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ANA MARIA LOPEZ SALGADO

Centro de Enseñanza Técnica Industrial

FASORES Matemáticas avanzadas para ingeniería

Alejandra Guadalupe Reyes Castillo

17310270 5ºA Ingeniería Industrial Octubre 2019

Introducción El uso de fasores aporta increíbles ventajas para la resolución de fórmulas en el campo de la Ingeniería Eléctrica. En el siguiente informe se definirá el concepto fasor y su representación gráfica en el plano complejo. También se revelarán algunas aplicaciones útiles de este método, como la resolución de circuitos RLC y la implementación en un oscilador armónico. La corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular ω. Este vector se suele denominar fasor. Los fasores pueden representarse mediante números complejos teniendo una componente real y otra imaginaria, pudiéndose notar de manera binomial o polar según lo exija el problema. La constante relación con la función senoidal permite resolver y analizar fácilmente ondas y circuitos de corriente alterna, como también el movimiento armónico.

Objetivo Se mostrará la relación existente entre variables complejas con magnitudes eléctricas para la facilitación de cálculos, y brevemente se describirá el uso de fasores en otras ramas, como en óptica, acústica, e ingeniería de las telecomunicaciones. Finalmente se cerrará el tema con una conclusión final.

Justificación El fasor es un número complejo que se utiliza principalmente para la resolución de problemas de circuitos eléctricos excitados por fuentes senoidales (fuentes de corriente alterna). Permite resolver circuitos eléctricos de forma ágil, lo que no se lograría si se utilizara las funciones seno y coseno. También permite ver fácilmente en el plano complejo el comportamiento de las corrientes y tensiones en el circuito eléctrico.

Expresión de fasores Como dijimos anteriormente, la notación fasorial es aplicable para la representación de amplitudes y fases en oscilaciones. Su función senoidal se ve expresada de la siguiente forma: z(t)=Asen(wt+)

(1)

Siendo:     

z (t) la magnitud que oscila con el tiempo. A la amplitud de la sinusoide. ω frecuencia angular dada por ω =2πf siendo f la frecuencia. t el tiempo. θ el ángulo de fase de la sinusoide.

Mediante la identidad de Euler podemos encontrar una relación entre las funciones trigonométricas y un fasor. Esta relación se distingue de la siguiente manera: e i=cos+jsen

(2)

Siendo el sen la parte imaginaria del fasor, y cos su parte real. También notemos que =wt+

Teoría 

Función sinusoidal

Una sinusoide u oscilación sinusoidal (ver figura 1), es una señal periódica que está definida como una función de la forma: y = r sen (ωt + φ)  y es la magnitud que varía (oscila) con el tiempo  φ es una constante conocida como el ángulo de fase de la sinusoide  r es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la función sinusoidal.  ω es la frecuencia angular dada por ω = 2πƒ donde f es la frecuencia.  t es el tiempo.



Fasor

Es un número complejo que permite representar la amplitud y la fase de una sinusoide. Su representación gráfica es un vector que gira en torno al origen a una velocidad constante ω (ver figura 1).

y = re i φ  r es la amplitud de la sinusoide o valor pico.  es el ángulo de fase de la sinusoide. El fasor se puede representar de tres maneras: Z=x+iy

Forma rectangular

Z=rφ

Forma polar

Z=re i φ



Forma exponencial

Equivalencia entre funciones sinusoidales y números complejos

El fasor se relaciona con las funciones senoidales a través de la siguiente expresión:

Que se represente por medio de fasores a una función senoidal de senos o cosenos es indiferente. Pero al momento de resolver un circuito eléctrico, si las tensiones y corrientes se dan en su representación temporal, todas deben estar expresadas en senos o cosenos, y luego convertirlas a su forma fasorial. Para pasar de la función seno a coseno, o viceversa, se pueden utilizar igualdades trigonométricas: -sen ωt = cos (ωt + 90°) +sen ωt = cos (ωt – 90°) ±cos ωt = sen (ωt ± 90°)



Suma y multiplicación de fasores

La suma de señales sinusoidales de igual frecuencia se puede llevar a cabo sumando sus fasores. Dicho de otro modo, la operación puede realizarse en el dominio fasorial con mayor facilidad que en el dominio temporal. Lo mismo

sucede con la multiplicación de señales. La suma se lleva a cabo en la forma rectangular, y la multiplicación en la forma polar o exponencial (como se trabajó en el curso con números complejos). Tener en cuenta que, al sumar y multiplicar fasores, el resultado va a ser correcto solo si trabajan a la misma frecuencia. Es un error operar entre fasores que tienen frecuencias distintas. La figura 2 muestra el proceso de obtención de la señal suma. En ella es inmediato comprobar que para sumar dos señales sinusoidales es imprescindible tener en cuenta tanto sus amplitudes como sus fases.

