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República Bolivariana De Venezuela. Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior. Universidad de Oriente. Maturín – Estado Monagas.

Profesor:

Dr. Francisco Esparragoza

Bachilleres:

Damarys Coronado Mirtha Rodríguez Yexi Mendoza Isora Aguirre Jorge Marcano

C.I: 18.865.138 C.I: 20.566.718 C.I: 18.173.138 C.I: 19.110.481 C.I: 18.652.849

Sección :01

.

Febrero, 10/02/2011. 1

7.10- Para un determinado nivel de ingreso, el departamento de hacienda sabe que las cantidades declaradas por conceptos de deducciones medica (X1) contribuciones caritativas (X2) y gastos varios (X3), son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con media $ 400, $800 y $100 y desviaciones estándar $100, $250 y $40, respectivamente.

A) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad total declarada por concepto de estas tres deducciones, no sea mayor de $1600?

B) Si una persona con ese nivel de ingenio declara por concepto de estas deducciones un total de $2100. ¿Qué tan probable es tener una cantidad igual o mayor a este monto bajo las condiciones dadas? -Deducciones medicas X1 -Contribuciones caritativas X2 Variables aleatorias independientemente normales. -Gastos varios X3

X1= 400$

𝜎1 2 = 100$

X2= 800$

𝜎 22 = 250$

X3=100$

𝜎 32 = 40$

a) Pr X1 + X2 + X3 ≤ 1600 Pr X1 + X2 + X3 – Mx1 + X2 + X3 ≤ 1600- Mx1 + X2 + X3 𝜎 2 x1 + x2 x3/n 𝜎 2 x1 + x2 x3/n 2

Y = 1/3x1+1/3x2+1/3x3 My=1/3(400)+1/3(800)+1/3(100)=400+800+100 3 My=433,33 𝜎 2y=1/32(x1)2+1/32(x3)2 𝜎 2y = 1/9(100)2+1/9(250)2+1/9(40)2=10.000+62500+1600 9 𝜎 y2=8233,33;√8233,33=90,73

Pr [Z≤1600/3-433,33=1.102] 90,73

Z=1,102=0,3643 At=0,5-0,3643=0,1357 Pr [x1+x2+x3>1600]=0,1357

0

1,102 3

7.11- Una tienda de artículos eléctricos para el hogar vende 3 diferentes marcas de refrigeradores si x1, x2, x3 variables aleatorias, las cuales representan el volumen de ventas mensual para cada una de las tres marcas refrigeradores x1, x2, x3 son variables aleatorias independientes normales distribuidas con media $8000, $15000 y $12000, y desviaciones estándar $2000, $5000 y $3000, respectivamente, obtener, la probabilidad de que, para un mesen particular, el volumen de venta total para los tres refrigeradores sea mayor de $50.000.

X1=8000$

𝜎 1=2000$

X2=15000$

𝜎 2=5000$

X3=12000$

𝜎 2=3000$

Pr [x1+x2+x3 >50000] Pr (x1+x2+x3)-Mx1+x2+x3 > 50000-Mx1+x2+x3 𝜎 (x1+x2+x3)/√𝑛 𝜎 (x1+x2+x3)/√𝑛 ] Y=1 x1 +1 x2 + 1 x3 3 3 3 My= 1 (8000)+1 (15000)2+1 (12000)=35000 =11666,66 3 3 3 3 𝜎 2y= 1 (2000)2+ 1 (5000)2+ 1 (3000) 32 32 32 =4000000+25000000+9000000=4222222,22 9 𝜎 y= √4222222,22=2054,804668 4

Pr= Z= 50000/3-11666,66 √4222222,22 Pr Z=50000/3-11666, 66 =2, 43 2054. 80 At = 0, 5- 0, 4925 = 0, 0075 Pr [x1+x2+x3>50000] = 0, 0075

0

2, 43

7.16- Un contratista pinza comprar una gran cantidad de lámparas de alta intensidad a cierto fabricante. Este asegura al contratista que que la duración promedio de las lámparas es de 1000 horas con unas desviaciones estándar igual a 80 horas. El contratista decide comprar las lámparas solo si una muestra aleatoria de 64 de estas da como resultado una da un promedio de 1000 horas ¿Cuál es la probabilidad de que el contratista adquiera las lámparas? M= 1000 𝜎 = 80 n= 64 Pr [X =1000] Pr

X-M ≤ 1000-M 𝜎 /√𝑛 80/√641 5

Pr [Z ≤ 0/10]= [Z ≤ 0] 7.23- Si se obtiene una muestra aleatoria de n= 16 de una distribución normal con media y varianza desconocida, obtener P (s2/ 𝜎 2 ≤ 2,041) Datos n=16 S=? M=? Obtener Pr [S2/ 𝜎 2 ≤ 2,041] Pr [n.S2/ 𝜎 2 ≤ 2,04n] Pr [Y ≤ 2,041 x 16] Pr [Y ≤ 32,656] = 0,99

32,656

La Probabilidad de obtener P/S2 / 𝜎 2 ≤ 2,041 = 0,99

6

7.24- Si se obtiene una muestra aleatoria de tamaño n=21 de una distribución normal con media y varianza desconocidas, obtener P (s2/ 𝜎 2 ≤ 1,421). Datos n=21 S =? M =? Pr [S2/ 𝜎 2 ≤ 1,421] Y= n.S2 N 𝜎 2 n 𝜎2 Pr [n.s2/ 𝜎 2 ≤ 1,421n] Pr [Y ≤ 1,421x21] Pr [Y ≤ 29,61]= 0,90

29,61

7

La Probabilidad de obtener P/S2 / 𝜎 2 ≤ 1,421 = 0,90 7.25- Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina, en unas de sus marcas, es de 0,6 mg por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina en 16 cigarrillos de esta marca y encuentra que y encuentra que el promedio y la desviación estándar muestra que el promedio es de 0,75 y 0,175 mg, respectivamente, de nicotina. Si se supone que la cantidad de nicotina en estos cigarrillos es una variable aleatoria normal, ¿Qué tan probable es resultado muestral dado el dato proporcionado por el fabricante? Datos M=0,6 mg n=16 cigarrillo X=0, 75 mg S=0,175 mg Pr [X > 0, 75] Pr X – M > 0,75 - M 𝑆 √𝑛 S √𝑛

Pr t > 0,75 − 0,6 0,175/ √16

3, 428 El Resultado Muestral dado el dato Proporcionado Por el Fabricante es Pr [t > 3,428] = 0,005

Pr [t > 3,428] GL= 16-1 = 15 Pr [t > 3,428] = 0,005

8

MUESTRA ALEATORIA Y DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO.

