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• Lisbeth Acevedo jaramillo

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Ejercicio 1. Planteamiento de un problema de programación lineal

Los siguientes datos de programa de programación lineal se usan para la planificación mensual de las tareas de una planta donde se fabrican 3 productos (P1, P2 y P3) y que se procesan en tres áreas diferentes (T1, T2 y T3) con disponibilidades horarias para el mes de marzo de 2020 respectivas de 900, 480 y 400 horas al mes.

Maximizar: Z = 8 X1 + 6 X2 + 6 X3

Sujeto a:

1,5 X1 + 2,5 X2 + 1,8 X3 ≤ 900 1,7 X1 + 1,5 X2 + 1,9 X3 ≤ 480 1,8 X1 + 1,2 X2 + 1,7 X3 ≤ 400 X1, X2, X3 ≥ 0

Con los datos anteriores:

a. Resuélvalo por el método simplex. b. ¿Cuál es la utilidad que genera la producción para el mes de marzo? c. ¿Deben fabricarse los 3 productos?, si la respuesta es negativa, indique cuáles.

Solución

a.

Resuélvalo por el método simplex.

Llamaremos:

X1 = unidades a producir de producto 1 X2 = unidades a producir de producto 2 X3 = unidades a producir de producto 3

Función objetivo:

Maximizar

Z = 8X1 + 6X2 + 6X3 (Utilidad)

Condiciones del problema:

1,5X1 + 2,5X2 + 1,8X3 ≤ 900 1,7X1 + 1,5X2 + 1,9X3 ≤ 480 1,8X1 + 1,2X2 + 1,7X3 ≤ 400

Condiciones de no negatividad: X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 X3 ≥ 0

1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:

Función objetivo: Maximizar

Z(x1,x2,x3,h1,h2,h3) =

8X1 + 6X2 + 6X3 + 0Y1 + 0Y2 + 0Y3

Condiciones del problema:

1,5X1 + 2,5X2 + 1,8X3 + H1 = 900

1,7X1 + 1,5X2 + 1,9X3 + H2 = 480

1,8X1 + 1,2X2 + 1,7X3 + H3 = 400 Tabla con los coeficientes de las restricciones y la función objetivo :

X1 1.5 1.7 1.8 -8

X2 2.5 1.5 1.2 -6

X3 1.8 1.9 1.7 -6

H1 1 0 0 0

H2 0 1 0 0

H3 0 0 1 0

resultado 900 480 400

H1 H2 H3 Z

La primera solución: Z(0,0,0,900,480,400) = 0

Transformar la tabla para obtener una nueva solución:

Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila. Primera columna.

Los cocientes positivos serian:

900/(1.5) = 600

480/(1.7) = 282.352941

400/(1.8) = 222.222222

Se intercambian las variables de la columna y la fila :

X1 0 0 1 0

X2 1.5 0.366666667 0.666666667 -0.666666667

X3 3.83333333 0.294444444 0.944444444 1.5555556

H1 1 0 0 0

H2 0 1 0 0

H3 -0833333333 0.944444444 0.555555556 4.44444444

RESULTADO 566.666667 68.8888889 22.2222222 177.777778

H1 H2 X1 Z

La segunda solución: Z = 177.777778

Los cocientes positivos serian:

(566.666667)/(1.5) = 377.777778 (68.8888889)/(0.366666667) =187.878788 (22.2222222)/( 0.666666667) = 333.333333

El elemento es el número 0.366666667 ; se divide la fila por 0.366666667. Se anula el resto de la columna .

Se intercambian las variables de la columna y la fila :

X1 0 0 1 0

X2 0 1 0 0

X3 -0.821212121 0.803030303 0.5625 2.09090909

H1 1 0 0 0

H2 -0.4511 2.72727273 -1.81818182 1.81818182

H3 3.03030303 2.57575758 -1.16161616 2.72727273

RESULTADO 282.424242 187.878788 96.969697 1903.0303

VARIABLE H1 H2 X1 Z

La tercera solución: Z = 1903.0303

b. La utilidad que genera la producción para el mes de marzo es : 1903.0303

c. Solo se deben fabricar los productos 1 y 2 .

