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UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ELECTRICIDAD

“FALLAS ASIMÉTRICAS”

Prof. Luis José Suárez Fuentes

Barcelona, 28 de Febrero de 2012

Capítulo 1 CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO Y COMPONENTES SIMÉTRICAS

1.1. INTRODUCCIÓN

Los cortocircuitos ocurren en sistemas eléctricos aun cuando estén bien diseñados, y causan grandes corrientes transitorias generalmente mucho mayor que la corriente de carga del sistema. Éstos dan lugar a las tensiones electrodinámicas y aumento de la temperatura por efecto joule I2R que son potencialmente perjudiciales. Los riesgos y las explosiones de fuego son inherentes. Se intenta limitar las corrientes de cortocircuitos en la sección del sistema eléctrico que presenta la falla a través de los dispositivos apropiados de interrupción, capaces de funcionar bajo condiciones de cortocircuito sin daño y aislar únicamente la sección con falla, para no extender la avería. Cuanto más rápida es la operación de los dispositivos de interrupción, menor es el daño ocasionado por la falla, asegurando de esta forma mantener los sistemas que están interconectados sin la pérdida de sincronismo.

Los cortocircuitos se pueden estudiar a partir de los siguientes puntos de vista:



Cálculo de las corrientes del cortocircuito.



Interrupción de las corrientes del cortocircuito y el régimen de trabajo de la estructura de los dispositivos de interrupción.



Efectos de las corrientes del cortocircuito.

CAPÍTULO 1



Limitación de las corrientes del cortocircuito, es decir, con dispositivos como fusibles y con el uso de limitadores de corriente de cortocircuito resistivos o inductivos.



La capacidad de corriente de cortocircuito de los equipos tales como los transformadores, los reactores, los cables y conductores.



La capacidad de los sistemas interconectados a permanecer en sincronismo aun cuando la sección fallada de sistema de potencia es aislada.

Limitare los cálculos de las corrientes del cortocircuito, y la capacidad de funcionamiento básico de los equipos de interrupción, por ejemplo los disyuntores y fusibles de energía. Pues el propósito principal de los cálculos del cortocircuito es seleccionar y aplicar estos dispositivos correctamente, es significativo para que los cálculos sean relacionados con los fenómenos ocurridos en la interrupción y régimen de trabajo de las estructuras de dichos equipos. Los objetivos de los cálculos del cortocircuito, por lo tanto, pueden ser resumidos como sigue:



Determinación de la capacidad de cortocircuito de los dispositivos de interrupción, por ejemplo interruptores y fusibles de alto, medio y bajo voltaje.



Cálculo de las corrientes del cortocircuito requeridas para los relés de protección y coordinación de protecciones.



Las evaluaciones de suficiencia de régimen de trabajo de equipos estáticos como cables, conductores, barra, reactores y transformadores.



Los cálculos de la caída de tensión producto de la falla y la recuperación de los perfiles de tensión en el sistema.

En un sistema trifásico, una falla puede implicar igualmente las tres fases. Un cortocircuito trifásico es aquel donde las tres fases son conectadas a través de acoplamientos con impedancia igual cero (cortocircuito), es decir, la falla solo está limitada por las impedancias del sistema y de las máquinas solamente. Tal avería se llama cortocircuito trifásico simétrico. Las fallas trifásicas

3

CAPÍTULO 1

son algo infrecuentes. Generalmente, tales averías dan las corrientes máximas del cortocircuito y forman la base de cálculos para el dimensionamiento en los dispositivos de la interrupción.

Las fallas que implican una o más fases y tierra se llaman las fallas asimétricas. Bajo ciertas condiciones, la falla de la línea a tierra o las corrientes de falla de doble línea a tierra puede exceder las corrientes de avería simétricas trifásicas. Las fallas asimétricas son más comunes con respecto a las fallas trifásicas.

Los cortocircuitos no controlados pueden causar la interrupción del servicio con el acompañamiento de tiempo muerto de la producción, interrupción de instalaciones esenciales o los servicios vitales, daño al equipo, lesión o fatalidad de personales, y daño por incendio.

Los cortocircuitos son causados por averías en el aislamiento de un circuito, produciendo en muchos de los casos fallas de Arco (Arc Flash), el cual puede ser destructivo, aumentado el riesgo de la ocurrencia de incendios. La duración prolongada de arcos, además del calor producido, puede dar lugar a las sobretensiones transitorias que pueden poner en peligro el aislamiento del equipo en otras partes del sistema. Claramente, las fallas debe ser interrumpidas rápidamente del sistema eléctrico, y éste es el trabajo de los dispositivos de protección tales como: Disyuntores, Interruptores, Breaker, Fusibles. La gran cantidad de calor generada por una corriente del cortocircuito puede dañar el aislamiento de Motores, Generadores, incluyendo los cables, los transformadores, los interruptores, y los disyuntores. El peligro más inmediato que implica el calor generado por las corrientes del cortocircuito es destrucción permanente del aislamiento. Esto se puede seguir por la fusión del material que forma parte de circuito, y formación de arcos adicionales resultantes.

El calor que es generado por las altas corrientes del cortocircuito tiende no sólo a deteriorar los materiales de aislamiento al punto de la destrucción permanente, pero también ejerce efectos dañinos sobre los contactos en dispositivos de interrupción, el área común entre dos partes del 4

CAPÍTULO 1

contacto del dispositivo depende principalmente de la dureza del material con que están fabricados y de la cantidad de presión a la cual son mantenidos. Debido a la concentración del flujo de corriente en los puntos de contacto, las temperaturas alcanzadas en el tiempo de corriente máxima son muy altas. Como resultado de estas temperaturas, el material de contacto se puede crear una soldadura autógena lo que hace imposible separar a los miembros del contacto cuando el interruptor o el disyuntor se accionado para abrir el circuito. La temperatura en estos puntos depende más de la corriente máxima que de la corriente del rms.

Otros efectos importantes de las corrientes del cortocircuito son las grandes fuerzas electromagnéticas de la atracción y de la repulsión a las cuales se sujetan los conductores cuando las corrientes del cortocircuito están presentes. Estas fuerzas son proporcionales al cuadrado de la corriente y pueden sujetar cualquier maquinaria de rotación, transmisión, y equipo de conmutación a las tensiones y a las tensiones mecánicas severas. Las fuerzas electromagnéticas fuertes que las altas corrientes del cortocircuito ejercen sobre el equipo pueden causar la deformación en máquinas rotatorias, bobinas del transformador, y las barras de distribución del equipo, que pueden fallar en un rato futuro. La deformación en trituradores e interruptores causará dificultades de la alineación y de la interrupción.

Los sistemas interconectados modernos implican la operación en paralelo una gran cantidad de máquinas sincrónicas, y la estabilidad de un sistema interconectado puede ser deteriorada grandemente si ocurre un cortocircuito en cualquier parte del sistema. La estabilidad va a depender le la rapidez de los equipos de protección, en el despeje la falla.

Los cálculos del cortocircuito son, así, un estudio de primera instancia siempre que se diseñe un nuevo sistema eléctrico, una extensión o si se plantea una mejora de un sistema eléctrico existente.Equation Chapter 1 Section 1

5

CAPÍTULO 1

1.2 NATURALEZA DE LAS CORRIENTES DE CORTOCIRCUITO

El análisis transitorio de la corriente de cortocircuito de un circuito conformado por una impedancia pasiva conectada con una fuente de la corriente alterna proporciona una percepción inicial de la naturaleza de las corrientes del cortocircuito. Considere el voltaje de una fuente sinusoidal monofásica en función del tiempo, dada por:

e(t )  Emax  Sen(  t   )

Donde:

e(t): Función de Voltaje, en V. Emax: Voltaje Máximo, en V.

: frecuencia angular, en Rad/s. : Angulo de desfasaje, en Rad. t: Tiempo, en s.

6

(1.1)

CAPÍTULO 1

e(t)

Emax

0

wt



T

Figura 1.1. Voltaje Sinusoidal e(t)

La fuente está conectada a una línea corta monofásica con una impedancia dada por:

Z  R  j   L

(1.2)

Donde:

Z: Impedancia Compleja en Ω.

L: Inductancia, en H.

La Frecuencia angular  esta dada por:

  2   f

(1.3)

7

CAPÍTULO 1

Donde:

f: Frecuencia de la fuente en Hz.

El periodo T de la forma de onda de voltaje en Hz-1, esta dado por:

T

i(t)

1 f

(1.4)

R

L

CB

S

e(t)

t=0

Figura 1.2. Representación por fase de una falla balanceaba asumiendo inductancia constante.

Para un sistema trifásico equilibrado, el modelo monofásico propuesto en la Figura 1.2 es una representación adecuada de un falla simétrica, debido a que al no circular corriente por en Neutro se puede separar el circuito trifásico en tres circuitos monofásicos independientes desfasados uno de otro 120 grados.

Al cerrar el interruptor del circuito de la Figura 1.2 se produce un cortocircuito en el extremo de los terminales de la línea. Considerando una fuente ideal del voltaje, es decir, la impedancia de Thevenin igual a cero, la corriente del cortocircuito es limitada solamente por Z, y su valor de estado estacionario es dado por Emax/Z. Esto asume que la impedancia Z no cambia 8

CAPÍTULO 1

con el grande flujo de la corriente del cortocircuito. Para la simplificación de los cálculos del nivel de cortocircuito, las impedancias de componentes estáticos como las líneas de transmisión, cables, reactores, y los transformadores se asumen constantes. Prácticamente, esto no es verdad, es decir, las densidades de flujo y las características de la saturación de los materiales ferromagnéticos con la cual están construidos los núcleos de los transformadores pueden cambiar enteramente su reactancia de dispersión debido a la saturación bajo en gran flujo de de corriente; dando como producto la Aparición formas de onda torcidas y los armónicos.