9

Muestra aleatoria y distribuciones de muestra. 7.75 - Para cierta prueba de aptitud se sabe con base en la experiencia que el número de aciertos es de 100 con una disminución estándar de 125. Si se aplica la prueba a 100 personas seleccionadas al azar, aproximar las siguientes probabilidades que involucran a la media muestral x. a) b) c) d)

P (985 < X < 1015). P (960 < X < 1040). P ( X < 1020). P ( X < 975).

Datos: M=1000

Condiciones: Población normal

𝜎 =125

n>30

Z= X-11

𝜎2 conocida

n=100

𝜎x

a) P(985 -M= -250+3,363 12

-M= -246,637 . (-1) M= 246,6337 7.25- Un fabricante de cigarrillos asegura que el contenido promedio de nicotina, es una de sus marcas, es de 0.6mg por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina de 16 cigarrillos de esta marca y encuentra que el promedio y la desviación estándar muestra es de 0.75 y 0.175mg, respectivamente, de nicotina. Si se supone que la cantidad de nicotina en estos cigarrillos es una variable aleatoria normal ¿Qué tan probable es el resultado muestral dado el dato proporcionado por el fabricante? Datos M=0,6mg N=16 Pr [x>0.6] X=0, 75 S=0,175

Sx= T=

𝑥−𝑀 𝑆𝑥

𝑆 √𝑛

=

0,175 √16

= 0, 04375

=0.75 - 0.6 = 3.429

0.04375

P(+> 0.6) = 3.429

P(+> 3.429) < 0.005

13

7.27- El gerente de una refinería piensa modificar el proceso para producir gasolina a partir de petróleo crudo. El gerente hará la modificación solo si la gasolina promedio que se obtiene por este nuevo proceso (expresada como un porcentaje del crudo) aumenta su valor con respecto al proceso en uso. Con base en un experimento de laboratorio y mediante el empleo de dos muestras aleatorias de tamaño 12, una para cada proceso, la cantidad de gasolina promedio del proceso en uso es de 24.6 con una desviación estándar de .3 y para el proceso propuesto fue de 28.2 con una desviación estándar de 2.7. El gerente piensa que los resultados proporcionados por los dos procesos son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con varianzas iguales. Con base en esta evidencia, ¿debe adoptarse el nuevo proceso? Datos Proceso I n = 12 x1 = 24.6 S1=2,3 T=

proceso II n =12 x2= 28.2 S2=2,7

(X1−X2)−M1−M2 S(X1−X2)

(24,6−28,2)−0

T=

1,0274

= -3,515

S(x1 – x2) √𝑆𝑝2 (

1 𝑛1

+

1

)

𝑛2

S𝑝2 = (n1-1) s21 + (n2-1) s22 n1 + n2-2 Sp2= Sp2 =

(12−1)(2,3)2 +(12−1) (2,7)2 12+12−2 58,19+80,19 22

S(X1- X2) = √6,29(

= 6, 29

1 12

+

1

)

12

P (+ < - 3,515) = P (+20,001)

Si debe adoptarse el Nuevo proceso.

S(X 1

- X2)=

1,0274

14

Estimación Puntual Y Por intervalo

15

Estimación puntual y por intervalo 8.21- Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la ruptura media de una fibra. Diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura, en libras, de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son 20.8, 20.6, 21.0, 20.9, 19.9, 20.2, 19.8, 19.6, 20.9, 21.1, 20.4, 20.6, 19.7, 19.6, 20.3, y 20.7. Supóngase que la tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal con desviación estándar de 0.45 libras. Construir un intervalo de confianza estimado del 98% para el valor real de la tensión de ruptura promedio de la fibra. Datos. n=16 hilos Nc=98% X=> 20,8 Ns=2% 20,6 21,0 I c= X ± t . s g l= n-1= 16-1= 15 20,9 1-∝= 0,98 √𝑛 19,9 I c= 20,38 ± 2,6025. 0, 45 ∝= 0, 02 20,2 area= 2,6025 √16 19,8 19,6 I c= 20,38 ± 0,29278125 20,9 21,1 I c= 20,38 - 0,29278125= 20,38 + 0,29278125 20,4 20,6 I c= (20,0872,20,6728) 19,7 19,6 20,3 19,7 19,6 20,3 20,7 Σ x= 326,1= 20,38 16

16 8.27 La cámara de comercio de una ciudad se encuentra interesada en estimar la cantidad promedio de dinero que gasta la gente que asiste a la convención, calculando comidas, alojamiento y entrenamiento por día. De la de las distintas convenciones que se llevan a cabo en la ciudad, se seleccionaron 60 personas y se les pregunto la cantidad que gastaban por día. Se obtuvo la siguiente información en dólares: 150, 175. 163, 148, 142, 189, 135, 174, 168, 152, 158, 184, 134, 146, 155, 163. Si se supone que la cantidad de dinero gastada en un día es una variable aleatoria distribuida normal, obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 98% para la cantidad promedio real. Datos M= ∑ 𝑥 = 158,5 n area ∝= 90% ⟹ 0,90 → 1,7531 ∝= 90% ⟹ 0,90 → 2,1315 ∝= 90% ⟹ 0,90 → 2, 6025 S = 16,42

gl= 16-1= 15 0, 5

t - ∝/ 2

0, 5

𝑡 ∝/2

0,90 = 0,45 ⟹ 0,5-0,45= 0,05 2 S = 16,42 = 4, 103859972 √𝑛 √16

0,95 = 0,475 ⟹ 0,5- 0,475= 0,025 2 0,98 = 0,49 ⟹ 0,5- 0,49 = 0,01 2

X – t .S ≤ M ≤ X + t . S √𝑛 √𝑛 17

158, 5 – 1,7531. (4, 103859972) ≤ M 158, 5 + 1,7531. (4, 103859972) (151,31 ≤ M ≤ 165,69)

158, 5 – 2,1315. (4, 103859972) ≤ M 158, 5 + 2,1315. (4, 103859972) (149,75 ≤ M ≤ 167,25)

158, 5 – 2,6025.(4, 103859972) ≤ M 158, 5 + 2,6025.(4, 103859972) (147,82 ≤ M ≤ 169,18)

8.30- Una muestra aleatoria de los salarios por hora para nueve mecánicos de automóviles proporcionó los siguientes datos (en dólares): 10.5, 11, 9.5, 12, 10, 11.5, 13.9, 8.5. Bajo la suposición de que el muestreo se llevo a cabo sobre una población distribuida normal, construir los intervalos de confianza estimado del 90, 95, y 99% para los salarios por hora promedio para todos los mecánicos. Interpretar los resultados.

