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223. Dada las funciones: f = {(2,1),(3, 20 ),(6, −1)} g = {( x + 2, x) / x ∈ ℕ}

ALGEBRA

h = {( x, x 2 + 1) / x ∈ ℤ}

BOLETIN SEGUNDO EXAMEN INTENSIVO 2010 SOLUCIONARIO Desde 205 hasta 224

¿Cuáles son funciones inyectivas? Solución. f no es inyectiva pues (2,1) ∈ f y (3, 20 ) = (3,1) ∈ f . g es inyectiva pues g = {( x + 2, x) / x ∈ ℕ} = {( x, x − 2) / x ∈ ℕ}

Revisado por: Lic. Guillermo Mario Chuquipoma Pacheco

h no es inyectiva, pues (1,2) ∈ h y (−1,2) ∈ h .

205.

El rango de la función inversa de: f ( x) =

Rpta. Solo g .

224. Si f ( x) = 4 − x

y

g ( x) =

1 x −4 2

, son funciones. Determinar el dominio de ( f .g )( x) .

Solución. Se tiene Dom( f ) = { x ∈ ℝ / 4 − x ≥ 0 } = { x ∈ ℝ / x ≤ 4 } = ( −∞,4]

Dom( g ) = { x ∈ ℝ / x 2 − 4 > 0 } = { x ∈ ℝ / ( x + 2)( x − 2) > 0 } = ( −∞, −2] ∪ [ 2, +∞ )

Se sabe que:

Dom( f .g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g )

Dom( f .g ) = ( −∞, 4] ∩ ( −∞, −2] ∪ [ 2, +∞ )  , se obtiene: Dom( f .g ) = ( −∞, −2] ∪ ( 2, 4] Rpta. ( −∞, −2] ∪ ( 2, 4]

Solución: El dominio de la función f , es el rango de la función inversa f −1 . Es decir: Rang ( f −1 ) = Dom( f ) . El dominio de la función Dom( f ) = ℝ − {−1} Rang ( f −1 ) = ℝ − {−1}

mariochuqui.jimdo.com

Rpta. ℝ − {−1}

206. Sea f : ℝ → B , definida como: f ( x) =

x , x∈ℝ . x2 + 1

Hallar B talque f sea suryectiva. Solución: Como ( x − 1)2 ≥ 0 ⇒ x 2 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ 2 x ≤ x 2 + 1 ⇒ ⇒

Publicado en la Pag. Web:

1 , es: x +1

x 1 ≤ x +1 2 2

⇒

f ( x) ≤

2x ≤ x2 + 1 ⇒ 2 x ≤ x2 + 1

1  1 1 ⇒ f ( x) ∈  − ,  2  2 2

1 1 Luego, para que la función f sea suryectiva B =  ,  2 2 1 1 Rpta. B =  ,  2 2 207.

Sea f : [ −1,2] → B / f ( x) = x 2 suryectiva, el conjunto B , es:

Solución: Como x ∈ [ −1, 2] ⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ max {(−1) 2 ,(2) 2 } ⇒ 0 ≤ x 2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ f ( x) ≤ 4 ⇒ f ( x) ∈ [ 0, 4] ⇒ B = [ 0, 4]

Rpta. B = [ 0, 4]

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208. Dada la función real tal que: f ( x) = 6 x 3 + 7 . Hallar su inversa, si existe: Solución: Veamos que sea inyectiva: Si f ( x) = f ( y ) ⇒ 6 x3 + 7 = 6 y 3 + 7 ⇒ x 3 − y 3 = 0

221. Si

Se tiene:

Dom( f ) = < 15, 22 >

Como: g ( x) ∈< 15,22 >

En consecuencia f es inyectiva.

