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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria Universidad Nacional Experimental de los Llanos Centrales Rómulo Gallegos Área de Ingeniería, Arquitectura y Tecnología Unidad Curricular: Mecánica de las Rocas y de los Fluidos

Facilitador: José Gómez

Bachilleres: Georman Hernández C.I.- 28012331 Carla Ereipa

C.I.- 27262355

Eugenio Ríos

C.I.- 28012844

Iryomar Herrada

C.I.- 28176304

Albanys Petre

C.I.- 26848080

Yeidy Tamiche

C.I.- 26026170

Orlando Vargas

C.I.- 31835014

Duban Hernández

C.I.- 25887636

Eduardo Vásquez

C.I.- 27238045

Meggie Arias

C.I.- 27211283

San Juan de los Morros, Junio 2018 Página 1 de 37

INDICE Introducción……………………………………………………………………………….Pág. 4 Desarrollo………………………………………………………………………………….Pág. 5-35 1. Centro de gravedad de áreas y líneas…………………………………………Pág. 5 2. Momentos de Primer Orden de Áreas y Líneas………………………………Pág. 5-6 3. Determinación de centro de gravedad de figuras compuestas……………..Pág. 6-8 3.1. Calculo del centro de gravedad de una figura plana cualquiera……Pág. 7-8 4. Teorema de Pappus-Guldin…………………………………………………….Pág. 8-9 4.1. Primer Teorema de Pappus-Guldin……………………………………Pág. 9 4.2. Segundo Teorema de Pappus-Guldin…………………………………Pág. 9 5. Fuerzas Distribuidas…………………………………………………………….Pág. 9-10 6. Generalidades de la Geometría de las Masas……………………………….Pág. 10 7. Fuerzas paralelas distribuidas de lo largo del plano………………………Pág. 11-12 7.1. Sistema de Fuerzas Paralelas y en el mismo sentido…………….Pág. 11-12 8. Intensidad de Cargas………………………………………………………….Pág. 13 9. Momento de Segundo Orden con en Figuras Planas……………………..Pág.13-14 10. Momento de Segundo Orden con Respecto……………………………….Pág.14 11. Momento de Inercia…………………………………………………………..Pág.14-15 12. Radios de Giros……………………………………………………………….Pág.15-16 13. Momento de Segundo Orden con Respecto a Ejes de un Mismo Orden.Pág.17-18 14. Ejes Principales de Inercia…………………………………………………..Pág. 18-19 15. Circunferencia de Mohr…………………………………….………………...Pág. 19 16. Momento de Inercia de Figuras Compuestas……………………………...Pág. 20 17. Esfuerzos Axiales……………………………………………………………..Pág. 20 18. Tracción………………………………………………………………………..Pág. 20-21 19. Compresión…………………………………………………………………….Pág.21-22 20. Diagrama de Esfuerzos Normales…………………………………………..Pág. 22-23 21. Diagrama de Cargas………………………………………………………….Pág. 23 22. Deformación y Tensión……………………………………………………….Pág. 24-26 22.1. Relación entre Tensión y Deformación……………………………..Pág. 24 22.2. Ensayo de Tracción…………………………………………………...Pág. 24 22.3. Diagrama de Tracción………………………………………………...Pág.25-26 23. Deformación Unitaria…………………………………….…………………….Pág. 26-27 23.1. Diagrama de Esfuerzo-Deformación Unitaria………………………Pág. 26-27 24. Ley de Hooke…………………………………….…………………………….Pág. 27-28 24.1. Ley de Hooke para los Resortes……………………………………Pág. 27-28 24.2. Ley de Hooke en Sólidos Elásticos…………………………………Pág. 27-28 25. Relación de Poisson…………………………………………………………...Pág. 28-29 26. Problemas Estáticamente Indeterminados………………………………….Pág. 29 27. Tensiones Transversales y Longitudinales………………………………….Pág. 30-31 27.1. Tensiones Tranversales………………………………………………Pág. 30 27.1.1. Tensión Cortante Promedio……………………………………...Pág. 30 Página 2 de 37

28. 29. 30. 31.

27.2. Tensiones Longitudinales……………………………………………Pág. 30-31 Deformaciones……………………………………………………………..…Pág. 31-32 Deformación…………………………………………………………………..Pág. 32-33 Elasticidad Transversal………………………………………………………Pág. 33-34 Tensiones en Planos Oblicuos………………………………………………Pág. 34-35

Conclusión……………………………………………………………………………….Pág. 36 Referencias Bibliográficas……………………………………………………………...Pág. 37

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INTRODUCCIÓN

La rama de la física que se encarga del estudio del comportamiento, resistividad y dinamismo de los materiales resulta una pieza fundamental en el ámbito de la ingeniería puesto que nos permite la implementación de cálculos y evaluación de datos numéricos referentes a las propiedades y dimensiones de los mismos, para poder prevenir y conocer cómo será el desarrollo de la vida útil de cada uno de los materiales con los que se trabaje. Es por ello que a continuación se tiene como objeto analizar y comprender la geometría de masas como la parte de la Mecánica que estudia la distribución espacial de la masa en los sistemas materiales, en donde el conocimiento La geometría de masas tiene como objeto la definición y el cálculo de los atributos o características másicas de un sistema. Por ello haremos énfasis los agentes físicos como lo son su centro de gravedad, momentos de inercia, la capacidad de cada que posee una cuerpo másico de soportar esfuerzos axiales, superficiales, tangenciales, además de conocer las propiedades deformativas por la que pasan. Todo lo anteriormente descrito basándonos y fundamentándonos en formulas y teoremas matemáticos, además de graficas representativas según sea el caso.