Ignorando estos efectos y si se asume que Z es invariante en el tiempo durante un cortocircuito, las corrientes transitorias de estado estacionario son obtenidas de la Ecuación diferencial de un circuito de R-L con voltaje sinusoidal aplicado como el mostrado en la Figura 1, mostrada a continuación:

L

di(t )  R  i (t )  Emax  Sen(  t   ) dt

(1.5)

Donde el ángulo  de desfasaje de onda del voltaje en donde ocurre el cortocircuito, En t=0 se cierra el interruptor, se supone que la corriente es cero antes de cerrarlo, donde aplicando la transformada de Laplace a la Ecuación (1.5) se tiene:

 di(t )  L L    R  L i(t )  L Emax  Sen(  t   )  dt 

Donde aplicando identidades trigonométricas se tiene: 9

(1.6)

CAPÍTULO 1

 di(t )  L L    R  L i (t )  Emax  L Sen(  t )  Cos( )  Sen( )  Cos(  t )  dt 

(1.7)

 di(t )  L L    R  L i (t )  Emax  Cos ( )  L Sen(  t )  Sen( )  L Cos(  t )  dt 

(1.8)

     s  L  s  I ( s)  i (0 )  R  I ( s)  Emax  Cos( )   2  Sen( )   2 2  2   s    s    

(1.9)

I (s) 

Emax   w  Cos( )  s  Sen( )

s

2

 2   s  L  R

(1.10)

 Donde i(0 )  0 ; condición inicial, reagrupando la Ecuación (1.10) se tiene:

  Emax    Cos( )  s  Sen( )  I (s)    L   s2   2   s  R L  





(1.11)

2 2 En vista que el polinomio ( s  w ) no se Factoriza con números reales su posible

numerador en la descomposición en fracciones parciales es un polinomio lineal en s dado por: 10

CAPÍTULO 1

I (s) 

Emax  A  s  B C   2  L  s  2 s  R   L

(1.12)

Donde, de la Ecuación (1.11) y Ecuación (1.12) se tiene:

  Cos( )  s  Sen( ) A  s  B C  2  2 2 2 ( s   )  ( s  L  R) s  sR

(1.13)

L

Donde reagrupando la Ecuación (1.13), se tiene:

  Cos( )  s  Sen( )  s 2   A  C   s  ( A 

R R  B)  B   C   2 L L

(1.14)

Con la Ecuación (1.14) se forma el sistema de ecuaciones dado por:

AC  0

11

(1.15)

CAPÍTULO 1

R  B  Sen( ) L

(1.16)

R  C   2    Cos( ) L

(1.17)

A

B

Z

wL

q R Figura 1.3. Triangulo de Impedancias.

En la Figura 1.3 muestra el triangulo de independencia correspondiente al circuito de la Figura 1.2, del cual se obtiene las siguientes relaciones:

tan(q ) 

L R

R  Z  Cos(q )

12

(1.18)

(1.19)

CAPÍTULO 1

  L  Z  Sen(q )

(1.20)

Z 2  R 2    L 

(1.21)

2

Resolviendo el sistema de ecuaciones formador por las Ecuación 1.15, Ecuación 1.16, Ecuación 1.17, Ecuación 1.19 y Ecuación 1.20 se tiene:

A

B

L  Sen(  q ) Z

L

 Cos(  q )

(1.23)

L  Sen(  q ) Z

(1.24)

Z

C

(1.22)

Introduciendo los valores de las Ecuación 1.22, Ecuación 1.23 y Ecuación 1.24 dentro de la Ecuación 1.12 y aplicando la transformada inversa de Laplace se tiene:

13

CAPÍTULO 1

E I ( s)  max L

I ( s) 

L L  L   s  Z  Sen(  q )  Z  Cos(  q ) Z  Sen(  q )     2 2 s   sR/L    

(1.25)

 s  Sen(  q )   Cos(  q ) Sen(  q )      2 2 s2   2 sR/L   s 

(1.26)

Emax Z

i(t ) 

Emax Z

  s  Sen(  q )  1    Cos (  q )  1  Sen(  q )     L 1   L   L   2 2 2 2  s    s    s  R / L  

(1.27)

i(t ) 

Emax Z

R  t     Sen(  q )  Cos(  t )  Cos(  q )  Sen(  t )  Sen(  q )  e L   

(1.28)

R  t  Emax  i(t )    Sen(  t    q )  Sen(  q )  e L  Z  

(1.29)

i(t )  idc(t )  iac(t )

(1.30)

Donde idc(t ) es la componente de corriente continua y iac(t ) es la componente sinusoidal en régimen permanente.

14

CAPÍTULO 1

idc(t ) 

R  t Emax  Sen(  q )  e L Z

(1.31)

iac(t ) 

Emax  Sen(  t    q ) Z

(1.32)

 Si la condición inicial i(0 )  0 se la Ecuación (1.31), queda como:

E   t idc(t )   max  Sen(  q )  i(0 )   e L  Z  R

(1.33)

En Figura 1.5 se muestra la grafica de la corriente de cortocircuito i(t), idc(t) y iac(t) para un circuito RL, para   q  90 con el cual se logra la máxima asimetría de la onda.

i(t)

R=0,125 W

L=10 mH CB

S

120 2 Cos(376,991t-1,899°)V

t=0

Figura 1.4. Circuito RL, mostrando sus valores característicos para  - q = -90°.

15

CAPÍTULO 1

100 100

Envolvente Superior

Envolvente Inferior

i( t ) iac( t ) 50

i[A]

idc( t ) envs( t ) envi( t ) Imáx( t ) 2 Imáx( t )

0

 50 50

0

0.02

0.04

0.06

0

0.08

0.1

t

0.12

0.14 0.15

t[s]

Figura 1.5. Corrientes de Cortocircuito i(t) y sus respectivas componentes transitoria idc(t) y de estado estable iac(t) para  - q = -90°.

Donde la corriente Imax de estado estacionario máxima, esta dada por Emax/Z, y q es denominado ángulo de la carga. En los sistemas de potencia wL>>R. Un generador sincrónico de 100 MVA, con factor de potencia 0,85 pude tener un factor X/R de 110, mientras para un trasformador de la misma potencia nominal puede llegar a tener un factor X/R de 45, para sistemas de bajo voltaje la relación X/R esta en el orden de 2-8, para el circuito de la Figura 1.4 el valor X/R es alto o sea q  90 .

Si un cortocircuito ocurre en un instante t = 0,   0 y q  90 (es decir, cuando la onda del voltaje está cruzando el eje X con amplitud cero, la carga es inductiva pura), el valor instantáneo de la envolvente de la corriente del cortocircuito, de Ecuación 1.29 es 2Imax. Esto a veces se llama el efecto de duplicación, en esta condición   q  90 .

Si un cortocircuito ocurre en un instante en que el pico de la onda del voltaje este en t =  0, i(0 )  0 ,   90 y q  90 , la componente de la corriente transitoria idc(t) es cero, en la

16

CAPÍTULO 1

Figura 1.6 muestra el valor de la corriente de cortocircuito de circuito de la Figura 1.4 cuando el  interruptor cierra en t = 0, i(0 )  0 ,   90 y q  88.101

100 100

i( t ) iac( t ) 50

i[A]

idc( t ) envs( t ) envi( t ) Imáx( t ) 2 Imáx( t )

0

 50 50

0

0.019

0.037

0.056

0

0.075

0.094

0.11

0.13

0.15

t

0.15

t[s]

(a) 200 169.706

V[V]

100

Vg( t )

0

100

 169.706 200

0

0.019

0.037

0.056

0

0.075 t

0.094

0.11

0.13

0.15 0.15

t[s]

(b) Figura 1.6. (a)Corrientes de Cortocircuito i(t) y sus respectivas componentes transitoria idc(t) y de estado estable iac(t) para - q = -1,899°,(b) Voltaje aplicado Vg(t) para el cierre del interruptor en t = 0.

17

CAPÍTULO 1

Una explicación simple del origen del componente transitorio está ésa en que los sistemas eléctricos la componente inductiva de la impedancia es alta. La corriente en tal circuito está en el valor cero cuando el voltaje está en un valor máximo o pico, y para una falla en este instante no se requiere ningún componente de corriente continua para satisfacer la ley física que la corriente en un circuito inductivo no puede cambiar repentinamente. Cuando la falla ocurre en un instante en que   0 , tiene que haber una corriente transitoria cuyo valor inicial es igual al valor instantáneo de la corriente del cortocircuito de la corriente de estado estable. Esta corriente transitoria o de corriente continua decae exponencialmente, con una constante de tiempo en segundos dada por:



X L L   R R R 

(1.34)

1.3 CORRIENTE TOTAL DE CORTO CIRCUITO

La corriente total de cortocircuito disponible en un sistema de potencia es suministrada generalmente de un número de fuentes, que se pueden agrupar en tres categorías principales. El primer es el sistema de transmisión para uso general que suministra el servicio, que actúa como un generador grande, alejado. El segundo incluye los generadores “locales”, La tercera categoría de fuente es los motores síncronos y de inducción, que están situados en muchas plantas e instalaciones. Todas éstas son máquinas de rotativas; los de las segundas y terceras categorías tienen corrientes de decaen perceptiblemente con el tiempo debido a la reducción del flujo en la máquina durante un cortocircuito. Para un cortocircuito en sus terminales, la corriente simétrica del motor de inducción desaparece enteramente después de un a diez ciclos mientras que la corriente de un motor síncrono es mantenida en un valor inicial más bajo por su campo energizado. Las redes que tienen una mayor proporción de motores de inducción a los motores 18

CAPÍTULO 1

síncronos tendrán un decaimiento acelerado de componentes de corriente continua de la corriente del cortocircuito.

La corriente total del cortocircuito es la suma de la Corriente de estado estacionario de C.A., de la corriente de decaimiento de C.A. y de la componente de decaimiento de C.C. según se muestra en la Ecuación 1.35. Se puede observar que las fuentes de decaimiento de la C.A. no se pueden incluir específicamente en el circuito equivalente, pero se asumen que están presentes.

itotal (t )  idecaimientodec.c. (t )  iestadoestablec.a. (t )  idecaimientoc.a. (t )

(1.35)

Donde:

idecaimientodec.c. (t )  I max  Sen(  q )  e



R t X

(1.36)

iestadoestabledec.a. (t )  2  I s  Sen(  t    q )

(1.37)

idecaimientodec.a. (t )  2  I s  Sen(  t    q )  e k t

(1.38)

Donde:

19

CAPÍTULO 1

Is: Corriente Simétrica de Estado estable rms.

k: Constante que depende de la las cargas rotacionales involucradas en la Falla.

Las conclusiones siguientes se pueden extraer de las discusiones antes dichas:

Hay dos componentes distintas en una corriente del cortocircuito: (1) Una componente de Corriente Alterna (C.A.) de no-decaimiento o componente de estado estacionario, y (2) una componente de decaimiento de la Corriente Continua (C.C.) en una razón exponencial, la magnitud inicial de la componente de C.A. Total depende del momento en cual la onda del voltaje cruza por el tiempo en donde ocurre la falla.

El factor del decremento de una corriente exponencial de decaimiento se puede definir como su valor en cualquier momento después que ocurre el cortocircuito, expresado en función de su magnitud inicial por unidad. El factor L/R se llama el constante de tiempo  el cual dará lugar a un decaimiento de aproximadamente 62.3% de su magnitud inicial, es decir, la corriente transitoria se reduce a un valor de 0.368 por unidad después de un tiempo transcurrido igual al

Factor de Decaimiento

constante de tiempo, según las indicaciones de Figura 1.7

Corriente de Decaimiento Exponencial et/

1.0 p.u

0.368 p.u

t=

0

Figura 1.7. Constante de Tiempo de decaimiento de la Componente C.C.

