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UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLÓGICA DE LIMA SUR INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

PROCESAMIENTO DE SEÑALES FILTRO DE WIENER

ALMUNOS :   

HUAMAN BERRU BRAYHAN PILLCO CAMPOS ROBERT RUIZ VENTURA JHONATAN

CICLO

:

IX

PROFESOR

:

YAURI RODRIGUEZ RICARDO

LIMA-PERÚ 2019

INTRODUCCIÓN Un problema clásico en la Ingeniería Electrónica, es el diseño de filtros como una pieza de circuitería o programación, cuyo objetivo es el reducir los efectos de ruido aditivo en una señal; de esta manera se pueden distinguir dos criterios: el clásico, en donde para establecer el diseño del filtro se necesita conocimiento respecto a los contenidos en frecuencia de la señal deseada y del ruido aditivo (ejemplos de este enfoque incluyen los filtros Butterworth y Chebyshev), y el enfoque moderno, donde tanto las señales de ruido como la señal útil son vistos como procesos estocásticos y se emplea el análisis estadístico de las señales para definir las características del filtro. Tomando el enfoque moderno, existe una gran cantidad de algoritmos que permiten estimar una señal en presencia de ruido; de esta manera se tienen los métodos de la maximización de la relación Señal-Ruido (snr), de la máxima Entropía, del máximo Likelihood, del error cuadrático mínimo, ..., etc. Esto, sin considerar además la solución adaptiva, con lo que el número de algoritmos se incrementa.

I. MARCO TEÓRICO En procesamiento de señales, el filtro de Wiener es un filtro propuesto por Norbert Wiener en la década de 1940 y publicado en 1949. Su propósito es, utilizando métodos estadísticos, reducir el ruido presente en la señal de entrada de tal modo que la señal de salida del filtro se aproxime lo más posible (en el sentido cuadrático medio) a una señal deseada (sin ruido). El equivalente en tiempo discreto del trabajo de Wiener fue derivado independientemente por Kolmogorov y publicado en 1941. Por esto, la teoría es a veces referida como teoría de filtrado de Wiener-Kolmogorov.

II. FUNCIONAMIENTO DE UN FILTRO WIENER 

Filtrado de Wiener El filtro de Wiener es uno de los filtros lineales óptimos más importantes. En su forma más general, consiste en una señal de entrada, x(n), una respuesta deseada, d(n), y un filtro lineal de respuesta impulsional h(n). Este filtro es alimentado por x(n) y produce a su salida y(n). La diferencia entre la señal de salida del filtro, y(n), y la señal deseada, d(n), es el error de la estimación, e(n). El objetivo del filtrado de Wiener es determinar la respuesta impulsional h(n) de forma que el error e(n) sea, en un sentido estadístico, "lo más pequeño posible". El criterio elegido es la minimización del valor cuadrático medio del error x = E{|e(n)|2}

Esta función de coste posee una dependencia de segundo orden con los coeficientes del filtro, y tiene un mínimo que determina los coeficientes óptimos, es decir, el mejor diseño del filtro. Existen diversas estructuras para el filtro de Wiener. Comenzaremos con el caso en el que el filtro puede ser no causal y de duración infinita, el filtro IIR no causal. Posteriormente, añadiremos la restricción de causalidad, para obtener el filtro IIR causal. Por último, la restricción de longitud finita nos conducirá al filtro FIR.



Pre-procesamiento de la señal de audio: Filtro de Wiener El Filtro de Wiener es un filtro propuesto por Norbert Wiener en la década de 1940 y publicado en 1949. Su propósito es reducir el ruido aditivo presente en la señal observada utilizando métodos estadísticos, de tal modo que la señal estimada a la salida del filtro se aproxime lo más posible a una señal deseada sin ruido. El filtro produce un estimado de la señal deseada aplicando un filtro lineal e invariante en el tiempo de la señal ruidosa observada, asumiendo conocidos el espectro de la señal y del ruido aditivo, minimizando el error

medio cuadrático entre la señal estimada y la señal deseada. El filtro de Wiener se caracteriza por:  Se asume que la señal observada contiene ruido aditivo, que la señal y el ruido son procesos estocásticos lineales y estacionarios, que se conocen sus características espectrales, su auto-correlación y su croscorrelación.  El filtro debe ser físicamente realizable y causal.  El criterio de comportamiento es el MMSE: error medio-cuadrático mínimo. Los filtros de Wiener son los mejores filtros lineales de mínimos cuadrados que pueden ser usan para predicción, estimación, interpolación, filtrado de señal y ruido, etc. Para diseñarlos se necesita tener un conocimiento previo apropiado de las propiedades estadísticas de la señal de entrada. El problema reside en que este conocimiento generalmente no se puede obtener. En su lugar se usan filtros adaptativos, que hacen uso de los datos de entrada para aprender los datos estadísticos requeridos. En cualquier caso, la teoría de Wiener es importante para el presente estudio porque los filtros adaptativos que serán empleados convergen asintóticamente (en media) en las soluciones de Wiener. 