Datos

area

∝= 90% ⟹ 0,90 = 0,05

1,8595

∝= 95% ⟹ 0,95 = 0,025

2,3060

∝= 99% ⟹ 0,99 = 0,005

3,3554

gl= n- 1= 9-1= 8

18

n=9 M = ∑ x = 10,56 n S= 1,47 S x = s = 1,47 = 0,49 √𝑛 √4 X–t. S ≤M≤X+t. S √𝑛 √𝑛

10, 56- 1,8595 . 0,49 ≤ M ≤ 10,56 + 1,8595 . 0,49 (9,65 ≤ M ≤ 11,47)

10, 56- 2, 3060. 0,49 ≤ M ≤ 10,56 + 2, 3060 . 0,49 (9,43 ≤ M ≤ 11,69)

10, 56- 3, 3554 . 0,49 ≤ M ≤ 10,56 + 3, 3554 . 0,49 (8,92 ≤ M ≤ 12,20)

19

8.31 Dos universidades financiadas por el gobierno tienen métodos distintos para inscribir a sus alumnos a principios de cada semestre. Los dos desean comparar el tiempo promedio que les toma a los estudiantes completar el trámite de inscripción. En cada universidad se anotaron los tiempos de inscripción de 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias y las derivaciones estándares muéstrales son las siguientes:

X1 = 50,2

X2 = 52,9

S 1 = 4,8

S 2 = 5,4

Obtener los intervalos de confianza estimados de 90, 95, y 99% para la diferencia entre las medidas del tiempo de inscripción para las dos universidades. Con base en esta evidencia, ¿se estaría inclinando a concluir que existía una diferencia real entre los tiempos medios para cada universidad.

Datos Universidad A

Universidad B

n = 100 x1 = 50,2 𝜎1 = 4,8

n = 100 x2 = 50,2 𝜎2 = 4,8

Nc= 90%, 95% y 99%

20

Ic = x 1 – x 2 = Z 𝜎2 x1

𝜎2 x1 + 𝜎2 x2 n1 n2

z= (1-∝/2)= 0,90/2= 0,45= 1,65z z= 0,95/2 0,475 ⟹ z= 1,95z z= 0,99/2 = 0,495 ⟹ 2,58

a) Ic = (50,2- 52,9) ± 1,65

(4,8)2 + (5,4)2 100 100

= -2,7 ± 1,65 √0,2304 + 0,2916 = -2,7 ± 1,9 = -2,7 ± 1,9 = -2,7 ± 1,9 (-3,89 ; -1,51)

b) Ic = (50,2- 52,9) ± 1,96

(4,8)2 + (5,4)2 100 100

= -2,7 ± 1,96 √0,2304 + 0,2919 = -2,7 ± 1,42 = -2,7 - 1,42 = -2,7 + 1,42 (-4,12 ; -1,28)

21

c) Ic = (50,2- 52,9) ± 2,58 √0,2304 + 0,2916

= -2,7 ± 1,86

= -2,7 - 1,86 = -2,7 + 1,86

(-4,56 ; -0,84)

8.33- En dos ciudades se llevo a cabo una encuesta sobre el costo de la vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familia constituidas por cuatro personas. De cada ciudad se selecciono aleatoriamente entre una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales en alimentación. Las medias y las derivaciones estándares muéstrales fueron las siguientes:

X1 = 135

X2 = 122

S 1 = 15

S 2 = 10

Si se supone que se muestrearon dos poblaciones independiente con distribución normal cada una y varianzas iguales, obtener los intervalos de confianza estimado del 95 y 99% para M1 y M2 ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre M1 y M2?

22

Datos Universidad A n = 20 x = 135 𝑆1 = 15

Universidad B n = 20 x = 135 𝑆2 = 10

Nc= 95% y 99% 1- ∝= 0,95 ∝= 0,05/2 = 0,025

1-∝= 0,99 ∝= 0,01/2 = 0,05 a) Ic = x 1 – x 2 ± t (∝/2 ; n 1 + n 2 -2 ) S (x 1 – x 2)

S x 1 – x 2 = √𝑆𝑝2 (

1 𝑛1

+

1

)

𝑛2

Ic= (135-122) ± t (0,25; 20+20-2) 4,0301 Ic= 13 ± (2,0244) 4,0301

𝑆𝑝2 = (20-1).(15)2 +(20-1).(10)2 20+20-2

Ic= 13 ± 8,1586 Ic= 13 - 8,1586 (4, 84 ; 21,16)

𝑆𝑝2 = 4275+1900 = 162,42 38 S (x 1 – x 2) = √162,42 (

1

20

+

1

)

20

S (x 1 – x 2) = 4,0301 23

b) Ic= 13 ± t (0,005; 38). 4,0301 Ic= 13 ± (2,7115). 4,0301

Ic= 13± 10,9276

Ic= 13± 10,9276= 13+10,9276 (2,07 ; 23,93) Si existe una diferencia real (M1-M2) 8.35 Mediante el uso de los datos 8.27, obtener un intervalo de confianza estimado del 95% para la varianza descocida e interpretar el resultado. Datos X= 158,5 n = 16 Nc= 95%

S = 16,42 = 4,103859972 √𝑛 √16 gl = n-1 = 16-1 = 15 1-∝= 0,95 ∝= 0,05 area = 1,7531