20

CAPÍTULO 1

La presencia de una componente de C.C. hace un efecto sobre la forma de onda de la corriente de falla simétrica sobre la línea cero y el eje de la onda, la componente de la C.C. decae siempre hasta a cero dentro un breve periodo de tiempo. Tomando de la Ecuación 1.34 un cociente modesto de X/R de 15, para un sistema del medio-voltaje de 13.8 kV. La componente de la C.C. decae hasta el 88% de su valor inicial en cinco ciclos. Mientras más alto es el cociente de X/R más lento es el decaimiento y más largo es el tiempo durante el cual Perdura la asimetría en la corriente total. La energía almacenada puede probablemente aumentar y las pérdidas de I2R. Después del decaimiento del componente de la C.C., solamente sigue la componente simétrica de la corriente del cortocircuito.

La impedancia se considera como invariante en el tiempo en el panorama antes dicho. Los generadores síncronos y las cargas dinámicas, es decir, motores síncronos y de inducción son las fuentes principales de corrientes del cortocircuito. El flujo atrapado en estas máquinas rotativas en el instante en que ocurre un cortocircuito no puede cambiar repentinamente y no decae, dependiendo de las constantes de tiempo de la máquina. Así, la asunción de L constante es inválida para las máquinas rotativas y el decaimiento en la componente de C.A. de la corriente de cortocircuito debe también ser considerado como lo muestra la Ecuación 1.35.

En un sistema trifásico balanceado, los voltajes y corrientes de las fases son desplazadas una de la por 120 grados eléctricos. Si ocurre una falla trifásica cuando la componente unidireccional en la fase a es cero, la componente de la fase b es positivo y la componente de la fase c es igual en magnitud y negativa, En la Figura 1.8 muestra las forma de onda trifásica de las corrientes de falla, siendo la falla es simétrica, Ia + Ib + Ic es cero en cualquier instante, donde están las corrientes Ia, Ib, y el Ic son las corriente de cortocircuito de las fases a, b, y c, respectivamente. Para una avería cerca de un generador síncrono, hay una corriente 120-Hz también, que decae rápido a cero. Esto da lugar a la forma no sinusoidal característica de las corrientes trifásicas del cortocircuito observadas en oscilogramas de la prueba. El efecto es insignificante, y es ignorado en los cálculos del cortocircuito. 21

CAPÍTULO 1

Ia Envolvente de la corriente de corto circuito

0

t

Ic

Envolvente de la corriente de corto circuito

Ib

0

t

t

0

Envolvente de la corriente de corto circuito

Figura 1.8. Asimetría de Formas de Onda de la Corrientes de de fase durante la ocurrencia de un cortocircuito trifásico cuando la componente unidireccional de la fase a es cero.

Generalmente no se toma en cuenta la corriente de carga, esto es verdad para los cálculos empíricos del cortocircuito, pues la corriente del cortocircuito es mucho más alta que la corriente de la carga. La corriente de la carga es a veces un considerable porcentaje de la corriente del cortocircuito. Las corrientes de la carga determinan los voltajes eficaces de las fuentes del cortocircuito, antes de avería o voltajes de prefalla.

Las fuentes de corriente alterna consideradas para estudios de cortocircuito son: Máquinas Síncronas, es decir, turbogeneradores y generadores de polos salientes, generadores asincrónicos, y Motores síncronos y asincrónicos. Los convertidores de variadores de velocidad pueden contribuir a las corrientes del cortocircuito al funcionar el inversor de modo regenerador. Para 22

CAPÍTULO 1

una duración extendida de las corrientes de cortocircuito, los sistemas de control de la excitación, los reguladores de voltaje del generador, y las características del gobernador de la turbina afectan en el proceso transitorio del cortocircuito.

La duración de una corriente del cortocircuito depende principalmente de la velocidad de la operación de dispositivos de protección y del tiempo de apertura de los contactos de los dispositivos de interrupción.

1.4 COMPONENTES SIMÉTRICAS

El método de componentes simétricas, desarrollado primero por Charles LeGeyt Fortescue [1], ingeniero de la empresa Westinghouse Electric & Manufaturing Company en 1918. Es una técnica poderosa para

analizar sistemas trifásicos desbalanceados. Fortescue definió una

transformación lineal a partir de componentes de fase a un nuevo conjunto de componentes llamadas componentes simétricas. La ventaja de esta transformación es que, para redes trifásicas balanceadas, los circuitos equivalentes obtenidos para componentes simétricas, denominadas redes de secuencia, se separan en tres redes desacopladas. Más aún para sistemas trifásicos desbalanceados, las tres redes de secuencia están conectadas sólo en puntos de desbalance.

El método de componentes simétricas es básicamente una técnica de modelado que permite llevar a cabo análisis y diseños sistemáticos de sistemas trifásicos. Desacoplar una red trifásica detallada en tres redes de secuencia más simples presenta fenómenos complicados en términos menos complejos.

El método de las componentes simétricas facilita el estudio de sistemas polifásicos desequilibrados mediante la transformación de éstos en el sumatorio de sistemas polifásicos equilibrados.

23

CAPÍTULO 1

La matriz de transformación de Fortescue, y su inversa, se definen como:

1 1 A  1 a 2 1 a

1 1 1  A   1 a 3 1 a 2 1

1 a  a 2 

(1.39)

1 a 2  a 

Donde se define el Operador a como: a  e

j

2 3

(1.40)

1 3  11200    j  , el cual origina una 2 2

rotación de 120 grados eléctricos en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj del Fasor afectado.

Algunas Propiedades del operador son:

a2  a* ; a3  1;1  a  a2  0

(1.41)

La transformación de Fortescue diagonaliza matrices circulantes. Una matriz C es circulante cuando se cumple:

24

CAPÍTULO 1

 c1  C  circ(c1 , c2 , c3 )   c3 c  2

c2 c1 c3

c3   c2  c1 

(1.42)

Los elementos de cada fila de C son idénticos a los de la fila anterior, pero desplazados una posición hacia la derecha. Es fácilmente comprobable que la suma de matrices circulantes es una nueva matriz circulante, lo mismo ocurre cuando se multiplica por un escalar.

Premultiplicando C por la matriz A y pos multiplicando por su inversa A-1:

 c1 C F  A  c 3  c2 1

c2 c1 c3

c3  c1  c2  c3  c2   A   0  c1  0

0 c1  a  c2  a  c 3 0 2

0   0  c1  a  c2  a 2  c3 

(1.43)

Esta propiedad permite que un sistema trifásico con alimentación senoidal desequilibrada, cuya matriz de impedancias sea circulante, se pueda estudiar como tres sistemas trifásicos equilibrados, denominados de secuencia homopolar o cero, de secuencia positiva o directa y de secuencia negativa o inversa.

Sea un elemento pasivo trifásico de tres terminales cuya matriz de impedancias es circulante:

25

CAPÍTULO 1

Vabc  Zabc  I abc

(1.44)

Al diagonalizar dicha matriz Zabc, el vector de tensiones Vabc y el de corrientes Iabc también quedan afectados, siendo:

Vabc  A V012 ; I abc  A  I 012

(1.45)

En general, un vector de tensiones e intensidades en variables de fase o variables abc se transforma en variables de secuencia o variables 012 y viceversa, en las Ecuaciones 2.46, 2.47, 2.48 y 2.49 se presenta la relación entre variables de Fase y de Secuencia planteadas por Método de componentes Simétricas.

Va 0  1 1 V   1  1 a  a1  3  Va 2  1 a 2

1  Va  a 2   Vb  ; a  Vc 

1 Va 0   Va  Vb  Vc  3 1 Va1   Va  a Vb  a 2 Vc  3 1 Va 2   Va  a 2 Vb  a Vc  3

26

(1.46)

CAPÍTULO 1

 Ia0  1 1 1  I    1 a  a1  3   I a 2  1 a 2

1   Ia  a 2    I b  ; a   I c 

1 I a 0    I a  Ib  Ic  3 1 I a1    I a  a  I b  a 2  I c  3 1 I a 2    I a  a2  Ib  a  Ic  3

(1.47)

Va  1 1 V   1 a 2  b  Vc  1 a

Va  Va 0  Va1  Va 2  1  Va 0  a   Va1  ; Vb  Va 0  a 2 Va1  a Vc1  a 2  Va 2  V  V  a V  a 2 V  a0 c a1 a2 

(1.48)

 I a  1 1  I   1 a 2  b   I c  1 a

I a   I a 0  I a1  I a 2  1   Ia0  a    I a1  ; I b   I a 0  a 2  I a1  a  I c1  a 2   I a 2  I  I  a  I  a 2  I  a0 c a1 a2 

(1.49)

Va  Va 0  Va1  Va 2  Vb  Vb 0  Vb1  Vb 2  Vb 0  Va 0 ;Vb1  a 2 Va1 ;Vb 2  a Va 2 Vc  Vc 0  Vc1  Vc 2  Vc 0  Va 0 ;Vc1  a Va1 ;Vc 2  a 2 Va 2

(1.50)

Los Componentes de Secuencia Positiva esta constituidas por tres Fasores de igual magnitud y desplazados en un ángulo de 120o entre sí, y que poseen una secuencia igual a la original de los Fasores, como lo muestra la Figura 1.9

27

CAPÍTULO 1

Vc1

 120,0°

Va1 120,0°

Vb1 Figura 1.9. Componentes de Secuencia Positiva

Las Componentes de Secuencia Negativa están formado por tres Fasores de igual magnitud y desfasados 120o entre sí, y con una secuencia de fases opuestas a las de los Fasores originales. , como lo muestra la Figura 1.10.

Vb2

 120,0°

Va2 120,0°

Vc2 Figura 1.10. Componentes de Secuencia Negativa

Las Componentes de Secuencia Cero están formado por tres Fasores de igual magnitud y una diferencia de fase nula, como lo muestra la Figura 1.11. 28

CAPÍTULO 1

 Vc0

Vb0

Va0

Figura 1.11. Componentes de Secuencia Cero

Por lo general se toma como referencia la fase "a" para los cálculos los subíndices usados para la designación de los voltajes y corrientes de secuencia se puede omitir la letra "a".