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1.

CENTRO DE GRAVEDAD DE AREAS Y LINEAS

El centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo. El centro de gravedad puede ser un punto exterior o inferior del cuerpo que se considere o de una determinada área. El conocimiento de la posición de los centros de gravedad, es de una suma importancia en la resolución de problemas de equilibrios, porque son los puntos de aplicación de los vectores representativos de los respectivos pesos. El centro de gravedad en una línea está en el punto de aplicación de un sistema de fuerzas paralelas aplicadas a cada uno de los fragmentos elementales en que se puede considerar descompuestas las misma y proporcionales respectivamente a las longitudes de los elementos de línea. Si se trata un elemento rectilíneo, el centro de gravedad se haya en un punto medio. El de un arco de circunferencia puede calcularse mediante recursos de cálculo referencial, y se encuentra situado en radio medio, a una distancia del centro.

En conclusión el centro de gravedad es el punto donde se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es decir es el punto, en el que actúa el peso. Siempre que la aceleración de la gravedad sea constante, el centro de la gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masa.

2.

MOMENTOS DE PRIMER ORDEN DE AREAS Y LINEAS

El primer momento de área (también momento estático o primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en los

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contextos del cálculo de vigas en ingeniera estructural en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de collignon que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento del área coinciden con el producto del área total

multiplicado por la distancia en el punto

considerado centroide del área.

3.

DETERMINACION DE CENTRO DE GRAVEDAD DE FIGURAS COMPUETAS

La determinación del Centro de Gravedad de cuerpos homogéneos se reduce a un problema geométrico.

Para cuerpos regulares tener en cuenta que:  Cuando una figura geométrica cualquiera, sea superficie o volumen tiene un centro, un eje o un plano de simetría, el C.G. se encuentra sobre dicho centro, eje o plano de simetría.  Si una superficie admite un diámetro, su C.G. se encuentra sobre dicho diámetro.

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 El C.G. de una superficie plana y homogénea (densidad constante) se encuentra en su centro geométrico.  El C.G. de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Por ejemplo el C.G. de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo.

3.1 Cálculo del centro de gravedad de una figura plana cualquiera.

 Se toman como referencia un par de ejes X-Y de manera que la figura quede contenida en el primer cuadrante.  Se descompone la figura en otras figuras básicas de las cuales se sabe determinar su centro de gravedad.

 Se considera aplicada en cada C.G. de las figuras básicas una fuerza paralela proporcional al área de la figura.  Se determina el punto de aplicación de la resultante

del sistema de fuerzas

paralelas.  El punto determinado es el C. G. de la figura plana considerada.

Para el cálculo, suponiendo las fuerzas (Fi) proporcionales a las áreas (Si) pueden aplicarse las siguientes fórmulas:

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Siendo:

XCG: Coordenada X del C.G. de la figura.

YCG: Coordenada Y del C.G. de la figura.

Si: Área de cada una de las figuras básicas.

Xi: Coordenada en x del C.G. de cada figura a los ejes considerados

Yi: Coordenada en y del C.G. de cada figura a los ejes considerados

4.

TEOREMA DE PAPPUS – GULDIN

Son dos teoremas que expresan, con recurso a conceptos de la geometría cómo lo de centróide, la relación que existe entre curvas y superficies de revolución y entre superficies y cuerpos de revolución.

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4.1 Primer teorema de Pappus-Guldin:

El área (A) de las superficies de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz que las engendra (Lg) por la longitud de la circunferencia (Lc) que describe el centroide o centro de gravedad de dicha línea generatriz alrededor del eje de rotación.

A=Lg.Lc

4.2 Segundo teorema de Pappus-Guldin:

El volumen (V) de los sólidos de revolución es igual al producto del área de la superficie generatriz que los engendra Sg por la longitud de la circunferencia Lc de describe el centroide o centro de gravedad de dicha superficie.

V= Sg.Lc

5.

FUERZAS DISTRIBUIDAS

Se ha supuesto que todas las fuerzas estaban concentradas y se han representado mediante simples vectores con punto de aplicación determinado o situados sobre las líneas de acción de las fuerzas. En realidad, no existen fuerzas "concentradas", ya que toda fuerza real aplicada a un cuerpo se distribuye sobre un área o volumen finitos. En el caso de una fuerza aplicada a una superficie es evidente que, cuando las dimensiones del área sobre la que se distribuye la fuerza son despreciables frente a las demás dimensiones del cuerpo, el concepto de fuerza concentrada no introduce ninguna complicación. Cuando, una fuerza está distribuida sobre una región, a la distribución se le llama campo de fuerzas. El campo puede estar representado por la distribución de la fuerza a lo largo de una línea, sobre una superficie, o en todo un volumen. Una fuerza distribuida viene medida en cada punto por su intensidad. Así, una fuerza distribuida sobre una Página 9 de 37

superficie recibe el nombre de presión o esfuerzo y se mide como fuerza por unidad de superficie sobre la cual actúa. La unidad básica para la presión o esfuerzo es el newton por metro cuadrado (N/m2 ), llamada también un pascal (Pa).