Ic = x ± t S √𝑛 Ic= 158,5 ± t (0,05; 15) 4,10385 Ic= 158,5 ± t (1,7531) 4,10385 Ic= 158,5 ± 7,19 158,5-7,19 = 158,5+ 7,19 24

(151,31= 165,69)

DIFERENCIA DE PROPORCIONES

Walpole Myers Cuarta Edicion Pag 275 a 276 25

Estimación de la diferencia entre la proporción 1- Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes y se encuentra que 114 respaldan un convenio de anexión. Encuentre el intervalo de confianza del 96% para la fracción de la población de votantes que favorece el convenio. ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 96% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la fracion de votantes que favorecen el convenio de anexos es 0,57? Datos n = 200 Votantes P= x n P=0,57 𝜋= P 𝜎p= √

𝑃(1−𝑃) 𝑛

Z= ∝/2= 0,96/2= 0,48= 2,05

= √

0,57(1−0,57) 200

= √0,0012255 = 0,035

P-Z ∝/2. 𝜎p ≤ 𝜋 ≤ P+Z ∝/2. 𝜎p 0,57-2,05. 0,035 ≤ 𝜋 ≤ 0,57-2,05. 0,035 0,49 ≤ 𝜋 ≤ 0,64 ∝= 0,96 𝛴= ? 𝛴= Z ∝/2. 𝜎 = 2,05. 0,57 = 0,082 √200 √𝑛

26

2- Se selecciona una muestra aleatoria de 500 fumadores de cigarrillos y se encuentra que 86 de ellos prefieren la marca x. encuentra el intervalo de confianza de 90% para la fracción de la población de fumadores que prefieren la marca x. ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 90% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la fracción de fumadores que prefieren la marca x es 0,172? Datos n = 500 fundadores P= 0,172 ∝= 0,90 𝜎p= √

𝑃(1−𝑃) 𝑛

= √

1,72 (1−0,172) 500

= √0,00028 = 0,016

Z= ∝/2 0,90/2 = 0,45= 1,65 P-Z∝/2.𝜎p ≤ 𝜋 ≤ P+Z ∝/2. 𝜎p 0,172-1,65. 0,016 ≤ 𝜋 ≤ 0,172-1,65. 0,016 0,14 ≤ 𝜋 ≤ 0,14 ∝= 0,90 𝛴= ? 𝛴= Z ∝/2. 𝜎 = 1,65. 0,172 = 0,012 √𝑛

√500

27

3- En una muestra aleatoria de 1000 casa en una determinada ciudad, se encuentra que 228 de ellas tiene calefacción de petróleo. Encuentra el intervalo de confianza de 99% para la proporción de hogares en esta ciudad que tiene este tipo de calefacción.

Datos n = 1000 cosas P= 0,228 ∝= 0,99 𝜋=P

𝜎p= √

𝑃(1−𝑃) 𝑛

= √

0,228 (1−0,228) 1000

= √0,00017 = 0,0132

P-Z∝/2.𝜎p ≤ 𝜋 ≤ P+Z ∝/2. 𝜎p Z ∝/2 = 0,99/2 = 0,495 Z= 2,58 0,228-2,58. 0,0132 ≤ 𝜋 ≤ 0,228+2,58. 0,0132 0,19 ≤ 𝜋 ≤ 0,26

28

4- Se está considerando un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes de corto alcance. El sistema actual tiene una P= 0,8 como probabilidad de un lanzamiento exitoso. Una muestra de 40 lanzamiento experimentales se realiza con el nuevo sistema y 34 de ellos tiene éxito.

a) Determine un intervalo de confianza de 95% para P. b) ¿Consideraría usted que nuestro sistema es mejor?

Datos Sistema actual P= 0,8 n= 40 nuevo sistema P= 0,85

a) ∝= 0,95 P= √

0,85(1−0,85) 40

= √0,0031= 0,056

Z ∝/2 = 0,95/2 = 0,475 Z= 1,96 P-Z∝/2.𝜎p ≤ 𝜋 ≤ P+Z ∝/2. 𝜎p 0,85-1,96. 0,056 ≤ 𝜋 ≤ 0,85+1,96. 0,056 0,74 ≤ 𝜋 ≤ 0,95

29

5- Un especialista en genética está interesado en la proporción de hombres africanos que presentan un desorden sanguíneo leve. En una muestra aleatoria de 100 de ellos, se encontró que 24 presentaban dicho desorden.

a) Calcule un intervalo de confianza de 99% para la proporción de hombres africanos que tienen este desorden sanguíneo. b) ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 99% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la proporción de persona con este desorden sanguíneo es 0,24?

Datos n = 100 P = 0,24 Z ∝/2 = 0,99/2 = 0,495 Z= 2,58

a) ∝= 0,99

P= √

0,24(1−0,24) 100

= √0,0018= 0,042

P-Z∝/2.𝜎p ≤ 𝜋 ≤ P+Z ∝/2. 𝜎p 0,24-2,58. 0,042 ≤ 𝜋 ≤ 0,24+2,58. 0,042 0,13 ≤ 𝜋 ≤ 0,34 b) 𝛴= Z ∝/2. 𝜎 = 2,58. 0,24 = 0,06 √100 √𝑛 30

6. De acuerdo con un informe que se publico en el Roanoke times S Worldnews, el 20 de agosto de 1981, aproximadamente 2/3 de los 1600 adultos investigados por teléfono dijeron que juzgan que el programa espacial es una buena del país. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción de adultos en los estados unidos que piensa que el programa espacial es una buena inversión para el país. ¿Qué se puede afirmar con una confianza de 95% acerca de la posible magnitud del error si se estima que la proporción de estos adultos que consideran al programa espacial como una buena inversión es 2/3? Datos n = 1600 2/3 = 0,66 P= 0,004

Z ∝/2 = 0,99/2 = 0,475

∝ = 0,95

Z= 1,96

P= √

𝑃(1−𝑃) 𝑛

=√

0,0004(1−0,0004) 1600

= 0,00049

P-Z∝/2.𝜎p ≤ 𝜋 ≤ P+Z ∝/2. 𝜎p

0,0004-1,96. 0,00049≤ 𝜋 ≤0,0004+1,96.0,00049

0,0005 ≤ 𝜋 ≤ 0,0013 ∝= 0,95 𝛴= Z ∝/2. 𝜎 = 1,96. 0,66 = 0,032 √𝑛

√1600

31

7. ¿Qué tan grande bede ser una muestra en el ejercicio 1 si se desea obtener una confianza de 96% de que la proporción muestral estará dentro del 0.02 de la fracción real de la población de votantes?