Ia a

Va

Ib Fuente Trifásica (Elemento Activo)

b

Vb

Ic c

Vc

n Figura 1.12. Elemento trifásico activo de tres terminales con conexión a tierra sin impedancia de neutro

1.5 MODELO DE COMPONENTES SIMÉTRICAS MÁQUINAS ROTATIVAS

La Figura. 1.9 representa un elemento trifásico activo de tres terminales con conexión a tierra. Las ecuaciones en notación matricial de este elemento trifásico con alimentación senoidal y en régimen permanente son:

29

CAPÍTULO 1

Vabc  Eabc  Zabc  I abc

Va   Ea   Z a V    E    Z  b   b   ba Vc   Ec   Z ca

Z ab Zb Z cb

Z ac   I a  Z bc    I b  Z c   I c 

(1.51)

(1.52)

Este sistema de ecuaciones se puede representar mediante el circuito equivalente de la Figura .2.10, que está formado por una fuente de tensión trifásica, con conexión en estrella, e impedancias acopladas definidas por Zabc. Si la matriz Zabc es circulante tendrá la forma:

Z abc

 Za   Z ba  Z ca

Z ac  Z bc  Z c 

Z ab Zb Z cb

(1.53)

Si la matriz Zabc es circulante se puede diagonalizar a partir de la transformación de Fortescue:

A V012  A  E012  Zabc  A  I012

30

(1.54)

CAPÍTULO 1

V012  E012  A1 Z abc  A  I 012

(1.55)

Z 012  A1 Z abc  A

Ia

Ea -

+

Za

Eb -

+

Zb

Ib

Zc

Ic

Ec -

+

a

Va

b c

Vb Vc

n Figura 1.13. Circuito equivalente de un elemento trifásico activo de tres terminales con conexión a tierra sin impedancia de neutro.

También se puede expresar como, haciendo que Z a  Zb  Zc , se tiene:

V0   E0   Z 0 V    E    0  1  1  V2   E2   0

V0  1 1 V   1  1 a  1 3  V2  1 a 2

0 Z1 0

0   I0  0    I1  Z 2   I 2 

1  Va   Va  Vb  Vc  1   2  a   Vb    Va  a Vb  a 2 Vc  3 Va  a 2 Vb  a Vc  a  Vc 

31

(1.56)

(1.57)

CAPÍTULO 1

 E0  1 1  E   1  1 a  1 3   E2  1 a 2

 Z0 0   0

0 Z1 0

1   Ea   Ea  Eb  Ec  1   2  a    Eb     Ea  a  Eb  a 2  Ec  3  Ea  a 2  Eb  a  Ec  a   Ec 

0   Z a  Z ab  Z ac 0    0 Z 2   0

 I0  1 1  I   1  1 a  1 3   I 2  1 a 2

0 Z a  a Z ab  a  Z ac 0 2

   Z a  a  Z ab  a 2  Z ac 

1   Ia   I a  Ib  I c  1   2  a    I b     I a  a  I b  a 2  I c  3  I a  a 2  I b  a  I c  a   I c 

0 0

(1.58)

(1.59)

(1.60)

Donde a Zo se le conoce como impedancia de secuencia cero, Z1 como impedancia de secuencia Positiva y Z2 impedancia de secuencia negativa. Si la matriz Zabc simétrica, es decir si t  Z abc : se cumple que Z abc

Z abc

 Za   Z ab  Z ab

Z ab  Z ab  Z a 

Z ab Za Z ab

(1.61)

Entonces las impedancias directa e inversa coinciden: Z1 = Z2.Los elementos dinámicos (Motores , Generadores Sincrónicos y Asincrónicos) dan lugar a matrices de impedancias 32

CAPÍTULO 1

circulantes pero no simétricas (por lo que las impedancias directa e inversa son diferentes), mientras que los elementos no dinámicos(Trasformadores, Reactores, Líneas de Transmisión Transpuestas y Cargas Pasivas) dan lugar a matrices de impedancias circulantes y simétricas, por lo que las impedancias directa e inversa coinciden. Esta transformación da lugar a tres redes de secuencia desacopladas, representadas por sus circuitos equivalentes en la Figura 1.11. En el caso de que la fuente de tensión sea simétrica y equilibrada como lo muestra la Figura 1.15a, las tensiones homopolar e inversa son nulas, como se muestra en la Ecuación 1.61, de esta forma la secuencia de fases de operación abc se le llama secuencia positiva, una demostración grafica de las Ecuación 1.61 se puede observar en la Figura 1.12.

1 1  Va  Vb  Vc   0;  Va  a 2  Vb  a  Vc   0 3 3 1  Va  a Vb  a 2 Vc   Va 3

(1.62)

En el circuito de la Figura 1.13 el neutro se ha conectado directamente a tierra (sin impedancia). Si se desea colocar una impedancia en el neutro Figura 1.15, ésta puede tener un valor arbitrario, Zn, y el nuevo valor de la matriz Zabc será:

33

CAPÍTULO 1

I2

I1

Z2

+

+

Z1

E1

E2

V2

-

-

V1

(b)

(a) I0

+

Z0

E0 -

V0

(c)

Figura 1.14. Circuitos de Secuencia de un Elemento activo de 3 tres terminales.

Vc

Vc 120,0°

Va 120,0°

Vb Va (b)

(a) Vb

a2Vc

aVb

Va

3Va

(c) a2Vb

aVc Va (d)

Figura 1.15. a) Diagrama fasorial de Secuencia abc o de secuencia Positiva b) Demostración Grafica de (1/3)·(Va+Vb+Vc)=0; c) Demostración Grafica de (1/3)·(Va+a·Vb+a2·Vc)=Va; d). Demostración Grafica de (1/3)·(Va+a2·Vb+a·Vc)=0.

34

CAPÍTULO 1

Z abc

 Za  Zn   Zba  Z n  Z ca  Z n

Z ab  Z n Za  Zn Z cb  Z n

Ea -

+

Za

Eb -

+

Zb

Ec -

+

Zc

Z ac  Z n  Zbc  Z n  Z a  Z n 

(1.63)

Ia a

Va

Ib b

Vb

Ic c

Vc

Zn n Figura 1.16. Circuito equivalente de un elemento trifásico activo de tres terminales con conexión a tierra a través de impedancia.

Las Ecuaciones de Secuencia son:

V0   E0   Z 0  3  Z n V    E    0  1  1  V2   E2   0

0 Z1 0

35

0   I0  0    I1  Z 2   I 2 

(1.64)

CAPÍTULO 1

1.5

MODELO

DE

COMPONENTES

SIMÉTRICAS

PARA

CARGAS

TRIFÁSICAS.

En la Figura se observa una carga trifásica conformada por impedancias iguales conectadas en Y. La impedancia en cada Fase se designa Zy y la impedancia de neutro Zn se conecta entre neutro de la carga y tierra. El voltaje de Línea a Tierra Vag es mostrado en la Ecuación 1.64 y la corriente In en la Ecuación 1.65.

Vag  Zy  I a  Zn  I n

(1.65)

I n  I a  Ib  I c

(1.66)

Vag   Z y  Z n   I a  Z n  Ib  Z n  I c

(1.67)

Combinando la Ecuación 2.65 y 2.66, se tiene la Ecuación 2.66. En forma similar para Vbg y Vcg se tiene:

Vbg  Z n  I a   Z y  Z n   Ib  Z n  I c

36

(1.68)

CAPÍTULO 1

Vcg  Z n  I a  Z n  I b   Z y  Z n   I c

(1.69)

Las Ecuaciones 2.66, 2.67 y 2.68 se pueden escribir en forma matricial:

 Vag   Z y  Z n     Vbg    Z n Vcg      Zn

Zn

Z

y

  Ia     Ib  Zn     Z y  Z n   Ic  Zn

 Zn  Zn

(1.70)

a Vag c

Ic

Ia

Vcg n

Zy

Zy n

Zcn

In Vng

Zy

Zn

g Ib Vbg

b

Figura 1.17. Circuito equivalente de una carga trifásica con conexión a tierra a través de impedancia.

La Ecuación 1.69 se puede escribir como:

37

CAPÍTULO 1

Vp  Zp  Ip

(1.71)

Donde Vp es el vector de Voltaje de Línea a tierra:

Vag    Vp  Vbg  Vcg   

(1.72)

Donde Ip es el vector de Correines de Línea:

Ia  Ip   I b   I c 

(1.73)

Donde Zp es la Matriz de Impedancia de fase:

38

CAPÍTULO 1

 Z y  Z n   Zp   Z n   Zn 

Zn

Z

y

 Zn  Zn

   Z aa    Z ab Zn    Z y  Z n   Z ac Zn

Z ab Z bb Zbc

Z ac  Z bc  Z cc 

(1.74)

A partir de la transformación de Fortescue de la Ecuación 1.54 se obtiene la matriz de impedancias de secuencia Zs la carga balanceada conectada en Y:

1 1 1  Zs   1 a 3 1 a 2

 1   Z y  Z n  a 2    Z n  a   Z n 

Zn

Z

y

 Zn  Zn

  1 1   1 a 2 Zn    Z y  Z n  1 a Zn

1 a  a 2 

(1.75)

Resolviendo tenemos:

 Z y  3  Z n  0  Zs   0 Zy  0 0 

0  0 Z y  

(1.76)

Definimos a Vs como vector columna de Voltajes de Secuencia y a Is Vector columna de Corrientes de Secuencia, como lo muestra la Ecuación 1.77 y 1.78 respectivamente.

39

CAPÍTULO 1

V0  Vs  V1  V2 

(1.77)

 I0  Is   I1   I 2 

(1.78)

Donde, para la carga conectada en Y tenemos la Ecuación que definen las redes de secuencia:

Vs  Zs  Is

V0   Z y  3  Z n  0 V    0 Zy  1   V2  0 0 

(1.79)

0   I0   0    I1  Z y   I 2  

V0   Z y  3  Z n   I 0  Z 0  I 0

40

(1.80)

(1.81)

CAPÍTULO 1

V1  Z y  I1  Z1  I 0

(1.82)

V2  Z y  I 2  Z2  I 2

(1.83)

Como se muestra en la Ecuación 1.80 el voltaje de secuencia cero V0 solo depende de la corriente de secuencia cero Io y de la impedancia de secuencia cero Zo. Las ecuaciones 1.80, 1.81 y 1.82 se pueden representar mediante las tres redes de la Figura 1.18

Z1=Zy

Z2=Zy

I1

I2

V1

V2

(a)

(b) Z0=Zy+3Zn I0

V0

(c)

Figura 1.18. Redes de secuencia para una carga conectada en Y con impedancia a tierra; a) Red de secuencia Positiva b) Red de Secuencia Negativa y c) Red de Secuencia Cero.

Como se observa, cada red de secuencia está separada, desacoplada de las otras dos. La separación de estas redes de secuencia se debe al hecho de que Zs es una matriz diagonal para una carga balanceada con conexión Y. Esta separación subraya la ventaja de las componentes simétricas.

41

CAPÍTULO 1

La impedancia al neutro no aparece en las redes de secuencia positiva o negativa de la Figura 1.18 debido a que las corrientes de secuencia positiva y negativa no fluyen al neutro, la impedancia al neutro se multiplica por 3, Cuando el neutro de la carga Y no tiene trayectoria de retorno, entonces la impedancia al neutro Zn es infinita y el término 3Zn de la red de secuencia cero convierte en un circuito abierto en esta condición de un neutro abierto, no existe corriente de secuencia cero. Cuando el neutro de la carga Y está firmemente aterrizado con un conductor de 0Ω, entonces la impedancia al neutro es cero y el término 3Zn de la red de secuencia cero se vuelve un cortocircuito. Bajo esta condición de un neutro sólidamente aterrizado, la corriente de secuencia cero Io puede existir cuando hay un voltaje de secuencia cero causado por los voltajes desbalanceados aplicados a la carga.

