramas La física es un poderosísimo auxiliar de todas las demás ciencias experimentales, proporcionándoles innumerables métodos e instrumentos para la investigación científica. Así, la física como ciencia tiene relación directa con las siguientes ciencias. 1. Con la Biología, porque es una ciencia que estudia las leyes de la vida. 2. Con la Química, porque ambas interactúan activamente en el conocimiento de los fenómenos químicos y fisioquímicos.

IEP “EL FARO” 3. Con la Astronomía, porque es una ciencia que trata de la posición, movimiento y constitución de los cuerpos celestes. 4. Con la Geología, porque es una ciencia que tiene por objeto el estudio de la materia que compone 5. Con la Ingeniería, porque es la aplicación de la ciencia físico-matemática a la inversión, perfeccionamiento y utilización de la técnica industrial. 6. Con la Matemática, porque ésta actúa como una ciencia auxiliar, para demostrar sus leyes y representar simbólicamente sus fórmulas. 7. Con la Lógica, porque las leyes son representadas dentro de fórmulas, las mismas que nacen dentro de un proceso lógico siguiendo las etapas del método de la física. 6.

MATERIA Es todo aquello que existe en forma real, absoluta y objetiva, goza de innumerables propiedades. La materia está íntimamente ligada al espacio, movimiento y tiempo, de tal forma de que cada uno de ellos se puede definir sólo por la existencia de la materia, así por ejemplo para determinar el movimiento de un auto, es indispensable la presencia material de un punto de referencia en base al cual cambia la posición, así mismo en este caso es factible determinar el tiempo en que demora y el espacio que recorre dicho auto, entre dos puntos dados. 6.1 Interacciones Es una propiedad de la materia, mediante al cual se produce una acción mutua entre dos o más cuerpos materiales. En general todos los cuerpos materiales interactúan entre sí, ya sea a través de presiones (empujes), atracciones, repulsiones, etc., así por ejemplo en el siguiente diagrama se muestra el peso de una persona mediante una balanza de resorte, donde se observa las siguientes interacciones:   

La fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre la persona (F), determinando así el peso de dicha persona. Las tensiones que se ejercen en los cables o cuerdas que unen la balanza. Por otra parte se dan interacciones en el interior de la balanza (engranajes, resortes)

6.2 Fuerza Es la medida interactiva de las interacciones. Por sentido común sabemos que la fuerza es la acción que un cuerpo ejerce sobre otro, siendo los efectos de esta acción el cambio de forma, el cambio de velocidad (aceleración), etc.

6.3 Inercia Es una propiedad de la materia en la que todo cuerpo material se opone al cambio de velocidad de modo que la inercia se vence bajo la acción de una fuerza. Así por ejemplo, una roca sobre el piso, se encuentra en una posición de inercia y ésta posición de inercia y ésta posición no variará si es que no se aplica una fuerza. 6.4 Masa Es la medida cuantitativa de la inercia, es decir que midiendo la inercia de un cuerpo, podemos medir su masa. La masa y la inercia son proporcionales, o sea que a mayor masa le corresponde mayor inercia. 6.5 Mecánica Es la parte de la física que estudia los fenómenos relacionados con el movimiento y las fuerzas que lo originan. La mecánica se divide en dos partes. a) Mecánica de los cuerpos sólidos: Estática, Cinemática y Dinámica. b) Mecánica de los fluidos: Estática de los fluidos y Dinámica de los fluidos. 7.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LA FÍSICA Como es lógico, para hacer cálculos correctos es imprescindible tener un conocimiento básico de matemática, puesto que está s una valiosa herramienta de trabajo de la física.

IEP “EL FARO” 7.1. Álgebra Está parte de la matemática es la más empleada por quienes se inician en el desarrollo de problemas de Física – entre otras ciencias por el uso de variables literales que representan cantidades físicas definidas, lo que minimiza los procesos de análisis y de cálculo. A. Ley de Exponentes 1) an.ap.ar = an+p+r

5) (a/b)n = an/bn

2) an/ap = an-p

6)

3) (an)p = an.p

7) a0 = 1

4) (a.b.c.)n = an.bn.cn

8) a-n = 1/an  a  0

p/n

n

ap  a

a0

Debes recordar que: a2 = a.a a3 = a.a.a an = a.a. … .a “n” factores Si: ax = ay  a  0, ó 1 x=y 7.2 Trigonometría Elemental LEY DE COSENOS

LEY DE SENOS



c

b

x= ? b







a

a

a b c   sen  sen  sen 

x  a 2  b 2  2ab . cos 

Razones Trigonométricas 

h

a



sen  = a/h cos  = b/h tg  = a/b

csc  = h/a sec  = h/b cot  = b/a

b Razones trigonométricas recíprocas

Si:   (0º; 90º)

sen . csc  = 1  cos .sec = 1 tg .ctg  = 1

Razones Trigonométricas de Ángulo Complementarios Si:  +  = 90º

sen  = cos  cos  = sen  tg  = ctg  Razones trigonométricas de Ángulos Suplementarios sen x = sen y

IEP “EL FARO” Si: x + y = 180º

cos x = - cos y tg  = - ctg y Identidades Trigonométricas Pitagóricas sen2 X + cos2 x = 1 1 + tg2 x = sec2 x 1 + ctg2 x = csc2 x

DEBES SABER QUE: AB=L

A r O

L = .r

r

(*)  en radianes

L

 B

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables 

sen

cos

tg

0º

0

1

0

16º

7/25

24/25

7/24

30º

1/2

3 /2

3 /3

37º

3/5

45º

2 /2

53º

8.

4/5

4/5

2 /2

3/4 1

3/5

4/3

1/2

3

60º

3 /2

74º

24/25

7/25

24/7

90

1

0

/

NOTACIÓN CIENTÍFICA El trabajo de los científicos hace que ellos arriben con mucha frecuencia a resultados numéricos: a veces muy grandes y en otros casos a valores muy pequeños. así tenemos estos ejemplos que nos muestran ambos casos: a) La Masa de la Tierra es aproximadamente: 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kilogramos

AÑO LUZ: Es una unidad de longitud y se define como la distancia que recorre la luz en un año. Su valor aproximado y en notación científica es: 1 año luz = 9,46.1015 m = 9,46,1012km

b) La Masa de un electrón es: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 Kilogramos Como podrá apreciar, estos valores escritos en la forma indicada, necesita de mucho espacio y son difíciles de usar en los cálculos donde ellos participen. No cabe duda que resultaría más cómodo trabajar con estos con estos números, si ellos se escribieran de un modo abreviado, utilizando por ejemplo las potencias de diez. Al método de escribir los números en esta forma, se denomina Notación Exponencial, así la Notación Científica se basa en la Notación Exponencial. Un ejemplo representativo de Notación Científica es: 1  M < 10 M.10n, donde: n  Z +  el número es grande n  Z -  el número es pequeño Como aplicación obtenemos que la masa de la Tierra se puede expresar así: 6.1024 kg:

Aquí la coma decimal ha corrido 24 cifras hacia la izquierda hasta llegar a la cifra 6

IEP “EL FARO”

Asimismo la masa del electrón se expresa así: 9,11.10-31 kg. : Aquí la coma decimal, ha corrido 31 cifras hacia la derecha hasta encontrar a la primera cifra 1. 3+3 (1) 7 810 000 = 7,81.106 3 3

Nº menor que 10 Números Grandes

2+3+3 (2) 9 00 000 000 = 9.108 2 3 3

(3) 0, 000 002 56 = 2,56.10-6 3 3

Números Grandes

(4) 0, 006 573 = 8,573.10-3 3 Nº menor que 10 9.

PREFIJOS ACEPTADOS POR EL S.I. Prefijo

símbolo

M U L T I P L O S

exa peta tera giga mega kilo hecto deca

E P T G M k h da

S U B M U L T I P L O S

deci centi mili micro nano pico femto atto

d c m



n p f a

Factor por el que se multiplican las unidades 1018 1015 1012 109 106 103 102 10

Nombres del valor numérico

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18

Décima Centésima Milésima Millonésima Mil millonésima Billonésima Mil billonésima Trillonésima

Trillón Mil billones Billones Mil millones Millón Mil Cien Diez

PRÁCTICA DE CLASE I.