Datos n=? ∝ = 0,96 n =(

Z ∝/2.𝜎 2

) = (

𝛴

1,65.0,16 2 0,02

) = 1,74 = 2

8. ¿Qué tan grande debe ser una muestra en el ejercicio 3 si se desea tener una confianza de 99% de que la proporción muestral estará dentro del 0.05 de la proporción real de hogares en esta ciudad que utilizan calefacción de petróleo? Datos n=? ∝ = 0,99 𝛴= 0,05

n =(

Z ∝/2.𝜎 2 𝛴

) = (

2,58.0,132 2 0,05

) = 0,68

32

9. Un especialista en genética está interesado en la proporción de hombres y mujeres en la población que tienen un leve desorden sanguíneo. En una muestra aleatoria de 1000 hombres 250presentaron esta afección, mientras que otra del mismo número de mujeres, 275 de ellas lo padecieron. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre la proporción de hombres y mujeres que surgen este desorden sanguíneo. Datos Hombres

Mujeres

n = 1000 hombres

n = 1000 mujeres

P = 0,25

P = 0,275

Z ∝/2 = 0,99/2 = 0,475 = 1,96

P= √

0,25(1−0,25) 1000

+

0,275(1−0,275 1000

= 0,019

(P1-P2)- Z∝/2. 𝜎 (P1-P2) ≤ 𝜋1-𝜋2 ≤ (P1-P2)- Z∝/2. 𝜎 (P1-P2)

(0,275-0,25) – 1,96. 0,019 ≤ 𝜋1-𝜋2 ≤ (0,275-0,25) +1,96. 0,019

0,025- 0,03724 ≤ 𝜋1-𝜋2 ≤

-0,12 ≤ 𝜋1-𝜋2 ≤ 0,062

33

ESTIMACION

Walpole Myers Cuarta Edicion Pag 255 a 256

34

4-Un fabricante produce focos que tienen un promedio de vida con distribucion aproximadamente normal y una desviacion estandar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una vida promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza del 96% para la media poblacionar de todos los focos que produce esta empresa. Datos 𝜎= 40 n = 30 x = 780 horas α= 0,96

Z∝/2 = 0,96/2 = 0,48 = 2,06

x −∝/2.

𝜎 √𝑛

780-2,06.

≤ M ≤ X +Z ∝/2.

40 √30

𝜎 √𝑛

≤ M ≤ 780+2,06.

40 √30

765 ≤ M ≤ 795,04

La confianza del 96% que se tiene en el intervalo es de 765 a 795,04 horas que contiene la media de todos los focos que produce la empresa.

35

5- Una maquina de refrescos esta ajustada de tal manera que la cantidad de liquido despachada se distribuyo aproximadamente en forma normal con una desviacion igual que 0,15 decilitros. Encuentren un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los refrescos que sirve esta maquina si una muestra aleatoria de 36 refrescos tiene un contenido promedio de 2.25 decilitr os. Datos 𝜎= 0,15 decilitros Int = 95% = 0,95/2 = 0,475 n = 36 x = 2,25 decilitros Z= 0,475 = 1,96 x −𝑍 ∝/2.

2,25- 1,96.

𝜎 √𝑛

≤ M ≤ X +Z ∝/2.

0,15 √36

𝜎 √𝑛

≤ M ≤ 2,25+ 1,96.

0,16 √36

220≤ M ≤ 2,3

La confianza del 95% que se tiene en un intervalo es de 2.20 a 2.3 decilitros que contiene la media de todos los refrescos que sirvio esta maquina.

36

6-La altura de una muestra aleatoria de 50 estudiantes mostraron una media de 174,5 centimetro y una desviacion estandar de 6,9 centimetros. Datos n = 50 x = 174,5 centimetros 𝜎= 6,9 centimetros

a) Determine un intervalo de confianza del 98% para la altura promedio de todos los estudiantes. 𝑍 ∝/2 = 0,98/2 = 0,49 = 2,33 174,5-2,33. 6,9/√50 ≤ M ≤ 176,77

La confianza que se tiene del 98% en el intervalo es de 172.23 a 176.77 cm. Para la altura promedio de todos los estudiantes. b) ¿ Que se puede afirmar con un 98% de confianza acerca de posible tamaño del error si se estima que la altura promedio de todos los estudiantes es 174,5 centimetros. 𝛴= Z ∝/2. 𝜎 = 2,33. 6,9 = 2,27 √𝑛

√50

Se puede afirmar con 98% de confianza que el posible tamaño del error no excederas del 2.27 de las alturas promedios de todos los estudiantes.

37

7-¿Que tan grande se requiere que sea una muestra en el ejercicio 4 si se desea tener una confianza del 96% de que la media muestral este dentro de las 10 horas de promedio real?

n =(

Z ∝/2.𝜎 2 𝛴

) = (

2,06 .40 2 10

) = 67,89 = 68

Se puede tener una confianza del 96% de que la muestra del ejerciocio 4 tenga un tamaño de 68 para que la M. este dentro de las 10 horas del promedio real.

8-¿Qué tan grande se requiere una muestra en el ejercicio 5 si se desea tener una confianza del 95% de que la media muestral esta dentro de 0,09 decilitros del promedio real?

n =(

Z ∝/2.𝜎 2 𝛴

) = (

196x0,15 2 0,09

) = 10,67= 11

Se puede tener una confianza del 95% con una muestra aleatoria de tamaño 11 del ejercio 5 de que la M. estara dentro de 0,09 decilitros del promedio real.