3

y−7 6

⇒ f −1 ( x ) =

3

x−7 6 Rpta. f −1 ( x ) =

209. Sea f y g funciones definidas por: f ( x) = x 2 + 2 x , Si ( f  g )(2) = ( g  f )( m − 2) . El valor de m , es:

3

x−7 6

⇒

y

Dom( g ) = < 7,14 >

15 < 3 x − 1 < 22 ⇒

16 < 3 x < 23 ⇒

16 23 = < 7, 23/3 >  3 3  Rpta. < 7, 23/3 > .

g ( x) = 2 x − m , m < 0 .

Solución: Como: ( f  g )( x) = f ( g ( x)) = (2 x − m) 2 + 2(2 x − m) ⇒ ( f  g )(2) = (4 − m) 2 + 2(4 − m)

(EL ENUNCIADO SE DEBE ADICIONAR COMO SIGUE) 222. Dado los siguientes conjuntos. A = {1,2,3,4} , B = {1,3,5,7} y es definida f : ℕ → A ó B

Además: ( g  f )( x) = g ( f ( x )) = 2( x 2 + 2 x ) − m ⇒

f ( x) = 4 x + 3 , ∀ x ∈ < 15,22 > , g ( x) = 3 x − 1 , ∀ x ∈ < 7,14 > , hallar el Dom( f  g ) .

Solución. Dom( f  g ) = { x / g ( x) ∈ Dom( f )} ∩ Dom( g )

⇒ ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) = 0

Si x ≠ y ⇒ x − y ≠ 0 , además: x 2 + xy + y 2 ≠ 0 , y por lo tanto: ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) ≠ 0 Es una contradicción, por lo tanto: x = y .

Hallemos la función inversa: y−7 y = 6 x3 + 7 ⇒ x 3 = ⇒ x= 6

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f = {(1,1),(2,1),(3,3),(4,5)} , g = {(1,3),(2,1),(3,5),(9,7)} , ¿Son las funciones suryectivas y sobre que conjunto?

( g  f )(m − 2) = 2 (m − 2) 2 + 2(m − 2)  − m

De las dos expresiones anteriores: (4 − m) 2 + 2(4 − m) = 2 (m − 2) 2 + 2(m − 2)  − m

Solución.

⇒ (16 − 8m + m 2 ) + (8 − 2m) = 2m 2 − 8m + 8 + 4m − 8 − m ⇒ m 2 + 5m − 24 = 0 ⇒ (m + 8)(m − 3) = 0 ⇒ Como m < 0 , se tiene: m = −8

Por simple inspección, f = {(1,1),(2,1),(3,3),(4,5)} no es suryectiva ni con A , ni con B .

m = −8 ∨ m = 3

Rpta. m = −8

g = {(1,3),(2,1),(3,5),(4,7)} , es suryectiva sobre B .

Rpta. g es suryectiva sobre B. 210.

¿Es biyectiva la función f ( x) = 1 − x 2 ?

Solución: Se observa que el Dom( f ) = [ −1, 1 ] La función NO es inyectiva. Pues, si tomamos x = 1 Se tiene:

y y = −1

f (1) = 1 − (1) = 0 2

f (−1) = 1 − (−1) 2 = 0 es decir f ( x) = f ( y ) Pero no implica que x = y , pues 1 = x ≠ y = −1 En consecuencia, la función no es biyectiva. Rpta. La función no es biyectiva.

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219. ¿Cuántas proposiciones dadas son falsas?

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Solución: Considerando Dom( f ) = ℝ − {1} La función es inyectiva: x−3 y −3 Sea f ( x) = f ( y ) ⇒ = x −1 y −1 2 2 ⇒ = x −1 y −1

III. IV. V. VI.

⇒ ⇒

f ( x) =

x −3 x −1

2 2 =1− x −1 y −1 1 1 = ⇒ x −1 = y −1 x −1 y −1 1−

⇒ x=y

Solución. I. II.