Obsérvese el esquema de la Figura 1:

Figura 1: Filtro de Wiener digital El filtro digital tiene una señal de entrada y produce una señal de salida. El filtro será un filtro de Wiener si su respuesta impulsiva se elige para minimizar el error cuadrático medio. El error se define como la diferencia entre la salida del filtro y la respuesta deseada:

𝑒𝑘 = 𝑑𝑘 𝑔𝑘 Cuando se trabaja con filtros de Wiener, generalmente la respuesta deseada existe sólo de forma conceptual. Las propiedades estadísticas de la respuesta deseada y sus relaciones estadísticas con la señal de entrada al filtro se asumen que son conocidas por el diseñador. La situación es bastante diferente cuando se trata con filtros adaptativos. En éstos, la respuesta deseada existe como una señal que puede ser obtenida como entrada en tiempo real al algoritmo adaptativo, para conseguir aprender y adaptarse. Los filtros de Wiener no aprenden. Su diseño es fijo, basado en un primer conocimiento estadístico. La respuesta impulsiva del filtro de Wiener se obtiene encontrando una expresión para el error cuadrático medio y minimizándola con respecto a la respuesta impulsiva. Elevando al cuadrado en ambas partes, se obtiene: 𝑒𝑘2 = 𝑑𝑘2 + 𝑔𝑘2 − 2𝑑𝑔𝑘 Sabiendo que:

∞

𝑔𝑘 = ∑ 𝑓𝑘−𝐼 − ℎ𝐼 𝐼=0

Se puede sustituir: ∞

𝑒𝑘2

=

𝑑𝑘2

+ ∑

∞

∞

∑ ℎ𝐼 ℎ𝑢 𝑓𝑘−𝐼 𝑓𝑘−𝑢 − 2 ∑ ℎ𝐼 𝑓𝑘−𝐼 𝑑𝑘

𝐼=−∞ 𝑚=−∞

𝐼=−∞

Si tomamos valor medio en ambos lados, encontramos una expresión para el error cuadrático medio (MSE):

Siendo 𝜙𝑚𝑚 la autocorrelación y 𝜙𝑚𝑛 la correlación cruzada de dos señales m y n. Si derivamos respecto a h, que es la respuesta impulsiva del filtro, e igualamos a cero para minimizar el error:

Esta es la ecuación de Wiener-Hopf, que en forma de convolución queda:

Tomando transformada en ambas partes:

Con la solución de Wiener se puede encontrar la función de transferencia del filtro 𝐻 ∗ (𝑧) a partir de la transformada Z de la función de autocorrelación de la señal de entrada, de la correlación cruzada de la señal de entrada, y de la respuesta deseada. Si se sustituye esta ecuación en la expresión del error se obtiene el valor del mínimo MSE:

CONCLUSIONES  El cálculo de los coeficientes WIENER, así como las características propias del filtro para obtener una buena estimación, presentan una carga computacional muy grande; la trasformada de Fourier Bidimensional por el algoritmo de Renglón - Columna, requiere N*M transformadas, es decir, para una imagen de 256 * 256 pixeles se requieren 64K transformadas de Fourier de una dimensión, de 256 puntos.

 Si además se recuerda que para la convolución debe duplicarse el número de muestras (Regla del límite superior para una convolución N + M - 1), para una imagen de 256 * 256 pixeles se necesitan dos trasformadas de Fourier de 512 * 512 (suponiendo el algoritmo de convolución rápida).

 Por otra parte, la cantidad de memoria requerida también sobrepasa los escasos 640K que permite el DOS, lo que deriva en que se tenga que recurrir al uso de algoritmos para el manejo del disco duro o en su defecto, programación utilizando la memoria extendida

 Estos argumentos hacen de éste un filtro pocas veces implantado; sin embargo, representa una herramienta importante para el análisis de señales aleatorias. Además, como tiene la capacidad de detectar una señal en presencia de distorsión y ruido, este algoritmo también puede ser utilizado para reconocimiento de señales aleatorias.