38

9-Una muestra aleatoria de 100 propetarios de automovil indica que, en el estado de Virgina, un automovil recorre un promedio de 23500 km por año con una desviacion estandar de 3900 km. a) Determinu un intervalo de confianza del 99% para la cantidad de km que un automovil recorre anualmemte en virgilia. Datos. N=100 X=23500Km 𝜎= 3900 Km a) INT 99% Z=0,99/2=0,495=2,57 23500-2,57x3900/√100 ≤ M ≤ 23500+2,57x3900/√100 22497,7 ≤ M ≤ 24502,3

La confianza que se tiene del 99% en el intervalo es de 22497.7 a 24502.3 km para la cantidad promedio de km que un automovil recorre anualmente en virgilia.

b) ¿ que se puede afirmar con una confianza del 99% respecto al posible tamaño del error si se estima que la cantidad promedio de km recirrida por los propetarios de vihiculos en virgilia es de 23500 km al alo?

b)

242𝑥 𝜎 √𝑛

=

2,57𝑥3900 √100

= 1002,3 39

Se puede afirmar con un 99% de confianza que el posible tamaño del error no excedera de 1002.3 de la cantida promedio de km recorrido por los propetarios de vehiculos en virgilia.

10- Un experto en eficiencia desea determinar el tiempo promedio que toma el hacer tres perforaciones en una cierta pieza metalica. ¿Qué tan grande se require que sea la muestra si se necesita una confianza del 95% de que su media muestral estara dentro de 15 segundos del promedio real? Asuma que por estudio previos se sabe que 𝜎=40 segundos. Datos. N=? Confianza del 95%= 0,92/2= 0,475 Z=1,96 E=15seg 𝜎=40seg N= (

𝑍𝜎/2 𝑥𝜎 2 1,96𝑥40 2 ) =( )= 𝐸 15

27,32= 28

Se puede tener una confianza del 95% con una muestra de tamaño 28 de que su M. estara dentro de 15 seg del promedio real.

40

11- Un envestigador de la universidad UCLA oficina que ciclo de vida de los ratones puede prolongarse hasta un 25% cuando las calorias en su alimentacion se reduce aproximadamente un 40% desde el momento en que se les desteta. Las dietas con restricciones son enrriquesidas a niveles normales con vitaminas y proteinas. Suponiendo que, por estudios previos, se sabe que 𝜎 = 5,8 mes, ¿Cuántos ratones deben incluirse en la muestra si se desea tener una confianza del 99% de que el ciclo promedio de vida de la muestra estaria dentro de 2 meses del promedio poblacional para todos los ratones sujeta a esta dieta reducida. Datos. 25% 𝜎=5,8meses E=2meses N=?

40%

Conf. 99%=0,99/2= 0,498= 2,57 N= (

2,57𝑥5,8 2 )= 2

55,54= 56

Deben incluirse 56 ratones en la muestra para tener una confianza del 99%, de que el ciclo promedio de vida de la muestra estara dentro de 2 meses del para X para todos los ratones sujetos a esta dietas reducidas.

12- El consumo regular de cereales preendulzados contribuye a la caidad de los dientes, enfermedades del corazon y otros procesos degenerativos de acuerdo con estudios del Dr. W. H. bowen del National Institutes of. Health (Instituto nacional de salud) y el Dr. J. Yudben, profesor de nutricion y dietetica en la universidad de londes. En una muestra aleatoria de 20 porciones sencillas de un cereal el contenido promedio de azucar fue 11,3 con una desveacion estandar de 2,45 gramos. Suponiendo que el contenido de azucar estan distribuido normalmente, determine un intervalo de confianza del 95% para el contenido promedio de azucar de porciones sencillas de dicho cereal. 41

Datos. N=20 X=11,3gm 𝜎= 2,45gr Int. Conf= 95%= 0,95/2= 0,475= 1,96 11,3-1,96x245/√20 ≤ M ≤ 11,3+1,96x2,45/√20 10,23 ≤ M ≤ 12,37

La confianza del 95% que se tiene en el intervalo es de 10,23 a 10,37 gr para el contenido de azucar de porceones sencillas de dicho cereal.

13- Una maquina produce piezas metalicas de forma cilindrica. Se toma una muestra de piezas cuyos diametros son: 1,01, 0,96, 1,03, 1,04, 0,99, 0,98, 0,99, 1,01 y 1,03 centimetros. Encuentra un intervalo de confianza del 99% para el diametro promedio de piezas de esta maquina, si supone una distribucion aproximadamente normal.

Datos. Int conf. 99%= 1-0,99/2= 0,005 X= 1,0056 S= 0,0245 n= 9 n-1= 9-1= 8 t(𝜎/2, n-1)=3,3554

42

S/√𝑛= 0,0245/√9=0,008

1,0056-3,3554x0,0082 ≤ M ≤ 1,0056+3,3554x0,0082

0,978 ≤ M ≤ 1,033

La confianza que se tiene del 99% en el intervalo es de 0,978 a 1,033cm para el diametro promedio de piezas de estas maquinas.

14- una muestra aleatoria de 8 cigarrillos de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 2,6 miligramos y una desviacion estandar de 0,9 miligramos determine un intervalo del 99% de confianza para el contenido promedio real de nicotina de esta maraca de cigarrillos en particular, asumiendo que la distribucion de los contenidos de nicotina son aproximadamente normales. Datos. N=8 X=2,6m/g S=0,9m/g Int conf. 99% 1-0,99/2= 0,005= 3,4995 n-1=7 2,6-3,4995x0,9/√8 ≤ M ≤ 2,6+3,4995x0,9/√8

1,48 ≤ M ≤ 3,71 43

El intervallo de confianza del 99% para el contenido promedio real de nicotina de esta marca de cigarrillos en particular es de 1,48 a 3,71 mlg.

15- se toma una muestra aleatoria de 12 agujas de tejer en un estudio de la dureza Rockwell de la cabeza. De las agujas. Se realizan las mediciones de la dureza para cada una de las 12 piezas, de lo que se obtiene un valor promedio de 48,50 con una desviacion estandar de 1,5. Suponiendo que las mediciones estan normalmente distribuidas, determine un intervalo de confianza del 90% para la durza Rock Well promedio. Datos. N=12 X=48,50 S=1,5

Int conf. 90%= 0,90

1-2/2= 1-0,90/2= 0,05= 1,7959

48,50-1,7959x1,5/√12 ≤ M ≤ 48,50+1,7959x1,5/√12

47,722 ≤ M ≤ 49,278

El int. De confianza del 90%para la dureza Rockvo de la cabeza de las agujas, su promedio real es de 47,722 a 49,278.

