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• Felipe Andres Santiago Diaz

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F Í S I C A

M E C Á N I C A

TEXTO Nº 5

DINÁMICA Y ESTÁTICA DE LA PARTÍCULA

Conceptos Básicos Ejercicios Resueltos Ejercicios Propuestos

Edicta Arriagada D. Victor Peralta A Diciembre 2008 Sede Maipú, Santiago de Chile

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Introducción

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Este material ha sido construido pensando en el estudiante de nivel técnico de las carreras de INACAP. El objetivo principal de este trabajo es que el alumno adquiera y desarrolle la técnica para resolver problemas diversos de la unidad de Dinámica y estática de la partícula. En lo particular pretende que el alumno logre el aprendizaje indicado en los criterios de evaluación (referidos al cálculo de variables) del programa de la asignatura. El desarrollo de los contenidos ha sido elaborado utilizando un lenguaje simple que permita la comprensión de los conceptos involucrados en la resolución de problemas. Se presenta una síntesis inmediata de los conceptos fundamentales de la dinámica y estática de la partícula, seguida de ejemplos y problemas resueltos que presentan un procedimiento de solución sistemático que va desde un nivel elemental hasta situaciones más complejas, esto, sin saltar los pasos algebraicos que tanto complican al alumno, se finaliza con problemas propuestos incluyendo sus respectivas soluciones.

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La dinámica y estática son dos ramas de la física mecánica, la dinámica estudia las fuerzas como causa del movimiento de los cuerpos y la estática estudia las fuerzas en equilibrio, es decir los efectos causados por fuerzas que actúan sobre un cuerpo se neutralizan entre sí. La fuerza es una magnitud vectorial que se define como la causante del movimiento de los cuerpos, de las aceleraciones y retardaciones, de los cambios de dirección, de la deformación y por último de la ruptura de los cuerpos. Como toda magnitud vectorial, la fuerza se representa gráficamente por un vector, y en el se debe distinguir; punto de aplicación, magnitud, dirección y sentido.

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DINÁMICA Y ESTÁTICA

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RINCIPIOS DE NEWTON

Principio de inercia “Todo cuerpo permanece en su estado de movimiento a no ser que un agente exterior lo obligue a modificar dicho estado”. Es decir, si un cuerpo está en reposo, continuará en reposo indefinidamente y si está en movimiento, continuará con movimiento rectilíneo y uniforme.

Principio de masa “Si sobre un cuerpo de masa m actúa una fuerza F , este adquiere una aceleración a cuya magnitud es proporcional a la magnitud de la fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”, este principio matemáticamente se expresa por:

r r F = m⋅a

o

F= m ⋅ a

Cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, entonces la fuerza resultante queda determinada por la suma vectorial de diferentes fuerzas, es decir:

r F =

n

r

∑F i =1

i

r r r = F1 + F2 + ......... + Fn

Por lo tanto el principio se expresa por:

r r F ∑ i = m⋅a n

i =1

r Siendo a la aceleración resultante.

Principio de acción y reacción “A toda acción (fuerza), se le opone otra igual en magnitud y dirección pero de sentido contrario llamada reacción”, Debe dejarse en claro que acción y reacción no actúan en el mismo cuerpo.

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Se recuerda que las unidades de medición de fuerza fueron estudiadas en el capitulo Nº 1.

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Diferencia entre masa y peso Masa y peso no son el mismo concepto. Para nuestros fines de estudio práctico, la masa de un cuerpo se puede definir como una magnitud escalar, siempre positiva, correspondiente a una cantidad de materia constante que matemáticamente equivale al producto entre el volumen y la densidad del cuerpo, es decir:

m = V ⋅ρ

Donde M = masa V = volumen ρ = densidad

El peso en cambio es una fuerza, en particular, es la fuerza con que la tierra atrae a los cuerpos que están en su campo gravitatorio. Como el peso es una fuerza entonces cumple con la segunda ley de Newton, es decir el peso de un cuerpo corresponde al producto entre su masa y la aceleración, en este caso corresponde a la aceleración de gravedad g y por lo tanto se tiene que:

y

Peso ( w ) = m ⋅ g

mg

x z

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Se debe recordar que la aceleración de gravedad g varía de acuerdo a la posición geográfica y cuyo valor aproximado es 980 [cm/s2] en el sistema CGS., 9,8 [m/s2] en el sistema M.K.S. y 32,16 pie/s2 en el sistema técnico ingles. Como la aceleración de gravedad es un vector dirigido verticalmente hacia el centro de la tierra, el peso de un cuerpo también está dirigido verticalmente hacia el centro de la tierra.

Ejemplo: determinar el peso de un cuerpo de 80 [kg] de masa (utilizar g = 9,8 m/s2). Solución: Como el peso de un cuerpo queda determinado por: w=mg Entonces solo se debe reemplazar los valores de masa m y aceleración de gravedad g, esto es:

[

w = 80 [Kg ] ⋅ 9,8 m / s 2

]

Multiplicando se obtiene el peso del cuerpo, recordar que kg ⋅ m / s 2 = N, es decir: w = 784 [N ]

Para expresar el resultado en Dinas, se multiplica por 105, es decir:

w = 784 ⋅10 5 [d ] Para expresar el resultado en Kp, (kilopondio), los Newton se dividen por 9,8 es decir:

w =

784 [N ] = 80 [Kp ] = 80[Kgf ] 9,8

Observando estos resultados, vemos que masa y peso tienen un mismo valor numérico (80), pero no en la misma unidad. 80 [kg] expresa la masa del cuerpo y 80 [Kp] o 80 [Kgf], expresa el peso del cuerpo.

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Cuerpos en contacto

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Cuando se tiene superficies de cuerpos en contacto, se producen dos nuevas fuerzas estas son: (a) = Fuerza normal (N) (b) = Fuerza de roce (f) Fuerza normal ( N ) Es la fuerza que actúa perpendicular a la superficie de contacto, corresponde a la reacción que ejerce una superficie sobre la otra.

N

mg

En el esquema indicado la fuerza normal (N), corresponde a la reacción que se produce desde la superficie hacia el cuerpo que produce la acción debida a su peso. Fuerza de roce ( f ) Es la fuerza que se opone al deslizamiento de una superficie con respecto a otra, actúa paralelamente a las superficies en contacto, el roce siempre tiende a oponerse al movimiento jamás tiende a crear movimiento. El roce en algunos casos es provechoso como por ejemplo para el frenado de los cuerpos, pero con mayor frecuencia el roce da como resultado la disipación de energía y la erosión gradual del material sobre el cual actúa. La fricción y, por lo tanto, el desgaste pueden reducirse por el método de lubricación, en que las superficies que tienen movimiento relativo (movimiento de una respecto a otra) están separadas por una película de fluido. 7

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Leyes de la fricción seca Las leyes que a continuación se indican se basan principalmente en observaciones experimentales. Estas leyes no son de ninguna manera exactas en parte porque las superficies secas no se encuentran en la práctica, y en otra porque las mismas leyes tienden a simplificar el problema. Sin embargo son útiles y suficientes para la mayoría de las aplicaciones generales. Superficie seca se define como aquella, que ha sido limpiada de toda contaminación, es decir libre de polvo y sin humedad. 1. Cuando las fuerzas externas tienden a hacer que una superficie deslice sobre otra, se establece una Reacción de fricción, que actúa en forma tangencial a las superficies, y presentan una oposición al movimiento. 2. Existe un valor límite de la fuerza de fricción mas allá del cual no puede elevarse. Si las fuerzas que tienden a producir el movimiento relativo exceden este valor, empieza el deslizamiento de una respecto a la otra. 3. La fuerza necesaria para iniciar el movimiento relativo es mayor que la que se necesita para mantenerlo. La fricción estática es mayor que la fricción cinética 4. El valor límite de la fuerza de fricción es completamente independiente del área de contacto. 5. El valor límite de la fuerza de fricción cinética es independiente de la velocidad del deslizamiento.

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6. El valor límite de la fuerza de fricción mantiene una relación constante a la reacción norma ( N ) entre las superficies. Esta relación constante recibe el nombre de fricción límite y se indica por medio de μ. Esta ley da origen a la siguiente ecuación.

f = μ⋅N

Donde μ = Coeficiente de fricción N = Fuerza normal.

Si el cuerpo permanece en reposo entonces, el roce se llama estático y se anota: f = μe ⋅ N

μ e = Coeficiente de roce estático.

Cuando el cuerpo se encuentra en movimiento, el roce se llama cinético y se anota: f = μk ⋅ N

μ e = Coeficiente de roce Cinético.

7. El coeficiente de fricción límite depende de la naturaleza de las superficies en contacto. Esto se refiere a la geometría de la superficie, a la contaminación de la misma y a las propiedades físicas de los materiales involucrados.

Ecuaciones dinámicas Por el segundo principio de Newton, se tiene que la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo queda determinada por: ∑ Fx = m ⋅ a x

∑F = m⋅a

⇒

∑ Fy = m ⋅ a y ∑ Fz = m ⋅ a z

En nuestro estudio consideraremos sólo las fuerzas en el plano, luego el 2º principio de newton se puede expresar: ∑F = m⋅a

⇒

∑ Fx = m ⋅ a x

∑ Fy = m ⋅ a y

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Si el cuerpo permanece en reposo o se mueve a velocidad constante, entonces la aceleración a = 0 y por lo tanto la ecuación anterior resulta:

r

r ∑F = 0

⇒

∑ Fr ∑F

x

=0

y

= 0

Ecuación que corresponde al equilibrio de la partícula, en dos dimensiones .

Diagrama de cuerpo libre (DCL)

El diagrama de cuerpo libre consiste en representar gráficamente todas las fuerzas que actúan en un cuerpo considerado partícula. A continuación se presentan algunos casos comunes de D.C.L.

a) Superficie Horizontal Rugosa

( ι ) Fuerza F paralela a la superficie.