Para una carga balanceada conectada en  su carga balanceada equivalente conectada en Y. se muestra en la Figura 1.19.la Impedancia equivalente en Y Zy=Z/3, aparece en cada una de las redes de secuencia y la red de secuencia cero tiene un circuito abierto debido a que Zn=∞ el cual corresponde a neutro abierto. Las redes de secuencia de la Figura 1.19 representan la carga en  balanceada vista desde sus terminales, pero no representan las características internas de la carga. Las corrientes de secuencia Io, I1 e I2 son las componentes de secuencia de las corrientes de línea que alimentan a la carga en , no las corrientes dentro de la.

1.6 REDES DE SECUENCIA DE IMPEDANCIAS EN SERIE

En la Figura 1.20 se muestran las impedancias en serie conectadas entre dos barras trifásicas denominadas abc y a´b´c´. las autoimpdedancias de cada fase denotadas por Zaa, Zbb y Zcc , las impedancias mutuas como Zab, Zbc y Zca. Las Caídas de Voltaje a través de las impedancias de fase están dadas por:

42

CAPÍTULO 1

Van  Va´n  Vaa´   Z aa V  V   V    Z b´n   bn  bb´   ab Vbn  Vb´n  Vcc´   Z ac

Z ab Z bb Zbc

Z ac   I a  Z bc    I b  Z cc   I c 

Z1=Z/3

(1.84)

Z2=Z/3

I1

I2

V1

V2

(a)

(b) Z0=∞ I0

V0

(c)

Figura 1.19. Redes de secuencia para una carga conectada en  con impedancia a tierra; a) Red de secuencia Positiva b) Red de Secuencia Negativa y c) Red de Secuencia Cero.

Ia

a

Van

+

Vaa´ Zaa

Vcn

Ib

b

+

Vbb

Zca -

Zbb Vbn

c

Ic

+

Vcc´

a´

-

Va´n

Zab b´ V c´n Zbc

-

c´ V

b´n

Zcc n

Figura 1.20. Red Bilateral Lineal de Impedancias trifásicas en serie

43

CAPÍTULO 1

En la Ecuación (2.83) están incluidas las impedancias mutuas como las autoimpedancias. Se supone que la matriz de impedancias es simétrica, lo cual corresponde a una red bilateral. Estas impedancias no representan a equipos rotatorios. Los ejemplos característicos de este tipo de arreglo son impedancias serie de líneas de transmisión y de transformadores. La Ecuación (2.83) puede escribirse de la siguiente forma:

V p  V p´  Z p  I p

(1.85)

Donde Vp es el vector de voltajes de línea a neutro en la barra abc, Vp´, es el vector de voltajes de línea a neutro de la barra a´b´c´, Ip es el vector de corrientes de línea y Zp es la matriz de impedancias de fase de 3 X 3 para la red serie. La Ecuación (2.84) se transforma al dominio de la secuencia, obteniéndose:

Vs  Vs´  Z s  I s

(1.86)

Z s  A1  Z p  A

(1.87)

Donde:

Resolviendo la Ecuación (2.86) para una forma general considerando las autoimpedancias e impedancias mutuas diferentes, se tiene: 44

CAPÍTULO 1

1 1 1  Z s   1 a 3 1 a 2

1   Z aa a 2    Z ab a   Z ac

Z ac  1 1 Zbc   1 a 2 Z cc  1 a

Z ab Zbb Z bc

1 a  a 2 

(1.88)

La Matriz de impedancia Zs dada por la Ecuación (2.87) es una matriz 3x3 con nueve impedancias de secuencia como sigue:

 Z0 Z s   Z10  Z 20

Z 02  Z12  Z 2 

Z 01 Z1 Z 21

(1.89)

Las impedancias de la diagonal Zo, Z1 y Z2 de esta matriz son las autoimpedancias de las redes de secuencia cero, positiva y negativa. Las impedancias fuera de la diagonal son las impedancias mutuas entre las redes de secuencia, donde resolviendo la Ecuación (2.87) tenemos para las impedancias de secuencia de la diagonal:

1 Z0    Z aa  Zbb  Z cc  2  Z ab  2  Z ac  2  Zbc  3

(1.90)

1 Z1  Z 2    Z aa  Zbb  Z cc  Z ab  Z ac  Zbc  3

(1.91)

45

CAPÍTULO 1

Para las Impedancias de secuencia fuera de la diagonal:

1 Z01  Z 20    Z aa  a 2  Zbb  a  Z cc  a  Z ab  a 2  Z ac  Z bc  3

(1.92)

1 Z02  Z10    Z aa  a  Zbb  a 2  Z cc  a 2  Z ab  a  Z ac  Z bc  3

(1.93)

1 Z 21    Z aa  a  Zbb  a 2  Z cc  2  a 2  Z ab  2  a  Z ac  2  Zbc  3

(1.94)

1 Z 21    Z aa  a  Zbb  a 2  Z cc  2  a  Z ab  2a 2  Z ac  2  Zbc  3

(1.95)

Donde considerando a la matriz Zp como simétrica bajo las siguientes condiciones:

Zaa  Zbb  Zcc ; Zab  Zac  Zbc

Calculado Zp como matriz simétrica, entonces se obtiene:

46

(1.96)

CAPÍTULO 1

 Z0 Z s   0  0

0 Z1 0

0 0  Z 2 

(1.97)

Donde:

Z0  Z aa  2  Z ab

(1.98)

Z1  Z2  Zaa  Zab

(1.99)

La Ecuación 1.85 se convierte en tres ecuaciones desacopladas escritas como:

V0  V0´  Z0  I 0

(1.100)

V1  V1´  Z1  I1

(1.101)

V2  V2´  Z2  I 2

(1.102)

47

CAPÍTULO 1

Las ecuaciones 1.99 a 1.101 se representan mediante de tres redes de secuencia desacopladas que se muestra en la Figura, las corrientes de secuencia positiva producen solo caída de voltajes positiva me marea similar con la corriente de secuencia negativa. Pero si las impedancias serie no son simétricas, entonces Zs no es diagonal de esta forma las redes de secuencia están acopladas y la caída de voltaje a través de cualquier red depende de las tres corrientes de secuencia.

I0

Z0=Zaa+2Zab

Vo

Vo´

I1

Z1=Zaa-Zab

V1

V1´

I2

Z2=Z1=Zaa-Zab

V2´

V2

Figura 1.21. Redes de secuencia de impedancias simétricas trifásicas serie

1.7 REDES DE SECUENCIA DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE DOS DEVANADOS

Para el estudio de la representación circuital de los transformadores trifásicos se debe tener claro el concepto de circuito equivalente por fase de un sistema trifásico. Una representación circuital equivalente por fase de un sistema trifásico es un circuito eléctrico monofásico, tal que conociendo las tensiones y corrientes de este circuito monofásico es posible obtener cada una de las tensiones y corrientes del sistema trifásicos completo. 48

CAPÍTULO 1

Para poder obtener los circuitos equivalentes de secuencia positiva, negativa y cero desacoplados en el análisis de los modelos equivalentes para las diferentes conexiones trifásicas en la aplicación de la teoría de componentes simétricas, al aplicar tensiones balanceadas de secuencia positiva, negativa y cero. Se debe asumir una conexión físicamente simétrica.

Un transformador trifásico puede estar constituido por tres transformadores monofásicos separados (cada uno con su propio núcleo) conectados entre si externamente, o bien, tratarse de una sola unidad con un núcleo trifásico de una sola pieza sobre el cual están montados todas las bobinas. Estos núcleos trifásicos se construyen de tal forma que las bobinas que corresponderían a un mismo transformador monofásico están montadas en una misma columna y atravesadas, por lo tanto, por el mismo flujo en el hierro. Se construyen principalmente dos tipos de núcleos trifásicos, el correspondiente al denominado tipo acorazado (shell type transformer) mostrado en la Figura 1.22 y el denominado transformador tipo núcleo (core type transformer) mostrado en la Figura 1.23. El comportamiento de las unidades trifásicas para tensiones y corriente balanceadas de secuencia positiva o negativa es básicamente el mismo que el de un banco de tres transformadores monofásicos separados. Esto es válido también en cuanto al comportamiento de un transformador tipo acorazado para cantidades de secuencia cero; pero para el caso de una unidad del tipo núcleo, el comportamiento es un poco diferente.

B

A

C

fA/2

fB/2

fA

fB

fA/2

fB/2

fC/2

fC fC/2

Figura 1.22. Transformador tipo Acorazado (shell type transformer), y sus flujos de secuencia positiva.

49

CAPÍTULO 1

A

B

fA

C

fB

fC

Figura 1.23. Transformador tipo Núcleo (core type transformer), y su flujos de secuencia positiva.

En los sistemas de gran potencia los transformadores trifásicos de potencia utilizado son de dos tipos:



Banco trifásicos de tres unidades monofásicas.



Unidades trifásicas: Tipo Núcleo (Core), y Tipo Acorazado (Shell).

En los Bancos transformadores las impedancias de secuencia positiva y negativa son siempre iguales ya que el transformador no define ninguna secuencia, esto es debido a que los transformadores monofásicos presentan la misma impedancia a cualquier voltaje que se les aplique independientemente de la secuencia de voltajes aplicados.

Este no es el caso para los transformadores trifásico en donde los flujos de los devanados de fase comparten circuitos magnéticos. Hay dos diseños básicos para el núcleo de transformadores trifásico.

Las impedancias de dispersión de los devanados de alto voltaje son impedancias serie como las de la Figura 1.20, sin ningún acoplamiento entre las fases. Si los devanados de fase a,b y c tienen impedancias de dispersión iguales, ZH = RH + jXH, entonces las impedancias serie son simétricas con redes de secuencia, como se muestran en la Figura (1.21), donde ZH0 = ZH1 = ZH2 50

CAPÍTULO 1

= ZH. De manera similar, las impedancias de dispersión de los devanados de bajo voltaje son impedancias simétricas serie con ZX0 = ZX1 = ZX2 = ZX. Estas impedancias de dispersión serie se muestran en por unidad en las redes de secuencias de la Figura 1.22.

Las ramas en derivación del transformador práctico conectado en Y-Y, que representan la corriente de excitación, son equivalentes a la carga conectada en Y como lo muestra la Figura.(1.17). Cada fase de la Figura representa un resistor de pérdidas en el núcleo en paralelo con una inductancia magnetizante. Suponiendo que éstas son las mismas para cada fase, entonces la carga conectada en Y es simétrica, y las redes de secuencia se muestran en la Figura (1.18), estas ramas en derivación se muestran en la Figura 1.22. Las impedancias del trasformador de secuencia negativa y positiva por unidad del transformador conectado en Y-Y, son iguales, debido a que no es un equipo rotatorio, la red de secuencia cero depende de las impedancias a neutro ZN y Zn.