Diagrama fasorial: Representación gráfica de la suma de dos fasores



Resolver un circuito eléctrico

Para resolver un circuito eléctrico utilizando fasores, se debe estudiar el significado de impedancia. La impedancia (Z) es la medida de oposición que presenta un circuito a una corriente cuando se aplica un voltaje. La impedancia extiende el concepto de resistencia a los circuitos de corriente alterna (CA), y posee tanto magnitud y fase, a diferencia de la resistencia, que sólo tiene magnitud. Sea un circuito alimentado por una corriente sinusoidal I0cos (ωt). Si el voltaje a sus extremos es V0cos (ωt+ φ) la impedancia del circuito es un número complejo Z=

V Vo i φ Vo = e = ( cos φ+isenφ ) =R +ix I Io Io

R es la parte resistiva o real de la impedancia y X es la parte reactiva o imaginaria de la impedancia. Básicamente hay dos clases o tipos de reactancias:  Reactancia inductiva o XL: Debida a la existencia de inductores.  Reactancia capacitiva o XC: Debida a la existencia de capacitores. La impedancia de una resistencia ideal solo contiene una componente real: ZR = R En este caso, el voltaje y corriente son proporcionales y están en fase (tienen la misma fase). La impedancia en una inductancia ideal o en un condensador ideal tiene una componente puramente imaginaria: La impedancia en una inductancia se incrementa con la frecuencia; ZL=iwL

La impedancia de un capacitor decrece cuando la frecuencia crece; Zc=iwC

Resolución de circuito RLC Supongamos que nutrimos el siguiente circuito con un voltaje oscilatorio V=Vmcos(wt) de la siguiente manera:

Es de suponer que las magnitudes eléctricas que se encontrarán serán de las siguientes maneras: I=Imcos(wt+)

(4)

La corriente, siendo Im, la corriente máxima y  la fase por los efectos de atraso y adelanto de la señal de voltaje causado por los elementos del circuito (las tensiones y corrientes se encuentran en distintas fases en un determinado momento): El siguiente grafico representa un diagrama fasorial, en donde podemos decir que la tensión y la corriente presentan distintas fases como dijimos anteriormente:

La siguiente expresión muestra la corriente de manera fasorial: I=Ime i ¿¿

(5)

Aplicando la identidad de Euler llegamos a: I=Im(cos(wt+)+isen(wt+))

(6)

Repasando las caídas de tensiones en el circuito tenemos: Caída de tensión en el inductor: V=

Ldi dt

(7)

Caída de tensión en la resistencia: V=RI

(8)

Caída de tensión en el capacitor: q 1 V= = Idt c c

(9)

Otras relaciones a tener en cuenta para circuitos RLC son las siguientes: La impedancia determinada por la resistencia R y la reactancia x: Z=R+ix

(10)

La corriente total por el voltaje de la fuente y la impedancia Z: I=

V z

(11)

Ya teniendo en cuenta las mencionadas ecuaciones podemos pasar a la resolución del circuito. Derivando (5) en función del tiempo y reemplazando en (7) llegamos a la caída de tensión en el inductor como: V=LIme i ¿¿iw

(12)

La caída de la tensión en la resistencia queda igual que en (8): V=RI Para la caída en el capacitor integramos (5) en función del tiempo y reemplazamos en (9): V= -

i ℑ e i ¿¿ wc

(13)

Con la caída de tensiones expresadas fasorial mente podemos encontrar la impedancia: Z=RI+i(LIme i ¿¿w -

1 ℑ e i ¿¿) wc

(14)

Finalmente, a partir de (11) hallamos la corriente: I=Vmcos(wt)

1 RI +¿ ¿

(15)

Conclusión En este proyecto de aplicación de variable compleja se demuestra una vez más, lo familiarizados que estamos con el uso de fasores, ya que la resolución de fenómenos físicos y eléctricos es algo con lo que se vive a diario. Se observa la versatilidad de cambiar funciones trigonométricas por complejos para resolver circuitos RLC.

Bibliografía Agustín Salvador Rodríguez. (2015). Aplicación de fasores en la Ingeniería eléctrica y el plano complejo. 2015, de Universidad nacional del sur Sitio web: http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-AgustinRodriguez.pdf

Silvia E. Elías (2012). Corriente alterna, de UNSJ