A continuación se propone una serie de relaciones en donde se pide despejar la letra x. 01. E.x = F.v. cos  02. E = h.x 03. p.V = n.x.T 04. 1 = f.x

II.

Luego de efectuar operaciones, se pide despejar la letra encerrada entre corchetes: 05. 06. 07. 08.

[b]M2L-6 = LMT-2 L1MT-2 = [C]L(L2)3/2 L-3M = [B](LT-1)-2 L2MT-2= [h]T-1

III. A continuación se presentan sistemas de ecuaciones de primer grado. Se pide encontrar los valores de x o y en cada caso.

IEP “EL FARO” 1 9 09. 11. V12 x 2  V22 x 2  d 2 a (2 x  1)  3. a 2 2 36  x 4x 10. 12. x = 8y  x 36  x 160 + x = 48y IV. Dado el siguiente conjunto de ecuaciones de segundo grado, se pide encontrar los valores para las incógnitas en cada caso. 13. t2 – 6t + 5 = 0 14. -28 + 8t + t2 = 56 V.

Dados un ángulo interior y un lado, se pide encontrar los otros lados. 15.

12

16.

17.

8 b

b

15

a

a

37º 53º

53º a

b

VI. Conocidos como mínimos dos lados, encontrar la medida de los ángulos  y . 18.

19.

20.

 20





10

5 3

5

25

 

 5

5

15

VII. Empleando la notación científica escribir: 21. 200 22. 450 000 23. 0,000 5 24. 0,000 000 037 25. 783 00 000 000 000

VIII.

Realizando las operaciones hincadas determinar la igualdad incorrecta:

26. (2.102) (3,1.105) = 6.2.107 27. (5,1.103) (3.104) = 1,53.108 28. El resultado de la operación indicada es: 1,2.10

3

 2,5.10  2  2.106       

a) 12

b) 2 y 0

c) 120

d) 60

e) 15

IEP “EL FARO” EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 I)

Despejar la letra x de las siguientes relaciones: 01. c2 = 1/xu0 02. (a/b)x = R 03. x2/r = R 04. gx2 = 2h

II) Luego de efectuar operaciones, se puede despejar la letra encerrada entre corchetes: 05. LMT –2 = (TI)2 / [ ]L2 06. L2 / [ B ]1/2 = 1 07. L2 T –2 [ k ] = T –3 [ k ]2 III) Encontrar los valores de x e y en cada caso: 08. x = 40 (y + 1) x = 60 (y – 1) 09. x + y = 8 x – y= 2 10.2x + y = 1 x+y=0 IV. En el conjunto de ecuaciones de segundo grado; encontrar los valores para las incógnitas: 50  f 5  60  f    11. 50  f 3  60  f 

V.

12. H = 5t2 H= 10 (t – 1)2 Dado un ángulo interior y un lado, se pide encontrar los otros lados. b

14.

13. a

a

20

10 2 45°

45° b

4

15.

8

16.

60° b

b

a

a

30°

18.

17. 30° a

40

a 5 3

60° b

b

18/03/2019

IEP “EL FARO” VI. Conocidos como mínimo dos lados, encontrar la medida de los ángulos  y . 4 3

20.

19.



 10

8



 5

5

22.

21.





5 2



30

15 3



24.

23.





10 15

10 2



 15

VII. Efectuar las operaciones indicadas y dar los resultados en notación científica: 25. 1 800  210 26. 36 100  0,19 27.

2,635  26 ,35 0,000 263 5

28.

0,003  49 000  0,9 8 100  3 600  0,07

29.



32 400



0,000 016



30. Señalar el resultado en metros (m) de la operación indicada: (900 mm ) (15 Em ) (8 m) (5 km) (4 Mm)

a) 5 400

b) 54

c) 540

d) 54 000

e) 5 400 000

d) km

e) mm

31. Del problema anterior es 5,4... a) Tm

b) pm

c) am

TAREA DOMICILIARIA I.

Despejar la letra x de las siguientes relaciones: 01.1 = vx/m 02. F = xmM/d2 03. C = Q/m . x

II.

Luego de efectuar operaciones, se pide despejar la letra encerrada entre corchetes: 04. LMT–2 = [ G ] M . M/L2 05. (L –1 MT –2)L3 = N [ R ]  06. (L2 MT –2) [ f ] = (LMT–2) (LT –1)

IEP “EL FARO” III. Encontrar los valores de x o y en cada caso: 07. 52 = x2 + 42 08.

2x  1 30  26 2x  1

09.

1 1 1   4 20 x

IV. En el conjunto de ecuaciones de segundo grado, encontrar los valores para las oncógnitsa: 10.24 – 10t + t2 = 0 1  10 t 2   80 2 Dado un ángulo interior y un lado, se pide encontrar los otros lados.

11. 30t – V.

90 12.

13.

14.

53° 37° b

37°

20

a

a

a 16

b

b

VII. Conocidos como mínimo dos lados, encontrar la medida de los ángulos  y .

16.

15.  20

 12

16

15 



17.

18  24 

VII. Realizando las operaciones indicadas determina la igualdad incorrecta: 18.(6 . 10-2) (8 . 106) = 4,8 . 105 19. (7 . 10-3) (9 . 10-2) = 6,3 . 10-4 20. Encontrar el valor de F, si:

F  9 .10 9

(5 .10 6 ) ((.10 5 ) (3.10  2 )2

IEP “EL FARO”

MEDICIONES ANÁLISIS DIMENSIONAL

COMPETENCIA A DESARROLAR: Aplicar Análisis Dimensional en la verificación de fórmulas físicas del Sistema Internacional. CONTENIDOS 1.1. Magnitud. Clasificación de las magnitudes. Sistema Internacional de medidas 1.2. Ecuación Dimensional. Principio de homogeneidad dimensional. Objetivos de Análisis dimensional. Ejercicios de aplicación. ACCIONES SUGERIDAS 1.1.1. Reconocer la Estructura del SI 1.2.1. Reconocer una ecuación dimensional y el principio de homogeneidad dimensional. 1.2.2. Resuelven ecuaciones dimensionales. "Cuando podemos medir aquello a que nos referimos y expresarlo en números entonces sabemos algo acerca de ello; pero cuando no es posible medirlo ni expresarlo en números, nuestro conocimiento es insuficiente y poco satisfactorio" Lord kelvin 1.0. ¿A QUE LLAMAMOS MAGNITUD? En nuestro universo sabemos por propia experiencia que hay cosas que se pueden comparar entre sí y otras no. por ejemplo, podemos comprar la altura de un árbol con la altura de un edificio, en cambio no podemos comprar el amor que sentimos por nuestra madre con el que sentimos por nuestros hijos. ¿Por esto, todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su misma especie, es una magnitud. Así entonces la longitud, la masa, el tiempo, ... etc. son magnitudes. 1.1. ¿QUÉ ES UNA CANTIDAD? Cuando nos fijamos en el largo de la pizarra, en la masa de carne de un cerdo o en la duración de la clase, estamos hablando de cantidades. De esto diremos que: "Cantidad es una proporción definida de una magnitud" 1.2. ¿A QUE LLAMAMOS UNIDAD DE MEDIDA? Llamamos así aquella cantidad elegida como patrón de comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida. 1.3. ¿QUÉ ES LA MEDICIÓN? Si por salvar una vida tuviéramos que averiguar el ancho que tiene la puerta del aula, y si usando nuestros zapatos encontramos que en ella caben cuatro, lo que habríamos hecho es simplemente una medición. Luego "Medición es la operación realizada por el hombre que consiste en averiguar las veces en que una unidad está contenida" CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES Las magnitudes se agrupan en dos grandes categorías: por su origen y por su naturaleza. A. Por su origen.- Estas magnitudes físicas son de dos clases: fundamentales y derivadas. Magnitudes Fundamentales. Son aquellas que sirven de base para escribir las demás magnitudes. En física se han elegido siete magnitudes como fundamentales o básicas que son: MAGNITUDES FUNDAMENTALES Fórmula Dimensional Longitud L Masa M Tiempo T Intensidad de corriente eléctrica I Temperatura termodinámica θ Intensidad Luminosa J Cantidad de sustancia N Magnitud