Las redes de secuencia por unidad del transformador Y-, que se muestran en la Figura (1.22) tienen las siguientes características:

1. Las impedancias por unidad no dependen de las conexiones del devanado. Es decir, las impedancias por unidad de un transformador con conexión Y-Y, Y-, -Y o - son las mismas, y los voltajes base dependen de las conexiones del devanado.

2. En las redes de secuencia positiva y negativa por unidad está incluido un desfasamiento. Para la norma ANSI, los voltajes y corrientes de secuencia positiva en el lado de alto voltaje del transformador Y- adelantan a las cantidades correspondientes en el lado de bajo voltaje por 30°. Para la secuencia negativa, las cantidades de alto voltaje se retrasan por 30°.

51

CAPÍTULO 1

3. Las corrientes de secuencia cero fluyen en el devanado Y si hay una conexión del neutro y las corrientes de secuencia cero correspondientes fluyen dentro del devanado . la corriente de secuencia cero no entra si sale del devanado .

Los desfasamientos en las redes de secuencia positiva y de secuencia negativa de la Figura 1.19(b) se representan mediante el transformador defasador de la Figura 1.4., la red de secuencia cero de la Figura 1.19(b) proporciona una trayectoria en el lado Y para que fluya la corriente de secuencia cero, pero ninguna corriente de este tipo puede entrar o salir en el lado .

Las redes de secuencia por unidad del transformador -, que se ilustran en la Figura 8.19(c), tienen las siguientes características:



Las redes de secuencia positiva y secuencia negativa, que son idénticas, son las mismas que las correspondientes al transformador conectado en Y-Y. los devanados están marcados para que no haya desfasamiento. Las impedancias por unidad no dependen de las conexiones del devanado, pero los voltajes base sí.



Las corrientes de secuencia cero no pueden entrar o salir del devanado , aunque pueden circular dentro de los devanados .

1.8 REDES DE SECUENCIA DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS CON TRES DEVANADOS

Un banco de trifásico de tres devanados esta conformado por la conexión de tres transformadores monofásicos de tres devanados, el circuito equivalente es idéntico al del un transformador trifásico a manera de simplificación en los cálculos, debido a que los equivalentes se referencian de línea a tierra. En la Figura 1.24 se representan las redes de secuencia Positiva, Negativa y cero por unidad de un transformador trifásico de tres devanados, se emplearan las 52

CAPÍTULO 1

letras H, M y X para denotar los devanados de alto, medio y bajo voltaje, respectivamente. Por convención se selecciona una base de potencia Sbase común para los tres terminales y se eligen los voltajes VbaseH, VbaseM y VbaseX en proporción a los voltajes nominales de línea a línea del transformador.

Para la red de secuencia cero, Figura 1.25(c),la conexión de los terminales H-H´, M-M´ y X-X´ depende como están conectados los devanados de alto, medio y bajo voltaje.

Para la conexión del terminal de alto voltaje se tiene:



Y sólidamente conectada a tierra, se establece un corto circuito de H a H´.



Y conectada a tierra a través de una impedancia ZN, se conecta 3ZN de H a H´.



Y con neutro asilado, se establece un circuito abierto de H a H´.



se establece un cortocircuito de H´a tierra a punto de referencia.

Las terminales M-M´ y X-X´ se conectan de la misma forma, las impedancias de secuencia positiva por unidad y negativa por unidad son las mismas, lo cual siempre se cumple para equipos no rotatorios.

53

CAPÍTULO 1

ZM

ZM

ZH

ZH ZX

ZX

VM1

-jBm

Gc

VH1

VM2

-jBm

Gc

VH2 VX1

VX2

(a)

(b) M

M´

X

X´

ZM H

H´

ZH ZX

VM2

-jBm

Gc

VH2

VX2

(c)

Figura 1.24. Redes de secuencia en por unidad de transformadores de un transformador trifásico de tres devanados a)Secuencia positiva, b) Secuencia Negativa y c) Secuencia Cero.

Diagrama Unifilar

X3

H3

H3

X3 H3

Esquemático según ANSI

X1

H1

X2 H2

Zn

X2

Zn

H2

VX1

VH1

X1

Zn

H2

Zcc

Zcc

Red de Secuencia Positiva

X3

H1

H1

X2

X1

Zcc

VX1

VH1

VX1

VH1

ej30°:1 Zcc

Red de Secuencia Negativa

Zcc

Zcc

VX2

VH2

VX2

VH2

VX2

VH2

e-j30°:1 3Zn

Zcc

Red de Secuencia Cero

3Zn

3Zn

Zcc

VX0

3Zn

VX0

VH0

(a) Y-Y

(b) Y-

VX0

VH0

(c) -

Figura 1.25. Redes de secuencia en por unidad de transformadores conectados en: a) Y-Y; b)Y-; c)-

54

CAPÍTULO 1

1.9 POTENCIA EN REDES DE SECUENCIA

Para determinar la potencia entregada a la red trifásica a partir de la potencia entregada por las redes de secuencia, donde Sp es la potencia compleja total a la carga trifásica de la Figura 1.26, la cual puede calcularse como:

SP  Van  I a*  V bn Ib*  Vcn  I c*

(1.103)

La Ecuación 1.102 también es validad para potencia compleja total entregada por un generador trifásico, o para cualquier potencia compleja entregada por cualquier barra trifásica, rescribiendo en forma matricial la Ecuación 1.102 se tiene:

S p  Van Vbn

 I *a    Vcn    I *b   V pT  I P*  I *b   

(1.104)

Donde T denota la transpuesta y * el complejo, donde aplicando la transformación de Fortescue a la Ecuación (1.103) se tiene:

S p  ( A Vs )T  ( A  I s )*  VsT   AT  A*   I *s

55

(1.105)

CAPÍTULO 1

Donde:

1 1 T * A  A  1 a 2 1 a

T

*

1  1 1 a   1 a 2 a 2  1 a

1  1 1 a   1 a 2 a 2  1 a

1  1 1 a   1 a a 2  1 a 2

1  3 0 0 a 2   0 3 0  3  U a  0 0 3

(1.106)

Introduciendo la Ecuación 1.105 dentro de la 1.104 se obtiene:

S p  3 VsT  I *s  3  V0 V1

 I 0*    V2    I1*   3  (V0  I 0*  V1  I1*  V2  I 2* )  3  S s  I 2*   

(1.107)

Por lo tanto la potencia compleja total Sp entregada por la red trifásica es igual a tres veces la potencia total compleja Ss entregada por las redes de secuencia.

Ia Van

a Ib

Vbn

b

Carga Trifásica (Elemento Pasivo)

Ic Vcn

c

n Figura 1.26. Carga trifásica general.

56

CAPÍTULO 1

1.10 EIGENVALORES Y EIGENVECTORES

Sea T:V→V una transformación lineal. En muchas aplicaciones para sistemas eléctricos de potencia, en donde es útil encontrar un vector v en V tal que T.v y v son paralelos. Es decir, se busca un vector v y un escalar  tal que:

T v   v

(1.108)

Si x≠0 y  satisface la Ecuación 1.107, entonces  se llama un eigenvalor de T y x se llama un eigenvector de T correspondiente al eigenvalor ., si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por una matriz AT, donde se define a un Eigenvector y Eigenvalor como : Sea A una matriz de (n x n) con componentes reales o complejas. El número  (real o complejo) se llama eigenvalor de A si existe un vector diferente de cero v tal que:

A x    x

(1.109)

El vector v≠0 se llama eigenvector de A correspondiente al eigenvalor , la palabra “eigen” es la palabra alemana para propio. Los eigenvalores también se llaman valores propios o valores caracteristicos y los eigenvectores reciben el nombre de vectores propios o vectores caracteristicos.

La Ecuación 1.108 se puede escribir como:

57

CAPÍTULO 1

 A -  U   x = 0

(1.110)

Donde U es la matriz unitaria o identidad, desarrollando se tiene:

 a11    a  21    an1

a12 a22   an 2

a1n   x1  0  a2 n   x2  0        0       ann     xn  0 

(1.111)

Esto representa es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas, el determinante A -   U  0 , para valores de x≠0, esto puede ser expandido en una Ecuación algebraica de

orden n:

an   n  an  U   n  1 

 a1    a0  0

(1  a1 )  (2  a2 )  (3  a3 )

(n  an )  0

(1.112)

Las ecuaciones 1.108 son llamadas ecuaciones características de la matriz A, las raíces 1,2,,n son los eigenvalores de la matriz A, el eigenvector xj correspondiente a j.

El uso de valores propios y de vectores propios en el desacoplamiento de sistemas trifásicos es útil cuando se definen transformaciones similares a las componentes simétricas. 58

CAPÍTULO 1

1.10.1 Desacople de Sistemas trifásicos Simétricos

Tomemos una sección de línea transmisión trifásica, donde cada fase tiene un de acoplamiento mutuo con respecto a la tierra. Una matriz de impedancia de la línea de transmisión trifásica se puede escribir como:

Z abc

 Z aa   Z ab  Z ac

Z ac  Z bc  Z cc 

Z ab Z bb Z bc

(1.113)

Si se asume que la línea es perfectamente simétrica, es decir: Zaa=Zbb=Zcc=Z y Zab=Zac=Zbc=M, se tiene una matriz de impedancia expresada como:

Z abc

Z   M  M

M Z M

M M  Z 

Se encuentra los eigenvalores de la matriz Zabc, donde se tiene:

59

(1.114)

CAPÍTULO 1

Z  M M

M Z  M

M M 0 Z 

(1.115)

Los eigenvalores son:

  Z  2 M   Z M   Z M

(1.116)

Los eigenvectores pueden encontrarse usando la Ecuación (1.108), sustituyendo para =Z+2M :

M M Z   Z  2  M    x1      M Z  Z  2 M  M     x2   0  M M Z   Z  2  M    x3 

La Ecuación puede reducirse a:

60

(1.117)

CAPÍTULO 1

 2 1 1   x1   0 1 1    x   0    2  0 0 0   x3 

(1.118)

Tomando a x1=x2=x3=k, una constante arbitraria se tiene uno de los eigenvetores de la matriz de impedancia, dado por:

k  k     k 

(1.119)

Este puede ser llamado eigenvector de secuencia cero de la matriz de transformación de las componentes simétricas, y puede ser escrita tomando k=1, donde el vector esta dado por:

1 1  1

(1.120)

Similarmente para =Z-M, se tiene:

61

CAPÍTULO 1

M M Z   Z  M    x1      M Z  Z  M  M     x2   0  M M Z   Z  M    x3 

(1.121)

El cual proporciona:

1 1 1   x1  0 0 0   x   0    2 0 0 0  x3 

(1.122)

Esto da la relación general x1=x2=x3=0. Cualquier opción de x1, x2, x3 que satisfaga esta relación es un vector de la solución. Algunas opciones se demuestran a continuación:

     0   0   x1   1   1       x   a 2  ,  a  ,  3  ,  1   2      2   2  x3   a   a 2       3   1   2   2 

(1.123)

La Ecuación 1.122 es un resultado importante y demuestra que, para los sistemas perfectamente simétricos, los vectores propios comunes son iguales, aunque los valores propios 62

CAPÍTULO 1

sean diferentes en cada sistema. La transformación componente de Clarke se basa en esta observación. La transformación componente simétrica es dada por vectores de la solución, donde se tiene:

1  1   1  1 ,  a 2  ,  a       1  a   a 2 

63

(1.124)

CAPÍTULO 1

Capítulo 2 CALCULO DE FALLAS ASIMÉTRICAS

Una gran proporción de las fallas en los sistemas eléctricos de potencia son asimétricas, fallas asimétricas a través de impedancias (cortocircuitos monofásicos, bifásicos, bifásicos a tierra) o de conductores abiertos (una y dos fases abiertas. El presente capitulo persigue establecer los fundamentos teóricos, del cálculo de fallas asimétricas, ya sea por cortocircuitos, fallas asimétricas a través de impedancias (fallas shunt) o conductores abiertos (fallas serie). El motivo esencial del estudio de las condiciones asimétricas de la falla, consiste en los desproporcionados desbalances que se pueden presentar en las tensiones y corrientes del sistema de potencia durante una falla.