f : ℝ − {1} → ℝ − {1} /

211. Determinar si f es una función biyectiva

I. Toda función inyectiva es suryectiva. II. La relación real definida por y 2 = x − 1 es una función. III. Una función f : A ⊂ ℝ → B ⊂ ℝ es biyectiva si y solo sí para cada y ∈ B , existe un único x ∈ A tal que y = f ( x ) IV. Una función cuadrática definida por f ( x) = ax 2 + bx + c , ∀x ∈ ℝ , a ≠ 0 , es inyectiva. V. Un función f : A ⊂ ℝ → B ⊂ ℝ es suryectiva si y solo sí para cada y ∈ B , existe x ∈ A tal que y = f ( x ) VI. Toda función inyectiva tiene inversa.

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Falso. (Pregunta repetida en 212 – V) Falso. La relación no es una función. Según la relación, los pares ordenados pertenecen a la relación: (2,1) y (2, −1) por lo tanto, no cumple a condición que sea función. Verdadero. Pues se pide que sea suryectiva e inyectiva a la vez. Falso. Pues si tomamos a = 1 , b = c = 0 , luego la función f ( x) = x 2 no es una función inyectiva. Verdadero. Es la definición de suryectividad. Verdadera. Se puede definir una función inversa, indicando que la suryectividad se cumplen en el rango de la función.

Veamos que f sea suryectiva: Como el conjunto de llegada es: ℝ − {1} 1 ∈ ℝ − {1} x −1 f ( x) ∈ ℝ − {1}

Por lo tanto:

2 ∈ ℝ − {1} ⇒ x −1 Ran( f ) = ℝ − {1}

⇒ ⇒

1−

2 ∈ ℝ − {1} x −1

⇒

x−3 ∈ ℝ − {1} x −1

f es suryectiva.

En consecuencia:

f es biyectiva.

Rpta. FFVFVV

Rpta. La función es biyectiva.

220. ¿Cuál o cuáles de las siguientes funciones no tiene inversa? I. II. III. IV. V.

212.

Signo. Mayor entero Lineal Valor Absoluto Escalón unitario

En la misma secuencia indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. II. III. IV. V. VI.

Solución. Las funciones Signo, mayor entero, Valor Absoluto, Escalón unitario, no soy inyectivas. La función lineal dada por f : ℝ → ℝ / f ( x) = ax + b con a, b ∈ ℝ . Si se habla en forma general, no tiene inversa, pues si a = 0 , pues es la función lineal constante. Rpta. Todas.

Toda función, es relación. Toda relación, es una función. Toda función, es inyectiva. Toda función inyectiva o suryectiva, es biyectiva. Toda función inyectiva, es suryectiva. Toda recta, es función.

Solución: I. Verdadero. La función es una relación con una condición adicional. II. Falso. Una relación no siempre es una función. III. Falso. Por ejemplo la función definida como f ( x) = x 2 , no es inyectiva. IV. Falso. Para que sea función sea biyectiva debe cumplirse las dos condiciones a la vez, es decir debe ser inyectiva y suryectiva. 1 V. Falso. Por ejemplo, la función f : ℝ → ℝ definida como f ( x) = es inyectiva, pero no es x suryectiva. VI. Falso. La recta que es paralelo al eje de las Y (perpendicular al eje de las X) no puede definirse como una función. Rpta. FVVVVV

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213. ¿Cuántas de las siguientes funciones son biyectivas? Si f : A → B , donde: A = {1,2,3,4,5,6} y B = {a, b, c, d , e} II. f = {(1, c),(2, b),(3, d ),(5, c)}

III. f = {(1, c),(2, d ),(3, b),(5, a),(6, e)} Solución: I. Falso. No es biyectiva, pues no es suryectiva, pues la función es dada como f : A → B . II. Falso. No es biyectiva, pues la inyectiva ya que (1, c) ∈ f y (5, c) ∈ f . III. Verdadero. Es biyectiva, pues es inyectiva y suryectiva. Rpta. Solo III 214. Dados los conjuntos A = {1,2,3} y B = {1,2,3,4} , g = {(3,1),( x, y ),(1,3)} es una función inyectiva de A en A y f = {(1,1),(2, z ),(3, 2),(4,2)} es una función suryectiva de B en A , el valor de xy − z , es:

A

1.