Unidad metro kilogramo segundo Ampere Kelvin candela mol

Símbolo m kg s A K cd mol

IEP “EL FARO”

Magnitudes Derivadas. Son aquellas que se definen o expresan en función de las magnitudes fundamentales, así tenemos, los siguientes ejemplos: MAGNITUDES DERIVADAS Magnitud Unidad Símbolo Área metro cuadrado m2 Volumen metro cúbico m3 Aceleración metro por segundo al cuadrado m/s2 Densidad Kilogramo por metro cúbico k/m3 Momento de una fuerza Newton metro Nm Intensidad campo Eléctrico Voltio por metro V/m Capacidad calorífica Joule por kilogramo kelvin J/kg°K Frecuencia Hertz Hz Fuerza Newton N Presión Pascal Pa Trabajo-Energía Joule J Potencia Watt W Cantidad de electricidad Coulomb C Diferencia de potencial Voltio V Capacitancia eléctrica Faradio F Resistencia eléctrica Ohm  Flujo magnético Weber Wb B.

Por su naturaleza.- Este tipo de magnitudes físicas son de dos clases: escalares y vectoriales. Magnitudes Escalares. Son aquellas magnitudes que están perfectamente determinadas por un número o valor numérico que expresa su medida y por la unidad correspondiente. Ejemplos: Magnitud Longitud Tiempo Masa Área

Número 30 90 20 40

Unidad metros minutos kilogramos cm2

En los ejemplos vemos que las magnitudes quedan perfectamente determinadas porque sólo se necesita el valor numérico y su respectiva unidad. Magnitudes Vectoriales.- Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor o módulo y su unidad, se necesita conocer su dirección y sentido. Magnitud Vectorial Desplazamiento Velocidad Aceleración Fuerza

Valor 40 km 10 m/s 9,8 m/s2 45 N

Orientación Norte Este Abajo N 60° O

1.4. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Históricamente han llegado a nosotros tres sistemas de unidades: el C.G.S. el M.K.S. y el técnico. Entre los muchos sistemas que se pueden crear. En la actualidad, y por evitar las dificultades que entraña el manejo en los tres sistemas. Se utiliza, únicamente, el Sistema Internacional de Unidades (SI), el cual sugerimos en este libro. En el año 1960, durante la Undécima Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), se creó el Sistema Internacional de Unidades (SI), con el motivo de unificar y perfeccionar el antiguo sistema métrico basado en tres unidades (metro, kilogramo, segundo), empleados por la ciencia, la industria y el comercio. En el Perú se reglamentó el SI según decreto Ley N° 23 560 como el primer sistemas de reglas perfectamente definidas.

IEP “EL FARO”

Magnitud Longitud

Unidad metro

Símbolo M

Masa

Kilogramo

kg

Tiempo

Segundo

s

Intensidad de corriente eléctrica

Ampere

A

Temperatura termodinámica

Kelvin

K

Intensidad Luminosa

Candela

Cd

Cantidad de sustancia

mol

mol

Definición El metro es la longitud del trayecto recorrido, en el vacío, por un rayo de luz en un tiempo de 1/299 792 458 segundos. El kilogramo es la unidad de masa (y no de peso ni de fuerza); igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo. El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación, correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133. El ampere es la intensidad de corriente constante, que mantenida en dos conductores paralelos rectilíneos de longitud infinita, de sección circular despreciable y que estando en el vacío a una distancia de un metro el uno del otro, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2 x 10-7 newton, por metro de longitud. El kelvin, unidad de temperatura termodinámica, es la fracción de 1/273 16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 Hertz y de la cual la intensidad radiante en esa dirección es 1/689 watt por estereorradián. El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

De prefijos aprobados para la formación de múltiplos y submúltiplos de las diferentes unidades que fueron ya tratadas en el curso de matemática 1, inclusive a nivel de educación primaria. A. Unidades de Base. Las unidades de base constituyen la columna fundamental de todo el Sistema “SI”; que son ciertas cantidades tomadas como referencia para servir de “unidades de medida”. B. Unidades Suplementarias. Las unidades suplementarias, son medidas angulares adimensionales, que por motivos especiales aún no han sido clasificadas por la CGPM como unidades de base o derivadas. MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS MAGNITUD FÍSICA UNIDAD Angulo plano radián Angulo sólido estereorradián

SÍMBOLO rad sr

C. Unidades Derivadas. Las unidades derivadas son innumerables, se forman combinando algebraicamente las unidades de base y las suplementarias y/o las de base, suplementarias y derivadas entre sí, mediante las ecuaciones físicas que las definen. Así por ejemplo, la unidad de superficie se deriva de la unidad de longitud mediante la definición. Largo x ancho = superficie 1m x 1m = 1m2 Del mismo modo, la unidad de velocidad se obtiene según la definición:

dis tan cia = velocidad tiempo

1m = 1m/s (un metro por segundo) 1s

Para facilitar la comprensión de lo expuesto, diremos que las unidades derivadas se obtienen como producto o cociente de otras unidades.

IEP “EL FARO”

2.0. ANÁLISIS DIMENSIONAL El estudio de las distintas formas que adoptan las magnitudes derivadas nos obligan a desarrollar un conjunto de leyes, reglas y propiedades en un campo propiamente matemático. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos de lo que en adelante llamaremos DIMENSIONES, los mismos que aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales. Por ser este texto de un nivel básico de Física, diremos como ejemplo que la dimensión del área L2, aunque esto solo sea convencional, para minimizar la complejidad del análisis. Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá: 1º Relacionar una magnitud física con otras elegidas como fundamentales. 2º Establece el grado de verdad de una fórmula. 3º Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.

DEBES SABER QUE: El trabajo científico no siempre se ha realizado bajo las rigurosas formas establecidas por el método científico, es necesario hincar que en muchos casos los descubrimientos se han debido a hechos fortuitos, casualidades, y en algunos casos, a determinados presentimientos. en estos últimos se han recurrido al Análisis Dimensional para tratar de confirmar un determinado descubrimiento. 2.1. FORMULAS DIMENSIONALES Designaremos con ese nombre a aquellas relaciones de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general. Así, si “X” es una magnitud derivada, se establece que [X] es la fórmula dimensional de x tal que:

[X] = La Mb T c θd Ie Jf Ng Aquí debes reflexionar en torno a esto: "Las fórmulas dimensionales se obtiene a partir de fórmulas matemáticas o físicas" a) Área (A): A = b.h  [A] = [b].[h] = L.L.  [A] = L2 Unidades de (A) = m2

Fórmula Matemática

b) Volumen (V): V = A.h  [V] = [A][h] = L2.L  [V] = L3 Unidad de (V) = m3

Fórmula matemática

Fórmula Dimensional

Fórmula Dimensional

c) Velocidad Lineal (V):

v

d  distancia    t  tiempo 

Fórmula Física

d   L t T



[v] =



[v] = LT-1

Fórmula Dimensional

d) Aceleración lineal (a):

a= 

 v   Variación de velocidad  Fórmula física t

 

Tiempo

a   v  LT t

1

T

 

IEP “EL FARO”

a   LT 2  Unidad de (a) = m. s-2

e) Fuerza F:  

Fórmula dimensional

F = m.a. Fórmula física F] = m]a] = M.L.T.-2 [F] = LMT-2 Fórmula Dimensional

Unidad (F)= m.kg.s-2 = 1N Newton Dimensional

MUY IMPORTANTE El símbolo

 significa variación o diferencia. Por ejemplo:

T = Tf - Ti P = Pf - Pi Aquí los subíndices f e i, se refieren a los valores finales e iniciales respectivamente.