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( ι ι ) Fuerza F formando una dirección α respecto a la horizontal (respecto al cero grado)

( ι ι ι ) Fuerza F que actúa a un ángulo α por debajo de la horizontal.

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b. Superficie rugosa, inclinada un ángulo θ respecto a la horizontal.

( ι ι ) Fuerza F formando un ángulo α respecto a la superficie inclinada.

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( ι ) Fuerza F paralela a la superficie inclinada.

( ι ι ι ) Fuerza F actuando en dirección horizontal respecto de la superficie inclinada.

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M E C Á N I C A c. Cuerpos suspendidos

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Ejercicios Resueltos de volumen, masa y peso 1. Calcular en kg la masa de la pieza de acero del dibujo, considerando una kg . Se debe tener en cuenta que densidad del material de ρ = 7,85 dm 3 la pieza esta en mm.

Considerando que la pieza esta en mm y se necesita obtener un volumen, se deberá primero a transformar de mm a dm, y luego hacer el calculo del volumen. 32 mm 32,5 mm 6 mm

= = =

0, 32 dm 0, 325 dm 0, 06 dm

Cálculo de Volumen V Multiplicando largo, ancho y alto se tiene:

V = 0,32 dm ⋅ 0,325 dm ⋅ 0,06 dm V = 6,24 ⋅ 10 −3 dm 3

Cálculo de masa Por definición se tiene que:

m =V ⋅ ρ Reemplazando valores para el volumen y densidad:

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kg dm 3 Multiplicando y cancelando la unidad de dm3 resulta el valor de la masa que se pide calcular: m = 4,90 ⋅ 10 −2 kg

2. Un perfil de aluminio tiene una masa de 2,484 kg y una densidad de 2,7 kg , calcular: dm 3 a. El volumen en dm3 del perfil b. La longitud del lado L. Las dimensiones de la pieza están dadas en mm.

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m = 6,24 ⋅ 10 −3 dm 3 ⋅ 7,85

Solución (a) cálculo de Volumen en dm3 La Pieza al igual que el caso anterior, tiene las dimensiones en mm, y como la densidad esta en dm3 es preferible transformar los mm en dm. 30 mm 4 mm 20 mm

= = =

0,30 dm 0,04 dm 0,20 dm

Como se conoce la masa y la densidad del perfil, se debe despejar volumen de la ecuación:

m=V ⋅ ρ 15

V =

m

ρ

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Reemplazando valores correspondientes a la masa y densidad: V =

2,484 kg 2,7 kg 3 dm

Dividiendo y cancelando la unidad de kg:

V = 0,92 dm 3

Solución (b) cálculo de longitud L Como se tiene el volumen del cuerpo, se puede calcular la longitud L indicada en la figura. El volumen total de la pieza se puede obtener por medio de una suma o resta de los volúmenes de sus partes, es decir: Se ha elegido la resta entre el paralelepípedo mayor y el paralelepípedo menor, es decir:

V = Vparalelepipedo mayor − Vparalelepipedo menor

Reemplazando valores correspondientes: V =

(

0,30 dm ⋅ 0,20 dm ⋅ L

)

−

(

0,26 dm ⋅ 0,16 dm ⋅ L )

V = L ⋅ (0,30 dm ⋅ 0,20 dm − 0,26 dm ⋅ 0,16 dm

L =

V (0,30 dm ⋅ 0,20 dm − 0,26 dm ⋅ 0,16 dm

)

)

L = 50 dm

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3. Una barra de acero circular, tiene 60 mm de longitud y una densidad ρ = kg 7,85 , determine cual es su masa, considere las medidas del dibujo dm 3 en mm. Datos φ = 20 mm = 0,20 dm L = 60 mm = 0,60 dm ρ = 7,85 kg 3 dm

Solución: La masa de un cuerpo queda determinada por:

m=V ⋅ ρ

(1)

La densidad es conocida y el Volumen de la barra se puede determinar aplicando la formula: V = π r2 h

(2)

En esta oportunidad se reemplazará la expresión del volumen en la formula de la masa, es decir, se reemplazará la ecuación (2) en ecuación (1): m = π⋅ r2 ⋅ h ⋅ρ

La altura del cilindro corresponde a su largo, por lo tanto: m = π⋅ r2 ⋅ L ⋅ρ

Reemplazando valores numéricos, se tiene: 17

m = 3,14 ⋅ (0,1) dm 2 ⋅ 0,6 dm ⋅ 7,85 kg

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2

dm 3

m = 0,148 kg

4. El tubo del dibujo tiene la siguientes dimensiones:

D = 28 mm = 2,8 cm d = 20 mm = 2 cm h = 50 mm = 5 cm

a) Calcular el volumen de la pieza en cm3 y dm3 b) Sabiendo que su masa es de 0,128 kg, determine la densidad del tubo en kg/cm3 y kg/dm3. Solución (a) cálculo de volumen

Como el tubo es un cilindro hueco, su volumen corresponde a una resta entre el volumen del cilindro exterior y el volumen del cilindro interior, es decir: VTotal = VD − Vd

Volumen cilindro mayor VD VD = π ⋅ (rD ) ⋅ h 2

⇒

VD = 3,14 ⋅ (1,4) 2 cm 2 ⋅ 5 cm

V D = 30,788 cm 3 ≅ 0,031 dm 3

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Volumen cilindro menor Vd Vd = π ⋅ (rd ) ⋅ h

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Vd = 3,14 ⋅12 cm 2 ⋅ 5 cm

⇒

2

Vd = 15,708 cm 3 ≅ 0,016 dm 3 Luego el volumen del tubo queda determinado por la diferencia entre los volúmenes calculados, es decir: VD - Vd. VTotal = VD − Vd VTotal = 30,788 cm 3 − 15,708 cm 3

VTotal = 15,08 cm 3 Dividiendo por 1000 queda expresado en dm3, es decir:

VTotal = 15,08 × 10 −3 dm 3

Solución (b): Cálculo de densidad del tubo La densidad queda determinada por la ecuación:

ρ=

m V

Como la masa m es igual a 0,128 kg, y el volumen en cm3 es igual a 15,08, se tiene: ρ=

0,128 kg 15,08 cm 3

ρ = 8,488 × 10 −3

kg cm 3

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Como m es igual a 0,128 kg y el volumen en dm3 es igual a 15,08 x 10-3 se tiene:

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ρ=

0,128 kg 15,08 × 10 −3 dm 3

ρ = 8,488

kg dm 3

5. Calcular el peso del cono de la figura, sabiendo que su densidad es de 7,25kg/dm3.

60 cm

40 cm

Solución: El peso de un cuerpo corresponde al producto entre la masa y la aceleración de gravedad, es decir:

Peso = w = m ⋅ g

;

Pero m = V ⋅ ρ

Entonces:

w = V ⋅ρ⋅g Como el Volumen del cono es igual a

1 ⋅ π⋅ r2 ⋅ h 3

Entonces el peso del cuerpo queda determinado por:

w =

1 ⋅π ⋅ r 2 ⋅ h ⋅ ρ ⋅ g 3 20

ρ = 7,25kg / dm 3 = 7250kg / m 3 g = 9,8m / s 2 Reemplazando los valores antes indicados: 1 kg m w = ⋅ 3,14 ⋅ (0,2 m) 2 ⋅ 0,6 m ⋅ 7250 3 ⋅ 9,8 3 m seg 2 w = 1784,776 [N]

6. La viga de doble T tiene una longitud de 3,5 m. ¿Con qué fuerza presiona en su apoyo? si su densidad es de 7,85 kg 3 dm

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Información conocida: r = 20cm = 0,2m h = 60cm = 0,6m

Solución: 10 mm = 0,01 m 2500 mm = 2,5 m 100 mm = 0,1 m 80 mm = 0,08 m 6 mm = 0,006 m VTotal = V1+ V2 + V3 Pero V1 = V2 (volumen base superior igual volumen basa inferior) 21

VTotal = 2 · (0,01 m · 0,1 m · 2,5 m) + (0,08 m · 0,006 m · 2,5 m)

Como:

m = V · ρ m = 0,0062 m3 · 7850 kg/m3 m = 48,67 Kg

Como: w = m · g w = 48,67 kg · 9,8 m/seg2

w = 476, 966 (N)

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VTotal = 0,0062 m3

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7. Calcule el peso de la perforación en N, si ρ = 7,8 gr/cm3, las medidas de las figura están en mm.

Solución:

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Como w = m · g y m = V ·ρ, se tiene que: W = V · ρ · g (1) Transformando las unidades de mm a m, se tiene que: ρ = 7800 kg/m3

70 mm = 0,07 m 50 mm = 0,05 m 45 mm = 0,045 m 30 mm = 0,03 m 12 mm = 0,012 En primer lugar se calculará el volumen de la pieza, 2

π ⋅ (0,006 ) ⋅ 0,05 3

2

π ⋅ (0,006) ⋅ 0,05 ⋅ 0,045 m + 3

V = π ⋅ (0,015 m) 2 ⋅ 0,07 m − (π ⋅ (0,006 m ) ⋅ 0,045 m + V = π ⋅ (0,015 m) ⋅ 0,07 m − (π ⋅ (0,006 m ) 2

3

3

V = 0,0000424 m3 Ahora reemplazando el volumen V en la ecuación (1), se tiene:

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w = 0,0000424 m3 · 7800 kg/m3 · 9,8 m/seg2

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w = 3,2474 [N]

8. Un camión ha cargado 10 chapas de 2000 mm de largo, por 1000 mm de ancho y 4 mm de espesor: a) ¿Cuánta es la masa cargada en kg si la densidad de la chapa es de 7,8 kg/dm3? b) ¿Con qué fuerza actúa esa cantidad de materia sobre el suelo? Solución (a): masa cargada en kg Primero que nada se calculará el volumen de una chapa, aplicando la formula de volumen:

V = largo ⋅ ancho ⋅ espesor

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Trabajando las medidas en metros, se tiene:

V = 2m ⋅ 1m ⋅ 0,004m V = 0,008m 3 Conocido el volumen es posible calcular la masa de la chapa, es decir: m=V·ρ Reemplazando valores correspondientes para el volumen y densidad, se tiene: m = 0,008 m3 · 7800 kg/m3 m = 62,4 kg Es decir la masa de una chapa es de 62,4 kg, por lo tanto como son 10, el valor anterior se multiplica por 10 y se obtiene que la masa total es de:

m = 624 kg Solución (b): fuerza con que actúa sobre el suelo

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La fuerza con que la carga actúa sobre el suelo, corresponde al peso de la carga, es decir:

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w=m·g w = 624 kg · 9,8 m/seg2 w = 6115,2 [N]

Ejercicios resueltos composición y descomposición de fuerzas. 1. Encontrar la magnitud de la fuerza resultante del esquema indicado. F1 = 2000 [N] F2 = 1000 [N] F3 = 3000 [N] F = ?