6.

GENERALIDADES DE LA GEOMETRIA DE LAS MASAS

En el estudio de la mecánica del sólido rígido se manejan dos tipos de fuerzas: el peso y las fuerzas de inercia. Para tener en cuenta el peso propio de los sólidos se modeliza la realidad para simplificarla, de forma que se pueda considerar el peso de un sólido como un vector localizado en un punto del mismo.

 Masa: cantidad de materia que posee un cuerpo (escalar)  Peso: fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo (vector deslizante)

En realidad cada punto del sólido rígido es atraído por la Tierra de forma que sobre cada punto actuará un diferencial de peso, y por ello se puede asociar el peso de un cuerpo como un sistema infinito de vectores actuando sobre los infinitos puntos de un sólido rígido. Para trabajar tomamos el cuerpo como algo muy pequeño en comparación con el tamaño de la Tierra, por tanto consideraremos el peso y la masa como puntuales, y se estudiará el peso como un sistema de vectores paralelos y reduciendo este sistema se podrá obtener la resultante del sistema (peso del cuerpo), y su punto de aplicación, que será el punto central de un sistema de vectores localizados paralelos, pudiendo estar dentro o fuera del sólido.

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7.

FUERZAS PARALELAS DISTRIBUIDAS A LO LARGO DEL PLANO

Fuerzas paralelas son aquellas cuyas direcciones son paralelas, pudiendo aplicarse en el mismo sentido o en sentido contrario.

7.1 Sistema de fuerzas paralelas y en el mismo sentido.

Vectores para F1, R y F2. La figura de arriba muestra los vectores que grafican un sistema de fuerzas paralelas aplicadas en un mismo sentido. La resultante (R) de dos fuerzas paralelas (F1 y F2) que actúan en el mismo sentido tiene las siguientes características: 

Tiene igual dirección y sentido que sus componentes

 Su módulo es la suma de sus módulos: R = F1 + F2  Su punto de aplicación cumple la relación: F1 • d1 = F2 • d2 Ejemplo:

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Dos fuerzas paralelas que actúan en el mismo sentido, F1 = 12N y F2 = 9N, están separadas por una distancia de 14 cm. Calcular la fuerza resultante y su punto de aplicación.

Solución: 1) La intensidad de la resultante (R) es la suma de las intensidades de las componentes: Entonces: R = F1 + F2 componentes

=

12N + 9N

=

21N en el mismo sentido que las

2) El punto de aplicación debe cumplir la ecuación: F1 • d1 = F2 • d2. (1) Los dos brazos deben cumplir la ecuación: d1 + d2 = 14cm , por tanto d2 = 14 – d1 Claro ejemplo de aplicación de fuerzas paralelas en el mismo sentido. Sustituyendo en la ecuación (1), tenemos: F1 • d1 = F2 • d2 = 12N • d1 = 9N • (14 – d1) 12d1 = 126 – 9d1 12d1 + 9d1 = 126 21 d1 = 126 d1 = 126/21 d1 = 6 cm Respuesta:

La resultante (R) tiene una intensidad de 21N en el sentido de las componentes, y su punto de aplicación dista 6 cm de la fuerza mayor.

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8.

INTENSIDAD DE CARGAS

La fuerza del estímulo del entrenamiento o el trabajo realizado por unidad de tiempo durante una sesión de entrenamiento. La intensidad de la carga en el entrenamiento de fondo y el entrenamiento de velocidad se calcula con la velocidad del deportista en metros por segundo y la frecuencia de movimiento; en el caso del entrenamiento de fuerza, la intensidad de la carga se refleja en la cantidad de resistencia mecánica (repetición máxima); en el caso del entrenamiento de salto o lanzamiento, la intensidad de la carga depende de la altura saltada o de la distancia de lanzamiento.

9.

MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN EN FIGURAS PLANAS

El segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este artículo. Dada una sección plana transversal Σ de un elemento estructural, el segundo momento de inercia se define para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la sección Σ mediante la siguiente fórmula:

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10. MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN CON RESPECTO A EJES PARALELOS

El Teorema de Steiner, es un teorema de geometría elemental, formulado por C. L. Lehmus y probado posteriormente por Jakob Steiner. Teorema de los Ejes Paralelos o de SteinePara un objeto plano, el momento de inercia sobre un eje perpendicular al plano es la suma de los momentos de inercia sobre dos ejes paralelos, a través del mismo de cruce entre el objeto y su plano perpendicular. La utilidad de este teorema va más allá del cálculo de los momentos de los objetos estrictamente planos. Es una herramienta valiosa en la construcción de los momentos de inercia de objetos tridimensionales tales como cilindros troceándolos en discos planos y sumando los momentos de inercia de todos los discos

11. MOMENTOS DE INERCIA

El momento de inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud vectorial llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo en movimientos giroscópicos. Página 14 de 37