PARA NO OLVIDAR El símbolo  significa variación o diferencia. Por ejemplo: V expresa una variación de velocidad, tal que: V= Vf – Vi de manera que al hacer uso del operador dimensional [] se tendrá que: [V] = [Vf ] – [Vi] [V] = LT-1 – LT-1 [V] = LT-1



Fórm. Física F.b *

W

F.d

L2MT-2

m2.kg.s-2 = Joule (J)

Pot

W/t

L2MT-3

m2.kg.s3 = Watt (W)

Cant. de movimiento

p

m.v

LMT-1

m.kg.s-1

Impulso

I

F.t

LMT-1

m.kg.s-1

Presión

p

F/A

L-1MT-2

Densidad

D

m/V

L-3M

Periodo

T

1/f

T

Magnitud Derivada Símbolo Torque Trabajo o energía Potencia

Frecuencia

f

1/t

Velocidad Angular



ˆ /t **

Aceleración Angular



 /t

Área

A

Volumen

Fórm. Unidades Físicas Dimensional L2MT-2 m2kg.s-2

m-1.kg.s-2 = Pascal (Pa) m-3.kg s

-1

T

osc/s

T-1

rad/s

-2

T

rad/s2

b.h

L2

m2

V

A.h

L3

m3

Velocidad

v

d/t

LT-1

m/s

Aceleración

a

v/t

LT-2

m/s2

Fuerza

F

m.a

LMT-2

m.kg.s-2 = Newton (N)

Peso

W

m.g

LMT-2

m.kg.s-2 = Newton (N)

Peso especifico

γ

W/V

L-2MT-2

N/m3

Caudal

Q

V/t

L3T-1

m3/s

Calor

Q

Ce.m.T

L2MT-2

Dilatación lineal

ΔL

L0.α.T

L

Caloría (Cal) m

IEP “EL FARO”

Capacidad calorífica

C

Q/T

Calor latente

L

Q/m

Empuje hidrostático

E

Carga eléctrica

Q

L2MT-2θ-1 2

-2

Cal/°C

LT

Cal/g

ρlíq.g.V

LMT-2

N

I.t

IT

Coulomb (C)

-3 -1

Campo eléctrico

E

F/Q

LMT I

N/C

Potencial eléctrico

V

W/Q

L2MT-3I-1

J/C = Voltio (V)

-2

-1

4 2

Capacidad eléctrica

C

Q/V

L M T I

C/V = Faradio (F)

Resistencia eléctrica

R

ρ.L/A

L2MT-3I-2

Ohmio (Ω)

**  = ángulo girado.

* b = brazo de palanca

2.2. ECUACIONES DIMENSIONALES Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes son conocidas y las otras, o no lo son, o tiene dimensiones desconocidas. Veamos los siguientes ejemplos: a) L3 M [X] – L3 [Y] = L3 M T (Magnitudes) b) Ls.T3.-2 = L4.Tr.2r-u (Números)

–1

Incógnitas: [X] , [Y]

Incógnitas: r, s, u

REGLAS IMPORTANTES 1º Las magnitudes físicas, así como sus unidades no cumplen con las leyes de la adición o sustracción, pero si con las demás operaciones aritméticas. L2 + L2 + L2 = L2

;

LT-2 – LT-2 = LT-2

2º Todos los números en sus diferentes formas son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensional es la unidad. [ 3 ] = 1; [2 rad] = 1; [sen 45º] = 1; [log 19] = 1

CANTIDAD ADIMENSIONAL Es aquella que al expresarse dimensionalmente no requiere de ninguna de las magnitudes físicas fundamentales. Los ángulos planos o sólidos, siendo magnitudes, están en la lista de cantidades adimensionales. 2.3. PRINCIPIOS DE HOMOGENEIDAD "Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las, mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes" [A] + [B] = [C] – [D]



[A] = [B] = [C] = [D]

Es evidente que este tipo resulta más práctico de aplicar haciendo que cada operación de adición o sustracción se convierta en una igualdad, de este modo se logra que los términos de cada una de estas operaciones tengan las mismas dimensiones. Cuando existen expresiones con magnitudes físicas en los exponentes, deberá procederse con sumo cuidado, recordando que el exponente es siempre un número, por consiguiente la expresión exponencial deberá ser adimensional en su totalidad. Ejemplo: sea la siguiente una expresión dimensionalmente correcta: x ,y  x, y  2 z  1 P  mv d  

 z 

IEP “EL FARO”

PRÁCTICA DE CLASE 01. Halla la ecuación dimensional del trabajo. 02. Expresa dimensionalmente Q en la siguiente fórmula: Q = Wv [ - (log k)3]2; siendo: W = trabajo v = velocidad  = 3,14 k = constante 03. Determina dimensionalmente las siguientes ecuaciones: a) Presión b) Potencia c) Volumen d) Densidad e) Energía Cinética f) Peso específico at 2 04. Demuestra que dimensionalmente la siguiente fórmula es una longitud (L) : d =vt + 2

05. Calcula la dimensión de: E=

Pxg 2 ; siendo: Pe x v

g = aceleración de la gravedad Pe = peso específico

P = presión v = velocidad

06. Halla la ecuación dimensional de la energía cinética, cuya fórmula es: Ec= 1 mv2 2

x y

07. Halla la ecuación dimensional del período de un péndulo: T = 2L g 08. Determina la ecuación dimensional de la siguiente expresión: E=

mV 3 ; siendo: 2 rA

m = masa V = velocidad A = superficie 2r = longitud 09. Halla los valores de x en y en la siguiente ecuación: A-1/3 B2 = CDxEyK; siendo: A = masa B = velocidad C = log 15 K = sen 20° D = aceleración E = densidad 10. Halla la ecuación dimensional de la energía potencial: Ep = m x g x h; siendo: m = masa g = aceleración de la gravedad h = altura 11. En la siguiente ecuación dimensional, determina el valor de x: X2d1 = sen 30° (d + d2)2 W; siendo: d , d 1 , d 2 = aceleración angular

W = velocidad angular x y z

12. Halla los valores x, y, z de la siguiente ecuación dimensional. P = kw r d . Siendo: P = Potencia w = velocidad angular r = radio d = densidad k = cos 15° 13. Expresa la ecuación dimensional de P en la siguiente fórmula: P = Z = aceleración Q = fuerza

ZV Q W

V = volumen W = trabajo

14. Expresa la ecuación dimensional de M en la expresión siguiente: M = a = aceleración

Donde:

38 a . Siendo: P

P = tiempo

15. ¿Cuál es el valor dimensional de la constante R de los gases: R: 0,082 PR

atm x  mol x k

16. Halla el valor dimensional de X en la siguiente fórmula: X = QBZ Donde: P = presión R = radio

IEP “EL FARO”

Q = densidad B = fuerza Z = velocidad 17. Determina el valor dimensional de X en la siguiente expresión: X = A x B A= peso específico B = trabajo C = presión 18. Encuentra el valor dimensional de Z en la siguiente fórmula: Z =

WD2 A2 3

QR 2 S

C

; Donde:

. Siendo:

W = trabajo D = densidad A = aceleración Q = presión R = potencia S = superficie 19. Determina la ecuación dimensional de: A=

S x Vx F x a , donde: dxW

S = área V = velocidad F = fuerza a= aceleración angular d = densidad W = trabajo 20. La siguiente fórmula permite calcular el período de oscilación de un péndulo. Determina  x y la fórmula correcta. T = x l g , siendo: l = longitud

g = gravedad

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01. Toda magnitud se caracteriza porque: ( ) Tiene medida ( ) Acepta la Comparación ( ) Se expresa por cantidades Señalar con V lo verdadero y con F lo falso a) VFV b) VVV c) FFV d) FFF e) VVF 02. Si empleamos el tamaño de nuestra mano extendida para medir el largo de la carpeta, diremos que nuestra mano es una: ( ) Cantidad de longitud ( ) Unidad de medida ( ) Hacemos una medición indirecta Indirecta verdadero V, o falso F, según corresponda. a) VVF b) VFV c) FVV d) FFF e) N.a. 03. A continuación se dan las siguientes proposiciones. Indicar verdadero (V) y Falso según como corresponda ( ) Las magnitudes fundamentales son siete ( ) Dos magnitudes diferentes pueden tener idénticas fórmulas dimensionales. ( ) Se califica que una cantidad es adimensional porque no es posible medirla a) VVV b) VFF c) FVV d) VVF e) FVF 04. En relación a la medición se puede afirmar que: a) Todas son directas. b) Todas son indirectas c) Es la comparación entre dos cantidades de una misma especie. d) Todas empelan fórmulas 05. Elige la palabra que complete mejor la siguiente oración:

IEP “EL FARO”

"La exactitud de una medición describe el grado de ............... entre el valor obtenido y el valor aceptado" a) Igual

b) Similitud c) Precisión d) Certeza

e) Aproximación

06. En un resorte ideal se verifica que: F=kx, donde F = fuerza, x = deformación (distancia). Encontrar [k] a) M b) L2 c) T-1 d) LT e) MT-2 07. La ley de gravitación universal establece que: F = Gm1.m2/d2, donde: F = fuerza, m1 y m2 = masas, y d = distancia. Halar [G] a) L3M-1T-2 b) L3M-1 c) T-2 d) L3T-2 e) N.a. 08. La velocidad (v) de las ondas en una cuerda que experimenta una fuerza de tensión (T) viene dada por: V  T /  . Determinar [] a) L-2M b) LM c) L-1M d) L2M e) N.a. 09. La energía interna (U) de un gas ideal se obtiene así: U = ikT/2. donde i = número adimensional. T= temperatura. Se pide calcular [k] a) L1MT-1-2 b) L2M-22 c) MT2-1 d) L2MT-2-1 e) L2MT-1 10. El estado de un gas ideal se define por la relación: pV=RTn, donde p = presión, V = volumen, T = Temperatura, y n = cantidad de sustancia. De esto, encontrar [R] a) L2T-2-1 b) L2MT-2-1N-1 c) L2M12N-1 d) L2-1N-1 e) L3MT-11N 11. Sabiendo que la siguiente ecuación es dimensionalmente homogénea: m = hf/x2, donde: m = masa, f = frecuencia y h = constante de Planck, podemos asegurar que x es: a) Área b) Densidad c) Presión d) periodo 12. En la ecuación homogénea: sen 37º 2  Bk  CK   w     D Ek  F   Hallar [F], si B = altura, C = masa, y E = fuerza.

e) Velocidad lineal

a) LT b) L2T-2 c) LT-2 d) L-2T e) LT-1 13. En la siguiente expresión (dimensionalmente correcta) x a y 2  sen 30º   2 .z 3t Dónde:  = velocidad angular, a = aceleración, y t = tiempo. Se pide encontrar: [x, y, z] a) L2T-2 b) L3M c) L3 d) L2T-1 14. Si la ecuación indicada es homogénea: UNA + UNI = IPEN

e) LMT-2

Tal que: U = energía, R = radio, entonces, las dimensiones de [PERU] serán a) L4M4T-4 b) L-4M2T4 c) L4M2T-6 d) L5M2T-4 e) L5 M5T-2 15. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta. Hallar: y –2x-3z F = Bz.A- y.Vx Dónde: F = presión, B = densidad, A = aceleración, V = volumen.

IEP “EL FARO”

a) –2

b) –4

c) 6

d) 9

e) 10

TAREA DOMICILIARIA 01. Halla dimensionalmente la siguiente expresión: tan  32  T + sec 



 3  2

T

02. Si: F + Z = YR + Q, siendo: F = fuerza R = radio Halla la ecuación dimensional de Y. 03. En la ecuación homogénea, halla |Y|. RY + SZ = Cos QU, donde: R = aceleración Q = ángulo S = potencia U = trabajo 04. Si la siguiente relación es homogéneamente correcta, halla las unidades de magnitud en el S.I.: av(b + vc ) + c = F F = fuerza v = velocidad

a= aceleración

05. Determina la suma de los exponentes x e y en la ecuación dimensional homogénea: 3

c tan263° = 7 log103DxEy, siendo: c = tiempo E= aceleración D = longitud 06. Determina las dimensiones de h en la expresión siguiente: m = m = masa

f= frecuencia

  , donde: 

c = velocidad de la luz

07. Determina la dimensión de S en la siguiente expresión: S = E = trabajo m = masa

 hf   c2

 2 E   2gh , donde:  m 

g = aceleración h = altura

08. La siguiente expresión, nos permite calcular la rigidez de una cuerda. Determina las dimensiones que tienen a y b. S=

aQ 2 R + bd , siendo:

R = radio Q = carga d = diámetro S = rigidez en Kg 09. La fuerza de rozamiento que sufre una esfera dentro de un líquido está dada por la siguiente expresión: F = 6nxryvz, donde: v = velocidad r = radio F = fuerza de rozamiento n = viscosidad ( masa/longitud x tiempo) Halla la suma de x + y + z para que la expresión sea dimensionalmente correcta. 10. Halla las dimensiones de k y c en la ecuación dimensionalmente homogénea siguiente:

c=

M senQ m(k 2  h 2 )

Q = ángulo m = masa h = altura M = momento de una fuerza (fuerza × distancia)

IEP “EL FARO”

DEMOSTRANDO LO APRENDIDO EN FÍSICA 5to Sec. Apellidos y nombres:…………………………………… 1) Señalar el resultado en metros (m) de la operación indicada:

Sección:……..

30t –

(900 mm) (15 Em) (8  m) (5 Mm) (4 km)

1  10 t 2   80 2

5) Dado un ángulo interior y un lado, se pide encontrar los otros lados. 2) En cierto experimento, se mide el tiempo que demora un péndulo simple en dar una oscilación. Se observa que este tiempo depende de la aceleración de la gravedad y de la longitud de la cuerda. Determinar la ecuación del periodo en función de estas dos últimas cantidades.

T  2 Lx g y Donde:

x

e y son exponentes.

14. 37° a 16

b

6) En la ecuación homogénea: 2   Bk  Ck   W     D  Ek  F   

sen 37

Hallar [F], si B = altura, C = masa, y E = fuerza.

7) Dar el valor simplificado de: 3) Halla la ecuación dimensional del período de un péndulo: T = 2Lxgy

(25 000)5 (0,000 625)3 𝑅= (0,001 25)2 (0,05)4

8) Determina la ecuación dimensional de la siguiente 4) En el conjunto de ecuaciones de segundo grado, encontrar los valores para las incógnitas:

expresión: E=

E

mV 3 ; siendo: 2 rA

IEP “EL FARO” m = masa A = superficie

V = velocidad 2r = longitud

tuvo 64 bacterias. ¿Cuántas habrían en tres horas? Expresar este resultado en Gigabacterias.

9) En un cultivo bacterial se observa que se reproducen en progresión geométrica cada hora, en razón de 2000 bacterias. Si inicialmente se

ANÁLISIS VECTORIAL Introducción}

En los últimos años, el conocimiento más profundo de la ciencia y el progreso de la tecnología se basa en principios ya establecidos y de preferencia de métodos analíticos, tales como el análisis vectorial. El conocimiento de la teoría vectorial, actualmente se ha convertido en un requisito indispensable para ingenieros, matemáticos, físicos y otros científicos; porque no sólo proporciona un método conciso para analizar matemáticamente los fenómenos físicos y geométricos, sino que también ayuda a desarrollar la comprensión intuitiva de dichos fenómenos. La teoría vectorial o estudio de los vectores se aplica a la geometría elemental, a la mecánica, a la teoría electromagnética y al estudio de los fluidos. Por lo tanto en el presente capítulo trataremos básicamente sobre las magnitudes escalares y vectoriales, el concepto de vector, su clasificación y sus operaciones principales. 1.