Solución: Las fuerzas que actúan sobre la misma línea de acción y en el mismo sentido se componen por la suma de: FResultante = F1 + F2 + F3 FResultante = 2000 N + 1000 N + 3000 N

FResultante = 6000 [N]

Es decir la fuerza resultante es de 600 Newton

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2. Las fuerzas que actúan sobre la misma línea de acción, pero en sentido contrario, se componen por la resta: F1 = 100 [N] F2 = 80 [N] F3 = 300 [N] F4 = 400 [N] F=?

Solución: Las fuerzas 1, 2, y 3 tienen la misma dirección y sentido, por lo tanto se deben sumar, mientras que la fuerza 4 tiene igual dirección pero de sentido contrario y por tanto debe restarse, es decir: FResultante = F1 + F2 + F3 – F4 FResultante = 100 [N] + 80 [N] + 300 [N] - 400 [N] FResultante = 80 [N] 3. Las fuerzas F1 = 20 N y F2 = 15 N, actúan en el punto A formando el ángulo α = 65º. ¿Cuánto vale la resultante?

Solución gráfica: En estos casos pueden componerse gráficamente mediante el método del paralelogramo de fuerzas, la diagonal del paralelogramo corresponde a la fuerza resultante.

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Solución gráfica y algebraica: Eligiendo un sistema cartesiano adecuado, por ejemplo hacer coincidir la fuerza F1 con el eje x y

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r F2 = 15 N

r R

65º

x

r F1 = 20 N

. El modulo o magnitud del vector resultante está determinado por:

F =

(∑ Fx )2 + (∑ Fy )2

(1)

Fuerza resultante sobre eje x:

∑F

x

= F2 x + F1

∑ Fx = 15 cos 65º + 20

[N]

∑ Fx = 26,339 [N ]

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Fuerza resultante sobre el eje y:

∑F

y

= F2 y

∑ Fy = 15 sen 65º [N]

∑ Fy = 13,595 [N] Ahora reemplazando los valores obtenidos en la ecuación (1), se tiene la magnitud de la fuerza resultante: r F =

(26,339

N ) + (13,595 N ) 2

2

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F = 29,64 [N]

Para determinar su dirección con respecto al eje positivo de las x, se trabaja con: tan α =

∑F ∑F

y

x

⎛ 13,595 [N ] ⎞ ⎟⎟ ⎝ 26,339 [N ] ⎠

α = tan −1 ⎜⎜

α = 27,301º

Es decir, la magnitud de la fuerza resultante es de 29,64 N y tiene una dirección de 27,301º respecto al eje positivo de las x.

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4. Dos tractores tratan de arrastrar un árbol mediante dos cables. Uno de los tractores tiene una fuerza de tracción F = 18000 N y el otro una fuerza de tracción = 24000 N ambos cables forman entre sí un ángulo de 30º. ¿Qué magnitud tiene la fuerza resultante?

Solución:

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F =

(∑ Fx )2 + (∑ Fy )2

∑F

x

(1)

= F2 + F1 x

∑ Fx = 24000 N + 18000 [N ] cos 30º ∑ Fx = 39588,457 [N ]

∑F

y

= F1 y

∑ Fy = 18000 sen 30º [N] ∑ Fy = 9000 [N] Ahora reemplazando Los valores en la ecuación (1), se tiene: F =

(39588,457 N )2 + (9000 N )2 F = 40598,595 [N ]

29

Para determinar su dirección con respecto al eje positivo de las x, se trabaja con: tan α =

∑F ∑F

y

tan α =

9000 [N ] 39588,457 [N ]

α = 12808º

5. La fuerza F tiene que descomponerse a F1 y F2, Tal como indica la figura ¿Cuales son las magnitudes de F1 y F2 en Newton? y

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x

r F 1

40º r

F = 225 N

x

20º r F 2

Solución: La magnitud de la fuerza resultante corresponde a los 225N y por definición la magnitud de una fuerza en el plano queda determinada por: r F =

(∑ F ) + (∑ F ) r

2

x

r

2

y

Como la fuerza resultante no tiene componente en el eje y, significa que:

∑ Fy = 0 Por lo tanto:

30

F1 sen 40º + F2 sen 340º = 0

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Despejando F1: F1 =

− F2 sen 340º sen 40º

Como la resultante tiene solo componente en el eje x, se puede anotar:: r F = ∑ F x = 225 [N ] F1 cos 40º + F2 cos 340 = 225 N

Reemplazando el despeje de F1 se tiene: − F2 sen 340º · cos 40º + F2 cos 340º = 225 [N ] sen 40º Factorizando por F2 : ⎞ ⎛ sen 340º · cos 40º F2 ⎜⎜ − + cos 340 ⎟⎟ = 225 [N ] sen 40º ⎠ ⎝

F2 =

225 [N ] ⎛ sen 340º · cos 40º ⎜⎜ − + cos 340º sen 40º ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

F2 = 167,001 [N]

Reemplazando el valor de F2 en despeje de F1 se tiene: F1 =

− 167,001 [N ] · sen 20º sen 40

F1 = 88,9 [N]

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Ejercicios resueltos estática y dinámica de la partícula 1. Un cuerpo de 100 [kgf], cuelga de una cuerda que en O esta unida a otras dos cuerdas fijas en el techo. Calcular las tensiones de las tres cuerdas, en kgf. (Las cuerdas son inextensibles y de masa despreciable).

Solución:

Para el cuerpo de 100 [kgf], se tiene el siguiente diagrama de cuerpo libre:

Las ecuaciones de equilibrio son: ∑ Fx = 0

⇒

∑ Fy = 0

En el eje x no existen fuerzas, Por lo tanto: 32

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Eje y ⇒

T1 – 100 kgf = 0

T1 = 100 kgf

Si se considera el nudo O como una partícula sin masa, se tiene el siguiente diagrama de cuerpo libre:

T2

T3

Aplicando la condición de equilibrio, se tiene:

Eje x: T3 · cos 37º + T2 · cos 127º = 0 T3 =

− T2 · cos 127 º cos 37 º

(1)

Eje y: T2 · sen 127º + T3 · sen 37º - 100 kgf = 0 (2) Reemplazando ecuación (1) en ecuación (2) se tiene: T2 · sen 127º -

T2 · cos 127 º · sen 37º = 100 kgf cos 37 º

33

Factorizando por T2, se obtiene:

M E C Á N I C A

T2 (sen 127º - cos 127º · tan 37º) = 100 kgf T2 =

100 kgf ( sen 53º − cos 127º · tan 37º )

T2 = 79,864 kgf Reemplazando el valor de T2 en la ecuación (1) se tiene el valor de la tensión 3, es decir: T3 =

− 79,864 kgf · cos 127 º cos 37 º

F Í S I C A

T3 = 60,182 kgf

Por lo tanto los valores de tensiones en las cuerdas son de 100 kgf, 79,864 kgf y 60,182 kgf.

2. Para la figura indicada, el coeficiente de rozamiento estático μ entre el bloque de masa 50 kg y la superficie horizontal es de 0,4, determine: a. Si el sistema esta en equilibrio cuando el peso w es de 15 kgf, calcular la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque de 50 kg b. ¿Cuál debe ser el valor máximo del peso w para que el sistema este en equilibrio?

34

M E C Á N I C A

Solución (a) Fuerza de rozamiento entre cuerpo de 50 kg y superficie horizontal

F Í S I C A

Los diagramas de cuerpo libre correspondientes son:

Diagrama 1

Diagrama 2

Para determinar la fuerza de roce es necesario conocer primero la tensión T1, esto se consigue trabajando primero en el diagrama 2. Aplicando la condición de equilibrio de la partícula, se obtiene: Eje x: T2 · cos 45º - T1 = 0 T1 = T2 · cos 45º (1)

35

Eje y:

F Í S I C A

M E C Á N I C A

T2 · sen 45º - 15 kgf = 0 T2 =

15 kgf sen 45º

(2)

Reemplazando ecuación (2) en ecuación (1), se tiene:

T1 =

15 kgf · cos 45º sen 45º

T1 = 15 kgf

Ahora trabajando en diagrama 1 se obtiene:

Eje x: T1 - f = 0

f = T1

f = 15 kgf Es decir, la fuerza de roce que se produce entre el cuerpo de 50 kg y la superficie horizontal es de 15 kgf.