44

16- Una muestra aleatoria de 12 alumnos graduada de una escuela secretorial mecanografia un promedio de 79,3 palabras por minutos con una desviacion estandar de 7,8 palabras por minutos. Suponiendo una distribucion muestral para la cantidad de palabras mecanografiada por minuto, encuentre un intervalo de confianza del 95% para el numero de promedio de palabras monografiadas por todas las graduados de esta escuela. Datos. N=12 X=79,3P/min 𝜎=7,8P/min Int conf. 95%= 1-0,095/2= 0,025= 2,2010

n-1= 12-1= 11

79,3-2,2010x7,8/√12 ≤ M ≤ 79,3+2,010x7,8/√12

74,34 ≤ M ≤ 84,26

La confianza del 95% debe tener un intervalo de 74,34 a 83,26 palabras por minutos para el numero promedio de palabras mecanografiada por todos los graduados de esta escuela.

45

17-una muestra aleatoria de 25 cigarros de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 1,3 miligramos y una desviacion estandar de 0.17 miligramos. Encuentre los limites de tolerancia del 95% que contendran el 90% de los contenidos de nicotinas para esta marca de cigarro, suponiendo que las mediciones estan normalmente distribuidas. Datos. N=25 X=1,3m/g 𝜎=0,17m/g L.T del 95% que contendra el 90% 1-y= 0,95 ; 1- α= 0,90 =0,05 K=2,208 X-Ks ≤ To ≤ X+Ks 1,3-2,208x0,17 ≤ to ≤ 1,675

Se tiene una confianza del 95% de que el intervalo de tolerancia de 0,928 a 1.675 miligramos contendra el 90% de los contenidos de nicotina para esta marca de cigarro.

18- Se registraron las siguientes mediciones del tiempo de secado, en horas de una marca de pintura latex. 3,4

2,5

4,8

2,9

3,6

2,8

3,3

5,6

3,7

2,8

4,4

4,0

5,2

3,0

4,8

46

Suponiendo que las mediciones representan una muestra aleatoria de una poblacion normal, encuentre los limites de tolerancia del 99% que contendran el 95% de los tiempos de secado. Datos. N=15 To=99% Conf. 95% 1-α= 0,95

X=3,79 S=0,97 1-Y= 0,99 = 0,01 K= 3,507

X-Ks ≤ to ≤ X+Ks

3,79-3,507(0,97) ≤ to ≤ 3,79+3,507.0,97

0,388 ≤ to ≤ 7,192

Se tiene una confianza del 99% de que el intervalo de tolerancia es de 0,388 a 7,192 que contendran el 95% de los tiempos, de secado de una marca de pintura latex.

19-Con referencia al ejercio 9, determine un intervalo de confianza del 99% que contenga el 99% de las millas recorridas anualmente por automoviles en virgina. Asuma que la distribuciones es aproccimadamente normal. 47

Datos. 𝜎=3900km N=100 X=23,500km 𝜎S Confianza 99%=0,99 To. 99%= 1-y= 0,99= 0,01 K= 3,096 X-ks ≤ to ≤ x+ks 23500-3,096(3900) ≤ to ≤ 23500+3,096(3900) 11426 ≤ to ≤ 35574,4

Se tiene una confianza del 99% de que el intervalo de tolerancia es de 0,388 a 7,192 que contendran el 99% de las millas recorridas anualmente por automoviles en virginia.

48

DIFERENCIA DE MEDIAS

Walpole Myers Cuarta Edicion Pag 266 a 267 49

Estimación de las diferencias entre dos medias. 1-una muestra aleatoria de tamaño n1= 25 que se toma de una población normal con una desviación estándar 𝜎1= 5 tiene una media de X= 80. Una segunda muestra de tamaño n2= 36, tomada de una población normal diferente con una desviación estándar 𝜎2= 3, tiene una media X= 75. Encuantre un intervalo de confianza del 94% para M1-M2. Datos. N1=25 n2= 36 𝜎1=5 𝜎 2= 3 X1= 80 X2=75 α=0,94 Zα/2= 0,94/2= 0,47; Z= 1,88 2

2

𝜎(x1-x2)= √𝜎𝑛11 + 𝜎𝑛22= √

(5)2 25

+

(3)2 36

= 1,12

(x1-x2)-1,88x1, 12 ≤ M1-M2 ≤ (X1-X2)+Zα/2x𝜎(X1-X2) (80-75)-1,88x1, 12 ≤ M1 M2 ≤ (80-75)+1,88x1, 12 2,9 ≤ M1 M2 ≤ 7,1

Se tiene una confianza del 94% de que el intervalo de 2,9 a 7,1 que contiene las disferencia de las medias poblacionales para valores de una poblacion normal.

50

2- Se comparan dos tipos de roscas de tornillos para ver su resistencia a la tencion. Se prueban 50 piezas de cada tipo de cuerdas vajo condiciones similares, la marca A tomo una resistencia promedio a la tencion de 78,3 kilogramos con una desviacion estandar 5,6 Kg, mientras que la marca B tomo una resistencia promedio a la tencion de 87,2 Kg con una desviacion estandar de 6.3Kg. determine un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales. Datos. Rosca1

Rosca2

N1=50

n2=50

X1=78,3kg X2=87,2kg 𝜎1=5,6kg

𝜎2=6,3kg

α=0,95 𝜎(x1-x2)= √

(𝜎1 )2 𝑛1

𝜎(x1-x2)= 1,19

+

/

(𝜎2 )2 𝑛2

=√

(5,6)2 50

+

(6,3)2 50

Zα/2= 0,95/2= 0,475= 1,96

𝜎(x1-x2)- Zα/2 . 𝜎(x1-x2) ≤ M1 M2 ≤ 𝜎(x1-x2)+ Zα/2 . 𝜎(x1-x2)

(87,2-78,3)- 1,96.1,19≤ M1- M2 ≤ (87,2-78,3)+ 1,96.1,19

6,56 ≤ M1- M2 ≤ 11,23

51

Se tiene una confianza del 95% de que el intervalo de 6,56 a 11,23 Kg contiene la diferencia de las media poblacional de roscas de tornillos para su resistencia.