TEORÍA VECTORIAL En el campo de la Física, encontramos en forma frecuente cantidades que tienen dirección y magnitud, tales como el desplazamiento (12 km en dirección norte sur), la velocidad (45 km/h), la fuerza (300 Newton), etc. Para poder trabajar con facilidad con estas cantidades, es necesario conocer nuevos conceptos, como la idea de vector. El vector es un objetivo físico o magnitud que posee un valor, dirección y sentido; el cual se mantiene independiente de los ejes coordenados rectangulares; por esta razón todo fenómeno físico, se expresa en forma vectorial, de ahí la gran importancia que reviste para nosotros.

2.

MAGNITUDES VECTORIALES Imaginemos un automóvil que se dirige de Lima con rumbo a Piura, Cuzco y Arequipa, siguiendo la ruta que se indica con las flechas. El auto sufre un cambio de posición: de Lima a Piura, de Lima a Cuzco y de Lima a Arequipa, ESTOS CAMBIOS DE POSICIÓN INDICAN DESPLAZAMIENTOS. En el caso específico de Lima a Arequipa estará definido por el segmento de recta orientado que une dichos puntos. Además es muy necesario precisar su orientación y magnitud. Por lo tanto una cantidad vectorial posee: magnitud (valor), dirección (línea de acción), punto de origen (Lima) y sentido (orientación). En consecuencia los desplazamientos de Lima a Piura, Cuzco y Arequipa son magnitudes vectoriales, que se representan mediante flechas.

IEP “EL FARO”

Piura 1 050 Km

Lima 1 160 Km Cuzco 1 030 Km

Arequipa

3.

VECTORES Y SU REPRESENTACIÓN Una parte de la matemática tiene por finalidad estudiar a entes imaginarios, llamados vectores y analizar las diferentes operaciones que con ellos se efectúan. Vector, es un segmento orientado a lo largo de una línea recta de acción, que sirve para representar a las magnitudes vectoriales, mediante una punta de flecha colocada en sus extremos así por ejemplo:

vector V

A

B  Se acostumbra representar cada vector con una letra, la cual lleva una flechita encima de sí: V Así mismo es importante indicar la siguiente notación:  V  V ; Se lee: vector V  V = | V |; Se lee: módulo o valor del vector V. 4.

ELEMENTOS DE UN VECTOR Un vector queda completamente definido cuando se conoce su valor, dirección y sentido. 4.1. Punto de Aplicación. Está dado por el origen del vector (Lima). 4.2. Módulo o Intensidad. Está representado por el valor o longitud del vector. (1 030 Km). Generalmente se representa a escala. (1)

Lima (2)

Arequipa

(3) (4)

4.3. Sentido. Está dado por la cabeza o flecha del vector que indica hacia donde apunta el vector (De Lima hacia Arequipa). 4.4. Dirección. Está dada por la línea de acción del vector (Dirección de Norte a Sur), o sea la recta que contiene al vector. 5.

TIPOS DE VECTORES 5.1. Vectores Colineales: Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. Ejemplo:

A

B

C

5.2. Vectores Concurrentes: Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un solo punto. Ejemplo:

IEP “EL FARO” A, B y C son concurrentes en el punto 0

C

0

B

A

5.3. Vectores Coplanares: Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano. Ejemplo:

C A , B y C son coplanares

A B

5.4. Vectores Iguales: Son aquellos sectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido, pudiendo ser de direcciones paralelas o iguales Ejemplo:

V2

A

V1

B

  V1  V2(vectores iguales)

  A y B son iguales

5.5. Vector Opuesto. Se llama vector opuesto (-A) de un vector A cuando aquel tiene el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario. Ejemplo:

A -A

5.6. Vector Deslizante. Es el vector que puede moverse a lo largo de una dirección, sin que varíe su efecto; es decir que su módulo y sentido se mantienen intactos.

  Ejemplo: Cuando se jala ( A ) o empuja ( B ) un carrito, siendo el efecto en ambos casos el mismo. V

V A

B

   A y B son equivalentes, el vector deslizante es V . 6.

OPERACIONES CON VECTORES Para un mejor estudio desarrollaremos las siguientes operaciones; cada una de ellas en forma gráfica y analítica, es decir mediante dos soluciones.

6.1. Suma de vectores paralelos

IEP “EL FARO”

 Como todos los vectores tienen la misma dirección, entonces el vector resultante R , tendrá la misma dirección, el módulo se obtiene sumando algebraicamente los módulos de los vectores, teniendo en cuenta los signos (sentidos).

       Ejemplo: Sean los vectores a , b y c que se muestran en la figura. Hallar a  b y a  c.

a b

c u

a) Según la figura |a| = 4u, |b| = 6u, entonces: |a + b| = 4u + 6u = 10u Es decir que el vector resultante (+10u), se orienta hacia la derecha, así:

a + b









b) De acuerdo a la figura a = 4u; c = - 6c = -2u a = 4u; c = 4u + (-2) = -2u El vector resultante (-2u) está orientado hacia la izquierda, así: a +c

Nota: La forma correcta de indicar el módulo (valor de un vector) es así:  | a | = 3u o a =3u Sin embargo en el ejemplo anterior por comodidad hemos obviado esta regla. 6.2. SUMA DE DOS VECTORES CONCURRENTES Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen (concurrentes), se construye un paralelogramo, trazado por el extremo de cada vector una paralela al otro. Geométricamente el módulo del vector resultante se obtiene trazando la diagonal del paralelogramo desde el origen de los vectores, por esta razón se le conoce como el Método del paralelogramo.   Así por ejemplo: sean los vectores A y B separados bajo un ángulo  B  A

 Al sumar dichos vectores obtenemos el vector resultante R :

R A  B

Analíticamente, el módulo del vector resultante se determina aplicando la siguiente fórmula: R2 = A2 + B2 + 2ABcos

Esta fórmula se conoce como la Ley de los cosenos, cuya demostración es la siguiente:

IEP “EL FARO” Q

B' 

R

A 



P

A'

m

S n

H



B

a) En el triángulo rectángulo PQH, tenemos: R2 = m2 +(B + n)2 ................................(1) b) En el triángulo rectángulo QSH, tenemos: m = sen   m = A sen  A n = cos   n = A cos  (2) ...............(2) A c) Reemplazando la ecuación (2) en (1) tenemos: R2 R2 R2 R2

= = = =

(Asen)2 + (B + Acos)2 A2sen2 + B2 + 2BAcos + A2cos2 A2(sen2  + cos2) + B2 + 2BAcos A2(1) + B2 + 2BAcos A2 R2 =A2 + B2 + 2ABcos

  Esta fórmula se ha obtenido en función del ángulo  formado por los vectores A y B , pero si consideramos  el ángulo  opuesto al vector resultante R , donde  = 180 - , la fórmula es: R2 = A2 + B2 + 2ABcos(180 - ), o sea: R2 = A2+ B2 - 2ABcos Ahora: la dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos tomando como referencia el siguiente triángulo vectorial.