Los cortocircuitos son las fallas más violentas y peligrosas. La distribución cuantitativa aproximada de los distintos tipos de cortocircuitos es la siguiente:

 Fallas simples línea a tierra (70%-80%)

 Falla línea a línea (10%-17%)

 Fallas dobles línea a tierra (8%-10%)

 Fallas trifásicas balanceadas. (2%-3%)Equation Chapter (Next) Section 1

64

CAPÍTULO 1

Un elemento que debe considerarse al analizar la operación de las protecciones durante cortocircuitos, y al calcular sus parámetros de ajuste, es la resistencia de falla. En los cortocircuitos entre fases la resistencia de falla está prácticamente determinada por lo general por el arco eléctrico. Esta resistencia es de carácter no lineal y varía con el tiempo; la corriente en ella es aproximadamente sinusoidal, pero la onda del voltaje del arco sufre deformación.

Las investigaciones experimentales han demostrado que para corrientes de cortocircuito del orden de los cientos de Ampere como mínimo, el gradiente de voltaje en el arco prácticamente no depende de la corriente. Para el cálculo del valor de la resistencia de arco Ra en ohm puede utilizarse la fórmula empírica:

Ra  1050 

La ia

(2.1)

Donde ia es el valor eficaz de la corriente en el arco (A), y La es su longitud (m). Como valor de la puede tomarse el espaciamiento entre conductores en el instante inicial del cortocircuito, pero para protecciones con retardo de tiempo hay que tener en cuenta el incremento que experimenta Ra debido a la elongación del arco por efecto del viento, la convección en el aire y los esfuerzos electrodinámicos.

En los cortocircuitos a tierra, en la resistencia de falla entran (además de la resistencia de arco) las resistencias de las estructuras de soporte de las líneas y sus aterramientos, las de contacto entre los conductores y tierra y las de los pasos de retorno por tierra. Esto hace que en las protecciones contra cortocircuitos a tierra sea necesario tener en cuenta de modo especial el efecto de la resistencia de falla.

65

CAPÍTULO 1

La trayectoria de la corriente de falla podría tener ya sea impedancia cero, la cual se llama cortocircuitos sólido, o bien impedancia distinta a cero. Otros tipos de fallas son los de un conductor abierto y las de dos conductores abiertos, que pueden ocurrir cuando se rompen los conductores o cuando una o dos fases de un interruptor se abren de manera inadvertida.

Cuando ocurre una falla trifásica balanceada en un sistema trifásico balanceado, sólo hay corriente de falla de secuencia positiva: las redes de secuencia cero, positiva y negativa, están completamente desacopladas.

Cuando se presenta una falla asimétrica en un sistema balanceado, las redes de secuencia están interconectadas sólo en el lugar de la falla. Como tal, el cálculo de las corrientes de falla se simplifica bastante si se emplean redes de secuencia mostradas en el Capítulo 2.

Como en el caso de las fallas trifásicas balanceadas, las fallas asimétricas tienen dos componentes de corriente de falla: una componente de corriente alterna o simétrica (que incluye corrientes subtransitorias, transitorias y de estado estable) y una componente de corriente continua.

Se empleando la redes de secuencia cero, positiva y negativa por unidad para representar un sistema trifásico.

2.1 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA

Un sistema trifásico se representa mediante las redes de secuencia mostrado en el Capítulo 1. Las redes de secuencia cero, positiva y negativa de componentes del sistema (generadores, motores, transformadores y líneas de transmisión) se pueden usar para construir redes de secuencia cero, positiva y negativa del sistema. Se hacen las consideraciones siguientes: 66

CAPÍTULO 1



El sistema de potencia opera en condiciones balanceadas de estado estable antes de ocurra la falla. Por tanto, las redes de secuencia cero, positiva y negativa están desacopladas antes de que ocurra la falla. Durante las fallas asimétricas las redes se interconectan sólo en la ubicación de la falla.



Se desprecia la corriente de prefalla. Como resultado, los voltajes internos de secuencia positiva de las máquinas son iguales al voltaje de prefalla Vf. Por tanto, el voltaje de prefalla en cada barra de la red de secuencia positiva es igual a Vf.



Se desprecian las resistencias de devanados del transformador y las admitancias serie.



Se desprecian las resistencias serie de líneas de transmisión y las admitancias en derivación.



Se desprecian las resistencias, saliencia y saturación de armadura de la máquina síncrona.



Se desprecian las impedancias de cargas no rotatorias.



Se desprecian los motores de inducción (motores con capacidad nominal de 50 hp o menos) o se representan de la misma manera que las máquinas síncronas.

Estas suposiciones se hacen para simplificar el estudio, pero en la práctica no es prudente hacerlo en todos los casos. En los sistemas de eléctricos de distribución primarios y secundarios, la corriente de prefalla en algunos casos podrían equipararse con las corrientes de cortocircuitos, y en otros casos, las resistencias de línea podrían reducir de forma importante las corrientes de falla.

Aunque las corrientes de falla así como las contribuciones a las corrientes de falla en el lado en falla de un transformadores –Y no se ven afectadas por los desfasamientos –Y, las contribuciones a la falla desde el otro lado de tales transformadores están afectadas por los desfasamientos –Y para fallas asimétricas.

67

CAPÍTULO 1

Ia a b

Vb

Barra Trifásica

Ic c

a

Iccb

b

Va

Ib Barra Trifásica

Icca

Iccc

Vab=0 Vca=0 Vbc=0

c

Vc

n

n

(a)

(b)

Figura 2.1. Representación de una barra Trifásica a) Antes de la Falla o Prefallab) Durante de la Falla.

Considerando una falla trifásica general mostrada en la Figura 2.1 Las terminales abc, se denotan como terminales del punto de falla, Antes de que ocurra una falla, las corrientes Ia, Ib e Ic son cero.

En la Figura 2.2 se ilustran las redes de secuencia generales vistas desde las terminales de la falla. Puesto de que es sistema de prefalla está balanceado, las redes de secuencia cero, positiva y negativa no están acopladas. También los componentes de secuencia de las corrientes de falla, I0, I1 e I2, son cero antes que ocurra la falla. Las redes de secuencia generales de la Figura 2.2(a) se reducen a sus equivalentes de Thévenin visto desde las terminales de la falla en la Figura 2.2(b). Cada red de secuencia tiene una impedancia equivalente de Thévenin. También, la red de secuencia positiva tiene una fuente de voltaje equivalente de Thévenin, que es igual al voltaje de prefalla VF.

68

CAPÍTULO 1

I1

VF

V1

-

-

-

V1

+

+

+

Red de Secuencia Positiva

I1

Z1

I2

I2

+

V2

V2

-

-

Red de Secuencia Negativa

+

Z2

I0

+

+

V2

V0

-

-

Red de Secuencia Cero

I0

Z0

(b)

(a)

Figura 2.2. Redes de secuencia de una barra Trifásica a) Redes de secuencia Generales b) equivalentes de Thévenin vistos desde los terminales de la falla.

2.2 FALLA LÍNEA A TIERRA Una falla simple de línea a tierra de la fase “a” a tierra una barra trifásica que se observa en la Figura2.3. Se incluye una impedancia de falla Zf. para generalizar, en el caso de una falla sólida a tierra, Zf. = 0, en tanto que para una falla de arco, Zf. es la impedancia de arco. En el caso de una descarga superficial de un aislador de línea de transmisión o sea una descarga cable torre, Zf. incluye la impedancia de falla total entre la línea y la tierra, tomando en cuenta las impedancias de arco y la torre de transmisión, así como la puesta a tierra de la torre si no hay conexión a neutro. 69

CAPÍTULO 1

Los cortocircuitos monofásicos a tierra pueden originar valores elevados de corriente en los sistemas con puesta a tierra sólida (X0/X1 < 3), en los cuales se ponen a tierra los neutros de todos los autotransformadores y los de todos o algunos transformadores. Este tipo de puesta a tierra se utiliza por lo general en las redes de todos los niveles de voltaje del sistema eléctrico de potencia.

En los sistemas con neutro aislado de tierra o con puesta a tierra resonante, el contacto con tierra de un conductor de fase no constituye un cortocircuito, pues la corriente a tierra es de valor reducido. En este caso el triángulo de voltajes de línea no se altera y no se interrumpe el suministro normal a los consumidores. Sin embargo, los voltajes a tierra de las fases no falladas aumentan

3 veces, lo que somete al aislamiento a un esfuerzo dieléctrico, que puede originar

una segunda falla de otra fase a tierra, lo que sí constituye un cortocircuito doble a tierra. Este tipo de puesta a tierra se utiliza más bien en algunos sistemas industriales, pero en otros paises también puede encontrarse en redes de subtransmisión y distribución de sistemas eléctricos de potencia. Como regla, la protección contra contactos monofásicos a tierra solamente señaliza, aunque en instalaciones de elevada peligrosidad para el personal es necesario que origine el disparo de los interruptores.

Las relaciones propuestas sólo se aplican a una falla simple línea a tierra en la fase "a". Sin embargo, puesto que cualquiera de las tres fases se puede marcar de manera arbitraria como la fase "a", no se consideran las fallas simples línea a tierra en otras fases, para someter este tipo de problema debe realizarse un cambio de referencia el cual no se analiza en este trabajo.