1.

2. 3.

2. 3.

B

A

Como, g = {(3,1),( x, y ),(1,3)} es inyectiva Se tiene que x = 2 , y = 2

Solución. Para que la función f = {(3, 2),(5,7),(a,2),(b,7)} sea inyectiva, se debe cumplir que a = 3 y b = 5 ,

1.

1. 2. 3. 4.

a − b = 3 − 5 = −2

Luego el valor de:

Rpta. −2 217. Verificar que la función f ( x) = 2 x 2 − 4 x , x ∈ [1, +∞[ es inyectiva. Solución. Veamos si es inyectiva. Si f ( x) = f ( y ) ⇒ 2 x 2 − 4 x = 2 y 2 − 4 y ⇒ ⇒

f

g

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216. Dada la función f = {(3, 2),(5,7),(a,2),(b,7)} inyectiva. Hallar el valor de a − b .

I. f = {(2, a ),(3, c),(4, e),(6, d )}

Solución:

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( x − 1) − ( y − 1) = 0 2

2

x ≥1 ,

y ≥1

⇒

x+ y≥2

entonces, z = 3 . Se pide, xy − z = (2)(2) − (3) = 1

(I )

0

Rpta. f es inyectiva. 218. La función f : [ 0,5] → [1,10] definida por f ( x) = x 2 − 6 x + 10 , es: I. Inyectiva. II. Suryectiva. III. Biyectiva

Y

X

( II )

( x + y − 2) ≥ 0

Por lo tanto; f es una función inyectiva.

Rpta. 1

Y

⇒

Analizando: 1. Si x + y − 2 = 0 ⇒ x = y =1 2. Si x + y − 2 > 0 ⇒ por la ecuación (∗) , tenemos que x − y = 0 , entonces x = y . En consecuencia, esto implica que x = y .

2. 3.

f = {(1,1),(2, z ),(3, 2),(4,2)} es suryectiva

215. Dadas las siguientes gráficas:

( x − 1)2 = ( y − 1) 2

( x + y − 2)( x − y ) = 0 ⋯ (∗)

⇒

Además, por el dominio de la función:

A

2( x − 1) 2 − 2 = 2( y − 1) 2 − 2 ⇒

X

0

Solución. La función se puede escribir:

f ( x) = x 2 − 6 x + 10 = ( x − 3)2 + 1

Y

Y

x=2 ⇒ f (2) = (2 − 3) 2 + 1 = 2 y=4 ⇒ f (2) = (4 − 3) 2 + 1 = 2 Es decir, si se tiene f ( x) = f ( y ) , esto no implica que x = y

I. No es inyectiva, pues:

( III )

0

X

( IV )

0

X

¿Cuál o cuáles son funciones inyectivas? Solución. Por simple inspección, para que una función sea inyectiva, toda línea imaginaria trazada horizontalmente debe de cortar en un solo punto. En este caso, las únicas gráficas es III y IV . Rpta. III y IV

II. Es suryectiva, pues: Como x ∈ [ 0,5] ⇒ ⇒

0≤ x≤5

⇒

−3 ≤ x − 3 ≤ 2 ⇒

0 ≤ ( x − 3) ≤ 9 ⇒ 1 ≤ ( x − 3) + 1 ≤ 10 2

2

Luego el Rang ( f ) = [1, 10] .

0 ≤ ( x − 3)2 ≤ max { (−3) 2 , (2) 2

⇒ 1 ≤ f ( x) ≤ 10 ⇒

f ( x) ∈ [1, 10] .

}

III. No es biyectiva. Pues no es inyectiva. Rpta. f es suryectiva.