 R A 

 B

R A B   sen θ sen  sen  Ejemplo 1: Halla la magnitud y dirección de la resultantes de los vectores concurrentes, sabiendo que: A = 4cm; B = 3 y  = 60°

B



R



120° A

a) Aplicando la fórmula tenemos:

IEP “EL FARO” R2 = A2 + B2 + 2ABcos R2 = 42 5+ 32 + 2ABcos60° R2 = 16 + 9 + 24(0,5) = 37 R= b)

37 = 6,08 cm  R = 6,08 cm

Aplicando la ley de senos, encontramos la dirección del vector resultante, que preferentemente está dada

por el ángulo que forma la resultante con un vector horizontal, que en nuestro caso es el valor del ángulo 

6,08 R B 3    sen 120  sen  sen 120  sen   sen   0,42

Este valor se busca en la tabla de funciones trigonométricas. Interpolamos en caso de que no exista exactamente en dicha tabla, o sea:

sen  = 0,427  a = 25°30’ Rpta.: R = 6,08 cm;  = 25°30’

Ejemplo 2: Encuentra la magnitud y la dirección de la resultante de los vectores A = 9 cm y B = 7 cm; siendo el ángulo que forman  = 120°.  R B

 



120°

A

Es importante remarcar que, cuando el ángulo es mayor que 90°, realizamos la reducción respectiva, en este caso: cos 120° = - cos(180° -120°) = - cos 60° = -05 a) Aplicando la fórmula respectiva tenemos: R2 = A2 + B2 + 2ABcos R2 = 92 +72 +2(7)(9) cos120° R2 = 81 + 49 + 126(-0,5) R2 = 81 + 49 - 63 = 67 R=

67 = 8,19 cm.  R = 8,19 cm

b) Encontramos la dirección de la resultante por la ley de los senos: 8,19 cm 7 cm R B    sen  sen  sen 60  sen 

IEP “EL FARO” (sen 60 )(7 cm ) (0,860 )(7 )  8 ,19 cm 8 ,19 sen   0,74017    48 

sen  

Luego, empleamos la ley de senos, nuevamente para verificar el valor del ángulo  R A 8,19 cm 9 cm  ;  sen  sen  sen 60  sen 

sen  =

(sen 60 )(9 cm) (0,8660 )(9)  8,19 8,19

sen  = 0,9516   = 72° Rpta: R = 8,19 cm;  = 48°;  = 72° Dichos valores los triángulo; o sea:   72°

+ +

  48°

comprobamos, aplicando el teorema de la suma de los ángulos interiores de un

+ +

  60°

=

180°

=

180°

Casos particulares. Se presentan tres casos particulares: 1. Resultante Máxima: La resultante de dos vectores es máxima, cuando forman entre sí un ángulo igual a cero grados. Por lo tanto tienen igual dirección y sentido. Así tenemos:

a

b

 Rmax = a + b 2. Resultante Mínima: la resultante mínima de dos vectores concurrentes es mínima, cuando forman entre sí un ángulo igual a 180°. Por lo tanto tienen sentidos opuestos. Así tenemos: a

b

Rmin = a - b 3. La resultante de dos vectores concurrentes, se obtiene mediante el teorema de Pitágoras, si forman entre sí un ángulo igual a 90°; porque el término: 2ABcos se anula ya que cos 90° = 0  R  A2  B 2

Ejemplo: Calcula la resultante de los vectores: A = 8u y B = 6u, los cuales forman un ángulo de 90°. ¿Cuál es el valor máximo de la resultante de ambos vectores? a) Gráficamente:

B=6u

R = 10 u

A=8u b) Analíticamente: aplicamos el teorema de Pitágoras.

R=

A2  B2  (8)2  (6)  64  36

R=

100  R 10 u

c) La resultante máxima es:

IEP “EL FARO” Rmax = A + B  Rmax = 8u + 6u = 14u Rpta: R = 10u; Rmax = 14u

6.3 SUMA DE VECTORES Para determinar la resultante de “n” vectores, se aplica el método del polígono, que consiste en construir un polígono con los vectores sumandos, conservando sus mismas características (módulo, dirección y sentido); de tal forma que los vectores se forman uno a continuación de otro, uniendo el origen del segundo vector con el extremo del primero; el origen del tercero con el extremo del segundo, así sucesivamente hasta el último vector. El módulo del vector resultante se determina uniendo el origen del primero con el extremo del último vector. Ejemplo 1.

    Dados los vectores a , b , c , y d , que se muestran en la figura, halla su resultante.

b a

135° d c 45°

Aplicando el método del polígono, se obtiene la resultante de la siguiente forma: d

135°

c a

45° b

Ejemplo 2: Halla la resultante de las fuerzas A = 500 Kg en dirección norte, B = 400 Kg en dirección oeste y 300 Kg en dirección sur.

C=

a) Llenamos una tabla de datos para hacer un gráfico en escala de 1cm/100Kg. Fuerza s A B C

Valor Real 500 Kg 400 Kg 300 Kg

Valor Escala 5 cm

Direcció n norte

4 cm

oeste

3 cm

sur

b) Dibujamos los vectores, sin cambiar la dirección y sentido; luego cambiamos la resultante R, y la medimos para aplicarle la escala respectiva. B C

A 

R

c)

El resultado a escala 0,6 cm/100Kg, es:

    RABC

R = 4,5 (100)  R = 450kg d) Midiendo el ángulo  y encontrando la dirección tenemos: Dirección:  = 152°

IEP “EL FARO” Rpta: R = 450 kg;  = 152° Ejemplo 3: Halla el módulo y dirección del siguiente sistema de fuerzas por el método gráfico: V2 V3

V1 45°

30°

60° V4

V1 = 840 N V2 = 1 000 N V3 = 960 N V4 = 1 200 N a) Formando la tabla de datos y llevando a escala de 1 cm/400N, tenemos: Fuerza s V1 V2 V3 V4

Valor Real 840 N 1 000 N 960 N 1 200 N

Valor Escala 2,1 cm 2,5 cm 2,4 cm 3,0 cm

Direcció n

En la figura

b) Dibujamos las fuerzas, conservando sus direcciones y sentidos (método del polígono). Calculamos la resultante, usando la escala respectiva. V3 V4

V2 R

 V1

c)

El resultado a escala es:      R  V1  V2  V3  V4  R (3)(400 ) 1200 N

d) Encontrando la dirección tenemos: Dirección  = 118° Rpta: R = 1 200 N;  = 118° 6.4. DIFERENCIA DE DOS VECTORES       Sean los vectores A y B , la diferencia A - B se obtiene sumando el vector A con el opuesto del vector B ,  que es  B ; o sea:

    A - B  A  (-B) Otro método práctico consiste en unir los extremos de los vectores de modo que el vector diferencia indique el vector minuendo, así:

A





B

Ejemplo 1:

A _ B

A

B

IEP “EL FARO”

    Halla A - B , si son vectores colineales y miden respectivamente: A  6kg y B  4 kg . Aplicando la expresión analítica de la sustracción de vectores se tiene:

A - B = A + (-B) = 6 kg + (-4kg) = 2 kg Rpta: R = 2 Kg La solución gráfica se plantea análogamente al de la suma de vectores colineales, teniendo presente que el vector (-B) es opuesto de B:

-B A R Ejemplo 2:

    Los vectores A (8 kg) y B (6 kg) forman un ángulo de 60°, halla A - B .

   Para determinar gráficamente la resultante R  A - B , utilizamos el método del paralelogramo con los     vectores A y - B , teniendo en cuenta que  B es vector opuesto de B , tal como se indica en la siguiente figura:

A A - B



-B

60° B

Analíticamente se aplica la misma fórmula para la suma vectorial: (A - B)2 = A2 + B2 + 2ABcos  Siendo:  = 120° y R = A - B R2 = 82 + 62 = 2(8)(6) (cos120°) R2 = 64 + 36 =96 (-0,5) = 52 R  52  7,2

R = A - B = 7,2 kg  R = 7,2 kg

 Aplicando el método práctico, el vector diferencia (R  7,2 kg), se obtiene así :

R = A - B

A

B Rpta: R = 7,2 kg 6.5. DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR Un vector se puede escribir en función de dos o más componentes. En nuestro caso escribiremos el vector  en función de dos componentes que forman entre sí un ángulo recto. Así tenemos el vector A que forma un ángulo  con la horizontal (eje Ox).

IEP “EL FARO” y

A  O x  Luego las componentes del vector A se obtienen uniendo el origen de coordenadas (O), con cada intersección que da por la aplicación del método del paralelogramo, es decir que dichas componentes serán   los vectores A x y A y tal como se muestra en la figura: y

Ay

A 

O

Ax

x

Como observarás en la figura se forma un sistema equivalente, donde: Ax es componente de A en el eje x. Ay es componente de A en el eje y. Asimismo: A cos  = x  Ax = A cos  A sen  =

Ay A

 Ay = A sen 

Para determinar la resultante de un sistema de vectores por éste método se sigue los siguientes pasos: a) Cada vector se descompone regularmente, respecto a los ejes coordenados del modo ya indicado. b) Se determina la suma de las componentes sobre el eje xx’, o sea Vx i sobre el eje yy’: Vy. c) El módulo del vector resultante R, se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras. R 2  (Vx )2  (Vy )2

d) La dirección del vector resultante respecto del eje x, se calcula mediante la función tangente. Vy tg  Vx Ejemplo 1: Un vector de 10 N forma un ángulo de 37° con la horizontal. Halla el valor de sus componentes sobre los ejes coordenados. (Escala: 1 cm = 2 N) Datos: V = 10 N Vx = ?