36

Solución (b) Valor máximo del peso w para el equilibrio:

F Í S I C A

M E C Á N I C A

En diagrama 1, se tiene: Eje x: T1 – f = 0 T1 - μ · N = 0 Despejando T1: T1 = μ · N

(1)

Eje y: N – mg = 0 Despejando fuerza normal: N = mg

(2)

Reemplazando ecuación (2) en (1) se tiene: T1 = μ · m · g

Reemplazando valores numéricos y realizando la operatoria aritmética resulta el valor de T1: T1 = 0,4 · 50 kg · 9,8 m/seg2 T1 = 196 N

37

En diagrama 2 se tiene: Eje x:

F Í S I C A

M E C Á N I C A

T2 cos 45º - T1 = 0 Despejando T2 resulta: T2 =

T1 cos 45

Como se conoce el valor de T1, se tiene: T2 =

196 N cos 45

Dividiendo resulta el valor de la tensión T2:

T2 = 277,185 N

Eje y: T2 sen 45º - w = 0 Despejando el peso W: W = T2 sen 45º Reemplazando el valor de T2 y multiplicando se obtiene el peso máximo que se puede sostener para que mantenga el equilibrio, es decir: w = 277,185 N · sen 45º

w = 196 N Máximo peso que puede tener w es de 196N

38

3. Determinar la aceleración que resulta cuando una fuerza de 40 [N] actúa

F Í S I C A

M E C Á N I C A

sobre un cuerpo de 8 [Kg] Solución: Datos: a =? F = 40 N m = 8 Kg Por el 2° principio de Newton, se tiene que: F=m⋅a

luego: a =

F m

Reemplazando los datos correspondientes para fuerza y masa, se obtiene: 40 N a = 8 kg a = 5 m/s2 Es decir, la magnitud de la aceleración es de 5 [m/s2] y actúa en la misma dirección de la fuerza F

4. Un bloque sin velocidad inicial se desliza sobre un plano inclinado de 37°. Determinar la distancia que recorre al 5° segundo. (a). Si no hay roce (b). Si hay rozamiento entre las dos superficies y el coeficiente de roce cinético es de 0,3

v0 = 0 m

37º

39

Solución (a) sin rozamiento: En este caso y según lo indicado, el cuerpo de desliza debido a su propio peso.

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Haciendo un diagrama de cuerpo libre y considerando el sentido positivo hacia abajo del plano inclinado resulta: y N

mgsen37º

x 37º

mg cos 37º

mg 2° Principio de Newton: ΣF=m⋅a

⇒ Σ Fx = m ⋅ ax ⇒ Σ Fy = m ⋅ ay

En este caso la aceleración se produce solo en eje x indicado en la figura, es decir, no hay movimiento sobre el eje y, por lo tanto: Σ Fy = m ⋅ ax

mg sen 37° = m ⋅ a Como en esta ecuación solo se desconoce la aceleración, simplificando por la masa m se tiene: g sen 37° = a Reemplazando el valor de la aceleración de gravedad resulta: 9,8 m/s2 ⋅ sen 37° = a Multiplicando: a = 5,9 m/s2

40

Valor que corresponde al modulo de la aceleración con la cual el cuerpo desciende del plano inclinado.

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Como la aceleración es constante, es posible calcular la distancia que recorre al cabo de 5 segundos aplicando la ecuación de la cinemática, es decir:

x = x0 + v0 ⋅ t +

1 a ⋅t2 2

Como el cuerpo parte del reposo y no tiene posición de referencia, tanto la posición inicial como la velocidad inicial son iguales a cero, por lo tanto la ecuación anterior resulta:

x=

1 a ⋅t2 2

Reemplazando los valores para la aceleración y el tiempo resulta:

x=

m 1 ⋅ 5,9 2 ⋅ 5 2 s 2 2 s

Multiplicando y cancelando los segundos al cuadrado se tiene:

x = 73,75m Es decir el cuerpo recorre 73,75 [m] al descender durante 5 segundos por el plano inclinado sin rozamiento

OBS: En este caso no fue necesario trabajar en el eje y, debido a que la aceleración pudo ser determinada al trabajar solo en el eje x (la razón es porque no existe roce).

41

Solución (b): superficie con coeficiente de roce cinético 0,3

M E C Á N I C A

y N

f = μk ⋅ N

mgsen37º

x 37º

mg

2° principio de Newton:

F Í S I C A

mg cos 37º

ΣF =m⋅a

⇒ Σ Fx = m ⋅ ax ⇒ Σ F y = m ⋅ ay

Eje x:

mg ⋅ sen37º − f = m ⋅ a

Pero

f = μk ⋅ N

luego

mg ⋅ sen37 º − μ k ⋅ N = m ⋅ a (1) Para obtener el valor de la fuerza normal N se hace necesario trabajar en el eje y: Eje y:

N − mg ⋅ cos 37º = 0 Porque no existe movimiento en este eje. Despejando N resulta: N = mg ⋅ cos 37 º (2)

Reemplazando (2) en (1) se tiene: mg ⋅ sen37 º − μ k ⋅ mg ⋅ cos 37 º = m ⋅ a

42

Dividiendo por m y factorizando por g de obtiene:

F Í S I C A

M E C Á N I C A

g ⋅ (sen37 º − μ k ⋅ cos 37 º ) = a

Reemplazando el valor de la aceleración de gravedad y el coeficiente de rozamiento resulta: 9,8

m ⋅ (sen37 º −0,3 ⋅ cos 37 º ) = a s2

Realizando la operatoria aritmética resulta el valor para la aceleración:

a = 3,55

m s2

Entonces, la distancia x recorrida por el cuerpo, sobre el plano inclinado, con rozamiento, al quinto segundo es: x=

x=

1 a ⋅t2 2

m 1 ⋅ 3,55 2 ⋅ 5 2 s 2 = 44,38m 2 s

x = 44,38m

43

5. Un auto de 800 [Kg] gira en una curva de 1 [Km] de radio a 180 [km/h] ¿cual

F Í S I C A

M E C Á N I C A

es el valor de la fuerza centrípeta?

Solución: Los datos entregados son: Masa del auto = 800 [Kg] Radio pista = 1 [Km] = 1000 [m ] Velocidad lineal = 180 [Km/h] = 50 [m/s]

Aplicando la formula de fuerza centrípeta se tiene: F = m⋅

v2 r

Reemplazando los valores:

m2 s2 F = 800kg ⋅ 1000m 50 2

Realizando la operatoria aritmética y cancelando unidad de metro resulta finalmente que la fuerza centrípeta vale:

F = 2000 N

44

r 6. Una masa de 3,0 kg se somete a una aceleración dada por a = 2,0iˆ + 5,0 ˆj m/s2.

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Determine la fuerza resultante y su magnitud.

Solución Este es un problema de aplicación directa del segundo principio de Newton, ya r que se conoce la masa m y la aceleración a . Luego:

r r F = ma r ⇒ F = 3(kg ) ⋅ (2,0iˆ + 5,0 ˆj )(m / s 2 ) multiplicando termino atermino resulta : r ⇒ F = 6,0iˆ + 15,0 ˆj

(N), lamagnitud de la resultante será :

r F = 6,0 2 + 15,0 2 (N) r ⇒ F = 36 + 225 (N)

r ⇒ F = 16,15 (N)

7. Para el sistema de la figura calcule las tensiones en las cuerdas.

30º

60º

5kg

45

r

∑F = 0 ⇒ ∑F = 0 ⇒ ∑F = 0 x

y

En este desarrollo es fundamental construir un diagrama de cuerpo libre tal como el que muestra la figura.

150°

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Solución problema n°2 Este problema corresponde al equilibrio estático de la partícula en el plano, por lo tanto se cumple que:

Considerando el esquema anterior se tiene: Eje X:

⇒ ∑F = 0 x ⇒ Bcos60° + Acos150° = 0 - Acos150 ⇒B= ∗ cos60° Eje Y

46

F Í S I C A

M E C Á N I C A

⇒ ∑F = 0 y ⇒ Bsen60° + Asen150 - mg = 0 ∗ ∗ Reemplazando Ec. ∗ en Ec. ∗ ∗ se obtiene : - Acos150 ⋅ sen60° + Asen150° = mg factorizando por A resulta : cos60° ⎞ ⎛ - cos150° ⋅ sen60° A⎜ + sen150° ⎟ = mg cos 60° ⎝ ⎠ sen60° porque = tg 60° ⇒ A(− cos150° ⋅ tg 60° + sen150°) = mg cos 60° mg reemplazndo el valor de mg resulta : ⇒ A= (− cos150° ⋅ tg 60° + sen150°) A=

49( N ) − cos150° ⋅ tg 60° + sen150°

realizandocorrectamente las operaciones resulta :

⇒ A = 24,5( N )

Reemplazando el valor de A = 24,5 (N) en la ecuación (*), se obtiene B, es decir: − 24,5(N ) cos150° cos 60° 21,218(N ) ⇒B= cos 60° ⇒B=

⇒ B = 42,435(N )

8. Un hombre esta en una plataforma que se encuentra sostenida por una cuerda que pasa por una polea, tal como se muestra en la figura. El hombre tiene el otro extremo de la cuerda tomado de tal modo que puede levantarse así mismo, Si el hombre y la plataforma tienen una masa de 180 kg.(a) ¿Con qué fuerza ha de tirar para levantarse así mismo a la velocidad de 2 m/s?. (b) Con qué fuerza ha de tirar para levantarse a una aceleración de g/16? Desprecie el roce. 47

M E C Á N I C A

Solución

F Í S I C A

En este problema hay un mecanismo de polea fija la cual sólo cambia la dirección de la fuerza y no provoca ganancia mecánica. Fuerza necesaria para levantarse con la velocidad de 2 m/s:

Como el cuerpo se mueve a velocidad constante no produce aceleración, luego se tiene un equilibrio cinético, es decir, r

∑F = 0 ⇒ ∑F

X

=0 ∧

∑F

Y

=0

Pero en eje x no existen fuerzas, por lo tanto solo se considera el eje y

y 2F

Eje Y: x

mg

48

2 F − mg = 0 despejando F resulta : 2 F = mg mg reemplazando el valor de mg se tiene que : 2 1764 F= ( N ) por lo tanto : 2

F Í S I C A

M E C Á N I C A

⇒F=

F = 882( N ) Fuerza necesaria para levantarse con la aceleración de g/16: Eje Y:

2F − mg = ma , 2F = ma + mg

g despejando2F resulta : 16 g reemplazando a = setieneque : 16 pero a =

mg + mg factorizando por mg resulta : 16 1⎞ ⎛ sumandoentero y fraccion queda : 2F = mg⎜1 + ⎟ ⎝ 16 ⎠ 17mg 2F = reemplazando los valorescorrespondientes se tiene : 16 17 ⋅ 180(kg) ⋅ 9,8(m / s 2 ) 2F = 16 ⇒ 2F = 1874,5( N ) dividiendopor 2 resulta finalmenteque : 2F =

⇒ F = 937,125( N )

49

M E C Á N I C A F Í S I C A

9. Un cuerpo de peso W está sobre una mesa giratoria a una distancia R del centro, tal como se muestra en la figura, si μ es el coeficiente de roce entre el cuerpo y la mesa. ¿Cuál es la máxima velocidad del cuerpo de tal modo que éste no resbale?