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido, y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión:

12. RADIOS DE GIROS El radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Concretamente es el valor medio cuadrático de distancia de los puntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de la misma. Página 15 de 37

El radio de giro de un área con respecto a un eje particular es igual a la raíz cuadrada del cociente del segundo momento de área dividido por el área. El radio de giro para diversas secciones transversales es:

Dónde:

Ig: Es el radio de giro. IEje: Es el segundo momento de área o momento de inercia de la sección y A: Es el área de la sección transversal. Es una medida del alejamiento promedio de la sección resistente del centro de gravedad, dadas dos secciones de la misma área la de menor radio de giro presentará menor rigidez torsional y también un peor comportamiento frente a pandeo. El radio de giro para diversas secciones transversales es:  Sección cuadrada de lado l:

 Sección circular de radio r:

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13. MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN CON RESPECTO A EJES DE UN MISMO ORIGEN

El momento de segundo orden o El momento de inercia es la resistencia que ofrece un cuerpo al giro alrededor de un eje. Es una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos estructurales (Dinámica rotacional). Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercial define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. En ingeniería estructural, el momento de segundo orden, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este artículo. Dada la superficie, dos ejes cuales quiera x e y contenidos en el mismo plano. Sea además un diferencial de superficie dΩ, cuya distancia a dichos ejes es y e x, respectivamente. Se define como momento de segundo orden del elemento de superficie dΩ respecto del par de ejes x, y al producto del área de superficie elemental por las distancias a ambos ejes. En toda la superficie se obtiene el momento de segundo orden de la superficie respecto de los ejes considerados, también llamado momento de centrífugo o producto de inercia de superficie. Página 17 de 37

Por otro lado, siendo el área una magnitud (escalar) positiva, el momento centrífugo tendrá un signo que dependerá del signo de las coordenadas de los elementos de superficie. Así por ejemplo, las superficies que se encuentren en el primer y tercer Cuadrante tendrán momento centrífugo positivo, mientras que aquellas ubicadas en el segundo y cuarto cuadrante tendrán momento centrífugo negativo. Que define el momento de inercia de superficie respecto del eje x. Es decir, el momento de inercia de una superficie respecto de un eje cualquiera es igual a la integral de superficie del producto de la diferencia de superficie por la distancia al cuadrado al eje respectivo. El

momento

de

inercia

definido

por

la

Ec.

será

siempre

positivo

independientemente de la posición de la superficie respecto del sistema coordenado, dado que el elemento de superficie dΩ y el cuadrado de cualquier distancia son magnitudes positivas.

14. EJES PRINCIPALES DE INERCIA

Como es sabido en mecánica del sólido rígido, la inercia rotacional de un cuerpo viene caracterizada por un tensor llamado tensor de inercia, que en una base ortogonal se expresa mediante una matriz simétrica. Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formados por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación En el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. El hecho de que el giro alrededor de un eje principal sea tan simple se debe a que, cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes principales, el momento angular L y la velocidad angular ω son vectores paralelos por estar ambos alineados con una dirección principal: Página 18 de 37

Donde

λ

es una magnitud escalar que coincide con el momento de inercia

correspondiente a dicho eje. En general, un cuerpo rígido tiene tres momentos principales de inercia diferentes. Puede probarse además que si dos ejes principales se corresponden a momentos principales de inercia diferentes, dichos ejes son perpendiculares.

Todo cuerpo sólido tiene al menos un sistema de tres ejes de inercia principales (el tensor de inercia siempre se puede diagonalizar) aunque, en particular, el número sistemas de ejes de inercia principales puede llegar a ser infinito si el sólido rígido presenta simetría axial o esférica. En el caso de la simetría axial dos de los momentos de inercia relativos a sendos ejes tendrán el mismo valor y, en el caso de la simetría esférica, todos serán iguales. Los sólidos rígidos que tienen simetría esférica se denominan peonzas esféricas y, los que sólo tienen simetría axial, peonzas simétricas.

15. CIRCUNFERENCIA DE MOHR

El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

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16. MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS COMPUESTAS Como el momento de inercia es aditivo el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. También si tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que “le falta un trozo'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el trozo que le falta.

Muchas veces hay que calcular el momento de inercia de piezas, formadas a su vez por diferentes figuras. Se calcular el momento de inercia del conjunto como la suma de los momentos de inercia. En los cálculos hay generalmente que aplicar una serie de Teoremas. Ejemplo, ejes perpendiculares o Steiner.