3- Se realizo un estudio para determinar si determinado tratamiento matematico tenia algun efecto en la cantidad de metal eliminado en una operación de inmersion en acido. Se sumergio una muestra de 100 piezas en un baño durante 24 horas sin el tratamiento, dando un promedio de 12,2 milimetros de metal removido y una desviacion estandar muestral de 1.1 milimetros. Una segunda muestra de 200 piezas se expuso al tratamiento y despues a una inmersion en el baño durante 24 horas lo que resulto en una eliminacion promedio de 9.1 milimetros de metal con una desviacion estandar muestral de 0,9 milimetros. Calcule una estimacion del intervalo de confianza del 98% para la diferencia de las medias poblacionales. ¿ parece que el tratamiento reduce la cantidad promedio de metal removido? Datos. N1=100 piezas X1= 12,2 ml 𝜎1=1,1 α=0,98

n2= 200 pieza X2=9,1ml 𝜎2= 0,9

Zα/2= 0,98/2= 0,49= 2,33 𝜎(x1-x2)= √

(1,1)2 100

+

(0,9)2 200

= 0,127

(x1-x2)- Zα/2 . 𝜎(x1-x2) ≤ M1 M2 ≤ (x1-x2)+ Zα/2 . 𝜎(x1-x2) (12,2-9,1)-2,33.0,127 ≤ M1 M2 ≤ (12,2-9,1)+2,33.0,127 3,1-0,29591 ≤ M1 M2 ≤ 3,1+0,29591 52

Se tiene una confianza del 98% de que el intervalo de 2,80 a 3,39 milimetros de metal removido contiene la diferencia de la media poblacional para distribuciones. Si dicho tratamiento metalico tenia algun efecto en la cantidad de metal eliminado en una operación de inmercion en acido. Si, si se reduce la cantidad promedio de metal removido, es decir que dicho tratamiento si tiene efecto eliminado de metal removido.

4-En un proceso quimico, se comparan dos catalizadores para verificar su efecto en el resultado de las reacciones de procesos. Se preparo una muestra de doces procesos utilizando el catalizador 1 y una de 10 centimetro el catalizador 2. En el primer caso se obtuvo un rendimiento promedio de 85 con una desviacion estandar de 4, mientras que el promedio para la segunda muestra fue de 81 y la desviacion estandar muestral de 5. Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre las medias poblacionales, suponiendo que las poblaciones estan distribuidas aproximadamente en forma normal con varianzas iguales.

5-Los estudiantes pueden seleccionar entre un curso de fisica de 3 semestres horas sin laboratorios y un curso de 4 semestre- con laboratorio. El examen escrito final es el mismo para ambas secciones. Si dos estudiantes de la seccion con laboratorio obtuvieron una calificacion promedio de 84 con una desviacion promedio de 4 y los mismos parametros para los 18 estudiantes de la seccion sin laboratorio fueron 77 y de 6, respectivamente, encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia entre las calificaiones promedio de los dos cursos. Asuma que las pobaciones estan distribuidas aproximadamente en forma normal con varianzas iguales. Datos. N1= 20 X1= 84 𝑆1=4

n2= 20 X2=77 𝑆 2= 6 α=0,99 53

1-0,99/2= 0,005 N1 +N2-2= 9,11 ≈ 10 t = 3,1693 Sp= (1)16+(17)36= 62,83 10 𝑆(x1-x2)= √62,83(

1 20

+

1

) = 7,925

20

7-2,8784.4,403 ≤ M1 M2 ≤ 7-2,8784.4,403

-5,67 ≤ M1 M2 ≤ 19,67

N1= 12 X1= 85 𝑆1=4

n2= 10 X2=81 𝑆 2= 5 α= 90%

1-∝/2= 1-0,9/2= 0,05 N1 - N2-2=20 t = 1,7247 S(x1 – x2)= √𝑆𝑝2 (

1 𝑛1

+

1

) = √20,05(

𝑛2

1 12

+

1 10

)

S(x1 – x2)= 1,917

54

Sp2= (n1-1)S21+(n2-1)S22 = 11.16+9,25= 20,05 N1+N2-2

20

(x1-x2)- t(α/2 ; n1-n2-2).S(x1-x2) ≤ M1- M2 ≤ (x1-x2)+ t(α/2 ; n1-n2-2).S(x1-x2)

4-1,7247.1,917 ≤ M1- M2 ≤ 4+1,7247.1,917

0,69 ≤ M1- M2 ≤ 7,31

Se tiene una confianza del 90% de que el intervalo de 0,69 a 7,31 de un proceso quimico que contienen la diferencia entre las medias poblacionales con varianzas iguales.

6- En un estudio que se realizo en las virginias polytechnic institute and statu university en 1983 sobre las relaciones de una relacion simbioticas entre las raices de los arboles y un hongo que transfiere minerales a los arboles y absorbe azucares de los arboles, se plantaron 20 robles rojos con el hongo Pisolithis tintores en un invernadero todos los arboles se plantaron en el mismo tipo de terreno y recibieron la misma cantidad de sol y agua; la mitad no recibio nitrogeno al momento de plantarse con objeto de que sirviera como control y la otra mitad recibio 368 ppm de nitrogeno en la forma N a.N03. al final de 140 dias, se registraron los siguientes valores en gramos para los pesos de los troncos.

Sin nitrogeno: 0,32; 0,53; 0,28; 0,37; 0,47; 0,43; 0,36; 0,42; 0,38; 0,43.

Con nitrogeno: 0,26; 0,43; 0,47; 0,49; 0,52; 0,75; 0,79; 0,86; 0,62; 0,46.

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Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los pocos promedios de los troncos estrés aquillos que no recibieron nitrogeno y los que recibiero 368 ppm del mismo. Asuma que la poblacion esta normalmente distribuida con varianza iguales.

N= 20 robles N1= 10 N2=10 recibio 368 PPM SN= x1= 0,399

n=18

S1= 0,072 C.N= 0,565 S2= 0,19 (x1-x2)= 0,565-0,399= 0,17 95%= 1-0,95= 0,025 2 t = 2,1009 S2p= (9)(0,005184)+(9)(0,0361)= 0,372=0,021 18

18

S(x1 – x2)= √0,021(

1

10

+

1

) = 0,0648

10

0,17-2,1009.0,0648 ≤ M1- M2 ≤ 0,17+2,1009.0,0648 0,033≤ M1- M2 ≤ 0,31 56