Solución La única fuerza que se opone a que el cuerpo no resbale, corresponde a la fuerza centrípeta, que en este caso corresponde a la fuerza de roce. Luego se cumple que:

Fc = ma c

Pero, Fc = μN

y

2

ac = v /R

Por lo tanto: v2 , pero N = mg R v2 simplificando por m se tiene : ⇒ μmg = m R v2 μg = despejando v 2 resulta : R μgR = v 2 aplicando raiz cuadrada se tiene que :

μN = m

⇒ μgR = v

50

10. Para la figura adjunta, calcular el ángulo θ y la tensión de la cuerda AB si m1 = 300 lbf y m2 = 400 lbf.

F Í S I C A

M E C Á N I C A

A

θ B

m1

m2

Solución

El sistema de la figura corresponde a un equilibrio estático de la partícula( en dos dimensiones ) luego rse cumple que: ∑ F = 0 ⇒ ∑ FX = 0 ∧ ∑ FY = 0 Como la polea es un dispositivo para cambiar la dirección de una fuerza, se tiene que la tensión de la cuerda T2 es igual al peso m2g. y Diagrama de cuerpo libre: T AB

θ T=m 2 g

x

T 1 =m 1 g

51

M E C Á N I C A

Eje X:

m 2 g − TAB senθ = 0 ⇒ TAB senθ = m 2 g

Eje Y:

TAB cosθ − m1g = 0 ⇒ TAB cosθ = m1g

(1) (2)

Dividiendo (1) en (2), se tiene tgθ =

m2g m 1g

⇒ tgθ =

400(lbf ) 300(lbf )

⇒ tgθ =

4 ⇒ θ = 53,13° 3

F Í S I C A

Reemplazando el valor de θ = 53,13° en Ec. (2) y despejando TAB, se tiene que:

TAB = 500 lbf.

11. Los cuerpos de la figura tienen masas de 10 kg, 15 kg y 20 kg respectivamente. Se aplica una fuerza F de 50 N en C. Encontrar la aceleración del sistema y las tensiones en cada cable. Discutir el mismo problema cuando el sistema se mueve verticalmente en lugar de horizontalmente.

F

20 kg

C

T2

B 15 kg

T1

A 10 kg

Solución ( movimiento horizontal ):

El problema consiste de un sistema dinámico. Luego se cumple que:

52

r

∑ F = mar ⇒ ∑ F = ma ⇒ ∑ F = ma x

F Í S I C A

M E C Á N I C A

y

x

y

Como el cuerpo C presenta mayor número de datos, es que comenzaremos por él. El problema no hace referencia al roce, por lo tanto no será considerado. Cuerpo C:

N1 C F

20 kg

T2

m1 g

Eje X: ⇒ T2 − F = − m1 a el isgno negativo es porque el cuerpo se mueve hacia la izquierda ⇒ T2 − 50( N ) = −20(kg ) ⋅ a ⇒ T2 = 50( N ) − 20(kg ) ⋅ a

(1)

Cuerpo B: N2 B 15kg

T2

T1

m2g

Eje X: ⇒ T1 − T2 = −m2 a ⇒ T1 = T2 − m2 a reemplazando el valor de m2 se tiene : T1 = T2 − 15(kg ) ⋅ a

(2)

53

M E C Á N I C A

Reemplazando ecuación (1) en (2) resulta T1 = 50( N ) − 20(kg ) ⋅ a − 15(kg ) ⋅ a

(3)

⇒ T1 = 50( N ) − 35(kg ) ⋅ a

Cuerpo A: N3 T1

A 10kg

F Í S I C A

m3g

Eje X:

⇒ −T1 = −m3 a ⇒ T1 = m3 a

(4)

Reemplazando ecuación (3) en (4), y al mismo tiempo el valor de m3 resulta: 50( N ) − 35(kg ) ⋅ a = 10(kg ) ⋅ a ⇒ 50( N ) = 45(kg ) ⋅ a despejando la aceleración reuslta : a=

50( N ) 10 = (m / s 2 ) reemplazando este valor en Ec.(4), se obtiene T1 : 45(kg ) 9

T1 = 10(kg ) ⋅

⇒ T1 =

10 (m / s 2 ) 9

100 (N ) 9

54

Reemplazando a =10/9 (m/s2) en ecuación (1) se obtiene el valor de T2, es decir:

F Í S I C A

M E C Á N I C A

⇒ T2 = 50 ( N ) − 20 ( kg ) ⋅ a ⇒ T2 = 50 ( N ) − 20 ( kg ) ⋅ ⇒ T2 = 50 ( N ) −

⇒ T2 =

10 (m / s 2 ) 9

200 (N ) 9

250 (N ) 9

Solución ( movimiento vertical ): En este movimiento no existen fuerzas en el eje horizontal. Cuerpo C: Eje Y:

F

∑ F y = ma y

C

⇒ F − T2 − m1 g = m1 a

20 kg

⇒ −T2 = m1 a + m1 g − F ⇒ T2 = − m1 a − m1 g + F Reemplazando los valores numéricos resulta T2 = −20(kg ) ⋅ a − 196( N ) + 50( N )

⇒ T2 = −20(kg ) ⋅ a − 146( N )

T2

m1g

(1)

55

Cuerpo B:

M E C Á N I C A

T2

Eje Y: B

⇒ T2 − T1 − m2 g = m2 a

15 kg

⇒ −T1 = −T2 + m2 g + m2 a T1

⇒ T1 = T2 − m2 g − m2 a (2) Reemplazando Ec.(1) y el valor de m2 en Ec.(2) se tiene:

m2g

T1 = −20(kg ) ⋅ a − 146( N ) − 245( N ) − 15(kg ) ⋅ a

F Í S I C A

⇒ T1 = −35(kg ) ⋅ a − 391( N ) (3)

Cuerpo A:

Eje Y:

T1

⇒ T1 − m3 g = m3 a

A

⇒ T1 = m3 g + m3 a

10 kg

Reemplazando valores numéricos resulta:

⇒ T1 = 98( N ) + 10(kg ) ⋅ a (4) m3g

Igualando las ecuaciones (3) y (4) se tiene:

56

F Í S I C A

M E C Á N I C A

− 35(kg ) ⋅ a − 391( N ) = 98( N ) + 10(kg ) ⋅ a reuniendo los terminos semejantes : ⇒ −391( N ) − 98( N ) = 10(kg ) ⋅ a + 35(kg ) ⋅ a ⇒ −489( N ) = 45(kg ) ⋅ a − 498( N ) ⇒ =a 45(kg ) ⇒ a = −10,867(m / 2 )

El signo negativo de la aceleración significa que el sistema se mueve hacia abajo. Reemplazando a = -10,867 (m/s2) en la ecuación (4) se obtiene el valor de T1, es decir:

T1 = 98( N ) + 10(kg ) ⋅ −10.867(m / s 2 ) ⇒ T1 = 98( N ) − 108,67( N ) ⇒ T1 = −10,67( N ) Reemplazando a = -10,867 (m/s2) en la ecuación (1) se obtiene el valor de T2, es decir: T2 = −20(kg ) ⋅ −10.867(m / s 2 ) − 146( N )

⇒ T2 = 217,34( N ) − 146( N ) ⇒ T2 = 71,34( N )

57

F Í S I C A

M E C Á N I C A

12. Los cuerpos de la figura están conectados por una cuerda como se muestra. Suponiendo que no hay fricción en las poleas, calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la cuerda. Considere m1 = 8 kg, m2 = 2 kg.

m2

m1

Solución Se trata de un sistema dinámico donde presenta una polea fija y una móvil. En este caso, la masa m2 tiene una aceleración que es el doble de la aceleración de m1.