 = 37 Vy = ?

a) Para graficar el origen de V lo hacemos coincidir con el centro de las coordenadas rectangulares, formando un ángulo de 37° con el eje horizontal. y

Vy

V

37° Vx

x

b) Calculamos el valor de los vectores componentes, aplicando las funciones trigonométricas: Vx = V cos 37° Vx =10 N (0,7986) Vx = 7,986 N  Vx = 8 N Vy = V sen 37° Vy = 10 N (0,6018) Vy = 6,018 N  Vy = 6N

IEP “EL FARO” Rpta: Vx = 8N ; Vy = 6N c) Como verificación calculamos el vector resultante V aplicando el Teorema de Pitágoras. V2 = Vx2 + Vy2 V2 = (8N)2 + (6N)2 = 100N2 V=

100 N 2 = 10N  V = 10N

Rpta: V = 10N Ejemplo 2: Halla el valor y dirección de la resultante del siguiente sistema de vectores: B = 4 Kg

C = 2 Kg 60° O

45°

A = 6 Kg

D = 8 Kg

a) Para graficar el punto de concurrencia de los 4 vectores (0), los hacemos coincidir con el origen de las coordenadas rectangulares y efectuamos la descomposición de vectores: y By C

Cy 60°

45° x'

B

Bx Cx

A

x

D y'

b) El valor de la resultante V se obtiene por la fórmula siguiente: V2 = Vx2 + Vy2 V2 = (Ax + Bx - Cx)2 + (By - Cy - Dy)2 V2 = (6 + B cos 60° - C cos 45°)2 + (B sen 60° + C sen 45° - 8)2 V2 = (6 + 2 - 1,41)2 + (3,46 + 1,41 - 8)2 V2 = (6,59)2 + (-3,13)2 = 43,428 + 9,796 V2 = 53,22; V =   V = 7,30 kg

c)

53,22  7,30

Calculamos la dirección del vector resultante V, aplicando la fórmula respectiva:

tan  

Vy Vx



 3,13  0,4749 6,59

d) Buscando este valor en la tabla trigonométrica tenemos que:  = -25°30’, donde la resultante está en el cuarto cuadrante.  Rpta: V = 7,30kg ;  = 25°30’

6.6. MULTIPLICACIÓN DE VECTORES En la multiplicación de vectores existen tres casos: producto de un vector por un escalar, producto escalar de vectores y producto vectorial de vectores. Por razones didácticas sólo estudiaremos el primer caso. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR   El producto de un vector (V) por un escalar o número real (), es un producto  V , con magnitud igual a  tantas veces el escalar por la magnitud V  Cuando un vector V multiplica por un escalar, conserva su carácter vectorial y lo único que se altera es su magnitud si el escalar es un número positivo y también su sentido cuando este es un número negativo.

IEP “EL FARO” Para realizar el producto de un vector por un escalar sugerimos tener en cuenta lo siguiente:

 a) Si  es un escalar mayor que la unidad, el vector V aumenta su magnitud y conserva su sentido, así tenemos:  =3

V

3 V = 3(5) = 15 u

 b) Si el número  es un escalar mayor que cero pero menor que la unidad, el vector V disminuye su magnitud pero conserva su sentido. Ejemplo: V

c)

 = 0,5

 V = 0,5(6) = 3u  Si  es un escalar menor que cero pero mayor que -1, V disminuye su magnitud y cambia su sentido por el, opuesto. Ejemplo:  = - 0,6

 V = 0,5(4u) = 2,4u

 d) Si a es un escalar menor que -1, el vector V aumenta su magnitud pero cambia su sentido opuesto. Ejemplo: V

 =-2

 V = - 2(3u) = - 6u

A continuación te presentamos el desarrollo de un ejemplo, aplicando la secuencia del producto de un vector por un escalar. Ejemplo: Dados los vectores siguientes: A B C

Halla gráfica y analíticamente lo siguiente:

 1  a) A + B ; si ambos vectores son concurrentes, coplanares y están formando un ángulo de 45°. 3        b) 3A  B  2 C ; si A y B forman un ángulo de 75° y B y C forman un ángulo de 120°. Solución: Para mayor comprensión en el desarrollo del problema lo analizaremos por separado.





a) Encontramos gráfica y analíticamente la resultante y el ángulo que forman los vectores A y B .  1  1 A  3u; B  (6 u)  2 u 3 3 (Escala: 1u = 1,2cm)

IEP “EL FARO” R = 4,56 cm 2u  3u 1,2 cm 5,56 cm

1u x

x = 4,6 u  R = 4,6 u

Aplicando la fórmula de la ley de los cosenos, hallamos el valor de los resultantes. R2 = A2 + B2 + 2ABcos R2 = (2)2 + (3)2 + 2(2)(3)cos45° R = 4  9  12(0,707)  21, 484  R  4,6u Ahora, encontramos la dirección de la resultante, mediante la ley de senos: (2)sen 135  4,6 2u  ; sen   sen135  sen  4 ,6

sen  = 0,307   = 17°52’

   b) Encontramos gráfica y analíticamente la resultante y el ángulo entre los vectores 3 A + B +2 C    3 A = 3(3u) = 9u; B = 6u; 2 C =2(4u) =8u (Escala: 1u = 0,58 cm) 120°

R = 4,7 75°

53°

Descomponemos cada vector rectangularmente, respecto a los ejes coordenados; luego determinamos la suma de los componentes y finalmente se obtiene el módulo del vector resultante, aplicando el Teorema de Pitágoras. 6u 6sen 75° 75° 15° 8cos 15°

6cos75° 9u 8sen 15°

8u

Vx = 9 + 6 cos 75° - 8 cos 15° Vx = 9 + 1,553 - 7,727 = 2,826u Vy = 6 sen 75° - 8 sen 15° Vy = 5,796u - 2,070u = 3,726u R= (2,826 )2  (3,726 )2  7,986  13,883  R = 4,7u

Ahora calculamos la dirección del vector resultante mediante la función tangente. tan  =

Vy Vx

=

3,726 u 2,826 u

IEP “EL FARO” tan  = 1,318   = 52°48’ Rpta.: a) R = 4,6u; 17°52 b) R = 4,7u; 52°48°

IEP “EL FARO”

DEMOSTRANDO LO APRENDIDO EN FÍSICA 5to Sec. Apellidos y nombres:……………………………………

Sección:A

1. Calcular el módulo de la resultante. Si: a = 3 y b = 4.

b

a a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

2. 19

15

60°

30

10

a) 20 d) 22

b) 21 e) 19

c) 24

3. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a = 5N y b = 3N.

a b 72°

a) 5N d) 8

12°

b) 6 e) 9

c) 7

4. Hallar la suma de los vectores.

M G

E F a) 0 d) 2G

b) 2E e) F

c) 2M

Fecha:23/04/19

IEP “EL FARO”

5. Calcular el módulo de la resultante. 60N

100N 67° 80N

a) 100N d) 140

b) 60 e) 20

c) 80

En cada caso, halle el valor y la dirección de las dos componentes de los vectores mostrados. 6. 40 37°

a) 20↑ 20

b) 30↑ 10

d) 24 32

e) 24↑ 32

c) 24↑ 24

7. 60 53°

a) 40↑ 20 d) 48 36

c) 48↑ 36

b) 48↑ 36 e) 30 30

8.

60° 14

a) 8↑

b) 7↑

6→

7 3→

d) 10↑ 4→

e) 7 3 ↓ 7→

c) 7 3 ↑ 7←