Ejercicio 2. Análisis gráfico de la solución del problema de programación lineal:

Según la gráfica, que describe un problema típico de programación lineal:

El cual está sujeto a las condiciones de:

Maximizar: Z = 5 X1 + 7 X2

Sujeto a:

2 X1 + 2 X2 ≤ 480 3 X1 + 2 X2 ≤ 450 1 X1 + 3 X2 ≤ 500 X1, X2 ≥ 0

Identifique las condiciones respuesta de:

a. Función objetivo, utilidad maximizada. b. Valor de la variable X1. c. Valor de la variable X2. d. Valor de las coordenadas limitantes del gráfico y el valor de la función objetivo.

a. Función objetivo:

Z = 5∙X1 + 7∙X2

Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:

5 X1 + 7 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5

sujeto a: 2 X1 + 2 X2 + 1 X3 = 480 3 X1 + 2 X2 + 1 X4 = 450

1 X1 + 3 X2 + 1 X5 = 500 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

La variable que sale de la base es X5 y la que entra es X2.

Tabla 1

5

7

0

0

0

Base

Cb

P0

X1

X2

X3

X4

X5

X3

0

480

2

2

1

0

0

X4

0

450

3

2

0

1

0

X5

0

500

1

3

0

0

1

0

-5

-7

0

0

0

Z

La variable que sale de la base es X4 y la que entra es X1

Tabla 2

5

7

0

0

0

Base

Cb

x0

X1

X2

X3

X4

X5

X3

0

440 / 3

4/3

0

1

0

-2 / 3

X4

0

350 / 3

7/3

0

0

1

-2 / 3

X2

7

500 / 3

1/3

1

0

0

1/3

3500 / 3

-8 / 3

0

0

0

7/3

Z

Tabla 3

5

7

0

0

0

Base

Cb

P0

P1

P2

P3

P4

P5

P3

0

80

0

0

1

-4 / 7

-2 / 7

P1

5

50

1

0

0

3/7

-2 / 7

P2

7

150

0

1

0

-1 / 7

3/7

Z

1300

0

0

0

8/7

La solución óptima es Z = 1300 b. X1 = 50 c. X2 = 150

d.

Las coordenadas limitantes de la región son:

(50,150) (0, 500/3) (150,0)

Reemplazamos valores en la función objetivo.

Z = 5·(50) + 7·(150) = 1300 ; la coordenada que es máxima.

Z = 5·(0) + 7·(500/3) = 1166

Z = 5·(150) + 7·(0) = 750

11 / 7

Ejercicio 3. Análisis gráfico de la solución del problema de programación lineal:

Según la gráfica, que describe un problema típico de programación lineal:

El cual está sujeto a las condiciones de:

Minimizar: Z = 5 X1 + 7 X2

Sujeto a:

2 X1 + 2 X2 ≥ 480

3 X1 + 2 X2 ≥ 450 1 X1 + 3 X2 ≥ 500 X1, X2 ≥ 0

Identifique las condiciones respuesta de:

a. Función objetivo, costo minimizado. b. Valor de la variable X1. c. Valor de la variable X2. d. Valor de las coordenadas limitantes del gráfico y el valor de la función

objetivo.

Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura: -5 X1 -7 X2 + 0 X3 + 0 X4 + 0 X5

sujeto a: 2 X1 + 2 X2 + 1 X3 = 480 3 X1 + 2 X2 + 1 X4 = 450

1 X1 + 3 X2 + 1 X5 = 500 X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

Tabla 1

-7

0

0

0

Base

Cb

X0

X1

X2

X3

X4

X5

X3

0

480

2

2

1

0

0

X4

0

450

3

2

0

1

0

X5

0

500

1

3

0

0

1

0

5

7

0

0

0

Z

Función objetivo:

-5

Z = 5 X1 + 7 X2

El punto que minimiza la función objetivo es :

2x1 +2x2 = 480 ⇒ x1+x2 = 240 *- 1 1x1 + 3x2 = 500 ⇒ x1+3x2 = 500 -x1 -x2 = -240 x1+3x2 = 500 + ___________ 2x2 = 260 x2 = 130 x1 = 240 -130 = 110

( 110 , 130 )

Las coordenadas limitantes de la región son: (110,130) (0, 240) (500,0)

Remplazamos valores en la función objetivo Z = 5*X1 + 7*X2 Z = 5* 100 + 7*130 = 1410 la coordenada que es mínima. Z = 5·(0) + 7·(240) = 1680 Z = 5·(500) + 7·(0) = 2500