Diagrama de cuerpo libre para cuerpo 2

Por segunda ley de Newton se tiene que Eje Y:

Y

r r ∑ F = ma ⇒ T − m 2 g = m 2 ⋅ 2a

T a

2a

⇒ T = m 2 g + m 2 ⋅ 2 a reemplazan do valores numéricos resulta T = 2( kg ) ⋅ 9,8( m / s 2 ) + 2 ⋅ 2( kg ) ⋅ a ⇒ T = 19,6( N ) + 4( kg ) ⋅ a

(1)

m2g

58

M E C Á N I C A

Diagrama de cuerpo libre para cuerpo 1 Eje Y: r r ∑ F = ma ⇒ 2T − m1 g = − m1 ⋅ a Y 2T

a 2a

⇒ 2T = m1 g − m1 ⋅ a m1 g − m1 ⋅ a reemplazan do valores numéricos res 2 78,4(N) - 8(kg) ⋅ a ⇒T= 2

⇒T =

⇒ T = 39 , 2( N ) − 4 ( kg ) ⋅ a

(2)

F Í S I C A

m1 g

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene 19,6( N ) + 4(kg ) ⋅ a = 39,2( N ) − 4(kg ) ⋅ a ⇒ 19,6( N ) − 39,2( N ) = −4(kg ) ⋅ a − 4(kg ) ⋅ a ⇒ −19,6(N) = −8(kg) ⋅ a ⇒ 19,6(N) = 8(kg) ⋅ a ⇒ a = 2,45 (m/s 2 )

Por lo tanto, el cuerpo 1 se mueve con aceleración de 2,45 m/s2 y el cuerpo 2 con aceleración de 4,9 m/s2. La tensión en la cuerda se obtiene reemplazando en la ecuación (1) o ecuación (2) el valor de la aceleración, es decir: Reemplazando en Ec. (2) ⇒ T = 39,2( N ) − 4(kg ) • 2,45(m/s 2 ) ⇒ T = 29,4( N )

59

T1

5 kg

T2 3,0

10 kg

Solución

El sistema es dinámico luego se cumple que

F Í S I C A

kg

25°

M E C Á N I C A

13. Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por poleas sin fricción. La aceleración del sistema es de 2,35 m/s2 a la izquierda y las superficies son rugosas. Determine: (a) las tensiones en las cuerdas y (b) el coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (suponga el mismo μ para ambos bloques)

r

r

∑ F = ma

∑ FY = m ⋅ a

Cuerpo (1):

T1 − m 1g = −m 1a

⇒ T1 = m 1g − m 1a

Y T1 a

Reemplazando los valores numéricos se obtiene inmediatamente el valor para T1, es decir: ⇒ T1 = 98( N ) − 10(kg ) ⋅ 2,35(m / s 2 )

m1g

m1g

⇒ T1 = 74,5( N )

60

Cuerpo 2:

Y

Eje Y

F Í S I C A

M E C Á N I C A

⇒ N2 − m2g = 0

N2 T1

⇒ N2 = m2g

T2

f1

Eje X

X

m 2g

⇒ T2 + f1 − T1 = −m 2 a ⇒ T2 = −f1 + T1 − m 2 a ⇒ T2 = − μN 2 + T1 − m 2 a pero N 2 = m 2 g ⇒ T2 = − μm 2 g + T1 − m 2 a

Reemplazando T1 , aceleración y los valores para m2g y m2, se obtiene:

⇒ T2 = − μ 49( N ) + 74,5( N ) − 5(kg ) ⋅ 2,35(m / s 2 ) ⇒ T2 = − μ 49( N ) + 62,75( N )

(1)

Cuerpo 3: Eje Y:

N 3 − m 3 g cos 25° = 0

⇒ N 3 = m 3 g cos 25°

Y Eje X:

N3

T2

f2 25 °

X

m 3g

61

f 2 + m3 gsen25° − T2 = − m3 a

F Í S I C A

M E C Á N I C A

⇒ μN 3 + m3 gsen25° − T2 = − m3 a

pero N 3 = m3 g cos 25°

⇒ μm3 g cos 25° + m3 gsen25° − T2 = − m3 a ⇒ −T2 = − m3 a − μm3 g cos 25° − m3 gsen25° ⇒ T2 = m3 a + μm3 g cos 25° + m3 gsen25°

/ -1 reemplazando valores numéricos se obtiene :

⇒ T2 = 3(kg) ⋅ 2,35(m/s 2 ) + μ ⋅ 29,4(N)cos25° + 12,425(N) ⇒ T2 = 7,5( N ) + μ ⋅ 26,645( N ) + 12,425(N) ⇒ T2 = 19,475( N ) + μ ⋅ 26,645( N )

(2)

Ahora igualando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene

− μ 49( N ) + 62,75( N ) = 19,475( N ) + μ ⋅ 26,645( N ) ⇒ 62,75( N ) − 19,475( N ) = μ ⋅ 26,645( N ) + μ 49( N ) ⇒ 43,275( N ) = 75,645( N ) ⋅ μ 43,275( N ) ⇒ =μ 75,645( N ) ⇒ μ = 0,572 Reemplazando μ = 0,572 en ecuación (1) o (2) se obtiene el valor para T2, es decir:

T2 = 62,75( N ) − 0,571 ⋅ 49( N ) ⇒ T2 = 34,722( N )

62

F Í S I C A

M E C Á N I C A

14. Un cuerpo de 20Kg. descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática y cinética entre el cuerpo y la superficie es 0,4 y 0,3 respectivamente. Sobre el cuerpo actúa una fuerza F tal como indica la figura

F

μ S = 0,4 μ K = 0,3

28º

20 kg

Determinar la fuerza F necesaria para que el cuerpo: a) Esté a punto de iniciar el movimiento. b) Se mueva a velocidad constante. c) Se mueva con una aceleración de 2,4 m/s2. d) Alcance la velocidad de 30 m/s en un tiempo de 8 segundos. e) Alcance la velocidad de 24 m/s cuando ha recorrido una distancia de100 metros

Solución: En primer lugar se debe realizar un diagrama de cuerpo libre tal como indica la figura.

y N

F

28º

f = μ⋅N

x

mg = 196 N

63

M E C Á N I C A

Solución (a) fuerza necesaria pera que el cuerpo esté a punto de iniciar el movimiento: Como el cuerpo está a punto de iniciar el movimiento, significa que no tiene aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda ∑ F = 0 Eje x:

F cos 28º − f = 0 Como el cuerpo aún no se mueve, significa que actúa el roce estático μ s , por lo tanto:

F cos 28º − μ s ⋅ N = 0 Eje y:

∑F

F Í S I C A

(1)

y

=0

N + Fsen28º − mg = 0 Despejando la fuerza normal se obtiene:

N = mg − Fsen28º (2) Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

F cos 28º − μ s ⋅ (mg − Fsen28º ) = 0 Resolviendo el paréntesis:

F cos 28º − μ s ⋅ mg + μ s ⋅ Fsen28º = 0 Factorizando por F y despejando: F (cos 28º + μ s ⋅ sen28º ) = μ s ⋅ mg Despejando F resulta:

F=

μ s ⋅ mg cos 28º + μ s ⋅ sen28º

64

Reemplazando valores numéricos μ s = 0,4 y mg = 196 N se tiene:

M E C Á N I C A

F=

0,4 ⋅ 196 N cos 28º +0,4 ⋅ sen28º

Realizando la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza que se pide, es decir: F = 73,221N

Solución (b) fuerza necesaria pera que el cuerpo se mueva a velocidad constante

y r v = Cte.

N

F

F Í S I C A

28º

f = μ⋅N

x

mg = 196 N En este caso el cuerpo se mueve a velocidad constante, significa que no tiene aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda ∑ F = 0 Eje x:

F cos 28º − f = 0 Como el cuerpo se encuentra en movimiento, significa que ahora actúa el roce cinético μ k , por lo tanto:

F cos 28º − μ k ⋅ N = 0 (1) Eje y: Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

∑F

y

=0

65

M E C Á N I C A

N + Fsen28º − mg = 0 Despejando la fuerza normal se obtiene:

N = mg − Fsen28º (2) Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

F cos 28º − μ k ⋅ (mg − Fsen28º ) = 0 Resolviendo el paréntesis:

F cos 28º − μ k ⋅ mg + μ k ⋅ Fsen28º = 0

F Í S I C A

Factorizando por F y despejando:

F (cos 28º + μ k ⋅ sen28º ) = μ k ⋅ mg Despejando F resulta:

F=

μ k ⋅ mg cos 28º + μ k ⋅ sen28º

Reemplazando valores numéricos μ k = 0,3 y mg = 196 N se tiene:

F=

0,3 ⋅ 196 N cos 28º +0,3 ⋅ sen28º

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza que se anda buscando, es decir: F = 57,434 N

66

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Solución (c) fuerza necesaria pera que el cuerpo se mueva con una aceleración de 2,4 m/s2

y a = 2,4

N

m s

F

28º

f = μ⋅N

x

mg = 196 N En este caso el cuerpo se mueve con una aceleración de 2,4 m/s2, y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda ∑ F = m ⋅ a Entonces: Eje x:

F cos 28º − f = m ⋅ a Como el cuerpo esta en movimiento, significa que actúa el roce cinético μ k , por lo tanto:

F cos 28º − μ k ⋅ N = m ⋅ a (1) Eje y: Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

∑F

y

=0

N + Fsen28º − mg = 0 Despejando la fuerza normal se obtiene:

67

N = mg − Fsen28º (2)

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

F cos 28º − μ k ⋅ (mg − Fsen28º ) = m ⋅ a Resolviendo el paréntesis:

F cos 28º − μ k ⋅ mg + μ k ⋅ Fsen28º = m ⋅ a Factorizando por F y despejando:

F (cos 28º + μ k ⋅ sen28º ) = m ⋅ a + μ k ⋅ mg Despejando F resulta:

m ⋅ a + μ k ⋅ mg cos 28º + μ k ⋅ sen28º m Reemplazando valores numéricos m = 20kg , a = 2,4 2 , μ k = 0,3 y mg = 196 N se s tiene: F=

F=

m + 0,3 ⋅ 196 N s2 cos 28º +0,3 ⋅ sen28º

20kg ⋅ 2,4

Resolviendo la operatoria matemática en el numerador resulta:

F=

106,8 N cos 28º +0,3 ⋅ sen28º

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza necesaria para que el cuerpo se mueva con aceleración de 2,4 m/s2

F = 104,318 N

68

Solución (d) fuerza necesaria pera que el cuerpo alcance la velocidad de 30 m/s en un tiempo de 8 segundos.