17. ESFUERZOS AXIALES El esfuerzo normal (esfuerzo axil o axial) es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal de un prisma mecánico. Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión normal. Dada una sección transversal al eje longitudinal de una viga o pilar el esfuerzo normal es la fuerza resultante de las tensiones normales que actúan sobre dicha superficie. Si consideramos un sistema de coordenadas cartesianas en que el eje X esté alineado con el eje recto de la viga, y los ejes Y y Z estén alineados con las direcciones principales de inercia de la sección el tensor de tensiones ([T]xyz) y el esfuerzo normal (Nx) vienen dados por:

18. TRACCIÓN En el cálculo de estructuras e ingeniería se denomina tracción al esfuerzo interno a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo. Lógicamente, se considera que las tensiones que

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tiene cualquier sección perpendicular a dichas fuerzas son normales a esa sección, y poseen sentidos opuestos a las fuerzas que intentan alargar el cuerpo. Son muchos los materiales que se ven sometidos a tracción en los diversos procesos mecánicos. Especial interés tienen los que se utilizan en obras de arquitectura o de ingeniería, tales como las rocas, la madera, el hormigón, el acero, varios metales, etc. Cada material posee cualidades propias que definen su comportamiento ante la tracción. Algunas de ellas son: 

elasticidad



plasticidad



ductilidad



fragilidad

Catalogados los materiales conforme a tales cualidades, puede decirse que los de características pétreas, bien sean naturales, o artificiales como el hormigón, se comportan mal frente a esfuerzos de tracción, hasta el punto que la resistencia que poseen no se suele considerar en el cálculo de estructuras. Por el contrario, las barras de acero soportan bien grandes esfuerzos a tracción y se considera uno de los materiales idóneos para ello. El acero en barras corrugadas se emplean en conjunción con el hormigón para evitar su fisuración, aportando resistencia a tracción, dando lugar al hormigón armado. Ejemplos Cualquier elemento sometido a fuerzas externas, que tiendan a flexionarlo, está bajo tracción y compresión. Los elementos pueden no estar sometidos a flexión y estar bajo condiciones de tracción o compresión si se encuentran bajo fuerzas axiales.

19. COMPRESIÓN El esfuerzo de compresión es la resultante de las tensiones o presiones que existen dentro de un sólido deformable o medio continuo, caracterizada porque tiende a una Página 21 de 37

reducción de volumen del cuerpo, y a un acortamiento del cuerpo en determinada dirección (coeficiente de Poisson).En piezas estructurales suficientemente esbeltas los esfuerzos de compresión puede producir además abolladura o pandeo En general, cuando se somete un material a un conjunto de fuerzas se produce tanto flexión, como cizallamiento o torsión, todos estos esfuerzos conllevan la aparición de tensiones tanto de tracción como de compresión. Aunque en ingeniería se distingue entre el esfuerzo de compresión (axial) y las tensiones de compresión. En un prisma mecánico el esfuerzo de compresión puede ser simplemente la fuerza resultante que actúa sobre una determinada sección transversal al eje baricéntrico de dicho prisma, lo que tiene el efecto de acortar la pieza en la dirección de eje baricéntrico. Las piezas prismáticas sometidas a un esfuerzo de compresión considerable son susceptibles de experimentar pandeo flexional, por lo que su correcto dimensionado requiere examinar dicho tipo de no linealidad geométrica Los ensayos practicados para medir el esfuerzo de compresión son contrarios a los aplicados al de tracción, con respecto al sentido de la fuerza aplicada. Tiene varias limitaciones: 1. Dificultad de aplicar una carga concéntrica o axial, sin que aparezca pandeo. 2. Una probeta de sección circular es preferible a otras formas. El ensayo se realiza en materiales: 

Duros.



Semiduros.



Blandos.

20. DIAGRAMA DE ESFUERZOS NORMALES Como describimos anteriormente el esfuerzo normal o axial es el esfuerzo interno o resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal de un prisma mecánico. Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está directamente asociado a la tensión normal. Página 22 de 37

En términos gráficos, los esfuerzos normales se dan por:

La figura a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas por una distancia dx. Debido a la flexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran con respecto a la otra un pequeño ángulo dθ, pero permanecen planas y sin distorsión.

21. DIAGRAMA DE CARGAS Diagrama que presenta la distribución y la intensidad de las cargas que actúan sobre una estructura. Puede construirse a partir de los datos obtenidos en cualquier ensayo mecánico en el que se aplica carga a un material, y las mediciones continuas de carga y de formación se realizan simultáneamente. Se construye para ensayos de compresión, tensión y torsión. A continuación se muestra un ejemplo de las fuerzas que actúan sobre una viga de soporte.

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22. DEFORMACIÓN Y TENSIÓN 22.1

Relación entre tensión y deformación.

Tensión: Cociente entre la fuerza de tracción aplicada en la dirección del eje longitudinal, y la sección transversal de la pieza. σ = F/ Ao Unidades en el SI N/m2 Donde 1N/m2 = 1 Pascal Al aplicar la fuerza de tracción se produce una deformación en la pieza, en ingeniería, esta deformación, es igual al cociente entre la diferencia de longitudes final y primitiva, y la longitud original. Ԑ = (l – l0)/l0 Es un coeficiente adimensional, si bien, se puede expresar en forma de porcentaje, multiplicando el cociente anterior, por 100. 22.2

Ensayo de Tracción

Una probeta de forma y dimensiones conocidas, se somete a una fuerza uniaxial de tracción, hasta su rotura. Las normas que normalizan las probetas son: UNE 7282 para su preparación. UNE 7262 – 73, para las tolerancias en su mecanizado. UNE 7010, recomienda como medidas: S0 = 150 mm2 D0 = 13,8 mm l0 = 100 mm Las probetas pueden ser cilíndricas o planas. Las primeras son para forjados, barras, redondos. Las planas son para planchas.