70

CAPÍTULO 1

a

Ib

b

Ic

c

+ Vc

-

Vb

n

Va

-

+

Zf

-

Barra Trifásica

Ia

+

De la Figura 2.3:

(a) Figura 2.3. Falla de una Línea a Tierra a través de Impedancia de Falla.

Se obtienen las condiciones de falla en el dominio de las fases, donde:

Ic  Ib  0 Van  Z f  I a

(2.2)

Se transforma la Ecuación 2.2 al dominio de las secuencias utilizando la Ecuación (1.47), donde:

 Ia0  1 1  I   1  1 a  a1  3  2  I a 2  1 a

1   Ia   Ia  1    2  a    0     Ia  3 a   0   I a 

71

(2.3)

CAPÍTULO 1

Donde usando la Ecuación 1.48 y 1.49, se tiene::

Van  Z f  I a

Va 0  Va1  Va 2   Z f   I a 0  I a1  I a 2 

(2.4)

Donde de las ecuaciones 2.3 y 2.4 se tiene:

I a 0  I a1  I a 2  I a

(2.5)

Va 0  Va1  Va 2   3  Z f  I a1

(2.6)

Las ecuaciones 2.5 y 2.6 se satisfacen al interconectar las redes de secuencia en serie en las terminales de la falla a través de la impedancia (3Zf), como se muestra en la Figura 2.4. Los componentes de secuencia de las corrientes de falla son:

Ia0 

VF Z 0  Z1  Z 2  3  Z f

I a  I a 0  I a1  I a 2  3  I a 0

72

(2.7)

(2.8)

CAPÍTULO 1

Ia1

+

+

Z1

VF

-

Va1 -

Ia2

+

Z2

Va2 -

Ia0

+

Z0

3Zf

Va0 -

Figura 2.4. Conexión de las redes de secuencia para una falla de línea a tierra a través de impedancia.

Ia 

3 VF Z 0  Z1  Z 2  3  Z f

(2.9)

Los componentes de secuencia de los voltajes de línea a tierra en la falla se determinan a partir de la Ecuación (2.10). Los voltajes de línea a tierra en el punto de falla se pueden determinar transformando los voltajes de secuencia al dominio de fase.

73

CAPÍTULO 1

Va 0   0   Z 0 V   V    0  a1   F   Va 2   o   0

0 Z1 0

0   Ia0  0    I a1  Z 2   I a 2 

(2.10)

2.3 FALLA LÍNEA A LÍNEA

Los cortocircuitos bifásicos implican la presencia de componentes de secuencia positiva y negativa en el voltaje y la corriente. En los cortocircuitos bifásicos a tierra en redes con neutro aislado o con puesta a tierra resonante, la única diferencia con respecto al cortocircuito bifásico es que se origina un corrimiento del potencial del neutro del sistema con respecto a tierra, lo que trae como consecuencia que en el voltaje aparece una componente de secuencia cero. En los sistemas sólidamente aterrizados los cortocircuitos bifásicos a tierra provocan grandes disminuciones de los voltajes de línea y de fase (en el punto de la falla son cero), y aparecen componentes de secuencia cero en los voltajes y corrientes. La corriente de secuencia cero puede ser mayor o menor que la correspondiente a un cortocircuito de línea a tierra en el mismo punto, en dependencia de los valores de las distintas componentes de secuencia de la impedancia del sistema.

Para el análisis se toma una falla de línea a línea de la fase "b" a "c" que se muestra en la Figura 2.5, para generalizar se incluye una impedancia de falla Zf. entre las dos fases, cuando Zf. =0 en cortocircuito entre dos fases es franco, de la Figura 2.5 se extrae las condiciones de falla en el dominio de las fases, donde:

Ia  0

(2.11)

74

CAPÍTULO 1

I c   Ib

(2.12)

Vbn  Vcn  Z f  Ib

(2.13)

a

Ib

b

Ic

c

Zf

Van

+

Barra Trifásica

+

+

Ia

Vbn

-

Vcn n

-

-

Figura 2.5. Falla de una Línea a Línea a través de Impedancia de Falla.

Transformando las ecuaciones de (2.11) a (2.13) al dominio de las secuencias. Usando las ecuaciones (2.11) y (2.12) en (1.47), se tiene:

 Ia0  1 1  I   1  1 a  a1  3   I a 2  1 a 2

    0 1  0    1  2  2  a    Ib     a  a   Ib  3  a    I c    1    a 2  a   Ib  3 

75

(2.14)

CAPÍTULO 1

Usando las ecuaciones (1.48) y (1.49) en la Ecuación (2.13), se tiene:

V

a0

 a 2 Va1  a Va 2   Va 0  a Va1  a 2 Va 2   Z f   I a 0  a 2  I a1  a  I a 2 

(2.15)

De la Ecuación (2.14) se obtiene:

Ia0  0

(2.16)

I a1   I a 2

(2.17)

Con las ecuaciones (2.16) y (2.17) se simplifica la Ecuación (2.15), donde:

(a 2  a) Va1  (a 2  a) Va 2  Z f  (a 2  a)  I a1 Va1  Va 2  Z f  I a1

(2.18)

Las ecuaciones (2.16) a (2.18) se satisfacen al conectar las redes de secuencia positiva y negativa en paralelo en las terminales de la falla a través de la impedancia de falla Zf, como se muestra en la Figura (2.6), las corrientes de fallas son:

76

CAPÍTULO 1

I a1 

VF Z 0  Z1  Z f

(2.19)

Donde:

Ib  I a 0  a 2  I a1  a  I a 2  0  a 2  I a1  a  I a1  (a 2  a)  I a1   j  3  I a1

Ia2

Zf +

-

VF

Ia1

+

+

Z1

Va1

Va2

-

-

(2.20)

Z2

Figura 2.6. Conexión de las redes de secuencia para una falla de línea a línea a través de impedancia.

I b   j  3  I a1 

 j  3 VF Z 0  Z1  Z f

(2.21)

Donde de la transformación en el dominio de las secuencia para la corriente Ic, se tiene:

77

CAPÍTULO 1

I c  I a 0  a  I a1  a 2  I a 2  0  a  I a1  a 2  I a1  (a  a 2 )  I a1   I b

(2.22)

2.4 FALLA DOBLE LÍNEA A TIERRA

Una falla de doble línea a tierra de la fase "b" a la fase "c" a través de la impedancia de falla Zf a tierra se muestra en la Figura 2.7, de esta Figura se extrae las condiciones de falla en el dominio de las fases, donde:

Ia  0

(2.23)

Vcn  Vbn

(2.24)

Vbn  Z f  ( Ib  I c )

(2.25)

78

CAPÍTULO 1

a

Ib

b

Ic

c

+

Ia

+

Barra Trifásica

Zf n

Vbn=Vcn

Van -

-

Figura 2.7. Falla doble Línea a Línea a través de Impedancia de Falla.

Transformando la Ecuación 2.23 al dominio de las secuencias mediante la Ecuación 1.47, donde:

I a 0  I a1  I a 2  0

(2.26)

Aplicando la Ecuación 1.46 para trasformar al dominio de secuencia la Ecuación (2.24), desarrollando:

V

a0

 a 2 Va1  a Va 2   Va 0  a Va1  a 2 Va 2 

(a 2  a) Va1  (a 2  a) Va 2

(2.27)

Va1  Va 2

79

CAPÍTULO 1

Aplicando las Ecuaciónes 1.46 y 1.47 para trasformar al dominio de secuencia la Ecuación 2.25, desarrollando:

V V V

a0

 a Va1  a 2 Va 2   Z f   I a 0  a 2  I a1  a  I a 2  I a 0  a  I a1  a 2  I a 2 

a0

 a Va1  a 2 Va1   Z f   2  I a 0  (a 2  a )  I a1  (a 2  a )  I a 2 

a0

 (a 2  a) Va1   Z f   2  I a 0  (a 2  a)  I a1  (a 2  a)  I a 2 

Va 0  Va1   Z f   2  I a 0  I a1  I a 2 

(2.28)

(2.29)

De la Ecuación (2.26) despejando para Io se tiene:

I a 0    I a1  I a 2 

(2.30)

Introduciendo la Ecuación (2.30) y dentro de la Ecuación (2.29), se obtiene:

Va 0  Va1   3  Z f  I a 0

(2.31)

Las ecuaciones 2.26, 2.27 y 2.31 se satisfacen al conectar en paralelo las redes de secuencia cero, positiva y negativa en la Terminal de la falla; en donde 3Zf se incluye en serie con la red de 80

CAPÍTULO 1

secuencia cero. Esta conexión se muestra en la Figura 2.8 De esta Figura, la corriente de falla de secuencia positiva es:

I a1 

VF

 Z2   Z0  3  Z f   Z1     Z 0  Z 2  3  Z f 

(2.32)

Usando la división de corriente en la Figura 2.8, las corrientes de falla de secuencia negativa y cero son:

VF

Ia1

Va1

-

Z2 Z0  Z2  3  Z f

(2.34)

Ia0

3Zf

+

+

Z1

(2.33)

Z0  Z2  3  Z f

Ia2

-

+

I a 0    I a1  

Z0  3  Z f

+

I a 2    I a1  

Z2 Va2

Va0

-

Z0

-

Figura 2.8. Conexión de las redes de secuencia para una falla doble línea tierra a través de impedancia.

81

CAPÍTULO 1

Bibliografia 1. ANSI/IEEE Std 1584a, “IEEE Guide for performing Arc-Flash Hazard Calculation”, Estados Unidos (2006). 2. NEUENSWANDER J., “Moder Power System”, Editorial International Textbook Company , Estados Unidos (1971). 3. ANSI/IEEE Std 551, “Recommended Practice for Calculating Short-Circuit Currents in Industrial and Commercial Power Systems”, Estados Unidos (2006). 4. Fortescue CL., “Method of Symmetrical Coordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks”. AIEE, Vol. 37. 1918, pp. 1027–1140. 5. CLARKE E., “Circuit Analysis of Alternating Curent Power System, Vol I” Editorial Wiley, Estados Unidos (1943). 6. ANDERSON P., “Analysis of Foulted Power Systems”, Editorial IEEE Press, New York (1995). 7. STEVENSON W., y GRAINGER J., “Análisis de Sistemas de Potencia”, Editorial Mc Graw Hill, México (2004). 8. WAGNER C.; EVAN R., “Symmetrical Components”, Editorial McGraw-Hill, Estados Unidos (1933). 9. ANSI/IEEE Std 141, “IEEE Recommended Practice for Electric Power Distribution for Industrial Plants”, Estados Unidos (1993). 10. HAWARY M., “Electrical Energy Systems”, Editorial CRC Press, New York (2000). 11. SHERWIN H., y HALL C., “Electrical Transmission and Distribution Reference Book”, 4ta Edición, Estados Unidos (1964).

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