F Í S I C A

M E C Á N I C A

y N

v0 = 0

v = 30

F

m s

28º

f = μ⋅N

x

mg = 196 N En este caso el cuerpo, partiendo del reposo alcanza la velocidad de 30 m/s, esto significa que también existe aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda ∑ F = m ⋅ a Entonces: Eje x: igual al caso anterior

F cos 28º − f = m ⋅ a Como el cuerpo esta en movimiento, significa que actúa el roce cinético μ k , por lo tanto:

F cos 28º − μ k ⋅ N = m ⋅ a (1) Eje y: Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

∑F

y

=0

N + Fsen28º − mg = 0 Despejando la fuerza normal se obtiene:

69

N = mg − Fsen28º (2)

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

F cos 28º − μ k ⋅ (mg − Fsen28º ) = m ⋅ a Resolviendo el paréntesis:

F cos 28º − μ k ⋅ mg + μ k ⋅ Fsen28º = m ⋅ a Factorizando por F y despejando:

F (cos 28º + μ k ⋅ sen28º ) = m ⋅ a + μ k ⋅ mg Despejando F resulta:

F=

m ⋅ a + μ k ⋅ mg (∗ ) cos 28º + μ k ⋅ sen28º

En este caso se debe calcular la aceleración y es posible hacerlo por separado. Como se conoce la velocidad inicial que es igual a cero, la velocidad final que es igual a 30 m/s y el tiempo en que se produce el cambio de velocidad, se debe utilizar la ecuación cinemática velocidad en función del tiempo, es decir:

v = v0 + a ⋅ t Como v0 = 0 y despejando aceleración se obtiene: v =a t Reemplazando el valor de la velocidad final y el tiempo correspondiente se tiene el valor de la aceleración:

m s =a 8s

30

m =a s2 Como ahora se conoce el valor de la aceleración, es posible reemplazar en ( ∗ ) y obtener el valor de la fuerza que se anda buscando para este caso: m 20kg ⋅ 3,75 2 + 0,3 ⋅ 196 N s F= cos 28º +0,3 ⋅ sen28º 3,75

70

Resolviendo la operatoria matemática en el numerador resulta:

M E C Á N I C A

F=

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza necesaria para que el cuerpo partiendo del reposo, alcance la velocidad de 30 m/s, es decir:

F = 130,691N

Solución (e) fuerza necesaria pera que el cuerpo alcance la velocidad de 24 m/s en un recorrido de100 metros.

y v0 = 0

F Í S I C A

133,8 N cos 28º +0,3 ⋅ sen28º

N

v0 = 24

F

m s

28º

f = μ⋅N

x

mg = 196 N

100m En este caso el cuerpo, partiendo del reposo alcanza la velocidad de 24m/s, esto significa que existe aceleración y en consecuencia, el segundo principio de Newton queda ∑ F = m ⋅ a Entonces: Eje x: igual al caso anterior

F cos 28º − f = m ⋅ a

71

M E C Á N I C A

Como el cuerpo esta en movimiento, significa que actúa el roce cinético μ k , por lo tanto:

F cos 28º − μ k ⋅ N = m ⋅ a (1) Eje y: Exactamente igual al caso (a), porque el cuerpo no se mueve en el eje y

∑F

y

=0

N + Fsen28º − mg = 0 Despejando la fuerza normal se obtiene:

N = mg − Fsen28º (2)

F Í S I C A

Reemplazando ecuación 2 en ecuación 1, se obtiene:

F cos 28º − μ k ⋅ (mg − Fsen28º ) = m ⋅ a Resolviendo el paréntesis:

F cos 28º − μ k ⋅ mg + μ k ⋅ Fsen28º = m ⋅ a Factorizando por F y despejando:

F (cos 28º + μ k ⋅ sen28º ) = m ⋅ a + μ k ⋅ mg Despejando F resulta:

F=

m ⋅ a + μ k ⋅ mg (∗ ) cos 28º + μ k ⋅ sen28º

En este caso se debe calcular la aceleración y es posible hacerlo por separado. Como se conoce la velocidad inicial que es igual a cero, la velocidad final que es igual a 24 m/s y la distancia recorrida en dicha variación, se debe utilizar la ecuación cinemática de posición independiente del tiempo, es decir:

x = x0 +

v2 − v20 2a

Como x0 = 0 , v0 = 0 y x = d = 100m resulta: 72

d=

v2 2a

a=

v2 2d

F Í S I C A

M E C Á N I C A

Despejando aceleración:

Reemplazando el valor de la velocidad final y distancia correspondiente, se tiene el valor de la aceleración:

m2 s2 = a 2 ⋅100m 24 2

m =a s2 Como ahora se conoce el valor de la aceleración, es posible reemplazar en ( ∗ ) y obtener el valor de la fuerza que se anda buscando para este caso: 2,88

F=

m + 0,3 ⋅ 196 N s2 cos 28º +0,3 ⋅ sen28º

20kg ⋅ 2,88

Resolviendo la operatoria matemática en el numerador resulta:

F=

116,4 cos 28º +0,3 ⋅ sen 28º

Resolviendo la operatoria matemática resulta el valor de la fuerza necesaria para que el cuerpo partiendo del reposo, alcance la velocidad de 30 m/s, es decir:

F = 113,695 N

73

M E C Á N I C A

15. Para el esquema de la figura suponer poleas sin rozamiento y de masa despreciable, cuerda flexible e inextensible de masa despreciable, el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo de 9 kg y la superficie es de 0,2, determinar: a) Aceleración de cuerpo de 5 kg. b) Aceleración de cuerpo de 9 kg. c) Tensión de la cuerda.

B

F = 95 N

CABLE

7 kg

F Í S I C A

A 3 kg

Solución: El problema corresponde a un sistema con aceleración por lo tanto por el segundo principio de Newton se tiene que: ∑F = m⋅a

Diagrama de cuerpo libre: 3 kg

y T r a A = 2a B x

mg A = 29,4 N

74

M E C Á N I C A

En este caso, el cuerpo de 3 kg no presenta movimiento en el eje x, por lo tanto la aceleración se produce en el eje y y en consecuencia se realiza la sumatoria de fuerza solo en el eje y .

T − mg A = m ⋅ a A En este caso la aceleración del cuerpo A tiene el doble de aceleración que el cuerpo B, debido a que el cuerpo B esta incorporado a una polea móvil lo que hace que se necesite menor fuerza para moverlo pero al mismo tiempo se mueve con menor aceleración y en este caso de presentar una polea móvil reduce su aceleración a la mitad de la aceleración de B, por lo tanto la ecuación anterior queda:

T − mg A = m ⋅ 2a B Despejando la tensión T se tiene:

F Í S I C A

T = m ⋅ 2a B + mg A

Remplazando valores numéricos resulta:

T = 3kg ⋅ 2a B + 29,4 N T = 6kg ⋅ a B + 29,4 N (1)

Diagrama de cuerpo de 7 kg r aB

y N

2T

f = μk ⋅ N F = 95 N

x

mg B = 68,6 N

75

M E C Á N I C A

El cuerpo de 7 kg no se mueve en el eje y , por lo tanto la aceleración es solo del eje x , es decir: r ∑ Fx = m ⋅ a x

r F ∑ y =0 Como la fuerza de roce depende de la fuerza normal, se trabajará primero en el eje y : N − mg B = 0

Despejando la fuerza normal: N = mg B

Eje x:

F − μk ⋅ N − 2 ⋅ T = m ⋅ aB

F Í S I C A

Reemplazando la normal N = mg B , se tiene:

F − μ k ⋅ mg B − 2 ⋅ T = m ⋅ a B Reemplazando valores numéricos para la fuerza, coeficiente de fricción, masa y peso de cuerpo B resulta: 95 N − 0,3 ⋅ 68,6 N − 2 ⋅ T = 7 kg ⋅ a B

Multiplicando y reuniendo términos semejantes:

74,42 N − 2 ⋅ T = 7 kg ⋅ a B (2) Reemplazando ecuación (1) T = 6kg ⋅ a B + 29,4 N (1) en ecuación (2), resulta: 74,42 N − 2 ⋅ (6kg ⋅ a B + 29,4 N ) = 7 kg ⋅ a B

Resolviendo el paréntesis:

74,42 N − 12kg ⋅ a B − 58,8 N = 7 kg ⋅ a B Reuniendo los términos semejantes:

76

15,62 N = 19kg ⋅ a B Despejando la aceleración de B:

F Í S I C A

M E C Á N I C A

15,62kg ⋅ 19kg

m s2 = a B

Finalmente dividiendo se obtiene el valor de la aceleración de cuerpo de 7 kg, es decir:

0,822

m = aB s2

Como la aceleración del cuerpo A es el doble de la aceleración del cuerpo B, se tiene que la aceleración del cuerpo de 3 kg es de:

a A = 1,644

m s2

Reemplazando el valor de la aceleración del cuerpo B, a = 0,822 m2 en la ecuación (1), s

se obtiene el valor de la tensión de la cuerda, es decir:

T = 6kg ⋅ 0,822

m + 29,4 N s2

T = 34,332 N Por lo tanto la respuesta al problema es: -

Aceleración de cuerpo de 3kg = 1,644 m/s2 Aceleración de cuerpo de 7kg = 0,822 m/s2 Tensión en la cuerda = 34,332 N

77

1.- Un cuerpo de 20 kg es sostenido mediante una cuerda flexible e inextensible, tal como indica la figura 1. La tensión de la cuerda es aproximadamente: a) 43,697 N b) 52,944 N c) 166,470 N d) 196,000 N

Figura 1

20 kg

Preguntas 2 y 3 corresponden a figura 2.