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22.3

Diagrama de Tracción

En los diagramas de tracción, pueden diferenciarse claramente dos zonas: una donde las deformaciones son proporcionales a las fuerzas aplicadas, y otro, donde a pequeños incrementos de fuerza, siguen grandes deformaciones.  Zona elástica (OE): caracterizada porque en ella, al cesar la tensión aplicada, el material recupera su forma original.  Zona plástica (ES): al rebasar el límite elástico, aunque cese la fuerza, la deformación es permanente. 

Dentro de la zona elástica, hay dos subzonas.

 Zona de proporcionalidad (OP): en ella, las deformaciones son proporcionales a las fuerzas aplicadas, resultando σ = cte· Ԑ. 

En esta zona, es donde se debe intentar que trabajen los materiales.

 Zona no proporcional (PE): el material sigue teniendo comportamiento elástico, pero ya no se puede decir que su deformación sigue una recta, una función lineal, no se puede controlar o predecir la deformación del material en función de la fuerza aplicada. 

Dentro de la zona plástica hay también dos zonas diferenciadas.

 Zona límite de rotura (ER): al igual que en la anterior, con pequeñas variaciones de tensión,

obtenemos grandes deformaciones, pero en este caso, permanentes. El

límite de esta zona, es el punto R, llamado límite de rotura, y a la tensión que se aplica en dicho punto, se la conoce como tensión de rotura, σR = tensión de rotura. Aunque no se produzca una fractura visual, el material, está roto.  Zona de rotura (RS): superado el punto R, aunque la tensión se mantenga constante, o incluso se reduzca, el material sigue deformándose progresivamente, hasta alcanzar la rotura física, en el punto S. Página 25 de 37

Para el caso particular del acero, el diagrama difiere un poco de lo descrito anteriormente. En su caso, por encima del límite elástico, existe una zona, donde se produce un alargamiento muy rápido, sin apenas variar la tensión aplicada. El material fluye sin una causa o fuerza aparente. El fenómeno se conoce como fluencia. El punto F, donde comienza el fenómeno, se conoce como límite de fluencia, y la tensión a la que ocurre, como tensión de fluencia, σF.

23. DEFORMACIÓN UNITARIA Se puede definir como la relación existente entre la deformación total y la longitud inicial del elemento, la cual permitirá determinar la deformación del elemento sometido a esfuerzos de tensión o comprensión axial. L=Lo= Longitud cuerpo inicial. Lf= longitud del cuerpo final. L=Lf-Lo Deformación= ε=L/L 23.1

Diagrama de esfuerzo- deformación unitaria. Es la curva resultante graficada con los valores del esfuerzo y la correspondiente

deformación unitaria en el espécimen calculando a partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión.  Límite de proporcionalidad: Se observa que va desde el origen O hasta el punto llamado límite de proporcionalidad, es un segmento de recta rectilíneo, de donde se deduce la tan conocida relación de proporcionalidad entre la tensión y la deformación enunciada en el año 1678 por Robert Hooke. Cabe resaltar que, más allá la deformación deja de ser proporcional a la tensión.  Límite de elasticidad o límite elástico: Es la tensión más allá del cual el material no recupera totalmente su forma original al ser descargado, sino que queda con una deformación residual llamada deformación permanente.

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 Punto de fluencia: Es aquel donde en el aparece un considerable alargamiento o fluencia del material sin correspondiente aumento de carga que, incluso, puede disminuir mientras dura la fluencia. Sin embargo, el fenómeno de la fluencia es característico del acero al carbono, mientras que hay otros tipos de aceros, aleaciones y otros metales y materiales diversos, en los que no manifiesta.  Esfuerzo máximo: Es la máxima ordenada en la curva esfuerzo-deformación.  Esfuerzo de Rotura: Verdadero esfuerzo generado en un material durante la rotura.

24. LEY DE HOOKE En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre el mismo:

Siendo : El alargamiento, L: la longitud original,  : El módulo de Young, la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.

24.1

Ley de Hooke para los resortes

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La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida por el resorte con la elongación o alargamiento

provocado por la fuerza externa aplicada al

extremo del mismo:

Dónde: Se llama K constante elástica del resorte y

es su elongación o variación que

experimenta su longitud.

24.2

Ley de Hooke en sólidos elásticos La ley de Hooke para sólidos elásticos generaliza la ley de Hooke para resortes.

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada solo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan ser representados por un tensor de tensiones.

25. RELACIÓN DE POISSON Coeficiente de Poisson: Es un parámetro característico de cada material que indica la relación entre las deformaciones longitudinales que sufre el material en sentido perpendicular a la fuerza aplicada y las deformaciones longitudinales en dirección de la fuerza aplicada sobre el mismo. Así, si sobre el cuerpo de la figura se aplica una fuerza de tracción en dirección x se produce un alargamiento relativo εx en esa dirección y un acortamiento relativo εy y εz en las dos direcciones transversales, definiéndose el coeficiente de Poisson como:

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Relación entre la deformación lateral y la deformación axial en una probeta con carga axial. Es la constante que relaciona el módulo de rigidez y el módulo de Young en la ecuación:

Dónde: E: Es el módulo de Young. G: Es el módulo de rigidez. R: es el coeficiente de Poisson. La fórmula sólo es válida dentro del límite elástico de un material. En ASTM E-132 se proporciona un método para determinar el coeficiente de Poisson.

26. PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS Son aquellos en los que el número de reacciones o fuerzas exteriores es superior al de las ecuaciones que plantea la estática. Para resolver este tipo de problemas existen dos métodos:  Compatibilidad geométrica: Consiste en plantear el desplazamiento compatible del sistema. 

Método de Castigliano: Consiste en considerar una reacción redundante como una fuerza exterior y plantear el cálculo del grado de libertad restringido por dicha reacción redundante mediante Castigliano. Dicho grado de libertad será nulo, por lo que se obtiene una ecuación con una única incógnita (la reacción redundante).

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27. TENSIONES TRANSVERSALES Y LONGITUDINALES

27.1 Tensiones transversales También conocidas como tensiones cortantes o tensión de corte es aquella que, fijado un plano, actúa tangente al mismo. Se suele representar con la letra griega tau τ .En piezas prismáticas, las tensiones cortantes aparecen en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.

En piezas alargadas, como vigas y pilares, el plano de referencia suele ser un paralelo a la sección transversal (es decir, uno perpendicular al eje longitudinal). A diferencia del esfuerzo normal, es más difícil de apreciar en las vigas, ya que su efecto es menos evidente.

27.1.1 Tensión cortante promedio Un problema que se presenta en su cálculo se debe a que las tensiones no se distribuyen uniformemente sobre un área. Si se quiere obtener la tensión media, se aplica la fórmula:

Donde V (letra usada habitualmente para designar esta fuerza) representa la fuerza cortante y A representa el área de la sección sobre la cual se está aplicando. En este caso, el esfuerzo cortante, como su nombre lo indica, corta una pieza.

27.2 Tensiones longitudinales Esfuerzo cortante que se desarrolla a lo largo de un elemento estructural que es sometido a cargas transversales, que es igual al esfuerzo cortante vertical en ese mismo punto. También llamado esfuerzo cortante horizontal.

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Las Tensiones Longitudinales están relacionadas directamente resistencias longitudinales que es la resistencia que posee un cuerpo frente a la acción de fuerzas que operan a lo largo de su eje longitudinal. El término se aplica tanto a la resistencia a la compresión como a la resistencia a la tracción. La resistencia se define como la máxima fuerza por unidad de sección transversal que logra resistir un cuerpo, componente o material antes de romperse o sufrir deformaciones plásticas.

28. DEFORMACIONES Las deformaciones pueden clasificarse atendiendo a distintos criterios. El primero de ellos es la continuidad, en la que se considera que: si una deformación no separa ningún par de puntos materiales que estuvieran juntos antes de la deformación se dice que es continua o afín. En el caso contrario se denomina discontinua o no afín. Este último caso implica que se tienen discontinuidades o que bien porque han sido creadas por la deformación en cuestión, que ya existían o que han sido utilizadas por la deformación. Otro criterio que se utiliza para clasificar la deformación interna es el de los resultados físicos, de acuerdo a este criterio, se clasifican Plástica y Elástica.

 Deformación plástica, irreversible o permanente: Modo de deformación en que el material no regresa a su forma original después de retirar la carga aplicada. Esto sucede porque, en la deformación plástica, el material experimenta cambios termodinámicos irreversibles al adquirir mayor energía potencial elástica. La deformación plástica es lo contrario a la deformación reversible.

 Deformación elástica, reversible o no permanente: El cuerpo recupera su forma original al retirar la fuerza que le provoca la deformación. En este tipo de deformación, el sólido, al variar su estado tensional y aumentar su energía interna Página 31 de 37

en forma de energía potencial elástica, solo pasa por cambios termodinámicos reversibles.

Comúnmente se entiende por materiales elásticos, aquellos que sufren grandes elongaciones cuando se les aplica una fuerza, como la goma elástica que puede estirarse sin dificultad recuperando su longitud original una vez que desaparece la carga.

Dado que las deformaciones tratan sobre cambios producidos a lo largo de un tiempo y se analizan comparando dos estados, se definen los conceptos de deformación finita e infinitesimal según la cantidad de deformación interna acumulada.

 Deformación finita: Es la que se experimentada a lo largo de todo el proceso y por tanto es la que se analiza comparando los estados inicial y final, resultando mayor al 1% de elongación.

 Deformación infinitesimal: Se refiere a incrementos de deformación interna infinitamente pequeños (elongación menor al 1%); La integración de todos esos incrementos infinitesimales daría la deformación finita. Cuando los incrementos son finitos, pero representan sólo una parte de la deformación, se habla de deformación incremental.

29. DEFORMACION La resistencia del material no es el único parámetro que debe utilizarse al diseñar o analizar una estructura; controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propósito para el cual se diseñó tiene la misma o mayor importancia. El análisis de las deformaciones se relaciona con los cambios en la forma de la estructura que generan las cargas aplicadas. La deformación se define como cualquier cambio en la posición o en las relaciones geométricas internas sufridas por un cuerpo siendo consecuencia de la aplicación de un Página 32 de 37

campo de esfuerzos, por lo que se manifiesta como un cambo de forma, de posición, de volumen o de orientación. Puede tener todos estos componentes, cuando esto ocurre se dice que la deformación es total. Dependiendo de la naturaleza del material y las condiciones bajo las que se encuentre, existen varios tipos de deformación. Se dice que un cuerpo sufre una deformación elástica cuando la relación entre esfuerzo y deformación es constante, y el cuerpo puede recuperar su forma original al cesar el esfuerzo deformante. Cuando dicha relación no es constante se produce una deformación plástica y aunque se retire el esfuerzo, el cuerpo quedará con una deformación permanente. En la práctica, las rocas presentan un comportamiento intermedio, deformándose inicialmente de una manera elástica, hasta alcanzar el límite elástico; a partir de este punto se produce la deformación plástica. El comportamiento plástico también tiene un límite, alcanzado el cual se produce la ruptura. Las deformaciones elásticas, al no producir deformaciones permanentes, no generan estructuras geológicas, estas son producidas por la componente de deformación plástica o bien por la ruptura.

30. ELASTICIDAD TRANSVERSAL El módulo de elasticidad transversal, también llamado módulo de cizalla, es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un material elástico (lineal e isótropo) cuando se aplican esfuerzos cortantes. También se define como factor de elasticidad de un material que representa la relación entre el esfuerzo cortante y la correspondiente deformación producida por éste. Este módulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los siguientes: módulo de rigidez transversal, módulo de corte, módulo de cortadura, módulo elástico tangencial, módulo de elasticidad transversal, y segunda constante de Lamé.

El módulo de elasticidad transversal está relacionado con: Página 33 de 37

El módulo de elasticidad, que es un parámetro característico de cada material que indica la relación existente (en la zona de comportamiento elástico de dicho material) entre los incrementos de tensión aplicados en el ensayo de tracción y los incrementos de deformación longitudinal unitaria producidos. Y el coeficiente de Poisson que es un parámetro característico de cada material que indica la relación entre las deformaciones longitudinales que sufre el material en sentido perpendicular a la fuerza aplicada y las deformaciones longitudinales en dirección

de la fuerza aplicada sobre el mismo.

Representadose con la fórmula:

Siendo: G= El módulo de elasticidad transversal. E= El módulo de elasticidad. v= El coeficiente de Poisson.

31. TENSIONES EN PLANOS OBLICUOS Las fuerzas axiales ejercidas sobre un miembro de dos fuerzas son para causar tensiones normales mientras que las fuerzas transversales ejercidas sobre los pernos provoquen tensiones cortantes en las conexiones. Se observó que la razón de tal relación entre las fuerzas axiales y tensiones normales, por un lado, y las fuerzas transversales y las tensiones de cizallamiento sobre la otra, era porque las tensiones se estaban determinadas únicamente en planos perpendiculares al eje del miembro o conexión. Se somete a fuerzas axiales P y P'. Si pasamos una sección que forma un ángulo θ con un plano normal y dibujamos el diagrama de cuerpo libre de la porción del elemento situado a la izquierda de la sección, se encuentra en el equilibrio condiciones del cuerpo sin que las fuerzas distribuidas que actúan sobre la sección deban ser equivalentes a la fuerza P.

En una estructura bajo carga axial las fuerzas axiales pueden producir esfuerzos, tanto normales como cortantes, en planos que no son perpendiculares al eje del elemento. Por ejemplo, en la figura observamos un elemento bajo carga axial y un plano Página 34 de 37

oblicuo que lo cruza, en este plano la fuerza axial producirá tanto esfuerzos normales como cortantes.

El cálculo de los esfuerzos cortantes y normales en secciones oblicuas es útil cuando se analizan empalmes de piezas que son sometidas a carga axial.

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Conclusión: Las investigaciones llevadas a cabo en el presente trabajo nos muestran desde los puntos de vista matemático y analítico las determinaciones de las geometrías de las masas, dando a conocer todos los términos básico aquí ya nombrados, dichos términos analizados cuidadosamente nos llevan al desenvolviendo y a la interpretación de los fundamentos o criterios básico de la mecánica de los fluidos y la rocas para nuestra formación como profesionales, cuando nos referimos a las geometría de las masas esto abarca todo, desde la explicación de fórmulas, la aplicación de leyes y la relación que están presentan, podemos entender que estos criterios de suma importancia nos llevan a prepararnos como unas personas capacitadas para enfrentar con base investigativas cualquier dificultad que se nos presente a la hora de ir al campo de trabajo y poner en practica todo los conocimientos adquiridos.

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Referencias Bibliográficas: https://es.wikipedia.org/wiki/Tensión_cortante https://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_longitudinal https://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3n#Deformaciones_el%C3%A1stica_y_pl% C3%A1stica http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/109/A5.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_cizalladura http://www.mecapedia.uji.es/modulo_de_elasticidad_transversal.htm http://www.mecapedia.uji.es/modulo_de_elasticidad.htm http://www.mecapedia.uji.es/coeficiente_de_Poisson.htm http://slideplayer.es/slide/5504599/ http://astronomia.wikia.com/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke https://es.slideshare.net/hatakejesyk/esfuerzo-normal-y-cortante http://diccionario.raing.es/es/lema/diagrama-de-cargas

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