Figura 2

F Í S I C A

M E C Á N I C A

EJERCICIOS PROPUESTOS – DINÁMICA DE LA PARTÍCULA

48º T1

30º T2

20 kg 2.- Un cuerpo de 20 kg es sostenido mediante dos cuerdas flexibles e inextensibles, tal como indica la figura 2. La tensión T1 es aproximadamente: a) 143,697 N b) 173,533 N c) 186,470 N d) 196,000 N

78

F Í S I C A

M E C Á N I C A

3.- Un cuerpo de 20 kg es sostenido mediante dos cuerdas flexibles e inextensibles, tal como indica la figura 2. La tensión T2 es aproximadamente: a) 134,079 N b) 142,944 N c) 166,250N d) 196,000 N

Preguntas 4, 5, 6 y 7 corresponden a figura 3. Suponer cuerdas flexibles e inextensibles de masa despreciable.

Figura 3 T3 T4 48°

T2 T1

4.- La tensión T1 vale aproximadamente: a) 43,697 N b) 52,944 N c) 66,470N d) 82,344 N

5.- La tensión T2 vale: a) 19,6 N b) 28,391 N c) 79,123 N d) 88,800 N

6 kg

6.- La tensión T3 vale aproximadamente: a) 58,800 N b) 77,600 N c) 86,000 N d) 91,344 N

79

F Í S I C A

M E C Á N I C A

7.- La tensión T4 vale aproximadamente: a) 43,697 N b) 52,944 N c) 66,470N d) 82,344 N

Preguntas 8, 9, 10 y 11 corresponden a figura 4. Suponer cuerdas flexibles e inextensibles de masa despreciable. 35°

42°

T1

Fig. 4

T3 T2

4kg W

10kg

8.- La tensión T3 vale aproximadamente: a) 132,869 N b) 146,459 N c) 189,24 N d) 237,2 N

9.- La tensión T2 vale aproximadamente: a) 60,363 N b) 72,03 N c) 81,974 N d) 108,84 N

10.- La tensión T1 vale aproximadamente: a) 132,869 N b) 198,366N c) 205,042 N d) 290,213 N

80

F Í S I C A

M E C Á N I C A

11.- El peso del cuerpo W vale aproximadamente: a) 51,183 N b) 76,211 N c) 106,695 N d) 127,624 N

Preguntas 12, 13, 14, y 15 corresponden a figura 5 Un cuerpo de 20 Kg. descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática y cinética entre el cuerpo y la superficie es 0,3 y 0,2 respectivamente. Sobre el cuerpo actúa una fuerza F paralela a la superficie tal como indica la figura 5

FIGURA 5

12.- La fuerza F necesaria para que el cuerpo de la figura 5 se mueva a velocidad constante es: a) 196N b) 39,2N c) 58,8N d) 78,40N

13.- La fuerza de roce estático en figura 5, es: a) 88,2N b) 78,40N c) 39,2N d) 58,8N 14.- La fuerza F necesaria para que cuerpo se mueva con aceleración de 1,2 m/s2 en figura 5, es: a) 24N b) 63,2N c) 55,2N d) 94,8N

81

M E C Á N I C A

15.- La fuerza F necesaria en figura 5 para que el cuerpo alcance la velocidad de 20 m/s en un tiempo de 8 segundos es: a) 133,8 N b) 57,2 N c) 89,2 N d) 67,25 N

Preguntas 16, 17, 18, 19, 20 y 21 corresponden a figura 6 Un cuerpo de 12 Kg. descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática y cinética entre el cuerpo y la superficie es 0,2 y 0,15 respectivamente. Sobre el cuerpo actúa una fuerza F tal como indica la figura 6

F

Fig. 6 16° 12 (kg)

μ = 0,2 e

μ = 0,15

F Í S I C A

k

16.- La fuerza F necesaria para sacar el cuerpo del reposo en figura 6, es aproximadamente: a) 2,4 N b) 117,6 N c) 25,956 N d) 23,52 N

17.- La fuerza F necesaria para que el cuerpo s mueva a velocidad constante en figura 6, es: a) 117,6 N b) 23,52 N c) 8,406 N d) 19,176 N

18.- La fuerza F necesaria para que el cuerpo se mueva con aceleración de 0,6 m/s2 en figura 6, es aproximadamente: a) b)

30,401 N 27,002 N

82

F Í S I C A

M E C Á N I C A

c) d)

21,563N 24, 840 N

19.- La fuerza F necesaria para que cuerpo, partiendo del reposo, alcance la velocidad de 20m/s en 8 segundos en figura 6, es aproximadamente: a) 51,787 N b) 57,232 N c) 68,774 N d) 75,805 N

20.- La fuerza F necesaria para que cuerpo, partiendo del reposo, alcance la velocidad de 12 m/s en un recorrido de 50 metros en figura 6, es aproximadamente: a) 31,287 N b) 37,960 N c) 44,236 N d) 54,32 N

21.- La fuerza F necesaria para que cuerpo, partiendo del reposo, recorra 100 metros en un tiempo de 6 segundos en figura 6, es aproximadamente: a) 51,787 N b) 57,638 N c) 98,774 N d) 91,652 N

Preguntas 22, 23, 24, 25, 26 y 27corresponden a figura 7 Un cuerpo de 10Kg. descansa sobre una superficie horizontal. El coeficiente de fricción estática y cinética entre el cuerpo y la superficie es 0,34 y 0,22 respectivamente. Sobre el cuerpo actúa una fuerza F tal como indica la figura 7

F Figura 7

μ S = 0,34 μ K = 0,22

10 kg

10º

83

F Í S I C A

M E C Á N I C A

22.- La fuerza F necesaria para sacar el cuerpo del reposo en figura 7, es aproximadamente: a) b) c) d)

31,920 N 36,524 N 38,832 N 42,138 N

23.- La fuerza F necesaria para que el cuerpo se mueva a velocidad constante en figura 7, es aproximadamente: a) b) c) d)

19,682 N 21,075 N 38,832 N 43,403 N

24.- La fuerza F necesaria para que el cuerpo se mueva con aceleración de 1 m/s2 en figura 7, es aproximadamente: a) b) c) d)

21,145 N 175,73 N 30,850 N 12,128 N

25.- La fuerza F necesaria para que cuerpo, partiendo del reposo, alcance la velocidad de 22m/s en 8 segundos en figura 7, es aproximadamente: a) 25,792 N b) 35,725 N c) 39,877 N d) 47,957 N

26.- La fuerza F necesaria para que cuerpo, partiendo del reposo, alcance la velocidad de 15m/s en un recorrido de 150 metros en figura 7, es aproximadamente: a) 13,655 N b) 15,565 N c) 29,877 N d) 28,406 N

84

F Í S I C A

M E C Á N I C A

27.- La fuerza F necesaria para que cuerpo, partiendo del reposo, recorra una distancia de 240 metros en 12 segundos en figura 7, es aproximadamente: a) 53,655 N b) 58,351 N c) 68,327 N d) 78,236 N Preguntas 28, 29 y 30. Para el esquema de la figura 8 suponer poleas sin rozamiento y de masa despreciable, cuerda flexible e inextensible de masa despreciable, el coeficiente de rozamiento cinético entre el cuerpo de 5 kg y la superficie es de 0,15.

Figura 8 F = 150

CABLE

5 kg

7 kg

28. La aceleración del cuerpo de 7 kg es: a) 10,88 m/s2 b) 0,33 m/s2 c) 5,44 m/s2 d) 7,87 m/s2

29. La aceleración del cuerpo de 5 kg es: a) 0,165 m/s2 b) 3,935 m/s2 c) 5,44 m/s2 d) 8,32 m/s2

85

a) 70,91 N b) 81,04 N c) 85,44 N d) 98,32 N Preguntas 31, 32 y 33. Para el esquema de la figura 8 suponer poleas sin rozamiento y de masa despreciable, cuerda flexible e inextensible de masa despreciable, superficie horizontal de apoyo sin rozamiento. F = 50 N

4 kg

Fig. 8

20º

F Í S I C A

M E C Á N I C A

30. La tensión de la cuerda es:

3 kg

31. La aceleración del cuerpo de 3 kg es: a) 2 m/s2 b) 2,2 m/s2 c) 2,933 m/s2 d) 3,398 m/s2

32. La aceleración del cuerpo de 4 kg es: a) 6,797 m/s2 b) 5,866 m/s2 c) 4,4 m/s2 d) 4 m/s2

86

a) 12,798 N b) 15,800 N c) 17,236 N d) 19,797 N Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a b c

d x

x x x x x x x x x x

Pregunta a b c 12 x 13 14 x 15 x 16 x 17 18 x 19 x 20 x 21 22 x

d x

x

x

Pregunta 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

a b c x x

d

x x x x x x x x x

F Í S I C A

M E C Á N I C A

33. La tensión de la cuerda es:

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F Í S I C A

M E C Á N I C A

BIBLIOGRAFÍA - Paúl E. Tippens

- Física, Conceptos y Aplicaciones Mc Gaw Hill, Quinta Edición, 1996

- Halliday – Resnick – Krane

- Física , Vol. 1 CECSA, 4ª Edición 1999

- Raymond A. Serway

- Física, Tomo I Mc Gaw Hill, 4ª Edición 1999

- Sears – Zemansky - Young - Freedman

- Física Universitaria, Vol. 1 Ed. Pearson, 9ª Edición 1996

- Frederick Bueche

- Fundamentos de Física, Tomo I

- F. Beer – R. Johnston

- Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática Mc Gaw Hill, 6ª Edición. 2000

- F. Beer – R. Johnston

- Mecánica Vectorial para Ingenieros. Dinamica Mc Gaw Hill, 6ª Edición. 2000

- M. Alonso – E Finn

- Física Addison Wesley, 1995

- Alvaro Pinzon

- Física I Conceptos fundamentales y su aplicación

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